模糊数学十篇

模糊数学篇1

英文名称：Fuzzy Systems and Mathematics

主管单位：

主办单位：中国模糊数学与模糊系统学会;国防科技大学理学院

出版周期：双月刊

出版地址：湖南省长沙市

语

种：中文

开

本：大16开

国际刊号：1001-7402

国内刊号：43-1179/O1

邮发代号：42-180

发行范围：国内外统一发行

创刊时间：1987

期刊收录：

CBST 科学技术文献速报(日)(2009)

中国科学引文数据库(CSCD―2008)

核心期刊：

中文核心期刊(2008)

中文核心期刊(2004)

期刊荣誉：

Caj-cd规范获奖期刊

联系方式

期刊简介

《模糊系统与数学》（双月刊）创刊于1987年，是由国防科技大学理学院、国防科技大学信息系统与管理学院主办的模糊数学与模糊系统专业委员会会刊。

模糊数学篇2

关键词　旅游　模糊数学　集合　综合评价

现实生活中充满了模糊事物、模糊概念，比如暖、胖、亮、老等。我们的想法是怎样利用模糊数学中的模糊集合概念来描述诸如此类的模糊事物。可以设定若集合用大写字母A、B……来表示，则A、B……表示模糊集合，用?滋（x）表示元素X属于模糊集合A的程度。?滋可在［0,1］内连续取值，所以能合适的表示元素，X属于某一个模糊集合的种种暧昧状态。例如，导游小姐为了使57岁的女士不至于为年龄大而伤心，告诉她其实女士的年龄只有66%属“老年人”，而基本上可以说还不是老年人，因为：

?滋老年人（X）＝≈66％

也就是说这位女士属于老年人集合的资格只有0.66，按这个公式就连70岁的人也只有94%（而不是100%）的资格属于老年人，女士有什么理由认为自己老的不能活下去呢？！

成功的用模糊数学公式劝导游客当然不是导游小姐的独创，只是这位导游小姐能自如的把模糊数学运用到自己的工作中罢了。模糊数学自1965年问世以来，发展的异常迅速，目前世界上已有多种专著、论文集以及杂志。从这些出版物中可以看到，国内外许多学者在这一重要和迅速发展的领域中作出了有价值的贡献。今天我们也试图在旅游行业中发现模糊数学的痕迹。模糊数学中的模糊综合评判法，应该可以在旅游业中找到用武之地。

1　单因素评判

拿一个新开辟的景点为例。为了考察该景点的优劣，可以找来各界人士若干，规定每个人在集合V={很喜欢，喜欢，不太喜欢，不喜欢｝给出的答案中挑一种，若挑选的结果是20%的人“很喜欢”，40%的人“喜欢”，20%的人“不太喜欢”，20%的人“不喜欢”，这一评判结果就可用模糊集。

B=0.2／很喜欢+0.4／喜欢+0.2／不太喜欢+0.2／不太喜欢来表示，B还可以简单记为B=［0.2，0.4，0.2，0.2］。一个单因素模糊评判问题的评价结果是评价集V这一论域上的一个模糊子集。为了清晰起见，可根据最佳隶属原则得出一个清晰评判。上例中由于“喜欢”对B的隶属度?滋B（喜欢）＝0．4最大，所以可以认为对该景点的评判是游客喜欢。但一般没必要这么做，保持模糊评判的结果B往往能更好的反映游客对景点的看法。

2　模糊综合评判

实用中，单因素评判似乎太单一。因为一般一个问题往往涉及多个因素。还是以一个景点为例，“游客喜欢”涉及的因素应该有6个：食、住、行、游、购、娱。如何评判一个景点，应该是个综合问题，可给出的评价集为：

V={很喜欢，喜欢，不太喜欢，不喜欢}

首先考虑各个单独因素，用前面的方法可以对上述6个因素进行模糊评判。假设得到如下的单因素评判结果。它们分别为以下六个模糊集：

很喜欢

喜欢 不太喜欢 不喜欢

食　 R=（0.0

0.4

0.5

0.1)

住 　R=（0.0

0.2

0.6

0.2)

行 　R=（0.1

0.3

0.2

0.3)

游 　R=（0.0

0.2

0.6

0.2)

购 　R=（0.0

0.3

0.6

0.1)

娱 　R=（0.1

0.5

0.3

0.1)

R=

可称R为对该景点的单因素评判矩阵。

由于评判人在评判时对各个因素的着眼点不尽相同，也就是说对诸因素有不同的侧重，因而得出的评判结果也可能是不同的。例如：年龄稍大的游客可能侧重“行”，即偏重交通方便。而年轻游客则可能侧重“游”，即偏重玩得快乐。所以事先确定好各个因素侧重程度，即相应的“权”重，才能保证综合评判的信度。假定我们选定某类年轻游客，且事先估计了这类游客对各因素的相应权重。

它可以表示成模糊集

=0.15／食+0.15／住+0.1／行+0.1／游+0.15／购+0.35／娱

或简记为：=（0.15 0.15 0.1 0.1 0.15 0.35）

对某评判对象，若已知单因素评判矩阵及权（记为模糊集），则对此评判对象的模糊综合评判结果是模糊集B=A·B

上设与均已知，则

=（0.15 0.15 0.1 0.15 0.35）·

=（0.1 0.35 0.3

即：=（0.1 0.35 0.3 0.10）

综合评判的结果最好是归一化的，其基数为0.1+0.35+0.3+0.15=0.85

评判结果为

（0.1/0.85 0.35/0.85 0.3/0.85 0.15/0.85）=（0.11 0.39 0.34 0.16）

这一评判结果表明11%的人“很喜欢”这个景点，39%的人“喜欢”这个景点，34%的人“不喜欢”这个景点，16%的人“很不喜欢”这个景点。再综合一下，把“很喜欢”和“喜欢”归为一类，占人数的50%，“不喜欢”和“很不喜欢”归为一类，占人数的50%。

但如果选定某类年龄稍大的游客，且把他们对各因素的权重分配定为

*=（0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2）

则综合评判的结果为

= *·=（0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2）· =（0.2 0.2

因为0.2+0.2+0.2+0.2=0.8

故综合评判结果为：

（0.2／0.8 0.2／0.8 0.2／0.8 0.2／0.8）=（0.25 0.25 0.25 0.25）

表明在该类游客中有25%的人“很喜欢”该景点，25%的人“喜欢”该景点，25%的人“不喜欢”该景点，25%的人“很不喜欢”该景点。

由此看出即使是同一被评判对象，由于对各因素的权重不同得出的评判结果也可能是不同的。这就是模糊结合评判法的使用过程。

此类评判的数学模型可以归纳如下：

已知因素集U={u1，u2 … un}和评价集V={v1，v2 …vn}

设定对因素的权分配，即U上的模糊子集A简记为

=（a1，a2…an）

式中ai为第i个因素Ui所对应的权数，且一般均规定

ai＝1

对第i个因素的单因素模糊评价为V上的模糊子集

Ri=（r1，r2…rn）

于是单因素评判矩阵为

=

则对该评判对象的模糊综合评判是V上的模糊子集

=·

3　模糊综合评判的逆问题

实质上，R是集合U与集合V之间的一个模糊关系。根据矩阵的复合运算法则，确定了一个模糊映射，它把U上的一个模糊子集A映射到V上的一个模糊子集B·A是映射的原象，B是映射的象。于是模糊综合评判实际上就是已知原象（权分配行矩阵）和映射（单因素评判矩阵）去求象（综合测判结果）的问题，借助合成运算，这是不难办到的。比较困难的是求原象，即权分配如何适当的确定。因此还存在模糊逆问题：已知R及象去求原象。即已知评判结果去判别评判人在评判中所取的权分配。一般说来，已知模糊映射R的象B去求它的原象比较困难，这里可采用比较法。即：先人为的设定S个原象A1 A2 ……AS再分别求出它们的象。=·

i=1.2,……S。

然后按模糊集的贴近原则，求出与B最贴近的模糊集。

即（，B）=max(Bj，)

（式中（，）是Bj与B的贴近度。

则所对应原象Ai即为较理想的权分配方案———原象。

比如：对景点交通的评判从以下三个方面来着眼，即交通线路、交通工具和服务水平，经过调查知只有80%的人评价“好”，20%的人评价“不太好”，没有人评价“很好”，也没有人评价“不好”。可以写出评价集V=（很好，好，不太好，不好）

单因素评价矩阵

R=

综合评判=（0 0.8 0.2 0）

那么游客怎样进行服务水平，交通工具，交通线路这三个因素的权分配？

根据对游客心理的估计，可以这样进行，先提出下述四种可能的权分配方案。（四个原象A1，A2，A3，A4）。即四个模糊集。

服务水平交通工具交通线路

A1=（0.2　0.5　0.3）

A2=（0.5　0.3　0.2）

A3=（0.2　0.3　0.5）

A4=（0.7　0.25　0.05）

算出对应的，，，

=·=（0.2 0.4 0.5 0.1）

=·=（0.2 0.5 0.3 0.1）

=·=（0.2 0.3 0.4 0.1）

=·=（0.2 0.7 0.25 0.1）

再算出与的贴近度：

（，）=（0.4+1-0.1）/2= 0.65

（，）=（0.5+1-0.1）/2= 0.7

（，）=（0.3+1-0.1）/2= 0.6

（，）=（0.7+1-0.05）/2= 0.825

由（，）=（，）= 0.825最大

模糊数学篇3

1.1模糊数学在中医诊断中的应用。在中医学界，脉诊和舌诊是中医四诊的重要内容，为了能够使舌诊和脉诊更加的适应现现代化中医学的发展，相关学者就将模糊数学的方法运用到舌诊和脉诊上，余兴龙等[3]在中医舌诊方面运用了模糊聚类分析的方法，将舌诊的内容进行详细的分析和自动识别首先是建立了中医舌诊的自动识别系统，然后将现代化的计算机信息技术和临床的辨舌经验结合起来，近一些相似的象素运用模糊数学的相关理论进行聚类分析，然后再根据模糊数学中的相关理论的研究来确定舌象的定义域。临床研究出了四种舌象，即紫红舌、暗紫舌、淡红舌以及暗红舌，总共研究了三百六十六例，最终得出计算机的自动识别结果和通过肉眼观察的结果符合率达到了百分之八十以上。脉诊对于中医的诊断系统来说，是不可缺少的一部分，中医通常会利用个人的经验，通过指感来进一步的判断人体的脉象，在此过程中由于专家经验占了很大的成分，因此存在着许多模糊的概念。将模糊数学运用到中医的脉诊方面，借助于压力感受器所构建的脉象图可以更加客观具体的分析人体的脉象，此外再利用模糊数学中的一些方法使脉象的分析更加的自动化。[4]由此可知，将模糊数学运用到中医诊断中，可以使医生能够全面的认识并诊断病症，进而进行正确合理的治疗。

1.2模糊数学在中医药学中的应用。在中医的理论中存在着许多模糊性的概念，相同的药物在不同的时间采摘下来，并运用不同的方法进行炮制，它们所体现的主治功能也是完全不一样的，这之间所发生的变化具有一定的动态性且较为复杂，其类属模糊。在中医药学中运用模糊数学的理论可以通过模糊数学的将中药的性能和功效量化，这样一来在选择药物的时候就能够更加的准确和恰当，而且对药物的评价更加的科学性和合理性。运用模糊数学中模糊评价的方法可以将药物中的寒热药性和药性的表达方式有效合理的分析出来，这种模糊评价方法能够综合且有效的评价中药的寒热药性。高氏等对人参的9个部位的样品分别进行成分的鉴别，先将薄层色谱解析成0与1表示的数量化矩阵，然后再用模糊类分析的方法分成5类，进而准确的区分出人参各部位化学成分的差异。在中药界对于中药质量的评价以及鉴别是非常重要的，模糊数学方法在中医药中的运用对于中药的检验来说更加的公正与科学。

1.3模糊数学在方剂学中的应用。在中药治疗中，方剂是一种必不可少的主要形式，如今方剂学的传统模式已经随着自身的发展发生了重大的变化，方剂学采用先进的科学技术对其进行了深入的量化研究。赵氏等利用模糊聚类分析的方法对小柴胡汤的配伍进行了详细的分析，其中半夏与生姜具有非常高的相似度，这也就表明了两者的功效是相同的，其中柴胡和黄岑与其他的药剂是有很大的差异的，其中甘草、大枣和人参具有很大的相似度，这个和传统的中医理论是吻合的。[5]总之模糊聚类分析方法为评价处方组合的合理性提供了理论依据，这种方法可以实现人工所不能完成的工作，将模糊数学的方法融合到方剂配伍规律的量化研究中，为复方配伍研究以及开发新药方提供了可行的新思路与技术途径。

1.4模糊数学在中医临床中的应用。目前在中医临床中模糊数学也有诸多的运用，它可以有效的对中医临床进行疗效判断和病症的分类，可以用聚类分析法按照本身内在的规律，将一组数据分为较为合理的几类，从而使数据分析的结果更加的客观性和准确性。章伟浩等[6]为了检验灰色关联分析和模糊聚类对中医肝病诊断待正确率，采集了上海地区900例肝炎硬化的样本，最后经过与专家诊断的结果对比之后发现，两种方法的正确率分别为69.4%和78.3%，这也就验证了模糊数学方法的重要性。在进行临床疗效的评价时，如果运用聚类分析法进行分类，则很难得出一个较为明确的数据结果，此时应该采用模糊数学中的综合评价方法，这样可以弥补其不足之处。进行综合评价方法时要建立一个综合评价的模型，首先要确定评价对象的因素集U={x1，x2，...xn}，如二复方对冠心病疗效的评价因素集可以分为：U={x1（心电图），x2（血管扩张），x3（冠脉血流量），x4（血流动力学）}，然后确定评语集：V={y1，y2，y3，y4}，上例中可为：心电图改善，血管扩张，冠脉血流量增加，血流动力学改善，接着做出单因素的评价，最后再进行综合评价，因为每个因素在综合评价中的作用都有所不同，因此应考虑各个因素的权重，对待各因素时要以不同的权重系数来体现它们对综合评价的重要程度。[7]在此例中如果认为心电图改善是最重要的，就应该增加其权重，血流动力改善不太重要，就减少其权重，最终可以给心电图改善、血管扩张、冠脉血流量增加、血流动力学改善分别赋以1.0、0.8、0.7、0.5的权重系数。

2结论

模糊数学篇4

旅游业在中国发展迅猛，旅游学、旅游教育的发展却相对滞后，文章用模糊数学中的综合评判法为旅游学提供一种评价模式，使其不仅更具科学性，而且更具操作性，从而使旅游业的发展更具合理性。论文频道的管理学论文为广大网友提供参考： 旅游业中模糊综合评判的数学模型 现实生活中充满了模糊事物、模糊概念，比如暖、胖、亮、老等。我们的想法是怎样利用模糊数学中的模糊集合概念来描述诸如此类的模糊事物。可以设定若集合用大写字母A、B……来表示，则A、B……表示模糊集合，用?滋（x）表示元素X属于模糊集合A的程度。?滋可在［0,1］内连续取值，所以能合适的表示元素，X属于某一个模糊集合的种种暧昧状态。例如，导游小姐为了使57岁的女士不至于为年龄大而伤心，告诉她其实女士的年龄只有66%属“老年人”，而基本上可以说还不是老年人，因为： 滋老年人（X）＝≈66％ 也就是说这位女士属于老年人集合的资格只有0.66，按这个公式就连70岁的人也只有94%（而不是100%）的资格属于老年人，女士有什么理由认为自己老的不能活下去呢？！ 成功的用模糊数学公式劝导游客当然不是导游小姐的独创，只是这位导游小姐能自如的把模糊数学运用到自己的工作中罢了。模糊数学自1965年问世以来，发展的异常迅速，目前世界上已有多种专著、论文集以及杂志。从这些出版物中可以看到，国内外许多学者在这一重要和迅速发展的领域中作出了有价值的贡献。今天我们也试图在旅游行业中发现模糊数学的痕迹。模糊数学中的模糊综合评判法，应该可以在旅游业中找到用武之地。 1 单因素评判 拿一个新开辟的景点为例。为了考察该景点的优劣，可以找来各界人士若干，规定每个人在集合V={很喜欢，喜欢，不太喜欢，不喜欢｝给出的答案中挑一种，若挑选的结果是20%的人“很喜欢”，40%的人“喜欢”，20%的人“不太喜欢”，20%的人“不喜欢”，这一评判结果就可用模糊集。 B=0.2／很喜欢+0.4／喜欢+0.2／不太喜欢+0.2／不太喜欢来表示，B还可以简单记为B=［0.2，0.4，0.2，0.2］。一个单因素模糊评判问题的评价结果是评价集V这一论域上的一个模糊子集。为了清晰起见，可根据最佳隶属原则得出一个清晰评判。上例中由于“喜欢”对B的隶属度?滋B（喜欢）＝0．4最大，所以可以认为对该景点的评判是游客喜欢。但一般没必要这么做，保持模糊评判的结果B往往能更好的反映游客对景点的看法。 2 模糊综合评判 实用中，单因素评判似乎太单一。因为一般一个问题往往涉及多个因素。还是以一个景点为例，“游客喜欢”涉及的因素应该有6个：食、住、行、游、购、娱。如何评判一个景点，应该是个综合问题，可给出的评价集为： V={很喜欢，喜欢，不太喜欢，不喜欢} 首先考虑各个单独因素，用前面的方法可以对上述6个因素进行模糊评判。假设得到如下的单因素评判结果。它们分别为以下六个模糊集： 很喜欢 喜欢不太喜欢不喜欢 食 R=（0.0 0.4 0.5 0.1) 住 R=（0.0 0.2 0.6 0.2) 行 R=（0.1 0.3 0.2 0.3) 游 R=（0.0 0.2 0.6 0.2) 购 R=（0.0 0.3 0.6 0.1) 娱 R=（0.1 0.5 0.3 0.1) R= 可称R为对该景点的单因素评判矩阵。 由于评判人在评判时对各个因素的着眼点不尽相同，也就是说对诸因素有不同的侧重，因而得出的评判结果也可能是不同的。例如：年龄稍大的游客可能侧重“行”，即偏重交通方便。而年轻游客则可能侧重“游”，即偏重玩得快乐。所以事先确定好各个因素侧重程度，即相

模糊数学篇5

【关键词】 模糊数学; 评估指标; 综合评判

1 方法简介

长期以来，教育质量问题一直被视为学校教育的生命线，而课堂教学质量又是直接影响学校教育质量的关键。为此，学校的教学职能部门采取了一系列方法对教师的课堂教学工作进行督导和评判。其中使用问卷调查评估教学质量就是一种行之有效的方法。此法不但应用广泛，而且问卷范围越大其结果也就越客观，这也给最终的统计带来了大量的后续工作。因此，我们用模糊数学中综合评判的方法，对教师的课堂教学这一多因素，多变量的行为过程及其效果进行综合评价，以判别教师的课堂教学质量隶属的等级水平并进行比较和鉴别。根据综合评判中的最大隶属原则[1]哪个等级上分量值大，则教学质量就属于该等级。

2 确定指标和样本

现将评估教学质量的多项指标及每项指标的四个评定等级绘制成表1。表1 各项指标的评价等级

评价指标 评价等级优良可差教学态度(教案、仪表、教书育人等)x11x12x13x14教学内容(教学目地、课容量、准确度、详略等)x21x22x23x24教学方法(板书、语言、应变力、启发式、手

段等)x31x32x33x34教学效果(知识与技能掌握、师生互动、课堂

气氛等)x41x42x43x44

其中xij为学生对考核课程各项评价指标进行等级评定的百分数，满足?4j=1xij=1, i=1,2,3,4。则(xij)为四阶评价矩阵。例如，对大连医科大学卫校2008级126人进行数学课的问卷调查，其中有120人对教学态度这一指标的评价等级为优，则x11=120 /126≈0.95 。

3 综合评判

综合评判是模糊数学中应用非常广泛的一种方法，它对评价多因素产品质量问题有较好的效果。首先需确定评价指标集合u，等级集合v，及评价指标的权重，然后根据综合评判中的最大隶属原则判别其归属。

3.1 确定u、v、r　取定评价指标集u={教学态度 、教学内容、教学方法、教学效果};评价等级集v={　优、良、可、差　};根据表1写出某一课堂教学的评价矩阵为：

r=0.250.250.250.25

0.000.120.620.26

0.120.130.750.00

0.000.380.500.12

3.2 确定评价指标的权重

我们根据各评价指标对授课质量的影响所占比重，分别确定权重如下：教学态度 0.15、教学内容0.30、教学方法0.40、教学效果0.15。得到权重向量 =(0.15，0.30，0.40，0.15)。

3.3 综合评判

根据综合评判中的最大隶属原则，计算?r得一向量，若哪个分量值最大，则把结果判为该分量所对应的等级上。

?r为模糊矩阵的乘积运算。两个元素相乘时用"∧"表示，按最小运算原则两个元素取小的一个;两个元素相加时用"∨"表示，按最大运算原则两个元素取大的一个。

如(0.15∧0.25 )∨(0.25 ∧ 0.12) ∨(0.20∧ 0.13) ∨(0.40∧ 0.38)=0.15∨ 0.12 ∨0.13∨0.38=0.38。

由以上运算法则得到下面结果：

?r=(0.15，0.30，0.40，0.15) ?

0.250.250.250.25

0.000.120.620.26

0.120.130.750.00

0.000.380.500.12=(0.15，0.15，0.40，0.26)

归一化得 =10.96×(0.15，0.15，0.40，0.26)=(0.16，

收稿日期：2009?11?18

作者简介：张凤林，男，安徽省安庆市疾病预防控制中心。研究方向：食品检验。

0.16，0.42，0.26)

这就是持权重的综合评判结果。认为该门课堂教学优的为16%，良的为16%，可的为42%，较差为26%，根据最大隶属原则其综合评判结果为可。

4 讨论

本研究对反映课堂教学质量的诸多因素教学态度 、教学内容、教学方法、教学效果分别取权重0.15、0.30、0.40、0.15，这是因为教学内容及教学方法在课堂教学质量评价中占有重要的地位。

然而，在综合评判过程中评估指标越多，各指标权重越不易确定，这时可将诸多指标进行分类编组其效果会更好。用模糊数学中综合评判方法定量地综合评价课堂教学质量，能有效地避免人为主观因素的干扰，克服单因素评价的片面性，同时可减少许多后续的统计工作。因此，可将这一方法制成计算机软件，作为学校教学职能部门评估课堂教学质量的模型使用。

模糊数学篇6

【关键词】模糊数学；井筒稳定性；聚类值；井筒破坏

1、工程背景及概况

1.1工程背景

厚含水冲积层变形导致地表沉降在世界范围内已带来一系列工程、社会和环境等问题。黄河和淮河中、下游地区是我国至关重要的煤炭生产基地，分布着兖州、商丘、淮北、新乡、济宁、焦作、淮南、平顶山、巨野、徐州等大型矿区。该地区普遍存在大于100m松散含水冲积层，大约有300多个立井穿过厚松散冲积层。自1987年起，黄淮地区的立井井筒陆续开始发生破坏灾害，目前该地区发生破坏的井筒已有上百个。立井井筒是煤矿提升运输、矿井通风、管线吊装及人员上下的重要通道，是生产矿井的咽喉，并且井筒发生破坏可能引起安全事故，造成严重的经济损失。这种大范围的井筒破裂现象已向科技人员提出了新的挑战。分析评价井筒的稳定性并实施合理的防治工程，妥善解决井筒破裂难题，成为摆在科研工作者面前的重大任务。

1.2工程概况

东滩煤矿主、副井及北、西风井位于兖州矿区，井筒所在位置第四系冲积层厚度大于100m，其中主井筒108.17m，副井筒108.35m，北风井井筒111.04m，西风井井筒134.79m。

井筒竣工时间分别为1983年、1984年、1984年、1982年，距现在三十年左右，根据东滩煤矿周边矿区井筒相继破坏情况，东滩煤矿井筒有可能出现破裂，影响煤矿安全生产。

2、模糊聚类分析方法

模糊数学即一门研究并处理模糊现象的科学。井筒破坏可分为已破坏和未破坏两种，井筒破坏是由井壁结构、含水层水位变化、井筒周边地层结构等诸多因素共同制约的，而且每个因素与井筒破坏不构成线性关系。因此采用模糊聚类的方法，通过建立模糊关系对客观事物进行分类，并将多因素影响变化为单因素影响进行判别，进而提高评价和预测的准确性。具体步骤如下：

2.1特征因素的选择

特征因素是井筒影响破裂因素的集合，可用参数量化表示。

2.2聚类样本内容

样本是井筒某时期各特征因素的量化参数的集合。

2.3模糊聚类计算

（1）利用极值标准化公式将样本数据进行处理，把所有样本的数据全部转化为0～1之间，有利于数据处理及运算：

式中

——原始数据；

——某特征因素原始数据最小值；

——某特征因素原始数据最大值；

m——样本数量；

n——特征因素数量。

（2）用数量积法对数据标定，从而确定论域上的模糊相似关系R

式中

M——方程系数，通过调整矩阵聚类值在适当区间；

rij——第i样本的聚类值；

——第i（j）样本，第k个特征因素的标准值；

ak——第k特征因素的权重。

（3）将模糊相似关系变化为模糊等价关系，使模糊等价关系R满足以下条件：

自反性：

对称性：（i、j=1，2，…，m）

传递性：

从而获得模糊等价关系矩阵，该矩阵的第1行或第1列为代表该样本的聚类值，该值越大则井筒越易破裂。

（4）聚类分析

对模糊等价关系矩阵R求λ载集矩阵，得R矩阵为：

即可得到两种样本，当聚类值rij=1时，集合内全为已知破坏样本，当聚类值rij=0时集合内全为已知未破坏的样本。

3、井筒破裂预测与评价

3.1特征因素的选择

影响井筒破裂的特征因素定为7项：

地表沉降速度（y1）。反映地层的压缩速率，标志地层压缩对井筒作用影响的程度。压缩速率越大对井筒越不利。

地表累计下沉量（y2）。用来反映地层压缩变形程度的指标。地表累积下沉量越大，对井筒稳定性越不利。

主压缩层埋深（y3）。新生界地层中主压缩层埋深对井筒有如下影响：一是反映地层压缩变形对井筒的扰动作用程度，即附加应力的影响。

土层的主压缩层深度越大，相对于井壁具有运动趋势的土层就越厚，因此土层对井壁产生向下摩擦力的作用面积就会越大，将会导致井壁附加应力随之迅速增大，当井壁附加应力超过了井壁钢筋混凝土的强度，就会导致井壁发生破坏；二是静态作用力。

井筒净直径（y4）。井筒净直径是影响井筒强度的一个因素。按弹性力学拉梅公式，在其它条件相同的情况下，井筒内半径越大，对井筒稳定性越不利。

井壁厚度因素（y5）。井壁的强度只要取决于井壁砼的厚度。井壁越厚，承载力越高。

施工方法（y6）。井筒的施工方法对井筒稳定性有直接影响。一般认为钻井法施工较冻结法为优。

井壁施工质量及井塔因素（y7）。井壁施工质量直接影响井筒强度。

井壁受力破裂是多因素综合作用影响的结果。在影响井壁破坏的诸多因素中，所起的作用各不相同。关键因素初选权重大，次要因素初选权重小。具体参数要通过试算进行调整。

3.2类样本内容

本次聚类选取18个井筒样本，样本各特征因素参数为特定时间井筒的状态参数，有的参数是变化的，例如，冲积层累计压缩量一般是增大的；有些参数是不变的，例如井筒直径和壁厚等。样本内容见表3-1和表3-2。

（1）样本1为标准样本，取各样本特征因素参数中最不利的值。（2）样本2～18为已经知道结果的样本。其中，淮北矿区9个破裂样本，1个未破裂样本。徐州矿区2个破裂样本；兖州矿区5个破裂样本。

3.3模糊聚类结果分析

通过计算，得出的聚类结果参见表3-1和表3-2：已经破裂井筒的聚类值大于0.137，并且聚类值越大，井筒越易破裂。东滩煤矿以现在的条件来进行模糊数学评价，破裂可能性排序为：西风井、副井、北风井和主井。其中西风井聚类值为0.138，已经井筒破裂，现正在治理。副井、北风井和主井的聚类值分别为0.131、0.120和0.107，与地质条件相同井筒发生破坏的聚类值相比较，暂时没有破裂的可能性。

模糊数学篇7

关键词：模糊数学；工程造价；造价估算

随着我国工程建设的发展，工程造价控制已经从施工阶段造价控制发展到决策、设计、招投标、施工、竣工验收阶段全过程造价控制。设计阶段造价对工程总造价有着重要影响，是工程造价控制的重点之一。招投标对工程建设造价有着决定作用，在经济技术分析时，一味地增大技术保守参数，会造成投资严重失控。在对投标方案进行评选时，大多采用定性描述、估计评价，但是缺少定量分析，很容易造成主观臆断，难以对造价进行准确控制。在招投标等阶段采用模糊综合评价等方法可以将定性问题量化，实现工程造价控制。

1工程造价控制的意义

我国工程造价管理长期运行已经形成了较为完善的造价管理防范，但是目前依旧是采用前苏联模式进行控制，受到计划经济管理模式影响比较深。加入世界贸易组织（WordTradeOrganization，WTO）之后，我国参与的国际竞争越来越多，工程造价计价模式和计价方法受到了较大冲击。在工程造价实践中经常出现概算超估算、预算超概算、决算超预算的现象。对我国工程造价管理模式进行研究，可以冲破传统工程造价哎管理理论的限制，采用全新的造价控制理念，促进造价控制手段的完善和发展。我国工程造价体制仍发挥着巨大的作用，同时新的造价体制仍未建立，对工程建设企业造价控制手段进行研究，有助于形成我国新的工程造价管理模式，降低工程建设成本，节约建设资金，更好地发挥工程建设的社会效益。

2工程造价管理现状

我国造价管理体系采用定额、清单方式进行造价控制，主要体现如下特点。

2.1条块分割，政出多门

为了减小造价管理对工程建设组织工作影响，我国采用多部门、多层级的工程造价管理机构。建设行政主管部门及其委派的专业工程管理机构、地方省市、造价管理机构等构成宏观的造价管理机构；施工单位、建设单位、监理机构、造价咨询机构等形成了微观的造价管理机构。这些机构在造价管理上存在重复公布的现象，使得工程造价管理比较混乱。

2.2静态管理为主，缺少动态管理

采用定额方式进行造价管理，将工程造价最容易发生变动的部分固话，难以及时反映市场经济的现状；在资金管理中，不重视资金的时间价值，对资金管理缺少动态性，工程技术和经济发生分立，造价发生扭曲。

2.3事后控制为主，缺少事前控制

目前造价控制方法主要以审核批准方式进行工程项目预算，将实际发生的工程造价与预算造价进行对比，并对偏差进行及时调整，这种事后进行造价偏差处理的方法，主要面向资源和部门，不能通过事前控制减少无效作业活动，容易发生工程造价偏差。

2.4立项阶段造价管理薄弱

我国工程实践中造价管理主要以结算工程价款为目的，主要在工程实施阶段进行造价核算，不重视投资和设计阶段造价管理。在造价管理中，缺少完善的造价管理信息系统，工程造价计价和管理缺少足够的依据。

3基于模糊数学理论的工程造价控制

3.1模糊数学理论在工程造价中的应用

在工程估价中利用模糊数学理论可以快速进行估价，省去对代建工程繁琐的工程量计算。模糊数学理论进行快速测算，其方法如下。（1）根据同类型工程建设典型案例，对其造价资料进行分析，并分析具有代表性的工程特征元素；（2）根据同类型工程寻找比较基准，利用造价管理经验，初步确定对比典型工程的从属函数值；（3）利用模糊数学，对典型工程的贴近程度进行计算，贴近程度从大到小进行排列。工程贴近度采用欧氏距离进行计算；（4）计算典型工程的调整系数，当采用欧氏距离贴进度时，按照经验公式计算；（5）对典型工程测算的精确度进行检验，最终确定各元素的从属函数值；（6）利用确定的典型工程各元素从属函数，根据指数平滑法计算工程造价；（7）对工程测算结果进行检验，确保工程测算结果符合相关精度要求。分别检验典型工程“A”“B”“C”“D”的可靠性，对代建工程“X”造价进行估算，并检验工程“X”所求结果的可靠性，并以此计算“B”“C”“D”的精度，从而对比典型工程和待估工程满足精度要求，最终确定待建工程总造价。

3.2模糊数学理论在工程造价中的应用实例

预估工程：某位于北京市的钢筋混凝土框剪剪力墙结构住宅楼。拟定特征元素为T=［基础、装修、水电消防、层高、结构形式、层数、门窗类型］，共选取了6个典型工程：A1，A2，A3，A4，A5，A6，通过计算预估工程与各已建工程的贴近程度，m与A1的贴近程度为0.55，m与A2的贴近程度为0.575，m与A3的贴近程度为0.575，m与A4的贴近程度为0.55，m与A5的贴近程度为0.50，m与A6的贴近程度为0.535。依据就近原则，将贴近程度进行从大到小进行排序，选取贴进度大的3个工程作为估价的基础，并使用贴近程度γ来表示，贴近程度由大到小分别为0.575，0.575，0.55，0.55，0.5，0.535，取3个最大值。计算预估工程的单方造价：则η=1.2，E'x=ηEx=1.2×1353=1623.6，预估工程单方造价1623.6元。将预估工程造价作为已知工程，根据以上步骤对工程A1进行估算，计算出工程的单方造价1278元/m2，误差为4%，因此预估工程结果可靠。

4价值工程进行工程造价控制

工程项目为地上6层，地下1层框架结构，建筑高度24m，建筑面积5844m2，使用年限50年，耐火等级二级，墙体使用加气混凝土砌块。基础垫层混凝土强度C15，现浇柱、剪力墙、梁、板、楼梯混凝土强度为C30。为了保证施工有序进行，按照不同施工工序之间的逻辑关系，按照先地下后地上，先结构后装修的原则确定了施工顺序。根据工程项目的特点编制施工组织设计，按照相关技术规范的要求进行具体内容编制，施工组织设计主要包括技术方法和经济分析两部分，所有重要施工方法都在施工组织设计中得到体现，并充分考虑经济价值。根据实事求是的原则进行施工技术措施安排，保证施工顺利进行。施工组织设计在最初就应该慎重考虑，减少主观臆断，避免对施工方案进行反复修改。工程项目在施工方案选择上差别，会对造价造成极大地影响。根据方案价值评价和评分情况，确定主体结构最优施工方案，价值工程的应用保证在不影响其他目标的情况下降低施工成本并且可以最大化项目的功能。价值工程能够识别浪费和不必要的费用开支，提升项目的价值。价值工程为提高项目价值，降低项目费用提供了可靠地方法，锻炼了团队的开拓意识，发挥新技术、新材料、新工艺的优势，提高企业市场竞争力。

[参考文献]

[1]董晓宁，赵华容，李殿伟，等.基于模糊证据理论的信息系统安全风险评估研究[J].信息网络安全，2017（5）：69-73.

[2]王连常，陈晓霞，许晖.商业银行内审远程风险监测模型研究[J].中国农业银行武汉培训学院学报，2013（1）：53-57.

模糊数学篇8

关键词：模糊数学评价；预算控制模式；评价体系

中图分类号：F275 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2017）01-0086-05

引言

在日益激烈的经济竞争中，企业不但要有先进的科学技术作为竞争手段，先进的管理同样可以使的企业能够在竞争中利于不败之地。企业的管理可以提高工作效率，是企业长足发展的重要途径，而企业的预算控制模式更体现出企业的合理性与前沿性。企业依据战略导向和财务导向进行财务预算，不同企业不同时期所采取的财务预算控制模式有所不同。我国企业当前采用的预算模式主要分为：集权预算模式、分权预算模式、折中预算模式（混合预算模式），三种财务预算控制模式有各自的优缺点及适用范围。在以往研究中，虽然学者提出了预算控制模式的优劣，但是对于量化的评价研究却很少。本文依据前沿的研究选取指标，通过模糊数学方法构建对预算控制模式的数学评价，从而把三种预算控制模式的评价以量化表示。

一、财务预算控制模式评价指标

预算控制的模式反映了母公司对子公司的控制，主要体现在财务控制和决策权的控制。母公司通过财务控制实现对子公司的控制，并给予子公司一定的活动范围。这样通过财务预算实现集团的协调，实现集团利益。集权控制模式是母公司对各个子公司的财务进行严格控制统一管理，决策权高度集中母公司。分权控制模式是母公司给予子公司权利，母公司只进行监督和审核。折中式控制模式是母公司与子公司同时参与财务预算和决策，形成上下信息的互动沟通。

本文将从五方面对财务预算控制的三种模式建立评价体系，分别对集权、分权、折中进行量化分析，建立的指标（如表1所示）。

二、指标的权重确定

本文通过层次分析法，对指标进行两两之间相互比较，通过判断矩阵进行计算指说娜ㄖ怠2愦畏治龇ㄌ氐闶撬悸芳虻ァ⒉愦畏置鳌⑹褂梅段Ч愕龋算法的核心是权重的计算，特别适用于多方案问题、复杂系统的决策问题，是将问题转化成定量研究的数学方法。

（一）构造判断矩阵

通过比较两者的相对重要性来构造判断矩阵。例如，取两个指标进行重要性比较用aij表示，那么所有的因素进行比较之后可以得到判断矩阵A。其表示如下：

aij两者比较的重要性用量化值描述，用1―9数字进行描述，数字代表的含义如下：

由以上方法对五方面的指标是否有利于实现整体利益最大化、是否有利于企业的发展战略、是否有利于降低企业的财务风险、能否发挥子公司的潜在活力、是否有利于母子公司之间的协调进行两两比较，得出判断矩阵如下：

（二）权向量和最大特征计算

首先，将一级指标的判断矩阵进行列向量归一化；其次，按行求和再次进行归一化，可得到权向量。根据特征值与特征向量关系可以求解特征值，实现方法如下：

即求得一级指标的权向量为：

w=（0.196 0.097 0.192 0.119 0.395）

（三）一致性检验

求得矩阵R1的最大特征值λmax，其计算方法如式所示：

计算一致性指标CI，其计算方法如式所示：

式中，n代表指标的个数，所以对判断矩阵来说n=5，计算一致性比率CR，其计算方法如式所示：

其中，RI代表Random Consistency Index值（如表3所示）。

当CR≥0.1时，认为判断矩阵的不一致性不可接受。当CR

0.076

（四）评价体系指标权重

三、控制模式的模糊评价

（一）模糊数学

模糊数学概念是1965年查德（L.A.Zadeh）教授提出的，模糊数学对应的是精确数学，它通过非精确的计算找出隐私之间的模糊关系。模糊综合评价应用模糊理论，通过确立指标度评语的隶属度，确定评价结果的一种方法。

1.建立评价对象的因素论域U，U=（u1，u2，…，un）。

2.确定论域中因素的定性评价语的等级V，V=（v1，v2，…，vn）。

从专家角度将评语设定为非常有利、比较有利、有利、一般、不利，分别指某种财务预算控制模式对指标的影响，为便于计算，评语分别对应10分、8分、6分、4分、2分五个等级。

3.通过因素对应评语论域的隶属度rij，建立模糊关系矩阵R。其中：

将三个准则下的指标隶属度构成三个隶属函数矩阵，矩阵形式：

其中，rij表示指标对于评语等级论语中的隶属度。

（二）建立模糊矩阵

对指标进行专家评分后整理得到三个模糊矩阵分别（如表6至表8所示）。

（三）评价结果

通过以上办法计算可以得到向量w。将w和R利用合成算子M（・，？茌）合成得到综合评价的最终计算结果，向量表示为

参考文献：

[1] 李玲.关于企业财务预算控制模式的探讨[J].时代经贸，2008，（6）.

[2] 向敏.关于我国企业财务预算控制的思考[J].学术交流，2012，（12）.

[3] 徐国兵.基于公司财务目标的财务预算控制模式建构[J].财经界：学术版，2011，（8）.

[4] 任纪霞.基于控制论的企业财务预算管理分析[J].财会通讯：综合版，2014，（5）.

[5] 曾伟.企业财务预算管理现状与对策分析[J].商场现代化，2013，（27）.

[6] 梁非坤.企业财务预算控制模式研究[D].武汉：武汉理工大学，2006.

[7] 邹斐.浅析企业财务预算控制存在的问题及对策[J].经济论丛，2011，（6）.

[8] 张桂南.浅析现行财务预算控制模式的发展趋势与改进方向[J].现代经济，2008，（5）.

模糊数学篇9

关键词 模糊数学理论；图像处理；计算机；应用

中图分类号O1 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2012）81-0117-02

模糊数学理论于1965年提出，它是对模糊性现象进行研究和处理的方法和理论，模糊数学理论的基本概念是模糊集合。近年来，关于模糊数学理论的研究进一步加深，模糊技术在众多领域得到了应用。计算机图像处理技术是借用计算机的识别和运算功能来进行图像的处理，在图像处理的过程中也会用到模糊数学理论，简化图像处理和调整的方法，提高图像处理的准确度和精确度。

1模糊数学理论概述

在日常生活中，我们经常会用到高个、胖子、年轻、漂亮热、善、好等形容词，这些词语只是对事物的大致描述，边界比较模糊，在范围上不能进行明确的界定，这就和模糊数学理论相关。模糊数学理论就是对模糊性现象进行分析和研究的方法和理论，该理论要重点把握模糊数学和随机数学以及精确数学之间的关系，对模糊性现象进行界定。因此，不仅生活中的模糊性现象比较多，工作中还会有许多模糊的问题，比如在确定水是否烧开的时候要对水的状态和温度进行确定，但是由于模糊性，水的温度和状态都不能进行明确的界定，需要运用模糊数学理论来分析和解决问题。近年来，模糊数学理论在模糊识别与控制、模糊评判、系统理论、医学、信息检索以及生物学方面都得到了广泛的应用，而计算机领域是模糊数学的重点研究领域。模糊数学理论可以解决计算机过于精确化的问题，帮助计算机对模糊信息进行敏捷和灵活的处理。

2模糊数学理论在图像处理中的应用分析

图像处理是利用计算机来进行图像的编码、图像数字化、图像分割、图像增强、图像分析和图像复原，虽然图像处理可以通过模拟技术和光学方法实现，但是图像数字处理技术具有方便性和灵活性，数字图像处理技术得到了重要的应用。在用计算机进行图像处理的过程中，要对图像的清晰度、对比度和图像颜色进行处理，对图像的蓝、黄、红三大基色进行模糊的调动和处理，提高图像处理的质量。

模糊数学理论对图像融合的作用。图像融合是提取有利信息来进行高质量图像的综合，提高原始图像的光谱分辨率和空间分辨率，提高计算机对原始图像信息的利用。传统的计算机图像融合方法是对两张图像的简单重叠，图像融合的准确性较低，模糊数学理论在图像处理中的应用就可以避免图像融合准确性较低的问题，图像经过处理之后的偏差率比较小。在图像融合的过程中，图像像素值会有一定程度的灰度值，图像的变化主要是由这些灰度值来决定的，如果灰度值达到了一定的程度，图像的性质就会发生变化。通过对灰度值和图像的关系分析可以发现，灰度值的变化影响着图像的变化以及图像效果的变化。因此，在利用计算机对图像融合处理的过程中，可以利用模糊理论，对灰度值与图像变化之间的关系进行进行快速的推断。计算机的运算能力和图像处理能力是非常强大的，通过对模糊数学理论的应用可以较快速的得到图像变化的范围和结果，实现图像融合的最佳效果。

模糊数学理论对图像调整的作用。图像调整一般都是对图像颜色的调整，通过不同的颜色来实现不同的视觉效果和应用效果，图像颜色调整可以通过对比度的调整来实现。图像效果有现代、古典、哥伦风、经典影楼以及其他效果，在利用计算机进行图像调整的过程中需要对图像颜色值进行调整，实现图像调整的最佳效果。但是在图像处理的过程中会有一些较为特殊的图像处理，在灰度值较大的图像调整和处理中，要首先对图像的灰度边缘进行调整，增加图像的灰度值，通过对比来进行图像效果的分析。如果图像的灰度值确定，可以通过灰度值的计算来掌握最大灰度值的计算，实现图像的对比调整。模糊数学在图像调整的过程中就是对对象对比度和图像颜色值的调整，由于图像处理效果没有明确的界定，处理人员可以通过模糊的调整来实现不同的图像处理效果。

模糊数学理论在其他图像处理中的应用。除了图像融合和图像调整，图像融合还包括了图像数字化、图像编码、图像分割和图像增强等，模糊数学理论在这些图像处理中的效果也是非常明显的。图像增强是指使图像变得更为清晰，使图像满足人们使用和计算机的要求。图像增强包括了边缘锐化、伪彩色处理和干扰抑制等，图像增强不需要保持原图像的色彩和强度，因此图像处理人员可以采用模糊数学理论来进行图像的增强。而图像分析是指对图像的数据信息以及度量进行抽取，得到图像的数值结果，对图像内容进行相关的描述，实现对图像信息的深度把握，图像分析只是对图像数值的简单抽取，处理人员可以利用模糊数学理论来解决图像分析和图像分割过程中的各种模糊问题，实现较好的图像处理效果，实现图像的增强和复合，解决图像处理中各种模糊问题。

3结论

模糊数学理论于上世纪的60年代提出，近年来在机械、化工、生物、医学以及计算机领域得到了快速的发展，解决了各种模糊性的难题。图像处理包括了图像数字化、图像分割、图像融合、图像增强以及图像分析，模糊数学理论可以对图像灰度值的变化范围进行分析和把握，解决灰度值变化和图像色彩变化之间的关系问题，通过采取合适的灰度值来实现较好的图像处理效果。因此，模糊数学理论可以有效的解决生活和工作中的各种模糊难题，实现问题的最佳解决。

参考文献

[1]郭川军.计算机指纹识别技术研究[J].中国科技信息，2011（5）.

[2]赵永强，潘泉，张洪才.一种新的全色图像与光谱图像融合方法研究[J].光子学报，2010（1）.

模糊数学篇10

固有风险是指在考虑相关的内部控制之前，某类交易、账户余额或披露的某一认定易于发生错报（该错报单独或连同其他错报可能是重大的）的可能性。虽然2006年新的审计准则引入重大错报风险，我国的审计方法逐渐转向风险导向审计，但是在实际操作中，对被审计单位固有风险的评估还是比较重要的，且是一个难点。在这期间，理论界对固有风险评估方法的研究也不断发展，由最初的定性分析方法到现在比较流行的定量和定性结合的分析方法。

一、现有固有风险评估方法的比较

现有的固有风险评估方法主要有：以定性分析为代表的风险因素分析法和特尔斐法；以定量分析为代表的模糊综合评价法、模糊熵法、模糊层次分析法。

（一）风险因素分析法和特尔斐法的对比分析

风险因素分析法是指对可能导致风险发生的因素进行评估分析，从而确定风险发生概率大小的风险评估方法；特尔斐法是指用书面形式广泛征询专家意见以预测某项专题或某个项目未来发展的方法。两者都不能够对固有风险的风险水平进行准确的评估，但是特尔斐法的准确度要高。固有风险的各个影响因素对其影响程度是不同的，在风险因素分析法中，审计人员通过以往的经验或专家的意见给不同的因素设置不同的权数，然后在其基础上确定总体的固有风险水平，这就使得固有风险的评估存在很大的主观随意性，比较依赖审计人员或专家的经验，审计的效果也不太好。特尔斐法较之风险因素分析法相对减少了固有风险评估的主观随意性，这种比较系统的方法并没有把固有风险评估的主观方法转变为客观方法，而是着眼于更好地利用审计人员或专家的经验，使审计人员对固有风险的评估规范化、统一化、标准化，减少了随意性，但前提还是要依赖审计人员或专家的经验。

（二）模糊综合评价法、模糊熵法、模糊层次分析法的对比分析

模糊综合评价法是根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，在专家对固有风险影响因素分析评价的基础上运用模糊数学的原理将固有风险水平确定为一个具体的数值或评价。模糊熵法是用“熵”来度量一个模糊集合所含有的模糊性的大小，运用模糊数学的原理将固有风险水平确定为一个具体的数值或评价。与模糊综合评价法相比，模糊熵法只是对影响固有风险的各影响因素的权重计算方法不一样。模糊综合评价法是利用相对比较法、层次分析法、特尔斐法、连环比率法等确定各影响因素的权重；模糊熵法是利用“熵”的计算方法确定各影响因素的权重，结果更为科学。模糊层次分析法是将模糊数学的理论方法与层次分析法结合起来，将固有风险的影响因素分解为各层次，在此基础上利用模糊数学原理确定固有风险水平的一种方法。与模糊综合评价法和模糊熵法相比：首先，模糊层次分析法运用层次分析原理将影响固有风险的因素划分得更为合理、具体；其次，模糊层次分析法根据三角模糊数的计算原理，用三角模糊数构成模糊判断矩阵，大大减少了模糊判断的主观性；最后，模糊层次法运用模糊综合评价原理计算出层次的单排序和总排序，从而确定最后的评价结果，使得计算的准确性大大提高。

（三）定性和定量分析方法的对比分析

与风险因素分析法和特尔斐法两种定性分析方法相比，模糊综合评价法、模糊熵法和模糊层次分析法三种定量分析方法在分析风险因素的影响程度时更全面、详细、具体，评估固有风险的水平时也更为客观、准确，受审计人员的主观影响程度更低，是一种适应性很强的决策方法。但是，这些方法操作起来比较麻烦，实际应用中会受到成本、客户的客观条件等因素的限制，如果所审计项目固有风险的影响因素比较稳定，规模较大的情况下，还是比较好的方法。

二、模糊数学在固有风险评估中的运用

（一）模糊综合评价法

1.模糊综合评价法的基本原理

设U={u1，u2，…，um}为刻画被评价对象的m种因素，V={v1，v2，…，vn}为刻画每一因素所处状态的n种决断。这里存在两类模糊集，以主管赋权为例，一类是标志因素集U中诸元在人们心中的重要程度，表现为因素集U上的模糊权重向量A=（a1，a2，…，an）；另一类是U×V上的模糊关系，表现为m×n模糊矩阵R，这两类模糊集都是人们价值观念或偏好结构的反映。再对这两类集施加某种模糊运算，便得到V上的一个模糊子集B=（b1，b2，…，bn）。因此，模糊综合评价是寻找模糊权重向量A=（a1，a2，…，an）∈F（V），据此构造模糊矩阵R=[rij]m×n∈F（U×V），其中rij表示因素ui具有评语vj的程度，进而求出模糊综合评价B=（b1，b2，…，bn）∈F（V），其中bj表示被评价对象具有评语vj的程度，即vj对模糊集B的隶属度。由此可见，模糊综合评价的数学模型涉及三个要素：因素集U={u1，u2，…，um}；决断集V={v1，v2，…，vn}；单因素判断f：UF（V），uif（ui）=（ri1，ri2，…，rin）∈F（V）。由f可诱导模糊关系Rf∈F（U×V），其中Rf（ui，vj）=f（ui）（vj）=rij，而由Rf可构成模糊矩阵：

R=

2.模糊综合评价法在固有风险评估中的运用

第一步：确定固有风险的影响因素。

不论是在制度基础审计方法下，还是在风险导向审计方法下，固有风险的影响因素都相差不大。总的来说，固有风险的影响因素主要分为：被审计单位的行业环境（U1）、被审计单位的业务性质（U2）、被审计单位财会人员的品行和能力（U3）、被审计单位管理人员遭受的异常变动（U4）、被审计单位财会人员的变动情况（U5）、容易产生错漏报的财务报表项目（U6）、重要的业务或事项的复杂程度（U7）、需要运用估计和判断的财务报表项目（U8）、易遭受损失或被盗用的资产（U9）、会计期间特别是会计期末发生的异常复杂业务（U10）、难以审查的账户或交易（U11），这些影响因素组成了模糊综合评价的指标体系。

第二步：依据第一步中的影响因素构建因素集、评语集（即决断集）。

因素集：U={U1，U2，…，U11}

评语集：V={V1，V2，V3，V4，V5}，可以分别代表{高，较高，中等，较低，低}

第三步：确定权重集。

在评价指标中，每个指标相对其上一级指标的重要程度即为权重。一般可以采用相对比较法、层次分析法、特尔斐法、连环比率法等确定指标权重。

各个因素对应的权重集为：A={a1，a2，…，a11}，且ai=1

第四步：通过各因素模糊评价获得模糊综合评价矩阵。

各因素的模糊评价是从一个因素的角度出发进行评价，以确定评价对象对评价集V的隶属程度。

其中，rij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，5）为隶属度，即第i个因素隶属于第j个评价等级的程度。

第五步：利用合适的模糊乘法算子①将R与A合成，得到最终的模糊综合评价结果B。

B=A?R

还要对B进行归一化处理，即令Bi=Bi÷（B1+B2+B3+B4+B5）

第六步：分析评价结果。

隶属向量（B1，B2，B3，B4，B5）即为模糊综合评价法确定的综合评价结果，它直接反映了各评级指标隶属的评语等级。根据最大隶属度法，若Vi=max（B1，B2，B3，B4，B5），则评价结果为Vi。

（二）模糊熵法

1.模糊熵的基本原理

1947年德拉卡把“熵”推广到模糊情形，即模糊集的熵。考虑一个系统的n个状态e1，e2，…，en，它们各自的概率分别为：p1，p2，…，pn，则把这个系统的熵定义为：H（p1，p2，…，pn）=- pilnpi

下面给定一个模糊集A，并用向量表示为：

A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））

命πA（xi）=μA（x1）/μA（Xi）

则定义：

H（πA（x1），πA（x2），…，πA（xn））=（-1/ln（n））×（Xi）ln（πA（xi））（i=1，2，…，n） （1）

2.模糊熵在固有风险评估中的运用

模糊熵在固有风险评估中的应用只是用来计算模糊集中每个元素的模糊熵，利用每个元素的模糊熵进行再计算得出来的数据就组成了模糊集的权数矩阵W。其基本步骤和模糊综合评价法一样，即根据评价要求构造模糊集、决断集，然后对各风险因素进行单独评价建立模糊综合评价矩阵R。模糊综合评价矩阵由各指标对各固有风险可能最终值的支持程度定量化的结果组成。不同的是模糊熵法是根据模糊综合评价矩阵R，使用模糊熵的计算公式确定各个指标的权数，最后和模糊综合评价法第五步一样，利用合适的模糊算子将模糊集的权数矩阵W与模糊综合评价矩阵R合成得出评价结果，所以本文只介绍利用模糊熵计算各指标权重这一步骤。

计算步骤：

根据模糊综合评价法第四步中建立的模糊综合评价矩阵R，利用公式（1），计算第i个指标的模糊熵ei。

再计算差异性系数gi，gi=1-ei

最后利用公式Wi=gi/gi（i=1，2，…，n）计算各个因素的权数Wi，各因素的权数Wi构成权数矩阵W。

（三）模糊层次分析法（简称Fuzzy AHP）

1.模糊层次分析法的基本原理

（1）三角模糊数的定义

记F（R）为R上的全体模糊集，设M∈F（R）。

M的隶属函数μM：R[0，1]定义如下：

μM （x ）=x/（m-l）-l/（m-l），x∈[l，m]

x/（m-u）-u/（m-u），x∈[m，u]

0， 其他 （2）

式（2）中l≤m≤u，l和u分别表示M所支撑的下界和上界，m为M的中值，称M为三角模糊数。一般地，三角模糊数M可记为（l，m，u）。l，u表示了判断的模糊程度，（u-l）越大表示模糊程度越高。

如果M1=（l1，m1，u1），M2=（l2，m2，u2），则下列三角模糊数M的运算法则成立：

（l1，m1，u1） [+]（l2，m2，u2）=（l1+l2，m1+m2，u1+u2） （3）

（l1，m1，u1） [×]（l2，m2，u2）=（l1l2，m1m2，u1u2） （4）

λ∈R，λM=λ（l，m，u）=（λl，λm，λu） （5）

（l，m，u）-1≈

，

， （6）

（2）层次排序的定理

M1≥M2的可能性程度定义为：

V（M1≥M2）=1， m1≥m2

，m1

0， 其他

（7）

由三角模糊数组成的模糊判断矩阵A，记为A=（aij）m×n，aij=[lij，mij，uij]。

模糊矩阵A为正反矩阵，即aji=aij-1=

，

，

（3）计算模糊综合程度值

a=（l，m，u），其中：i，j=1，2，…，nk；t=1，2，…当有T位专家进行判断时，aij为综合三角模糊数，T为第t个专家给出的三角模糊数，据公式（8）求得第k层的综合三角模糊数，由此得到k层全体因素对第k-1层第h个因素的综合模糊矩阵。再据公式（9）求出模糊集s，s，…，s，它们分别刻画了第k层各个因素相对于第k-1层第h个因素的模糊综合程度。

M= [+]（a+a+…+a） （8）

S=M [×]（M）-1，i=1，2，…，nk （9）

利用公式（7）计算层次的单排序，经归一化处理后得：

P=（P，P，…，P）T （10）

表示第k层上各因素对第k-1层上第h个因素的单排序。

（4）层次总排序

如果k-1层对总目标的排序权重向量为：Wk-1=（W，W，…，W）T，那么第k层上全体元素对总目标的合成排序W由下式给出：

Wk=（W，W，…，W）=PkWk-1 （11）

（5）计算固有风险的综合评估值

Z=Wfiai （12）

其中，i为固有风险影响因素的个数，ai为固有风险在第i项指标上的三角模糊数，Wfi为第i项指标的层次总排序值，即权重。

2.模糊层次分析法在固有风险评估中的应用

第一步：根据问题的总目标，建立固有风险的指标评价体系（详见图1）。

第二步：建立模糊判断矩阵。

由专家对固有风险的指标评价体系中的元素进行两两比较，并采用三角模糊数定量表示，其中三角模糊数的打出可参考AHP的1-9标度打分原则。如果多名专家进行决策，则利用公式（8）计算评级指标的综合三角模糊数，从而得到三个模糊判断矩阵A，A1，A2。

第三步：计算模糊综合重要程度值。

根据模糊判断矩阵A，A1，A2，利用公式（9）计算出每层每个元素的模糊综合重要程度值。由矩阵A，A1，A2得出的模糊综合重要程度值分别为：S1，S2，S11，S12，S13，S14，S15，S21，S22，S23，S24，S25，S26。

第四步：进行层次单排序。

根据每个元素的模糊综合重要程度值，利用公式（7）分别求出每层各元素重于其他元素的可能程度P，再将由P组成的向量W'进行归一化处理，便得到权重向量W，即层次的单排序，分别为：V（U1），V（U2），V（U11），V（U12），V（U13），V（U14），V（U15），V（U21），V（U22），V（U23），V（U24），V（U25），V（U26）。得到各层的权重向量分别为：

W=（V（U1），V（U2））

W1=（V（U11），V（U12），V（U13），

V（U14），V（U15））

W2=（V（U21），V（U22），V（U23），

V（U24），V（U25），V（U26））

第五步：层次总排序。

根据已求出的层次单排序及其各自的权重向量，利用公式（11）求出层次的总排序，即Wfi（i=1，2，…，11）。

第六步：计算固有风险的综合评估值。

由专家对某一项审计项目的固有风险的各评价指标进行评估打分，给出每项因素的三角模糊数ai。根据层次的总排序向量Wfi和ai，利用公式（12）计算出固有风险的综合评估值Z。