高中数学奇偶函数总结十篇

高中数学奇偶函数总结篇1

一布置预习内容

提前印好预习内容，在课前一至两天发到学生手中，让学生有充分的时间思考或完成。预习内容大致分为三部分：（1）预习提纲：这部分内容中的重点概念、定理、公式，要求学生认真看课本以及资料整理在复习笔记本上。（2）预习题：围绕预习提纲编制预习题，思维和技巧的难度适当，使大多数学生通过看书后能做得出来。（3）提出问题：学生复习了基本概念，完成预习题后，提出有启发性、针对性的问题， 概念进一步深化。

下面是《函数的奇偶性》这一节的预习内容 ：（1）预习提纲：①函数的奇偶性定义．②判断函数的奇偶性方法．③奇偶性函

数的图像特征。（2）预习题：

1．以下五个函数：（1） （2） （3） （4） （5），其中奇函数是___，偶函数是___，非奇非偶函数是 ____.

2．函数是偶函数的充要条件是____.

3．已知，其中为常数，若，则___ .

（3）提出问题：①函数的奇偶性定义，关键的词句是什么？②函数的奇偶性的性质有那些？③图象关于Y轴对称的一定是偶函数吗？函数的奇偶性与单调性有关系吗？

二课前检查

检查预习内容完成的情况。预习题哪些已经解决？哪些还有疑难？特别是对提出的问题学生思考得怎样？教师可以利用抽查方式去检查。

三课堂设计

根据课前检查，设计教学过程。课堂上对于基本概念，学生明白的问题，用提问的方式一带而过，对于学生容易忽略、理解不深、容易出错的问题进行解惑性讲解。讨论的重点放在提出的问题上，通过讨论帮助学生纠正模糊概念，弄清易错题点，了解清楚概念的内涵与外延，加深对概念的理解和记忆。对学生未能完全掌握的概念、规律、数学思想和方法进行归纳性讲解。

四例题精选

精选针对性的典型例题，是课堂教学的又一个主要环节。在此环节要重视一题多解，一题多变的求异性研究。启发学生多角度、多方位、多层次地思考问题，培养学生思维的发散性、灵活性和深刻性。使复习更上一层楼。

如在《函数的奇偶性》这一节可以选择以下几个例题，由师生共同分析探讨完成。

例1．判断下列函数的奇偶性、并说出理由？

①②

③．

例2．已知函数f(x)，当x

①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由．

②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由．

延伸变式：已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。

例3．已知g(x)是奇函数，，求f(3)．

例4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数a的取值范围．

例5．设为实数，函数，．

（1）讨论的奇偶性；（2）求 的最小值．

五课堂练习

采用口答，分组练或指名版演等形式。老师利用练习时间检查学生学习掌握的情况，对完成练习有困难的学生进行指导、点拨，对全体学生可以适时采用限时完成作业的方法，提高学生的解题速度和应试的能力。

如本节课的课堂作业可以设计如下：

1． 函数是偶函数的充要条件是____．

2． 若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（）．

（A）轴对称（B）轴对称（C）原点对称（D）以上均不对

3． 函数是偶函数，且不恒等于零，则 （ ）．

（A）是奇函数（B）是偶函数（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不是偶函数

六讲评练习并小结教学

对学生有新颖和简捷的解法应给予鼓励，对学生没有想到的解法应启发学生探索。对本节知识进行小结性讲解，指出重点，解题通法和常用技巧。例如《函数的奇偶性》这一节的重难点是奇偶函数的定义以及性质，关键是如何利用定义判断以及应用函数的奇偶性性质继续延伸。

小结如下:

1．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件.

2．y=f(x)是奇（偶）函数函数y=f(x)的图象关于原点（轴）对称.

3．F(x)=f[g(x)]的奇偶性.

4．函数奇偶性的判断与应用.

七布置课外作业

高中数学奇偶函数总结篇2

【2012年高考广东文4】下列函数为偶函数的是（ ）

A. y=sinx B. y=x3 C. y=ex D. y=In■

【分析】研究函数的奇偶性主要在两个方面：

1. 求出函数的定义域，通过数轴去看定义域是否关于原点对称.2. 验证函数表达式是否满足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），满足前一个等式是奇函数，后一个等式是偶函数，两个等式都不满足的是非奇非偶函数.

对于本题的四个选项的函数的定义域都是R，关于原点对称．然后通过验证函数表达式易知选项A 、B为奇函数，选项C为非奇非偶函数，对于D有f（-x）=In■=In■=f（x），为偶函数.此法称为代数法.

另解：对于函数的奇偶性也可通过观察函数的图像进行快速判断：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.选项A，B，C都是常见函数，容易画出它们的图像，易看出A，B的函数图像关于原点对称，是奇函数，C的函数图像既不关于原点对称也不关于y轴对称，是非奇非偶函数，因此都被排除，D是正确答案.此法称为图像法.

【答案】D.

小结：对于函数奇偶性的判断问题，如果能够画出图像的，优先考虑图像法；图像法解决不了的再考虑代数法.

变式训练1：【2012年高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A. y=x+1 B. y=-x2 C. y=■ D. y=x｜x｜

【解析】图像法：容易画出选项A，B，C的函数图像，通过观察图像可知A为非奇非偶函数；B为偶函数；C为奇函数；但在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数；而D则先转化为分段函数 y=x2，x≥0-x2，x＜0，再画出它的图像，通过观察可得是奇函数，而且是增函数.因此，选D.

小结：解本题也可以用代数法来判断四个选项的奇偶性，但是在判断单调性时还是用到图像法比较容易解决.因此一开始就采用图像法可以达到一举两得的效果.

变式训练2：【2012年高考重庆文12】函数f（x）=

（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a= .

【解析】本题涉及的函数为二次函数，同学们对它的图像较为熟悉，因此可以用图像法.

图像法：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函数知识可知图像为抛物线，对称轴为x=-■，要使二次函数为偶函数，则对称轴应为y轴，即x=-■=0,这时得a-4=0，得到a=4.

代数法：因为函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，所以满足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

小结：对比可知图像法比代数法运算量少，节省时间，减少出错机会.

在高考中，考查函数的奇偶性还会与单调性或周期等知识综合出现，还有一种情况是函数的局部奇偶性，这时应选用图像法还是代数法？请看以下高考题：

【2012年高考浙江文16】设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则

f（■）=______.

【解析】本题是对函数的奇偶性和周期性等知识的综合考查，有一定的难度，用代数法：f（■）=f（■-2）=

f（-■）=f（■）=■+1=■.

另：本题也可用图像法，第一步：先画出当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1的图像，即图1；第二步：由条件f（x）是偶函数可得它的图像关于y轴对称，因此由图1画出关于y轴对称的图像，即图2；第三步：由条件f（x）是定义在R上的周期为2，可由图2得到图3，这时观察图像可求得当x∈[1，2]时f（x）的函数表达式，f（x）=-x＋3 ，最后得到f（■）=-■+3=■.

小结：对比可知在本题中代数法和图像法各有特点.

变式训练3：【2012年高考重庆理7】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]为上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（ ）

A． 既不充分也不必要的条件

B． 充分而不必要的条件

C． 必要而不充分的条件

D． 充要条件

【解析】本题属于抽象函数问题，通过图像法去推理可以起到化抽象为具体的作用，过程如下：先考虑充分性，若f（x）为[0，1]上的增函数，草图可如图4，由条件f（x）是定义在R上的偶函数可知f（x）的图像关于y轴对称，如图5,所以f（x）在[-1，0]上为减函数；再由条件

f（x）以2为周期可知，f（x）在[-1，0]，[-1+2，0+2]= [1，1]，[1+2，2+2] =[3，4]这三个区间上的图像是相同的，如图6，因此具有相同的单调性，都为减函数.因此充分性成立.必要性的原理同上，具体过程留给同学们完成.

而本题若用代数法的话则要繁琐很多，不建议使用.

【答案】D.

【2012年高考上海文9】已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（-1）= .

【解析】本题也属于抽象函数问题，由于没有涉及周期，因此较难用图像来表达函数的特点.而从代数法的角度考虑，g（x）为非奇非偶函数，但是f（x）是g（x）表达式的一部分，是奇函数，也就是说g（x）具有局部奇函数的性质，利用f（-x）=-f（x）便可解决问题.具体过程如下：由g（1）=f（1）+2=1，得f（1）=-1，所以g（-x）=f（-1）+2=-f（1）+2=3.

【答案】3.

变式训练4：【2012年高考上海理9】已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）= .

【解析】本题与上题一样，难用图像法去解决.从代数法去考虑g（-1）=f（-1）+2，设h（x）=f（x）+x2，因为h（x）为奇函数，所以有h（-x） =-h（x），即f（-x）+（-x）2=-f（x）-x2，整理得f（-x）=-f（x）-2x2，因此有f（-1）=-f（1）-2=-1-2=-3，最后得g（-1）=f（-1）+2=-3+2=-1.

【答案】-1.

总结：

1． 对于函数奇偶性的问题，若是常见函数的话，一般情况下用图像法会比较直观快速地解决.

2． 对于函数奇偶性与周期性的综合问题，一般来讲图像法与代数法各有特点或图像法优于代数法.

3． 对于局部奇偶性的问题，往往是用不了图像法的，只能用代数法.

希望同学们在平时解题要善于总结这两种方法的优劣，最后做到取长补短，又快又准地解决问题.

高中数学奇偶函数总结篇3

对于没有给出解析式或尽管给出解析式但式中含有未知参数的函数问题，我们不妨称之为“抽象函数问题“，这类题因其复杂多变性而令学生难以捉摸，由于这类题一般能较深刻地体现函数的概念和性质等特性，又能与不等式方程等知识有机结合，因而能较好地培养和考查学生运用多种数学思想方法分析和解决问题的能力，从而成为高考考试命题的热点和学生学习中的难点。本文就把这类函数的解题途径做一归纳总结，以助同学们一臂之力！

途径一 特殊引路，巧妙运算

观察问题的特点，从特殊性入手，对题中某些变量赋以特殊值，然后运用数值的运算.推理，达到解决问题的目的，这种方法在解决问题时具有独特地功效，其方法简洁，新颖，是探求解题思路的重要思想方法之一。

例1.定义在上的函数，对于，都有

解：计算得：

由此猜想：

即是以6为周期的周期函数，

例2.函数具有以下性质：对于如果，那么

解：由已知得 ，于是

以此类推，可得：

途径二 赋值求值，简单快捷

赋值就是通过对抽象函数中的变量赋以特殊值，从而求某些特殊的函数值。赋值时要注意对变量赋以恰当的数值，才能正确地求出要求的函数值。是解决抽象函数问题的一个重要途径。

例3.函数的定义域为，且满足对都有

（1）求的值；

（2）判断的奇偶性并证明；

（3）若，且在（0，+∞）上是增函数，求的取值范围。

解：（1）在中令

得

（2）函数为增函数。证明如下：

在已知式中令得

再令得

函数为增函数。

不等式可化为

为偶函数

不等式（1）等价于

在（0，+∞）上为增函数

解得：

注：解有关抽象函数的不等式时，先把不等式转化为的形式，再利用函数的单调性转化为（为增函数）或（为减函数）

途径三 联想类比，寻找模型

联想就是通过观察，抓住数学题目有关部分的特征，以及它们之间的某种联系，会议和搜集与解题有关的知识和思想方法，把问题化归为熟悉的问题或想出新的方法，从而确定解题策略。利用联想，我们可以为抽象函数寻找一个函数作为代表，然后由具体函数的特征来类比研究抽象函数，这是解决抽象函数的又一个重要途径。

常见的三类抽象函数模型：

（1）一次函数模型

函数的定义域为R，且对于，都有

（2）指数函数模型

函数的定义域为R，且对于，都有

（3）对数函数模型

函数的定义域为（0，+∞），且对于，都有

例4.函数的定义域为R，且对于都有

且当时，则的值域为（ ）

分析：此种抽象函数属于指数函数类型，因此可取一特殊的指数函数。由题意可知该指数函数为减函数，

因而可取，所以函数的值域为（0，+∞）

应选B

证明如下：

在中令

得，即

当时

再令得

，故

即当时

综上可知：的值域为（0，+∞）.

注：熟练掌握抽象函数的几种模型，灵活运用，可大大节省解题时间。

途径四 紧扣概念，应用定义

数学概念是数学的基础，每一道数学题的解答都必须用到数学概念，因而数学概念是开启解题思路大门的一把金钥匙，理解和应用定义，是解决问题的利器。

例5.函数是偶数，且不恒等于零，则（ ）

（A）是偶函数

（B）是奇函数

（C）可能是奇函数也可能是偶函数

（D）不是奇函数也不是偶函数

分析：由已知且

又不恒等于0，

故是奇函数。选（B）

例6.已知函数的定义域为R，对于都满足，当时，，且不恒等于零，判断的奇偶性和单调性并证明.

注：本题灵活运用奇函数定义的等价形式通过特殊值得到结论。对于单调性的判断则是紧扣单调性概念，利用定义严格推导得到结论。

如果奇偶性不知道，还可以用如下方法证明：

这是一种常用的变换技巧。另外，对于指数函数类型的抽象函数的单调性的证明，也可以用此种变换技巧，对于对数函数类型的抽象函数的单调性的证明，则可以用下面的变换技巧：

然后再由题意判断是大于0还是小于0.

途径五 利用性质，合理推证

综合应用函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性作为解题的重要依据，在解决抽象函数问题时常常发挥出巨大的威力，这正是函数思想的充分应用。

注：将函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性有机的结合起来，是解决抽象函数问题的一个非常重要的途径，要求学生会灵活运用函数的性质，是对学生推理能力的一个灵活训练，对培养学生的推理能力有很大的帮助。

途径六 分类讨论，化整为零

对于抽象函数的复杂性，可将问题化为几个部分或步骤，再分别讨论每个部分或步骤，做到不重复不遗漏，从而得到问题的结论。

高中数学奇偶函数总结篇4

【关键词】抽象函数；周期函数；递推式；对称性；奇偶性

抽象函数是相对于具体函数而言的，它没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征或性质的式子的一类函数.因为抽象，难以理解，它是高中数学函数部分的难点，所以解抽象函数的题目需要有严谨的逻辑推理能力、抽象思维能力以及函数基本知识灵活运用的能力.

近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目，大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中学生对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难，所以本文尝试归结抽象函数的周期性问题的几个常见的结论并给予简单的证明，并通过几个例题说明简单的应用，供大家参考.

一、三个结论

结论1 （递推式与周期关系结论）

（1）若f（x+a）=f（x+b），则T=|a-b|；{f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）}

（2）若f（x+a）=-1f（x），则T=2|a|；{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1f（x+a）=f（x）}

（3）若f（x+a）=-f（x），则T=2|a|；{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=f（x）}

（4）若f（x+a）=1+f（x）1-f（x），则T=4|a|.

{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x）+1+f（x）1-f（x）-1-f（x）=2-2f（x）=-1f（x），

f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-1f（x+2a）=f（x）}

结论2 （对称性与周期关系结论）

（1）若f（x）关于x=a及x=b对称，则T=2|b-a|；

证明：f（x）关于直线x=a和x=b对称，

f（x）=f（2a-x），x∈R，f（x）=f（2b-x），x∈R，f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，

将上式的-x以x代换得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，

f[x+2（b-a）]=f[（x-2a）+2b]=f[（x-2a）+2a]=f（x），x∈R.

f（x）是R上的周期函数，且2a-b是它的一个周期.

（2）f（x）关于x=b及Ma，0对称，则T=4|b-a|；

证明：f（x）关于点M（a，0）对称，f（2a-x）=-f（x），x∈R，

f（x）关于直线x=b对称，f（x）=f（2b-x），x∈R，

f（2b-x）=-f（2a-x），x∈R，

将上式中的-x以x代换，得f（2b+x）=-f（2a+x），x∈R，

f[x+4（b-a）]=f[2b+（x+2b-4a）]=-f[2a+（x+2b-4a）]=-f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.

f（x）是R上的周期函数且4b-a是它的一个周期.

（3）f（x）关于点Ma，0和Nb，0对称，则T=2|b-a|.

证明：f（x）关于M（a，0），N（b，0）对称，

f（2a-x）=-f（x），x∈R；且f（2b-x）=-f（x），x∈R.

f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，

将上式中的-x以x代换，得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，

f[x+2（b-a）]=f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.

f（x）是周期函数且2b-a是它的一个周期.

结论3 （奇偶性与周期关系结论）

（1）f（x）是偶函数且关于直线x=a对称，则T=2|a|；

证明 ：f（x）是偶函数，故f（x）关于x=0对称，又关于x=a对称，

由结论2中的（1）可知周期为T=2a-0=2a.

（2）f（x）是奇函数且关于直线x=a对称，则T=4|a|；

证明：f（x）是奇函数，

f（x）关于点（0，0）对称，又f（x）关于x=a对称，

由结论2中的（2）可知周期为T=4a-0=4a.

二、应用举例

例1 （2001年高考数学（文科）第22题）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称.对任意x1，x2∈[0，12]都有f（x1+x2）=f（x1）・f（x2）.

（Ⅰ）设f（1）=2，求f12，f14；

（Ⅱ）证明f（x）是周期函数.

分析 f（x）是偶函数的实质是f（x）的图像关于直线x=0对称，又f（x）的图像关于x=1对称，由结论2中的（1）可得f（x）是周期函数.

解析 （Ⅰ）解略.

（Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（2-x），x∈R，

又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x）.

f（-x）=f（2-x），x∈R.

将上式中-x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.

这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

例2 （求值）（1）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=2008，求f（2009）的值.

（2）已知函数f（x）=f（x+2）+f（x-2）对于x∈R恒成立，且f（1）=5，求f（2005）的值.

解析 （1）由题可知f（x）≠1，则有f（x+2）=1+f（x）1-f（x），由结论1（4）得T=2×4=8，

f（2009）=f（8×251+1）=f（1）=2008.

（2）由f（x）=f（x+2）+f（x-2）①

得f（x+2）=f（x+4）+f（x）②

由①+②得f（x+4）=-f（x-2）.即f（x+6）=-f（x）.

由结论1（3）知T=12，故有f（2005）=f（1+12×167）=f（1）=5.

例3 （判断奇偶性）若函数f（x）对于x∈R满足f（x+1004）=-1f（x），f（1004+x）=f（1004-x），则f（x）（ ）.

A.是奇函数而不是偶函数B.是偶函数而不是奇函数

C.是奇函数又是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数

解析 由f（x+1004）=-1f（x），结合结论1（2）知f（x）是周期函数且T=2008，

f（x）=f（2008+x）=f[1004+（1004+x）]=f[1004-（1004+x）]=f（-x）.

即f（-x）=f（x），又显然f（x）≠0，y=f（x）是偶函数，故选B.

例4 （求解析式）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，且x∈[3，4]时f（x）=2x-1，求当x∈[14，15]时，f（x）的解析式.

解析 由条件及结论3（1），知f（x）是周期函数且T=2，由f（x）是偶函数，知f（-x）=f（x）.

设14≤x≤15，则-15≤-x≤-14，即3≤18-x≤4.

有f（x）=f（-x）=f（-x+9×2）=f（18-x）=2×（18-x）-1=-2x+35.

即当x∈[14，15]时，f（x）=-2x+35.

例5 已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x，y，有f（x+y）+f（x-y）=

2f（x）f（y），若存在实数c>0，使fc2=0.

（1）求证：对任意x∈R，有f（x+c）=-f（x）成立.

（2）试问函数f（x）是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由.

解析 （1）证明：分别用x+c2，c2代替x，y，有

f（x+c）+f（x）=2fx+c2fc2.

fc2=0，

f（x+c）=-f（x）.

（2）解：由f（x+c）=-f（x），得f（x+2c）=f[（x+c）+c]=-f（x+c）=f（x），

即f（x+2c）=f（x）.

f（x）是周期函数，2c是它的一个周期.

从以上例题可以发现，抽象函数周期性的考查往往与函数的奇偶性、对称性等联系在一起，范围较广，能力要求较高.但只要对函数基本性质熟练，并掌握上述有关的结论和类型题目的相应解法，则会得心应手，事半功倍.

【参考文献】

[1]祁正红.抽象函数的周期[J].中学数学教学，2005（05）.

高中数学奇偶函数总结篇5

当前，不重视概念教学是一个比较普遍的现象，“一个定义，三个注意项”式的概念教学比比皆是，让学生觉得学习数学概念枯燥乏味，影响了对数学概念的理解。先看我校高一备课组举行的“同课异构”教研活动中两位教师执教的关于“函数的奇偶性”一课的案例片断。

【教师甲】

师：前面我们研究了函数的单调性，同学们已经知道函数的单调性是函数的一个重要性质，它在解决函数的问题中有着十分广泛的应用。今天这节课，我们要学习函数的另一个重要性质――奇偶性。（板书课题：函数的奇偶性）

师：什么是函数的奇偶性呢？请大家打开课本第33和35页，看教材中是怎么阐述的。（大约2分钟后）

师：哪位同学说说看。

生1：设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=f（x）是偶函数，如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么称函数y=f（x）是奇函数。（学生口述，教师板书）

师：很好！如果函数y=f（x）是奇函数或偶函数，它的定义域A应该具有怎样的特点？

生2：关于原点对称。

师：说说你的理由。

生2：因为如果x∈A，则只有-x∈A，才能计算f（-x）。

师：真不错！如果函数y=f（x）是奇函数或偶函数，它的图象又具有怎样的特点呢？

生3：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

师：非常好！看来同学们已经作了很好的预习。如果函数y=f（x）是奇函数或偶函数，我们就说函数y=f（x）具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的又一重要性质，它在解决函数问题时有着十分广泛的应用。请大家看下面的问题。（投影显示问题1、问题2、问题3和问题4）

（师生共同探讨上述问题的解题思路和解题过程，深化对函数奇偶性的认识和理解。）

【教师乙】

师：请同学们回顾上节课学习的函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。

（学生回答略）

师：很好！下面我们研究函数的第二个性质――奇偶性。

师：请同学们先看一个我们熟悉的函数f（x）=x2，计算f（1）与f（-1），f（2）与f（-2），f（3）与f（-3），能得出怎样的结论？

生：对于y=x2，当自变量取一对相反数时，y取同一值. f（x）=y=x2记，有f（-）=-f（），f（-1）=-f（1），…，一般地，有 f（-x）=- f（x）。

师：非常好，下面请大家再来研究函数g（x）=，又有怎样的结论呢？

生：当自变量取一对相反数时，亦取相反数. 例如，f（-）=-f（），f（-1）=-f（1），…，一般地，有 f（-x）=- f（x）。

由此启发学生得出奇（偶）函数的定义. 强调：①定义本身蕴含着函数的定义域必须是关于原点的对称区间；②“定义域内任一个”是指对定义域内的每一个x；③判断函数奇偶性最基本的方法是先看定义域，再用定义检查 f（-x）= f（x）（或 f（-x）=- f（x））。

（以下是例题巩固、数学应用的环节）

从上面两个案例不难看出当前概念教学的现状：

现状一：一个定义三项注意

教师甲从上课开始到给出定义，总共花了不到10分钟的时间，接着进行运用函数奇偶性的概念进行解题的训练。对函数奇偶性这一概念建立的过程没有很好地展开，为什么要研究函数的奇偶性？函数的奇偶性的定义为什么要这样给出？…课堂中，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚”，不如让学生多做几个题目实在。因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调几个注意事项，然后就讲例题、做练习。实践表明，这样的教学结果只能是机械模仿，不可能有理想的解题质量和效率。

现状二：无视学生认知需求

教师乙让学生通过对两个特殊函数的研究，抽象出函数奇偶性的概念，符合特殊到一般的认知规律。但是，为什么要研究函数的奇偶性？为什么要计算f（1），f（-1），…？为什么要用这样的方式给出函数奇偶性的定义？显然，教师在进行教学设计和过程实施时，只是为了教而教，无视学生的认知需求，其结果是忽视了构成概念的基础条件，留给学生更多的只是些文字和公式，所传授的概念距离学生的理解和经验太远，影响数学概念的掌握。

二、高中数学概念教学的对策研究

在概念的教学中如何引导学生自主建构，提高概念外化与内质抽象的思维质辨力度呢？为此，笔者尝试在概念形成的不同阶段，选择运用不同的教学策略，供大家参考。

对策1：创设情境，感知概念

概念的感知是形成概念的前提，学生对数学概念的感性认识是通过教师的直观教学方法获得的。概念的引入是概念教学的关键，概念是抽象的、概括的，每一个概念的产生都有丰富的知识背景，形成准确概念的首要条件是要让学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，在概念教学中，可以根据概念和学生的认知特点，创设数学概念形成的问题情景，体会到数学概念引进的必要性和必然性，让学生有自己发现的感觉，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。

【案例1】“n次独立重复实验”的概念教学片断问题情境设计：

用动画创设情境，丙丙和丁丁在公园里种了8棵树，假设每棵树的成活率都为0.75，请思考以下两个问题：（1）他们种的第一棵树的成活和第二棵树的成活相互之间有没有与影响？8棵树各自的成活与否相互之间有没有影响？（2）所种的每一棵树，可能出现哪些不同的结果？

进一步创设情境，对比分析，感知概念。

在下列试验中，与丙丙和丁丁种树试验具有共同特征的有（ ）

①某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次。

②姚明罚球的命中率是0.9，他连罚3次。

③一枚硬币连续扔5次。（5枚硬币一起扔出）

④袋中5个白球，3个红球，有放回取球，每次取一个，连续3次。

⑤袋中5个白球，3个红球，无放回取球，每次取一个，连续3次。

点评：通过以上情境设置，学生思考，教师引导感知，形成概念。师生共同归纳得出现象的共同点：在同样条件下重复的进行的一种试验；各次试验之间相互独立，相互之间没有影响；每一次试验只有两种结果，即某事发生或不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的，揭示概念。

【感悟】教学时不要生硬地抛出概念，让学生死记硬背，应从实际出发，创设情景，提出问题，通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识。比如；我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时，由于圆柱、圆锥、球属于三维图形，用平面直观图难免会造成视觉上的失真，我们可以借助教具、利用几何画板动画展示帮助学生理解，让学生在活动中思考、感悟和体验数学知识的萌芽以及发生、发展的全过程，从而丰富学生的认知结构。

对策2：自主探索，生成概念

概念的生成过程教学就是让学生参与和经历概念生成的整个思维过程。因此，在教学中，恰当的进行教学设计，充分展示数学知识的形成过程，让学生弄清概念的来龙去脉，认识它的必要性和合理性，让学生在体验中自主探究，生成概念，概念在其生成的过程中逐渐明朗化，可以更好的帮助学生深化对概念的理解，培养学生运用概念的意识和能力。

【案例2】“抛物线及其标准方程”概念教学片段

第一步：在学生已有认知基础上设计问题，使学生体验新概念的一个具体背景。

师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们试解决下面问题：

问题1：若点P（x，y）坐标满足+=6，则P点的轨迹是 。

（学生思考并动笔，教师巡视，个别指导。）

生1：我利用平方化简，但还没有做出来。

师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功。

生2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，点轨迹是椭圆。

（学生纷纷表示生2的解法是正确的）

问题2：若点P（x，y）坐标满足-=6，则P点的轨迹是 。

（学生认为是双曲线）

师：是双曲线吗？

生3：应该是双曲线的上半支。（由于第1题的解决对第2题有着提示和启发作用，所以第2题几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法中来，于是教师顺势抛出第3题。）

问题3：若点P（x，y）坐标满足-y+2=0，则点P的轨迹是 。

生4：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线。

师：到底轨迹是什么，生1解问题1的方法会给我们很好的启示。

（学生再次化简，片刻后，一直得到的轨迹是抛物线，因为它的方程是y=，初中已经学过。）

第二步：剖析问题3条件的几何意义，并推出是否具有一般性的结论。

师：若把条件中的“2”改成其他数字（非零），结果如何？

生5：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已。

师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？

生6：原方程=y+2即，左边表示点P（x，y）到点（0，2）的距离，右边表示点P（x，y）到直线y=-2的距离，等式表示两个距离相等。

第三步：类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念。

师：从问题3的分析中我们可以看出，满足这些条件的轨迹都是抛物线。于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义。请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义。

生7：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

师：不太准确，应该是在“平面内”，接下来我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹

……

点评：本案例从学生已有知识出发，由易到难设计了3个问题，让学生在问题解决的过程中自主探究，对比发现，逆向生成抛物线的定义，再结合多媒体动画演示，同学们经历了一次“发现”，“创造”的过程，给学生留下较深刻的印象，对此概念的理解也将更准确更深刻。

【感悟】在教学中需要教师通过问题努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，问题可以把学生带入“愤”与“悱”的境地，帮助学生自主探究，理解数学概念的生成过程。

对策3：步步为营，理解概念

学生对数学概念的理性认识是否初步形成，首先反映在对该概念的定义是否理解。学生认识事物的过程，总是从具体到抽象，从个别到一般，这也是人类认识事物的规律，因此，我们要遵照这一规律，通过问题串的设计，引导学生辨析，解剖概念，从而理解概念的内涵和外延。

高中数学奇偶函数总结篇6

关键词：创设情境 学会学习 指导学法 深化学习

新课程是素质教育从形式走向实质、从探索走向实施的标志，它真正体现了教育是为了人的发展。作为实施新课程改革主阵地的课堂教学，采用什么样的方式才能适合新课程的特点，这是每一个教学者需要认真探索的问题。在数学教学中，要充分发挥学生的主体作用，教师的教学理念与方法应有所改变，要减轻学生负担，提高质量，提高课堂效益。要给学生“减负”，教师必须自我“加压”，切实保证备课质量；要给学生“减负”，教师必须优化教学结构，提高课堂效益。

一、创设教学情境，让学生尽快进入角色

课堂教学中的前几分钟，通常称为新课引入，也就是提出课题，课题就是“悬念”，它应是主体（学生）想要解决的“悬念”，是主体的追求。提出课题时，要创设一定的情境，使学生能产生激情，引起兴趣、好奇和思考，运用“趣味引入”、“故事引入”、“类比引入”、“问题追溯引入”等都是一些引入课题的好方法。当然，引入课题，设置悬念，必要的准备是需要的，这就是复习，但复习的内容应是展开课题的需要，无关的或只是上一堂课的内容的复习对于引入课题是无益的，因为这样只会分散学生的注意力。

二、注重学生的学法指导，让学生均能各有所得。

教师“施教之初，贵在引导”。现代教学理论认为，教师的真正本领，主要不在于“会讲授知识，而在于激发学生的学习动机，唤起学生的求知欲望，让他们兴趣盎然地参与到教学全过程中来，经过自己的思维活动和动手操作获得知识”。教学是教与学的协同活动，具有双边性，没有学生主动积极的认识活动，即使教师的“独角戏”唱得再好，教学效果也不会理想，因此，要提高课堂效益，教师必须注重学生的学法指导，并注重学生动脑、动手能力的培养。

如职专一年级代数幂函数的图象情况非常复杂，学生往往很难辨别，我在小结幂函数图象性质时，就在黑板上写下了顺口溜：“正抛负双，大上小右。奇偶性决定象限，偶一、二；奇一、三；非奇非偶则第一。”学生们看后都摇头摆脑地念起来，一会儿，大多数学生都能背出来，学习积极性空前高涨，然后我引导学生结合图象归纳：

①“正抛负双”：即在第一象限内，当a＞0时，图象是以原点为顶点过点(1，1)的抛物线一半（简称抛物线型）；当a＜0时，图象是过点(1，1)的双曲线一支（简称双曲线型）。

②“大上小右”：即当a＞1时，第一象限内的图象所在抛物线开口向上；当0＜a＜1时，第一象限内图象所在抛物线开口向右，对于双曲线无须研究。

③“奇偶性决定象限”：“偶一、二；奇一、三；非奇非偶则第一”，即由函数解析式判断出函数的奇偶性，如是偶函数，函数关于y轴对称，图象在一、二象限；奇函数图象关于原点对称，图象在一、三象限；非奇非偶函数则图象在第一象限。我用此法指导学生判别幂函数图象，收到了很好的效果。

由于每节课的容量大、节奏快，为避免“吃夹生饭”现象发生，我平时很注重学法指导，同时对个别学习困难的学生给予适当辅导，教会他们如何分析思考；如何去做课堂笔记；如何写数学日记；如何收集错题，编成自己的“错题集”；如何举一反三，一题多解；如何编拟数学题；如何解答填空题；如何解答选择题等等。通过个别辅导，分层练习，分层指导，对于全面提高数学教学质量起到了很重要的作用，这对于培养学生的整体素质也是至关重要的。

三、让学生学会提出问题，引导学生学会学习

教师根据教材内容和学习的实际，编拟出具有导向性的自学提纲，自学提纲以问题形式出现，应具有启发性、探索性和层次性。如在教学“函数的奇偶性”时，学生要完成的自学提纲是：

（1）函数f(x)=x 与f(x)=|x|的图象关于?摇 ?摇?摇轴对称；自变量x的定义域关于?摇?摇?摇 ?摇对称；函数f(x)=x与f(x)= 的图象关于?摇?摇 ?摇?摇对称，自变量x的定义域关于?摇 ?摇?摇?摇对称，从中你发现了什么规律？

（2）利用书中表格，探究函数数量变化的特征，试用特殊到一般的推理方法，说明函数f(x)=|x|是偶函数，f(x)= 是奇函数。

（3）叙述函数奇、偶性的定义。

解决这3个问题后，再让学生思考：判断函数奇、偶性的前提条件是什么？在前三问的基础上学生会很快找到答案。学生在学习新课的过程中，除了解决教师提出的问题外，还要根据学习内容，自己提出问题，自己解决。教师要引导学生学会提出问题，善于提出问题，敢于提出问题，问题提出来了，并得到了解决，也就学到了知识。

四、抓住问题的突破口，使学生学会解决问题的方法

教师应明了学情，发现学生普遍存在的问题，对这些问题进行精讲，帮助学生分析问题的已知量与未知量，抓住问题的突破口，使学生学会解决问题的方法，掌握要领，揭示规律和渗透思想方法，从而使知识系统化。如：在“函数奇偶性”一节中，可总结出如下规律：在函数f(x)，g(x)的定义域的公共区域内，当f(x)与g(x)均为奇函数时，它们的和函数f(x)+g(x)是奇函数，它们的积函数f(x)・g(x)是偶函数。在学生接受并掌握了的基础上，再采用适当的方式进行变式练习，可以培养学生思维的灵活性，提高训练效果。

在实际的数学课堂教学中，如何面对具体的课程作出科学的设计，科学地组织教学，教师一定要根据教材的特点，学生的现有知识水平以及教师的课堂操纵能力等采用不同的方式进行教学。只有灵活地处理每堂课的重点、难点，因材施教，激发学生的求知欲，并注重学生思维的训练，课堂才会形成生动活泼的局面，教学才会收到良好的效果。

参考文献：

［1］中学数学.湖北大学，1997.6.

［2］中学数学教学参考.陕西师范大学，2001.4.

［3］中学数学教材教法.高等教育出版社.

高中数学奇偶函数总结篇7

【关键词】复习；基础；能力

现今教育的发展变化，优秀的初中毕业生步入了普通高中的行列。中职学生，由于初中时数学基础很差，给中职数学的教学带来很大困难，所以中职数学课的教学就更加要求教师在基础知识的教学上多下功夫，培养学生的基本解题能力。在教学的过程中，抓好复习环节非常重要，通过复习课的归纳总结，帮助学生整理所学知识，理清知识脉络，构建知识体系，使学生能更加全面、更加系统地理解、掌握相关数学知识，提高学生应用数学知识解决问题的能力，帮助学生巩固所学的知识，并逐步提高学生个体的认知能力与综合素质。

1 注重基础知识

学好基础知识，才能有能力学会好更多更高层次的数学相关内容。复习时应对各个章节基本知识进行梳理，使学生对数学基础知识有更深层次的认知。

例如，复习函数奇偶性时抓住以下知识点：

1.1 抓住实质，力求用简短的数学语言、数学符号来描述、梳理基本概念。对于函数y=f（x），x∈D（定义域），则f（-x）=f（x） 偶函数；f（-x）= -f（x） 奇函数。注意强调：（1）x，-x 必须满足定义域，即函数f（x） 的定义域关于原点对称；（2）f（x）是偶函数 其图象关于y轴成轴对称图形；f（x）是奇函数 其图象关于原点成中心对称图形。（3）既奇又偶的函数存在，如f（x）=0 。

1.2 挖掘相关的知识点，加强基本概念的联系。

（1）利用奇偶函数的对称性可进行作图。（2）奇函数在定义域的对称区间内具有相同的单调性而偶函数在定义域的对称区间内单调性不同。

2 强化对比记忆

复习的过程中，要能对相关的新旧知识进行比对，并着重弄清它们的区别和联系，特别是区别，因为正是存在区别，才标志着所学知识的不同之处所在。

例如，在学习椭圆、双曲线时，明确以下知识之间的异同：1.标准方程的异同；2.a，b，c名称的异同；3.a、 b、c间的关系的异同；4.离心率的异同。

通过这样的简单对比，明确其中的区别与联系，能让学生简单而快速的掌握并记忆这些相关的知识.对于中职的学生来说，教师在教学过程中的复习课，是非常有必要进行这样的比对的，因为中职的学生他们没有良好的学习习惯和思维习惯，所以教师的工作就需要从基本知识着手复习，培养学生的学习能力和思维能力。

3 适当总结归纳

抽象概括是数学的一个重要特征，在一部分内容学完之后，对其及时进行总结归纳，可以帮助学生更系统地掌握知识，提高能力。例如，复习一元二次不等式的解法时，可以通过列表形式给出所有解集的情况，便于学生记忆与应用。进行列表概括，简单明确，能让中职学生学会正确求解一元二次不等式，并在一定程度上提高学习的兴趣，培养学习数学的信心，也让中职的学生有一定的学习成就感。另外，经常进行概括总结，还有助于我们发现解题方法和规律。例如，两名老师和5名学生站成一排照相，问题如下：1.师生随意排列；2.老师必须在两端；3.老师必须不分开；4.老师不相邻；5.老师中间有且只有一名学生.解答：问题1，自由排列， ；问题2，固定位置， ；问题3，捆问题， ；问题4，插空问题， ；问题5，捆插空问题， 。这五个问题难度逐渐增加，在分析解答的过程中总结规律。通过这样的复结，在很大程度上提高学生的思维能力，提高解题能力。

4 构建知识结构

每节复习课前要建立本节课的知识框架结构图，让学生看书并回忆，按图将每个知识点的内容、应用、相互联系逐一完善，再通过师、生互相补充，共同探讨，加深理解，加强记忆。通过学生说、想、听、画等，暴露学生在知识和记忆上的缺陷，实现师生之间心灵和感情的沟通，同时还要让学生了解本节知识在整个中职数学中地位、作用。当进行学科总复习时，要构建整个中职阶段数学知识框架结构图，并把各部分之间的联系进行梳理。一般把中职阶段的数学知识简单分为二个模块，即函数模块和几何模块。函数模块包含了集合、不等式、各类函数、数列、排列组合、概率等。几何模块包含了向量、解析几何和立体几何。让学生对数学知识有一个总体的了解和初步的印象，帮助学生形成知识网络体系。

5 探求演变推广

随着学习的深入，会遇到一些较难解决的问题，这就需要把原有的知识进行演变推广，得到解决新问题的方式和方法，提高应用数学知识的能力。

例如，数列求和问题：

5.1 求和：

5.2 求和：

问题1的解法： 原式=

问题2的解法： 原式=

高中数学奇偶函数总结篇8

一、已知奇偶性，求解析式

例1函数f（x）在R上为奇函数，且当x>0时，f（x）=x+1，则x

分析当x0，f（-x）=-x+1=-f（x），所以有f（x）=--x-1，从而得结果.

注解此类题目时，很多同学正向出发，利用条件中x的正号，使得-x为负然后直接带入，而忽略了f（x）中x自身是带符号的.

例2设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x2+x，则关于x的不等式f（x）

分析设x>0，则-x

f（x）

注：解此类题目时，要先求出R上的解析式，否则解集范围就会做不全，导致出错.

二、奇偶性与单调性的综合应用

例3已知y=f（x）在定义域（-1，1）上是增函数且为奇函数，且f（t-1）+f（2t-1）

分析由抽象函数解不等式通常利用单调性，首先原不等式变形为f（2t-1）

解原不等式化为f（t-1）

f（x）是奇函数，-f（t-1）=f（1-t），

原不等式化为f（2t-1）

f（x）是增函数，且定义域为（-1，1），

有2t-1

实数t的取值范围为（0，23）.

注：这是抽象函数的一种典型例题，乍看会无处下手，但是经过移项变形，应用奇偶性和单调性转化函数不等式，将函数值大小转变为自变量的大小，题目就迎刃而解.定义域勿忘！

例4已知函数f（x）=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（12）=25，

（1）确定函数f（x）的解析式；

（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；

（3）解不等式f（t-1）+f（t）

分析本题主要考查的是有关奇函数的定义，解析式的求解，尤其注意奇函数中f（0）=0的活用，用定义证明函数的单调性，应用函数的单调性，结合函数的定义域，解决有关函数不等式的求解问题.注意函数的定义域优先原则，即先保证函数的生存权.

解（1）依题意得f（0）=0，f（12）=25，

即b1+02=0，a2+b1+14=25.

得a=1，b=0.

f（x）=x1+x2.

（2）证明：任取-1

-1

x1-x20，1+x22>0

又-1

f（x）在（-1，1）上是增函数.

（3）f（t-1）

f（x）在（-1，1）上是增函数，

-1

注：奇函数图象过原点这个知识点常常会被遗忘，在此题就起到了非常关键的作用；用定义证明函数的单调性时，对函数变形很多同学变形不到位；将函数值的大小转化成自变量的大小关系时要注意定义域优先原则.

练一练：

1.若f（x）为奇函数，当x

2.若f（x）为R上的奇函数，当x

3.已知奇函数f（x）在定义域[-2，2]上单调递减，求满足f（1-m）+f（1-m2）

答案：（1）-2

分析由于f（x）是奇函数，

f（-2）=log2（2+2）=2=-f（2），f（2）=-2.

（2）-2

分析由于f（x）为R上的奇函数，f（0）=0，f（-2）=log2（2+2）=2=-f（2），f（2）=-2，则f（0）+f（2）=-2，故答案为-2.

高中数学奇偶函数总结篇9

一、在概念教学中进行“微课题”研究，有利于师生对基础知识的重新认识和提高

概念是反映事物本质属性的思维形式。没有概念就无法构成数学知识体系。因此，概念教学是高中数学教学中至关重要的一项内容，在教学中，教师应紧紧抓住那些在知识结构中起决定性作用的基本概念，形成纲目清楚的认知结构，从而为提高教学质量服务。

例如，在“等差数列”概念教学中，课本给出：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。通过对概念中“关键词”的剖析与研究，我们可以引导学生提炼出“起始性”、“方向性”、“同值性”、“规范性”的“四性”要求。

“起始性”：从第2项起，若an-an-1=d，则要求其中n≥2，且n∈N；

“方向性”：每一项与它的前一项的差，通俗地说，后-前=常数）；

“同值性”：要求所有的差为同一个常数；

“规范性”：谈到等差数列，通常交代首项、公差。比如1，3，5，7，······是首项为1，公差为2的第差数列。

“四性”要求的提炼，一方面是教师在教学中经常进行“微课题”研究的结果，另一方面，容易被学生理解与接受，提高了课堂效率。

二、在问题解决中进行“微课题”研究，有利于师生对知识重组的归纳提升

著名数学教育家波利亚曾说过：“问题是数学的心脏”，因此数学学习的核心就应该是培养学生解决数学问题的能力。作为数学教师应该引导、培养学生学会分析问题、解决问题的能力。

例如，问题：判断下列函数的奇偶性：

①f（x）=x2，x[-3，2]

②f（x）=■

③f（x）=lg（x+■）

④f（x）=■（x>0）0（x=0）-■（x

注意②解：函数的定义域为[-1，0）（0，1]，关于原点对称。

而且在定义域的前提条件下，函数可以化简为f（x）=■，此时f（-x）=-f（x），

函数f（x）为奇函数。

在解决“判断函数的奇偶性”的问题中，教师可以引导学生回归函数奇偶性的定义，课本给出：函数奇偶性的定义：如果对于函数f（x）的定义域内任意一个，都有（1）f（-x）=-f（x），则称y=f（x）为奇函数；（2）f（-x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数。由定义可以提炼出，x与-x都在定义域内，故定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，比如第（1）小题，定义域不关于原点对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数，即“一看”（看函数的定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件）；又由定义可知，要比较f（-x）与-f（x）的关系，因此在定义域的前提条件下，函数表达式能化简则化简，比如练习的第（2）小题，即“二化”（在定义域的前提条件下，化简函数表达式）；由定义我们还可以看出，比较f（-x）与-f（x）的关系，有时我们还可以用它们的等价形式，比如练习的第（3）小题，可以计算f（-x）+f（x）=0，从而知函数为奇函数，即“三验”（检验f（-x）=f（x）还是f（-x）=-f（x），有时用等价形式f（-x）-f（x）=0或f（-x）+f（x）=0）；对于一类特殊函数——分段函数，由定义知，奇偶性是函数在整个定义域内的整体性质，所以我们可以分段验证，最后概括结论，比如第（4）小题，即“四论”。从而我们可以引导学生归纳出“判断函数奇偶性”的一般四个步骤“一看、二化、三验、四论”。

三、在解题反思中进行“微课题”研究，有利于师生思想方法的审视总结

解题反思是根据元认知理论对数学解题过程及解题后的再思，是对解题规律认识的不断深化的一种创造活动，从而培养同学们发现问题——提出问题——分析问题——解决问题——再发现问题的能力，这是提高复习效率和复习质量的有效方法之一。

例如，甲、乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面。先到的人等候另一个人，经过时间t（t

（上接第17页）

[分析]从0点开始计时，设两人到达的时刻分别为x，y，则

G={（x，y）|0≤x≤T，0≤y≤T}

假定两人到达时刻是随机的，则问题归结为几何概型，设A表示“两人能会面”事件，则={（x，y）|0≤x≤T，0≤y≤T，|x-y|≤t}（图中的阴影部分），则

P（A）=■

■

1-（1-■）2

【解题反思】上述问题为几何概型中的会面问题，通常涉及到两个变量，我们可以借助平面直角坐标系，将它转化为几何图形的面积比，即

会面问题（两个变量）？圯平面直角坐标系面积比

通过解题反思，提高了学生理性思维能力，优化了学生的知识结构，促使了学生思维的概括性，形成了良好的数学素养。下面提供一道题供大家练习：

高中数学奇偶函数总结篇10

关键词：教学;思维;能力

时代的飞速发展让越来越多的人注意到数学教学的重要性，学好数学不仅可以帮助学生树立学习信心，同时培养起良好数学思维能力能更好地解决学习和生活中遇到的各种问题. 然而，学习数学，培养数学思维能力并非易事，有很多学生至今都没有从数学学习当中收获成功的喜悦. 尤其在高中阶段，数学学习的难度相比小学＼初中更是大幅度提升，对很多学生来说变得更加艰涩和抽象. 因此，对于高中数学教师来说，数学教学的责任和难度也更大.

如何让学生克服学习数学的畏难情绪，让学生扎实掌握数学知识，培养相应的数学思维能力成为困扰每个高中数学教师的一大难题.就笔者看来，高中数学教学也没有捷径可走，学好数学的关键还在于教师和学生都要循序渐进，扎实打好数学基础，由表及里，逐层深入学习，从而培养起学生的思维能力.

初步感知，激发兴趣

高中数学教学难度不仅在于数学知识的抽象性，同时所学知识的繁重性也大大加深了学习的难度. 很多数学教师都认为数学课堂时间十分有限，因此一定要把握好每分每秒，切不能浪费. 在这种教学观念的引导下，很多教师都会有意识地忽略课堂导入这一环节，都选择“开门见山”这一“直白”的教学方法，直接进入新课学习. 很多学生往往还没有从下课的兴奋劲中缓过来，就直接进入了数学这一“冰窖”当中，自然会感到无比困难，从而丧失了学习的信心和兴趣.

事实上，教师在数学课堂中应当充分重视课堂导入这一环节，利用各种教学工具和教学手段让学生初步感知所学知识，激发起学生数学学习的兴趣. 一般来说，教师可以采用故事导入法，给学生讲述一个精彩的故事. 例如在教学指数函数的时候，教师就可以讲述在国际象棋棋盘上放米粒的童话故事. 温故知新法也是常用导入方法，教师引导学生回忆之前所学，从而发现新问题，进一步深入探讨得出新知识. 例如在讲解《不等式方程》一章时，教师就可以引导学生先复习等式方程的解法，从而更改等号的设置，让学生明白不等式方程解法实际与等式方程是一样的，区别在于不等式方程所求的是一个范围，而不是具体的根. 除了以上两种常用的方法以外，笔者借此还要介绍一种探讨导入法.

以《函数的奇偶性》一节为例，此节的教学目的在于帮助学生认识函数的奇偶性，同时培养数形结合的数学思维能力. 这一章节所涉及的知识点是学生从未接触的，因此，教师不能急于求成，而是要让学生对这一知识进行初步的感知. 笔者在教学这一内容的时候就先给学生设置了如下的思考题：“你能把26个英文字母根据对称关系进行分类吗？并且把每一类字母都用一个函数表示出来.”这样的思考题立马调动起了学生的思考兴趣，很快就得出“A，M，T，U，V，W，Y关于y轴对称，对应函数可以用y=x2这一函数来表示;B，C，D，E，K这几个字母关于x轴对称，可用函数x=y2来表示;N，S，Z关于圆点中心对称，其图象可用函数y=x3来表示;H，I，O，X既可以关于y轴对称，也可以关于x轴和圆点对称，其图象可用函数x2+3y2=1来表示;而剩下几个字母F，G，J，L，Q，R，P没有任何对称关系，可用函数y=x+x2.” 通过这一思考题，学生能明显感知到字母的形与函数的一些性质对应起来，而这一节课就是要研究函数的这一类对称性质，即新知识函数的奇偶性. 通过这一个趣味性和知识性的题目引导，学生们对将要学习的内容不仅有了一个初步的感知，而且还产生了浓厚的兴趣.

动手动脑，积极思考

随着素质教育的推进和改革，越来越多的教师注意到“填鸭式”教学法的弊端所在. 这一传统的教学理念主张灌输式教学，即在教学课堂上由教师向学生们大量“灌输”知识的基本理论和基本操作，在讲解知识以后，又采用“题海战术”来训练学生，希望学生通过这“一讲一练”两个环节达到学习和巩固的目的. 这一教学手段学生固然能收获一定的数学知识，但是教学效果显然达不到教师预期所想的. 很多学生在知识讲解阶段，适应不了“高压输入”，思维节奏跟不上教师讲解的步伐，就会理解困难，从而难以扎实掌握基础知识. 久而久之，对数学学习也会丧失兴趣和信心.

笔者认为，新的教学理念和教学手段必须切实落实到数学课堂教学当中. 高中数学教师应当始终坚持以“学生为中心”的教学原则，在课堂教学中积极鼓励学生主动参与到教学当中，引导学生动手动脑，积极思考. 例如，教师可以采用教案教学法，让学生根据教师事先准备的学案，独立自主完成学案上任务，最后由教师进行总结和评价;同时教师也可以采用小组学习法，设置一个问题分组让学生们进行讨论，给学生充分的思考和讨论时间. 除此以外，笔者认为，引导教学法也是一种高效的课堂教学法，即教师“话说一半”，讲解一部分的教学知识，剩下部分内容由学生探索得到，教师从旁引导和观察.

同样以《函数奇偶性》这一节为例. 笔者在教学过程就坚持采用边讲解边引导的教学方法，鼓励每个学生都能积极开动脑筋. 例如笔者在讲解新课的时候就先给出了偶函数的定义：“一般地，对于函数f（x）内的每一个x，都有f（x）=f（-x）成立，则称这个函数为偶函数.” 笔者让学生结合y=x2的图象进行验证. 在这基础上，教师就让学生仿照偶函数的这一标准定义，在不参照课本的基础上，给出奇函数的标准定义，同时给出三个常见的奇函数. 通过偶函数的定义类推出奇函数的定义不仅让学生加深了对定义的理解，同时还培养了学生的思维能力. 为了进一步锻炼学生的思维能力，教师再引导学生围绕奇函数和偶函数的定义进一步深入思考. 首先，对于函数f（x），对于定义域内的每一个x，都有f（x）=f（-x）或者f（-x）=-f（x），那就意味着x使得函数f（x）和f（-x）有意义，从而可以得出定义域的一个重要特征. 这一特征教师不能直接表明，而是要让学生积极思考，踊跃发言. 除了定义域的这一重要特征以外，如何判别一个函数的奇偶性也需要教师边教边引导，鼓励学生在课上积极动手动脑，沿着正确的方向进行科学探索. 教师要从旁引导学生判别一个函数的奇偶性，应当始终坚持以定义为中心，符合偶函数的定义的函数即为偶函数，符合奇函数定义的函数即为奇函数，否则该函数就是非奇非偶函数. 因此，教师应当让学生整理出如何在最短时间内通过最少判别步骤判别一个函数奇偶性的最有效方法.

尊重学情，分组教学

很多高中数学教师都是以高分教学为目标，即希望每个学生都能在数学考试和竞赛中完成所有难题，获得高分. 因此在课堂教学中，往往会引进很多的综合性较大、表意较为含蓄的题目. 这种诉求当然是值得肯定的，但是这种不顾学生接受能力以及学习实际盲目教学难度等级较大的题目，不仅会加重学生们的学习负担和理解难度，而且很容易让学生产生畏难情绪.

事实上，不同的学生由于学习能力和学习动机的差异，其接受能力和接受新知识的速度也会存在着较大的差异. 教师若不能意识到学生的差异性，或者有意识忽略学生之间的水平差异，对提高课堂教学效率是有百害而无一利的. 作为一名合格的高中数学教师，教师进行课堂教学的前提应当是充分了解班上每位学生的学习能力和数学学习水平，在课堂教学中尽可能地照顾到每一位学生. 同时为了提高课堂教学效率，优化数学教学，教师可以按照不同的学习能力和数学基础把班上学生分成ABCD四个小组，A组学生理解和接受新知识的速度最快，能独立完成探索型题目;B组学生基础扎实，可以适当挑战难度系数较大的题目;C组学生学习重心是巩固基础，能对所学知识进行灵活的变换运用;而D组学生由于学习能力的差异，对他们的教学重点应当放在基础知识上.