三角形内角和十篇

三角形内角和篇1

新世纪小学数学四年级下册第27页《三角形内角和》。

【教学目标】

（1）通过直观操作的方法，探索并发现三角形内角和等于180度。

（2）在实践活动中，通过“猜想―发现规律―验证”等方法。体会数学思想

（3）在数学活动中让学生获得成功体验，感受数学美。

【教学重点】

激发学生自主验证“三角形内角和”。

【教学难点】

四年级学生无法用公理证明“三角形内角和是180度”，只能采用验证的方法加以求证。

【设计思路】

本节课的新知模型建立在三年级学习的“三角尺”内角知识的原点上，再通过学生的“测量”和“折拼”等实践活动验证“所有三角形内角和都是180度”的猜想。最后通过拓展，期望以“铅笔旋转法”和“帕斯卡法”进一步验证“三角形内角和等于180度”的公理。

【教学过程】

一、复习旧知，渗透新法

1.观察角

师：今天让我们一起走进三角形，去探索三角形“角”的奥秘吧。

首先，请大家看大屏幕，注意观察：铅笔每次旋转了多少度？

生：90度，又旋转了45度。

师：那么，还要旋转多少度就等于180度？

生：45度。

师：180度的角又叫做什么角？

生：平角。

师：刚才我们把三个角拼在一起正好凑成了一个平角。

2.思考

师：仔细观察，刚才铅笔笔尖的方向发生了怎样有趣的变化？

生：开始笔尖向左，旋转180度后，笔尖向右。

（设计意图：复习锐角、直角和平角的大小，并通过“拼和旋转”渗透“转化”数学思想。）

二、借助学具，以旧促猜

1.揭示课题

师：请大家拿出一个三角尺，回想一下，它的三个角各是多少度？

生1：90度，45度，45度。

生2：90度，60度，30度。

师：这三个角又叫做三角形的内角。三个角的和也有一个新的名字――三角形内角和。这就是我们今天将要学习的新知识。（板书课题：三角形内角和）

2.引导猜想

师：看到“三角形内角和”这个题目，你最想知道“三角形内角和”的什么知识？

生1：三角形内角和是多少？

生2：三角形内角和怎么算？

生3：这个知识有什么作用？

生4：所有的三角形内角和都等于180度吗？

师：是呀，难道所有的三角形内角和都是180度吗？你的想法实际上就是一种大胆的猜想。（板书：猜想）

师：你有什么好办法说服其他同学呢？

生：用量角器量一量就知道了。

（设计意图：三角板是最特殊的直角三角形，四年级上册已知三个内角的度数，从实物到图形，由易到难，便于学生初步建模。在此基础上，通过猜想，培养学生的创新能力。）

三、小组合作，探索规律

1.测量三角形

师：下面请你在准备好的图形中任意选择一个三角形，利用手中的量角器来量一量，算一算。

测量时要注意三点：

（1）三个内角标上符号，实际测量并标出度数。

（2）直接在三角形上列式计算内角和。

（3）老师撕下一个大三角形的三个内角请三位同学分别测量。

2.学生合作，老师巡视

选择有代表性的测量数据进行交流：

师：现在，老师找几个同学汇报一下测量结果。

师：通过实际测量，你们有什么新发现？

生：内角和接近或等于180度。（板书：发现规律）

3.张贴“智慧老人”，发现规律

师：让我们来聆听“智慧老人”的声音吧――同学们，三角形内角和实际上就是180度，你们虽然认真测量、细心计算，但终究还是有一些误差。没有关系，到了初中二年级时我们还要继续学习三角形内角和的有关知识呢。到那时，我相信，你们一定能够学得更多更好！

师：让我们随着智慧老人的声音一起读一读这个重要的发现：三角形内角和等于180度。

（设计意图：通过最直接的验证方法――测量，初步验证猜想的可能性。可以通过“智慧老人”或“中学教本”直接帮助学生完成知识模型的建构，避免小学演绎论证的不严密性。）

四、以疑促思，寻求验证

1.寻求验证新法

师：不好意思，刚才老师忘记让三位同学汇报大三角形的三个内角。它的内角和是多少？

生：180（度）

师：180度是平角。平角与这三个角有什么联系？

生：三个角可以拼成一个平角。

师：谁上来拼一拼？你确认它是平角吗？怎样拼最巧？

师生共同采用平移和旋转的方法拼平角。

师：请同学们选择刚才测量的三角形撕一撕、拼一拼、比一比，拼成功的同学请举手。

师：刚才，我们用了测量和撕拼的方法验证了“三角形内角和等于180度”，这两种方法有什么不足之处吗？

生：不太准确。

师：开动脑筋，想一想还有什么好的方法来验证三角形内角和等于180度呢？

生：我通过自学，还知道可以用折拼的方法验证三角形内角和等于180度。

2.课堂小结

师：今天，我们用了“测量”“拼平角”的方法验证了“三角形内角和等于180度”这个猜想，这些验证方法很好，它可以使我们变得更加聪明、更加智慧。（板书：验证）

（设计意图：学生通过讨论和自学能够联想到撕拼、折拼、分割长方形等方法对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内角和进行验证，用不同的展示方法，凸显教学方法的灵活性，激发并培养学生的求异发散思维。）

五、介绍新法，激趣

师：为了验证三角形的内角和等于180度，数学家想出了许多好的方法，你想知道吗？

1.多媒体演示“帕斯卡法”

师：据说法国数学家帕斯卡11岁那年，他在玩长方形时，他想，任意长方形的四个直角和是360度，那么两个直角三角形的内角和就应该分别是180度。接着帕斯卡又发现：“任何三角形都可以沿着这条垂线将它分成两个小直角三角形”。这两个直角三角形共六个角加起来和是360度，如果去掉两个直角，剩下的就正好是原来三角形三个内角的和180度。所以他进一步推断：“所有非直角三角形内角和是180度。”

2.多媒体演示“铅笔旋转法”

师：下面请同学们拿出铅笔，我们一起来做一个旋转铅笔的游戏――笔尖向左，旋转第一个锐角，依次旋转第二个锐角，再旋转第三个锐角。

师：开始和结束时的笔尖方向有什么变化？

生1：和刚开始上课时的铅笔旋转有点相似。

生2：开始笔尖向左，旋转180度后，现在的笔尖向右。

……

师：看到这些新的验证方法，你有什么感想？

生：还有这么多的验证方法呀！

（设计意图：这是对三角形内角和“数学文化”的拓展延伸，增强数学趣味性。不过，对于学困生有一定的难度，不求人人掌握。）

六、课堂小结，学以致用

1.求三角形的内角和

师：今天，我们这节课是分为三个部分学习的，你知道是哪三个部分吗？

生：猜想―发现规律―验证。

师：学习了“三角形的内角和是180度”有什么好处？

生1：已知两个内角，求第三个内角。

2.比较大、小三角形的内角和

师：看下图，哪个三角形内角和大？为什么？

生：一样大。因为角的大小与边叉开的大小有关系，而与边的长短没有关系。

三角形内角和篇2

【设计思路】三角形的内角和是三角形的一个重要特征，本课是在学习三角形的概念及分类之后进行的，教学时，注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，概念的形成不直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、发现、交流讨论、推理归纳出结论，然后教师再现结论。

【教学目标】1、通过动手操作，使学生理解并掌握三角形的内角和是180°的结论。

2、能运用三角形的内角和是180°这一规律，求三角形中未知角的度数。

3、培养学生创新意识、探索精神、动手实践能力及动脑分析推理能力。

【教学重点】探索和发现三角形的内角和是180°的规律，并运用规律解决实际问题。

【教学难点】三角形的内角和是180°这一规律的探索和发现过程。

【教学用具】1、每个学生准备锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各一张、量角器、剪刀。2、教师准备锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各一张、剪刀、多媒体课件。

【教学过程】一、复习准备1、三角形按角的不同可以分成哪几类？2、平角=（）°1平角=（ ）直角

二、激趣引入1、投影出示一组三角形：（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）。分别说一说三个三角形各是什么三角形？三角形有几个角？（标记每个三角形的内角）老师指出：三角形的这三个角，就叫做三角形的三个内角。（出示：内角）2、设疑，激发兴趣

师：请同学们帮老师画一个三角形，能做到吗？生：能。师：请听要求，画一个有两个内角是直角的三角形，开始。师：有谁画出来了？生：……师（课件演示）：是不是画成这个样子了？（两个直角）师：三角形的内角之间一定有什么奥秘，我们一起来研究吧！

三、动手操作，探究新知1、以小组为单位先画4个不同类型的三角形，利用手中的工具分别量出三角形三个内角各是多少度？再把三个内角相加。说明：三角形三个内角的度数和叫做三角形的内角和。（出示课题：三角形的内角和）2、指名学生汇报各组度量和计算的结果。你有什么发现？3、大家算出的三角形的内角和都接近180°，那么，三角形的内角和与180°究竟是怎样的关系呢？就让我们一起来动手实验研究，我们一定能弄清这个问题的。4、刚才我们计算三角形的内角和都是先测量每个角的度数再相加的。在量每个内角度数时只要有一点误差，内角和就有误差了。我们能不能换一种方法，减少度量的次数呢？提示学生，可以把三个内角拼成一个角，就只需测量一次了。5、以小组为单位，拿出桌上的直角三角形纸片，想一想，怎样把三个角拼在一起，试一试。（提示：用折的方法或是剪下三个角再拼在一起）6、三个角拼在一起组成了一个什么角？我们可以得出什么结论？（直角三角形的内角和是180°）7、拿一个锐角三角形纸片试试看，方法一样。再拿钝角三角形试一试，你发现了什么？（直角三角形和钝角三角形的内角和也是180°）8、那么，我们能不能说所有三角形的内角和都是180°呢？为什么？（能，因为这三种三角形就包括了所有三角形）9、出示结论：三角形的内角和是180°。10、一个三角形中如果知道了两个内角的度数，你能求出另一个角是多少度吗？怎样求？11、出示教材85页做一做。让学生试做。12、指名汇报怎样列式计算的。两种方法均可。

∠2＝180°―140°―25°＝15°

∠2＝180°―（140°+25°）＝15°

四、巩固练习

1．88页第9题这三个三角形分别有什么特点？各个角的度数怎么计算？独立完成，集体订正。直角三角形中的一个锐角还可以怎样算？

2、88页第10题

①等腰三角形有什么特点？（两底角相等）②列式计算 180°―70°―70°＝40°或180°―（70°×2）＝40°2．88页第12题①连接长方形、正方形一组对角顶点，把长方形、正方形分成两个什么图形？②一个三角形的内角和是180°，两个三角形呢？

四、全课小结今天你学到了哪些知识？是怎样获取这些知识的？你感觉学得怎么样？

【教学反思】在教学《三角形的内角和》这一课时，为了达到本节的教学目标，我在教学中根据学生的认知特点，放开手让学生去自己验证三角形的内角和是多少。

三角形内角和篇3

关键词：三角形内角；教学设计；教学反思

【教学设计】

一、复习引入

1.我们学习了三角形的分类，三角形按角可以分成哪几类？

2.设疑：什么是三角形的内角和，你是怎样理解的？

二、创设情境，激疑思考

1.课件演示：

出现两个大小不同的三角形，“大”对“小”说：“我的三个内角和一定比你大。”“小”问道：“是这样吗？”

2.引导学生根据刚才课件演示的内容提出问题：

到底哪一个三角形的内角和大呢？你有什么办法？

3.学生思考：如何求出三角形三个内角的和。

大多数学生认为：量出三个内角的度数，再相加。

【设计意图：根据课件给出的信息，明确问题。根据问题，引导学生寻找解决问题的方法。】

三、尝试体验，探究新知

1.量一量。

（1）引导学生用量角器度量自己手殊的三角板，得出结论：“三个内角的和是180°”。

质疑：那么是否对其他的三角形也有这样一个结论呢？

【设计意图：先研究特殊的例子，再从研究特殊到研究一般。】

（2）小组活动。

①提问：你发现了什么？

②小组交流发现：每个三角形的三个内角和都在180°左右。

【设计意图：学生通过画三角形，度量，计算，再观察数据，最后发现问题，培养学生动手动脑的能力。】

③提出疑问：前面的特殊三角形的内角和是180°，而这些三角形的内角和在180°左右，究竟三角形内角和是不是180°呢？

【设计意图：学生还没有意识到这是误差造成的原因。教师不能直接说明原因，而是让学生思考和寻找其他的方法来解决。】

④引导学生思考：有没有其他的方法来解答上面的疑问？

2.拼一拼。

（1）教师演示。

把预先准备好的三角形的三个角撕下来，拼在一起。

（2）提问：你有什么发现？

学生发现：三个内角拼成一个平角。

教师：平角是多少度？这说明了什么？

学生：平角是180°，说明三角形三个内角和刚好等于180°。

（3）学生动手实验：

教师：你也动手来试一试，看看你们手上的三角形是否也有这个特点，也能拼出一个平角。

【设计意图：先演示撕的方法，然后让学生自己动手，学生在操作中发现同样存在这一规律：三角形内角和是180°。】

3.折一折。

（1）刚才我们通过算一算发现三角形的内角和在180°左右，通过拼一拼，发现三角形的内角和刚好拼成180°，那么三角形的内角和到底是多少度呢？听听智慧老人是怎么说的。

（2）课件出示智慧老人说的话。

（3）我们再来折一折，再次证明我们的发现。

教师结合教材中折的方法，利用多媒体课件进行直观演示。让学生在仔细观察、用心体悟的基础上，动手操作。

（4）学生在领悟了折法后，发现折了之后三个内角刚好组成了一个平角。而如果折不好，就会使三个内角不能刚好组成一个平角。

【设计意图：折的过程中出现问题，学生自己就会反思是不是折的方法不对，而通过课件演示，可以很直观地让学生知道该怎样折。通过前面的几个实验活动及活动中出现的问题，一再地操作和反思，最后得出结论。】

4.结论：

学生通过前面的三个探索活动得出结论：

（1）三角形的内角和等于180°。

（2）一定有内角和是180°的情况出现，前面的情况是在操作的时候出现的误差所造成的。

5.解决创设情境中的问题。

四、巩固新知，解决问题

1.课本第29页“试一试”第3题和“练一练”第1题。

用三角形内角和的性质解决简单的问题：已知三角形两个内角的度数，求第三个角的度数。

2.课本第29页第2题。

根据三角形内角和是180°，钝角三角形的钝角已经大于90°，那么它的两个锐角的和不可能大于90°，直角三角形两个内角和是90°。所以，钝角三角形说错了，直角三角形说对了。

【设计意图：用刚学的结论解决问题，巩固新知。】

3.课本第29页第3题。

本题答案很多，鼓励学生尽可能给出与60°角能分别组成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的答案。启发学生想一想三角形的另外两个角可能是多少度。

【设计意图：利用钝角三角形、锐角三角形、三角形的内角和的性质解决问题。】

4.课本第29页实践活动。

本活动的重点在于引导学生探索并发现四边形的内角和是360°，体验解决问题策略的多样性。提出问题，引起学生的思考。

五、课堂小结

学了这节课，你们有什么收获？学习新知识后有什么新想法？还有不明白的地方吗？（师生交流，完成知识点总结）

三角形内角和篇4

拜读了《教学月刊·小学版（数学）》2012年1～2期戎松魁老师的《也谈“三角形内角和是180°”的证明》一文后，笔者对戎老师对数学问题本质的追问、严谨治学的态度肃然起敬。正如张奠宙教授所说：“数学教育研究没有数学，有点数学，却数学错误连连，这岂不是本末倒置吗？”戎老师在这方面为小学数学教师教学研究价值取向的引领做了一个很好的示范。然而，对于文章中的有些问题笔者还是要与戎老师较较真，请戎老师和其他老师指正。

一、 “长方形内角和360°”是由定义得到的

戎老师提出了“长方形的内角和是360°是怎么得到的”这一问题。

文中，戎老师把长方形定义为“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”，而据此定义要证明长方形的内角和是360°要用到“平行线的性质”。但是“平行线的性质”又是初中内容，故而小学生“论证过程中不好应用”。

诚如戎老师所述，小学生想要证明长方形内角和是360°似乎已是“山穷水尽”。然而，问题又恰恰出在长方形的定义上。《辞海》有权威解答：

【长方形】见矩形

【矩形】四个角为直角的四边形

此定义简洁明了易懂。根据此定义很容易回答戎老师的问题。“长方形内角和是360°”是由定义得到的，是不证自明的。另外，由张奠宙教授主编的《小学教学研究》第275页也有相同的解释，请读者自查。

二、 一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形

戎老师提出了另一个问题：“两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形？”

正如戎老师论述的：“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形时，已经应用了直角三角形的内角和是180°这个结论了。”

对此，笔者认为可以对原命题做如下的改进，改为：“一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形。”

“直角三角形内角和是180°”这一命题的证明思路如下：一个长方形可以分成两个完全一样的三角形 一个长方形的内角和是360° 一个直角三角形的和是180°。接下来的问题结症是如何证明“一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形”。

如图，对角线AC把长方形ABCD分成两个直角三角形。AD=BC，DC=AB，而AC是公共边，根据全等三角形，三边相等则两个三角形全等。即三角形ABC和三角形ADC全等。所以一个长方形是可以分成两个完全一样的三角形的。当然，这里借助初中全等三角形的证明，小学生或许能理解这样的解释，但不会求证。但是，换个角度，根据小学生已学的三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度固定，三角形的形状和大小就固定不变了。从这个角度思考，三角形ABC和三角形ADC因三边长度固定，其大小形状也就完全一样了。接下来，按前面提到的思路，即证得“直角三角形内角和为180°”，这里不再赘述。

三、 教学目标的设定因人而异，“我的课堂我做主”

文中戎老师提到“有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标，这样做有时真的会弄巧成拙”。

确实在实际教学中有这样的现象，但是，教师也不可固步自封，不敢越雷池一步。正如戎老师说“有时会……”那么请问“有时”又会怎样？是不是可以理解成有时也会“锦上添花”？如照此推理，拔高要求本身无过错，关键是在什么情况下可以拔高与怎样拔高（当然也包括降低）了。

笔者可能是咬文嚼字了，但令笔者感到奇怪的是：大家都认为教育不是工厂生产，不要一个模子，但涉及具体教学时，教学目标又是如此规矩和统一，几无分层要求。一方面，说要根据学生的具体学情来制定教学目标，另一方面，执教者（尤其是公开课）连学生的基本情况都不清楚，就粉墨登场，“一招鲜，吃遍天”；一方面，听闻美国的基础教育比我国的简单很多，另一方面，又听闻新加坡基础教育很好，据说这与他们的教材难度要高于我国很有关系。众说纷纭，莫衷一是。

事实上，苏霍姆林斯基在他的著作《给教师的建议》第70条“要敢于鼓励学生‘超大纲’”提到：“必须让那些天赋高、有才能的学生在他们有能力的那些学科上和创造性活动的领域里超越教学大纲的界限。”“如果教师引导最有才能的学生超出教学大纲的范围，那么集体的智力生活就会变得丰富多样，从而影响到最差的学生也不甘落后。”

笔者认为，教师既不可盲目迷信专家之说，也不可随意而为。但有一点，自己的课堂一定要有自己的教学思想，一定要有自己的教学主见，一定要有教学的主动权。当然，这一切都是以提高自身的专业素养和基于学生学情为前提的。“我的课堂我做主”，一线教师应该要有这个魄力与胆量。

三角形内角和篇5

本节课的重点是探索证明三角形内角和定理的不同方法利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。掌握三角形内角和定理的证明和简单应用初步学会作辅助线证明的基本方法培养学生观察、猜想、和推理论证能力，应用运动变化的观点认识数学。

【关键词】数学教学 三角形内角 定理 教学设计

各位评委老师，大家好，我说课的内容是义务教育课程标准实验教科书北师大版《数学》八年级下册第六章第五节《三角形内角和定理的证明》。对本节课我将从背景分析、教学目标、教学辅助手段、教学过程、教学评价五个方面的设计进行说明。

1.背景分析

1.1 学习任务分析。学生在小学里已经知道三角形的内角和是180°，七年级又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也用撕纸和简单说理来验证了三角形的内角和是180°，而本节课是借助了平角定义，平行线的性质，用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，进行严格的演绎推理。并且让学生感受证明的必要性，对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。为九年级进一步学习证明奠定基础。因此定理的证明思路及方法是本节引导和探索的重点。

1.2 学生情况分析：

1.2.1 学生的年龄特点和认知特点：八年级学生，思维活跃，求知欲强，有了一定的数学学习能力，用教师引导下的自主探索的教学方式，给他们充分的时间、空间，不仅使他们学会动脑思考，动手实践，体会思维的多向性，而且还使他们感受学习过程中与他人合作的必要性，体会成功的喜悦。

1.2.2 学生对即将学习的内容的知识关联区：七年级时学生用撕纸和简单说理验证了三角形的内角和是180°，而本节课是让学生初步感受当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化为自己已经会解决的情况，体会转化思想是数学学习的重要思想。而辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，所以添加辅助线找到多种证明方法是本节课的难点。

2.教学目标设计

依据新课标的要求和上面的背景分析我设计本节的教学目标如下：

2.1 经历三角形内角和定理的证明的探索过程，掌握该定理证明的思想方法。并初步学会利用添加辅助线的方法进行命题的证明。

2.2 通过一题多证，初步体会思维的多向性。

2.3 体会推理的严谨性，初步树立步步有据的推理意识，发展推理论证能力，同时，善于表达自己的想法，并能与同伴交流.初步学会规范书写几何证明的过程。

教学重点：能用多种方法证明三角形内角和定理。

教学难点：证明中辅助线的添加。

3.教学辅助手段设计

因为电子白板的使用可以节省时间，以便更多的学生有机会到讲台前表达自己的观点；其交互功能充分调动学生参与课堂学习的积极性，鼓励学生积极思考，利于学生对问题的理解。同时导学案能引导学生主动的去学习，创造性的去学习，有针对性的去学习，为此我使用电子白板和导学案来辅助本节课的教学。

4.教学过程设计

第一环节：情境引入.出示目标

观看动画，引言导入，出示学习目标.

[设计意图]：动画再现剪拼三角形三个内角为一个平角，其目的是让学生回顾用拼图法来验证三角形内角和是180°的操作过程，为后续学习――拓展证明思路提供帮助，同时开门见山直接引入新课――这是以前学过的用拼图法来验证三角形内角和是180°的操作过程。我们都知道验证一个数学命题是否为真命题，光靠操作验证是不能说明问题的，还必须用数学中的推理证明，我们今天的学习任务就是如何证明三角形内角和是180°。

第二环节：合作学习，探索新知

共五个教学步骤：①学法指导；②自主探究（根据导学案自学）；③小组交流（兵教兵、师参于活动）；④成果展示（以生为主，教师点拨、引导方法归纳）；⑤拓展探究。下面我依次给以说明。

（1）为了让不同基础的学生可以根据自身的需求进行独立探究活动，让每一个学生在课堂上都能有事做，都能做，达到课堂教学要面向全体的教学要求. 体现因材施教的教学原则，在独立探究前，我设计了对学生分层次进行学法指导方案：一是请学生回顾以前学过的知识中，哪些结论与180°有关？二是请学生回顾剪拼法验证过程，思考当三个内角不能剪拼时，该怎么办？三是如果你不知如何探究，可以自学教材P237―238的内容。

（2）学法指导结束后学生根据导学案的提示开始独立进行探究。

（3）第三个步骤就是小组合作学习：每个小组4至6人将自主探究情况在小组内进行交流，同时进行兵教兵活动，让起点较低的学生在交流中明白自主学习中的困惑问题.教师参与小组交流，收集三类信息：一是学生的证明思路是什么？二是你是怎么想到的？三是规范书写中的问题.同时，教师要将好的方法和典型错例指明学生进行板演。

[设计意图]：让学生尝试用自已的语言在小组内说明他们的新发现，使学生的成功感和自豪感在活动中得以提升，同时兵教兵活动也能很好地培养学生的表达能力，合作互助的能力。

（4）第四个步骤：展示交流。小组合作学习结束以后，各小组在全班进行交流。在教师引导下主要交流以下三方面的问题：一是不同的证明方法展示，要求学生说明你是怎样思考的？二是通过小组成员补充得出应该怎样规范书写证明过程？三是指导学生得出本节课的证明思路是数学中化归思想的应用。

[设计意图]本节设计在于培养学生的归纳能力，纠错能力和良好的学习习惯以及通过一题多证，让学生初步体会思维的多向性，也是本节教学目标2和目标3达成关键之所在。

（5）第五个步骤：拓展探究。为进一步激发学生探究欲望，同时让不同的学生有不同的发展，让学优生有更进一步的提高.在展示交流环节结束后，教师再次提出：你还有哪些作辅助线的方法可以将三个内角转化成平角或同旁内角来达到证明的目的？教师引导学生小结后进行观察分析所拼的平角顶点与原三角形的位置关系（演示拼图过程），进而让学生明确其它的证明方法。只要求学生明确思路和能作出辅助线即可。

第三环节：知识应用，巩固检测

学生活动：独立练习；教师活动：批改小组长及部分学生作业，收集信息，对顷向性问题集体订正。

1. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到

玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）

（A）带①去 （B）带②去

（C）带③去 （D）带①和②去

2.已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，求这三个内角的度数。

3.如图：AB∥CD。求证：∠AMN+∠MNF+∠CFN=180°（至少用二种方法进行证明）。

[设计意图]：分层次留作业，尊重学生的个性差异，让不同的学生在数学学习上都有收获和进步。共三个题目：第一道是开放题，这道题有助于帮助学生解决生活中的实际问题 ，可以激发学生学习数学的热情。第二道题采取了客观题的形式，难度中等，使学生掌握概念并能简单运用，可以提高学生的说理能力，这两个题目体现了新课标下落实“学有价值的数学”达到“人人能获得必要的数学”的要求。第三道题是选做题，主旨是培养学生解决问题的能力，达到学以致用的目的.体现了“让不同的人在数学上得到不同的发展”。

第四环节：课时小结.拓展提升

谈谈本节课的收获（你学到了什么知识？获得了什么技能？你还有哪些困惑？你还知道什么？）

[设计意图]请学生谈自己学习过程中的收获，整理自己参与数学活动的经验，通过问题式的小结，让学生再次归纳.总结本节课的重点，弥补教学中的不足，回味成功的喜悦，形成良好的学习习惯，同时也是给学生正确地评价自己和他人的表现的机会，这也是给教者本身一个反思提高的机会。

5.教学评价设计

5.1 要注重对学生学习过程的评价：学生是否积极参与、独立思考；是否富于想象、善于合作；是否主动探索、自由表达等。

三角形内角和篇6

【关键词】小学四年级；数学下册；三角形的内角和；教学策略

在小学数学当中，进行基础教育不是简单的知识传授，也需要增加适当的学习经验。比如在北师大版四年级下册“三角形内角和”这一章当中，不仅需要使学生了解内角和为180度，也需要使其可以灵活使用基本定理解决实际的问题。所以在学习三角形内角和知识的时候，需要引导学生深入到实际操作当中，学会“转化”的数学思想，提高自身灵活使用知识的能力。

一、建设针对性情境，提高学生的学习积极性

由于数学知识需要不断累积，才能使知识得到深化。所以老师需要将以往的知识和新知识进行结合情况，建设针对性的学习情境，而且这个学习情境也需要迎合学生的兴趣。在课堂上根据数学情境，建设有关三角形的数学模型，激活学生脑海当中的知识，主动参与到教学活动当中，提高自身的学习能力。首先在学习新知识的时候，学生已经了解三角形、正方形、长方形等有关的内容，因此可以使学生联系以往学会的知识进行了解三角形内角和的知识，达到举一反三的目的。同时也可以使学生可以灵活使用所学的知识解决更多阅读的问题，从而促进学生解题能力的提升。其次学生也已经比较熟悉平角、直角等方面的知识，可以指导学生进行动手折纸，使其了解任何三角形的内角和均为180度这一理论。最后要从三角形内角和这一章进行引申，使学生进行了解为什么钝角三角形、锐角三角形这两个差别比较大的三角形内角和是180度，这样不仅可以有效提高学生对学习的积极性，也可以是将三角形内角和是180度这一知识进行灵活运用，从而为学生解决更多的数学难题提供有效的帮助。

二、丰富教学的探究过程，提高学生的知识量

在教学大纲当中清楚地提出数学基本思想主要是指建模、推导、模拟，因此在实际教学过程中，不能单单从数学的表面进行解决问题，需要将问题进行转化，使其变成比较简单的问题，从而提高解题的速度。首先老师在传授知识的时候，需要考虑到学生的理解能力，舍弃一些比较难的问题，选择一些符合学生思维能力的问题。其次要将所选择的问题进行转化，使学生可以学会解题思路，使其学生灵活使用三角形内角和是180度这一知识，解决许多具有难度的题目。比如在老师可以使学生在学习等腰三角形、直角三角形的时候，使学生自己进行验证三角形的内角和是否为180度，并且使其应用所验证出来的结论进行解释生活中遇到的数学问题，提高学生的实践能力。最后为使课堂的学习气氛更加浓烈，可以充分利用学生好奇心强这一点，使学生按照自身的想法加入到等腰三角形组、钝角三角形组、直角三角形组、锐角三角形这四个组当中进行验证内角和是否为180度这一理论。使每个组在纸上剪裁出不同的三角形，并且将三角形的角剪下来进行组合，这样不仅可以使学生可以从纸上计算和实际动手操作这两个方面进行验证三角形内角和的理论，也可以使学生学会从不同的角度进行考虑问题，使学生解题能力得到大幅度提升。

三、丰富教学活动的过程，提高学生对学习的兴趣

学生要想获得更多的数学经验，就需要经历许多数学活动才能得到更多的知识和经验，因此进行教授《三角形的内角和》这一章的时候，老师需要为学生提供更多的动手进行探索的机会，使学生积累更多的经验。首先老师要由浅入深地帮助学生积累经验。比如老师可以在教学之前，先要学生预先进行阅读《三角形的内角和》这一章，使其获得初级的知识，并且根据章节的内容找出自身感兴趣的问题，等待到课堂上进行提问，获得对应的答案。其次老师在课堂上要引导学生提出问题，然后使学生自由进行讨论，找出问题的答案。同时也可以使学生进行分组，根据所得出的不同答案进行辩论，确定最终的答案。最后由老师对学生所给出的答案进行点评，使学生了解其所犯的错误在哪，使学生可以积累更多的学习经验。比如在学习《三角形的内角和》的时候，学生可能会提出钝角三角形和锐角三角形谁的内角和大？这种问题，老师可以将学生分成两组，进行辩论，使学生可以主动进行思考问题的答案。同时使学生进行不断计算，进行验证不同三角形的度数，从而可以深刻地了解三角形内角和是180度这一理论的正确性，从而可以灵活使用这一理论解决许多有关的问题，提高学生灵活运用知识的能力。

四、结束语

数学教学不是简单的理论传授，需要通过不断引导、解析和积累，才能使学生得到更多的知识。在学习《三角形的内角和》的时候，不仅需要使学生了解理论知识的内容，也需要使其了解对应的解题思路，从而提高自身探索数学知识的兴趣。因此在实际教学当中，需要从提高学生的学习积极性、建设针对性的教学情境、丰富教学的探究过程、积累学习经验等方面出发，使学生在不断探索的过程中，了解三角形内角和是180度这一理论，并且充分利用这一理论，解决更多的数学问题，从而提高学生解题的能力。

【参考文献】

[1]赖文学.浅谈小学生数学自学能力的培养[J].现代阅读（教育版），2016（03）：88-89

三角形内角和篇7

工作中始终坚持“以研导教、以教促研”的教研宗旨，逐渐形成了“严谨、求实、厚重、灵动”的教研风格。执教的课先后在省、部级赛课中获得一等奖；主持的课题有三项获得省级科研成果一等奖，一项获部级“十一五”重点课题成果一等奖，目前正在进行河南省教育科学“十二五”规划重点课题《小学数学厚重课堂的探索与实践》的研究；撰写的文章有10多篇在省级以上评比中获奖，30多篇在省级以上专业学术期刊上发表；辅导的青年教师有20多人次在省级以上教学评比中获得一等奖。先后参与多种教辅资料的编写工作，多次应邀参加全国学术交流活动，并作课、评课，受到好评。

“教学有法，但无定法，贵在得法。”细细品味古人有关教育的这番言论，再次为其中的教育至理及前人的教育智慧所折服。数学教学说到底，就是要解决这样三个问题：“是什么？”“为什么？”“什么用？”解决这些问题的过程中，选择什么样的教学策略，如何实施，并非千课一法，要依据教学内容和学生学情而定。即好的教学“但无定法，贵在得法”。

《三角形的内角和》是小学数学中基本且重要的教学内容之一，也是老师们赛课或公开课教学争相选择的教学内容。作为教研人员，我看了很多青年教师对这节课“大同小异”的演绎，通过对他们的课堂进行多角度的剖析与反思，我有了新的教学“灵感”，于是，便走进我的“厚重课堂”，用心谱写出了《三角形的内角和》教学的三部曲。

一、“是什么”――不必遮面直接现

“三角形的内角和是180°”，这是三角形的内角和定理，也是三角形的一个重要性质。作为一个固定的数据和重要的数学结论，多数学生课前通过不同的学习渠道应该都有所了解。但老师们在设计教学时，总是愿意先给它蒙上神秘的面纱，然后再通过“猜想―验证”等学习活动逐层揭开。于是，课前便产生了“学生万一一开始就说出来了怎么办”的担忧。课上，有的老师对个别学生的“一时冲动”给予搪塞――“你知道的可真多”，有的老师对学生的“不请自答”给予严厉的眼神――“你发言举手了吗”，有的老师对学生高举的小手以手势示意――“请你们先把手放下来”……总之，他们不想让学生打乱了自己“千呼万唤始出来”的教学预设，想让学生产生“三角形的内角和是180°”是我们发现的这一自豪感。

诚然，老师们的想法符合新课程理念――让学生充分经历数学知识的产生、发展和形成过程，进而培养学生良好的数学情感。但我认为，教学方法的选择和使用一定要视内容和学情而定，其中对学生充分的研读尤为重要。“三角形的内角和是180°”多数学生课前已经知道，既然如此，我们的教学就不必遮遮掩掩，而应该以学定教、顺学而导。下面是我的教学处理：

黑板上事先由上而下出示如下三种三角形（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）：

师：同学们，这是我们认识过的三角形，通过学习，我们知道：三角形都有三个角，这三个角都叫作三角形的“内角”。根据内角的特点，我们可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。认真观察这三类三角形，它们的内角有什么相同点和不同点？

生：相同点是都有两个锐角，不同点是最大的角分别是锐角、直角、钝角。

师：为什么锐角三角形中有三个锐角，而直角三角形中只有一个直角、钝角三角形中只有一个钝角？还有，虽然每种三角形中较小的两个角都是锐角，这两个锐角之和一样吗？

部分学生高举小手急着发言：老师，我知道！我知道！

师：哦，这么多同学都知道啊！这些问题其实都跟三角形的内角和有关，是吗？（板书课题）

生：是！

师：三角形的内角和是一个固定的值，你们知道是多少吗？

部分学生：是180°！

师：说得对！（师随即板书结论）为什么是180°，你知道吗？

学情是教学的重要依据，课前了解学生的知识基础和认知经验，我们就能准确地选择和把握教学的起点。这第一部曲就是依据学生已掌握的三角形的分类、内角特点等知识，创设了一个引导学生开门见山的学习情境，使学生上课伊始就知道本节课要学习的知识，同时带着疑问思考：为什么三角形的内角和是180°呢？

二、“为什么”――“转轴拨弦三两声”

“三角形的内角和为什么是180°？”中学数学中有严格的证明。作为小学生，虽然不能“证明”，但完全可以通过力所能及的方式来进行初步的“验证”，而这最能够体现新课标的要求。作为教师，我们应该如何让学生在能力允许的范围内“知其所以然”？教学该怎样“基于学生”“服务于学生”，又“诱发于学生”呢？

带着上述思考，我这样处理了这一教学环节：

师指板书问：三角形的内角和是180°，看到这个度数，你马上会想到我们认识的什么角？

生：平角。

师：也难怪，平角的度数也是180°。（师随即在黑板上画出一个平角）

师：知道了三角形的内角和是180°，我们的学习才刚刚开始，因为我们不能仅仅知道数学知识“是什么”，还要弄清楚――

生抢答：“为什么！”

师：看来，你们都是会学习的孩子，是学习的有心人！现在，你们一定最想知道，三角形的内角和为什么是180°？为什么和平角的度数是一样的？我猜得对吗？

生一致同意：对！

师：那你们自己有什么办法能搞个明白呢？

（生开始若有所思）

稍后，师提出：谁有好办法愿意推荐给大家？

多数学生：量一量三个内角的度数，再加起来看和是不是180°。

一生补充：直角三角形就不用量三个角了，只要量两个锐角就可以了。

师：除了量，还有别的方法吗？

只有一个学生拿出直角三角形示意：可以把两个锐角折到直角处，正好能拼成90°，三个角合起来就是180°。

师顺势问：好方法！直角三角形能这样验证，其余两种三角形能吗？

多数学生摇头。

看学生说不出更好的方法，我便放手让学生自主探究。

师：刚才，大家相互交流了自己的方法，其实，课本中也给大家介绍了一些好方法，你们也可以去学习和借鉴。下面，就请你们选择其中的方法对手中的任意三角形的内角和进行验证。

（学生或测量或折拼，或独做或合作，自主学习真实、扎实。）

师组织学生交流：刚才的学习中，哪些同学用的是“测量”的方法？你们的结果怎么样？

（多数学生为180°，少数学生为170°、181°、178°、190°等）

师指板书结果问：三角形的内角和明明是180°，为什么他们的结果不是？谁来解释给他们几个听？

生争相解释：肯定是测量时没量准！说不定是读数时，把量角器上的刻度读反了。是不是加的时候算错了？他们剪的三角形肯定不标准，边不直！测量时有误差，不会那么准确。离180°接近的还好说，是因为误差，差得远的肯定是不认真……

（看学生如此“帮我解围”，我真庆幸这个皮球“踢”得值！）

师：除了测量，有用别的方法验证的吗？

（生分别用他们手中的学具，到前面演示了“折拼”“撕拼”等方法。）

师：看来，向书本学习，也是一种好办法！把每种三角形的三个内角拼在一起，都正好能组成一个平角！难怪，它们的和是180°！数学，真有说不出的神奇！

师：“三角形的内角和是180°”，这是三角形的一个重要性质，今天我们只是用自己想到或学到的实验的方法，对有限个三角形的内角和进行了初步验证。这个结论对所有的三角形都成立吗？这需要更严密的证明，以后进入中学，你们就能学习到这种证明方法，让我们一起期待今后更有意义的数学学习，好吗？

如果认真研读学生就会发现，多数学生对结论的验证方法仅限于“测量”，至于“折拼”或“撕拼”等方法，则离学生的实际思维还有一定的距离，严密的证明则距离更远。这第二部曲就是创设了一个让学生自主探究的学习环境，除了让学生根据已有的经验，用测量的方法验证三角形的内角和是180°外，还特别注意引导学生向书本学习，也就是引导学生学习前人的间接经验，用“折拼”或“撕拼”的方法来验证，同时逐步培养学生阅读数学课本的好习惯。至此，“为什么”的教学告一段落，它使学生明白，这是实验几何的结束，是论证几何的开始。

三、“什么用”――“此时无声胜有声”

怎样用“三角形的内角和是180°”解决具体问题，这也是教学的重点。但多数教师的课堂因为前面“验证”费时，至此便一带而过，草草收场。他们认为之所以确定“此处为略”，除了时间不够外，更多的原因是教材中所要解决的问题都很简单，教师没啥可讲，学生完全可以课后进行。

而我却认为，我们真的应该在此环节“做做文章”。我的教学是：

师：通过刚才的学习，我们不仅知道了“是什么”，而且知道了“为什么”，接下来，我们要认真来关注，学习三角形的内角和“有什么用”？

师指着课始出示的三个三角形，提出问题：

你能告诉大家，为什么锐角三角形中有三个锐角，而直角三角形中只有一个直角、钝角三角形中只有一个钝角吗？

（生答略）

每种三角形中较小的两个锐角合起来比，和一样吗？

生：直角三角形中两个锐角的和正好等于90°，锐角三角形中两锐角之和大于90°，钝角三角形中两锐角之和小于90°。

师：如果告诉三角形其中两个内角的度数，你能知道第三个角的度数吗？

（以其中的锐角三角形和钝角三角形为例，处理过程略去）

师追问：在直角三角形中，想知道第三个角的度数，需要告诉你几个角的度数？

生通过争论达成共识：直角的度数已知，只需要告诉一个未知角就可以求另一个未知角了。

师：其实，我们知道，三角形除了按角的特点分类，还可以按边的特点分类，想想看，按边可以怎么分？

生：可以分为等腰三角形和等边三角形。

师纠正：根据三角形中边是否相等，可以把三角形分为“不等边三角形”和“等腰三角形”两类，而“等边三角形”属于特殊的等腰三角形（师随即在相应位置板书）。

其实，刚才黑板上的三个三角形都属于“不等边三角形”。

师：通过刚才的学习我们发现，在不等边三角形中，除直角三角形外，知道两个角的度数，才能求出第三个角的度数。那等腰三角形中呢？（师出示一个等腰锐角三角形）

生：正好相反，只告诉一个角的度数，就可以知道其余两个角的度数是多少？

师追问：如果是等腰直角三角形呢？

生思考后顿悟：每个角的度数我们都知道。

师：等腰直角三角形它的三个角的度数是确定的，我们常用的三角板中就有这样的三角形。

师：还有一个最特殊的等腰三角形，（出示等边三角形）它的每个角是多少度呢？

生：都是60°！180°÷3。

师：如果按角分，它应该属于哪种三角形呢？

生：锐角三角形。

师引导学生感悟：

在应用三角形的内角和解决实际问题的过程中，要依据三角形的特点灵活选择简便的方法。

虽然三角形的分类标准不同，分得的结果也不一样，但它们之间还是有着非常紧密的联系！

最后，师拓展：其实，三角形的内角和还可以帮助你们去发现四边形、五边形等其他多边形的内角和，请同学们课后进一步去感受它的作用和神奇魅力！

三角形内角和篇8

单元总体目标：

1.认识三角形各部分的名称、三角形的底与高、三角形的两边之和大于第三边，三角形的内角和是 180 度等。

2.通过对比了解三角形的不同类型。

3.通过观察、探究、操作的过程，认识三角形的特征及分类。

4.培养学生乐于探究、乐于实验的科学精神，培养学生的合作交流和空间观念。

本单元共用 6 课时完成教学

第一课时：认识三角形 例1、例2及课堂活动，练习九1-4

第二课时：认识三角形 例3课堂活动1题及练习十1-3

第三课时：认识三角形例4 课堂活动2题及练习十4-8题

第四课时：三角形的分类例1及课堂活动1题及练习十一1-4

第五课时：三角形的分类例2、3及课堂活动2-4题及练习十一5-8

第六课时：整理与复习 及练习

单元教学重点：三角形的特征及三角形的底与高。这是探究三角形边的关系、三角形的内角和三角形面积计算等的基础，因此是教学的重点。

单元教学难点：发现和体会”三角形任意两边之和大于第 3 边“及”三角形的内角和是 180°。

第一课时

教学目标：1、通过观察、折、画认识三角形的特征和特性。

2、指出三角形边、角、定点、会辨认出三角形的底和高。

教学例1：认识三角形的特征，用自己的语言说出什么的三角形。认识三角形的特性：三角形不容易变形的这种性质就是三角形的稳定性。

教学例2：认识三角形的底和高

1、认识底和高：检查方法：拿一个锐角三角形。折痕的一端过三角形的顶点，另一端所指的边被分为两段，折后这两段要重合。

2、三角尺画三角形的高。

第二课时

教学目标：实验操作中探索三角形3条边之间的关系，通过操作了解“三角形两边之和大于第三边”。

教学例3：探索三角形三条边的关系。课前准备好不同长短的小棒或吸管，学生动手操作实验，并完成实验表格，在围成的三角形中，两边之和与第3边比较发现：三角形任意两边之和大于第三边。

第三课时

教学目标：探索三角形内角和等于180°的过程。通过猜想、验证了解“三角形内角和等于180°

教学例4：方法：1、通过量一量，加一加2、撕一撕，评一评等方法验证三角形的内角和都是180°。

思考：三角形的内角和与三角形的大小有关系吗？

第四课时

教学目标：知道三角形按内角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。在操作中去认识各种类别的三角形及其特征。

教学过程：出示例1中的6个三角形。

提出要求：

（1）观察每个三角形中3个角分别是什么角？（不易观察的要用量角器度量）

（2）根据角的特点对这些三角形进行分类，并思考这样分的依据。

（3）给同桌同学讲一讲，你是怎样分的？为什么要这样分？

教师：为什么这里说“有1个角是直角的三角形叫做直角三角形”，想一想，在一个三角形里面能不能有2个直角呢？在一个三角形里面能不能有2个钝角呢？

第五课时

教学目标：了解等腰三角形、等边三角形的特征。

教学：

1、将红领巾或小彩旗对折，你有什么发现？

发现：（1）两条边相等。（2）两个角相等。（3）是轴对称图形。

教师：是不是所有的三角形对折后都是这样的呢？请拿出自己随意剪的三角形，进行对折，看有没有这些特征。

2、教学等腰三角形各部分的名称。

3、探索等边三角形的特征

出示例3 按要求剪三角形。

（1）将一张长方形纸对折。

（2）用量角器量30°的角。

（3）剪三角形。

（4）展开。

2、仔细观察手中的三角形的角和边，也可以动手折一折或用直尺和量角器量量，看有什么发现？

3、在小组里面交流自己的发现并说出你是怎样发现的。

4、反馈：

（1）3条边相等。

（2）3个角相等，都是60°。

（3）是轴对称图形。

（4）锐角三角形。

教师：像这种3条边相等的三角形，我们给它取个名字叫做等边三角形。

三角形内角和篇9

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

分类

按角分

判定法一：

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

判定法二：

1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。

三角形内角和篇10

一、选择题（每小题3分，共36分）1．在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( )A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【考点】三角形三边关系． 【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个 在范围内即可．【解答】解：设第三边为c，则9+4＞c＞9﹣4，即13＞c＞5．只有9符合要求．故选C．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于( )A．12 B．15 C．12或15 D．15或18【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】分类讨论．【分析】从已知结合等腰三角形的性质进行思考，分腰为3，腰为6两种情况分析，舍去不能构成三角形的情况．【解答】解：分两种情况讨论，当三边为3，3，6时 不能构成三角形，舍去；当三边为3，6，6时，周长为15．故选B．【点评】题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃，那么最省事方法是( ) A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【考点】全等三角形的应用． 【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．4．在ABC和A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后，仍不一定能保证ABC≌A′B′C′，这个补充条件是( )A．BC=B′C′ B．∠A=∠A′ C．AC=A′C′ D．∠C=∠C′【考点】全等三角形的判定． 【分析】全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证．【解答】解：A中两边夹一角，满足条件；B中两角夹一边，也可证全等；C中∠B并不是两条边的夹角，C不对；D中两角及其中一角的对边对应相等，所以D也正确，故答案选C．【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系．5．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是( )A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形定义可知：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选A．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在( )两点上的木条． A．A、F B．C、E C．C、A D．E、F【考点】三角形的稳定性． 【分析】根据三角形具有稳定性选择不能构成三角形的即可．【解答】解：A、A、F与D能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；B、C、E与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；C、C、A与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；D、E、F不能与A、B、C、D中的任意点构成三角形，不能固定形状，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了三角形的稳定性，观察图形并熟记三角形的定义是解题的关键．7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD=35°，则∠MAB的度数是( ) A．35° B．45° C．55° D．65°【考点】角平分线的性质． 【分析】过点M作MNAD于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得MC=MN，然后求出MB=MN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AM是∠BAD的平分线，然后求出∠AMB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【解答】解：如图，过点M作MNAD于N，∠C=90°，DM平分∠ADC，MC=MN，∠CMD=∠NMD，M是BC的中点，MB=MC，MB=MN，又∠B=90°，AM是∠BAD的平分线，∠AMB=∠AMN，∠CMD=35°，∠AMB= （180°﹣35°×2）=55°，∠MAB=90°﹣∠AMB=90°﹣55°=35°．故选A． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．8．如图，ABC≌AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【解答】解：ABC≌AEF，AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．9．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ) A．75° B．90° C．105° D．120°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【专题】探究型．【分析】先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．【解答】解：图中是一副直角三角板，∠BAE=45°，∠E=30°，∠AFE=180°﹣∠BAE﹣∠E=105°，∠α=105°．故选C． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．10．有一个多边形，它的内角和恰好等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是( )A．7 B．6 C．5 D．4【考点】多边形内角与外角． 【分析】n边形的内角和 可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得：（n﹣2）•180°=2×360°，解得n=6．故选B．【点评 】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．11．在ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是( ) A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质． 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明ABD≌ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在ABD和ECD中， ，ABD≌ECD（SAS），CE=AB．在ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，1＜AD＜7．故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．12．如图，由4个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点，则田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有( ) A．1个 B．3个 C．2个 D．4个【考点】利用轴对称设计图案． 【分析】根据轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：符合题意的有3个三角形．故选：B． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）13．在ABC中，∠A=60°，∠C=2∠B，则∠C=80度．【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得．【解答】解：∠A=60°，∠B+∠C=120°，∠C=2∠B，∠C=80°．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．14． 如图，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了1200m． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的外角和为360°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，他需要转动360°，即可求出答案．【解答】解：360÷30=12，他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×100=1200米．故答案为：1200米．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．15．如图，将ABC沿射线AC平移得到DEF，若AF=17，DC=7，则AD=5． 【考点】平移的性质． 【分析】根据平移的性质得出AD=CF，再利用AF=17，DC=7，即可求出AD的长．【解答】解：将ABC沿射线AC平移得到DEF，AF=17，DC=7，AD=CF，AF﹣CD=AD+CF，17﹣7=2AD，AD=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出AD=CF，以及AF﹣CD=AD+CF是解决问题的关键．16．如图，在ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=66.5°． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠CAE+∠ACE，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠CAE+∠ACE= （∠B+ ∠ACB）+ （∠B+∠BAC），= （∠BAC+∠B+∠ACB+∠B），= （180°+47°），=113.5°，在ACE中，∠AEC=180°﹣（∠CAE+∠ACE），=180°﹣113.5°，=66.5°．故答案为：66.5．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，整体思想的利用是解题的关键．17．如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是3cm． 【考点】角平分线的性质． 【分析】求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∠C=90°，D到AC的距离为CD=3cm，AD平分∠CAB，D点到线段AB的距离为3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用CD是D点到线段AB的距离是正确解答本题的关键．18．如图，已知在ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DEBC于E，若BC=15cm，则DEB的周长为15cm． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】先根据ASA判定ACD≌ECD得出AC=EC，AD=ED，再将其代入DEB的周长中，通过边长之间的转换得到，周长=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以为15cm．【解答】解：CD平分∠ACB∠ACD=∠ECDDEBC于E∠DEC=∠A=90°CD=CDACD≌ECDAC=EC，AD=ED∠A=90°，AB=AC∠B=45°BE=DEDEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边 的夹角．19．如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，ODBC于D，且OD=3，ABC的面积是31.5． 【考点】角平分线的性质． 【分析】连接OA，作OEAC，OFAB，垂足分别为E、F，将ABC的面积分为：SABC=SOBC+SOAC+SOAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是ABC的周长，可计算ABC的面积．【解答】解：作OEAC，OFAB，垂足分别为E、F，连接OA，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，ODBC，OD=OE=OF，SABC=SOBC+SOAC+SOAB= ×OD×BC+ ×OE×AC+ ×OF×AB= ×OD×（BC+AC+AB）= ×3×21=31.5．故填31.5． 【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．20．如图所示，已知AB=AC，∠A=40°，AB=10，DC=3，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=30度，AD=7． 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到∠DBA的度数，计算即可．【解答】解：AB=AC，∠A=40°，∠ABC=∠C=70°，MN是AB的垂直平分线，DA=DB，∠DBA=∠A=40°，∠DBC=30°；AB=AC，AB=10，DC=3，DA=10﹣3=7，故答案为：30；7．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．三 、解答下列各题21．如图，写出ABC的各顶点坐标，并画出ABC关于y轴对称的A1B1C1，写出ABC关于x轴对称的A2B2C2的各点坐标． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】根据直角坐标系的特点写出各点的坐标，并作出各点关于y轴对称的点，然后顺次连接，写出坐标．【解答】解：如图： ABC各点坐标为：A（﹣2，5），B（﹣6，2），C（﹣3，1）；A2B2C2的各点坐标为：A2（﹣2，﹣5），B2（﹣6，﹣2），C2（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．22．已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值． 【考点】多边形内角与外角；平行线的性质． 【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值．【解答】解：AB∥CD，∠C=60°，∠B=180°﹣60°=120°，（5﹣2）×180°=x+150°+125°+60°+120°，x=85°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，属于基础题．23．已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，∠A=60°．（1）求∠FBD的度数．（2）求证：AE∥BF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）求出AC=BD，根据SSS推出AEC≌BFD，根据全等三角形的性质得出∠A=∠FBD即可；（2）因为∠A=∠FBD，根据平行线的判定推 出即可．【解答】解：（1）AB=CD，AB+BC=CD+BC，AC=BD，在AEC和BFD中 AEC≌BFD，∠A=∠FBD，∠A=∠FBD，∠A=60°，∠FBD=60°；（2）证明：∠A=∠FBD，AE∥BF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．已知A村和B村坐落 在两相交公路内（如图所示），为繁荣当地经济，A、B两付计划合建一座物流中心，要求所建物流中心必须满足下列条件：①到两条公路的距离相等；②到A、B两村的距离也相等．请你通过作图确定物流中心的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】作出两条公路夹角的平分线和张、连接A、B两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求物流中心．【解答】解：如图所示：点P即为所求物流中心． 【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，角平分线性质，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质是解本题的关键．25．（1）如图（1），在ABC中，∠C＞∠B，ADBC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FMBC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】探究型．【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠EAC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，然后表示出∠EAD，整理即可得解；（2）过点A作ADBC于D，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再根据（1）的结论解答．【解答】解：（1）AE平分∠BAC，∠EAC= ∠BAC= （180°﹣∠B﹣∠C），又ADBC，∠DAC=90°﹣∠C，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）= （∠C﹣∠B），即∠EAD= （∠C﹣∠B）；（2）如图，过点A作ADBC于D，FMBC，AD∥FM，∠EFM=∠EAD= （∠C﹣∠B）． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，整体思想的利用是解题的关键 ．26．（14分）已知，如图1，ABC和EDC都是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上．（1）填空：∠AED=∠CDE=120度；（2）求证：AD=BE；（3）如图将图1中的EDC沿BC所在直线翻折（如图2所示），其它条件不变，（2）中结论是否成立？请说明理由． 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）由DCE为等边三角形可知∠CDE=∠CED=60°，然后由邻补角的定义可知∠AED=∠CDE=120°；（2）证明BDE和AED全等即可；（3）由等边三角形的性质可知：AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠BCE，从而可证明ACD≌BCE，从而可得到AD=BE．【解答】（1）解：EDC都是的等边三角形，∠CDE=∠CED=60°．∠AED=∠CDE=120°．故答案为：∠CDE；120．（2）证明：ABC和EDC都是等边三角形，AC=BC，EC=DC．AC﹣EC=BC﹣DC即AE=BD．在AED和BDE中， ，AED≌BDE（SAS）．AD=DE．（3）AD=BE仍成立．理由：ABC和CDE都是等边三角形，AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．在ACD和BCE中， ，ACD≌BCE．AD=BE．【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．