学术研究论文范文

导语：如何才能写好一篇学术研究论文，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公文云整理的十篇范文，供你借鉴。

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摘要：死刑的存废问题，已逾二百年的历史。现在，死刑存废之争已进入了一个白热化的阶段。笔者也仅在此借助前人的精辟的理论与学术成果，表述一下对死刑存废的浅显看法。

关键词：死刑制度死刑复核存废之争

一、引言

死刑属于我国刑法明文规定的刑罚种类——主刑与附加刑两类之一的主刑之中，是所有刑罚中最严厉的一种，它剥夺人的生命，而生命一旦被剥夺，人就消失了，以人为载体的一切就不复存在，因而历来受刑法学家的重视。在当前世界上人权运动方兴未艾的社会历史背景下，死刑更是成为人们关注的焦点之一。

二、笔者认为应当限制和减少死刑，但对情节严重的犯罪保留死刑

人民网上关于废除死刑问题投票中有9.7%的人赞成立即全面废除死刑，尊重生存权；6.9%赞同废除死刑，但要循序渐进，先限制、再废除；24.8%认为限制和减少死刑，但要对情节严重的犯罪保留死刑；58.7%反对废除死刑，要加大刑罚力度。笔者赞同限制和减少死刑，但要对情节严重的犯罪保留死刑。有如下几点原因：

首先，笔者认为立即在我国废除死刑是不现实的。第一，我国现在是世界上规定死刑罪名最多的国家，我国刑法在42个条文中规定了69个死刑罪名，使我国成为世界上规定死刑最多的国家。并且也是执行死刑最多的国家，每年被执行死刑人数是全球其他国家执行人数之和。任何事情都是一个循序渐进的过程，如果立即在全社会废止死刑，全国范围内的各层人民和司法机关必定会有所不适应。并且从人民网的民众投票来看，有90%以上的人不支持立即全面废除。第二，我国现在仍需要死刑来对犯罪进行威吓。尽管意大利学者贝卡里亚和我国部分学者认为死刑并不能对罪犯起到威吓作用。但笔者认为，人毕竟是怕死的。在一定的范围和程度上，死刑对于一些犯罪分子还是具有一定的威吓力。使他们在实施犯罪行为时，有所顾忌。

其次，笔者认为加大死刑执行力度也是不可取的。因为太严厉不仅不能够遏制犯罪反而会让犯罪行为更加猖獗，更加残酷；且会让人们对被执行死刑者产生怜悯之心。

第一，从犯罪产生的根源来看，犯罪是一定社会中政治、经济、文化教育、家庭关系等社会因素与犯罪者个体所互相作用的产物。死刑不可能根除产生犯罪的复杂根源，自然也不可能从根本上遏制犯罪的产生。中国清末伟大的法学家和法律改革家沈家本就曾指出：“苟不能化其心，而专任刑罚，民失义方，动罹刑纲，求世休和，焉可得哉？”“化民之道，固在政教，不在刑威也。”从潜在的犯罪人对死刑的态度来看。死刑对激情犯、情境犯、亡命徒有明显的威慑力。如某些杀人、伤害、等，犯罪人多是由于某种矛盾激化或情境刺激，以致丧失理智，感情冲动而一时控制不住实施了犯罪行为。这种情况下，犯罪人往往不能准确地去酌量其犯罪可能造成的法律后果和权衡犯罪所得与因此而承受的刑罚之苦之间的得失比例。对这些人来说，死刑的威慑力无法发挥。而对“亡命徒”的犯罪人来说，虽然明知自己的行为严重性并且确信犯罪后必然被判处死刑，却仍然要孤注一掷实施犯罪。对这类犯罪人来说，死刑的威慑力是明显没有意义的。20世纪20年代以来，国外许多学者就死刑与凶杀犯罪案发率之间的关系进行过大量的研究。使用的方法有两种：第一种是在实行死刑的国家与废除死刑的国家之间，或实行死刑的州与废除死刑的州之间就凶杀发案率进行比较，这是一种横向比较。第二种是在同一个国家或同一个州之内对废除死刑或恢复死刑前后的凶杀案发案率进行比较，这是一种纵向比较。大多数研究者的报告，都否认死刑的存废与凶杀犯罪率之间存在因果关系，也就是说，研究结果并不能证明死刑对犯罪有遏制力。还有人研究过使用死刑的频繁程度与凶杀发案率之间的关系，结果认为二者相互关系不大。

第二，死刑的执行过多反而会不利于遏制犯罪甚至会引发更多的犯罪。比方说，一个抢劫别人钱的人如果也被判死刑，就有可能引发抢劫对象被杀死，这样做的目的可以使司法部门无法有效地侦破犯罪，因为抢劫是死，杀人也是死，索性抢劫的时候把人杀了。“杀一个够本，杀两个赚一个……”。同样，如果女人的人被判死刑，也会引发女人被杀死，这样反而不利于保护社会上的群众和公安部门对案件的侦破。

三、对我国死刑执行现状的一点看法

在部分地区，死刑在群众聚集的地方执行，如我国古代就经常将罪犯游街示众再拖到菜市口处以死刑。因此，在部分人眼里，死刑变成一场表演，死刑执行时被执行者的痛苦表情使某些人对它怀有一种忿忿不平的怜悯感。占据观众思想的主要是这两种感情，而不是法律所希望唤起的那种健康的畏惧感。刑场与其说是为罪犯开设的，不如说是为观众开设，当怜悯感开始在观众心中超越了其他情感时，立法者似乎就应当对刑罚的强度做出限制。贝卡里亚认为用终身苦役来代替死刑，如果把苦役的受苦时间加在一起，痛苦程度与死刑比起来是有过之而无不及。并且苦役有一个好处，它使旁观者比受刑者更感到畏惧，因为，前者考虑的是受苦时间的总和，后者则分心于眼前的不幸而看不到将来。在前者的想象中，刑法的恶果变得昭彰了；而后者却从他那麻木不仁的心灵中汲取旁观者所无法体验和理解的安慰。再从我国的执行程序来看，我国法律规定在执行刑罚中的变更措施很多，有减刑、假释、保外就医等，被判无期徒刑的犯罪人有的被关15、20年就放出去了。再加上有关程序不公开、不透明，一些罪行严重的犯罪分子借助关系逃脱处罚的情况时有发生。前几年，媒体披露的因故意杀人罪而被判处死刑后改死缓，绰号“虎豹”的大连黑社会老大邹显卫，在投监后买通监狱领导，将死缓改为有期徒刑，还在高墙内住高级套间，专人伺候，召妓，乘豪华轿车随意出入，最终又在社会上滥施，杀死一人。而在西方一些国家，刑罚执行中也有变更程序，但执行比较到位，透明度高，程序严格，因此罪大恶极的犯罪分子轻易出狱的事极少发生。

最后，笔者认为要减少和限制死刑的适用，对于非人身暴力犯罪或情节不严重、过失犯罪增设长期刑或者终身刑。借鉴国外的制度，有期徒刑最长30年以上，一些国家甚至上不封顶可判几百年。无期徒刑完全可能终生不放。而罪行极为严重，人身危险性极大的犯罪分子，再次回到社会会造成社会危害的处以死刑。另外，笔者还认为要做好被处有期徒刑的人回到社会后的一系列工作。例如：指导就业，给予一定就业指导和安排等。因为，被判20、30年的人，回到社会后大多已经50、60岁。如果不对他们进行就业指导或心理疏导，这些人没有工作，没有经济来源生活无保障，受到歧视很有可能再次犯罪。因此，这类人出狱后的情况，我们不得不考虑。

现在且不论废除死刑是不是历史的必然趋势，因为目前很难做出绝对肯定的答案，人类社会的发展，包括社会制度和法律制度发展变化，总有自身的规律性。死刑作为应对犯罪的一种极端手段，也有其合理存在的理由。理论和现实还是有很大的差异，现实社会中的一系列问题以及如何改革是复杂和曲折的，这还需要学者和政治家们的共同努力。

参考文献：

[1]赵秉志主编：《新刑法全书》，中国人民公安大学出版社1997版，第195页。

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1入学考试环节

入学考试有许多理论和方法，在研究生入学考试环节，由于报考学生专业来源较杂，必须统一标准。报考第四军医大学图书馆学专业的考生，主要专业来源包括图书馆学、医学、计算机应用、外语等。这些不同专业背景来源的考生，其专业背景知识均有与医学图书馆工作相契合的部分，因而也均是我们所需要的生源。面对这样的生源情况，对信息管理综合、图书馆学基础两门课程，在制定考题方面制定了如下的设计思路：“信息管理综合”课程所要考核的是最基本的学科知识，经过反复比较，最终选定马费成的《信息管理学基础》为基本考试内容；专业基础的要求与专业综合类似，最终选定吴慰慈的《图书馆学基础》作为专业基础课的主要用书。入学考试基本教材的选定，体现的是教材权威性、实用性与可操作性的统一。在考试出题思路上，既不将考试范围划得过宽过大，又要涵盖学科最核心的内容，体现的是学生来源较杂、学科背景不同的一种应对策略。

2专业相关课程的选定环节在入学后，积极引导学生选定专业相关课程，主要针对如下几类课程采取不同的对策。

2.1公共必修课

我校公共必修课包括5门课程：英语、医学统计学、临床流行病学与循证医学、自然辩证法概论、中国特色社会主义理论与实践等。在如何学习公共必修课方面，要求学生在全面完成课程学习的基础上，特别强调对直接应用性内容的重视。如英语的专业英语部分、医学统计学的Meta分析部分、循证医学的文献检索部分等。

2.2专业必修课与选修课

专业必修课与选修课包括：医学文献检索、计算机综合应用技术、管理学基础、健康知识等。在专业必修课与选修课方面，要求在知识体系上比较全面，包括医学图书情报、计算机、管理、医学等各大门类中比较有代表性的课程。

2.3图书馆专业课

开设2门专业课程：信息咨询和情报检索语言，是在学校规定的范围内选定的两个应用面较宽的专业课程。

3图书馆实践环节研究生

在第一学年基本课程学习完成后，按照学校的统一安排到图书馆参加实践。在这个环节上，核心的指导思想是让学生的实践工作与图书馆日常工作结合起来，在完成实践任务的同时，深入钻研业务知识，提高自己的专业水平。

4开展课题研究的关键环节

4.1开题报告

研究生在第二学年的第三学期，要面对专家组正式作开题报告，阐述进行课题研究的框架、预期的研究结果等。开题是研究生开展课题研究的第一个重要环节，有一些学者专门论述过研究生开题问题。开题草率是许多研究生存在的问题，包括文献检索、阅读不充分、研究没有数据支持、技术路线不明确、预期结果不清晰等，均是常见的问题。开题过于繁琐是另一种倾向。有些研究生开题涉及的研究内容过于繁杂，主客观条件不具备，使得课题研究也难以完成。在开题过程中应该避免上述的两种倾向，应在科学性和实用性上下大功夫。开题应该解决的主要问题包括：准备研究什么课题、4要素（目的、方法、结果、结论）设想是什么、研究的创新性如何、研究工作量是否适当、实用性如何等。在时间轴上要制定研究进度表，包括确定研究主题、设计研究方案、分阶段开展研究、形成研究成果等主要环节的时间节点。

4.2课题研究第1阶段

在开题后一直到中期检查，大约相隔1年左右，为课题研究第1阶段。在第1阶段中，主要是技术路线的探索。多数情况下技术路线都不是唯一的，如建设一个数据库就有多种软件可选择，数据库结构可以设计成多种样子。确定出正确的技术路线，就可以在这一阶段得到初步的研究结果。

4.3中期检查

在研究生的第三学年开始阶段，要进行中期检查。中期检查的内容主要是：开题以来的研究进展是否顺利，原定的研究目标是否能顺利地完成。在第一阶段的研究中，研究的技术路线是否正确；得到的初步研究结果是否符合预期；整个研究的节奏是否平顺；原定的研究内容是否需要调整。对于研究进展缓慢或根本没有进展的学生，要明确提出需要延期毕业或不能毕业的处理意见。

4.4课题研究

第2阶段从中期检查到毕业论文撰写的这一期间为课题研究第2阶段，时间大约为10个月。在第2阶段，不能在研究技术路线上左右不定，要在第1阶段研究的基础上，制作精细的研究计划，形成最终的研究结果。对于理论问题和实践问题要区别对待。回答“为什么”这样的理论问题，要有坚实的、公认的理论基础，争取有所突破，但不能是空中楼阁。对于“有什么用”、“怎么做”的实践问题，要充分展示其实用的价值。

4.5完成毕业论文

课题研究全部完成后，要对检索到的文献进行回顾，对研究形成的数据资料进行系统化精炼，形成最终的毕业论文。研究生课题的形成是一个由感性认识到理性认识的过程，在前期研究中积累了大量的研究资料，需要在完成毕业论文过程中概括、提炼、转化，最终形成确定的研究结果，并围绕关键问题、主要结果展开讨论。要在论文中形成明确的研究结果，不能让论文变成虚拟化论文、老生常谈式论文。

5在完成学位

论文的过程中，要对其中的主要研究结果撰写成数千字的期刊论文正式发表。在方面，导师组需加强指导，严格把关，使学生能够顺利完成这项硬指标。我们培养的每个研究生均发表了科技统计源期刊论文或核心期刊论文1～3篇。

6教师与教学环节

导师组是研究生培养过程中的核心与关键。图书馆的导师组由3～5名专家组成，专家素质与责任心在引导学生的过程中起着核心作用。图书馆的导师组始终坚持以最新的教育科学成果武装自己，在教育、教学、管理等各个方面的教学实践中，发挥引导作用，促进学生发挥主观能动性，将培养富有独创见解的能力作为重要的任务，激发学生的求知欲和成就动机。在教学风格方面，建设学科网站，制作精良课件，重视上机实习，调动各种教学手段，不拘泥于原定的程序，进行交互式教学，增强教学效果。导师的责任非常重大，除了对研究生思想政治、身心健康等一般情况的了解与引导外，核心的任务是保证学生学业的完成。首要强调的核心环节是创新，创新是科学研究的灵魂。硕士研究生属于高层次学生的培养，不能等同于一般性科学研究，要督促学生在创新这个环节花大力气，见到成效。导师必须定期和研究生见面，不能任其自由生长。在本文上面论述到的开题等一系列的环节中，导师均是不可或缺的角色。指导学生的科研活动既宏观又微观，指导学术论文写作更要抱有极大的耐心。

二结语

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有的学者认为，多元化史学思潮在中国已经形成，而唯物史观基本原理的理论缺陷，使唯物史观的理论影响在下降，故历史观应当发展成为唯物辩证的以实践为基础的系统史观，其中包括将哲学认识方式、科学认识方式相结合以探求各个文明地区和各个国家、民族以及各个社会分域的历史发展规律，从事历史理论研究；也可将价值认识方式与科学认识方式相结合。

有的学者认为，历史研究必须旗帜鲜明地坚持的理论指导，自觉抵制“指导思想多元化”以及“左”倾思想影响下的简单化、概念化、公式化和教条主义等错误倾向．唯物史观传人中国之后，中国历史学发生了深刻的变化；同时，我们也必须清醒地看到，当前唯物史观面临着来自诸多方面的挑战。首先，由于历史的原因，唯物史观的基本原理被误解或歪曲，在一些人的思想中造成较严重的混乱，澄清这些混乱思想，在理论和实践上都有许多艰苦的工作要做；其次，苏联解体、东欧剧变后，国际上出现了否定的社会思潮。并在国内思想界有所反映，历史研究领域也出现了否定唯物史观基本原理的错误倾向；其三，外国历史学理论思潮大量涌人国内，但由于缺乏的科学分析，致使一些人误认为这些理论是可以代替唯物史观的“科学理论”；其四，20世纪80年代以后，社会发展和科技革命都发生了许多新变化，提出了诸如“现时代的本质和特征”等重大的理论问题．唯物史观需要面对现实，在社会生活和科学研究的实践中，不断丰富自己的概念、方法和理论范畴，关注新的增长点，而不是故步自封，使其能及时地回应社会的呼唤，随着时代的发展而发展。为了应对唯物史观面临的严峻挑战，第一，要有与时俱进的精神状态；第二，在全球化的背景下，正确认识包括史学在内的所谓学术研究“与国际接轨”；第三，高度重视史学理论在历史研究中的地位和作用，即不仅要重现20世纪50年代、80年代史学理论研究的辉煌，而且要在此基础上深刻理解当代中国和世界，把当代中国的历史科学、史学理论不断推向前进．

有的学者认为，坚持唯物史观，是指坚持基本原理．近一个世纪历史研究的实践证明，只有这种理论才提供给了人们认识历史问题的最锐利的武器，而那种赋予唯物史观的过多含义．把本来不属于它们的范畴的东西也当作其基本原理去宜传的教条主义，反倒有碍于史学的健康发展。今天，我们还必须通过历史研究的实践，吸收古今中外一切有益的史学理论和方法，去丰富和发展的唯物史观。

有的学者认为，新的历史时期，唯物史观的基本原理及其在史学中运用有着广阔的发展前景，但同时也受到来自不同方面的挑战：第一，对唯物史观的基本原理缺乏深入的了解，教条化甚至是情绪化看待唯物史观；第二，迎合西方某些史学理论，对唯物史观作所谓的“修正”与否定；第三，打着学术创新的旗号．对唯物史观做剪裁与歪曲以至否定，第四，通过各种形式的历史题材文艺作品，宣扬与唯物史观相左的历史观念．所以，必须正确认识唯物史观在运用过程中所存在的问题。在新的历史条件下坚持与发展唯物史观应付出更多的努力：其一，在对唯物史观及其指导下的史学研究进行认真反思的基础上，加強对唯物史观产生背景、时代意义、根本内涵等基本问题的研究，准确理解和把握其灵魂与精髓，澄清当前史学界的一些模糊认识；其二，根据新的历史形势，将对唯物史观的坚持与发展辩证统一起来；其三，从学术发展的规律来看，唯物史观指导下的中国史学要在新世纪获得更大的发展，关键还在于要有一大批经得起实践和时间检验的优秀学术成果；其四，作为的重要组成部分，唯物史观的学术根基广布于哲学、历史等各相关学科的理论与具体研究工作中，而作为学术与普通大众之中介的文化教育、文艺作品能否坚持唯物史观的基本观点，则是唯物史观能否深人人心的重要前提。

有的学者认为，目前研究中存在两种错误的倾向：一是在运用唯物史观之理论上的公式化与教条化；另一则是沿袭唯心史观的“从思想到思想”的诠释模式．实际上，唯物史观的思想源于“现实生活过程”的原理，为我们在这一学术领域的研究提供了科学的“本体”论与方法论。按照唯物史观的要求，我们应在三个层面上展开研究，即从广大民众、统治阶级或日益崛起的新兴阶级与思想家本人的“现实生活过程”出发，去分析相应的思想文化形态、思想流派、思想家的主张，唯有如此方能正确地阐明各种思想文化现象的本质，进而揭示其发展演进的历史规律。

有的学者认为，唯物史观也是要不断丰富发展和完善的．虽然时下没有人会对应该丰富和发展持有异议。但是一旦涉及原创性的经典结论，人们便很难有所突破，往往使丰富发展流于一句空话。而新的文化哲学是对唯物史观的丰富和发展，因为新文化观具有它的理论生命力，对社会历史现实问题具有容纳解释能力，不像其他哲学思潮和流派很少明确阐述自身与唯物史观的关系，甚至有意回避或搁置。

有的学者认为，唯物史观是一个开放的系统，即这一理论系统不间断地且广泛、深入地与外界进行物质与信息的交换，之所以这样在于其具备下列特点：第一，这一理论体系是实践的理论体系，即理论之冲破象牙塔、学院的禁锢。摆脱纯意识之形式转化为社会物质力量，是通过实践实现的，而社会实践本身就具有广泛联系，从而构成开放系统；第二，这一理论体系具有广泛的、长时间的社会适应性，从而既具长时间合理性又具有解读和发展的空间，第三，有生生不息的一代又一代学人、思想家薪火传承，宜传诠释，发展创新．开放的系统较之封闭的系统最大不同在于，它不是一次性地完成就终结了，而是在实践中不断地自我更新、自我丰富、自我完善、自我发展。

主要参考文章：

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语言是思维的外衣，是交流思想的工具，是表达内容的形式。对老师来讲，语言是从事课堂教学的起码条件，是完成教育教学任务的重要手段，是最重要的基本素质之一，教学是一门艺术，老师要充分运用自己的语言使得课堂教学显得轻松愉快又引人入胜，这样才能增强教育教学效果，提高教育质量。

课堂教学的语言可以分为以下五种：

一、口头语言

口头语言是人类之间交流、传递信息的最主要的工具。口头语言也是老师在课堂中最常用的授课方式。口头语言相对其它语言来说最大的特点的是它的时间和空间的灵活性强，通过口头语言的，老师可以将知识和情感完整和准确地传递给学生，同时还可以利用语言引导和开发学生思维并培养学生的能力；缺点是时间的延续性差。所以，老师要充分掌握口头语言的特点，趋利避害，老师的口头语言应注意科学性、艺术性、趣味性，做到准确、精练、生动、清晰，力求层次清楚，逻辑严密，形象生动，富有感染力，能把深奥的道理形象化，抽象的概念具体任务化，枯燥的问题有趣化。这在于

⑴准确精练的语言能培养学生严密的逻辑性。初中学生思维活跃，但注意的持久性差，抽象思维发展不够。口头语言和文字不同，时间延续性差，因此老师在讲课时最忌语言拖沓、冗长、繁琐复杂，否则学生就很难完整地记忆和理解。老师口头语言应该简短精练、富有层次，不拖泥带水、重复啰嗦。同时，口头语言的灵活性强，所以有些老师不免有些随便，但学生很难将整节课的老师所以有话都听完记住，如果学生刚好听到和记住“随便”的话而漏过正确的内容，会给学生的理解造成很大的影响，老师的口头语言应该强调严密准确和逻辑性。例如，对于同类项的概念如老师说字母与次数相同的项是同类项，学生就会造成“a2b与ab2是同类项”的现象。对于学生回答中的语言不严密的地方，老师也应该及时的予以纠正和指出，默移潜化中让学生形成良好的逻辑思维。

⑵风趣的语言活跃课堂气氛，激发学生的求和欲。“兴趣是最好的老师”，要使学生对所教的学科产生兴趣，首先要使学生对你说的话产生兴趣，而老师幽默风趣的语言是最容易激起学生兴趣的工具之一。学生每天要上七八节课，对不断“重复”的40分钟总觉得枯燥无味，而且连续的高强度的脑力劳动也使学生的的大脑很难始终保持兴奋状态，这时老师就可以利用口头语言灵活性强的特点，在恰当的时机和内容用幽默风趣的语言打破课堂的沉闷、活跃气氛，起到调节学生情绪的作用，将会有事半功倍的收获。如在上“口头语言有理数的分类”时，我给学生设计了这么一个问题“请把下面的小朋友（数1，2，3，，0，-1，-2，1/2,22/7,-1/3,-5/8,4.5,-1.5）分别带回各自的家(正整数,负整数,零,正分数,负分数)”;接着,又提出问题＂它们的家都在路边,现在由于公路改造,只能留两间房子,请你把长得像的小朋友安排在同一间房子里＂;最后,当“零”自己孤零零地站在屋外时,我有提出:怎么办,它站在外面会被大灰狼吃掉的”此时,学生们马上争先恐后地发表自己的看法,课后,学生纷纷表示这是他们读书以来最爱的一节课.由此可见,枯燥的书面语言，如果能用简明幽默的语言描述出来，还可收到强化记忆和理解的功效。

⑶亲切和蔼的语言能增进师生感情。教学是双边活动，师生在课堂中不单是简单的知识授受关系，也是一个情感的传递过程。尤其在新课改中,这一点更得到了充分的体现.新课改的课程要求教师走下千百年以来”师道尊严”的神坛,与一个合作者,参与者的身份与学生一起做一做,练一练,与学生进行平等对话.那么,要想取得很好的教学效果，必须建立良好的师生关系，有不少的学生就是因为喜欢某位教师然后才喜欢上该门学科的。课堂上老师亲切、和蔼的语言能增进师生感情，沟通师生心灵，使学生热爱你和你所教的学科，产生良好的效果。亲切和蔼的语言还可以给学生足够的信心参与到教学中来，很难想象一位从来不苟言笑、语言生硬的老师能让学生大胆的进行质疑和回答。

二、体态语言

体态语言是指通过人的面部表情和手脚等活动来表现个人情感的身体动作。教学如果能正确运用体态语言可以为老师控制和调节课堂气氛节奏，增强教学效果，还可以促进师生之间、学生与科学间的情感交流。

⑴表情语言心理学家发现，当人们面对面进行交谈时，所获得的信息有很大一部分是从对方交谈时的表情获得的。所以老师在课堂中应恰当利用表情来帮助教学，会起到出神入化的作用。如课堂上有学生开小差，一个严肃的眼神使他迅速改正；学生回答对问题，一个赞许的目光或一个会心的微笑都会使他得到莫大的鼓励。学生在认真听课时，一般都会盯住老师的脸，如果一位教师总是一种表情，就会使学生的注意中心由于缺乏变化而容易分神。老师的在讲课中随着知识讲述而起伏变化的表情，还可以还是学生充分感受到知识的人性本质，避免知识的机械性。如讲述一位科学家的成就时，一个崇仰、神往的表情胜过任何的语言陈述。

⑵手势语言不知大家注意到没有，凡是做老师这一行的人，说话时特别喜欢打手势，其实这是一个职业习惯。一般来说，老师在课堂都喜欢使用手势语言，因为手势动作和表情一样，都是老师个人情感的外在表现，能使满堂生辉，增强教学效果。手势有时还可起到口头语言无法取代的作用，促进学生的对知识的理解和记忆。

三、实验语言

实验在验证数学知识的权威性、有效性方面是其它的语言无法比拟的。很多数学知识如果只是单纯从课本和老师的口中说出来，学生经常不容易理解，也不容易信服，通过实验语言却可以无声胜有声。

⑴实验语言是数学课堂中培养学生科学素质的重要工具。按照素质教育和创新教育的要求，我们将不单要求学生机械的记住课本上的知识，更要培养学生形成比较全面的科学素质和创新思维，使用实验语言是不可或缺的一个手段。初中生的一个心理特点是特别喜欢亲自动手做一做、试一试，实验就是吸引学生的一个好方法，如等腰三角形两个底角相等,轴对称图形的性质等知识,若能运用好实验语言还可以让学生感受发现和创造知识的艰辛和快乐，使学生由感知兴趣提高到探究兴趣和创新兴趣。通过实验语言，我们可以让学生走完知识发现、形成、拓展（质疑、假设、验证、结论、运用）的整个过程，让学生形成正确完整的科学方法。而且数学的实验和科学典故、生活实际联系十分密切，通过实验语言我们可以让学生感觉到科学就在我们身边，就是我们平常生活经验的提炼，避免科学的给人哪种冷冰冰的感觉，使学生感受到知识本身的人文性、以人为本特点，从而产生科学情感和科学思想。

⑵实验语言是对学生各种感官的充分训练。要真正观察好一个实验，就要求学生充分集中精力，发挥动手、动脑等各方面的能力,在观察中分清主次，把握住观察的重点，训练学生在观察事物时对注意中心调整和运用能力。

⑶实验语言是学生提高动手能力和运用、创造知识能力的最好训练。新教育要求全面提高学生的各种素质，让学生在学习中训练他们的实践能力又是以前教育中最薄弱的环节。如果我们运用好实验，让学生亲自动手做和设计实验去发现问题、解决问题，就可以使学生的动手能力和将理论运用到实践中的最好方式；再进行适当的引导，让学生从实验中得出结论和寻找规律，更可使学生完成了从实践中提炼理论的更高层次。同时这种让学生自己在动手中所形成的知识要比课本和老师讲述要真实和牢固得多。

四、板书语言

板书不是讲授内容课本知识的重复，而是对教学内容的提炼和概括，是画龙点睛的启示。板书语言受空间限制较大，但时间延续性、对重点内容突出性强，老师的板书应做到计划性、启发性、规范性。

⑴板书的计划性要求老师事先要吃透教材，将学生最容易忘记、混淆的内容找出来，然后有针对性进行板书设计，让学生更清晰地把握知识的重点和理解的要点。板书的先后顺序还能使学生看到知识形成、发生、发展的过程，从中看到思路和方法。而通过板书的位置设计还可以让学生看到知识点间的联系和不同，把握到知识的脉络框架。

⑵板书的启发性板书的空间限制性强，老师不可能也不应该将所有的内容都进行板书，所以对板书一定要强调其的启发性，利用几个简短句子甚至一个大的问号或文字所加几个点，将学生的心中的疑问和好奇心吊起来、引出来，启发学生的思考、引导学生的探究，帮助学生去探究发现知识，促使学生形成积极思维的习惯。

⑶板书的规范性板书的时间的延续性强，不象口头语言过了就过了，它会留在黑板上，所以板书语言的规范性、严密性的要求都更高。统一风格的规范性板书可以让学生更容易把握知识的重点和记忆的规律，形成良好记忆和思维习惯。一个规范、完整的板书设计本身就是一种美，还体现出老师个人对艺术和美的理解和表现，坚持下来可以薰陶、培养学生的审美观点，使学生自觉地鉴别美、追求美和创造美。

五、媒体语言

现代科技的发展，为丰富教学活动的形式带来了良好的契机，优化组合多种电教媒体，不但可展示内容中的细节和动态变化过程，激发学生多种感官的协调活动，而且可以节省活动的时间和拓宽活动的宽间，利用多媒体教学，更能把具体和抽象结合。例如，在研究直线和圆的位置关系中，可以用多媒体电脑演示直线和圆的相对运动，从而揭示直线和圆的三种位置关系。又如，在轴对称和轴对称图形的研究中，利用电脑显示ABC和A’B’C’及直线L，再通过动画演示其折叠过程，从而引导学生分析，归纳出轴对称的定义，并指出对称点、对称轴、对称线段等概念，使学生学得有趣，学得轻松。多媒体的动感，给学生留下深刻的印象，多媒体的直观可以使知识具体化形象化，因此，能促使形象思维和抽象思维的相结合，减少学生掌握抽象问题的困难，提高他们学习的兴趣和积极性，帮助他们更容易地由感性认识上升到理性认识。

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随着社会、经济、科技的高速发展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大。不仅如此，数学教育的实践和历史还表明，数学作为一种文化，对人的全面素质的提高具有巨大的影响。因此，提高基础教育中的数学教学质量，就显得尤为重要。可目前由于受“应试教育”的影响，数学教学中违背教育规律的现象和做法时有发生，为此更新数学教学思想、完善数学教学方法就显得更加迫切。在数学教学中，开展学法指导，正是改革数学教学的一个突破口。

一

对数学教学如何实施数学学习方法的指导，人们进行了许多有益的探索和实验。首先是通过观察、调查，归纳总结了中学生数学学习中存在的问题，如“学习懒散，不肯动脑；不订计划，惯性运转；忽视预习，坐等上课；不会听课，事倍功半；死记硬背，机械模仿；不懂不问，一知半解；不重基础，好高骛远；赶做作业，不会自学；不重总结，轻视复习”［1］等等。针对这些问题，提出了相应的数学学法指导的途径和方法，如数学全程渗透式（将学法指导渗透于制订计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、学结、课外学习等各个学习环节之中）［2］；建立数学学习常规（课堂常规———情境美，参与高，求卓越，求效率；课后常规———认真读书，整理笔记，深思熟虑，勇于质疑；作业常规———先复习，后作业，字迹清楚，表述规范，计算正确，填好《作业检测表》，重做错题）［3］等等。诚然，这对于端正学习态度、养成学习习惯、提高学业成绩、优化学习品质，采劝对症下药”的策略，开展对学习常规的指导，无疑会收到较好的效果。但是，数学学习方法的指导，决不能忽视数学所特有的学习方法的指导。可以说，这才是数学学法指导之内核和要害。也就是说，数学学法指导应该着重指导学生学会理解数学知识、学会解决数学问题、学会数学地思维、学会数学交流、学会用数学解决实际问题等。有鉴于此，笔者主要从“数学”、“数学学习”出发，来阐释数学学习方法，论述数学学法指导。

二

从数学的角度出发，就是要考察数学的特点。关于数学的特点，虽仍有争议，但传统或者说比较科学的提法仍是3条：高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。

1．数学研究的对象本来是现实的，但由于数学仅从空间形式与数量关系方面来反映客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维形式（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。而抽象又离不开概括，也离不开比较和分类，可以说比较、分类、概括是抽象的基础和前提。比如，要从已经过抽象得出的物体运动速度v＝v0＋at、产品的成本m＝m0＋at、金属加热引起的长度变化l＝l0＋at中再次抽象出一次函数f（x）＝ax＋b，显然要经过比较（它们的异同）和概括（它们的共同特征）。根据数学高度抽象性的特点，数学学法指导要强调比较、分类、概括、抽象等思维方法的指导。

2．数学结论的可靠性有其严格的要求，观察和实验不能作为论证的依据和方法，而是要经过逻辑推理（表现为证明或计算），方能得以承认。比如，“三角形内角和为180°”这个结论，通过测量的方法是不能确立的，唯有在欧氏几何体系中经过数学证明才能肯定其正确性（确定性）。在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的计算而得到的结论，才是可靠的。事实上，任何数学研究都离不开证明和计算，证明和计算是极其主要的数学活动，而通常所说的“数学思想方法往往是数学中证明和计算的方法。探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或计算的具体方法。从这一点上来说，证明或计算是任何一种数学思想方法的组成部分，又是任何一种数学思想方法的目标和表述形式”［4］。又由于证明和计算主要依靠的是归纳与演绎、分析与综合，所以根据数学逻辑的严谨性特点，数学学法指导要重视归纳法、演绎法、分析法、综合法的指导。

3．由于任何客观对象都有其空间形式和数量关系，因而从理论上说以空间形式与数量关系为研究对象的数学可以应用于客观世界的一切领域，即可谓宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。应用数学解决问题，不但首先要提出问题，并用明确的语言加以表述，而且要建立数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学结果进行检验和评价。也就是说，数学之应用，它不仅表现为一种工具，一种语言，而且是一种方法，是一种思维模式。根据数学应用的广泛性特点，数学学法指导还要指导学生建立和操作数学模型，以及进行检验和评价。

三

从数学学习的角度出发，就是要通过对数学学习过程的考察，引申出数学学法指导的内容和策略。关于数学学习的过程，比较新颖的观点是：“在原有行为结构与认知结构的基础上，或是将环境对象纳入其间（同化），或是因环境作用而引起原有结构的改变（顺应），于是形成新的行为结构与认知结构，如此不断往复，直到达成相对的适应性平衡”［5］。通过对这一认识的分析和理解，就数学学法指导而言，可概括出以下3点：

1．行为结构既是学习新知的目的和结果，又是学习新知的基础，因而在数学教学中亦需注重外部行为结构形成的指导。由于这种外部行为主要包括外部实物操作和外部符号（主要是语言）活动，所以在数学学法指导中，一要重视学具的操作（可要求学生尽可能多地制作学具，操作学具）；二要重视学生的言语表达（给学生尽可能多地提供言语交流的机会，可以是教师与学生间的交流，也可以是学生与学生之间的交流）。

2．认知结构同样既是学习新知的目的和结果，也是学习新知的基础，故而数学教学要加强数学认知结构形成的指导。所谓数学认知结构，是指学生头脑中的知识结构按自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。因此，对于学生形成数学认知结构的指导，关键在于不断地提高所呈现的数学知识和经验的结构化程度。在数学学法指导中，须注意如下几点：①加强数学知识间联系的教学。无论是新知识的引入和理解，还是巩固和应用，尤其是知识的复习和整理，都要从知识间的联系出发。②重视数学思想的挖掘和渗透。由于数学思想是对数学的本质的认识，因而数学思想是数学知识结构建立的基础。常见的数学思想有：符号思想、对应思想、数形结合思想、归纳思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重数学方法的明晰教学。数学方法作为解决问题的手段，是建立数学知识结构的桥梁。常见的数学方法有：化归法、构造法、参数法、变换法、换元法、配方法、反证法、数学归纳法等。

3．在原有行为结构与认知结构的基础上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须是在一种学习机制的作用下方能实现。而这种学习机

制主要就是对学习新知过程的监控和调节，即所谓的元学习。实质上，能否会学，关键就在于这种学习是否建立起来。于是，元学习的指导又成为数学方法指导的重要内容。为此，在数学学法指导中，需要注意：①要传授程序性知识和情境性知识。程序性知识即是对数学活动方式的概括，如遇到一个数学证明题该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的程序性知识。情境性知识即是对具体数学理论或技能的应用背景和条件的概括，如掌握换元法的具体步骤，获得换元技能，懂得在什么条件下应用换元法更有效，就是一种情境性知识。②尽可能让学生了解影响数学学习（数学认知）的各种因素。比如，学习材料的呈现方式是文字的、字母的，还是图形的；学习任务是计算、证明，还是解决问题，等等。这些学习材料和学习任务方面的因素，都对数学学习产生影响。③要充分揭示数学思维的过程。比如，揭示知识的形成过程、思路的产生过程、尝试探索过程和偏差纠正过程。④帮助学生进行自我诊断，明确其自身数学学习的特征。比如：有的学生擅长代数，而认知几何较差；有的学生记忆力较强而理解力较弱；还有的学生口头表达不如书面表达等。⑤指导学生对学习活动进行评价。如评价问题理解的正确性、学习计划的可行性、解题程序的简捷性、解题方法的有效性等诸多方面。⑥帮助学生形成自我监控的意识。如监控认知方向意识、认知过程意识和调节认知策略意识等等。

四

根据数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等5类。相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这5类教学之中。这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈谈自己的认识。

1．根据学生的学情安排例题。如前所述，学习新知必须建立在已有的基础之上，从内容上讲，这个基础既包括知识基础，又包括认知水平和认知能力，还包括学习兴趣、认知意识，乃至学习态度等有关学习动力系统方面的准备。因此，无论是选配例题，还是安排例题，都要考虑到学生的学习情况，尤其是要考虑激发学生认知兴趣和认知需求的原则（称之为动机原则）。在例题选配和安排中，可采取增、删、调的策略，力求既突出重点，又符合学生的学情。所谓增，即根据学生的认知缺陷增补铺垫性例题，或者为突破某个难点增加过渡性例题。所谓删，即根据学生情况，删去比较简单的例题或要求过高的难题。所谓调，即根据学生的实际水平，将后面的例题调至前面先教，或者将前面的例题调到后面后教。

2．根据学习目标和任务精选例题。例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识，应用知识，巩固知识；莫过于训练数学技能，培养数学能力，发展数学观念。为发挥例题的这些基本作用，就要根据学习目标和任务选配例题。具体的策略是：增、删、并。这里的增，即为突出某个知识点、某项数学技能、某种数学能力等重点内容而增补强化性例题，或者根据联系社会发展的需要，增加补充性例题。这里的删，即指删去那些作用不大或者过时的例题。所谓并，即为突出某项内容把单元内前后的几个例题合并为一个例题，或者为突出知识间的联系打破单元界限而把不同内容的例题综合在一起。

3．根据解题的心理过程设计例题教学程序。按照波利亚的解题理论，一般把解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾等4个阶段。这是针对解题过程本身而言的。但就解题教学来说，还应当增加一个步骤，也是首要环节，即要使学生“进入问题情境”，让学生产生一种认知的需要。对于“进入问题情境”环节，要求教师用简短的语言，在承上启下中，提出学习目标，明确学习任务，激起认知冲突。而对其余4个环节，教师的行为可按波利亚的“怎样解题表”中的要求去构思。一般教师和学生都能够注意做到做好前3个环节，却容易忽视“回顾”环节。

严格说来，回顾环节对解题能力的提高，对例题教学目的的实现起着不可替代的作用。对回顾环节来讲，除波利亚提出的几条以外，更为主要的是对解题方法的概括和反思，并使其能迁移到其它问题的解决之中。

篇6

问题解决产生的背景是什么？它的意义是什么？它对我国中学数学课程建设有何重要性？怎样在中学数学课程中体现问题解决的思想？本文拟对此作初步探讨。

一、背景和意义

19世纪末，20世纪初，一些心理学家首先对问题解决进行了研究，并对“问题解决”作了诸多的阐释。在国际数学教育界，从美国的波利亚首先对怎样解题作了详尽的探讨开始，逐渐对这个问题展开了研究。尤其是在美国，从60年代“新数运动”过分强调数学的抽象结构，忽视数学与实际的联系，脱离教学实际，到70年代“回到基幢走向另一个极端，片面强调掌握低标准的基础知识，数学教学水平普遍下降。在对于数学教育发展方向作了长期探索以后，“问题解决”和“大众数学（mathematicsforal）”已经成为美国数学教育的响亮口号，并产生国际影响。

什么是问题解决，由于观察的角度不同，至今仍然没有完全统一的认识。

有的认为，问题解决指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情景、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动。有的把学习分成八种类型：信号学习、……概念学习、法则学习和问题解决。问题解决是其中最高级和复杂的一种类型，意味着以独特的方式选择多组法则，并且把它们综合起来运用，它将导致建立起学习者先前不知道的更高级的一组法则。英国学校数学教育调查委员会报告《数学算数》则认为：把数学应用于各种情形的能力就是“问题解决”。全美数学教师理事会《行动的议程》对问题解决的意义作了如下说明：第一，问题解决包括将数学应用于现实世界，包括为现时和将来出现的科学理论与实际服务，也包括解决拓广数学科学本身前沿的问题；第二，问题解决从本质上说是一种创造性的活动；第三，问题解决能力的发展，其基础是虚心、好奇和探索的态度，是进行试验和猜测的意向；等等。

从上述对问题解决意义的阐述中，我们可以看到一些共性和相通之处。从数学教育的角度来看，问题解决中所指的问题来自两个方面：现实社会生活和生产实际，数学学科本身。问题的一个重要特征是其对于解决问题者的新颖性，使得问题解决者没有现成的对策，因而需要进行创造性的工作。要顺利地进行问题解决，其前提是已经了解、掌握所需要的基础知识、基本技能和能力，在问题解决中要综合地运用这些基础知识、基本技能和能力。在问题解决中，问题解决者的态度是积极的。此外，在学校数学教学中，所谓创造性地解决问题，有别于数学家的创造性工作，主要指学习中的再创造。因而，笔者认为，从数学教育的角度看，问题解决的意义是：以积极探索的态度，综合运用已具有的数学基础知识、基本技能和能力，创造性地解决来自数学课或实际生活和生产实际中的新问题的学习活动。

简言之，就数学教育而言，问题解决就是创造性地应用数学以解决问题的学习活动。

问题解决中，问题本身常具有非常规性、开放性和应用性，问题解决过程具有探索性和创造性，有时需要合作完成。

二、“问题解决”的重要性

问题解决已引起国内外数学教育界的广泛重视，把它和数学课程紧密联系起来，已是国际数学教育的一个趋势。究其原因，笔者认为主要有以下几方面：

（一）时代呼唤创新

在国际竞争日益激烈的当今世界，各国政府乃至普通老百姓都越来越清楚认识到，国家的富强，乃至企业的兴衰，无不取决于对科学技术知识的学习、掌握及其创造性的开拓和应用。但创造能力并非与生俱有，必须通过有意识的学习和训练才能形成。学校教育必须重视培养学生应用所学知识进行创造性工作的能力。问题解决正反映了这种社会需要。

（二）我国数学教育的成功和不足

我国的中学数学教学与国际上其它一些国家的中学数学教学比较，具有重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养等显著特点，因而我国中学生的数学基本功比较扎实，学生的整体数学水平较高。然而，改革开放也使我国数学教育界看到了我国中学数学教学的一些不足。其中比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多；学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。面对这种情况，我国数学教育界采取了一些相应措施。例如，北京、上海等地分别开展了中学生数学应用竞赛，在近年高校招生数学考试中，也加强了对学生应用数学意识和创造性思维方法与能力的考查等。虽然这些措施收到了一定的成效，然而要从根本上改变现状，还应在中学数学课程设计上有所突破。一些学者认为，在中学数学课程中体现问题解决的思想，是解决上述问题的有效途径。

（三）数学观的发展

数学发展至今，人们对数学的总的看法由相对静态的观点转向静态和动态相结合的观点。对于数学是什么，经典的是恩格斯的定义：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。恩格斯对数学的观点是相对静止的，它主要指出了数学的客观真理性，然而，当今的社会实践告诉人们还应该用动态的观点去认识数学，即从数学与人类实践的关系去认识数学。就数学教育而言，学生之所以要学习数学，除了数学的客观真理性，更在于数学是改造客观世界的重要工具。学数学，首先是为了应用。应用数学是学数学的出发点和归宿。所以，数学教学的主要任务是教给学生在实际生活和生产实践中最有用的数学基础知识，并在教学过程中有意识地培养学生应用这些知识分析和解决实际问题的能力。

（四）问题解决过程和方法的一般性

在解决来自实际和数学内部的数学问题中，问题解决的过程和方法是基本相同的。不仅如此，这种过程和方法与解决一般的、其它学科中问题的过程和方法有很多共同之处。在数学问题解决中学习的过程和方法可以迁移到其它学科的问题解决过程中。此外，相对于其它学科的问题来学，解决数学问题所需要的工具和材料要少得多，有时只需要一支笔，一张纸。因而通过数学问题解决，可以较快地教给学生一般的问题解决的过程和思想方法，具有较高的效率。

三、“问题解决”和中学数学课程

问题解决在各国的中学数学课程中的引入方式各不相同，英国SMP数学课程专门设置了一种问题解决课，我国人民教育出版社出版的义务教育初中数学课程中设立了实习作业、应用题、想一想、做一做等，在高中数学试验课本中也增加了研究题等，这些和问题解决思想是一致的。笔者认为，从目前中国的实际情况出发，重要的是在中学数学课程中去体现问题解决的思想精髓，这就是它所强调的创造能力和应用意识。就是说，在中学数学课程中应强调以下几点：

（一）鼓励学生去探索、猜想、发现

要培养学生的创造能力，首先是要让学生具有积极探索的态度，猜想、发现的欲望。教材要设法鼓励学生去探索、猜想和发现，培养学生的问题意识，经常地启发学生去思考，提出问题。

学生学习的过程本身就是一个问题解决的过程。当学生学习一门崭新的课程、一章新的知识、乃至一个新的定理和公式时，对学生来说，就是面临一个新问题。例如，高中数学课是在学生学习了初中代数、几何课以后开设的，学生对数学已经有比较丰富的感性认识，教科书中是否可以提出，或者说应该教学生提出以下的一些问题：高中数学课是怎样的一门课？高中数学课和小学数学、初中代数、初中几何课有什么关系？数学是怎样的一门科学？这门科学是怎样产生和发展起来的？高中数学将要学习哪些知识？这些知识在实际中有什么用？这些知识和以后将要学习的数学知识、高中其它学科知识有些什么关系，有怎样的地位作用？要学好高中数学应注意些什么问题？当然，对这些问题，即使是学完整个高中数学课程以后，也不一定能完全回答好，但在学这门课之前还是要引导学生去思考这些问题，这也正是教科书编者所要考虑并应该尽可能在教科书中回答的。笔者认为，在高中数学课中可以安排一个引言课。同样，在每一章，乃至每一单元都应该考虑类似的问题。在这一点，初中《几何》的引言值得参考。在教科书中经常提一些启发性的问题，就会让学生逐步养成求知、好问的习惯和独立思考、勇于探索的精神。

无论是教科书的编写还是实际教学，在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”：有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导、点拨学生。不要在任何时候都让学生亲自去猜想、发现，那样要花费太多的教学时间，降低教学效率。此外，在探索、猜想、发现的方向上，要把好舵，不要让学生在任意方向上去费劲。

（二）打好基础

这里的基础有两重含义：首先，中学教育是基础教育，许多知识将在学生进一步学习中得到应用，有为学生进一步深造打基础的任务，因而不能要求所学的知识立即在实际中都能得到应用。其次，要解决任何一个问题，必须有相关的知识和基本的技能。当人们面临新情景、新问题，试图去解决它时，必须把它与自己已有知识联系起来，当发现已有知识不足以解决面临的新问题时，就必须进一步学习相关的知识，训练相关的技能。应看到，知识和技能是培养问题解决能力的必要条件。在提倡问题解决的时候，不能削弱而要更加重视数学基础知识的教学和基本技能的训练。

教给学生哪些最重要的数学基础知识和基本技能，是问题的关系。目前，《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》中关于课程内容的确定，已为更好地培养我国高中学生运用数学分析和解决实际问题的能力提供了良好的条件。我们要继承高中数学教材编写中重视数学基础知识和基本技能的优良传统和丰富经验，编出一套高质量的高中数学教材，以下仅对数学概念的处理谈点看法。

数学概念是数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性，是最重要的数学知识之一。概念教学是数学教学的重要组成部分，正确理解概念是学好数学的基矗概念教学的基本要求是对概念阐述的科学性和学生对概念的可接受性。目前，对中学数学概念教学，有两种不同的观点：一种观点是要“淡化概念，注重实质”，另一种观点是要保持概念阐述的科学性和严谨性。高中数学课程的建设也面临着同样的问题。笔者认为，对这一问题的处理应该“轻其所轻，重其所重”，不能一概而论。提出“淡化概念，注重实质”是有针对性的，它指出了教材和教学中的一些弊端。一些次要和学生一时难以深刻理解但又必须引入的概念，在教学中必须对其定义作淡化（或者说浅化）的处理，有的可以用白体字印刷，来表明概念被淡化。但一些重要概念的定义还是应以比较严格的形式给出为妥，否则，虽然老师容易判定这些概念的定义是被淡化的，但是学生容易对概念产生误解和歧义，关键在于教师在教学中把握好度，突出教学的重点。还有一些概念，在数学学科体系中有重要的地位和作用，对这类概念，不但不能作淡化处理，反之，还要花大力处理好，让学生对概念能较好地理解和掌握。例如，初中几何的点概念、高中数学的集合等概念，是人们从现实世界广泛对象中抽象而得，在教材处理中要让学生认识到概念所涉及的对象的广泛性，从而认识到概念应用的广泛性，另外学生也在这里学到了数学的抽象方法。对于数学概念，应该注意到不同数学概念的重要性具有层次性。总之，对于数学概念的处理，要取慎重的态度，继承和改革都不能偏废。

（三）重视应用意识的培养

用数学是学数学的出发点和归宿。教科书必须重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。可以考虑把与现实生活密切相关的银行事务、利率、投资、税务中的常识写进课本。

当然，并不是所有的数学课题都要从实际引入，数学体系有其内在的逻辑结构和规律，许多数学概念是从前面的概念中通过演绎而得，又返回到数学的逻辑结构。

此外，理论联系实际的目的是为了使学生更好地掌握基础知识，能初步运用数学解决一些简单的实际问题，不宜于把实际问题搞得过于繁复费解，以致于耗费学生宝贵的学习时间。

（四）教一般过程和方法

在一些典型的数学问题教学中，教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，以提高学生解决实际问题的能力。

由于实际问题常常是错综复杂的，解决问题的手段和方法也多种多样，不可能也不必要寻找一种固定不变的，非常精细的模式。笔者认为，问题解决的基本过程是：1．首先对与问题有关的实际情况作尽可能全面深入的调查，从中去粗取精，去伪存真，对问题有一个比较准确、清楚的认识；2．拟定解决问题的计划，计划往往是粗线条的；3．实施计划，在实施计划的过程中要对计划作适时的调整和补充；4．回顾和总结，对自己的工作进行及时的评价。

问题解决的常用方法有：1.画图，引入符号，列表分析数据；2.分类，分析特殊情况，一般化；3.转化；4.类比，联想；5.建模；6.讨论，分头工作；7.证明，举反例；8.简化以寻找规律（结论和方法）；9.估计和猜测；10.寻找不同的解法；11.检验；12.推广。

（五）创设问题情景

1．一个好问题或者说一个精彩的问题应该有如下的某些特征：（1）有意义，或有实际意义，或对学习、理解、掌握、应用前后数学知识有很好的作用；（2）有趣味，有挑战性，能够激发学生的兴趣，吸引学生投入进来；（3）易理解，问题是简明的，问题情景是学生熟悉的；（4）时机上的适当；（5）难度的适中。

2．应该对现有习题形式作些改革，适当充实一些应用题，配备一些非常规题、开放性题和合作讨论题。

（1）应用题的编制要真正反映实际情景，具有时代气息，同时考虑教学实际可能。

（2）非常规题是相对于学生的已学知识和解题方法而言的。它与常见的练习题不同，非常规题不能通过简单模仿加以解决，需要独特的思维方法，解非常规题能培养学生的创造能力。

（3）开放性问题是相对于“条件完备、结论确定”的封闭性练习题而言的。开放性问题中提供的条件可能不完备，从而结论常常是丰富多彩的，在思维深度和广度上因人而异具有较大的弹性。

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全面推进数学素质教育，使学生成为积极的探索者、思考者，必须重视学生“学”的过程，抓好学生数学学习中的“读、听、讲、写、用”。

1．学习中的“读”

现代社会已进入信息化时代，要求人们不仅要“学会”，更要“会学”。“会学”的基础当是会“读”，包括：

1.1读教材是学生学习数学的主要材料，它是数学课程教材编制专家在充分考虑学生生理心理特征、教育教学质量、数学学科特点等众多因素的基础上精心编写而成的，具有极高的阅读价值。读教材包括课前、课堂、课后三个环节。课前读教材属于了解教材内容，发现疑难问题；课堂读教材则能更深刻地理解教材内容，掌握有关知识点；课后读教材是对前面两个环节的深化和拓展，达到对教材内容的全面、系统的理解和掌握。

1.2读书刊除读教材外，学生应广泛阅读课外读物，如上海教育出版社出版的“初、高中学生数学课外阅读系列”丛书、《中学生数学》杂志等。即如读报也不仅能使学生关心国内外大事，也能使学生关注我们日常生活中的数学，捕捉身边的数学信息，体会数学的价值，了解数学研究的动态。然而，与各种各样的复习资料、习题集相比，渗透现代科技的高质量的数学课外读物实在太少了。

数学学习中的“读”，不同于读小说书，常需纸笔演算推理来“架桥铺路”，还需大脑建起灵活的语言转化机制。

2．数学学习中的“听”

数学学习中的“听”，主要指听课，它是学生获取知识的重要环节，也是学

生系统学习知识的基本方法。听课不仅指听老师上课，而且包括听同学的发言。

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论文关键词：数学；教学；知识；教师教育

一、数学知识研究

传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后，人们开始同意这样一个原则：除了所教的数学知识以外，数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入，人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外，教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于Schwab。他指出了理解学科结构的两种方式：一个方式是句法性地(syntactically)，另一个方式是实体性地(substantively)。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如，引入无理数表示不可公度线段，引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解，只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如，欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。Ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来，又是如何发展的，真理是如何确认的，又将用到哪里去。

主要有三个维度：一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的；二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系；三是了解数学领域中的基本活动：寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。

对数学知识的研究，拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的，除了术语、概念、法则、程序之外，还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如，约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同，逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的，为什么要定义这个概念，怎样定义，它会有什么用，它与其他的概念的关系是怎样的，它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是，有效地数学教学，仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑，不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如，仅仅通过推导知道(+6)=a+2ab+b对有效教学是不够的，教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6)=a+b，知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架，教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。

二、教材分析研究

有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中，马力平的知识包(Knowledgepackage)是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念，是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。(n知识包含有三种主要成分：中心概念、概念序列和概念结点，也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包(图1)。在这个知识包内，中心概念是20至100数的“借位减法”，它是学习多位数的加减的关键前提。

马力平的知识包实际上是我国内地传统的教材分析研究。这类研究结果是教学参考书的主要内容之一。它是一种课程知识，是教师对课程的分析，比对数学知识的分析更接近教学用的数学。但它也不是教师教学时使用的数学知识。它最多是教师对教学的考虑，没有考虑师生互动时产生的数学需求。教师在教学时，能够动员起来的知识不一定符合教学情境的需要。比如教师预期的一种学生的反应在与学生的互动中没有出现，教师以学生的这种反应为跳板的后继知识就没有了用武之地。马力平概括出的知识包，与教师在课堂教学时使用的数学知识还有一段距离，教师在教学时可能用得上，也可能用不上。教师在教学时所需要的数学知识远远超出教材分析所能提供的内容。

三、教学用的数学知识研究

Ball开创了教学用的数学知识研究。她通过分析数学教学的核心活动，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。下面以Ball的一个课例来说明其研究方法与结果。该课内容是三年级多位数减法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。问Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?学生在解题过程中提供了六种解法。Sean从16的后继数l7开始向后数数，一直数到32得到答案。ba认为，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配对，数一下表示32的教具中剩余的没有配对的豆子得到答案。Mei的方法是直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。Cassandia提供了标准的减法算法，Scan受到启发，提供了另一种解法：16+16=32，整节课，学生想尽办法鉴定这些解法的异同。L6JBall认为，这节课教学的核心活动是处理数学知识的关联和控制课堂讨论。知识的关联涉及到在具体和符号的模式中，减法和加法是如何关联的、减法的“比较”和“拿走”的解释是如何关联的、教具的表征如何转化为符号表征、Betsy的配对比较法如何转化为Sean的向后数数的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法协调，控制课堂讨论首先表现在提供线索和解释，推动正确的方法的发展；其次表现在搁置有问题的方法。比如搁置Riba的说法。Riba的论断是正确的，但要使其他的学生能够明白他的意思，还需要添加几步推理。但这几步推理与用它来证明Sean的结论超过了三年级学生的理解能力。

Ball对这节课教师需要使用的数学知识进行了归纳。除了传统的教材分析提供的借位减法的符号算法及其背后的位值制之外，教师还需要其他知识。首先需要知道问题的两种表征模式(如减法32—16：?与缺失加数的加法16+?=32)是等价的。其次，还要知道此问题的一些表征：比如像Sean的从17数到32，或者Mei的从32里拿走l6个等等。第三，教师还需要具有深刻的数学眼光去审查、分析和协调学生的多种解法。最后，教师还需要一些关于数学论证的知识。通过上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教学用的数学知识的一部分，其余大部分只能在分析数学教学的核心活动中才能得到。

四、启示

1．教学用的数学知识是有效教学的知识基础。它与数学家的数学知识、教材分析得出的数学知识是不一样的。它具有一种教学上有用的数学理解，这种理解主要集中于学生的观念和误解上。学生对特定内容的理解是有差异的，教师需要调和学生不同的理解方式并在这些方式之间灵活自如地转换，引导学生把知识进一步组织，促进学生在已有的知识基础上有效学习。

2．教学用的数学知识是高观点下的数学知识，它联系着更深刻的概念和方法。Ball的课例仅是小学三年级的两位数退位减法，但是，通过对课堂教学核心数学活动的分析显示，隐藏在退位减法之外的，是高等数学的等价、同构、相似性和表征之间的转化等概念。从结构上说，前五种解法是同构的，前五种解法和最后一种缺失加数的加法是等价的。但前四种解法的解释模型是不同的，有三种是“拿走”模型，一种是“比较”模型。只有从数学结构上理清这些解法的关系，才能有效地引导学生在不同的方法之间转换并分清这些方法的异同，促进学生高效地组织自己的数学知识。香港的“课堂学习研究”也证实，数学专家参与的教研活动，能提升课堂教学的有效性。

3．教学用的数学知识存在一定的结构。首先是学生理解的知识。像Ball的课例所展示的，学生对退位减法的理解有不同的方式、不同的层次和一些误解，这些知识是教师教学的起点。以学生已有的知识为起点自下而上的讲授使知识加以扩充，把新知识与学生已经构成内在网络的概念和方法联系起来，这是提高教学效率的奥妙；其次是教学策略。像Ball的课例所展示的，学生的理解各种各样，需要教师使用相应的策略来控制课堂讨论，协调不同的方法，促进正确的方法发展，搁置有问题的方法，这是提高课堂教学效率的重要手段；第三、控制与反馈的知识。教师需要提供线索和解释，矫正学生的误解，促进学生自我评价的参与，促进学生进一步精简合理化知识；第四，课程知识。像马力平的知识包概念所揭示的，特定课题呈现的最佳序列，它的来龙去脉及与其它学科的横向联系，是教师用来教学的数学知识基础。顾泠沅的研究也揭示，辨明一门学科各知识点的固着关系及其潜在距离，构建适合学生特点的、具有合适梯度的结构序列，是提高教学效率的基础；最后是教学目的的统领性观念。像退位减法，是像Ball那样对学生的经验进行精简合理化还是直接教授退位减法的法则，取决于教师对数学的理解、信念数学的认识论以及对特定学生最有价值的数学知识的判断。当然，这些成分是从不同的维度来说明教学用的数学知识的属性，它们之间的关系及提高课题教学效率的机制还需从课堂教学的经验出发进一步的概念化。

篇9

【关键词】科学哲学/数学哲学/数学哲学的革命

【正文】

本文有两个互相关联的目标：第一，对科学哲学对于数学哲学现展的重要影响作出综合分析；第二，对新的研究与基础主义的数学哲学进行比较，从而清楚地指明数学哲学现展的革命性质。

一、从一些具体的研究谈起

如众所知，由1890年至1940年的这五十年，可以被看成数学哲学研究的黄金时代：在这一时期中，弗雷格、罗素、布劳维尔和希尔伯特等，围绕数学基础问题进行了系统和深入的研究，并发展起了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学观，从而为数学哲学的研究开拓出了一个崭新的时代，其影响也远远超出了数学的范围，特别是，基础主义的数学哲学曾对维也纳学派的科学哲学研究产生了十分重要的影响，而后者则曾在科学哲学的领域长期占据主导的地位。

然而，在四十年代以后，上述的情况发生了重要的变化。尽管逻辑主义等学派作出了极大的努力，他们的研究规划却都没有能够获得成功，从而，在经历了所说的“黄金时代”以后，数学哲学的发展就一度“进入了一个悲观的、停滞的时期”；与数学哲学的困境相对照，科学哲学则已逐步摆脱逻辑实证主义的传统进入了一个欣欣向荣的、新的发展时期。也正因为此，科学哲学的现展就对数学哲学家产生了巨大的吸引力，并对数学哲学的现展产生了十分重要的影响。

就科学哲学对于数学哲学现代研究的影响而言，在最初主要是一些直接的推广或移植。例如，作为新方向上研究工作的一个先驱，拉卡托斯就曾直接把波普尔的证伪主义科学哲学推广应用到了数学的领域。尽管推广和移植的工作是较为简单的，但这仍然依赖于独立的分析与深入的研究，因为在数学与一般自然（经验）科学之间显然存在有重要的质的区别。

为了使得由科学哲学中所吸取的观念、概念、方法等确实有益于数学哲学的研究，最好的方法就是集中于相应的研究问题，也即是希望通过以科学哲学领域中某一（或某些）理论作为直接的研究背景以解决数学哲学中的某些基本问题。例如，M.Hallett的论文“数学研究纲领方法论的发展”就以拉卡托斯的科学哲学理论，也即所谓的“科学研究纲领方法论”作为直接的研究背景，但Hallett在这一论文中所真正关注的则是数学的方法论问题。因而，尽管其声称“希望能找到与科学研究纲领方法论相类似的数学发展的方法论准则”，Hallett的实际工作却与拉卡托斯的科学哲学理论表现出了一定的差异。特别是，由于Hallett清楚地认识到：“数学与经验科学之间的差异无疑是十分重要的”；“物理学可以依赖于不断增加的事实性命题，但是数学中却不存在这样的对应物。”因此，在Hallett看来，相应的科学方法论准则（即新的理论能作出某些预言，这些预言并已得到了确证），就不可能被直接推广到数学的领域。

与上述的方法论原则相对照，Hallett提出，新的理论在解决非特设性的重要问题方面的成功可以被用作判断数学进步的准则。Hallett并指出，这一准则即是对希尔伯特在先前所已明确提出的相应思想的一种改进。从而，这就确实不能被看成对于科学研究纲领方法论的直接推广。

在数学哲学领域内我们并可看到一种不断增长的自觉性，即是关于科学哲学领域中的思想或理论对于数学哲学“可应用性”或“可推广性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的论文“库恩的理论与数学：关于数学的‘新编年史’的讨论”一文中，就明确提出了这样的思想：在将库恩的理论推广应用到数学时，应当首先考虑两个问题：第一，“在数学中是否存在有这类东西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的话，“这一概念对数学编年史的研究是否有确定的、富有成果的应用？”

显然，即使前一个问题可以说是一种直接的推广或移植，后一问题的解答则依赖于更为深入的分析和独立的研究，因为，这不仅涉及到了对库恩理论的评价，而且也直接依赖于关于应当如何去从事数学哲学（和数学史）研究的基本思想。

正是从这样的立场出发，Mehrtens提出：“尽管（数学中）存在有可以称之为‘革命’或‘危机’的现象，我对这两个概念持否定的态度，因为，它们并不能成为历史研究的有利工具。”

当然，上述的结论并不意味着Mehrtens对库恩的理论持完全否定的态度；恰恰相反，Mehrtens明确地指出，库恩所提出的“范式”和“科学共同体”这两个概念对于数学史（和数学哲学）的研究有着十分重要的意义。Mehrtens写道：“围绕着科学共同体的社会学概念具有很大的解释力量——在我看来——它们为数学编年史提供了关键的概念。”

上述的批判态度和深入分析显然表明了一种独立研究的态度，从而，与简单的推广或移植相比，这就是一种真正的进步。作为这种进步的又一实例，我们还可看基切尔（P.Kitcher）的数学哲学研究。

一般地说，基切尔在数学哲学领域内的工作主要就是将库恩的科学哲学理论推广应用到了数学之中，特别是，基切尔不仅由库恩的理论中吸取了很多具体的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如关于科学活动社会—文化性质的分析等。另外，基切尔所主要关注的则是数学历史发展的合理性问题。例如，正是从这一立场出发，基切尔首先考察了什么是数学变化的基本单位。基切尔写道：“一个首要的任务，就是应当以关于数学变化单位的更为精确的描述去取代关于‘数学知识状况’的模糊说法。这一问题与关注科学知识增长的哲学家们所面临的问题在形式上是互相平行的。我认为，在这两种情形中，我们都应借助于一个多元体，也即由多种不同成分所组成的实践（practice）的变化，来理解知识的增长。”

在基切尔看来，后者事实上也就是库恩的“范式”概念的主要涵义。然而，基切尔在此并没有逐一地去寻找“范式”（或“专业质基”）的各个成分（如“符号的一般化”、“模型”、“价值观”、“范例”等）在数学中的对应物，而是对“数学实践（活动）”的具体内容作出了自己的独立分析。基切尔提出，“我以为我们应当集中于数学实践的变化，并把数学实践看成是由以下五个成分所组成的：语言，所接受的命题，所接受的推理，被认为是重要的问题，和元数学观念。”显然，这即是对库恩基本思想的创造性应用。

其次，基切尔又具体地指明了若干个这样的条件，在满足这些条件的情况下，数学实践的变化可被看成是合理的。从而，这也就十分清楚地表明了在基切尔与库恩之间所存在的一个重要区别：尽管前者从库恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主义、而并非是像库恩那样的非理性主义立场。这一转变当然也是批判性的立场和独立思考的直接结果。

二、新方向上研究的共同特征

尽管在新方向上工作的数学哲学家有着不同的研究背景和工作重点，在观念上也可能具有一定的分歧和差异；但是，从整体上说，这些工作又有着明显的共同点，后者事实上更为清楚地表明了来自科学哲学的重要影响。

1.对于数学经验性和拟经验性的肯定

所谓数学的经验性，就其原始的意义而言，即是对数学与其它自然科学同一性（analogy，或similarity）的确认。这一认识事实上构成新方向上所有工作的共同出发点。

关于数学经验性的断言显然正是对于传统观念的直接否定，即数学知识不应被看成无可怀疑的绝对真理，数学的发展也并非数学真理在数量上的简单积累。从而，这也就如Echeverria等人所指出的，它将“数学从柏拉图所置于的宝座上拉下来了。”

事实上，人们曾从各种不同的角度对数学与自然科学的同一性进行了论证。诸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法论的同一性”，基切尔的“认识论的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托玛兹克（T.Tymoczko）的“本体论的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“结构的同一性”，等等。另外，在笔者看来，对于经验性的肯定事实上也可被看成关于数学的社会—文化观念（这是在新方向上工作的数学哲学家所普遍接受的）的一个直接结论。这就是说，如果数学与其它自然科学一样，最终都应被看成人类的一种创造性活动，并构成了整个人类文化的一个有机组成成分，那么，数学的发展无疑就是一个包含有猜想与反驳、错误与尝试的复杂过程，而且，“数学的内涵与改变最终是由我们的实际利益与其它科学的认识论目标所决定的。”

其次，如果说数学的经验性集中地反映了数学与其它自然科学的同一性，那么，对于数学拟经验性（quasi-empirical）的强调则就突出地表明了数学的特殊性。

具体地说，我们在此所涉及的主要是这样一个问题：除去在实际活动中的成功应用外，就数学理论而言，是否还存在其它的判断标准？另外，拟经验的数学观的核心就在于明确肯定了数学有自己特殊的价值标准，这就是新的研究工作对于数学自身的意义，即如其是否有利于已有问题的解决或方法的改进等。显然，后者事实上也就是实际数学工作者真实态度的一个直接反映。例如，美国著名数学家麦克莱恩（S.MacLane）就曾这样写道：“数学各个领域中的进步包括两个互补的方面：重要问题的解决以及对于所获得结果的理解。”

由此可见，我们就应同时肯定数学的经验性和拟经验性。显然，就本文的论题而言，这事实上也就表明了：为了在数学哲学的研究中取得实质性的进展，我们不仅应当保持头脑的开放性，也即应当努力从科学哲学中吸取更多有益的思想、概念和问题，同时也应高度重视数学的特殊性，即在一定程度上保持数学哲学的相对独立性。

2.对于数学方法论的高度重视

理性主义与非理性主义的长期争论无疑是科学哲学现展的一个重要特点；与此相对照，理性主义的立场在数学哲学领域中却似乎没有受到严重的挑战，但是，后者并不意味着现已存在某种为人们所普遍接受的关于数学发展合理性的理论，恰恰相反，后一目标的实现还有待于长期的努力。

然而，在这一方面确已取得了一定的进步，特别是，相对于早期的简单“移植”而言，现今人们普遍地更加重视对那些源自科学哲学的概念、观点和理论的分析和批判。例如，就库恩的影响而言，人们现已认识到，对于数学的社会—文化性质的确认，并不意味着我们必须采取相对主义或非理性主义的立场；另外，在肯定数学历史发展合理性的同时，人们也认识到了这种发展并不能简单地被纳入某一特定的模式。事实上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一个历史的概念：“‘理性’在一定程度上是社会化建构的，……即包括有一个社会协商的过程。”从而，在此所需要的就是一种辩证的综合。例如，正是从这样的立场出发，格拉斯提出，我们应对库恩和拉卡托斯的理论进行整合：“拉卡托斯的方法论立场至少应当用像库恩那样的社会和历史的观点予以补充和平衡。”

值得指出的是，这种整合的立场事实上也就是科学哲学现展的一个重要特点，特别是，这即是科学哲学领域中所谓的“新历史主义学派”所采取的一个基本立场：他们对先前的各种理论（包括理性主义与非理性主义）普遍地采取了批评的立场，并希望能通过对立理论的整合发展出关于科学发展合理性的新理论。从而，在这一方面我们也就可以看到科学哲学对于数学哲学现代研究的重要影响。

艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切尔这样写道：“……数学哲学应当关注与那些研究人类知识其它领域（特别是，自然科学）同一类型的问题。例如，哲学家们应当考虑这样的问题：数学知识是如何增长的？什么是数学进步？是什么使得某一数学观点（或理论）优于其它的观点（或理论）？什么是数学解释？”特别是，“数学在其发展中是否遵循任何方法论的原则？”事实上，在艾斯帕瑞和基切尔看来，如何对数学方法论作出恰当的说明就构成了在新方向上工作的数学哲学家的核心问题。显然，这一立场也是与现代科学哲学中对于科学方法论的高度重视完全一致的。

3.对于数学史的强调

如众所知，对于科学史的突出强调也是科学哲学现代研究的一个重要特征。正如克伦瓦（M.Crowe）所指出的：“在库恩以前，科学哲学长期为逻辑实证主义所支配，后者认为科学史是与他们的研究毫不相关的；但是，这种形势现在已经有了改变……科学哲学家们现已认识到了历史研究的重要性。”这就是说，“如果没有给予科学史应有的重视，科学性质的分析就是不可能的。”科学哲学的上述变化对在新方向上工作的数学哲学家也产生了极大的影响。例如，在以上所提及的各篇论文和著作中，历史案例的分析都占据了十分重要的位置。可以说历史方法事实上已成为数学哲学现代研究的基本方法之一。

作为一种自觉的努力，我们在此还可特别提及以下的四部论文集：（1）由艾斯帕瑞和基切尔所编辑的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所编辑的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所编辑的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz编辑的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即将出版）。

这些编辑者的一个共同特点是，他们不仅认为数学方法论的任一理论都应用历史的案例加以检验，而且更大力提倡数学史家与数学哲学家的密切合作，并认为双方都可以从这种合作中得益匪浅。例如，Breger和Grosholz在他们的序言中这样写道：“这一论文集源自编辑者的这样一个信念，即数学哲学的重要论题可以由哲学家与历史学家的有组织对话得到启示。……我们希望历史的材料能在数学哲学家那里获得更为深入和系统的应用；同样地，我们也希望哲学家由历史所激发的思考能给历史学家提供新的问题和思想。”显然，这种态度与传统的把数学哲学与数学史绝对地分割开来的作法是截然相反的。

最后，我们在此还可提及所谓的“奠基于数学史之上的数学哲学”。具体地说，相关的数学哲学家在此所希望的就是能发展出关于数学知识的这样一种理论，它能正确地反映数学的历史发展，即“现代的数学知识是由初始的状态经由一系列的合理转变得以形成的”（基切尔语）。显然，按照这样的观点，数学史对于数学哲学的重要性就得到了进一步的强化：正是前者为数学哲学的研究提供了基本的素材和最终的检验。这也就是说，“数学史对于数学哲学来说，不仅不是无关的，并事实上占有核心的地位。”

4.实际数学工作者的“活的哲学”

应当指出，对于数学史的高度重视不仅直接涉及到了数学方法论的研究，而且也标志着数学哲学研究立场的重要转变。在新方向上工作的数学哲学家们几乎一致地认为，实际的数学活动应当成为数学哲学理论研究的出发点和最终依据。“哲学没有任何理由可以继续无视实际的数学活动。事实上，正是这种实践应当为数学哲学提供问题及其解决所需要的素材。”

当然，上述的转变直接反映了实际数学工作者的心声。这也就如麦克莱恩所指出的：“数学哲学应当建立在对于这一领域（按指数学）中所实际发生的一切的仔细观察之上。”

最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切尔并曾从这样的角度对数学方法论研究的意义进行了分析。他们这样写道：“如果我们具有了这样的原则，历史学家就可以此为依据对实际历史与理想状况之间的差距作出研究，从而发现这样的有趣情况，在其间由于某些外部力量造成了对于方法论的偏离。另外，数学家们则可能会发现以下的研究具有一定的启示意义，即他们所选择的研究领域是如何由过去的数学演变而生成的，某些方法论的原则又如何在核心概念的更新中始终发挥了特别重要的作用。并非言过其实的是，这些答案……—还可能对数学家关于各种研究途径合理性及某些观念意义的争论起到一定的启发作用。”显然，这一认识与现代科学哲学中对于方法论的强调是完全一致的。

三、数学哲学的革命

从整体上说，与先前的基础主义数学哲学相比，新方向上的研究无论就基本的数学观，或是就研究问题、研究方法和基本的研究立场而言，都已发生了十分重要的变化。我们就可以说，数学哲学已经历了一场深刻的革命。

1.研究立场的转移，即由与实际数学活动的严重分离转移到了与它的密切结合。

由于深深地沉溺于对已有的数学理论和方法可靠性的疑虑或不安，因此，逻辑主义等学派在基础研究中普遍地采取了“批判和改造”的立场，即都认为应当对已有的数学理论和方法进行严格的批判或审查，并通过改造或重建以彻底解决数学的可靠性问题。从而，基础主义的数学哲学主要地就是一种规范性的研究，而也正因为此，基础研究在整体上就暴露出了严重脱离实际数学活动的弊病。

与此相对照，在新方向上工作的数学哲学家普遍采取了相反的立场，即是认为数学哲学应当成为实际数学工作者的“活的哲学”，也即应当“真实地反映当我们使用、讲授、发现或发明数学时所作的事”（赫斯语）。显然，基本立场的上述转移事实上也就意味着数学哲学性质的重要改变：这已不再是实际数学工作者所必须遵循的某些先验的、绝对的教条。

2.对于数学史的高度重视。

由于逻辑主义等学派所关注的主要是数学的逻辑重建，因此，在这些学派看来，数学的真实历史就不具有任何的重要性，或者说即是与数学的哲学分析完全不相干的，而数学哲学家所唯一应当重视的则就是逻辑分析的方法。

与基础主义者的上述作法相对立，在新方向上工作的数学哲学家则普遍地对数学史给予了高度的重视。例如，这就正如Echeverria等人所指出的：“对于数学活动的历史和社会层面的关注清楚地表明了‘新’的数学哲学与传统的新弗雷格主义倾向的区别，而后者在本世纪前半叶曾在这一学科中占据支配的地位。”显然，这事实上也就可以被看成上述的基本立场的一个直接表现。

更为一般地说，人们并逐步确立了这样的认识：“没有数学史的数学哲学是空洞的；没有数学哲学的数学史是盲目的。”（拉卡托斯语）这不仅标志着方法论的重要变革，而且也为深入开展数学哲学（和数学史）的研究指明了努力的方向。

3.研究问题的转移。

由于对已有的数学理论和方法可靠性的极大忧虑构成了逻辑主义等学派的基础研究工作的共同出发点，因此，基础主义的数学哲学主要地就是围绕所谓的“数学基础问题”展开的。这也就是指：如何为数学奠定可靠的基础，从而彻底地解决数学的可靠性问题？

与此相对照，现代的数学哲学家一般不再关心数学的可靠性问题，而这事实上也就是数学工作者实际态度的直接反映。这就正如斯坦纳（M.Steiner）等人所指出的，这是数学哲学研究的一个明显和无可辩驳的出发点，即人们具有一定的数学知识，这些数学知识并已获得了证实，从而就是可靠的。

对于力图为实际数学工作者建立“活的哲学”的数学哲学家来说，数学哲学研究的核心问题无疑就在于：如何对数学（活动）作出合理的解释？托玛兹克说：“数学哲学始于这样的思考，即是如何为数学提供一般的解释，也即提供一种能揭示数学本质特性并对人们如何能够从事数学活动作出解释的综合观点。”显然，这也就表明了，方法论的问题何以会在数学哲学的现代研究中占据特别重要的位置。

4.动态的、经验和拟经验的数学观对于静态的、绝对主义的数学观的取代。

尽管逻辑主义等学派对什么是数学的最终基础有着不同的看法，但是，从总体上说，他们所体现的又都可以说是一种静态的、绝对主义的数学观，因为，他们都希望能通过自己的工作为数学奠定一个“永恒的、可靠的基础”，这样，数学的进一步发展也就可以被看成无可怀疑的真理在数量上的单纯积累。

如果说静态的、绝对主义的数学观在基础主义的数学哲学中占据了主导的地位，那么，由于把着眼点转移到了实际的数学活动，人们现已不再把数学的发展看成是无可怀疑的真理在数量上的简单积累；与此相反，作为人类的一种创造性活动，数学发展显然是一个包含有猜测、错误和尝试、证明和反驳、检验与改进的复杂过程，并依赖于个体与群体的共同努力。从而，这种动态的、经验和拟经验的数学观就已逐渐取代传统的静态的和绝对主义的数学观在这一领域中占据了主导的地位。

综上可见，相对于基础主义而言，现代的数学哲学无论就研究问题、研究方法，或是就研究的基本立场和主要观念而言，都已发生了质的变化。因而，我们可以明确地断言：在数学哲学的现展中已经发生了革命性的变化。由于所有这些变化都与来自科学哲学的影响有着十分紧密的联系，因此，这也就最为清楚地表明了这种影响对于数学哲学现展的特殊重要性。

【参考文献】

1.M.Hallett,"TowardsaTheoryofMathematicalResearchProgrammes",inTheBritishJournalforPhilosophyofScience,30[1979],p.2

2.H.Mehrtens,"T.Kuhn''''sTheoriesandMathematics:aDiscussionpaperonthe‘NewHistoriography’ofMathematics",inHistoriaMathematica,3[1976],p.301,305,312

3.P.Kitcher,"MathematicalNaturalism",inHistoryandPhilsophyofModernMathematics,ed.byW.Aspray&P.Kitcher,UniversityofMinnesotaPress,1988,p.299,315

篇10

马克思曾明确指出：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”这是对数学作用的深刻理解，也是对科学化趋势的深刻预见。事实上，数学的应用越来越广泛，连一些过去认为与数学无缘的学科，如考古学、语言学、心理学等现在也都成为数学能够大显身手的领域。数学方法也在深刻地影响着历史学研究，能帮助历史学家做出更可靠、更令人信服的结论。这些情况使人们认为，人类智力活动中未受到数学的影响而大为改观的领域已寥寥无几了。

二、数学：科学的语言有不少自然科学家、特别是理论物理学家都曾明确地强调了数学的语言功能。例如，著名物理学家玻尔（N.H.D.Bohr）就曾指出：“数学不应该被看成是以经验的积累为基础的一种特殊的知识分支，而应该被看成是普通语言的一种精确化，这种精确化给普通语言补充了适当的工具来表示一些关系，对这些关系来说普通字句是不精确的或过于纠缠的。严格说来，量子力学和量子电动力学的数学形式系统，只不过给推导关于观测的预期结果提供了计算法则。”（注：《原子物理学和人类知识论文续编》，商务印书馆1978年版。）狄拉克（P.A.M.Dirac）也曾写道：“数学是特别适合于处理任何种类的抽象概念的工具，在这个领域内，它的力量是没有限制的。正因为这个缘故，关于新物理学的书如果不是纯粹描述实验工作的，就必须基本上是数学性的。”（注：狄拉克《量子力学原理》，科学出版社1979年版。）另外，爱因斯坦（A.Einstein）则更通过与艺术语言的比较专门论述了数学的语言性质，他写道：“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。……理论物理学家的世界图象在所有这些可能的图象中占有什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”（注：《爱因斯坦文集》第1卷，商务印书馆1976年版。）

一般地说，就像对客观世界量的规律性的认识一样，人们对于其他各种自然规律的认识也并非是一种直接的、简单的反映，而是包括了一个在思想中“重新构造”相应研究对象的过程，以及由内在的思维构造向外部的“独立存在”的转化（在爱因斯坦看来，“构造性”和“思辨性”正是科学思想的本质的思想）；就现代的理论研究而言，这种相对独立的“研究对象”的构造则又往往是借助于数学语言得以完成的（数学与一般自然科学的认识活动的区别之一就在于：数学对象是一种“逻辑结构”，一般的“科学对象”则可以说是一种“数学建构”），显然，这也就更为清楚地表明了数学的语言性质。

数学作为一种科学语言，还表现在它能以其特有的语言（概念、公式、法则、定理、方程、模型、理论等）对科学真理进行精确和简洁的表述。如著名物理学家、数学家麦克斯韦（J.C.Maxwell）的麦克斯韦方程组，预见了电磁波的存在，推断出电磁波速度等于光速，并断言光就是一种电磁波。这样，麦克斯韦创立了系统的电磁理论，把光、电、磁统一起来，实现了物理学上重大的理论结合和飞跃。还有黎曼（Riemann）几何和不变量理论为爱因斯坦发现相对论提供了绝妙的描述工具。而边界值数学理论使本世纪二三十年代的远距离原子示波器的制成变为现实。矩阵理论为本世纪20年代海森堡（W.K.Heisenberg）和狄拉克引起的物理学革命奠定了基础。

随着社会的数学化程度日益提高，数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段。如果说，从前在人们的社会生活中，在商业交往中，运用初等数学就够了，而高等数学一般被认为是科学研究人员所使用的一种高深的科学语言，那么在今天的社会生活中，只懂得初等数学就会感到远远不够用了。事实上，高等数学（如微积分、线性代数）的一些概念、语言正在越来越多地渗透到现代社会生活各个方面的各种信息系统中，而现代数学的一些新的概念（如算子、泛函、拓扑、张量、流形等）则开始大量涌现在科学技术文献中，日渐发展成为现代的科学语言。

三、数学：思维的工具数学是任何人分析问题和解决问题的思想工具。这是因为：首先，数学具有运用抽象思维去把握实在的能力。数学概念是以极度抽象的形式出现的。在现代数学中，集合、结构等概念，作为数学的研究对象，它们本身确是一种思想的创造物。与此同时，数学的研究方法也是抽象的，这就是说数学命题的真理性不能建立在经验之上，而必须依赖于演绎证明。数学家像是生活在一个抽象的数学王国中，然而他们在数学王国的种种发现，即数学结构内部和各种结构之间的规律性的东西，最终还是现实的摹写。而数学应用于实际问题的研究，其关键还在于能建立一个较好的数学模型。建立数学模型的过程，是一个科学抽象的过程，即善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边，抽出主要因素、主要关系、主要过程，经过一个合理的简化步骤，找出所要研究的问题与某种数学结构的对应关系，使这个实际问题转化为数学问题。在一个较好的数学模型上展开数学的推导和计算，以形成对问题的认识、判断和预测。这就是运用抽象思维去把握现实的力量所在。

其次，数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，是使认识从感性阶段发展到理性阶段，并使理性认识进一步深化的重要手段。在数学中，每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立。数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤都在逻辑上准确无误。所以运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时，所得结论有逻辑上的确定性和可靠性。数学的逻辑严密性还表现在它的公理化方法上。以理性认识的初级水平发展到更高级的水平，表现在一个理论系统还需要发展到抽象程度更高的公理化系统，通过数学公理化方法，找出最基本的概念、命题，作为逻辑的出发点，运用演绎理论论证各种派生的命题。牛顿所建立的力学系统则可看成自然科学中成功应用公理化方法的典型例子。

第三，数学也是辩证的辅助工具和表现方式。这是恩格斯（F.Engels）对数学的认识功能的一个重要论断。在数学中充满着辩证法，而且有自己特殊的表现方式，即用特殊的符号语言，简明的数学公式，明确地表达出各种辩证的关系和转化。如牛顿

（I.Newton）—莱布尼兹（G.W.Leibniz）公式描述了微分和积分两种运算之间的联系和相互转化，概率论和数理统计表现了事物的必然性与偶然性的内在关系等等（注：孙小礼《数学：人类文化的重要力量》，《北京大学学报》（哲学社会科学版），1993年第1期。）。最后，值得指出的是，数学还是思维的体操。这种思维操练，确实能够增强思维本领，提高科学抽象能力、逻辑推理能力和辩证思维能力。

四、数学：一种思想方法数学是研究量的科学。它研究客观对象量的变化、关系等，并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法。数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质，是物质世界质与量的统一、内容与形式的统一的最有效的表现方式。这些表现方式主要有：提供数量分析和计算工具；提供推理工具；建立数学模型。

任何一种数学方法的具体运用，首先必须将研究对象数量化，进行数量分析、测量和计算。同志曾指出：“对情况和问题一定要注意到它们的数量方面，要有基本的数量的分析。任何质量都表现为一定的数量，没有数量也就没有质量。”（注：《选集》第4卷第1443页，人民出版社1990年版。）例如太阳系第行星——海王星的发现，就是由亚当斯（J.C.Adams）和勒维烈（U.J.Leverrier）运用万有引力定律，通过复杂的数量分析和计算，在尚未观察到海王星的情况下推理并预见其存在的。

数学作为推理工具的作用是巨大的。特别是对由于技术条件限制暂时难以观测的感性经验以外的客观世界，推理更有其独到的功效，例如正电子的预言，就是由英国理论物理学家狄拉克根据逻辑推理而得出的。后来由宇宙射线观测实验证实了这一论断。

值得指出的是，数学模型方法作为对某种事物或现象中所包含的数量关系和空间形式所进行的数学概括、描述和抽象的基本方法，已经成为应用数学最本质的思想方法之一。模型这一概念在数学上已变得如此重要，以致于许多数学家都把数学看成是“关于模型的科学”。怀特海（A.N.Whitehead）认为：“模式具有重要性的看法和文明一样古老……社会组织的结合力也依赖于行为模式的保持；文明的进步也侥幸地依赖于这些行为模式的变更。”（注：林夏水主编《数学哲学译文集》第350页，知识出版社1986年版。）并进一步指出：“数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”（注：林夏水主编《数学哲学译文集》第350页，知识出版社1986年版。）物理学家博尔茨曼（L.E.Boltzmann）认为：“模型，无论是物理的还是数学的，无论是几何的还是统计的，已经成为科学以思维能力理解客体和用语言描述客体的工具。”这一观点目前不仅流行于自然科学界，还遍布于社会科学界。为自然界和人类社会的各种现象或事物建立模型，是把握并预测自然界与人类社会变化与发展规律的必然趋势。在欧洲，在人文科学和社会科学中称为结构主义的运动，雄辩地论证了所有各种范围的人类行为与意识都有形式的数学结构为基础。在美国，社会科学自夸有更坚实、定量的东西，这通常也是用数学模型来表示的。从模型的观点看，数学已经突破了量的确定性这一较狭义的范畴而获得了更广泛的意义。既然数学的研究对象已经不再局限于“量”而扩展为更广义的“模型”，那么，数学概念的本质也在发生嬗变。数学正成为一个动态的、变化的、泛化了的概念体系，其涵盖的科学对象也必然随之增加。数学在社会科学中的模型建构大都以结构分析为目标，即在高度简化与理想化的框架中去理解社会行为机制。在某些框架下，利用科学去预测与控制一个社会系统的一切变量的更高层次的目标已经实现。

数学的模型方法把数学的思想方法功能转化成科学研究的实际力量。数学中有一个分支叫应用数学，主要就是研究如何从实际问题中提炼数学模型。这是一个对研究对象进行具体分析、科学抽象和做出判断与预见的过程。如对客观事物的必然现象，人们用确定性模型去描述，而对或然现象，人们建立了随机性模型。模糊数学被用于刻画弗晰现象。而各种突变现象，如地震、洪灾等，则可以由突变理论给出数学模型。

五、数学：理性的艺术通常人们认为，艺术与数学是人类所创造的风格与本质都迥然不同的两类文化产品。两者一个处于高度理性化的巅峰，另一个居于情感世界的中心；一个是科学（自然科学）的典范，另一个是美学构筑的杰作。然而，在种种表面无关甚至完全不同的现象背后，隐匿着艺术与数学极其丰富的普遍意义。

数学与艺术确实有许多相通和共同之处，例如数学和艺术，特别是音乐中的五线谱，绘画中的线条结构等，都是用抽象的符号语言来表达内容。难怪有人说，数学是理性的音乐，音乐是感性的数学。事实上，由于数学（特别是现代数学）的研究对象在很大程度上可以被看成“思维的自由想象和创造”，因此，美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位，以致在一定程度上数学可被看成一种艺术。对此，我们还可做出如下进一步的分析。

艺术与数学都是描绘世界图式的有力工具。艺术与数学作为人类文明发展的产物，是人类认识世界的一种有力手段。在艺术创造与数学创造中凝聚着人类美好的理想和实现这种理想的孜孜追求。尽管艺术家与数学家使用着不同的工具，有着不同的方式，但他们工作的基本的目的都是为了描绘一幅尽可能简化的“世界图式”。艺术实践与数学活动的动机、过程、方法与结果，都是在其自身价值的弘扬中，不断地实现着对世界图式的有力刻画。这种价值就是在充分、完全地理解现实世界的基础上，审美地掌握世界。

艺术与数学都是通用的理想化的世界语言。艺术与数学在描绘世界图式的过程中，还同时发展并完善着自身的表现形式，这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言体系。其共同特征有：（1）跨文化性。艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声，因而它们可以超越时间和地域界限，实现不同文化群体之间的广泛传播和交流。（2）整体性。艺术语言的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性；数学语言的整体性来自于数学统一的符号体系、各个分支之间的有力联系、共同的逻辑规则和约定俗成的阐述方式。（3）简约性。它首先表现为很高的抽象程度，其次是凝冻与浓缩。（4）象征性。艺术与数学语言各自的象征性可以诱发某种强烈的情感体验，唤起某种美的感受，而意义则在于把注意力引向思维，升迁为理念，成为表现人类内心意图的方式。（5）形式化。在艺术与数学各自进行的代码与信息的意义交换中，其共同的特征就是达到了实体与形式的分隔。这样提炼出来的形式可以进行形式化处理。

艺术与数学具有普适的精神价值。有人把精神价值划分为知识价值、道德价值和审美价值三种。艺术与数学同时具备这三种价值，这一事实赋予了艺术与数学精神价值以普适性。概括起来，其共同的特点有：（1）自律性。数学价值的自律性是与数学价值的客观性相联系的；艺术的价值也是不能由民主选举和个人好恶来衡量的。艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别、鉴赏和评价的。（2）超越性。它们可以超越时空，显示出永恒。在艺术与数学的价值超越过程中，现实被扩张、被延伸。人被重新塑造，赋予理想。艺术与数学的超越性还表现为超前的价值。（3）非功利性。艺术与数学的非功利性是其价值判断有别于其他种类文化与科学的显著特征之一。（4）多样化、物化与泛化。在现代技术与商业化的冲击下，艺术与数学的价值也开始发生嬗变，出现了各自价值在许多领域内的散射、渗透、应用、交叉等现象。

在人类思维的全谱系中，艺术思维和数学思维的主要特征决定了其主导思维各居于谱系的两端。但两种思维又有很多交叉、重叠和复合。特别是真正的艺术品和数学创造，一般都不是某种单一思维形式的产物，而是多种思维形式综合作用的结果。人类思维之翼在艺术思维与数学思维形成的巨大张力之间展开了无穷的翱翔，并在人类思维的自然延拓和形式构造中被编织得浑然一体，呈现出整体多样性的统一。人类思维谱系不是线性的，而是主体的、网络式的、多层多维的复合体。当我们想要探索人类思维的奥秘时，艺术思维与数学思维能够提供最典型的范本。其中能够找到包括人类原始思维直至人工智能这样高级思维在内的全部思维素材（注：黄秦安《论艺术与数学的普遍意义及基本关系》，《陕西师大学报》（哲学社会科学版），1994年第

2期。）。

六、数学：充满理性精神数学犹如一棵正在成长着的大树，它是不断发展和丰富着的理论知识体系。数学充满着理性精神，它不断为人们提供新概念、新方法。有的数学家说：“数学在人类历史中的地位绝不亚于语言、艺术和宗教，今天数学正对科学和社会产生着翻天覆地的影响。”（注：〔美〕L.A.斯蒂恩主编《今日数学》第26页，上海科技出版社1982年版。）

数学对于人类理性精神发展有着特殊的意义，这也清楚地说明数学作为整个人类文化的一个有机组成成分的重要性。正如克莱因（M.Kline）指出的：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生产；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”（注：M.Kline.MathematicsinWesternCulture.PenguinBooks,1953.Preface,121～132.）