图形的变换十篇

时间:2023-03-27 05:29:27

图形的变换

图形的变换篇1

一、轴对称变换

轴对称图形是针对图形本身而言的,它是一种特殊的图形,而轴对称变换是指两个图形之间的关系,这两个图形关于某一条直线是成轴对称的.

例1 将一张矩形纸条ABCD按如图1所示折叠,若折叠角∠FEC=64°,∠1= 度,EFG的形状是 三角形.

分析:显然,四边形FECD与四边形FEC'D'关于FE成轴对称,所以∠GEF=∠FEC,再运用平角的知识即可求出∠GEB的度数.根据平行线的性质求出∠1.同样,借助轴对称的性质与平行线的性质,不难判断EFG的形状.

四、位似变换

如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换. 解题时要注意两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上,并且新图形与原图形上的对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

例4 如图4-1,已知A (4,2),B(2,-2),以点O为位似中心,按位似比1:2把ABO缩小,则点A的对应点A'的坐标为( ).

A.(-2,-1) B.(2,1)或(-2,-1)

C.(3,1)或(-3,-1) D.(3,1)

分析:由A (4,2),B(2,-2),以点O为位似中心,按位似比1:2把ABO缩小,根据位似变换的性质,即可求得答案.

解:A (4,2),以点O为位似中心,按位似比1:2把ABO缩小,有两种情形,如图4-2,图4-3.

图形的变换篇2

关键词:对称;图形;建筑

自然界中随处可见对称的形式:雪花的晶体,鸟类的羽翼,花木的叶子……不难发现,我们生活在一个充满对称美的世界里。对称分完全对称、近似对称和反对称三种基本形式。人类从原始社会以来,就将物质产品按照从不对称到对称的造型法则进行美的加工,使对称的这三种形式几乎已经渗透到所有的学科领域。对称顺应了力学规律,对称式设计模式成为一种主流并长期流传下来,其对于力的均衡所表现的稳固性是其存在的主要原因。在结构力学里,对称结构抵抗扭转变形的能力比非对称结构要大,因此,《建筑抗震设计规范》中规定:建筑及其抗侧力结构的平面布置宜规则、对称。

一、单体建筑层面

在单体建筑层面,以实体形态为主的要素主要体现在以下几方面:

1.围合要素围合要素包括两部分。一部分是建筑物抵御外界不利因素向内侵袭的承重围护构件,在单体建筑层面上表现为建筑的外墙体等;另一部分是分割内外空间与交通以及采光通风的非承重分隔构件,在单体建筑层面上表现为建筑的入口、窗洞以及墙面上其它突起的小型构件以及凹入的孔洞等。在建筑轴线设计时通过对这些要素进行强调和特殊处理,可以使其形成关注点和趣味中心,成为建筑轴线的起始或终结的端点。同时,这些要素在轴向空间中起着突出、联系、补充等作用。

2.结构要素结构要素在这里指的是建筑内部的可见的承重结构要素,例如连续的柱廊,墙壁等。在建筑轴线设计时通过使用这些要素,可以进行空间划分,这种划分既能够保证空间的连续性,又可以产生具有韵律感以及节奏感的轴向空间,同时实现交通流线的引导。

3.细部要素细部要素是指单体建筑由于建筑功能要求、建筑结构形式需要或建筑美观因素决定而产生的建筑细部构件。它主要包括两部分,第一部分为功能性细部要素,如过梁、檐口等。第二部分为装饰性细部要素。如墙面上凸出的线脚、界面的凹槽、材料的色彩区别线、油漆线以及各种粉刷线等。

二、建筑轴线的构成方式

1.物质方面的因素。构成轴线的要素是一种实实在在的物质载体。连

续的实体因素,比如道路、行道树、连续的柱廊等,它们之间的相互连接可

以直接促成轴线的形成;又如河流、绿带、道路等虽然形式自由但由于它们

具有凝聚空间的线状形态和导向性,也可以用来构成轴线,这种情况也很普

遍。

2.精神方面的因素。轴在形态组织方面起一种“基准”作用,它并非一定要表现为某一种具体的形式,这样可以起到连接构成作用的途径还可以有:通过视觉的方式,在上述的由物质因素限定加强的连续轴向空间中,连接感的视觉因素可能并不容易被察觉。人们总是习惯于关注物质方面的限定、引导作用,而忽视了视觉上与心理上的因素,“连接性最终的感知还是由人的视觉与心理来完成的,尤其是在一些缺少甚至没有物质限定的情况下,视觉的连接感就成为最根本的途径。”比如可以借助视线能够使相距较远的建筑物按轴线关系连接起来,使轴线序列有一焦点或尾声,这一点类似于中国古典园林中的借景手法。如果过于强调物质方面因素的连接,则形成的轴线连接性会很强,但也会使得空间过于直白而显得单调;如果过于强调精神方面因素的连接,则形成的轴线连接感较弱,会造成空间松散拖沓的感觉。在实际运用中,我们可以将有形与无形的因素综合起来,这样有利于创造出丰富变化的轴向空间形式。

三、对称美法则

对称美是指平衡或和谐的布置产生的美,是形式美法则中的一个基本概念。自然界中随处可见对称的形式:雪花的晶体,鸟类的羽翼,花木的叶子……不难发现,我们生活在一个充满对称形式的世界里。

1.节奏与韵律。节奏原为音乐术语,本是指音乐中节拍轻重缓急的变化和重复,即音响有一定规律的长短强弱的交替组合,在构成设计上是指以同一要素连续重复时所产生的运动感。韵律原指诗歌的声韵和节奏,包括音的高低、轻重、长短的组合,音节和停顿的数目及位置,押韵的方式和位置等,后引伸入造型艺术中。构成设计中的韵律是指由有规则变化的形象间以数比、等比处理排列,使之产生音乐、诗歌般的旋律感。造型上的渐大、渐小,色彩上的渐浓、渐淡,分量上的渐增、渐减,明度上的渐亮、渐暗等等,只要是在逐渐的变化中包含着统一的因素,都可以形成赏心悦目的节奏感和韵律感。

2.对称与均衡。形式美中的对称,系指整体的各组织部分之间的对应和一致。均衡又称平衡,是由力学引伸而来的名词,在构成设计上指根据图象的形式、大小、轻重、色彩及材质的分布作用于视觉判断的均等关系,感觉上有力的均衡作用。对称与均衡,常常结合起来发挥作用。如人体作立正姿势时,中轴线的左右结构完全一样,谓之“对称”形;而人体却经常处于非立正姿势,看书、打球、交谈往往呈现一种平衡状态;一把茶壶,壶身取对称结构,而壶嘴和把手则呈现平衡状态,给人以均衡感。

四、对称美法则在实体结构中的运用

实体结构是指长、宽、高三个方向的尺寸大约为同一量级的结构,主要包括墙体、拱和坝体等。

位于尼罗河西岸的埃及金字塔是著名的古代建筑,从外部来看,底座呈方形,愈上愈窄,聚于塔顶形成一个对称的方锥体型。内部除墓室和通道外都是实心。金字塔是一座陵墓建筑,规模宏伟,结构精密,全部采用方形石块来建造。石块与石块之间紧密相接,接缝处严密精确,一块石头直接叠在另一块石头上,完全靠自身的重量堆砌在一起的,连一个薄刀片都插不进去。

金字塔这种对称的棱锥体型不仅外形庄严、雄伟、朴素、稳重,与周围无垠的高地、沙漠浑然一体,和谐一致,而且在结构中的安全系数也是最高的。金字塔历经数千年沧桑,多次地震摇撼都岿然不动,不倒塌,不变形,完好无损,正是这种有利的对称结构的优势体现。

参考文献:

图形的变换篇3

关键词:初中;数学;图形变换

初中涉及的数学图形变换内容相比较小学阶段学生接触的图形知识,有了更加深入的思考和了解。我们在进行教学的时候也有了更多新的要求和高的标准。一般而言,初中数学当中的图形变换主要就是三种:轴对称、平移和旋转。这三种位置的变换是我们初中数学教学当中要求学生必须掌握的内容。下面就将针对以上三类内容进行相关的教学研究分析。

初中数学本身并不难,图形的相关内容属于几何的范畴,实际上在初中阶段的教学目标也主要是针对图形本身的一些深入思考和研究。因此,要想更好地对图形的轴对称、平移以及旋转进行深入的学习,就应该从以下几个方面入手,更好地开展初中数学图形教学。

一、设计有趣的课堂教学情景,让学生观察课本图案,引发思考

在课堂开始之初,我们可以要求学生打开课本来观察书本上的一些图案,让学生欣赏对称图案美丽的同时引发思考,为什么这么多完全一样和对称的图形可以形成如此美丽的效果。这样实际上就已经激发了学生思考的热情和学习的欲望。对于引出轴对称以及平移和旋转知识有了很好的铺垫。

二、通过课件来向学生呈现课堂教学内容和图形的变换

我们可以通过多媒体的方式来进行教学,针对学生来说,图形是一种比较具象的符号,也是许多学生都比较感兴趣的内容。所以我们应该充分将新课程的内容与从前学过的图形知识进行结合,在课件上进行展示。例如,可以先为学生呈现一个三角形,然后缓缓地从左向右移动出一个完全一样的三角形,并且在两个三角形的中间画上一条虚线,最后将其中的一个三角形进行旋转360°之后与之重合。这个简单的操作过程实际上就已经非常形象地为学生展现和呈现了图形变换的相关知识与内容,让学生更加形象地看到了图形的变换,进而对知识有了更深层次的把握。

参考文献:

[1]何佳.初中数学中图形变换的相关教学研究[D].苏州大学,2011.

图形的变换篇4

关键词:初中数学;图形变换;教学

新课程标准提出:“教育应该面向全体学生,让每个孩子都成为对社会有用的人才”。所以现代教育过程中根据学生个性差异因材施教,促进学生个性发展,尊重学生个性的独创性教育显得十分重要。教育者要为每一位学生提供同样的学习机会,也要帮助每一位学生充分发展。究其核心就是要尊重学生个性差异,运用各种方法、创造各种条件引导学生主动探究和创造学习。“有效的数学学习活动不能单纯地依靠模仿和记忆”,“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”[1]。 “图形变换”的教学是体现这一教育教学理念的很好的载体,符合时代的要求。

从初中数学现状来看,“教师教,学生学;教师讲,学生听”仍是主导模式,基本上是 “狂轰乱炸”的“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程,这种“重复低效”的数学课堂教学,使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。这些问题促使我们思考:实施怎样的数学课堂教学,既能让学生理解数学知识、数学思想与数学方法,又能深刻体会数学思想的核心作用,提高数学能力呢?“图形变换”的教学让学生改变了被动学习的的学习方式,学会自主学习。

初中数学“图形变换”的教学,既让学生理解数学知识、数学思想与数学方法,又能深刻体会数学思想的核心作用,提高数学能力。“图形变换”的教学围绕实际问题中所需反映的数学实质进行一系列的变化,使学生得以掌握与提高,是培养学生举一反三、灵活转换、独立思考能力,从而减轻学生学业负担,培养创新能力的有益途径之一[2]。

1.问题的提出

针对以上现实背景,为进一步适应时代的要求,着眼学生的终身学习,着眼学生的发展,让学生积极主动地参与学习活动,在主动参与的过程中掌握学习的方法与技能,进一步提高学生数学的综合素养。现以“图形变换”这一内容为载体研究初中数学教学。

2.研究内容

研究要解决的具体问题是如何利用学校现有的各种资源,发挥学生主体作用,充分尊重学生的主观能动性,通过创设数学变式,引导学生主动参与教学活动,在获取知识的同时,激发他们强烈的求知欲和创造欲,从而得到提高数学课堂教学效率的目的。在严格控制学生活动总量,减轻学习负担的前提下,使全体学生数学素质获得更为全面的发展,数学基本知识、基本能力有所提高。通过“图形的变换”教学让学生的数学学习习惯和数学能力都能进一步得以伸展。因此本研究的基本内容有:

(1)研究学生:着重研究学生平时的学习行为和效果,发现不足和缺憾,然后着力通过数学变式来培养学生创新能力,再加以改进,总结经验,试图发现一种科学的教学体系来提高初中数学课堂教学效益。

(2)研究教法:如何引导学生联系旧知解决新问题,培养学生能以不变应万变,把握数学知识的核心部分,提高思考问题、解决问题的能力。

(3)研究教学:不同的课型采用不同的教学模式体现“图形变换教学”的精髓。

3.研究方法

3.1研究方法

由于本研究是探讨“图形变换”这一内容的不同教学方法对课堂教学效率的影响,根据这一实际情况,考虑到研究对象的特殊性,主要采用行动研究法、个案研究法等多种研究方法。在研究过程中,通过分析课后作业,了解学生对知识掌握的程度来辨别和判定数学课堂教学效率,研究学生自主学习能力的提高与数学课堂效率的提高是否相关或一致,从而确保研究的客观性和科学性。

3.2 研究活动的展开

根据所采用“ 学习、实践、研究、反思、改进、实践、研讨、总结”的研究方法。对图形变换的教学内容进行研究,由黄XX,李XX老师等老师推出四节公开课。并组织开展了《图形的平移》、《轴对称变换》、《旋转变换》的专题讲座,讨论了图形平移、轴对称、旋转、位似变换的方法。教学过程中充分调动学生的积极性。教师只起引导的作用。让学生通过预习准备、合作

交流、研究讨论中获得知识,提高技能。

4.研究的成果

开展研究以来,通过参加说课、听课、评课等活动,重点研究了在数学教学中进行图形变换教学的方法,促进数学教学方法的多样性。

(1)促进教师的发展,提高数学教学水平

通过数节公开课和多次的说课、评课等活动,带动了数学教学的研讨气氛。有效地促进了数学老师专业水平的提升,提高了教育教学质量。

(2)促进学生的发展,使学生成为学习的主人

图形变换的训练是以学生的发展为中心,把知识从不同的角度、以不同的形式展示给学生,让学生深入挖掘、思考,培养学生思维的灵活性、探索性,打破了思维的定向性,让学生在图形变换的训练中领悟到知识点的变化,灵活掌握,把数学学活,理解生活中的数学无处不在。

(3)促进师生关系的转变

教师在实践过程中学会了反思,一是重新认识学生和自己,应该尊重学生人格,关注个体差异,满足学生发展的需要,努力实现自身角色转换。不仅仅当知识的传授者,更要做学生学习的组织者、引导者、合作者。二是重新认识自己与学生的关系,建立起积极参与共同发展的、平等的师生关系、学生的学习主动性开始成为教师关注的重点。三是重新认识教学过程,努力创新教学模式,注重培养学生的独立性、自主性,注意引导学生质疑、探究。四是重新认识课堂,教师把微笑带进课堂,关爱、宽容每一个学生;教师把民主带进课堂,建立和谐的师生关系;教师把探索带进课堂,激发学生的求知欲望;教师把合作带进课堂,促进学生思维和合作创新;教师把成功带进课堂,让每个学生都能获得成功的体验

[3]。课堂教学中经常听到“谁想说?”“谁愿意说?”“谁还想说?”“谁还有不一样的方法?”等商量的口气与学生交流,鼓励学生发表自己的见解。

[参考文献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[D].北京:北京师范大学出版社,2012

[2]刘影.数学教学实践[D].北京:北京大学出版社,2010.

图形的变换篇5

1 内容安排

教材把变换的内容分为三章逐步展开,第七章介绍平面上的刚体运动、反射、旋转、变换与向量、滑移反射及合成、雕带图案,共6节.第八章介绍比率与比例、比例的应用、相似多边形、相似三角形,相似三角形的证明、比例与相似三角形、放大,共7节.有关矩阵变换内容则放在代数部分.每一章的结构分为问题情境、学习指导(复习,准备,学习策略)、本章内容、本章小结、本章回顾与评价(本章水平测试)、设计题.每一小节又分为活动(拓展概念,信息技术应用)、各节的学习内容(围绕你应学到什么,你为什么学展开)、练习指导.这种独立成章的编排使内容相对完整,力图反映美国课程标准的要求.同时,教材并不追求知识体系的严密性,而是让学生通过案例认识变换,理解变换的性质并能运用变换解决问题.

2 主要特点

2.1 密切联系生活,注重变换应用

教材从多角度、多层次编排了变换应用的内容,特别是在日常生活中的应用.

首先,教材抓住日常生活中的建筑问题作为全章变换内容的引入,并围绕应用展开(例1).这种引入方式不仅有利于创设主动的问题情境,而且有利于学生体会到变换就在你身边,或者说你身边的问题需要用变换知识来解决,从而吸引学生到学习中来.同时,这种结合操作引入变换概念,让学生的思维从静态的图形转向动态的变化,教材的这种做法无疑能让学生体会用运动变化的观点或思想观察和分析周围的事物,并逐步内化为学生认识事物和解决问题的方法.

例1 建筑师怎样运用变换?

建筑师常常在建筑设计中添加一些装饰图案,这些装饰给建筑增添了色彩,也体现了建筑的特征.依靠图形以及图形的变换可以进行一些建筑设计,例如,可以经过图形的平移、反射、以及旋转构造出新的图案.

思考与讨论:

①图形A是经过怎样的运动得到图形B的?如图:.

②讨论一下设计中存在的其他变换.

学习更多:你将在练习35—37(p.435)中了解更多建筑中的图形变换.

应用链接:登录 McDougal ,可查阅更多有关建筑中的图形变换信息.应用链接拓展了变换内容极其应用的空间,更进一步拓展了学生的数学视野.

其次,教材中有关变换应用的例子和习题比比皆是,其内容涉及建筑、航海、服装等多方面,充分显示了变换应用的广泛性.教材甚至单独编排了雕带图案一节,进一步加强了变换在日常生活中的应用(例2).这种利用变换设计图案是十分有趣的实践活动,让学生自己动手设计和创造优美的图案,不仅能熟悉各种变换的特征,而且可以更好地发挥学生的主动性和创造性.

例2 用如下图的瓷砖装饰浴室墙壁 (如图:),瓷砖边缘的连接是典型的TR型(平移和旋转180°),画出符合条件的图案.

解 首先把给定的瓷砖旋转180°,然后把这块瓷砖和原来的瓷砖轮流对称设计出一种式样,重复几次制作出装饰横条.如图:.

此外,教材在这一部分辟有不少小栏目,其中有些栏目是关于应用的.如“聚焦职业”这一栏目,就介绍了商标设计、建筑中应用变换的事例.

2.2 渗透数形结合的思想方法,注重几何直观

教材在这一问题上作了一些有益探索,比较突出地表现在如下方面:

(1)具体的变换大多以直观给以表示.如,建筑装饰图与平移、车轮与旋转等等.这种结合实物图来介绍具体变换比较直观,学生容易理解;反过来,学生对相应的几何图形性质认识也比较深刻.

(2)注意坐标法的应用.坐标把几何图形和数量关系联系起来,实现了数形结合.教材包含坐标与图形的位置,坐标与图形的运动,用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称,图形的平移,图形的位似等等.如,学习滑行反射及合成时,结合平面直角坐标系,画出一个图形经过x轴,再经过y轴反射的图形;画出一个图形关于y轴反射后,又绕原点旋转90°的图形,等等.

(3)注重向量法的应用.向量作为沟通数与形的重要工具,在变换中有着广泛的应用(如例3).

例3 向量在平移中的应用

GH的分量形式是〈4,2〉,把顶点坐标分别为A(3,-1)、B(1,1)、C(3,5)的三角形沿GH进行平移.

2.3 呈现方式多样化

注重图文并茂是美国教材的一个传统,教材中变换内容的呈现并不是直接的罗列,而是大多以活动的方式呈现.平面的刚体运动围绕平面运动活动展开,反射围绕平面的反射活动展开,旋转围绕研究双重反射活动展开(例4),滑移反射及合成围绕变换的合成活动展开.在上述活动中,教材并没有把变换概念的定义作为重点,而是先让学生获取几何图形的感性认识,然后让学生通过实际操作探索变换的性质,这有利于发展学生对具体变换内容的深层次理解.图形变换部分的设计题(研究镶嵌)具有较强的探索性和探索空间.而且,解决它的路径和方法多样,有利于拓宽学生的数学知识面.

例4 研究双重反射(几何软件应用活动课)

(你可以应用几何软件观察一个三角形在平面上反射两次的变换类型.学习帮助:登录 McDougal ,可查阅几款软件的使用说明)

作图:① 如右图,画一个不等边ABC.

②画两条相交直线 k 、m,确定它们不与ABC三边相交.

③ 直线k 与直线m的交点为P.

研究:(1) ABC关于直线k反射得到A′B′C′, A′B′C′再关于直线m反射得到A″B″C″.那么,ABC和A″B″C″有什么关系呢? 如下图:

思考:(2)一个图形经过两条相交直线两次反射后,还可以怎样考虑它的变换呢?

进一步研究:⑶画一条线段连结A和P、P和A″,测量∠APA″.这个角作为旋转角的样本.⑷测量直线k和直线m所成角的大小,并与∠APA″进行比较.

(5)找出∠BPB″和∠CPC″,你得到了什么结论?

进一步思考:(6)图形关于两条相交直线的反射变换中,两条直线形成的角和旋转角有什么关系?

拓展:画不同的三角形重复(1)—(3)步骤,检验步骤(6)中的猜测是否正确.

2.4 追求信息技术与变换内容的有机整合

教材力图反映信息技术与变换内容的相互促进与紧密结合,这部分内容许多地方都涉及信息技术的运用.这不仅给学生提供了丰富的学习环境和资源,而且有助于他们把精力集中在问题的思考和探究上,促进学生的数学学习,它主要包括以下两方面:

⑴网络链接.它是一种基于网络环境的数学学习方式.这对于学生今后的发展和适应学习化社会起着积极作用,并进一步拓展数学学习的内容和空间.概括起来,教材中的网络链接主要包括以下4种方式:应用链接、学习帮助、职业链接和超越挑战,以上有关信息都可在公众网站( McDougal )进行浏览、下载等.

⑵动态几何软件(或几何画板)在数学活动中的应用.比如,例4中用动态几何软件画的三角形.这既使图形表示精确,而且也使它的动态效果能加深学生对变换的理解和掌握.

3 启示

从上述特点反观我国的高中数学教材建设,美国高中教材中图形变换的上述几个特点是值得我们参考的.

(1)多角度编排图形变换的内容,明确图形变换在课程中的地位,明确图形变换不仅可以用于图形性质的探索,还可以在解题实践中发挥作用.虽然我国高中数学教材在除立体几何与平面解析几何之外,从函数的直观解释到线性规划的区域刻画等等都体现了变换的内容与思想,甚至设立了“对称与群、矩阵与变换”, 介绍群与矩阵的基本知识和思想. 但我国高中数学教材在例题、练习题中极少要求学生用变换的语言解答问题,还是要求学生能用教材中的定理、推论或性质进行严格的推理,以变换为依据的推理是不严格的,这样的做法可能会让学生认为变换思想仅仅是用来推导书本上的结论.因此,还应考虑多角度配置一定数量的变换类问题,使变换的思想内化为一种重要的思考问题的方法.

(2)信息技术与图形变换的有机整合.利用信息技术工具,我们可以很方便地制作图形,可以很方便地让图形动起来.许多计算机软件还有测量的功能,这有利于我们在图形的运动和变化过程中去发现其中不变的位置和性质.因此,我们不仅应重视信息技术与图形变换的有机整合,而且要让学生利用信息技术进行探索和发现数学问题.

(3)数学活动的选择.活动方式呈现变换内容,具有直观、具体和有趣等特点.学生经历其中,通过思考、探索和交流等活动,能形成良好的思维习惯,增进应用意识,增进学好数学的信心.因此,我国高中数学教材中活动的恰当选择就显得尤为重要.我们以为,它至少应反映这样两方面:一是突出图形变换的本质和思想;二是利于学生观测、探索、实验、验证、推理和交流等.

参考文献

[1] NCTM.Principles and Stan dards for School Mathematics .2001,USA,http://

图形的变换篇6

【关键词】图像分割;小波变换;数字形态学

1.引言

图像分割是按照一定的规则把图像划分成有一些明显的支付目标性质的区域。一些提取的图像经过进一步的分析和处理所得到的图像分割结果是图像理解和图像特征提取的基础。聚焦图像分割和对图像分割中的数字图像处理技术进行研究可以进行随后的图像分析,用来确定用较少的数据来高级别处理,同时也保留了图像在不同的图像分割地区也有其他名称,如物体轮廓技术指标检测技术门槛目标跟踪技术,这些技术本身或它的核心实际上是图像分割[1]。

2.基于小波变换与数学形态学相结合的图像分割算法

直接在原图像的梯度图像上运用传统的分水岭算法进行分割图像,会造成严重的过分分割问题,而这是我们不情愿看到的结果。为了抑制过分分割,减少分割后的小区域,可以在分水岭分割后,合并过多无意的小区域[2],但是合并准则的选择和确定一般比较困难,合并算法比较复杂,计算量大,为了避免这些复杂的合并处理,在分水岭分割之前,可以对图像进行综合的预处理,减少噪声和细密纹理对分割的影响。

实际上有意义的分割需要满足下面四个条件[3]:一、区域不能太小即区域内要包含一定数量的像素;二、一个图像需要分成个数极少的几个区域;三、区域与区域间的公共边界尽量要平滑简单;四、同一区域内的象素要具有相似的或一致的性质。

根据上面四个要求,文中研究了一种结合小波变换和数学形态学的分水岭算法,此算法的主要思想是用小波变换法,接着再利用形态学中的开闭重建运算,来删除梯度图像中因为噪声引起与灰度非规则扰动的局部的极值;接着采用基于前景与背景的分水岭分割算法来进行分割。此方法基本包含四个主要的算法:一、小波去噪,二、形态学开闭重建滤波,三、标记提取,四、分水岭分割。

3.实验结果及仿真

首先求出原始图像对应的灰度图像,再得到膨胀后的图像,膨胀是根据结构元素对图像补集进行填充,因而它表示对图像外部滤波处理。还需要得到腐蚀后的图像,腐蚀是一种消除边界点,使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的物体。图1是利用结构元素对图像做闭运算,可以填充目标内部狭窄的裂缝和长细的窄沟,消去小的孔洞。图2是开运算可以用来分解图像,抽取图像中有意义且独立的图像元。由图3,4对比可知开闭重建运算比开闭运算更有效的去除图像中的微小噪声和细密纹理,而且保留了目标的轮廓特征。

4.结论

通过实验分析可以得到下面的结论:文中研究了一种基于小波变换与分水岭变换的图像分割方法,此方法中,需要在分割之前对图像先小波变换来去噪,再求其梯度图像,并进行形态学的重建,标记前景和背景等预处理,这样可以有效的减少图像的细密纹理和噪声,并可以减小过分割区域和积水盆的数量,最后得到的分割结果具有精确连续的边缘与相当完整的轮廓,得到的区域闭合性较好,就不需要对分割后的图像再进行复杂合并处理,也可以获得有意义的分割,这种方法课有效的解决了传统算法中存在的对细密纹理和噪声过度敏感、过分割等问题,有效地避免了分割后处理。

参考文献

[1]陈武凡.小波分析及其在图像处理中的应用[M].北京:科学出版社,2002:45-49.

图形的变换篇7

【关键词】 几何变换 初中数学 教学 运用

几何变换是将几何图形按照某种法则或规律变为另一个几何图形的过程,常见的几何变换有全等变换和相似变换两类,全等变换不改变大小,只改变点、线段、角等几何图形的位置[1]。相似变换在图形变换过程中保持形状不变,大小、方向和位置可变,其用途广泛。因此,如何在初中数学教学中充分运用图形变换思想,注重初中生几何变换思想的培养作用显著。现就几何变换在教学中的运用做粗浅分析,若有不当之处,还望广大学者给予指正。

1.全等变换

1.1平移变换

平移变换是将图形中的各点按照同一方向移动同一距离的变换。平移变换只改变图形位置,不改变图形大小和特征,但变换后将线段和角平移到新位置,将分散的已知条件集合起来,进而找到解题的突破口。

例1:四边形ABCD中(见图1),AD//BC,∠B+∠C=90°,点E、F分别是AD、BC的中点,求证BF=

(BC-AD)。

分析:线段EF、BC、AD 比较分散,由∠B与∠C互余,可联想到组建直角三角形,平移两腰,可将条件集中在同一个三角形中,运用直角三角形的性质进行解答。归纳:与梯形、正方形相关问题,可作平移运动,将分散的条件集中在同一个三角形或平行四边形中,运用转化后的特殊图形的性质,找到解题思路。

1.2旋转变换

旋转变换是适当选择图中一定点为选择中心,将原图上所有点都绕本定点按照同一方向旋转一定角度,可使得结论与题设产生直接关联,将已知分散条件集合起来,并结合旋转后的图形性质,进行解题。

例2:点P 是等边ABC内一点(见图2),PB = 4,PC =2,∠BPC =150°,求PA的长度。

分析:线段PA、PB、PC为3条共点线,条件较分散,如何将其集中至同一三角形中为解决此题的关键。此时可运用旋转变换方法,因ABC为等边三角形,故将ACP绕点C 逆时针旋转60°后可得BCD,变换已知线段位置的同时构造出直角三角形,并利用勾股定理求出边长。归纳:当出现已知条件和所求部分不能直接联系时,可考虑对图形进行旋转变换,使之集中在同一几何图形中,但需注意:旋转中心、旋转图形、旋转角度和方向的选择,通常情况下,等边三角形绕其顶点旋转60°或绕其中心旋转120°,正方形绕其顶点旋转90°等。

1.3对称变换

对称变换是指将一个图形上的各点翻折到关于某直线对称位置,通过翻折可变换线段和角的位置,使变换后形成特殊图形,进而运用图形的相关性质来解题。

例3:在ABC中(见图3),BC > AB,BD平分∠B,交AC于D。求证:CD>DA。

分析: CD和DA分别是BCD、BAD的边, 但这两个三角形没有两组边相等, 故CD > DA不能利用两三角形证得。若将BCD沿着BD翻折到BED的位置,这样这两个三角形就全等,于是把CD迁移到DE的位置。因DE、DA是DAE的两边, 要证DE >DA,只需证∠DAE >∠E,在ABC中,∠DAE是其外角,∠C是不相邻的一内角,故有∠DAE>∠E。归纳:解题时要充分运用图形的对称性质,以对称图形的性质(角的平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形、等边三角形、正方形等)作为解题的突破口。

2.相似变换

相似变换是指将一个图形放大或缩小若干倍后所得图形与原图相似,相似变换运用广泛。

例4:一条河的两岸有一段是平行的,在河的这一岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽。

分析:根据题意画出示意图,如图4。易得出ABE∽CDE,同时有CD=20,EM=25,利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比可得到比例式,CD/AB=EM/EF,得出FM=37.5。归纳:对于实际生活案例的解题时,要充分利用相似变换的性质,将题意整合为熟悉的几何图形,进而找到解题思路。

综上所述,在初中数学的平面几何教学中,几何变换是教学的重点,教师需引导学生从熟悉的生活实例出发,从不同角度利用图形的变换,探索图形的相关特征,掌握几何变换的知识,让学生感受数学与现实世界的联系,增强学生对学习的兴趣,在提高学习成绩的同时,激发学生的创造潜能。

图形的变换篇8

一、建立直角坐标系xOy与水平放置的直角坐标系x′O′y′

单击“绘图”菜单中的“定义坐标系”。单击文字工具,小手放到原点处,当小手变黑时,双击鼠标左键,标签输入O,单击“确定”。用同样方法将数轴分别标为x、y。单击点工具,点放到x轴上,单击鼠标左键,将得到的点标为O′。选中点O′,单击“变换”菜单中的“标记中心”,将点O′设置为中心。选中x轴,单击“变换”菜单中的“旋转”,输入“45”,单击“确定”。将旋转后的直线标记为y′.x′轴与x轴重合。

二、创建“斜二测画法”变换

单击点工具,点放到任意位置,单击鼠标左键,将得到的点标为A1.选中点A1、x轴,单击“构造”菜单中的“垂线”。箭头放到垂线与x轴的交点处,当箭头变为横向箭头时,单击鼠标左键,得到垂线与x轴的交点,标记为B1.将点B1设置为中心。选中点A1,单击“变换”菜单中的“缩放”,系统默认缩放1/2,单击“缩放”,将缩放后的点标为C1.选中点C1,单击“变换”菜单中的“旋转”,输入“- 45”,单击“旋转”,将旋转后的点标为D1.依次选中点O、O′,单击“变换”菜单中的“标记向量”,将OO′设置为平移向量。选中点D1,单击“变换”菜单中的“平移”,单击“平移”。将平移后的点标为A1′.点A1′就是利用斜二测画法点A1的直观图。依次选中点A1、A1′,单击“变换”菜单中的“创建自定义变换”,输入“斜二测画法”,单击“确定”。选中点A1、B1、C1、D1、A1′,x轴的垂线,单击“显示”菜单中的“隐藏对象”。

三、创建“反斜二测画法”变换

构造任意点A2′.选中点A2′、y′轴,单击“构造”菜单中的“平行线”。作平行线与y′轴的交点,标为B2′.将点B2′设置为中心。选中点A2′,单击“变换”菜单中的“缩放”,分子输入“2”,分母输入“1”,单击“缩放”,将缩放后的点标为C2′.选中点C2′,单击“变换”菜单中的“旋转”,输入“45”,单击“旋转”,将旋转后的点标为D2′。依次选中点O′、O,单击“变换”菜单中的“标记向量”。选中点D2′,单击“变换”菜单中的“平移”,单击“平移”,将平移后的点标为A2。点A2就是利用斜二测画法,直观图为点A2′对应的平面图形。依次选中点A2′、A2,单击“变换”菜单中的“创建自定义变换”,输入“反斜二测画法”,单击“确定”。隐藏点A2′、B2′、C2′、D2′、A2,y′轴平行线。

四、通过任意改变平面图形的形状,来改变平面图形直观图的形状

以平行四边形为例,作任意点A3、B3、C3,依次选中点B3、C3,单击“变换”菜单中的“标记向量”。选中点A3,单击“变换”菜单中的“平移”,单击“平移”,将平移后的点标为D3.单击线段直尺工具,连接A3B3、B3C3、C3D3、D3A3.选中平行四边形A3B3C3D3,单击“变换”菜单中的“斜二测画法”,得到利用斜二测画法平行四边形的直观图,顶点分别标为A3′、B3′、C3′、D3′.用箭头分别拖动点A3、B3、C3,任意改变平行四边形A3B3C3D3的形状,观察平行四边形直观图的形状。通过观察可以发现:利用斜二测画法,平行四边形的直观图还是平行四边形(图1)。观察平行四边形的对边可以发现:相等的线段在直观图中仍然相等;若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行。观察平行四边形的对角可以发现:角的水平放置的直观图一定是角,相等的角在直观图中仍然相等。

五、通过任意改变平面图形直观图的形状,来改变平面图形的形状

图形的变换篇9

Abstract: In recent years, with the emergence of multimedia technology and digital equipment, how to effectively manage and access information has become an urgent issue. Therefore, a new content-based image retrieval technology was raised. This article, on the basis of the research results, presented the approach to image retrieval based on shape feature: shape retrieval based on two-dimensional Fast Fourier transform algorithm.

关键词:图像检索;形状;傅里叶变换

Key words: image retrieval;shape;Fourier transform

中图分类号:TP39 文献标识码:A 文章编号:1006-4311(2012)32-0198-05

0 引言

本文旨在研究基于形状区域特征的图像检索,提出了一种基于二维快速傅里叶变换的的形状检索算法。第一节介绍了的相关知识,第二节介绍了基于快速傅里叶变换的频域特征提取的具体实现技术,第三节介绍了特征匹配的方法,最后是实验的结果与分析。

1 傅里叶变换

本文算法是在快速傅里叶变换的理论基础上提出的,所以本文首先对傅里叶变换进行了研究。

1.1 傅里叶变换的基本概念 傅里叶变换在数字图像处理中有着广泛的应用,其在数学中的定义非常严格,定义如下:设f(x)为x的函数,若f(x)满足狄里赫拉条件:①具有有限个间断点;②具有有限个极点;③绝对可积。

但图像必须在空间和灰度上都离散化才能被计算机处理,要对数字图像进行傅里叶变换,必须引入离散傅里叶变换(DTF,Discrete Fourier Transform)的概念。

1.1.1 一维离散傅里叶变换 对一个连续f(x)等间隔采样,可得到一个离散序列。设共采了N个样,则这个离散序列可表示为{f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)},则其离散傅里叶变换F(u)为:

F(u)=I{f(x)}=■■f(x)e■■u=0,1,…,N-1(1)

离散傅里叶反变换为:

f(x)=I■{F(u)}=■F(u)e■x=0,1,…,N-1(2)

根据欧拉公式e±ix=cosx±isinx,式(1)可写成:

exp(-j2?仔xu)=cos2?仔ux-jsin2?仔ux(3)

所以,一维离散傅里叶函数F(u)也可写成复数函数形式:F(u)=R(u)+jI(u)(4)

其中R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部。

其中F(u)=R■(u)+I■(u)■(5)

上式称为傅里叶变换的幅度或频率谱。

其中?准(u)=arctan[I(u)/R(u)](6)

上式称为变换的相角或相位谱。

其中P(u)=F(u)■■=R■(u)+I■(u)(7)

上式称为功率谱。

1.1.2 二维离散傅里叶变换 在数字图像中,像素点是二维离散的,设一个图像尺寸为M×N(M为图像的高,N为图像的长)的函数为f(x,y),则图像可表示成为一个二维的离散点序列,如式(8)表示:

f(x,y)=■

(8)

对于图像的像素点f(x,y),其二维离散傅里叶变换为:

F(u,v)=I{f(x,y)}=■■■f(x,y)e■

(9)

其中:u=0,1,…,M-1;v=0,1,…,N-1

其傅里叶反变换为:

f(x,y)=I■{F(u,v)}=■■■F(u,v)e■

(10)

其中:x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1

考虑到在数字图像处理中,图像取样一般是方阵,即M=N,则二维离散傅里叶变换公式为:

F(u,v)=I{f(x,y)}=■■■F(x,y)e■(11)

其中:u,v=0,1,…,N-1

f(x,y)=I■{F(u,v)}=■■■F(u,v)e■(12)

其中:x,y=0,1,…,N-1

与在一维时的情况类似,二维傅里叶变换的频谱、相位角、功率谱如下:

F(u,v)=[R■(u,v)+I■(u,v)]■(13)

?准(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)](14)

P(u,v)=F(u,v)■=R■(u,v)+I■(u,v)(15)

1.2 傅里叶变换的性质 由于我们主要研究的是二维数字图像,而数字化图像都是离散化了的图像,因此下面对二维离散傅里叶变换的一些重要性质进行简述。

①线性。离散傅里叶变换是一个线性变换。

②分离性。一个二维离散傅里叶变换也可以用二次一维离散傅里叶变换来实现。

③对称性。如果离散函数f(x,y)的离散傅里叶变换为F(u,v),那么:I[F(x,y)]=MN·f(-u,-v)(16)

④周期性。离散傅里叶变换和傅里叶反变换均是以N为周期。

⑤共轭性。如果离散函数f(x,y)的傅里叶变换为F(u,v),F*(-u,-v)为f(-x,-y)离散傅里叶变换的共轭函数,则它的傅里叶变换具有共轭对称性。其共轭性说明离散函数f(x,y)经过正交变换后得到的F(u,v)是以原点为中心对称的。利用该特性,只要求出半个周期内的值就可以得到整个周期的值。

⑥平移特性。离散傅里叶变换对的平移特性可写成:

I[f(x,y)e■]=F(u-u0,v-v0)(17)

I[f(x-x0,y-y0)]=F(u,v)e■(18)

式(17)表示将f(x,y)与一个指数相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。式(18)表明将F(u,v)与一个指数相乘就相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置。

⑦旋转特性。如果空间域离散函数旋转角度?兹0,则在变换域中该离散函数的离散傅里叶变换函数也将旋转同样的角度。

⑧尺度变换特性。如果函数f(x,y)的傅里叶变换为F(u,v),给定两个标量a和b,则:

I[af(x,y)]=aF(u,v)(19)

I[f(ax,by)]=■F(■,■)(20)

⑨平均值。一幅图像的灰度平均值可由DFT在原点处的值求得,即:

■(x,y)=■F(0,0)(21)

⑩卷积定理。设f(x,y)和g(x,y)分别用尺寸A×B和C×D,周期为M和N的离散数组表示。为了防止卷积后产生重迭误差,需要选择M?叟A+C-1和N?叟B+D-1。

则二维离散傅里叶卷积定理如下:

I[fe(x,y)*ge(x,y)]=Fe(u,v)·Ge(u,v)(22)

I[fe(x,y)·ge(x,y)]=Fe(u,v)?鄢Ge(u,v)(23)

其中,Fe(u,v)为离散函数fe(x,y)的离散傅里叶变换,Ge(u,v)为离散函数ge(x,y)的离散傅里叶变换。

{11}相关定理。对于离散函数f(x,y)和g(x,y)的相关运算?莓,同样必须先对f(x,y)和g(x,y)进行扩展处理,然后再定义相关运算?莓如下:

fe(x,y)?莓ge(x,y)=■■■fe(m,n)ge(x+m,y+n) ■(24)

则相关定理如下:

I[fe(x,y)?莓ge(x,y)]=Fe(u,v)·G■■(u,v)(25)

I[fe(x,y)·g■■(x,y)]=Fe(u,v)?莓G■(u,v)(26)

其中Fe(u,v)为函数fe(x,y)的傅里叶变换,Ge(u,v)为函数ge(x,y)的傅里叶变换;G■■(u,v)为G■■(u,v)的共轭,g■■(x,y)为ge(x,y)的共轭。

1.3 快速傅里叶变换 进行离散傅里叶变换需要的计算量太大,运算时间太长,在某种程度上限制了它的使用。按照式(1),计算一个长度为N的一维离散傅里叶变换,对u的每一个值需要做N次复数乘法和(N-1)次复数加法。那么对N个u,则需要N2次复数乘法和N(N-1)≈N2次复数加法。很显然,当N很大时,计算量是相当可观的。

库里(Cooley)和图基(Tukey)在1965年首先提出一种快速傅里叶变换(FFT)算法,采用该算法进行离散傅里叶变换,复数乘法和加法次数正比于Nlog2N,这在N很大时计算量会大大减少,如表1。

可见,采用FFT可以减少运算量,图像越大减少越多。对于长为1024的离散序列,用普通的离散傅里叶变换往往要计算几十分钟,而采用FFT,一般只要几十秒。快速傅里叶变换是傅里叶变换的一种改进算法,它分析了离散傅里叶变换中重复的计算量,并尽最大的可能使之减少,从而达到快速计算的目的。

在这里,只对一维情况下的快速傅里叶变换进行讨论,因为根据傅里叶变换的分离性可知,二维傅里叶变换可由连续两次一维傅里叶变换得到。

设WN=e■(27)

设N为2的整数幂,即:N=2n,并令M为正整数,满足N=2M,则式(1)可写成:

F(u)=■■f(x)W■■=■■■f(2x)W■■+

■■f(2x+1)W■■(28)

由式(27)可知W■■=W■■,所以式(28)可写成:

F(u)=■■■f(2x)W■■+■■f(2x+1)W■■W■■

(29)

现在定义:

G(u)=■■f(2x)W■■ u=0,1,2…,M-1 (30)H(u)=■■f(2x+1)W■■ u=0,1,2…,M-1 (31) 式(29)可转化为:F(u)=■[G(u)+H(u)W■■](32)

同样,因为W■■=W■■和W■■=-W■■,式(30)通过式(32)得到:F(u+M)=■[G(u)-H(u)W■■](33)

仔细分析式(30)至式(33)可知,一个N点变换可以通过把原始表达式分成两部分来计算,如式(32)和式(33)所示。计算F(u)的前半部分要对式(30)和式(31)给出的两个N/2点变换进行计算。G(u)和H(u)的计算结果被代入式(32)中得到F(u),u=1,2,…,(N/2-1),另外一半可直接从式(33)得到,而无需另外的变换计算。因此可以将求N个点的离散傅里叶变换转换成求N/2点的离散傅里叶变换,当N为2的整数幂时,式中的G(u)和H(u)可以再被细分成更短的序列,进一步加快运算速度。

1.4 傅里叶变换在图像检索领域的应用 通过上述研究可知,图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠、海水、天空在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中则是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

作者认为傅里叶变换具有以下优点:第一,傅里叶变换是在图像的频域对图像进行特征分析,对噪声不敏感,而基于空域的图像分析方法是很难控制噪声对图像带来的影响的;第二,一幅图像由空域转换到频域,使高度相关的空间样值变为相关性较弱的变换系数,减少了空间样值之间的冗余度。正是这些优点,使得傅里叶变换被广范地应用于图像处理和图像分析领域。一维傅里叶变换应用于物体形状的轮廓描述上,它首先要确定图像中物体的轮廓,然后将轮廓映射到复平面上后,再对其进行傅里叶变换。而二维傅里叶变换不需要确定物体的边界,可直接对图像进行变换,对图像分别从x和y方向进行傅里叶变换,应用于对物体形状的区域描述上。

2 基于快速傅里叶变换的特征提取

本文在快速傅里叶变换的理论基础上提出了一种基于区域形状特征的提取方法。该方法首先对图像进行二维的快速傅里叶变换,然后对变换的结果进行分块统计,由每块的频域统计值构成图像的形状特征向量,提取步骤如图1所示。

2.1 图像归一化处理 考虑到图像资源尺寸的不统一,使得傅里叶变换的结果矩阵大小也不统一,将造成后期无法对图像统一提取特征这一问题。作者对图像进行了大小的归一化处理。又考虑到离散快速傅里叶变换仅适用于大小为2n的图像,可以将图像归一化后的尺寸选择为64×64、128×128、256×256、512×512。

归一化的过程实际是对图像进行缩放,缩会使多点合并成为一个点,放会使图像产生空白点。作者采用的具体方法是:对多点合并一个点时,先计算周围8领域的平均值,然后再利用这个平均值作为合并点的值;对产生的空白点需要进行填充处理时,先计算周围8邻域像素点的平均值,然后利用该平均值填充。通过归一化处理的图像,从视觉上看是比较接近的,为后期特征的提取带来了方便。但作者也发现它有可能对图像检索产生一些负面影响,一是如果图像较大,图像压缩则可能丢失一定的图像信息;如果图像较小,这样的拉伸会使图像信息产生一些冗余的附加信息。二是由于原有图像的宽度和高度如果不是1:1的比例,这样的缩放会使图像的形状产生变形和扭曲。

在对图像进行归一化处理时,若原图像的比例不是1:1,则造成了图像的扭曲变形,为图像检索带来了负面影响。同时图像归一化的过小,图像可能会丢失掉一些重要的细节,影响图像的检索效果,而归一化的过大,又增加了傅里叶变换的计算量,影响图像的检索效率。作者权衡以上两个因素,将图像归一化为256×256个像素点。

2.2 对图像进行频域转换 傅里叶变换是将空间域转换为频率域的有效方法,利用傅里叶变换的这种特性就可以将图像的空间信息转换为频率信息进行处理。要提取图像的形状区域信息,则需要对图像进行二维离散傅里叶变换,1.1节中已经详细地介绍了二维图像傅里叶变换的公式,这里就不再重复。作者考虑到二维傅里叶变换需要的计算量依赖于图像的大小,计算处理时间随着图像的增大迅速增长。因此,作者采用了傅里叶变换的快速算法对图像进行二维傅里叶变换,这一做法使傅里叶变换的计算量降至Nlog2N,大大缩减了计算时间,其方法已在1.3节做了详细分析,这里不再重复。快速傅里叶变换虽然可以使计算量下降,但其局限性也是很显然的,它的N要求必须是N=2n,所以作者在2.1节对图像做的归一化处理时就考虑到了这个问题。

由1节可知傅立叶变换是基于复数的,其结果为复数形式。因此,要直接表示一幅图像的二维FFT变换的结果就必须用到两幅图像:一幅表示实部,一幅表示虚部。在频谱图像中,灰色表示的频域值为0,黑色表示的频域值为负值,白色表示的频域值为正值。由图2可以看到4个角上的黑色更黑,白色更白,表示其幅度更大,其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分,而中心则是图像的高频组成部分,低频部分反映了图像的整体轮廓,高频部分反映了图像的细节。尽管这样表示的频谱图已经能够反映出原始图像的能量分布情况,但是不够清晰、直观,因此,另一种表示方法是引入变换结果的模作为值在频谱图中表示出来,用灰度的明暗来代表模的大小,如图3所示。

研究表明,二维快速傅里叶变换是一种正交变换,变换后信息不会丢失,具有能量保持性,并且能够对能量进行重新分配与集中,使高度相关的空间样值转变为了相关性较弱的变换系数,从而减少空间样值之间的冗余度,降低了对噪声的敏感度。同时,对不同的图像进行二维快速傅里叶变换后得到的频谱图是不同的,且二维快速傅里叶变换的结果直接反映了图像的形状区域信息,因此可以通过对变换后的图像频谱结果进行分析来提取图像的区域形状特征。

2.3 频域特征的提取 对一个N×N的灰度图像进行二维快速傅里叶变换后,结果为一个N×N的复数矩阵,它反映了图像中物体的区域形状信息。通过分析发现,直接从傅里叶系数计算频谱(即模)作为描述符,是不实用的,因为得到的特征不具备旋转不变性。对一个形状描述符来说,是否具有旋转不变是非常重要的,因为近似的形状可能具有不同的方向。作者通过对图2和图3(a)所示结果进行分析后发现,虽然由傅里叶系数实部、傅里叶虚部和系数的模绘制出的频谱图外观上虽然不尽相同,但它们的能量分布却是完全一致的,体现了相同的图像特征;通过实验,作者分析发现对变换的结果仅提取实部作为描述符就可以有效地解决旋转不变性问题,因此作者选择傅里叶系数的实部来描述形状的区域特征,具体做法如下:

由于对图像进行傅里叶变换前已经将图像归一化为256×256,因此这里得到的变换结果为一个256×256的矩阵,如果利用每一个频谱特征构成图像的特征向量,则一幅图像的数据量就达到216,大大增加了图像检索征匹配过程的计算量,降低检索效率。在这里,作者把矩阵均匀分割为16×16的块,如图4所示,共提取出256个特征值组成图像的区域形状特征向量。

由于每个块中包含了256个傅里叶系数,我们需要对它们进行计算得到该块的特征值,作者选择对每块内的256个系数统计求和再开方,这样做可以获得性能更一致的全方位的能量响应。方法如下:

假设傅里叶系数为:f=A+Bi

Fi=■A■■ i=0,1,2,…,255(34)

其中,Fi为第i个块,Aj为块中第j个傅里叶系数的实部,j的计算公式如下:

PixlNum[r][c][m][n]=(16*r+m)*256+16*c+n(35)

其中,r为第i个块所在的行,c为第i个块所在列,m为第i个块中第j个系数所在行,n为第i个块中第j个系数所在列。

由于傅里叶系数实部的值比较大,为了特征匹配后的结果易于理解和分析,作者对特征Fi进行了归一化处理,即S■=■(36)

这样就得到了图像频谱的256个特征分量S■(i=1,2,3,…,N),由它们构成图像的频谱特征向量,即图像的区域形状特征向量,在图像中的特征分量从左到右分别计为1-N。

3 特征匹配

图像检索时,作者用查询图像的频谱特征向量直接和图像库中的每一幅图像的频谱特征向量运用欧式距离法进行相似性比较,得到相似图像,并按相似性进行排序。

S (q,d)=■(S■-S■)■■(37)

式(37)中S (q,d)表示总得相似性距离,S■表示图像库中被检索的图像的第i个特征分量,S■表示待检索图像的第i个特征分量。

4 实验结果与分析

为了更好地评价本章算法的检索性能,本文选择了MPEG-7 ShapeB标准形状测试集。测试集中有1400幅图像,被分成70类,每类20幅图像。图像库内的图像均为灰度图像,且每幅图像目标唯一、背景单一,其中目标为白色,背景为黑色。

对性能的评价,本文采用“查准率”对本章算法输出的结果与人们期望结果的一致性进行比较,查准率的公式见式(38)。实验中,作者将P(G)(即输出近似图像的数目)分别选择为10和20。具体实验步骤如下:以MPEG-7 ShapeB形状库为基础,从中选择10类作为本实验的测试形状库,其中每类包含了20幅图像,这些图像的分类是基于语义的分类,具体分类如图5所示,其中每一类中所包含的图像在视觉上是相似的,一些不同类之间也有相似性,如camel和elephant。对每一类图像随机抽取10幅分别作为关键图像,用查准率公式计算出P10和P20,然后对每类计算平均查准率■10和■20。

precision=P(R|G)=■=■(38)

表2为本章算法(记作算法A)和采用傅里叶系数的模作为特征的检索算法(记作算法B)的平均检索准确率。

从表2中的结果可以看出,针对上述各测试图像类,本章算法的平均检索准确率均高于采用傅里叶系数的模作为特征值的算法。由于本章算法在频域提取图像的区域形状特征,故对噪声不敏感,具有平移、尺度不变性;只选用傅里叶系数的实部建立图像的特征向量对图像进行检索,获得了较好的旋转不变性,检索效果如图6,第一副为示例图像。

参考文献:

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[2]张洁.数字图像边缘检测技术的研究.硕士学位论文,合肥工业大学,2009.

[3]Bober M.. MPEG-7 visual shape descriptor.IEEE Trans. on Cirrcuits and Systems for Video Technology.2001,11(6):716-719.

[4]冈萨雷斯.数字图像处理.北京:电子工业出版社,2005.

图形的变换篇10

1.1 位似图形

定义1 位似图形:两个图形相似,且一个图形上的任意点A,B,…,P和另一个图形上的点A′,B′,…,P′分别对应,并且满足:

①直线AA′,BB′,…,PP′ 都经过同一点O;

②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′=k.

点O叫做位似中心.

若位似形是多边形,叫做位似多边形.即有如下定义:

定义2 对于两个多边形,若一个多边形的顶点A,B,…,P和另一个多边形的对应顶点A′,B′,…,P′ 满足:

①直线AA′,BB′,…,PP′都经过同一点O;

②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′.

则这两个多边形叫做位似多边形.

两个位似图形的各对对应点,都在位似中心的同旁,这两个位似图形叫做相互外位似,其位似中心叫做外位似中心.

两个位似图形的各对对应点全部都在位似中心的两旁,这两个位似图形叫做相互内位似,其位似中心叫做内位似中心.

位似多边形有如下性质:

①每个多边形都可以位似于它本身(反身性);

②若多边形F位似于多边形F′,则多边形F′位似于多边形F;

③两个位似多边形一定相似,它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离的比;

④两个位似多边形的对应边分别平行.

1.2 位似变换

定义3 位似变换:一种几何变换.设O为平面上一定点,若某变换把平面上任意一点A变为直线OA上一点A′,并且|OA′|=k|OA|,k≠0,则称这种变换为平面到它自身的位似变换,O为位似中心,k为位似比或位似系数.当k>0时,点A和A′位于直线OA上点O的同侧,称这种变换为正向位似变换,或顺位似变换,O为外位似中心(图1);当k

图1 图2当k=1时,位似变换为恒等变换,当k=-1时,位似变换为以O为中心,旋转角为180°的旋转变换或中心对称变换.

若图形M上各点经过位似变换后得图形M′时,则称图形M位似于图形M′,或图形M与M′位似.当|k|>1时,图形被放大,当|k|

位似变换是一种特殊位置的相似变换.

位似变换有如下性质:

①位似变换把任意直线AB变为直线A′B′(过位似中心的直线变为它本身),并且AB∥A′B′,线段AB与A′B′满足|A′B′|=k|AB|;

②位似变换把两条相交直线变为相交直线,交角不变,并且交角的方向也不变;

③任意多边形变为与它相似的多边形;

④任意两个圆都是位似形.

图3对于两个同心圆来说,显然圆心就是它们的位似中心,而半径之比就是它们的位似系数.对于任意两圆,如图3,设A的半径为r,B的半径为R,如果直线AB上的点O和O1满足OAOB=rR,O1AO1B=rR,则O点是A和B的内位似中心,点O1是两圆的外位似中心.

2 课标教材中的位似

2.1 定义

我们知道,在中小学教材中,为了使学生易于接受,本着科学性和量力性相结合的原则,常常要对一些本来严密的数学概念进行改写,在某一个教学阶段,有时会牺牲一些概念的严密性,仅给出一种描述性定义.位似的概念也是如此.不同版本的课标教材对位似概念的处理虽不尽相同,但大多是结合多边形的缩放给出了位似图形的定义.大致有如下几种说法:

(1)如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,这时两个图形的相似比又叫做它们的位似比(山东教育出版社2007年7月第3版《数学》八年级上册p.58).

青岛出版社、泰山出版社《数学》2006年8月第1版九年级上册p.64:每对对应点所在直线交于一点的相似图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.

显然,这两个版本的教材中关于位似的定义是一致的,浙教版九年级上册的数学课本也采用了这样的方法来定义.

(2)图27.3-2每幅图中的两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心(人民教育出版社2006年6月第1版《数学》九年级下册p.60).

显然,和(1)中定义位似的方法不同,这里用“位似多边形”作为位似图形的重要示例,把“每组对应点”改为了“对应顶点”,且注明了条件“对应边互相平行”.

(3)图24.5.1中的两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心(华东师范大学出版社2007年6月第三版《数学》九年级上册p.71).

这是一个很不严密的定义.

2.2 性质

教材中关于位似的性质大都只涉及这么一条:位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

有的教材(如鲁教版)还试图让学生通过探究发现如下性质:位似图形的对应线段平行(或共线).

3 教学中的位似

3.1 位似的教学定位:放缩变换

义务教育数学课程标准中对位似的要求是“了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小。”可见,课标让学生了解位似,定位于让学生知道位似是一种变换,一种可以将图形放大或缩小的变换.

图4和大纲教材不同,课标教材强化了图形变换的意识,在学习位似之前,已经学习了平移、旋转(含中心对称)、轴对称三种变换,它们都是合同变换,也就是能够保持图形上任意两点间的距离不变,变换后的两个图形是全等形.在学习了相似形的知识后,还有必要让学生了解:初等几何变换还有相似变换,其中最简单的是位似变换,它是可以把图形放大缩小的一种变换.这种变换在生活中的例子除了在放映机、照相机等成像过程中常见外,课本还安排了诸如“对数视力表”等素材让学生去主动探究(北师大版、鲁教版等),有时,还可以用位似变换来设计艺术字(人教版),如图4.

3.2 关于位似的判定

(1)学习了位似的概念,似乎就绕不过对位似图形的识别判定问题.由于课标并未涉及位似的判定,教材中也未出现位似的判定定理,因而,定义就成了判定位似图形的唯一依据.

比如,鲁教版教材中设计了一个例题和一组练习,其中的例题是判断常见的基本图形――“A型图”中的两个三角形是否是位似图形.例题的解答中首先推导出ADE∽ABC,然后进行了如下说明:

如图5,又因为点A是ADE和ABC的公共点,点D和点B是对应点,点E和点C是对应点,直线BD和CE相交于点A,所以ADE和ABC是位似图形.

图5这个结论无疑是正确的,然而,上述解答却把教材上定义中的条件“每组对应点所在直线交于一点”中的关键词“每组对应点”简化成了“对应顶点”,这种不严密的推理,很容易使人产生这样的错误认识:“如果两个相似多边形的对应顶点的连线经过同一个点,则这两个多边形就是位似的.”

本刊2008年第8期李孟堂老师的《一道位似图形题引发的思考》一文中,李老师命制了如下题目:

如图6,在梯形ABCD中,ABBC,∠ADC的平分线和∠BCD的平分线交于点E,且点E恰好落在AB上,则图中和AED是位似图形的是,位似中心是.

图6 图7李老师认为“BCE与AED是位似图形及中心点是E是确信无疑的”,但一些教师却根据“任意一对对应点到位似中心的距离比都等于位似比”得出了矛盾.其实,李老师“确信无疑”的是一个错误结论,“任意一对对应点到位似中心的距离比都等于位似比”本该是定义中的条件. 即使按鲁教版的定义来分析,AED的三个顶点及其对应点并不能代表AED和BCE的“每对”对应点.事实上,相似三角形的每对对应点远不只是它们的对应顶点,还包括了对应边上的无数对对应点.如图7,我们只要取AE的中点M和BC的中点N这样一对对应点,就会发现,它们的连线并不经过E.

要避免此类错误,关键是要对概念真正理解.作为一个教师或教研员,对概念的理解如果只局限于课本上的文本,则显得有些高度不够.这似乎又验证了那句老话:用教材教而不是教教材.

(2)由于位似图形具有对应线段平行、对应线段之比等于位似比和对应点的连线过位似中心等性质,因此,恰当使用位似来解题往往会使解法显得简捷明了.但是,要使用位似的性质都需要先进行位似的判定,而初中教材上给出的定义大都难以直接用来证明位似,所以,笔者认为用位似解复杂的证明和计算题,应属于竞赛性质的较高要求,不宜作为对一般学生的普遍要求,也不宜作为中考或模拟考试题使用.

参考文献

[1] 教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[S].北京:北京师范大学出版社,2001.

[2] 张春条.中国中学教学百科全书数学卷[M].沈阳:沈阳出版社,1991.

[3] 李孟堂.一道位似图形题引发的思考[J].中学数学杂志.2008,(8).

[4] http://jpkc.yzu.省略/course/cdsx/kcrr/kcrr6-3.htm