大学数学研究型教学理念及应用

［摘要］结合大学数学类课程在教学课程的基础属性，以及逻辑推理性强、理论抽象难懂、公式难懂不易理解的特点，以提高学生的学习效率、学习积极性、逻辑思维为目的，提出问题引入式、关联知识推导式、应用背景拓展式三种研究型教学模式的理念和应用方法，并以《概率论与数理统计》课程为例，说明三种教学模式在教学中的应用方法和取得的效果。

［关键词］研究型教学；问题引入式；关联知识推导式；应用背景拓展式

传统教学注重教师的传授，轻视学生参与研究；注重学习结果，轻视学习过程；注重书本知识，轻视学习实践；注重成绩，轻视素质。这种教学模式已无法适应如今大学生能力素质的培养要求。教育部《关于进一步加强高等学校本科教育工作的若干意见》大力倡导在本科教学中开展研究型教学。研究型教学是指在教学活动中，以教学课程和学生为中心，充分发挥学生的主观能动性，积极引导学生创新性地运用知识能力，发现问题，研究问题，解决问题，在探究和讨论中提炼知识，提高能力和素质的新式教学模式，是相对于传统教学传授知识模式而提出的一种教学方式。结合逻辑推理性强、理论抽象难懂、公式难懂的特点，从提高学生的学习效率、学习积极性、逻辑思维出发，探讨可用于大学数学类课程的研究型教学模式，同时以大学数学类课程中的《概率论与数理统计》为例，详细研讨三种研究型教学模式（冯静等，2015）[1]的教学实践和效果。《概率论与数理统计》是研究和揭示随机现象中数量规律的一门数学学科，其逻辑性和抽象性都很强，已被广泛应用到各个科学分支和国民经济生产中。课程内容包括第一章随机事件及其概率，第二章随机变量及其概率分布，第三章随机变量的数字特征，第四章多维随机变量，第五章大数定律与中心极限定理，第六章样本与抽样分布，第七章参数估计，第八章假设检验，第九章一元线性回归，是机械工程、管理科学、财会金融、计算机科学与技术等专业的重要基础课。该课程具有基础性、必备性、专业性，为理、工、金融、经济管理类本科生从事相关学科的研究奠定了扎实的理论和实践基础。这样一门应用广泛的课程如何在短短16周的教学实践中提高课程教学的效率和学生的学习效率？针对这一课程的特点，笔者在以往的教学实践中总结了问题引入式、关联知识推导式、应用背景拓展式三种研究型教学模式。

一、问题引入式教学模式

从课程知识结构来看，《概率论与数理统计》理论性强，内容涉及大量公式以及推导过程，这让不少学生产生畏难情绪和抵触心理。怎样引导学生正确面对这门课，怎样学好这门课，改变他们的畏难情绪和对这门课的枯燥、抵触感，是这门课推行研究型教学首先考虑的问题。因此，笔者提出并在教学实践中推行了问题引入式的教学模式（曲继方，2011）[2]，即在每一章节的开始认真选择合适的引例，该引例尽可能是一个现实中存在的真实问题或亟待解决的问题，引导学生对问题产生关注，并对解决问题产生兴趣，感受到概率与统计的实际应用能力。例如，在讲解条件概率时，必须要学习全概率公式和贝叶斯公式，我们引入了条件概率和无条件概率两个不同的引例，通过这两个问题明显看到无条件概率和条件概率的不同以及各自应用条件。带着这些对条件概率的认识再结合乘法公式，我们分别讲授两道不同的真实引例问题，引导学生逐步深入分析探讨，在逐步求解问题的过程中分别推导出全概率公式和贝叶斯公式，这样学生既参与了整个分析、解决问题的过程，也理解了全概率公式和贝叶斯公式的数学表达意义以及在实际中的应用。问题引入式教学模式在教学过程中既增加了问题的导向性，又增加了课程的趣味性。

二、关联知识推导式教学模式

《概率论与数理统计》课程的定义多，知识点多，每个教师的教学时间和学生的课余学习时间都是有限的，怎样在有限的时间里让学生尽快理解所讲授的学习内容是研究型教学（李得伟等，2009）[3]需要考虑的问题。课程的每个章节或整个课程的知识内容都是相关联的。因此，在每一章节的教学中，在抓住重点的同时可适当引入或回顾前几章节的知识内容，以达到触类旁通和关联启发的效果。因为我们总是习惯于使用已熟悉和理解的知识来解决未知的问题和难点，而利用已学习掌握的关联知识启发引导的教学过程可让学生进入真正的思考，进而“开窍”式地推导出相关问题的结论。这远比直接讲授的效果好，经过如此训练，学生也愿意参与教师的教学过程，课堂教学就“活”了起来。例如，在讲授二维随机变量函数的数学期望时，如果教师直接讲授课本内容，学生会感觉很突兀，为什么如此定义？为什么二维随机变量函数的数学期望是这样的？又如何应用？若按这样的方式讲授完毕，结果就是80%的学生听不懂或不得要领，学生在课后的习题解答时就难以入手。为此，我们可以设计一个关联式知识推导教学过程。例如，先回顾一维离散型随机变量的数学期望和一维连续性型随机变量的数学期望的定义，再写出两种不同类型一维随机变量函数的数学期望表达式。由此对比参照，我们适时给出二维随机变量函数的数学期望的定义，并用关联知识清楚地给出二维随机变量函数的数学期望表达式，整个过程前后知识关联，对比推导，思路清晰结果明了。不仅帮助学生理解知识点之间的关系，还让学生快速掌握知识点的应用条件和使用方法，同时也强化了学生关联推导的逻辑思维能力。

三、应用背景拓展式教学模式

数理统计虽只占《概率论与数理统计》的四个章节，但各章节的联系不多，内容相对独立，我们不能再沿用关联知识推导式的教学模式，而且对大多数学生而言，教材中的数理统计知识内容讲述过于理论化，给出的例题也较为抽象化，对学生的理解和掌握带来不便。数理统计的内容是《概率论与数理统计》课程不可或缺的部分，是否能够让学生深入理解和系统掌握这部分知识是研究型教学需要解决的重要问题。因而，在实践教学中我们提出了应用背景拓展式的教学模式（吴孟达等，2002；仉志余，2014）[4,5]。统计本身来源于生活，又应用于现实需求，数理统计在生活生产中无处不在，我们可充分利用这一事实基础，讲授统计知识点的实际应用背景以及如何实际应用，既讲授了知识又启发了学生。例如，在第六章样本与抽样分布中，我们可把样本选取这个生产生活现实问题作为讲授起点，由此延伸到统计量的选取及其概率分布，也就是抽样分布。每个知识点都有现实的应用背景，学生听起来不乏味也乐于参与教学过程。再例如，第七章参数估计中的区间估计是有别于点估计的，点估计通过一个样本值所得的估计值只能是未知参数的近似值，而不是真值，样本值不同所得的估计值也不同，那么估计值与真值究竟相差多大？真值究竟在估计值的什么范围内？能否通过样本找出一个区间，使得这个区间以一定的概率包含未知参数？这就是区间估计问题，理论是这样的，我们可举例实际的应用。比如，抽检某厂生产的滚珠，我们可求解滚珠直径的均值在不同置信度下的置信区间，从而直观地让学生快速掌握参数估计的要点和解决问题的思路。

问题引入式、关联知识推导式和应用背景拓展式三种研究型教学模式相辅相成又独立地为解决大学数学类课程教学中的理论抽象难懂、公式繁杂不易理解以及逻辑推理强、学生学习效率低的问题提供了新的思路。我们一直致力于让学生更好地学习、理解、掌握所学的知识，那就可发力于教学方式的研究和发展，使他们掌握学习方法，从而会学习、学得更好，不断进步；那就要从传统教学中注重传授、轻视学习模式中走出来，以学生的进步和发展为重点和核心，在实践教学中勇于探索更多更好的研究型教学模式。

［参考文献］

［1］冯静，潘正强，孙权，黄浩量.工科数学类课程三种研究型数学模式探索［J］.教育教学论坛，2015（4）:272-283.

［2］曲继方.研究性教学背景下教学方案创新设计［J］.教学研究，2011，34（2）:20-27.

［3］李得伟，张超，李海鹰.大学工科专业课程实施研究型教学的探讨［J］.高等教学研究，2009，26（2）:74-75.

［4］吴孟达，李志祥，宋松和.“基础打通、专业分流”教学模式下“数学分析”课程改革的几点尝试［J］.高等教学研究学报，2002，25（4）:61-62.

［5］仉志余.大学数学应用教程［M］.北京：北京大学出版社，2014.

作者:陈丽珍 李建利 单位:1.山西财经大学应用数学学院 2.太原学院