高中数学集合的概念十篇

高中数学集合的概念篇1

关键词： 高中数学 概念教学 教学实践

高中数学是一门以抽象思维为主的课程，数学概念则是表达这种抽象思维的语言，因此准确理解与把握概念是学好高中数学的前提。“在数学教学中使学生形成正确完整的概念，是教师在教学中的首要任务，也是提高教学质量的关键，更是培养学生能力、发展学生智力的重要途径。”[1]要切实提高高中数学教学效率，抓好概念教学是关键，在高中数学教学过程中，我们要重视数学概念教学，在实践中不断探索高中数学概念教学的方法，为学生运用概念解决数学问题奠定基础。

一、创设情境，引入概念

高中数学概念具有很强的抽象性，这对学生概念学习造成很大的难度，这需要我们巧设情境引入数学概念，激发学生学习概念的兴趣。在引入数学概念时，我们要善于从实际出发，将数学概念与生活紧密结合起来，化抽象为具体。“在进行概念教学时，要让数学与学生的现实生活密切结合，使学生感受到数学是活的，是富有生命力的。”[2]我们可以尝试用生活实例巧设情境引入概念，具体方法是教师引用与所学概念有明显关系或能够直接体现概念的生活实例，引导学生分析生活实例中的数学元素，从而感知数学概念，在实例中获得感性认识，再水到渠成地引入概念，学生对概念的理解就容易得多，深刻得多。例如在教学“算法”概念时，我从生活中的实例说起，用手机浏览网页大家想必都十分熟悉：第一步，准备好手机；第二步，打开手机无线网络开关；第三步，打开手机浏览器，输入要浏览的信息内容；第四步，浏览信息。通过援引生活中用手机浏览页面，创设类似数学算法情境，引导学生了解我们做任何事都是在一定条件下按次序进行操作的，再从生活实例过渡到数学实例，最后引入“算法”概念。这样的概念教学不但可以帮助学生理解与识记概念，而且有利于学生灵活应用概念。

二、丰富教法，理解概念

帮助学生理解概念是高中概念教学的关键，要提高概念教学的效率，帮助学生很好地理解概念，需要我们在实践中不断探索概念教学方法，丰富教法，我在长期的概念教学实践中积累了以下有效的方法。

1.演示法。演示法就是根据概念教学目标，课前安排学生根据概念动手尝试建模，在课堂通过模型进行演示，达到帮助学生理解数学概念的一种方法。它是数学概念教学中往常采用的一种有效方法。这种教学方法能够有效地将抽象的数学概念直观化，既降低概念教学的难度，又培养学生的动手能力。例如在教学“点线面位置关系”时，我们可以要求学生课前准备一根绳子，在教学概念时，以桌面为平面，用绳子作为直线，引导学生进行演示，充分理解点线面的位置关系，在演示基础上，要求学生用数学语言表述出点线面位置关系。

2.实例法。实例法就是在数学概念教学过程中，借助生活中的具体实例帮助学生理解数学概念。这种教学方法由于选择了学生熟悉的生活实例，既贴近学生实际生活，又便于学生理解。例如在教学“集合”这一数学概念时，可以以我们国家为例，让学生了解“集合”是一个整体；在教学“概率”这一概念时，我们列举生活中买、摸奖的例子，引导学生理解“概率”是研究随机性规律的概念。

3.图示法。图示法就是借助图画理解数学概念的一种方法。这种方法直观形象，便于直接揭示数学的本质属性，化抽象为形象，有利于学生加深对数学概念的理解。例如在教学“交集、并集”概念时，我们可以让学生借助画图理解这两概念与区别；也可以借助现代多媒体软件，生动地展示交并集概念，这样既直观形象，又能充分调动学生的学习主动性。

4.比较法。比较法就是将数学中某些相关概念进行比照，加强对数学概念理解的一种方法。数学中很多概念总存在这样那样的关系，我们要充分把握这些概念之间联系，加强比较，在比较过程中了解概念间的相似点与存在的不同，“可以不断加强学生的思维能力，增强辨别能力和理解能力，使学生不断地提高解题能力。”[3]例如在教学“集合”这一章时，这一章涉及很多概念：集合、子集、全集、补集、交集、并集等，如何帮助学生准确理解概念，运用比较法就是有效的教学方法。在分析完每一个概念后，我们可以引导学生将集合、子集、全集、补集、交集、并集等概念整合起来，进行比较，探究这些概念之间的联系与存在的不同点。在比较中建立起来的概念才会更准确、更清晰。

三、解决问题，应用概念

检验学生是否真正掌握概念的标准是学生能否灵活运用概念解决数学问题，“数学概念是掌握数学知识的基础，概念的熟练应用更能增加学生对知识的理解。”[4]学生数学概念形成以后，我们需要进一步帮助学生理解概念的原型与内涵，引导学生发现概念学习对提高数学学习效率的重要意义，提高学生运用概念解决数学问题的能力。这既关系到学生数学概念的巩固，又关系到学生数学解题能力的形成。例如在“集合“这一章，要使学生准确把握“子集、全集、补集、交集、并集”等概念，明确区别这些概念间的异同，必须通过反复练习巩固概念，只有通过反复运用概念，才能在运用中不断巩固概念；在应用概念解决数学问题过程中，我们还要注意通过“错解、反例”辨析等题型进一步巩固概念，使学生全面理解概念，从而灵活运用概念解决数学问题，最终提高运用概念解决数学问题的能力。

总之，我们要充分认识到概念教学在高中数学教学中的重要意义，在高中数学教学中加强概念教学研究，合理创设情境，激发学生概念学习兴趣；不断探索概念教学方法，通过丰富的教法使抽象的概念教学变得生动起来，加深学生对数学概念的理解；同时，在运用中巩固数学概念，提高学生应用概念解决数学问题的能力，全面提高高中数学教学效率，发展学生的数学思维。

参考文献：

[1]邢振华.谈数学概念教学[J].新课程（上），2013（08）：187.

[2]潘洪艳.高中数学概念课教学初探[J].当代教育科学，2013（16）：64-66.

高中数学集合的概念篇2

关键词：新课标；高中；数学概念教学；现状；有效措施

高中数学概念课作为高中数学理论知识的重要组成部分，是构成数学规律、建立数学公式与完善数学理论知识扩建的核心内容。数学家华罗庚曾说过：“数学的学习过程就是不断建立各种数学概念的过程。”可见数学概念教学的效率与质量不仅给学生认识数学理论知识的水平带来不利影响，也会影响到学生知识框架的构建和延伸，因此在实际高中数学概念的教学过程中，进行有效的教学策略势在必行。

1当前高中数学概念教学的现状分析

1.1对数学概念的认识出现偏差

从我国当前高中数学概念教学的具体情况来看，在进行教学时，部分教W受传统教学理念的影响，错误地认为数学概念的教学只是要求学生死记硬背，没有对数学概念的产生做出教学解释，导致学生只能背诵概念，不能理解概念，甚至是不会运用数学概念来解题，不利于学生进一步学习。

1.2教材版本较多，对概念处理缺乏统一标准

高中数学教材主要有人教A版、人教B版、江苏版和北师大版等版本，这些版本对概念处理缺乏统一标准，内容呈现方式与例题都不同，各自体现的处理教材方式与侧重点也不同，使得教师产生认识偏差，认为想怎么说就怎么说，导致概念教学具有随意性，增加了学生对知识理解的难度。

1.3教学时间紧迫

在高中数学概念教学中，较为常见的教学问题就是高中教学的时间紧迫，具体体现为高中学生需要面临高考压力，课程任务繁重，且教学时间十分有限，刨除法定节假日与复习时间，学生理解与运用知识的时间被缩短，加上部分教师过于注重学生数学题的练习，忽略对概念的传授，导致还未理解数学概念，就需要花费大量的时间来做题，造成学生的数学概念学习不扎实。

2基于新课标的高中数学概念教学的有效策略

2.1提出问题，引入概念

引进新概念的过程，也是培养学生探索问题、发现规律与总结归纳的过程。因此在进行高中数学概念的过程中，为了方便学生掌握与记忆，教师可讲解与概念有明显联系和典型的例子，让学生在对具体问题的体验中认识概念。例如在“异面直线”的数学概念教学中，以往的教学方式都是先讲解异面直线公垂线的概念，然后指出两垂直之间的线段长就是两条异面直线的距离，不利于学生理解、掌握。这时教师可先讲解概念产生的背景，将长方体模型与图形展示出来，让学生找出两条既不平行，也不相交的直线，并告诉学生像这样的两条直线就是异面直线，紧接着提问：“什么是异面直线？它们之间的距离有什么特点？”让学生进行讨论、叙述，将讨论的结果说出来：将不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。然后让学生找出教室内或者是长方体中的异面直线，以平面作衬托画出异面直线的图形。通过这样的方式不仅能够训练学生的概括能力，还可让学生体验概念产生的过程。

2.2创设情境，营造气氛

数学概念课具有抽象性与概念性的特点，加上学生的思维与理解能力存在明显差距，如果教师仍沿用传统模式来教学，不仅不利于学生理解，还会影响到课堂教学进一步发展。因此在高中数学概念的教学过程中，应理论联系实际，结合教材内容与教学目标，创设教学情境，营造良好气氛，让学生参与到学习活动中，掌握所学知识。例如在“集合”的数学概念教学中，教师可创设教学情境：有位渔民非常喜欢数学，但是他怎么也弄不懂集合的意义，于是他请教了一名数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”由于集合属于一个不定义的概念，数学家无法回答渔民的问题。某天数学家来到渔民的船上，看到他撒下渔网，轻轻一拉，渔网中就有许多鱼虾在跳动。数学家十分激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”这样学生在脑海中就会建立一个由事物组成整体的概念，紧接着提出疑问：“班上身高为170cm的学生能组成集合，对吗？班上高个子男生能组成集合，对吗？1、2、3组成集合和3、1、2组成集合有区别吗？”让学生带着问题阅读课文，从而了解到一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就是集合。其元素有三大特性：确定性无序性与互异性。

2.3精心设计，强化巩固

概念作为数学思维的基础与精髓，概念的获得是学习数学的起点，而不是终点，引领学生体验、领悟隐藏在概念形成中的思想方法，并学会灵活运用数学思想方法，才是概念形成的核心。因此教师需要在学生形成数学概念的基础上，创新数学教材，精心设计数学例题，让学生尝试运用数学概念来解决问题，以巩固所学知识。例如在“椭圆”的数学概念教学中，教师应精心备课，将彗星运动轨道的图片展示出来，供学生观赏，并通过动画演示向学生说明椭圆的形成过程，让学生了解到在变化中的变与不变及其内在联系。然后提出疑问：“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆？为什么椭圆定义要满足呢？当时，运动轨迹是什么？当时，运动轨迹是什么？”，同时将课堂交给学生，让学生结合问题与课文知识点，将硬板纸、细线和铅笔拿出来，与同桌协同合作绘画出椭圆，通过反思、归纳，从而总结出：当时，是椭圆；当时，是线段；当时，轨迹不存在。

3结束语

综上所述，在新课标的背景下，要想提高高中数学概念课堂教学的质量，教师在教学时，必须从学生角度出发，遵守教学的原则，在物理概念课的教学特点的基础上，结合学生的学习需求，创设教学情境，营造良好气氛，以激发学生学习的热情。此外，为了巩固所学知识，教师还需适当提出问题，引入数学概念，加深学生对知识的理解与记忆，从而促使高中数学教学任务有序完成。

参考文献：

[1]刘光训.新课标下高中数学概念教学的实践与研究[J].理科考试研究：高中版，2015，22（3）：55.

[2]周广胜.提升高中数学概念教学有效性的策略[J].教育界：基础教育研究，2015（7）：158.

[3]徐选军.浅谈新课标下高中数学概念的教学[J].新课程学习・下旬，2013，（6）：15.

高中数学集合的概念篇3

1当前高中数学概念教学的现状分析

1.1对数学概念的认识出现偏差

从我国当前高中数学概念教学的具体情况来看，在进行教学时，部分教?W受传统教学理念的影响，错误地认为数学概念的教学只是要求学生死记硬背，没有对数学概念的产生做出教学解释，导致学生只能背诵概念，不能理解概念，甚至是不会运用数学概念来解题，不利于学生进一步学习。

1.2教材版本较多，对概念处理缺乏统一标准

高中数学教材主要有人教A版、人教B版、江苏版和北师大版等版本，这些版本对概念处理缺乏统一标准，内容呈现方式与例题都不同，各自体现的处理教材方式与侧重点也不同，使得教师产生认识偏差，认为想怎么说就怎么说，导致概念教学具有随意性，增加了学生对知识理解的难度。

1.3教学时间紧迫

在高中数学概念教学中，较为常见的教学问题就是高中教学的时间紧迫，具体体现为高中学生需要面临高考压力，课程任务繁重，且教学时间十分有限，刨除法定节假日与复习时间，学生理解与运用知识的时间被缩短，加上部分教师过于注重学生数学题的练习，忽略对概念的传授，导致还未理解数学概念，就需要花费大量的时间来做题，造成学生的数学概念学习不扎实。

2基于新课标的高中数学概念教学的有效策略

2.1提出问题，引入概念

引进新概念的过程，也是培养学生探索问题、发现规律与总结归纳的过程。因此在进行高中数学概念的过程中，为了方便学生掌握与记忆，教师可讲解与概念有明显联系和典型的例子，让学生在对具体问题的体验中认识概念。例如在“异面直线”的数学概念教学中，以往的教学方式都是先讲解异面直线公垂线的概念，然后指出两垂直之间的线段长就是两条异面直线的距离，不利于学生理解、掌握。这时教师可先讲解概念产生的背景，将长方体模型与图形展示出来，让学生找出两条既不平行，也不相交的直线，并告诉学生像这样的两条直线就是异面直线，紧接着提问：“什么是异面直线？它们之间的距离有什么特点？”让学生进行讨论、叙述，将讨论的结果说出来：将不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。然后让学生找出教室内或者是长方体中的异面直线，以平面作衬托画出异面直线的图形。通过这样的方式不仅能够训练学生的概括能力，还可让学生体验概念产生的过程。

2.2创设情境，营造气氛

数学概念课具有抽象性与概念性的特点，加上学生的思维与理解能力存在明显差距，如果教师仍沿用传统模式来教学，不仅不利于学生理解，还会影响到课堂教学进一步发展。因此在高中数学概念的教学过程中，应理论联系实际，结合教材内容与教学目标，创设教学情境，营造良好气氛，让学生参与到学习活动中，掌握所学知识。例如在“集合”的数学概念教学中，教师可创设教学情境：有位渔民非常喜欢数学，但是他怎么也弄不懂集合的意义，于是他请教了一名数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”由于集合属于一个不定义的概念，数学家无法回答渔民的问题。某天数学家来到渔民的船上，看到他撒下渔网，轻轻一拉，渔网中就有许多鱼虾在跳动。数学家十分激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”这样学生在脑海中就会建立一个由事物组成整体的概念，紧接着提出疑问：“班上身高为170cm的学生能组成集合，对吗？班上高个子男生能组成集合，对吗？1、2、3组成集合和3、1、2组成集合有区别吗？”让学生带着问题阅读课文，从而了解到一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就是集合。其元素有三大特性：确定性无序性与互异性。

2.3精心设计，强化巩固

概念作为数学思维的基础与精髓，概念的获得是学习数学的起点，而不是终点，引领学生体验、领悟隐藏在概念形成中的思想方法，并学会灵活运用数学思想方法，才是概念形成的核心。因此教师需要在学生形成数学概念的基础上，创新数学教材，精心设计数学例题，让学生尝试运用数学概念来解决问题，以巩固所学知识。例如在“椭圆”的数学概念教学中，教师应精心备课，将彗星运动轨道的图片展示出来，供学生观赏，并通过动画演示向学生说明椭圆的形成过程，让学生了解到在变化中的变与不变及其内在联系。然后提出疑问：“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆？为什么椭圆定义要满足呢？当时，运动轨迹是什么？当时，运动轨迹是什么？”，同时将课堂交给学生，让学生结合问题与课文知识点，将硬板纸、细线和铅笔拿出来，与同桌协同合作绘画出椭圆，通过反思、归纳，从而总结出：当时，是椭圆；当时，是线段；当时，轨迹不存在。

高中数学集合的概念篇4

关键词:概念 形成 发展 应用

概念是人们对事物本质的认识,逻辑思维的最基本单元和形式。从生动的直观到抽象的思维,形成一系列概念,这些概念的真理性又要返回实践中接受检验。如此循环往复,是人的认识日益接近于客观现实的一般途径。概念的最基本特征是它的抽象性和概括性。概念教学是中学数学中至关重要的一项内容,是基础知识和基本技能教学的核心,正确理解概念是学好数学的基础,学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差,概念不清往往是最直接的原因。高中数学中,概念的教学占有很重要的地位,而高中数学中的概念与小学初中的概念相比较更具有抽象性,如圆、平行四边形、梯形,都是小学课本中概念,它们形象直观,学生容易接受。而高中数学概念,比如单调性定义却有更高的抽象性,对于刚上高中的学生,理解起来有一定的困难。如果我们在教学中忽视了概念教学,很有可能使学生惧怕数学。因此做好高中的概念教学尤为重要。

一、要重视概念的形成过程

最初形成的概念,通常是作为对周围事物的感性经验的直接概括,并不具有很高的抽象性。高中的许多概念都是在问题情境中产生的,创设问题情境尤为重要,让学生在感知中去领会概念的形成过程,因为人们对于特定事物的本质的认识,即科学概念的内容,并不是单一的、无条件的,而是多方面的、有条件的。通过问题情境使学生产生思维冲突,激发求知欲望,也能对概念有更深刻的理解。如苏教版集合问题情境是:蓝蓝的天空中,一群鸟在欢快地飞翔;茫茫的草原上,一群羊在悠闲地走动;清清的湖水里,一群鱼在自由地游泳------。通过学生的想象,产生“群体”的概念,而这就是集合要研究的。再如函数的问题情境:事物都是运动变化着的,我们可以感受到它们的变化。早晨,太阳从东方冉冉升起;气温随时间在悄悄地改变;随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;中国的国内生产总值在逐年增长;------在这些变化着的现象中,都存在着两个变量。当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化。有问题情境而产生问题,培养学生兴趣,激发学习热情,探索的欲望。从形象,直观的问题上升到概括性,抽象的概念。符合人的认知规律,可做到事半功倍。知识问题来自生活,对生活的思考,是形成新的认识的基础,只有注重概念的形成过程,才能理解的透彻,培养能力。

二、概念定义要注意科学性

概念是在探索、研究、归纳出来的结论。是经过长期观察,充分的逻辑推理,概括出来的一般性结论。对概念的描述要简要,精炼,不可冗长,拖泥带水,对于书中的概念也不可私自更改语句,字词,否则概念很可能发生变化,是是而非。如人教版,2003年6月第一版高中数学课本第一册,集合定义是:一般地,某些指定的对象集在一起就成为了一个集合。而2007年6月第三版,苏教版高中数学集合定义是:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体集构成了一个集合。比较这两个定义,只有几个字不同,但后者定义更准确,科学。它体现了集合中元素的确定性、互异性、无序性。

三、帮助学生体会概念中的关键词

概念范围(外延)是指所有包括在这个概念中的事物,比如“白”的概念范围是所有白色的事物。范围相同的概念被称为是相当的,在逻辑研究中,尤其是在数学逻辑中相当的概念往往被看作是相同的。概念内容(内涵)包括所有一个组成该概念的事物的特性和关系。要想掌握,理解概念,我们就必须要从概念的本质出发,知道概念外延是指什么,内含是什么。

四、运用是理解概念的必要过程

概念总是随着人的实践和认识的发展,处于运动、变化和发展的过程中。这种发展的过程或是原有概念的内容逐步递加和累进,或是新旧概念的更替和变革。概念是人们用于认识和掌握自然现象之网的纽结,是认识过程中的阶段。由情境创设,归纳得出的概念,只是感性的知识到理性认识的第一步,还不能说是理解,掌握概念,这还需要一个过程,那就是把概念抽象出思维模式,培养出固定的逻辑思维,也是发展能力的基础。比如函数单调性的定义,作为学生,只是通过图像获取的直观理解,要想对学生内里产生推动力,就必须应用概念去解决问题。

五、注意概念与概念之间的联系,全面地掌握和理解概念

高中数学集合的概念篇5

函数是现代数学的主要研究对象，贯穿于初等教育、中等教育和高等教育各个阶段，在各种类型的教育教学过程中，函数都是最基础的数学概念之一，但大多数学生却不甚理解函数这个概念的内涵，常常是知其然，不知其所以然．请看下述三例: 例1设{fn(x)}是定义在R上的函数列，则建立如下映射，g:{fn(x)}→N，fn(x)∣→n，即n=g(fn(x))，该映射是函数吗?为什么? 例2设2003数本班全体学生构成集合A={s1，s2，…，sn}，集合B={(姓名，性别，籍贯，出生日期，政治面貌)}，则建立如下映射，h:A→B，学生∣→(姓名，性别，籍贯，出生日期，政治面貌)，该映射是函数吗?为什么? 例3f={(x，y)∣x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)∣x∈R，y∈R}，试问:f是函数吗?为什么? 下面，本人对函数概念进行整理和注解，希望对学生有所帮助，同时，权作同行交流探讨． 一、函数概念的介绍 1．产生阶段 16世纪，随着自然科学对物体运动研究的深入开展，尤其是对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，促使数学学科产生了变量和函数的概念．从这个意义上来讲，函数概念来源于现实生活，产生在人们对自然现象的不断探索过程之中，所以对函数概念的理解和把握，要充分尊重它的现实意义和实际应用． 2．发展阶段 (1)原始概念．“函数”这个数学术语首先是由德国数学家莱布尼兹提出来的，他定义的函数的含义是指关于曲线上的点的横坐标与纵坐标以及一些线段(如弦、切线、法线等)的长度．根据此函数定义，坐标、弦长和切线都是函数!显然非常模糊，且不具体，与我们现行的函数定义相差甚远． (2)第一次扩张．1748年，数学家欧拉将函数定义为:“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的．”1775年，欧拉又给出了函数的另一种定义:“如果某些变量，以这样一种方式依赖另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，那么前面变量称为后面变量的函数．”上述欧拉给出的函数的两个定义称之为解析的函数概念．例如x2+x+1，(x－2)2+y2，等等，这与现行的函数定义相差不多了，只要稍作修改为f(x)=x2+x+1;f(x，y)=(x－2)2+y2即可．见上述例1、例2、例3． (3)第二次扩张．欧拉在提出解析的函数概念的同时，给出了图像的函数概念:“在xOy平面上任意画出的曲线所确定了的x，y之间的关系．” (4)第三次扩张．1837年，德国数学家狄里赫莱进一步给出了函数的定义:“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫做x的函数．”黎曼也给出了类似的定义:“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称作是x的函数．”上述函数的两个定义称之为对应关系的函数概念． (5)近、现代函数的定义．在近、现代数学中，函数的概念又有了进一步的发展，建立在“集合”和“对应”这两个基本概念的基础之上，其定义为:集合到集合的单值对应．即非空集合间的映射叫做函数．记作f:A→B，x∣→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函数的定义域，f叫做函数的对应法则，f(A)叫做函数的值域． 二、函数概念的注解 现行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中，对函数概念的定义不外乎两种，其一是变量的函数观点，其定义为:“设在某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一的确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数，x叫做自变量．”这在中学数学课本中，非常普遍，也比较流行．其二是对应的观点，其定义为:“非空数集间的映射叫做函数．”但无论是哪一种定义，都比较狭隘，非常局限，会误导学生，特别是对学生今后的数学学习造成隐患，有必要对其进行探究和解释说明． 1．修订 对于定义“设在某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一的确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数，x叫做自变量．”把函数定义为变量，显然与高等数学中映射的观点不相符，给大学阶段的数学教学埋下了隐患．而定义“集合到集合的单值对应．即非空集合间的映射叫做函数．”当然也是有问题的．一是何谓单值?集合中的元素一定是“值”吗?二是何谓单值对应?把现行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中函数概念定义为:“非空集合间的映射叫做函数．”记作f:A→B，x∣→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函数的定义域，f叫做函数的对应法则，f(A)叫做函数的值域．强调函数是集合间的一种关系，一种特殊的关系!这样，既便于学生理解，又与今后数学的学习不矛盾． 2．注释说明 (1)当A，B都是数集时，f就是现行各种教材中函数的定义．其中A，B可以是无限集，也可以是有限集． 例4y=f(x)=2x+3，x∈R． (2)当A，B不都是数集，或都不是数集时，f仍然是集合A到集合B的函数．请看下面的例子: 例5集合点名．叫“张三”，就有一个名字叫张三的人答应(假设集合中名字叫张三的人唯一)，这就是名字集到人集的映射，当然是函数，而且是非数集到非数集的函数!根据概率的定义，“随机事件A发生可能性大小的度量(数值)，称为A发生的概率，记作P(A)．”其实质是事件域T到无限集［0，1］的映射，是函数!因而才有概率的公理化定义:“概率是定义在事件域T上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数．”#p#分页标题#e# 例6抛掷两枚完全一样的硬币，观察其正面(国徽)朝上的情况，结果有且只有四种情况:正正，反反，正反，反正，分别用A，B，C，D表示，由概率论的知识可知，P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=14．这样就建立基本事件集合F到数集B=1{}4的一个函数关系． (3)对应关系的函数的定义．在上述“修订”中，函数的概念比较容易理解，但其中涉及“对应”这个基本概念，何为“对应”?不明确，不具体，为了避免之，下面给出关系的函数概念:“设f是集合X与集合Y的关系，即f?X×Y={(x，y)∣x∈X，y∈Y}，若(x1，y1)∈f，(x1，y2)∈f，则y1=y2，那么称f是集合X到集合Y的函数．”比较难理解!由此定义可知，函数是直积X×Y的一个子集合，是一个集合!你想象得到吗?请看下例: 例7f={(x，y)∣x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)∣x∈R，y∈R}，即是我们常见的余弦函数y=cosx，x∈R． 3．函数亚悖论 由上述(3)中关系的函数的定义可知，第一，函数其实是一个集合!而函数是集合间的一种特殊关系，这显然是矛盾的．第二，既然函数是一个集合f，那么就可以定义所有函数构成的集合———函数集A，也可以定义一个在A上的函数，即定义在函数上的函数!这显然也是矛盾的，不符合逻辑．雷同于集合的罗素悖论，这是一个函数悖论，我们就把它称之为函数亚悖论．请看下面两例: 例8g:f→D，其中f同上，D={满射，单射}．h:f→D，其中f是所有函数构成的集合，D={满射，单射}．显然，g，h也是函数，当然有h∈D，而这是罗素悖论的一个翻版!我们姑且说是函数概念的亚悖论． 例9已知集合A={1，2，3}，则集合A的子集集合为F={?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}，我们可以建立F到集合A的子集的基数集合{0，1，2，3}的一个关系，且也是函数关系． 显然，这是集合集到非空数集间的函数关系!超出了函数定义的范畴，所以，类似于罗素悖论的处理办法，我们不讨论定义在所有函数构成的集合上的函数.

高中数学集合的概念篇6

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。

依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

学法：四、教学程序

一、课程导入

通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

二.新课讲授：

（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：ab，及原像和像的定义。强调指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从a到b的对应是否为映射的关键是看a中的任意一个元素通过对应法则f在b中是否有唯一确定的元素与之对应。

（2）巩固练习课本52页第八题。

此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设a、b是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得a中的任何一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及从a到b的对应法则f），并说明把函f：ab记为y=f（x），其中自变量x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈a}叫做函数的值域。

并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：

2.函数是非空数集到非空数集的映射。

3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

5.集合a中的数的任意性，集合b中数的唯一性。

6.“f：ab”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域a（要优先），值域c（上函数值的集合且c∈b）。

三.讲解例题

例1.问y=1（x∈a）是不是函数？

解：y=1可以化为y=0*x+1

画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。

四.课时小结：

1.映射的定义。

2.函数的近代定义。

3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

4.函数近代定义的五大注意点。

五.课后作业及板书设计

书本p51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。

函数（一）

一、映射：2.函数近代定义：例题练习

高中数学集合的概念篇7

【关键词】函数概念；函数定义；定义域；值域；对应法则

在中学数学中函数概念是整个数学的一个核心概念，学习函数对于学生的思维能力的发展具有重要意义，而中学生对于函数概念的理解和学习却感到非常困难。本文作者是一位高三学生，笔者根据函数概念的发展历史和自身理解来学习近代函数概念的三要素：定义域、值域和对应法则，并以近年来高考函数例题进行解答。

一、函数概念历史进程

从17世纪至20世纪上叶，函数概念经历了漫长的演进过程，在此过程中笔者对诸多数学家们给出的各种定义进行简述和总结。在函授概念传统定义中数学家提出最多的是变量对应角度的定义，代表人物德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet， 1805―1859）；除了变量对应角度的定义还有集合对应关系的定义，代表人物法国数学家坦纳里（J. Tannery， 1848―1910））；映射的定义，代表人物德国数学家戴德金（R. Dedekind， 1831―1916）；解析式的定义，代表人物瑞士数学家约翰・伯努利（John Bernoulli， 1667―1748）；运算的定义，代表人物17世纪苏格兰数学家格雷戈里（J. Gregory， 1638―1675）；变量的依赖关系的定义，代表人物法国数学家柯西（A. Cauchy， 1789―1857）；最后是曲线或图象定义，代表人物数学家欧拉、拉克洛瓦（S.F. Lacroix， 1765―1843）。从上述定义的代表数学家，笔者认为17世纪后函授概念的演进过程是运算―解析式―变量的依赖关系或对应关系―集合的对应关系或映射。

二、近代函数定义

传统函数定义是设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，与y值对应的值叫函数值。

例题一：正比例函数y=4x；解析：对于x的每一个实数y，都有唯一的实数与它对应y，x是的4倍；非空数集A、B是实数集R，对应关系f是乘4。

近代函数定义是设A，B，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）。其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。

例题二：反比例函数y=；解析：对于不等于0的每个实数，都有与其对应惟一的实数，y是x的倒数；非空集合A是不等于0的全体实数组成的集合{x∈R|x≠0}，非空集合B可以是实数集R（只要包含集合{y|y≠0}即可），对应关系f是求倒数。

由以上两例题笔者认为初等函数定义与近代函数定义其本质上是相同的，只叙述上的出发点是不相同的，传统函数定义是从运动变化的观点出发，而近代函数定义是从集合的观点出发。函数的实质都是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的对应。

三、近代函数定义的三个要素

笔者在初中的时候主要学习了函数的初等定义、一次函数、二次函数、反比例函数；到了高中还要学习函数的近代定义以及对数函数、指数函数等更多函数。因为不管是初中的一次函数还是高中的对数函数都是属于函数，并且具备共同特征，所以笔者认为函数概念的学习非常重要。

1.近代函数定义三要素的概念。学习近代函数定义主要掌握近代函数的三个要素：定义域（A）、值域（C）和对应法则（f）。定义域是自变量x的取值范围，是构成函数主要的组成部分。值域C是集合B的子集；集合B中包含了与任意x相对应的y值，还会包含其它数值，所以集合B包含集合C。函数的定义域A和对应法则f来确定函数的值域。

例题三：对应法则f就是集合A到集合B的函数吗？

解：不是，集合A、B以及对应法则f一起称为集合A到集合B的函数

2.近代函数定义三要素的三点说明：第一定义域不同，两个函数不同；如第二对应法则不同，两个函数不同；第三定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则。

例题四：f（x）=4x+2与g（t）=4t+2是同一函数吗？

解：是的，f（x）=4x+2与g（t）=4t+2定义域都是是4，值域和对应法则都是相同的，所以是同一函数。

注意：函数是两个数集之间的对应关系，任何字母来表示自变量、因变量以及对应关系都不影响两个函数是同一函数。

四、结论

对于所有学生来说理解和学习函数概念是中学数学的学习重点，同时也是学习难点。在初中学习函数概念一般采用“变量说”，而在高中学习函数概念一般采用“对应说”，笔者人物它的学习不仅是要掌握和理解函数概念的初等定义和近代定义，还要将实际生活与数学知识有机的结合起来，才能为今后打下良好的学习基础；才能灵活地解决其函数知识的多变问题，才能提高自身的数学素养和应用数学的能力。

【参考文献】

[1]任明俊，汪晓勤.中学生对函数概念的理解.历史相似性研究[J].数学教育学报，2007（11）

[2]谈雅琴.中学生对函数概念的理解[D].华东师范大学，2006

高中数学集合的概念篇8

关键词：高中数学 数学概念 教学

数学概念是数学研究的起点，数学研究的对象是通过概念来确定的，离开了概念，数学也就不再是数学了。所以对高中数学而言，概念显得尤其重要，由于许多概念的教学是高中数学教学的难点，所以对概念的教学的研究是高中数学教学最重要的课题之一。

一、概念的引入

概念的引入是概念教学的第一步，这一步如何做，将直接关系到学生对概念的理解和掌握。一般我们可以采用如下一些引入的方法。

（一）以实际问题引入概念

数学概念来源于实践，又服务于实践．从实际问题出发引入概念，使得抽象的数学概念贴近生活，使学生易于接受，还可以让学生认识数学概念的实际意义，增强数学的应用意识。例如可从教室内墙面与地面相交，且二面角是直角的实际问题引入“两个平面互相垂直”的概念。再如可从某商场促销，根据无雨和有雨的概率以及相应的在商场外和商场内促销带来的损失或盈利情况，如何选择促销方式的实际问题引入“离散型随机变量的期望”。

（二）利用学生已有的知识经验引入概念

利用已学知识和经验，对新概念大胆猜想．如在“异面直线距离”的概念教学时，不妨先让学生回顾学过的有关距离的概念，如两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离，引导学生发现这些距离的共同特点是最短与垂直。经过探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在。在此基础上，自然地得到“异面直线距离”的概念．在引入过程中调动了学生积极性，培养了勇于发现，大胆猜想的精神。

（三）通过学生实验引入概念

学生动手实验，可在学生脑海中留下深刻印象。如讲椭圆概念时，可让学生每人准备一块纸板，一条细绳，两个钉子，教师指导学生固定钉子在纸板的不同位置，然后让绳子长度大于两钉子之间的距离，同时用铅笔挑动绳子画线，最终可以得到椭圆。然后再改变绳子长度分别等于、小于两钉子间的距离，画图。在此基础上，学生可根据画图过程归纳椭圆的概念。这样学生不知不觉地从具体到抽象，由感性认识逐步上升为了理性认识，同样由学生亲自实验，然后归纳概念的方法也可用于双曲线和抛物线的概念教学。

二、概念的理解

概念的理解是概念教学的中心环节，它以学生能否真正掌握概念的内涵，然后根据内涵去确定概念的外延为理解的标准。

（一）利用不同的例子突出概念的本质属性

对概念本质属性的认识，是理解和鉴别对象是否概念所反映的事物的前提，对本质属性理解不清，就会在运用时出现混乱。因此在概念教学时，我们可以通过例子让学生辨别，使对概念本质属性的认识清晰化。如集合的表示法一直是高一新生很长一段时间难以掌握的，甚至到了高二、高三还经常写错，主要原因是对集合表示法的概念没有深刻、全面的理解。针对这个问题，我们可以举出下列问题，让学生讨论。

例1：判断下列命题的真假

A．实数集={R}；

B．R={实数}；

C．(-1，1)={(-1，1)}；

D．{(x-1)(x+1)=0}={-1，1}．

（二）列举反例进一步理解概念的本质属性

为进一步理解概念的本质属性，从正反两方面进行概念教学是理解概念行之有效的方法，为了使学生进一步理解数学概念的内涵，应重视用反例的方法。如反函数是一个难点概念，可以用以下例题来测试学生对反函数概念的掌握情况：

习正棱锥的概念后，可以提出如下问题并思考：①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）②底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）③各侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）这样对正棱锥的概念更清楚了。

（三）多层次、多方面地进行抽象概括

许多概念的理解不是一次完成的，要有一个长期反复的认识过程。概念的抽象概括也要多层次、多方面地进行，对于不同层次的学生应该提出不同的理解和运用要求。如集合的概念在义务教育阶段就由简单到复杂地出现了一些集合的问题，其实就是积累集合的感性认识，到了高中才将学生的感性认识上升到理性认识，但也是逐步完成的。尽管集合的概念经历了很长的学习过程，但是直到高中毕业许多学生对其理解还停留在将其看成是一个表达方式，如用来表示不等式的解、表示区间等，直到进入大学学生才逐步理解集合为现代数学的基础的问题在中学阶段认识不能一次完成的概念还有许多。

三、概念的深化巩固

概念的获得是一个艰巨的过程，在教学过程中，一旦学生获得了对概念的初步认识，也就是对概念有了一定的理解，便应通过各种方式来深化巩固概念，以便利用它们来“扩大”概念的系统。概念的巩固应该是一个强化的过程，因此应该采用相应的措施。数学建模不失一种好方法，建模思想指导下的概念教学，是将教学的重点定位在概念的形成过程。学生从教学过程中可以认识一个数学模型的产生过程，从而对数学研究问题的方法和途径有较好的认识，由此可以帮助学生认识数学的本质。

参考文献：

高中数学集合的概念篇9

关键词：高中数学中概念；引入；理解；深化

《普通高中数学课程标准》明确指出：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。”

一、注重高中数学概念的引入方式

采用不同的引入方式引起学生的学习兴趣和主动性，有利于学生掌握和理解概念。因此，教师要思考“怎样引入概念最好”。

1.以概念的原形引入

每个概念往往具有深刻的背景，它们有着各自的产生和发展。有些数学概念源于现实生活，是从生产、生活实际问题中抽象出来的，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设抽象与概括的情境，引导学生提炼数学概念的本质属性。

例.引入向量概念时。问题：给定两个点A、B，以A参照物如何描述B的位置？以上问题让学生自己探索、思考、议论，这时学生根据自己的生活经验，描述出B点是在A的前后左右东南西北等方位。因此，教师要研究数学概念的原形是什么？特别研究高中数学中的核心概念原形是什么？比如，集合、函数、概率、分布、斜率、曲线方程等核心概念的研究。

2.以概念的推广引入

高中数学有许多概念是学生原有知识的引申和推广，教师应思考设计情境，使学生一见如故，很熟悉又不知道的感觉。引进“任意角三角函数的定义”时，所以笔者这样引入：复习提问：说出初中学过那些三角函数及如何定义？提出问题：你能求出sin50°的值吗？任意角的三角函数如何定义？

3.以学生身边的实例引入

由实例引入的概念，反映了概念的物质性和现实性，一般由典型的实例让学生鉴别，然后抓住本质抽象概括一般的概念，培养学生从生活实例抽象出数学问题的能力。引入等比数列的概念时，课本提供大量的身边的实例。这类数学概念形成的问题情境创设一定要遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象，通过学生熟悉的实际例子，恰当地设计一些问题，让学生经过比较、分类、抽象等思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。

4.以学生的实验归纳引入

这类数学概念的形成一定要学生动手操作实验，仔细观察，并能根据需要适当变换角度来抓住问题的特征以解决问题。培养学生敏锐的观察力是解决这类问题的关键。除了真实的实验外，还可以充分利用现代教育技术设计一些仿真实验，实验的设计不能只是作为教师来演示的一种工具，而是要能由学生可以根据自己的思路进行动手操作的学具，让学生通过实际操作学会观察、学会发现。

二、理解概念

1.从文字上仔细领会

数学概念都是用文字叙述的且文字精练、简明、准确，所以对一些数学概念的辨析，简直需要“咬文嚼字”。这样一个问题：数列中从第二项起，每一项与前一项之差都是一个常数，则此数列称为等差数列。这句话是否正确？咋看起来，符合等差数列的定义，似乎是对的。但仔细一想就会发现问题，应该将“常数”改为同一个常数。在教学过程中，引导学生指出描述概念的关键词，在解决具体问题过程中体会关键词的作用，用彩色笔强调它，课堂小结反复强调它。

2.从多角度反复比较

对概念作进一步理解，还应该从正面和反面辨析比较。如，高中数学中的“角”在多种场合出现，有直线的倾斜角、异面直线所成的角、直线到直线的角、直线和平面所成的角、向量的夹角、二面角等。其实，有数学概念是相似的，需要我们在学习中加以比较、区别。

（三）从特例中认真验证

对概念的理解往往要遗忘特例的存在，所以，在学习概念时我们注意特例。

在教学“空集是任何集合的子集”时，设计这样问题：已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B■A，求实数m的范围。

学生容易遗忘“空集是任何集合的子集”这句话。这就是子集的一种特殊情况，切记！像这样的例子很多，需教师的思考和总结。

4.从限制中加深理解

对概念的理解产生偏差的常见病“忽略条件”。其实很多数学的概念是有条件的，如果忽略条件，就会曲解题意，造成错误。对概念的理解，一定要注意它的限制条件，在条件的允许范围内，来加以运用，这样才能算得快、准、好。

三、深化概念

1.加强一题多解，提升概念的深化

数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节。对数学概念的巩固，以及解题能力的形成是教学中的关键。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生概念的深化。

2.渗透数学思想方法，促进概念的深化

数学概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要依据数学思想方法，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而成。因此，教师应注意将在解决问题的过程中所涉及的数学思想方法显化，对解决问题的思维策略进行提炼，让学生学会思维，提高自我探索、发现创造的能力。

高中数学集合的概念篇10

一个概念的形成是螺旋式上升的，对新概念的教学不仅是对结果的记忆，更是对方法和过程的探究。在函数教学上，从概念的具体问题出发，从集合的概念引出函数是一种对应关系，进一步把握其实质。引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程。提出问题、观察归纳、概括抽象、拓展概念让学生充分经历了具体到抽象、特殊到一般、感性到理性、直观到严谨的知识再发现过程。教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者，创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，从而培养能力。

一、函数概念教学的过程

1.背景引入：用集合，对应语言定义函数问题。让学生举几个初中学过的函数的例子，通过举例回顾“变量说”。根据学生所举例子，引导他们分别用解析式、图表、格式表示对应关系的函数。

2.概括共同本质特征得到概念本质属性：让其他学生思考上面学生举出的例子是函数的例子吗？理由是什么？结合前面学过的集合，让学生试着用集合和对应的语言描述函数的概念，从而获得函数概念的新认识，最后归纳出准确的函数数学语言描述。

3.概念辨析，以实例为载体分析关键词：让学生分析函数概念的关键词有哪些？如何理解？

函数概念的核心是对应关系，两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，则对于数集A中的每一个x，数集B中都有唯一确定的y与它对应。这里的关键词是每一个，唯一确定，集合A，B及对应关系是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系。

4.用概念作判断，形成判断的基本规范：认识函数y=x2的定义域，值域，对应关系。让学生说出函数y=x3指的对应关系是什么？能用一个具体背景说明这一对应关系吗？

二、为了加强对函数概念的理解与巩固，对定义内涵的阐明

1.函数中x，y的对应变化关系：可以通过具体实例让学生体会变量间的对应关系，使所有的函数都有解析式，由此加深对函数“对应法则”的认识。

2.函数的实质：每一个x值，对应唯一的y值，可列举具体函数讲解：y=x2，y=2x，y=2都是函数，但x，y的对应关系不同，分别是二对一，一对一，多对一，加深学生对函数本质的认识，再通过几何画板画出图象来显示，并非随便一个图象都是函数图象，让学生加强对函数本质的认识，让学生充分体会函数图象上反映的函数的本质。给学生一个深刻、直观的认识。

3.定义域，值域，对应法则构成函数的三要素：三者缺一不可，特别要强调定义域的重要性，让学生比较函数y=2x，y=2x∈［-1，2］，y=2x（x∈N）是否是相同函数，分别求函数的值域，结合图象分析，强调解析式相同但定义域不同的函数不是相同函数。

三、运用函数概念进行判断常会出现的错误

概念的运用是概念教学的重要环节，它需要通过运用、沟通概念之间的各种联系，不断激活概念网络，使之不断扩展、修正、完善、发展，达到对概念的真正理解。学生运用函数概念进行判断时，经常会出现以下错误：

1.特殊代替本质。学生对解析式形式的函数奇偶性和单调性的认识比较深刻，但对于抽象函数的认识往往是薄弱的甚至是空白的。比如：已知x，y∈（-2，2），都有f（x）+f（y）=f（x+y），试判断函数的奇偶性，很多学生认为若函数f（x）满足f（x）=0，则函数为奇函数，还有学生认为在定义域内求特殊值使得f（x0）=-f（x0），则可判断函数的奇偶性，学生对函数奇偶性的理解还停留在具体的特征阶段，未上升到抽象本质概括阶段。

2.对概念外延把握不当，缺乏整体认识。比如在函数奇偶性的学习中，学生基本都会用f（x）与f（-x）的关系来判断，却常常忘记了函数的定义域关于原点对称，例如在判断函数f（x）=■+■的奇偶性时忽略了定义域的判断。

3.定义名称符号之间的本质联系不能准确把握。学生不知道概念名称所代表的实质内容和概念的形成过程，往往只是与某些具体的表征形式相联系，而不是概念本身，最典型的是学生对分段函数概念的理解，多数学生在初学阶段分不清分段函数是一个函数，还是几个函数，定义域是各段的并集还是交集，学生对分段函数定义的理解和运用确实是一个难点。

4.缺乏概念间的联系。学生缺乏已有概念间的联系，在建立有关新旧概念间的联系时，缺乏对新概念的理解。如高一中有这样一道题：在实数的原有运算中，定义新运算“？茌”如下：当a≥b时，a？茌b=a；当a＜b时，a？茌b=b2，则函数f（x）=（1？茌x）x-（2？茌x），x∈［-2，

2］，最大值为_____。难以在旧概念基础上建立新概念的理解。

在新教育理念的指引下，从理论高度审视了我们的教学，此