二次函数教案十篇

二次函数教案篇1

1.知识与技能目标。（1）使学生理解并掌握二次例函数的概念。（2）能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式。（3）能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式，体会函数的模型思想。

2.过程与方法目标。通过“探究——感悟——练习”，采用探究、讨论等方法进行。

3.情感态度与价值观。通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。

二、教学重、难点

1.重点。理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。

2.难点：理解二次例函数的概念。

三、教具准备

从网上及相关资料搜集与本节课有关的材料，远程资源。

四、教学过程

1.新课导入。（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2.新课。问题1，正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关系可表示为?[y=6x2

问题2，某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? y=20x2+40x+20

观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?

经化简后都具有y=ax2+bx+c的形式，(a，b，c是常数， a≠0 )。

我们把形如y=ax2+bx+c(其中a，b， c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

称，a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项。

又例：y=x2+ 2x–3

3.巩固练习。

1.下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=3x-1 (2)y=3x2+2 (3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1

（5）y=x2-x(1+x)（6）y=x-2+x（7）y=1/2

（8）y=x(1-x)（9）(1)y=x2

2.做一做。（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米，则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式。

3.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1） y=x2+1 （2）y=3x2+7x-12（3）y=2x(1-x)

4.若y=（m2-1）xm2-m函数为二次函数，则m的值为

。

4.例题讲解。

例1：关于x的函数y=（m+1）xm2-m是二次函数， 求m的值。

解： 由题意可得

m2-m=2m+1≠0解得m=2

当m=2时，函数为二次函数。

注意：二次函数的二次项系数不能为零。

例2：已知二次函数y=x2+px+q，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为- 5， 求这个二次函数的解析式

5.随堂练习。已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

（拓展题）已知关于x的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.(待定系数法)

解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由题意得：

a-b+c=10

a+b+c=14

4a+2b+c=7

解得：a=2，b=-3，c=5

所求的二次函数是y=2x2-3x+5

6.课堂小结。（1）使学生理解并掌握二次例函数的概念。（2）能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式。（3）能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。

五、布置作业

二次函数教案篇2

高中数学学案导学导思导练课堂检测数学学案包括五部分：学习目标――导学――导思――导练――课堂检测。在学案编制之前要做的准备工作有教材分析和学生分析。

一、教材分析

教材分析即本节教材知识间的前后联系以及地位与作用。函数的最大（小）值是函数的一个重要性质，和求函数的值域有着密切的关系。对于在闭区间上连续的函数只要求出它的最值，就能写出它的值域。通过对本节的学习，学生能巩固上一节关于函数单调性的学习，而且还锻炼了利用函数解决实际问题的能力。

二、学生分析

1.学生已经学习了关于一次函数、二次函数的图像和性质；

2.鉴于学生对函数有了初步的了解，本节从二次函数图像入手，这样让学生直观的从图像的最高点和最低点上从感性认识到函数的最大值和最小值。学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题。

这节课集中体现了数形结合、分类讨论、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值。

三、学习目标及学习重难点

1.掌握函数最大、小值的概念，能够解决与二次函数有关的最值问题；利用函数的单调性求最值；会用函数的思想解决一些简单的实际问题。

2.通过函数最值的学习进一步研究函数，感悟函数的最值对研究函数的作用。

3.在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐。

本节内容的学习重点是“应用函数单调性求函数最值。”学习难点是“理解函数最值可取性的意义。”备课时要突出重点，以它为中心，辅以知识讲练，引导启发学生加强对重点内容的理解。难点往往是数学中大多数学生不易理解和掌握的知识点，有时和重点是一致的，备课时要根据教材内容的广度、深度和学生的基础来确定。

四、导学

导学部分主要包括复习回顾，新课引入。能够使学生能自主从旧的知识探究新的知识，达到温故而知新。本课导学包括两部分：首先由两个函数图象的比较引入本课函数的最大值、最小值的内容，从而对教材函数最值的定义有进一步的理解和强化。

第二部分是对本课主体知识的学习，采用了课本对“最大值”“最小值”概念再现的方式，体现了以教材为本的思想。

1.根据两个函数图像回答问题：

（1）上面两个函数图象有什么共同特征？

导学部分的编写是学案的重要组成部分，也是教材新知识呈现的载体，本部分的设计要根据学生的具体情况对教材新知识进行相应处理，也可以根据内容的难易设计“合作、探究”的方式进行新知探究。

五、导思

导思部分的设计是对教学重难点的突破和强化，导思中设计的问题要引导学生对新知识举一反三，本学案导思部分设置了4个问题：

六、导练

导练是在学习了新知识后的例题讲解，在设计这部分内容时一定要注意围绕本课内容的重难点进行，例题选取的全面性、典型性，例题选取要少而精，通过例题加上变式训练，以期达到“举一反三，触类旁通”的效果。数学课堂不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。

七、目标检测

目标检测是学案设计的最后一个部分，也是对学生这节课所学内容的检验。本课目标检测涵盖了几类特殊函数求最值的题目，在这基础上设置了复合函数的最值问题，是对学生能力提高的训练，另外还设置了运用函数的单调性求最值的题，这些题型构成有基础、有拓展，对学生学习能力的培养起到很大的作用。

学案教学确实对提高我们的教学质量有很好的帮助，但是我们应该理性的思考，学案教学在提高教学效率的同时怎样摆脱其对教师教学和学生思维的限制性，长时间的学案应用会使学生和教师失去兴趣，降低积极性，我们提倡在学案的教学中的个性化教学，在集体备课后的学案基础上，每位科任老师都要在其基础上根据本班学生及个人授课风格进行个性化的设计，这还需要在实践的基础上不断加以完善和创新，为我们的课堂教学改革推进一步。

参考文献：

[1]董旺森.以导促学达高效以生为本助发展――例谈高中政治导学案的编制[J].教学与管理，2013，（07）：74-75.

[2]王富英，王新民.数学学案及其设计[J].数学教育学报，2009，（01）：71-74.

二次函数教案篇3

关键词：教科书;教学案;教材体系;教师专业成长

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）24-083-1

教学案是一种融教师的教案、学生的学案、分层次的评价练习为一体的师生共用的探究活动的载体，其核心就是从学生的基础出发，在教师占有大量资料的前提下，把学生所要掌握的知识精心设计成问题的形式来进行导学、导练、导结。教师可以利用教学案引导学生独立看书、自学、思考和探究，使学生通过课前自学对教材首先有一个初步的了解，发现自己对教材的理解存在的问题，完成第一次教学;然后在课堂上讨论交流、合作探究、分析问题，完成第二次教学;最后是当堂进行达标测试，及时得到反馈，解决问题，完成第三次教学。这种设计，为学生自主学习、合作学习、探究学习提供了条件和明确的学习目标。通过教学案的使用，既能转变教师的教学理念，提高教师的整体素质和业务水平，又能转变学生的学习方式，让学生学会并自觉地在已有的经验基础上建构自己的知识框架和理论体系，使每个学生的思考深度得到拓展。

但随着教学案的普遍推广，课本的使用越来越少了，很多学生哪怕用课本也只是把课本上的概念往教学案上誊写一下就结束了，绝大部分学生的课本到高三毕业时都是崭新的，笔者在与教师、学生的交流以及教学实践中渐渐产生了担忧：在广泛使用以课本为蓝本编制的教学案的课堂中，是不是就可以不要课本了呢？如何正确使用教学案呢？

一、必须熟悉教材体系

只用教学案最严重的后果是学生对课本不熟悉，对课本的体系不了解。很多学生没有系统地看过课本，对教材的内容没有一个整体上的把握。而高中数学的很多内容是密切联系的，如：“函数”是个重要的核心概念，学生学习函数的知识经历四个阶段，第一个阶段是在初中，学生接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示、性质、图象。必修1第二章和第三章的学习是第二个阶段，这是系统学习函数知识的阶段，也是培养学生应用函数知识解决问题意识的开始。必修1在学习函数概念后学习函数的性质（单调性和奇偶性），进而学习具体的函数：指数函数、对数函数和幂函数，而研究这几个具体函数的性质主要是通过它们的图象来研究的，其中性质主要是指函数的定义域、值域、单调性和奇偶性。通过对这三个具体函数的研究，学生对抽象的函数概念的理解会进一步加深。第三个阶段是必修4、必修5的学习。必修4三角函数将角的概念推广到任意角后，我们就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，这样就可以把三角函数纳入到一般函数的范畴，这部分内容的学习主要还是研究三角函数的图象与性质，这可以看成是必修1函数知识的一个应用。必修5中的数列虽自成体系，但它也可以看成是定义在正整数集上的函数。这样函数的概念的外延在不断地拓展，学生对函数概念的理解也更有深度。第四个阶段是选修课程中的导数及其应用、概率、参数方程等。导数可以看成是为了研究更为复杂的函数的性质而采用的更为先进的研究工具，其本质依然是函数，参数方程则给出了函数的另一种表示方式。可见，整套高中教材以函数作为主线贯穿其中。如果学生没有系统地看书，没有悟出这些概念之间的联系，他掌握的知识可能是支离破碎的，这样也就很难编织清晰的知识网络，很难形成高效的正确的认知结构，对这些知识的理解就会缺乏深度。

二、深入挖掘课本概念

很多教学案的预习部分都把课本的重要概念设计为填空题的形式，让学生在预习课本后填写，大部分教师在课堂上做的工作就是把学生填写的内容对一下答案，让学生对基本的概念有个大概的了解，然后讲解例题，再让学生进行当堂巩固练习，从反馈结果看，学生教学内容好像基本掌握了，但他们对这部分知识只是停留在识记的层面，没有正在参与到如何得到新知识的过程中去。从更高的要求看，这样的教学不能培养学生触类旁通的能力，遇到一个与之相关的问题可能就会束手无策。所以我们的课堂要让每个学生体验通过自己的探究得到知识的过程。例如，在学习指数函数时，应引导学生了解为何底数的范围是大于零且不等于1？更应该指导学生通过描点作图，了解指数函数的性质，为后面学习对数函数、幂函数以及研究更一般的函数性质提供了范例。

二次函数教案篇4

理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根。以下是为大家整理的函数教学案例借鉴资料，提供参考，欢迎你的阅读。

函数教学案例借鉴一

【知识与技能】

1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.

2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.

3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.

4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.

【过程与方法】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想.

【情感态度】

通过自主学习,小组合作,探索出二次函数与一元二次方程的关系,感受数学的严谨性,激发热爱数学的情感.

【教学重点】

①理解二次函数与一元二次方程的联系.

②求一元二次方程的近似根.

【教学难点】

一元二次方程与二次函数的综合应用.

一、情境导入,初步认识

1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根,就是二次函数y=ax2+bx+c,当 y=0 时,自变量x的值,它是二次函数的图象与x轴交点的 横坐标 .

2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系:当b2-4ac<0时,抛物线与x轴 无 交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有 一 个交点;当b2-4ac&0时,抛物线与x轴有 两 个交点.

学生回答,教师点评

二、思考探究,获取新知

探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点

例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.

【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时,交点的纵坐标y=0,转化为求方程x2-2x-3=0的根.

解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1,所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.

【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标,首先令y=0,把二次函数转化为一元二次方程,求交点的横坐标就是求此方程的根.

探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考:

(1)你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗?猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系?

(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断?

函数教学案例借鉴二

一、教材分析

1、教材所处的地位和作用：

《二次函数与一元二次方程》是初中数学(山东教育出版社)九年级上册《二次函数》的一节内容。本节内容体会二次函数与一元二次方程之间的联系;理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根;通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;通过这节的学习，学生将掌握二次函数与一元二次方程的关系，本节是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。 2.教学目标

知识与技能目标：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根;理解一元二次方程的根就是二次函数y=h(h是实数)图象交点的横坐标.

过程与方法目标：体会二次函数与方程之间的联系;掌握用图象法求方程的近似根; 情感态度与价值观：培养学生热爱数学、主动探究的能力

教学重点：把握二次函数图象与x轴(或y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系. 教学难点：应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一

步的理解.

二、教学策略：

1、教学手段：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索

本节课以学生的自主探索为主，老师主要通过演示引导启发学生得出结论，这样有利于学生提高学习兴趣，获得成就感。在教学中可以放手让学生自己去画图象，讨论研究出函数与一元二次方程的关系，以提问的形式与学生互动，通过练习加深学生对函数性质的理解和应用。

2、教学方法及学法：自主探索 观察发现 合作交流 对比归纳

三、学情分析：

学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了认识二次函数图象、求二次函数解析式、利用建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系，他们已经有了探索本节课的数学基础;同时在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，因此教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有能力完成好本节新课的学习任务。

【学习过程】

环节一：学生预习,教师导学：

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1)h和t的关系式是什么?

(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.

【设计意图】：通过设置问题，帮助学生体会二次函数与实际生活密不可分的关系;初步感受二次函数与一元二次方承的联系。

环节二：学生合作，教师参与：

1.在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题： (1).每个图象与x轴有几个交点?

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 例题讲解

1、在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?

2、二次函数y=ax+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?

【设计意图】：这是本节的重点，比较抽象，因此通过画图让学生能够清楚形象的解决问题，并且能够培养学生总结问题的能力。 环节三：学生展示，教师点拨：

1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是

. 2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是( )

A 两个交点

B 一个交点

C 没有交点

D 画出图象后才能说明 3 不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标. 【设计意图】：本环节是对本节知识的巩固应用，是对新知识点生华，培养学生数学思维的严谨性

环节四：学生探究，教师引领：(给同学充分的时间考虑，1号同学发言交流，教师引导补充)

2如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x﹥0).柱子OA的高度是多少米?若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外?

【设计意图】：本环节目的是为了培养优生，锻炼学生的发散思维能力。 环节五：学生达标，教师测评：

1.这节课我们主要学习了哪些知识?(提示：鼓励学生交流收获，视情况给小组加分) 2.检测：

(1)抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数是

(2)抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标为

【设计意图】：本环节是为了检测学生一节课的收获，使教师能够全面了解学生的接收受情况，以备个别辅导。

教学反思：

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

本节课，在引入问题的设计中做的不够充分，知识的生成没能有效呼应，没有达到预设的课堂效果。我要在以后的课堂教学中，加强对教材的研读，合理把握重难点，在情景引入和知识生成的问题设计上多下功夫，力争使自己的教育教学水平有新的突破

函数教学案例借鉴三

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.

(二)能力训练要求

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神.

2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.

3.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识.

(三)情感与价值观要求

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.具有初步的创新精神和实践能力.

教学重点

1.体会方程与函数之间的联系.

2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.

教学难点

1.探索方程与函数之间的联系的过程.

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教学方法

讨论探索法.

教具准备

投影片二张

第一张：(记作§2.8.1A)

第二张：(记作§2.8.1B)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.

二次函数教案篇5

在教学过程中，既要重视数学形式性、抽象性、演绎性，更要重视数学具体性、应用性和归纳性。要将数学知识、解题方法体系的教学与数学知识、方法的形成过程联系起来，重视学生的体验和探究，提高学生的综合素质。在习题教学中，我们要强调，指导学生通过参与，体验解决数学问题的探索过程，不断反思、归纳、优化探索过程中问题解决的策略，进而丰富课堂结构，提高学生的课堂效率。

以个案方式呈现教学过程能够更好地展现教师设计教学的过程，实施设计内容，师生的互动及课后的反思，分析自己的实践过程等教学各环节具体的真实状态，更有利于教师与学生在深入探讨个案内容的基础上把握教与学的规律，进而提高教学质量。

现选择三个既有共性又各有特点的习题课教学案例来说明，对三道习题教学的认识与实践。通过教学的设计，教学的过程，及教学过程的分析与反思。

一、“一题多解”

例如：正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A―BD1―P的大小.

解题过程略

二、“多题成系统”

例如：设函数

（1）若 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围。

（2）若 ，使得不等式 成立，求实数a的取值范围。

（3）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

（4）若 ，使不等式 成立，求实数a的取值范围。

（5）若 ，不等式 成立，求实数a的取值范围。

（6）若 ，使不等式 成立，求实数a的取值范围。

解题过程略

三、“旧题”生“新意”

“二次型”函数求值

现以个案三为例，本节课的主要内容是在上完正弦函数的图象与性质，三角函数倍角公式后，讨论可化为“二次型”函数的三角函数求值域问题。对于学生而言，“二次（型）”函数求值域问题是比较熟悉的“旧题”，大部分学生也比较容易将三角函数与二次函数相结合的求值域问题这一“新题”转化为“二次（型）”函数求值域问题，所以，在上课前先以作业的形式让学生完成比较简单的化归问题，以此为基础在课堂上引导学生关注、探索“旧题”是如何衍生为“新题”的，从而使学生更深刻理解相关数学问题的联系方式，并促进学生探索能力的提高。

教学过程：

1.课前布置的作业

2.引入

先请学生在黑板上演示作业的解题过程，基本步骤如下：

将课题表述得很清楚，是想在“化归”中更强调后者。但这样设计，需要对学生有一定的前期训练，否则学生无法把握“发展”的方向，也需要教师对课题有比较深刻的把握，以利于判断学生“发展”出来的题目”与“旧题”的内在联系。

两道题都是利用三角公式通过换元将原来的三角函数求值域问题转化为二次函数在有限区间上求值域问题。这次作业只不过是将“旧”知识用到三角函数这个“新”问题中来。

3.发展

将（1）改为 ，

将（2）改为y=sinx-cosx+2sinx cosx，y=sinx+cosx+a sinx cosx等等，即将系改为其他常数或字母系数，这样变化，对解题方法有什么影响吗？其实没有什么变化，只是将系数变成其他系数，在换元以后的函数定义域上单调性可能与原来不一样了，如果换成字母系数，可能要分情况讨论才能求出值域，这是一个“旧题”发展变化成“新题”的常见方法：变化系数。那么题目能不能将（1）变成 （2）变成 呢？这个问题的提出很重要，让学生考虑这个问题，可使其对原问题的结构有更全面、深刻的把握，对“衍生”的方式有更准确的认识。

从刚才的提问中，可见“变”是有一定限制的，即要能够在换元后得到的函数还是“二次（型）”函数。否则，就变得与“旧题”的基本解题方法没有什么关联的“新题”了。教师可以不断引导学生，试一试考查一下，什么样的变化，不会改变解题的基本思路，什么样的变化就会改变整个解题方式。

看下列例题，想想这些“新题”是如何由“旧题”演化来的。

例1：求函数 的值域.

例2：已知 的取值范围。

例3：已知 的值域是[-11，9]，求实数a的取值范围。

在实际教学过程中，三个例子各有难点，教师引导学生一一分析、解决。一般来说，学生比较容易注意具体的解题方法技巧，将学生的认识用学生可以理解的语言抽象概括为更具有普遍性的规律。

例1中由于有“ ”的条件，使（2）中t的取值范围由 。例2中由条件 可化为 ，不仅可以通过换元将问题转化为二次函数在有限区间上求值域问题，而且还给出了新元 的取值范围为 。例3可以转化为已知二次函数的值域，反求函数表达式中的参变量的值。

例1、例2的变化相当于将原题中给出新元的范围的方法发展了，而例3则由“旧题”的已知与待求结论“换位”，利用逆向思维发展成新题。这些“新题”与“旧题”相比，综合性更强、难度更大，更能考查学生的综合素质。

4.小结与反思

总结从“二次（型）”函数在有限区间求值域问题是怎样由比较简单的问题不断变化的综合性越来越强的“新题”。

已知基本函数 讨论这类问题要考虑两点：

（1）对称轴与函数图象开口方向，决定函数的单调性；

（2）对称轴与区间 的关系。

有几个变化的方式：

（1）将 等常数变换为变量。如动区间定函数问题，定区间动函数问题等。

（2）改变x，即利用复合函数出新题。可将原题改为： 求值域问题，而且可以利用 的值域给出换元后新元的定义域。由于 的值域由x的取值范围而定，所以就可以与函数求值域问题相结合。

给出值域反求函数表达式中的字母系数。这类问题往往可以用分类讨论的方法与方程思想相结合。

二次函数教案篇6

这种教学法要求在教师的启发诱导下，通过学生的亲自参与、探索、研究，去发现概念、规律。这种学习形式，不仅提高了学生学习兴趣，使学生学到了知识，更重要的是他们学到了获得知识的过程与方法，培养了他们独立思考的能力。这种教学方法，符合当前国际教育发展的趋势，与现代社会高速发展相适应。

我在初中数学教学中，在一些课上进行小组合作的探究式学习的教学方法，收到了良好的效果。

在教学实践中，我发现合理设计学案，可以使学生在探究的过程中少走弯路，更容易理解和掌握科学的研究方法。所以，如何编写学案，就成为探究式教学的成败的关键。下面我以一次函数及性质一课为例，谈谈我在学案编写时的一些做法。

一、学案目的明确，要符合学生的认知规律

编写学案要目的明确，简单、明了，让学生看到学案就能知道教师的重点在哪，并能根据教师的的要求发现本节课的新知识，并根据教师的引导用填空的形式填出来。学案上不仅要体现学生的研究过程还要体现学生的研究成果。

这样的设计让学生对函数的研究建立一个完整的认知体系，明确应该怎样进行函数的研究，为后续学习打下了一个良好的基础。

二、学案设计要符合学科的认知规律

数学学案设计多采用题组教学的方法，如何设计题组让学生从中发现本节课所学的新知识，是设计成败的关键，如在一次函数的性质这节课中我就采用了题组设计的方法

[活动一]

此活动为了确定一次函数的形状及特殊点

由于在活动一中学生已经发现一次函数的图像虽然是一条直线，但这条直线在平面直角坐标系里的位置是不同的，变化趋势也是不同的，是函数解析式中的哪个量影响了函数图像在平面直角坐标系中的位置及变化趋势呢？学生很容易想到是k和b，那么k和b分别对函数图像产生了怎样的影响，为了进一步研究k、b对函数图像产生的影响采用了定量的分析方法，即k变b不变，b变k不变，并以此为依据设计了活动二和活动三。

让学生作图后回答问题，我的本意是想让学生答出，当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；y随x增大而增大，当k

这个活动主要是由学生自己对当堂学习知识进行了归纳总结培养学生的知识迁移能力和归纳总结的能力。

通过这样的学案设计使学生对函数图像和解析式之间的联系非常清楚。在后续的学习中，学生在函数的学习上比用常规方法教授的学生轻松了很多，也更能应用函数图像来解决问题，提高了学生数形结合解决问题的能力和独立解决数学问题的自学能力。

二次函数教案篇7

[关键词] 锐角三角函数；调查研究

在日常教学中，初中数学教师普遍反映初中学生学习锐角三角函数比较困难，特别是对于三角函数概念的理解更显得困难。同时初中数学教师也反映学生对锐角三角函数理解存在很多问题。为全面了解初中生学习锐角三角函数时的困难，以及困难产生的原因，我们进行了本次抽样调查。同时也希望通过本次调查，能够寻找和确定合理教学要求，适度调整教与学方式方法，从而使学生高水平地理解三角函数概念。

一、关于锐角三角函数的认识

在相似的直角三角形中，当锐角大小确定以后，直角三角形中某两边的比值就随之确定，且有唯一比值与之对应。这就是说，针对每一个锐角，都有唯一一个数值与它对应。基于初中阶段的函数定义：“设在一个变化过程中有两个变量X与Y，如果对于X的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是X的函数”，锐角三角函数符合初中阶段函数定义。但与一次函数、反比例函数和二次函数相比，锐角三角函数是一类特殊的函数。其特殊性主要体现在对应关系及其表示方式上。例如，一次函数对关系中，函数值是通过对自变量的代数运算得到的，并且这种对应关系直接借助于该运算表达式进行表示。而锐角三角函数的函数值不是通过对自变量（角度）的代数运算表达式来表示，而是依托于直角三角形，通过确定与该角具有某种位置关系的某两边的比值得到的，并且使用比较抽象的符号表示某两个边的比值，且不同两边比值采用不同符号。

二、研究方法

（一）样本

调查样本选自三所学校，其中两所学校是辽宁省课程改革示范校，共从中随机选取九年级四个班的147名学生；另一所学校是鞍山市城乡结合部某普通初中，从中随机选取九年级一个班级的29名学生。由于这三所学校都采取了阳光分班，因此，这样选择调查样本保障了样本的代表性。

此外，调查的时间选择在学生均已学习过一次函数、二次函数、反比例函数和锐角三角函数。

（二）调查工具

根据调查目的――调查学生对锐角三角函数概念的理解水平，将问卷分为以下三个方面：学生对函数基本概念的理解，对锐角三角函数概念的理解和锐角三角函数与其他函数的差异。为了考查学生对函数概念的理解情况，我们要求学生写出函数的概念。为了考查学生对锐角三角函数本质的理解，问卷中设计了三个题目。一个是“你认为锐角三角函数的本质体现了什么”并给出三个选项，意在考查学生在有错误选项的干扰下能否选出锐角三角函数的本质描述。第二个题目是“只要角的大小确定了，那么这个角的三角函数值的大小也就确定了，请问你同意这种说法吗？并写出理由”，意在考查学生在特定情境下能否准确表述出锐角三角函数的本质。第三个题目是关于表达式中自变量与因变量的区分，目的为了考查学生在三角函数正弦表达式中能否准确运用函数的概念区分出自变量与因变量。此外，问卷中第四题让学生叙述锐角三角函数与其他函数的不同，意在调查学生对已学知识的整理程度。在问卷题目的设计与修改过程中，我们对特级教师和数学教育研究者进行了访谈，寻求建议，经过反复修改最终确定了问卷的有效性。

三、调查结果

本次调查回收问卷176份，有效问卷161份，整理后得到以下数据。

（一）学生对函数概念的理解水平

试卷中第三题是对学生函数概念理解水平的考查，要求学生写出函数的概念，学生的答案基本分为四类，如表1所示：

9.3%的学生能正确书写出函数的概念“设在一个变化过程中，有两个变量X与Y，如果对于X的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是X的函数”。有42.9%名学生的答案中提到“变量”这一词，例如，有学生写到“函数就是两个变量之间的关系”或“函数是变量X与变量Y的变化过程” 。但没有进一步说明对应关系指的是什么，等等。可见，学生对函数概念理解的准确程度很低。还有一部分学生，虽然知道函数概念，但在表述上不准确不完整。

（二）学生对锐角三角函数本质的理解

试卷中第二题、第五题和第六题考查了学生对锐角三角函数本质的理解。第二题设计为“你认为锐角三角函数的本质体现了什么？”，并给出表2中的三个选项，其中C为正确答案。数据如表2所示：

从上题可以看出，学生正确选出锐角三角函数的概念的人数比较多。但仍旧有27.3%的学生不理解锐角三角函数的概念，分不清锐角三角函数中是哪两个变量之间的对应关系。

第五题是考查学生对锐角三角函数本质理解的判断题，题目设计为“只要角的大小确定了，那么这个角的三角函数值的大小也就确定了，请问你同意这种说法吗？并写出理由”正确答案应是同意该说法。数据如表3所示：

从表3我们可以看出，学生对锐角三角函数本质的理解水平较低，只有20.5%的学生正确判断并写出自己的理由。例如，回答正确的学生提到“因为三角函数值是直角三角形中一个锐角的对边和邻边的比，跟三角形的大小无关”或“大小不同的三角形是相似三角形，所以对应边成比例，只要角一定，边长比就一定”。无法表述原因或完全错误的学生占了大多数（79.5%）。

卷中第六题设计为关于表达式中自变量与因变量的区分，数据如表4所示：

本题为问答题，正确答案为∠A是自变量，是因变量。从问卷上可以看出还是有16.8%的学生能够区分自变量与因变量的，说明这些学生理解锐角三角函数中函数变量的对应关系。而其余学生（83.2%）将边长或∠A的正弦值当作变量的情况值得我们注意。

（三）关于学生对锐角三角函数与其他函数的区分

问卷中第四题考察了学生是否能准确区分锐角三角函数与其他函数的不同，请学生写出关于锐角三角函数与其他函数的区别，数据如表5所示：

本题为问答题，请学生写出锐角三角函数与一次函数、反比例函数和二次函数的区别。学生的答案可分为三类：“表达式不同”、“锐角三角函数是在固定的图形中解决问题”、完全错误。数据显示，学生在学习初中阶段涉及到的各种类型函数后，对知识间的联系程度较低，其表现是74.5%的学生说不出各个函数间的相同与不同之处。

四、讨论

通过问卷调查，本次研究得到的结论是，学生对函数概念的理解水平较低，部分学生不理解锐角三角函数本质，大部分学生不能找出各个函数之间的不同之处。下面我们将从三个方面来分析学生产生问题的原因。

从锐角三角函数的表达式方面来看，由于给三种锐角三角函数赋予了特定的符号（sin、cos、tan）。这三符号在一定程度上没能够直观地给学生所谓的解析式的印象，隐去了函数与自变量之间的关系，即不能像一次函数那样直接呈现函数与自变量的关系，使得学生理解锐角三角函数中的函数与自变量的关系变得困难。

从教材编排看，部分教材将《锐角三角函数》这节课放在一次函数、反比例函数甚至是二次函数之后出现，因此，一次函数、二次函数、反比例函数的学习对三角函数学习产生负迁移，即导致学生误认为函数总是可以用X的解析式来表达的思维定式，从而影响了学生对锐角三角函数的理解。这种思维定式直接导致部分学生分不清锐角三角函数中的自变量和因变量，使得学生对锐角三角函数本质的理解出现困难。

从教师授课方面来看，教师没有从函数概念的高度引导学生理解锐角三角函数，没有说明锐角三角函数是明显地存在“对应”关系的函数，更多的是关注特殊角度所对应的两边比值。这样可能会导致一部分学生无法理解锐角三角函数的本质及与其他函数之间的不同之处。同时，大部分教师在讲授函数部分知识的时候，重视习题练习要多于给学生传授函数思想的应用，这样会弱化学生在函数概念和函数思想上的认识。

[参 考 文 献]

二次函数教案篇8

【关键字】几何画板；函数；整合

【中图分类号】G40-057 【文献标识码】A 【论文编号】1009―8097（2008）13―0083―03

新课程标准强调注重信息技术与学科课程的整合，指出现代信息技术的广泛应用正在对学科课程内容、学科教学、学科学习等方面产生深远的影响。“信息技术与课程的整合”是我国面向21世纪基础教育教学改革的新视点。为适应新教改和“新课标”要求，教师必须更新观念，注重教学过程中角色的转变，在学科教学中充分有效的运用各学科教育技术平台，利用多媒体信息技术来辅助呈现传统教学中不能或难以呈现的课程内容，有利于学生主动地进行培养观察、猜测、交流、实验、验证、推理等自主探究的数学活动。

几何画板是理科教学比较成熟的软件平台，它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，它能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化；促进学生提高从学科的角度发现、提出、探究和解决问题的能力,加强学生的表达、交流及使用信息技术的能力，从而提高了课堂教学效率。作为信息时代的教师有必要学会使用现代化的教学工具，在适当的时候充分利用它们来辅助自己的教学过程，为学生创设丰富多彩的教学情境，增设疑问，巧设悬念，激发学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，积极配合课堂教学，主动参与教学过程，弥补传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，为教师突出教学重点，突破教学难点，提高课堂效率奠定了坚实的基础，从达到课堂教学最优化；几何画板平台正好是能帮助老师有效地达到这一教学效果的课件制作平台之一。

一 函数教学

函数是高中学数学中最基本、最重要的概念，函数的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分，是高中数学课程的知识主线，在学生现有的认知及传统教学环境条件下，学生所接触到的函数一般都是函数解析式固定、函数图像不变的情形，怎么样才能让学生更好的理解和掌握含参变量函数的性质、图像随参数动态变化的过程，以及对函数中抽象数学符号的理解和掌握？这些都是传统教学中难以解决的问题。

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，即“数”与“形”结合的问题，是中学数学教学的重点内容之一。对于学生来说，函数的解析式，函数的图像和函数的性质之间怎样相互联系，一直是难以理解的问题在传统教学中，由于教学手段的限制，只能画出特定参数下静态的函数图像，不但不能准确反映出解析式、图像和性质三者之间的固有联系，而且还占用了大量的课堂时间。正如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”如何真正实现数形结合的思想，这也是传统教学所面临一个难题。

1 函数教学中存在的问题

在函数教学过程中，教师普遍反映：

（1） 初、高中函数知识跨度大、较抽象，分类讨论的标准很难把握。

（2） 很多函数符号对学生来说是陌生的、抽象的，能否利用已有函数知识来学习新函数，怎样建立起它们之间的联系是一个难点。

（3） 对于连续函数的图像，用传统教学中的描点作图法显得无能为力，怎样来呈现这个连续性是教学中的难点问题。

（4） 分段函数的概念、定义域、图像、以及作图过程是教学中学生难以理解和实现的问题。

（5） 函数图像的各种变换（平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换）是传统教学中老师难以呈现的问题。

（6） 含参数变量函数的图像变换及其性质（由各参数变化引起的函数图像的各种变化）也是教学过程中老师难以实现的问题。

（7） 根据函数导数的性质来研究函数单调性，极值问题属高等数学的内容，用代数与几何的方法(数形结合法)来研究很方便，但教师很难在传统教学中呈现出来。

（8） 数形结合法解题是解决数学问题的一种非常有效的方法，如应用函数图像解不等式问题，但在传统教学中教师却很难准确地将图形画出来。

（9） 在探究学习由函数图像研究函数性质时，往往需要通过观察一些特殊点来猜测某个性质，然后再证明猜测的结论，可是特殊点地寻找是传统教学中的一个难点。

（10） 由图像性质求解析式及轨迹问题是传统教学中难以实现的问题，也是学生难以理解的内容之一。

二 解决问题

面对这一系列传统教学方式难实现及讲清楚的问题，如果利用数形结合的思想，这一个个难题就能迎刃而解。几何画板正是能很好实现数形结合思想的教育软件平台之一，这也正是几何画板与高中函数教学整合的切入点，在高中函数教学中，老师可以充分利用几何画板这一特性来整合自己的教学，真正体现了让数学贴近生活，让学生动手操作的新课程理念，帮助自己化解教学难点，突破教学重点，提高课堂效率，达到最佳的教学效果。

1 利用几何画板整合高中函数教学

案例一：二次函数 的函数图像。

（1） 整合

通过几何画板与二次函数 教学的整合，利用几何画板中二次函数的图像，让二次函数顶点、对称轴、开口方向一目了然，充分呈现二次函数解析式中的二次项系数a、一次项系数b及常数项c之间的联系。

整合后，教师通过改变二次函数 中的参数a、b、c，让其值作相应的变化，从而使二次函数图像也随之作出相应的变化。通过观察这一系列动态演示过程和自己实际动手实验，学生便能轻松得出二次函数 的图像与其参数具有如下的关系：

1） 系数a与二次函数 的图像关系：拖动点a改变a值时可得：

①开口方向。当a >0时，开口向上；当a

②对称轴和顶点的位置会发生变化。

③与y轴的交点不变化。

2） 系数b与二次函数 的图像关系：拖动点b改变b值时可得：

①开口大小、方向不发生变化；

②对称轴、顶点的位置发生了变化；

③与y轴的交点不发生变化。

3） 系数c与二次函数 的图像关系：拖动点c改变c值时可得：

①开口大小、方向不发生变化；

②对称轴、顶点的位置不发生变化；

③与y轴的交点发生了变化。

（2） 知识点

二次函数 图像中，a决定开口方向和大小；a、b共同决定对称轴 ；a、b、c共同决定顶点 。

（3） 整合案例分析

1） 传统教学中手工绘制函数图像不但费时、费力、效益低，而且很难实现函数解析式中的系数改变时函数图像的变化过程。通过几何画板，不但可以快捷精确地绘制出各种函数图像，而且呈现出函数图像真正“动”起来的过程，让传统教学中只能用语言描述的情景变成了具体的、动态的图像；更重要的是可以让学生自己亲手做，亲身体验、观察，真正实现了“在做中学”，“玩中学”，在动手做的过程中发现解析式系数的变化对函数图像的影响及相互之间的联系；在这个学习过程中，既培养了学生的探索精神，又提高了学生的动手实践能力，为下一步继续学习奠定坚实的基础。

2） 通过利用几何画板来对函数教学进行有机整合，突破了以前黑板加粉笔所不能达到的动态图象变化，使学生直观感受到数形结合在学习及解题中的运用。

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3） 通过整合，学生不但可以使用几何画板来进行探究和验证性学习，而且还可能产生生成性知识。这正与布鲁纳的发现式教学理论不谋而合。

4） 通过整合，也可轻松完成诸如：三角函数、对数函数及指数学函数的各种性质的教学。

2 利用几何画板整合高中函数教学案例二

函数 到函数 的图像变化。

（1） 整合

通过几何画板与函数 教学的整合，可以形象直观得到由函数 的图像依次经变换得到的、 、的函数图像。

整合后，教师可以通过改变A、 、 、c的值，让学生观察函数图像变化，根据函数关系式，研究函数的性质，画出函数图像，再由函数图像解决求函数关系式等问题，利用这一典型的数形结合思想，学生就可以得出：

①A 改变的是图像的振幅;

② 改变的是图像的周期;

③ 改变的是图像的左右平移;

④c 改变的是图像的上下平移，以及01， 和 对应的是伸长还是缩短的关系； 对应的是左还是右，是上还是下的关系。

（2） 整合案例分析

1） 无论使用哪种方法手工绘制三角函数图像都是费时且低效的，而利用几何画板，则可以比较便捷地绘制出各种三角函数图像，并且让三角函数图像真正“动”起来，让学生通过实践观察，发现解析式系数的变化对函数图像的影响及相互之间的联系。

2） 用几何画板来讲解和研究三角函数，既突破了传统教学不能呈现三角函数图像的动态图变化过程，又克服老师只能讲一讲，学生只能想一想的机械式教学，使学生直观感受到数形结合在学习及解题中的运用。

3） 利用几何画板学生也可以亲手去绘制各种三角函数的图像，并完成其动态效果，最终实现在玩中学数学。

三 结语

通过几何画板与函数教学的整合，为教师的教和学生的学构建起了一个做数学的实验平台，利用此平台可以便捷地构造几何模型、绘制函数的图像，使学生能清晰发现数学的规律，既突出了函数教学的重点，又突破了函数教学的难点，使得一些说不清、道不明的问题迎刃而解；同时还可以用它来演示、验证学生的发现和猜测，加深学生对数学概念和内涵的理解，激起学生对数学知识和数学规律学习和探索的欲望，提高他们学习的积极性和自主性，强调了发现式学习，提高了学生的感性认识，并使之上升为理性认识，达到了新课程下研究性学习的目的，最终提高了教与学的双重效率。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2003,5.

[2] 刘胜利.几何画板课件制作教程[M].北京:科学出版社,2004.

[3] 李庆锁,侯小华.《几何画板》在“做数学”中的应用[J],上海中学数学,2007,(7):28-29.

[4] 吴 华,胡 宁.多媒体与数学实验教学整合的探索与思考[J],电化教育,2007,(12):83-85.

二次函数教案篇9

关键词：高中数学；函数意识；函数意识的养成

学生都是从初中的时候开始接触含有未知数的方程，然后是简单的正比例函数、反比例函数、二次函数等。到高中的时候开始接触比较复杂的二次函数、三角函数以及指数函数、对数函数等。

一、当前高中数学教学现状

1.只注重眼前的教学

现在，高中数学课堂教学中，教师还是一味地教学，一章或一个单元地去教，章节前后没有任何联系，这样就导致了学生学一点儿忘一点儿，知识总还没有完全记忆清楚的时候就已经忘了。等到高三复习的时候，老师的工作量大，需要从头到尾重新讲课，学生着急也学不会。如此重复下去，学生和老师的压力会越来越大。

2.忽视学生兴趣的培养

在传统的教学中，老师大多是采用满堂灌的形式进行教学。老师的重心是在讲课的内容上，没有考虑到学生的接受能力跟意愿度。这样就大大降低了学生课堂学习的效果。兴趣是最好的老师，所以，学生没有学习的兴趣，也就不会在数学学习中有太大的进步。

3.忽视了学生思维能力的培养

高中时数学思维的培养很重要，思维能力能够帮助学生更好地理解数学这门学科，高中数学涉及几种数学思维，比如，逻辑思维、数理思维、综合思维能力、概括思维能力、抽象思维能力及创造性思维能力等。教师在教学中只重视知识的讲授，而忽视了学生思维能力的培养，这样，在教学中学生就处于一个被动的状态，不会主动地去学习数学，就会将数学当做是数学学习中的一个包袱。

二、高中课堂上函数思维的好处

函数是整个数学学习时期比较重要的数学思想，贯穿这个数学的学习过程。对我们的日常生活也有很重要的影响，不仅能帮助学生更好地学习数学知识，也能帮助学生养成用逻辑性思维去思考问题、解决问题的习惯。

1.帮助学生建立起数学知识网络

数学的学习不是一蹴而就的，而是一个思维培养的过程，传统的教学模式基本都是填鸭式教学，没有让学生养成良好的数学思维。数学思维是一个学生学习数学的方法，也是以后做事情的思维习惯。

2.帮助学生将二次函数运用到实际中

在高考的数学试卷上，也有涉及二次函数的实际运用。所以，在平时的教学中，教师要帮助学生将二次函数如何与生活中的实际相结合，例如，拱桥的例子，动点的例子，这就要求学生能够灵活地运用二次函数来解决问题。老师可以结合学生的理解能力和接受能力，举出生活中常见的例子，结合二次函数的性质和图象，让学生进行锻炼。也可以布置作业，让学生自己给自己出题，让学生自己去做，这样也能锻炼学生的创新能力和探索新知识的能力。

三、怎么培养学生的函数思维

1.教师的教案要充分地做好准备

函数的思维培养不只是学生的事情，他与老师的教学模式也有很大的关系，老师在准备教案的时候，要充分结合教学内容以及学生的接受能力准备该节课的教学重点。作为一个教师应该具备全局把握课本的能力，将高中数学课本的所有知识串联起来，这样的话，才能更好地结合函数思想，将函数的思想运用到每个章节的内容中。前面说过，函数在数学教学中相当于树干，每个章节的内容相当于树上的枝叶，在讲每节课的时候，要让学生将该节课彻底吸收。老师要将函数与所学章节的内容建立起桥梁，这样学生才能运用函数思想去解决该章节课遇到的问题。

2.教师在课堂上要注意引导

课堂上教师除了引导学生积极融入课堂之外，也要培养学生的思维。课堂教学是学生接受知识的最好途径，老师的讲课方式和讲课内容可以直接影响到学生的兴趣。例如，讲到空间几何体的时候，教师讲课一般是以几何的空间想象去讲。空间几何的教学中，需要我们的空间想象能力，但是也会涉及很多的计算，只要涉及计算就会涉及函数。因此，函数是计算的重要途径。

3.注意高考的动向与函数的结合

每个学生进入高中开始学习，一般都是抱着能考上大学而来的，学校的老师也在不断地引导高考的重要性。在数学教学中，老师一般是将函数作为一大块进行讲解和复习。高考的目的是选拔优秀的人才，注重的是学生的应用能力和创新能力，所以，老师在平时的函数学习中，也要结合二次函数、反比例函数、三角函数以及解析几何中函数与其他知识点之间的关系，制订详细的教学和复习计划，让学生在学习函数的起始阶段，就能随着高考的动向进行学习。

高中函数的教学是一个重点，也是一个难点，在高中函数教学中，需要数学教师注重学生函数思维的培养，让学生了解函数的应用，从而将函数更好地运用到生活中去，提高学生的思维能力。

参考文献：

二次函数教案篇10

新课标对函数的教学要求是有所提高的，如“函数模型”是新增加的内容，必修1中加强了函数模型的背景和应用的要求。然而，教师在教学中如何关注函数模型的建立，避免就题讲题；如何进行数学文化意义上的挖掘和渗透，让学生进行有效的数学思考，这都需要教师进行深入的思考和全方位的探索。

一、案例实录

1. 课题引入

师：1859年，几只可爱的兔子被从欧洲带到澳大利亚。兔子在没有天敌、草地十分茂盛的澳大利亚繁衍起来，不到100年就变成了75亿只！我们知道澳大利亚以畜牧业为主，这75亿只兔子吃掉了75亿只山羊吃掉的草料。

师：不到一百年的时间，这些兔子就从几只繁衍成75亿只，这体现了飞快的增长。这种增长就是我们所研究的一种函数模型。（用故事引入，容易引起学生的兴趣，使课堂生动活泼）

2. 课题探究

师：假设你有一笔资金用于投资。现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问：应该选择哪种投资方案？

生1：如果时间短，选方案一；如果时间长，选方案三；时间不短不长就选方案二。

师：好，看时间长短。能说说主要的选择标准吗？

生2：按利益，就是回报。

师：那这个回报是哪一天的呢？还是哪几天的呢？

生2：应该是总回报。

师：对，应该按照获得的总回报作为选择的标准。

师：我们不妨先建立日回报数的函数关系。

师：假设第x天的回报是y元。根据假设和三种方案，来建立相应的函数关系。

生3：方案一，y=40。

生4：方案二， y=10x，x取正整数。

师：有了函数模型，就可以计算每天的回报是多少？

（教师利用计算机建立Excel表格，填入数据。教师边做边讲解，学生边听边思考。）

师：大家看第28天，方案一的回报是40元，方案二的回报是280元，方案三的回报是536870091元。到了第30天，这三种方案的差别非常明显，尤其是方案三。下面再来看看这三种函数的图像，和数据对比一下。（教师用多媒体展示函数图像）

师：（分析图像）结合数据和图像，同学们能否给出结论？注意图像中的关键点。

（教师呈现数据表和图像，启发学生分析）

生6：如果投资4天，选方案一；如果投资5到8天，选方案二；如果投资天数大于8天，选方案三。

师：这是根据日回报数的选择，我们应该根据总回报来决定投资方案。

3. 深入探究

师：（教师用SUM命令计算出累计的回报，并加上颜色）大家再来比较这些红色的数据，最终决定选哪种方案呢？

（教师建立Excel表格，迅速得到精确的数据，让学生感受计算机的方便快捷）

生7：若投资7天以内，应选方案一。若投资正好是7天，方案一和方案二的总回报是一样的。第8天、9天，应选方案二。第10天也是个分界点。如果投资10天以上，应选方案三。

师：方案三起点虽然低，只有0.4元，但是它增长特别快。这样我们可以得出最终的结论了。（4毛钱和2亿元的反差激发了学生探索的兴趣，加强学生对指数函数增长迅速这一特点的认识）

4. 课题结论

生8：若投资八天以内，应选方案一；投资8到10天，应选方案二；投资10天以上，应选择方案三。（教师板书）

1≤x≤7，（一）

7＜x≤10，（二）

x＞10，（三）

师：对天数来说是没有重复的，没有漏掉的，这体现了分类讨论的思想。（教师板书分类讨论:不重不漏）

师：我们不算不知道，一算吓一跳！这种指数函数的增长速度是惊人的，非常快，所以我们对于数学知识不能靠猜测、凭感觉，我们要有真凭实据、用数据说话。

二、案例评析

1. 数学教学的本质是过程教学，而过程教学的本质是数学思考

数学教学是数学活动的教学，在这个活动中，学生应达成知识技能、思维情感的目标，而要达到这两个目标，就必须让学生感受、体验和经历数学活动中的思考过程，这也就是达成方法与过程的目标。数学思考是新课程标准提出的目标之一，这对学生的思维发展有着重要作用。

美国心理学家布鲁纳认为：探索是数学的生命线。案例中，学生首先以时间和利益为出发点来选择不同的方案，将方案的选择追寻到标准和条件的思考过程；其次根据回报标准，对三种方案建立了三种函数模型的思考过程；再次根据三种函数模型，计算了三种方案的回报，（下转111页）（上接105页）借助计算机绘制了三种函数模型图像的思考过程；然后根据三种函数图像，进行读图、析图给出初步结论的概括思考过程；最后进一步完善结论，使结论更严密、更数学化的思考过程。整堂课中，学生经历的思考是活跃的、有效的。

新课标指出，“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”。这就是说数学课堂不仅要传授知识和解题技能，而且要尽可能的为学生创设情境，让学生经历知识的发生发展过程，培养学生的探究能力和创新意识。本课例利用教材，而不拘泥于教材，屏弃教材直接给出几种函数模型的做法，而是采用从学生熟知的常数函数、一次函数和指数函数开始研究，在学生的“最近发展区”引起了学生的认知冲突，激起了学生的探究欲，让学生在探究的过程中经历知识的发生和创建过程，体会解决问题的核心思想。

2. 数学教学的内涵是数学素养的培养，而数学素养的培养是数学文化的教育

新课标中强调数学课程应体现数学的文化价值，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，并在课程内容中注重对数学文化的渗透。作为一种文化形态，数学课程所负载的数学文化是厚重凝实的。把数学文化的课程形态转化为教育形态一直是我们的追寻。

（1）让理性的数学结果展示感性的数学过程 数学是理性的，但理性的结果应该有着感性的过程。建构主义学习观便是“主动建构，相互交流，亲身感受的过程中去探索数学知识”。仅仅靠猜想、凭感觉得到的结论是不确定的，必须要有严谨度，找到实实在在的数据来支撑结论。这种理性精神的熏陶，有利于学生养成处事严谨的素养和求真求实的思维习惯。猜想结论，由条件提炼出函数模型，以计算机为工具获得数据，用数据来证明结论，这一教学过程本身就是严谨的。能够体现新课程的教学理念：培养学生的合情推理能力和根据实际问题建立函数模型的能力，体现信息技术和数学课程的整合，在引导学生经历数学思考的同时让学生享受数学文化的熏陶。

（2）让教育形态的数学文化展示课程形态的教学过程 函数教学要加强函数模型背景和应用的要求，让学生通过具体实例了解指数函数模型的实际背景；让学生通过现实生活，了解函数模型的广泛应用。这种教育形态的数学文化，给学生的数学思考是火热的、生动活泼的。教师在化“冰冷的美丽”为“火热的思考”中，将数学知识的探究与学生的学习、实践融为一体，让学生感受到了数学文化的熏陶，逐步地认识数学的科学价值和人文价值，进一步培养了科学文化素养。

数学真正的文化要义在于，它可以最大限度地张扬数学思考的魅力，并改变一个人思考的方式。数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙，正是数学的文化力量。当切身体验数学在解决实际问题中的作用时，才会感受到它的优美与活力，才会享受到数学文化的熏陶，才会形成良好的数学素养和文化品质。