高数指数函数十篇

高数指数函数篇1

【关键词】高中数学；幂函数；指数函数；对数函数；课程标准；国际比较

1研究问题

幂函数、指数函数、对数函数是三类重要的基本初等函数，因此也是高中数学课程中的基础内容之一.近年来，我们对中国、澳大利亚、芬兰及法国、美国、英国等国家数学课程标准、教科书进行了量化比较研究[1-3].本文是这一系列研究的一部分，主要针对高中数学课程标准中的幂函数、指数函数和对数函数内容，以课程标准中的内容主题及认知要求为切入点，对澳大利亚、加拿大、芬兰、法国、德国、日本、韩国、荷兰、南非、英国、美国、中国这十二个国家高中阶段的数学课程标准进行比较分析.具体来说，本文主要研究以下问题：各个国家幂函数、指数函数、对数函数内容的广度和深度分别是多少，有何特征？这些国家是如何对幂函数、指数函数、对数函数的内容进行设置的？1.1研究对象与方法

研究国家和数学课程标准版本的选取

本文主要选择了五大洲以下12个国家的数学课程标准作为研究对象，具体国别分别是：（亚洲）中国、日本、韩国；（欧洲）法国、芬兰、英国、德国、荷兰；（美洲）美国、加拿大；（非洲）南非；（大洋洲）澳大利亚.这12个国家来自不同的洲，拥有着不同的人文背景和社会环境，经济发达程度也不尽相同，可以很好地展示不同国家数学课程标准的共性与差异.所选取的高中数学课程标准文本材料主要来源于曹一鸣、代钦、王光明教授主编的《十三国数学课程标准评介（高中卷）》[4]，选择国际比较样本的主要依据是大部分高中生升学时所必须要求的内容，其别关注理科、工程类学生.具体所选择的版本如下：

1.2研究工具及方法

本文采用定量分析和定性分析相结合的方法，具体的研究方法有定性分析中的个案研究法和比较研究法，以及定量分析中的统计分析法.按照课程论学者泰勒的思想，主要从“内容主题”和“认知要求”两个方面进行研究.

（一）广度

课程广度是指课程内容所涉及的领域和范围的广泛程度.为了便于统计结果，本文利用下面的公式计算课程标准的广度.

G=aimax{ai}

，其中ai表示各个国家的知识点数量总和，即广度值，max{ai}表示所有国家的课程标准广度值中的最大值.

广度的统计涉及到对知识点的界定，由于我国对幂函数、指数函数、对数函数知识点的处理比较系统和详细，本文以我国高中数学课标中幂函数、指数函数、对数函数内容为主，并结合其他国家数学课程标准中的幂函数、指数函数、对数函数内容，逐步形成完善的知识点框架，并统计各个知识点的平均深度值.

（二）深度

课程深度泛指课程内容所需要达到的思维深度.我国课标对知识与技能所涉及的行为动词水平分为了解、理解和掌握三个层次，并详细说明了各个层次对应的行为动词.很多国家的课标并未对教学内容的具体要求上做出明确的划分层次.综合我国对教学内容要求层次的划分方式，并参考新修订的布卢姆教育目标分类学[11]，本文提出认知要求维度的分类为：A.了解；B.理解；C.掌握；D.灵活运用.将每个知识点的深度由低到高分为四个认知要求层次：了解、理解、掌握、灵活运用，并规定水平权重分别为 1、2、3、4.然后，利用下面的公式计算课程标准的深度.

S=∑4i=1nidin∑4i=1ni=n；i=1，2，3，4

其中，di=l，2，3，4 依次表示为“了解”、“理解”、“掌握”和“灵活应用”这四个认知要求层次；ni表示儆诘di个深度水平的知识点数，ni的总和等于该课程标准所包含的知识点数总和n，从而得出课程标准的深度.

3高中课标中函数内容比较研究结果

3.1幂函数内容的广度、深度比较结果

3.3对数函数内容的广度、深度比较结果

中国、澳大利亚、日本、韩国和荷兰在对数函数的广度统计中排名靠前.这些国家课标都提及对数的概念及运算，对数函数的概念、图象、性质，反函数的概念.另外，中国还要求反函数的定义域、值域、图象以及对数函数的应用，而澳大利亚、日本、韩国、荷兰对反函数的定义域和值域不作要求.法国、南非处于中间层次.这两个课标都不涉及对数的概念和运算、对数表、对数的应用.在反函数方面，法国只讲解其概念和图象，南非还讲解其定义域、值域.美国、芬兰、德国在对数函数部分的知识点数相差不多，但侧重点不一样.美国侧重于反函数内容，德国侧重于对数的概念和运算，芬兰侧重于对数函数的概念和性质.加拿大和英国排在最后，加拿大只提到了对数函数的概念，而英国在对数函数部分的知识点数为零.

3.4幂函数、指数函数和对数函数的内容设置

从整体上来看，幂函数、指数函数和对数函数是高中阶段要学习的比较重要的基本初等函数，也是刻画现实世界的几类重要模型，另外，幂函数、指数函数和对数函数的学习有助于加深学生对函数概念的理解和应用.有些国家并未把幂函数、指数函数、对数函数作为连续内容出现在课程标准中，说明它们之间并无必要的逻辑关系.

对于幂函数这部分内容，除澳大利亚、芬兰、荷兰、英国、中国提及“幂函数”以外，有些国家并没有提到幂函数，如加拿大、印度、俄罗斯、新加坡、南非、德国.有些国家则以其他函数形式代替：法国以多项式函数出现；日本没有专门的幂函数概念，则是以分式函数、无理函数形式出现，安排在《数学Ⅲ》中，而且三角函数安排在指对数函数之前；韩国也没有专门的幂函数概念，则是以分式函数、无理函数形式出现；美国以根式函数出现.对于幂函数的处理，一直存在着争议，中国之前删除了幂函数的内容，现在又把这部分的内容加回来，有利于完善高中涉及的函数模型，便于学生在利用函数模型解决实际问题时考虑更全面，所以中学生需要对幂函数有初步的认识.像美国以根式函数、法国以多项式函数、日本以分式函数和无理函数、韩国以分式函数和无理函数等其他具体函数形式代替幂函数内容，这样处理的好处不仅在于具体实用，便于数学模型的建立，而且与高等数学的联系紧密，这一点值得我们借鉴.

指数函数和对数函数部分的概念原理无论在表述上还是数量上，各国都不尽相同.除芬兰是单独讲解指数函数和对数函数以外，大部分国家都是先学习指数函数，然后利用反函数或互逆关系来引出对数函数，这样使得对数函数的学习变得容易了.其中，澳大利亚把指数函数和对数函数进行对比学习，没有利用互为反函数来解释；法国在指对数函数上求导数等.还有一些国家注重和生活情境相联系，如德国、荷兰.英国在名称上有所不同，以“指数型函数”名称出现.美国强调利用指对数函数进行建模.针对指对数函数的具体说明如下.

4结束语

我国从2003年进行高中数学课程改革，到目前已经进行了十余年的实践，并取得显著成效，通过国际比较研究来审视我国高中数学课程改革的特色和不足，从而为接下来我国高中数学课程改革的推进提供参考.虽然中国在课程的基本理念中提到要发展学生的数学应用意识，但落实在具体的函数模型应用方面，只强调“体会”层次.如对于幂函数的处理，美国以根式函数、法国以多项式函数、日本以分式函数和无理函数、韩国以分式函数和无理函数等其他具体函数形式代替幂函数内容，这样处理的好处不仅在于具体实用，便于数学模型的建立，而且与高等数学的联系紧密，这一点值得我们借鉴.

参考文献

[1]康h媛，曹一鸣，XU Li-hua，David Clarke. 中、澳、芬数学课程标准中内容分布的比较研究[J]. 教育学报，2012（1）：6266.

[2]康h媛，曹一鸣. 中英美小学初中数学课程标准中内容分布的比较研究[J]. 课程・教材・教法，2013（4）：118122.

[3]宋丹丹，曹一鸣.高中课程标准中函数内容的国际比较研究[J].数学通报，2014（12）：17，16.

[4]曹一鸣， 代钦，王光明. 十三国数学课程标准评介（高中卷）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2013.

[5]董连春，Max Stephens. 澳大利亚全国统一高中数学n程标准评述 [J]. 数学教育学报，2013（4）： 1620.

[6] 康h媛，Fritjof Sahlstrm. 芬兰高中课程改革及高中数学课程标准评介[J]. 数学教育学报，2013（4）：1115.

[7]金康彪，贾宇翔. 韩国高中数学课程标准评介[J]. 数学教育学报， 2013（5）： 4246.

[8]李娜，曹一鸣，Lyn Webb. 南非国家高中数学课程与评价标准评介 [J]. 数学教育学报， 2013（4）： 610.

[9]曹一鸣，王立东，PaulCobb. 美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J]. 数学教育学报， 2010（5）： 811.

[10]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.

[11]（美）L・R・安德森. 学习、教学和评估的分类学 布卢姆目标分类学（修订版）[M]. 上海：华东师范大学出版社，2008.

高数指数函数篇2

学习基本初等函数时，要对如何运用所学的函数知识来研究一个具体函数的方法有较完整的认识.指数函数和对数函数的性质与底数a的取值有关，应注意分类讨论；在求解含有参数的指数函数、对数函数问题时，常运用化归思想，将复杂问题简单化，应注意数形结合、类比、换元等数学思想与方法的灵活应用.

重点：指数与对数的运算性质；指数函数与对数函数的概念、图象和性质．

难点：底数a对指数函数、对数函数的单调性的影响；指数函数、对数函数的性质的综合应用．

1. 比较大小

涉及指数值或对数值比较大小的问题，通常要借助指数函数或对数函数的单调性进行解决. 解决这个问题的前提是能化同底，或者考虑使用中间量，即让一个值大于中间量，一个值小于中间量，问题便能解决． 特别地，熟练掌握中间量“1”与“0”的应用，如1=a0=logaa，0=loga1等.

2. 函数图象

函数图象是函数的一种直观形象的表示，在同一坐标系可用直线x=1（y=1）区分不同底的指数函数（对数函数）． 函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题．

3. 底数范围

指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，特别是解决与指数函数、对数函数的单调性有关的问题时，首先要看底数a的取值范围，情形不明时，需分类讨论．

4.复合函数

指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数、对数函数的复合问题，一般采用换元处理，如：y=a2x+2ax－3，通常令t=ax（特别地，要注意新变量的取值范围）． 另外，复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径，对其单调性的判断常借助于“同增异减”这个性质．

思索 题目条件中给出的是两个超越方程，直接求出x1，x2的值不切实际． 如果从函数与方程思想切入，立足于指数函数与对数函数，将条件中的方程形式进行变形，分解出指数型或对数型函数，再利用数形结合的方法即可求解．

点评 在对简单复合函数的性质进行研究时，应该将其拆分成内函数与外函数，并分别研究内函数和外函数的性质，然后再根据复合规律加以判断． 对形如y=logaf（x）的复合函数的性质的研究，必须注意定义域对整个问题的影响，若字母a未定，还要对a的值分类讨论．

1. 夯实基础知识

对于指数函数与对数函数，要立足基础，从概念、图象和性质这三个方面理解它们之间的联系与区别，从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、特殊区间理解它们的有关性质．

2. 突出思想方法

数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想是解决指数函数与对数函数的常用思想方法． 通过数形结合的方法研究函数的图象可以探索其性质，同样，利用函数的性质又可作出其图象. 如果指数函数的底数及对数函数的真数和底数含有参数，一般需要分类讨论． 函数与方程的关系密切，它们之间常常可以相互转化，特别是函数的零点与方程的根．

3. 重视交汇综合

重视知识与能力的交汇综合，一是各知识板块之间的交汇与融合，比如函数、数列、不等式，它们各自既具有独立意义，相互之间又存在着天然的、密切的联系，复习时要把它们看成一个整体来研究；二是按主题的整合，比如图象变换，涉及的知识包括二次函数的平移、函数的奇偶性、三角中的伸缩变换等，通过研究其主通性，再拓展到各类函数与图象、方程与曲线中去．

高数指数函数篇3

分部积分 口诀法 分部积分口诀

高等数学是高职高专的一门公共基础课，微积分是高职高专学生的必修内容。一元函数微积分实际上包括两部分内容，一部分是微分学（极限、导数、导数的应用），另一部分是积分学（不定积分、定积分）。对于高职学生来讲，求函数的导数相对来说比较容易理解，计算方法也比较容易掌握。而对于积分来说学生时常会感觉到比较困难，有时做题无从下手。不定积分的计算方法主要包括：直接积分法、换元积分法（第一换元法、第二换元法）、分部积分法。而其中的分部积分法更是较难掌握，传统计算分部积分时通常采用“竖式法”或“表格发”，但这些方法操作起来往往比较复杂或不易理解。下面将介绍一种简单有效的分部积分计算方法――口诀法。

在利用分部积分法计算积分问题时，被积函数通常是两个不同类型函数的乘积。不妨假设这两个不同类型的函数为 U（x）和 V（x），则分部积分口诀公式为：

为进一步理解上面公式，我们首先来研究一下选择积分函数的先后顺序。下面我们来看几个例子。

由例1可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由幂函数和三角函数组成时，通常“积”三角函数.

由例2可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和对数函数组成时，通常“积”幂函数.

有些积分需要接连应用几次分部积分法才能完成.

由例3可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和eax（指数函数）组成时，通常“积”eax（指数函数）.

有些积分在接连使用几次分部积分后，会出现与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分.

由例4可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由eax（指数函数）和三角函数组成时，通常“积”eax（指数函数）.

总结以上数例，可知凡属于以下类型的不定积分，常可利用分部积分来计算：

（其中k，m为自然数）.

选择积分的先后顺序为：

eax（指数函数），三角函数，幂函数，对数函数

下面对口诀公式给出进一步说明：

即在 U（x）和 V（x）中，如果有eax（指数函数）先积eax（指数函数）；没有eax（指数函数），先积三角函数；既没有eax（指数函数），又没有三角函数，则积幂函数。如果被积函数中有对数函数，则一定不积对数函数，把对数函数作为不变的一项和求导的一项。

由此得到分部积分口诀：

“指”“三”“幂”先后序；

对数函数定不积；

分部“积・原- f积・导 dx” ；

牢牢记住勤练习。

以上给出了一些求不定积分的方法，这些方法必须通过大量的练习才能熟练.不定积分和求导数不一样，求不定积分不仅比求导数困难，而且有些积分用以上方法确实“积不出来”.对于任一给定的初等函数，可以求出其导函数.但对有些不定积分，如 等，尽管被积函数是初等函数，但其原函数却不可能用初等函数表示出来.

上述口诀法同样适合定积分的分部积分运算，只是相应地结合积分的限使用而已。分部积分法的使用灵活多样，各种方法都有自己的特点，口诀法只是其中的一种方法。读者要勤加练习以便掌握，也可以在今后的解题中不断积累经验、总结创新，期待发掘出更新更好的分部积分计算方法。

参考文献：

高数指数函数篇4

0.9·与1的大小，被教师用红笔将孩子做的0.9·＝1改成了0.9·

近期笔者接触过一位青年数学教师，发现他对指数函数概念的理解存在着缺陷。笔者浅谈两点。

一、对y=ax的读法上出现错误

“y=ax”应读作“y等于a的x次幂”，该教师读成“y等于a的x次方”。这两种读法有何区别呢？

笔者认为“求几个相同因式积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂”。这里的几个指的是正整数个数，即在ax中，x为正整数。读作“a的x次方”即认为是在把x个a进行相乘运算，所以x此时只能为正整数。换句话说，当x不是正整数时，例如说x=-2，a-2你能认为是-2个a相乘吗？显然不可能。此时我们只能认为a-2是乘方运算的一个结果（不是乘方运算），而乘方的结果叫做幂。所以a-2就读作“a的负2次幂”。总之，当x为正整数时，ax既可读作“a的x次方”，也可读作“a的x次幂”，其他情况下都只能读作“a的x次幂”。

二、在指数函数的定义上，存在知识缺陷

在归纳出指数函数的定义“一般地，函数y=ax（a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R”之后，该教师及时地补充了一个类似的例题：判断下列函数是不是一个指数函数？

y=x2,y=8x,y=2×4x,y=(2a-1)x(a>■,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6■

在否定y=2×4x和y=6■不是指数函数时，该教师只是说：因为4x的系数不是1，所以y=2×4x不是指数函数；y=6■的指数是x3+2不是x，所以y=6■不是指数函数。所以总结得出指数函数的特点：①ax前的系数是1；②a的指数是x；③a是数且a>0,a≠1。

笔者问了该教师这样一个问题：你认为y=23x,y=a-x(a>0,a≠1)是指数函数吗？该教师认为是复合函数不是指数函数（显然不清楚复合函数与指数函数这两个概念间的关系）。试想若像该教师这样去教指数函数的概念，他们的学生不可能准确判断出何种函数是指数函数。那么判断一个函数是不是指数函数，它的标准到底是什么呢？学生要不要掌握呢？

教育部颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》对指数函数的教学目标有明文规定：掌握指数函数的概念、图象和性质。从而可知判断一个函数是否为指数函数，学生非掌握不可！不能像有些教师认为的那样可以“淡化概念”，不要求学生会判断一个函数是不是指数函数？这部分教师缺乏对《大纲》和《考纲》的研究。那么如何判断一个函数是否是指数函数呢？笔者认为有两种方法：

1.形如y=ax(a>0,a≠1)这样的函数是指数函数，这里的形如不只是“形似”而且“神似”（转化后“形似”）。

y=23xy=8x（形似），y=23x是指数函数

y=a-xy=(■)x（形似），y=a-x是指数函数

2.指数函数亦可以定义如下：指数函数就是定义于（-∞，+∞），满足条件f(x+y)=f(x)·f(y)的连续函数。

令f(x)=23x,f(x+y)=23(x+y),f(x)·f(y)=23x·23y=23(x+y)

f(x+y)=f(x)·f(y)，y=23x是指数函数。

令f(x)=a-x,f(x+y)=a-(x+y),f(x)·f(y)=a-x·a-y=a-(x+y)

f(x+y)=f(x)·f(y)，y=a-x是指数函数。

令f(x)=2×4x,f(x+y)=2×4(x+y),f(x)·f(y)=2×4x×2×4y

=4×4(x+y)

f(x+y)≠f(x)·f(y)，y=2×4x不是指数函数。

要给学生一碗水，教师就得要有一桶水，教师的知识水平只有高于所授课的课本知识，才能看清、看透所授知识之间的实质。把知识讲授给学生时，也才能达到深入浅出、通俗易懂。否则只能生搬硬套课本上的知识，不能灵活运用。

高数指数函数篇5

一、教材编写的基础理念大幅度更新

新教材编写最大的变化是基础理念的更新，这一点在函数内容的编写中得到了充分的体现，具体体现在下面一些方面：

1.从学生的生活经验和已有的知识出发创设问题情境

新课标要求数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，从而提高学生的学习效率.因此新教材一改老教材直接给出函数的抽象定义的作法，在第一节中，首先就给出了几个生活中的变量关系，列举了实际生活中学生比较熟悉的汽车在高速公路上行驶过程中高速公路的里程数与速度关系，行驶路程与时间的关系，储油罐的储存量与油面高度的关系等，使学生比较直观地感知了函数关系，为进一步学习函数概念作了一个较好的铺垫.另外函数的单调性的学习是从北京市4月21日至5月15日期间，每日新增非典病例的变化统计图的分析开始的；指数函数的学习不是立刻得出抽象的指数函数概念，而是先提出学生接触过的正整数指数函数.

2.从问题出发引入数学概念

数学的发展源自于问题的发现和解决.新教材强调通过探索和解决问题，让学生体会数学定义的必要性、数学方法的合理性以及数学思维的一般性和严谨性，力求使学生在头脑中重现数学知识的发生发展过程.例如，在二次函数的图像一节中，先提出三个问题：y=x2与y=ax2(a≠0)的图像有什么关系?y=ax2和y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像有什么关系?y=ax2(a≠0)与y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系?然后画出一些二次函数图像，让学生感知图像间的关系，进而概括出二次函数图像的画法和形状，并拓展出画一般函数图像的方法和过程.对数一节中，通过提出并解决国民经济生产总值的问题，引入了对数概念.在实际问题的函数建模一节中，通过提出和解决人体代谢率受生活环境、温度改变的影响，成本收入和产量间的关系，通信电缆的长度等问题，让学生感知函数建模思想，总结出了数学建模的过程步骤.

3.倡导积极主动，勇于探索的学习方式

高中数学新 课程不仅要求学生进行接受、记忆、模仿和练习等学习活动，更倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，同时还设立了数学探究、数学建模等学习活动.新教材函数概念、二次函数的性质、正整数指数函数、指数扩充及其运算性质、换底公式、对数函数的概念等内容中，分别设置了分析理解栏目，要求学生对提出的问题和给出的实例进行理解、探究，自主地形成概念、公式、定理，让学生体验数学的发现和创造过程.新教材二次函数的图像、简单的幂函数、指数函数的图像与性质等内容中设制了动手实践栏目，要求学生动手画函数图像，并根据函数图像，观察图像特征，归纳函数性质.在对数的运算性质和指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较等内容中，要求学生动手进行一些计算，根据计算结果归纳出一些运算性质，总结出一些相关结论，以便运用于以后的学习中.教材每一节大都设置了思考交流栏目，在知识形成后，提出一些问题，要求学生既独立思考，又能相互交流、讨论，以加深对知识的理解.教材中还设计了“计算个人所得税”的课题学习和“同种商品不同型号的价格问题”的探索性学习.总之，教材为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了条件，达到了激发学生数学学习的兴趣，养成学生独立思考、积极探索的学习习惯的目的.

4.强调数学与物理等其他学科的联系，发展学生的数学运用意识

我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他基础学科的联系未能给予充分的重视，而高中数学新课程在这些方面得到了大力加强，兼顾了直观性、实践性和严谨性，注意了如何把实际问题表达为数学的形式，新教材中几乎所有新的数学概念或方法都强调了其实际背景，并且较详细地讨论了把实际问题转化为数学模型的过程，指出了转化的难点与解决方向.比如在生活中的变量关系一节中列举了汽车行驶路程问题，让学生根据物理知识从路程与时间的关系、路程与速度的关系了解变量间的关系，在指数函数与对数函数中，列举了人口问题、细胞分裂问题、国民经济生产总值问题，让学生通过解决这些实际问题，掌握指数函数与对数函数有关知识的实际应用.

5.注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程的内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，新教材提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的内容，在保证一定的运算训练前提下，鼓励学生尽可能地使用计算器和各种数学教育技术平台进行学习.在函数这部分教材中，很多小节都设置了信息技术应用栏目，列出了信息检索网址导引，让学生通过信息技术的运用，更好地理解函数的图像和性质，具体体现在：(1)应用几何画板等软件作函数图像，并研究函数的一些特征量对函数图像的影响；(2)根据特征量对图像的影响，总结出函数的性质；(3)收集数据，应用科学计算器处理数据.应用数学软件、图形计算器建立函数模型，可以使过程简单、方便、直观.总之，新教材较好地实现了数学课程与信息技术的有机整合，使学生能更好地认识数学的本质.

6.体现了数学的文化价值

数学是文化的一部分这一理念已为大多数人所认识，新教材除在字里行间渗透之外，还专门设立了阅读教材，如生活中的映射，函数概念的发展，历史上数学计算方面的三大发明，函数与中学数学等.

二、教材内容进行了增删，内容的要求更趋合理

较之九年义务制人教版教材，北师大版新教材函数的内容有不少的增删，对很多内容的要求作了一些调整，更趋于合理，下面分别列举.

1.教材中新增内容

新教材中增加了“二次函数性质的再研究”内容.二次函数是初等函数中最重要的一种函数，它在数学中的运用非常广泛，初中已经对二次函数的图像和简单性质进行了学习，但还不够全面、深入，新教材从变换的角度进一步介绍了二次函数图像，同时渗透了数形结合思想，还从单调性角度重新认识了二次函数的最值及其性质，为学生今后更好地运用二次函数知识打下了基础.新教材还增加了对简单幂函数的了解，毕竟简单的幂函数也是高中阶段的常见函数.在对数运算性质中，新教材增加了“换底公式”一节，换底公式可以将对数值化为以任何一个所需要的数为底(比如10或e)，这在对数的运算和变形中非常重要.教材中还增加了指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，通过对数据的处理，感知三种函数的增长速度的快慢，让学生理解三种函数的单调性，因而可以很好地解释和解决一些与直线上升、指数爆炸、对数增长有关的实际问题.函数的应用一章中，增加了利用函数性质判定方程解的存在和利用二分法求方程的近似解内容.数学中很多求解问题都是转化为求方程解的问题，很多方程运用解方程的方法很难解出来，这时用函数知识来处理，可以推知方程解的存在，还可以求出方程的近似解，这符合很多实际问题中只需知道近似解的需要，这部分知识的学习，使学生感受了近似思想、逼近思想、算法思想等数学思想.

2.新教材删减内容

相比于九年义务制教材函数内容，新教材中删除了互为反函数的函数图像之间的关系，这部分知识在老教材中也只是就知识讲知识，数学中的应用很少.

3.新教材提高了一些知识要求

新、老教材大部分知识是相同的，但有一些知识由于数学中应用比较多或对其他知识的理解有帮助，新教材提高了对这部分知识的要求，例如映射这节内容老教材中只是就映射讲映射，新教材中则应用映射定义函数，界明了函数与映射的关系，从而更好地理解函数概念，另外映射中还定义了一一映射概念.在老教材中函数的应用相对简单，只是列举了一些应用函数知识解决实际问题的例题，并以实习作业形式研究建立实际问题的函数模型；而新教材中，函数运用的要求则大为加强.这体现在函数与其他数学知识的结合，集中研究根据函数特征判定方程实数解的存在性及求方程的近似解；函数与实际问题的联系，课本以正式学习内容形式介绍了函数建模思想和步骤，进一步体现了函数思想和函数应用的价值.

4.新教材降低了部分知识的要求

老教材中有些知识既抽象且在后续内容的学习中运用又较少，比如反函数概念，函数的奇偶性等，新教材降低了对这些知识的要求，只是在学习指、对数函数时，让学生感知了反函数概念，指出了指、对数函数互为反函数的关系，而没把反函数独立成节，更没涉及到互为反函数的图像间的关系.函数的奇偶性也未独立成节，只是在简单的幂函数一节中给出了感知性的概念，奇偶性的图像特征也未能用定理形式给出，只是根据奇偶函数图像进行了了解.

三、新教材更换了一些例题和习题

在保留老教材大部分精典题的基础上，新教材对例、习题作了一些调整，有增、有删、有换.比如，例题、习题的选配体现了数学与社会生活的紧密结合，更强调数学的实际应用，新教材函数概念一节中，把诸如求函数的定义域和值域的例题换成了一个关于某海拔7500米的山上，气温随高度变化的函数定义域和值域问题，这是社会生活中常见问题；第二章函数复习题二中增加了“同学们用零用钱援助失学儿童”，“居民每月的煤气费使用问题”；第四章函数应用复习题四中配备了“工厂通过增加环保意识，改变生产环境而提高生产效益”问题.这些问题充满时代气息，反映当前社会的一些热点焦点问题，学生通过解决这些问题，既了解了社会，又受到了爱心教育，增加了社会责任感，同时增加了环保意识.对数函数的图像和性质一节中，增加了放射性物质的衰减现象问题，通过计算，估算物质年代；第四章复习题四中配置了“辽东半岛考古挖掘出的古莲子生活年代”问题，这些问题使学生了解了历史，增长了知识，同时又增强了数学与考古学、物理学等其他课程联系的意识.

由于对知识要求的提高而增加了一些例题和习题，从整体上看，新教材强化了函数一章的要求，大部分知识进行了拓展和延伸，既强调提高数学思维能力，又注意渗透数学思想方法，这些从增加的例题和习题中可以看出.

①突出分段函数

函数的表示法一节的思考交流中，给出了由一些散点组成的分段函数图像，加深了学生对分段函数的理解，教材上还增加了一些求分段函数表达式和画分段函数的练习，且难度超出老教材，比如第二章复中，增加了画f(x)=x2+4x+3(-3≤x≤0),

-3x+3(0≤x≤1),

-x2+6x-5(1≤x≤6)的图像并讨论f(x)性质的题，对学生的要求较高.

②丰富了作函数图像的手段，应用了数形结合的数学思想

函数图像的画法及图像的应用是函数知识中一个重要内容，新教材在“二次函数的图像”

一节动手实践题目的练习1中，介入了平移的方法，通过变换画函数图像.在“简单幂函数”一节的动手实践中，用奇偶性作了函数图像，在B组练习中，增加了y=|x|与y=|2x-3|及y=2|x|-1图像间关系的讨论.在指数函数的图像和性质中，增加了例3：在同一坐标系中画y=2x与y=(12)x的图像并比较图像间的关系.在该节的习题3-3中增加了习题：根据y=ax、y=bx、y=cx的图像，比较a、b、c的大小，并讨论底数大小与图像形状间的关系.在“函数的表示法”一节中，增加了练习：判断已知图形是否为函数图像.让学生从图像角度理解函数概念，增加函数概念的直观感受.在“对数函数的图像和性质”一节的习题3-5中，增加了习题：根据函数y=logax与y=logbx与y=logcx的图像，比较a、b、c的大小.这些题要求学生不仅掌握指、对数函数的形状，还要掌握底数大小对图像形状的影响，并能根据图像比较底数大小，题目的设计渗透了数形结合的思想.

③其他题的变化

高数指数函数篇6

一、指数函数教学教什么

1.高中指数函数的教育价值

我们先从整体上把握高中数学新课程“函数”的教学.在高中数学新课程中,函数内容展开的线路与顺序是,第一步,函数的概念(三要素)、表示方法.第二步,研究函数的性质(单调性、奇偶性),从数和形两个角度研究并相互印证,以求让学生初步形成研究函数的一般方法,即掌握研究函数一般要研究哪些内容,通过怎样的方法与思路去研究.第三步,学习具体的重要的函数模型:指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、数列(离散型的函数)等.而这些函数模型的学习与研究,又是在重复并深化了研究函数的一般方法与步骤:函数的定义域是什么,对应法则如何,性质怎样?其图形表征是怎样的(图形语言)?看图象能够看出什么(数形结合)?学生不仅学到了知识,而且掌握了方法,提高了能力.第四步,就是函数的知识与方法在学习其他内容过程中的渗透与应用,同时,学生对函数的理解也在一直不断地得以强化和深入.

可见,指数函数是在学习“对应说”函数概念和函数的一般性质的基础上,具体研究的第一个重要函数模型,是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的一次实践.对学生而言,既学习了新的函数模型,又强化了对函数研究方法的掌握,为后续学习研究另外的几个重要函数模型积累宝贵的经验,还将进一步深化对函数概念的理解.指数函数是超越函数,学生第一次遇到,学习面临着挑战.其学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等方法,蕴含着从特殊到一般、数形结合、函数的思想.因此,学习指数函数是学生认识函数的又一次飞跃.更为重要的是,让学生深入理解科学研究的一般方法,这对于提高学生的科学素养,实现教育要关注“人的发展”是十分有意义的.

2.指数函数教学教什么

按照南京师范大学涂荣豹教授的观点,教什么就是教学生学什么和教学生怎么学.具体到本节课,我们就要思考:学生学习指数函数,能够在哪些方面得到发展,为了达成这一教学目标,我们又要把握哪些关键呢?

首先,教学生学习“提出问题”.提出问题比解决问题更重要.因而,教学要创设恰当的问题情境,努力让学生产生学习研究新事物的倾向,尝试提出问题.在新课引入的过程中,学生可能会自然地有这样的疑问:既然我们已经学习了函数的概念和性质,为什么还要研究具体的函数;函数有千千万万,为何要专门研究指数函数?这就要求我们在问题情境的创设(本节课是以实际问题情境引入新概念)时给学生以强烈刺激:形式新——以前未曾见过;有用——问题均来自于现实背景.从而,使学生意识到学习研究这样的函数模型的必要性,产生学习研究的欲望和动力.进一步地,启发引导学生思索:这一类事物的共同的本质属性是什么,如何给他们下一个严格的数学定义……在问题情境基础上的观察、比较、分析、概括……学生自主建构概念过程也就自然地展开了.

其次,让学生学习“寻找”一般科学研究方法的方法.这具有方法论的意义.在建立指数函数概念后,接下来要干什么?——研究它的性质.但是,这个问题由谁提出,由谁回答,大不一样:是教师直接给出这样的任务倾向,明示学习的任务,让学生具体地做下去;还是由学生主动产生探究的欲望,并自己探索研究的任务和方向,应该说二者不是一个层次上的问题.显然,前者对学生学习能力(具体地:自己提出问题,探索研究方向)的培养,是非常重要的.如果教师告知指导学生,接下来要干什么,要怎么做,学生只能是按教师的“既定路线”去“执行”,只能是完成教师布置的任务,其学习过程是被动的,思维是肤浅的.将来遇到新的问题,学生还是束手无策,不知所从.因此,启发引导学生自己提出问题、自己寻找探究的方向、探究的方法,自己概括探究的结果……也许是本节课的重中之重.

在学生明确要研究指数函数的性质的任务取向后,接下来的问题自然是,怎样研究指数函数的性质,即通过什么途径、用什么方法来研究它的性质——这还是需要让学生自己去寻找.教师只能是启发引导:以往有什么样的研究函数性质的经历、经验,初中阶段是如何研究函数性质的,进入高中后又学习了函数的哪些性质,研究函数要研究函数的哪些性质……教师要不断地、愈来愈近地、由暗及明地启发引导,让学生自己主动地去回想联想,探索研究函数性质的方法,明确研究函数性质的内容,确定研究方案,并付诸于研究的实践.

另外,指数函数的概念、图象、性质,当然是重要的知识,是本节课的重点,是学生要努力学习掌握的,但是,教学仅关注知识的落实是不够的.因为,比知识更为重要的是发展学生的认识力.正如涂荣豹教授所说的:“如果把‘人的发展’放在首位,那么,每节数学课都要把发展学生的认识力作为教学的最大目标.”从这样的观点出发,去设计教学,去实施教学,才可能是真正把准了知识与能力的关系,并在教学中做到:既落实知识,更注重培养和发展学生的能力.从而,把提出问题的机会留给学生,把寻找方法的空间让给学生,把自主探究学习的权力还给学生,把学生的数学思考给“逼向”深入……这些是教师应该努力做到的.

二、教学内容的三个节点分析

笔者认为,指数函数的教学有三个环节不容忽视,或者说,这三个环节把握的恰当与否是教学设计和实施成败的关键.

第一,指数概念的引入.如前文所及,需要创设一组问题情境,并启发引导学生“从大量的同类事物的不同例证中独立发现同类事物的关键属性”.问题情境应当是反映共同本质属性的、学生所熟悉的、学生感兴趣的若干个实际问题.让学生从问题解决的过程中发现新事物,然后是去“情境化”,即把具体的实际问题转化为具体的数学问题.在此基础上,再进行二次抽象:把具体的数学问题转化成更为一般形式的概括——建立严格的数学概念.

第二,指数函数性质的研究.要注意以下几个关键:一是要让学生提出问题——需要研究指数函数的性质;二是要让学生探究研究函数性质的方法——怎样研究函数的性质;三是在研究过程中,让学生有明确的研究目标——研究函数性质研究什么,也就是得到怎样的“研究成果”才算完成了指数函数性质的研究.

第三,指数函数的简单应用.即例题的教学,具体是简单指数式的大小比较,需要利用指数函数的单调性.问题看似简单,实则蕴含着重要的函数思想:题目中没有函数,需要将问题转化为函数问题,即需要引进指数函数解决.问题的思维价值在于:怎样想到的“引进”一个“指数函数”?——努力地让学生自己去“想到”,正是培养学生寻找解决问题策略的大好时机,同时,也将促进学生对函数思想的理解.如果教师直接讲解告知,即像教材上那样,上来就直接解题,开始就“考 察指数函数……”解题过程无懈可击,学生“听懂”没有困难,解决类似问题也可模仿处理,好像并无不妥.但是,结果似从天而降,过程毫无思维含量而言,教学是教师强加于人,题目也变得索然无味了.从这一点而言,看似简单例题的教学,也许还有文章可做.

三、三个节点教学设计构想

基于上述分析,就上述三个节点的教学设计,在启发引导学生自主探究方面,笔者从提问设计的角度,作出以下设想和思考.

1.概念引入要突出过程

先给出三个实际问题情境(其中两个来自于苏教版教材),并通过问题解决得到三个关系式:

(1)某细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,……若细胞分裂的次数为x,相应的细胞个数y是多少?

(2)根据下面的一句话,写出“天数”x与“长度”y的关系式:

“一尺之棰,日取其半,万世不竭”——《庄子·天下篇》.

(3)要测定古物的年代,可以利用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性.动植物死亡后,停止了新陈代谢,不再产生,且原有的会自动衰变.经科学测定,若的原始量为1,则经过x年后的残留量为.

然后引导学生分析这些关系式的特点,努力让学生感悟到:这是一组函数关系式——它符合函数的定义;这样的函数关系式很有用,值得关注——它们全部来自现实生活;这样的函数关系式从未见过,是新生事物;进一步地,它们有何共同特点——自变量在指数位置……让学生尝试概括指数函数的概念也就水到渠成了.在整个建立概念的过程中,一是要给学生充分的观察、比较、分析、概括的时间和空间;二是要悉心的启发引导学生自主建构概念.特别是概括事物的本质属性,要给学生充分的思考时间,比如,让学生相互讨论交流,让学生再举出类似的例子.

附带说一下关系式中的x的范围的理解.教材中设“经过x年后”,似乎x要取正整数,但理解为“x可取一切正实数”可能更好:一是客观上说得通,的衰变本身就是连续变化的;二是这样做对理解指数函数的定义域为R有好处;三是在前面学习“分数指数幂”时,学生已“知道”当x为无理数时,是一个确定的实数.这对概念的理解与概括都是有益的.至于a>0,a≠1的规定,只需根据“分数指数幂”的定义不难理解,不必花太多时间和精力,它并非本节课的重点,而且,过多涉及反而“说不清”,会增加学生理解概念的困难.

2.性质学习要注重探究

建立指数函数的概念后,接下来要干什么?——研究它的性质;怎样研究?——寻找研究的方法;研究什么?——明确研究的目标.这一切均应是学生的自主探究.教师所要做的,就是启发引导——用大量的元认知启发提示语去引导学生,并给学生充足的时间去交流、充分的空间去探索.笔者给出如下的问题串,教学过程中视具体情况再作调整:

——我们已建立了指数函数的概念,接下来你想干什么?

——你想进一步认识指数函数吗?

——指数函数有何特征?

(启发引导学生自己提出“要研究指数函数性质”的问题)

……

——您打算怎样研究指数函数的性质呢?

——以前有过类似的经历吗?

——你研究过哪些函数的性质,是如何研究的?

(让学生回忆研究函数性质的方法——画图象,由图象观察其性质)

……

——你如何实施你确定的研究方法和研究目标?

——你怎样画出指数函数的图象?

(让学生自己选择a的值,画图象)

(教师巡视,发现并选择有代表性图象展示,比如,要关注到两类(a>1、0

——从图象你看出了什么,请说说,说的越多越好.

(笔者认为,教师并不需要事先给学生明确要研究函数的性质,而是让学生从图中多观察出信息,增加研究的开放性.当学生回答时,教师择其要点板书,列出指数函数的性质,包括“图象过定点(0,1)”)

——研究函数的性质主要关心哪些“指标”?

(让学生明确研究函数的性质主要研究什么)

——这些结论是根据具体的指数函数的图象观察出来的,对一般的情形成立吗?

……

(师生最终完善形成“指数函数的图象和性质”)

3.解题教学要体现方法

先将课本(苏教版)上的例题抄录如下:

例 比较下列各组数中两个值的大小:

如前所述,问题解决是利用指数函数的单调性来比较指数式的大小,教学的意义在于让学生寻找解决问题的方法——函数思想.笔者这样设想提问与启发:

——如何比较二者大小,你能通过计算比较吗?

——如果能,那改为比较与的大小呢?

(意在让学生感受到:直接计算并不/:请记住我站域名/是解决问题的办法,必须要寻求另外的“出路”)

——两式有何特征,有何共同特点?

(分析出都是指数式,底数相同,指数不同).

——指数不同是什么意思,是否意味着指数在变化,你有何联想?

(底数不变,指数变化——联系指数函数)

——应该引进怎样的指数函数?

——引进指数函数后怎样说明两个式子值的大小?

高数指数函数篇7

【关键词】C语言；指针；数组；字符串；函数

C语言把内存存储单元的地址视为一种数据类型，而地址起到指向某个存储单元的作用，因此常称地址为“指针”，即指针就是地址。指针变量是用于存放指针（即地址）的变量，该变量的值是一个指针，一个要访问对象的地址。在C语言中，引入指针变量的目的主要是用来间接访问数据对象，有效地表示复杂的数据结构。例如：设有指向整型变量的指针变量p，要求指向整型变量a，那么用C语言可描述为：

int a=100；/*定义整型变量a，并赋初值100*/int*p=&a；/*定义指针变量p，并将变量a的地址送给p*/用图表示为：

要存取变量a的值，有两种方法可以完成。一种可通过变量名直接对内存单元进行存取操作，这种方式称为直接访问。另一种方式：先找到存放“a的地址”的变量p，从中取出a的地址（2000），然后到这个地址中对a进行存取a的值，这种访问方式称为间接访问。通过对变量p进行取内容运算*p值就得到a的值100。

有时为了方便，常将指针变量简称为指针。正确而灵活地运用指针不仅能够提高效C程序的效率，而且能有效地表示复杂的数据结构。所以指针的主要用途有：进行指针运算；引用数组元素；使用字符串；作为函数参数，实现地址传递；处理链表等等。

1.指针运算

指针的运算主要指指针的算术运算，其实质就是指向的地址发生变化。指针实际增（减）多少由指针的类型决定。指针加上（或减去）一个整数n，表示将指针由当前位置移动到后面（或前面）的第n个数据处。两个指针相减，表示两指针所指向的地址相减。得到两指针之间数据的个数，结果是一个整数，而不是地址值。如：

int a[5]={2，4，6，8，10}；/*定义一个整型数组a并初始化*/

int*p=a，*q=a；/*定义指针p和q，均指向a数组的首地址*/

当p=p+2时，表示将指针p向后移动的二个数据，移向了a数组中第3个数组元素（即6），p-q结果为p与q这两个指针之间数据的个数等于2。利用这个特点，若将p指向数组a的首地址，将p移到a数组的末尾，则用p-q就可以求出数组a的长度，即a中数据的个数。

2.数组与指针

数组在内存中占据一块连续的存储区，数组名代表这个区域的起始地址，即数据名是一个指向该数组首地址的常量指针。当指针指向一维数组首地址后，C语言可有4种直接访问该数组的第i个元素的方法：“数组名[i]”，“指针名[i]”，“*（指针名+i）”，“*（数组名+i）”。前两种使用了数组的下标，称为“下标法”。后面两种使用指针运算符，称为“指针法”。

如：int a[10]，*p=a；

则：对数组元素a[i]（0

a[i]或p[i]（下标法）；*（a+i）或*（p+i）（指针法）

例如：以下程序有两个功能完成的函数（计算数组中各元素值的总和）。

int sum1（int a[]，int n）/*函数1*/

{int sum=0，*p，*q=a+n；

for（p=a；p

sum+=*p；

return（sum）；

}

int sum2（int a[]，int n）/*函数2*/

{int sum=0，i；

for（i=0；i

sum+=a[i]；

return（sum）；

}

main（）

{int a[5]={2，4，6，8，10}；

printf（“%d”，sum1（a，5））；

printf（“%d”，sum2（a，5））；

}

上述主程序分别调用sum1（）和sum2（），调用结果都为30，说明sum1（）与sum2（）功能完成相同，从表面看来，函数2似乎比函数1简单、直观，但其执行速度sum1比sum2要快，效率要高。

3.字符串与指针

访问一个字符串，除了用字符数组外，还可以定义一个字符指针，用字符指针指向字符串中的字符。如：char*p=“C Program”；这样，可以方便地用字符指针p来处理字符串。

如：打印图案：

*

**

***

****

*****

下面3个程序都能实现”

程序1：

main（）

{int i，j；

for（i=1；i

{for（j=1；j

printf（“*”）；

printf（“＼n”）；

}

}

程序2：

Void gra（int n）

{int j；

for（j=1；j

printf（“*”）；

printf（"＼n"）；

}

main（）

{int i；

for（i=1；i

gra（i）；

}

程序3：

#include“string.h”

main（）

{char a[5]=“*****”，*p；

for（p=a；p

printf（“%s＼n”，p）；

}

程序1用常用的两重循环结构实现；程序2在main（）函数中5次调用gra（）函数（gra（）函数的功能是打印输出每一行中的“*”符号）；而程序3中用一个字符指针p指向字符串，通过一个单循环，每一次输出一行中的“*”符号。由此可见，程序3最方便。所以，如果能灵活运用指针，可以使程序更简洁、更紧凑、更高效。

4.函数与指针

函数调用时，数据的传递可采用数值传递、地址传递、返回值等方式。

数值传递一般指参数为普通变量，这种方式无法通过调用函数来改变实参变量的值，有时也称这种数据传递是“单向的”。如：

Void f1（int p）

{p=p+3；}

.

.

.

int x=2；

f1（x）；/*调用函数f1后，实参x的值仍然为2*/。

如果用指针作为函数参数，采用地址传递方式，却能改变实参的值。如：

Void f2（int*p）

{*p=*p+3；

}

.

.

.

int*q，x=2；

q=&x

f2（q）；/*调用函数f2后，实参x的值改变为5*/。

返回值方式只能从被调函数中将一个值返回主调函数，如果上例中用指针作为函数实参和形参，采用地址传递方式则能改变实参的值。因为当调用者与被调用者之间是以指针变量作为参数进行传递时，调用者是把实参指针变量的值赋给被调用者的形参指针变量，于是实参指针和形参指针指向同一个地址，实现的地址的传递，当对形参所指变量的处理，也就是对实参做了相同的处理。如：地址传递方式可以得到多于一个的值”

Void f3（int*p）

{*p=1；

*（p+1）=2；

*（p+2）=3；

}

.

.

.

int a[3]；

f3（a）；/*调用函数f3后，实现了对a[0]、a[1]、a[2]的赋值，s[0]=1，s[1]=2，s[2]=3*/

此外，通过指向一个函数的指针，还可以调用相应的函数。

如：doublex，（*p）（double）；/*A行，定义一个指向返回浮点型值的函数的指针p*/。

p=sin；/*B行，将正弦函数名sin赋给p*/。

x=（*p）（3.14/6）；/*C行，通过指针p调用正弦函数sin*/。

函数名代表该函数的入口地址，所以B行赋值语句“p=sin；”的作用是将sin的入口地址赋给指针变量p。这时，p就是指向函数sin的函数指针，也就是p和sin都指向函数的开头。根据本文所列的参考文献[1][2]，通过函数指针调用函数的格式为：（*指针名）（实参表）；所以，上面的C行写成：x=（*p）（3.14/6）；直接调用库函数sin的格式为：函数名（实参表），如：x=sin（3.14/6）；那么，既然把sin赋给了函数指针变量p，则变量p就和sin具有相同的内容。能不能用格式：指针名（实参表）呢？经试验，结果运行完全正确。所以，C行可以改成x=p（3.14/6）。函数指针的这种用法更简单，且也更容易理解[3]。

5.结语

指针运用千变万化。对熟练的程序人员来说，可以利用它编写出颇有特色的、质量优良的程序，实现许多用其他高级语言难以实现的功能，但指针使用实在太灵活，也十分容易出错。所以，要学好指针，一定要在实践中不断摸索，从而能够更好地驾驭指针。

参考文献

[1]迟成文.高级语言程序设计[M].北京：经济科学出版社，2000.

[2]谭浩强.C程序设计[M].北京：清华大学出版社，1999，2.

[3]康牧，杨泽民.如何用简单的方法使用C语言[J].雁北师范学院学报，2002，18（5）：30-240.

高数指数函数篇8

【关键词】对数求导；幂指函数；复杂函数

一、对数求导法的适用对象

在《高等数学教程》导数教学一章中，我们发现有些题目它并不能用公式直接求导，而是需要应用对数求导法才可以求出其导数.在此，先介绍一下对数求导法的适用对象.对于特殊类型函数y=u（x）v（x） （它既不是指数函数，又不是幂函数，称为幂指函数）或若干个因子通过乘、除、乘方和开方所构成的比较复杂的函数.通常采用取对数化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，变成隐函数，然后按隐函数求导法则求函数的导数，此方法称为对数求导法.因此上述两类函数就是其适用对象.

二、对数求导方法

对数求导法有如下两个步骤：

第一步：将适用的函数两边取对数（并通过对数函数的性质将其化简为简单式子，乘、除变加、减，乘方变倍数）.

第二步：利用隐函数求导法继续对其求导.

三、实例解析

例1 y=x1-x1+x.

解 此题属于若干个因子通过乘、除、乘方和开方所构成的比较复杂的函数采用对数求导较简单.

1.将函数两边取对数，得lny=ln|x|+12ln1-x-12ln1+x .

2.上式两边关于x求导得：1yy′=1x-12（1-x）-12（1+x） ，

即y′=y1x-11-x2=x1-x1+x1x-11-x2.

例2 y=xsinx.

解 此题属于典型的幂指函数（幂在变，指数也在变），采用对数求导较简单.

1.将函数两边取对数，得lny=sinxlnx.

2.两边关于x求导得：1yy′=cosxlnx+sinxx.

所以y′=y（cosxlnx+sinxx）=xsinxcosxlnx+sinxx

从以上两个例子可以看出，利用对数求导法求这两类函数的导数时，确实非常的简单、方便.同时，我们大家也不难发现做题中涉及如下两个方面：1.对数函数的真数需是正数，所以两边的对数函数的真数需加上绝对值.2.两边的函数需取对数.在平时的教学中，也经常有学生提出如下问题：1.取对数时能不能把绝对值符号去掉？2.能不能取其他正数为底的对数函数？

针对这两个问题，经过思考后，给出解答：

解答1：因为（ln|x|）′=1x，x>0-1-x，x

解答2：如果取以a为底的loga 的对数，而不是自然对数，以例2为题，则有logay=sinxlogax，1y1lnay′=cosxlogax+sinxx1lna，y′=xsinx（cosxlnx+sinxx）.所以是可以取其他正数为底的对数函数的，但是取自然对数没有多余的1lna的出现，简化了计算流程.建议取自然对数，方便做题.

并且，再从这两个解答对两个实例进行分析.

例3 y=x1-x1+x.

解 此题属于若干个因子通过乘、除、乘方和开方所构成的比较复杂的函数采用对数求导较简单.

1.将函数两边取对数，得lny=lnx+12ln（1-x）-12ln（1+x）.

2.上式两边关于x求导得：1yy′=1x-12（1-x）-12（1+x）

即y′=y（1x-11-x2）=x1-x1+x（1x-11-x2）.

例4 y=xsinx.

解 此题属于典型的幂指函数（幂在变，指数也在变），采用对数求导较简单.

1.将函数两边取对数，得logay=sinxlogax.

2.两边关于x求导，得1y1lnay′=cosxlogax+sinxx 1lna，

所以y′=xsinx（cosxlnx+sinxx）

同时，从这两个解题中，我们总结成如下两个注记：

注记1：对数求导法中，可不加绝对值符号.

注记2：对数求导法中，取自然对数较简单.

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）上册[M].北京：高等教育出版社，2007：1-88.

高数指数函数篇9

1 概念建构

1.1 情境创设

“问题情境的设计主要是为了引起学生学习的兴趣，激发学生的好奇，从情境中自觉地提出数学问题，进而为了解决问题而进行积极的数学活动.因而，问题情境设计的核心原则是有利于学生思维能力发展，有利于学生探究能力发展，有利于学生创新意识发展，充分关注学生思维发展的过程（提出问题――解决问题（研究方法）――反思升华）.”[1]两个课例的教学实录如下：

课例A（用时25分钟）课例B（用时2分钟）

[投影]问题1某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果细胞分裂x次，相应的细胞个数为y，如何描述这两个变量的关系？

生1：y=2x（x∈N*）.

师：他不仅能用一个式子来描述变量之间的关系，还能够注意到函数的定义域，这是一个很好的习惯！

[投影]问题2某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%.如果经过x年，该物质剩余的质量为y，如何描述这两个变量的关系？

生2：y=084x.

师：有什么要补充的？

生2：x是正整数.

师：x是正整数吗？

其他学生在座位上提出异议：x是正数.

师：因为这是一个连续变化的过程，所以x是正数.如果我们把这两个函数抽离实际背景，这两个函数y=2x和y=084x，定义域是实数集R.

师：这朵青莲“出淤泥而不染，濯清涟而不妖”，可是它的绽放却迟到了千年！

[投影]据新华社报道，1950年，中国科学院植物研究所在辽东半岛普兰店附近干涸的湖泊地下挖出大量的普兰店古莲种子.这些种子保存到1975年，重新发芽开花，震惊了世界.1978年中国科学院测定了这些古莲子的年龄.

师：你知道科学家是怎么测定的吗？让我们开始今天的探究之旅.

[投影]1古莲子中某种放射性物质的衰变规律

如何表示x与y的关系？

众生：y=2x.

评析 这两个课例都创设了实际问题的情境来建立指数函数模型，借助于这样的实例引入，对激发学生的好奇心和求知欲，有着其积极的意义.

（1）在构建指数函数模型的过程中，需要对实际背景进行抽象以实现“数学化”.课例A在问题情境设计上，体现层次性――定义域从正整数集到正数集，同时，教师还通过启发引导，把所得到函数“抽离”实际背景，巧妙地把两个函数的定义域推广到实数集R.而课例B，只是得到了两个函数解析式（没有注意到函数的定义域为N*），未能将所得到的函数从实际问题中“抽离”出来.

（2）在情境设计时，应着眼于发展学生思维能力.课例A所设计的两个问题，学生需要通过归纳、概括等思维活动方式的参与才能得到函数模型；而课例B给出了两个表格，列出了x=1，2，3，4时对应的y的值，然后求x与y的关系，这样的问题设计，把学生的思维过程给“包办代替”了，不利于学生的思维能力的提升.

1.2 概念建构

由实际问题，抽象、概括出指数函数模型，是本节课的教学重点之一，两个课例的教学实录如下：

课例A（用时55分钟）课例B（用时4分钟）

师：类似这样的函数，你能再举几个例子吗？

生3：y=5x，y=ax，y=05x.

师：请你们评价一下，他举的例子怎么样？

生4：他所举的y=5x和y=05x都属于y=ax的范畴之内.

师：你们所举的这些例子，它们有什么共同特点？

生5：它们的指数都是自变量x.

师：把这个共同特点用一个式子来表示，也就是y=ax，在这个式子中有3个字母，其中x是自变量，y是因变量，描述了这两个变量y与x之间的函数关系，底数a是个常数.不同的a得到了不同的函数，那么a的取值有什么要求呢？

生6：a>0.

师：为什么呢？

生6：因为a是负数，就没有意义了.

师：为什么？

生6：分数就没有意义了.不对、不对……，我没有好好地研究这个问题.

生7：（-1）12就没有意义.

师：根据分数指数幂的运算要求，底数小于0时，x取一些值这个式子可能就没有意义.我们要建立一个函数模型，它能够刻画出自变量在指数位置的这一特征，又希望它的形式不要复杂，因此我们给a规定一个范围，会使得这个模型的作用更普遍一些.所以，上一位同学说了，a>0.刚才举了a取-1这样一个反例，那么，a=0时，也有类似问题，例如x取负数时就有问题了.所以a>0.还有什么需要考虑的？

生8：我觉得a≠1.（周围其他同学认为a可以取1，函数值为1.）因为a=1时，函数值为1，太简单了，没有必要去学习它了.

师：当a=1时，这个函数是一个什么函数？

众生：常数函数.

师：这个函数非常简单，没有必要去研究它.所以就规定a>0且a≠1.于是，这样规定以后，表达更简洁、形式更简单，x也能取到一切实数.那么，这个函数教什么名字呢？既然它的特征是自变量在指数位置，那么就可以命名为“指数函数”.（投影定义，略）师：在现实生活中，在物理学、生物学以及经济学等众多研究领域，类似的现象还有很多，现在让我们避开个性，关注共性，用数学的眼光，你们能概括出一个怎样的函数模型？

众生：y=ax.

师：这是一个多么新颖的函数，它与函数y=x2有什么不同吗？

生1：在y=x2中，它的底数是自变量，指数是常数；而y=ax中，它的底数是常数，指数是自变量.

师：这位同学很好地揭示了这类函数的共同特征，像这类新的函数就是我们今天要学的“指数函数”.让我们来共同朗读指数函数的定义（投影定义，略）

师：面对指数函数的定义，它的哪些地方会引起你们的格外关注？

生2：我比较关注a>0且a≠1这一规定.

师：你能解释这一规定吗？

生2：因为当a=1时，y=1，过于简单，没有研究的意义；当a≤0时，与定义域为R相矛盾.

师：你能具体点吗？

生2：当a=0时，x≤0没有意义；当a

师：他的细心推敲，揭示了a>0且a≠1这一规定的用意，分析得非常透彻.还有其他的关注吗？

生3：我比较关注指数函数的形式，指数、底数的系数都为1，如y=2×3x就不是指数函数.

师：他从指数函数的外在形式上做了比较细致的推敲，我们能不能作更深入的分析呢？

生4：我觉得x的系数不一定是1，例如y=a2x可以转化为y=（a2）x，符合定义的要求.

师：这个函数初看上去不像是指数函数，但是通过化归以后，得到了y=（a2）x，底数是a2，依然是指数函数.这其中体现了化归的思想.两位同学的观察都非常地好，能不能把这两位同学的发现取长补短，体现出更好的结论呢？

生5：指数函数的解析式应该是y=ax，或者化归后能变成y=ax的形式.

评析 两个课例都让学生经历从特殊的指数函数抽象概括指数函数模型、建立指数函数概念的过程，并关注到底数a的取值范围.尽管两位老师都力求体现学生的主体参与地位，但相对而言，课例A在学生自主建构概念方面更完美一些.

（1）在抽象概括函数模型y=ax这一环节，课例A首先让学生再举一些类似的函数，然后再进行归纳，这样，让学生在感受较多的指数函数实例的基础上，抽象出指数函数模型.课例B，在让学生对函数y=ax与y=x2进行比较之后（为什么要比较y=ax与函数y=x2的区别、而不比较与其它函数的区别？），就让学生从仅有的两个具体的指数函数去抽象概括指数函数模型，显然是不太妥当的，因为在由特殊抽象出一般结论时，要有一定数量的特殊对象为基础，这样才能提高所得到结论的可靠性.

（2）在指数函数概念的呈现方式上，课例A在教师的引导下，学生在自主探究、合作交流的过程中，轻松、自然地建立了指数函数的概念.这种由学生自我建构的概念，必将使得学生对指数函数概念有着深刻的认识和理解.能实现这样的课堂生成，还是得益于教师在情境引入环节巧妙的预设――从实际背景中抽离出来、使得函数的自变量取值范围为R.课例B建立概念的过程就显得比较生硬，教师直接给出了指数函数的概念，然后让学生去朗读概念、辨析概念.究其原因，还是由于教师未能在情境引入环节将两个指数函数从实际背景“抽离”出来、扩大自变量的范围所致，因而也就难以让学生自主生成指数函数的概念.尽管在教师直接给出指数函数概念后，教师让学生朗读概念、并引导学生关注函数y=ax的表达形式，但是，相对于学生自我建构概念而言，不仅使得学生在思维活动层次上低了许多，而且也使学生难以深刻理解定义（即便让学生朗读概念也无济于事！）.此外，教师刻意地引导学生关注指数函数的表示形式，也有悖于数学教学中应遵循的“淡化形式、注重实质”[2]这一原则！

2 性质探究

指数函数性质探究是本节课的核心，课堂实录如下：

课例A（用时265分钟）课例B（用时175分钟）

师：我们定义了一个新的函数，接下来该研究什么呢？

众生：研究性质.

师：你打算如何研究指数函数的性质呢？（停顿）一般地，我们研究函数的哪些性质呢？

生9：单调性、奇偶性和图像的一些性质.

生10：还有最大值、最小值.

师：也就是值域问题.值域是因变量的取值范围，那么还有自变量的取值范围，也就是定义域.（板书 函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性）这些是我们研究函数的一般性质.具体到指数函数，你打算怎样研究这些性质呢？

生11：画出它的图象，然后观察图象，得到性质.

师：画什么样的函数图像呢？画y=ax的图像吗？

生12：先研究几个具体的指数函数，再研究一般情况.

师：先由几个具体的函数图像的特点然后再进行归纳猜想.这就是我们对于指数函数研究的一个策略了，还有别的研究策略吗？

生13：研究它的奇偶性和单调性时，我们可以通过数学证明而不是通过画图像得到其性质.

师：你是想将这两个方面结合起来，不能仅仅地通过看图来观察，也希望通过代数式来加以证明.在归纳猜想之后，也可以进行证明或说明.师：下面，请大家“选取数据画出图像观察特点归纳性质证明或说明”（板书）.

（学生作图，教师巡视，7分钟后，教师选取了以下4种情况投影，并请相关的的同学作说明.）师：接下来如何对指数函数作更深入的研究呢？

众生：作图，然后观察图像性质.

师：作图，然后通过图像去探究它们的性质，一个很好的方法.那就按照大家的方法来继续探究指数函数.那么，如何作出y=ax的图像呢？

众生：描点作图.

师：可是a是一个字母，无法作出图像.

生5：将a取两个特殊的值来画图.

师：为什么取两个特殊值来画图呢？

生5：因为a在（0，1）和（1，+∞）这两个区间上（应为区间内，作者注），取两个值可以代表.

师：我们就按照他所提出的方法，尝试作图.（投影：尝试作出指数函数y=2x和y=（12）x的图像.）（学生在坐标纸上作图，教师巡视，40秒钟后，投影学生作图.）

生6在两个坐标系中分别画出了两个函数图像，横坐标每格1个单位、纵坐标每格2个单位.未标出x轴、y轴和原点O的符号.

师：这是一幅优美但不完整的作品.（并用笔在展示台上补充完整）有哪位同学有更好的作品来与我们分享？

生7在两个坐标系中分别画出了两个函数图像，都出现了图像在x轴下方的情形.

师：大家对图像进行评价.

众生：图像不能在x轴下方.

师：图像不能超过x轴，为什么呢？

众生：因为y=ax总是大于零的.

师生齐声共同总结：y=ax总是大于零的，所以图像总在x轴的上方；它可以无限地接近x轴，但是永远不能超过x轴.师：大家继续作出改进，期待一幅满意的作品.

师：一幅较为规范的图像（投影生8的作图）.

师：刚才我们作出了它们粗略的函数图像，它们就像汉字中的“一撇”和“一捺”.下面我们再借助于电脑，精确地将这一撇和一捺演示

生14：在两个不同的坐标系中分别作了y=2x和y=（12）x的图像，归纳出以下的性质：a>1时，单调增；0

师：你怎么知道所得到的单调性是正确的呢？

生14：因为生活实践.如对于y=（12）x，一块蛋糕，切了一半，然后再切一半，……，蛋糕越来越小.

师：你在两个坐标系里画了函数图像，怎么能够知道它们关于y轴对称呢？

生14：因为我发现这两个函数自变量取相反数时函数值相等.

师：下面的同学在陈述时，对你得到的猜想作一些简单的证明或说明.

生15：在同一个坐标系中同时作了y=2x和y=（12）x的图像，并得到与生14相同的结论.并对过定点这一性质作了如下的说明：“当a>0且a≠1时，因为a0的值恒等于1，所以y=ax的图像恒过定点（0，1）”.

生16：在一个坐标系内画了y=2x的图像，在另一个坐标系内同时作了y=2x和y=（12）x的图像.也得到了上述性质.并对对称性作了如下的说明：“由于2x=（12）-x，所以ax=（1a）-x，y=ax的图像和y=（1a）x的图像关于y轴对称.”

师：如果f（x）=2x，那么g（x）=（12）x=f（-x），所以，y=f（x）与y=f（-x）图像关于y轴对称.

师：大多数同学画了两个函数的图像，也有画了四个函数的图像的（投影）.

生17：在同一坐标系内画了y=2x，y=3x，y=（12）x，y=（13）x的图像，并得到了“a与1越接近，y=ax的图像越平坦”这一性质.

师：我们发现，底数a∈（0，1）和a>1时，它们的函数图像是不同的.得到指数函数的性质.那么对于奇偶性，还可以用代数论证.对于单调性，有些同学没有写出对应的单调区间.单调性怎样证明呢？自己回去思考，看看能不能利用定义加以证明？对于单调性，我们有些遗憾，没能给出证明，但是我们可以通过图像来验证.（用几何画板投影展示当a∈（0，1）和a>1时的图像，并投影指数函数的性质.）

给大家.（老师边投影、便解释）描点、连线，得到两个函数的图像.优美的一撇、一捺.为什么会产生如此巨大的差异呢？

生9：因为一个大于1，一个小于1.

师：他的回答给我们以很大的启示：对指数函数的研究不能一蹴而就，必须要分两个类别.这两个类别会是怎样的呢？

众生：a>1和a

师：刚才我们研究了y=2x的图象，请大家联想一下，当a=3时的图象会是怎样？

众生：图像是一撇.

师：当a>1时呢？

众生：还是一撇.

师：用电脑验证我们的猜想（投影a取大于1的不同值时动态的函数图像），果然如大家所料，依然是这优美的一撇.仔细观察图像，作出第一个探究：当a在大于1的范围内变化时，指数函数的图像有怎样的共性？请先独立思考.（8秒钟后）现在发挥你们的团队作用.

（学生4人一个小组进行讨论26秒.）

师：请各个小组交流你们的发现.

生10：我们发现图像过定点（0，1）.

师：还有没有新的发现？

生11：我发现它们的值域和定义域都是一样的.值域都是（0，+∞），定义域都是R.

师：哪个小组还有新的发现？

生12：我们小组发现了函数的单调性，当a>1时，函数在R上单调递增.

师：有共性，就有个性.有什么个性呢？

生13：底数越大，图像越陡峭.

师：当0

生14：用类比的方法得到当0

师：再来看看当a>1与0

生12：它们关于y轴对称.

师：你能解释这一现象吗？

生12：把y=（12）x变形为y=2-x，y=2-x就是由y=2x图像上每一点关于y轴对称得到的.

师：你能不能将这一特殊的现象推广一下？

生13：y=ax与y=a-x的图像关于y轴对称.

师：还能将它继续推广吗？

生14：y=f（x）与y=f（-x）图像关于y轴对称.

师：从现象到本质，居然能提炼出如此优美的数学结论，这是一次伟大的数学发现，值得大家学习（学生鼓掌）.这样就得到了函数的性质（投影，略），我们的收获蔚为壮观，但是我们的性质都来源于对图像的细致观察和思考.注意，眼中有图不如心中有图，现在大家闭上眼睛，根据我的提示在心中呈现图像和性质（教师分别就a>1与0

评析 指数函数是在学生学习了函数的概念、图象与性质后，高中阶段所研究的第一个具体的函数模型，通过这一函数模型性质的研究，不仅要得到指数函数的性质，更重要的是，要让学生从中体验到研究函数性质的一般方法，为今后研究函数积累经验，因此，这节课是高中阶段非常重要的一课，这也是该内容成为历届全国高中青年数学教师优质课评选保留课题的重要原因之一.

（1）在性质探究这一环节，两位老师都能够让学生亲身经历探究性质的过程.课例A以“你打算如何研究指数函数的性质呢”为核心问题进行展开，并在此基础上，不断追问：“我们一般要研究哪些性质呢？怎样研究这些性质呢？”从而让学生充分调用已有的知识与方法存储，得到“选取数据画出图象观察特征归纳性质证明或说明”这一研究路径，然后让学生自主确定a的值作图并归纳性质，再进行交流总结.课例B则是指定学生作出指数函数y=2x和y=（12）x的图像，然后再用“几何画板”展示作a>1与0

（2）“渗透数学思想方法、培养学生的思维能力”应始终成为高中数学课堂教学的一条“暗线”[3].首先，在性质探究过程中，两位老师都在努力地体现“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维方式，让学生经历由几个特殊的指数函数图像抽象出指数函数的性质、并推广到一般的思维过程.课例A通过展示了4位同学所画出的不同函数的图像、交流了他们所归纳出的性质，从而得到了指数函数的性质；而课例B，是在学生画出了y=2x和y=（12）x的图像后，通过几何画板用描点、连线的方法“画出”了a>1与01与0

其次，如何处理好“归纳与演绎”的关系，是本节课应该关注到的一个问题.课例A不仅要求学生从图像归纳出性质，还要学生对得到的猜想作一些简单的“证明或说明”，使学生从“形”与“数”这两个方面对性质加以细考（尽管未能给出单调性的严格证明，但是学生用现实生活的实例加以解释也是相当精彩的！），这样的安排，不仅很好地体现了数学发现的一般过程，由一类事物中某些特殊对象的特点归纳猜想出一类事物的规律演绎证明所得到的结论，而且也很好地体现了从“数”、“形”两个方面研究问题的特点――形的直观、数的严谨.课例B仅由图像归纳出相关结论，并未给出证明或说明（对称性除外），这不能不说是一大缺憾.

（3）课例A研究了指数函数的定义域、值域、过定点（0，1）、单调性、奇偶性以及y=ax和y=a-x的图像的对称性.课例B未研究奇偶性.笔者认为，在研究函数性质时，为了让学生学会如何从整体上研究函数，理应研究函数的奇偶性，尽管教材中没有提及该内容，但我们是“用教材”而非“教教材”！比如，尽管教材中并未研究y=ax和y=a-x的图像的对称性，但是两个课例都不约而同地研究了这一性质.另外，还需要指出的是，课例A中将函数的定义域和值域纳入函数性质这一范畴是欠妥的.

（4）数学教学的核心任务是让学生理解知识、领会方法，而不应让学生反复地背和记，如在课例B中，在得出性质之后，教师提出“眼中有图不如心中有图”，让学生背记指数函数的性质.当然，老师用“一撇”和“一捺”来概括指数函数的特征还是很形象直观的.

3 巩固运用

两位老师分别作了以下的安排（限于文章的篇幅，巩固运用和课堂总结环节从略）：

课例A（用时75分钟）课例B（用时11分钟）

师：现在我们了解了指数函数的定义和性质，它有什么用处呢？

师：函数的定义域是函数的组成部分，是运用函数性质的前提.值域是研究函数最值的基础.而具备奇1、揭开古莲子的千古之谜：

高数指数函数篇10

知识的确是天空中伟大的太阳，它那万道光芒投下了生命，投下了力量。下面小编给大家分享一些高中数学函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

高中数学函数知识点11.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

点击查看：高中数学知识点总结

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：

(1)A中元素必须都有象且唯一;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;

(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解。

高中数学函数知识点2奇偶性

注图：(1)为奇函数(2)为偶函数

1.定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1) .两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2) .两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) .一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) .两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5) .两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) .一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，

(3)函数单调性法，

(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等

高中数学函数知识点3对数函数

对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

指数函数

指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3) 函数图形都是下凹的。

(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。