三角形的特性十篇

三角形的特性篇1

［摘　要］“三角形的特性”这一课容量大，知识要点多。对“三角形的特性”的教学主要从学生的生活入手，让学生操作、观察，从而掌握知识，并感受到数学与生活的联系，学会欣赏数学美。

［关键词］三角形　实验　操作　巩固

［中图分类号］　G623.5

［文献标识码］　A

［文章编号］　1007-9068（2015）02-071

【教学内容】

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级下册第80~81页例1、例2。

【教学目标】

1．通过动手操作、观察比较，使学生进一步认识三角形，掌握三角形高和底的概念，会用字母表示三角形和会画三角形的高。

2．通过实验，使学生认识三角形的稳定性，体验数学在生活中的应用价值，感受数学与生活的联系，渗透数学思想方法，学会欣赏数学美。

3．使学生在探索三角形特性的活动中，进一步发展空间观念，提高观察能力和动手操作能力。

【教学重点、难点】

重点：三角形的定义、三角形的高和画高。

难点：三角形高的确定和画法。

【教学用具】

教师：课件、三角板。

学生：每人一小袋各种不同颜色的小棒，同一种颜色的小棒长度相等。

【教学过程】

一、联系生活，引入新课

师：生活中处处有数学，你在生活中见过哪些物体上有三角形？（红领巾、小三角旗……）

师：老师也收集了一些素材（课件出示课本第80页的情境图和81页例2的图），看屏幕，这些物体上有大量我们熟悉的三角形，你发现了吗？谁来指一指？为什么这些地方设计成三角形呢？这节课我们一起来研究三角形的特性。（板书课题）

【设计意图：让学生在生活中找三角形，感受数学与生活的联系，激发他们学习三角形的兴趣，让他们在生活中发现问题，提出问题，感受数学的美。】

二、实验操作，探究特性

1．实验。在小袋里拿3根小棒，做一个三角形，做好后小组拉一拉、比一比，有什么发现？（三角形拉不动，相同颜色的三角形形状、大小一样）

2．展示。选择一组学生的作品展示（一样颜色的三角形挂在起），又有什么发现？（小棒相同，做出的三角形的形状、大小完全相同）

3．验证。再选一组学生做的三角形，颜色相同的挂在一起。得到的和上面的结论是否一样？

4．讨论。改变这个三角形的摆放位置，它的形状、大小变了没有？为什么这些三角形的形状、大小完全一样？（三角形不变形，具有稳定性）

5．小结。3根小棒的长度确定了，不管怎么摆，三角形的形状和大小完全一样，只能摆一种三角形，所以三角形具有稳定性。（板书：稳定性）

【设计意图：通过实验、观察、比较、交流，使学生多种感官参与活动，理解了三角形的唯一性，充分体验到三角形稳定性的本质特征，积累了丰富的数学活动经验。】

6．旁证。

（1）选择另外4根小棒做成一个四边形，拉一拉，有什么发现？（易变形）

（2）用这4根小棒，你能摆出几种图形？试一试。

（3）比一比这些图形，有什么发现？（做出很多形状、大小不一的图形）

（4）为什么用4根小棒可以做出这么多形状不同、大小不等的图形？说明什么？

（5）要使这个四边形不变形，你们有什么办法？

（6）用5根小棒做一个五边形，做出的五边形形状、大小会一样吗？为什么？如果用6根小棒做一个六边形呢？你发现了什么？

【设计意图：通过让学生做多边形，发现多边形拉得动，易变形的特性，从而突出三角形稳定性的特征，培养了学生的自主探索能力和动手实践能力。】

7．深化。举出生活中应用三角形稳定性的例子，然后课件演示，让学生欣赏。

【设计意图：通过播放生活中三角形图片，使学生进一步巩固三角形稳定性的内涵，切实感受到数学对于解决生活实际问题的价值，增强了应用意识。】

三、操作思辨，理解概念

1．发现三角形的特征

（1）画一画。在练习本上试着画一个自己喜欢的三角形。

（2）展示交流。说说自己是怎么画的。

（3）标一标。在三角形上标出三角形的边、角和顶点，然后课件演示。

（4）议一议。本组同学所画的三角形有什么共同点。（三角形有三条边、三个角、三个顶点）

【设计意图：让学生在画三角形和反思交流中，发现三角形的特征，培养学生的观察能力和概括能力。】

2．归纳三角形的定义

（1）议一议。结合所画的三角形，讨论：什么样的图形叫三角形？

（2）看一看。学生汇报后，看课本第80页的概念。齐读：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

（3）想一想。你认为三角形的定义中哪些词语最重要？（“三条线段”“围成”）

（4）辨一辨。判断下面的图形是不是三角形，为什么？

【设计意图：通过议、看、想、辨等活动，让学生亲自经历三角形概念的形成过程，在层层递进的矛盾解决中建立概念，使学生发现不同中的相同，实现知识的有效建构，形成对概念全面、深刻的理解，养成阅读的好习惯。】

3．学习用字母表示三角形

师：为了表达方便，我们用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点。这个三角形可以表示成三角形ABC。（课件出示）

师：请同学们在自己画的三角形上面标上字母。

【设计意图：通过用字母表示三角形，使学生初步体验简洁美。】

4．认识三角形的底和高

（1）认识对边

图3中顶点A所对的边是BC，顶点B的对边是（ ），顶点C的对边是（ ）。

【设计意图：找顶点所对应的边，为学习三角形的高做准备，渗透了对应思想。】

（2）认识高

①什么是三角形的高？看课本第81页。（课件出示：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。）

②画一画。在练习纸上画出顶点A到BC边的高并标出“高”、“底”、“垂足”。

③展示。A．展示学生所画的高，并让学生说出画法；B．课件出示：

先用一条直角边和顶点的对边重合，然后用另一条直角边和这个顶点对齐，最后从顶点向对边画垂线，顶点A的对边就是三角形的底，顶点到垂足之间的线段就是三角形底边BC的高；一般用虚线表示高，用直角符号表示垂足。

【设计意图：通过看书自学，尝试画高，使学生对底和高形成表象，在画高中体验画法，感知高的测量方法，培养学生的动手操作能力。】

④变一变。如果把三角形ABC进行旋转，AD还是三角形的高吗？为什么？课件出示：

【设计意图：通过旋转，由静变动，引发学生质疑所画的这条线AD是否还是BC的高，进一步提升学生对高的本质特征的认识，关注、理解底和高的对应关系。】

⑤议一议。在三角形ABC中还可以画高吗？一个三角形有几条高？为什么？

【设计意图：紧扣三角形高的定义进行交流讨论，逐步加深学生对三角形高的本质认识。】

四、实践应用，巩固新知

1．通过一组三角形画高，引发动态想象

（1）如果三角形ABC的顶点C往右移动，形成一个新的三角形。在脑子中画出新的三角形ABC的AB边上的高，用手比划。（课件演示图6－1）

（2）如果顶点C继续往右移动，又形成了一个新的三角形。那么AB边上的高的垂足点就会不断靠近B，最后将会和点B怎样？（重合）重合也符合高的定义，和直角边BC重合的垂直线段也是它的高，这时三角形ABC的底边AB边上的高是什么？（课件演示图6－2）

（3）如果顶点C继续往右移动，这时又形成一个新的三角形ABC，猜一猜这时AB边上的高还会不会在三角形ABC里面呢？你能在脑中大胆地画出AB边上的高吗？（课件演示图6－3）

（4）如果顶点C向左移动形成各种新的三角形，对应的高会怎样变化？（学生想象后，课件演示图6－4）

（5）如果顶点C向上、下移动，形成各种新的三角形，对应的高又会怎样变化？（学生想象后，课件演示图6－5）

【设计意图：在一组有联系的三角形中，通过一个顶点沿着与底边平行的直线移动和沿着垂直于底边的直线上下移动，让学生经历数学知识的变化和联系，使数学知识构成网络结构，较好地引导学生想象，让学生在验证中体验变与不变的辨证思想，积累了数学活动经验。】

2．通过动态观察高的变化，引发学生对三角形的想象

（1）多媒体出示图7－1，如果三角形的一个顶点在C处，从这个顶点向AB画出高，你能想象出这个三角形吗？

（2）多媒体出示图7－2，现在你还能想象出这条高的三角形吗？你会想象出几个三角形？

【设计意图：充分利用课件的连续动态变化，设计等底等高的三角形和等高不等底的三角形，学生在想象和画图的过程中，提高了技能，并对三角形的高有进一步理解。】

3．体验一个三角形的高都相交于一点

（1）画出下面每个三角形底边上的高。

（2）画出第一个三角形的另外2条高，你发现了什么？（课件验证）

（3）是不是任意一个三角形的三条高都相交于一点？想一想，在脑中画一画。

课件演示：

【设计意图：通过画三角形的高，使学生初步感受到一个三角形的三条高交于一点或延长交于一点的数学规律，从中激发学生动手画高的积极性。】

五、全课总结，提高认识

1．这节课我们学习了什么？你对三角形有了哪些进一步的认识？

2．这节课采用了什么方法学习？

三角形的特性篇2

教学目标：  

1.通过观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特性及三角形高和底的含义，会在三角形内画高。  

2.培养学生观察操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

3.体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。

教具、学具准备： 

学生准备：三角尺

教师准备：多媒体投影、课件、三角板、礼物盒（内含三角形、长方形、正方形各一个）、作业单（每人2份）

教学重点： 1.理解三角形的特性。 2.在三角形内画高。

教学难点： 理解三角形高和底的含义，会在三角形内画高。   

教学过程：  

一、联系旧知

同学们，老师今天给大家带了一份礼物（出示盒子，摇一下）咦！里面有东西！大家想不想知道里面有什么？生答。师：那让我们来摸摸他里面的东西，好不好？生答。师:老师需要一位小助手蒙眼睛，谁愿意帮帮老师？准备就绪，宣布活动规则：将你摸到的东西大声地说出来并告诉大家你是如何判断出来的。活动结束后教师总结：长方形和正方形我们已经学习过了，所以大家能够根据他们的性质准确的认出他们，三角形大家也能够认出来，但是今天我们还需要更进一步地学习三角形，看看三角形有哪些特性? （板书课题）   

二、情境导入

师：大家在生活中见过三角形吗？生答。师：那现在老师给大家出示一组图片，看看大家能不能找出图中的三角形（课件出示图片）。

师：在我们的生活中，有一样三角形形状的东西一直陪伴着大家，你们知道吗？生答：红领巾。师：没错，是红领巾(课件出示）今天老师就把同学们的红领巾画到黑板上，我们一起来研究一下，看看它有哪些特点（黑板上画三角形）。

三、探究新知

1.发现三角形的特征

师：同学们知道三角形各部分的名称吗？指名说一说。  教师根据学生的回答在黑板上画的三角形标出各部分的名称（课件展示）。

现在请同学们继续观察这个三角形，你能看到什么?师根据学生的回答总结出三角形有三条边、三个角、三个顶点。

2.概括三角形的定义    

师：请同学们画出一个三角形。边画边数一数你刚才画的三角形有几条线段？ 师：同学们再来看看老师这的几个三角形都是几条线段？是不是由三条线段组成的图形都是三角形呢？  师：同学们请看老师摆成的图形是不是三角形？为什么？那什么叫三角形呢？ （学生边总结，教师边板书）

师：请你们帮助老师判断下面的图形是不是三角形？（课件出示练习题） 

3.学习三角形的命名

师：通常我们用字母A、B、C表示三角形的三个顶点，上面这个三角形就可以表示为三角形ABC。 （出示课件）  师：同学们看这个图形由几个三角形组成，用字母分别怎么表示？ 指名说一说。  

4.认识三角形的底和高

师;以前我们学过怎么画平形四边形的高还记得吗？  请一生上台给平行四边形作高。

师：三角形也是有高的，我们来学习一下。（课件出示三角形的高的定义和画法）

5.学画三角形的高。    

师：现在同学们已经认识了三角形的高，你会画三角形的高吗？ （1）要求学生在作业单上画出三角形制定底边上的高。指名学生展示，并讲解画高的方法，教师适当给予点评。（2）分析强调直角三角形搞得画法。 （3）全班集体评价，总结三角形高的画法及注意事项。

思考：一个三角形可以画出几条高？（3条）

四、总结评价，回顾全课     

通过这节课的学习，你对三角形有了哪些深层次的认识?还有什么有关三角形的问题?

五、作业

三角形的特性篇3

知识目标：通过观察，动手操作等活动，认识三角形的特征和特性，能指出三角形的边，角，顶点，会辨认三角形的底和相应的高。

能力目标：培养学生的观察能力，动手操作能力，小组协调能力和空间观念。

情感目标：在相互交流相互评价，自主探索活动中获得情感体验，体会数学在生活中的应用价值，激发学生的学习兴趣，形成主动学习的态度。

教学重难点：准确理解三角形的概念，掌握三角形的外部特征及其特性，学会画三角形的高。

教具准备：课件，三角板，三角形纸板，三角形框架，四边形。

学具准备：三角板，三角形纸板，三角形框架，四边形。

教学流程

（一）、创设情境，激趣引入。

多媒体出示第34页主题图，把学生带入三角形世界，让学生领略了三角形的生活风采并找出图中的三角形。引导学生观察后回答：图中哪些物体的面是三角形？从整体上初步感知三角形，从而自然地导入新课的学习，同时揭示课题并板书课题。

（二）、自主探究，感悟新知。

理解并掌握三角形的概念和特征。 分为摸一摸、看一看、议一议、练一练4个层次。

1、摸一摸，用手触摸三角板的边，角，顶点，初步感知三角形的特征。

2、看一看，课件演示三角形，抽象概括三角形的特征（让学生自己归纳三角形有三条边，三个角，三个顶点。）

3、议一议，让学生用自己的语言归纳出三角形的慨念。在学生得出概念后让学生讨论“围成”能否换成“组成”。板书，由三条线段围成的图形叫做三角形。

4，练一练，在此我设计了两个练习题，其目的是对三角形的特征和概念进行巩固。

A，画一个三角形，标上它的各部分名称。

B，用课件演示，让学生判断，增加认知面。

第二步：探究三角形的特性课件演示：刚才我们观察的这些桥梁支架，自行车架以及我们身边的很多建筑，设计师为什么要利用到三角形呢？接下来我让学生做一个实验：拿出准备好的四边形和三角形框架，让学生用力拉三角形和四边形的框架，问学生有什么发现。学生通过操作很容易发现：三角形不容易变形，四边形容易变形。这就是三角形一个非常重要的特性——稳定性。

第三步：探究三角形的高。1、折一折：让学生拿出准备好的三角形纸片，按课件演示的方法折一折，折完后互相观摩。看折痕的一端是否过三角形的顶点，另一端是否与顶点的对边相交，折后是否重合，猜一猜折痕与三角形的这条边是什么关系。

2、然后让学生展开被折的三角形，并让学生指着这条折痕，告诉学生这就是三角形的高，用同样的方式教学三角形的底。

3、拓展：当学生初步认识了三角形的底和高之后，让学生探究三角形的另两条边是否可以作为三角形的底，是否能折出另外两条高。以此来巩固和升华学生对三角形底和高的全面认识。

4、继续探究：三角形的底和高的关系。学生可能回答出各种不同的答案，甚至回答不上，此时就可以引导学生用三角板的直角去量一量，使学生得出清晰的认知：三角形的底和高互相垂直。

5、接下来教师演示用三角板画三角形的高。教师示范，学生观察。

6、练一练：（用课件演示）第一组是让学生判断三角形底边上的高是否画正确（即36页第2题）。第二组是为各种不同的三角形标出底和高（即36页第3题），第三组是判断题。

7、知识应用：设计两个图形，让学生画直角三角形和钝角三角形三边的高。

板书设计

认识三角形

三角形的特性篇4

一、片段回放

教师在介绍三角形具有稳定性的特点后，开展让每一位学生拉一拉自制的三角形框架、给晃动的椅子加固等学习活动，巩固“三角形具有稳定性”的结论。在其后的教学环节中，教师让学生找找生活中有哪些事物应用了三角形稳定性。

生1：我发现屋架是三角形的，具有稳定性。

生2：我发现自行车车架中的三角形框具有稳定性。

……

生5：老师，红领巾是三角形，可以任意地揉捏，容易变形，它没有稳定性。

生6：是啊，红领巾是三角形，它没有稳定性，说明三角形没有稳定性。

教师略一思考：“唉，是啊，红领巾是布做的，我们不能用红领巾来理解三角形的稳定性，而是要看看人字架屋顶、高压线架框这些物体，多牢固啊。”

二、原因分析

红领巾真的没有稳定性吗？难道它与材料有关吗？作为数学概念，是不研究材料的粗细、大小、颜色等非数学本质属性的。红领巾是三角形毫无疑问，当然有稳定性，但是红领巾确实又容易揉捏变形。三角形的稳定性到底指的是什么呢？根据思考和推敲，我认为三角形的稳定性从本质上说应该是它的三条边的长短一经确定，所组成的三角形图形是唯一确定的，稳定性实际上指的是图形的唯一确定性。

出现上述问题的根本原因在于教师教学“三角形的稳定性”时存在一些误区。

首先，我们可以发现教材是这样描述三角形的稳定性的：“用三根木条钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状不会改变，可见，三角形具有稳定性。”小学教材安排这一内容时，考虑到学生的年龄特点和认知能力，原来就没有打算让学生从数学的本质上去理解“三角形的稳定性”，而是只要求学生通过现实生活去感受并体验三角形具有这种“稳定”的特性，而从本质上理解“三角形稳定性”这个概念，最具代表性的描述是“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”其本质就是“边长确定，则大小、形状唯一”更多地表现为确定性。

其次，因受教材的影响，在教学三角形的稳定性时，大部分教师都是让学生自己用木条连接成一个三角形，然后拉一拉，发现拉不动，以此引出三角形具有稳定性。难道“拉得动、拉不动”是判断图形是否具有稳定性的标准吗？如果我们用钢管焊成一个四边形（车架），用力拉这个四边形，这个四边形的形状也不会改变，是否可以由此判断四边形具有稳定性呢？再如，红领巾拉一拉就变形了，那三角形就不具有稳定性了？这当然是荒谬的。因此，“拉得动、拉不动”不能被作为判断三角形是否具有稳定性的唯一标准。

最后，我们研究的是几何意义上的三角形（数学属性），然而学生面对的红领巾、屋面等都是三角形的物体（物理属性）。我们错将“三角形”与“三角形物体”混为一谈，也就是把数学属性混淆了。稳定性是三角形的特性，它在某些三角形物体上表现为稳固、不易变形，但这并不说明所有三角形物体都很稳固、不易变形，更不能说明不易变形的物体就具有稳定性。所以，上述教学犯了以“物”代“形”的错误。同时，以“物”代“形”容易受到非本质因素的干扰，例如材料因素、学生观察因素等。

三、对症良方

如何突破这对矛盾？学生思维的具体、形象及认知过程不可逾越的阶段性同教学自身的内在逻辑的严密性之间的关系到底该如何处理？如何在两者间找到一个恰当的平衡点呢？下列案例也许能说明一些问题。

以下是一位教师教学“三角形具有稳定性”的片段：

师：刚才同学用三根牙签围成了一个三角形。想一想，用这三根牙签还能围成其他形状的三角形吗？

生（齐）：能。

教师请几个学生到投影仪上演示，若干次尝试后，大家发现，不管怎样移动牙签，三角形除姿势变化外，其形状、大小都不会改变。于是，教师顺势引导学生归纳：只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。

师：下面我们来做个实验。在每一张课桌的抽屉里各藏有一个三角形和多边形木架，请拿出来同桌之间互相拉一拉。

师：通过实验，你发现了什么？

生：我发现三角形木架怎么拉也不变形，而多边形木架轻轻一拉就变形了。

师：知道这是为什么吗？

生：因为三角形只要三条边的长度固定了，它的形状和大小就完全确定了。

三角形的特性篇5

一、辩证唯物主义认为，物质是运动的物质，运动是物质的运动.运动是绝对的，而静止是相对的，静止是运动的特殊状态.相对静止是认识运动的条件.不了解相对静止，就不能理解物质的多样性.承认事物的相对静止，才能区别事物，对事物进行确定的分析.

例如：近几年漳州市中考的一个热点――动点问题.

三、辩证唯物主义认为矛盾的特殊性和普遍性是相互联结的.任何现实的事物都是特殊性和普遍性、个性和共性的有机统一.一方面，普遍性离不开特殊性，普遍性寓于特殊性之中；另一方面，特殊性也必然与普遍性相联系而存在，只有特殊性、个性而没有普遍性、共性的事物是不存在的.普遍性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来.矛盾的普遍性和特殊性在一定条件下各向其相反方面转化.

例如，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都是三角形.三边关系――任何两边和大于第三边，两边差小于第三边.内角和180°.外角等于不相邻的两个内角和.这是三角形的共性，是普遍性.直角三角形是特殊性，两直角边的平方和等于斜边的平方，两锐角互为余角是它们的特殊性.一般三角形的边、角的求解问题常用解直角三角形的方法解决.

例5海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由.

三角形的特性篇6

要获得结论“三角形的内角和等于180°”，可以直接测量三个内角求和，也可把三角形的三个内角撕下来拼成一平角（或可以通过折纸，把三角形的三个内角折成一个平角）。但这些操作有局限性，针对的对象总是具体的三角形，拼折中是否存在误差不能判断，需要更为严格的数学证明。数学证明方法可以添加辅助线，利用平行线性质去获得证明。而在实际教学中， 数学教师碰到了一个特殊的证明方法：长方形的四个内角都是直角，其和为360°，长方形可分成两个完全一样的直角三角形，所以直角三角形的内角和就是360°÷2=180°，又因为锐角三角形和钝角三角形都可以分成两个直角三角形，所以它们的内角和就是180°×2，再减去合并在一起的两个直角，最后结论也是180°。因此，任意三角形的内角和都是180°。[1]

上述方法是否正确，教师们形成两种截然不同的观点。一种观点认为“从长方形内角和出发去证明三角形内角和定理，没有违背几何的逻辑体系”。他们在《几何原本》的卷1中找到定义22（部分）：角是直角且四边不全相等的四边形叫做长方形，从而得到长方形内角和是360°，认为逻辑推理的起点是合理的，这种方法是可行的。另一种观点认为“多边形内角和的知识基础应该是三角形的内角和定理”。也就是说，我们只有从三角形内角和定理出发，才能去推导出四边形内角和，倒过来证就会犯循环论证的错误。客观上，教材的处理也是从三角形内角和定理去获得四边形内角和。

二、 关于特殊证明的初步分析

为什么在教学中会出现由长方形的内角和去获得结论？这很大程度上是由于教材编排的缘故，按照知识点出现的顺序，教材上是先有长方形的认识，再有三角形内角和定理，教师在对结论“长方形的四个角都是直角”或定义“四个角都是直角的平面四边形叫长方形”确信无疑的情况下产生了该方法。为了进一步寻求支持，教师以《几何原本》卷1中的定义22作为逻辑推理的出发点展开证明，这种支持是乏力的，因为《几何原本》的公理按现代观点来看是不够严格的，1899年希尔伯特（D.Hilbert）出版的《几何基础》将它严格化。我们从作图的角度来看，要在平面上作一个长方形，只能顺次作三个直角，最后一个直角是直接形成的。

为什么教师们要从《几何原本》上追溯特殊证法的源头？他们寻求逻辑支撑的行为值得思考。这一定程度反映了教师的柏拉图主义数学观，他们认为数学是一堆稳定而统一的知识，是一套清楚的互相关联的结构及真理，由逻辑及意义把它们联系起来。大家都知道，《几何原本》是用公理化方法建立起演绎数学体系的典范。数学公理化的主要目的并不是要求我们通过公理化去现发数学结论，而是要把已有的数学结论纳入到统一的知识结构体系之中。可许多数学结论的获得一开始并不都是通过逻辑推理，而是先进行数学实验或猜想，再验证（证明或反驳）。在实际的三角形内角和定理教学中，实验方法获得的结论为下一阶段进一步严格证明提供了证明的方向，使人更容易想到要利用平角的定义和平行线的性质来证明，整个过程是一个逐渐严格化的过程。同样，不同的数学发展时期对数学的严谨性理解不尽相同，数学的真理性时时受到挑战，“数学不再是绝对真理的集合”这样的认识目前正在被大家所接受，现在的数学教学不可能按照公理化的方法演绎数学知识。

三、 如何看待数学教学中证明的合理性

康托（G.Cantor）在1883年曾作了这样的著名论述：“数学的本质在于自由”。数学教学不要用数学的严谨性禁锢学生的思想，要让学生敢于提出问题，发现数学知识。数学教师要以“学生已经知道了什么”为基础来展开证明教学，教学的出发点要始终落实在学生已有的数学知识基础上。数学教师要明白学生在不同阶段对数学结论会有不同层次的证明，要关注数学知识的非逻辑、非演绎证明，可通过数学史、数学实验和数学软件等来促进学生对数学知识的理解。

1.证明的合理性不能完全依赖于教材

数学课程通常扩大数学的公理系，即扩大逻辑推理的起点，增加逻辑推理的依据，扩大后的公理系不再是独立的，是不严格的。这就降低了数学知识推理的难度，让相同的数学结论产生不同的证明有了更多的可能。人们总是希望数学越严格越完善就越好。可是，我们不能把数学史中的数学、公理化后的数学一古脑儿呈现给学生，而是要选择对学生来说是有用的数学，核心的数学。也就是说，教材要考虑学生的学习需要和认知特点，对数学内容作出选择和处理。我国数学教材常常采用螺旋式递进的方式编排数学内容，同一课程标准下有多种数学教材，同一个数学概念在不同层次、不同版本的教材中表达也会不一样。因此，教学中评判证明的合理性不能完全依赖于教材。我们虽然没有必要让学生用公理化的方法重新构建起数学知识的大厦，但应该让学生逐步养成说理的好习惯。

影响数学知识获取顺序的因素比较多，其中知识逻辑顺序、知识历史顺序、教材编排顺序和教学设计顺序最终都要通过学习者已有的认知结构才能发挥作用，而且有些顺序之间并非是一致的。像数系扩充的历史顺序是先有无理数再有负数，而教材的编排顺序是先有负数再有无理数，教材的这种安排主要考虑了知识的逻辑结构。但学习者对数学概念的理解过程与数学概念的历史发展过程常常具有一定的相似性，这就需要数学教师去理清数学知识发展的历史顺序。教材中数学知识的呈现总是有序的，知识甲到知识乙总是单向的，而知识甲、乙在数学知识课程体系中可能会有逆向的通道，先接受（证明）哪个知识点取决于学习者（包括教师）已有的数学知识和活动经验。教学中教师要区分科学的数学与课程的数学、教师自己的数学与学生的数学之间的不同。

2.证明的合理性应侧重于是否从已知去把握未知

数学学习并不都是从一个数学结论的证明到另一个数学结论的证明，通常是先要发现数学知识，再接受、应用数学知识，这样的学习过程不可能一厢情愿地按照教材的知识结构顺序展开，它总是取决于学习者头脑中已有的知识基础和学习经验。正如韬尔（D.Tall）提出的数学证明的三个水平：直观形象性证明、过程概念性证明和形式化证明，不同的人在相同的数学知识证明上表现也会不同。就拿三角形内角和定理的证明来说，小学生会选择量一量、拼一拼、沿三角形的边转铅笔等动手操作的方法，虽然这样的方法更多的时候是用来发现知识的，并非是严格意义上的证明，但对他们来说这样做就是一种“证明”。而初中生有平行线方面知识的基础，会选择利用平行线性质来证明，两者对数学知识证明的水平是不同的。我们不能用同一把尺子去要求不同层次的学生，教学中证明的合理性要与学生的知识层次相适应。

在三角形内角和定理的特殊证明中，教师们因不同的观点产生碰撞而困惑，双方都试图寻找理由来说服对方，这样的困惑往往是一个群体的困惑。同样，数学学习是在一定的学习共同体中进行，需要数学交流，所学知识需要学习共同体的认可。而证明就是数学交流的一种方式，这种交流会受到学习共同体认知水平的局限，交流中的数学其严谨性也是相对的。如果对数学知识演绎结构缺乏了解，但已接受结论“任意两个完全一样的直角三角形定能拼成一个长方形”，从而断定中间结论“直角三角形的内角和为180°”，产生类似于由长方形的内角和去获得三角形内角和定理的证明方法，我们没有必要担心犯了循环论证的错误，这样的方法同样起到了证明所起到的验证结论、增强知识理解的作用。我们这里所说的证明，既是数学上对结论对错的探索，又是人参与的一项求真活动。证明教学要引导学生从已知去探寻未知，其过程需要遵循一定的规则，但又不能完全依赖于逻辑，不能固守数学知识演绎的方向。

3.证明的合理性需要非逻辑过程的支撑

曾有人给出三角形内角和定理获得的7种证法，让中学数学教师判断哪些是数学证明。毫无疑问，利用平行线性质的欧几里德证明和毕达哥拉斯证明都是数学证明，而直接测量内角获得结论被认为不是数学证明，少数教师认为利用几何画板的动画功能、撕角拼平角、一个顶点变动到极限位置来获得结论是数学证明，44%的教师认为由“人绕三角形一周方向改变360°”来获得结论是数学证明。[2]一般来说，证明基于推理，推理的依据可来自权威、案例和规则。而数学证明有特定的含义，需要对数学概念下定义，从条件出发，依据公理和已证定理，正确使用推理规则去获得结论。小学阶段学生不可能进行形式上的数学证明，他们推理的主要依据常常来自教师和课本，来自于不完全归纳。他们的证明通常是实验、实践证明而不是逻辑证明，他们用并不严格的方法发现、“证明”、解释数学结论。我们要关注那些被中学数学教师认为不是数学证明的证明方法，正是这些方法成为学生数学学习不可或缺的内容，让他们的数学学习过程更加精彩。

历史上与现在教师的特殊证明相类似的方法，是英国数学史家希思（T.L.Heath）关于泰勒斯如何获得三角形内角和定理所作的一个推测：等腰三角形（包括等边三角形）沿底边上的高分成两个相同的直角三角形，这两个直角三角形可拼成一长方形，从中可得直角三角形与等腰三角形的内角和，不等边三角形也可通过补成长方形的方法来获得其内角和。[3]教师的特殊证明方法与希思的方法都涉及到三角形任意性和具体性方面的逻辑问题，在数学知识的演绎方向上完全相同，都是在已知长方形的内角和为360°的情况下展开推理，只是现在教师的方法侧重于割而不是补，而割的方法更符合人们（特别是小学生）的认识特点。教师的特殊证明改变了教材上数学知识演绎的方向，从长方形、直角三角形内角和再到一般的三角形内角和，体现了特殊到一般的化归和分类讨论的数学思想方法，一定程度上印证了古人的推理方法，还让小学生也能去证初中生才能证明的数学结论。用这样的特殊证明方法（或希思的推测）来设计今天的三角形内角和定理教学，会带来意想不到的效果。总之，我们不能用数学的严谨性来扼杀数学教学上的奇思妙想。

参考文献

[1] 顾志能.“三角形内角和”可以这样教吗[J].小学教学：数学版，2008（6）.

三角形的特性篇7

【关键词】浙教版；东京版；编排顺序；引入方式；知识内容

1问题的提出

各国、各套教材的设计思想和编排格式多并不相同，而是各具特色，分析这些国外教材，借鉴有益经验，对我国数学教材的编写质量和数学教学质量的提高必有重要借鉴价值[1].

东京书籍株式会社出版的教材在东京以及其他地区被广泛采用，具有较高的研究价值[2].本研究选取东京书籍株式会社2012年出版发行的《新数学2》（以下简称东京版）与浙教版《义务教育课程标准试验教科书・数学》八年级上册（以下简称浙教版）作为比较对象.等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形，具有一般三角形的性质，同时具有一般三角形所不具备的特殊性，这些特性在几何证明中有着极为重要的应用价值，也是研究其他三角形和多边形的基础[3].《新数学2》第5章第1节为“三角形”，与之相应，我国浙教版数学教材八年级上册的第二章为“特殊三角形”，这两部分内容相近，存在一定可比性.

2编排顺序比较

首先，为了说明两种教材在此部分内容上的差异，笔者将两部分内容纵向展开，对章节内容进行对比，整理得出图1.由图1和分析教材可知，东京版教材上行单元学习了“平行和全等”，浙教版教材上行单元学习了“三角形的初步知识”，两单元内容均学习了全等等知识，与本单元联系密切.东京版教材的下行单元是概率，浙教版教材的下行单元是一元一次不等式，与本单元均无显著联系.两版教材此部分内容学习的整体顺序相同，都是先学习等腰三角形，其间穿插等边三角形的学习，再学习直角三角形.但东京版教材“三角形”整块内容相比浙教版教材进度快，浙教版教材是学习过图形的轴对称后才进入等腰三角形的讨论.图1特殊三角形课程编排顺序

3引入方式比较

两版教材“三角形和四边形”与“特殊三角形”引入方式的差异主要有以下几点：

两版教材在章首引入方式上存在不同.浙教版教材的引入方式与东京版教材相比更为简单，仅采用章头图和引导语引入.东京版教材在“三角形与四边形”的章首，由传统技艺――剪纸引入，让学生即兴剪出一个形状，让学生在实际操作中体会图形的轴对称.再让学生准备3张长方形的纸，按照教材中的方法进行裁剪，继而询问学生剪好后打开来的是什么样的图形.实际上第一个是等腰三角形，第二个是等边三角形，第三个是平行四边形.这样由问题引导的趣味性动手操作，激发了学生的求知欲与好奇心.

两国教材在节的引入方式上存在不同.浙教版教材在每节伊始，设置了有关的实际背景引言或问题，并配上一幅图，引入教学内容的同时，使得学生体会到数学与生活的联系.如在“等腰三角形”这一节设置的是一幅埃及金字塔的D，并配以简单的文字.东京版教材则在每一块教学内容之前设置问题，如在“等腰三角形的判定定理”的开头，提问“思考三角形加入什么条件成为等腰三角形”，这种开门见山式地提问明确了这一部分的学习目标，起到提纲挈领的作用，有助于学生自学.

4知识内容比较

41知识目标水平比较

我国2011年颁布的《义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）中描述结果目标的行为动词包括“了解”“理解”“掌握”“运用”等[4].教材一般涉及“运用”水平的知识点较少，笔者将掌握与运用合并为一个水平.在确定两国教材这一部分内容的深度时，笔者将每个知识点的目标水平由低到高分为3个水平：了解、理解、掌握与运用，并规定水平权重分别为1、2、3.再利用下面的公式分别计算出两国教材“三角形”“特殊三角形”的深度.

其中，di（i=1，2，3）依次表示了解、理解、掌握与运用三个目标水平（依水平权重分别取1、2、3）；ni表示目标水平为di的知识点的个数，其总和等于该部分内容所包含的的知识点总数n，从而得出这部分内容的教材深度，结果如表1所示[5].

表1的统计表明，“特殊三角形”所含知识点数量更多，两版教材在特殊三角形这部分内容上要求最多的知识目标水平都为“掌握与运用”.虽然“三角形”与“特殊三角形”三个知识目标水平的整体分布有所差异，但“三角形”与“特殊三角形”知识深度的加权平均分别为209和208，即两版教材这部分内容的深度接近.

4.2知识呈现方式比较

笔者选取特殊三角形部分重点内容中的等腰三角形的性质和等腰三角形判定定理作为分析对象.整理两版教材等腰三角形的性质的学习流程如下（见表2）.

分析表2与教材可知，东京版教材较为注重知识的即学即练，及时巩固所学.浙教版教材基本是在学习节中的所有知识点之后，进入节末的课内练习和作业题A、B组.另一方面，东京版教材中，例题设置较少，其中设置了较多问题，这些问题穿插于知识引入，知识证明，知识运用的整个流程中，层层设问，引导学生不断地思考，主动参与到学习过程中.浙教版教材中问题设置较少，且问题较多集中知识引入环节.东京版教材“三角形”包含11个知识点，浙教版教材“特殊三角形”包含24个知识点.这在一定程度上反映了，浙教版教材较为注重知识的获得，对知识量要求更高，但对学生主体性与思维发展的重视还需进一步贯彻于教材中，如何在知识量与思考空间之间取得平衡，还需思考.

整理两版教材等腰三角形的判定定理引入部分如下（见表3）.东京版教材是通过折纸，给出几个三角形，学生能够猜测出可能是等腰三角形，但无法直接用等腰三角形的定义证明，只知∠ABC=∠ACB，进而思考等角所对边是否相等.这样的设计符合学生的思考过程，思路流畅.浙教版教材通过作出两个角相等的三角形，进而测量发现所对边相等来引出等腰三角形判定定理.这样观察归纳的方式是对判定定理的初步验证，验证固然是重要的，但如何能够引导学生主动想到从等角出发思考判定方法亦是核心.这样的活动从侧面告诉了学生判定方法，少了些许探索味，思维性不强.《标准》中提到“四能”，教材亦需渗透其理念，不仅重视增强学生重视分析和解决问题的能力，也要重视增强学生发现和提出问题的能力.

5结论与启示

51两种教材都具有较强的逻辑性和系统性，但东京版教材更注重教材的直观性

两个版本教材特殊三角形这部分内容的整体学习顺序一致，条理清晰.两版教材均为彩色，浙教版教材以冷色调为主，东京版则以暖色调为主，且在一些栏目边上设置了简单可爱的卡通图像，给读者以更加亲切之感.另外，东京版教材会在几何图形中用不同颜色和样式的记号标记相等的边或角，更为直观清晰的同时，促进学生数形结合思想的培养.

5.2浙教版教材可适当设置更多问题，引导学生思考

数学学习应当在确保一定内容的学习的同时，给予学生充分地思考空间，这亦是数学生生不息之魅力所在.东京版教材在教材中层层设问，引导学生不断思考，主动参与到数学学习中，避免学生仅仅被动接受数学知识.浙教版教材可于整个学习环节中适当添加问题，将思考贯穿于整个学习进程，而非仅着眼于知识引入环节，重视数学思维地发展.

53浙教版教材中数学活动的安排应更为丰富、具体，使其形成体系

新数学学习指导要领特别强调要丰富学生的数学活动，使学生体验到数学活动的快乐，感受到数学的应用价值.东京版教材体现了这一理念，如“三角形和四边形”这一章伊始的剪纸活动，轻松有趣地引入本章内容.还有在一些章节的末尾和卷末设置的以“数学探究”、“生活与数学”、“数学史”、“数学游戏”为主题的丰富的课题学习.这些课题学习具体，可操作，兼顾趣味性和丰富性.浙教版教材亦有做出这方面的努力，设置了“设计题”、“探究活动”等栏目，但总体而言，丰富性和趣味性有待提高，且较为松散.应重视数学活动在教材中的地位，使数学活动形成体系真正融入教材，在教学中切实可行，行之有效.

参考文献

[1]钱佳佳，邵光华.美国CME几何教材的特色分析与启示[J].中国数学教育，2012（6）：39-43.

[2]刘祝杨光伟.新课程理念下中日初中数学新教材中“数学活动”的比较研究――以我国人教版与日本东京版初一数学教材为例[J].中学数学杂志，2013（10）：25-29.

[3]朱先|.特殊三角形[J].数学教学通讯，2002（8）：87-90.

[4]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

三角形的特性篇8

关键词： 数学教学 引导 学生自得

学生对知识的理解是通过思考来实现的。教师导得过多、过细，学生总是在教师铺设好的平坦道路上接受教育，其主体地位就不会真正得到体现。而新课标明确指出“学生是数学学习的主人”，要把传统的“以学科为中心”转移到“以学生为中心”。所以采取引导学生自己去探索，寻求达到目的的方法和手段，不仅有利于思维的唤起，而且有利于知识的牢固掌握，智力的充分发展。也就是说，教师要引导学生而不要牵着学生走，要激励学生而不要推着学生走，要指出解决问题的门径，而不要代替学生作出结论。

在数学教学中，教师可从以下几个方面来引导学生“自得”。

一、揭示解决问题的原理、思想和方法，引导学生“自得”。

数学中的原理、思想和方法是数学学科的核心内容之一。因此，在数学教学中，教师应重视数学中的原理、思想和方法的揭示，并在此基础上引导学生去获取新的知识。下面举例说明。

例：三角形内角和定理的证明

1.创设思维情境。

教师事先布置同学用硬纸作好两到三个形状、大小不同的三角形模型，课上让每个同学将三角形纸片的三个角撕开拼和在一起，看看不同的几个三角形它们的三个内角和有什么共同特点。

2.证明三角形内角和定理。

已知：ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。

（1）揭示解决问题的方法。

要证明∠A+∠B+∠C=180°，只需找出其中一个角的补角，将问题转化为证明这个角的补角等于另两个角的和。例如，延长∠C一边BC到D，∠ACD就是∠ACB的补角。因此，问题的关键是如何去证明一个角等于另两个角的和，即证∠ACD=∠A+∠B。

证明一个角等于另两个角常用的方法有二：

①作出∠ACD与∠A的差角，证明差角等于∠B；

②作出∠A与∠B的和角，证明和角等于∠ACD。

（2）让学生自己根据上述的方法去寻求如何添作辅助线并证明该定理成立。

二、揭示知识间的联系，引导学生“自得”。

数学中的许多概念都有联系，根据这些联系，可以由一个事物的性质推得另一事物的性质；由一种问题的解法推得另一种问题的解法。教师的主要工作就是揭示它们之间的内在联系，最后让学生在寻求、探究的基础上自己去获得。

例：直角三角形的性质

1.揭示直角三角形和等腰三角形的联系。

（1）任何一个直角三角形总可以扩充为一个等腰三角形。

教师：我们已经知道，任何一个等腰三角形总可以分解为两个全等的直角三角形。反过来，任何一个直角三角形也可以扩充为一个等腰三角形（延长它的一条直角边，使延长的部分等于这条直角边）。

（2）任何一个直角三角形总可以分解为两个等腰三角形。

教师：任何一个直角三角形不仅可以扩充为一个等腰三角形，而且可以分解为两个等腰三角形。这是因为，直角三角形的两锐角互余。

如图，直角ABC，∠C=90°，那么∠A+∠B=∠C。

如果以C为顶点CB为边，在∠C内作∠BCD=∠B，

那么，∠DCA=∠A，由等角对等边得，CDB与ADC都是等腰三角形。

2.引导学生自己导出“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”和“直角三角形中，如果有一个锐角为30°，那么30°角所对之边等于斜边的一半”及其逆定理。

（1）教师：我们已经知道任何一个直角三角形总可以分解为两个等腰三角形，请大家考虑一下，这两个等腰三角形的公共边是直角三角形中的什么线段？它与斜边有什么关系？由此可以导出什么定理？（在教师的启发下，让学生自己导出定理）

（2）如果直角三角形中，有一个锐角为30°（如上图），那么BDC是怎样的三角形？由此可以得出BC与AB有什么关系？

如果在直角ABC中，BC=1/2AB（AB为斜边），那么BCD是怎样的三角形？由此可以得到什么性质？（在教师的启发下让学生自己导出定理）

三、通过新旧知识的类比来引导学生获得新知识。

“类比在某些发现中有它最大的作用”。在教学中，对一些可类比的对象采用新旧知识的类比有利于学生发现新的知识。如将有理数的混合运算和小学的四则运算类比，学生学习了新知识后，发现知识是有连续性的，我们以前学习的知识仍然有用，但新的知识已经在此基础上有了较大的提高。

四、通过对原有问题的引申或扩展，引导学生获得新知识。

将问题特殊化或一般化，这是对问题的引申和扩展的两个重要方面。特殊化是从对象的一个给定的集合，转而考虑包含在这个集合内的较小集合；一般化是从对象的一个给定集合考虑包含这个给定集合的更大集合。数学中的许多知识的学习是从一般到特殊后从特殊到一般来进行的。例如，对于平行四边形和特殊平行四边形的学习就是从一般到特殊的学习。对于三角形的度量关系的学习就是从特殊到一般的学习。在学习这些新知识时，教师应引导学生对原有条件增加新的限制以得到特殊对象的性质；或者取消原有条件中的某些限制将问题推广到一般的情形。

五、提供典型、正确并具有启示性的材料，让学生自己去分析、综合、比较、抽象、概括成规律。

数学中的许多规律都是从一些特殊的事例中发现的，然后再经过理论得到证明。在数学教学中，向学生提供典型、正确并具有启示性的材料，有利于他们去发现规律。

比如，我们小时候朗朗上口的儿歌：一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿……学生自然就会往下去想，那如果有很多这样的青蛙，该如何来表示呢？这时老师很自然地引出“字母表示数”的第一节课的相关内容，用字母来表示数学问题当中的一般情况：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿。这样的课堂生动有趣，学生们积极开动脑筋，自主学习，大大提高了学习兴趣。

六、让学生看到教师的思维过程，训练学生的各种综合能力，从而在根本上引导学生走向“自得”。

在当前日常教学活动中，经常会碰到学生请教题目的情况，而教师往往不当堂解答（尤其是一些难题），而是等自己做出来再给学生一个完善的答案。这样虽然讲解起来流畅，但失去了一个训练学生的良好机会。华罗庚曾批评这种现象是“只把饭拿上来，没有做饭的过程”。而我在教学过程中也发现，如果老师直接指导，学生只会做这一题，换了一种说法则不知所云。后来我常常带着学生一起做，一边分析，一边讲解思路，甚至于训练学生一题多解，果然收到了很好的效果。学生对自己解题的自信心也大大加强。

所以，我认为教师应转变思想，让学生知道老师并不是神，解题中也会碰到许多困难，培养学生对学习数学的信心和兴趣，让他们在老师的分析中自己归纳、总结。经过长期训练之后，学生就能学会在学习开始时就分析学习问题的性质、特点，并有针对性地选择适用的策略，也就逐步获得了“自得”的能力。

参考文献：

［1］毛鸿翔.数学教学与学习心理学.辽宁教育出版社.

［2］毛永聪.中学数学创新教法.学苑出版社.

三角形的特性篇9

    比较是认识事物、澄清概念的好办法。在复习中运用比较的方法，可分清概念间的共性

和个性，把握知识 间的联系和区别，加深对概念的运用。如复习“三角形”部分可以这样

进行：

    1.指导学生阅读课本。

    让学生根据学过的知识，通过写、填、画完成教材规定的要求。这个过程是学生自己动

脑动手系统整理和 复习的过程，可以加深对三角形概念的认识。

    2.指导学生对比区别。

    （1）出示下表： 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 特征 三个角都是锐

角 一个角是直角 一个角是钝角

    （2）让学生画出表中的三种图形，提问：

    ①三角形最少有几个角是锐角？

    ②为什么直角三角形中只能有一个直角？钝角三角形只能有一个钝角？

    ③在直角三角形中两锐角与第三个角的关系怎样？

    经过对比，学生明确了3类三角形的区别和特征。 这时学生会提出疑问：“等腰三角形、

等边三角形，为 什么不归纳到锐角三角形中呢？”教师应及时指出：“分类要有确定的标准，

表中的三角形是以角为标准来分 类的，等腰三角形和等边三角形是以边为标准来分类的。”

同时引导学生讨论：“等腰三角形、等边三角形是 不是锐角三角形？”学生根据这两类三角

形的特征很快会弄清等边三角形一定是锐角三角形，而等腰三角形可 以是锐角三角形，也

可以是钝角三角形或直角三角形。

    3.指导学生比较沟通。

    在学生明确了三角形的共性的基础上，为了沟通三角形的底、高与它的面积间的本质联

系，可设计下面一 组练习：

    附图{图}

    说出上图各三角形面积的关系（单位：厘米）

    在这一组练习中，学生感受到：三角形的形状在不断地变化：锐角三角形直角三角形

钝角三角形等 腰三角形，但底和高并没有改变，所以各三角形的面积都相等。通过比

较中的复习，学生会对概念理解更清晰 ，形成比较完整的认知结构。

    二、形成网络

    在复习四边形时，教师可首先给出正方形图形，引导学生观察：如果将正方形的一组对

边延长一段（等长 ），得到什么样的图形？学生会很快地回答是长方形。然后教师又拿出一

个用木条钉的长方形图形，让一个学 生在长方形的对角一拉（让学生注意长方形角度的变

化），得到一个新的图形——平行四边形。经过分析演变 过程，学生清楚地认识到：正方形

属于长方形的范畴，是特殊的长方形，正方形、长方形又都属于平行四边形 的范畴，都是

特殊的平行四边形。接着再让学生实际操作，截开平行四边形的一条对角线，得出两个三角

形。 再让学生观察得出：如果将三角形一腰平移，可得到梯形。

    附图{图}

    在学生系统了解以上平面图形是怎样得出的基础上，引导学生分别分析每个图形的特

点、对称性、计算公 式以及各种图形之间的联系与区别。特别要搞清：平面四边图形中，

平行四边形是原理性知识，正方形、长方 形因为是特殊的平行四边形，所以它们的面积都

可以归结为“底乘以高”；三角形、梯形都是平行四边形的一 半（当梯形的上底为零时，就

是三角形），它们的面积公式都可归结为“底乘以高除以2”。 学生掌握了这一 规律，学习

起来就会觉得轻松，有兴趣，学习能力也会大大提高。

    表格式也是归类梳理形成网络的好办法，下面的4 种表格涵盖了第八册几何初步知识

的主要内容。 名称 直线 射线 线段 垂线 平行线 图形 特征 名称 角 锐角 钝角 直角 平

角 周角 图形 特征 名称 锐角 钝角 直角 等腰 等边

    三角形 三角形 三角形 三角形 三角形 图形 特征 名称 三角形 长方形 正方形 平行

四边形 梯形 图形 面积公式

    把知识表格化、条理化、系统化，便于运用和记忆。

    三、深化提高

    在复习整理中要提高学生综合运用所学几何知识解决问题的能力，培养学生的分析、综

合、判断、推理等 思维能力，在运用中加深对所学概念、公式的理解。

    1.例如：在复习角、三角形内角和等知识时，设计这样的复习题：

    ①三角形的内角和是（ ）度。

    ②∠1是（ ）度。（图一）

    ③等腰三角一底角等于55°，则顶角∠1是（ ）度。 （图二）

    ④图中三角形是等边三角形，那么∠1＝（ ）度。（图三）

    附图{图}

    上面几道题的水平是不同的。第一题，只要记住三角形的内角和是180°就行了，属识

记水平。第二题， 学生只要运用三角形内角和的知识进行简要推理，就可求得∠1的度数。

属于简单运用水平。第三、 四两题不 但要求学生掌握三角形内角和的知识，还要使其掌握

等腰三角形两底角相等、等边三角形三个内角都相等、一 平角为180°等， 属综合应用水

平。

    2.计算下图的周长。（单位：厘米）

    附图{图}

    此题要求学生能把与底6厘米平行的阶梯式的各线段向上移， 把与高6厘米平行的阶

梯各线段向右移，从而 看出这个图的周长与边长6厘米的正方形的周长相等。

    3.求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）

    附图{图}

    解答此题，先要看出这是个什么样的图形。乍一看，它像个平行四边形，但细一分析，

图形的两底分别是 2厘米与3厘米，所以这是个梯形，高为3厘米，阴影部分的面积是（2

＋3）×3÷2＝7.5（平方厘米）。

    4.由于多数组合图形都可以用不同的方法解答，在复习整理过程中要加强一题多解的训

练，培养学生多渠 道、多角度思考问题的能力。求下图的面积。（单位：厘米）

    附图{图}

    解法一：6×3＋（3＋6）×（12－6）÷2＝45（平方厘米）

    解法二：6×（12－6）÷2＋（6＋12）×3÷2＝45（平方厘米）

    解法三：（12－6）×（6－3）÷2＋12×3＝45（平方厘米）

    解法四：12×6－（6＋12）×3÷2＝45（平方厘米）

    总之，几何初步知识的复习，必须以全面提高学生的数学素质为出发点，要依据大纲要

求和学生实际，认 真研究复习内容和方法，充分发挥主导与主体的作用，扎实高效地搞好

三角形的特性篇10

关键词：钣金件 数字化制造 能量法

中图分类号：TG386 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）02（a）-0126-01

从现阶段的发展形势来看，钣金零件已然得到了长足性的运用，例如在汽车以及化工等诸多行业中的运用，同时随着科学技术的发展，制造水平同样也得到了长远的发展和革新，在诸多产品中，带有曲面的钣金件的运用频率将出现的越来越高。除此之外，钣金计算机辅助工艺规划可在正常工作当中强化所有工作人员的工作效率，同时也能提升企业在市场中的竞争力。所以，对钣金件的不断研究和革新具有深远的工程价值和意义。

1 钣金零件特征设计

现阶段，按照钣金件所具有的一些特点，已然提出了若干种不通的几何造型的方式，但是，所有的几何造型存在一个不足之处，也就说，如果对造型的定义出现了误差，那么，对这种误差的更新工作是相当的困难，同时也存在较多的复杂性。所创建的一些零件模型，涵盖的一些信息资源不是相当的完善，尤其表现在对一些工程信息的表达上。如果零件的构造比较复杂，那么，该零件所表现出的造型同样会显得十分的抽象。

2 钣金件的特征描述

我们从钣金零件所具有的一些特点中可以明显的看出，倘若要创建一个模型，而这个模型不但要对钣金件所具有的一些特点进行反映，同时又可在一定程度上符合CAD等系统要求，那么，我们运用特征造型技术可为是一个行之有效的渠道。这种特征技术不仅能为钣金件供给一套相当全面的信息模型，同时也能对现阶段在几何造型方式中所遇到的一些常见问题进行较好的处理和解决。

所谓特征，也就是对信息进行描述的一种集合体，它除了具有一定的特定形状，同时也能对一些工程语义进行较好的表达，在设计以及制造等工艺中可得到较好的运用。完全实现CAD、CAM等系统形成集合体的关键在于钣金件的特征。钣金件自身所具有的一些特征可划分为精度和形状特征等几个方面，其中，在这些特征当中，形状特征表现的尤为关键，形状特征是钣金件的所有特征的基础，同时也为参数化特征造型可实现的重中之重，我们可将形状特征完全的定义成附有工程价值的一个实体。在产品定义中，零件形状及其架构是关键之处，怎样通过形状特征等对某个产品所具有的一些形状和架构进行一定的描述，是特征建模过程中的关键，对所有的钣金件来讲，均能将其通过一定的方式划分成若干种不同的形状特征，我们可以明显的看出，就特征造型而言，通过一系列的特征进而形成一个钣金件，这些特征间通过彼此联系的方式进而又形成一个相当完善的零件。按照钣金件具有的一些特点，我们对钣金件所具有的特点归纳为弯曲特征与平面特征。对平面特征来讲，它是整个零件的一个最为基本的构成部分，属于连接弯曲的一个关键环节。针对弯曲特征，它是通过不同的加工流程进而形成的一种形状，这种特征主要通过弯曲属性以及相应的几何元素等进行反映。

3 对钣金件基于能量法的曲面展开算法

对于一些曲率变化不大的薄壁钣金件，假设零件在成形前后的质量分布均匀，同时我们忽略零件在成形前后的厚度变化，这样零件成形前后的体积不变就可以归纳为零件表面积不变。因此，在本算法中将采用展开前后面积不变这一原则对曲面进行展开。

能量法就是从能量的观点出发，根据功能关系、能量守恒等有关定理、定律和应用含有能量的关系式来分析、计算、检验待求解的问题。基于能量法的曲面展开算法，首先依据面积不变原则将曲面三角网格模型中的三角形逐个展开到二维平面上，展开过程中部分已展三角形会影响后续三角形的展开，导致展开过程中不可避免的出现裂缝和重叠，为了消除裂缝和重叠保证展开结构的完整，我们将三角形的展开分为无约束展开和约束展开。对于约束展开，构建能量模型对展开点进行修正，从而使展开结果更加合理。曲而的三角形个部展开后，以曲而离散点为研究对象，计算各点的变形能，再次对展开后的各点位置进行修正，得到最后的展开结果。

3.1 三角形的无约束展开

利用该算法对曲而进行展开时，同样要先选择展开基点。包含展开基点，且第一个被展开的三角形被称为基三角形。基三角形从空间到二维平面的映射过程中形状不发生任何改变。基三角形展开结束后，围绕基三角形对其他三角形进行逐个展开。

3.2 三角形的约束展开

在某些三角形的展开过程中，两个顶点已经被展开，而第三个顶点已经在其他的三角形中被展开了，称这一类三角形的展开为约束展开。不可展曲面的三角化模型中，在两个三角形中对同一点进行展开时，得到的展开位置会不重合。

3.3 变形能的计算和调整

当外力作用于弹性体时，弹性体发生变形，外力作用点将发生相应的位移，外力在此位移上做功。弹性体在受载荷变形的过程中积蓄了一定的变形能，且该变形能来源于外力所做的功，在结构体弹性变形过程中，如果忽略功能转换过程中的微量损失，由能量守恒定律可知外力所做的功等于弹性体的变形能。在工程实际中，被展曲面是由某一材料组成的，具有材料的物理属性，将曲面假设为一能量模型，曲面上的离散边假设为沿曲面分布的弹性杆件，这些杆件在展开为平面后，杆的长度改变，发生了一定的变形，因此可以将曲面展开理解为在外力的作用下将曲面压平，在此过程中假设弹性体每一个瞬间都处于平衡状态，如果忽略功能转换过程中的微量损失，外力所做功就等于曲面的变形能，在此仅考虑杆的正应变，忽略切应变。

4 结语

通过以上方式进而创建的特征零件模型具有集成性、表达信息的复杂性以及对信息进行描述的多元化性。特征造型系统在一定程度上供给了一个具有相当完善的集信息、知识为一体的产品模型，进而为多种系统的集成如CAD等创造了有利的环境。相对几何造型软件来讲，特征建模在某种意义上为其创造了一条便于对设计人员的思想进行表达的途径，进而在很大程度上使得设计人员基于工程术语对钣金件进行直接性描述和表达的束缚性。

参考文献