初中数学的证明方法十篇

初中数学的证明方法篇1

关键词： 初中数学　分层教学　因材施教

目前素质教育正在全面推广，素质教育的主要目标是培养学生的创新意识和创新能力。数学教学要体现素质教育的精神，必须以人为本，充分发展学生的潜能。但初中学生尤其是初三学生的知识水平和思维能力都不尽相同，所以（根据我们多年的数学教学实践）初中数学教学尤其是初三数学教学，进行分层教学能更好地进行因材施教和发展学生的思维能力，进而较快地提高教学效果。

一、做好教材的分析研究和结合学生情况进行教材处理

初中数学教材尽管较系统地叙述了初中的数学知识，但其中包涵的数学思想和数学方法没有明显地叙述出来，探索推导的过程也不可能全部叙述出来，所以，要首先吃透教材，把握数学知识的系统性，挖掘数学知识所包涵的数学思想和数学方法（数学思想和数学方法是数学的精髓）。而学生（初中学生）的数学基础和思维能力以及学习数学的兴趣都有差异，所以又必须对数学的教材进行恰当的处理。

在初二几何“梯形中位线定理”的教学中，我采取了以下方法进行分层教学：

要求学生先回忆三角形中位线定理和梯形中位线的概念（鼓励C、D层次学生回答）。

然后抽一个B层次的学生板书他自己所写的关于这个命题的已知求证。该学生板书后，通过让C、D层次学生提问，该学生作答、老师再引导的办法纠正学生所写的已知求证。

已知：梯形ABCD的中位线为MN。

求证：MN∥BC，MN=　（AD+BC）

接着，我要求学生写出证明过程或思考证明过程（要求： A层次学生用两种以上方法来证明，B层次学生写出一种证明方法的全过程，C、D层次的学生思考并尽量写出一种证法的部分或全部证明过程）。

引导1：能不能用三角形中位线定理来证明？引导后检查A、B层次学生有多少能写出证明过程（发现还有很多学生没能写出证明过程）。

引导2：如何把你画的梯形转化成以梯形中位线作为它的中位线的三角形？

让学生讨论这个问题后再去证明。我再检查又有多少学生能写出证明过程（发现A层次的少数，B层次的多数，C、D层次全部还是不能写出证明过程）。

引导3：如图（略），在梯形ABCD中，过D、M作射线交BC的反向延长线于点E得DEC。引导后，我再检查又有多少学生能写出证明过程（发现B层次部分、C和D层次的多数学生还是没能写出证明过程）。 转贴于

引导4：如图（略），能不能证明线段MN是DEC的中位线？点N已是DC边的中点，要证MN是DEC的中位线先要证明什么？

二、在课堂教学中进行分层教学的实践和教学效果

2001学年，我担任初二两个数学基础一样的班级的数学教学工作，在一班我用传统教学法，在二班我试用分层教学法， 以便探究分层教学法和提高自己的教学水平。以下我主要谈谈我在二班进行分层教学的一些做法：

1.在课堂教学中我针对不同层次的学生采取了不同的导学方法，使各层次的学生都能理解掌握数学知识和发展能力。

课堂上多让A和B层学生探求问题（例题、习题或老师和同学提出的数学问题）、讨论问题，最后独立地或在老师的引导下找出答案，并多鼓励他们质疑已有答案（或解法，或证法）和对数学题进行一题多解，以培养他们的创新意识和创造性思维能力。而对C和D层次的学生则在讲解教学内容之后还要加强个别辅导。

2.采取多举学生感兴趣的实例或采用多媒体教学的方法，提高学生（尤其是C、D层次学生）对数学概念、定理、性质的感性认识，提高他们学习数学的兴趣。

二班C、D层次的学生基础较差，有一次，我发现他们老是把解方程当作式题计算来做，知道他们对解方程的同解原理不理解，我就这样引导他们认识解方程的同解原理：我要知道你们这一列同学中最后一位同学有多少只手指，现在我要倒数第二位同学跟最后一位同学比较手指数，如果相同，则要倒数第三位同学跟倒数第二位同学比较手指数，如果相同，再进行下去，直到我面前这位同学。因为你们这一列同学前后两个同学的手指数都相同，所以，我只要看我面前这位同学的手指数就可以知道最后那位同学的手指数。然后，我类比此例讲解用同解原理解方程的原理（板书略）。

通过这样举例讲解，提高了学生学习的兴趣，使C、D层次的学生理解了用同解原理解方程的原理，以后他们都会用同解原理按解方程的步骤来解方程了。

初中数学的证明方法篇2

一、指导思想及原则

㈠以《中华人民共和国义务教育法》、《上海市未成年人保护条例》等法律法规为依据，切实履行义务教育政府责任，推进义务教育均衡发展，规范学校的办学行为，依法实施招生入学工作。

㈡坚持政府对公办教育资源均衡配置，合理设点布局，按照义务教育阶段初中公办学校免试相对就近入学原则和本区实际情况制定招生计划和相关政策，保证符合条件的适龄学生接受义务教育。

㈢坚持公开、公平、公正的原则，按照政府公共信息公开的要求，及时向社会公布初中阶段学校招生入学工作的相关信息，加强教育部门、学校和家庭、社会的相互沟通与理解。应用上海市义务教育入学报名系统(shrxbm.cn)。

㈣各学校要认真贯彻国家和上海市的有关法律法规的精神，根据《上海市教育委员会关于2016 年本市义务教育阶段学校招生入学工作的实施意见》(沪教委基〔2016〕5 号)的要求，依法开展招生工作，确保2016 年初中招生入学工作规范有序地进行。各学校必须建立2016 年招生入学工作领导小组、招生入学工作监察小组，具体负责招生工作。

㈤各学校必须根据区教育局规定的计划数进行招生，严禁在招生计划之外自行招收学生。学校不得擅自扩大班级规模，突破班额数。不得招收无学籍材料的学生。

㈥各学校必须严格根据区教育局的要求，在规定的时间内开展信息公示、招生报名等工作。各学校在招生过程中，不得以创办特色为名举办重点班、实验班;不得以任何形式进行文化测试选拔学生并按照测试成绩分班;不得将招生入学工作与奥数成绩、英语星级考等各类学科竞赛、等级考证书挂钩;不得以竞赛、等级考证书作为选拔和录取学生的依据;不得拒绝接收具有接受普通教育能力的残疾适龄少年随班就读。

二、公办初中招生入学工作

㈠公办初中相对就近入学的办法

根据区内中小学设点布局的实际情况，相对就近均衡配置生源，实行部分划片电脑派位和部分对口入学相结合的初中入学办法。其他符合长宁区初中招生条件的学生，将根据登记入学人数和学校资源分布情况在区域内统筹安排。

㈡公办初中体艺特色招生的办法

加强对体育、艺术特色项目学校的整体规划和招生工作管理。经市、区教育行政部门批准的体育传统特色项目学校和艺术教育特色学校可以按有关规定招收批准项目与计划的体育、艺术特长生。严禁学校以招收体育、艺术特长生为名招收择校生。体育、艺术特长生招收数应严格控制在本年级学生总数的5%以内。区教育行政部门将招生办法、经审核批准的学校名单、项目名称、招生名额等报市教委备案并进行公示。

三、民办初中招生入学工作

㈠民办初中实行自主招生，招生办法、招生广告及招生简章须向区教育局申报备案，民办初中的招生简章公开内容应包括学校办学情况、招生计划、招生程序、收费标准等，承诺学校招生不收取各种特制的学生个人简历及各类获奖证书、招生录取不与社会任何教育培训机构挂钩、不提前开展报名和登记工作等，区教育局审核后向社会公布并实施。

㈡民办初中要规范招生程序和方法。学校不得向学生收取报名费和面谈费。严禁利用面谈进行任何形式的学科知识考试和测试。民办初中在录取学生时不得进行其他任何形式的考试和测试。民办初中的面谈过程向市和区县两级教育行政、督导、监察部门以及学校家委会代表等公开，自觉接受社会监督。

㈢2016 年民办初中实行网上报名。报名就读民办初中的学生，于4 月28 日~4 月30 日，在“上海市义务教育入学报名系统”填报志愿。每个学生限填报3 所民办初中。民办初中面谈时，拒收学生所提供的奥数成绩、各类竞赛获奖证书、各类等级考试证书、各种特制的学生个人简历等材料。

㈣参加民办初中面谈的学生须凭面谈通知，携带户籍证明(或居住证件);还须携带《上海市中小学生成长记录手册》。民办初中面谈时间为2016 年5 月7 日~5 月8 日。

㈤民办初中在2016 年5 月16 日前分批次完成招生录取工作。向家长发放录取通知书，学生家长应在规定的时间内，通过短信或“上海市义务教育入学报名系统”，完成确认工作。5 月9 日~5月10 日第一志愿录取，5 月12 日~5 月13 日第二志愿录取，5 月15 日~5 月16 日第三志愿录取。

四、具体工作要求

㈠成立区招生领导小组和工作小组，规划管理、统筹实施本区初中阶段的招生入学工作。主动协调招生工作中出现的问题，及时发现并处理违规招生事件，对违规招生的行为坚决予以纠正，并按照相关法律、法规追究有关责任人。

㈡进一步坚持政府信息公开，规范公开内容，完善本区初中阶段学校招生入学告知制度和招生政策信息公开。根据《上海市教育委员会关于2016 年本市义务教育阶段学校招生入学工作的实施意见》(沪教委基〔2016〕5 号)，本区将在3 月31 日向社会公开或上网公示以下信息：

1. 长宁区教育局关于2016 年义务教育阶段(初中)招生入学工作具体事项，含本区招生信息，包括学校对口招生的区域范围、当年招生计划、操作办法等;

2. 经市、区县教育行政部门批准的体育、艺术特长生招生学校、招生项目、招生名额、招生条件、操作办法等;

3. 各类学校的办学规模与设施等基本情况，包括在校学生人数、学校占地面积、校舍建筑面积和专用教室数量、运动场地面积和设施设备、图书馆面积和设施设备及生均藏书量、实验室及其数量等内容;

4. 各类学校教职工人数、专职教师人数和师生比、中高级职称教师数量和比例、教师学历结构和达标比例。民办初中还须公布学校教师队伍中退休返聘教师的人数和比例;

5. 民办初中的招生计划、招生范围、操作办法、收费标准、招生承诺等;

6. 本区教育行政部门义务教育阶段学校招生入学工作咨询、监督举报电话、信访接待部门地址。

㈢发挥督导、监察等部门的作用，加强初中阶段招生入学工作的指导与督查。区教育局和区政府督导室将加强对本区初中阶段学校招生入学工作的专项督查，并将招生入学的督查结果作为评定学校工作、创建文明单位、评选先进、校长职级评审等工作的重要依据和民办初中等级评估的重要内容之一。

㈣公办学校在招生过程中，凡以创办特色为名举办重点班、实验班，报名录取学生时以学生奥数成绩、英语星级考等各类竞赛获奖证书、各类等级考试证书为依据的，或拒绝接受本学区内具有接受普通教育能力的适龄残疾儿童入学的，根据《中华人民共和国义务教育法》第五十七条规定，由所在区县教育行政部门责令限期改正，情节严重的，对直接负责的主管人员和其他直接责任人员给予行政降级、降职直至撤职处分。

㈤民办初中以考试或测试方式选拔录取学生，报名或录取学生时以学生奥数成绩、英语星级考等各类竞赛获奖证书、各类等级考试证书为依据的，擅自提前招生，招收无学籍材料学生、利用招生入学违规收费、擅自在学校招生计划外招收学生或存在其他违规招生行为的，根据《中华人民共和国民办教育促进法》规定，由所在区县教育行政部门责令校长或有关责任人员及时纠正，拒不改正的核减该校第二年30%招生计划数，并取消当年给予学校的政府专项扶持资金。

㈥学校应通过本单位网站的“信息公开”专栏，及时公开招生的相关信息。

五、具体操作办法

㈠长宁区公办初中招生按照免试相对就近入学原则，招生方式为电脑派位/对口入学和统筹安排

1. 电脑派位/对口入学操作办法

⑴ 本市户籍并在本区就读的应届小学毕业生，根据其所在小学的对口情况，通过电脑派位或对口入学。

⑵ 本区就读的应届小学毕业生中，父母一方持有效的《上海市居住证》且积分达标准分值的人员子女和持有《上海市人才引进居住证(cw9 在有效期内)》的人员子女，根据其所在小学的对口情况，通过电脑派位或对口入学。

⑶ 本区就读的应届小学毕业生中，父母一方持有“上海市居住证B 证”的外籍人员(留学人员)子女，根据其所在小学的对口情况，通过电脑派位或对口入学。

⑷ 本区就读的应届小学毕业的香港、澳门、台湾学生及华侨子女，根据其所在小学的对口情况，通过电脑派位或对口入学。

2. 统筹安排入学操作办法

⑴ 本区户籍，小学阶段在本区跨地块就读的应届小学毕业生回户籍(或居住)所在地块就读初中的操作办法

家长须凭户口本原件、房屋产权证或上海市房地产登记证明、人户分离的还需有居住地所在街道/镇(乡)社区事务受理服务中心开具的《本市户籍人户分离人员居住地登记申请回执》、房屋租赁合同登记备案证明等材料，向现就读小学提出回户籍(居住)地就读申请，并在4 月23 日前网上填报《本市户籍学生回户籍(居住)地就读申请表》，不再参加本区的电脑派位和对口入学，由区教育招生考试中心统筹安排入学。

⑵ 非本区就读的本市户籍人户分离应届小学毕业生及本区户籍应届小学毕业生，回本区就读初中的操作办法

凭户口本原件、房屋产权证或上海市房地产登记证明、人户分离的还需有居住地所在街道/镇(乡)社区事务受理服务中心开具的《本市户籍人户分离人员居住地登记申请回执》、房屋租赁合同登记备案证明等材料，向就读小学提出申请，家长于4 月23日前网上填报《本市户籍学生回户籍(居住)地就读申请表》，由区教育招生考试中心审核通过后，统筹安排至我区公办初中就读。

⑶ 外籍学生在本区就读初中的操作办法

① 本区就读的应届小学毕业生中的外籍学生，可向现就读学校提出继续在我区借读的申请，填写《外籍学生继续借读申请表》，经区教育行政部门统一审核批准，根据其居住地址、学校的学额情况，统筹安排到具有招收外籍学生资质的公办学校。

②非本市就读符合借读条件的外籍学生，需要在本区就读初中，须持父母一方在沪任职或就业证件(外国人就业证、外国专家证)、父母一方在沪一年期以上(包括一年)居留许可证明、父母一方及子女护照、在长宁区居住一年及以上的有效居住证明(房屋产权证或上海市房地产登记证明、房屋租赁合同登记备案证明)、长宁区公证处出具的监护人证明(此证明仅限不与父母同住情况)，在6 月30 日前到区教育招生考试中心(茅台路472 号)办理登记手续。经区教育行政部门统一审核批准后，根据其居住地址、学校的学额情况，统筹安排到具有招收外籍学生资质的公办学校。

⑷ 香港、澳门、台湾学生及华侨子女在本区就读初中的操作办法

① 非本市应届小学毕业的香港、澳门人士子女，持子女本人及父母有效的香港或澳门的居民身份证、在长宁区居住一年及以上的有效居住证明(房屋产权证或上海市房地产登记证明、房屋租赁合同登记备案证明)、长宁区公证处出具的监护人证明(此证明仅限不与父母同住的情况)，在6 月30 日前到区教育招生考试中心(茅台路472 号)办理登记手续。经区教育行政部门统一审核批准后，根据其居住地址、学校的学额情况，统筹安排入学。

② 非本市应届小学毕业的台胞随行子女，持子女本人及父母有效的台湾居民来往大陆通行证(台胞证)、派出所出具的《境外人员临时住宿证》原件、在长宁区居住一年及以上的有效居住证明(房屋产权证或上海市房地产登记证明、房屋租赁合同登记备案证明)，在6 月30 日前到区教育招生考试中心(茅台路472 号)办理登记手续。经区教育行政部门统一审核批准后，根据其居住地址、学校的学额情况，统筹安排入学。

③ 非本市应届小学毕业的华侨子女，持长宁区人民政府侨务办公室出具的《华侨子女来沪就读身份证明》、在长宁区居住一年及以上的有效居住证明(房屋产权证或上海市房地产登记证明、房屋租赁合同登记备案证明)、长宁区公证处出具的监护人证明(此证明仅限不与父母同住的情况)，在6 月30 日前到区教育招生考试中心(茅台路472 号)办理登记手续。经区教育行政部门统一审核批准后，根据其居住地址、学校的学额情况，统筹安排入学。

⑸ 进城务工人员随迁子女在本区就读初中的操作办法

① 该类学生凡在我区小学毕业的，若需要在我区继续就读，可向现就读学校提出继续借读申请，经区教育招生考试中心审核符合入学条件者，统筹安排至我区公办初中就读。同时区教育招生考试中心告知学生及家长完成义务教育后报考高中阶段学校等的相关政策和规定，家长签字确认后由教育招生考试中心保存。

② 非本市就读的应届小学毕业生，可于6 月30 日前到区教育招生考试中心(茅台路472 号)办理入学申请手续。申请时父母须携带父母一方有效期内的《上海市居住证》，或持父母一方有效期内《上海市临时居住证》满3 年(从首次发证日起至2016年6 月30 日)，且连续3 年(从首次登记日起至2016 年6 月30日)在街镇社区事务受理服务中心办妥的灵活就业证明、原籍户口簿(学生户口须随父或母)，以及随迁子女的有效期内的《临时居住证》、预防接种证、房屋产权证(或上海市房地产登记证明、房屋租赁合同登记备案证明，且与居住证件中的信息一致)。经区教育招生考试中心审核入学条件并通过后，统筹安排至我区公办初中就读。同时告知学生及家长完成义务教育后报考高中阶段学校等的相关政策和规定，家长签字确认后由教育招生考试中心保存。

㈡本市户籍在本区就读的人户分离应届小学毕业生回户籍地或者居住地入学初中的申请办法

1. 本市户籍人户分离在本区就读的应届小学毕业生回户籍所在区县就读初中的申请

须凭户口本原件，向所在小学提出回户籍所在地就读申请，并在4 月23 日前网上填写《本市户籍学生回户籍地就读申请表》，不再参加本区的电脑派位和对口入学。

2. 本市户籍人户分离在本区就读的应届小学毕业生回居住地所在区县就读初中的申请

须凭户口本原件、《本市户籍人户分离人员居住地登记申请回执》、房屋产权证(或上海市房地产登记证明、房屋租赁合同登记备案证明)等材料，向所在小学提出回居住地就读申请，并在4月23 日前网上填写《本市户籍学生回居住地就读申请表》。不再参加本区的电脑派位和对口入学。

初中数学的证明方法篇3

一、高一数学成绩大面积下降的原因

1.初、高中教材间梯度过大

初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义、三角函数的定义就是如此；对不少数学定理没有严格论证，或用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的；教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题.而高一教材第一章就是集合、映射等近世代数知识，紧接着就是幂函数的分类问题（在幂函数中，由于指数不同，具有不同的性质和图像）.函数单调性的证明又是一个难点，立体几何对空间想象能力的要求又很高.教材概念多、符号多，定义严格，论证要求又高，高一新生学起来相当困难.此外，内容也多，每节课容量远大于初中数学.这些都是高一数学成绩大面积下降的客观原因.

2.高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法

笔者曾在两届高一召开过学生座谈会，同学们普遍反映数学课能听懂但作业不会做.不少学生说，平时自认为学得不错，考试成绩就是上不去.带着问题笔者多次听了初、高中数学教师的课堂教学，发现初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑板表演的机会相当多.为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤.在初三，重点题目反复做过多次.而高中教师在授课时强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推理上下功夫.又由于高中搞小循环，接高一课程的教师刚带完高三，他们往往用高三复习时应达到的难度来对待高一教学.因此造成初、高中教师教学方法上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，致使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法.

3.高一学生的学习方法不适应高中数学学习

高一学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯.他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作业.但课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维；遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解整个解题过程；不会科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力.还有些学生考上了高中后，认为可以松口气了，放松了对自己的要求.上述的学习方法，不适应高中阶段的正常学习.

二、搞好高一数学教学的对策及方法

针对上述问题，笔者认为要想大面积提高高一数学成绩，应采取如下措施.

1.高一教师要钻研初中大纲和教材

高中教师应听初中数学课，了解初中教师的授课特点.开学初，要通过摸底测验和开学生座谈会，了解学生掌握知识的程度和学生的学习习惯.在摸清三个底（初中知识体系、初中教师授课特点、学生状况）的前提下，根据高一教材和大纲，制订出相当的教学计划，确定应采取的教学方法，做到有的放矢.

2.新高一要放慢进度，降低难度，注意教学内容和方法的衔接

根据笔者实践，新高一第一章课时数要增加.要加强基本概念、基础知识的教学.教学时注意形象、直观.如讲映射时可举“某班50名学生安排到50张单人桌上的分配方法”等直观例子，为引入映射概念创造阶梯.由于新高一学生缺乏严格的论证能力，所以证明函数单调性时可进行系列训练，开始时可搞模仿性的证明.要增加学生到黑板上演练的次数，从而及时发现问题、解决问题.章节考试难度不能大.通过上述方法，降低教材难度，提高学生的可接受性，增强学生学习信心，让学生逐步适应高中数学的正常教学.

3.严格要求，打好基础

开学第一节课，教师就应对学习的五大环节提出具体、可行的要求.如：作业的规范化，独立完成，订正错题等等.对学生在学习上存在的弊病，应限期改正.严格要求贵在持之以恒，贯穿在学生学习的全过程，成为学生的习惯.考试的密度要增加，如第一章可分为三块进行教学，每讲完一块都要复习、测验，及格率不到70%应重新复习、测验；课前5分钟小条测验，应经常化，用以督促、检查、巩固所学知识.实践表明，教好课与严要求，是提高教学质量的主要环节.

初中数学的证明方法篇4

掌握数学思想方法的过程为：数学学科基础知识数学思想方法良好的数学认识结构。中学数学知识属于基础知识，除了包括代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等外，还包括这些内容反映出来的数学思想和方法。义务教育初中数学教材涉及的字母代数、数形结合、集合思想、函数与方程思想、化归思想、配方法、待定系数法等数学思想和方法，在概念的形成过程、定理的论证过程、法则的归纳过程中都体现着这些思想和方法，并受一定数学思想的指导。因此在数学教学中，不能只满足于学生数学知识（概念、法则、公式、定理等）的掌握，更应注意通过对数学基础知识的教学，适时系统地有意识地培养学生的数学思想方法，让学生从“学会”数学到“会学”数学。

一、在概念教学中培养学生的数学思想和方法

数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维式，它的主要特点是高度的抽象化与应用的普遍化，是数学基础知识的基础，也是数学教学最基本、最重要的一环。

在义务教育初中数学教材中，概念出现的特色以生产、生活中实际模型抽象出它的本质特征。在教学中，应根据其特征把掌握数学知识和掌握数学思想方法同时纳入教学中。如初三代数教材中函数概念引入为：汽车速度36千米/时，行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）有怎样的关系？这就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，是函数的初步知识。由于函数概念本身的抽象性，教学时可让学生先根据行驶路程、速度、时间三者之间的基本关系，写出其表达式S=vt，并列表：

把表达式与列表两者有机结合起来。在教师的启发引导下，学生动脑、动手、动口，在活动和过程中领悟到：在一个变化过程中，自变量和因变量之间的相互依赖关系。体验函数形成，并读出函数的定义，了解函数的思想。在初中数学教材数轴内容中蕴含着数形结合的思想方法，即代数和最基本元素――数与几何的最基本元素――点之间的建立对应关系。在教学中应根据初中学生的年龄特征，让学生通过看图后的表层认识可知：全体实数与数轴上所有的点之间是一一对应的，并借助数轴上点之间的相互位置，将较抽象的数与数之间的关系直观、生动、形象地表示出来。在师生共同活动中培养数形结合的思想和方法，让学生认识到数形结合是研究数学问题的一种数学思想和方法。又如初三代数教材中实数的两种分类。第一种分类是分为有理数和无理数。第二种是按大小分类，分为正实数，0，负实数。教学时可让学生参与分类，使学生通过观察发现，这样每次分类是按照同一标准进行的，并且不重不漏。有意识地、有目的地结合两种不同分法，让学生认清各个部分的组成和相互之间的关系，从而渗透分类的数学思想方法，并向学生指出在解决数学问题中的经常运用分类思想。

二、在定理、法则、公式的教学中培养学生的数学思想和方法

数学定理、法则、公式等知识，明显地写在教材中，是有形的。而基本的数学思想和方法不同于其他基础知识，它不能用符号、图形、式子表示，比较抽象。因此在数学定理、法则、公式等知识的传授中，应有意识地将数学思想方法贯穿在整个数学过程之中，随时把握数学思想方法渗透的时机。

初三几何教材中圆周角定理和弦切角定理的证明，展示给学生研究问题常用的分类思想、由特殊到一般、一般到特殊的转化思想。不论是圆周角定理的证明，还是弦切角定理的证明，教材都是先引导学生通过动脑、动手画图，观察明确圆周角（或弦切角）与圆心的位置关系。归纳起来分为三种情况：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部。证明过程体现了将一般情况转化为特殊情况的转化思想。教师应在定理证明教学中，不失时机地向学生灌输及渗透数学思想方法中的分类思想、转化思想，并使学生逐步掌握这些数学思想方法。

三、在例题教学中培养学生数学思想和方法

初中数学的证明方法篇5

【关键词】数形结合解题教学思维

伟大的法国数学家拉格朗日曾指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜活力，从那以后就以快速的步伐走向完善。”这说明数形结合是非常重要的。我们都知道，几何图形具有直观性，代数具有抽象性，但有些时候，几何问题有粗糙的情形发生，缺少精确定量的功能，当引入代数运算后，可以达到精确定量的功能。对于一些比较抽象的代数问题求解时，由于抽象遮挡住了思维的前进方向，就需要发掘代数问题的几何意义，借助几何的直观功能帮助代数问题的解决。从整个中学阶段来看，数形结合的思想贯穿始终，高中阶段将要学习的解析几何，其本质就是用代数的手段研究几何。为了使学生掌握好数形结合的思想方法，教师必须在初中阶段就向他们渗透数形结合的思想，并将这种思想贯穿于整个教学之中。下面，我结合自己的教学实践，谈一谈自己在初中数学教学中的一些做法和体会。

在初一上期的数学教材中，学生会接触到相反数的概念，绝对值的意义，有理数比较大小，有理数的加法法则、乘法法则等。针对初一学生年龄小，先有形象思维后有抽象思维的特点，在教学这部分内容时，教师应充分利用数轴，使数与形（即数轴上的点）建立起一一对应关系，帮助学生迅速理解相反数与绝对值的意义。而在教学多个有理数比较大小时，我都会要求初学者画出数轴，找到这些有理数在数轴上对应的点，并将有理数标在对应点的上方，然后引导学生观察后得出结论：将数轴上标好的有理数从左到右排列，即可找出它们由小到大的顺序。这样，学生会感觉非常直观，不易出错。在学习有理数的加法法则、乘法法则时，也可让学生结合图形（数轴）进行归纳总结。而在初一下期学习解不等式组，要确定出不等式组的解集时，也一定要让学生亲身经历画出数轴，在数轴上找出两个不等式解集公共部分的过程，使答案直观地体现出来，降低学习的难度。

在初二上期的数学教学中，学生开始接触函数，这对他们来说非常抽象。这时教师可利用平面直角坐标系，让学生逐步建立起函数与图象的对应关系，使他们看到一次函数，就联想到直线，甚至于在将来的学习中，能自然地将反比例函数与双曲线，二次函数与抛物线联系起来。而在这个过程中，学生会发现，通过图形，能更好地理解方程与不等式的关系，化抽象为直观，降低问题的难度。在教学乘法公式中的平方差公式时，可发挥图形作用进行数形对比，使学生看到长方形的面积（a+b）（a-b）确实等于两个正方形面积之差a2-b2。同样，完全平方公式也能利用图形的面积展现出来。这些做法，能够帮助学生认清公式的结构特征，理解并掌握好公式。初二下期学习勾股定理的推导时，可向学生介绍，勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一，有四百多种证法，中外数学史上许多数学大家都曾证明过它，如中国的赵爽、刘徽，外国的达・芬奇，欧几里得等，并向学生介绍这些数学大家的证明方法，使学生从中体会用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既严密性又直观，体会到数形结合给证明带来的简洁、优美，激发起学生学习数学的兴趣。

初中数学的证明方法篇6

关键词：初中数学；几何证明题；提高质效

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）18-084-01

提及初中数学几何证明题，不少学生就头皮发麻，找不到思路，面对各种各样的图形和线条就犯晕，几乎束手无策，更不用说作出精确的辅助线了；有的学生则是风风火火地写了满满一张纸，仔细一看，逻辑混乱，不知所云；还有的学生步骤简单，跳跃幅度大，因果关系没有整理清晰，关键步骤没有写清楚便匆匆得到要证明的结论，多多少少有些滥竽充数的嫌疑，自然也就拿不到证明题的完整分数了。对于数学教师来讲，初中几何证明题也是教学上的一大难点，似乎在教学中花了不少的力气，但还是有不少的学生对几何证明题的掌握程度无法令人满意，达不到新一轮课程改革的基本要求。如何针对初中数学几何证明题的特点，调动学生的主观能动性，提高几何证明题的教学效果，我结合个人教学实际，谈几点粗浅看法。

一、尊重教材

苏教版初中数学几何教材中，有几个重点环节，如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等，这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查。与这些知识点相关的证明题，一般来说难度不小，对于刚刚接触几何知识的初中生来讲，是一个很大的挑战。要抓好这部分证明题的教学，我认为首先就是要尊重教材。

教材是一切教学工作的根源。教材中有很多经典的例题，这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点，可以说，把教材上的例题讲通讲透，学生能完全消化教材的例题，应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题。现实状况下，有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区，认为没有什么值得仔细讲、反复讲的，尽快讲完直接进入课后练习。这种教学方式是不科学的，也是不合理的，我认为教材上的例题，至少要到边到角地讲三遍，每一遍都有不同的任务，第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件；第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论，第三遍则是让学生做好细节上的处理工作。

二、做好细节的规范书写

初中几何证明题有着严谨的格式要求，证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练，这样的证明过程才能得到更高的评价。教学实际中，通常遇到学生证明步骤烦琐，证明格式不规范，箭头指来指去，看得头晕眼花，不少数学老师对此大为光火。其实，更多的时候，我们要反思自己在教学中是否做得到位，做得细心。

有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够，他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了，至于其他的地方，没有必要过于苛求。比如在板书的过程中，有的为了赶进度，图简单省事，一些看似不重要的证明步骤一笔带过，有的书写不够规范，有的字迹过于潦草，黑板上箭头指来指去，如同一幅军事作战指挥图，学生看起来很累，也很容易产生歧义。

如果教师是这种教学心态，那么也无法搞好几何证明题教学工作的，首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程，没有做好细节自然就漏洞百出，所以，要充分认识到细节的重要性，为学生做好细节示范。其次，学高为师，身正为范，这也是对教师教学工作的一个基本要求。如果教学时间不是很充足，宁愿放弃示范也不能匆匆了事，一定要把握细节，注意火候，只有我们自己做得足够好，才能理直气壮对学生提要求。

三、抓好强化训练

初中几何证明题的教学，离不开强化训练。这种强化训练既要训练学生的逻辑思维，还要训练学生的答题规范性。比如，在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中，有不少的题目要求学生作辅助线，不然难以解答。

要能准确作出辅助线，并熟练地运用各种定理来证明几何题，就需要平时进行一定量的强化训练。这种强化训练一定不能走入了题海的误区，训练的题目最好是由老师提前把关，量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理，也不能过于简单，我认为以书本上的例题为参考，适当提高点难度为宜。比如，我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线，只要作出了辅助线，我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程，但要注意作出辅助线后续的工作，防止学生误打误撞，只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了。

通过一定量的题目进行强化训练，学生面对各种看似复杂的图形问题，能凭着直觉作出精确的辅助线，作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来，能较大幅度提高证明题的解题效率。

总而言之，初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点，作为数学教师要抓好教材例题的讲解，教学上遇到困难及时带领学生回归教材，多多少少能获得启发和提示。同时也要端正教学心态，在板书和示范上尽量做细做实，切忌一笔带过，草草了事。最后要以一定量的题目及时强化训练，帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用，这样才能提高几何证明题的教学质效。

参考文献：

[1] 吴 卫.浅谈初中几何教学中直觉思维的培养[J]. 现代教学，2010（6）.

[2] 张奠宙.平面几何教学的回顾与前瞻[J].数学教学，2011（5）.

[3] 辛星林.基于初中几何证明题教学的引导[J]. 中小学数学（初中版）.2014（10）

初中数学的证明方法篇7

几何证明是初中数学教学中的重点，更是教学中的难点.如何突破难点，在培养学生的解题技巧的同时发展学生的数学思维，用数学的思维方式分析问题、解决问题，从而形成数学思想。

“几何几何，急破脑壳”，几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。

一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。碰到较难的题目画个标准的图，了解图形形成过程甚至能让你茅塞顿开。

二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，在大脑中把图呈现出来。

三要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。证明题一定要证出结论了在书写，证明过程自然流畅。

四要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，举一反三，往后出现同样类型的题该怎样入手。

其实数学证明题对于证明题，有三种思考方式：

（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出。

（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

初中数学的证明方法篇8

关键词:大学数学;研究性教学;不动点迭代收敛定理;中学数学

大学数学如何指导中学数学教学一直是人们关注的重要课题,当前高中教学已进行新的课程改革,将微积分,概率统计,算法,初等数论,图论初步等有关大学数学作为必修课或者选修课程放到高中教学中,每年的高考数学试题也渗透着高等数学的内容,我们不难从高考题中找到高等数学的影子。我们认为,大学数学教学提倡研究式教学是沟通大学数学与中学数学联系的有效途径和方法。本文以大学《数值计算方法》中的不动点迭代教学为例,略作说明。

一、挖掘高数与初数联系的切入点,突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学

众所周知,大学数学与中学数学有着密切而广泛的联系,但从大学数学的高度审视中学数学,一是需要挖掘高等数学与初等数学联系的适当切入点,二是突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学。

(一)不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例

函数与方程一直是高中数学教学的重点,为适应计算机科学的发展,高中数学新课程增加了利用(借助计算器或计算机)二分法求方程实根近似值等新内容.普通高中《数学课程标准》指出:“根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。”“进一步体会用有理数逼近无理数”的思想,并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程。“应鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如,利用计算器或计算机……求方程的近似解等。”

随着计算机技术的迅速发展与广泛应用,方程实根的近似计算焕发出新的活力,在处理实际问题中具有重要的应用意义.自然科学、工程技术、经济与医学等领域中遇到的许多问题,都可应用有关学科知识和数学理论用数学语言描述为数学问题或建立数学模型。然而,这些问题中只有很少一部分可以给出解析解,而绝大多数则得不到准确解或求解的工作量很大,只能借助计算机求其近似解(称为数值解或计算解)。运用计算机解决现代科学(如天文学等)与工程中大规模科学计算问题的步骤先是提出能在计算机上实现的数值方法,继而用计算机语言编写程序,最后上机计算求出结果.这就要求建立的数值方法(算法)应便于在计算机上实现、计算工作量尽量小、存储量尽量小、问题准确解与计算解的误差小等。

不难发现,大学《数值计算方法》不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例。

(二)注重揭示数学概念的发生过程与数学原理的证明过程

数值方法是对给定问题的输入数据和所需结果(输出)之间的一种明确的数学描述.非线性方程近似解数值计算的基本思想是从函数f(x)的零点ξ的一个初始近似值x0出发,通过迭代导出一个收敛于ξ的序列{xn}(n=0,1,2,…),当n充分大(如n=k)时,用xk作为ξ的近似值,即ξ的计算问题转化为有限次迭代计算x0,x1,…,xk;常见的方法有二分法、牛顿法、割线法等,二分法是最简单的数值方法,它只要求函数连续,因而使用范围广并便于在计算机上实现,但收敛速度比割线法慢,计算步骤也多一些[2]。

一般地,设函数Φ(x)是一个具有连续导数的连续函数,c(x)是任一不为0的函数,且满足Φ(x)=x-c(x)f(x),则方程f(x)=0与Φ(x)=x同解。

适当选取一个初始近似值x0,由迭代公式xn+1=Φ(xn)(n=0,1,2…)确定序列{xn}(n=0,1,2…).可证当|Φ'(x)|

这样,适当选取满足条件的c(x)代入迭代公式xn+1=Φ(xn)就得出不同的近似解递推数列,如令c(x)=,有牛顿迭代公式xn+1=xn-(n=1,2,…);令c(x)==(常数),有迭代公式xn+1=xn-=xn-(n=1,2,…)等。

这就是不动点迭代的基本思想.不动点迭代主要解决非线性方程解的问题,很多科学和工程计算中常常遇到非线性方程求解问题。而不动点迭代由于算法比较简单(循环的),收敛速度较快,这一内容在解非线性方程中占有重要的地位,是一个应用广泛的知识点.因而,剖析不动点迭代概念的形成背景是开展数学研究式教学的逻辑起点。

其次,对于不动点迭代,迭代格式的构造或选取影响着迭代序列的收敛性、适应性及收敛速度,不动点收敛性定理为此提供了保障.所以,讲好不动点收敛性定理的证明及其体现的数学思想方法,是本节实施研究式教学的又一重点。

定理1:(收敛性基本定理)设函数Φ(x)∈[a,b]满足下列条件:

(1)当x∈[a,b],Φ(x)∈[a,b]

(2)Φ在[a,b]上满足李普希茨条件,即对任何x1,x2∈[a,b]成立,|Φ(x1)-Φ(x2)|≤L|x1-x2|,其中L是与x1,x2无关的常数

则(1)当L

(2)对于任意个初始值x0∈[a,b],由迭代格式xk+1=Φ(xk)所产生的迭代序列{xk}收敛于x*,并有误差不等式|xk-x*|≤|xk-xk-1|和|xk-x*|≤|x1-x0|

证明:(1)作函数φ1(x)=x-φ(x),因φ(x)在[a,b]上连续,故φ1(x)在[a,b]上连续,且φ1(a)=a-φ(x)≤0,φ1(b)=b-φ(x)≥0;所以由介值定理知:存在x*∈[a,b]使得φ(x*)=0,即x*=φ(x*).

再证唯一性:若方程x=φ(x)在[a,b]上有两实根x1,x2,则由微分中值定理及条件|φ(x)|≤L

(2)又由迭代格式xk+1=Φ(xk)得:

|x-x|=|φ(x)-φ(x*)|≤L|x-x|≤L|x-x|≤…L|x-x|

因此,lim x=x.此外由|x-x|=|φ(x)-φ(x)|≤L|x-x|,k=0,1,2…;

|x-x|≤|x-x|+……|x-x|+|x-x|

≤(L+L+…+L+1)|x-x|≤(L+L+…+L+1)L|x-x|

≤|x-x|;令P8,即得|x-x|≤|x-x|.

另证:

|x-x|=|(x-x)-(x-x)|≥|x-x|-|x-x|≥|x-x|-L|x-x|

=(1-L)(x-x),

|x-x|≤≤|x-x|…≤|X-X|.

二、浅化高等数学,发挥高数思想方法对初等数学的指导作用

对于不动点收敛性定理的上述证明,一般的高中生是无法接受的。能否去掉其中的高等数学专业概念和术语,浅化高等数学以发现其对中学数学的指导作用,做好大学数学和中学数学的有效衔接?事实上,不动点收敛性定理可以浅化为如例1的高观点下的中学数学问题:

例1:(2006高考数学广东理20)A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2) ;②存在常数L(0

(I)设φ(x)=,x∈[2,4],证明:φ(x)∈A

(II)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的

(Ⅲ)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2.…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x-x|

评析:本题的背景是巴拿赫不动点定理即压缩映射原理(Ⅱ)与不动点迭代法收敛定理(Ⅲ),涉及高等数学中的Lipschitz条件②;压缩映射原理是泛函分析中的一个最常用、最简单的存在性定理,不动点迭代法收敛定理在数值分析中有广泛应用。

不动点的现象在自然界、生活中随处可见.关于不动点问题的系统研究始于20世纪,1912年荷兰数学家布劳韦尔提出了著名的不动点定理:任意一个把n维球体变为自身的连续变换,至少有一个不动点.然而不动点定理只告知不动点的存在性,却没说不动点在哪里。1967年,美国耶鲁大学的斯卡弗教授提出了一种用有限点列逼近不动点的算法,不动点由未知转向已知方面,使其应用取得了一系列卓越成果.在数学中,不动点理论广泛用于解各种方程问题。

初看题目,不好理解,关键是现场读懂数学符号语言,需要较高的数学阅读理解能力.其实,仔细分析题意,不难发现:(I)是证φ(2x)=,x∈[2,4]满足条件②;(II)是用反证法证不动点x0=φ(2x0)的唯一性;(Ⅲ)是利用添减项法与放缩法等证明不等式。

|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|, |xn-1-xn|≤=Ln-1|x2-x1|

≤|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…(xk+1-xk)|

≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|

≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x1-x1|≤|x2-x1|

可以看出,本题是收敛性定理的特殊化,解题过程即定理的证明过程,但已用初等数学语言来表述,如此包装,适合了高中生的数学思维,达到了考查抽象函数和不等式的目的。

当然,还可将该问题以数学研究性学习或课题学习的形式,进行变式探究.如变通Lipschitz条件,可得

问题1:已知函数f(x)定义在区间[a,b]上,若存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有 |f(x)-f(y)|≤k|x-y|a,则当a>1时,有f(x)恒等于常数。

问题2:设函数f(x)定义在[a,b]上,且f(a)=f(b),满足a次Lipschitz条件,即存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|a (0

三、运用高等数学,体现高等数学驾驭初等数学的优越性

收敛性定理还为解决与函数、方程、不等式、数列等有关的不动点问题,提供了清晰而简便的方法. 如运用不动点方法可解决如下问题:

问题3:已知函数f(x)=6x-6x2,设函数g1(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…,gn(x)=f[gn-1(x)],…

设区间A=(-∞,0),对于x∈A,有g1(x)=f(x)=a

问题4:(I)设f(x)=ax+b(a≠0且a≠1),x0为函数f(x)的不动点,{an}满足递推关系an=f(an-1)(n≥2),则有{an-x0}是公比为a的等比数列.

(II)设f(x)=(c≠0,ad-bc≠0),数列{an}满足递推关系an=f(an-1)(n≥2),且f(a1)≠a1,若f(x)有两个相异不动点x1、x2,则数列是公比为的等比数列。

(Ⅲ)若数列{xn}满足xn+1=(a≠0),且a、β是函数f(x)=(a≠0)的两个相异不动点,则=()2(n=1,2…)。

最后,以用不动点方法较易解决的例2结束本文.

例2(2007全国高考卷数学 理22)已知数列{an}中a1=2,an+1=(-1)(an+2),n=1,2,3,….

(I)求{an}的通项公式;

(II)若数列{bn}中b1=2,b=,n=1,2,3,…,证明

解析:(I)令(-1)(x+2)=x,则x=;an+1-=(-1)(an-).

(an-)是首项为(2-),公比为(-1)的等比数列;an-=(-1)n

an=[(-1)n=1,2,3……

(II)令=x,解得x=±

则=(3+2;

是以(+1)为首项,公比为(3+2的等比数列,

=(+1)(3+2)

整理得:bn=(n=1,2,3……),

a=(-1)-1=

令(+1)=t(t≥(+1))

则b=f(t)=()=(1+)>成立;

a=g(t)=(+1);

b-a=(1+)-(+1)=(-)=(),

因为t≥(+1),所以F(t)≤0恒成立;bn≤a4n-3,所以

参考文献:

[1]合肥工业大学数学组.数值计算方法[M].合肥:合肥工业大学出版社,2004.

初中数学的证明方法篇9

一、初中数学教材中的主要数学思想方法

纵观初中数学教材，涉及到的思想方法主要有：

1.符号与变元思想方法

使用符号化语言和在其中引进变元是数学高度抽象的要求，它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象简明，更易于揭示对象的本质，一套形式化的数学语言极大地简化加速思维过程，例如公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符号化语方来表述，当a、b代的任意数、单项式、多项式等代数式都成立，这样的字母表示“变元”，初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合，来表示某一般规律和规则的，这种用符号表达的过程，反映了思维的概括性和简洁性。

2.化归思想方法

化归思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题，而不是用孤立、静止的眼光去看待问题，它是通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化、直到化为已经解决或容易解决的问题。教材中几乎处处都隐含着化归思想，如把有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，最后转化为算术数的运算；把一元一次方程转化为最简方程；把异分母转化为同分母；将多元方程转化为一元方程；将高次方程化为低次方程；将分式方程化为整式方程；将无理方程化为有理方程；把求 负数立方根问题转化为求正数立方根的问题；把不能直接查表的数转化为可以直接查表的数；把复杂图形转化为基本图形；把多边形转化为三角形或特殊四边形等等。

3.分类思想方法

分类思想方法是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。在教材中有许多处体现分类思想方法如在概念的形成中有：有理数的概念、绝对值的概念等；在定理的证明中有：圆周角定理的证明、弦切角定理的证明等；在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法、一元二次方程根的判别等，在图形（像）的性质中有：点、直线、圆之间的位置关系、函数图像的性质等，可见，分类思想在初中数学中占有重要的地位。分类思想对培养学生思维的条理性、缜密性及提高学生分面、周密地分析问题和解决问题能力都起到十分关键的作用。

4.数形结合思想方法

数和形是数学的二大支柱，数形结合思想方法就是通过数与形，处理数学问题，这是由客观世界和数学本身决定，数形结合思想方法贯穿于整个初中数学之中，集中体现为两个方面，一是对直观图形赋予代数意义，要求学生能根据直观图形将实际问题抽象为数字问题；二是对抽象的数学问题赋予直观图形的意义，以形助数。

二、初中数学教学中渗透数学思想方法的主要途径

1.在知识形成过程中渗透数学思想方法

数学知识与数学思想方法是密切相关的，它们相互影响，相互联系，事实上，知识的发生过程，也就是数学思想方法的发生过程。如概念的形成过程、结论的推导过程、思路的探索过程、规律被揭示的过程等等都蕴藏着大量的数学思想方法。因此，在教学中，教师应根据数学知识的特征，适当地选配有关的数学思想方法，有计划、有目的、有步骤地进行渗透，能使学生在掌握知识的同时，也获取了数学思想方法。

2.注意挖掘隐藏于知识中的思想方法

初中数学教材内容是按照逻辑系统和认知理论相结合的思想来安排知识的顺序，并用演泽结构的方法把知识串联起来。教材中的数学概念、公式、法则、性质和定理等知识点以明显的方式呈现出来，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在知识的教学过程中，是无“形”的，并且不成体系散见于教材各章节中，这就需要教师去挖掘隐藏于知识中数学思想方法，并像数学知识一样纳入教学目的和教材分析之中，在备课中，既备知识，又备思想方法，弄清每一章节包含了哪些主要的数学思想方法。在教学过程中，教师要善于从具体的问题中提炼出具有普遍指导作用的数学思想方法，明确地告诉学生、阐明其作用，引起学生对数学思想方法的重视和兴趣。

初中数学的证明方法篇10

关键词:初三 数学 总复习 哲学 能力

中图分类号: G633.6文献标识码: C文章编号:1672-1578(2009)5-0116-02

数学是哲学思考的前提或基础。无论过去还是现在,人们对数学的研究都总是在一定的哲学思想的指导下进行的。数学,根源于实践,又自觉或不自觉地充满着辩证法思维。现代基础教育中初三数学的总复习工作蕴含着丰富的哲学思想又离不开唯物辩证法的正确指导。

1 初三数学总复习中哲学思考与应用的重要性分析

哲学与数学学科的关系。哲学与包括数学学科在内的具体科学是辩证统一的关系。一方面,二者主要是研究对象不同:哲学是关于自然知识、社会知识和思维知识的概括和总结,是研究整个世界的最一般的本质或规律;具体科学研究世界某一具体领域的本质和规律,数学则是研究现实世界空间形式和数量关系的本质和规律。另一方面,二者又紧密联系:具体科学是哲学的基础,具体科学的进步推动着哲学的发展;哲学是对具体科学的概括、总结或反思,而又为具体科学提供世界观和方法论的指导,当然也为数学提供方法论基础。

哲学对初三数学总复习教学的价值。现实中的初三数学教师掌握哲学原理并将其应用于总复习教学是十分必要的:一方面,在数学教育实践中,哲学思考有助于促使教师形成正确、系统的数学教育观,把握各种数学现象的本质,辩证地认识数学问题,增进数学教学工作的效果;有助于加速数学教学实践中的静态、绝对主义的数学观向动态的、相对的社会性数学观转变。另一方面,初三数学总复习如果在正确的哲学思想指导下,有助于有计划、有步骤地安排实施与落实;有助于科学地系统、完善、深化和熟练运用所学内容;有利于学生特别是学困生从实际出发,巩固、消化、归纳数学基础知识,有效地再学习教材知识,以达查缺补漏之功效;有助于培养学生系统、综合分析和解决问题的实际运用能力以及善于总结规律与不断创新的能力,切实地全面提高学生综合素质。

2 初三数学总复习中指导思想的哲学思考

2.1一切从实际出发,注重学生的知识水平和学习现状

辩证唯物主义认为,物质决定意识,意识对物质具有能动作用。这就要求我们在初三的数学总复习中,务必从现在所教学的班级的学生学习实际即学习态度、学习习惯、学习方法、学习薄弱环节或学习效果出发,具体分析学生的学习数学的特点,因材施教。

其一,根据初中数学课程标准与中考考试说明的现实要求出发,把握教学思想方法。在教学中,要明确初中数学中渗透的数学思想与方法的三个层次,要求学生“了解”的数学思想有:数形结合、分类、化归、类比和函数的思想等,要求“理解”的或“会应用”的方法有:待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法和图象法等;教师应牢牢地把握住这三个层次的“度”,不要任意拔高或加深。例如,关于初中几何中的“反证法”教学思想,只能定位在课程标准的“了解”的层次上。同时,要研讨中考数学题型,探究中考命题规律,把握命题的动向,分析归纳概念性、技巧性、多解性、隐含性、阅读性试题与解答题、作图题、应用题以及开放性、探索性、存在性试题等,借以开阔学生的解题思路,提高学生分析问题、解决问题的能力。

其二,根据初中数学教材的现实内容出发,准确把握知识的重点与难点。在初三数学总复习中,第一轮的复习要按照初中数学知识体系,把全部内容归纳成数与式、方程(组)或不等式(组)、函数及其图像、统计初步、线段(角)与三角形、四边形、相似形、解直角三角形、圆等知识专题或知识单元;要抓好基本概念及其性质、基本技能和数学基本思想方法的教学,让学生真正在脑海里形成比较完整的初中数学网络结构。

其三,根据不同学生的知识的掌握程度或薄弱点出发,有针对性地精选题目练习。

2.2要充分发挥学生的主体地位,坚持实践规律和认识规律

辩证唯物主义认识论认为,实践决定认识,要求我们要坚持实践第一的观点,在教学工作中充分练习。认识运动的总规律认为,实践、认识、再实践、再认识,而每一次认识都比较地上升到高一级的阶段;这要求我们必须在教与学的实践中反复练习以不断探索与强化知识。历史唯物主义认为,人民群众是社会实践的主体,是历史的创造者;这要求我们在教学实践中必须充分发挥学生的积极性、主动性和创造性。唯物辩证法认为,人类认识的秩序是从矛盾特殊性中概括出普遍性,又在矛盾普遍性的指导下研究矛盾的特殊性;这就要求我们在教学中必须帮助学生善于总结数学规律,按照规律解决数学问题。

其一,要力求讲练结合,少讲多练;精讲精练,集中演练;专题训练与综合训练结合;重点问题反复练,疑难问题天天练。应该注意的是,选择的习题要有“六性”即目的性、典型性、规律性、启发性、灵活性和综合性。例如,关于角平分线定理的证明及其应用,圆的证明题中圆周角、圆心角、弦心角、圆幂定理和射影定理等的应用都是应重点把握的常考的综合性问题。

其二,要充分让学生自思自疑自问自练,在“战争”中学会“战争”。要树立“以人为本”的数学观念,让学生积极思考、实践,在探索中得到知识;要重视“问题情景”的创设,改革课堂教学,使学生积极主动地、自由地去想象、思考、探索,去解决问题或发现规律。要加强基础知识与实际应用问题的联系,培养学生的创新意识和实践能力,提高学生分析、解决实际问题与数学建模的能力。

其三,要学会总结归纳,举一反三。

3 初三数学总复习中教学方法的哲学思考

3.1知识的整理,要自觉运用唯物辩证法

在初三思想总复习的过程中,必须要坚持用全面(矛盾)的观点、联系的观点、两点论和重点论统一的观点指导学生依据基础知识的相互联系及相互转化关系,对知识系统归纳或整理,以使知识有条不紊、学生有效把握与效率提高。

例,在复习初中代数时,可整理为3部分

(1)函数的定义、正反比例函数、一次函数。

(2)一元二次方程、二次函数、二次不等式。

(3)统计初步等。

3.2例题的设计,要贴近社会生活实际

人们常说,学以致用。在初三数学总复习中,特别是应用题的设计要体现辩证唯物主义认识论关于实践第一的观点。题目的取材应尽可能联系社会生活,并具有新颖性、鲜活性。数学的应用性题目,如果不反映社会实践和服务社会实践,那么它就会失去其应有的社会价值。

例,可以联系金融危机状况下的某些商品积压降价问题设置题目:某公司的mp4标价为185元,若降价以八折出售(即优惠20%),仍可获利15%(相对于进货价),则该mp4的进货价是多少?

3.3解题技巧的点拨,要灵活运用哲学方法

3.3.1运用联系的观点看数学

“数学是一个有机体,它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合”。德国数学家希尔伯特的话深刻地揭示了不同的数学知识之间的相互联系性与唯物辩证法关于普遍联系的观点。为此,我们在初三复习课的教学实践中应自觉应用联系的观点看待数学问题,注意把握数学现象的整体部分、因果、直接间接联系。诸如,在研究一次函数时,我们可以联系乘法公式类比考察;在研讨二次函数的有关性质时,我们可以联系一元二次方程的根与系数性质作类比考察。

3.3.2运用全面的观点看数学

对立统一规律揭示了事物发展的源泉和动力在于事物内部的矛盾性,矛盾的双方既同一又斗争,由此推动了事物的变化和发展。因此,在初三数学总复习中,要学会用矛盾的观点全面地看待或揭示数学问题。

例,初中数学课程标准要求学生能够画出反比例函数的图象,根据图象和解析表达式y=kx(k≠0)探索并理解其性质(k>0或k0、k

数学实践是不断发展的,解决初中数学的方式方法也是多种多样的,但也有一定的规律性。这就需要我们的初三数学教师要引导学生学会不断地循序渐进地思考,创新思路,深入浅出地总结解题技巧或解题规律并指导进行相应的练习。

4 结语

面对不断变化的社会实践与不断创新的数学命题,我们的初三数学教师理应在初三数学的总体复习中必须不断地自觉学习和自觉运用辩证唯物与唯物辩证的哲学思想去创新思维,圆满地完成新的课程标准赋予我们和我们的学生的神圣使命:树立起正确的世界观、人生观和数学观,努力在新时代培养出适合新时期、具有创新精神和创新能力的新型人才。

参考文献:

[1]刘伟.初中代数解题方法与分析(九年级)[C].北京教育出版社,2008.9.

[2]张少玉.新课标初中代数解题方法大全[M].北京教育出版社,2007.6.