三角函数式范文10篇

三角函数式范文篇1

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

∵cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

∴1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

2.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3

总结评述：本题的解题思路是：变角→切割化弦→化异角为同角→转化为特殊角→约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

3.给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。

∵cosα=－750且α∈（0，π）

∴sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

∴tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

∴2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

∴3π2<2β<2π

∴α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

三角函数式范文篇2

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3

总结评述：本题的解题思路是：变角→切割化弦→化异角为同角→转化为特殊角→约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

2.给值求值给出角的一种三角函数值，求另外的三角函数式的值，常用到同角三角函数的基本关系及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的关键是找出已知条件与欲求的值之间的角的运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以适当的变形，以达到解决问题的目的。

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

∵cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

∴1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

3.给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。

∵cosα=－750且α∈（0，π）

∴sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

∴tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

∴2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

∴3π2<2β<2π

∴α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

三角函数式范文篇3

问题1：请用一条直线，把△ABC分割为面积相等的两部分。

解：取BC的中点，记为点D，连结AD，则AD所在直线把△ABC分成面积相等的两个部分。

大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过△ABC的三条中线的直线，能把△ABC的面积分成相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于△ABC边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。

问题2：点E是△ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E求作一条直线，把△ABC分成面积相等的两部分。

解：如图2，取AB的中点D，连结CD，过点D作DF∥CE，交BC于点F，则直线EF就是所求的分割线。

证明：设CD、EF相交于点P

∵点D是AB的中点

∴AD=BD∴S△CAD=S△CBD

∴S四边形CAEP＋S△PED=S四边形DPFB＋S△PCF

又∵DF∥CE∴S△FED=S△DCF（同底等高）

即：S△PED=S△PCF

∴S四边形CAEP=S四边形DPFB

∴S四边形CAEP＋SPCF=S四边形DPFB＋S△PED

即S四边形AEFC=S△EBF

由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而且经过边上任意一条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样的分割线。

那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？

大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三条中线交于它的重心，如果这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重心。

问题3：已知：如图3，在△ABC中，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：S△AEF=S△ABC.

证明：延长AG，交BC于点D

∵点G是△ABC的重心

∴AG:AD=2:3

又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC

由本题可得：过AB边上的点E，经过重心G的直线，EF把三角形面积分为4:5两部分，直线EF并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过点E把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G。

综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可以作出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。

1.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°

=2cos30°cos10°cos10°=3

总结评述：本题的解题思路是：变角→切割化弦→化异角为同角→转化为特殊角→约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

2.给值求值给出角的一种三角函数值，求另外的三角函数式的值，常用到同角三角函数的基本关系及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的关键是找出已知条件与欲求的值之间的角的运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以适当的变形，以达到解决问题的目的。公务员之家

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

∵cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

∴1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

3.给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。

∵cosα=－750且α∈（0，π）

∴sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

∴tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1

α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

∴2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

∴3π2<2β<2π

∴α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

三角函数式范文篇4

在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅，而当时调整意见尚未生效（应在1999年生效）。这不能不说对和积互化的8个公式（以下简称“8公式”）的要求是大大降低了。

但是，这次调整的，难道仅仅是8个公式吗？如果认为仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了。

我们知道，和积互化历来是三角部分的重点内容之一。相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力。现在，要求降低了，有关的题目已不再适合作为例（习）题选用了。这样一来，

三角部分还要我们教些什么？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑。

有鉴于此，我认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于”（有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序）

的既定目标。

一、是“三角”还是“函数”

应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的。三角本是几何学的衍生物，肇始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等。至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科。历史上的很长一段时期，只有《

三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名。

“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年。但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌。特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作。致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成

为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了。有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的。

所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在。现行中学教材也取消了原来的《代数》、《三角》、《几何》的格局，将三角并入了代数内容。这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重。

再从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的。所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍、所在皆是。这是由当时的数学认知水平决定的。而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值。1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”。现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写。

所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点（下文还将述及）。

现行高中《代数》的三角函数部分，也单列了一章专讲“三角函数的图象和性质”，这是与数学发展的潮流相一致的。但若提起三角函数，大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的。这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差，恐怕也与编者的意图大相径庭。个中缘由固然与三角本身多公式有关，其中和积互化8公式的干扰作用尤其明显。8公式形式类似，记忆也属不易，变形尤难把握，是师生教与学的共同难点。为此反复记忆、题海操练实所难免。

调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量，目标中“第一和第三”两个有利于是可以实现的。但另一个（有利于深化课程改革）该如何理解呢？把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻

了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本。

二、国外的观点及启示

下面来看一下美国和德国的观点：

美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：

会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系。

他们还特别指出：不要在推导三角恒等式上花费过多的时间。只要掌握一些简单的恒等式推导，如：之类就可以了。比较复杂的恒等式如之类，就应该完全避免了。

德国在10到12年级（相当于中国的高一到高三）每年都有三角内容。10年级要求如下：

(1)一个角的弧度。

(2)三角函数sinx·cosx·tgx和它们的图象周期性。

(3)三角形中角和边的计算。

(4)重要关系（特指同角三角函数的平分关系、商数关系和倒数关系——笔者注）。

另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限。

从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：

第一，突出强调三角函数的图象和性质。

第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换。而且要求较低；8公式根本不予介绍。

第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算。

第四，注意三角函数和其它知识（复数、极坐标）的联系。

这带给我们的启示还是很强烈的。美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整。我国的教材虽作调整，对8公式不要求记忆。同期颁布的《考试说明》仍要求“能推导并掌握（8公式）”。不要求记忆却要求推导并掌握，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的。我认为这大可不必。严谨与完整是相对的。现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及。人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分。我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意。从这个意义上说。此次调整应当只是第一步。在中学阶段即试图严谨与完整。其实是受前苏联教育家赞可夫的三高（高速度、高难度、高理论）影响太深的缘故。

三、调整后的知识体系分析

根据以上的分析，我认为本部分知识应分为两大块。即“三角函数的图象和性质”与“三角变换”，虽然笔者认为后者该进一步删减，但毕竟目前没有做到。即使以后能大幅删减，也肯定会保留适当篇幅，因为三角变换在理论和实际中都有广泛的应用。

现将本部分知识体系列表如下：

这些知识点中，重点应是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18)，其实前几年的高考对它们也都有充分的体现。只是被8公式的光环所笼罩，我们的重视程度不够而已。当然，现在我们要提高对这些内容的重视程度。千万要避免无限拔高。那样形成前门拒狼（8公式）后门引虎的局面。就大有违调整的初衷。

参考文献

三角函数式范文篇5

在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅，而当时调整意见尚未生效（应在1999年生效）。这不能不说对和积互化的8个公式（以下简称“8公式”）的要求是大大降低了。

但是，这次调整的，难道仅仅是8个公式吗？如果认为仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了。

我们知道，和积互化历来是三角部分的重点内容之一。相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力。现在，要求降低了，有关的题目已不再适合作为例（习）题选用了。这样一来，

三角部分还要我们教些什么？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑。

有鉴于此，我认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于”（有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序）

的既定目标。

一、是“三角”还是“函数”

应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的。三角本是几何学的衍生物，肇始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等。至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科。历史上的很长一段时期，只有《

三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名。

“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年。但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌。特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作。致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成

为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了。有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的。

所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在。现行中学教材也取消了原来的《代数》、《三角》、《几何》的格局，将三角并入了代数内容。这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重。

再从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的。所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍、所在皆是。这是由当时的数学认知水平决定的。而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值。1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”。现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写。

所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点（下文还将述及）。

现行高中《代数》的三角函数部分，也单列了一章专讲“三角函数的图象和性质”，这是与数学发展的潮流相一致的。但若提起三角函数，大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的。这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差，恐怕也与编者的意图大相径庭。个中缘由固然与三角本身多公式有关，其中和积互化8公式的干扰作用尤其明显。8公式形式类似，记忆也属不易，变形尤难把握，是师生教与学的共同难点。为此反复记忆、题海操练实所难免。

调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量，目标中“第一和第三”两个有利于是可以实现的。但另一个（有利于深化课程改革）该如何理解呢？把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻

了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本。

二、国外的观点及启示

下面来看一下美国和德国的观点：

美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：

会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系。

他们还特别指出：不要在推导三角恒等式上花费过多的时间。只要掌握一些简单的恒等式推导，如：之类就可以了。比较复杂的恒等式如之类，就应该完全避免了。

德国在10到12年级（相当于中国的高一到高三）每年都有三角内容。10年级要求如下：

(1)一个角的弧度。

(2)三角函数sinx·cosx·tgx和它们的图象周期性。

(3)三角形中角和边的计算。

(4)重要关系（特指同角三角函数的平分关系、商数关系和倒数关系——笔者注）。

另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限。

从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：

第一，突出强调三角函数的图象和性质。

第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换。而且要求较低；8公式根本不予介绍。

第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算。

第四，注意三角函数和其它知识（复数、极坐标）的联系。

这带给我们的启示还是很强烈的。美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整。我国的教材虽作调整，对8公式不要求记忆。同期颁布的《考试说明》仍要求“能推导并掌握（8公式）”。不要求记忆却要求推导并掌握，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的。我认为这大可不必。严谨与完整是相对的。现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及。人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分。我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意。从这个意义上说。此次调整应当只是第一步。在中学阶段即试图严谨与完整。其实是受前苏联教育家赞可夫的三高（高速度、高难度、高理论）影响太深的缘故。

三、调整后的知识体系分析

根据以上的分析，我认为本部分知识应分为两大块。即“三角函数的图象和性质”与“三角变换”，虽然笔者认为后者该进一步删减，但毕竟目前没有做到。即使以后能大幅删减，也肯定会保留适当篇幅，因为三角变换在理论和实际中都有广泛的应用。

现将本部分知识体系列表如下：

这些知识点中，重点应是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18)，其实前几年的高考对它们也都有充分的体现。只是被8公式的光环所笼罩，我们的重视程度不够而已。当然，现在我们要提高对这些内容的重视程度。千万要避免无限拔高。那样形成前门拒狼（8公式）后门引虎的局面。就大有违调整的初衷。

参考文献

三角函数式范文篇6

在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅，而当时调整意见尚未生效（应在1999年生效）。这不能不说对和积互化的8个公式（以下简称“8公式”）的要求是大大降低了。

但是，这次调整的，难道仅仅是8个公式吗？如果认为仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了。

我们知道，和积互化历来是三角部分的重点内容之一。相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力。现在，要求降低了，有关的题目已不再适合作为例（习）题选用了。这样一来，

三角部分还要我们教些什么？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑。

有鉴于此，我认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于”（有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序）

的既定目标。

一、是“三角”还是“函数”

应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的。三角本是几何学的衍生物，肇始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等。至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科。历史上的很长一段时期，只有《

三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名。

“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年。但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌。特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作。致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成

为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了。有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的。

所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在。现行中学教材也取消了原来的《代数》、《三角》、《几何》的格局，将三角并入了代数内容。这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重。

再从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的。所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍、所在皆是。这是由当时的数学认知水平决定的。而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值。1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”。现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写。

所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点（下文还将述及）。

现行高中《代数》的三角函数部分，也单列了一章专讲“三角函数的图象和性质”，这是与数学发展的潮流相一致的。但若提起三角函数，大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的。这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差，恐怕也与编者的意图大相径庭。个中缘由固然与三角本身多公式有关，其中和积互化8公式的干扰作用尤其明显。8公式形式类似，记忆也属不易，变形尤难把握，是师生教与学的共同难点。为此反复记忆、题海操练实所难免。

调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量，目标中“第一和第三”两个有利于是可以实现的。但另一个（有利于深化课程改革）该如何理解呢？把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻

了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本。

二、国外的观点及启示

下面来看一下美国和德国的观点：

美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：

会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系。

他们还特别指出：不要在推导三角恒等式上花费过多的时间。只要掌握一些简单的恒等式推导，如：之类就可以了。比较复杂的恒等式如之类，就应该完全避免了。

德国在10到12年级（相当于中国的高一到高三）每年都有三角内容。10年级要求如下：

(1)一个角的弧度。

(2)三角函数sinx·cosx·tgx和它们的图象周期性。

(3)三角形中角和边的计算。

(4)重要关系（特指同角三角函数的平分关系、商数关系和倒数关系——笔者注）。

另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限。

从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：

第一，突出强调三角函数的图象和性质。

第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换。而且要求较低；8公式根本不予介绍。

第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算。

第四，注意三角函数和其它知识（复数、极坐标）的联系。

这带给我们的启示还是很强烈的。美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整。我国的教材虽作调整，对8公式不要求记忆。同期颁布的《考试说明》仍要求“能推导并掌握（8公式）”。不要求记忆却要求推导并掌握，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的。我认为这大可不必。严谨与完整是相对的。现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及。人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分。我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意。从这个意义上说。此次调整应当只是第一步。在中学阶段即试图严谨与完整。其实是受前苏联教育家赞可夫的三高（高速度、高难度、高理论）影响太深的缘故。

三、调整后的知识体系分析

根据以上的分析，我认为本部分知识应分为两大块。即“三角函数的图象和性质”与“三角变换”，虽然笔者认为后者该进一步删减，但毕竟目前没有做到。即使以后能大幅删减，也肯定会保留适当篇幅，因为三角变换在理论和实际中都有广泛的应用。

现将本部分知识体系列表如下：

这些知识点中，重点应是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18)，其实前几年的高考对它们也都有充分的体现。只是被8公式的光环所笼罩，我们的重视程度不够而已。当然，现在我们要提高对这些内容的重视程度。千万要避免无限拔高。那样形成前门拒狼（8公式）后门引虎的局面。就大有违调整的初衷。

参考文献

三角函数式范文篇7

【关键词】基本初等函数；初等函数；超越函数；初等运算；超越运算

在很多次的教学研讨或者公开课中，经常听到教师们称二次函数为基本初等函数，甚至也有的教师很诧异“为什么指数函数会被称为超越函数？”本文将结合运算与解析式谈函数的分类与这两者的联系，给教师备课提供更多的素材，希望能够促进数学教学。

一、运算与解析式

在研究函数分类之前，很有必要了解一下“代数”这门学科。代数是研究数与字母的关系、性质和运算法则的分支学科，是研究实数和复数以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。解方程就是代数的一部分内容，而初等代数的中心内容就是解代数方程，在中学，我们以研究初等代数为主。要讨论代数方程，首先遇到的一个问题是如何把实际问题中的数量关系列成带有未知数的代数式，然后根据等量关系列出代数方程，所以初等代数的一个重要内容就是代数式。那么，代数式与本文中的函数分类究竟有什么样的联系呢？带着疑问，我们先从运算谈起。1.运算运算分为初等运算与非初等运算。初等运算分为初等代数运算和初等超越运算。其中，初等代数运算包括加、减、乘、除、开方、有理数次乘方，如a+2、等分别含有加法、有理数次乘方运算；初等超越运算包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算，如、、等分别含有无理数次乘方、对数运算、反三角运算。那么非初等运算包含哪些呢？中学数学教材中介绍的极限、导数、积分，还有大学里将要学的级数等均属于非初等运算。当然，有些非初等运算的结果可能是初等形式的数，如、等。2.解析式解析式是代数中的基本概念之一，用运算符号和括号把数字和字母按一定规则连接成的式子称为解析式（与函数中的解析式同名，但含义有区别），常简称式。例如：a+b、、sinx+cosy+a2等，其中运算符号至多有可数个，除了代数运算外，也可以是复合、求极限、求导数、求积分等，这些运算统称为解析运算，故而产生解析式这一名词。特别地，只含代数运算的式称为代数式，含初等超越运算的式称为初等超越式，简称超越式。式注重外形，如、sinx+cosy+a2等为超越式，而虽然可化为xy（注：x>0，y>0），但仍然称为超越式。数学辞海中指出除代数式以外的式均为超越式。不知道是不是辞海中注重概念的形式还是忽略了概念本身，本文认为式应该按照对应的运算分类，也应分为初等与非初等，如：、、就应为非初等解析式。虽然前面两个分别能够化为初等形式ex+ey-1、，但是仅从形与运算的角度，仍然属于非初等一类。另外，式根据运算可进行分类，具体分类情形如图1：图1教师经常会把“”称为平方差公式，其实，平方差公式只是在整式范围内的运算，而上面的式子属于代数式中无理式的范畴，谈不上叫“平方差公式”，只能是“类平方差公式”。式强调形，根据运算分类，与数是代数数还是超越数无关，至于含有超越数的式子，如：ex+y等仍然属于整式范畴。但很多人认为弄清上面这些跟教学无关，尤其是高中生，甚至如果不是从事数学专业方向研究的，都很难搞清这些，也没必要。这种观点从学生的非专业化角度来看，似乎很有道理，但是笔者认为，作为从事数学教育的教师应该弄清这些概念，才能更好地教育学生。虽然我们不需要刻意地去教授这些知识，但是应该潜移默化地将这些知识以及它们之间的联系传授给学生。数学体系本身就很复杂，就算是世界上顶尖的数学家们也很难将数学这门学科的体系与结构讲述得清楚透彻，但学习数学是一个积累的过程，尤其像微积分这样伟大的发明创造属于非初等运算就应该让学生弄明白。难道我们的基础教育不应该是这样吗？

二、函数相等

下面来看一下经常碰到很多关于是否是同一函数（本文只讨论一元函数）的大讨论。例如：判断函数f1（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与，x∈{0，1，2，3}是否相等？有两种观点：一种认为这两个函数不相等，理由是这两个函数的对应法则形式不一样。另一种观点认为这两个函数相等，理由是这两个函数的定义域相同，对应法则虽然在表达式的形式上不一样，但实质相同。我们一起回顾一下《普通高中数学课程标准实验教科书·数学》中关于函数的定义：“如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。”从教材的这段叙述来看，函数相等的定义很明确：如果函数的定义域和对应法则相同，那么函数相等。笔者同意第二种观点，对应法则本质就是自变量与因变量的配对法则，解析式只是一种表示方式，式的形不同，配对的法则不一定不同，如果表达式可以化简或者等价到同一种形式，那么对应法则就是一样的，这与代数中的式（也叫解析式）不一样，其强调的是形，而函数注重对应关系的本质。例子中的两个函数定义域一样，定义域中每一个数所对应的函数值都是完全一致，如图2，因此这两个函数相等。函数的实际配对没有区别，像这样的两个函数不应该被分成两类不同的函数。图2

三、函数分类

1.基本初等函数与初等函数关于基本初等函数的提法，各个文献有所不同，常见的有三种提法。第一种提法：基本初等函数包括常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数六大类函数；第二种提法：基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数五大类函数；第三种提法：基本初等函数包括常值函数y=1、恒等函数y=x、正弦函数y=sinx以及指数函数y=ex这四个函数。先不讨论谁更优，那么怎么形成初等函数呢？文献提出由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤得到的函数称为初等函数。而第二种提法下，初等函数是由常数与基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤得到的函数。其实第二种提法与第一种提法差距不大，无本质区别。文献中指出，如果是第三种提法，那么初等函数则是由基本初等函数经过数乘、有限次四则运算、有限次复合步骤及求反函数而得到的函数。目前主流说法是第一种提法，之所以是第一种提法，笔者认为有多方面因素，如对数的出现是数学历史上关于数的重大发明，一要突出其地位，二要尊重历史，三是能够让中学生更直接地了解数学中最经典的知识。而且为了给学生减负，很多知识在现有的中学阶段已经淡化，如数乘与反函数，中学教材中仅仅是在平面向量中提及数乘运算，且在学习指对函数时简单提了一下反函数，甚至反三角函数直接不提。以上是笔者自己的观点，不太成熟，有误欢迎指正。2.初等函数与非初等函数由于函数注重对应关系的本质，根据运算（与对应法则相对应），可以将函数分为初等函数与非初等函数，至于每一种函数的名称与函数表达式在这里不再详述，如图3是函数的结构分类。需要指出的是，虽然函数分类依据运算，与代数学中的式相对应，但是函数注重对应关系的本质，不管是基本初等函数中哪一种提法，有一点都需要弄清，如：f（x）=可化简为ex，这样的函数必须是初等函数且是指数函数，而不能因为有级数就认为是非初等函数，因此，应该将“凡是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，并能用一个数学式子表示出来的函数称为初等函数”修改成“凡是能由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，并能用一个数学式子表示出来的函数称为初等函数”，加个“能”字，所有函数概念都加个“能”字，笔者认为更准确一点，比如y=|x|与就是同一函数了，也不会争论y=22x到底是不是指数函数了。另外，非初等函数的例子很多，如：积分型的dt、级数型的贝塞尔方程的解（x∈R）、分段函数中的Dirichlet函数与Riemann函数等等。本文有很多是笔者在教学过程中发现的问题，加入了很多自己的观点，由于水平有限，不当之处，希望专家或读者批评指正，只求能够解决疑惑和达成共识。虽然本文中函数的结构分类不是中学数学教学的重点，但是至少能给读者在中学数学教学时提供更加完整的备课素材，同时科普一下数学文化知识，这就达到了笔者写这篇论文的初衷了。

【参考文献】

[1]数学辞海编辑委员会.数学辞海[M].太原：山西教育出版社，2002.

[2]罗増儒.f（x）=2-x是指数函数吗[J].中学数学教学，2011（01）：12.

[3]王兴东.代数数与超越数[J].数学通报，2004（10）：44.

[4]课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书（人教A版必修1）[M].北京：人民教育出版社，2004.

三角函数式范文篇8

一、知识整合

1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．

2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

二、方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析

例1．已知，求（1）；（2）的值.

解：（1）；

(2)

.

说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例2．求函数的值域。

解：设，则原函数可化为

，因为，所以

当时，，当时，，

所以，函数的值域为。

例3．已知函数。

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；

（2）证明：函数的图像关于直线对称。

解：

(1)所以的最小正周期，因为，

所以，当，即时，最大值为；

(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为，

，

所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

例4．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1

=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

=sin(2x+)+

所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin(ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1

化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：≤y≤

∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}

例5．已知函数

（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

解：

（Ⅰ）由=0即

即对称中心的横坐标为

（Ⅱ）由已知b2=ac

即的值域为.

综上所述，，值域为.

说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，

(1)求的值；

(2)若，且a=c，求的面积。

解：(1)由正弦定理及，有，

即，所以，

又因为，，所以，因为，所以，又，所以。

(2)在中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以的面积为

。

例7．已知向量

，且，

(1)求函数的表达式；

(2)若，求的最大值与最小值。

解：(1)，，，又，

所以，

所以，即；

(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：

t－1(－1，1)1(1，3)

导数0－0+

极大值递减极小值递增

而所以。

例8．已知向量，

求的值；

(2)若的值。

解：(1)因为

所以

又因为，所以，

即；

(2)，

又因为，所以，

，所以，所以

例9．平面直角坐标系有点

求向量和的夹角的余弦用表示的函数；

求的最值.

解：（1），

即

（2），又，

三角函数式范文篇9

数学概念有什么特点呢？一是抽象地反映某一类事物内在的本质的属性；二是表现形式准确、简明、清晰；三是具体性与抽象性统一；四是具有较强的系统性。

明确了数学概念的特点，在教学中就要根据不同概念所呈现出的不同特点，采取不同的教学方法，从思维的基本单位开始，逐步开拓学生的思维发展领域。

一、抓住概念的本质属性，突破抽象关

概念有内涵和外延。内涵揭示概念的本质属性，外延则指概念所包含的对象范围，就是指具有这种本质属性的那些对象的集合。如果用p（x）表示某一共同本质属性，用集合A表示某一概念的外延，则可以表示成：A＝｛x∶p（x）｝。例如方程这一概念的外延用文字写成集合的形式则有：

方程＝｛含有未知数的等式∶P（含有未知数的等式）｝

抓住了方程概念的本质属性，对概念的理解就比较容易了，例如给出5＋4＝9是不是方程呢？学生就能准确地给出答案。

二、从运动变化的观点掌握概念

数学概念由于数学知识的逐渐复杂与深化，原有的数学概念就引起了其含意的变化发展。例如整除的概念在数的范围内与代数式的范围内就有所变化；又如角的概念，在初中只接触正角而范围有限，到高中之后，对角又重新定义；不仅扩大了范围，而且又有负角，同时将锐角三角函数扩充到任意角三角函数。因式分解的概念随着代数的内容逐渐深化而变化，关于一元二次方程的根的概念，按着数的概念的扩充而发生变化。而幂的运算法则，其定义则开始在正整数范围内，随着负整数、指数和根式的引入，幂指数便扩大到任意实数，其运算法则灵活自如。这样，在运算当中，掌握好概念，便增强了解题的灵活性。

三、明确概念间的对立统一关系

正数与负数，正角与负角，旋转的逆时针与顺时针，平面几何中定义的角与三角函数中的任意角等概念，都具有相互矛盾对立统一的性质。如：ax2＋bx＋c＝0（a≠0），在b2－4ac≥0时才有意义；随着知识的完备性和科学发展的需要，不得不将实数集扩大到复数集。这就是实数与虚数的对立双方转化统一于复数集。又如函数和反函数、指数函数与对数函数、微分与积分等概念，都体现了对立统一和相互转化的关系。

三角函数式范文篇10

1.知识结构：

本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2.重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数(或余切函数)的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图)

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

;

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

(1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

(2)作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

(3)连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

(4)如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6.要善于把某些实际问题转化为解直角三角形问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的(如图).螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分?

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为.

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个解直角三角形问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

一、教学目标

1.使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形;

2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;

3.通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1.重点：直角三角形的解法。

2.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

3.疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

4.解决办法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

三、教学步骤

(一)明确目标

1.在三角形中共有几个元素?

2.如图直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢?

(1)边角之间关系

(2)三边之间关系

(勾股定理)

(3)锐角之间关系。

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

(二)整体感

知

教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。同时，本课又为以后的应用举例打下基础。因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的。综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

(三)教学过程

1.我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素。这样的导语既可以使中国学习联盟概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

2.教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)。

3.例题

【例1】在中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

解：(1)，

(2)，

∴

(3)

∴

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形?”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

【例2】在Rt中，，解这个三角形。

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

解：(1)，

查表得;

(2)

(3)，

∴。

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘(或除)以另一含四位有效数字的数要方便一些。但先后要查两次表，并作一次加法(或减法)或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。

4.巩固练习

解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。为此，教材配备了练习P.23中1、2练习1针对各种条件，使学生熟练解直角三角形;练习2代入数据，培养学生运算能力。

[参考答案]

1.(1);

(2)由求出或;

(3)，

或;

(4)或。

2.(1);

(2)。

说明：解直角三角形计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程。要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯。

(四)总结扩展

1.请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素。

2.幻灯片出示图表，请学生完成

四、布置作业

教材P.32习题6.4A组3。