高数试题十篇

高数试题篇1

究高考函数试题，把握高考函数方向.

平乐县民族中学谢厚荣

[关键诃]函数思想方法

近年高考函数怎么考?从高考中我们从中得到什么样的启示,我们今后怎样指导我们的教学以及高三学生的复习,在这里我想谈谈我的一些看法。

一、重视函数的背景知识，回归朴素的函数思想方法。

函数知识产生的背景来源于生活，生活中孕育许多函数知识。而这种函数知识的获得，是来源于我们的一种十分重要的思想方法，这就是函数思想方法。过去我们只重视了已经形成了的函数知识的考查，而忽视了取得这种知识的方法。使得数学离与我们有些距离，导至学生失去学习的兴趣。甚至使孩子们产生了恐惧数学，这是我们的教育的偏差。近年教育界进行了反思，重视学生的生活背景，回归朴素的函数思想方法。近年来各省市卷有反映例如：2008年，全国卷：选择题第2题，几乎不要什么数学知识，就可解答。

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）

.A．根据汽2车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知；这是原命题组给出的答案。但我们可以这样解：汽车加速度行驶距离增长很快，汽车匀速，距离继续增长，这时可去C、D，减速行驶距离增长慢，可知得A，这只有一般函数思想就可解决。

3.图中阴影部分的面积S是h的函数，则该函数的大致图像是（）

此题也可简单的看，起初h增大，面积s减少得快，后面减少平缓，应选B。

二、考查函数的变换——平移、对称、翻折

函数的考查近年来很少单纯考某一函数的性质。在函数的教学中，函数的变换成为热点。反函数依然是必考题，它是最能反映函数变量之间转换，是函数思想的灵活体现，是必备的。但是在学习函数的变换过程中，不要忘记列表描点作图是根本。

2、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）

解析：选C．注意的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．但是，我们在解题时，不应该忘记根本的函数作图的方法，通过仔细观察，当x=1,函数f(x),g(x)都过（1，1），x=2函数f(x),过点（2，2）g(x)过点（1，1/2）故选C通过仔细观察，也比较容易的解决问题。

6．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（B）

A．B．

C．D．

解析：利用对称性，三点到直线距离越远越大。故选（B）

三、与导数连接、与高等数学接轨

过去用函数的单调性的定义证明某函数的单调性的必考题因导数出现而退出。导数是一个很好的工具,是学习高等数学必须掌握的工具。它在解决函数的单调性,函数的拐点,函数的最值极值时功能十分强大。是新课改的成果之一，以初等函数作为载体，初步掌握导数，对于上大学打下良好的基础，同时又是给不能上大学的人今后自学高等数学，为终生教育作准备。因此我们在学习时，加倍努力。

19．（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

19.解：（1）求导：

当时，，，在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，

递增

（2），且解得：

22．（本小题满分14分）

已知是函数的一个极值点。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

解:（Ⅰ）因为

所以

因此

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当时，

当时，

所以的单调增区间是

的单调减区间是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，

所以的极大值为，极小值为

因此

所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当

因此，的取值范围为。

此题重点考察利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；

四、函数为载体，数列在其中

数列是一个以非零自然数为变量的函数，建立数列f(n)它既可反映前后项联系，从而可得数列的递推关系，所以函数作为载体来考查数列是一全不错的选择。由于函数的单调性，还可以比较各项的大小，以及求数列各项的和等。

17．（本小题满分13分）

已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）、求数列的通项公式；

（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）

高数试题篇2

【导语】2018年山东高考数学文考试已于6月7日落下帷幕，

说明：2018年山东高考数学文试卷使用的是全国卷I，全国卷I适用的地区包括【河_南、河_北、山_西、江_西、湖_北、湖_南、广_东、安_徽、福_建、山_东】2018全国卷I高考数学文试题已公布，由于山东高考数学文试卷采用全国卷I，所以就代表了2018山东高考数学文试题也已公布了。

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高数试题篇3

【导语】经过了三年风雨的洗礼,踏过了几许的风涛海浪,十年寒窗,今朝从容潇洒走考场!明朝金榜题名天下知！

2018年云南高考数学理试题已经公布了，今年云南高考数学理考试采用的是全国卷Ⅲ，考生可直接查看2018全国卷Ⅲ高考数学理试题，为方便考生查阅，大家可直接点击下面链接进行查看。

高数试题篇4

【导语】寒窗书剑十年苦，今日向阳花正开。万千考生皆努力，青年才俊展风采。下笔神思如水流，微笑答卷甚轻松。蟾宫折桂此时有，鱼跃龙门在今朝。2018年青海高考数学考试已于6月7日5:00结束考试了，2018年青海高考数学试题已在考后公布，

2018年青海高考数学文试卷采用全国Ⅱ卷，全国卷Ⅱ适用地区包括：陇、青、蒙、黑、吉、辽、宁、新、陕、渝、琼。广大考生可点击下面文字链接查看。

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高数试题篇5

2014年成人高考安排在10月25日-26日举行，

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高数试题篇6

高考命题的基本准则是以课本为主，其内容都立足于课本，对学生而言，这些问题看上去很熟悉，但与教材问题又有区别，解决问题的方法却是类似的，迁移了教材中解决问题的基本思想和方法。对教师而言，编制题目的过程体现了研究性学习的过程，体现了由特殊到一般、由封闭到开放的过程，同时也是提高教师命题能力的过程。

下面就以一道高中数学课本题为源衍变不同试题的命制过程，供大家参考。

人教A版高中课标实验教材数学选修2-2第32页习题B组第1题（4）：

利用函数单调性证明不等式，并通过图像直观验证：lnx

源于教材，寻求变化，这个变，可以是由函数、自变量、系数的变化，系数可以由数字变为字母，也可以由特殊变为一般；所给条件可以强化变，也可以弱化变等。

1.改变函数变量的范围

变式1：证明不等式：ln（x+1）< x+1≤ex，x>-1。

说明：由上图可知y=ln（x+1）和y=x+1可由y=lnx和y=x的图像向左平移1个单位得到，所以要证明的不等式成立。

2.系数由常数变为字母，由连续型函数变为离散型函数

变式2：已知函数f（x）=alnx-ax，（a∈R）。

①求函数f（x）的单调增区间；②若a=-1，求证：f（x）≥f（-1）且―・―・―・…・―

说明：变式2将系数由常数改为字母，可以考查学生的分类讨论思想；第②题是用连续函数解决离散函数的问题。

3.由比较函数值的大小变为比较自变量的大小

变式3：已知函数f（x）=x-ex+2

①求f（x）的单调区间。②设x1，x1是f（x）的两个零点，证明：x1+x2>0。

变式4：已知函f（x）=（x-2k）ekx+a（x-k）2（其中k为正常）有两个零点。

①求a的取值范围。②设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2

说明：变式3和变式4将母题中证明函数值大小关系改编为证明自变量大小关系，该问题其实是函数极值点偏移（函数非对称型）问题，2016年高考新课标Ⅰ卷理数第21题就涉及该问题的考查。变式3 是具体函数的求解，相对较简单，变式4含参谈论，有一定的难度，可作为阶段综性的测评题。

以高中数学课本题为基本素材，对试题进行命制探究、变式拓展，实际上就是对教材中题目的“二次开发”，为教师的授课提供有益的、切合高中学生学情的案例，其目的就是让考试题更有利于学生对数学知识的理解和思维的发展。认真研究教材，活化教材中的习题和例题，进一步开发测评试题，拓展其教育功能，是高中教学和复习的有效途径之一。高考备考中，我们需要建立在对高考试题和教材纵深研究的基础上，善于用联系的观点探究课本题和高考试题的变式，善于在课本题中寻找高考试题的原型，探究高考试题与课本题的结合点，再将这些问题做恰当的分解或整合、延伸或拓展。教师在课堂上要有意识地引导学生从题目的变化中发现不变的本质，避免让学生机械重复地训练，尽量让学生体会经历从苦思不得其解到得来全不费功夫的酣畅淋漓，使高中课堂教学丰富、鲜活、高效，精彩纷呈。

参考文献：

高数试题篇7

事实证明，正确运用数学高考答题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘数学思维和知识的潜能，考出最佳数学成绩.

一、调理大脑思维，提前进入数学情境

考前要摒弃杂念，排除一切干扰思绪，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入角色.由于高考数学在下午考试，因此平时应有意识地把答数学的最佳状态调节到下午三点到五点之间为最佳.

二、凝心聚力，集中注意力，消除焦虑怯场

良好的开端是成功的一半，集中注意力是考试成功的重要保证，一定的神经亢奋和紧张，有益于积极思维，但紧张过度，则会走向反面，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，想得开.拿到题后，不要急着去做，而应通览全卷，摸透题型分布及熟悉程度，然后稳做一两个熟题易题，稳定情绪，提高兴奋点，消除焦虑怯场，快速进入最佳考试思维状态.

三、灵活多变，因人因卷选择合理的解题策略

在通览全卷，情绪基本稳定，数学思维进入最佳考试状态后，考生可根据自己平时的解题习惯和方法，结合整套试题结构分布规律，灵活选择答题策略进行解题.

1.先小后大策略

选择题、填空题分值高，占总分的53.3％，且大部分都是信息量少、运算量小、易于把握的题型，因此要认真细致地进行解答，容不得半点马虎，争取在较短的时间内解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础.

2.先易后难策略

先易后难就是先做中低档题，再做综合题、自己认为难做的题.具体做题时应根据自己的实际能力，果断跳过一些无从下手的题目，从易到难，但前提是要认真对待每一道题，不能走马观花，有一点难度就放弃，影响解题情绪.

3.先熟后生策略

通览全卷可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利因素，此时不要惊慌，要想到试题偏难对所有考生都难.通过这种暗示，确保稳定情绪，待情绪稳定后，先做内容掌握熟练、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目，最后再设法做中高档的题.

四、做题切忌太快，也不能太慢，要快慢结合

在做高考题时有些学生只知道一味地快，认为快才能得高分，结果题意未清，条件未全，便急于解答，导致思维受阻或进入死胡同，欲速则不达.应该说，审题要慢、细，解答要快、准，审题是整个解题过程的基本环节，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须搞清题意，挖掘隐含条件，综合所有条件，提炼全部线索，为形成解题思路提供全面可靠的依据，而思路一旦形成，则尽可能快速完成.

五、确保运算准确，立足一次成功

数学高考题的容量在120分钟时间内要完成大小22个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验和重复计算，所以尽量运算准确，关键步骤力求一步到位，不要做重复的无用功.

六、讲求规范书写，力争既对又全

高考客观性试卷最终是人进行阅卷，因此卷面的整洁度也是取得理想成绩的又一保证.这就要求解答时不但要会而且要对，对且全，全且规范.表述不规范、字迹潦草是造成高考失分的因素之一.因为字迹潦草，会使阅卷教师的第一印象不良，“感情分”也就随之降低，此所谓心理上的“光环效应”.

七、以退求进，立足特殊，发挥一般

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路时，可以采取化一般为特殊（如用特殊值验证法解选择题，我总结了九种答选择题的策略），化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化轻弱条件为较强条件，然后通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”问题的求解，这样可以达到事半功倍的效果.

八、回避结论的肯定与否定，解决探索性问题

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以从一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与证明，则步骤所止，结论自现.

九、面对难题，讲究策略，争取得分

会做的题目当然要力求做对、做全，而对不能全面完成的题如何尽可能的得分，这是大多数考生都存在的一大难题，下面介绍两种常用方法，以供参考.

1.跳步解答

解题过程若卡在中间某一环节时，可以先承认中间结论，以此作为条件继续往下推理，看能否得到正确结论.若得不出，立即改变方向，寻找其他途径；若能得到结论，则可回头再攻克这一过渡环节.若时间特别有限，中间结论来不及证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底.另外，若题目有两问，第一问做不上，则可以第一问为“已知”，完成第二问的解答.

2.分步解答

高数试题篇8

【导语】2018年宁夏高考数学考试已结束，同时2018年宁夏高考数学试题已公布，

2018年宁夏高考数学文试卷采用全国Ⅱ卷，全国卷Ⅱ适用地区包括：陇、青、蒙、黑、吉、辽、宁、新、陕、渝、琼。广大考生可点击下面文字链接查看。

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高数试题篇9

1．已知集合A={x|x－2x≤0}，B={x|－9≤3x+3≤6}，则A∩B=_____________．

2． 在复平面内，复数1+i2013（1－i）2对应的点位于第 象限

3．命题P：“若ac=b，则a，b，c成等比数列”，则命题P的否命题是_____________命题．（填：“真”或“假”）

4．某地区对高三学生进行体格检查时，为了解该地区男生体重情况，进行抽样调查．抽查该地区年龄为17．5岁－18岁的200名男生的体重（kg），得到频率分布直方图如下，根据下图可得这200名学生中体重在56.5～64.5的学生人数是_____________．

5．根据如图所示的伪代码，则输出结果是_____________．

6．在盒中有标号为1，2，3，4，5的5个大小相同的圆球，现从中任取2个球，则它们的标号的乘积是偶数的概率为 _____________．

7．若函数f（x）=k+x+2的定义域为D，且满足以下两条件：① f（x）在定义域内是单调函数；②存在区间［a，b］D，使得f（x）在x∈［a，b］上的值域也为［a，b］，则k的取值范围是_____________．

8．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y（x，y大于零），则三棱锥PEFQ的体积_____________．

①与x，y都有关；②与x，y都无关；③与x有关，与y无关；④与y有关，与x无关

9．在平面直角坐标系中，点P（sin2θ，－1）、Q（12，cos2θ）分别在角α、β的终边上，且OP·OQ=－12，则cos2θ=_____________．

10．若集合A=［a－2，－a］，B={x|cosπx=1}，若集合A∩B中恰好有两个元素，则a的取值范围是_____________．

11．在ABC中，如果对任意实数t，不等式|BA－tBC|≥|AC|恒成立，则角C=_____________．

12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，且f′（x）·g（x）>f（x）·g′（x），f（x）=ax·g（x），f（1）g（1）+f（－1）g（－1）=52，令an=f（n）g（n），则使数列{an}的前n项和Sn超过100的最小自然数n的值为_____________．

13．过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，设切点分别是A，B，若直线AB与x轴、y轴分别交于M，N两点，则MON面积的最小值是_____________．

14．设Sn为数列{an}的前n项和，若不等式a2n+S2nn2≥λa21对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为_____________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分

15．在ABC中，AB=2，AB·（AC－3CB）=0，（1）若CA·CB=0，求B的值；（2）设S为ABC的面积，若CA·CB=S，求S的值．

16．如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE．（1）求证：平面ADE平面BCC1B1；（2）在棱B1C1上是否存在点F，使得对于CC1上任意一点E，都有A1F∥平面ADE？请证明你的结论．

17．如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转α（0＜α＜π2）得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：

①∠A′FE＝α；

②对任意α（0＜α＜π2），EAL，EA′F，GBF，GB′H，ICH，IC′J，KDJ，KD′L均是全等三角形．

（1）设A′E＝x，将x表示为α的函数；

（2）试确定α，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．

18．以A为圆心，以2cosθ（0

（1）当θ取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线？

（2）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，记|MN|的最小值为f（θ），求f（θ） 的取值范围．

19．已知函数f（x）=lnx－x+1，x∈（0，+∞）．

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）设a≥1，函数g（x）=x2－3ax+2a2－5，若对于任意x0∈（0，1），总存在x1∈（0，1），使得f（x1）=g（x0）成立，求a的取值范围；

（3）对任意x∈（0，+∞），求证：1x+1

20．已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=an－1－3（an－1>3）4－an－1（an－1≤3），

（1）当a=100时，求数列{an}的前100项的和S100；（5分）

（2）证明：对于数列{an}，一定存在k∈N*，使0

（3）令bn=an2n－（－1）n，当2

数学Ⅱ（附加题）

21．［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上方，连结AC交半圆O于点D，过点C作线段AB的垂线CE，垂足为E．

求证：B，C，D，E四点共圆．

B．（选修4—2：矩阵与变换）

二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．

（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M－1；

（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求l的方程．

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值．

D．（选修4—5：不等式选讲）

设a，b，c为正数且a+b+c=1，求证：（a+1a）2+（b+1b）2+（c+1c）2≥1003．

【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

假定某人每次射击命中目标的概率均为12，现在连续射击3次．

（1）求此人至少命中目标2次的概率；

（2）若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则．射击结束．记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望．

23．（本小题满分10分）

设P1，P2，…，Pj为集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记aij为满足P1∩P2∩…∩Pj＝的有序子集组（P1，P2，…，Pj）的个数．

（1）求a22的值；

（2）求aij的表达式．

参考答案

一、填空题

1． （0，1］ 2． 二 3． 假 4． 80 5． 9 6． 710 7． （－94，－2］ 8． ③ 9． 13 10． ［－2，0］ 11． π2 12． 6 13． b3a 14． 15

二、解答题

15．解：（1）AB·（AC－3CB）=（CB－CA）·（－CA－3CB）=0，又CA·CB=0

所以3CB2=CA2，所以b=3a，又C=90°，c=2，B=60°

（2）AB·（AC－3CB）=（CB－CA）·（－CA－3CB）=0，又CA·CB=S

所以：3a2－b2=2S，又由余弦定理得：4=a2+b2－2abcosC=a2+b2－2S

故：a2+b2=4+2S，a2=1+S，b2=3+S，又CA·CB=S得abcosC=12absinC

tanC=2，所以cosC=15故ab=5S，联立上式：S=32

16．证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，

CC1面ABC，CC1AD，又ADDE，

DE∩CC1=E，DE、CC1面BCC1B1，

AD面BCC1B1，又AD面BCC1B1

平面ADE平面BCC1B1

（2）当B1F=BD时，对于CC1上任意一点E，

都有A1F∥平面ADE

证明：连结FD，易知B1F∥BD，且B1F=BD，所以四边形B1BDF为平行四边形，

所以A1F∥AD，又AD面ADE，A1F面ADE，所以A1F∥平面ADE．

17．解：（1）在RtEA′F中，因为∠A′FE＝α，A′E＝x，

所以EF＝xsinα，A′F＝xtanα．

由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝xtanα，

所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋xsinα＋xtanα＝3．

所以x＝3sinα1+sinα+cosα，α∈（0，π2）

（2）SA′EF＝12·A′E·A′F＝12·x·xtanα＝x22tanα

＝（3sinα1＋sinα＋cosα）2·cosα2sinα＝9sinαcosα2（1＋sinα＋cosα）2．

令t＝sinα＋cosα，则sinαcosα＝t2－12．

因为α∈（0，π2），所以（α＋π4∈（π4，3π4），所以t＝2sin（α＋π4）∈（1，2］．

SA′EF＝9（t2－1）4（1＋t）2＝94（1－2t＋1）≤94（1－221）．

正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积

S＝S正方形A′B′C′D′－4SA′EF≥9－9 （1－22＋1）

＝18（2－1）．

当t＝2，即α＝π4时等号成立．

答：当α＝π4时，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，最小值为18（2－1）．

18．解：（1）设以M为圆心的圆的半径为rM，则|MA|=2cosθ+rM，|MB|=rM，

则|MA|－|MB|=2cosθ，故当θ取某个定值时，点M的轨迹P是以A，B为焦点，实轴长为2cosθ的双曲线靠近B点的一支．

（2）以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，使A（－cosθ，0），

则圆A的方程为（x+cosθ）2+y2=4cos2θ，当|MN|最小时，即|AB|在连心线上，此时N（cosθ，0），|AB|－|AN|=2rM，rM=12（2sinθ－2cosθ）=sinθ－cosθ，

f（θ）=rM=sinθ－cosθ=2sin（θ－π4），因为sinθ>cosθ，故θ∈（π4，π2），

所以f（θ）∈（0，1）

19．（1） f′（x）=1x－1=1－xx

当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0．

f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），极大值为f（1）=0．

（2） g′（x）=2x－3a（a≥1）当x∈（0，1）时，g′（x）=2x－3a

此时g（x）值域为（2a2－3a－4，2a2－5）．

由（1）得，当x∈（0，1）时，f（x）值域为（－∞，0），

由题意可得：2a2－5≤－1，所以1≤a≤102．

（3）令x+1x=t，则x=1t－1，x>0，t>1，原不等式等价于1－1t

由（1）知f（t）=lnt－t+1在（1，+∞）上单调递减，f（t）

令h（t）=lnt－1+1t，h′（t）=1t－1t2=t－1t2，当t∈（1，+∞）时，h′（t）>0，

h（t）=lnt－1+1t在（1，+∞）上单调递增，

h（t）>h（1）=0，即1－1t

综上所述，对任意x∈（0，+∞），恒有1x+1

20．解：（Ⅰ）当a=100时，由题意知数列{an}的前34项成首项为100，公差为－3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，从而S100=（100+97+94+…+4+1）共34项+（3+1+…+3+1）共66项

=（100+1）×342+（3+1）×662=1717+132=1849．

（Ⅱ）证明：①若0

②若a1>3，此时数列{an}的前若干项满足an－an－1=3，即an=a1－3（n－1）．

设a1∈（3k，3k+3］，（k≥1，k∈N*），则当n=k+1时，ak+1=a1－3k∈（0，3］．

从而此时命题成立

③若a1≤0，由题意得a2=4－a1>3，则由②的结论知此时命题也成立．

综上所述，原命题成立

（Ⅲ）当2

所以bn=an2n－（－1）n=a2n－（－1）n（n为奇数）4－a2n－（－1）n（n为偶数）

因为bn>0，所以只要证明当n≥3时不等式成立即可．

而b2k－1+b2k=a22k－1+1+4－a22k－1

=a·22k－1+22k+1+（4－2a）（22k－1+1）（22k－1）

①当n=2k（k∈N且k≥2）时，

∑2ki=1bi=b1+b2+∑2ki=3bi

=43+（a+4）×124（1－（14）k－1）1－14=43+（a+4）×（1－（14）k－1）12

②当n=2k－1（k∈N*且k≥2）时，由于bn>0，所以∑2k－1i=1bi

综上所述，原不等式成立

数学Ⅱ（附加题）答案

21．A．（几何证明选讲选做题）

证明：如图，连结BD，

因为AB为半圆O的直径，

所以∠ADB为直角，即有∠CDB为直角，

又CE为线段AB的垂线，

所以∠CEB为直角，所以∠CDB＝∠CEB

故B，C，D，E四点共圆．

B．（矩阵与变换选做题）

解：（Ⅰ）设 abcd，则有 abcd1－1=－1－1， ab

cd－21=0－2，

所以a－b=－1c－d=－1，且－2a+b=0，－2c+d=－2，解得a=1b=2c=3d=4

所以M=1234，从而M－1=－2132-12

（Ⅱ）因为x′y′=1234xy=x+2y3x+4y且m：2x′－y′=4，

所以2（x+2y）－（3x+4y）=4，即x+4=0，这就是直线l的方程

C．（坐标系与参数方程选做题）

解：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9

ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2

在x2+y2=9上任取一点A（3cosα，3sinα），则点A到直线的距离为

d=|3cosα+33sinα－2|2=|6sin（α+30°）－2|2，它的最大值为4

D．（不等式选讲选做题）

证：左=13（12+12+12）［（a+1a）2+（b+1b）2+（c+1c）2］≥13［1×（a+1a）+1×（b+1b）+1×（c+1c）］2

=13［1+（1a+1b+1c）］2=13［1+（a+b+c）（1a+1b+1c）］2≥13（1+9）2=1003

22．解：（1）设此人至少命中目标2次的事件为A，则P（A）=C23·（12）2·（12）+C33·（12）3=12，

即此人至少命中目标2次的概率为12．

（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，且P（X=0）=［C03·（12）3］·（12）=116，

P（X=1）=C13·（12）1·（12）2+［C03·（12）3］·（12）=716，P（X=2）=C23·（12）2·（12）=38，

P（X=3）=C33·（12）3=18，

从而E（X）=116×0+716×1+38×2+18×3=2516

23．解：（1）由题意得P1，P2为集合P＝{1，2}的子集，

因为P1∩P2＝，

所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形：

P1=，P2={1}，{2}，{1，2}共3种

P1={1}，P2={2}

同理可得集合P={1，2}中的元素“2”也有3种情形，

根据分步乘法原理得，a22＝4；

（2）考虑P＝{1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：

1不属于P1，P2，…，Pj中的任何一个，共C0j种；

1只属于P1，P2，…，Pj中的某一个，共C1j种；

1只属于P1，P2，…，Pj中的某两个，共C2j种；

1只属于P1，P2，…，Pj中的某（j－1）个，共Cj-1j种，

根据分类加法原理得，元素“1”共有C0j＋C1j＋C2j＋…＋Cj-1j＝2j－1种情形，

高数试题篇10

关键词：中日韩；高考数学试题；比较分析

中图分类号：G639.3/.7 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0158-02

通过查阅中日韩三国的高中数学课程的相关文献，对中日韩三国若干年的高考数学试题的分析和研读三国的数学高考出题原则发现，三国的高中数学有所不一样，在课程的设置方面，中国的高中数学教材分必修和选修模块；日本的高中数学设置了7个科目：《数学基础》、《数学Ⅰ》、《数学Ⅱ》、《数学Ⅲ》、《数学A》、《数学B》和《数学C》；韩国的高中数学教材分数学一、数学二和选修部分，在高考数学的试题方面，三国的高考数学试题也存在比较大的差异性。本文主要从三国高考数学试题的试题形式、试题题量、试题内容、试题背景这四个方面进行对比分析。

一、试题形式的比较

从直观的题目的设计形式上来看，三国的试题形式都有所不同，日本的高考试题在形式方面比较单一，以简答题的形式出题，韩国的高考试题有选择题和简答题两种形式，而中国的高考试题分选择题、填空题、解答题这三大形式。在试题的设计形式上看，中国的高考试题显得比日韩两国的高考试题更全面和多样化，另外在设置选择题的备选项中，中国的高考试题每道选择题设置四个选项，分别是A，B，C，D选项，而韩国的选择题设置的是①，②，③，④，⑤五个选项，显然，这样增大了选择的难度。通过以上高考数学试题设计形式的比较，可以看出中国高考数学试题的形式相比之下多样化，从而可以更容易从不同的方面考查学生知识的掌握情况，选择题考查学生对知识的再认知的过程；填空题考查学生对知识的回忆过程；解答题考查学生对知识的应用过程，这些不同形式选择题、填空题、解答题从不同层次考查学生对知识的掌握情况，这样考查面更广、更全。

二、试题题量的比较

从高考出题的题量方面上看，中国的高考数学试题共有22道题，其中12道选择题，4道填空题，6道解答题，总分为150，客观题占60分，主观题占90分，韩国出题共40道题，必做题为25道，另外为15题中选5个的选做题，共需要做30个题，总分为100分，客观题占68分，主观题占32分。相比中国和韩国的高考试题，日本的高考试题的题量相对较少，试题题量越少，对所学知识的考查就越不充分，所以在题量方面设计时不宜太少。

三、试题内容的比较

关于试题内容方面，中日韩三国的高考数学考查的内容大部分是相同的，其中函数（对数函数、指数函数、三角函数）、数列（等差数列、等比数列）、排列组合、概率等都是重点考查的内容，不同之处在于中国的高考数学试题没有涉及到对矩阵、极限、正态分布、数列收敛、积分定理等的考查，在中国，概率正态分布只是作为阅读资料，不作为高考的考试范围，矩阵、积分定理在高中的教材也没有出现，它是高等数学中的内容。同样极限、条件概率也是在高等数学中才重点学习，而以上这些内容在日韩的高考试题中是常见的，另外韩国的高中数学内容有一小部分是在中国的初中阶段就已经学习了，可见日韩高考试题的覆盖范围要比中国的高考数学的范围大。中国高考数学的考查范围较小，但是考查的知识点比较细，试题注重知识的基础性，无论是函数还是立体几何，各个知识点考查得比较全面，比较细致，如概念、性质、定理等的应用。

例如考查函数的知识，函数的定义域或是值域这些基本概念在中国是常考的。

例：（中国）1.函数y=■+■的定义域为（？摇？摇）.

A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}

C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}

韩国的高考试题注重考查学生的计算能力、理解能力、推证能力、解决问题的能力，对于计算能力的考查，通常会以指数（有理数的指数运算）、对数的计算、矩阵的计算（矩阵的加法与乘法）、极限的计算形式出现.例如：

1.求（log327）×8■.

①12？摇？摇？摇②10？摇？摇？摇③8？摇？摇？摇④6？摇？摇？摇⑤4

2.已知A=-1 0 0 1，B=2 13 3，求（A+B）-1.

①1？摇？摇？摇②2？摇？摇？摇③3？摇？摇？摇④4？摇？摇？摇⑤5

3.求■■.

①1 ②■ ③3 ④■ ⑤3

四、试题背景的比较

中日韩三国的国情、社会发展的不同必然会导致三国的高考数学的出题背景不一样，总的来说，中国的高考试题很多是以课本的例题、习题为变式题，通过简单的变形、延展来改编，试题与现实生活结合得不够紧密.另外，每年的高考试题在题型方面几乎都一样，解答题一般都是考查6种题型：三角函数、立体几何、函数与不等式、统计与概率、圆锥曲线、数列，所以在试题的背景方面体现不出新颖性.相比之下，日韩两国的高考试题都是比较生活化的，同时也关注培养学生的数学文化素养.下面举例说明此问题.

1.对于指数与对数的考查.例（韩国）：某溶液的氢离子浓度为H■，该溶液的酸性度用pH值定义为pH=-logH■.在摄取1块糖以后提取唾液测得的pH值为6.6.10分钟以后再提取唾液测试氢离子浓度，其值是最初提取唾液时测得值的50倍，求此时的pH值.（其中log2=0.3）

①3.7？摇？摇？摇②4.0？摇？摇？摇③4.3？摇？摇？摇④4.6？摇？摇？摇⑤4.9

像以上这种结合实际生活考查对数与指数的题目，韩国的高考中经常出现.而在中国的高考数学试题中是没有，中国的高考题中对指数和对数的考查只局限于老形式，没有新情景.

例（中国）：若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（？摇？摇）.

A.■ B.3 C.■ D.4

所以这也是中国的教育需要向韩国借鉴的.

2.在数列部分考查.例（中国）：已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10（？摇？摇）.

A.138 B.135 C.95 D.23

例（日本）：数列{an}满足下列条件，a1=1，a2=1，an+2=7an+1

+an（n=1，2，3…）

①请用数学归纳法证明a3n（n=1，2，3…）是偶数.

②证明a4n（n=1，2，3…）是3的倍数.

同样是考查数列内容，中国试题与课本上的形式基本一致，日韩的有利用数学归纳法证明的题，还有推测各项求数列和的题，可见日韩试题的载体和解答都比我国新颖.

3.再如对于概率知识的考查.中国历年都是考查离散型随机变量的概率分布和数学期望的概念和运算，也有部分考题将对相互独立事件的概率，二项分布或超几何分布等概念的考查融于对随机变量的概率分布和数学期望的考查之中.比起日韩，中国关于这部分内容所考查的知识点比较全面，对基本知识的要求比较高，但是在试题的覆盖面上和考题的类型上，日韩的试题的覆盖面更广，考题类型更多样化，而且试题的背景更加生活情景化.

例2（韩国）：一个电视100个频道，这个电视的遥控器的一部分如图，这个电视显示着50频道，若从增加和减少的两个按钮中任选一个按一下，这样一共按六次，则电视仍然显示50频道的概率为？（没按一下按钮电视会增加或减少一个频道）

①■ ②■ ③■

④■ ⑤■

总体上来看，中国高考数学试题的表现形式比较规范，考查的知识点比较精细，强调双基和运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，而日韩两国的试题更加强调考查学生的形象思维及理解能力、解决问题的能力，所以在高考数学编制试题方面，日韩两国的这些优点值得中国借鉴.

参考文献：

[1]赵荣夫.高考数学试题的背景研究[J].数学教学研究，2006，（12）.

[2]周莉莉.中日韩数学高考对比探究[J].中学数学教学参考，2001，（4）.

[3]刘文.日本数学课程改革的特点及其启示[J].教育科学，2000，（4）.