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数学难题十篇

时间：2023-03-16 14:51:16

数学难题

数学难题篇1

五（1）班

陈　娟

同学们，我们在学习中经常会遇到一些深奥的问题，这些问题往往使我们迷失方向，找不到正确的思路。我也遇到了一道令我困惑的问题。

这个问题是我无意中发现的。这的题目是：李叔叔有一元、五元和十元的纸币共14张，总面值是八十元，已知1元的纸币比5元的多了2元，那么，你能算出李叔叔一元、五元和十元的纸币各有多少张吗？

我看到这个难题后立即思索了起来。这个问题很难，它只告诉我们纸币的张数、总面值和一元、五元的相差数。

于是，我先是思考了一阵，然后一步步推算起来。根据我们现在学习的知识一一列举，我列了一个表格：

1元/张

5元/张

10元/张

总面值

108

如果李叔叔有1张五元，由于一元比五元多2张，所以一元的纸币有3张，剩下的有10张，自然就是十元的了，总面值就是108元；如果五元的纸币有两张，那么一元的就有4张，剩下的14-（2+4）=8张就是10元的了，总面值是84元；假设五元的有3张，就有5张一元的与6张十元的纸币，总面值就是80元。与题目要求正好相符，所以我就这样得到了各纸币的张数。

数学难题篇2

在平时的上课中也要有意识的培养学生各方面的能力，这样才能在考场上以不变应万变，首先，培养学生的观察能力是实现数学教学目标的需要。事实上，在观察过程中，观察者必须根据观察到的现象或特征随时进行分析、比较、抽象、概括，否则就无法通过观察来研究和确定事物或现象的性质和关系。其次，培养学生的观察能力是全面提高学生数学素质的需要。数学教学要根据数学本身的特点，着重培养和发展学生的运算能力、处理数据的能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学信息的表达和交流能力。无论是图形的识别、数据之间关系的把握，还是基本规律的发现、综合分析能力的提高都离不开认真、仔细的观察。那么，数学教学中如何培养学生的观察力呢？笔者以为可着重从以下几个方面入手：

一、激发浓厚的观察兴趣

以美引趣。学生对美具有一种近乎天然的向往，数学具有自身的魅力，数学美集中在数学的简单、统一、对称、奇异等方面。数学图形展现了外在形式美，数学的抽象概括性体现了简单统一的内在美，数量关系与空间形式呈现了对称美，数学思想表现了奇异美的原则，充分利用数学自身的特征和特有的美，引导学生通过观察发现并发掘数学中的美，就能激发学生对观察的浓厚兴趣，激励学生求知的强烈愿望。

以成导趣。成功的体验，能使学生产生愉悦的内心激动，使其增强学习的信心。在数学教学中，学生观察的对象是图形、数量关系、逻辑过程等。教师在教学过程中要尽可能鼓励学生主动观察，为学生创设获得成功的机会和条件。结合教材内容，有意识地向学生介绍数学通过观察发现数学定理、解决数学难题的事例，并设计一些富有趣味性的练习，让学生通过自己的观察、分析，总结概括出数学概念，发现公式、定理的证明，掌握那些特殊题型的解题技巧，品尝成功的喜悦，调动学生主动观察的积极性。

二、培养正确的观察方法

首先，要引导学生在观察时把握合理的顺序，养成学生从整体到局部，又由局部到整体的观察习惯。发现不合理的观察方法，应通过示范分析及时指出，加以指正。例如，在几何的起始教学中，已知如图A、B、C、D、E、F是直线上的六点，图中共有几条线段？教师在指导学生进行观察，得出观察结论后，可进行提问：（1）以A为端点的线段有几条？（2）以B、C、D、E为端点的线段有几条？（3）你的观察顺序与正确的观察顺序有何不同？借此引导学生认识有序观察事物的合理性与重要性。

其次，要引导学生懂得观察的渐进性，养成反复观察、仔细观察的习惯。要真正提示内在规律，需要从不同的数学角度出发，进行广泛的观察：既要观察事物表面的、明显的特点，还要观察内在的、隐蔽的特征；既要观察已知的材料，又要观察未知的、隐含的关系。如在等腰三角形的教学中，对于观察材料：如图，在ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，PEAB于E，PFAC于F，CDAB于D，求证CD=PE+PF。教师应启发学生按面积之和与大三角形面积相等的数量关系的角度和全等三角形的判定定理的角度进行观察，以求得一题多解。

再次，要引导学生了解常用的观察方法（如分类观察、从一般到特殊的观察、从特殊到一般的观察、对比观察等等），掌握观察的一般步骤：明确观察的目的和任务；制定周密的观察计划，做好有关知识的充分准备；在观察过程中做好观察记录；观察后对得到的材料进行整理、分析、归纳和总结。通过一定时间的训练，让学生能够较为熟练地自主观察。

数学难题篇3

要想学好数学，必须做到以下几点：

课内重视听讲，课后及时复习。新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点；要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯；调整心态，正确对待考试。在考试过程中要调整好自己的心态，使自己镇静，思路有条不乱，克服浮躁的情绪。对自己要有信心，时刻鼓励自己。

（来源：文章屋网）

数学难题篇4

第二天中午我一到家，就大声喊道“爸爸，爸爸，快说......快说......”爸爸见我又蹦又跳，又唱又笑的样子，心想：完了，肯定完了！但他还是不信自己真的错了，直到看到我的作业时，才诚心诚意地说：“‘I’m　sorry！‘I’m　sorry！”

这次小小的争论，虽然以我的胜利而告终，但我也要从中吸取教训，那就是：不管做题不是做事，都要勤于动脑，善于分析，正确理解。这道数学题将使我终生难忘！

数学难题篇5

关键词：数学教学；转化；困难学生

中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-129-02

这里所说的“困难”学生，指的是那些学习吃力、考试分数低，通常被学校及老师称为“差生”的学生。“差生”的称呼是应试教育的产物。正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”看物是这样，看人又何尝不是这样呢？学生之间的差异是客观存在的，他们个性不同，掌握和运用知识的能力有大有小、有快有慢。困难学生的成因是多方面的，有家庭的、有社会的、有智力方面的，也有非智力方面的、有先天的、也有后天的。每个学生都有自己的自尊，有羞耻心，都渴求成功。尤其是“困难学生”，他们的自尊可能比“优秀学生”更强烈。这就要求我们教师教育要有循循善诱、诲人不倦的精神，拿出十二分热情，更加细心、更有爱心地去照顾“后进学生”，使他们重塑自尊、自信。下面就对困难学生问题浅谈自己的看法：

一、消除“困难学生”的戒备心理，唤起学生学习数学的热情，培养学生的自信心

大部分“困难学生”对教师都有一种戒备心理，或不敢亲近，或不愿亲近，陶行知先生说过“谁不爱学生，谁就教育不好学生”爱是消除戒备心理的最好途径。因为“爱是开启孩子心灵之门的钥匙”，对后进生应不吝惜微笑，不吝惜爱的关怀，不吝惜热情的鼓励，这是盈盈之春水，是开启搁浅之舟的外因。每一位学生都渴望得到老师的爱。爱学生是教师最重要的职业道德。教师要爱护每一位困难学生。做到不鄙弃，不歧视，保护后进生的自尊心，做到爱的真，爱的深，爱的严。后进生对教师的戒备，并不是说他不需要老师的关怀，相反他们的内心深处更渴望得到教师的关注，爱可以融化冰冷的心，可以使浪子回头。

在教学活动中也要想法激发学生学习数学的积极性。教师在教学中要注意积极调动学生主动参与思考问题的积极性，采用启发式、小组讨论式等多种生动活泼的教学方法，减轻后进生单独回答问题的心理压力和恐慌症，对他们的作业尽量当面批阅，对错误的地方要帮助分析错误的原因，给予诱导性评价，使其乐于订正，订正后再给予鼓励性评价。从而使学生在主观上产生学习的愿望，实现从“要我学”到“我要学”的转变。

在学习中要为困难学生创造成功的机会。这样可以极大的激发学生的学习兴趣，培养自信心，增强对数学学习的情感。在后进生的身上，往往消极因素暴露得比较明显，缺点常常掩盖了他们的闪光点。因此，教师要做一个有心人，平时多观察，发现他们的优点，及时表扬，鼓励困难学生继续努力，并为自尊性强的后进生创设成功的机会和条件，如让他们优先发言，倘若他们一时回答不出来，教师应耐心、热情地启发，学生如能经常受到这种成功的激励，就可使他们深信自己的智慧和力量，就会对数学感兴趣，形成一个“成功──有趣──再成功──再有趣”的良性循环过程，从而逐渐进步。

二、唤醒并保护“困难学生”自尊感

首先，要坚持正面鼓励、表扬学生为主。越是“困难”学生，问题越多。如果教师总对其批评甚至训斥，无异于不断强化其错误，强化其无能，甚至强化其“不可救药”。学生自尊心必然被摧毁，他必然放弃一切努力，再没有信心把学习搞好。是不是说对学生问题放任自流呢？当然不是。教育应尽量贴近儿童，理解儿童。学生的问题往往或因辨别是非能力弱，或自制能力差，或因好奇、好动而产生。教师应理智地对待学生问题，正面说服，晓之以理。更为重要的是，教师应用“放大镜”寻找孩子身上的闪光点。正如冰心老人说的：“淘气的男孩是可爱的，淘气的女孩是灵巧的。”每个孩子都有他可爱的优点，通过肯定优点将会增强其自信心，他会主动自觉去发掘自己更多的优点长处。孩子不断得到肯定，他将学会自尊自爱自强，他将对自己的言行具有责任感，他必将产生强有力的意志力，按教师希望的去做。

其次，要隐藏教育意图。“困难”学生问题多，难免经常受批评甚至嘲笑，所以这类学生特别敏感。问题一出现还未等老师批评，他已做好了一切心理“防御”准备，等待老师批评、同学嘲笑。这时，任何批评教育都无法攻破其心理防线，也就是说，他不肯接受你的教育。真正的教育是在学生自我教育过程中才能实现的。教师与学生之间应建立一种相互尊重的、朋友式的关系，要让学生感到你没有总是在发现他的错误进行批评教育，更多时候要让他感到是在你的帮助下，他认识到错误并自己改正，取得成绩或进步是因为他的努力。同时教师相互表示赞赏，肯定其进步。举个例子说，如课堂上他不专心听讲，不妨停下来看他一眼，让他意识到要注意听讲。待他坐正听讲后，老师可随机点一下：“××同学现在很注意听课了，不错!”

还要改进教法改进教法，加强对数学学习兴趣的培养。教师根据教材的不同特征，教法上要不拘一格，灵活多变。讲课时要注意由浅入深、由易到难，尽量降低学习坡度，分散难点，给予模仿性练习的机会。还要加强变式训练，使学生理解和掌握知识情况及时得到反馈，讲授速度要适合后进生的接受情况，必要时应该放慢镜头。讲课语言应尽量通俗易懂，生动活泼。另外特别应加强直观教学，凡能利用直观教具的应尽量利用。比如：在讲“三角形内角和”的时侯，可让学生自己动手做一个三角形，再把三个角剪下来拼凑成一平角，从而发现：“三角形的内角和是180度”。另外，教师在课堂教学时对后进生要优先提问，优先辅导，优先检查评价。评价时，特别应注意后进生的进步处和闪光点，及时予以鼓励，耐心激励后进生上进，增强学会的信心。

三、对“困难学生”要求要适度，让他们在学习中获得成功，让他们充分发挥自己的特长

在教学中要以学生为本，加强其学习体验。教师应当尊重、信任后进生，培植他们的自尊心，让他们有良好的自我意识和快乐的体验，产生进步的动力。对学习困难学生的要求要适度，要求过高，他们会认为高不可攀，望而却步；要求过低，不利于培养后进生的学习毅力和克服困难的能力；在课堂活动中应努力创设条件，给他们一些力所能及的任务，一般来说学习困难的学生对老师会有一种畏惧的心理，他们害怕上课的时候不能回答老师的问题，怕看老师，这样可以避免被老师叫到自己来回答问题，在这种情况下他们的注意力就不会集中，就不可能学习好，根据学生的这种心理，我们更要关注他们，给他们一些力所能及的问题，让他们积极参与到课堂教学活动中来，通过他们的学习活动，细心观察他们身上的闪光点，在完成任务之后给予及时的鼓励表扬，让他们体验到学习的成功，一旦他们真正体验到经过努力而获得成功的欢悦时，就能树立起进步的信心和对知识的渴望。小学是基础教育，教育学生应立足于面向全体学生，要大面积提高教学质量，应按照因材施教的原则，备课时心里想着后进生，这样讲授，困难学生会明白吗？把后进生看成是教学的主体，而不能把他们看成是客体。尽可能使每个学生达到或基本达到教学要求。在集体授课时要注意提问后进生。过去，有些教师为了不拖延时间，顺利结束课时，往往都是提问较好的学生发言，这样容易使后进生产生一种依赖的思想，滋长惰性。

因此，课堂上注意提问后进生，如回答不正确，教师作点拨提示，还回答不对，再提问好学生，做到带动、启发后进生的目的，这样做法能经常了解后进生接受能力，促使他们的注意力集中，另一做法使他们认识到自己也是这个群体中的主体，同样得到别人的注重。实践证明，多提问，多辅导的后进生，比少提问，少辅导的后进生，要进步得快。课堂上的练习要多巡视后进生，及时掌握后进生对知识掌握程度，同时可以因势利导，及时指导矫正。板演时，可注意让后进生参与板演，以了解他们的思维过程，教师可掌握反馈信息，进行评讲，指出学生理解错的原因，弄懂这类知识关键、联系、区别，应掌握正确解答方法。批改作业最好不过夜，能及时进行评讲纠正，个别差学生要个别进行辅导改正。小雄在班上是个有名的“皮大王”，虽然思维能力不错，但课堂纪律却是“一塌糊涂”——目无纪律、随心所欲，想干什么就干什么。下午上课打瞌睡，作业有拖欠现象。凡一上课就有同学来告状，批评他几句还不服气，扭着脖子爱理不理的。经常真是把我们上课老师气坏了，有时真想狠很的教训他一顿。可转念一想，如果我们运用一个老师的“权力”强制他不许这样，肯定更容易引起他的抵触心理。还是另想法子吧。通过一段时间的仔细观察，我发现他上课能积极举手发言，劳动比较积极，我找他帮忙拿些什么东西，他总是二话不说，乐而为之，更重要的是他“吃软不吃硬”。于是，我就经常利用课间时间，多与他沟通。那一刻他似乎变了一个人——聚精会神地听课。在班级同学面前我表扬过他。慢慢地，他进步了，虽然有时偶尔犯些小错，但我仍感到很欣慰，因为他一直在上进，难能可贵，我何必太苛求。

四、持之以恒培养学生良好的学习习惯，提高他们的解题能力

学困生的转化不可能一朝一夕就能完成的，在转化过程中，由于学生的意志力较差，耐心不足等原因，教师要有足够的耐心，常常抓，反复抓不让转化的工作半途而废。我们要给他们多一些宽容，多一些时间。在教学中，教师应根据后进生可塑性强的特点，采取有效的措施，有意识地进行训练和培养。

1、加强常规训练，严格要求

如培养学困生用心听课的习惯，上课能坐得住，不但要专心听教师讲，还要注意听同学讲，学会听，能听懂；并要求他们作业书写整洁规范、一丝不苟；决不抄袭作业：另外要求学困生今日功课今日完成，决不拖拉。

2、抓住时机，有效地进行培养和训练

如口算时，比一比，哪位学困生算得既快又对，扮演、笔算、做作业时，比一比哪位学困生书写认真，工整规范，并举办优秀作业与进步作业展评活动，让学困生产生上进心理，使他们明白，只要自己努力也有参展的机会，从而激发他们良好的学习习惯。

3、及时表扬，有的放矢

当学困生在学习习惯方面有点滴进步时，要及时鼓励，更上一层楼，对学习习惯不良的后进生不讽刺挖苦，要针对他们的个性，因势利导，期待进步。

我们的学困生的数学成绩不理想不是一天两天的事情，所以，我们要帮助学生克服急燥，贪多，贪快的心理，很多学生希望能够靠几天的冲刺，就一蹴而就，这是不可能的。告诉他们学习是一个长期的过程，决非一朝一夕可以完成的。针对这一情况，要帮助他们研究自己的学习方法，学习数学一定要活，只看书不做题是不行的，埋头做题不看书不总结也是不行的。对待后进生，要放低要求，采取循序渐进的原则，谆谆诱导的方法，从起点开始，耐心地辅导他们一点一滴地补习功课，让他们逐步提高。

数学难题篇6

【关键词】细心；方法；练习

1 学生细心难

对于学生学习数学的态度，我们并不提倡求快求新，首先训练学生认真细致的态度远远比急于教授课本上的内容更加重要。想要得到高分，并不取决于学生用了怎样的方法，而在于他们是否具有一种研究科学的精神。如果在解题之前首先具有了认真严谨的意识，那么学生就会在解题过程中步步为营、稳扎稳打，在保证了上一步的正确之后，再进行下一步的计算。我们要不断地提醒学生自觉自律，让学生形成一种稳重、踏实的学习精神。在今后的学习过程中就能保证很高的正确率。不仅如此，在学生面对较难的题目之时，即使不能完全解答出来也会最大限度地保证拿分。

很多学生在考试后拿到了试卷，第一反应就是扼腕叹息，后悔自己这道题粗心大意，那道题不该丢分，但是往往在下一次考试的时候又会犯同样的错误。作为教师一次次的提醒是必要的，但是要让学生亲身体会到粗心大意带来的后果，才能让这个问题从根本上改变。教师可以进行一些小量题目训练，例如：三道大题，一道30分，这样一来每一个小步骤都占了很大的分值，如果稍微不慎一步算错，整到大题的分数为零。这样，学生就会在解题的过程别注意细节，认真完成每一步骤。

另外，端正学生的态度，保证学生拥有一个良好的心态，开导学生做题求准不图快，也是让学生从态度上改变，进行自我督促的一个方法。总而言之要从多方面入手，训练学生学会细心做题，不要掺有杂念。

2 做题入手难

很多学生反应，做题没有思路，思路不能独立地养成。拿到题目不知道该从何入手，该从哪个数据上“开刀”。要想让这种手足无措的局面从根本上改变，间需要师生的共同配合才能完成。学生单方面的努力是徒劳的，而教师一味的灌输也是无用的。

例如在学习数学中我们常常运用的一种思想：举一反三。教师要教会学生的数学思维，其实是要教会学生一种意识，即通过一道题去推理、思考并得出其中的规律，从而能够解出这一类题。进而学会了一种数学学习方法，在面对新的一类题的时候，能够通过自己的观察、推理、思考、归纳总结得出结论，掌握了这一类的解题方法。

如鸡兔同笼问题。在进行这一单元的讲解的时候，笔者首先对例题进行提炼，得到相关数据。题中是这样说的：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？在这道题中有两个关键的数据，一个是头的数量和脚的数量。但是这是最表象的线索，要通过挖掘发现其中的隐藏线索。那就是一只鸡和兔子本身具有的头和脚的数量。一只鸡有一个头两只脚，一只兔有一个头四只脚。在带领学生挖掘线索之后，就要进行合理的推理：那么在35个头里每一个头对应每一只动物。但是在脚里面既可能每两只脚对应一只动物也可能每四只脚对应一只动物。假设这35个头全是鸡的，每一个头对应一只鸡那么一共有35只鸡。一只鸡两只脚一共就有35×2=70只脚。但是提醒学生实际上有94只脚，那些多出来的脚是谁的呢？是因为每一只兔子比每一只鸡多出来两只脚，那么多的兔子就一共多出来这么多脚。那么到底一共有多少兔子才能多出来94-70=24只脚呢？因此用24除以一只兔子比一只鸡多出来的两只脚等于12，一只兔子多出来两条腿那么只有十二只兔子才能多出来24条腿。这样学生就明白了，在解答类似的鸡兔同笼问题的时候，要遵循先寻找线索，继而挖掘线索，然后通过推理计算多出来的数量，从而得出全部的答案。

从这个案例我们可以看出，要想让学生学会解题，要从题目的原理上下手，去解析题目间的关系，让题目变得有理有据。这样才能让学生明白，每个数据之间具有怎样的一种关联。以后在遇到新的题目的时候，有如庖丁解牛一般，立马看穿题目间的结构，从而做到轻松解题。

3 自觉复习难

很多学生不爱做题，看到练习册就撅嘴，这是很不正确的一种情绪。学生一定要做题，要通过做题来达到对知识的一种巩固。而教师要注意安排学生的习题量，不求多而求精。让学生在习题中见识到更多由例题变化而来的题目，在习题中巩固自己所学的知识。习题中的变化是不可能通过教师一一总结归纳给学生的，这种理论的实质仅仅是一纸空文，“实践是检验真理的唯一标准”。没有练习，学生就没有机会运用自己所学的知识，就没有机会见到更多千变万化的题目。虽然这些题目的核心都是教师总结过的规律，但是学生拿着这些规律不知道该如何使用，面对变化过的题目，不知道步骤该从哪里开始。因此学生需要一定量的练习，让他们在练习中发现题目里那些规律的影子，从而掌握了一种解题的思维方法。进而通过更多的练习发现了更多的变化形式，在这些变化中找不到不变的规律，通过自己亲手实践证实了数学万变不离其宗的奥秘。

数学是千变万化的，只有在不断的练习中学生才会发现数学中的规律和奥秘。才会感受到数学的神奇所在、智慧所在。我们不能局限于课本上的内容，要对学生进行题型的变化训练，让他们在更多的练习中切身感受到数学万变不离其宗的精髓，去抓住解题最核心的方法和思路。

数学难题篇7

数学中考中的难题主要有以下几种:1.思维要求有一定深度或技巧性较强的题目。2.题意新或解题思路新的题目。3.探究性或开放性的数学题。

对难题进行分类专题复习时,教师应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练和引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上,并培养学生解题的直觉思维。教师应当先把难题进行分类,然后进行分类训练。在课堂上教师不必每题都要学生详细写出解题过程,一类题目写一两题就行了,其它只需要求学生能较快地写出解题思路,以后再写出详细的解题过程即可。

教师可以将中考中的难题分以下几类进行专题复习。

1.与一到两个知识点联系紧密的难题

例.在O中,C是弧AB的中点,D是弧AC上的任一点(与点A,C不重合),则( )。

(A)AC+CB=AD+DB?摇?摇

(B)AC+CB

(C)AC+CB>AD+DB?摇?摇

(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

教学引导:与线段大小比较有关的知识是什么?(三角形任意两边之和大于第三边或大边对大角等)

如何把AC+CB与AD+DB组合在一个三角形中比较大小呢?

附解答方法:以C为圆心,以CB为半径作弧交BD的延长线于点E连结AE,CE,AB。

CE=CB,

∠CEB=∠CBE,

又∠DAC=∠CBE,

∠CEB=∠CAD。

而CA=CE,

得:∠CEA=∠CAE。

∠CEA-∠CEB=∠CAE-∠CAD,

∠DEA=∠DAE,

DE=DA。

在CEB中,CE+CB>BE,即AC+CB>AD+DB,故选(C)。

评议:本例教学关键是引导学生把AC,CB,AD,DB这些线段构造在一个三角形上。

这类难题,教学的关键是引导学生紧扣与题目相关的知识点,直到把问题解决。

2.综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题

这类难题的教学关键是要求学生运用分析和综合的方法,运用一些数学思想和方法,以及一定的解题技巧来解答。

例:某公司在甲,乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆,现需要调往A县10辆,调往B县8辆。已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元;从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。

(1)设从乙仓库调往A县农用车x辆,求总运费y的关于x的函数关系式;

(2)若要求总运费不超过900元。问共有几种调运方案?

(3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少元?

教学引导:

①先把题目的数量关系弄清楚,引导学生把本题数量关系表格化:

②引导学生写出y与x的函数关系式后,运用函数的性质解答题目的后两问。

附解答过程:

解:(1)y=30x+50(6-x)+40(10-x)+80(2+x)=20x+860。

(2)20x+860≤900,x≤2,0≤x≤6,0≤x≤2。

因为x为非负整数,所以x的取值为0,1,2。

因此,共有3种调运方案。

(3)因为y=20x+860,且x的取值为0,1,2。由一次函数的性质得x=0时,y的取值最小,ymin=860(元)。此时的调运方案是:乙仓库的6辆全部运往B县,甲仓库的2辆运往B县,10辆运往A县,最低费用为860元。

评议:本题运用函数的思想,可以给解题带来了简便。

3.开放性,探索性数学难题

无论是开放性还是探索性的数学难题,教学重点是教会学生把握问题的关键。

例:请写出一个图像只经过二,三,四象限的二次函数的解析式。

教学点拨:二次函数的图像只经过二,三,四象限,就是不能经过第一象限,即当x>0时,y0时y

数学难题篇8

苏教版六年级（上册）数学教学目标中指出：“初步理解分数乘、除法的意义，掌握分数乘、除法的计算方法，能应用分数乘法和加、减法则解决实际问题，能够合乎逻辑地进行思考，并能清晰地表达自己的思考过程，进一步培养良好的思维品质。感受数学的价值，感受数学与生活的密切联系，不断增强学数学、用数学的自觉性。”分数应用题在整个六年级上学期中，占数学内容的36.9，是教材中的数学难点之一。之所以难，原因大致有三条：一是这些问题中的数量关系相对抽象，而且与学生已有的认知经验差异较大；二是对解决问题方法的要求过于机械；三是内容较多，难点过于集中。我认为，从如下几方面入手一定能在教学中解决这一难点。

一. 区别清楚什么是“几分之几”，什么是具体的量

分数既能表示两个数之间的关系（几分之几），又能表示具体的量。在教学中，我发现：分数后面不带单位名称的是表示两个数之间的关系，即“几分之几”；分数后面有单位名称的表示具体的量。如：练习十第6题，（1）食堂有3/4吨煤，用去一部份后还剩2/5，还剩多少吨？（2）食堂有3/4吨煤，用去2/5吨，还剩多少吨？（1）中的“2/5”没有单位名称，是指还剩的煤是食堂原有煤的2/5，求还剩多少吨是用“3/4×2/5”。（2）中的2/5后面有单位名称“吨”，是指用去的具体的量，求还剩多少吨，是用“3/4-2/5”。学生分清楚了什么是“几分之几”，什么是具体的量对解决分数应用题有很大的帮助。

二.找准单位“1”的量，是解决分数应用题的关键

解决这一关键，我认为要做好以下三点。

1. 抓住应用题中带有“几分之几”的这句话，只看“几分之几”前面的内容，不看“几分之几”后面。

2. 在带有几分之几的这句话中，找出“比”、“是”、“占”、“相当于”这些词，这些词的后面所表述的量是单位“1”的量，“的”的前面是单位“1”的量。

如果没有这些判断词，就要追问一下，是谁的几分之几？这些单位“1”的量就自然而然地显示出来了。

3. 单位“1”的量找到了，解决分数应用题就水到渠成了。如果单位“1”的量是已知的，直接用乘法计算，即：单位“1”的量×几分之几=与几分之几相对应的量。如果单位“1”的量是未知的，就用方程解，设单位“1”的量为x，关系式同上。如：练习十二第7题，（1）冬冬家买来一袋面粉，重25千克。吃了3/5，吃了多少千克？（2）冬冬家买来一袋面粉，吃了15千克，正好是这袋面粉的3/5，这袋面粉重多少千克？（1）中“吃了3/5”，追问一下，吃了谁的3/5？学生会说，是吃了一袋面粉的3/5，这样，学生就抓住判断词“的”字，找出了一袋面粉的千克数是单位“1”的量，是已知的，就捂出了解题方法，一袋面粉的千克数×3/5=吃了的千克数。（2）中“正好是这袋面粉的3/5”，同样学生就找到了这袋面粉的千克数是单位“1”的量，是未知的，必须用方程解。同样是一袋面粉的千克十×3/5=吃了的千克数。设这袋面粉的重为x千克，x×3/5=15，就求到了这袋面粉的千克数。

三.在理解分数意义的基础之上进行再加工

如“男生人数是女生的2/3”是把谁平均分成了3份，谁占了其中的2份，求出每份数是多少，这样问题就迎刃而解了。一方面有利于学生联系分数乘、除法的运算意义理解相关的数量关系，并在解决问题的过程中逐步深化对分数乘、除法运算意义的理解；另一方面，也有利于学生把在此前积累的分析问题、解决问题的经验进行有效迁移，从而使解决恩体的思路更加顺畅。

四.加强辨析，提高分析理解能力

运用以上三点做法，加强对不同类型题目的辨析，使学生不断提高分析理解能力。如：

1.男生有24人，是女生的2/3，女生有多少人？

2.男生有24人，女生人数是男生的2/3，女生有多少人？

3.男生有24人，比女生人数多1/3，女生有多少人？

数学难题篇9

一、摈弃模糊语言，强化数学语言，提高解题严谨性.

模糊语言，作为一种弹性语言，是指外延不确定、内涵无定指的特性语言.与精确语言相比，模糊语言具有更大的概括性和灵活性.这种概括性与灵活性集中反映在语言外延上.笔者曾听一位高一普通班教师对于下面例题的讲解.

例1 在ABC中，a是最大的边，若a2

教师在讲解时，强化余弦定理判断cosA>0，判断角A小于π2，对于角A要大于等于π3，笔者仅仅举了特例正三角形说明，引发部分学生课后疑问，笔者认为，采用了以下证明：B≤A,C≤A且A+B+C=π则3A≥π即得角A要大于等于π3，学生疑问解决.要使数学语言正确无误，必须概念清楚,理解深刻，对于知识点反复推敲咀嚼，也只有这样学生对于知识理解更为深刻，解题时更加明朗.

二、注重一题多变，强化数学思维，提高解思维开放性.

“一题多变”就是反思的一种形式，变题比解题要求更高，需要站在出题者的角度去看问题，对原问题要有非常深刻的理解与把握，而且要对一些数学问题有相当敏锐的直觉和判断能力,是强化学生数学思维的好方法.以下为笔者在一次习题课上的变式教学.

例题2 已知函数f(x)满足f(x)=x3+f′23x2-x+C（其中f′23为f(x)在点x=23处的导数，C为常数）．

（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）若方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根，求常数C．

解析：本题是一个函数题，考察导函数，函数图像，函数单调性，极值最值等相关知识，其中渗透数形结合的思想.

解：（Ⅰ）略

（Ⅱ）由题知

f′(x)=3x2+2xf′23-1

则f′23=3232+2×23f′23-1

得f′23=-1

则求得f(x)=x3-x2-x-c

由f(x)=x3-x2-x-c可知f′(x)=3x2-2x-1,

令f′(x)=0得x=-13或x=1.

列表可知f(x)=0有且仅有两个不等的实数根

f(x)极大值=527+c=0即c=-527或f(x)极小值=c-1=0即c=1

综上可知c=-527或c=1

变式1：若方程f(x)=0有且只有三个不等的实数根，求常数C的范围．

由图可知当c∈-527,1

变式2：若c∈(1,+∞)，求函数y=f(x)的零点个数.

变式3：已知函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a(a,b∈R)，且其导函数f′(x)的图像过原点．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f(x)的图像在x=3处的切线方程；

（Ⅱ）若存在x

（Ⅲ）当a>0时，求函数f(x)的零点个数．

点评：变式1、2均是是对原题的简单变形，体现了数形结合思想.变式3则作为对思想方法的检验.函数是高中学习的一根主线，而且函数在高考中总会出现一个大题，函数的性质，图像也是高考的热点.但是函数也往往是学生掌握不牢的一块内容，所以在函数题评讲中，教师不易把握.就题论题显然不合理，引进新题，课堂不容许，笔者试图对题目稍加改编，达到变式的效果，从而达到巩固的目的，更节约了课堂的时间.教师也应该鼓励学生尝试自己改题，这样有利于学生对题型，知识点，方法深入理解.研究一题多变可以通过：（一）研究题目的表达形式，将题目进行变式；（二）研究题目的关键词、关键数据，将题目进行变式；（三）研究题目的条件与条件、条件与结论的关系，将题目进行变式；（四）研究题目的解题规律和发展方向，将题目进行变式.

三、适当一题多解，强化数学创新，提高解题灵活性.

即从不同的层面、维度和切入点用不同的知识和方法解决同一问题.它能激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生数学思想，锻炼学生思维，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力.

例3 抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是．

方法一：设抛物线上任意一点P(x,-x2),P到直线4x+3y-8=0的距离为

d=|4x-3x2-8|5=

-4x+3x2+85=

3x-23+2035

dmin=43

方法二：令y′=-2x=-43 x=23,则23,-49到直线4x+3y-8=0的距离是dmin=43

变式：曲线y=lnx上的点到直线y=2x+1距离的最小值是．

令y′=1x=2 x=12,则12,-ln2到直线y=2x+1距离为

dmin=|2+ln2|5=

5(2+ln2)5

点评:圆中的最小距离问题是最常见的.但是圆锥曲线线中的最小距离问题是不作要求的，但若高考中出现也是合理的，因为这道题，我们可以将其看成是函数问题.解决这一类问题基本有两种方法：1. 转化成函数求最值问题.2. 转化为点到直线问题.一题多解对学生数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响.老师在教学过程中应适当选用有多种解法的例题以便于开阔学生眼界，体现教学方法的多样性.但教学中要注意对一题多解进行数学思想的提取，找到方法的共性.

四、重视解题后反思，强化数学反思，提高解题归纳能力.

数学难题篇10

1．篱笆围菜园问题

今日农村，虽然经济较以前发达多了，但绝大多数农户为了食用方便，仍喜欢在自己承包的农田里围块菜园，种上各种蔬菜，以供自己的一日三餐之需。若我们留意的话，不难发现，这种传统的菜园多数是围成长方形的。那么，这种祖祖辈辈沿用的围法科学吗(即围出的面积是否最大)？

例1 已知篱笆的长度为l，试问篱笆如何围法才能围出的面积最大？

解析：如果将菜园围成长方形，由于篱笆的长度为l，设长方形的长为x，则宽为l－2x2（如图），长方形的面积为S(x)=x•l－2x2=－x2+l2x，这是一个二次函数，它的图象开口向下。所以，当x=－-l22×(－1)=l4时即将菜园围成正方形时，Smax(x)=4×(－1)×0－(l2)24×(－1)=l216。

若仍用长为l的篱笆围个圆形菜园，则此菜园的周长为l，所以圆的半径r=l2π，圆的面积S圆=πr2=π•(l2π)2=l24π。l24π>l216，S圆>Smax(x)，即将菜园围成圆形更科学！

不难得出，相同长度的篱笆围出的圆形菜园比方形菜园至少大27％。

点评：本例是二次函数的实际应用题，我们可以直接根据题意列出二次函数解析式，进而求二次函数的最值。

2.房产开发设计问题

在生活中，我们经常遇到有些应用问题与平面几何图形有关，在寻求函数模型时，我们还要注意平面几何的有关性质的应用。

例2 某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（尺寸如图，单位：m）。

解析:当一端点在BC上，只有在B点时长方形BB1DC的面积最大，

S1=SBCDB1=5600m2。

当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，S2=SAA1DE=6000m2。

当一端点在AB边上时，设该点为M，如图构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE，设MQ=x(0≤x≤20)。

MP=PQ－MQ=80－x。

又OA=20,OB=30，且OAOB=MQQB,23=xQB，QB=32x，MN=QC=QB+BC=32x+70,