三角形三边关系十篇

三角形三边关系篇1

出示例三主题图，师提问：观察路线图从小明家到学校一共有几条路线？生：3条

师：3条路线中哪条最短呢？生：中间的最短 师：这是什么原因呢？ 生：中间的是线段可以直接到达学校其余两条绕弯了……  师动画演示三条线比较

师小结：我们可以把小明家和学校看成两个端点，那么中间这条路线就是一条线段，两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。

二、问题导入，引发冲突

师：同学们，你们看蓝色路线和红色的路线构成了什么图形？生：三角形

师：是呀，我们对三角形已经有了一定的了解。要想围成一个三角形，至少需要几条线段？

生：3条。

师：如果给你6条线段，你能围成几个独立的三角形呢？

生：2个。

师：好，老师就给你6条线段（课件6条线段20cm 10cm 8cm 6cm 4cm 4cm），用它们进行围三角形的比赛，用这6条线段围成两个独立的三角形（课件出示要求），围的时候要注意：（1）不能改变线段的长度；（2）每条线段只能用一次；（3）操作要规范，顶点要对齐。开始！

师：围成了几个独立的三角形？

生：1个。

师：有围成两个的吗？

生：没有。

师：那在围的时候，遇到了什么问题？

生1：有的三条线段围不起来。

师：这个发现非常重要。

生2：有一条20厘米的线段很长，其他那两条合在一起都没有20厘米的线段长，所以围不成三角形。

师：这位同学还对围不成的原因进行了简单的分析，真爱思考！

师：看来，我们要围成一个三角形不仅仅需要三条线段，还要考虑这三条线段的长度。这节课，我们就来研究三角形三边长度之间的关系。（板书课题）

［设计意图：“不愤不悱，不启不发”，有认知上的冲突，才能引起学生对新知识学习的渴求。导入的设计，让学生从动手实践开始，对自己旧的认知——只要三条线段就能围成三角形，产生冲突，从而引发对新知识的学习兴趣和欲望。］

三、积累数据，初步发现

师：请同学们齐读课题。接下来我们就来研究研究：三条线段围不成三角形的原因是什么？围成三角形的三边之间又有怎样的关系？我们继续用这6条线段来研究。请各小组交流各自围成三角形的数据和不能围成的数据，选一名组长把每名组员数据和结果都记录下来，填在表格内，其他组员注意倾听是否有重复的数据，如果有只记录一次。然后，结合实验数据，算一算、想一想，并把你的发现和想法写下来。

师：老师看到大家研究得很热烈，哪些同学发现了围不成三角形的原因？哪些同学发现了三角形的三边关系？

师：老师真为大家感到骄傲。在刚才的合作交流中，同学们就表现出了很强的合作能力，还有许多的发现。

师：下面就先来说说围不成的原因。哪个组先来汇报？请这组同学带着学具到前面来，边围边说说你们发现的围不成三角形的原因。

生：我手中20厘米这条线段是最长的，第二长和第三长的两条线段加起来都没有20厘米的这条线段长，所以围不成。（板书数据）

师：给大家围一围，比一比看看好吗？

师：这组同学，能够把两边合在一起，跟第三边去比较，发现了三条边之间的关系，也找到了围不成三角形的原因，真会思考！老师还请同学们注意，我们是用三条线段来围三角形，只有围成了三角形，我们才能把它们称之为边。

师：哪些小组和他们的发现相同？也来说说围不成的原因。

生：我发现的围不成的原因就是因为两条线段合起来还没有另一条长，所以围不成。

师：你能不能借助手中数据，列成式子来表示？

生：6+8<20。

师：虽然他们的数据不同，但都发现了围不成的原因。其他同学也发现了吗？谁来概括地说说：三条线段围不成三角形的原因是什么？

生：因为那两条线段合起来都比第三条短，所以围不成。（板书：两边和小于第三边。）

师：我们找到了围不成三角形的一种情况。在刚才的操作中，还发现在什么情况下也围不成三角形吗？

生：我用10，6和4也围不成。

师：还有同学也尝试这组数据吗？有围成的吗？都认为围不成是吗？好，谁来到前边边围边说说围不成的原因？

生：我们看到4和6合在一起等于10厘米，向下围，就变成了两条直线。

师：是两条线段。老师也表扬你说得很清楚。其他同学同意吗？还有没有尝试这组数据的同学，我们结合学过的知识一起思考：想一想，如果两条线段合在一起，跟第三条一样长，会出现什么情况，为什么围不成三角形？

生：如果两条线段合在一起跟第三条线段一样长，那么向上一点点，就围不成了，挨不上，不能形成三角形的顶点。

师：其他同学同意吗？同学们刚才通过想象和思考发现了围不成的原因，让我们一起来看电脑精准的演示。从中你得出了什么结论？

生：如果两条线段的和等于第三条，也围不成三角形。（板书：相等。）

师：通过我们刚才的研究，发现都在什么情况下，三条线段就围不成三角形？

生：如果两边的和小于或者等于第三条边，就围不成三角形。

师：结合刚才小组内的探究，再来说说，围成三角形的三边有怎样的关系？

生：如果两条线段合起来比第三条长，就能围成了。

师：到前面来，边围边说，请你先说说数据（板书数据：4厘米、8厘米、6厘米），然后再说你的发现。

师：同意吗？老师看到，大家用不同数据也围成了不同的三角形，发现了三边关系。谁愿意拿着记录单，说说你的不同数据？（板书数据）

生：我们用了10厘米、8厘米、6厘米，还用了10厘米、8厘米、4厘米，不论用哪组，只要两条线段的和大于第三条边，就可以围成三角形。

师：由此，我们又得到了什么结论？

生：两边和大于第三边。（板书：大于）

师：综合之前的研究，谁能概括地说说，围不成三角形的原因是什么？三角形三边之间又有怎样的关系？

生：围不成三角形的三边关系是，两边之和小于或者等于第三边；围成三角形的三边关系是，两边之和大于第三边。

［设计意图：动手实践是学生认识世界，了解数学知识，经历形成过程的重要手段。课程标准中也强调让学生经历“数学化”的过程。在学生同桌合作、小组合作之后，让他们自主发现围成三角形和围不成三角形的线段分别有怎样的关系，进而总结规律，学生的体会深刻而具体。］

三、深入探究，完善结论

师：只要两边和大于第三边就能围成三角形，都同意吗？有不同意见吗？我有一个问题：我们已经知道这些是围不成三角形的数据，以其中任意一组为例，我也能找到两边和大于第三边的情况啊，看20+4大于6，可它却围不成三角形。说明我们的发现不够准确，换句话说不够严密。再到围成的数据当中，也任选一组，看看两边和大于第三边又是怎样的情况，对比着思考，又有怎样的发现？先想一想，再到小组里去说一说。

生：我发现，应该是任意两边之和大于第三边才行。围不成的数据里，有两组大于，一组小于的情况；而围成的数据里，三组都是大于，所以，应该是任意两边的和大于第三边。

师：其他同学同意吗？也就是说，在三角形中，必须是任意两边之和大于第三边。

（板书：任意）

师：同学们，你们通过动手实践、动脑思考，发现了三角形三边的关系，那就是……（齐读）这是学习了稳定性之后发现的三角形的又一个特性。学习到这里，我想大家对刚才自己的研究过程及结论，可能有需要调整的地方，请你把它修改和完善。

［设计意图：“任意”一词对于学生来说，运用到数学结论当中是有一定难度的。因此，教师通过引导，启发学生发现规律的不严谨，然后通过对比，补充“任意”。让学生自己去发现的同时，也渗透了“一个反例就可以发现规律的不严密”及“对比观察”的数学思想。］

师：请这组同学来说说他们的修改情况。

生：我们组对结论进行了修改。

师：我们再回到课前小明上学路线图，你能用惊天学过的知识说说为什么中间的路线最短？生：三角形的任意两边之和大于第三边

师：下面我们就运用今天的知识进行练习。

［设计意图：让学生自己对结论等进行修改，就是一个自我反馈的过程。通过进一步思考、判断，学生对所学知识进行了深入、扎实的学习。同时，让学生养成良好的自我评价的习惯，也是为今后的学习打下良好的基础。］

四、练习巩固，拓展延伸

1．师：首先，进行准确的判断。（课件出示判断题）

2．给你一条2厘米的线段，一条5厘米的线段，根据我们学习的知识，想一想要想围成一个三角形，第三条线段可以是多长？

3．师：接下来，运用今天的知识，来解释生活中的一些现象。

师：认识他吗？对，他就是被称为亚洲小巨人的篮球明星——姚明。姚明身高腿长，他的腿长约1.2米，有人说，姚明一步就能迈三米，你觉得这种说法可信吗？能不能用今天的数学知识来解释一下呢？

4．师：这是小明从家到学校的路线图，有几条路可以走？哪条路最近？能用今天的数学知识来说说为什么吗？

师小结：看来这真是一条便捷路线。可是在生活中，不是所有的捷径都能走的。比如有的人为了近，就斜穿草坪甚至斜穿马路，都是不允许的。不过，在规定允许的范围内，我们就可以选择便捷的路线。看，这是我国首个对角斑马线。（示屏）在红绿灯的正确指引下，人们就可以斜穿马路，大大方便了行人。这种斑马线的设计者是杭州的一位交警叔叔。在记者采访时，他说，这种斑马线的设计灵感就来自于数学中三角形三边关系（齐读）。希望大家也能像这位交警叔叔一样，用数学的眼光去观察生活，用数学知识去解决生活中更多的问题。相信大家经过不断的积累、总结，在数学方面一定能有更多的收获，体会到更多的快乐！

板书：

                 三角形边的关系

不能                                     能

20 10 8   10+8<20                       10 8 68+6>10

10 4 4    4+4<10 4="" 8="" 10="">10

10 6 4    6+4=10                         8 4 6          4+6>8

三角形三边关系篇2

人教版义务教育课程标准实验教科书数学四年级下册P82页。

【设计理念】

新课程强调数学课堂教学应关注学生经历和获取知识的过程，再现数学知识的生活原型。使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。因此，教学中要力争从学生熟知的生活实际出发，通过相互合作、动手操作等多样的教学模式，加强数学与生活的联系，使学生经历数学知识形成的过程。应用所学知识解决生活中的实际问题，从而让学生深切感知数学源于生活并用于生活，培养学生的数学情感。

【教学目标】

1.探究三角形三边的关系，知道三角形任意两条边的和大于第三边。

2.根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高运用数学知识解决实际问题的能力；提高观察、思考、抽象概括能力和动手操作能力。

3.积极参与探究活动，在活动中获得成功的体验，产生学习的兴趣。

【教学重、难点】：探索发现三角形三条边之间的关系。

教具、学具准备：多媒体课件，彩棒若干根，铁丝，实验报告单

【教学环节】

一、创景引知

前面我们已经认识了三角形，知道三角形是由三条线段首尾相连围成的封闭图形，今天，老师想让同学们利用你们桌上的木条亲手搭建一个个的三角形，要求是每个三角形只能用三根木条，你们想不想试一试？

学生：想！

师：下面请同学们分小组开始活动。

（学生分小组活动）

2.学生动手实践，教师巡视将不同方法展示于大屏幕。

3.交流。

师：咦！同样是三根小棒，为什么有些能围成三角形，有些却不能呢？看来三角形的这三条边一定有某种特殊的关系，我们今天就来当一回小数学家去探索和发现三角形三边的关系。（板书）

【设计意图：三角形三边的关系是一个重点也是一个难点，在教学时为了降低学生学习的难度，首先先让学生用小棒拼三角形，通过动手操作，充分激发学生的学习兴趣的同时，使学生初步感知拼成三角形与拼不成三角形三边的情况。】

2.实验2：探究三根小棒在什么情况下摆不成三角形。

师：在每个同学的手中都有3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的四根小棒，请同学们任意选择其中的三根看能否拼成三角形，并填写在记录单上。

（学生操作并填写记录单）

师：认真观察我们填写的记录单，谁能总结一下，什么情况下能拼成一个三角形，什么情况下不能。（引导学生用大于号，小于号和等于号表示）

师：大家都同意当两条边的和大于第三边时能围成三角形吗？老师手中有2。5。1的小棒，看看能不能围成三角形？

生：不能！因为2+12

师：看来只是其中两条边大于第三边还不行，得是任意两边的和都大于第三边才行。（板书任意）

师：是不是所有三角形都是这样能，请同学们在练习本上随意画一个三角形来量一量三条边的长度，看是不是三角形任意两边之和大于第三边。谁能说说你是怎样理解任意这个词的。

师小结：其实，要看三条边是否能拼成三角形，只要将其中的两条最短边相加就可以了。

【设计意图：新课程倡导“自主探究”式学习，倡导在“触摸”中学习数学，带着自己的疑惑进行猜想、假设、预测、搜集数据、操作，证明并在此基础上去感悟知识，主动获取知识。激发学生的学习兴趣，提高学生学习内驱力。】

二、学以致用，解决问题

（一）基本练习

根据上面得出的方法，判断下面几组线段能否摆成三角形。

（1）6厘米、7厘米、8厘米 （2）4厘米、5厘米、9厘米

（3）3厘米、3厘米、3厘米 （4）2厘米、2厘米、6厘米

（二）应用练习

1.学校为同学们营造了舒适的学习环境，修建了一片一片草坪，草坪上写着“红花绿草，请勿打扰”但草坪还是被人们踩出了一条小路，这是为什么呢？能不能用本节课所学知识解释这一生活现象呢？

（师小结：在我们的生活中像这样的捷径有很多，可并不是所有的捷径都可以走。像今天这道题一样，如果在选择路线时破坏了花草，那么这样的路线我们就不应该选择。）

2.（课件出示）小猴子盖新房，他准备了2根3米长的木料做房顶，还要一根木料做横梁，请你们帮他想一想，这根横梁可能是多长呢？

【设计意图：为了让学生体会数学的应用价值，感受到数学就在我们身边，在掌握了三角形的三边关系的基础上，让学生走进生活，运用刚学到的数学知识解决生活中的简单问题。同时，对学生进行环境保护教育。】

（三）拓展练习

15根等长的火柴棒围成的三角形中，最长边最多可以由几根火柴棒组成？

【设计意图：在基本练习与应用练习之后设计了一道拓展练习，这样既保证了全体学生的共同发展，又促进了个性的发展。】

三角形三边关系篇3

设计理念：

1、根据四年级学生的认知规律，先给学生创设情景，引起悬念，激发学生学习数学的兴趣，让学生通过多媒体课件，直观感觉三角形三边的关系，同时让学生感受数学在生活中的应用。

2、通过小组合作（观察、计算、比较），在学生充分感知的基础上，引导学生初步归纳出三角形三边的关系，培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也突破了教学重难点。

教学目标：

知识和能力目标：

通过摆一摆等操作活动，探索并发现“三角形任意两边的和大于第三边”，培养学生观察、动手操作、对比分析、归纳概括能力和逻辑思维能力。

过程与方法：

通过实践操作、猜想验证、合作探究，经历发现“三角形任意两边的和大于第三边”这一性质的活动过程。

情感态度与价值观：

培养学生的合作意识和探究精神。体验做数学的成功和学数学的乐趣。

教学重点：

1.引导发现不能摆成三角形原因，并讨论能摆成三角形的边的性质。

2.理解、掌握“三角形任意两边的和大于第三边”的性质

教学难点：

引导探索三角形边的关系，并发现“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。

【教法、学法及教学过程】

课题：三角形边的关系

教法：引导 创设情景 讨论

学法:讨论,从操作中体验

教具：不同长度的小棒、多媒体课件

教学过程：

（1）导课。

上一节我们学习了三角形三个内角之间的关系，这节我们来学习三角形三边之间的关系（板书：三角形边的关系）

（2）设疑。

三角形是一个由三条线段围成的封闭图形，大家想一想：如果给你们三根小棒当作三条线段，一定能摆成一个三角形吗？（学生回答）要想知道谁的猜想是正确的，我们摆摆看。

（3）实践操作。老师这儿有很多的小竹棒，现在我发给你们，看你们能不能摆成三角形。（教师发小竹棒，并让学生自由组合小组，然后组织学生摆）

（过渡）教师问：能不能摆成？（学生回答），

（4）填表。(表见附表1)

老师再给你们发张表请你们填写能还是不能，（教师发给每小组一张表，指导学生在第一栏填写能或不能）再看表格的第二栏，是让你填写你手中小棒的长度。老师发给你们的小棒都标了长度单位是分米，在后面三格里请你们填写你拿到的三根小棒的长度。

现在我们再来比较三根小棒的关系，请你任意拿出两根小棒把它俩的长度相加，填写到“任意两根小棒相加”这一栏里，再把剩下的一根的长度填写到相应的括号里。（多媒体课件展示）例如你拿到的是3、4、5这组小棒，现在取出了3和4，剩下的一根就是5，把3、4分别填写到前面的括号里，再把5填写到“剩下的一根小棒的长度”这一栏里，你可以取出3、5，剩下的就是4，你还可以取出4、5，剩下的就是3。现在开始填（教师巡视并指导）。

（学生填完后）现在你把前面填的两根小棒相加的长度和剩下的一根小棒的长度进比较大小，在中间一栏的里填上大于小于或等于。

（5）整理表格。（等学生填完后教师播放幻灯片出现，一个大表格）请看大屏幕，看我的表格和你的表格有什么不同，现在把你们的三个小棒变成我表中三条边，任意的两根小棒相加的长度就是任意的两条边的长度，剩下的一根小棒的长度就是第三边的长度（教师叫几位同学说他们组填写的数据，同时整理到这个大表格中）。

（6）通过比较得结论。现在进行比较，看能够摆成的三角形任意两边与第三边有什么关系，（学生回答大于）不能摆成三角形的任意两条边和第三边有什么关系，（教师展示三种教具，引导学生回答其中有两条边的长度等于或小于第三边），只要其中两条边长度的和小于或等于第三边的长度，都不能摆成三角形，只有当每两条长度的和大于第三边，才能摆成三角形，因此我们得出了这样一个结论，三角形任意两边的和大于第三边（板书）（让学生齐读，教师强调任意）

（7）验证结论。是不是所有三角形的任意两边的和大于第三边呢？（教师在黑板上画一个三角形，标出长度，叫一位学生进行验证。）

（8）小结。

（9）练习。已经知道了所有三角形的任意两边的和大于第三边，我们就能用它去判断三条小棒能不能摆成三角形（过渡），打开课本做练一练第一题（多媒体课件），做完后叫三位学生回答为什么能摆成？为什么摆不成？

（10）布置作业（练习册三角形边的关系）

板书设计

三角形三边关系篇4

斜边是短边的2倍，即2:1，第三边√3，即三边的比是：1:√3:2。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，这是初中阶段比较重要的一个性质，“30度所对的边是斜边的一半”这个性质就是根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”证出来的！

（来源：文章屋网 http://www.wzu.com）

三角形三边关系篇5

宋代历史学家司马光小时候砸缸救小伙伴的故事给我们启示：在证明时，如果不能顺利地从条件推出结论，不妨倒过来想.这种“让水离开人”、“执果索因”的推理方法称为分析法，而“让人离开水”，即在证明时顺利地从条件推出结论，这种“由因导果”的推理方法称为综合法.“分析法”和“综合法”是我们常用的数学思维方法.

反证法是一种特殊的证明方法.在证明时，不是直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出矛盾的结果，从而证明命题的结论成立，这种方法叫反证法.

运用反证法证明问题时，结论的反面要找得准确、全面，证明的每一步要有依据，直到推出与“定义、定理、基本事实、已知条件”等相矛盾.

2. 等腰三角形

（1） 等腰三角形的主要性质有：等边对等角；等腰三角形的三线合一性；等边三角形的每个内角都等于60°；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；等等.应用性质可以简捷地证明三角形中的线段或角的相等、线段的垂直等.

（2） 判定一个三角形是等腰三角形，除了利用定义外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角对等边.等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，这时60°的角是顶角还是底角都无妨.

（3） 关注“分类讨论”的数学思想方法.因为等腰三角形中有两边相等，有两角相等，所以当“边”或“角”元素不确定时，就需要分类讨论.

3. 直角三角形

直角三角形是一种特殊的三角形，因此学习时要特别注意对其特殊性质的理解和应用.如“直角三角形的两个锐角互余”是一般三角形所不具备的；“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，这个性质反映出任何一个直角三角形斜边上的中线把它分成两个等腰三角形，因此，学习直角三角形时必须与等腰三角形紧密结合；“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，不是任何直角三角形所具有的.

直角三角形与等腰三角形的密切关系还表现在：以任意直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，得到的轴对称图形，一定是一个等腰三角形.同时任意等腰三角形的底边上的高，一定分它为两个全等的直角三角形.这种关系使我们能更好地理解和掌握“斜边直角边定理”.

4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形

这些图形的概念重叠交错，容易混淆，常常出现“张冠李戴”的现象，所以它们之间的联系和区别是本章学习的难点.分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服难点的关键.它们之间的联系与区别可通过下图表示：

5. 在“等腰梯形的性质定理和判定定理”探究中运用的数学方法

等腰梯形的性质和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四边形基础上的，所以可通过添加辅助线的方式将等腰梯形转化为等腰三角形和平行四边形，常见辅助线如下：

通过“转化”，我们得到了等腰梯形的性质定理：等腰梯形同一底上的两底角相等；等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

6. 三角形的中位线定理

三角形中位线定理包含两个内容：（1） 三角形的中位线平行于第三边；（2） 三角形的中位线等于第三边的一半.前者是两条线段所在直线的位置关系，后者是线段与线段之间的数量关系，因此定理的作用也就不言而喻了.

三角形三边关系篇6

1、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

2、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

3、圆中的动点问题:动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

4、直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

图形运动与函数图象问题常见的三种类型：

1、线段与多边形的运动图形问题:把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

2、多边形与多边形的运动图形问题:把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

3、多边形与圆的运动图形问题:把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

动点问题常见的四种类型：

1、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。

2、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它们的边或角的关系。

三角形三边关系篇7

教学目标：

1. 知识与技能

（1） 让学生理解“三角形任意两边之和大于第三边”的原理。

（2）能运用“三角形任意两边之和大于第三边”的性质解决实际问题。

2.过程与方法

让学生经历实践操作、猜测验证、合作探究的活动过程，探索发现三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，提高学生观察、思考、归纳、概括的能力和动手操作能力。渗透数形结合思想、符号化思想、极限思想等数学思想方法。

3.情感态度与价值观

让学生在探究活动中获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：探索发现三角形任意两边的和大于第三边。

教学难点：能应用发现的结论，来判断指定长度的三条线段能否围成三角形，并能解释生活中的一些现象。

教学准备：直尺、小棒、统计表、课件、实物投影等。

教学过程：

一、创设情境，从生活中感知三角形三边的关系

，

师：如果老师要从A村到B村，有几种走法？

生1：有两种走法，第一种是从A村直接走到B村，第二种是从A村到C村，再到B村。

师：如果让你选择路线，你会怎么走？

生1：直接从A村到B村。

师：为什么？

生1：因为直接从A村到B村这条路比较近。

师：接下来，我们给出数据。

师：谁能用数据来说明。

生2：因为3+4>6，所以直接从A村到B村比较近。

师：如果老师要从B村到C村呢？

生3：因为4+6>3，所以直接从B村到C村比较近。

师：如果老师要从C村回到A村呢？

是不是任意三条边都能围成三角形？

生5：能。

生6：不能。

师：同学们猜想一下以下三条线段是否能围成三角形？

生7：能。

生8：不能。

师：让我们来验证一下。显然不能围成三角形。

再来比较a、b、c三条边的关系：

师：猜一猜，怎样的三条线段能围成一个三角形？

生：……

师：倒底什么样的三条线段能围成三角形，我也不知道，还是请同学们自己探究吧！

[设计意图：从儿童的生活经验出发，让学生初步感知三角形两边之和大于第三边。a、b、c三条边不能围成三角形，为提出大问题作了铺垫：到底什么样的三条边才能围成三角形呢？同时在教学过程中，渗透了数形结合思想和符号化思想。]

二、实践操作，合作探究

提出大问题：倒底怎样的三条线段才能围成三角形？

1.以六人小组为单位进行合作探究，每个小组有4根小棒、一把尺子、一张表格，4根小棒的长度分别是3cm、5cm、7cm、10cm，或是3cm、7cm、7cm、10cm，或是5cm、5cm、5cm、12cm。

2.请学生分工合作，量一量小棒的长度，任选三根小棒摆一摆，看是否能摆成一个三角形，再比一比三条线段的关系，并完成下表：

小组讨论：什么样的三条线段能围成三角形？

[设计意图：提出大问题“到底怎样的三条线段才能围成三角形？”并给学生足够的时间和空间，进行开放式教学。让学生经历量一量、摆一摆、比一比、想一想，通过动手实践、自主探究、合作交流进一步感知三角形边的关系，但此时学生还停留在感性认识阶段，还未达到理性认识的高度，需要进一步探究。]

三、呈现成果，完善结论

1.指定5个小组将探究发现的结论，填入黑板上的表格中：

2.组织第1、2、3、4、5小组的学生与其他小组的学生进行对话，，尤其是对3cm、7cm、10cm三根小棒能否围成一个三角形进行重点对话；第2、3小组的能围三角形的三边的关系式为什么只写了两个或一个？如果补充完整又会怎样？

3.组织各小组学生讨论：三角形的三条边有怎样的关系？并请各小组学生将发现的规律填入下表：

三角形边的关系

再次组织学生通过对话完善结论：三角形任意两边的和大于第三边。

[设计意图：通过分类呈现结果，让学生经历讨论、对话，逐步完善结论，完成从感性认识到理性认识的飞跃。用字母表示三角形边的关系，渗透了符号化的数学思想。]

四、应用结论，解决问题

师：同学们想一想，有没有更快捷的办法判定任意三条线段能否围成三角形？以小组形式展开讨论。

生9：只要两条较小边的和大于最长的一条边，就能围成三角形，两条较小边的和等于或小于最长的一条边，就不能围成三角形。

师：判断以下三组小棒能否围成三角形，并说说为什么？

（1）5cm、6cm、10cm；

（2）1cm、2cm、3cm；

（3）3cm、9cm、5cm。

生10：因为5+6>10，所以5cm、6cm、10cm这三根小棒能围成三角形。

生11：因为1+2=3，所以1cm、2cm、3cm这三根小棒不能围成三角形。

生12：因为3+5

师：如果将第（3）小题改成acm、9cm、5cm，要使acm、9cm、5cm三条线段能围三角形，那么a应该在什么范围内取值？以小组方式进行讨论。

生13：4

师：请用今天所学习的知识，解释本课的情境问题，为什么从A村到B村走直线段比较近？

[设计意图：让学生进一步学会应用规律解决实际问题，将复杂的问题简单化，同时进行变换练习，让学生进行开放式练习，渗透了极限思想，同时再用本节课学的知识，解释从A村到B村走直线段比较近，达到的首尾呼应的效果。]

五、提出问题，深入探究

师：三角形任意两边的和大于第三边，那么三角形任意两边的差与第三边比较，又有怎样的关系呢？请同学们带着这个问题课后继续探究。

[设计意图：让数学教学既有厚度又有宽度，培养学生的数学探究能力和兴趣，培养学生精益求精的科学精神。]

教学反思：传统的教学采取“满堂问、满堂灌”的方式进行教学，学生缺乏自主探索的时间与空间，学生的学习缺乏自主性，学生的思维缺乏完整性。因此，我们采用“大问题教学”、开放式教学的模式，提供更多的时间和更大的空间让学生去探索与发现，让学生经历量一量、摆一摆、比一比、想一想，通过动手实践、自主探究、合作交流进一步感知三角形边的关系，再通过讨论、对话让感性认识上升到理性认识，总结出“三角形边的关系”。最后根据三角形边的关系原理解决实际问题。

本节课的设计主要有以下几个亮点：

1.采用“大问题教学”模式进行教学。本节课提出了三个“大问题”：什么样的三条线段能围成一个三角形？三角形的三条边有怎样的关系？如何应用三角形边的关系原理，采用更快捷的方法判定任意三条线段是否能围成三角形？

2.采用对话式教学。打破了传统的“满堂问、满堂灌”的教学方式，把对话引入课堂，以聊天的方式开展教学，让思维的呈现更为完整。

3.采用开放式教学。一是问题设计的开放性，二是习题设计的开放性。

三角形三边关系篇8

一、 什么叫解直角三角形？直角三角形中的边角关系有哪些？

由直角三角形中的除直角外的两个已知元素，求出所有的未知元素的过程，叫做解直角三角形．弄清以下几个问题：

1. 如图1，在RtABC中，有几个元素？

2. 如图1，RtABC中（∠C=90°），除直角外，其余5个元素之间有什么关系？

（1） 三边关系是什么？你是如何得到的？

（2） 锐角之间的关系是什么？你是如何得到的？

（3） 边角之间的关系是什么？你是如何得到的？

例1（2011年山东日照中考题）如图1，在RtABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（）

A. tanA•cotA=1 B. sinA=tanA•cosA

C. cosA=cotA•sinA D. tan2A+cot2A=1

点拨将直角三角形的边角关系sinA=，cosA=，tanA=，cotA=代入选项中验证一下，不难找出正确答案.

二、 解直角三角形要满足的条件是什么？如何解直角三角形？

如图2，RtABC中（∠C=90°），除直角外，如果知道其中的两个元素，你能求出其余的3三个元素吗？为什么？

点拨从直角三角形中边角关系可以看出，解直角三角形要知道其中的两个元素（直角除外），这两个元素中至少一个是边，为什么?

（1） 如果两个元素都是边，我们可以根据勾股定理a2+b2=c2，求出第三边，再由边角关系确定两个角.

（2） 如果知道一边和一锐角求另外两边及另外一个锐角，可以先由两锐角之间的关系（∠A+∠B=90°）求出另一个锐角，再通过边角关系或勾股定理求出另外两条边.

（3） 如果只知道两个锐角，你能求出它的三边的长吗？很显然，可以画出无数个满足条件的且大小不同而形状相同的直角三角形，例如上面的图1、图2（形状相同，大小不同）就是一个例子.

例2（2011年江苏省常州市中考题）如图3，在RtABC中，∠ACB=90°，CDAB，垂足为D.若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（）

A. B. C. D.

点拨则sin∠ACD的值，就是求sin∠A的值.另外，请同学们试一试，如何解RtACB、RtADC、 RtBDC.

三、 如何将实际问题转化为直角三角形问题？

中考中有很多问题是考查考生如何将生活中的实际问题转化解直角三角形问题，下面通过两个例题来感受一下“如何转化”.

例3（2011南京市中考题）如图4，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

点拨这是一个将实际问题转化为解直角三角形问题的题目.要求电视塔的高度h，在RtBAC或RtDCE或RtBAD中，都不能直角解决.如果已知条件转移到RtDCE中，又会怎样？请同学们试试看.

参考答案电视塔的高度约120米

例4（2011黄冈市中考题）如图5，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1∶（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）.且AB=20m.身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°.已知地面CB宽30m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，≈1.732）.

三角形三边关系篇9

一、选择题（每小题3分，共36分）1．在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( )A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【考点】三角形三边关系． 【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个 在范围内即可．【解答】解：设第三边为c，则9+4＞c＞9﹣4，即13＞c＞5．只有9符合要求．故选C．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于( )A．12 B．15 C．12或15 D．15或18【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】分类讨论．【分析】从已知结合等腰三角形的性质进行思考，分腰为3，腰为6两种情况分析，舍去不能构成三角形的情况．【解答】解：分两种情况讨论，当三边为3，3，6时 不能构成三角形，舍去；当三边为3，6，6时，周长为15．故选B．【点评】题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃，那么最省事方法是( ) A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【考点】全等三角形的应用． 【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．4．在ABC和A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后，仍不一定能保证ABC≌A′B′C′，这个补充条件是( )A．BC=B′C′ B．∠A=∠A′ C．AC=A′C′ D．∠C=∠C′【考点】全等三角形的判定． 【分析】全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证．【解答】解：A中两边夹一角，满足条件；B中两角夹一边，也可证全等；C中∠B并不是两条边的夹角，C不对；D中两角及其中一角的对边对应相等，所以D也正确，故答案选C．【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系．5．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是( )A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形定义可知：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选A．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在( )两点上的木条． A．A、F B．C、E C．C、A D．E、F【考点】三角形的稳定性． 【分析】根据三角形具有稳定性选择不能构成三角形的即可．【解答】解：A、A、F与D能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；B、C、E与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；C、C、A与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；D、E、F不能与A、B、C、D中的任意点构成三角形，不能固定形状，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了三角形的稳定性，观察图形并熟记三角形的定义是解题的关键．7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD=35°，则∠MAB的度数是( ) A．35° B．45° C．55° D．65°【考点】角平分线的性质． 【分析】过点M作MNAD于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得MC=MN，然后求出MB=MN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AM是∠BAD的平分线，然后求出∠AMB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【解答】解：如图，过点M作MNAD于N，∠C=90°，DM平分∠ADC，MC=MN，∠CMD=∠NMD，M是BC的中点，MB=MC，MB=MN，又∠B=90°，AM是∠BAD的平分线，∠AMB=∠AMN，∠CMD=35°，∠AMB= （180°﹣35°×2）=55°，∠MAB=90°﹣∠AMB=90°﹣55°=35°．故选A． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．8．如图，ABC≌AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【解答】解：ABC≌AEF，AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．9．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ) A．75° B．90° C．105° D．120°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【专题】探究型．【分析】先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．【解答】解：图中是一副直角三角板，∠BAE=45°，∠E=30°，∠AFE=180°﹣∠BAE﹣∠E=105°，∠α=105°．故选C． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．10．有一个多边形，它的内角和恰好等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是( )A．7 B．6 C．5 D．4【考点】多边形内角与外角． 【分析】n边形的内角和 可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得：（n﹣2）•180°=2×360°，解得n=6．故选B．【点评 】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．11．在ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是( ) A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质． 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明ABD≌ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在ABD和ECD中， ，ABD≌ECD（SAS），CE=AB．在ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，1＜AD＜7．故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．12．如图，由4个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点，则田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有( ) A．1个 B．3个 C．2个 D．4个【考点】利用轴对称设计图案． 【分析】根据轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：符合题意的有3个三角形．故选：B． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）13．在ABC中，∠A=60°，∠C=2∠B，则∠C=80度．【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得．【解答】解：∠A=60°，∠B+∠C=120°，∠C=2∠B，∠C=80°．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．14． 如图，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了1200m． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的外角和为360°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，他需要转动360°，即可求出答案．【解答】解：360÷30=12，他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×100=1200米．故答案为：1200米．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．15．如图，将ABC沿射线AC平移得到DEF，若AF=17，DC=7，则AD=5． 【考点】平移的性质． 【分析】根据平移的性质得出AD=CF，再利用AF=17，DC=7，即可求出AD的长．【解答】解：将ABC沿射线AC平移得到DEF，AF=17，DC=7，AD=CF，AF﹣CD=AD+CF，17﹣7=2AD，AD=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出AD=CF，以及AF﹣CD=AD+CF是解决问题的关键．16．如图，在ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=66.5°． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠CAE+∠ACE，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠CAE+∠ACE= （∠B+ ∠ACB）+ （∠B+∠BAC），= （∠BAC+∠B+∠ACB+∠B），= （180°+47°），=113.5°，在ACE中，∠AEC=180°﹣（∠CAE+∠ACE），=180°﹣113.5°，=66.5°．故答案为：66.5．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，整体思想的利用是解题的关键．17．如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是3cm． 【考点】角平分线的性质． 【分析】求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∠C=90°，D到AC的距离为CD=3cm，AD平分∠CAB，D点到线段AB的距离为3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用CD是D点到线段AB的距离是正确解答本题的关键．18．如图，已知在ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DEBC于E，若BC=15cm，则DEB的周长为15cm． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】先根据ASA判定ACD≌ECD得出AC=EC，AD=ED，再将其代入DEB的周长中，通过边长之间的转换得到，周长=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以为15cm．【解答】解：CD平分∠ACB∠ACD=∠ECDDEBC于E∠DEC=∠A=90°CD=CDACD≌ECDAC=EC，AD=ED∠A=90°，AB=AC∠B=45°BE=DEDEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边 的夹角．19．如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，ODBC于D，且OD=3，ABC的面积是31.5． 【考点】角平分线的性质． 【分析】连接OA，作OEAC，OFAB，垂足分别为E、F，将ABC的面积分为：SABC=SOBC+SOAC+SOAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是ABC的周长，可计算ABC的面积．【解答】解：作OEAC，OFAB，垂足分别为E、F，连接OA，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，ODBC，OD=OE=OF，SABC=SOBC+SOAC+SOAB= ×OD×BC+ ×OE×AC+ ×OF×AB= ×OD×（BC+AC+AB）= ×3×21=31.5．故填31.5． 【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．20．如图所示，已知AB=AC，∠A=40°，AB=10，DC=3，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=30度，AD=7． 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到∠DBA的度数，计算即可．【解答】解：AB=AC，∠A=40°，∠ABC=∠C=70°，MN是AB的垂直平分线，DA=DB，∠DBA=∠A=40°，∠DBC=30°；AB=AC，AB=10，DC=3，DA=10﹣3=7，故答案为：30；7．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．三 、解答下列各题21．如图，写出ABC的各顶点坐标，并画出ABC关于y轴对称的A1B1C1，写出ABC关于x轴对称的A2B2C2的各点坐标． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】根据直角坐标系的特点写出各点的坐标，并作出各点关于y轴对称的点，然后顺次连接，写出坐标．【解答】解：如图： ABC各点坐标为：A（﹣2，5），B（﹣6，2），C（﹣3，1）；A2B2C2的各点坐标为：A2（﹣2，﹣5），B2（﹣6，﹣2），C2（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．22．已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值． 【考点】多边形内角与外角；平行线的性质． 【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值．【解答】解：AB∥CD，∠C=60°，∠B=180°﹣60°=120°，（5﹣2）×180°=x+150°+125°+60°+120°，x=85°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，属于基础题．23．已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，∠A=60°．（1）求∠FBD的度数．（2）求证：AE∥BF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）求出AC=BD，根据SSS推出AEC≌BFD，根据全等三角形的性质得出∠A=∠FBD即可；（2）因为∠A=∠FBD，根据平行线的判定推 出即可．【解答】解：（1）AB=CD，AB+BC=CD+BC，AC=BD，在AEC和BFD中 AEC≌BFD，∠A=∠FBD，∠A=∠FBD，∠A=60°，∠FBD=60°；（2）证明：∠A=∠FBD，AE∥BF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．已知A村和B村坐落 在两相交公路内（如图所示），为繁荣当地经济，A、B两付计划合建一座物流中心，要求所建物流中心必须满足下列条件：①到两条公路的距离相等；②到A、B两村的距离也相等．请你通过作图确定物流中心的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】作出两条公路夹角的平分线和张、连接A、B两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求物流中心．【解答】解：如图所示：点P即为所求物流中心． 【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，角平分线性质，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质是解本题的关键．25．（1）如图（1），在ABC中，∠C＞∠B，ADBC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FMBC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】探究型．【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠EAC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，然后表示出∠EAD，整理即可得解；（2）过点A作ADBC于D，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再根据（1）的结论解答．【解答】解：（1）AE平分∠BAC，∠EAC= ∠BAC= （180°﹣∠B﹣∠C），又ADBC，∠DAC=90°﹣∠C，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）= （∠C﹣∠B），即∠EAD= （∠C﹣∠B）；（2）如图，过点A作ADBC于D，FMBC，AD∥FM，∠EFM=∠EAD= （∠C﹣∠B）． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，整体思想的利用是解题的关键 ．26．（14分）已知，如图1，ABC和EDC都是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上．（1）填空：∠AED=∠CDE=120度；（2）求证：AD=BE；（3）如图将图1中的EDC沿BC所在直线翻折（如图2所示），其它条件不变，（2）中结论是否成立？请说明理由． 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）由DCE为等边三角形可知∠CDE=∠CED=60°，然后由邻补角的定义可知∠AED=∠CDE=120°；（2）证明BDE和AED全等即可；（3）由等边三角形的性质可知：AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠BCE，从而可证明ACD≌BCE，从而可得到AD=BE．【解答】（1）解：EDC都是的等边三角形，∠CDE=∠CED=60°．∠AED=∠CDE=120°．故答案为：∠CDE；120．（2）证明：ABC和EDC都是等边三角形，AC=BC，EC=DC．AC﹣EC=BC﹣DC即AE=BD．在AED和BDE中， ，AED≌BDE（SAS）．AD=DE．（3）AD=BE仍成立．理由：ABC和CDE都是等边三角形，AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．在ACD和BCE中， ，ACD≌BCE．AD=BE．【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

三角形三边关系篇10

关键词：直角三角形；边角关系

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01

直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。

一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象

由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。

二、利用三角函数的增减规律进行记忆

在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。

三、寻找数字规律巧妙记忆

在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。

四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。