高等数学论文范文10篇

高等数学论文范文篇1

（一）实施基础教育新课程的需要

自新课程教育改革后，考入高等院校的高中毕业生所使用的都是教改之后的新教材。基础教育为高等教育奠定了坚实的基础，就高等数学课程而言，基础性的数学教育课程对其内容进行了适当删减，在一定程度上降低了数学课程的深度与难度，尤其在高考改革后，牵动高等院校数学课程教学改革也就成了一种必然。

（二）以能力为关键的素质观的需要

要想改变以知识多寡与学问深浅为教育质量评价指标的唯一知识质量观，就一定要提倡与知识经济相适应，以能力为最终衡量标准的本科院校学生素质观。高等数学课程教学必须将培养重点置于学生通过高等数学对实际问题进行解决的能力与素养方面，并将其放在学生把握学习高等数学的思想、方法、精神等层面。

（三）应用型人才培养定位的需要

要实现应用型人才目标的培养，就必须改革以下几点：①适当增加数学素质课程训练，将高等数学思想文化充分突出出来；②降低高等数学内容难度，相应减少学科课程；③适当增加高等数学课程教育比重，加强教育理论和技能；④在所增加的实验课中，对实践环节进一步加强；⑤增加素质选修课程，使人文素养得以提高；⑥进一步增加课程选择性，与学生个性化发展需求相适应。

（四）现代化教学现状的需要

就认识角度而言，很多教师对学生后续专业课与基础课和高等数学之间的联系比较陌生，而且也不了解后续专业课与专业基础课中高等数学的作用，他们只懂得就数学课本传授知识，这会让学生无法从中体会数学课对后续专业课的重要作用与影响；就内容而言。新建本科院校中所用教材有过多理论知识，缺乏实际应用内容，而且高等院校教师也比较偏重向学生传授知识，这就忽略了实际所传授的内容与实际问题、专业学习的有效结合，同时也忽视了对学生高等数学意识与能力的培养，这就与新建本科院校培养应用型人才的办学定位不适应；就方法而言，习惯沿用满堂灌、注入式高等数学教学方法，导致学生思维出现惰性，对学生思考问题的主动性与积极性造成抑制，对学生探究独立思考问题能力的培养极为不利；就实践而言，新建本科院校存在非常薄弱的实践教学环节，多学少用的现象比较多，其中新建本科院校高等数学课程教学中相对最为薄弱的一个环节就是数学建模与数学实验。

二、改革新建本科院校高等数学课程教学的路径选择

（一）依照应用型人才培养定位，对高等数学教育教学目标进行优化

作为以应用型人才为培养目标的新建本科院校，必须严格遵循“实基础、适口径、重应用以及强素能”的教学理念，以进一步优化课程教学目标，适当调整课程教学要求，制定周密的教学大纲。①高等数学课程多维目标的构建。在保证能够培养应用型人才的前提下，对高等数学课程知识和技能、价值观与情感态度、方法与过程三维度高等数学教学目标进行确立。②调整高等数学教学要求。不需要过分强调高等数学理论完整性，降低计算与证明的难度，降低高等数学理论要求，进一步淡化运算训练，以掌握数学方法、理解基本概念、加强培养学生的数据处理与数值计算能力，突出数学理念，要求学生学会以数学方式解决软件实际问题。③利用分类方式制定高等数学课程教学大纲。对培养应用型人才与高等数学教学内容要求的差异性，通过分类的方式制定适应于不同专业培养目标的高等数学课程教育教学大纲。

（二）依照培养应用型人才需求，对高等数学课程内容体系进行优化

在固定总课时的前提下，必须依照培养应用型人才的目标要求，按照“以应用为目的，实现两个转变，形成三个层面，全面把握四大关系”的教学思路。“以应用为目的”指的是依照对应用型人才进行培养的需求，以问题为导入，以数学方法为主线，同时以数学知识产出过程为具体教育平台，凸显高等数学整体框架，以此形成高等数学知识整体框架结构。“实现两个转变”指的是以注重专业需求的应用导向替代注重数学理论的应试导向。此外，“形成三个层面”指的是将本科院校课程教学内容进行基本、深化及应用三层面的划分。

（三）依照应用型人才培养需求，对高等数学课程教学方法进行优化

一是教学过程互动化。建立对话式课堂文化，视课堂为一种互动与对话的过程，通过“对话”取代“独白”，开辟一种教学新模式。二是抽象问题直观化。在数学中，必须依照教材内容对教学媒体进行重新组合，通过对新颖教学设计进行创设，使高等数学问题更为直观化。三是枯燥问题趣味化。枯燥的数学问题通常是影响学生学习数学的一大障碍。四是复杂问题简单化。在高等数学教学过程中，教师通过最为简单的教学方式来系统性处理复杂高等数学问题，采用最简单语言来具体说明深奥的理论。

（四）依照应用型人才培养需求，对高等数学课程教学策略进行优化

1.激发学生学习兴趣。

俗话说，学习最好的老师是兴趣，然而，相关调查研究结果表明，中国学生普遍从小就对数学缺乏兴趣，而数学教师忽视培养学生学习兴趣，或者无法将学生学习兴趣有效激发出来是导致学生数学兴趣淡薄的关键性因素。所以，数学教师必须对自身教学艺术进行研究与提高，恰到好处地包装高等数学知识，采用最佳呈现方式，对学生进行积极引导，让其认真品味数学之趣、领略数学之奇、欣赏数学之美、展现数学之魅力、感受数学之妙，使其对知识的期待和好奇充分激发出来，让其在学习高等数学的过程中体现高等数学文化的魅力与思考高等数学的乐趣。

2.摒弃严密数学。

通常情况下，之所以数学教师无法将学生学习高等数学的兴趣有效激发出来，其根本因素就是教师一味倡导高等数学严密性，并未将数学教学生动性与数学本身严密性之间的矛盾处理好。从另一种角度而言，数学本身的严密性是相对而言的，在新建本科院校中，高等数学教育的过程是循序渐进的，并非一步到位的，由此可见，高等数学教师必须善于将深奥思想形象化、抽象概念具体化、陌生内容生活化、枯燥理论趣味化，这种教学方式可有效激发学生兴趣。

3.高等数学情境问题的驱动。

我们通常所说的任务驱动法，指的是构建主义教学理论延伸的一种教学方式，任务驱动法着重强调学生日常学习活动一定要结合实际问题与任务，通过问题探索方式里维持与引导学生的学习动机与学习兴趣。高等数学教学过程中，高等数学教师可以问题驱动法将教学内容逐步展开，将学生学习积极性充分调动起来，让学生在任务驱动下学习，以此培养学生解决数学问题的水平与能力。

（五）依照培养应用型人才需求，对高等数学课程考核评价进行优化

就本质而言，教学考核评价不仅仅是课堂教学的关键组成部分，同时也被称为一种行之有效的鞭策与强化手段。在考核评价中，教师能够对高等数学教学效果进行检验，以便对后续教学计划进行调整，学生也可由此对所学技能与知识情况进行了解与掌握，改进学习方法。通过结合随堂测验、平时成绩以及期末考试的多元化方法来考评高等数学学习成绩，对学生应用高等数学进行引导，提高学生学习高等数学的主动性与积极性。平时高等数学成绩主要包括以下几方面：平时作业、课堂练习、课堂提问、课堂出勤、分析资料、查阅资料以及应用举例等；高等数学随堂测验的内容主要有：数学实验、教材中的练习以及单元测验等。此外，教学指导委员会试题库组共同制定出期末考试试卷，其所占的比例可以依照学生自身情况具体确定，此外，如果学生对高等数学某方面内容有创新与研究，教研室可对其进行免考，以此勉励学生积极创新与应用。此多元化考核评价制度，从本质上走出了传统的以笔试当作考核评价唯一方式的弊端。

三、结语

高等数学论文范文篇2

初等数学，作为整个数学大厦的基础部分，经过几千年来的发展，其基本理论己经成熟，世界各国的中学数学内容及其理论大致一样，具有相当大的稳定性，但就其教育理论，几以及其包含的思想方法、解题技巧还在继续深化、发展，初等数学的研究领域日益广阔，呈现十分活跃的状态。外国的情况姑且不说，就我国而言，每年二十八家而向中学数学教育的期一刊的出版，几千篇文章的问世。

初等数学研究蓬勃崛起、方兴未艾可见一斑。研究初等数学问题，除了大专院校、科研部门外，从事初等数学教育的中学数学教师也能从事这方面的研究，他们处在教学第一线，对初等数学的思想方法、解题技巧理解得很沉具有科研人员所不具备的教育实验环境，更易遇到具有教学意义和实践价值的问题，因而中学教师无疑是研究初等数学问题的丫支主力军。

然而，中学数学教师的现状是不尽人意的。长期以来，数学界形成了研究高等数学才是搞学问，研究初等数学就不是搞学问的偏见，使得每年进人中学当老师的大学毕业生，面对严谨而成熟的初等数学，往往误认为初等数学的问题已经研究完了，没什么研究头了，从而创造研究意识淡化，探索动力萎缩，迟迟进人不了科研之门。在中学，几十年的数学教师没写过一篇论文的现象并不鲜见。教学与科研的分离，_导致教学上的简单重复和机械模仿，教学变成了毫无生气的知识再现的僵化过程，质量的提高受到很大影响，教学难有大的飞跃和突破。从另一方面看，教师本人不从事研究和创造，体会不到教育创造带来的激情和乐趣，得不到成就感的抚慰，也会丧失进取的精神和远大志向，导致工作效绩滑坡。苏联教育家苏霍姆林斯基指出:“如果你们想使教育劳动给教师带来欢乐，使日常讲课不致变成单调乏味的义务，那就把每一位教师引上科学研究的康庄大道，而最先成为教育劳动能手的人，就是感到自己是位研究者的人。”由此可见，强调中学数学教师开展科研活动，不仅对提高教师素质、提高教学质量有重要作用，而且对于教师发挥自身潜能、展现人生价值、提高职业自豪感有重要意义。

搞科研，就要产生论文，论文是科研成果的文字表述。而论文对疥个大学生来讲，并不陌生，每个数学系的学员一般都要作毕业论文，然而，毕业论文还只是科研活动的模仿和尝试，还难以称的上是真正的科研活动。因为一般大学生没有从事中学数学教育的实践活动，又寸中学教材不熟悉，初等数学的思想方法体会的并不深，难以遇到真正有价值的“困惑”，因此所选的论文题目或与教育实践结合的不紧，尸或者高大空洞，或者论述不深人，价值一般不大。

这是普通大专院校不易解决的问题，当然也平是继续教育同仁而临的任务和应解决的问题。参加继续教育的学员全有较长的教学实践，对中学教材熟悉，思维素质、创造能力普遍较好，所以在继续教育中给他们传授初等数学论文写作知识，和他们一起剖析初等数学问题，帮助他们曾、结中学数学研究方法，激发他们的探索、研究意识，他们完全可以根据自己的特长，找到他们感性趣的问题，形成自己的研究方向。创造心理学的研究成果表明:人人都有创造的天资和票赋，关键在于自身的执着追求和外界的激发与诱导。初等数学论文写作课就是遵循这条创造学的规律，从外界给学员以诱导和激发，使他们尽快上问题之路，人研究之门，将科研与教学融为一体，互相长进，写出高水平的论文，以促进教师素质、教学质量的提高和数学教育的发展。

初等教学论文写作课，它异于其它数学课的主要特征是:它并不是以完成数学的基本理论和知识的传授为教学的终止线，而是传授初等教学论文的基本知识，剖析总结初等数学研究的基木方法，展现初等数学主要研究方向及动态个貌，从而进一步引导学员将数学知识转化为较强的研究、探索能力，确定自己的研究方向，最终得到研究成果，写出论文，以提高教师的素质，推动教育的发展和教学的改革。这门课象继续教育一样，还是新生事物，其涉及的多方面问题有待进一步探讨，笔者提出一些构想，就教于对此研究的同行。

我认为，这门课的结构可分为四大部分:初等数学论文写作的基本知识，初等数学研究的一般方法，论文导读，论文写作训练。下面就这四大部分的内容、层次简述如下:

一初等数学论文写作的基本知识在这部分主要论述五个方而的问题。

(一)、中学数学教师写论文的意义。前述从略。

(二)、什么是初等数学论文。广义讲，是指对初等数学领域中某一问题进行了专门研究和探索，取得了新的成果，把这些成果系统地整理出来所写成的文章。它包括纯初等数学问题的研究，也包括在数学活动中对某一类或某一数学问题所采用的教学的手段、力一法和技巧有新的创新和发展，对教材内容提出新的处理意见，对教育思想、观念进行改革、创新所得成果写出来的文章。

(三)、初等数学论文写作的三个

要求。

<l>内容的真实性。所论的问题确实存在，所得的结论经得起检验，符合客观现实，不同于文学作品，可以“虚构”。

<2>论题的科学性。论题要反映客观规律，有一定的科学、教学价值，不能研究那种无科学意义的题日，比如某山村一老师常年研究园规、三角板三等分角问题，这种论文无科学意义，因此问题早已证明其不可能。厂<3>论证的严谨性。在论证论题时，要言之有理、持之有据，逻辑性强。

〔四)、写作的一般步骤为:选题、准备、撰写;修改。

<l>选题:〕选题把握以下几个原则:

<a>选择题月应从自己的实际出发，量力而行，开始不宜做过大的题日，可以小中见大。

<b>题目宜新不宜旧。论题要有开拓、创新精神，别人做过的题目，自己无创新之意，可不写。当然运用批判性思维，可以唱一点“反调”，尤其是教育性论文。

<c>内容应熟悉。对白己陌生的题日是不应该硬着头皮去论述的。

<2>准一备:将前人论述本题目以及相关的材料收集齐全，、吸取其精华，推陈出新，’拾级而上。

<3>撰写:(论证阶段)主要有三种方式:(a)立论:直接从正而阐述自己的观点。(b)驳论:举反例的论述，一般带有一沦辨性质。(c)分论:先分别论述与总题目相关的小题口，然后加以总结，形成自己的结沦。

<4>修改:仔细推敲，去粗取精，去伪存真，突出中心。

(五)、论文的题目。

论文的题目决定着论文的价值和方I沁论文的题自来源于向题。数学大师希尔伯特以其亲身休会强调指出…‘正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题，正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”初等数学问题研究大致可分为8个方而:

<1>对著名古典数学问题的研究。比如裴波那契数列，连分数，七桥问题，组合数学等。

<2>开拓新领域、对新课题的研究。比如自生数，超越数，特殊方程，特殊不等式等。

<3>初等数学方法研究。

<4>初等数学命题研究。

<5>初等数学解题研究。

<6>初等数学应用研究。

<7>初等数学教育研究。

曹才翰先生在87年昆明数学教育年会上提出的二十个问题集中了这方面的研究方向和主要课题。

<8>对初等数学与其它学科交叉出的边缘领域的研究。比如数学史，数学发明心理，数学美，数学语言，数学，期刊，数学人才，数学竞赛题，数学课题等。

宏观上看，初等数学研究大致分为这八个方面，具体到每一个人，如何寻找论文课题，大致有如下几种渠道:

<l>从大量的文献资料、期刊报章中来。资料是发现论文题目的主要渠道，通过对资料的阅读，可以了解别人的研究课题，掌握研究动态，找到还末解决的问题，从而形成自己的课题。

<2>从自身的教学实践中来。

<3>从与别的学科的交又碰掩中来。多学科的交叉，可以对问题产生多角度的理解，产生出新的课题。

<4>从与别人交流的话题中来。

二、初等数学研究的一般方法

论文是研究成果的文字表述，无研究当然无论文，要想写论文、必须对初等数学进行研究。美籍数学教育家波利亚概括数学研究一般模式为:发现，猜想，论征。赵振威教授将初等数学研究分为三类:探索性研究，应用性研究，总结性研究。这三类研究活动的研究方法各有特点，侧重，又互相渗透。下面介绍这三类研究活动的一般方法。

探索性研究主要目标是探索新知识和创造新方法。

探索新知识主要途径是对命题的研究，其方法主要是:

(a)交换命题的条件和结论。

(b)保留条件，深化结论。

(c)保留结论，减弱条件。

(d)推广命题。

创造新方法的主要研究途径是:

(a)从解题的实践出发，有目的地发掘解决一类或几类问题的共同模式，从中提出解决此类问题的共同方法和基本原理。

(b)对获得的方法进行理论分析，阐明其基本原理。

(c)研究新、旧方一法的联系和区别，寻求新方法的完善、成熟。

<2>应用性研究的主要径有:

(a)研究定理、公式的应用规律和技巧。

(b)研究数学方法的应用规律和特‘支叹。

<3>总结性研究就是对过去的知识加以归类、整理，建立新的联系，以求得到新的方法、思想和知识体系。

“在科学中，建立新的联系就是发展和进步，知识的重新组合不仅是一种创造性的过程，而且是深化知识、追求智慧的必由之路。”在数学史上产生巨大影响的欧儿里的《几何原本》以及法国的布尔巴基学派的一系列著作，都是总结性研究成果。总结性研究大致的研究方法有:

(a)用新现点对已有知识加以对比、分类、综合，以求得新的方法、思想的产生。

(b)对已有的经验、理论、方法重新组合，录求突破，以求得最简洁、最佳的方法与途径。

三，论文导读

写论文之前，应该广泛阅读论文。通过对别人论文的阅读，可以了解论文的基本结构和论证方法，开阔自己的视野，从中体察写论文的技巧与方法。所以，学员在教师引导下，开展对论文的阅读是初等数学论文写作课的重要一环，首先，教师精选几十篇特色显著、论证严谨、观点鲜明、具有理论和教学价值的初等数学论文，分析其行文特色，和学员共同鉴赏，以提高学员自身对论文的审美鉴赏能力、有了相当的鉴赏能力，写论文就有例可仿，有章可循，模仿是创作的开始。一般优秀的初等数学论文总有以下几个显著特点。

<1>新，也就是文章的独到之处，新构成论文的主要价值。新包含理论上的新发展、方法上的新突破、观J点上的新开拓，结构、论证方式和例子上的新颖、独到。

<2>论证严谨、逻辑性强，结构合理，行文简洁、流畅，视野开阔，论证多角度，运用多学科知识。

<3>用例恰当。理论与例子融为一体，相得益彰，互添其色。

这部分的教学方式以讨论式为宜。学员拿到论文，和教师共同探讨其特色、分析其得失，比教师唱独角戏效果会更好。

四、论文写作训练

只知道写论文的一般规律和阅读别人的论文，自己不亲手实践，是无法得其要领，写出沦文的。在本课程的最后，进行论文写作训练，提供学员实践的机会是必要的。写作训练，对于提高学员的兴趣和研究写作能力，形成理论联系实际的学风，真正体验写论文的甘苦，学习选材、行文、论述等技巧，会起到积极作用。写作训练可采取两种方式:

<1>命题论文写作。选取教学中常见并带有一定教学价值的问题形成题目，全班学员搞命题论文写作。这种题日最好是教育性题目，几以使使大家各抒己见，形成自己的论证特色。

比如“课堂教学中反例的运用技巧及作用，‘概念课讲述方式设计”等。命题论文写作可以提高学员的专题研究能力，体验写论文的一般程序和写作过涅，对于训练选材、组材、表述、论证都有一定的好处。每人写出的论文在全班宣读，通过横向比较，使学员们对论题有进一步的理解，可互相取长补短，启发思路。

<2>自选题目写作训练。论文从选题的规律上看，应该是自选题目。因为自己对自己的兴趣、特点、长处最了解，知道自己适合做那类题目。当题目与自身特长、凝思点相一致时，自己的主体意识、思维优势就会发挥出来，论文的质量就会上升。二在自选题目写作训练期问，要求每一位学员至少完成一篇论文，:使自身的素质得到一个总结和提高。写出的论文可在全班宣读，交流，以促进学员开展研究活动，活跃学术气氛。

论文写作训练期一间，需院、系给予支持、配合，这是论文写作训练的重要条件，这些配合、支持主要有:

(功给学员提供尽可能的资料、信息服务·

高等数学论文范文篇3

【摘要】高职教育的目标是培养技术应用型人才，数学作为一门重要的基础课，在培养学生的创新能力和应用能力方面具有非常重要的作用．然而，目前高职学生的数学应用能力普遍较低，难以满足现代社会对技术应用型人才的要求．因此，培养高职学生的数学应用能力成为人们越来越关注的重要问题．本文针对目前高职数学教育中存在的问题，结合机电专业需求，提出了一些培养高职学生数学应用能力的措施．

【关键词】高职机电专业;数学教学;应用能力

一、通过课堂教学培养学生的数学应用意识和能力

1．在教学内容上，加强应用环节教学，突出知识的应用性

(1)教学侧重点在概念教学上，一方面要对数学概念从提出、发现、抽象到概括的整个过程的实质分析透彻，以使学生能够意识到哪类专业问题可以使用相应的数学概念去表述;另一方面要更加注重使用专业课的语言去叙述和强化数学概念，以满足数学概念教学与专业教学紧密结合的需求．例如:学习定积分时，先提出问题:求曲边梯形的面积和变力所做的功．学生对求图形面积和力所做的功并不陌生，只不过以前熟悉的是求直边梯形的面积和恒力所做的功．这两个问题会激发学生强烈的好奇心．教师可引导学生积极发挥主观能动性，实现问题的解决，然后引出定积分的概念．这样学生会自然体会到数学的应用价值．在应用性教学方面，必须重视传授数学思想和解题方法，把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的重点．密切联系专业，尽力采用机电专业知识，讲解应用实例，努力实现数学知识模块与工程技术案例的融合，缩短数学课与专业知识间的距离．(2)教学深度专业课对数学计算的需求不深，因此在高等数学教学中要在保证学生能够掌握基本方法和概念的前提下，教学内容力求深入浅出，注意培养学生的抽象思维、逻辑推理，以及分析、解决问题的素质和能力．对于数学上的定理和结论尽量用直观方法引出，删减理论推导，以适合高职教学的实用性要求．减少对于计算性题目的技巧要求，以学生掌握基本的计算方法为度，可把现代计算工具———计算机运用到数学中来，介绍功能强大的数学软件(如mathematica、matleb等)知识的实际运用，把复杂的计算问题运用计算机来快速实现．

2．在教学方法上，适时创设应用情境，培养学生数学应用意识

要提高高职学生的数学应用能力，首先必须强化学生面对专业实际问题时的数学应用意识，然后再运用相应数学知识进行简单应用．因此，在课堂教学中，应注重多种教法的整合，把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的主线．从实际当中介入新课，激发高职学生学习的求知欲望，通过“问题情景———建立模型———解释与应用”的基本体系，多角度、多层次地编排数学应用的内容，才能更有效地激发学生的学习兴趣．

3．在教学手段上，适当运用现代技术解决实际问题

(1)发挥多媒体的直观性和多样性高等数学存在着大量现成的数学模型，如导数、微分、定积分的概念及它们的应用等．教师在教学过程中可将现代信息技术有机地渗透到课堂教学中来展现知识建立的过程．如:在讲授“微元法”时，借助多媒体的教学手段，结合机电专业课程“机械设计基础”中设计盘形凸轮轮廓的模型实例进行分析和应用，直观展现微元法建立的过程，明确微元法解决实际问题的共性特点，培养学生应用数学现有模型解决实际问题的能力和意识，为学生专业课及专业基础课的学习打下基础．(2)将数学实验作为高等数学教学的辅助课程现代数学软件技术的发展和学校上机条件的改善，为通过数学实验诠释数学应用问题提供了数字化的教学环境和实验环境．通过数学实验，学生不仅能直观的感受听起来枯燥抽象的数学原理和数学理论，还能从枯燥的机械运算中解脱出来，无形中降低了学习难度．在机电专业的数学实验课中，通过引入数学软件，帮助学生在解决繁杂数学运算的同时实现专业实际问题的数学建模与求解，增强学生数学学习兴趣和学习信心．教学实践显示，学生在机房学习的状态明显好于在教室的数学理论课学习，学生普遍感到数学软件既好学又有用．

二、通过课外活动培养学生的数学应用意识和能力

1．探究性实践作业

在数学应用意识和能力的培养中，尤其应重视学生探索精神和创新能力的培养，把数学应用问题设计成探索和开放性试题，让学生积极参与．在解题过程中充分体现学生的主体地位．我们可以改造课本上一些常规性题目，打破模式化，使学生不仅仅是简单的模仿．

2．重视数学建模能力的训练

要突出数学应用，就应站在构建数学模型的高度来认识并实施教学．要更加强调如何从实际问题中发现并抽象出数学问题，然后试图用已有的数学模型(如方程、不等式、函数、统计量等)来解决问题，最后用其结果来阐释这个实际问题．教师可以选择学生感兴趣的实际问题(如利息、人口、股票等)作为数学建模的对象，引导学生大胆猜测，开拓思维，合理定义．从看似杂乱无章的现象中，抽象出恰当的数学问题，提出各种建立解决问题方案的思想，比较其优劣，建立该问题的数学模型，再利用计算机等数学工具把模型解出来，让学生领悟运用数学知识求解模型的内在过程．通过数学建模的教学，引导学生从单纯的知识学习向学习知识、运用知识、创新方面转化，使学生真正受到理论和实践相结合的综合性教育．

三、把应用能力纳入考核范围

传统的数学课是以期末考试分数作为衡量学生数学成绩的唯一标准，试卷的内容基本全是纯粹的计算题．即使是数学成绩好的学生，也常常是“高分低能”．为加强高等数学在专业上的应用性知识的教学，培养学生运用高等数学学习专业课程的能力，对于某些应用性内容可以在考试方式上进行单独的考核，这种考核方式既可以考查学生对所学知识的理解、掌握程度，又可以改变考试成绩不及格率逐年增加的现象．总之，在数学教学中，根据专业的需要，合理安排数学课程的结构和内容，从数学应用的角度把抽象的、繁琐的数学理论直观化、简单化．加强数学的应用实践环节，注重用数学解决学生身边的问题，注重用学生容易接受的方式展开数学教学，注重学生的亲身实践，重视在应用数学中传授数学思想和方法．只有让学生深刻体会数学的应用性，真正学会用数学的思想和思维去理解生活，分析问题，处理问题，才能培养学生应用数学的能力．

【参考文献】

［1］陶正娟．高职生数学应用能力的现状及教学对策［J］．中国电力教育，2008，11．

［2］朱广恩．高职学生数学应用能力培养探析［J］．职业时空，2008，8．

［3］林振木．微积分在电工学中的几种常见应用［J］．龙岩师专学报(自然科学版)，1995，8．

［4］魏玉成．试论高职学生数学应用能力的培养模式［J］．当代教育论坛，2010，11．

［5］樊黎．电工技术基础教学中数学教学问题初探［J］．教育观察，2009，6．

作者:崔春燕 单位:北京电子科技职业学院

第二篇：高职数学教学的现状与对策

摘要：随着越来越多的学生接受高等职业教育，高职数学教学也就变得日益重要。本文简单地介绍了高职教学的现状，并结合教学实践，有针对性地提出一些教学对策。

关键词：高职数学；教学现状；对策；

一、引言

随着产业结构的调整，职业技能型人才的需求量日益增加，高职教育也越来越受到重视和青睐。明确提出要大力发展职业教育，进一步提升高等教育大众化水平和人才培养质量。数学作为高职院校一门重要基础课程，在学生学习和思维能力培养方面起着重要作用。数学课程作为专业课程的理论基础，在高职人才培养中起着至关重要的作用，其目的就是要为专业课程学习服务，高等数学教育质量的好坏直接影响着高职院校学生技能的学习和继续教育的发展。

二、创新理念教学

针对高职学生教学基础差、教学课时不足的现状，我们必须改善高职数学教学观念，取舍和重新整合高等数学内容，转变高职数学教育观念，创新高职数学教学方法，找到适合高职数学教学的对策，帮助学生养成良好的学习习惯，掌握正确的学习方法，营造良好的教学氛围，端正学生学习的心态，帮助学生理解和记忆，建立融洽的师生关系。[1]高等职业教育是高等教育的重要组成部分，而高职数学教育又不同于其它教育模式的数学教育。针对这一现象，我们要树立高职数学教材改革的理念，编写学生爱学和易学的数学教材，根据相近专业相近对象选择不同的适用的数学内容作为教学大纲。高职数学教学就是要吸引学生积极参与教学过程，所以应尽量采用探究型教学模式，引导学生勤思考，多动手，吸引学生参与数学教学过程，同时还应该明确教学模式无论是作为观念形态还是物质形态，都不应该是永恒的东西，不应该被看成僵化的教学程序，而应随着教育、科技的发展而发展,不断注入新的内涵、新的精神。[2]

三、构建良好的师生关系

从构建和谐的师生关系的角度来说，要创设宽松的学习环境重，重视数学文化教育，善用激励法，增强学生自信等几方面入手培养学生数学学习的兴趣。高职数学考核模式也应该具有自身特色，应充分体现出教育教学导向、反馈和激励功能，与此同时，高职数学教师更应该更新考核观念，实现考核观念从应试教育向素质教育的转变，从单一化向多元化的观念转变，从精英化向大众化的观念转变，进一步提高学生的知识运用能力、自学能力、分析和解决问题能力。[3]

四、改善教学理念

目前我国高职数学教学的问题主要表现为学生数学基础不扎实，心理素质较差，自我学习能力不足，教师教授方式单一，教材不能突出高职特色，数学课外教学活动少，学生课堂参与度低，学生知识体系不完整，基础不扎实，学习兴趣缺乏，缺少自我约束，上课过程乏力，教师管理缺失，个体差异影响，学习差异明显，加之高职学生心理素质薄弱，学习习惯不良，学习意志力低，缺乏坚韧意志，学习缺乏自信，并且存在惧学心理。针对以上问题我们要优化教学的策略，进行教学模式改革，设立分层教学和模块教学，同时进行课堂教学改革，教学内容设置面向专业需求，改善课堂教学，活跃课堂氛围，完善评价，优化考核方式，大班教学转化为小班教学，对学生学习进行动态监管。[4]具体来说，我们要通过分层教学实验，模块化教学以及课堂教学的改革，激发学生学习数学的主动性，提升数学的教育理念，强化为专业课程服务的教学特点。在分层教学中，将学生分成三个不同层次，实现目标分层，教学分层，考核分层。模块化教学将各专业的数学更加细化，突出数学与不同专业的融合。在课堂教学改革上，结合教学体会，融入数学文化，强化数学建模思想，改善考核模式，将原有的单一期末考核转化为平时成绩，数学实验，数学论文撰写，期末考核四维一体的考核方式，更大的挖掘学生的学习潜力。为了打造一批具有扎实理论基础，专业素养较强的专职数学教师队伍，建议将数学教师分配到各专业群，融入职业教育理念，把数学在专业中的应用发挥到最大限度，同时进行小班化教学，使得教学效果更加明显。[5]

五、结束语

通过对高职数学教学现状的分析，可以发现并找到改善学生数学学习效果的方法，提高高职院校学生的社会竞争力，同时也希望能为高职院校数学课的改革和相关研究提供参考和借鉴，为培养高素质的技能型人才和学习型人才在数学学习方面提供可行性建议。

参考文献：

[1]李云娟,樊雪双.高职院校高等数学教学的现状分析及建议[J].科技风2011年

[2]陈武.职高生数学学习策略的现状调查与实践探究[J].职业.2010(20)

[3]张德全.以应用能力为核心进行高职数学课程教学改革[J].教育与职业.2009(30)

[4]王敏.中外高职教育中数学教育比较研究[J].中国电力教育.2009(09)

[5]陈艳平.在高职高专数学教学中尝试“分层课程”教学[J].福建商业高等专科学校学报.2006(02)

作者:马野 邰志艳 单位:吉林医药学院

第三篇:高职数学教学探讨

高职教育的目的在于通过各类教学活动培养和发展学生的学习能力，让学生真正“会学习”，提高学习活动的效率和质量。高职数学是一门面向应用的数学，在高职院校广泛和有效地开展数学教学活动，能够较好地提高学生把理论转化为实践的能力。数学作为高职院校的一门公共基础学科，越来越受到重视。传统的数学教育正在向以培养学生数学素质为宗旨的能力教育转变。在这个转变过程中，如何创新高职院校的数学课堂教学，提高教学质量，创新教学模式，培养学生的数学应用意识，使高职学生学会用数学的思维方式认识身边的事物，用数学的思维方法分析和解决实际问题，是高职院校数学教师的一个重要任务。

一、课堂教学存在的问题及分层教学的可能性

1.课堂教学存在的问题

高职教育近年来的发展趋势是重实践应用，轻理论教学。这样一来，高职数学教学就面临着缩减课时，甚至从原来的必修课改为选修课的问题。课时的减少意味着教师要在较短的时间内完成原先的理论教学内容，这样就可能出现为了赶课时，给予学生像填鸭式或者注入式的教学，显然达不到良好的教学效果。要解决这一问题，需要教师重新划分教学内容的重点难点。要求重点讲清，不必要的知识点可以省去。根据课时多少、专业不同来合理安排教学内容，课堂教学注意吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，让学生真正参与到课堂教学中来，成为课堂教学的主体。

2.分层教学的可能性

高职院校学生的生源水平不一，数学理论基础参差不齐。他们有些是应届的高中毕业生，还有些是中职毕业生。由于学生基础不同，在高职数学的教学过程中，有的需要补充基础数学知识，有些则不用；有些学生基础好些，愿意多学一些，有些学生则不愿意。而且不同专业的学生所需学习掌握的数学知识也不同。解决这一问题的方法可以考虑实行分层教学。分层教学就是根据不同的专业和不同水平的学生实施不同的教学形式，从而达到教学的目的。在教学过程中还应注意多种教学方法、教学形式的综合运用，针对性解决不同水平学生的教学问题。

二、教师应注重提高教学质量

目前，大多数高职数学教师毕业于普通高等师范院校，光有高深的数学理论基础，而缺乏相关的企业实践经验。这样的师资队伍显然不利于高职数学教学发展。高职数学教学需要双师型人才，既能给学生讲授传统数学理论知识，又能给不同专业学生指导企业实践，真正让学生缩短从理论到实践的距离。所以作为数学教师如果想要进一步提高教学质量，需要到相关企业中去进行实践锻炼，在实践中探索数学知识与各科专业知识的联系。另外，也可以考虑争取机会到综合性大学进修，进一步完善自己的教学理念和教学方法。

三、教学模式不断创新

传统的数学教学模式越来越不适应现在学生的需要，我们应当以“服务专业、注重应用、更新计算技术、全面育人”为指导思想，不断创新教学模式。服务专业即结合学生的专业整合高职数学教学内容，让学生了解所学数学知识在他们专业上的应用，这样有针对性地教学更能激发学生浓厚的学习兴趣。注重应用，即可以适当地介绍数学建模的相关内容，鼓励学生参加全国大学生数学建模竞赛，让学生充分感受学以致用的乐趣。更新计算技术，即让学生学习使用数学软件Mathematica，用于解决线性规划问题和简单的微积分的计算问题。这使得学生从繁琐的数学运算中解脱出来，只需要了解基本的运算原理。全面育人，即讲到某个知识点提及的数学家，顺便介绍该数学家的生平及其刻苦学习取得杰出成就的事迹，以此来教育感染学生。四、培养学生的数学应用意识现代信息技术与计算机技术的飞速发展,使数学的应用几乎渗透到了每一个不同的学科领域，渗透到了人们日常生活的每一个角落。数学应用意识有利于高职数学教育教学实现人才培养的目标，有利于转变或完善现有的高职数学教学观念，有利于高职数学教育教学意图的构建和实现。那么，从哪些方面进行培养呢？在高职数学教学过程中，教师要将数学应用的实例要贯穿始终，将数学知识的应用与日常生活紧密相连，让学生对数学的应用有一个比较完整的了解,树立正确的数学应用观。五、结语高职数学教学的进步、发展、完善是一个长期的，需要不断投入、不断创新的过程。我们在教学实践中不断积累经验的同时，还应当多参与同行交流，多参与相关的学术交流会议，不断开阔眼界。只有教师的业务水平提高了，教学的方式方法水平才能相应提高。

作者:李婷婷 单位:广西经济管理干部学院公共课教学部

第四篇：高职数学教学中的分层教学实践

在教学中，传统的满堂灌、一刀切的做法，必然导致课堂上部分学生陪学，课堂教学效率低。为了提高教学效率，激发学生学习数学的兴趣，我在实际教学中对他们进行分层教学。所谓分层教学，就是以学生存在的基础差异、主观能动性差异为前提，有区别地制定教学目标，设计教学内容，控制教学进度与深度，改变教学方式，确定新的考评制度，改变对学生的评估观念，从而使每个学生在更适合自己的学习氛围中得到更好的发展，学到更多知识。在这基础上，我根据高职班的特点，进行有区别、分层次的教学。

一、分层于教学内容中

教学内容分层指的是确定与各层次学生相适应的教学目标，把知识技能领域中的教学目标确定为基础目标，发展性领域目标作为较高目标，把训练学生参与创新作为各层次共同目标，鼓励学生参与探究研究。由于高职学生的数学基础较差，课本的要求比较低，教材主要是针对实用性编排的，有不少内容教材中都删掉了。我在教学中把内容分为三层：第一层为基础知识，为以前基本上学过的，接触过的知识，对知识点的应用比较简单或者就是直接对知识点的重现；第二层为加强知识，是学生以前很少看到但考试有要求的；第三层为补充知识，主要是为大题服务，只对小部分基础很好的学生单独讲解。

二、分层于教学的模式中

如果一个学生在数学学习中能够把新的数学知识与自己头脑里原有的数学认知体系联系起来，新旧知识发生作用，在学生的头脑里产生新的认知体系，那么他的数学学习将会是很成功的。所以要给每个学生创造施展他们本领、反映他们学习现状的条件，分层教学就起到了很好的作用。分层教学的具体做法就是把每个知识点的复习、每个例题的分析与设计的问题分层，一般分为三个层次，即最基础的知识、考试所要求达到的基本能力和掌握的较基础的知识和综合知识与分析问题、解决问题的能力。每讲完一个知识点，就要求学生当堂独立完成对应的问题，然后按层次作出评价。另外，在分层问题中还有选做题，学生可以尝试做选做题。比如在复习到排列问题时，我在题目安排中就把一个题材分了好几个问题，第一层次的问题：（1）默写排列数公式；（2）由1、4、5、6这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？第二层次的学生当然必须掌握第一层次的内容并在此基础上有所提高，故他们先做第一层次的第二个问题，再做问题（3）：由1、4、5、6、0这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？第三层次的学生则要在掌握上两层的基础上还要掌握本层次的内容，所以他们要做好上一层的（3），再做（4）：由1、4、5、6、0这五个数字可以组成多少个比400大的三位偶数？当然每一层次我都不忘了给他们配备选做题，让在这一层次中掌握得较好的，取得了进步的同学来完成。

三、分层于课外辅导中

高职学生要想在考试中取得好成绩，课外辅导一定不能少。比如在复习完第一章后，我就把高一年级的试题拿来给学生做，让他们从基础入手，慢慢提高，并且能及时发现自己的进步，激发他们学习数学的兴趣。对于成绩一般的学生，就他们存在的问题进行辅导，解决他们课堂上没弄懂的地方。对于成绩好的学生，则只进行点拨。同时，老师可以指导他自己复习下一个知识点，指出复习的方向。比如在复习《函数》这一章时，我会指导他们看前几年有关这一章的考试中的大题。另外，我还每天出几道题给他们做，要求他们每天花三、四十分钟的时间真正弄懂这几道题，对于成绩较好的学生，我们对过答案后，做错的题要他们自己先分析、思考，并作出更正；对于一般的学生，我对过答案后，要学生在不懂的地方打上问号后交上来，我再根据他们的问题分别辅导；对于基础差的学生，我则出一些基础性的题给他们做，尽量让他们能做出一部分，对于不会做的则详细给他们进行讲解。让所有学生都认清自己的认知水平与学习能力，在这个层面上再努力提高。

四、分层于情感交流中

要使学生进一步提高对数学学习的兴趣，除了创造师生感情交融的心理环境外，还要使学生重视处理好许多的“第一次”，充分发挥“首次效应”的积极作用。让每一位学生学会自我竞赛，记住以往学习数学的成绩，只要比过去进步了，就是自己在数学学习上的一次“成功”。对学有余力的学生组织课外数学兴趣小组，多开展活动，扩大数学知识面。这种分类指导、整体推进的教学方法，不仅使绝大多数学生都能“吃得饱，消化得了”，而且原来数学基础较差的学生尝到了数学学习“成功”的甜头，进一步激发了学习数学的兴趣。此外，教师对学生取得的成绩和进步，要及时给予表扬和鼓励，这是提高学生学习积极性的重要手段。在实施分层教学的短短的两个学期里，我明显感到了学生自信心的增强和学习上的进步，学习兴趣已经有了很大提高，我在课堂教学中也感觉到顺利多了。我想，只要我们能立足学生客观存在的差异性（基础差异与学习能力的差异），扎扎实实地开展分层教学，挖掘每个学生的学习潜能，让学生都能够体验成功的快乐，就一定能取得丰硕的教学成果。

作者:丁新梅 单位:江苏省江阴中等专业学校

第五篇：高职数学教学中后进生成因分析及对策

1问题的提出

所谓后进生是指思维能力、学业成绩、自我管控能力等方面低于合格水平，存在这样或那样问题的学生。教师或家长往往称他们为暂时表现差的学生，或差生。高职数学后进生是指在高职数学学习过程中达不到高职数学教学基本要求和教学目标的学生。由于高校扩招等原因，高职院校数学后进生人数逐年增多，成为高职数学教学中不容忽视的一个问题。深入调查分析后进生的成因，探索出高效率的教学策略，做好后进生转化工作，防止和减少后进生是数学教师的重要职责之一。

2问卷的设计与调查

了解后进生形成的内因和外因。内因主要指学习态度、学习动机、学习方法、意志力、性格倾向等因素。外因指学生的数学基础、学习环境、教师的教学理念、教师对学生学习方法的指导、教师的知识与能力，以及教师的个性品质等因素。整个问卷围绕数学学习情况展开，分为内因和外因两大部分，共设计18道题目，每道题目有四个选项供学生选择，学生可根据自己的实际情况选择相应答案。

3调查统计结果

本次问卷调查对象为无锡商业职业技术学院2014~2015学年第一学期全校数学课程期终考试不及格学生，共发放问卷161份，收回有效调查问卷159份。将调查问卷逐份统计后，再将各项结果换算成百分数，结果见表1高职后进生数学学习情况问卷调查统计表（百分比）。

4后进生成因分析

（1）学习态度不端正，缺少学习兴趣。学习兴趣是个体学习动力的主要源泉，是激发个体进行学习活动，维持已引起的学习活动，并引导其行为朝向一定的学习目标的一种内在心理过程或心理状态。本次调查中有64%的后进生表示对学习数学无兴趣。可见在高职数学学习中，学习兴趣直接影响了将近三分之二后进生的数学学习行为。从学习目的、听课、自主完成作业、学习成绩等涉及学习态度的方面来看，42%的后进生学习目的不明确，在课堂上，75%的后进生注意力不集中，无意识记强于有意识记，他们会自觉不自觉的做出一些不利于教学的事情，如在数学课上经常做其他事情的后进生达到57%。他们对数学知识没有刻意去理解掌握，不求甚解，积极学习的内部动因处于低迷状态。这些学生在课堂上懒得动手动脑，对教师的启发、引导无动于衷，我行我素。课后抄别人的作业，对学习成绩漠不关心。从总体来讲，后进生的学习态度处于较低的状态，对学习难以产生推动力，对学习数学极其不利。

（2）学习方法不正确，没有良好的学习习惯。调查反映63%的后进生课前不预习，42%的后进生课后不复习巩固，一半的后进生课后不复习而直接做作业，盲目解题，完成任务了事，没有好的学习习惯。有的后进生预习、复习时只讲速度。做题时不抄题、不仔细审题，没有规范的步骤和详细的解答过程。听课时不注重概念的理解，只听几道例题。做课堂练习的时候，又懒得动笔。个别后进生平时对难题很感兴趣，对中等难度及以下的题不屑一顾，好高骛远。有的后进生不注重知识的理解、方法的领会，只靠死记硬背定义、公式，有的后进生片面注重参考书，不重视教材，没有自始自终的学习计划，老师让干什么就干什么，没有自我反思的过程，更没有与老师同学的探讨交流。调查中发现，83%的后进生表示没有找到学习数学的好方法，就充分说明了后进生数学学习方法极度匮乏的事实。

（3）缺乏意志力，非智力因素低。不少后进生知道自己的中学数学基础差，进入高职院校后，最初他们发愤学习数学，但是经过一番努力之后，效果并不理想，于是又放弃了。说到底是他们缺乏坚定的意志力，缺乏强烈的学习情感，对错误的数学答案很少寻找致错的原因，对难题不愿做长时间的细心钻研，而习惯于走马观花式的学习方法。他们缺乏充分的自信心，每节数学课都感到包袱累累，无法正常发挥，数学学习变成了一副沉重的负担，长期处于困惑、苦恼或失望之中。沮丧、自卑、抑郁、退缩、被动的情绪体验，最终导致他们严重的自我否定，丧失学习数学的自信心。从调查来看，多数后进生非智力因素处于较低的水平。

（4）性格有缺陷，心理不是特别健康。部分后进生由于家庭和学校等原因，形成了内向、孤僻、情感淡漠的性格，他们缺乏自我表现的习惯和勇气，他们不愿开口，不善交往。这就使得他们碰到问题时常常不向同学或老师请教，在课堂上害怕表现不佳而有损自己在老师和同学心目中的形象，主动降低自我要求。具有这种性格倾向的后进生，不仅学习上的困难无法解决，而且学过的知识也不能达到最大限度的应用。笔者发现任教班级的后进生中，绝大多数的后进生是性格内向的，他们往往不敢举手回答问题，当被老师叫到时，有的人低头不语，有的人小声说不会。

5教学对策和建议

因为形成高职数学后进生的原因错综复杂，教师一味埋怨后进生不努力，只会使其对数学学习产生更强烈的厌学情绪。只有摸清原因，对症下药，才能解决问题。针对高职数学后进生的现状，在调查分析的基础上，提出如下教学对策和建议。

（1）教师要转变心态，用爱和尊重转化后进生。爱默森说：“教育成功的秘密在于尊重学生”，教师真诚的爱和尊重是启迪学生心扉的钥匙，后进生往往最需要这把金钥匙。社会、学校、教师一般多偏爱优等生或循规蹈矩的中等学生，后进生在学校基本被孤立了。教师要首先转变心态，要认识到后进生也是教学主体不可分割的组成部分，要深入了解后进生的心理需求，消除后进生的心理障碍，使后进生在学习中获得满足感和成就感。由于成绩不理想，后进生往往对数学学习丧失信心，甚至产生抵触情绪。教师应当设身处地地为后进生着想，千万不能用过激的语言伤害他们的自尊心，更不能用冷酷的表情刺痛他们自尊的心灵。对后进生要满含成功的期望，给予他们最真诚的关怀和最诚挚的耐心，这是帮助后进生进步的感情基础。因此，教师应多深入到后进生的学习生活当中去，了解后进生，爱护后进生，用更加平和、更加温暖的语言引导和启发他们，让他们敞开闭锁的心扉，正确面对自己。老师也不能流露出他们是集体的后腿，是包袱的想法，要主动帮助后进生做好课前预习，经常检查他们的课堂练习，督促他们进行课后复习，使他们从情感上接受老师，进而接受数学，使他们产生学好数学的良好愿望和决心。因为后进生的数学学习进步和他们的整体转变是一脉相承的，所以数学教师还要结合班主任的思想工作来转变后进生，不能孤立地做工作。

（2）发现闪光点，通过鼓励促使后进生成才。发现后进生的闪光点，及时表扬是激发后进生自信心的关键。大多数后进生都有自卑感，缺乏自信心。所以，教师要及时发现后进生的优点，那怕是一点点进步都要大力表扬，语言要充满善意，态度要诚恳，要为他们指明前进的方向。对于缺点较多的后进生，教师不能歧视，不能厌弃，更不能过多地公开批评。要全面地、客观地了解他们，善于发掘他们身上的长处，使他们能够施展所长，树立自信心，从而达到良好的教育效果。

（3）根据后进生的接受能力，进行有效补偿教学。部分高职生数学基础差是国内大的教育环境决定的，高职学校自己目前一时难以解决，因此实施补偿教学是转化后进生的必要措施之一。我校在新生入学时，就对新生进行一次数学摸底考试，参考高考数学成绩，对数学成绩较差的后进生实行统一课外辅导，以便他们能够跟上大学的数学学习。补偿教学必须以后进生的自学为前提，还可以以学习小组等形式进行。在讲授新课的课堂上，教师也要善于及时发现问题，对后进生没学过或忘记的有关内容，要及时帮助他们掌握，以免影响新知识的学习。

（4）改变课堂教学理念，引导后进生积极参与课堂教学。在数学课堂上，教师要改变后进生甘做局外人的现状，要充分挖掘后进生的学习潜能，调动他们的学习积极性，强调人人参与，改变他们自我封闭的性格。在教学中，要承认差异，因材施教，分层要求，让后进生经过努力有所收获，不断增强他们学好数学的信心。对于数学学习有困难的后进生，要通过形象直观的手段，生动活泼的方法，丰富多样的活动，激发其数学学习兴趣，让他们乐于参与学习。在教学过程中，还应渗透学法指导，让后进生掌握数学学习方法，真正成为学习的主人。总之，数学后进生的转化工作是一项艰巨而长期的系统工程，需要师生做好以下几方面的结合，即预防矫正相结合，心灵沟通和补偿教学相结合，改革教学与指导学法相结合，开发智力和挖掘非智力因素相结合，综合转差和学科特点相结合。

作者:张天鹤 单位:无锡商业职业技术学院基础部

第六篇：高职数学教学中学生思维能力培养

高职学生的数学基础普遍较差，数学思维能力较弱，尤其是在高职教育提出“以应用为目的，以必需、够用为度”的教学原则，高数教学课时不断压缩的情况下，高职的数学教学变得越来越困难．本文从培养学生的思维能力入手，借助教学内容、教学方法和数学思维的实例展示，全面调动学生的学习积极性，激发学习热情，理清学习思路，抓住学习主线，培养学生的各项思维能力，不仅掌握更多数学知识，更要学生触类旁通，学会思考和解决各类问题，不断提高各项能力和素质．

一、高职数学教学内容分析

考虑到高职高专院校的教学实际，高职数学教学以“理解概念、强化应用”为原则．理论描述力求简约，重视思维能力、基本方法和基本技能的训练，充分体现以应用为目的，以必需、够用为度的高职教学基本精神．目前，我们高职高专院校中，理工科一般开课两学期，文科视专业需要开课两学期或一学期．针对生源(高中毕业生或中等职业学校毕业生)教学内容和深度都有适当调整．高数的教学内容一般包括:函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、常微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、线性代数初步、概率统计初步和数学建模等．其中前五项为基础内容，开课两学期的专业，除了要学习基础内容外，根据专业需求和学时长短来选择后面的学习内容．开课一学期的专业，因教学时长有限，仅能学习基础内容外加一章专业急需的数学内容．

二、培养学生思维能力的实例展示———以“最值问题”为例

首先，我们要分析———何为最值、我们为什么要学习最值、函数在哪些点可能取得最值、这些点跟已经学过的内容有什么联系、如何利用已学知识求得最值、在求解的过程中需要注意什么?最值，顾名思义，最大值或最小值．在实际生活中，我们经常会遇到如何使利润最高、用料最省、速度最快等问题，反映在数学上就是求函数的最值问题．由前面函数的连续性内容，我们知道闭区间上的连续函数一定存在最值．所以，如果我们能确定一个函数在某个闭区间上连续，那么它在这个闭区间上一定存在最值．这里就培养了学生的分析、理解、判断、推理和概括能力．那么函数到底在哪儿取得最值呢?我们可以利用前面刚刚学习的极值的问题，通过图形来判断．作图的方式是数学课程中经常用到的教学方法，这个过程又培养了学生的画图能力、图形识别能力和抽象思维能力．通过图形分析，我们发现，闭区间上的连续函数在区间内的极值点或区间端点处可能取得最值．所以我们必须求出来所有的极值点，然后比较极值点处的取值和端点处的取值，最终确定哪个是最值点．这个过程同样培养了学生的综合、比较、判断、推理能力．然后，我们需要归纳出求最值的一般步骤．这个过程可以由学生自主完成，这可以锻炼学生的概括能力和思维的条理性和严密性．求最值的一般步骤为:(1)求出函数在对应开区间内的所有驻点和不可导点(这些是求极值点的过程)，并计算出这些点的函数值及区间端点处的函数值;(2)比较这些函数值，最大者就是函数在此闭区间上的最大值，最小者就是最小值．那么这个过程需要注意什么呢?在发问的过程中，很多学生都迅速说出了他们的想法和观点:(1)函数是否在闭区间上连续?因为这个直接影响了极值点的确定;(2)要求出所有的不可导点，因为不可导点有可能是极值点;(3)别忘了求端点处的函数值，因为端点也有可能是最值点．在发问的过程中加以引导，学生思路更加清晰，思维更加缜密，对原来所学极值的内容掌握更加牢固，能够站在更深的思想维度里考虑极值问题．接下来，我们需要给学生给出一些函数求最值，让他们练习巩固．这个过程少不了教师的引导和点评．再往后，就要进入实际问题的最值求解．实际问题的设置要符合生产生活实际，最好能契合学生专业，以能启发学生学习兴趣为主要出发点．这个过程要注意:最值的求解必须符合实际意义．在实例求解的过程中，要注意培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力和推理能力．最后，我们可以对最值问题做适当扩展和发散，以进一步启发、培养和锻炼数学基础较好或兴趣较高的同学的思维能力和思维方式．

三、思维能力培养贯穿高职数学教学始终

我们认为，只有在教学过程中时刻兼顾学生的数学基础，时刻强调学生思维能力的培养，将教师的思维过程和学生的思维过程全面展示和结合，才能真正做到让学生融入到有限的课时中去，才能彻底激发学生的学习热情，才能真正体现数学的教学目的和意义．本文主要针对高职数学教学中学生思维能力的培养，实例展示如何在教学过程中体现对学生的理解力、分析力、综合力、比较力、概括力、抽象力、推理力、论证力及判断力等各种思维能力的培养，让学生真正会思考、会抽象、会判断，变得更加智慧，处理问题更加游刃有余．

作者:苏玉 单位:日照职业技术学院

第七篇：高职院校高等数学教学方法的探究

高职院校的目标是为企业培养技能型、实用型人才。为了适应培养目标，高职院校普遍将高等数学课时压缩。所以，在高等数学的教学上一定要坚持“以应用为目的，以必须够用为度”的原则，在减轻学生学习负担的同时，使学生学到的知识够用。由于高职学生数学基础薄弱，数学学习能力较差，面对高等数学课时少、内容多的现状，很多学生感到学习起来很吃力。下面笔者结合自己的教学经验提出六种适合高职数学教育的教学方法，以此来激发学生的学习兴趣，提高教学质量。

一、启发式教学法

启发式教学法是常用的一种教学手段，教师通过引导、设疑、启发来激发学生的学习兴趣。在实际教学中，教师可根据不同教学内容和教学经验采取不同的启发式教学方法。例如：在讲解数列极限时，学生无法理解无限变化的过程。教师可以根据学生的理解逐步引导，如用圆内接正6边形做近似行吗？用正12边形、正24边形呢？怎样变化时才能得到圆的精确面积？通过启发式教学，引导学生体会极限的过程。

二、案例教学法

通过生动形象的案例进行教学，可以增强学生对概念的理解，归纳总结出所学的知识。例如：在讲导数概念时可以应用案例教学法。首先讲解变速直线运动的瞬时速度，一般教师直接在黑板上推导导数定义，这样会使学生感到很难理解。这时不妨利用学生熟知的自由落体运动来讲解。一面利用高中知识求解，一面利用极限方法加利用多媒体课件向学生动态演示物体的运动过程，学生更容易接受。这样再推导出导数概念时，学生不仅能理解什么是导数，而且对变化率问题也深有体会。

三、分层教学法

由于高职高专院校学生学习能力参差不齐，有的学生数学基础好，而有的，连最基本的知识、定理、公式也掌握不好。这时课堂上如果按照传统模式教学，一定会使基础差的学生掉队或者产生厌学心理。基于这种情况，教师应结合所讲内容采取分层教学。例如：在讲导数运算时，教师可将习题分为难、较难、一般三个程度，让学生从中选取。如果学生基础较好可尝试较难或很难的问题，而基础差的学生则可以尝试一般程度的习题。通过分层教学，提高了学生的积极性。

四“、教、学、做”一体教学法

在传统教学的基础上适当地安排一些时间来尝试“教、学、做”一体教学。当完成一部分教学任务时，教师可从中选取一些内容或知识点让学生在课堂讲解，使学生自己当一次老师。学生一边讲解，教师一边指导、纠正和补充。学生可在讲解的过程中强化对知识点的理解，更扎实地掌握学习内容，激发学习兴趣。但是使用这种教学法，教师在内容的选取上要多加注意，不要选择过难或不易理解的概念让学生讲解。

五“、课后预习、复习强化”教学法

在高等数学教学中，许多教师只关心课堂教学，对学生的预习情况不加思考。导致课上学生跟不上教师的进度，对较难的知识点理解不好。教师可以在讲完本次课的内容时让学生课后预习，设计一些问题让学生回答。等到再次上课时让学生带着问题学习，可收到事半功倍的效果，还能培养学生良好的自学能力。而复习强化同样重要，每节课前教师抽出10-15分钟对上节课所学的内容进行复习，可以使学生更好地抓住重难点，同时对所学内容加深记忆，有助于巩固学习。

六“、专业结合”教学法

高等数学的学习是为专业课服务的，在教学时与专业进行结合尤为重要。教师应深入研究各专业的培养目标和知识要点，合理地制定高等数学的教学内容、解决方向、需求、服务等问题。例如：结合学生所学的专业内容分别在汽检、汽制、机械制造等专业重点讲授变换率问题、曲率和微分方程。数控技术专业还增加了空间解析几何、级数、微分方程、拉普拉斯变换等内容的讲解，让学生的数学知识在够用的基础上更好地为专业课服务。七、小结要想在高职高专院校讲好高等数学，只采用一种教学方法往往不够，教师需要采用多种教学方法相结合的手段才能讲授一节精彩的高等数学课。这就要求教师不断提高自己的教学水平，根据学生的学习情况及时做出调整和改进，方能激发学生的学习兴趣，提高教学质量。

作者:隋欣 单位:长春汽车工业高等专科学校

第八篇：高职院校高等数学教学方法与思路

高职院校最为关键的一门学科就是高等数学，其在各行各业的影响力正在不断加强，怎样才能够使高职生更好地掌握高等数学是我们急需解决的一个问题。高职教育的办学宗旨就是以就业为核心，使学生具备职业能力，符合职业教育的要求，打造一支能够为社会服务的高水准全方位的应用型人才。高职教育紧紧围绕着这一宗旨，在教学上以一些基础性的理论为主，重点使学生形成基本技能，而“两个基本”应当作为高职院校教学的基础。严格遵守“两个基本”，在高等数学的教学上应当重点突出应用，应当立足于实际。它可以作为数学的基本依据，帮助学生处理实际中的问题以及使学生在将来能够更好地学习，学生就会逐步具备了独立思考，分析处理的水平。

一、教学应当针对性强，因材施教，按实际划分

学生数学水平差距很大，不仅有理科生还有文科生，而大部分的学生其数学成绩是中等以下的，其两极分化悬殊很大。传统的教学方式就像“大锅饭”，成绩优异的学生什么都没有学到，而成绩中等以下的又因为失去信心提高了不了学习欲望。高等数学是一门不可或缺的课程，其影响着学生将来的学习，所以学好高等数学便显得特别关键。为了使教学效果更加明显，在新生进入校门时就应该以学生的数学分数来对其进行划分，老师以此为基础拟定教学内容与目标，若学生的成绩良好则加强他们解决、探讨问题的能力，若学生成绩较差则教会他们一些基础性的知识。以教学内容来讲，成绩良好的学生应当融会贯通本专业知识，拓展其知识领域，而对于成绩中等以下的学生则应当让他们掌握基础知识以及一些平时需要用到的基础技能。以上述方式进行划分，能够在班级里营造积极向上的学习气氛，大家都能够处在同一水平线上进行学习，而不仅有利于教师教学，更有利于学生学习，目前越来越多的院校开始落实并且效果显著。

二、课堂上案例教学，精讲多练，培养学生学习兴趣

大多数高职生表示高等数学课堂乏味，难以提起兴趣。一大部分的高职生刚刚开始热爱学习数学，可是经过一段时间后这些学生都表示数学太过于复杂，兴趣与自信都随着时间的流逝渐渐消失。在课堂上，教师在讲解数学内容时应当立足于实际或者结合频繁可见的例子来讲解，提高学生的兴趣与学习信心，使学生能够树立不怕困难、勇于进取的精神。教师在讲课时应当重点讲解一些核心知识，在对例题进行讲解时，应当让学生有足够的时间去思去想，假设学生提出自己的想法、见解，应当给予表扬，让学生取得更大的成绩。还能够让学生学习同种类型的例题，让学生树立自信，提高学生的兴趣，不再害怕高等数学。课堂教学不仅仅只是达到教学目标，要求时刻关注学生的学习进程，重视学生的理解程度，应当让学生交流、互动，让学生在这种课堂气氛当中拥有浓烈的兴趣。针对课堂上需要理解的知识，教师应当适当地提问学生。假设学生无法回答教师的问题时，教师可以依层次地把问题的难度减低，到学生能够精准地解答学生的问题为止。通过这种方式来增强学生的信心。

三、计算机辅助教学应用于课堂，加强直观性

课堂教学应当擅于运用计算机，计算机功能强大并且可以还原教学情景，解决教师的一些工作任务，计算机也只是教学课堂当中的工具，其可以补充课堂教堂当中的不足，可是它不能在教学上取代教师，更不能够在学习上取代学生。因为教学是一个双方互动沟通有无的工作，它把学生习学习，老师教学巧妙地融合在一起，唯有老师与学生相互沟通，相互合作才能够更好地完成。教师对于自己的学生十分了解，对于学生所学习的情况十分清楚，在课堂上方能够有针对性地解决，可是现阶段的计算机还不具备这方面的功能。教师在开展教学时，要杜绝充当操控者，学生如果一味被计算机牵着鼻子走，那么课堂上就没有什么意义了，这种方法交流性不是很强，教与学不能够在同一个步伐，当然很难取得预料当中的水平。

四、教学过程当中理应用上数学建模，在实际当中加以运用

高等数学论文范文篇4

关键词：1、分数整，2、相对整性质，3小数相对整，4、分数相对整，5、广义整数，6、有限不循环小数，7、有限循环小数，8、最大分数单位1/2，9、小数单位、最大小数单位0.5，10、双素数11、狭义数学真理12、广义数学真理等等

一、建立初等数学数值逻辑公理系统雏形：

（一）、探讨认识初等数学深刻内涵，需要不断深化认识、不断完善，还要考虑到易懂易理解，一篇不成熟的数学论文，反反复复，大同小异，颇感不妥，抱歉了！今后若有新的认识，以数学基本知识的方式单独，以前的数学学术观点、理念不再重复，…，再次抱歉、敬请谅解！

（二）、数字推理——数值逻辑辩证推理：

究竟是到数值逻辑系统外部探寻系统运算规律？还是在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律？很显然，要在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律，事实证明，数理逻辑与实无限并未完全揭示出数值逻辑公理系统运算规律，初等数学基本理论尚有不足之处，它是实无限数学理论和数理逻辑无法解决的数学矛盾与问题，关于数学的无限矛盾，实无限不能解决的数学矛盾，运用潜无限数学思维理念与潜无限手段去解决，未尝不可，…。

用那10个阿拉伯数字演绎数学真谛，1生2、2生3、“10”生无限，确切地说正整数数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，…如果从数学的集合论和数论、哲学角度出发，运用算术的方法分别选取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分别地建立起最基本最原始幼稚可笑的有理数数列群与子集合：

第1系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……，…

第2系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……，…

第3系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……，…

第4系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……，…

第5系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……，…

第6系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……，…

第7系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……，…

第8系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……，…

第9系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……，…

第10系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……，…

……，……

如何再去分别探索在何范畴内各基数间存在着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，…的倍数时——数值逻辑公理系统运算规律？：

第1系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……，…

第2系列：

第2环节：

2（0/2+1/2+2/2）

=（1/2+2/2+3/2）

=（0.5+2/2+1.5）

第3环节：

3（0/2+1/2+2/2）

=（2/2+3/2+4/2）

=（1+3/2+2）

第4环节：

4（0/2+1/2+2/2）

=（3/2+4/2+5/2）

=（1.5+4/2+2.5）

第5环节：

5（0/2+1/2+2/2）

=（4/2+5/2+6/2）

=（2+5/2+3）

第6环节：

6（0/2+1/2+2/2）

=（5/2++6/2+7/2）

=（2.5+6/2+3.5），……，…

第3系列：

第2环节：

2（0/3+1/3+2/3+3/3）

=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3）

=（3/3+4/3+5/3）

=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）

第3环节：

3（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（3/3+4/3+5/3+6/3）

=（1+4/3+5/3+2）

第4环节：

4（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3）

=（7/3+8/3+9/3）

=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）

第5环节：

5（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（6/3+7/3+8/3+9/3）

=（2+7/3+8/3+3）

第6环节：

6（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）

=（11/3+12/3+13/3）

=（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5），……，…

第4系列：

第2环节：

2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4）

=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）

第3环节：

3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4）

=（1+5/4+6/4+7/4+2）

第4环节：

4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）

=（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）

第5环节：

5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4）

=（2+9/4+10/4+11/4+3）

第6环节：

6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4+）

=（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）

=（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5），……，…

第5系列：

第2环节：

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）

第3环节：

3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5）

=（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）

第4环节：

4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5）

=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5）

=（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5）

第5环节：

5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5）

=（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）

第6环节：

6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5）

=（16/5+17/5+18/5+19/5+20/5）

=（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），……，…

第6系列：

第2环节：

2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6)

=(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)

第3环节：

3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6）

=（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）

第4环节：

4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6）

=（1.5++10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）

第5环节：

5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6）

=（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）

第6环节：

6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6）

=（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……，…

第7系列：

第2环节：

2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7）

=（5/7+6/7+7/7+8/7+9/7+10/7+11/7）

=（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）

第3环节：

3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7）

=（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）

第4环节：

4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7)

=（13/7+14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7）

=(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)

第5环节：

5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7）

=（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）

第6环节：

6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7)

=(21/7+22/7+23/7+24/7+25/7+26/7+27/7)

=(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)，……，…

第8系列：

第2环节：

2（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（4/8+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+12/8）

=（0.5+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+1.5）

第3环节：

3（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（8/8+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+16/8）

=（1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2）

第4环节：

4（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（12/8+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+20/8）

=（1.5+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+2.5）

第5环节：

5（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（16/8+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+24/8）

=（2+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3）

第6环节：

6（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（20/8+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+28/8）

=（2.5+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+3.5），……，…

第9系列：

第2环节：

2（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=(4.5/9+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+13.5/9)

=(6/9+7/9+8/9+9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9)

=(0.5+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+1.5)

第3环节：

3（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+18/9）

=（1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2）

第4环节：

4（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（13.5/9+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9

+19.5/9+20.5/9+21.5/9+22.5/9）

=（16/9+17/9+18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9）

=（1.5+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9

+19.5/9+20.5/9+21.5/9+2.5）

第5环节：

5（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=(18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+27/9)

=(2+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3)

第6环节：

6（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（22.5/9+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9

+28.5/9+29.5/9+30.5/9+31.5/9）

=（26/9+27/9+28/9+29/9+30/9+31/9+32/9+33/9+34/9）

=（2.5+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9

+28.5/9+29.5/9+30.5/9+3.5），……，…

第10系列：

第2环节：

2（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10

+12/10|+13/10+14/10+15/10）

=（0.5+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+1.5）

第3环节：

3（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（10/10+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10

+16/10+17/10+18/10+19/10+20/10）

=（1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10

+16/10+17/10+18/10+19/10+2）

第4环节：

4（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（15/10+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10

+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10）

=（1.5+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10

+21/10+22/10+23/10+24/10+2.5）

第5环节：

5（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10

+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10）

=（2+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10

+26/10+27/10+28/10+29/10+3）

第6环节：

6（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（25/10+26/10+2710+28/10+24910+30/10

+31/10+32/10+33/10+34/10+35/10）

=（2.5+26/10+2710+28/10+24910+30/10

+31/10+32/10+33/10+34/10+3.5），……，…；

……，……

关于上述初等数学起点最简单最原始幼稚可笑的数值运算是否蕴涵着数值逻辑运算规律和深刻的数学内涵？单凭直觉无法回答，千百年来实无限理论和玄学无法理解与接受它、也不可能去探究，…，目前，只能实事求是，用事实说话，常言道，最简单的最质朴的恰恰是最深奥的、最难以理解接受的，数学是被应验的，我们将上述运用亚里士多德潜无限数学思想和辩证法指导下，在数论、集合论内涵条件下形成的普遍运算规律概括归纳为：

1、第1系列并未派生子集合：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6，……，是特殊矛盾特殊规律、为特殊特别系列、特殊矛盾例外，务必将其排斥在外，如果不将其排斥在外、这系统同样无法理解与接受，其实它就是分数整（整数分数）；

2、数值逻辑公理系统（从第2系列起均派生子集合）：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此结构式上下交错对应莫散开）

{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

第7环节：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，

第8环节：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，

第9环节：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}，

第10环节：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，

……，……

∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，∑{[0.5～1.5]}意指0.5与1.5之间的基数之和，它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，如果说{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基数是实无限，那么它的基数（有理数与无理数）就会一下子全部冒出来究竟具体有多少？无人具体知晓也无法具体知晓，自古至今一筹莫展，务必突破传统数学思维理念的严重束缚，让事实说话，符号↓：意指派生子集合，在有理数系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其相对整性质（亦可理解为哲理整性质），即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整数值逻辑运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，数论、集论、初等数学、自然辩证法四位一体、辩证统一，自然辩证法（现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、数学基础并为其指明前进方向，至此，需要引入数学新概念，相对整性质、小数相对整、等等概念：

相对整性质：其他普通小数的绝对值与小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值和其他普通小数的绝对值相比较整装（在数值逻辑公理系统中），将这一特殊性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为1/2=0.5、1/2是最大分数单位、则0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在本数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，……。

3、数值逻辑公理系统派生子集合并非一目了然、需要详细说明：

（1）、当选取1时，第一系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……为分数整，并未派生子集合，是特殊矛盾，则其为特殊系列，特殊矛盾与普遍矛盾务必需要人为加以区分，否则就要导致逻辑悖论，因此，务必把第一系列排斥在公理系统之外，才是科学的、才是适宜的，…。

（2）、数值逻辑系统外部结构形式像“锁链”，因此将其简称为连锁形式，连锁形式非常规则，一环扣一环、环环相扣、无穷无尽（例如）：

[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应莫散开）

{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

（3）、当系统子系列在偶数范畴内：在第2系列（例如：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……）、第4系列、在第6系列、第8系列、第10系列、……均派生子集合——充分地十足地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，连锁形式规则，非常直观，具有典型代表意义。

（4）、当系统子系列在奇数范畴内：在第3系列（例如：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……）、第5系列、第7系列、第9系列、……亦均派子集合（隐形的、非直观的），因为小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以纷纷跨跃（飞跃）出来，充当相对整子集，连锁形式规则，十分显然地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质、自告奋勇、势不可挡，数值逻辑对立统一规律预示着选择公理，在奇数范畴内必有其它基数与其相当，例如第5系列、第2环节：

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）

=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

很显然，如果直接用

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）来表达派生子集合，就是隐形的、非直观的，单凭直觉观察不出派生子集合，如果对（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）进行拆分子运算就能得到（必须指出、在公理系统中是运用规律直接观察、归纳出来的）：

（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

=[（2.5+1.5）/5+(3.5+1.5/5)+(4.5+1.5/5)+(5.5+1.5)/5+(6.5+1.5)/5]

=(2.5/5+3.5+/5+4.5/5)+(5.5)/5+6.5/5+(1.5*5)/5

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5），第2环节体现0.5，1.5拥有相对整性质，其他奇数系列、偶数环节上都是如此,这是规律无需逐一验算，因为0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以自告奋勇、会纷纷跨跃出来，势不可挡，…。

（5）、当系统子系列在10，100，1000，10000，……，范畴内，均派生子集合，不仅揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5……拥有相对整性质，而且在向纵深发展潜无限的过程中有太多太多的基数是超越无理数数值的有限形式、甚至与其相吻合、相当，形成有限不循环小数或潜无限不循环小数（例如31415926/10000000=3.1415926等等），具有十分重要的典型代表意义，在此基础上提出有限不循环小数的概念、数学中客观存在着有限不循环小数为什么不被提出？…。

（6）、很显然，上述数值逻辑系统运算规律，除了第1系列（0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1，……）例外，系统的子系列无论是在奇数系列还是在偶数系列范畴内均派生子集合，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,……纷纷分化出来、均占据整数位置，揭示着其绝对值比其他普通小数绝对值相对整装，充分地十足地体现其相对整性质（也可理解为哲理整性质），因此，构成相对整子集，譬如{[0.5～1.5]}、、{[1.5～2.5]}等等，存在着完整数值逻辑运算规律与深刻内涵，数值逻辑系统外部结构形式像连锁，因此说系统连锁结构形式规则，蕴涵着极其深刻内涵——数值逻辑对立统一规律，奇数与偶数相反相成、对立统一，为偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除提供科学依据，具有普遍意义，这是数学自然观的重大认识问题，要做出正确选择，很显然，整数形成了广义整数、数论形成了广义数论、集合论形成了广义集合论、真理形成了广义数学真理，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……自告奋勇势不可挡、纷纷分化出来担负起“相对整数”的重任，数字简单原理哲理却深刻，同时自然辩证法以对立统一规律为切入点注入初等数学和纯粹数学，…。

二、初等数学深刻内涵：

1、分数整：0/1=0，1/1=1，-1/1=-1，2/1=2，-2/1=-2，3/1=3，-3/1=-3，4/1=4，-4/1=-4，5/1=5，-5/1=-5，6/1=6，-6/1=-6，……尽管是分数形式，数值逻辑系统揭示着依然体现整数性质，因此将其统称为分数整。

2、小数整：无限循环小数0.9˙=1，小数形式依然体现整数性质，将其简称为小数整。

3、素数偶：2既是一个素数又是一个偶数，将其简称为素数偶，具有唯一性，将奇素数3，5，7，11，13，17，19，......统称为素数。

4、分数相对整：分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……既拥有分数性质又具备相对整性质，因此将其统称为分数相对整，分数相对整拥有相互矛盾的双重性质，其一是普通分数性质，其二是相对整性质——因为1/2是最大分数单位，其他普通分数不具备相对整性质——因为普通分数的分数单位均小于1/2，实际上，其他普通分数的分数部分均为分数单位，均小于1/2绝对值更零散，所以一次性彻底排除，以免造成思维混乱，务必需要说明，分数相对整与整数（分数整）是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并不等同，既要看到差异又要看到共性、当然是指差异中的共性。

5、相对整性质：其他普通分数的绝对值和1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……的绝对值相比较更零散，换言之1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……和其他普通分数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把(分数相对整)相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么拥有相对整性质，因为1/2是最大分数单位，分数单位1/2﹥1/3﹥1/4﹥1/5﹥1/6，……，因为1/2=0.5，1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位。

6、小数单位：关于分数和小数互相关联着，看到分数要联想到小数，分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数就是小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，即0.5，0.333…，0.25，0.2，…，0.1等等就是小数单位，很显然，1/2是最大分数单位，0.5是最大小数单位，1/2与0.5看似极其简单的两个数字却是微小微妙的，自古至今，数学只把它们看成普通分数、普通小数，现在来看需要转变思维理念，….。

7、小数相对整：小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......既拥有小数性质又具备相对整性质，将其统称为小数相对整，小数相对整拥有相互矛盾的双重性质，一是普通小数性质，二是相对整性质——因为0.5是最大小数单位，其他普通小数不具备相对整性质——因为普通小数的小数单位均小于0.5，一次性彻底排除，以免造成思维混乱，只接受小数相对整的小数性质是片面的，只接受小数相对整的相对整性质是片面的，需要说明，小数相对整与整数是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并非等同，正整数的性质可以理解为绝对整，小数相对整顾名思义性质相对整，这就是二者的差异，同时绝对整与相对整又是异中之同、所谓的共性，…。

8、相对整性质：其他普通小数的绝对值和小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......和其他普通小数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把（小数相对整）相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，务必引起高度重视，...。

9、广义整数：将整数和分数相对整统称为广义整数，即本文将0，1/2，-1/2，1，-1，3/2，-3/2，2，-2，5/2，-5/2，3，-3，7/2，-7/2，……，…统称为广义整数；亦可以将整数和小数相对整统称为广义整数，即本文将0，0.5，-0.5，1，-1，1.5，-1.52，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，……，…统称为广义整数，蕴涵着绝对整与相对整的意义，...。

10、广义（数学）真理：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、却能被2相对整除、潜无限等等内涵的数学真理统称为广义（数学）真理，要探索绝对值1+1=2蕴涵的基本原理、道理、哲理，哲学以对立统一规律为切入点注入初等数学、注入纯粹数学，...。

11、狭义（数学）真理：偶数能被2整除、奇数不能被2整除，...，统称为狭义（数学）真理，非常有必要把数学分为狭义真理和广义真理，小学数学（算术）应为狭义（数学）真理，...。

12、实无限：简言之，理解为经完成的无限，我们的前人将其称之为实无限，...，如自然数的全体、实数全体是指实无限，实无限排斥潜无限，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，实无限为高等数学、数理逻辑等等方面奠定基础、实无限是被理想化的无限，只有如此理解方能合乎大道理，才有存在的理由、缘由，…。

13、潜无限：简言之，理解为处于不断发展变化中的无限，如像n→∞或n→0的极限过程那样称为潜无限，也可理解成未完成的无限、无穷无尽，数学潜无限与人文无限、哲学无限一脉相承、并不相悖，潜无限依然是初等数学的基础，潜无限依然是广泛意义上的真理、无处不在，承认接受实无限的大家风范不能排斥、丢掉了潜无限数学真理，否则没有错误有失误，因此，潜无限为初等数学数值逻辑奠定基础，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，...。

14、绝对值1+1=2蕴涵着的基本原理、道理、哲理（为什么1+1=2）：

本文回答既简单又深奥：偶数能被2（绝对）整除，奇数不能被2（绝对）整除却着实能被2相对整除（传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数的排斥性对立性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除是指奇数和偶数的异中之同、差异中共性、同一性），因此说，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，或者说2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的数值逻辑对立统一规律——蕴涵着哲学的对立统一规律，哲学（自然辩证法）以对立统一规律为切入点注入数学基础、注入初等数学，哲学的基本原理大可为数学理论作指导，如果有谁再说哲学不能过问、关心数学矛盾和问题，那就站不住脚了，数学既要讲逻辑又要讲基本原理、道理、哲理，自然辩证法为其补充、弥补深刻内涵，...，是啊！它的确既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，其道理却深奥地不可思议、不可理喻、它的“庐山”真面目就是如此、并非本文一派胡言，如此基本原理、道理、哲理并非人人都能够理解与接受，更不是小学生阶段能够理解接受的数学知识，的确需要转变数学思维理念，高度重视、重新认识，...。

15、有必要说明：因为哲理整性质、哲理整小数难以理解接受甚至不被理解与接受，本文将它称之为相对整性质、小数相对整等等，换言之，本文相对整性质，亦可理解为哲理整性质，那么，相对整性质——哲理整性质、奇数能被2相对整除——奇数能被2哲理整除、分数相对整——哲理整分数、小数相对整——哲理整小数等等，内涵大同小异。

16、有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字或者小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字的小数统称为有限不循环小数，譬如小数：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……等等就是有限不循环小数，有限不循环小数无穷无尽，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，非常容易发现它们，而且有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用，有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限循环小数、小数整、普通有限小数等等，才更切合实际，这的确是数学的一个重大认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），没有涉及到有限不循环小数是不切实际的，因为它们客观存在着，有限不循环小数尽管不是无理数却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素、成分，尤其是，它实质上真正的起着替代无理数数值巨大的数学实际意义与作用，它真正支撑着数学实无限、实数系的基础，有限不循环小数的概念不被提出是初等数学的最大不足和缺陷，因为它有很高的应用价值，所以说初等数学和纯粹数学没有错误却有失误，…。

17、有限循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节或者说小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节的小数统称为有限循环小数，譬如：0.1616（2个循环节），0.161616（3个循环节），0.666（3个循环节），0.666666（6个循环节），0.787878（3个循环节），0.99999（5个循环节），等等就是有限循环小数，有限循环小数无穷无尽，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它也可替代无限循环小的数值，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数。

18、有理数：将广义整数与分数统称为有理数，广义整数包含着整数、分数整、分数相对整，分数包含着分数整、分数相对整、普通分数，这是因为分数相对整拥有双重性质、分数整拥有双重身份所决定的；也可以将广义整数与小数统称为有理数，广义整数包含着整数与小数相对整、小数包含着小数相对整与普通小数，因为小数相对整拥有双重性质、一是相对整性质、二是普通小数性质。

19、有理数系统——有理数系：本文将有理数数值逻辑公理系统和深刻内涵统称为初等数学有理数系统、简称为有理数系，有理数系是无限开放着的数值逻辑公理体系、永远不会终极、永远不会枯竭的数值逻辑公理体系，正如人文无限和哲学无限的内涵——无穷无尽，它们一脉相承，…。

有理数系并无什么缺憾，因为有理数系蕴涵着有限不循环小数（潜无限不循环小数），尽管有限不循环小数（潜无限不循环小数）不是无理数，它却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素和成分，它在数学中实际上真正起着无理数的意义和作用，敬请认真斟酌，这是数学的一个非常非常重大认识问题，无理数的实无限走得太遥远了、有限不循环小数和潜无限不循环小数不被理性认识，这似乎才是初等数学、数学基础的真实现状与真实状况，系统不包含无理数也可以、也是也，只要我们能够构造出潜无限不循环小数与拥有所谓的无理数数值一样的富有，不是有理数系有问题，而是人的认识出了大问题，尤其是先前率先认识数学的，…，本文也深知无理数拥有客观存在性，客观存在着，只是对其实无限的无理数数值有着不尽相同的看法，只是说关于无理数需要具体问题具体分析、具体对待、特别对待，将性质不同的两类数学矛盾人为的加以区分，更合乎逻辑，…。

有理数系统是向纵深发展着的系统、无限开放，有限不循环小数也是向纵深发展变化着的，有限不循环小数形成潜无限不循环小数，按照实无限的数学自然观，这一无限过程如果被理解为完成了，那么潜无限不循环小数与无理数、无理数数值相吻合，无可厚非，在数理逻辑中实无限拥有极大优越性、但实无限也有很大局限性，不能苟同、不能相同，不能投其所好，...，数值逻辑只会潜无限、潜无限更科学、不会实无限、实无限不能为数值逻辑奠定基础，实无限一句话或者寥寥数字就把实数系、实无限集合完成了，实无限和实数系太笼统，当您若要具体展开实数系时，您会发现完全不是那么一码事，一个具体的无理数数值都无法完整地构造出来，发现无理数已有两千多年的历史了，迄今为止，还没有谁能够构造出一个实无限的完整无理数数值，这是事实，扯别的没有意义，字母符号不是无理数、实数系的全部意义、只是一个代号，实无限是理想化的无限，因此说，实无限还是将来十分遥远的可能性，今天还看不到现实性，实无限只能够给高等数学、数理逻辑等等奠定基础，因为它们不需要具体展开实无限、实数系，一句话、几笔就能带过的数学矛盾，换言之，关于无限不需要具体展开的数学矛盾和数学领域实无限大可为其奠定基础、需要具体展开的数学矛盾潜无限为其奠定基础，...。

20、实数：把有理数和无理数统称为实数，是可以理解接受的，无理数客观存在着、拥有客观存在性，如果把实数看作实数系、请您不要说的那么笼统、那种方式也只是承认其客观存在性另一种说法，大家风范，数学迫切需要您的实无限、实数系的具体系统，而不是笼统的，敬请贡献出来，...。

21、关于无理数：无理数客观存在，拥有客观存在性，由于无理数没有公度比，与有理数的规律不一致，无理数排斥有理数、实数系中的无理数把有理数系的运算规律都被排斥掉了，有理数排斥无理数，实数系太笼统太茫然，有理数与无理数不能在一个公理系统中共容，务必把无理数排斥在系统之外，关于无理数只能对无理数、无理数数值具体问题具体分析、具体问题具体对待、特别对待，如果您能够做到了这一点——对无理数具体问题具体分析具体对待，那么它的数值是潜无限还是实无限本文不再干涉。

关于无理数需要严格界定，一是无公度比，二是无限不循环小数、而且其数值（绝对值）无穷无尽、永远不会穷尽、永远不会终结，以防有机可乘、有懈可击，实无限？潜无限？问题就出在界定不严格，数学逻辑十分严密，有些十分重要、十分关键的概念界定很不严格，有空可入，关于数学中存在的一些问题无需争论谁是谁非，而是一部分数学概念需要重新严格界定一下，尤其是无理数，…。

22、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：

绝对值1+1=2是科学抽象的，1+1=2和正整数是相对于广义单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于广义单位“1”而言，正整数把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，换言之不是任何条件下都正确，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义单位“1”、正整数、整数，消除了自然数的局限性，…。

1+1=2是数学公理并无问题、绝对无问题、只是需要探寻它的公理系统，为什么1+1=2？不仅知其然还要知其所以然，而且也涵盖着数论的“1+1”，…，然而，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——哥德巴赫猜想，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶数环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”不仅是而且必须首先是绝对值的数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，无穷无尽）拥有客观存在性，既不肯定也不否定其真实性、模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。

23、普通有限小数、普通分数、普通小数：

a、普通有限小数：不包括小数整、有限不循环小数、有限循环小数在内的小数系列简称为普通有限小数，例如2.6，6.6，7.8，6.8，9.9等等。

b、普通分数：不包括分数整、分数相对整在内的分数，…。

c、普通小数：不包含小数相对整在内的小数，…。

24、双素数：除了能被1和自身整除外，还仅能被2和一个素数互为整除的（正）偶数，我们把具有这样性质的偶数称之为双素数，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性。

25、关于哥德巴赫猜想、理论如何认识？在数值逻辑公理系统中不可能回避的数学矛盾：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此结构式上下交错对应不能散开）

｛[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

……，……

∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号↓：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其相对整性质，即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，揭示着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…均为数学公理，…，如果将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…展开为数值逻辑公理的另一种表达形式：

第2环节：1+1=2，

第3环节：1+2=3、2+1=3，

第4环节：1+3=4、2+2=4、3+1=4，

第5环节：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5，

第6环节：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6，

第7环节：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，

第8环节：1+7=8、2+6=8、[3+5]=8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8，

第9环节：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9，

第10环节：1+9=10、2+8=10、[3+7]=10、4+6=10、（5+5）！=10、6+4=10、7+3=10、8+2=10、9+1=10，

第11环节：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…，

第12环节：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、[5+7]=12、6+6=12、…、8+4=12、…，

第13环节：1+12=13、2+11=13、3+10=3+（5+5）！=13、…、6+7=（3+3）！+7=13、…，

第14环节：1+13=14、2+12=14、［3+11］=14、4+10=14、5+9=14、6+8=14、（7+7）！=14、…，

第15环节：1+14=15、2+13=15、3+12=15、4+11=15、5+10=5+（5+5）！=15、6+9=15、7+8=15、…，

第16环节：1+15=16、2+14=16、［3+13］=16、4+12=16、［5+11］=16、6+10=16、7+9=16、8+8=16、…，

高等数学论文范文篇5

关键词：1、分数整，2、相对整性质，3小数相对整，4、分数相对整，5、广义整数，6、有限不循环小数，7、有限循环小数，8、最大分数单位1/2，9、小数单位、最大小数单位0.5，10、双素数11、狭义数学真理12、广义数学真理等等

一、建立初等数学数值逻辑公理系统雏形：

（一）、探讨认识初等数学深刻内涵，需要不断深化认识、不断完善，还要考虑到易懂易理解，一篇不成熟的数学论文，反反复复，大同小异，颇感不妥，抱歉了！今后若有新的认识，以数学基本知识的方式单独，以前的数学学术观点、理念不再重复，…，再次抱歉、敬请谅解！

（二）、数字推理——数值逻辑辩证推理：

究竟是到数值逻辑系统外部探寻系统运算规律？还是在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律？很显然，要在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律，事实证明，数理逻辑与实无限并未完全揭示出数值逻辑公理系统运算规律，初等数学基本理论尚有不足之处，它是实无限数学理论和数理逻辑无法解决的数学矛盾与问题，关于数学的无限矛盾，实无限不能解决的数学矛盾，运用潜无限数学思维理念与潜无限手段去解决，未尝不可，…。

用那10个阿拉伯数字演绎数学真谛，1生2、2生3、“10”生无限，确切地说正整数数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，…如果从数学的集合论和数论、哲学角度出发，运用算术的方法分别选取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分别地建立起最基本最原始幼稚可笑的有理数数列群与子集合：

第1系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……，…

第2系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……，…

第3系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……，…

第4系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……，…

第5系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……，…

第6系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……，…

第7系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……，…

第8系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……，…

第9系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……，…

第10系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……，…

……，……

如何再去分别探索在何范畴内各基数间存在着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，…的倍数时——数值逻辑公理系统运算规律？：

第1系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……，…

第2系列：

第2环节：

2（0/2+1/2+2/2）

=（1/2+2/2+3/2）

=（0.5+2/2+1.5）

第3环节：

3（0/2+1/2+2/2）

=（2/2+3/2+4/2）

=（1+3/2+2）

第4环节：

4（0/2+1/2+2/2）

=（3/2+4/2+5/2）

=（1.5+4/2+2.5）

第5环节：

5（0/2+1/2+2/2）

=（4/2+5/2+6/2）

=（2+5/2+3）

第6环节：

6（0/2+1/2+2/2）

=（5/2++6/2+7/2）

=（2.5+6/2+3.5），……，…

第3系列：

第2环节：

2（0/3+1/3+2/3+3/3）

=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3）

=（3/3+4/3+5/3）

=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）

第3环节：

3（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（3/3+4/3+5/3+6/3）

=（1+4/3+5/3+2）

第4环节：

4（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3）

=（7/3+8/3+9/3）

=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）

第5环节：

5（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（6/3+7/3+8/3+9/3）

=（2+7/3+8/3+3）

第6环节：

6（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）

=（11/3+12/3+13/3）

=（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5），……，…

第4系列：

第2环节：

2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4）

=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）

第3环节：

3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4）

=（1+5/4+6/4+7/4+2）

第4环节：

4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）

=（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）

第5环节：

5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4）

=（2+9/4+10/4+11/4+3）

第6环节：

6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4+）

=（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）

=（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5），……，…

第5系列：

第2环节：

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）

第3环节：

3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5）

=（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）

第4环节：

4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5）

=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5）

=（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5）

第5环节：

5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5）

=（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）

第6环节：

6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5）

=（16/5+17/5+18/5+19/5+20/5）

=（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），……，…

第6系列：

第2环节：

2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6)

=(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)

第3环节：

3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6）

=（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）

第4环节：

4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6）

=（1.5++10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）

第5环节：

5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6）

=（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）

第6环节：

6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6）

=（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……，…

第7系列：

第2环节：

2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7）

=（5/7+6/7+7/7+8/7+9/7+10/7+11/7）

=（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）

第3环节：

3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7）

=（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）

第4环节：

4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7)

=（13/7+14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7）

=(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)

第5环节：

5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7）

=（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）

第6环节：

6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7)

=(21/7+22/7+23/7+24/7+25/7+26/7+27/7)

=(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)，……，…

第8系列：

第2环节：

2（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（4/8+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+12/8）

=（0.5+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+1.5）

第3环节：

3（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（8/8+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+16/8）

=（1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2）

第4环节：

4（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（12/8+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+20/8）

=（1.5+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+2.5）

第5环节：

5（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（16/8+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+24/8）

=（2+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3）

第6环节：

6（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（20/8+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+28/8）

=（2.5+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+3.5），……，…

第9系列：

第2环节：

2（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=(4.5/9+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+13.5/9)

=(6/9+7/9+8/9+9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9)

=(0.5+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+1.5)

第3环节：

3（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+18/9）

=（1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2）

第4环节：

4（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（13.5/9+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9

+19.5/9+20.5/9+21.5/9+22.5/9）

=（16/9+17/9+18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9）

=（1.5+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9

+19.5/9+20.5/9+21.5/9+2.5）

第5环节：

5（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=(18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+27/9)

=(2+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3)

第6环节：

6（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（22.5/9+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9

+28.5/9+29.5/9+30.5/9+31.5/9）

=（26/9+27/9+28/9+29/9+30/9+31/9+32/9+33/9+34/9）

=（2.5+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9

+28.5/9+29.5/9+30.5/9+3.5），……，…

第10系列：

第2环节：

2（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10

+12/10|+13/10+14/10+15/10）

=（0.5+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+1.5）

第3环节：

3（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（10/10+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10

+16/10+17/10+18/10+19/10+20/10）

=（1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10

+16/10+17/10+18/10+19/10+2）

第4环节：

4（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（15/10+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10

+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10）

=（1.5+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10

+21/10+22/10+23/10+24/10+2.5）

第5环节：

5（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10

+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10）

=（2+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10

+26/10+27/10+28/10+29/10+3）

第6环节：

6（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（25/10+26/10+2710+28/10+24910+30/10

+31/10+32/10+33/10+34/10+35/10）

=（2.5+26/10+2710+28/10+24910+30/10

+31/10+32/10+33/10+34/10+3.5），……，…；

……，……

关于上述初等数学起点最简单最原始幼稚可笑的数值运算是否蕴涵着数值逻辑运算规律和深刻的数学内涵？单凭直觉无法回答，千百年来实无限理论和玄学无法理解与接受它、也不可能去探究，…，目前，只能实事求是，用事实说话，常言道，最简单的最质朴的恰恰是最深奥的、最难以理解接受的，数学是被应验的，我们将上述运用亚里士多德潜无限数学思想和辩证法指导下，在数论、集合论内涵条件下形成的普遍运算规律概括归纳为：

1、第1系列并未派生子集合：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6，……，是特殊矛盾特殊规律、为特殊特别系列、特殊矛盾例外，务必将其排斥在外，如果不将其排斥在外、这系统同样无法理解与接受，其实它就是分数整（整数分数）；

2、数值逻辑公理系统（从第2系列起均派生子集合）：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此结构式上下交错对应莫散开）

{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

第7环节：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，

第8环节：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，

第9环节：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}，

第10环节：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，

……，……

∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，∑{[0.5～1.5]}意指0.5与1.5之间的基数之和，它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，如果说{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基数是实无限，那么它的基数（有理数与无理数）就会一下子全部冒出来究竟具体有多少？无人具体知晓也无法具体知晓，自古至今一筹莫展，务必突破传统数学思维理念的严重束缚，让事实说话，符号↓：意指派生子集合，在有理数系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其相对整性质（亦可理解为哲理整性质），即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整数值逻辑运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，数论、集论、初等数学、自然辩证法四位一体、辩证统一，自然辩证法（现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、数学基础并为其指明前进方向，至此，需要引入数学新概念，相对整性质、小数相对整、等等概念：

相对整性质：其他普通小数的绝对值与小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值和其他普通小数的绝对值相比较整装（在数值逻辑公理系统中），将这一特殊性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为1/2=0.5、1/2是最大分数单位、则0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在本数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，……。

3、数值逻辑公理系统派生子集合并非一目了然、需要详细说明：

（1）、当选取1时，第一系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……为分数整，并未派生子集合，是特殊矛盾，则其为特殊系列，特殊矛盾与普遍矛盾务必需要人为加以区分，否则就要导致逻辑悖论，因此，务必把第一系列排斥在公理系统之外，才是科学的、才是适宜的，…。

（2）、数值逻辑系统外部结构形式像“锁链”，因此将其简称为连锁形式，连锁形式非常规则，一环扣一环、环环相扣、无穷无尽（例如）：

[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应莫散开）

{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

（3）、当系统子系列在偶数范畴内：在第2系列（例如：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……）、第4系列、在第6系列、第8系列、第10系列、……均派生子集合——充分地十足地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，连锁形式规则，非常直观，具有典型代表意义。

（4）、当系统子系列在奇数范畴内：在第3系列（例如：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……）、第5系列、第7系列、第9系列、……亦均派子集合（隐形的、非直观的），因为小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以纷纷跨跃（飞跃）出来，充当相对整子集，连锁形式规则，十分显然地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质、自告奋勇、势不可挡，数值逻辑对立统一规律预示着选择公理，在奇数范畴内必有其它基数与其相当，例如第5系列、第2环节：

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）

=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

很显然，如果直接用

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）来表达派生子集合，就是隐形的、非直观的，单凭直觉观察不出派生子集合，如果对（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）进行拆分子运算就能得到（必须指出、在公理系统中是运用规律直接观察、归纳出来的）：

（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

=[（2.5+1.5）/5+(3.5+1.5/5)+(4.5+1.5/5)+(5.5+1.5)/5+(6.5+1.5)/5]

=(2.5/5+3.5+/5+4.5/5)+(5.5)/5+6.5/5+(1.5*5)/5

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5），第2环节体现0.5，1.5拥有相对整性质，其他奇数系列、偶数环节上都是如此,这是规律无需逐一验算，因为0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以自告奋勇、会纷纷跨跃出来，势不可挡，…。

（5）、当系统子系列在10，100，1000，10000，……，范畴内，均派生子集合，不仅揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5……拥有相对整性质，而且在向纵深发展潜无限的过程中有太多太多的基数是超越无理数数值的有限形式、甚至与其相吻合、相当，形成有限不循环小数或潜无限不循环小数（例如31415926/10000000=3.1415926等等），具有十分重要的典型代表意义，在此基础上提出有限不循环小数的概念、数学中客观存在着有限不循环小数为什么不被提出？…。

（6）、很显然，上述数值逻辑系统运算规律，除了第1系列（0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1，……）例外，系统的子系列无论是在奇数系列还是在偶数系列范畴内均派生子集合，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,……纷纷分化出来、均占据整数位置，揭示着其绝对值比其他普通小数绝对值相对整装，充分地十足地体现其相对整性质（也可理解为哲理整性质），因此，构成相对整子集，譬如{[0.5～1.5]}、、{[1.5～2.5]}等等，存在着完整数值逻辑运算规律与深刻内涵，数值逻辑系统外部结构形式像连锁，因此说系统连锁结构形式规则，蕴涵着极其深刻内涵——数值逻辑对立统一规律，奇数与偶数相反相成、对立统一，为偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除提供科学依据，具有普遍意义，这是数学自然观的重大认识问题，要做出正确选择，很显然，整数形成了广义整数、数论形成了广义数论、集合论形成了广义集合论、真理形成了广义数学真理，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……自告奋勇势不可挡、纷纷分化出来担负起“相对整数”的重任，数字简单原理哲理却深刻，同时自然辩证法以对立统一规律为切入点注入初等数学和纯粹数学，…。

二、初等数学深刻内涵：

1、分数整：0/1=0，1/1=1，-1/1=-1，2/1=2，-2/1=-2，3/1=3，-3/1=-3，4/1=4，-4/1=-4，5/1=5，-5/1=-5，6/1=6，-6/1=-6，……尽管是分数形式，数值逻辑系统揭示着依然体现整数性质，因此将其统称为分数整。

2、小数整：无限循环小数0.9˙=1，小数形式依然体现整数性质，将其简称为小数整。

3、素数偶：2既是一个素数又是一个偶数，将其简称为素数偶，具有唯一性，将奇素数3，5，7，11，13，17，19，......统称为素数。

4、分数相对整：分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……既拥有分数性质又具备相对整性质，因此将其统称为分数相对整，分数相对整拥有相互矛盾的双重性质，其一是普通分数性质，其二是相对整性质——因为1/2是最大分数单位，其他普通分数不具备相对整性质——因为普通分数的分数单位均小于1/2，实际上，其他普通分数的分数部分均为分数单位，均小于1/2绝对值更零散，所以一次性彻底排除，以免造成思维混乱，务必需要说明，分数相对整与整数（分数整）是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并不等同，既要看到差异又要看到共性、当然是指差异中的共性。

5、相对整性质：其他普通分数的绝对值和1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……的绝对值相比较更零散，换言之1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……和其他普通分数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把(分数相对整)相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么拥有相对整性质，因为1/2是最大分数单位，分数单位1/2﹥1/3﹥1/4﹥1/5﹥1/6，……，因为1/2=0.5，1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位。

6、小数单位：关于分数和小数互相关联着，看到分数要联想到小数，分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数就是小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，即0.5，0.333…，0.25，0.2，…，0.1等等就是小数单位，很显然，1/2是最大分数单位，0.5是最大小数单位，1/2与0.5看似极其简单的两个数字却是微小微妙的，自古至今，数学只把它们看成普通分数、普通小数，现在来看需要转变思维理念，….。

7、小数相对整：小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......既拥有小数性质又具备相对整性质，将其统称为小数相对整，小数相对整拥有相互矛盾的双重性质，一是普通小数性质，二是相对整性质——因为0.5是最大小数单位，其他普通小数不具备相对整性质——因为普通小数的小数单位均小于0.5，一次性彻底排除，以免造成思维混乱，只接受小数相对整的小数性质是片面的，只接受小数相对整的相对整性质是片面的，需要说明，小数相对整与整数是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并非等同，正整数的性质可以理解为绝对整，小数相对整顾名思义性质相对整，这就是二者的差异，同时绝对整与相对整又是异中之同、所谓的共性，…。

8、相对整性质：其他普通小数的绝对值和小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......和其他普通小数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把（小数相对整）相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，务必引起高度重视，...。

9、广义整数：将整数和分数相对整统称为广义整数，即本文将0，1/2，-1/2，1，-1，3/2，-3/2，2，-2，5/2，-5/2，3，-3，7/2，-7/2，……，…统称为广义整数；亦可以将整数和小数相对整统称为广义整数，即本文将0，0.5，-0.5，1，-1，1.5，-1.52，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，……，…统称为广义整数，蕴涵着绝对整与相对整的意义，...。

10、广义（数学）真理：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、却能被2相对整除、潜无限等等内涵的数学真理统称为广义（数学）真理，要探索绝对值1+1=2蕴涵的基本原理、道理、哲理，哲学以对立统一规律为切入点注入初等数学、注入纯粹数学，...。

11、狭义（数学）真理：偶数能被2整除、奇数不能被2整除，...，统称为狭义（数学）真理，非常有必要把数学分为狭义真理和广义真理，小学数学（算术）应为狭义（数学）真理，...。

12、实无限：简言之，理解为经完成的无限，我们的前人将其称之为实无限，...，如自然数的全体、实数全体是指实无限，实无限排斥潜无限，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，实无限为高等数学、数理逻辑等等方面奠定基础、实无限是被理想化的无限，只有如此理解方能合乎大道理，才有存在的理由、缘由，…。

13、潜无限：简言之，理解为处于不断发展变化中的无限，如像n→∞或n→0的极限过程那样称为潜无限，也可理解成未完成的无限、无穷无尽，数学潜无限与人文无限、哲学无限一脉相承、并不相悖，潜无限依然是初等数学的基础，潜无限依然是广泛意义上的真理、无处不在，承认接受实无限的大家风范不能排斥、丢掉了潜无限数学真理，否则没有错误有失误，因此，潜无限为初等数学数值逻辑奠定基础，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，...。

14、绝对值1+1=2蕴涵着的基本原理、道理、哲理（为什么1+1=2）：

本文回答既简单又深奥：偶数能被2（绝对）整除，奇数不能被2（绝对）整除却着实能被2相对整除（传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数的排斥性对立性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除是指奇数和偶数的异中之同、差异中共性、同一性），因此说，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，或者说2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的数值逻辑对立统一规律——蕴涵着哲学的对立统一规律，哲学（自然辩证法）以对立统一规律为切入点注入数学基础、注入初等数学，哲学的基本原理大可为数学理论作指导，如果有谁再说哲学不能过问、关心数学矛盾和问题，那就站不住脚了，数学既要讲逻辑又要讲基本原理、道理、哲理，自然辩证法为其补充、弥补深刻内涵，...，是啊！它的确既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，其道理却深奥地不可思议、不可理喻、它的“庐山”真面目就是如此、并非本文一派胡言，如此基本原理、道理、哲理并非人人都能够理解与接受，更不是小学生阶段能够理解接受的数学知识，的确需要转变数学思维理念，高度重视、重新认识，...。

15、有必要说明：因为哲理整性质、哲理整小数难以理解接受甚至不被理解与接受，本文将它称之为相对整性质、小数相对整等等，换言之，本文相对整性质，亦可理解为哲理整性质，那么，相对整性质——哲理整性质、奇数能被2相对整除——奇数能被2哲理整除、分数相对整——哲理整分数、小数相对整——哲理整小数等等，内涵大同小异。

16、有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字或者小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字的小数统称为有限不循环小数，譬如小数：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……等等就是有限不循环小数，有限不循环小数无穷无尽，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，非常容易发现它们，而且有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用，有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限循环小数、小数整、普通有限小数等等，才更切合实际，这的确是数学的一个重大认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），没有涉及到有限不循环小数是不切实际的，因为它们客观存在着，有限不循环小数尽管不是无理数却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素、成分，尤其是，它实质上真正的起着替代无理数数值巨大的数学实际意义与作用，它真正支撑着数学实无限、实数系的基础，有限不循环小数的概念不被提出是初等数学的最大不足和缺陷，因为它有很高的应用价值，所以说初等数学和纯粹数学没有错误却有失误，…。

17、有限循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节或者说小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节的小数统称为有限循环小数，譬如：0.1616（2个循环节），0.161616（3个循环节），0.666（3个循环节），0.666666（6个循环节），0.787878（3个循环节），0.99999（5个循环节），等等就是有限循环小数，有限循环小数无穷无尽，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它也可替代无限循环小的数值，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数。

18、有理数：将广义整数与分数统称为有理数，广义整数包含着整数、分数整、分数相对整，分数包含着分数整、分数相对整、普通分数，这是因为分数相对整拥有双重性质、分数整拥有双重身份所决定的；也可以将广义整数与小数统称为有理数，广义整数包含着整数与小数相对整、小数包含着小数相对整与普通小数，因为小数相对整拥有双重性质、一是相对整性质、二是普通小数性质。

19、有理数系统——有理数系：本文将有理数数值逻辑公理系统和深刻内涵统称为初等数学有理数系统、简称为有理数系，有理数系是无限开放着的数值逻辑公理体系、永远不会终极、永远不会枯竭的数值逻辑公理体系，正如人文无限和哲学无限的内涵——无穷无尽，它们一脉相承，…。

有理数系并无什么缺憾，因为有理数系蕴涵着有限不循环小数（潜无限不循环小数），尽管有限不循环小数（潜无限不循环小数）不是无理数，它却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素和成分，它在数学中实际上真正起着无理数的意义和作用，敬请认真斟酌，这是数学的一个非常非常重大认识问题，无理数的实无限走得太遥远了、有限不循环小数和潜无限不循环小数不被理性认识，这似乎才是初等数学、数学基础的真实现状与真实状况，系统不包含无理数也可以、也是也，只要我们能够构造出潜无限不循环小数与拥有所谓的无理数数值一样的富有，不是有理数系有问题，而是人的认识出了大问题，尤其是先前率先认识数学的，…，本文也深知无理数拥有客观存在性，客观存在着，只是对其实无限的无理数数值有着不尽相同的看法，只是说关于无理数需要具体问题具体分析、具体对待、特别对待，将性质不同的两类数学矛盾人为的加以区分，更合乎逻辑，…。

有理数系统是向纵深发展着的系统、无限开放，有限不循环小数也是向纵深发展变化着的，有限不循环小数形成潜无限不循环小数，按照实无限的数学自然观，这一无限过程如果被理解为完成了，那么潜无限不循环小数与无理数、无理数数值相吻合，无可厚非，在数理逻辑中实无限拥有极大优越性、但实无限也有很大局限性，不能苟同、不能相同，不能投其所好，...，数值逻辑只会潜无限、潜无限更科学、不会实无限、实无限不能为数值逻辑奠定基础，实无限一句话或者寥寥数字就把实数系、实无限集合完成了，实无限和实数系太笼统，当您若要具体展开实数系时，您会发现完全不是那么一码事，一个具体的无理数数值都无法完整地构造出来，发现无理数已有两千多年的历史了，迄今为止，还没有谁能够构造出一个实无限的完整无理数数值，这是事实，扯别的没有意义，字母符号不是无理数、实数系的全部意义、只是一个代号，实无限是理想化的无限，因此说，实无限还是将来十分遥远的可能性，今天还看不到现实性，实无限只能够给高等数学、数理逻辑等等奠定基础，因为它们不需要具体展开实无限、实数系，一句话、几笔就能带过的数学矛盾，换言之，关于无限不需要具体展开的数学矛盾和数学领域实无限大可为其奠定基础、需要具体展开的数学矛盾潜无限为其奠定基础，...。

20、实数：把有理数和无理数统称为实数，是可以理解接受的，无理数客观存在着、拥有客观存在性，如果把实数看作实数系、请您不要说的那么笼统、那种方式也只是承认其客观存在性另一种说法，大家风范，数学迫切需要您的实无限、实数系的具体系统，而不是笼统的，敬请贡献出来，...。

21、关于无理数：无理数客观存在，拥有客观存在性，由于无理数没有公度比，与有理数的规律不一致，无理数排斥有理数、实数系中的无理数把有理数系的运算规律都被排斥掉了，有理数排斥无理数，实数系太笼统太茫然，有理数与无理数不能在一个公理系统中共容，务必把无理数排斥在系统之外，关于无理数只能对无理数、无理数数值具体问题具体分析、具体问题具体对待、特别对待，如果您能够做到了这一点——对无理数具体问题具体分析具体对待，那么它的数值是潜无限还是实无限本文不再干涉。

关于无理数需要严格界定，一是无公度比，二是无限不循环小数、而且其数值（绝对值）无穷无尽、永远不会穷尽、永远不会终结，以防有机可乘、有懈可击，实无限？潜无限？问题就出在界定不严格，数学逻辑十分严密，有些十分重要、十分关键的概念界定很不严格，有空可入，关于数学中存在的一些问题无需争论谁是谁非，而是一部分数学概念需要重新严格界定一下，尤其是无理数，…。

22、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：

绝对值1+1=2是科学抽象的，1+1=2和正整数是相对于广义单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于广义单位“1”而言，正整数把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，换言之不是任何条件下都正确，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义单位“1”、正整数、整数，消除了自然数的局限性，…。

1+1=2是数学公理并无问题、绝对无问题、只是需要探寻它的公理系统，为什么1+1=2？不仅知其然还要知其所以然，而且也涵盖着数论的“1+1”，…，然而，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——哥德巴赫猜想，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶数环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”不仅是而且必须首先是绝对值的数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，无穷无尽）拥有客观存在性，既不肯定也不否定其真实性、模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。

23、普通有限小数、普通分数、普通小数：

a、普通有限小数：不包括小数整、有限不循环小数、有限循环小数在内的小数系列简称为普通有限小数，例如2.6，6.6，7.8，6.8，9.9等等。

b、普通分数：不包括分数整、分数相对整在内的分数，…。

c、普通小数：不包含小数相对整在内的小数，…。

24、双素数：除了能被1和自身整除外，还仅能被2和一个素数互为整除的（正）偶数，我们把具有这样性质的偶数称之为双素数，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性。

25、关于哥德巴赫猜想、理论如何认识？在数值逻辑公理系统中不可能回避的数学矛盾：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此结构式上下交错对应不能散开）

｛[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

……，……

∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号↓：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其相对整性质，即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，揭示着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…均为数学公理，…，如果将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…展开为数值逻辑公理的另一种表达形式：

第2环节：1+1=2，

第3环节：1+2=3、2+1=3，

第4环节：1+3=4、2+2=4、3+1=4，

第5环节：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5，

第6环节：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6，

第7环节：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，

第8环节：1+7=8、2+6=8、[3+5]=8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8，

第9环节：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9，

第10环节：1+9=10、2+8=10、[3+7]=10、4+6=10、（5+5）！=10、6+4=10、7+3=10、8+2=10、9+1=10，

第11环节：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…，

第12环节：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、[5+7]=12、6+6=12、…、8+4=12、…，

第13环节：1+12=13、2+11=13、3+10=3+（5+5）！=13、…、6+7=（3+3）！+7=13、…，

第14环节：1+13=14、2+12=14、［3+11］=14、4+10=14、5+9=14、6+8=14、（7+7）！=14、…，

第15环节：1+14=15、2+13=15、3+12=15、4+11=15、5+10=5+（5+5）！=15、6+9=15、7+8=15、…，

第16环节：1+15=16、2+14=16、［3+13］=16、4+12=16、［5+11］=16、6+10=16、7+9=16、8+8=16、…，