高中数学公式归纳总结十篇

高中数学公式归纳总结篇1

【关键词】数学归纳法 ； 证明；“世界末日”

所谓“世界末日”这个问题在网上传得沸沸扬扬，但是大家可知道这个故事源于印度。在贝拿勒斯的圣庙里，安放一块黄铜板，板上插着三根宝石针，其中一根从下到上放了由大到小的六十四片小金片。即所谓的梵塔尽夜都有一个值班的僧侣，按照下列规律移动，一次只能够移动一片小金片，而且小的金片永远在大的金片的正面，当所有的64片都从第一根移动到另一根上，世界就将在一声霹雳中消失。显然，这个故事纯属传说中的寓言，但是今天我们用数学归纳法的方法来探讨一下，你会感到很有意思。

下面，我们就讨论将64片改为n片这种更为一般的数学思想来考虑：

假设金片共移动的次数为F（n），当n=1时，显然有F（1）=1，如果n>1片金片时，按照上述规则小金片可以移动到另一根宝石针上，以此类推，移动的次数为F（n-1），则当有n片金片时，只要把上面的（n-1）片金片移动到另一根宝石针上，则移动次数也为F（n-1），再将第n片金片移动到第三根针上，然后再将其余的（n-1）片金片再移动到第三根针上，还需要F（n-1）。由此可见，通过这{2 F（n-1）+1}次移动，就能够实现要求。就此，我们还说明了移动的可行性，而且还可以得到一根递推F（n）= 2 F（n-1）+1，其中F（1）=1，通过对F（2） ，F（3），F（4），F（5）的计算，我们可以得到下面一组式子：

F（1）=1=2^1-1

F（2）=3=2^2-1

F（3）=7=2^3-1

F（4）=15=2^4-1

F（5）=31=2^5-1……那么，我们就可以猜想当金片有n片时，总的移动次数就有F（n）=2^n-1.对于这样的猜想，我们可以用数学归纳法加以证明。

数学归纳法是数学证明中的一个有力工具。在以前的中学课本里，虽有提到，但没有受到足够的重视和应用。在我们上中学时，数学归纳法就只是一个很模糊的概念。现在，数学归纳法已经作为新教材在高中数学理科选修中，在考试大纲里也是作为高考的一个重点。其实在我们的中学课本中有许多证明由于没有用数学归纳法来证明，在逻辑上总是或多或少出现一些毛病，留下一些遗憾。例如：我们回忆一下等差数列通项公式的推导，给出一个实例，写出前几项，因此，我们就下了结论，对于任意的正整数n，它的通项公式都成立。这个结论是不完备的。因为它仅对少数几个n值就建立了一个公式，这是不切实际的。我们知道，要是都用这种方法来得出公式，那我们的公式肯定是五花八门的。其实，为了论证一个结论是否成立，前辈们不知道花了多少心血。要证明一个数列的公式是否对于任意的正整数n都成立，我们必须要证明两件事情。第一，当n=1时，它是成立的（这一步是数学归纳法的基础）；第二，假设当n=k时的命题是成立的（这是归纳假设的），能够推出当n=k+1时，该命题依然能够成立（这是归纳的结论，是最重要的，也是最难推导的）。这就是我们所说数学归纳法的重点和步骤。

对上面“世界末日”得出的结论，我们可以用数学归纳法进行证明：

（1）当n=1，2，3，4，5时，结论显然成立。

（2）假设当n=k时，结论也成立，即F（k）=2^k-1，

那么当n=k+1时，由F（k+1）=2F（k）+1=2（2^k-1）+1化简一下，就可以得出结论了。所以，将n片金片由一根针移动到另一根针上时，一共需要2^n-1次才能够实现。当n=64时，这会是一个多么庞大的数字呢？我们知道，一年有365天，一天有24小时，而1小时有3600秒，那么一年就有31558000秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次，昼夜不停，节假日不休，他们也需要58万亿年才能实现。

在这里，我们必须强调的是数学归纳法是用于证明已经给定结论的一种方法，而不是导出结论，更不能创造结论。同样用这种方法就不能获得等比数列的通项公式，但是，如果用某些重复试验的方法得出结论，总结出一个公式，我们就可以用数学归纳法来证明它的结论是否成立，从而进一步去肯定结论的正确性。

数学家皮亚诺就曾提出一组自然数的公理，其中第七条是任意的一个自然数集合的子集，如果包括1，并且假设包含a，也一定包含a的后继数b，那么这个集合就包含所有的自然数。其实他所用的就是数学归纳法的理论依据。

数学归纳法给人的印象确实比较抽象，难以理解。特别是对它的第二步的假设当n=k成立时，去推导n=k+1也成立。我们在教学中就可以设计与教学有关的实验，可以通过多媒体制作相关的动画等等能够引起学生兴趣的教学效果。通过各种有效的的情景去激活学生的思维，唤起他们的好奇心和创造力。为了激发学生由特殊到一般的猜想，我们还可以有意识地将常规性的问题演化成一些没有明确的结论，让学生在新的特殊的情境中不断去探索，去总结，从而使数学归纳法变得生动起来。

参考文献

高中数学公式归纳总结篇2

1.教学内容

数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容，本节共2课时，这是第1课时，主要内容是数学归纳法理解与简单应用。

2.地位作用

在前面，学生已经学了用不完全归纳法推导等差数列、等比数列的通项公式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展。纵观高中数学，数学归纳法是一个重难点内容，也是一种重要的数学方法，可以使学生学会研究数学的科学方法。

3.重点难点

重点：数学归纳法及其应用。

难点：对数学归纳法原理的了解。

二、学情分析

1.知识准备

学生对等差（比）数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳

能力，但对归纳的概念是模糊的。

2.能力储备

学生经过前面的数学学习，已具有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，并逐步形成了辩证思维体系，但学生自主探究问题的能力普遍还不够理想。

3.学生情况

我所教的班级学生基础有点差，因此，我按照大纲要求，结合学生情况，补充了一些问题情境和数学实例以烘托重点，突破难点。

三、教学目标

根据教学内容特点和教学大纲，根据学生以上实际及学生终身发展需要特制订以下教学目标。

1.知识与技能

了解归纳法，理解数学归纳的原理与实质，掌握两个步骤；会证明简单的与自然数有关的命题。

2.过程与方法

努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3.情感态度与价值观

让学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点；体会研究数学问

题的一种方法，激发学生的学习热情，培养学生学习做数学的意识和科学精神。

四、教法学法

1.教学方法

采用类比启发探究式教学方法进行教学。数学归纳法的教学立足于学生的逻辑思维能力和推理能力，在旧知识体系的基础上

构建新的知识模式。教学中注重观察与思考、比较与类比、分析与综合、概括与特殊化等知识发生发展与形成的思维过程。

2.学法指导

在教学过程中，我不仅传授给学生课本知识，还培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到较为理想的教学终极目标。

3.教学手段

借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材，促进学生对“递推原理”的理解，为学生掌握数学归纳法提供形象化的参照，为教学难点突破提供感性基础。

五、教学过程

主干层次为：创设问题情境（提出问题）；探索解决问题的方法（建立数学模型）；方法尝试（感性认识）；理解升华（理性认识）；方法应用（解决问题）；课堂小结（反馈与提高）。

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线

展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

1.创设问题情境

（1）不完全归纳法引例

明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字。这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的。

（2）完全归纳法对比引例

有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些。他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案。大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生。显然，二徒弟比大徒弟聪明。

2.探索解决问题的方法

（1）多媒体演示多米诺骨牌游戏

师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：①第一块要

倒下；②当前面一块倒下时，后面一块必须倒下。当满足这两个条件时，多米诺骨牌全部都倒下。

（2）学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）

①n取第一个值n0（例如n0=1）时命题成立；

②假设n=k（k∈N*，k≥n0）命题成立，利用它证明n=k+1时命题也成立。

满足这两个条件后，命题对一切n∈N*均成立。

3.方法尝试

如，师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。

其中假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。

①n=1时等式成立。

②假设当n=k时等式成立，即ak=a1+（k-1）d，则ak+1=ak+d=a1+（k-1）d+d=a1+[（k+1）-1]d，即n=k+1时等式也成立。

于是，我们得出结论：等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d对任何n∈N*都成立。

4.理解升华

（1）论证（说理）

师生共同探讨数学归纳法的原理，理解它的严密性、合理性，从而由感性认识上升为理性认识。

（2）方法总结

学生总结用数学归纳法证明命题的两个步骤：

高中数学公式归纳总结篇3

关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理

归纳法与数学归纳法，在初等数学及高等数学中都要着广泛的应用，特别是在定理证明中占非常重要的地位，所以我们必须引起注意，下面我主要从三个方面来阐述归纳法及数学归纳法。

1归纳法

1.1归纳法的定义

由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法叫归纳法。

归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法两类。

1.1.1不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般结论的推理方法。

1.1.2完全归纳法：根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.

注意：不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算.观察、分析、推理出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质.应注意用不完全归纳法探索发现的规律，必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明。

1.2使用归纳法要谨慎

我们在使用归纳法时，经常盲目归纳，从而得出错误的结论，所以我们应该引起注意，下面我们通过几个例子看看。

例、求前n个奇数的和 [1+3+5+……+（2n-1）]

解：用S（n）表示这个和，令n=1，2，3，4，5，则有

S（1）=1

S（2）=1+3=4

S（3）=1+3+5=9

S（4）=1+3+5+7=16

S（5）=1+3+5+7+9=25

可见，对n=1，2，3，4，5，前n个连续奇数的和等于[n2]，但是，我们不能由此马上断定，对任意的n，都有S（n）=[n2]，因为，由“类比”而得到的结论有时是错误的.我们用几个例子来说明这一点。

考]形如[22n+1]的数.当n=0，1，2，3，4，时，这些数[220]+1=3，[221]+1=5，[222]+1=17，[223]+1=257，[224]+1=65537都是素数.十七世纪一位著名的法国数学家P.费尔马由此猜想，凡是这种形式的数都是素数.然而，在十八世纪，另一位伟大的数学家，彼得堡科学院院士，L.欧拉发现[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一个合数。

这里还有一个例子，十七世纪著名的德国数学家，高等数学的创始人之一G.W莱布尼兹证明了，对任意的正整数n，[n3-n]能被3整除，[n5-n]能被5整除，[n7-n]能备整除，据此，他差一点猜想：对任意奇数k和自然数n，[nk-n]能被k整除，幸亏他自己很快发现[29-2]=510不能被9整除。

现在我们回到求前n个基数的和的问题.从上述可知，不管验证了多少个n ，公式

S（n）=[n2] [……]（1）

总不能认为已证明了，因为总有一种可能性，对某个未检验过的n，公式（1）不再成立.为了确信公式（1）对所有n正确，我们必须证明：无论在自然数列中走到多远，我们决不能从使公式（1）成立的n值走到使（1）不再成立的数值。

2 数学归纳法

2.1 数学归纳法的定义

n=1正确时，若在n=k正确的情况下，n=k+l也是正确的，便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。

2.2 运用数学归纳法证题的步骤

（Ⅰ）验证当n=1时，某命题是正确的。

（Ⅱ）假设n=k时，命题也是正确的，从而推出当n=k+l时，命题也是正确的.因此，命题正确。

容易悟错的是：既然k是任意的自然数，n=k是正确的，那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢？这很容易理解，k虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了n=k时，k就是一个固定的自然数了，换句话说，k就是一个有限的数.因而，能否从n=k时命题正确，推出n=k+l时命题也是正确的，这就不一定.如在n=k时正确，推出了n=k+1也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从k到k+l，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。

在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形.

形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当n=[k0]的时候，命题是正确的，又假设n=k（k≥[k0]）时，这个命题是正确的，可以推出当n=k+l时，这个命题是正确的，那么这个命题当n=k+l时都正确，从而得出命题正确。

例、当n>1且n∈N时，求证：

[1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]

证明： （1）n=2时，左边[=13+14+15+16=1920>910]

左边[>]右边，所以不等式成立.

（2）假设n=k时不等式成立，即

[1k+1+1k+1+1k+3+…+13k>910]

当n=k+1时，

[1（k+1）+1+1（k+2）+2+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3]

[=][（1k+1+1k+2+…+13k）+] [（13k+1+13k+2+13k+3-1k+1）]

[>910+（13k+3+13k+3+13k+3-1k+1）]

[=910]

即n=k+l时，不等式成立。

根据（1）与（2）得，对于n>1且n∈N，所证不等式成立。

形式2：运用数学归纳法证明时，第一步不只验证第一个值，而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的，第二步假设n=k是正确的，推出n=k+l是正确的，那么这个命题就是正确的。

例、如果[r0]=2，[r1] =3，并且对所有自然数k有[rk+1=3rk-2rk-1]

试证：[rn=2n+1]

证明：由题意，需验证n=0，n=1两值。

（1）当n=0时，[r0]=2，另一方面[r0]=[20]+1=2命题是正确的；还有n=1时，[r1] =3，另一方面[r1=21+1=3]命题是正确的。

（2）假设当n=k时命题是正确的，当然n=k-1也 是正确的。

即 [rk-1=2k-1+1]，[rk=2k+1]成立。

则 [rk+1+1=3（2k+1）-2（2k-1+1）=2k+1+1]故在n=k+l时，命题也成立，于是可以断定原命题成立。

应注意，运用数学归纳法论证某一问题时，它的两个步骤是缺一不可的.没有第一步的证明就没有基础，而不做第二步的证明，就无法断定命题在一般情况下是否成立.如果二者缺一，将可能会得出十分荒谬的结论。

参考文献：

[1]（苏）L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著 姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》，莫斯科米尔出版社，1979年

[2]华罗庚的主编《数学归纳法》上海教育出版社，1963年

高中数学公式归纳总结篇4

关键词：数学；学案导学；预习；归纳总结

《普通高中数学课程标准》在实施建议中指出“学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式”。近几年广泛采用的“学案导学”的教学模式既呼应了课程标准中给出的建议，又能充分体现高中数学课追求的基本理念，为高效的数学教学提供一种新的途径。

一种教学模式所能带来的改变和提高并不仅仅在于其切合主流的教育理念，而更需要教师与学生双方对该模式的理解与运用。“学案导学”的教学模式在不少学校（例如衡水中学、洋思中学和杜郎口中学等）的实践中取得了很好的效果。然而，该教学模式在某些学校并未带来可观的教学效果，甚至具有负面作用。

笔者结合教师主导的教学模式与现在学案导学模式的异同，对学案导学的教学模式中存在的问题及应对措施提出以下两点建议。

一、做有效的课前预习

学案导学模式注重课前的预习，其目标之一在于培养学生的自主学习能力，希望以此来改变学生的学习和思维方式，提高学习效率。

有调查分析发现，课前预习中“看过并在学习时想过学习目标”的学生仅占14%，甚至19%的学生“没有想过学习目标”。在推行导学案这么多年后，出现这样的调查结果看似不可思议，但在应试教育的大环境中却又在情理之中：首先，多数教师和学生仍是以“题海战术”为提高数学成绩的杀手锏，忽略了预习的重要性；第二，“学案导学”先学后教的教学理念并未被学生熟知，多数学生把导学案看作一份需在课前完成的练习卷；第三，学生的预习时间有限，每一科目都有导学案，学生难以应付。

如何做有效的课前预习，不仅关系到学生自学能力的提高、学习习惯的养成，还直接影响到后续环节能否有效开展，是学案导学模式的桥头堡。笔者认为做有效的课前预习需要在足够的认识基础上展开。可以有如下措施：第一，提前发给学生导学案，为新知识的探索、理解和消化预留充足的时间；第二，教师指导学生开展课前预习，明确学习目标、把握学习重点；第三，导学案应以新知识要解决的问题为出发点，进一步涉及新知识的引入和推导过程；第四，数学教材更注重数学知识发展的逻辑以及知识体系的完整性，符合学生对知识基础学习与认知发展的规律，导学案应是课本内容的一种呈现方式；第五，学生间分享预习的成果和通过讨论来解决问题，让学生能在第一时间获得成就感。

二、充分的归纳总结不可缺少

知识的掌握和积累强调连贯性和系统性，特别对于数学学科更是如此，只有具有系统性的知识框架后，才有可能进行复杂问题的处理。

高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的，例如必修4和紧接着的必修五第一章的内容是与三角函数相关的知识，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移等方式，使学生体会知识之间的有机联系。

有调查显示，仅有22.23%的学生每次都认真写导学案中“个人反思和总结”部分，有20.20%的学生从来不写，可见在“学案导学”教学模式中学生针对各个小节知识点的归纳总结很大程度上出现缺失。另外，经常利用导学案进行复习的学生只占20.34%。基于上述调查结果，学生缺乏知识的连贯性和系统性是显而易见的，试问这种情况下学生的学习能力、技巧和学习成绩如何能获得有效提高？

究其原因，首先，“填鸭式”“保姆式”的教学方式，使学生养成了依赖教师的习惯，缺失主动学习的意识；第二，不能长期坚持归纳总结，认为归纳总结太浪费时间且效果来得慢；第三，导学案为试卷形式，不便于整理保存；第四，教师较少对导学案后续使用的关注，更多地在于将相关内容的公式整理成卷发放给学生。

为了在有限的课前预习效果下，引导学生做好知识的归纳总结，笔者在教学“课堂探究”中增加了“知识点的推导”环节。另外，笔者认为治标更需治本，培养学生数学归纳总结的意识和习惯，或者鼓励学生间有关技巧的分享，让更多学生从高效的学习方法中受益，才是可持续的学习方式。

学案导学模式固然有很多优点，但其教学模式还是离不开预习和归纳总结这两个关键环节。笔者认为，学案导学模式中没有良好的课前预习，后续环节的高效开展则为空谈；没有全面的归纳总结，就无法充分利用在先知识点，又谈何预习效果。

参考文献：

高中数学公式归纳总结篇5

化归思想贯穿整个中学数学，在学习的过程中要有意识地体会这种科学的思维方法，这有利于我们在解决问题的过程中思维通畅、方法得当，从而提高解题效率。归纳、类比和联想，则在我们运用化归方法解决问题的过程中起着举足轻重的作用。掌握好归纳、类比和联想，学会在解题时依据问题本身所提供的信息，利用动态思维去寻求问题解决的化归途径和方法，对学好数学是很有帮助的。

一、归纳是探索化归思想的手段

归纳法是由个别特殊的事例推出同一类事物的一般性结论的思想方法，其基础是观察与实践。如勾股定理，多面体的欧拉公式，前n个自然数的立方和公式、二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实践和归纳的结果。

例如，我们可能碰巧看到：

1+8+27+64=100

由于我们非常熟悉前几个自然数的平方和立方数值，于是试着将上面的形式改变一下：

1+23+33+43=102=（1+2+3+4）2

1+23=9=32=（1+2）2

1+23+33=36=62=（1+2+3）2

我们会发现这几个形式很规律，于是归纳为：

1+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=n（n+1）22

在中学数学教学中，用归纳的方法揭示规律，得出结论的例子很多。例如，等比数列的通项公式就是这样归纳得到的：

如果等比数列的公比是q，那么，

a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3…

由此可知，等比数列的通项公式是：

an=a1qn-1

二、类比是确定化归方向的钥匙

类比推理是根据两个不同的对象，在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，并做出某种判断的推理方法。它既可以帮助学生梳理与巩固旧知识，又可以十分有效地使学生接受新知识。在解题时，类比推理之于化归，一可帮助我们确定未知目标，二可帮助我们寻找解决问题的途径。

下面通过对梯形面积公式和棱台体积公式的逻辑分析，来说明中学数学中类比推理的特点。

梯形与棱台（四棱台）的类同之处

梯形

上、下底平行

另外两边不平行

两腰延长后交于一点

中位线平行于上、下底

棱台（四棱台）

上、下底面平行

另外四个面不平行

四个侧面伸展后交于一点

中截面平行于上、下底面

从概念生成的角度分析，梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的。若这个三角形面积一定，那么梯形的面积便决定于平行线与底边的距离。而棱台则可以认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的。若棱锥体积不变，则棱台的体积便决定于截面到底面的距离。

三、联想是实现化归作用的途径

联想是由某种概念而引起其他相关概念的思维形式。联想与归纳、类比在意义上的区别是明显的，归纳、类比偏重于对两类对象性质上的相同或相似因素的比较，并据此进行类推。而联想，则虽也是由一个对象想到另一个对象的思维形式，但它并不受两类对象性质相似或不相似的限制。所以更为自由，更为活跃，因而发散性也更强。

例如，当我们审视了数字“1”后，能联想到什么呢？如下之每一个箭头所指，都有可能作为联想线路：

高中数学公式归纳总结篇6

关键词：高等数学；章节复习；学习兴趣

中图分类号：G710 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-12-0135-02

对于高职院校的学生而言，高等数学是他们最难学的课程之一。是因为一是他们基础并不太好，二是高等数学本身概念多、公式多、重点难点多、计算方法灵活、学习难度大。大部分学生在学习高等数学过程中对概念模糊不清，不能很好的利用定理及公式，掌握难度大。因此，我认为每学完一个章节就应该进行一次综合、有效的归纳、总结与复习。以往教师上习题课大部分会由教师归纳该章节重要知识点，然后再要学生做一些练习题。许多学生在上课时缺乏积极性，开小差，整个课堂教学效果不好。如何上好高等数学复习课是一个引人深思的问题。

一、传统教学模式下高数章节复习课存在的问题

（1）由教师归纳总结，忽视了学生自学能力的培养

由教师负责归纳章节知识点，优势在于教师能够将各个知识点及重难点总结得比较全面，劣势在于学生被动接受教师的成果，缺乏自我思考、探索的过程。不利于培养学生逻辑思维能力和锻炼学生自我学习能力等。

（2）学生被动接受教师的总结，不一定清楚各知识脉络

教师帮学生总结后，一部分学生只顾做笔记，完全不会思考各知识点之间有没有关联和区别，更不用说灵活运用、融会贯通。还有一部分学生甚至对于抄袭没有兴趣，干脆不闻不问。这种情况下教师的劳动只能达到事倍功半的效果，而学生并没有真正理清楚知识脉络。

（3）教师不清楚每一个学生的薄弱点，无法代替学生查漏补缺

学生在学习过程中，知识点的掌握程度、薄弱点等不一样，例如有些学生在复合函数导数计算时是薄弱环节，在隐函数求导上却有一定的优势；而有些学生可能正好与之相反。复习课时的目的是要学生能够总结本章所学知识点，了解自己的学习状况，有针对的性的复习和提高。如果由教师统一安排习题，并不能代替学生提高。

（4）教师布置“一刀切”习题给学生做，忽视学生个体差异

高职学生数学基础差异很大，解题的能力、快慢等因素都有差别，教师布置的习题若所有学生“一视同仁”，不符合因材施教的原则。

（5）教学方法陈旧，不利于学生学习兴趣的培养

单一的归纳和练习模式缺乏趣味性，不利于学生学习兴趣的培养。学生被动学习，不用心思考，不能达到复习课发挥学生主观能动性、培养学生创造性思维、学习兴趣、归纳总结和分析问题及解决问题的能力的作用。

二、针对以上问题提出的改革措施

通过这几年的教学实践，我认为章节复习要讲究一定的策略和方法。只有在章节复习中巧妙地采取一些策略和方法，才能使学生在复习中不易感到枯燥无味，从而在复习课中进一步巩固基础、提高能力。结合学生特点和不同知识内容，我认为高职高等数学章节复习可以做如下改革：

1.根据学生数学基础的差异，布置不同难度水平的学习任务

在复习课上如果由教师归纳重要知识点固然可以比较全面的总结出重点难点，但教师总结出的重点难点不一定适合每一位学生，因为学生的基础存在差异性。教师自己可以把整个课堂交给学生，对于基础不同的学生布置不同的任务。让每个学生在课堂上都得到一定的收获。既发挥了学生的主观能动性，又到达因材施教的目的。

2.采用灵活多变的任务形式提高学习积极性、学习兴趣，培养各方面的能力

一成不变的课堂教学模式早就让学生产生了厌倦之心。如何改革高等数学课堂教学模式，打破高等数学抽象乏味的大前提，是我们每一个高等数学教师努力的方向。复习课堂改革势在必行。我在教学过程中不断摸索，采取了一些新的方法，在一定程度上改善了课堂教学效果，同时也在继续努力探求更好的方法，让学生真正爱上高数课堂是我一生的追求。

第一，让学生自我归纳章节重要知识点或合作归纳知识点。

当学生自我归纳或合作归纳章节重要知识点时，一定要先认真了解本章到底学习了什么概念、各概念之间有什么联系和区别、有哪些定理和公式、它们怎么用、有什么好的应用技巧等等问题。然后再对这些内容进行归纳，我们可以要求学生采用简洁、易懂、清晰的方式表示出来并上交，由教师给学生评分。既可以培养学生的表达能力和归纳能力，又可以让学生在不知不觉中理清章节知识点脉络，从而达到掌握本章知识点的目的。

第二，给予模拟任务，由学生分组完成。

高数复习课上如果能多点趣味性、充分发挥学生的主观能动性，让学生都能参与到学习中来，会取得意想不到的效果。如将学生分成几组，模拟制作本章考试试卷，题量为10道，题型为判断、选择、填空、计算，试题的难度要适中，符合学生自己的实际水平，试题的范围应涉及本章全部或绝大多数重要知识点。出完试卷后各组交换练习，得出答案的同时给点评试卷点评，指出试卷的优点和缺点，应该怎么改正等。在出试卷过程中，学生的思维能力、判断和选择能力、团队协作能力等都得到了培养，而且学生看到自己出的试卷会有成就感，在解答其它组试卷的同时学生们给出评价，让学生在练习的过程中不仅巩固了知识，同时也培养了学生的分析能力。

第三，请学生归纳本章中的重点与难点知识点，找出自己的优势与薄弱点。

由于学生的基础、思维方式等因素会导致每个学生心目中的难点都不一样。如果学生能够针对自己的学习情况，正确地找出属于他自己的难点和薄弱点，那么在以后的学习中一是他可以有针对性的做一些努力，二是教师可以帮他把关，从而达到提高的目的。让学生找出自己的优势可以提高学生的自信心，让他保持一个良好的心态来学习高等数学，这样不至于让学生丧失学习兴趣。

第四，请学生归纳自己练习中常出现的错误，并重点改正。

学生比教师更了解自己的学习情况。学生在学习过程中会做一些练习，哪个知识点没有弄懂，哪种类型的题目经常出现错误，只要认真分析和总结，就能找出答案。找出答案后再有针对性的练习，同时向教师或同学请教，一步步攻破难关。像这种有针对性的归纳不仅能够找到适合他们自己的学习方法，而且也能体现学生的个体差异，达到因材施教的目的，充分发挥学生的主观能动性。

第五，调换师生身份，让学生在复习课上讲课。

通过布置学生为同学们归纳总结本章或本模块重难点知识，并用自己的语言复述出来，也可以在章小结或复习课上请学生们把自己的易错的题目类型或题目找出来，请班上学习基础比较好的学生为他们讲解。主要体现在“说”的形式，让学生自觉地推敲，更好的理解和掌握知识点，学会融会贯通，提高分析问题和解决问题的能力。现代社会，“说”也是很重要的能力。让学生在课堂上说一说，也可以培养学生的“说”的能力。

第六，针对不同专业给学生交流的机会，为学生找到高等数学与专业课程的切合点。

我认为在学习某一个章节或模块时可以给学生布置一个任务，让学生自己利用各种资料去寻找高数与专业课程的联系，在复习课上给学生一个交流的机会，让学生进行交流并归纳总结出主要的几点。既让学生感受到了高等数学的重要性，也为学生找到高数与专业课程的切合点，提高学生学习高数的兴趣。同时也培养了学生收集信息、处理信息的能力。

第七，利用现代教育技术做任务。

教师可以布置学生用多媒体课件将各章节的知识点汇总，学生在制作多媒体课件的同时，会自主地熟悉知识要点，有利于日后的复习。在复习课上利用多媒体设备展示学生自己创作的课件，达到学习和交流的目的。同时也提高了学生利用现代化手段处理事务的能力。

对于教师来说，我们的任务不仅要教会学生知识，还要教会学生学习，让学生在学习高等数学的过程中获得一系列的附加能力，如：逻辑思维能力、分析能力、总结能力、自我学习能力等等。复习小结是进行数学思想方法教学的良好时机和阵地，是章节知识点的巩固与内化，是理清高数连贯性的有效方法和手段，更是知识和能力的深化与发展。数学复习课应把“发展为本”作为教学的中心，让学生亲自参与、主动实践、深入探究，构建起有效的章节复习课体系，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的。同时在教学中不断提高学生学习兴趣。

参考文献

[1]陈娟.学生作业评价初探[J].教育探索，2005，（06）.

高中数学公式归纳总结篇7

关键词：高中数学；总结归纳；举例

进入高中以后，我发现很多身边的同学不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，以致成绩一落千丈。出现这样的情况，原因很多。我认为造成这样的原因注意是学习方法不等当。高中数学学习的方法有很多，我认为学习数学养成归纳、总结的习惯是很必要的。归纳总结知识的方法，即可以加深对知识的记忆、理解，使知识系统化、程序化。有助于数学思想方法的形成，从而为学好数学奠定了基础。那么如何进行归纳总结呢？

一、每节课的小结

老师讲的每一节课一般都围绕1-2个中心问题，要根据不同的内容做出恰当的总结。比如要注意挖掘概念的内涵和外延，对于公式要注意成立的条件及使用的范围，这是说明性的小结；对典型例题总结出一般性的规律和方法。

二、单元的小结

通常概念、公式的学习是局部的、分散的，因而在头脑中呈零乱无序的状态，难以形成有规律的清晰的认知结构。因此，当每一单元结束时，若能将这些知识，方法以一个新的角度串联起来，就可以形成一个完整的认识结构。

三、知识间的总结

随着学习的不断深入，总结的层次应再提高一步。既要注意知识纵向，横向各个层面的联系，又要重视其程序化的科学组织，使大及中形成系统性的知识网络。 通过课堂小结、单元小结、知识整体的串联，一定会在我们的头脑中形成数学知识的立体的网络，那一道道的习题不过是我们网中的一条条小鱼。数学还有什么可怕的呢？

下面我就线性规划做一总结举例：

线性规划主要考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值（或取值范围）；考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围等等；其主要题型有以下五种类型。

类型一：求二元一次代数式最值（取值范围）

例1：设x，y满足约束条件，求z=x-2y的取值范围

解：作出不等式组的可行域，作直线x-2y=0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z=x-2y取最大值；当直线过点B时，z=x-2y取最小值.由得B（1，2），由得A（3，0）.zmax=3-2×0=3，zmin=1-2×2=-3，z∈[-3，3].

方法点评：作出可行域，求出交点坐标，代入目标函数，求出最值。

类型二：求二元一次分式最值，二元二次代数式最值

例2：变量x、y满足

（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2，求z的取值范围；

解由约束条件，作出（x，y）的可行域如图所示.由，解得A.由得C（1，1）.由，得B（5，2）

（1）z==. z的值即是可行域 中的点与原点O连线的斜率.

（2）z=x2+y2是可行域上的点到（0，0）的距离的平方.可行域上的点到原点的距离中，

dmin=|OC|=2，dmax=|OB|=29.2≤z≤2

方法点评：常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①表示点（x，y）与原点（0，0）的距离，表示点（x，y）与点（a，b）的距离；②表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率.

类型三：知目标函数最值，求参数值

例3：已知a>0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=________.

解：作出不等式组表示的可行域，易知直线z=2x+y过交点A时，z取最小值，由得zmin=2-2a=1，解得a=.

方法点评：知目标函数最值，求参数值，转化为找出最值点坐标，代入目标函数。

类型四：最优解有多个（不唯一）求参数值

例4：x，y满足：，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A.或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1

解：由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，

（1）当a>0时，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则a=2；

高中数学公式归纳总结篇8

一、数形结合化的思想方法

“数形结合”是借助常见图形、符号以及文字等所作出的示意图，来促进学生的抽象思维以及形象思维联合发展。数形结合是各个数学知识点有效沟通起来，打破原本难以理解的熟练关系。在小学教材编排过程中，数形结合是其首要考虑的原则，更是用来解决实际问题作为常用的一种方法。

二、归纳化的思想方法

归纳思想是指在研究问题前，首先解决个别的简单的且特殊的相关情况，进而归纳其中的性质以及规律。通俗而言，归纳思想的特点就是化复杂为简单。产生数学知识的全过程即为运用归纳思想的全过程。数学教师应注重运用归纳思想，不仅有利于学生发现其中的解题规律，还有利于他们在解题的同时发现新规律，进而提出新命题。归纳是小学数学教学中一种重要的思想方法，其对于发现数学公式、定理有很大促进作用。例如，在学习“三角形内角和”的过程中，学生可先列出等边三角形与直角三角形，再计算出它们的内角和，进而对一般三角形的内角和做进一步推导，从而归纳得到三角形内角和均为180度。

三、函数思想方法

在教学“20以内进位加法表”这一内容时，就需要运用到函数思想方法。教师可利用加数变化及和的变化间存在的规律，以此初步让学生了解有关函数的思想，以便为学生后面学习函数知识打下良好的基础。在现实生活中，会时常有部分运动着的物体，也有不断发生变化的一些自然规律，而函数的思想无时无刻都存在于这些变化中，以变化来表现出客观规律。学习这方面的知识，对学生在今后发现更多有意义的科学问题、培养小学生的函数思维是极为重要的。

四、符号化的思想方法

数学发展至今，已是成为一门符号学科。数学无法脱离符号，其无时无刻都需要符号。符号化的思想，是指人类有目的地、经常性地应用符号式语言来描述所要研究的对象，其在小学数学中渗透较多。在教学“表示数的字母”这个章节的数学知识时，用v、s、t；a、b、c；r、d；h、g、V等字母表达公式。如：三角形的面积公式为：s=(1/2)×a×b，三角形的周长公式C=a+b+c；长方形的面积公式S=a×b；正方形的面积公式S=a×a。还有小学数学相关运算定律都是用符号表示的，如加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；加法的分配率：（a+b）×c=a×c+b×c。以字母来表示的计量单位符号，如：时间“分钟”用“min”表示，1 min=60s；“小时”以“h”表示，1h=60min=3600s；“日(天)”以“d”表示，1d=24h=86400s等。除此之外，还有km、m、cm、mm以及g、t等。最为常见的阿拉伯数字，如0、9、8、7、6、5、4、3、2、1等；运算符号：×、÷、＋、－；关系符号：＜、＞、＝、≈等。这些符合代表了数学的化身，均有其特定意义。它们和自然语言比较，更加抽象、简洁，且概括性极强。

恰当的数学符号，能准确、清晰地表达出数学的概念和思想。教师在教学过程中，应加强对符号化的思想渗透，以提高学生的符号化意识，使学生更加能感受到数学的魅力。

五、化归思想方法

高中数学公式归纳总结篇9

关键词：中考；数学；复习；研究

临近中考，学生进入到总复习阶段，在这有限的时间内，如何使学生的数学总复习达到最优化，是数学教师必须直接面对的问题。笔者结合自己近几年来毕业班教学的实践，谈一些具体的做法与体会。

一、紧扣教材，归纳总结

中考试题还是以教材基础题目作为主要内容，不少是教材中的原题或变式题，虽然有些题目是教材试题的拔高，可其根本还是源于教材中的例题和习题，只不过是编者进行了一些变式和迁移。因此，在复习时教师要紧扣教材，对教材内容进行必要的归纳与整理，使数学知识系统化。比如代数可以归类成实数与代数式、方程、不等式、函数以及统计初步等五个部分；几何可以归类成几何基本概念、相交线和平行线、三角形、四边形、解直角三角形、圆等五个部分。在复习过程中，教师要引领学生进行相应的归类，使学生把握概念的内涵与外延，熟练掌握相关法则、公式、定理的推导和证明过程，选择典型性的例题，并分析其解答的过程及方法。最好是让学生把重点内容的例题与习题沉下心来再做一遍，及时归纳与整理重要的解题方法，不要埋头于大量的课外习题而抛弃了数学教材中的基本知识点。

二、注重基础，巧记方法

数学基础知识就是教材中的概念、公式与定理等。教师要引领学生把握数学知识间的内在联系，对知识结构进行再梳理，在整体上形成系统的感知和框架，也要总结出某一类题目的基本解法和解题技巧并能熟练运用到解题实践中。比如八年级数学通过一次函数、正比例函数的类比获得反比例函数的解析式是经常考到的内容，对于这一点，要从整体上把握，熟练地对这两块知识相互转化。再如利用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数间的内在联系来解决问题，教师要引导学生研究其内在联系，共同揭示“等”与“不等”矛盾的双方在一定的条件下是可以转化的，从而引导学生明晰这类数学题目的特点，把握基本解法。而解决这些问题，就要依靠学生所学过的基础性知识。

在中考数学试题中，除对基础性知识进行考查外，还把考查数学方法放到一个举足轻重的地位，例如换元法、配方法与判别式法等常用的数学方法。学生应该熟练把握每一种方法的内涵及其所适应的题型和相关的解题步骤。教师要引导学生学会归纳解题方法，把握一些解题规律。如在因式分解的复习教学中，总结出解法：提取公因式法、公式法和十字相乘法；对于求二次函数解析式，总结出解法：待定系数法、公式法、交点式、顶点式。 经过不断地归纳，学生就会逐步掌握重要的知识点，进而把握相应的解题规律。

三、把握重点，探究热点

在多年的数学中考中，“方程”“函数”和“圆”都是作为重点考查内容出现的，因此，学生要重点把握这些内容。在近几年的中考数学题中，应用类型的题量有所增加，不过，应用类型的题目不仅仅只是列方程解应用题之类，还有应用性的函数类题目、生活中的不等式应用题、反比例函数的应用题、概率的应用题等。这类题目都十分注重对学生解决实际生活中的问题能力的考查，且难度逐渐加大。在复习时，教师要有针对性地研究，并且加强此类题目的训练，使学生真正做到融会贯通，举一反三。除此以外，一些可以显现学生探究能力、求异思维以及创新意识的试题，比如阅读理解类、探究类、设计方案等试题，也逐步成为试卷中的热点题型，这类试题大都来自于教材，要求并不算太高，不过题型新颖，内容较长，很难清晰地理清，因此，在复习阶段教师要引领学生进行必要的训练，使学生能够熟练地把握此类题型。

四、面向全体，因材施教

中考数学总复习工作要依托学生的实际，面向每一个学生，依据学生的水平差异因材施教、分层推进，整体提高学生的复习效果。

教师首先要关注落后学生，根据落后学生的实际情况制订切实可行的复习策略。因为这部分学生数学基础比较差，所以复习的起点应该放低，以基本计算能力和基础知识理解作为起始，使复习的内容降低到这些学生能够接受的程度。教师要以学生的已知知识作为复习的起点，通过已掌握知识点和未掌握知识点之间的异同进行类比复习。如可以把“反比例函数”与“正比例函数”进行类比，把“一元二次方程”与“一元一次方程”进行类比，把“三角形相似”与“三角形全等”进行类比。由于这部分学生一直基础比较差，要想有一定程度的提升，就要靠反复的强化训练。教师针对习题检测中的出现的一些问题，把集体讲解与个别针对性辅导紧密结合起来，加以纠正与强化，及时反馈训练情况，进而提高查漏补缺的效果，让落后学生能够得到相应的帮助，从而产生复习激情，促使学生的整体复习质量提高。其次，教师要关注中等学生的稳步提高。这些学生对知识点的把握还不是特别的牢固，解析题目过程中不是少这儿就是少那儿。所以，对中等学生的要求一定要严格起来，督促他们做题时做到缜密思维，细心处理每一个环节。第三，教师要加强对优等生的培养力度。在解题过程中，教师要引领他们尽可能地寻求解决问题的捷径，积极开拓发散性思维，求新求异，要有自己的创新思路，把握逻辑关系，争取使自己的解题过程完美呈现。对于有能力的优等生，在课外应适当对其进行拔高训练，以提高学生的解题灵活程度与深度。

总之，提高复习效果是中考数学复习的终极目标。数学教师要树立起强烈的质量意识，积极探究有效的中考数学复习方法，结合学生的实际制订好复习迎考计划，在这有限的中考时间内使学生的数学总复习达到最优化。

参考文献：

[1]刘茁娇.如何做好中考数学临考复习[J].学生之友(初中版),2009(4).

高中数学公式归纳总结篇10

一、利用数列章节的直观特性，培养学生数形结合的解题思想

数列章节知识内涵丰富、生动、形象，能够通过深刻、直观的函数图象进行有效展示.在数列问题解答中，图象在数列问题案例的解答过程中，有着具体而又广泛的运用.等差数列、等比数列等问题案例分析、解答过程中，很多时候都要借助于函数图象的背景进行研究分析.

二、利用数列章节的推导特性，培养学生归纳的解题思想

如在数列的通项公式、等差数列、等比数列的概念以及前n项和公式的得出的过程中，通过对相关内容要义的的观察、猜想、发现、归纳、概括、总结等学习过程中，都强调了归纳思想的具体应用.因此，教师可以利用数列问题在此方面的特性，设计如求等比数列、等差数列的通项公式方面问题，引导学生分析问题案例，归纳问题解法，提炼问题策略，提升学生的归纳解题思想.

问题：已知有四个正数，且他们之间成等比数列，现在知道他们之间的积是16，且中间相邻两个正数的和为5，求这四个数及公比.

三、利用数列章节的严密特性，培养学生分类讨论的解题思想

在实际问题解答过程中，通过问题分析、研究活动，在探寻符合问题解题要求的条件过程中，符合要求的条件不只一个，两个，这时就需要通过分别研究、分析的方略，对符合条件的内容进行全面客观的分析，甄选出最为确切的问题条件，从而进行问题的有效解答活动.在数列章节教学中，教师可以设置具有此方面特点的问题，引导学生进行分类讨论活动，从而逐步树立分类讨论思想，实现思维活动严密性和全面性.

四、利用数列章节的函数和方程特性，培养学生函数和方程的解题思想

数列实际上是特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，学生在进行问题解答过程中，由已知条件或数列的性质内容，通过列方程的形式，所求出的量的过程，其中就蕴含了函数与方程的解题思想.

解题策略：在等差数列问题案例的解答中，项数成等差的项仍为等差数列，可以通过采用列方程的形式进行解答，或应用通项公式的变形公式an=am+（n-m）d求解.