高中函数十篇

高中函数篇1

[关键词]二次函数 单调性 数学思维

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射:AB,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为(x)= ax2+ bx+c(a≠0),这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

类型I:已知(x)= 2x2+x+2,求(x+1)

这里不能把(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ:设(x+1)=x2-4x+1,求(x)

这个问题理解为,已知对应法则下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。

一般有两种方法:

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得(x)=x2-6x+6

(2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。

令t=x+1,则x=t-1 (t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而(x)= x2-6x+6

二、二次函数的单调性,最值与图象

在高中阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a]及[-b2a,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1 (2)y=|x2-1| (3)= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。

类型Ⅳ设(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并画出 y=g(t)的图象

解:(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

当t>1时,g(t)=(t)=t2-2t-1

当t

g(t)=t2-2, (t

-2,(0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。

三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ:设二次函数(x)=ax2+bx+c(a>0)方程(x)-x=0的两个根x1,x2满足0

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时,证明X

(Ⅱ)设函数(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0

解题思路:

本题要证明的是x

(Ⅰ)先证明x

因为00.至此,证得x

高中函数篇2

关键词：狄利克雷函数 性质 最小正周期 创新题型

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）03（c）-0083-01

我们知道在近几年的高考中，越来越重视对函数的理解。而狄利克雷函数正是完全建立在主观意义上的函数，所以值得我们细细研究。

狄利克雷函数具体形式如下：

从直观上讲，狄利克雷函数可以看做两条极不平滑的直线。

狄利克雷函数具有以下几个性质：（1）解析式不可写。（2）图像不可画。（3）没有有关的实际背景作为参考。从以上特点看出，狄利克雷函数完全是“人工”的函数，对整个数学的逻辑严密性，起到至关重要的作用。

这个函数有如下基本性质：

（1）周期性。

任何的非零有理数都是这个函数的周期。也就是说，此函数没有最小正周期。

（2）奇偶性。

是偶函数。

（3）单调性。

给出下列三个命题：

①函数是偶函数；

②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；

③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形。

其中，所有真命题的序号是―――――――――。

这道题属于创新题型，第一问十分简单，结果是1，我们看第二问，偶函数十分明显，关键是能不能构成等腰三角形，通过分析，根据函数的性质，同一点的函数值不能有两个，我们知道此等腰三角形如果存在，一定底边在x轴上，且底边长为2，即底边上的两个顶点距离为2且都为有理数。因为两个有理数的中点坐标还是有理数，所以中点的函数值仍为0，不能构成等腰直角三角形，排除②。

对于③，利用②类似的方法，发现存在这样的菱形，答案为①③。

1 与圆锥曲线选择填空题相结合

解析：

分析以上图像，当时，是椭圆上的点，当时，图像是上的点。直线与椭圆的交点横坐标是无理数，所以光线直接穿过椭圆壁，光线继续往上走，因为与的交点横坐标仍为无理数，光线直接穿过函数图像，无法反弹回到A点。

2 与数列相结合

3 与复合函数相结合

解析：由于，所以函数与x轴有两个交点，且。所以一定有两个相距1的根，即有两个有理根或者无理根。当有两个有理根时，做多有4个根，所以答案选D。

从以上例题中，我们看出，狄利克雷的变形函数可以作外衣，实现对高考主干知识的考察。随着创新题型的逐渐发展，狄利克雷变形函数很有可能更多的出现在模拟考试，甚至是高考当中。

参考文献

高中函数篇3

一、弄清基本问题，讲清概念

学生对所学的知识可以说是人生第一次接触，理解程度和经验都不够，所以遗忘率很高.很多教师常说，这个题目或这类题，我已讲过两三次，很多学生还是做错，真没劲！其实，是我们想当然地把学生高估了！有谁会想到学生因计算1n1，1n2，1n3而感到困惑呢？有的甚至连1n，1nx和区间都弄不清.有个学生在问卷中写道：“把学生当成去教的老师才是好老师.我理解老师，但我不希望老师赶教学进度，进度赶上了又怎样？我们稀里糊涂，一点信心也没有，每次考试都不合格！”学生连基本的东西都不懂，又怎么去读题、解题？概念是思维的出发点，理解概念的形成过程，对理解概念的定义很有帮助，理解概念是一切教学活动的基础.概念不清就无法进一步开展其他教学活动.数学概念的教学，不应仅仅是“一个定义，几项注意”，更不能以解题教学来代替，而应重视概念的构建过程.要以学生已有的知识为教学起点，在概念的引入、表述、性质和应用的教学中，舍得花时间，精心设计教学环节，为学生提供思考、探究、交流的机会，努力引导学生实现从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从感性到理性的飞跃，并逐渐学会运用文字表述、图形或图像、数学式子正确地表述概念的本质属性．

二、重视学生的亲身体验

在课堂上让学生亲身去体验，会收到意想不到的效果．如对于《方程的根与函数的零点》一节的例题“求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数”的教学中，我们应作一些铺垫：已知f（x）=lnx+2x-6，求f（1），f（2），

f（3），f（4）的值，函数有零点吗？如果有，在什么范围内呢？在讲完例题后，问：“同学们，你们能改变例题的叙述而使题目的实质不变吗？”这样可以让学生巩固方程的根、函数的图像与轴交点、函数的零点三者的关系，锻炼学生的口头表达能力，活跃课堂气氛，增进相互交流.在讲解几何法解例题时，先让学生在同一平面直角坐标系中画出函数g（x）=lnx和?渍（x）=-2x+6的图像，设图像交点为A（x0，y0），引导学生得出y0=g（x0）=lnx0，y0=?渍（x0）=

-2x0+6从而lnx0=-2x0+6，即lnx0+2x0-6=0①.可见x0是方程①的根，而方程①的相应函数是f（x）=lnx+2x-6，所以x0是函数的零点，也是函数

f（x）的图像与x轴交点的横坐标.这样逆向性思维的剖析，既可以让学生亲身体验，又降低了难度，只要及时训练一道类似的题目，对学生的解答加以点评，对学生中具有代表性的错误，师生来一个共同讨论，分析错误的成因，能让课堂的互动性增强，课堂教学效果会更好.

三、创设情境，激发学生的求知欲

在教学过程中挖掘素材，创设有效情境，激发学生的求知欲，是有效教学不可缺少的做法.如在《方程的根与函数的零点》一节的教学中，如果要向学生介绍几何法解例1，可以创设如下情境：同学们，现在老师想和大家就例1的题型，来个解题比赛，看谁又快又准，加油啊！①求函数f（x）=lgx+x-2的零点个数，②求函数g（x）=lnx-x+3的零点个数，③求函数?渍（x）=-2x-x-4的零点个数.由于老师很快说出答案，学生肯定不服气：题目是老师您出的，早知道答案了.老师说：就这些类型，随便你们出题.学生见老师答得那么快，就会说：有规律的！老师（微笑）说：想不想知道原因？学生齐声说：想！在这样的情境下，按上面介绍的逆向性思维剖析的办法来讲解几何法解例1一定会更有效！

高中函数篇4

【摘 要】高中数学新课程中函数的教学，应整体把握函数的内容与要求，不断加深学生对函数思想的理解；关注认识函数的三个维度，引导学生全面理解函数的本质；重视函数模型的作用；揭示函数与其他内容的内在联系；突出重点，淡化细枝末节的内容和单纯技能技巧的训练。

关键词 高中数学新课程；函数；设计思路

一、高中数学新课程中的函数设计思路

(一)把函数作为一条主线

高中数学新课程中分层设置了函数概念、具体函数模型、函数应用、研究函数的方法四方面的内容。在必修数学中设置了函数概念，指数函数、对数函数、简单幂函数、三角函数、分段函数、数列等具体函数模型及其应用，研究函数的初等方法等内容；选修数学中设置了研究函数的分析方法(导数)等内容；函数的应用以及函数的思想方法贯穿于相关数学内容之中。例如:必修数学中运用函数思想方法处理方程、不等式、线性规划、数列、算法，运用函数解决优化问题，刻画随机变量及其分布问题等。这种设置方式就体现了“以函数为纲”的思想以及函数的统领作用。

(二)突出背景，从特殊到一般引入函数

高中数学新课程中，在引人函数概念和具体函数模型时，都注重函数的实际背景，通过对实际背景中的具体函数关系的分析，归纳、抽象出函数概念和函数模型。高中阶段函数概念的引人，一般有两种方法，一种是先学习映射，再学习函数，即从一般到特殊的方法；另一种是通过具体函数实例的分析，归纳总结出数集之间的一种特殊对应关系—函数，即从特殊到一般的方法。例如，对于函数概念，先引导学生梳理已经掌握的具体函数(如，初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数、简单分段函数等)，通过分析这些具体函数的特征，构建函数的一般概念，再由函数概念抽象出映射概念。

(三)提倡运用信息技术研究函数

运用信息技术可以呈现函数的直观图像，迅速精确地实施函数运算，通过函数图像和函数运算，可以帮助学生加深对函数所表示的变化规律的理解。信息技术还为运用函数模型解决问题提供了便利。高中数学新课程提倡运用信息技术研究函数。

二、高中数学新课程中函数教学建议

(一)整体把握函数的内容与要求，在与函数有关的内容的教学进程中不断加深学生对函数思想的理解。

函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念，在这个概念下可以派生出许多不同层次的具体函数。学生对于这种多层次的抽象概念的理解是需要时间和经验积累的，需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，灵活运用。因此，函数教学应整体设计，分步实施。教师应整体规划整个高中阶段函数的教学，对函数教学有一个整体的全面的设计，明确不同时段、不同内容中学生对函数理解应达到的程度，在与函数有关的内容的教学进程中，通过运用函数不断加深学生对函数思想的理解。

(二)关注认识函数的三个维度，引导学生全面理解函数的本质

第一，函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，即变量说。在现实生活和其他学科中，存在着大量的变量和变量之间的依赖关系。例如:邮局收取邮资时，邮资(变量)随着邮件的重量(变量)的变化而变化。这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。基于这种认识，就可以用函数来表示和刻画自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角，也是数学联系实际的基础。

第二，函数是连接两类对象的桥梁，即映射说。对函数的这种认识反映了数学中的一种基本思想，在数学的后续学习中具有基础作用。数学中的许多重要概念都是这种认识的推广和拓展。例如，代数学中的同构、同态是构架两个代数结构的桥梁，拓扑学中的同胚也是构架两个拓扑结构的桥梁等。

第三，函数是“图形”，即关系说。函数关系是平面上点的集合，因而可以看做平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的变化、曲线的性质。基于这种认识，函数可以看做数形结合的载体之一。实际上，解析几何、向量几何、函数是高中数学课程中数形结合的三个主要载体。

(三)重视函数模型的作用，帮助学生在头脑中“留住”一批函数模型

理解函数的一个重要方法，就是在头脑中“留住”一批具体函数的模型。那些优秀的数学工作者，对于每一个抽象的数学概念，在他们的头脑中都会有一批具体的“模型”。这是很好的数学学习的习惯。高中数学课程中有许多基本函数模型，高中数学教学的重要任务之一就是把这些基本函数模型留在学生头脑中，这些模型是理解函数和思考其他函数问题的基础。在教学中，对于上述基本函数模型应有一个全面的设计，要帮助学生在头脑中留下三方面的东西:第一，背景，即要熟悉这些函数模型的实际背景，从实际背景的角度把握函数；第二，图像，即从几何直观的角度把握函数；第三，基本变化，即从代数的角度把握函数的变化情况。只有在学生头脑中“留住”这样一批具体的函数模型，才能逐步实现对函数本质的理解，并灵活运用函数思考和解决问题。

（四）揭示函数与其他内容的内在联系，强化学生对函数思想的认识函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数图像与轴交点的横坐标，解方程 就是求函数 的零点的横坐标，从而，解方程问题可以归结为研究函数局部性质的问题，即研究函数图像与x轴的交点问题。这样，如果一个函数在闭区间[a,b]，习上连续，且端点函数值异号，即 ，则就可以运用二分法求方程的近似解。还可以用切线法(函数 在闭区间有一阶导数)、割线法(函数 在闭区间有二阶导数)等求方程的近似解。

在坐标系中，函数 的图像把横坐标轴分成若干区域。一部分是函数值等于0的区域，即 ；另一部分是函数值大于0的区域，即 ；再一部分是函数值小于0的区域，即 。用函数的观点看，解不等式就是确定使函数 的图像在x轴上方或下方的的x区域。这样，就可以先确定函数图像与x轴的交点(方程 的解)，再根据函数的图像来求解不等式。

参考文献

[1]李昌官.高中数学“导研式教学”研究与实践[J].课程·教材·教法,2013(2).

[2]潘敬贞.高中数学多媒体课件设计策略[J].中国教育信息化,2012(6).

高中函数篇5

【关键词】二次函数；高中数学；函数关系

初三级教材对二次函数有了基本的介绍，但是由于学习任务的划分，初中阶段并没有要求对二次函数的应用。在以函数为主导高中数学中，二次函数占了很大的比重，高中数学任务强调知识的运用能力，这也就要求高中生对二次函数有更深入的了解，对二次函数的解答和模型建立都有详细的概念和较好的运用能力。

一、二次函数的定义

初中课本中界定，主要从函数关系上说明二次函数：一般来说，如果自变量x和因变量y之间存在着如下关系：均为常数，且，我们就称x是y的一元二次函数。但是高中数学从映射观点上重新解释二次函数：二次函数就是从一个结合A（定义域）到另一个集合B（值域）上的一个映射f：AB，使得集合B中的元素均为常数，且与集合A的元素X一一对应，用函数表示为：为常数，且其中为对应法则，又表示定义域中元素X的象。

二、二次函数定义域和值域问题

定义域和值域问题是二次函数中比较简单的求解问题。

定义域就是函数关系中的自变量的取值范围，如果没有要求，就要根据情况进行自己选定，一般情况下都去全体实数，遇到实际问题模型是，要可以根据问题进行取舍，比如说向实际的生产运输问题，这类要求是x≥0。有时，定义域的取值是间断的几段曲线，比如|x|>2，这是解答时要特别注意端点的取舍问题，有时候我们所得到的解就在端点，但是一个等号的取舍不当可能断送一道题目。求解定义域时，解尽可能写成集合形式，从小到大依次书写，这也可以降低解函数表达式不完整的情况。

值域就是的对应y的取值，在高中数学中，值域的考察还是相当多，值域特别注意的极值问题，在值域计算中，要注意断点和端点的。一般求值域的方法是找到全部的端点和极值点，分别求出对应的数值，同时准确判断出各个点之间的单调性，这样可以罗列出一组取值范围，在这些值中找到连续段和孤立点，然后进行解的集合组合。

三、二次函数单调性和最值问题

单调性就是指函数在某个区间段中呈现出的变化趋势，单调性的求解用来判断函数的最大值或者最小值，也可以用来判断实际函数模型的生产关系。在高中数学中，直接求解单调性的问题不多，大都是通过单调性的判断，进行相关最值、极值的计算。

最值问题是高中数学函数重要的部分之一，最值的求方式有很多，主要有画图法、配方法、因式分解法、到导数分析法，在具体问题分析时，要根据题设要求，选择最简单可行的方法。

四、二次函数的应用

【参考文献】

[1]王刚.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].科技视界，2012，（13）.

[2]张丹文.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].学周刊：A，2012，（6）.

高中函数篇6

关键词：二次函数 中数学 应用

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）06（c）-0219-01

最早接触二次函数是在初中，受学习能力的限制，学生初步学次函数的掌握程度较低，不能将学到的理论充分运用到高中知识里。高中数学阶段二次函数极其重要，想要完全掌握并且运用的炉火纯青就必须从基础一点点抓起，循序渐进做到得心应手。

1 二次函数的基本知识点

通常判断一个函数是不是二次函数，首先观察它的表达式，形如其中a不等于零。这个是它的一般表达式，另外常用的它还有顶点式跟交点式这两种，比如f（x）=2（x-1）（x-4）这个是交点式，1跟4分别是函数跟x轴的两个交点。

1.1 利用表达式透露出的知识点

函数表达式中的abc这三个参数决定了函数的性质，二次函数的曲线是抛物线，以x=-b/2a对称轴，以（-b/2a，（4ac-bb）/4a）为定点的坐标，还可以根据函数二次项参数a的正负来判断曲线的开口方向，当参数a为正数时向上参数a为负数时向下。函数的判别式为m=bb-4ac，通过判别式中m的符号断定曲线跟横轴的交点个数，m为正时是两个交点，m为负时是没有交点，m为零时是一个交点，也就是两个交点重合，曲线相切于横轴。抛物线的这几方面能够有效地帮助学生学次函数，加深理解跟背诵。

利用上面所说到的知识点，学生们可以轻松地解决一些简单的计算题，比如函数是二次函数，给出函数跟横轴的交点，我们就可以利用待定系数法求出函数的确切表达式。

1.2 二次函数的单调性

单调性的大体概念跟含义我们在初中数学中已经接触到了，但当时并没有经过严格的科学性的定义跟论证，高中数学二次函数的学习给单调性做出了一个有理论依据做基础的解释。二次函数的单调性是分两部分的，这两部分以抛物线的对称轴为界限，一边单调递增，而另一边就会单调递减。学生在学习过程中，对于自变量有范围，判断起来比较困难的分段函数，结合图形分析给人以直观性，是一种很好的方法。

1.3 二次函数的极值特性

已经提到二次函数的图像是抛物线，那么对于不限定自变量范围的函数，对称轴处的函数值便是函数的最大值或者最小值。学生要把函数的基础知识熟记于心，这样做起题来才能如鱼得水。例如：假设二次函数f（x）=3xx-12x+10，它在[a，a+1]上存在最小值，并且是g（a）。要求：得出g（a）的表达式。

解析：f（x）=3xx-12x+10=3（x-2）（x-2）-2所以容易看出函数在自变量x的值是2时得到最小值-2。当2在[a，a+1]这个区间内时最小值g（a）为-2，此时a在[1，2]这个区间中；当a大于2时，g（a）=f（a）=3aa-12a+10；当a小于1时，g（a）=f（a+1）=3aa-6a+4。通过上面的分析计算得出结论。

想要正确得到这个题的结果，必须充分理解二次函数的极值问题。二次函数一般情况下在自变量范围不限制时肯定只有一个最大值或者肯定只有一个最小值，但伴随着自变量定义域的改变，极值的情况也会发生改变。比如对称轴是x=2，自变量的定义域是[3-4]，那函数就在3处取得最小值，在4处取得最大值；倘若定义域是（2，5），那这个函数既没有最大值有没有最小值等等，不同的范围对应不同的情况，这样的例子不胜枚举。

2 二次函数的简单应用

2.1 与一元二次不等式接轨

中学数学的学习过程中，肯定接触到了一元二次不等式的内容。也就是根据一致的不等式求解范围。第一步首先看判别式。第二步把不等式暂且看做等式，求解出变量值。第三步是依据二次项正负判断开口，画出假想函数的大致图像。最后看图像找所要求的变量范围。第三步中的画图识图就是将二次函数的知识充分运用到求解不等式当中来，这一步是求解的关键。如果化简后的不等式是大于零，那么自变量的取值范围就选取图像上方的部分。如果化简后的不等式小于零，那么自变量的取值范围就选取图像下方的部分。另外要格外注意等于零的不为的选取与否，最后得到的不等式解集就是正确答案了。

2.2 与求函数的定义域、值域相融合

例如：已知函数y=lg（xx+2mx+2），求：如果函数的定义域是全部实数集，试得出m范围；如果值域是全部实数集，试得出m范围。

第一问：问题等价于xx+2mx+2恒大于零，得出m大于负根号2小于正根号2。

第二问：问题等价于xx+2mx+2大于零恒有解，得出m大于等于根号2或者m小于等于负根号2。

这样的问题最能迷惑学生的双眼，将学生的思维搞混乱，追根究底关键还是没能对所学的知识进行完全吸收。

2.3 结合映射跟函数

函数是一种映射，而二次函数作为函数的一种自然也属于映射，只是情况比较特殊。二次函数是一个不空的定义域到不空的值域的映射，两个之中的元素一一对应，并且没一个定义域中的元素只有一个值域中的元素相对应，而值域中的元素可以有两个定义域中的元素与之对应。这样在二次函数的作用下，学生更深刻、更深入地加深了对映射、对函数的理解，这种认识的明确，对解决遇到的难题大有帮助。

3 为加深二次函数的应用需注意几点

作为老师，在讲解二次函数时，要把基础知识放在首要地位。即使是一个小概念也要充分理解它的含义，对于给出的公式定理，首先了解，深入理解，然后学生自己完成公式的推导，定理的演示，然后结合联系进行巩固训练，熟记于心。最初学习，时间充沛，老师要多查阅资料查找由简单逐步到复杂的典型试题，来锻炼学生举一反三的能力。老师决不能为赶教学进度而马马虎虎，这样对学生高三的冲刺阶段形成很大的隐患。

充分掌握大多数学生学次函数的心理，来适当调节自己讲解的方法。

不建议死读书、读死书，要灵活记忆，灵活掌握每个要点。每堂课、每个小时分别给学生分配不同的任务，制定不同的学习目标，学习目标的明确能够极大极高学生学次函数的效率。

高中二次函数的题型复杂，内涵丰富，文章通过分析二次函数的基础知识点引出了它在高中数学教学其它知识上的完美应用，相信在更多的题目应用中学生能够更好的把握解题技巧。

参考文献

[1] 赵立国.浅谈二次函数的重要作用[J]. 考试（教研），2011（3）.

高中函数篇7

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

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一、函数与方程思想分析

首先，函数思想的核心在于：通过对函数关系中的相关图象、以及性质为出发点，展开对相关问题的分析.在具体的数学问题当中，主要可以将题目已知条件当中所给出的方程问题、以及不等式问题转换成为函数方面的问题.具体来说，通过自方程问题向函数问题的转化，可以通过对函数性质、图象的判定来为方程求解提供相关的条件支持.同时，实践教学中发现：对于题目当中所给出的不等式恒成立问题、超越不等式问题、以及求解方程根等相关问题而言，若能够实现对函数思想的合理应用，则对于简化操作步骤而言有着重要的意义.

其次，方程思想的核心在于：以函数关系为出发点，构造与函数关系所对应的方程表达式.进而，通过对所构造方程表达式的进一步分析，实现对相关问题的求解.具体来说，通过自函数问题向方程问题的转换，可以将常规意义上的y=f（x）函数转化成为方程表达式：f（x）-y=0.同时，在具体的实践操作过程当中，对于二元方程组的应用是最为普遍的.特别是对于涉及到函数值域、以及直线/圆锥曲线位置关系等问题的求解而言，通过对方程思想的应用，往往能够取得事半功倍的效果.

二、函数与方程求解案例分析

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摘 要：函数学习贯穿于整个高中阶段，对称性作为函数重要的性质之一，其学习难度较大。因此需要教师根据学生学习情况，掌握正确的函数对称性教学方法，才能提高我国高中学校的函数教学质量。本文立足于我国教学的实际，对高中数学函数对称性教学进行探讨。

关键词：高中数学函数；对称性；教学探讨

一、引言

数学是一门讲究逻辑思维的基础性学科，在整个高中数学教学中函数教学占据十分重要的位置。函数作为高中数学的一个重要模块，一直受到高中学校的重视。函数对称性是函数基本性质之一，由于函数本身较为抽象性，且运用难度比较大，学生难以很好的理解函数概念，导致学生在学习函数对称性相关知识时遇到困难，教师使用科学的教学方法进行教学有助于学生函数对称性知识的掌握，也有助于学生逻辑思维能力的提升。

二、高中函数对称性

（一）对称性概念与分类

理解函数概念是学习函数的基础，然而许多学生在学习函数对称性问题时往往忽略了对概念的解读。函数对称性指函数图像是轴对称或者中心对称图形。轴对称指的是函数图像沿着一条直线对折后，直线两侧的图形能够完全重合。该条直线也被称为对称轴；中心对称指函数图像沿着一个点旋转一百八十度后所得的图形与原图像能够完全重合。该点也被称为对称中心点。

常见的轴对称函数图像有一元二次函数，中心对称函数有反函数、正切函数、三次函数奇函数等。此外，有些函数图像既是轴对称又是中心对称，例如常数函数、一次函数、正弦函数等，还有一些函数就是轴Τ埔膊皇侵行亩猿坪数，典型的函数有指数函数、对数函数指数型函数、对数型函数等。这些函数的性质将直接影响函数的图形，学生通过对函数图形的理解可以更好的掌握函数的性质，提升学生对函数的理解，拓宽学生的函数思路并，提升学生运用函数解决实际问题的能力。

（二）高中函数基本对称关系

函数对称关系主要三种有：函数图像自身简单对称、函数图像间对称、函数图像复杂对称。函数图像自身对称主要指在直角坐标系中，函数图像具有轴对称或者中心对称的特征，主要是函数图像关于横轴、纵轴或者原点对称。例如偶函数关于纵轴对称，奇函数关于原点中心对称；函数图像间对称是指两个函数图像关于坐标轴或者原点对称；复杂函数对称则指函数图像经过平移变换以后和坐标轴或者原点对称。

三、高中数学函数对称性教学探究

函数作为高中教育的重要组成部分，是升学考试的必考范围。在社会和学校的普遍重视下，教师要改进函数教学方式，帮助学生增强函数对称性的掌握程度和提高利用对称性解题的能力，综合提高学生数学成绩。

（一）结合实际解读函数对称性理论知识

函数理论知识是学生构建函数知识网络框架的基础，高中函数对称性的学习要求学生切实掌握理论知识。教师在教学过程中，要特别重视解读函数对称性概念，包括函数自身对称、函数间对称和复杂函数对称性，由于这些对称关系用文字表述难免绕口抽象，在上课过程中教师不妨引入实际生活中的一些对称图形帮助学生理解，例如教师提问：“生活中许多物件的设计都具有对称性的特征，学生们回忆一下哪些图形是对称的？”此时学生会认真思考，回忆起生活当中的例子，有剪纸、等腰梯形、风筝等。将函数对称性与日常生活相联系，有助于调动学生学习热情，活跃课堂气氛，也有助于学生主观能动性的发挥。在进行函数理论知识的讲解时教师应当将函数与实际结合起来，通过列举相关理论知识对函数的对称概念进行解释，例如，教师在解读函数是可以引入这样的实例：如果函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图形，且同时关于点A（x1，y1）成中心对称图形，且a≠x1，那么，函数y=f（x）是一个周期函数，一个周期是4|x1-a|。

（二）顺应新课标要求，培养数学思维

数学思维的发展一定程度上影响学生解题能力，教师注重学生思维能力的培养也是新课标改革深化的必然要求。学生阅读函数题目后，需要从题干中读取出有效信息并建立数学模型，函数对称性一般是构图能力和函数关系式间的转换运用，这种题型就要求学生有较强的思维能力。教师在教学过程中可以适当引入复杂函数图像，主要是简单函数经过若干次平移变换后的图像，教师将学生分成若干小组，进行分组观察，观察复杂函数图像的特征并对比复杂函数图像与原图像之间的关系。这样的教学的方式是发挥学生主体地位的表现，既有利于发挥学生主观能动性，也能够锻炼学生思维能力，学生在思考过程中加深对函数对称性的理解，有助于解题能力的提高。

（三）利于多媒体技术展示对称性及其变换

多媒体教学的优越性表现在教学资源和表现形式两个方面：其一，多媒体的运用使得丰富的网络资源走进课堂，为学生接触更多、更直观的教学资源创造条件；其二，多媒体对于课堂教学具有辅助作用。它通过视频、音频等方式将抽象化的知识具体化，它将抽象的函数图像及其变换生动形象的呈现在学生眼前。

例如函数对称性的变换展示，传统的课堂教学上教师需要做大量的板书，在构建数学模型上占用了大量的课堂时间，除此之外这种教学的方法的难以对一些复杂的函数模型进行解析，学生在遇到学习困难时只能通过课后查找资料的方式了解函数的相关知识。例如，三角函数图形的变换，正弦、余弦函数图形经过改变周期和上下平移等变换过程得到的函数图像，由于教师在课堂上进行简单的文字讲解并不能将变换的过程展示出来，这就需要教师大量的板书工作。得利于多媒体的普及，教师可以在相关教学资源网站上下载课件，子在课堂上展示函数变换过程。多媒体技术的运用有利于学生对函数抽象概念的理解进而提高学生解题能力。

（四）加强学生间交流，促进合作式学习

学生之间交换解题思路能够促进学生在最短的时间内最大限度地理解函数对称性相关知识。学生在交流中既可以学习别人的解题方法，还能找出自己遗漏的知识点从而纠正错误的解题方向。例如，教师在安排函数经过周期变换具有对称性的题型练习时，可以先在课件上展示周期变换，再要求同学间讨论后归纳出周期性概念。

参考文献：

[1]许红玲.信息技术与高中数学函数教学的整合与案例研究[D].东北师范大学，2012.

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【关键词】函数 高中 误区 数学思想

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）12-0136-01

函数是高中数学教学的核心内容，在解决很多数学问题时几乎都要用到函数这一工具。函数的教学在于启发学生的思维，为数理化的学习打下基础，逐渐在解决生活中的问题时建立起数学建模的思想。因此必须对高中数学的函数教学研究给予重视。

一、目前函数学习中的误区

可以说，在高中数学教学中，函数内容占了很大的比重，它是高中数学教学的一个重点和难点。因此，学好函数成了高中学生学习数学的热点和难点。由于函数的内容多，而且比较抽象，在教学中，往往会遇到学生听课时听得很“明白”，但解答函数习题时，却又总感到困难重重，无从入手的情况。

由于函数是中学数学的主线，是新课程的重要内容，也是高考常见的重点考点，因而我们有些老师在讲授函数的时候就喜欢拿高三的学习目标进行处理，一下拔高了教学水平，刺激了学生刚刚建立起来的函数思维学生反而接受不了，产生了厌学。实际上，整个高中时期，不同的阶段有不同的要求，作为刚入门的函数初学者，能对函数的整个性质有所简单的理解，已经很不错了，不可能把函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性全部的熟练掌握。因此，我们教师应该遵循学生的这一知识认知过程，切忌操之过急。

函数的学习比较抽象枯燥，有些老师为了摆脱这样的局面，引入了大量的情景设计，意图让学生从具体的例子中接受。然而，当这些铺垫工作做的差不多时，一堂课也快结束了，课堂实效性根本就没有出来。如在《指数函数》的教学中，除了以细胞分裂作为引入外，还介绍了古代国王以麦粒来奖赏国际象棋发明者的趣事等情境，这固然是好，让学生从感性上对指数有所了解，但这也同时制约了学生把指数抽象成为函数，致使教学要求陷入了困惑，反而达不到实际目标。究其原因，就在于情景的创设应该从实际出发，为了课堂效果而服务，而不能脱离学生的认知能力。

二、函数教学的思考

高中函数的学习过程，是学生对函数在感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握函数知识，从而获得对函数知识本质和规律的认识能力的过程。教学中，函数的学习虽然并非等于求解函数题目，但学习函数是建立在对函数基本概念、定理、公式理解的基础上，并通过对函数题目的解答来实现的。根据多年的教学研究经验，我认为应从以下几方面着手：

（1）在学生形成概念的过程中渗透数学思想方法

然后引导学生观察以上三表,当自变量x在定义域内取互为相反的两个数时,对应函数值的关系,并从解析式上加以验证。在此基础上概括出奇函数、偶函数的定义。在上述过程中可以充分体现函数表示的从具体到抽象．

（2）在教学过程中用实例强化对数学的理解

（3）用函数模型解决实际问题

函数的应用反映在两个方面：一方面，用函数解决现实生活中一些简单的实际问题；另一方面，用函数思想讨论其他的数学问题。文章主要从解决实际问题方面进行探讨。利用函数模型解决实际问题包括：(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对己知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。(3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答。新课程标准要求我们培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，包括将实际问题上升为数学模型的能力。我们在教学中可以选择贴近学生认知水平、贴近学生生活的数学问题，引导学生积极思考，抓住问题的实质，建立数学模型，利用我们熟悉的函数模型解决问题，培养学生的应用意识，加强学生学习数学的兴趣，提高他们分析和解决问题的能力。通过观察、分析、归纳、综合、概括、抽象和绘图等能力的检测，分析每个量的变化过程，构建函数模型解决实际问题是中学阶段一个重要的内容。

参考文献：

[1]刘萍.数学应用题的主导功能及其开发[J].数学教学研究,1998(3).