二次函数十篇

二次函数篇1

1.知识与技能目标。（1）使学生理解并掌握二次例函数的概念。（2）能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式。（3）能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式，体会函数的模型思想。

2.过程与方法目标。通过“探究——感悟——练习”，采用探究、讨论等方法进行。

3.情感态度与价值观。通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。

二、教学重、难点

1.重点。理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。

2.难点：理解二次例函数的概念。

三、教具准备

从网上及相关资料搜集与本节课有关的材料，远程资源。

四、教学过程

1.新课导入。（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2.新课。问题1，正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关系可表示为?[y=6x2

问题2，某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? y=20x2+40x+20

观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?

经化简后都具有y=ax2+bx+c的形式，(a，b，c是常数， a≠0 )。

我们把形如y=ax2+bx+c(其中a，b， c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

称，a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项。

又例：y=x2+ 2x–3

3.巩固练习。

1.下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=3x-1 (2)y=3x2+2 (3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1

（5）y=x2-x(1+x)（6）y=x-2+x（7）y=1/2

（8）y=x(1-x)（9）(1)y=x2

2.做一做。（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米，则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式。

3.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1） y=x2+1 （2）y=3x2+7x-12（3）y=2x(1-x)

4.若y=（m2-1）xm2-m函数为二次函数，则m的值为

。

4.例题讲解。

例1：关于x的函数y=（m+1）xm2-m是二次函数， 求m的值。

解： 由题意可得

m2-m=2m+1≠0解得m=2

当m=2时，函数为二次函数。

注意：二次函数的二次项系数不能为零。

例2：已知二次函数y=x2+px+q，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为- 5， 求这个二次函数的解析式

5.随堂练习。已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

（拓展题）已知关于x的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.(待定系数法)

解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由题意得：

a-b+c=10

a+b+c=14

4a+2b+c=7

解得：a=2，b=-3，c=5

所求的二次函数是y=2x2-3x+5

6.课堂小结。（1）使学生理解并掌握二次例函数的概念。（2）能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式。（3）能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。

五、布置作业

二次函数篇2

关键词：二次函数；问题情境；探索精神

一、创设问题情境，诱导学生探索

初中生一般都有好奇、求知的欲望，有动手、动脑的积极性，创设良好的问题情境是激励学生学习兴趣的源泉。

问题：你知道函数y=2x2、y=-2x2、y=■x2的图象是什么吗？请你画出来并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴。

全班分为四组，每组解决一个问题，独立思考7分钟后，每组派两名代表在黑板上合作完成自己的题目。合作中，可以互相发现问题，取长补短，可以互相依存，克服紧张、恐惧的心理。答完题后进行课堂评论，先由每组学生发表意见，评价本组答题情况，如果还有问题，再请其他组的学生回答，最后教师作出评价。这样，在探索过程中学生会养成自主学习的良好习惯，也培养了学生科学的探索精神。

二、小组合作交流，促进学生发现

解决上述问题后，教师引导学生在相关问题中排异取同，发现规律，形成概念，推出公式。让学生深入体会概念，掌握公式，请学生尝试归纳出二次函数y=ax2的性质。一般的，二次函数y=ax2的图象是 ，其顶点坐标是 ，对称轴是 ；当a>0时，开口向 ，当a

当学生填完空后，请小组讨论，此时学生表现出极强的好奇心和求知欲。当讨论声音越来越小时，可以鼓励小组派代表发言，答对者加1分，将学生的争强好胜心理调整为解决问题的积极性，使每个学生踊跃发言，至此，课堂交流过程中学生参与率达100%。

三、科学设计练习，整体提高能力

练习是对知识的巩固，也是一种信息反馈。设计三组练习题，目的是帮助学生理解、掌握函数y=ax2的图象和性质，逐步融入数形结合思想。第一组练习题帮助学生直接领会二次函数y=ax2的性质；第二组练习题启发学生理解数形结合思想；第三组练习题利用数形结合思想，帮助学生进一步总结二次函数y=ax2的有关性质。

1.分别说出抛物线y=4x2与y=-■x2的开口方向、对称轴与顶点坐标。

2.已知二次函数y=ax2的图象，x1

3.每个组观察自己画的图象回答：

（1）在对称轴右边y随x的增大而____

（2）在对称轴左边y随x的增大而____

（3）函数有最大值或最小值吗？如果有，是多少？

二次函数篇3

教学目的： 通过一些例题的讲解 , 对对数函数的性质、图象及二次函数的一些问题进行复习，使学生加深对函数的认识 , 能够对一些有难度的题进行分析。 教学难点： 复合函数中定义域及值域的求解。 换元后新变量的定义域的确定。 教学过程： 在前段时间中我们学习了对数函数和它们的一些性质 , 下面我们就先来复习一下有关知识 ( 点击性质 , 见幻灯片 2) 。 下面我们来做两道复习巩固题。 1. 求 的定义域。 （要求一个比较复杂的函数的定义域，首先要看清这个复杂函数是由哪几个简单函数构成的．在此是三个以十为底的对数函数，所以我们只要考虑其真数部分要大于0即可．由此可列出三个不等式．习惯上用大括号括起来，表示要同时满足．） 分析： x>0 0可以写成 lg1 ，而该函数为单调递增函数，由此可解出． 综上所述 x>10 。 2. 试比较 与 的大小。 对于一般的比较大小问题，我们可以通过函数的增减性来解决．这道题目显然也是通过此途径来解决．但是其给出的条件不是很明确，那么我们就只能先从对数函数本身的条件作为着手点． 解： 由这个条件，可以知道这个函数是单调递增的，即真数大的函数值就大． （请学生口述，屏幕显示．第三条可能不会考虑） 则有：当 x-1>3 即 x>4 时， ＞ 当 0

的取值范围。 按照通常的做法，要使函数有意义，必须有： 对一切实数 x 都成立 ，即 其实当 时， 可以看出 可见值域并非为 R ，说明上述解答有误。 要使函数 的值域为 R, 即要真数 取遍所有正数 , 故二次函数 的图象与 x 轴有交点 , 所以 , 得 或 。 故实数 a 的取值范围为 我们在考虑这类复合函数问题的时候 , 要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。 以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的 , 有的时候会和、反过来 , 对数函数作为二次函数的一部分出现 , 下面我们来看这么几道题。 若 , 且 , 求 的最值。 分析 : 既然是求 的最值 , 先对其整理 , 可得 : 而 。 这道题比较简单 , 但要注意对数的计算 , 在最后是通过配方求出最值的。 若 有两个小于 1 的正根 , 且 ，求实数 的取值范围。 分析 : 既然是对数函数 , 我们先不管后面的条件 , 该怎么做就怎么做 , 即先化简函数方程。 则有 由于形式有点复杂 , 我们可以作个代换 , 在此 , 要注意 , 由于变量的代换 , 则其定义域也会随之改变 , 有 : x<1, 则 t<0 下面由学生回答如何利用韦达定理列出一系列的不等式 : 在此题中 , 注意换元后 , 其变量的定义域的变化。 若 恰有一个实根 , 求实数 的取值范围。 分析 : 这个式子中出现的对数函数和 前面的有所不同 , 但我们首先做的工作就是把它化简 , 只是这里和前面有所不同。前面是把真数部分的乘除化开来 , 而在这里是把对数的加减合起来。先把它化简我们可以得到 : 这时出现了同底对数 , 但右边前面有 2, 所以我们可以怎么样 ? 我想把这个 2 除到左边去 , 一方面是为了提醒大家 , 左边的真数部分 2x 是大于 0 的 , 另一个作用我们下面会有用。于是我们得到了 : 下面就是分析方程 只有一个实数根的问题 如果在这里简单就认为把其平方得到一个二次函数 , 再令 即可的话 , 似乎总有点心有余悸 , 好象有问题。下面我介绍一种方法来具体研究。 我们可以把这个方程写成两个函数的形式 : 与 要求方程有一个实根 , 也就是说 , 这两个函数的图形有且仅有一个交点。 在下图上我们可以看出在三种情况下 , 两个图只有一个交点。 于是我们可以列出式子 : 最后解得 : 在这里 , 我们充分利用了图形来解决根的问题。 备用题 : 为常数 , 试分析方程 的解的情况。 小节 : 第一组为复合函数中有关定义域、值域的问题。注意两点：一是复合函数单调性问题；另一个是整个函数的定义域的求解。 第二组为含有对数函数的复杂函数，通过换元可转化为二次函数进行解题。也注意两点：一是对数运算的熟练运用；另一个是二次函数中根的存在性分析。 在解决对数函数问题时，注意隐含的限制条件，对其定义域、值域要细致分析。 教学后记： 由于是多媒体授课 , 在题目运算较为复杂的时候 , 过程直接出现在屏幕上 , 使学生没有时间自己进行计算 , 今后的教学中应值得注意。

二次函数篇4

一、温故知新，夯实知识基础

数学学科当中的知识内容数量虽多，却不是彼此孤立的.仔细分析便不难发现，数学知识内容之间都是存在着继承关系的，相互连结使得数学成了一个整体.具体至二次函数，在对之进行学习时，同样不能单独看待它，而是要打通它与周边相似内容之间的联系.于是，我们想到了之前所学的一次函数、反比例函数等较为简单的函数内容.

例如，在开始对二次函数的概念进行教学时，我援引了学生们之前接触过的函数定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，若给定一个x值，相应地就确定了一个y值，则称y是x的函数，x是自变量，y是因变量.由此提炼出的“对应”思想，便随之迁移到了二次函数的映射关系当中.以此为基础，学生们对二次函数的概念理解起来便容易多了.

虽然学生之前所学习的函数与二次函数之间存在着很大差异，但是，既然它们都归属于函数的知识类别之内，就一定具有普遍性的联系与相似.而这正是在学次函数时温故知新的连接点.温习之前所学内容的过程，不仅为当前二次函数知识的学习搭建了上升的台阶，还在不知不觉中复习了前期知识，夯实了函数基础.

二、创建情境，激发学习兴趣

如果说，打好先期知识基础，是从硬件角度对二次函数教学的有效开展进行的保证，那么，激发学生对二次函数的学习兴趣则是从软件角度所展开的努力.想要获得理想的教学效果，仅靠教师单方的强力推动是远远不够的.现代的数学教学呼唤自主学习的加入，也就是从学生自身挖掘动力，让数学学习转为主动.这时，学习兴趣的激发便成了一个重要的着手点.为了让学生在学习开始之初便对二次函数有兴趣，笔者经常会创建出相关的生动情境.

例如，在二次函数教学开始时，我向学生们提出了这样一个问题：现欲在一片空地上用60 m的篱笆围出一片矩形的试验田，若矩形的长是10 m，则矩形的面积是多少？若矩形的长为15 m、20 m、x m，那么矩形的面积分别又是多少？列出方程之后大家发现，这个问题的解答需要用二次函数进行求解.大家对于这个内容的学习兴趣也由此被激发起来了.

数学学科的实用性很强，具体指二次函数内容更是如此.在身边的实际生活当中，几乎处处不乏二次函数的身影.因此，以二次函数的实际应用为主角创设情境并不是一件难事.教师需要做的就是将这个情境创设的过程设计得“精”而“巧”.既要让这个情境贴合知识内容与实际生活，又要让它出现得自然精炼，与课堂教学融为一体.

三、巧用图象，揭示问题本质

如果要让我们细数初中数学学习过程中所应用到的思想方法，首先想到的一定是数形结合.而在数形结合的应用对象当中，二次函数问题可以说是占据了“半壁江山”.在二次函数的学习过程当中，理论知识与函数图象之间的关系密不可分.理论是图象的反映，图象则呈现着理论.因此，在二次函数教学之中，图象的巧用必不可少.

例如，在带领学生们学习过二次函数的概念与性质之后，我请学生们对函数y=-2x2进行分析，并回答它的顶点坐标是，对称轴是.在侧，即x0时，y随着x的增大而增大；在侧，即x0时，y随着x的增大而减小.当x=时，y的最大值是.仅从函数本身入手，学生们分析起来并不直观.当我引导大家先将函数图象作出之后，问题便迎刃而解了.学生们也由此找到了分析二次函数问题的决窍.

当学生们面对着较为抽象或是复杂的二次函数问题时，往往会产生很大的畏难情绪，对数学学习造成消极影响.大家之所以会感到无从下手，就是因为没有抓住当前数学问题的本质，自然无法寻找正确的解答方法.这时，教师一定要利用图象及时介入，以图释问，将问题的本质明确揭示出来，让学生的思维豁然开朗.

四、小组合作，加深探究进程

二次函数的知识内容非常灵活.在基本概念与性质定理的基础上，可以根据不同的情境和运用进行各种变化.这虽然加大了二次函数的教学难度，却也为对之进行的探究活动提供了切入点.鉴于这种灵活变化的可能性甚多，小组合作便成了加深探究的首选形式.

例如，在二次函数的基本教学环节结束后，我将学生分为三组，并请每组学生分别讨论研究如下三个二次函数：y=x2-2x，y=x2-2x+1和y=x2-2x+2的图象与x轴交点的情况.通过自主探究与交流讨论，学生们意识到，上述函数图象与x轴相交的状态，也就是函数根的情况.将之进行抽象之后，我继续引导学生试着探究二次函数y=ax2+bx+c的根的情况.有了之前的铺垫，学生们开始分三种情况进行讨论探究，形成了完整的分析结果.

二次函数篇5

1.能通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。

2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解、认识二次函数的性质。

3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题。

4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

5.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

我们对新课标和2012年、2013年的考试说明进行了研究。《2013年河北考试说明》的考试要求与新课标基本一致，只是第2条为：“能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数模型的意义。”这也是与《2012年河北考试说明》的不同之处。

[河北中考题分析]

我们进一步分析了河北省近三年的中考题，并对各考点进行了统计。

近三年的中考中二次函数的考点分布和分值情况统计表

通过对新课标、考试说明和中考题的分析我们可以看出，二次函数作为初中阶段的重要函数，对于学生数形结合、函数、方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展学生的思维能力具有十分重要意义，这也是近几年河北中考数学命题的热点。

[二次函数图象性质复习学案]

例1.已知二次函数y=x2-2x-3，化为y=a（x-h）2+k的形式为______。

（1）填写表格，并在所给的直角坐标系中描点，画出该函数的图象。

（2）填空：

①该抛物线的顶点坐标是______，对称轴为______。

②当x=______时，y有最_____值，为______。

③该抛物线与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______。

④当x______时，y随x的增大而增大。

⑤若y>0，则x的取值范围是______。

⑥若将抛物线y=x2-2x-3向______平移______个单位，再向______平移______个单位后可得到抛物线y=x2。

分析：本题把二次函数的“一般式”转化为“顶点式”、画二次函数图像、求最值、求与坐标轴的交点、增减性、求不等式解集、平移等一系列问题在一道题目中呈现，把学生原来认为很零散的知识系统化，形成知识体系。

例2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为点D。

（1）求此二次函数解析式及其顶点D的坐标；

（2）求BCD的面积；

（3）点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F。求点P在BC什么位置时，线段PF最长？

（4）试写出BCF的面积S与F的横坐标m的函数关系式。

在同一个题干下分层设计问题，基本上覆盖了二次函数与几何结合的所有题型，逐个给出逐个突破。这样设计，让学生感觉到题只不过是几个知识点的组合，没有什么值得畏惧的，为学生拆解综合题做好铺垫。

小测：

1.抛物线y=-x2-3x+6：

开口方向 ；顶点坐标 。

对称轴是 ；当x= 时，y有最 值，是 。

当x 时，y随x增大而增大。

当x 时，y随x增大而减小。

2.已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点（0，3），求二次函数的表达式。

3.如图所示，已知直线y=-■x与抛物线y=-■x2+6交于A，B两点，点C是抛物线的顶点。

（1）求出点A，B的坐标；

（2）求出ABC的面积；

二次函数篇6

【引例】

已知点A（2，y1），B（-1，y2）在抛物线y=（x-1）2+1上，则比较y1，y2的大小关系 .

【常规思路】

从代数的角度，我们可以根据二次函数图像上点的坐标特征，将A（2，y1），B（-1，y2）代入二次函数分别计算出y1，y2的值，然后再比较它们的大小；从函数的角度，我们可以先利用二次函数的对称性，将对称轴异侧两点A（2，y1），B（-1，y2）转化到对称轴的同一侧两点A（2，y1），B′（3，y2），再根据二次函数的增减性比较大小.

【题后反思】

从解题中我们发现代数法的本质即利用图像上点的坐标特征把二次函数值的比较大小转化为代数式值的比较大小.而函数法的本质即结合二次函数的图像，利用函数增减性把二次函数值的比较大小转化为比较A、B两点到对称轴距离的远近.

代数法是顺其自然的解答，函数法是数形结合的方法，直观简单.这两种方法时刻贯穿于我们二次函数的值比较大小的问题中，如何准确熟练使用好这两种方法呢？下面我们一起看三个例题分析.

【应用实例】

例1 二次函数y=mx2-2mx+m2+1（m

【思路分析】顺其自然我们会想到代数法，利用代入法算出y1=m2+1，y2=m2+3m+1，然后利用作差法得出y1-y2=-3m>0即y1>y2.由于函数法取决于开口方向与对称轴，只有找出“隐形”对称轴x=1，进一步判断出A点到对称轴的距离比B点到对称轴距离要近，再根据开口向下，离对称轴越近函数值越大进而得出y1>y2.

【题后反思】

一般情况下，若点的横坐标已知，我们易用代数法解决问题；若对称轴以及开口方向显然可知，用函数法相对比较简单.

例2 已知抛物线y=（x-3）2+2经过点A（m，y1），B（n，y2），且[m-3]

【思路分析】 此题中非常清晰可知二次函数的对称轴与开口方向，函数法应该优先考虑.再根据[m-3]

【题后反思】用函数法处理问题时我们仅需关注二次函数的对称轴与开口方向以及已知点与对称轴的距离的远近，与已知点在对称轴的同侧还是异侧关系不大。

例3 已知点A（m，y1），B（m+1，y2）， 在抛物线y=（x-1）2+1上，则比较y1，y2的大小关系 .

【思路分析】代数法，常规做法利用代入法算出y1，y2，然后利用作差法得y1-y2=-2m+1，由于m的取值未知，故而对-2m+1的正负性讨论，最后得出：当m=0.5时，y1=y2；当m>0.5时，y10.5，此时y1

【题后反思】此题中无法判断两点与对称轴的距离的远近，似乎用函数法不易理解，下面我们把它简化为判断AB中点与对称轴的位置.

【变式】若二次函数y=a（x-h）2+k（a>0）经过A（m，y1），B（n，y2）两点，且m

【解答】①AB中点在对称轴上，即[m+n2]=h时，y1=y2；②AB中点在对称轴右面，即[m+n2]>h时，y1

【方法总结】

二次函数的函数值比较大小的方法：

（1）代数法.具体步骤：①代入求值；②作差比较.

二次函数篇7

一、理解二次函数的内涵及本质

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）中含有两个变量x、y，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图像就是由无数个这样的点构成的图形。若图像上某一点的横坐标为m（字母），那纵坐标可表示成am2+bm+c。

二、熟悉几个特殊型二次函数的图像及性质

1. 通过描点，观察y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2图像的形状及位置，熟悉各自图像的基本特征。反之，根据图像的特征能迅速判定它是哪一种解析式。

2. 理解图像的平移口诀“括号内加减左右移，括号外加减上下移”。

y=ax2y=a（x+h）2+k“括号外加减上下移”是针对k而言的，“括号内加减左右移”是针对h而言的。

3. 通过描点画图、图像平移，理解并明确解析式的特征与图像的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中构画出其图像的基本特征，这才真正意义上做到数形结合。

4. 在熟悉函数图像的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图像来判别二次函数的系数a、b、c、以及由系数组成的代数式的符号等。在遇到比较复杂的代数式的符号判断时，可采用特殊值法处理。

三、充分利用抛物线“顶点”的作用

1. 要能准确灵活地求出“顶点”。形如y=a（x+h）2+k顶点（-h，k），对于其他形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点。

2. 理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系。若顶点为（-h，k），则对称轴为x=-h，y最大（小）=k；反之，若对称轴为x=m，y最值=n，则顶点为（m，n）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果。不过这里求函数最值时，有时要考虑自变量的取值范围。

3. 利用顶点画草图。在大多数情况下，我们可以根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图像（即草图），能帮助大家分析、解决问题就行了。

四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法

一般来说，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标。如果方程无实数根，则说明抛物线与x轴无交点。

从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程。联系方程根的判别式，利用根判别式的值来判定抛物线与x轴的交点个数。

二次函数篇8

一、重视对基础知识的考查

例1 据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图像如图1所示。过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）。

（1）当t=4时，求s的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城。如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由。

略解：（1）s=24（km）。

（2）当0≤t≤10时，s=■t2；

当10

当20

（3）沙尘暴发生后30h将侵袭到N城。

二、关注社会和科技热点

例2 某工艺厂为配合伦敦奥运会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据：

■

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中（图2）描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

■

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）

解：（1）如图3，由图可猜想y与x是一次函数关系，

■

设这个一次函数为y=kx+b（k≠0）。

这个一次函数的图像经过（30，500）、（40，400）这两点。

由500=30k+b，400=40k+b。解得k=-10，b=8000。

函数关系式是：y=-10x+800。

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得

W=（x-20）（-10x+800）

=-10x2+1000-16000

=-10（x-50）2+9000。

当x=50时，W有最大值9000。

所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元。

三、建立模型，学以致用

例3 某专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元/只，售价20元/只。为了促销，该专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元（例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的价格购买），但是最低价为16元/只。

（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？

（2）写出当一次购买x只时（x>10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式；

（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多少？为什么？

略解：（1）50只。

（2）当10

当x>50时，y=（20-16）x=4x。

二次函数篇9

学习了二次函数的有关知识后，灵活应用这些知识，可以帮助我们解答一些生产、生活中的实际问题，现以2007年的部分中考题为例介绍，供同学们参考。

例1 (2007年烟台市)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件。

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次。

析解：(1)当生产第x档次的产品时，每件利润为[10+2(x-I)]元，每天产量为[76-4(x一1)]件。

因为每天总利润=每件利润×每天产量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x2+128x+640

(2)要求产品的质量档次，只要求x的值即可

在y=-8x2+128x+640中

因为y=1080，

所以-8x2+128x+640=1080

整理．得X216x+55=0

解之，x1=5，X2=11(不合题意，舍去)

所以当一天的总利润为1080元时，应生产第5档次的产品。

例2 (2007年佛山市)如下图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴．顶点E到坐标原点O的距离为6m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗?

(3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0．4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗?

析解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，要求y关于x的解析式，应找到三组x和y的数值．

因为点E、点A、点D的坐标分别为(0，6)、(-4，2)、(4，2)，

(2)要判断高为4.5m，宽2.4m的货车能否从该隧道内通过，其实质在于确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于2.4m，若大于2.4m，就可以通过；否则，就不能通过。

所以货车可以通过。

(3)如果隧道内设双行道，且在隧道正中间没有O．4m的隔离带，那么要判断这辆货车是否可以顺利通过，只要确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于(2.4x2+0.4)m，即是否大于5.2m，若大于，就可以通过；否则，就不能通过。

所以如果隧道内设双行道，且在隧道正中间设有0.4m的隔离带．则这辆货车不能顺利通过。

例3(2007年贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

析解：(1)当每箱的销售价为x元时，它比每箱50元的价格提高(x-50)元，那么销售量将减少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50)，

即有y=-3x+240，

(2)当每箱的销售价为x元时，每箱的销售利润为(x-40)元，每天的销售量为y箱，即(－3x+240)箱．

所以w=(x-40)(-3x+240)，

即有w=-3x2+360x-9600

(3)要问每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润，只要求出x为何值时w有最大值,为此，应把w与x的二次函数关系式进行配方变形。

因为w=-3x2+360x-9600

=－3(x-60)2+1200，

又，x≤55，且x

所以当x=55时，w有最大值=-3x(55-60)2+1200=1125．

所以当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

练习

1．(2006年鄂尔多斯市)某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿纸上描点，观察点的分布，确定y与x的函数关系式．

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

答案：(1)y=-x+50；(2)每件产品的销售价应定为30元，此时每日销售利润是400元。

2．(2007年青岛市)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：

(1)求y与x的关系式；

(2)当x取何值时，y 的值最大?

二次函数篇10

关键词：初中数学；二次函数；教学中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）08-0188-02在整个初中数学学习中，二次函数的地位不言而喻。而初中学生数学成绩的好坏直接受到了函数学习好坏的影响，这也就要求了每一位初中数学教师都必须重视二次函数的教学，并且找寻突破口，从而让二次函数教学达到预期的教学目标，将学生整体学习水平提高。

1.学习初中数学二次函数的重要性

1.1学次函数能够培养学生的识图与观察能力。在二次函数教学中，可以运用情景教学方法让学生学会如何识图以及如何作出二次函数的图像。初中阶段的学生，对于未知的东西总会有一种莫名的欲望，而二次函数正是具备了这一特点，教师应当抓住学生这一关键，运用情景教学法教会学生如何观察识图和对几个二次函数图像的比较，并结合二次函数的性质，让学生学会手脑并用，真正的成为数学课堂的主人。例如：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点?有何不同点?

⑴ y=2x2⑵ y= －2x2

解:共同点:两个函数都是二次函数，都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点，图象都是一条抛物线。不同点 :y=2x2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升。y= －2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降。具体图象如图 1 所示。

1.2学次函数能够培养学生的动手能力。在初中二次函数的教学中，我们可以先让学生列表，将二次函数的基本图像画出来，然后在让学生针对自己所画出的二次函数讨论这一组函数的图像特征、相同之处和不同之处、对称轴等等问题。通过这样的教学，让学生逐渐地养成了勤动手、勤动脑的习惯，这样才能起到抛砖引玉的功效，让学生"占据"课堂，学会学习。

1.3学次函数能够让学生走出课堂。我们可以将实际问题中二次函数的应用作为一种数学模型，让学生能够通过已经学会的知识来解决现实问题，从而让学生感受到二次函数的作用，真正地达到学以致用的目的。

2.初中二次函数教学的关键

2.1正确地理解二次函数概念。只有对于二次函数概念的深入理解，才能够在日常的生活中巧妙地运用二次函数知识，这对于教学的"教"以及学生的"学"都有帮助。因此，在初中二次函数的教学中，我们应该恰当地、不适时地融入概念问题。例如我们已知圆的半径（r）和面积（A），尝试写出圆面积计算表达式。此外，在教学当中，我们为了让学生加深印象，也可以通过实际的案例教学。

2.2培养学生的推理判断能力需要在教学中运用新技术。初中阶段主要是学生思维能力以及逻辑思维判断能力的培养，因此，作为教师，就需要选择正确的教学方式。对于学生逻辑思维能力的培养，我们也可以运用二次函数的分析判断方式以及思维方式。因此，我们就需要让二次函数能够展现在学生的眼前，让学生亲眼看到二次函数。而将多媒体技术运用到二次函数教学中，就能够很好的解决这一问题。在学习当中的运用，不仅能够提升二次函数的教学效率，还能够调动学生对于二次函数学习的积极性。在课前，教师可以将二次函数相关的PPT 制作完成，然后在课堂上通过图文并茂的方式，将二次函数最直观地展现在学生的面前。

例如：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a不等于0），我们可以先让学生画出 y=ax2+bx+c（a不等于0）的图形，再由教师用多媒体展示标准的图形，让学生观察他们存在的共同之处，这样对学生逻辑推理能力的培养也有帮助。

2.3二次函数教学中需要融入数形结合的思想。对于学生掌握二次函数的性质以及学生观察能力的培养，也可以通过图像来学次函数的方式。而在初中二次函数的教学中，我们应该让学生在碰到每一个二次函数的时候都尽量的画出草图，以此来培养学生的观察能力，并渗透数形结合的思想，让学生快速地在平面直角坐标系中找到它们们的形状与位置，来提高解决二次函数问题的能力。

3.初中二次函数的教学技巧

3.1教学需要以提高学生学习兴趣为前提。初中数学材料对于学生来说是枯燥的，久而久之，学生就会厌烦这一种学习方式，从而给教师的教学带来了重大的阻碍。所以，让学生对二次函数产生兴趣才是提高二次函数的学习效率的前提。因此，在二次函数教学中可以结合具体情境、创设想象空间，配合多媒体教学，然后在课后布置适合不同学生难度的作业，这样不仅能够让学生感受到挑战，也不会对学生造成过重的学习负担，这对学生主动学习能力的培养也有帮助。

3.2将二次函数与其他教学内容区分开来。初中数学教学不仅是为了学生思维能力、空间想象能力的提高，更多的是让学生掌握如何能够更有效地运用知识，从而将解决问题。由于初中二次函数里面所涉及到的内容和其余教学内容关系"密切"，所以在进行二次函数教学的时候，我们要将其和其他教学内容区分开来，这样学生才能够进一步的理解二次函数相关的知识，加深对二次函数知识的印象。

总的来说，二次函数的学习对于初中学生而言是十分关键的，它对于学生的数学成绩起到决定性的作用，也直接影响着学生在高中阶段数学知识的接受能力，因此做好二次函数的教学工作是每位初中数学教师所应该重视的问题。同时，在二次函数教学中，要注重和学生的交流互动，营造生动活泼的课堂氛围，让学生更加主动投入到教学工作中，从而更充分的理解知识，掌握知识，最终达到数学成绩提高的目的。参考文献

[1]孙兴权. 难解"二次"情结——谈初中数学的二次函数教学[J]. 现代阅读(教育版),2012,10:148.