数学思想论文范文10篇

数学思想论文范文篇1

日本数学家米山国藏指出：多数学生进入社会后，几乎没有机会应用他们在学校所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于大脑的数学思想却长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用。

为便于进行“数学思想”的教育研究，本文围绕“数学思想”的内涵、分类、特点和功能等问题作些基础工作。

二、数学思想的内涵和分类

数学思想是几千年数学探索实践所创造的精神财富。根据数学哲学的近代研究，所谓数学思想指的是数学活动中的价值观念和行为规范。数学思想的内涵十分丰富，主要有数学创新思想、数学求真思想、数学理性思想、数学合作与独立思考思想等。限于篇幅，本文重点仅就其中三种数学思想进行论述。

三、数学创新思想

1．创新思想的概念

结合新情况、寻找新思路、解决新问题、创立新理论，这种思想叫创新思想。

2．数学创新思想的几个特点

首先，问题是数学创新的起点。群论的创造是为了解决四次以上代数方程是否有根式解的问题。超限数的创立是为了进一步弄清数学分析的基础，为了解决画家怎样把立体的东西画在平面上，产生了射影几何。……可以说：“没有问题就没有数学创造。”

再者，创造的自由性在近现代数学中表现得越来越明显。德国数学家康托说：“数学的本质就在于自由。”他主张数学家自由创造自己的概念，而无需顾及是否实际存在。这个认识使康托有可能超越有限的世界，以数学家的严密性建立起集合论和超限数；使几何学家超越感觉想象的空间，去研究非欧空间、n维空间；使公理数学家有可能建立抽象的纯数学和种种特异的数学来。…总之，使数学家永葆创新思想，推动数学永往直前。

3．数学创新思想的教育功能

创新是科学的本质，是社会发展的不竭动力。由于数学创新的典型事例多、创新实践对外界条件要求较少、创新成果易于展现，所以通过数学培养学生的创新思想是一条事半功倍的途径。通过数学创新思想的培养，能够克服学生唯书、唯师、唯上，照抄照搬的陋习，增加学生探索研究问题的主动性，提高学生思维的创新性、广阔性、流畅性及灵活性。

四、数学求真思想

1．求真思想及其意义

求真思想是不懈追求真理的思想。真理是人们在社会实践中形成的对主客观事物及其规律的正确认识。人类只有掌握了真理，才会能动地改造世界。因而，求真是科学的首要目的，求真思想是科学发展的内在动力。

2．数学求真思想的特点

数学不同于其它科学，它是人类根据自己的需要而抽象建构起来的，它的真理性必须经受逻辑和实践的双重检验。

数学求真的艰难历程，磨练了数学特有的求真思想。

首先数学求真比任何学科都重视逻辑。波利亚说：“对选择恰当的实例进行检验，这是生物学家肯定猜想的唯一方法。但是对数学家来说，对选择的实例进行验证，从鼓励信心的角度来看是有用的，但这样还不能算是数学里证明了一个猜想。”

其次，数学求真要不轻信经验。非欧几何的平行公理和许多定理是与我们的经验不相符合的，但它们却构成了一个相容的几何系统，并在现代物理学中得到应用。“全体大于部分”在常识中是当然的事，但在无限领域中却不成立。这是因为经验只能反映事物的表象，不能揭示事物的实质。

再则数学求真要勇于批判。非欧几何的诞生可以追溯到对欧氏平行公理的怀疑。勒贝格积分的建立是由于发现了黎曼积分的局限性。希尔伯特创立形式公理化方法，是因为认识到了欧氏公理系统的不严格。这说明，不同观点的论争同样是数学发展的重要动力。

还有，同所有科学一样，数学求真也离不开刻苦钻研。瑞士数学家欧拉一生忘我工作，在双目失明的情况下，还口述了400篇论文和好几本书。正是这种思想才促成了他的丰功伟绩。

3．数学求真思想的教育功能

数学求真思想能够激发人们追求和坚持真理的勇气和自信心。养成独立地发现问题、思考问题和解决问题的习惯，不惧怕困难、不屈服挫折。教育人们客观公正地看待一切，不轻信经验，不迷信权威，不随波逐流。

五、数学理性思想

1．数学理性思想的内涵

依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识称为理性认识。重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种思想称为理性思想。

2．数学理性思想的形成

虽然理性思想在不少学科都有表现，但它最早却是由数学引入的，并逐步成为数学思想的核心和灵魂。

早在公元前6世纪，希腊数学、哲学之父泰勒斯就看到：仅仅以个别测量实例的需要为目标，埃及人中流行的测量土地的方法是笨拙的。他认为：人类不但可以从实际经验中获得知识，也可以从已认可的事实出发，经演绎推理得出新的知识。如果作为出发点的事实正确，推理方法正确，所得的结论也必然正确。据此，他提出测地术应上升为建立在一般原理上的演绎的几何学。

在泰勒斯将演绎推理引入数学后，希腊毕达哥拉斯学派接着提出：数学中的数、点、线、面及各种数学概念是人思维的抽象及概括，与实际事物截然不同。虽然思考抽象事物比思考具体事物困难的多，但数学的抽象概括却给人类带来了最大的好处：研究对象一般性及所得结论的普适性。

演绎推理与抽象概括相结合初步形成了数学理性思想。希帕索斯发现不可通约量后，人们开始认为感性认识是不可靠的，只有理性认识才是可靠的，并且渐渐地把演绎推理作为检验数学真理的必经途径之一。

3．数学理性思想的教育功能

理性思想是数学对人类文明的最大贡献。数学理性思想的教育可以使人类看到理性的力量，增强利用思维推理获得成功的信念。提高思维的严谨性、抽象性、概括性、深刻性，养成重视理论、勤于思考的习惯。其中的公理化思想还能培育法制观念和法制社会。

六、进行“数学思想”教育研究的相关建议

笔者认为，“数学思想”教育研究可分为基础研究和普及研究两方面。基础研究包括：如何从数学认识论和数学实践中发掘“数学思想”的内涵、特点，如何从数学史、数学家传记中发掘“数学思想”的巨大作用和典型事例等。笔者相信，只要我们将上述基础研究和普及研究有机结合，就一定会使“数学思想”的教育取得长足的进步，也一定会使“数学思想”的教育获得突破性飞跃。

【摘要】本文阐明了“数学思想”教育研究的重要意义，介绍了“数学思想”的分类，详细地论述了三种“数学思想”的内涵、特点和教育功能，提出了“数学思想”教育研究的相关建议。

【关键词】数学理性思想数学求真思想数学创新思想

参考文献：

[1]马忠林，郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1996.

数学思想论文范文篇2

关键词：算经十书，传统数学思想，新理解

Abstract:Exploringandstrivingfortheconstantlyimprovingmethodsandtechniquesofcalculation,stressingtheexplicitthinkingbasis,andconcentratingonitsflexibleandwideapplicationisthepithofthemathematicideasofSuanjingshishu,thethreadofwhichisadvancingalongtheexploration,improvementanddevelopmentoftuibu(thescienceofcalculatingtheastronomiccalendar).Itcombinescalculationwithanalogy,andthus,formsitsuniquetraditionalstyleandmethod.

KeyWords:SuanJingShiShu,TraditionalMathematicalThinking,newunderstanding

在世界科学史中，中国传统数学是一颗灿烂的明珠。在中国传统数学中，“算经十书”是典型的代表。所谓“算经十书”，指的是中国十部古算书：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》（元丰年间已失传，后来以《数术记遗》代之）、《缉古算经》。唐代时期，国子监内设算学馆，置有博士、助教，指导学生学习数学，规定这十部书为课本。许多人为这十部算书作注释，作增补删改，历代华夏子孙学习它，研究它，中国数学也因它而形成自身的传统并将此传统继承和发扬。“算经十书”就其内容来说，属于初等数学；就其数学思想和数学方法来说，则是十分高深的。下面，我们阐述其数学思想。

1.探索和追求精益求精的计算方法和技巧

就数学内容而言，“算经十书”以善于计算而见长，并且这一长足的发展还被推进到让世界其他各国都望尘莫及的地步，这已是中外中算史家的共识。“算经十书”能如此辉煌耀目，是跟它着力探索和追求精益求精的计算方法和技巧分不开的。

“算经十书”中最早的一种《周髀算经》，其第一章叙述了西周开国时期（约公元前1100年）周公与商高的一段问答。从这段问答中，我们可以见到我国早期数学思想的一些初步端倪。当周公问商高“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？”时，商高答道：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。”接着，商高还说：“故折矩以为句广三，股脩四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”这里，我们可以清新地见到，我们祖先在早期“定天下”、“治天下”时，已经看到了数学的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些数学知识的人（如高商），是注意数学思想和数学方法的。比如，我们从上述商高答问中，就可以看到，古人理解“数之所由生”，是将形与量结合起来考察的。圆和方都是形，而形是有数量关系的，从考察形可以探讨到“数之法”，但这形中又包含着丰富的数量关系，特别是平方关系（九九八十一）。数之法是从圆形和方形开始的。圆是内接正多边形经过无数次的倍边之后所得到的正多边形的极限（我国最早的极限思想，是不是来自于这种“圆出于方”的观念，希望读者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以说方出于矩。矩形的面积又不外于二数相乘，也就是说，要算出来。我国古代算法好凭口诀，而乘法口诀是从“九九八十一”起的，古人用“九九”作为乘法口诀的简称，故有“矩出于九九八十一”。这里所包含的用数的性质来研究形的性质的思想，与古希腊的数学思想旨趣相映。古希腊的毕达哥拉斯定理：a2+b2=c2。而当a=b=1时，则

c=，这既不是自然数，也不是自然数之比，所以不能是可接受的正常的数，被称为无理数，导致了第一次数学危机，从此古希腊数学发展的方向产生了大改变，“几何化”占了主导地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”这个勾股定理（也称勾股弦定理、商高定理），是从“折矩”而来然后得“积矩”的，3，4，5及其平方的关系可以体现出勾股定理，但中国并没有由此而产生数学危机，也没有发生发展方向的大改变，反而为“几何代数化”[2]这个中国传统数学发展主导方向奠定了很好的基础。中国早期讲究以算的方法去解决实际数学问题，是“数之所由生”的重要思想。

在古代，不管是西方国家或中国，数学的发展都跟勾股定理结下不解之缘，这不是偶然的历史巧合，而是不同渊源和发展脉络的科学认识的一种必然交汇，其原因是由人们的实践活动决定的。作为人类早期的数学研究活动，很自然地会碰到考察形的性质及数量关系，直角三角形成为关注的对象是在情理之中。正如赵爽所说的，早期先人们（如大禹）能掌握有关的数学知识是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思维方式会导致数学发展的不同朝向，至少在初等数学领域内是存在的。古希腊在数、形简单和谐的观念被打破之后发生大转向，从重算发展到重证，发展到重视几何证明，往后的趋势就是有了这种发展趋势和成果的集大成标志——欧氏几何的产生，它是西方国家初等数学体系确立的标志，而中国此时并不发生方向的大改变，而是沿着算的道路继续前进，往广度和深度上延伸发展，导致的是中国传统数学体系的形成——《九章算术》的出现。《九章算术》中有许多具有世界意义的成就，如负数计算、分数计算、联立一次方程解法等，正是沿着探索计算的方法和技巧前进的结果。可贵的是，我们的祖先在此数学思想的指导之下，并不以原有的结果为满足，没有停留在原有的水平上裹足不进，而是精益求精地深入下去。如《九章算术》246道题，有解题方法202“术”，在当时有如此辉煌成绩已难能可贵，但三国魏晋时期的刘徽，就在《九章算术》的基础上，仔细作注，不但为《九章》提供了系统的理论依据，而且大力向前推进，提出了许多创见，将探讨和讲究精益求精的计算方法和技巧这种数学思想，提到一个更高的水平，并对后世的发展带来了深刻的实际影响，如他发现的割圆术，为后来祖冲之求得更精确的π值奠定了基础，唐李淳风注《九章算术》时说：“刘徽特以为疏，遂乃改张其率，但周径相乘数难契合。祖冲之以其不精，就中更推其数。”刘徽本人告诫人们他所得到的“徽率”太小，后人也正是沿着刘徽的思想方法再继续前进，将π值愈推愈精确。在求积问题上，刘徽也有突破，他提出了推求球体积的著名的“牟合方盖”理论，之后，祖暅在刘徽研究的基础上，精益求精，得到了闻名于世的“祖暅定理”，并具体求出了“牟合方盖”。这长江后浪推前浪，一浪更比一浪高的中国高超的算法技巧，正是在一条清晰的传统思维途径――探索和讲求精益求精的计算方法和技巧中进行和取得成就的。如《张丘建算经》自序中这样写道：“其夏侯阳之方仓，孙子之荡杯，此等之术皆未得其妙。故更造新术推尽其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一层楼，就是《张丘建算经》的数学指导思想，正是在此思想的指导之下，出现了举世闻名的“百鸡问题”。

2．讲究明确的思想依据

数学思想研究的是数学产生和发展的思想方法和思想依据。“算经十书”不仅在数学知识上光彩耀目，在数学思想上也独树一帜，其显著的特点是对于作为每项有意义的数学成果，都讲究其明确的思想依据。

刘徽精细地注释了《九章算术》，从而确立了中国传统数学理论体系。刘徽的数学思想和方法，对后世影响极深。如王孝通在《上缉古算经表》中云：“徽思极毫芒，触类增长。”说刘徽的思想方法是“一时独步”。而刘徽对自己所接触和研究的数学，是十分讲究明确的思想依据的。“算经十书”中有二部与他密切相关。《九章算术》由于有了刘徽注，从此中国传统数学有了自己的理论体系；他在注《九章算术》时补撰“重差”，其单行本即《海岛算经》。刘徽注《九章算术》时，十分讲究数理之道要有明确的思想依据。在《九章算术》注原序中，刘徽说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”在“圆田术”注中，刘徽写道：“不有明据，辩之斯难”，于是，他在创造“割圆术”的同时，还告诉人们此种创造是有依据的：“谨接图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬。故置诸检括，谨详其记注焉。”在“开立圆”（由球的体积以开立方的方法求其直径）注中，刘徽创立了“牟合方盖”理论，他不仅介绍了有关方法，而且还言明思想依据，“互相通补，……观立方之内，盒盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。”但他又担心依据不足，惟恐理法相违，专门作了交待，以待后人获得更严密的依据：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者”。从中我们不仅见到先哲们对探讨数理的思想依据的重视，也深深领悟到他们治学严谨的高尚风范。在谈到将割圆术作为解决有关极限问题的工具时，刘徽也阐述了其思想依据：“数而求穷之者，谓以情推，不用算筹”（“阳马术”注）。意思是说，数学中凡解决有关无穷之类问题时，不必用算筹去计算，应当用数学思想去把握。再拿《海岛算经》来说，刘徽为什么要写《海岛算经》呢？其思想依据是什么?在《九章算术》刘徽注原序中，刘徽清楚的说明“苍等为术犹未足以博尽群数也”，于是“辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下”，“以阐世术之美”。而造“重差”此术的思路是：要测量不可到达目的物的高和远时，一次测望不够，于是采用二次测望、三次测望、四次测望，即“度高者重表，测深者累矩”（“重表”或“累矩”就是用表或矩测望两次）、“孤离者三望”、“离而又旁求者四望”。更为深刻的是，刘徽并不是勉强、被动地去考究数学知识之思想依据的，他认为数学思想与数学知识之间本身具有非常紧密的联系，他用庖丁解牛来阐述此层道理：“更有异术者，庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数犹刃也，易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤”（《九章算术》方程术注）。

自刘徽之后，“算经十书”的著者都较注意阐述算理要有明确的思想依据，如四库总目提要中称：《张丘建算经》之体例，皆设为问答，以参校而中明之，简奥古质，与近求不同，而条理精密，实能深究古人之意。正因为此书注意讲究数学的思想依据，因而对掌握数学知识的来龙去脉很有益处，“故唐代颁之算学，以为专业”。就是在我国近年的中学数学课本中，还列有《张丘建算经》的题目。

此外，“算经十书”中关于数学证明的部分，也讲究要有明确的思想依据。[3]

3.着力于灵活和广泛的应用

中国传统数学十分着力于灵活和广泛的应用。拿“算经十书”最早的一部《周髀算经》来说，东汉末至三国时代的吴国人赵爽曾对《周髀算经》逐段进行详细的注释。在赵爽注释中有这样写道：“禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏垫之厄，使东注于海而无侵逆，乃句股之所由生也。”又据《史记•夏本纪》记载，大禹治水时，“陆行乘车，水行乘舟，泥行乘撬，山行乘撵，左准绳，右规矩。”赵爽的注释和《史记》的记载（山东五梁祠画像石中有幅大禹治水图）都说明了我国早期注意从实践中提炼数学知识并将掌握的数学知识应用到实践中去。《周髀算经》中记载的“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。环矩以为圆，合矩以为方”都充分体现了将数学知识（包括数学器具）着力于在实践中应用的思想。我国是一个农业古国，田地面积的量法极需要数学为它提供手段，储囤粮食、建筑城墙、开沟挖渠等都需要有计算体积的方法，如求方田、广田、圭田……的面积，求城、……的体积，都十分需要有一定的数学工具为人们提供解决问题的手段。我国古代很早就推行按亩收税、两税法的赋税制度，兑换、分配的需要以及工商业的发展，促进和加强了将数学知识应用于实践。再从中国封建统治者来看，他们也极需要精确地计算田亩面积，合理安排赋税，来发展封建社会的经济，巩固封建王朝的统治。特别是天文历法，它对于历代统治者来说，都是至关重要的，似乎它就是封建王朝统治者兴衰的象征。封建统治者需要颁布历法，历法的制定又离不开数学。因此，在古代中国，不管是“民间”或“官方”，都要求数学研究与实践经验相结合。《周髀算经》旨在阐明宇宙结构学说“盖天说”；《九章算术》九个章都与实践紧密相关；《海岛算经》用以解决测量推算远处目的物的高、深、广、远问题；《孙子算经》所选的大部分都是解决实际情况的应用题；《夏侯阳算经》引用当时流传的乘除捷法，为的是要解决日常生活中的应用问题；《张丘建算经》上、中、下三卷，大部分都是涉及到解决测望、方圆幂积、商功、均输、方田等现实的实际问题；《五曹算经》分别叙述计算各种形状的田亩面积、军队给养、粟米互换、租税、仓储容积、户调的丝帛和物品交易，即所谓的田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹等五曹的应用问题；《五经算术》则是力图将古代经籍的注释中有关数字计算的知识与历法、乐律的研究结合起来，另有旨趣；《数术记遗》中载有运用数学知识解决实际问题的数学器械，如积算、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数等。这些，非常雄辩、实在地体现了我国传统数学思想的鲜明特色。

中国传统数学十分着力于灵活和广泛的应用的显著特点是边讲究算法边探讨应用，把精益求精的算法和灵活广泛的应用紧密结合起来，从而推动数学的进一步发展。以王孝通的《缉古算经》为例。《缉古算经》（公元630年左右）是“算经十书”中最晚问世的一部，也是最难的一部。书中涉及到的问题相当复杂，20道题中除了第一题是关于历法的之外，其余各题都是关于土木工程、仓库容积以及勾股定理的应用问题，王孝通解决它，多数用到三次方程。《缉古算经》是世界上最早提出三次方程代数解法的书，具有世界意义。王孝通的工作，从一个方面体现了当时我国数学研究已达到了相当高深的水平。英国李约瑟说：“三次方程最早是在《缉古算经》中发现的，这部书问世的年代肯定是在公元625年前后。像往常那样，这些方程是从工程师、建筑师和测量人员的实际需要产生的”[4]著名的日本数学史家三上义夫也说过：“唐王孝通之《缉古算经》，使用三次方程式以解各种问题。……中国成立三次方程式，乃在阿拉伯之前；而由术文推得之方程式解法，亦与发达于阿拉伯者全不同也。”[5]王孝通研究三次方程所得到得成果，比阿拉伯人（10世纪之后）和意大利的斐波那契（13世纪）都早得多。《缉古算经》中最重要的部分是关于堤坝求积问题的，我们可以把王孝通的方法称为“堤积术”，“堤积术”是王孝通一生最得意的创作，此书送呈朝廷时，王孝通请求召集能算之人，考究其得失。“如有排其一字，臣欲谢以千金。”隋、唐时期，运河的开凿，桥梁的兴修，大规模的城市宫殿、寺院的建造，以及天文历法的改进，都出现了大量比较复杂的计算问题，时代的需要对于数学知识和计算技能提出了比过去更高的要求。而王孝通能创立解决这些问题的“堤积术”，正是他把探讨应用和讲求算法结合起来的结果。他潜心苦钻，结合当时土木工程中出现的大量实际问题，尽力探索有效的解决办法，他说：“伏寻《九章•商功篇》，有平地役功受袤之术。至于上宽下狭、前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同邪之用。斯乃圆孔方柄，如何可安？”解决土方计算等问题，《九章》商功章中早有述及，但他认为“旧经残驳，尚有缺漏”，商功章中虽有“平地役功受袤”之术，但对于上宽下狭、前高后低等各种情况，还应当探求新的方法给予正确解决，这才导致“堤积术”的诞生。王孝通是通过对当时土木工程中的数学进行了一番的研究和总结，才写出《缉古算经》。

4．对中国传统数学思想的新理解

一般说来，传统是指世代相传、具有特点的社会因素，如思想、道德、作风、艺术、风俗、制度等。而人们习惯于把古代的、民族的东西归为是传统的，或把传统看作是本民族古代产生和存在的东西。实际上，我们应当用发展的、辩证的眼光看待传统。某种东西既称为传统的，或称为具有传统性意义的东西，那么它就有延续之意。传统本身就是在一定的时间、空间中产生，由时间、空间积淀的，并且这空间是开放的，时间是延续下来的。对于之后的来说，之前的往往由于它们某些共同的属性整合在一起就构成传统，或使原有的传统采用旧方式或新方式再延伸开来。当然，也会有传统中断或传统消失。同时还应当看到，传统本身就是惰性，唯有弘扬和发展得起来的才具有活力。因而，能与时俱进的传统，堪称绝佳之传统。

综上所述，可以说，“算经十书”已构成了具有中华民族自身特色的传统数学思想，并且由于这传统的延续使得其思想精粹愈加灿烂。中国古代数学及数学思想，自春秋战国到西汉中期确立了体系之后，一直到唐朝，基本上使沿着《九章算术》这条主线传统式地发展的，在这期间，由于生产水平的提高和科学技术的进步，数学和数学思想也不断得到提高，《九章算术》的数学体系得到充实、丰富和发展，也出现了不少超出《九章算术》范围的研究成果。到了宋元时代，我国传统数学达到鼎盛时期，走在世界数学的前列。从《九章算术》多元一次联立方程组的解法，到天元术，再到朱世杰《四元玉鉴》四元高次方程组的解法；内插法从汉代的一次内插法，推进到等间距二次内插法、不等间距二次内插法、三次内插法；从《九章算术》的“王家共井”（不定方程）、《孙子算经》的“物不知数”（中国剩余定理），到秦九韶的“大衍求一术”（一次同余组）；后来，在高阶等差级数求和上，从“隙积术”，到“招差术”，再到“垛积术”，特别是“尖锥术”，都具有世界意义，这意味着“中国数学也将会通过自己特殊的途径，运用独特的思想方式达到微积分，从而完成从初等数学到高等数学的转变。实际上，在西方，牛顿和莱布尼茨也是通过各自不同的途径，几乎同时达到微积分的思想的。”[6]这些，都是传统数学、数学思想和方法的延伸和发展，都是“算经十书”数学思想精粹的发扬光大。中国传统数学思想是在漫长的岁月中，吸收了从古代到近代各个不同时期的社会发展和社会变革形成的文化因素和思想因素，新旧相互作用，内外（外来的）相互碰撞，延绵伸展开来的。

中国传统数学思想具有显著的民族性特征。我国传统数学是沿着注重从实践经验中产生和发展数学的思维方式发展数学的，擅长于算，运算主要以算筹作为工具。这与西方许多国家发展数学的道路是不同的。中国传统数学思想有着自己的渊源和模式，有其之长，也有其之短。在初等数学领域之内，正是这种传统数学思想把我国数学推向世界的最高峰，许多国家与我国相比，望尘莫及。但是，这种状态是很有限的。1303年，朱世杰出了著名的《四元玉鉴》之后，我国数学出现了停滞。“中国数学经过许多世纪的高涨之后，从14世纪中叶开始了停滞的时期。”[7]“朱世杰（1303）之后，我国数学突然出现中断的现象。”[8]“在1400年间到1500年间，几乎没有一部值得注意的著作。”[9]“自明初至清初，约当公历1367年迄1750年，前后凡四百年，……是称中算沉寂时期。”[10]“以致金元之际的数学名著大都失传，四百年中竟无人能了解增乘开方法和开元术。”[11]这样的事实不得不使今天的人们进行深刻的反思。国人悟出的其中的一个道理是：继承和发展中国传统数学思想，“纯粹的”民族传统是不行的，要面向世界，面向现代化。

面对现代化，弘扬我国传统科学思想，推进科学向前发展，这是摆在我国科学工作者和哲学社会科学工作者面前光荣而艰巨的任务。“面对新世纪新发展，我国科技界的使命是：全面贯彻‘三个代表’要求，坚持实施科教兴国战略，大力推进科技创新，努力为我国先进生产力和先进文化的发展，为维护和实现我国最广大人民的根本利益不断贡献智慧和力量。”[12]“要大力加强对各门传统学科的研究，大力加强各门新兴学科和交叉学科的研究，大力加强各门学科的理论和体系的建设，大力加强各门学科的方法和手段的建设”[13]。如何正确认识和处理好中国传统数学思想及其现代化，并且在实践中真正弘扬中国传统数学及数学思想，积极面对和解决当代现实问题，我国科学工作者实际上已经走出了一条很好的路子，这就是将中国传统数学思想精粹同高新科技结合起来，在实践中摸索出能在我们底子比较雄厚、根基较为扎实、擅长发挥优势的生长点上进行创新。例如，我国“战略数学家”吴文俊教授，在弘扬中国传统数学及数学思想上，做出十分杰出的贡献。他深入地钻研和了解了中国传统数学思想，并且在此基础上有着出色的创新。前已论及，在中国传统数学中，有个显著的特点就是擅长于计算。而计算有它明确的要求，必须把研究对象数量化，同时要建立运算法则。中国传统科学凭借其显著特点，不但在宋元时期把算术和代数推向当时世界的最高峰，而且以一种独特的方式在某种程度上起着数学证明的作用，发挥“算”“证”交互作用推动数学发展的效能。这种传统特征蕴涵着十分深邃的思想精髓。我们知道，在数学研究中，存在着计算和证明这两种不同的手段和风格。一般说来，“算”是把研究对象数量化，遵循一定的规则，按照一定的程序，经过操作，比较机械地得出某种数学结果；而“证”则是要以某些命题作为前提，根据定义和已有的定理，遵循逻辑推理的规则，经过操作，实现概念与关系之间的转换而得出某种数学结果。证和算是相辅相成、互相联系、彼此补充的，它们在一定条件下也可以转化。中国传统数学擅长计算的特点之所以不但能发挥数学运算的效能，而且在某种程度上还可以起到数学证明的效能，关键就在于它有比较固定的规则和确定而有条理的程序。中国古算书中丰富多彩的术文，给出了许多解决数学问题的十分清楚的规则和确定而有条理的程序，虽然不是以公式的形式出现，但对解决问题具有普遍的方法论意义。并且，有的方法按照一定的新规则和新程序继续操作下去，还可推广开来（如把“增乘开方法”推广到开任意高次方，可以得出高次方程的数值解法）。它给人们进行数学研究提供了一种很有价值的思路，即：在数学操作过程中，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样就可以延着一条有规律的、逻辑的道路进行下去。实质上，着就是数学问题的机械化，

我国传统数学擅长计算的特点，恰恰是数学问题的机械化的内在机制：确定而有条理的程序保障了数学操作的下一步是“确定的”，固定的运算法则保障了数学操作的下一步是“必须选择的”。我国数学家吴文俊说“中国的古代数学基本上是一种机械化的数学。”[14]这条思路所开辟的前景是十分广阔的。固定的运算法则和明确的操作程序化，十分方便在计算机上施行。把线性方程的求解过程规范化、程序化后，让电子计算机来实现这机械化了的数学问题，在几分钟内就可以求出一个未知数多至上百个线性方程组的答案来，这对现代化建设意义十分重大。这种内在机制给人带来一个十分有趣的念头：能否用机械化方法进行数学证明？也就是说，能否用计算机的“算”来“证”呢？数理逻辑诞生之后，可以把概念形式化和量化，使之纳入逻辑关系的演算。美国王浩先生用计算机证明了《数学原理中的几百条定理，哈肯等人也用计算机证明了四色定理。但是要真正能够体现机械化定理证明，进而实现机器证明，任务还很艰巨。数学证明灵巧性大，难度也很大。把这方面的困难用另一种方式来换取它，即用繁杂的量的运算来取代，利用计算机去完成繁杂的量的运算，这是定理证明机械化的基本思路。换句话说，其基本途径是从公理化出发，通过代数化，达到机械化。比如，初等几何主要一类定理证明的机械化，可以分为这样两步：第一步是引进坐标，然后把需证定理中的假设与终结部分都用坐标间的代数关系（多项式关系）来表示。第二步是通过代表假设的多项式中的坐标逐个消去。如果消去之后结果能为零，这表明定理正确。即用多项式的消元法这种验证的方式来证明定理。两步都可以机械化地进行。我国数学家吴文俊等人采用这条途径，首先证明了初等几何主要一类定理的证明可以机械化，后来又证明了初等微分几何中主要的一类定理证明也可以机械化。可见，中国传统科学思想在现代科学中仍具有很强的生命力，它为现代科学研究提供了一些重要的思路。吴文俊教授深有感叹地说：“我们是在中国古代数学的启发下提出问题并想出解决问题办法来的。”[15]当然，这里不能简单地“复古”回归，而是要把思想加以发展，比如，吴文俊教授采用的是中国产的长城203台式计算机，而不是古代的算筹。第24届国际数学家大会于2002年8月20日起在北京举行，吴文俊院士作为本届大会主席在接受新华社记者专访时表示，中国不仅要振兴数学，更要复兴数学，重视古代数学的辉煌。他说：“我一直推崇中国的古代数学。”[16]传统具有惰性、延伸性和精粹隐藏性，发掘和弘扬优良传统可重现古代数学的辉煌，具有现实意义。科学思想是科学产生、发展的思想依据和思想方法，也包括科学成果所蕴涵的思想精髓。面对现代化，挖掘和弘扬中国传统科学成果所蕴涵的思想精髓，任重道远。

参考文献

[1]莫绍揆.数学三次危机与数学逻辑[J].自然杂志，1980.6.

[2]郭金彬、李赞和.中国数学源流[M].福州：福建教育出版社，1990.180.

[3]郭金彬.中国传统数学证明的方式[J].福建师范大学学报，1993.1.

[4][9]李约瑟.中国科学技术史第三卷数学[M].北京：科学出版社，1978.79,111.

[5]三上义夫.中国算学之特色[M].北京：商务印书馆，1929.34.

[6]杜石然等.中国科学技术史稿下册[M].北京：科学出版社，1983.253-254.

[7]尤什凯维奇.中国学者在数学领域中的成就[J].数学进展，1956年2卷2期.277.

[8]梁宗巨.世界数学史简编[M].沈阳：辽宁人民出版社，1980.455.

[10]李俨.中国算学史[M].北京：商务印书馆，1957.142.

[11]钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社，1964.276.

[12].全面贯彻“三个代表”要求，大力推进科学技术创新——在中国科学院第十一次院士大会和中国工程院第六次院士大会上的讲话[R].新华社电，2002.5.28.

[13]孙承斌.在考察中国社会科学院时发表重要讲话强调，大力加强我国哲学社会科学建设，为有中国特色社会主义事业服务[N].光明日报，2002.7.17.

数学思想论文范文篇3

一、端正渗透思想更新教育观念

纵观数学教学的现状，应该看到，应试教育向素质教育转轨的过程中，确实有很多弄潮儿站到了波峰浪尖，但也仍有一些数学课基本上还是在应试教育的惯性下运行，对素质教育只是形式上的“摇旗呐喊”，而行动上却留恋应试教育“按兵不动”，缺乏战略眼光，因而至今仍被困惑在无边的题海之中。

究竟如何走出题海，摆脱那种劳民伤财的大运动量的机械训练呢？我们认为：坚持渗透数学思想和方法，更新教育观念是根本。要充分发掘教材中的知识点和典型例题中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，大胆探索，会一题明一路，以少胜多，这才是走出题海误区，真正实现教育转轨的新途径。

二、明确数学思想和方法的丰富内涵

所谓数学思想就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是数学思想的具体表现形式，是实现数学思想的手段和重要工具。数学思想和数学方法之间历来就没有严格的界限，只是在操作和运用过程中根据其特征和倾向性，分为数学思想和数学方法。一般说来，数学思想带有理论特征，如符号化思想，集合对应思想，转化思想等。而数学方法则具有实践倾向，如消元法、换元法、配方法、待定系数法等。因此数学思想具有抽象性，数学方法具有操作性。数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。

不同的数学思想和方法并不是彼此孤立，互不联系的，较低层次的数学思想和方法经过抽象、概括便可以上升为较高层次的数学思想和方法，而较高层次的数学思想和方法则对较低层次的数学思想和方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想方法来实现自身的运用价值。低层次是高层次的基础，高层次是低层次的升级。

三、强化渗透意识

在教学过程中，数学的思想和方法应该占有中心的地位，“占有把数学大纲中所有的、为数很多的概念，所有的题目和章节联结成一个统一的学科的核心地位。”这就是要突出数学思想和方法的渗透，强化渗透意识。这既是数学教学改革的需要，也是新时期素质教育对每一位数学教师提出的新要求。素质教育要求：“不仅要使学生掌握一定的知识技能，而且还要达到领悟数学思想，掌握数学方法，提高数学素养的目的。”而数学思想和方法又常常蕴含于教材之中，这就要求教师在吃透教材的基础上去领悟隐含于教材的字里行间的数学思想和方法。一方面要明确数学思想和方法是数学素养的重要组成部分，另一方面又需要有一个全新而强烈地渗透数学思想方法的意识。

四、制定渗透目标

依据现行教材内容和教学大纲的要求，制订不同层次的渗透目标，是保证数学思想和方法渗透的前提。现行教材中数学思想和方法，寓于知识的发生，发展和运用过程之中，而且不是每一种数学思想和方法都能象消元法、换元法、配方法那样，达到在某一阶段就能掌握运用的程度。有的数学思想方法贯穿初等数学的始终，必须分级分层制定目标。以在方程（组）的教学中渗透化归思想和方法为例，在初一年级时，可让学生知道在一定条件下把未知转化为已知，把新知识转化为已掌握的旧知识来解决的思想和方法；到了初二年级，可根据化归思想的导向功能，鼓励学生按一定的模式去探索运用；初三年级，已基本掌握了化归的思想和方法，并有了一定的运用基础和经验，可鼓励学生大胆开拓，创造运用。实际教学中也确实有一些学生能够把多种数学思想和方法综合运用于解决数学问题之中，这种水平正是我们走出题海所迫切需要的，它既是素质教育的要求，也本文的最终目的。

五、遵循渗透原则

我们所讲的渗透是把教材中的本身数学思想和方法与数学对象有机地联系起来，在新旧知识的学习运用中渗透，而不是有意去添加思想方法的内容，更不是片面强调数学思想和方法的概念，其目的是让学生在潜移默化中去领悟。运用并逐步内化为思维品质。因而渗透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具体、由特殊到一般的渗透原则，使认识过程返朴归真。让学生以探索者的姿态出现，在自觉的状态下，参与知识的形成和规律的揭示过程。那么学生所获取的就不仅仅是知识，更重要的是在思维探索的过程中领悟、运用、内化了数学的思想和方法。

六、探索并掌握渗透的途径

数学的思想和方法是数学中最本质、最惊彩、最具有数学价值的东西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的数学思想和方法都呈隐蔽式，需要教师在数学教学中，乃至数学课外活动中探索选择适当的途径进行渗透。

1．在知识的形成过程中渗透

对数学而言，知识的形成过程实际上也是数学思想和方法的发生过程。大纲明确提出：“数学教学，不仅需要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。”这一思维过程就是思想方法。传授学生以数学思想，教给学生以数学方法，既是大纲的要求，也是走出题海的需要。因此必须把握教学过程中进行数学思想和方法渗透的契机。如概念的形成过程，结论的推导过程等，都是向学生渗透数学思想和方法，训练思维，培养能力的极好机会。

2．在问题的解决过程中渗透

数学的思想和方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。数学的思想和方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。教学大纲明确指出：“要加强对解题的正确指导，要引导学生从解题的思想和方法上作必要的概括”，这就是新教材的新思想。其实数学问题的解决过程就是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，这既是渗透的目的，也是实现走出题海的重要环节。渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到，会一题而明一路，通一类的效果，打破那种一把钥匙开一把锁的呆板模式，摆脱了应试教育下题海战的束缚。通过渗透，尽量让学生达到对数学思想和方法内化的境界，提高独立获取知识的能力和独立解决问题的能力，此时的思维无疑具有创造性的品质。如化归的数学思想是解决问题的一种基本思路，在整个初等方程及其它知识点的教学中，可以反复渗透和运用。

3．在复习小结中渗透

小结和复习是数学教学的重要环节，而应试教育下的数学小结和复习课常常是陷入无边的题海，使得师生在枯燥的题海中进行着过量而机械的习题训练，其结果是精疲力尽，茫然四顾，收获甚少。如何提高小结、复习课的效果呢？我们的做法是：遵循数学大纲的要求。紧扣教材的知识结构，及时渗透相关的数学思想和数学方法。在数学思想的科学指导下，灵活运用数学方法，突破题海战的模式，优化小结、复习课的教学。在章节小结、复习的数学教学中，我们注意从纵横两个方面，总结复习数学思想与方法，使师生都能体验到领悟数学思想，运用数学方法，提高训练效果，减轻师生负担，走出题海误区的轻松愉悦之感。

4．在数学讲座等教学活动中渗透

数学思想论文范文篇4

一、对中学数学思想的基本认识

“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。

通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。

关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。

属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构中特定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。

从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。

二、数学思想的特性和作用

数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

(三)数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。

三、数学思想的教学功能

我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。

(一)数学思想是教材体系的灵魂

从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。

(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想

笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。

(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证

数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。

有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，就是学生知识结构，思维方法形成的清晰程度和他们参与思维活动的深度和广度。我们可以从“新、高、深”三个方面来衡量一堂数学课的教学效果。“新”指学生的思维活动要有新意，“高”指学生通过学习能形成一定高度的数学思想，“深”则指学生参与到教学活动的程度。

数学思想论文范文篇5

在数学教学中，怎样寓知识、技能、方法、思想于一个统一教学过程中，是数学教学的重要课题。由于数学的高度抽象性、严谨的逻辑性、结论的确定性以及应用的广泛性这些特征，决定了数学教学的难度。如果教师只是注重单纯地传授知识，而不注重学习方法的指导和能力的培养，学生就会跟在老师的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死记硬背。听老师讲时还会，自己做时就错，临到考时就蒙，这样下去是越来越糊涂。所以，要使学生变书本知识为自己知识，就必须学会学习知识的方法。下面就其怎样使学生在原有知识基础上学习新知识的方法谈些教学体会。

新知识的获得，离不开原有认知基矗很多新知识都是学生在已有知识基础上发展起来的。因此，对于学生来讲，学会怎样在已有知识的基础上掌握新知识的方法是非常必要的。这就需要教师在教学中精心设计、抓住知识的生长点、促进正迁移的实现。

例如，在研究多边形内角和定理时，可向学生提出：我们已经知道三角形的内角和等于180°，那么，你能根据三角形的内角和求出四边形的内角和吗？这样简单、明了的一句话就勾通了新旧知识间的内在联系。问题的提出，激发了学生学习的兴趣，促使了学生思维的展开，提供了回答问题的机会，创造了活跃的教学气氛，学生会准确地回答出四边形的内角和等于360°。又问：你是根据什么说四边形的内角和等于360°呢？是猜想的？还是推理得到的？学生的回答是作四边形的对角线，将四边形分为两个三角形，而每个三角形的内角和等于180°，两个三角形的内角和等于360°。教师马上对学生的回答给以肯定和鼓励，再问：五边形、六边形的内角和等于多少度？学生很快就会回答出五边形的内角和等于540°，六边形的内角和等于720°。接着又问：你知道十边形、一百边形、一千边形的内角和是多少度吗？这是老师故意设置“知识障碍”，激发学生的求知欲望。及时引导、启发、迁移、总结规律。让学生观察、发现求四边形、五边形、六边形的内角和，都是从它们的一个顶点作对角线将它们转化为三角形来求得的，并且内角和是由从它们的一个顶点作对角线所分得三角形的个数确定的，而三角形的个数又是由这个多边形的边数确定的。从而可知从n边形的一个顶点作对角线可将n边形分成（n－2）个三角形，所以n边形的内角的和等于（n－2）·180°，即得多边形的内角和定理。这个定理的出现，是教者通过设疑、引导、启发学生思维，寻求解题方法，由个性问题追朔到共性问题，总结出了一般规律。这样做，不但使学生学会了在原有知识基础上学习新知识的方法，又培养了学生分析问题和解决问题的能力，还渗透了把多边形转化为三角形来研究的数学转化思想。

当学生在原有知识的基础上掌握了学习新知识的方法和数学的转化思想，对于诸如此类的问题就迎刃而解了。如，研究梯形中位线定理，学生很自然就会将它转化为三角形中位线来解决。对于平行四边形、梯形的问题学生也很容易就想到转化为已有知识来研究。又如，对于解二元二次方程组，学生根据已学过的解一元二次方程等知识，自然就会想到通过消元将原方程组转为一元二次方程来解之，或将二元二次方程组通过降次转化为一次方程或有一个一次方程和一个二次方程组来解决。对于分式方程要通过去分母或换元转化为整式方程来解。对于无理方程需把方程两边乘方或换元化为有理方程来解。

在数学教学中，教师只要做到精心设计教学环节，科学的提出问题，采取得体的教学方法、适时疏导，帮助学生学会用自己的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，就能够调动学生学习数学的积极性，达到开发学生智力、提高学生能力的目的。

数学思想论文范文篇6

一、对中学数学思想的基本认识

“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。

通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。

关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。

属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构中特定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。

从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。

二、数学思想的特性和作用

数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

(三)数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。

三、数学思想的教学功能

我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。

(一)数学思想是教材体系的灵魂

从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。

(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想

笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。

中学数学教学过程，实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。在这个过程中，必然要涉及数学思想的问

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(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证

数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。

有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，就是学生知识结构，思维方法形成的清晰程度和他们参与思维活动的深度和广度。我们可以从“新、高、深”三个方面来衡量一堂数学课的教学效果。“新”指学生的思维活动要有新意，“高”指学生通过学习能形成一定高度的数学思想，“深”则指学生参与到教学活动的程度。

数学思想论文范文篇7

一、联想能力的训练联想

是由一种事物的观念想到另一事物的观念的心理过程。教育心理学认为，联想既是一种记忆方法，也是一种思维能力。其种类包括纵、横向的单维联想和立体交叉式的多维联想。多维联想是指对眼前呈现的问题，从多角度进行思考以寻求问题解决的联想方法，它又包括条件的多维联想和解题方法的多维联想。例如，我们由完成与未完成工程量的比是"5∶6"这一条件，可以联想到下列可做逆推的其他条件：已完成的占总工程量的511，未完成的占总工程量的611，未完成的是已完成的115倍；已完成的是未完成的56，未完成的比己完成的多16，已完成的比未完成的少16等。此关不过，学生解分数应用题难的现状就不易解决。现在用上述条件组编一个应用题："一个建筑队20天完成一件工程的511，再干几天可以完成该工程？"我们从不同角度进行联想，可得到以下解题方案：（1）用剩下的工作量除以每天的工作效率，列式：（1－511）÷（511÷20）或（11－5）÷（5÷20）；（2）先求出完成该工程的总天数再减去已干的天数，列式：20÷511－20；（3）看剩下的工作量是已完成工作量的几倍，就有几个20天，列式：20×〔（1－511）÷511〕；（4）看已完成的工作量是未完成的工作量的几分之几，由已知一个数的几分之几是多少，求这个数的算法可列式为：20÷〔511÷（1－511）〕。进行多维联想的能力训练，要围绕一定的目的，要做到适时、适度、因人而异，要善于发现最佳解题思路，使其真正达到培养学生创造性思维的目的。

二、转化能力的训练

转化思想是数学的基本思想之一，是一种十分重要的教与学的策略。常见的转化思维方法有量的转化、式的转化、类比转化等，考虑到数学的研究对象--数与形，在教学中有意识地对学生进行数形转化能力的训练就显得尤其重要。所谓数形转化观是把数、形问题从一种表示形态转化成另一种表示形态或数形相互转化的思想和方法。从这一表述可以看出，数形转化有数的转化、形的转化和数与形的相互转化三种具体形态。数的转化要通过恒等变形，借助数的分解、变换数的位置或对数进行重新调整组合以及利用相关关系等方式进行。如，0．25根据需要可转化为25％，可以转化为14，还可以转化为1∶4。

通过数的转化可使运算过程简单明了，达到计算对、快、巧的要求。形的转化要通过割、补、拼等操作技能，主要借助等积变形来实现转化。既可以把整体转化为部分，又可以把部分拼成整体。如，在推导梯形的面积计算公式时可制作转动式幻灯片进行演示，使学生清晰地看到两个全等的梯形拼补成平行四边形的方法，造成一种动态的视觉形象美，使演示过程更生动、有趣，给学生留下的印象也是深刻的。又如，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。此题若按常规解法，不但计算繁琐，而且因π取近似值，存在计算误差。若把它看成是一个以内外圆周长为上、下底，以2厘米为高的梯形，即利用"把曲线看作直线的思想"，其计算量不但减少，而且提高了答题的准确率。

数与形相互转化的着眼点在于把问题涉及的数与形结合起来综合考察，在实际解题中，既可以把数量关系问题转化为图形性质问题来处理，也可以把图形性质问题转化为数量关系问题来研究。譬如，在应用题教学中，我们根据题意将数量关系转化为线段图，借助形象化的线段图进行分析、解决问题。这样，不仅可使抽象问题直观化、具体化，提高解题的速度和准确度，而且也是发展学生形象思维的有效方法之一。

三、探究能力的训练

心理学家布鲁纳指出，探究是数学教学的生命线。重视学生探究能力的训练，要求我们要注重教学活动的过程教学。正如西南师大数学系杨泰良教授所言："教学上要求揭示的数学活动过程主要是方法论意义上的和逻辑意义上的，这更符合数学知识结构和学生认识结构......数学活动过程的教学有利于启迪和发展学生的思维，所以应是数学方法的核心。"

教学中，要有意识地创设探究情境，培养探究能力。例如，在讲"分数的基本性质"时，采用实际操作的方法，让学生按老师的要求均分课前准备好的一捆小棒（12根）。具体操作要求是：把12根小棒平均分成两份，每份是（1）（2）是（6）根；把12根小棒平均分成四份，取两份是（2）（4），是（6）根；把12根小棒平均分成六份，取三份是（3）（6），是（6）根。教师要求边操作边填空，学生通过操作（探究）发现不同分法的值相等，即12＝24＝36。这时教师可以提出一个探究性的问题：相等的几个分数的分子、分母都发生了变化，但结果没有变，这是为什么？分数的分子、分母是如何变化的？面对此问题学生一时不能回答，稍后会有同学回答说："分子增加1，分母增加2。"显然，朝增加多少的方向思考不能揭示出分数的基本性质。随后，老师将相等的几个分数的板书变化了一下，增加中间环节。如，12＝1×（）2×（）＝24；36＝3÷（）6÷（）＝12．经教师点拨，使学生产生了新的思维，认识到不是"增加"而是"扩大或缩斜，从而收到良好的教学效果。在此过程中，学生不是被动地接受现成的结论，而是自始至终参予到知识的探究之中。

教师结合教材编制一些"动脑筋"的题目，也是培养学生探究能力的重要手段。如，在学习了除数是一位数的除法后，教师可以给学生提供这样一道题：把一根木棒锯成4段，每锯断一次用2分钟，全部锯完要用多少分钟？乍看此题，学生会不加思索地回答8分钟；我们如果让学生拿纸条、剪刀进行操作、探究时，学生会惊奇地发现自己的错误，并为自己亲手探究出正确的答案而感到自豪。四、辩证思维能力的训练朱智贤教授曾指出：我们多年来对儿童思维的研究，只研究形象思维和形式逻辑思维，而不研究辩证思维。辩证思维作为抽象逻辑思维发展的高级阶段，在小学由于受小学生思维发展水平的局限，决定了不可能把辩证思维作为小学数学教学的基本要求，只能要求教师凭借对具体知识的分析与讲解浅显地把数学知识与现实事物的关系以及数学知识本身的内部矛盾予以揭示，从而渗透实践的观点、对立统一的观点、运动变化的观点等，以达到对学生进行辩证唯物主义启蒙教育的目的。

小学数学中的辩证内容很丰富，既表现为数学概念的普遍联系，又表现为数学运算的相互转化等。例如，除尽与整除反映的是数学概念间的包含关系，揭示的是一般与特殊间的矛盾性，除尽是整除的一般化，而整除则是除尽的特殊情形。而约数和倍数则是由概念整除派生出来的一对具有相依关系的概念，彼此不能独立存在。譬如，15能被3整除，15就叫做3的倍数，3就叫做15的约数，不能孤立抛开整除这一前提说15是倍数，3是约数。任何事物之间或同一事物内部各要素之间都存在着矛盾，小学数学也不例外。如，一和多、加和减、乘和除、正比例和反比例、直和曲、有限与无限等。对此，我们应用发展变化的动态的观点看待它们，而不应把这种矛盾的对立看作是僵死的、固定不变的东西。它们既对立又统一，并且依据一定的条件相互转化。对于x×y＝k，当x一定时，y与k成正比例；当k一定时，x与y则成反比例。我们从对四则运算间的关系的分析可更加清楚地看到这一点。减法与加法、除法与乘法是逆运算关系；乘法可看作同数连加，除法可看成同数连减。为了进一步说明减法与除法的转化关系，不妨试举一例说明："学校购煤30吨，用载重5吨的卡车运输，需要几趟运完？"用除法算：30÷5＝6；用减法算：30－5－5－5－5－5－56个5吨＝0。这样看来，四则运算中最基本的运算都统一到加法门下了。

数学思想论文范文篇8

美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。

第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为，“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识。就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。

第二，有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”

第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比。才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。

二、中学数学中的主要数学思想和方法

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：(1)这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；(2)符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；(3)在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多：(4)掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。

此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现。应依据具体情况在教学中予以渗透。

数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则。我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。

三、数学思想方法的教学模式

数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系。这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：操作——掌握——领悟。

对此模式作如下说明：(1)数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；(2)“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础；(3)“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；(4)“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；(5)数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些。

数学思想论文范文篇9

每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看作是一条直线，教室里每个学生的坐位等等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。

如：直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、负实数也有无数个，因为它们的这个共性所以用直线上无数个点来表示实数，这时就把一条直线规定了原点、正方向和单位长度，把这条直线就叫做数轴。建立了数与直线上的点的结合。即：数轴上的每个点都表示一个实数，每个实数都能在数轴上找到表示它的点，建立了实数与数轴上的点的一一对应关系，由此让学生理解了相反数、绝对值的几何意义。建立数轴后及时引导学生利用数轴来进行有理数的比较大小，学生通过观察、分析、归纳总结得出结论：通常规定右边为正方向时，在数轴上的两个数，右边的总大于左边的，正数大于零，零大于负数。让学生理解数形结合思想在解决问题中的应用。为下面进一步学习数形结合思想奠定基础。

-1--,--3---,---6--,----10--,--15----,--21----,---28--,--36---……-----在讲解通过形来说明数的找规律问题中应该从形中找数。如第一个图形有一个小正方形，第二个图形有三个小正方形，第三个图形有六个小正方形，那么第四个图形将有几个小正方形呢？从前三个中寻找规律，第二个比第一个多两个小正方形，第三个比第二个多三个小正方形，那么第四个就比第三个多四个小正方形，第四个图形就有十个小正方形，第五个比第四个多五个小正方形，那么第五个就有十五个小正方形，依次类推，第六个图形就有二十一个小正方形，第七个图形就有二十八个小正方形，第八个图形就有三十六个小正方形。那么上面的横线上分别填上10、15、21、28、36，第n个图形就应该有1+2+3+4+5+6……+n=个小正方形。这也体现数形结合的思想。

例2:小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。你能在下面的平面直角坐标系中画出表示父亲和母亲离家的时间和距离之间的关系吗？

结合探索规律和生活中的实际问题，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。并能在应用数形结合思想的时候注意一些基本原则，如是知形确定数还是知数确定形，在探索规律的过程中应该遵循由特殊到一般的思路进行，从而归纳总结出一般性的结论。

二、学习数形结合思想，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力

在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。

数形结合的结合思想主要体现在以下几种：

（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题;

(2)用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；

（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。

例1：一个角的补角是这个角余角的3倍，求这个角的度数。

解：设这个角为X0，则它的余角为（900-x0）,它的补角为（1800-x0）根据题意得：

1800-x0=3（900-x0）

解这个方程得：x0=450

所以这个角为450

例2：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m,宽为5m。如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?

SHAPE\*MERGEFORMAT

如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长_(8-2x)_________m,宽为___(_5-2x)________m.根据题意，可得方程

______(8-2x)(5-2x)=18_______。

解这个方程得出x的值

这就是用方程的方法来解决有关几何图形的问题

例4：A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.

1时后乙距A地120千米,

2时后甲距A地40千米.

问经过多长时间两人相遇?

［分析］可以分别作出两人s与t之间的关系图象，

找出交点的横坐标就行了。

例5：下图中L1，L2分别表示B离岸起两船相对于海岸的距离s与追赶时间t之间的关系。

SHAPE\*MERGEFORMAT

根据图象回答下列问题：

当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A。

SHAPE\*MERGEFORMAT

分析：可先根据图象给出的信息，确定L1,L2的函数表达式，然后把两个一次函数表达式组成方程组，解这个方程组就得到了两条直线的交点坐标，即为所得结论。

解：由图象知：直线L2过点（0，6）和点（10，8）直线L2过点（0，0）和点（10，6）设直线L1的表达式为s=k1t;直线L2的表达式为s=k2t+b

由以上的几个例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在学生学习过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握数形结合的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

论文关键词：思维渗透数学思想方法思维能力契合点创新意识

论文摘要：数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

参考文献：

[1]《全日制义务教育课程标准（实验稿）》。北京师范大学出版社

数学思想论文范文篇10

一、符号逻辑：“通用数学语言”

莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。（［1］，p．8）或者说，“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统，利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。在《论组合术》中，二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时，这会成为一种通用语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理；错误，除去那些事实上的错误，只会是计算上的错误。形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的，但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。”（［2］，p．123）在1679年9月8日给惠更斯的信中他又写道，有一个“完全不同于代数的新符号语言，它对于精确而自然地在脑子里再现（不用图形）依赖于想象的一切有很大的好处。……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理，这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来，因而不得不作出无穷多个无用的试验；另一方面，这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。”（［3］，p．151～152）

综合莱布尼茨零零碎碎的设想，他的宏伟规划大体旨在创造两种工具：其一是通用语言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除现存语言的局限性和不规则性，使新语言变成世界上人人会用的具有简明符号、合理规则的语言，规定符号的演变规则与运算规则，使逻辑演变依照一条明确的道路进行下去，进而解决所有可用语言表达的问题。

为此，莱布尼茨做了两方面的努力：一是寻找能够代表所有概念并可认作最根本的不可分析的符号；二是给出表述诸如断定、合取、析取、否定、全称、特殊、条件联结等形式概念的设计。关于第一方面，莱布尼茨首次设想用数目代表原初概念，而逻辑演算则用如同算术中的乘或除来代替。他认为用这种数字的不同方式排列组合，进行各种运算，就可产生无穷多的复合概念。这一思想后来改进为以素数代表基本概念，而复合词项即可借分解相应的数字成为它们的素数因子来加以分析。以“人是理智动物”为例，用素数“3”代表“动物”、“5”代表“理智”，则“人”即以“15＝3．5”代表。为了更好地构设“通用语言”，莱布尼茨又以设想的“人类概念字母表”为语言词汇基础创制了一些逻辑符号，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下来。

关于第二方面，莱布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三个年代为标志划分为三个阶段。（［4］，pp．271～273）

第一阶段，莱布尼茨改进从数字代替概念以其演算，代之以对普通命题经验分析为基础的代数逻辑。他以全称肯定命题“a是b”的形式开始，提出五条基本演算规则：（1）ab是ba（交换律）；（2）a是aa（重言律）；（3）a是a（同一原则）；（4）ab是a或ab是b（化简原则）；（5）如a是b且b是c，则a是c（传递原则）。以此为据，他证明了同一和包含两个逻辑系词之间的重要关系，即，如a是b且b是a，则a与b是同一的。进而，他又提出四个定理：（1）如a是b且a是c，则a是bc；（2）如a是bc，则a是b且a是c；（3）如a是b，则ac是bc；（4）如a是b且c是d，则ac是bd。由此可见，莱布尼茨在第一阶段的逻辑演算已相当完善和科学化，为逻辑的系统化打下了坚实的基础。

第二阶段，莱布尼茨用等式符号作系词符号，借公式A＝BY表述全称肯定命题（Y为一未确定的系数，用以修饰B而使B成为A的一部分），同时提出双重否定之为肯定，即“非非A＝A”，并由此演释出一系列定理。为了进一步发展演算，莱布尼茨还试图通过与属性组合的关系，用代数方法来描述四个直言命题，甚至对四个直言命题的表示法提出了九个方案。

第三个阶段，莱布尼茨最有价值的工作是罗列了十四个基本命题：（1）A＝A＋A“＋”表示逻辑相乘，下同）；（2）如A＝B且B＝C，则A＝C；（3）如A＝B且B≠C，则A≠C；（4）如A＝B，且B＜C，则A＜C；（5）如A＝B且C＜B，则C＜A；（6）如A＝B且C＝D；则A＋C＝B＋D；（7）如A＝B，则A＋C＝B＋C；（8）A＜B，则A＋C＜B＋C；（9）如A＋B＝A，则B＜A；（10）如B＜A，则A＋B＝A；（11）如A＜B且B＜C，则A＜C；（12）如A＜B且B＜A，则A＝B；（13）如A＜C且B＜C，则A＋B＜C；（14）如A＜B且C＜D，则A＋C＜B＋D。为适应逻辑相除，他又引进逻辑相减运算，定义为：如B包含在A中且C包括除去内容B之外的整个A的内容，则A－B＝C。如前例“人＝动物＋理智”即可推为“人－理智＝动物”。

上述符号构设显示，莱布尼茨的中心思想是致力于以符号表示普遍概念的“通用语言”和以代换法进行数学演算他自称的“通用数学”。就今天的眼光看来，他实际上已经发现了符号逻辑的若干重要原则和定理，触及到后由哈米尔顿所阐发的谓项量化问题，认识到在直言与假言命题之间的基本类比（即原因包含它的结果正如主项包含它的谓项），并且把握了逻辑相加的问题，甚至讨论过非三段论的关系推理。因此，莱布尼茨实际上已探察到后来为布尔和施罗德所发展的逻辑代数的整个基础。数理逻辑学家有没有看过莱氏的著作，知道不知道莱氏的计划，但所作的研究大体上都是沿着莱氏所期望的方向进行的。”（［5］，p．10）所以，整个数学界都一致公认他是数理逻辑的首创者和真正奠基人。

莱布尼茨的符号数学研究在生前没有公布，结果使数理逻辑的发展延迟了一个半世纪。（［4］，p．119）可他关于微积分的成果却由于较早发表而惠泽数学界并引发一场争论持久的历史公案。

二、微积分：“理性的代数学”

1684年莱布尼茨在莱比锡的《教师学报》（ActaEruditorum）上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》（简称《新方法》）的文章。这是他关于微分计算要点的代表作，全文只有六页。1686年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章，实际可看作《新方法》的续篇。

莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。当这两无限减小时，曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时，矩形上面的那个三角形可以忽略不计，此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。

早在1666年，莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。（［6］，pp．216～217）在帕斯卡三角形中，任意一个元素既等于其上一行左边各项之和，又等于其下一行相邻两项之差；而在调合三角形中，任一元素均是其下一行右边各项之和，也是紧靠其上两项之差。

算术三角形调合三角形

莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差和微分：

自然数0，1，2，3，4，5，…y

一阶差1，1，1，1，1，1，…dy

二阶差0，0，0，0，0，…

自然数平方0，1，4，9，16，…y

一阶差1，3，5，7，…dy

二阶差1，2，2，2，…d（dy）

三阶差1，0，0，…

他把这些与微积分联系起来：一阶差相当于dy，它们的和等于y，如1＋3＋5＋7＝16。莱布尼茨认为，这种和与差之间的互逆性，与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值，而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算时，已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。（［10］，p．392）由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点，而不是几何出发点。（如［7］，p．101）

为解决求积问题，莱布尼茨把流动纵坐标是y的平面曲线下的曲边梯形的面积用符号y表示。这样，曲线的纵坐标就与面积变量明显地联系起来。过了几年，他便用“sydx”表示面积，“∫”是“Sum（和）”的第一个字母“S”的拉长。

在求量的差即微分方面，莱布尼茨先是引进了符号“x／d”表示x的微分，意思是求“差”要关系到量的同次的降低，并且他还认为，如果同时出现不同阶的微分，则只留下最低阶的，而把所有高阶的微分舍去。至于这样做的理由，莱布尼茨虽提供了多种解释，但都不充分，其实毋宁说他是当作“公理”来使用的。后来，他将“x／d”改为“dx”，一直沿用至今。

从上述思路出发，莱布尼茨给出了微积分的基本公式：

d（x±y）＝dx±dy（1）

d（xy）＝xdy＋ydx（2）

d（x／y）＝ydx－xdy／y［2］（3）

对于（2），他的推导是，令x、y分别成为x＋dx、y＋dy，则

（x＋dx）（y＋dy）＝xdy＋ydx＋dxdy＋xy于是d（xy）＝（x＋dx）（y＋dy）－xy＝xdy＋ydx＋dxdy

dxdy是比xdy＋ydx高一阶的无限小量，可以舍去，所以d（xy）＝xdy＋ydx

用同样的方法也可推导出公式（1）和（3）。

有了微分法的基本运算律，对整指数的幂函数x［n］就有dx［n］＝nx［n－1］。又由于求和是求差的逆运算，所以还有∫x［n］dx＝1／n＋1x［n＋1］（n≠－1）。这两个公式虽只对n是正整数情况而言，但莱布尼茨却断然宣布它们当n取其它数值时仍然成立。接着，莱布尼茨陆续地推导出指数和对数等超越函数的微分公式。

莱布尼茨的微积分算法是在解决几何和物理问题的过程中建立和完善起来的。他边建立新算法，边用这种算法解决当时物理学与几何学提出的疑难问题，有时还用老方法来解决问题以检验新方法的正确性。除了切线问题、极值问题、曲率问题、求积问题等几何问题，他还曾用新方法证明了光的折射定律。所有这些都显示了新算法比传统方法更加优越。

除了以上成果，莱布尼茨在微积分方面的具体研究还有：（1）复合函数的微分法则；（2）弧微分法则ds=根号下dx[,2]+dy[,2]；（3）对数函数和指数函数的微分法则；（4）在积分号下对参变量求微分的方法；（5）曲线绕x轴旋转所成的旋转体体积公式V＝π∫y［2］dx；（6）求切线、求最大值最小值以及求拐点的方法；（7）讨论曲率，密切圆和包络理论。（［8］，pp．394～395）

莱布尼茨微积分研究的背景与当时整个西欧的数学家们是一致的，他的工作基础也是建立在对无穷小的分析上。因此，此后很长一段时间，人们一直把微积分叫无穷小分析。由于莱布尼茨从有限差值开始无穷小的运算，因而他最初曾试图将实无穷小代之以与其成比例的有限数量，即不用dx、dy本身，而用它们的比值dy／dx。他以为把dx、dy看成有限量，问题就解决了。但是，比值dy／dx的获得同样需要说清dx、dy两个量本身的实际情况，而不能有半点含糊。于是，莱布尼茨提出用“充分大”和“充分小”去代替无穷大和无穷小。他解释说：“我们可以不用无穷大、无穷小，而用充分大和充分小的量，使得误差小于给定的误差限度，所以我们和阿基米德方式的不同之处仅仅在于表达方面，而我们的表达更为直接，更适合于发明家的艺术。”（［8］，p．401）为了更好地说明这一点，他不得不诉诸于感性的直观——物理或几何模型，用现实事物中量的不同层次的相对性解释无穷大和无穷小。所以有人说，莱布尼茨其实是半个理性主义，因为他在理性困厄之时，不得不借助经验。（［9］，p．130）例如，他认为点同直线不能相比，所以点加到直线上从直线上去掉等于不加也不减。于是，“当我们谈到有不同阶的无穷大与无穷小时，就象对恒星的距离而言，把太阳看成一个点；对地球半径而言，把普通的球看做一个点。这样，恒星的距离对于普通球的半径而言是无穷的无穷大，或无穷倍的无穷大。”［10］而“如果你不承认无限长、无限短线段具有形而上学的严密性，也不承认它们是实在的东西，那么你一定可以把它们当作一种能够缩短论证的思想的东西来使用，正如在普通分析中使用虚根一样，……老实说，我不十分相信除了把无限大、无限小看作理想的东西，看作有根据的假设，还有什么必要去考察他们，”甚至“我不相信确有无限大量和无限小量存在，它们只是虚构，但是对于缩短论证和在一般叙述中是有用的虚构。”［（10）］可见，莱布尼茨主要是把微积分当作了求得正确结果的一种方法，只要按这个方法去做，就能得出正确的结果，而不必关心基本概念怎样。事实上，莱布尼茨对于微积分基础的这种看似冒失的大胆相信态度，反倒可能促进了微积分及其应用的迅速发展。（［11］，p．359）

三、单子论：理性的僭越

莱布尼茨是古往今来唯一的一位驰骋于数学思想的两个宽广的、对偶的领域——分析与组合或连续和离散领域的数学大师，而且在每个领域都表现了人类的最高能力。（［2］，p．119）这除了他的已为人所周知的天赋和勤勉以外，就数学内部而言，最合理的解释应该是莱布尼茨数学研究的代数出发点和哲学研究方式。他的“通用语言”工作，今天看来实际上是在创立一种普遍适用的逻辑代数（数学）。而在微积分上，尽管他赞同那种认为无穷小需要一个几何学基础的偏见，但是他达到微积分的途径却是代数的和哲学的，而不是几何的。莱布尼茨的发现起因于寻找一个无限聚敛数列或交错级数1／1－1／3＋1／5－1／7＋……之和（＝π／4）的方法（最后莱布尼茨给出了自己满意的最一般的公式：arctgx=x=x[,3]/3+x[,5]/5+x[,7]/c+……）。在莱布尼茨看来：微分学就是确定这种数列极限的一种方法，所以他才习惯于将无穷小等视作有限量；积分学则是发现数列总和的一种方法，因而他的积分总是今天所说的定积分，而不是牛顿的不定积分。（［6］，p．219）在莱布尼茨时代，几何学由于笛卡尔和费尔马杰出的工作而倍受数学界欢迎，莱布尼茨抱着“通用数学”的信念，企图运用几何方法解决代数问题，结果却将自己代数的观点导入几何学，从而做出了对“天地间通用的微积分”的发现。（［12］，p．170）因此，为了深入追索莱布尼茨数学创造的思想渊薮，必须诉诸他的数学观及所接受的研究传统。

莱布尼茨最早的思想活动是在哲学领域，这与其父作为一个道德哲学教授的影响有关。少年莱布尼茨读了不少古典哲学著作，入大学后又首先接受了雅可布·托马修斯教授严格的经院哲学训练。他的毕业论文Deprincipioindividui（《论个体原则》）就是维护经院哲学中唯名论派观点的。尽管莱布尼茨后来到巴黎去认真学习和研究数学，并且首先在数学上有了划时代的贡献，但作为其全部科学研究起点的思维观念与思想传统却是在早年打下的，而且一生基本没有什么大的变化。（［13］，p．164）这在他的著作《新系统》（1695）中有明确表述。

虽然莱布尼茨生前没有留下一部令自己满意的哲学著作，他在哲学方面的所有主要著作都是为了某个人而写，但他却是第一个创立独立哲学体系的德国人。这体系的“拱心石”通常称为“单子论”，他自己则称之为“前定和谐系统”。作为单子论核心范畴的单子是一种没有部分的只是组成复合物的单纯实体。（［14］，p．483）莱布尼茨认为单子具有六种规定性：（1）单子是最小的精神实体，它是能动的而又不具有广延（可分）性，因而是世界的实（主）体；（2）单子是上帝创造的，因其不能通过组合而生，只能凭创造而生，凭毁灭而亡；（3）单子是彻底孤立的实体，绝对封闭，各自独立；（4）每个单子各具不同的质，因其没有量的规定性，所以实际上存在着无限多样的单子；（5）单子运动变化的原因在自身，每个单子都是一个“力的中心”；（6）单子的基本属性是知觉，知觉反映自身和他物，因此每一个单子都是宇宙的一面永恒的镜子。从单子的规定出发，莱布尼茨提出了他的本体论原则：第一，连续性原则，认为宇宙是一个从低级到高级的发展过程；第二，前定和谐原则，认为各自独立的单子能同时一致行动的原因来自前定和谐；第三，普遍联系原则，认为整个宇宙中的单子和事物均处于普遍的相互联系之中。以上三个原则，连续性是用来调和事物质的对立的，前定和谐是用来调和“不可分点”（间断）与“连续性”的矛盾的，普遍联系则为了调合有限与无限、个别与一般、部分与整体的矛盾。［15］

上述本体论承诺决定了莱布尼茨的认识论必然是一种主张能动性然而却是唯心的先验论体系。它最终注定莱布尼茨的方法论只能是一种以逻辑为主干的多元方法论，既相信直觉，又看重形式。［15］他不仅承继了笛卡尔、斯宾诺莎一贯的唯理论传统，而且将理性主义原则扩展到在前者的哲学中遭拒斥的许多领域。他从哲学出发去理解科学活动及其本质，数学也仅是其哲学探索的一种智力模型。譬如，他的微分就是“原形先蕴”，通过形而上学的解释假定的。莱布尼茨注重运算的过程和探究结果。他在对待作为微积分逻辑基础的无穷小时，既不怯懦回避，也不轻易神秘化，而是从有限差开始，充满自信地大胆使用无穷小量及其阶，就如他自己所说，仅仅诉诸智力，更注重这种方法的运算性质。［16］他相信，假如他清楚地给出了适当的运算法则，并且把它们应用得恰当，就一定会得到某种合理的、正确的结果。他似乎觉得，根据充足理由（前定和谐）律，他就可以在这方面来实现从可能性到现实性的转变。（［6］，p．222）为此，他特别强调理论内容的形式化问题。他所建立的“通用数学”及无穷小量运算都是符号和术语体系的极好范例，是真正的现代意义形式化的始祖。

于是，我们不难理解，莱布尼茨为什么在离散与连续或组合与分析两个不同数学领域都表现出了同样的研究方式和最高创造力，因为它们在“理性”上是一致的。接续以“离散”为基础，是“离散”的连续，就如同“认识”不过是单子的活动而已。所以，莱布尼茨一直以代数的、有限的方法研究分析的、无限性的问题。这种研究在观念上从属于按照准确本体论原则建构起来的认识目的，它试图“在理智活动的各个领域内的那些早期传统间的看起来不可调和的矛盾冲突中创造出一个新的综合。”（［17］，p．4）

当然，莱布尼茨这种近于偏执和幻想式的理性主义传统，也使其数学研究遇到了许多困难。首先是在微积分的基本概念上，作为研究基础的无穷小量始终不明确，要么看作要多小有多小，要么看作理想之物，要么看作是纯粹然而有用的虚构，将科学基础概念的界定最终留给了信仰。其次是他的数学研究在逻辑上是不严谨的，尽管他发展了逻辑学，但其推导是不严格的，有主观臆造成分。特别是其微积分表示法的优越性更强烈地掩蔽了这一学科的逻辑基础，使之在严格论述方面走上了歧途。（［12］，p．234）至于他的理论推导中有时包含逻辑错误，如曾认为d（uv）＝dudv、d（u／v）＝du／dv（1675），这已属情理之中的事。他的零乱的工作如果不经Bernoulli兄弟整理加工，就很难有后来的局面。此外，英国科学家牛顿关于微积分严谨而扎实的工作更表明，对数学的发明与创造而言，理性主义方法也并不是唯一有效和可靠的途径。

四、流数术：数学需要两种传统

1705年《教师学报》上发表了一篇评述牛顿《求积术》的论文。文中说到，在那本书里只不过是把莱布尼茨的微分换成了流数。言下之意，两者实质上不外是同一样东西。这在那个极重个人荣誉的时代，无疑于掷出一枚重磅炸弹，立刻激起轩然大波，引发了究竟牛顿和莱布尼茨谁先发明了微积分的长时间争论。为此，英国皇家学会还于1712年在其《通讯》上公布了评判结果：“微分法和流数法是一回事，只是名称和记法不同而已；牛顿先生称之为瞬或流数的那些量，莱布尼茨先生称为微积分，并用牛顿先生不曾用过的记法，记作字母d。”（［6］，p．235）显然，上述两种看法是截然对立的。由于这种争论只是涉及发明的优先权问题，所以对微积分的进步没有任何益处。但争论也反映出一个问题，即当时的人们（包括牛顿和莱布尼茨本人）除了发觉两种微积分在概念和记法上不同外，并没有看出二者质的联系与差别。关于微积分的基础工作，是两个人去世后很久的事。

众所周知，就牛顿而言，他首先是个物理学家或主要是力学家。这不仅可以从其科学成就看出，而且在其对待微积分的方式上也表露得十分清楚。他称自己的微积分为流数术，即表明主要是为解决流体力学等问题而探讨和使用的新方法。牛顿关于微积分的主要著述有三部：《运用无穷多项方程的分析学》（1669）、《流数法和无穷级数》（1671）、《曲线求积术》（1690）。此外，他的代表作《自然哲学的数学原理》（1687）中也有不少论述。这些成果大致反映了牛顿对微积分的研究和认识的三个主要阶段。第一个阶段是静态的无穷小量方法阶段，他象费尔马等人一样把变量看作是无穷小元素的集合；第二个阶段是变量流动生成法阶段，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此把变量叫作流量，把变量的变化率叫流数；第三个阶段是最初比和最终比方法阶段，这种方法是牛顿对第一个阶段无穷小量方法的排除，转向极限观点。牛顿的微积分（流数术）中有三个重要概念：流量、流数和瞬。其中“瞬”是刚刚产生的一种无穷小量。这几个概念的提出，不仅使一切与变化率有关的问题有了统一认识和表述，而且直接揭示了原函数与导函数之间的可逆关系。由此可见，尽管牛顿后来用几何形式表述了微积分基本定理及其它一系列重要命题，但其把物理学作为出发点的做法却是十分明显的。就如他自己所说：“这里，流数术赖以建立的主要原理，及是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，就可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式之下产生的，至少经过类比和调整后可以如此。因此在产生这些具有固定的、可确定的关系的量时，其相对速度一定有增减，因而也就可以作为一个问题提出如何去求它们。”（［18］，p．Ⅺ）所以，“甚至最草率的牛顿研究者也明显看到，牛顿是一位彻底的经验主义者。”（［19］，p．198）

从物理经验出发，牛顿把速度、距离、加速度等作为中心概念，以变量x和y的无穷小增量作为求流数（导数）的手段（当增量越来越小时，流数实际上就是增量比的极限）；牛顿更多关心微积分的实际内容和基本方法，一些法则没有充分推广，对普通的讨论较少；他从变化率出发解决面积和体积问题，微分是其基础，通过微分及其逆来解决微积分问题。因此，作为自然科学家的牛顿处理问题十分严谨小心，讲究实在具体。人们认为他迟迟不发表微积分研究成果的原因，可能是因为没有为其基础找到合理的解释所致。德摩根甚至认为牛顿是由“一种病态的害怕别人反对的心理统治了他的一生。”（［20］，p．67）这和莱布尼茨那种从几何出发，整体求和的、注重推广和演绎的理性化方式大为不同。由此直接导致了他们所发明的微积分的基本差别：（1）莱布尼茨的微积分是由人工符号语言表述的法则与公式系统，他花了很多时间选择富有提示性的符号；牛顿的微积分主要是用自然语言进行叙述的数学体系，很少涉及符号，他基本认为符号无关紧要。（2）莱布尼茨的研究是从“整体”到“部分”，他首先讨论“和”即积分，用和来得到面积、体积或重心，其出发点是反微分；牛顿的研究是由“部分”到“整体”其基础是微分，他从变化率出发来解决面积和体积问题。（3）莱布尼茨的微分是高阶的，其积分是定积分；牛顿的微分是一阶的，其积分是不定积分。

但是，尽管在出发点、研究方式和表述形式上有巨大的差别，两人仍然创立了同一个微积分，并且彼此互补。经过他们的工作，微积分再不象希腊时期所有数学都是几何学的分支那样，被束缚在几何框架内，而是成为一个崭新的既不同于几何也不同于代数的独立的分析数学。并且，二人都不象他们的先驱那样仅限于解决某些实际问题，而是把微积分建立在一般问题和运算基础上，使之成为具有普遍性的通用方法。他们不再把微分问题和积分问题看作互不相干，而是找到了彼此的互逆关系，建立起微积分基本定理，使面积、体积及以往作为求和来处理的各种问题都归并为反微分，为求积运算开辟了一条新的便捷途径。这样，经过二人不懈的努力，微积分作为“天地间通用”的学科终于获得了资格证书。

在科学史上，几个人同时创造一项科学成就的事例并不少见。但是，牛顿和莱布尼茨各自从不同的研究传统出发发明了微积分，对数学的进步有着特别的意义。原因在于，微积分处于古代数学向近代数学转折的关节点上。经过微积分，近代以来的数学观及其方法论已大为改观，所以许多讨论近代数学的书往往称“微积分以来的数学”。（［21］，p．51）牛顿的工作无疑再一次表明了数学与经验的不可分割性，而莱布尼茨则以自己的探索证明了理性要素在近代数学发展中的增长。300年后的今天，数学哲学关于数学真理的实在性与非实在性问题的讨论进一步印证了两种数学传统对现代数学的发展都是必不可少的。