概率论论文范文10篇

概率论论文范文篇1

关键词:独立随机过程;计数系统;归纳法;保险业

概率论是一门应用非常广泛的学科。在数学史上,它的产生是以帕斯卡和费马在1654年的七封通信为标志的。由于这些信件中所解决的问题多是与有关的点数问题,因此人们总是把概率论的产生归功于这项机遇游戏。但考古学发现告诉我们,游戏早在文明初期就已经存在了,迄今已有几千年的历史,而概率论从诞生至今不过三百余年,这说明并不是概率论产生的决定性条件。在从出现到概率论产生之间的这段“空白”期,必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。那么这些因素是什么?换句话说,需要具备哪些先决条件,概率论才能得以形成?

一独立随机过程的出现

对概率论而言,两个最主要的概念就是独立性和随机性[1]。概率论是从研究古典概型开始的,它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。通过对这些过程中出现的问题的解决,概率理论体系才逐渐地建立起来。因此要考察概率论的产生条件,我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。

事实上,这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了,那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具,将一个或多个趾骨投掷出去,趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性,而每次投掷的结果也互不影响,这与我们今天投掷骰子的基本原理相当,因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。但是由于趾骨形状的规则性较差,各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性),所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。加之趾骨作为一种占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能轻易使用,这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。

随着社会的进步和文明的发展,骰子变得越来越普遍,不仅数量增多,规则性也日益精良,此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具。从原理上看,只要一枚骰子是质地均匀的,它就可以产生一系列标准的独立随机过程。这些过程具备良好的性质(独立性、随机性、等可能性),是进行概率研究的理想对象。如果经常接触这些随机过程,就很有可能从中发现某些规律性。实际上,通过对骰子的研究我们确实发现了一些有趣的现象。在考古出土的骰子当中,有一些被证明是用于的工具,它们的形状规则而质地却不均匀,也就是说,骰子的重心并不在其几何中心。可以想像,如果骰子的某一面较重,则其对面朝上的机率就会增大,这种骰子明显是为了时用于作弊。而从另一个角度看,如果古代人知道质地不均匀的骰子产生各个结果的可能性不同,那么他们必定清楚一个均匀的骰子产生任何一个结果的机率是相等的。也就是说,经常从事的人必然可以通过大量的游戏过程,意识到掷骰子所得到的结果具有某种规律性,并且这种规律性还可以通过改变骰子的质地而得到相应的改变。虽然古代人的这些意识还只停留在经验总结的水平上,却不得不承认这是一种最原始的概率思想。

游戏存在的时间之长、范围之广、形式之多令人惊讶。但有如此众多的人沉迷于这种游戏活动,也在客观上积累了大量的可供学者进行研究的随机过程。更为重要的是,

在进行的过程中,或许是受到经济利益的驱使,已经开始有人试图解开骰子的奥秘。意大利数学家卡尔达诺就是其中的一位。他本人是个大赌徒,嗜赌如命,但他却具有极高的数学天分。在的过程中,卡尔达诺充分发挥了他的数学才能,研究可以常胜不输的方法。据说他曾参加过这样一种赌法:把两颗骰子掷出去,以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。那么,赌注下在多少点上最有利?

两个骰子朝上的面共有36种可能,点数之和分别为2～12共11种,从上图可知,7位于此六阶矩阵的对角线上,它出现的概率为6/36=1/6,大于其他点数出现的概率,因此卡尔达诺预言说押7最好。这种思想今天看来很简单,但在当时却是很杰出的。他还以自己丰富的实践经验为基础,写成了全面探讨的《机遇博奕》(LiberdeLudoAleae英译为TheBookofGameofChance)一书,书中记载了他研究的全部成果,并且明确指出骰子应为“诚实的”(honest),即六个面出现的机会相等,以便在此基础上研究掷多粒骰子的等可能结果数[2]。

这些实例充分说明,曾对概率论的产生起过积极的作用。这可能就是人们在谈到概率论时总是把它与联系在一起的缘故吧。但是我们应该认识到,的价值并不在于其作为一种游戏的娱乐作用,而在于这种机遇游戏的过程实际上就是良好的独立随机过程。只有出现了独立随机过程,概率论才有了最初的研究对象。而概率论也的确是在解决机遇游戏中出现的各种问题的基础上建立起自己的理论体系的。因此在概率论的孕育期,可以作为一种模型进行研究的机遇游戏过程即独立随机过程的出现是概率论得以产生的一个重要前提条件。

二先进计数系统的出现

前面曾经提到,独立随机过程的出现并不是概率论诞生的决定性因素。职称论文仅有概率思想而不能将概率结果表达出来,也不能形成完整的理论。概率论是一门以计算见长的数学分支,计算过程中需要运用大量的加法和乘法原理(组合数学原理)进行纯数字运算。对于现代人来说,概率计算并不是一件难事。但是对于16世纪以前的人来说,计算却是十分困难的,原因就在于古代缺乏简便的计数系统。当时的计数符号既繁琐又落后,书写和使用都很不方便,只能用来做简单的记录,一旦数目增大,运算复杂,这些原始的符号就尽显弊端了。而没有简便的计数符号,进行概率计算将是十分困难的事,因此计数符号是否先进也在一定程度上决定着概率论的形成。

对于这一点,现代人可能不容易体会得到,究竟古代的计数符号复杂到什么程度呢?我们可以以古罗马的计数系统为例来说明。

古罗马的计数系统是一种现在最为人们熟悉的简单分群数系,大约形成于纪元前后。罗马人创造了一种由7个基本符号组成的5进与10进的混合进制记数法,即

IVXLCDM

1510501005001000

在表示其他数字时采取符号重复的办法,如Ⅲ表示3,XX表示20,CC表示200等。但如果数字较大表示起来就相当复杂了,比如:1999=MDCCCCLXXXXVIIII

后来为了简化这种复杂的表示法,罗马人又引进了减法原则,即在一个较大的单位前放一个较小单位表示两者之差,如Ⅳ表示4,CM表示900,则1999=MCMXCIX

如果要计算235×4=940,现代的竖式是

而公元8世纪时英国学者阿尔琴演算同一道题的过程则要复杂得多:古罗马数字对于这样一个既不含分数和小数,数字又很简单(只有三位数)的乘法运算处理起来尚且如此复杂,可以想象,即使数学家有足够的时间和耐心,要解决概率计算里涉及的大量纯数字运算也是一件太耗费精力的事。在这种情况下想要作出成果,数学家们的时间不是用来研究理论而只能是忙于应付这些繁重的计算工作了。显然古罗马的计数系统并不适合于进行计算,而事实上,欧洲的代数学相比几何学而言迟迟没能发展起来,很大程度上也是由于受到这种落后的计数系统的限制。不仅仅是古罗马数字,在人类文明史上出现过的其他几种计数系统(如古埃及、古巴比伦等的计数系统)也由于符号过于复杂,同样不能承担进行大量计算的任务。

相反,以位值制为基本原理的阿拉伯数字则比古罗马数字以及古代其他的计数系统要先进得多,它不但书写简便,而且非常有利于加法、乘法的运算及小数和分数的表示。从上面的例子可以看出,它的使用可以大大节省运算时间,提高运算效率。正是由于使用了这种先进的计数符号,阿拉伯数字的发明者———古印度人的组合数学(组合数学原理是概率计算运用较多的一种数学工具)才得以领先欧洲人许多。据记载,印度人,特别是公元前三百年左右的耆那数学家就由于宗教原因开展了对排列与组合的研究。公元四百年,印度人就已经掌握了抽样与骰子之间的关系(比欧洲人早一千二百年)。而直到公元8世纪时,商业活动和战争才将这种先进的数字符号带到了西班牙,这些符号又经过了八百年的演化,终于在16世纪定型为今天的样子。

数字符号的简单与否对概率论究竟有什么样的影响,我们不妨举例说明:

问:有n个人,当n为多少时,至少有两人生日相同的概率大于二分之一?

假设所有人生日均不相同的概率为P,则

P=(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]

而题中所求之概率P(n)=1-P=1-(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]

通过计算得出结论,当n=23时,P(n)=0.51>0.5,因此答案为23。

这是概率论中著名的“生日问题”,也是一种很典型的概率计算问题。从它的计算过程中我们不难看出,数字运算在概率论中占有重要的地位。如果使用古罗马的计数法,这样一个概率问题从表达到计算都会相当繁琐,以至于它的求解几乎是不可能的。

对于阿拉伯数字的伟大功绩,大数学家拉普拉斯(Laplace)有如下评价:“用不多的记号表示全部的数的思想,赋予它的除了形式上的意义外,还有位置上的意义。它是如此绝妙非常,正是由于这种简易难以估量⋯⋯我们显然看出其引进之多么不易。”[3]阿拉伯数字的出现为概率的表达和计算扫清了阻碍,如果没有这些简便的符号,概率论可能还只停留在概率思想的阶段。正是由于使用了可以简洁地表示分数和小数的阿拉伯数字,才使概率思想得以通过形式化的符号清晰地表现出来并逐渐形成理论体系。在概率论的孕育阶段,这种形式化的过程是十分必要的,它使得对概率的理解和计算成为可能,因此先进的计数系统对概率论的形成和发展都起着重要的作用。

三概率论产生的方法论基础———归纳法

除了需要具备上述因素以外,概率论的形成还需要具备归纳思维。概率论是一门具有明显二重性的理论体系:“一方面它反映了从大量机遇现象中抽象出来的稳定的规律性;另一方面它关系着人们对证明命题的证据或方法的相信程度”。[4]这两方面特性都以归纳法作为最基本的研究方法,因此可以说,归纳法是概率论的方法论基础,概率论的产生必须在归纳法被广泛运用的前提下才成为可能。归纳法虽然是与演绎法同时存在的逻辑方法,但在文艺复兴以前,占主导地位的推理方式是演绎思维(不具有扩展性),归纳思维是不受重视的。直到文艺复兴运动以后,这种状况才被打破。归纳法因其具有扩展性而逐渐成为进行科学发现的主导方法。

从演绎到归纳,这个过程实际上是一种思维方式的转变过程,虽然转变是在潜移默化中完成的,但转变本身对概率论的出现却起着决定性的作用。我们可以通过考察“概率论”(probability)一词的词根“可能的”(probable)来说明这种转变。在古希腊“,probable”并不是今天的这个含义,它曾意味着“可靠的”或“可取的”,比如说一位医生是“probable”就是指这位医生是可以信赖的。但到了中世纪,这个词的含义发生了变化,它已经和权威联系在一起了。当时的人们在判断事情的时候不是依靠思考或证据而是盲目地相信权威,相信更早的先人所说的话。在这种情况下,如果说某个命题或某个事件是“probable”,就是说它可以被权威的学者或《圣经》之类的权威著作所证明。而经过了文艺复兴之后,人们终于意识到对自然界进行探索(而不是崇拜权威)才是最有价值的事,正如伽利略所说的那样:“当我们得到自然界的意志时,权威是没有意义的。”[5]因此,“probable”才逐渐与权威脱离了关系。15、16世纪时它已经具有了今天的含义“可能的”,不过这种可能性不再是权威而是基于人们对自然界的认识基础之上的。

“probable”一词的演化体现了人们认识事物方式的转变过程。当然这并不是说,文艺复兴以前没有归纳思维。留学生论文当一个人看到天黑的时候他会自然想到太阳落山了,因为每天太阳落山后天都会黑。这种归纳的能力是与生俱来的,即使中世纪的人们思想受到了禁锢,这种能力却还不至消失。而抛弃了权威的人们比先辈们的进步之处在于,他们是用归纳法(而不是演绎法)来研究自然界和社会现象的。他们将各种现象当作是自然或社会的“特征”,进而把特征看作是某种更深层的内存原因的外在表现。通过使用归纳推理进行研究,他们就可以发现这些内在原因,从而达到揭开自然界奥秘和了解社会运行规律的目的。于是在好奇心的驱使之下,归纳思维被充分地激发出来。而这一点恰恰是概率论得已实现的必要条件。从概率论的第一重特性中可以看出,概率论所研究的对象是大量的随机现象,如游戏中掷骰子的点数,城市人口的出生和死亡人数等等。这些多数来自于人们社会活动的记录都为概率论进行统计研究提供了必须的数据资料。虽然这些记录的收集与整理其目的并不在于发现什么规律,但善于运用归纳思维的人却能从中挖掘出有价值的研究素材。例如,早在16世纪,意大利数学家卡尔达诺就在频繁的过程中发现了骰子的某些规律性并在《机遇博奕》一书中加以阐述;17世纪,英国商人J·格龙特通过对定期公布的伦敦居民死亡公告的分析研究,发现了死亡率呈现出的某种规律性[6];莱布尼兹在对法律案件进行研究时也注意到某个地区的犯罪率在一定时期内趋向于一致性。如果没有很好的归纳分析的能力,想要从大量繁杂的数据中抽象出规律是不可能的。而事实上,在17世纪60年代左右,归纳法作为一种研究方法已经深入人心,多数科学家和社会学家都在不自觉地使用归纳的推理方法分析统计数据。除了上述两人(格龙特和莱布尼兹)外,统计工作还吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批优秀学者。正是由于许多人都具备了运用归纳法进行推理的能力,才能够把各自领域中看似毫无秩序的资料有目的地进行整理和提炼,并得到极为相似的结论:随机现象并不是完全无规律的,大量的随机现象的集合往往表现出某种稳定的规律性。概率论的统计规律正是在这种情况下被发现的。

概率论的第二重特性同样离不开归纳法的使用。既然概率论反映的是人们对证明命题的证据的相信程度(即置信度),那么首先应该知道证据是什么,证据从何而来。事实上,证据的获得就是依靠归纳法来实现的。在对自然界特征的认识达到一定程度的情况下,人们会根据现有的资料作出一些推理,这个推理的过程本身就是归纳的过程。当假设被提出之后,所有可以对其合理性提供支持的材料就成了证据,即证据首先是相对于假设而言的。如果没有归纳法的使用,证据也就不存在了。由于归纳推理在前提为真的情况下不能确保结论必然为真,因此证据对假设的支持度总是有限的。在这种情况下,使用归纳推理得到的命题的合理性便不能得到充分的保障。而概率论的第二重特性就是针对这个问题的,证据究竟在多大程度上能够为假设提供支持?这些证据本身的可信度有多少?为解决归纳问题而形成的概率理论对后来的自然科学和逻辑学的发展都起到了重要的作用。

归纳法的使用为概率论的形成提供了方法论基础。它一方面使得概率的统计规律得以被发现,另一方面,也使概率论本身具有了方法论意义。从时间上看,概率论正是在归纳法被普遍运用的年代开始萌芽的。因此,作为一种具有扩展性的研究方法,归纳法为概率论的诞生提供了坚实的思维保障和方法论保障,在概率论的形成过程中,这种保障具有不容忽视的地位。四社会需求对概率论形成的促进作用

与前面述及的几点因素相比,社会因素显然不能作为概率论产生的内在因素,而只能被当作是一种外在因素。但从概率论发展的过程来看,作为一种与实际生活紧密相关的学科,其理论体系在相当大的程度上是基于对社会和经济问题的研究而形成的,因此对实际问题的解决始终是概率理论形成的一种外在动力。在这一点上,社会因素与概率理论形成了一种互动的关系，它们需要彼此相结合才能得到各自的良好发展。从17、18世纪概率论的初期阶段来看,社会经济的需求对概率论的促进作用是相当巨大的[7]。

在社会需求中,最主要的是来自保险业的需求。保险业早在奴隶社会便已有雏型,古埃及、古巴比伦、古代中国都曾出现过集体交纳税金以应付突发事件的情形。到了14世纪,随着海上贸易的迅速发展,在各主要海上贸易国先后形成了海上保险这种最早的保险形式。其后,火灾保险、人寿保险也相继诞生。各种保险虽形式各异,但原理相同,都是靠收取保金来分担风险的。以海上保险为例,经营海上贸易的船主向保险机构(保险公司)交纳一笔投保金,若货船安全抵达目的地,则投保金归保险机构所有;若途中货船遭遇意外而使船主蒙受损失,则由保险机构根据损失情况予以船主相应的赔偿。这样做的目的是为了将海上贸易的巨大风险转由两方(即船主与保险公司)共同承担[8]。从这个过程中可以看出,对保险公司而言,只要船只不出事,那么盈利将是肯定的;对船主而言,即使船只出事,也可以不必由自己承担全部损失。

从性质上看,从事这种事业实际上就是一种行为,两方都面临巨大风险。而这种涉及不确定因素的随机事件恰恰属于概率论的研究范围。工作总结由于保险业是一项于双方都有利的事业,因此在16、17世纪得到了快速的发展,欧洲各主要的海上贸易国如英国、法国、意大利等都纷纷成立保险公司,以支持海上贸易的发展。此外还出现了专门为他人解决商业中利率问题的“精算师”。不过在保险业刚起步的时候,并没有合理的概率理论为保金的制定提供指导,最初确定投保金和赔偿金的数额全凭经验,因此曾经出现过很长时间的混乱局面。而这样做的直接后果就是不可避免地导致经济损失。例如在17世纪,养老金的计算就是一个焦点问题。荷兰是当时欧洲最著名的养老胜地和避难场所,但其养老金的计算却极为糟糕,以致政府连年亏损。这种状况一直持续到18世纪,概率理论有了相当的发展,而统计工作也日渐完善之后,情况才有所改观[9]。在结合大量统计数据的前提下,运用概率理论进行分析和计算,由此得到的结果才更有可能保证投资者的经济利益。

我们可以举一个人寿保险的例子来说明概率理论是如何应用到保险事业中来的:2500个同年龄段的人参加人寿保险,每人每年1月交投保费12元。如果投保人当年死亡,则其家属可获赔2000元。假设参加投保的人死亡率为0.002,那么保险公司赔本的概率是多少?

从直观上看,如果当年的死亡人数不超过15人,则保险公司肯定获利,反之,则赔本。不过单凭经验是绝对不行的,必需有一套合理的理论来帮助处理此类问题。根据所给条件,每年的投保费总收入为2500×12=30000(元),当死亡人数n≥15时不能盈利。令所求之概率为P,由二项分布的计算公式可以得出P(n≥15)=0.000069。也就是说,如果按以上条件进行投保并且不出现特别重大的意外,则保险公司有几乎百分之百的可能性会盈利。

这个问题就是通过将概率理论运用到关于人口死亡的统计结果之上从而得到解决的。这个简单的例子告诉我们,概率理论对保险业的发展有着相当重要的指导作用。根据统计结果来确定在什么样的条件下保险公司才能盈利是概率理论对保险业最主要的贡献,它可以计算出一项保险业务在具备哪些条件的情况下会使保险公司获得收益,并进而保证保险公司的经营活动进入良性循环的轨道。从另一方面看,最初保险业的快速发展与其不具有基本的理论依据是极不协调的,这很容易导致保险公司由于决策失误而蒙受经济损失。因此保险事业迫切需要有合理的数学理论作为指导。在当时的社会环境下,由科学家参与解决实际问题是非常有效的,而由保险所产生的实际问题确实曾吸引了当时众多优秀数学家的目光。在1700-1800年间,包括欧拉、伯努利兄弟、棣莫弗(deMoivre)、高斯等在内的许多著名学者都曾对保险问题进行过研究,这些研究的成果极大地充实了概率理论本身。

可以说,经济因素和概率理论在彼此结合的过程中形成了良好的互动关系,一方面数学家们可以运用已有的理论解决现实问题。另一方面,新问题的出现也大大刺激了新理论的诞生。概率论的应用为保险业的合理化、规范化提供了保证,正是由于有了概率论作理论指导,保险业的发展才能够步入正轨。反过来,保险业所出现的新的实际问题,也在客观上促进了概率理论的进一步完善。这样,对于概率论的发展来说,保险业的需求便顺理成章地成为了一个巨大的动力。

五总结

概率论的产生就像它的理论那样是一种大量偶然因素结合作用下的必然结果。首先,这种机遇游戏提供了一种良好的独立随机过程,在进行的过程中,最原始的概率思想被激发出来;其次,先进的计数系统为概率思想的表达扫清了阻碍,也使得这些思想得以形式化并形成系统的理论。当然在获得概率思想的过程中,思维方式的转变和研究方法的进步才是最根本的关键性条件。如果没有归纳法的使用,即使存在着良好的独立随机过程也不可能使人们认识到大量统计数据中所隐藏着的规律性。此外,社会经济的发展,需要借助数学工具解决许多类似保险金的计算这样的实际问题,而这些吸引了众多优秀数学家们兴趣的问题对于概率论的形成是功不可没的,它大大刺激了概率理论的发展,使概率论的理论体系得到了极大的完善。上述四个因素都是概率论产生的重要条件,但是它们彼此之间并没有明显的时间上的先后顺序,最初它们的发展是各自独立的,但是随后这些条件逐渐结合在一起,使得原本零散的概率思想开始系统化、条理化。从概率论的历史来看,这几种因素的结合点就是17世纪末至18世纪初,因此概率论在这个时间诞生是很自然的事。

了解概率论的产生条件对于我们理解概率论在当今社会的重大意义有很好的帮助。今天,随着概率理论的广泛应用,它已不仅仅是一种用于解决实际问题的工具,而上升为具有重大认识论意义的学科。概率论不仅改变了人们研究问题的方法,更改变了人们看待世界的角度。这个世界不是绝对必然的,它充斥着大量的偶然性,所谓规律也只是在相当的程度上被我们所接受和信任的命题而已。运用概率,我们就可以避免由归纳法和决定论带来的许多问题和争论。科学发现的确需要偶然性,现代科学向我们证明,概率理念和概率方法已经成为进行科学研究的一项重要手段。

【参考文献】

[1]IanHacking.AnIntroductiontoProbabilityandInductiveLogic[M].CambridgeUniversityPress,2001.23.

[2]陈希孺.数理统计学小史[J].数理统计与管理,1998,17(2):61-62.

[3]张楚廷.数学方法论[M].长沙:湖南科学技术出版社,1989.272-274.

[4]IanHacking.TheEmergenceofProbability[M].CambridgeUni-versityPress,2001.1.

[5]莫里斯·克莱因.古今数学思想(第二册)[M].上海:上海科学技术出版社,2002.35.

[6]柳延延.现代科学方法的两个源头[J].自然科学史研究,1996,15(4):310-311.

[7]NeilSchlager.ScienceandItsTimes.Vol4:205-206,Vol5:205-208.GaleGroup,2001.

概率论论文范文篇2

关键词：概率论；教学；思维方法

在数学的历史发展过程中出现了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖．

1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里出现的σ代数[3]

这一概念：设Ω为样本空间，若Ω的一些子集所组成的集合?满足下列条件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，则A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，则∈∞=nnA∪1?，则我们称?为Ω的一个σ代数．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ代数．几何概型是19世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．现在再来理解σ-代数的概念：对同一个样本空间Ω，?1={?,Ω}为它的一个σ代数；设A为Ω的一子集，则?2={?,A,A,Ω}也为Ω的一个σ代数；设B为Ω中不同于A的另一子集，则?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也为Ω的一个σ代数；Ω的所有子集所组成的集合同样能构成Ω的一个σ代数．当我们考虑?2时，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω当作事件，而B或AB就不在考虑范围之内．由此σ代数的定义就较易理解了．2广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个有趣的案例——“玛丽莲问题”：十多年前，美国的“玛利亚幸运抢答”

电台公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1号门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一个，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

由于这个问题与当前电视上一些娱乐竞猜节目很相似，学生们就很积极地参与到这个问题的讨论中来．讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西有关，这样就可以很自然的引出条件概率来．在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得学生的积极性高涨，另一方面让学生意识到所学的概率论知识与我们的日常生活是息息相关的，可以帮助我们解决很多实际的问题．因此在介绍概率论基础知识时，引进有关经典的案例会取得很好的效果．例如分赌本问题、库存与收益问题、隐私问题的调查、概率与密码问题、17世纪中美洲巫术问题、调查敏感问题、血液检验问题、1992年美国佛蒙特州州务卿竞选的概率决策问题，以及当前流行的福利中奖问题，等等[4]．

概率论不仅可以为上述问题提供解决方法，还可以对一些随机现象做出理论上的解释，正因为这样，概率论就成为我们认识客观世界的有效工具．比如说我们知道某个特定的人要成为伟人，可能性是极小的．之所以如此，一个原因是由于某人的诞生是一系列随机事件的复合：父母、祖父母、外祖父母……的结合、异性的两个生殖细胞的相遇，而这两个细胞又必须含有某些产生天才的因素．另一个原因是婴儿出生以后，各种偶然遭遇在整体上必须有利于他的成功，他所处的时代、他所受的教育、他的各项活动、他所接触的人与事以及物，都须为他提供很好的机会．虽然如此，各时代仍然伟人辈出．一个人成功的概率虽然极小，但是几十亿人中总有佼佼者，这就是所谓的“必然寓于偶然之中”的一种含义．如何用概率论的知识解释说明这个问题呢？设某试验中事件A出现的概率为ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把这试验不断独立重复做任意多次，那么A迟早会出现1次，从而也必然会出现任意多次．这是因为，第一次试验A不出现的概率为(1?ε)n，前n次A都不出现的概率为1?(1?ε)n，当n趋于无穷大时，此概率趋于1，这表示A迟早出现1次的概率为1．出现A以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A必然再出现，如此继续，可知A必然出现任意多次．因此，一个人成为伟人的概率固然非常小，但是千百万人中至少有一个伟人就几乎是必然的了[5]．3积极开展随机试验随机试验是指具有下面3个特点的试验：

（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在讲授随机试验的定义时，我们往往把上面3个特点一一罗列以后，再举几个简单的例子说明一下就结束了，但是在看过一期国外的科普短片以后，我们很受启发．节目内容是想验证一下：当一面涂有黄油，一面什么都没有涂的面包从桌上掉下去的时候，到底会哪一面朝上？令我们没有想到的是，为了让试验结果更具说服力，实验人员专门制作了给面包涂黄油的机器，以及面包投掷机，然后才开始做试验．且不论这个问题的结论是什么，我们观察到的是他们为了保证随机试验是在相同的条件下重复进行的，相当严谨地进行了试验设计．我们把此科普短片引入到课堂教学中，结合实例进行分析，并提出随机试验的3个特点，学生接受起来十分自然，整个教学过程也变得轻松愉快．因此，我们在教学中可以利用简单的工具进行实验操作，尽可能使理论知识直观化．比如全概率公式的应用演示、几何概率的图示、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、高尔顿钉板实验等，把抽象理论以直观的形式给出，加深学生对理论的理解．但是我们不可能在有限的课堂时间内去实现每一个随机试验，因此为了有效地刺激学生的形象思维，我们采用了多媒体辅助理论课教学的手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，建立一个图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而拓宽学生的思路，有利于概率论基本理论的掌握．与此同时，让学生在接受理论知识的过程中还能够体会到现代化教学的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果[6]．4引导学生主动探索传统的教学方式往往是教师在课堂上满堂灌，方法单一，只重视学生知识的积累．教师是教学的主体，侧重于教的过程，而忽视了教学是教与学互动的过程．相比较而言，现代教学方法更侧重于挖掘学生的学习潜能，以最大限度地发挥及发展学生的聪明才智为追求目标．例如，在给出条件概率的定义以后，我们知道当P(A)>0时，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就说明事件A的发生不影响事件B的发生．同样当P(B)>0时，若P(A|B)=P(A)，就称事件B的发生不影响事件A的发生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)与P(A|B)=P(A)两个等式都成立，就意味着这两个事件的发生与否彼此之间没有影响．我们可以让学生主动思考是否能够如下定义两个事件的独立性：

定义1：设A，B是两个随机事件，若P(A)>0，P(B)>0，我们有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立．接下来，我们可以继续引导学生仔细考察定义1中的条件P(A)>0与P(B)>0是否为本质要求？事实上，如果P(A)>0，P(B)>0，我们可以得到：

P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是当P(A)=0，P(B)=0时会是什么情况呢？由事件间的关系及概率的性质，我们知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我们可以舍去定义1中的条件P(A)>0，P(B)>0，即如下定义事件的独立性：

定义2：设A，B为两随机事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称A，B为相互独立的事件，又称A，B相互独立．很显然，定义2比定义1更加简洁．在这个定义的寻找过程中，我们不仅能够鼓励学生积极思考，而且可以很好地培养和锻炼学生提出问题、分析问题以及解决问题的能力，从而体会数学思想，感受数学的美．5结束语通过实践我们发现，将数学史引入课堂既能让学生深入了解随机数学的形成与发展过程，又切实感受到随机数学的思想方法；把案例应用到教学当中以及在课堂上开展随机试验可以将概率论基础知识直观化，增加课程的趣味性，易于学生的理解与掌握；引导学生主动探索可以强化教与学的互动过程，激发学生用数学思想来解决概率论中遇到的问题．总之，在概率论的教学中，应当注重培养学生建立学习随机数学的思维方法，通过教学手段的多样化以及丰富的教学内容加深学生对客观随机现象的理解与认识．另外，要以人才培养为本，实现以教师为主导，学生为主体的主客体结合的教学思想，将培养学生实践能力、创新意识与创新能力的思想落到实处，以期达到学生受益最大化的目标，为学生将来从事经济、金融、管理、教育、心理、通信等学科的研究打下良好的基础．

［参考文献］

[1]C·R·劳．统计与真理[M]．北京：科学出版社，2004．

[2]朱哲，宋乃庆．数学史融入数学课程[J]．数学教育学报，2008，17（4）：11–14．

[3]王梓坤．概率论基础及其应用[M]．北京：北京师范大学出版社，2007．

[4]张奠宙．大千世界的随机现象[M]．南宁：广西教育出版社，1999．

概率论论文范文篇3

按照应用性为主的教学目的要求，在概率论与数理统计教学过程中，应该以培养学生应用概率论与数理统计方法解决实际问题的能力为出发点，使学生掌握概率论的基本知识和理解统计方法的基本思想，并将理论的学习转化成一定的统计应用能力。随着目前统计工作所面临的数据日益庞大，传统教学中的计算公式已经很难使用手工计算的方式进行求解，因此借助于计算机及统计软件完成统计计算，分析统计结果、做出统计推断便成为统计教学中不可忽视的一个手段。使用软件辅助概率论与数理统计的教学能使课程中的数据处理和数值计算更简易、更精确。伴随着计算机技术及数学软件的发展，使得诸多的统计分析借助数学软件得以实现，如参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等计算问题，也无需担心大量的统计数据带来的计算量等问题。同时，在高等教育统计教学中应用统计软件，有利于培养学生学习统计、计算机及软件等专业课的兴趣，提高学生的计算能力和利用专业知识解决实际问题的能力，科学整合统计教学内容，促进统计教学面向社会需要，提升学生的实践能力。在教学中进行软件的训练也能为学生将来的工作打下初步的基础，为了更好进行概率论与数理统计的教学和实践，近年来新编教材也增加了数学软件的内容，在概率论与数理统计课程教学中使用数学软件已成为改革发展的趋势。在课堂教学中，为了让学生加深对理论的理解，实践环节的设置变得非常关键，概率论与数理统计课程中加入数学实验能很好的填补学生在理论和实践之间的空白。数学实验的开展可以在数学教育中体现学生的主体意识，让学生做到边学边用，提高学生学习的趣味性、体现数学教育的时代性。因此，将数学实验融入概率论与数理统计教学，是概率论与数理统计教学改革中非常值得探讨和研究的课题。根据概率论与数理统计课程的特点，数学实验的内容设计可以和案例教学方法进行有机结合。案例式教学能解决概率知识综合运用的问题，能丰富课程内容、加深学生对知识的理解。教学案例能将所学知识有机联系起来，使课程的各部分不再是孤立的，通过对案例设置问题的求解，便能使学生完成由学概率论与数理统计理论到用概率论与数理统计解决问题的转变。在解决实际问题的过程中辅以软件进行数值计算试验，能最大限度发挥软件的优势，使学生学以致用，将理论学习与实际应用有机结合起来。在传统概率论与数理统计教学过程中，概率论与数理统计课程计算量大一直是困扰课堂教学的难点问题，如二项分布，若试验次数较多，其中的具体概率计算将变得十分复杂。复杂的计算往往使得教师的教学重点发生偏移，侧重课后习题计算的处理，使得课程的设计重点偏向排列组合公式的计算。另外在教学过程中，前后知识的联系对初学者也是一个障碍，比如条件概率等基本公式在讨论多元随机变量时还会用到，但在教学实践中我们会发现，由于缺少互相联系的教学实例，学生一般都是将这两部分分开来学习，不习惯将前面的知识和随机变量进行有机结合。因此设计恰当的案例，将知识前后贯通是教师面临的重要任务。

2软件介绍

在强调学生为主体的实践式教学设计中，教师设计案例的求解一般要选择合适的软件进行辅助，当前数学软件众多、功能强大，如综合性软件Mat－lab，统计专业软件SPSS、SAS等。对于专业数学软件一般要先进行软件的学习才能用来解决实际问题，对于概率论与数理统计这样一门独立的课程，显然不宜专门来进行软件的培训，为了应对实践教学课堂应用，简单易学且容易配置的软件能最大限度实现教学任务。在此以Excel为例介绍案例式教学和利用Excel进行软件试验的一点尝试。Excel使用简便，基本不涉及程序的编制，在图形化界面下进行操作，且具备有强大的图形功能，便于概率结果的呈现和分析。Excel有丰富的概率函数，能帮助用户进行各种类型的概率计算，或进行随机模拟来学习概率论与数理统计。Excel可以计算大部分常用理论分布的概率密度函数PDF、累积分布函数CDF以及模拟产生服从常用概率分布的随机数据。如果能够正确使用，Excel可以成为非常强大的学习工具。选用Excel作为概率论与数理统计教学辅助软件的另一个原因是作为微软Office工具之一，大部分学生均了解Excel的使用，因此不用进行软件的教学即可用来解决实际问题，在学习过程中也能进一步促进学生对软件的使用增强他们解决实际问题的能力。下面介绍一个利用Excel辅助的案例式实验教学设计实例。为了使数学实验背景贴近学生的学习生活，以考试中选择题成绩分析为例。背景分析：考试是每个学生都经历的学习过程，其中选择题是经常遇到的类型，选择题的设计与概率知识之间有密切的关系。通过与学生密切相关的问题引入概率教学，能极大激发学生的学习兴趣。问题设计：选择题在解答时不同于填空题或者解答题，因为在完全不会的情况下仍有可能靠猜测得到正确的答案，那如何来评估选择题在考试中的效度，可以使用什么样的概率论与数理统计的基本知识予以研究？

3实验教学案例设计

首先提出基本假设，考试时一个选择题有4个选项，仅有一个选项是正确的，如果不会做就随机作答，因此在不会做题的情况下随机选择答案有25％的可能性得到正确答案，即从卷面上看该题做对了，对于老师来说，按照成绩评价学生实际知识水平非常重要，因此需要评估在答案正确的前提下求学生实际会做该题的概率。图像显示出选择题答案正确而显示被试者会做该题的概率一直大于被试者实际会做该题的概率，说明选择题容易高估被试者的水平，为了有效区分被试者的不同程度，需要适当调节题目的难度来区分被试者是不是真的会做。作为一个例子，若学生会做与不会做的概率相同，取x＝0．5，则容易计算出P（A｜B）＝0．8，即实际会做概率为0．5时，选择题表现出来的得分可能为0．8分。对于数学实验来说，让学生自己对该案例进一步讨论，亲自实践在软件辅助下的概率解题，对促进学生将理论用于实际非常重要。在课堂讲授的基础上，可以将学生自学内容引申到用随机变量的分布律和分布函数来研究在实际考试中选择题得分情况演示，结合二项分布理论研究选择题对学习评价的情况。评价借助于Excel软件设计如下实验。假设某项考试由100道选择题组成，每道题1分，学生会做该题的概率为x（实际问题中相当于难度系数为1－x），当x＝0的时候，被试者对考试内容完全不会，每题都随机选择，可以看成服从参数为（100，0．25）的二项分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函数进行二项分布概率密度值和分布函数值的计算来演示考试结果。函数用法为：BINOM－DIST（k，n，p，FALSE／TRUE），其中k表示回答正确的题目数量，可以使用单元格自动生成，n，p为二项分布的参数。n表示总试验次数，p表示每次试验中事件出现的次数即答对题的概率。后面的参数FALSE／TRUE用来说明是计算概率密度函数和是计算分布函数。如BINOMDIST（A2，100，0．25，FALSE）表示对A2单元格中的自变量计算参数为（100，0．25）的二项分布概率密度函数值。使用Ex－cel的自动填充功能，便可方便生成该二项分布的概率密度表。为方便调节二项分布参数，可以将参数（n，p）用单元格的绝对引用代替，改变参数单元格的数值就能得到不同二项分布的概率密度表格。Excel还可以对概率密度表和分布函数表生成条形图和线图，若试题难度系数0．5，学生事实会做的题目应该有50道，因此会做的题目有50道，另外不会做的随机选择，正确率0．25，因此回答正确的题数为12．5，两者相加可知最终得62．5分的概率最大。

4结束语

概率论论文范文篇4

关键词：概率论；教学；思维方法

在数学的历史发展过程中出现了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖．1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里出现的σ代数[3]

这一概念：设Ω为样本空间，若Ω的一些子集所组成的集合?满足下列条件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，则A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，则∈∞=nnA∪1?，则我们称?为Ω的一个σ代数．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ代数．几何概型是19世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．现在再来理解σ-代数的概念：对同一个样本空间Ω，?1={?,Ω}为它的一个σ代数；设A为Ω的一子集，则?2={?,A,A,Ω}也为Ω的一个σ代数；设B为Ω中不同于A的另一子集，则?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也为Ω的一个σ代数；Ω的所有子集所组成的集合同样能构成Ω的一个σ代数．当我们考虑?2时，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω当作事件，而B或AB就不在考虑范围之内．由此σ代数的定义就较易理解了．2广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个有趣的案例——“玛丽莲问题”：十多年前，美国的“玛利亚幸运抢答”

电台公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1号门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一个，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

由于这个问题与当前电视上一些娱乐竞猜节目很相似，学生们就很积极地参与到这个问题的讨论中来．讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西有关，这样就可以很自然的引出条件概率来．在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得学生的积极性高涨，另一方面让学生意识到所学的概率论知识与我们的日常生活是息息相关的，可以帮助我们解决很多实际的问题．因此在介绍概率论基础知识时，引进有关经典的案例会取得很好的效果．例如分赌本问题、库存与收益问题、隐私问题的调查、概率与密码问题、17世纪中美洲巫术问题、调查敏感问题、血液检验问题、1992年美国佛蒙特州州务卿竞选的概率决策问题，以及当前流行的福利中奖问题，等等[4]．概率论不仅可以为上述问题提供解决方法，还可以对一些随机现象做出理论上的解释，正因为这样，概率论就成为我们认识客观世界的有效工具．比如说我们知道某个特定的人要成为伟人，可能性是极小的．之所以如此，一个原因是由于某人的诞生是一系列随机事件的复合：父母、祖父母、外祖父母……的结合、异性的两个生殖细胞的相遇，而这两个细胞又必须含有某些产生天才的因素．另一个原因是婴儿出生以后，各种偶然遭遇在整体上必须有利于他的成功，他所处的时代、他所受的教育、他的各项活动、他所接触的人与事以及物，都须为他提供很好的机会．虽然如此，各时代仍然伟人辈出．一个人成功的概率虽然极小，但是几十亿人中总有佼佼者，这就是所谓的“必然寓于偶然之中”的一种含义．如何用概率论的知识解释说明这个问题呢？设某试验中事件A出现的概率为ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把这试验不断独立重复做任意多次，那么A迟早会出现1次，从而也必然会出现任意多次．这是因为，第一次试验A不出现的概率为(1?ε)n，前n次A都不出现的概率为1?(1?ε)n，当n趋于无穷大时，此概率趋于1，这表示A迟早出现1次的概率为1．出现A以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A必然再出现，如此继续，可知A必然出现任意多次．因此，一个人成为伟人的概率固然非常小，但是千百万人中至少有一个伟人就几乎是必然的了[5]．3积极开展随机试验随机试验是指具有下面3个特点的试验：

（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在讲授随机试验的定义时，我们往往把上面3个特点一一罗列以后，再举几个简单的例子说明一下就结束了，但是在看过一期国外的科普短片以后，我们很受启发．节目内容是想验证一下：当一面涂有黄油，一面什么都没有涂的面包从桌上掉下去的时候，到底会哪一面朝上？令我们没有想到的是，为了让试验结果更具说服力，实验人员专门制作了给面包涂黄油的机器，以及面包投掷机，然后才开始做试验．且不论这个问题的结论是什么，我们观察到的是他们为了保证随机试验是在相同的条件下重复进行的，相当严谨地进行了试验设计．我们把此科普短片引入到课堂教学中，结合实例进行分析，并提出随机试验的3个特点，学生接受起来十分自然，整个教学过程也变得轻松愉快．因此，我们在教学中可以利用简单的工具进行实验操作，尽可能使理论知识直观化．比如全概率公式的应用演示、几何概率的图示、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、高尔顿钉板实验等，把抽象理论以直观的形式给出，加深学生对理论的理解．但是我们不可能在有限的课堂时间内去实现每一个随机试验，因此为了有效地刺激学生的形象思维，我们采用了多媒体辅助理论课教学的手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，建立一个图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而拓宽学生的思路，有利于概率论基本理论的掌握．与此同时，让学生在接受理论知识的过程中还能够体会到现代化教学的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果[6]．4引导学生主动探索传统的教学方式往往是教师在课堂上满堂灌，方法单一，只重视学生知识的积累．教师是教学的主体，侧重于教的过程，而忽视了教学是教与学互动的过程．相比较而言，现代教学方法更侧重于挖掘学生的学习潜能，以最大限度地发挥及发展学生的聪明才智为追求目标．例如，在给出条件概率的定义以后，我们知道当P(A)>0时，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就说明事件A的发生不影响事件B的发生．同样当P(B)>0时，若P(A|B)=P(A)，就称事件B的发生不影响事件A的发生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)与P(A|B)=P(A)两个等式都成立，就意味着这两个事件的发生与否彼此之间没有影响．我们可以让学生主动思考是否能够如下定义两个事件的独立性：

定义1：设A，B是两个随机事件，若P(A)>0，P(B)>0，我们有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立．接下来，我们可以继续引导学生仔细考察定义1中的条件P(A)>0与P(B)>0是否为本质要求？事实上，如果P(A)>0，P(B)>0，我们可以得到：

P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是当P(A)=0，P(B)=0时会是什么情况呢？由事件间的关系及概率的性质，我们知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我们可以舍去定义1中的条件P(A)>0，P(B)>0，即如下定义事件的独立性：公务员之家

定义2：设A，B为两随机事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称A，B为相互独立的事件，又称A，B相互独立．很显然，定义2比定义1更加简洁．在这个定义的寻找过程中，我们不仅能够鼓励学生积极思考，而且可以很好地培养和锻炼学生提出问题、分析问题以及解决问题的能力，从而体会数学思想，感受数学的美．5结束语通过实践我们发现，将数学史引入课堂既能让学生深入了解随机数学的形成与发展过程，又切实感受到随机数学的思想方法；把案例应用到教学当中以及在课堂上开展随机试验可以将概率论基础知识直观化，增加课程的趣味性，易于学生的理解与掌握；引导学生主动探索可以强化教与学的互动过程，激发学生用数学思想来解决概率论中遇到的问题．

总之，在概率论的教学中，应当注重培养学生建立学习随机数学的思维方法.通过教学手段的多样化以及丰富的教学内容加深学生对客观随机现象的理解与认识．另外，要以人才培养为本，实现以教师为主导，学生为主体的主客体结合的教学思想，将培养学生实践能力、创新意识与创新能力的思想落到实处，以期达到学生受益最大化的目标，为学生将来从事经济、金融、管理、教育、心理、通信等学科的研究打下良好的基础．

［参考文献］

[1]C·R·劳．统计与真理[M]．北京：科学出版社，2004．

[2]朱哲，宋乃庆．数学史融入数学课程[J]．数学教育学报，2008，17（4）：11–14．

[3]王梓坤．概率论基础及其应用[M]．北京：北京师范大学出版社，2007．

[4]张奠宙．大千世界的随机现象[M]．南宁：广西教育出版社，1999．

概率论论文范文篇5

论文摘要:对现代金融数学的发展进行了较详细的综述，并就其研究动态及发展趋势进行了分析。

一、引言

现代金融理论伴随着金融市场的发展大量应用概率统计，这是经济数学化的最大成就，从而出现了一个全新的学科—-金融数学。金融数学是以概率统计和泛函分析为基础,以随机分析和鞅理论为核心，主要研究风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价、避险和最优投资消费策略的选择。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开发项目的评估（如实物期权）以及在金融机构的风险管理中得到广泛应用。现在对它的研究方兴未艾,21世纪肯定是它进一步蓬勃发展的时代。

二、金融数学的历史进展

金融数学的历史可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶(L·Bachelier)的博士论文—“投机的理论”(TheoryofSpeculation)，这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用布朗运动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖,买者看涨、卖者看跌,其价格的波动是布朗运动(BrownianMotion)其统计分布是正态分布,这要比爱因斯坦1905年研究布朗运动早5年。

然而，巴谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达50多年。20世纪50年代初，萨缪尔森（PaulA.Samuelson）通过统计学家萨维奇（L·J.Savage）重新发现了巴谢利耶的工作，这标志了现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次是在1952年。那年，马尔柯维茨（H.Markowitz,1952）发表了他的博士论文，提出了“资产组合选择的均值方差理论”（mean-variancetheoryofportfolioselection）.它的意义是将原来人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险水平极大化期望收益，或者给定收益水平极小化风险，这就是上述“均值方差理论”的主要思想，我们可以将它看成是一个带约束的最优化问题。稍后，夏普（W.F.Sharpe,1964）和林特纳（J.Lintner,1965）进一步拓展了马尔柯维茨的工作，提出了“资本资产定价模型”（capitalassetpricingmodel,简称CAPM）。它的要点是确定每一个股票和整个市场的相关性，于是，对于上述最优化问题，每个股票的持有量可以由该股票的平均回报率和该股票与市场的相关系数来确定。

值得一提的是20世纪60年代的另一个有影响的工作是萨缪尔森（Samuelson,1965）和法马（E.Fama，1965）的“市场有效性假设”（efficientmarkethypothesis）,这本质上是对于市场完备性的某种描述。他们证明，在一个运作正常的市场中，资本价格过程是一个（下）鞅，换句话说，将来的收益状况实际上是不可测的，这项工作实际上为第二次革命做了铺垫。费希尔（Fisher）和洛里（lorie）利用1920年中期倒1960年中期的历史数据检测了“市场有效性假设”。他们的结果表明，在这段时间里，随机的选择股票并且持有，其平均回报率为每年9.4％，它要比一般的专业经纪人为他们的顾客运作所获得的赢利来得高。

金融数学的第二次革命发生在1973年。那年，费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯（F.BlackandM.Scholes,1973）发表了著名的Black-scholes公式，给出了欧式期权定价的显示表达式。默顿和斯科尔斯在纪念布莱克的一篇文章（Mertonandscholes,1995）中叙述了当年布莱克和斯科尔斯的文章被接受的困难程度，其原因是他们的工作超前了那个时代。

不久，默顿获得了另一种推导方法，并且给以了推广。1979年，考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox,Ross,andRubinstein,1979）发表了二叉树模型；同时哈里森和克雷普斯（HarrisonandKreps）提出了多时段的鞅方法和套利。1981年，哈里森和普利斯卡（HarrisonandPliska,1981）提出了等价鞅测度（这与“市场有效性假设”有密切的关系）。这些工作本质上是为了风险管理这个主题服务的。

三、现代金融数学的发展趋势

（一）金融数学的一些新问题

金融数学的两大突破都用到了非常深刻的数学工具。前者需要近20年发展起来的随机分析;后者更是为数学家提出了许多新问题。如美式期权问题、亚洲期权问题、利率的期限结构问题、市场的波动与突发事件问题,等等。在理论研究上,模型的进一步修正是一个需要深入研究的问题。在应用研究上,如何针对具体的金融问题设计新的期权?也不是所有期权都会有精确的定价公式。如何做各种近似计算?各类保险合同实际上也是一种特殊的期权。如何应用于保险事件?最重要的是结合中国的金融实际还有许多宏观与微观的经济问题需要解决。

（二）概率论在金融数学中最新的理论发展

1、鞅理论

现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在市场是有效的假定下,证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。由Karatzas和Shreve等人倡导的鞅方法直接把鞅理论引入到现代金融理论中，利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题,得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律,而且可以提供一套有效的算法,求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位,但在国内还是一个空白。公务员之家

2、最忧停时理论

最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域,他的蓬勃发展是60年代以后的事。近几年,在国内也有一些学者开始热心这一领域的研究,而且取得了可喜的成果运用最优停时理论研究了具有固定交易费用的证券投资决策问题,给出了具有二个风险证券的投资决策问题一种简化算法。在国内有关这方面的研究尚不多见，相信运用最优停时理论来研究投资决策问题和风险最小化问题会有更大的进展。

四、结束语

金融与数学的结合越来越引起国际金融界和数学界的关注。金融数学也已经开始在我国得到了越来越广泛的重视。所以更应鼓励数学系学生去考经济金融研究生;增加经济和金融专业数学内容(而不是减少)，鼓励专家学者“下海”,以形成高素质的新型企业家、银行家集团，为我国的金融体制改革,以及我国金融市场与国际金融市场接轨、参与国际金融市场竞争,做出应有的贡献。

参考文献：

[1]刘海龙,德惠.人文科学与自然科学的交叉研究:金融学中的数理方法综述.东北大学学报,1999，（4）

概率论论文范文篇6

《概率论与数理统计》是一门注重理论的数学课程，在教学中让学生掌握基本理论是必要的，但在教学过程中也不能仅仅以此作为目标。那么，一方面，在教学中我们就要做到有取有舍，基本的定理和公式要讲清楚，而对于这些定理和公式的证明可以对学生降低要求，通过多举例子，多给实际案例，让学生学会使用这些公式和定理;另一方面，将一部分学时单独列为实践学时，目前数学软件在统计领域的使用非常广泛，比如常见的:Mtlab、SAS、SPSS等，在教学中将理论与相关数学软件相结合，进行上机教学。让学生通过实践认识到本门学科在实际中如何应用，也让学生能够掌握一到两门数学软件的使用，方便他们今后专业学习。

二、结合专业，注重案例教学

在地质类专业中，很多实际问题都直接用到了《概率论与数理统计》中的内容，比如:区间估计、假设检验、参数估计等，都是在地质类专业教学中常用的数理统计方法。那么，我们在《概率论与数理统计》的课堂教学中就可以有的放矢地将地质类学科中的案例与数理统计中的这些方法相结合，把地质学中的实际问题当作例子在《概率论与数理统计》课堂中进行讲解，地质类专业的案例在很多时候就是在具备专业背景下的统计学的应用，用这类问题来替换课本上枯燥的数学例子，一方面可以增强课堂的趣味性，提高学生的学习兴趣和积极性，另一方面也为将来学生在专业课中使用概率论与数理统计知识打下基础，帮助学生顺利地完成从基础课到专业课的自然过渡。

三、将数学建模的思想融入日常教学中

概率论论文范文篇7

对传统的概率论与数理统计教学进行归纳，大致是：理论知识+说明举例+解题+考试。这种教学模式可以让学生掌握基础知识，提升计算能力，也有利于解决课后习题。但这种教学模式也有一定的缺陷，不难看出，它与实际脱离较大，更多地停留在书本上。学生掌握了理论知识，未必会将其运用到实际，这违背了素质教育的宗旨，不利于学生学习积极性的提高。运用数学建模的指导思想，可以有效避免传统教学模式的缺陷。数学建模的一个重要功能就是培养学生理论联系实际的能力。将数学建模思想融入教学，是概率论与数理统计教学的需要，也是顺应教学改革的需求。

二、数学建模思想融入课堂教学

教师在讲授概率论与数理统计课程时，面临着非常重要的任务。如何让学生通过学习增强对本课程的理解，并将知识合理地运用到实践中，是摆在教师面前的问题。教师要将数学建模思想合理地融入到课堂。

（一）课堂教学侧重实例

概率论与数理统计课程是运用性很强的一门课程。因此，将教学内容与实例想结合，可以有效提高学生的理解力，加深学生对知识点的印象。例如，在讲授概率加法公式的时候，可以用“三个臭皮匠问题”作为为实例。“三个臭皮匠赛过诸葛亮”是对多人有效合作的一种赞美，我们可以把这个问题引入到数学中来，从概率的计算方面验证它的正确性。首先可以建立起数学模型，三个臭皮匠能否赛过诸葛亮，主要是看他们解决实际问题的能力是否有差距，归结为概率就是解决问题的概率大小比较。不妨用C表示诸葛亮解决某问题，Ai表示第i个臭皮匠单独解决某问题，其中i=1,2,3，每个臭皮匠解决好某问题的概率是P（A1）=0.45，P（A2）=0.55，P（A3）=0.60，而诸葛亮成功解决问题的概率是P（C）=0.90。那么事件B顺利解决对于诸葛亮的概率是P（B）=P（C）=0.90，而三个臭皮匠解决好B问题的概率可以表示成P（B）=P（A1）+P（A2）+P（A3）。解决此问题的过程中，学生既感受到了数学建模的乐趣，也在轻松的氛围中学习到了概率知识。这种贴近实际生活的教学方式，不但可以提高学生学习概率的积极性，也可以增强教师从事素质教育的理念。

（二）开设数学实验课

数学实验一般要结合数学模型，以数学软件为平台，模拟实验环境进行教学。发展到今天，计算机软件已经很成熟，一般的统计计算都可以由计算机软件来完成。SPSS、SAS、MABTE等软件已经广泛得到了运用，较大数据量的案例，如统计推断、数据模拟技术等方面的问题，都可以用这些软件来处理。通过数学实验，不但可以体现数学建模的全过程，还能增强学生的应用意识，促使他们主动学习概率论与数理统计知识。学生通过软件的学习与运用，增强了动手能力，解决实际问题的能力也会有所增强。

（三）使用新的教学方法

众所周知，传统的填鸭式的教学方法很难取得好的教学效果，已经不适应现代教学的要求。实践证明，结合案例的教学方法可以由浅入深，从直观到抽象，具有一定的启发性。学生可以从中变被动为主动，加深对知识的理解。这种教学方法还能让学生的眼光从课堂上转移到日常生活，进行发散思维，学生会进一步发挥主观能动性，思考如何将实际问题数学化，如何结合概率论与统计知识解决实际问题，等等。在这种情况下，学生的兴趣提高了，教学效率自然也会得到提高。

（四）建立合理的学习方式

概率论与数理统计教学不能一味地照本宣科。数学建模并无固定模式，它需要的更多是技能的综合。教师在实际教学过程中，不应该以课本为标准，而应该多引导学生自主解决实际问题，让学生去查阅相关背景资料，以提高其自学能力。教师可以适当补充一些前言的数学知识，让一些新观念和新方法开阔学生的视野。在处理习题问题上，教师要适当引入一些不充分的问题，而不是仅仅局限于条件比较充分的问题上，要让学生自己动手分析数据、建立模型。教师应该经常开展专题讨论，引导学生勇于提出自己的见解，加强学生间的交流与互助。例如，在讲授二项分布知识时，为了加深学生对知识的领悟，教师可以用“盥洗室问题”为实例来讲授二项式的实际运用。问题：宿舍楼内的盥洗室处于用水高峰时，经常要排队等待，学生对此意见很大。学校领导决定把它当作一道数学题来解答，希望学生能从理论上给出合理的解决方法。分析：首先收集基本的资料，盥洗室有50个水龙头，宿舍楼内有500个学生，用水高峰期为2小时（120分钟），平均每个学生用水时间为12分钟，等待时间一般不超过12分钟，但经常等待会让学生失去耐心。学生希望100次用水中等待的次数不超过10次。解决方法：设X为某时刻用水的学生人数，先找到X服从什么分布。500个学生中，每个学生的用水概率是0.1，现在X人用水，与独立实验序列类似，比较适合用二项分布，因此设X服从二项分布，n=500，p=0.1，用概率公式表示为P（X=K）=CKnPK（1-P）n-K。接下来计算概率，主要关注不需要等待的概率（即X<50），P（X<50）=∑49K=0CKnPK（1-P）n-K，这个二项式分布是一个初步的模型，可按二项分布来计算。由于n较大（n=500），直接用二项分布计算过于复杂，我们可以利用两种简化近似公式来计算（泊松分布和正态分布）。经过查正态分布表，我们可以算出x=58，这说明水龙头的个数在59～62这个范围时，学生等待的时间概率比较合理。

三、课后练习反馈数学建模思想

数学课程离不开课后练习，课后作业是其重要的组成部分，对于巩固课堂知识、进一步理解所学理论具有重要作用。因此，教师要把握好课后练习环节。概率论与数理统计这门课涉及到很多随机试验，一般的统计规律都需要在随机试验中找到结果。例如通过投掷骰子或硬币可以理解频率与概率的关系，通过双色球的抽样可以理解随机事件中的相互独立性，统计一本书上的错别字可以判断其是否符合泊松分布等。通过亲自做实验，学生们不但能探求到随机现象的规律性，还能进一步巩固所学的统计理论。除了一般的练习题以外，教师可以适当增加一些与日常生活密切相关的概率统计题目，这些题目往往趣味性较强。例如，在知道的抽奖方法和中奖规则后，可以明确三个问题：（1）摸的次序与中奖概率是否相关？（2）假如的总量是100万张，则一、二等奖的中奖概率是多少？（3）一个人打算买，在何种情况下中奖概率大一些？这种课后练习对于学生趣味的提高很有帮助。

四、考核方式折射数学建模思想

作为一门课程，肯定需要考核，这是教学过程中的一个必然环节。课程考核是评估教学质量的重要方式。概率论与数理统计课程传统的考试一般采用期末闭卷考试，教师通常按固定的内容出题。这种情况下，学生为了应付考试，会把很多精力都用在背诵公式和概念上面，从而会忽视知识的实际运用。学生的综合成绩虽然也包括平时成绩，但期末闭卷考试往往占据很大比例。就是是平时成绩，其主要还是考核学生课后的习题完成情况。因此，考核实际就成了习题考试。对于学生在课后的实验，考核中往往很少涉及。这会导致学生逐渐脱离日常实际，更注重课堂考勤和作业。要改变这种情况，有必要改变传统的考核方式。灵活多变的考核方式才更有利于调动学生的积极性，激发他们各方面的潜能。考核可以适当增加平时成绩所占的比重，比如，平时成绩可以占总成绩的30%以上。平时成绩主要采用开放性考核，由课后实验或课外实践组成。教师可以提出一些实践问题，让学生自主去解决。学生可以单独完成任务，也可以组队进行，最后提交一份研究报告，教师在此基础上进行评定。

五、结语

概率论论文范文篇8

少年时代的许宝騄受益于表姐夫徐传元(毕业于美国麻省理工学院)的指导。1928年,许宝騄考入燕京大学化学系,但对数学的浓厚兴趣,促使他改攻数学,并于1930年考入清华大学数学系。期间,深受熊庆来(1893—1969年)、孙光远(1900—1979年)和杨武之(1896—1973年)的教诲。1933年,以优异成绩获得理学士学位。1936年,通过赴英庚子赔款公费留学考试,进入伦敦大学学院(UniversityCollege)的高尔顿(FrancisGaldon,1822—1911)实验室和统计系学习数理统计学。1938年获得哲学博士学位,两年后又获得理学博士学位[2]。

1940年,许宝騄回到抗日烽火中的祖国,受聘为北京大学教授,在西南联合大学任教。1945年,应加州伯克利大学和哥伦比亚大学的联合邀请而前往美国。1947年10月,谢绝众多朋友的挽留,毅然回到中国,此后一直在北京大学任教。

许宝騄是中央研究院第一届当选的5名数学所院士之一。1955年当选为中国科学院学部委员。1979年美国《数理统计学年鉴》高度评价了他对概率论与数理统计学科所做出的卓越贡献。1981年和1983年,科学出版社和德国施普林格(Springer2Verlag)出版社分别出版了《许宝騄文集》和《许宝騄选集》。在美国斯坦福大学统计系走廊里至今悬挂着许宝騄的画像。

1984年,为了纪念许宝騄及推进我国统计学的发展,数学家钟开莱、郑清水、徐利治发起设立“许宝騄统计数学奖”,奖励35岁以下研究数理统计与理论统计的青年工作者。这是我国最高的数学奖项之一。

1问津概率论王国

1880年,英国学者傅兰雅(JohnFryer,1839—1928)和中国数学家华蘅芳(1833—1902年)合译的《决疑数学》是传入我国的第一部概率论著作。由于种种因素,该书对我国的概率论发展没有产生多大影响。辛亥革命后,微积分、近世代数、近世几何学等相继进入我国的高等教育领域,而概率论尚未进入。1915年1月创刊的中国第一份现代科学杂志《科学》曾刊出一篇文章《最小二乘式》,此为我国第一篇概率论文章。后胡明复(1891—1927年)曾撰写《几率论》、《误差论》等一系列论文探讨概率统计的哲学问题[3]。由于受中国传统数学思想的影响,加之近代数学基础薄弱,随机数学在我国发展甚是缓慢。直到20世纪30年代,我国数学家褚一飞、刘炳震、许宝騄、钟开莱等才陆续发表概率论与数理统计的研究论文,拉开了中国对概率论与数理统计研究的序幕。

许宝騄痛感中国数学之落后,怀着满腔的报国热情,决心把自己的事业立足于祖国。由于概率论与数理统计在中国几乎是空白的学科领域,于是,许宝騄以惊人毅力和无私奉献精神为其奠定了基础,并为之振兴付出了毕生精力。

在实际工作及理论问题中,概率接近于1或0的随机事件具有重要意义。概率论的一个基本问题就是探索概率接近于1的规律,特别是大量独立或弱相依因素累积结果所发生的规律。大数定律就是研究这种规律的命题之一。许宝騄对大数定律进行了深入探讨。

强大数定律和弱大数定律取决于收敛的类型。第一个弱大数定律由雅可布·伯努利(JacobBernoulli,1654—1705)提出,刻画了大量经验观测中呈现的稳定性。后泊松(SiméonDenisPoisson,1781—1840)又提出了一个条件更宽的陈述,即泊松大数定律。

切比雪夫(P.L.Chebyshev,1821—1894)第一次严格地证明了伯努利大数定律,并把结果推广到泊松大数定律。1866年,切比雪夫给出著名的切比雪夫不等式,并由此导出切比雪夫大数定律。

第一个强大数定律由法国数学家博雷尔(EmailBorel,1871—1956)在1909年对伯努利试验场合建立。他证得若试验次数无限增加时,频率将趋于概率。博雷尔的工作激起了数学家沿这一崭新方向的一系列探索,其中尤以柯尔莫戈罗夫(A.H.Kolmogorov,1903—1987)的研究最为卓著。他在1926年推导了弱大数定律成立的充分必要条件,后又对博雷尔提出的强大数定律给出了一般结果。

许宝騄进一步加强了强大数定律的结论。其结果为:设X1,X2,⋯,Xn,⋯是独立同分布均值为零、方差有限的随机变量序列,任给ε>0,有Σ∞n=1P1n|X1+X2+⋯Xn|>ε<∞证明是经过一个卷积的富立叶逆转,把问题转化为含有特征函数某个积分的分片估计,这需要具有相当深厚的数学功底和敏锐的数学眼光才能完成。由于推证较复杂,尽管已经得出关于矩的充要条件,但在刊出时删去了必要性的证明[4]。

概率论中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性,对随机变量收敛性的不同定义将导致不同的极限定理。许宝騄在“依分布收敛”、“依概率收敛”、“r2阶收敛”和“依概率1收敛”的基础上,创造性地提出“完全收敛性”概念,开辟了概率论极限理论研究的新局面。直到今天,对完全收敛性的讨论仍是一个有意义的课题,这就足以表明该文的开创性价值。正如许宝騄所说:“一篇论文不能因为获得发表就有了价值。其真正价值要看发表后被引用的状况来评价。”[1]许宝騄对中心极限定理也进行了较为深入的研究。“中心极限定理”这个术语是由波利亚(G.Polya,1887—1985)1920年引入的。该定理断言在适当条件下,大量独立随机变量和的概率分布近似于正态分布。在长达两个世纪的时间内极限定理成了概率论的中心课题。

1733年,棣莫弗(A.DeMoivre,1667—1754)由二项分布的渐进分布推导出正态分布。较一般的极限定理由拉普拉斯(Pierre2SimonMarquisdeLaplace,1749—1827)给出,但其证明不完善。

误差分析是概率论的生长点之一。如果把随机变量总和中的每项看作是小的“基本误差”,那么中心极限定理就为观察误差中正态分布的发生给出一个解释。19世纪初高斯(C.F.Gauss,1777—1855)在研究测量误差时引进了正态分布,并发展了具有广泛应用的最小二乘法。

在许多数学家为给出中心极限定理严格证明所做的努力均告失败后,切比雪夫使用矩方法的尝试相当令人鼓舞。马尔科夫(A.A.Markov,1856—1922)于1887年第一个用矩方法给出了中心极限定理的严格证明。切比雪夫的另一个弟子李雅普诺夫(A.M.Lyapunov,1857—1918)则从一个全新角度去考察中心极限定理,引入特征函数这一有力工具,避免了矩方法所要求的高阶矩存在的苛刻条件,在1901年给出了定理的完善证明,其证明方法与现在素数理论中的方法相类似。特征函数实现了数学方法的革命,为极限定理的进一步精确化提供了条件。

一个从理论和应用上都应当关心的问题是,仅知道某个概率分布渐近正态分布是不够的,还必须知道换成正态分布后误差有多大。李雅普诺夫给出这个误差的一个上限。瑞典数学家克拉美(H.Cramér,1893—1985)发现李雅普诺夫所给余数的估计在风险问题中是远远不够的,并于1928年改进了结果。1941年,贝莱(A.C.Berry)再次改进了李雅普诺夫的结果。

许宝騄有一本翻破了的克拉美概率著作,书上几乎写满了批注。他认为该书包含了所有概率论的基础。1945年,许宝騄改进了克拉美定理和贝莱定理,并给出克拉美定理的一个初等证明[5]。他以特征函数为工具,通过12个引理,给出了上述定理的证明。但影响更深远的结果是他将相应的样本均值代之以样本方差。许宝騄说:“关于均值的渐近分布,已知结果如此之多。考尼斯(Cornish)和费希尔(R.A.Fisher,1890—1962)通过半不变量获得了逐步近似于任何随机变量分布的各项。若把考尼斯和费希尔的形式结果转化为一条渐近展开的数学定理,它能给出剩余项大小的阶。在本文中,样本方差就做到了这一步。”[5]

这里许宝騄第一个讨论了样本方差的渐近展开,给出余项阶的估计。他直接引进了一个新维数,用特征函数来近似随机向量的分布,其难点是用特征函数来近似两个高度相关的随机变量的分布。他对特征函数的应用已经达到炉火纯青的境界,在不少论文中对这一技巧信手拈来,应用自如。

许宝騄所采用的方法具有普遍意义,还可以用于解决样本高阶中心矩、样本相关系数及样本统计量的类似问题。他的这一工作在20世纪70年代以后引起了进一步的研究。此后,许宝騄开始研究费勒(W.Feller,1906—1970)对中心极限定理一般形式的充要条件。1947年5月,他得到每行独立的无限小随机变量三角阵列的行和,依分布收敛于一给定的无穷可分律的充要条件。当时一些著名的概率专家,如柯尔莫戈罗夫、辛钦(A.Ya.Khintchine,1894—1959)、格涅坚科(B.V.Gnedenko,1912—1995)、莱维(PaulLévy,1886—1971)和费勒等,都在寻找这一答案,所以许宝騄在给钟开莱的信中说,担心正在进行的工作会和别人相重复。

许宝騄的条件与格涅坚科的不同,后者的“两个尾巴”是并在一起的,而许宝騄则利用核(sint/t)3直接证明。但得知格涅坚科的研究成果已经发表时,许宝騄立即承认了其优先权[6]。因此,在格涅坚科和柯尔莫戈罗夫合著的相关专著英译本再版时,添加了许宝騄的这一论文作为附录。

20世纪50年代中期,许宝騄对马尔科夫过程产生了兴趣,他用分析的方法讨论了关于转移概率函数的可微性。这一工作暗示了分析结构和概率结构的内在联系,为进一步研究奠定了基础。

2涉足统计推断领域

贝叶斯(T.Bayes,1702—1761)的论文《论机会学说问题的求解》可看作最早的一种统计推断程序。拉普拉斯和高斯等利用贝叶斯公式估计参数的研究,促使统计学摆脱观测数据的单纯描述而向强调推断的阶段过渡。

19世纪末,皮尔逊(K.Pearson,1857—1936)明确指出,统计学不是研究样本本身而是要根据样本对总体进行推断,并引进一个分布族,包含正态分布及现在已知的一些重要非正态分布,还提出矩估计法,用来估计分布族中的参数[7]。皮尔逊所提出的检验拟合优度统计量,为大样本统计的先驱性工作。戈塞特(W.S.Gosset,1876—1937)1908年导出的t分布,则开了小样本理论的先河。小样本理论强调样本必须从总体中随机抽取,从而使统计学研究对象从群体现象转变为随机现象。

20世纪20年代费希尔对现代数理统计学的形成和发展做出了卓越贡献。他发展了正态总体下种种统计量的抽样分布理论,建立了以最大似然估计为中心的点估计理论,创立了实验设计,并发展了相应的数据分析方法———方差分析。

1911年,皮尔逊应聘为伦敦大学学院优生学教授,并任生物统计系主任,而费希尔自1933年起任伦敦大学学院教授。他们共同建立和领导了一个有世界影响的数理统计学派,使伦敦大学学院的高尔顿实验室和统计系成为世界数理统计学的研究中心。

1936年许宝騄来到高尔顿实验室和统计系学习时,小皮尔逊(E.S.Person,1895—1980)刚继任父亲的领导工作,任统计系主任;费希尔任高尔顿实验室主任;现代统计学家奈曼(J.Neyman,1894—1981)任统计系教授;一些著名学者也不断来访,如美国的多元分析专家郝太林(H.Hotelling,1895—1973)、频率曲线专家克莱格(C.C.Craig)和概率专家费勒等。频频接触这些“世界级”人物,其发现一般原理、发现科学实质的深邃思想,其才气横溢、思如泉涌的大家风范,其刻苦钻研、锲而不舍的科学精神,都给天资聪慧的许宝騄留下了深刻印象。这对其概率统计思想的形成和发展产生了很大影响,他一生的科学贡献与这段经历是密切相关的。

在奈曼.皮尔逊的假设检验理论建立之初,将这一方法应用于线性模型的线性假设检验问题是一个很有意义的研究方向。费希尔对线性模型的线性假设发展了F检验(起初他称之为Z检验,其学生改进为F检验,用Fisher的第一个字母命名),但这种检验有何优越性或是否存在比它更优越的检验,尚需进一步探讨。奈曼2皮尔逊理论提供了以比较功效函数为基础的方法,涉及到很复杂的精细分析问题,在当时的统计队伍中,具备这样数学素质的为数甚少,许宝騄正是其中的突出者。他敏锐地意识到该课题的重要性,并随之进行了精心研究,发表了一系列相关论文,取得了突破性进展,从而在国际数理统计界争得一席之地。

28岁的许宝騄在奈曼和皮尔逊《统计研究报告》的第二卷发表了关于数理统计学的第一篇论文《Studentt分布理论用于两样本问题》,研究了所谓Behrens2Fisher问题。[8]他创造性地引进统计量u=(X-Y)2(A1S21+A2S22)

其中A1>0,A2>0为常数,来讨论以|u|>c为否定域的检验。许宝騄通过把u的密度函数展开成幂级数,研究了否定域|u|>c的势函数对参数的依赖关系。其主要内容是计算上述U检验的功效函数,并研究该检验在种种情况下的表现[9]。这是一个精确的(不是渐进的)分析,当代统计学家谢非(H.Scheffe)称之为“数学严密性的范本”。据许宝騄的研究结果所给出的方法后被称为“许方法”。

1941年,许宝騄首次证明了方差分析中的F检验在功效函数观点下的优越性。方差分析中任一个效应有无的检验,都可以化为典则形式之下的假设。他证得若假设水平α的检验不是F检验,其功效函数在任一球面上保持常数,则此检验的功效必小于水平α的F检验的功效[10]。这是一元线性假设似然比检验的第一个优良性质,其本质上是对任何特定多于一个参数值假设的第一个非局部的优良性质。许宝騄考察了高斯2马尔科夫模型中方差的最优估计问题,得到了样本方差为总体方差的最优二次无偏估计的充要条件。后来的研究表明,许宝騄的结果是近年来研究方差分量模型和方差最优二次估计的起点。

许宝騄证明了似然比检验在所有功效函数仅依赖于一个非中心参数的所有检验中是一致最强的。这个条件等价于势函数在某一类自然变换下的不变性,由此开创了假设检验的两个发展方向:(1)将所得形式推广到多元问题(郝太林的T2及多元相关系数);(2)提供了获得所有相似检验的新方法。

正是在许宝騄的建议下,其学生席玛卡(J.B.Simaika)和莱曼(E.L.Lehmann)将这个方法用于其他问题,后莱曼和谢飞形成了完备性的概念。

3推进多元分析发展

皮尔逊的数理统计学建立在自然总体的“大样本”基础上,而费希尔则着重处理受控实验中“小样本”的统计分析。后者在数学上占有优势,频频对前者发起攻击,尖锐地批评皮尔逊所提出的x2检验。

奈曼和小皮尔逊在1933年发表了关于假设检验的论文,把检验问题作为一个数学最优化问题来处理,发展了费希尔的研究工作。由于费希尔对皮尔逊有成见,因而对奈曼和小皮尔逊的研究也不以为然,甚至称其编辑的《统计学研究通报》是“一堆破烂货”。由于和费希尔的矛盾,奈曼感到在英国难以发展,于1938年4月应聘为美国加州伯克利大学数学系教授,并筹建了统计实验室。

加州伯克利大学统计实验室在二战后逐步取代了伦敦大学学院的统计系地位,成为世界数理统计学的中心。相比之下,当时苏联在概率论领域虽领先于世界,但在数理统计领域远远落后于美国。在20世纪50年代大力倡导“学习苏联”时期,中国统计学也长时期得不到发展。

奈曼犹如伯乐,慧眼识俊才。他非常器重许宝騄,认为许宝騄是新一代数理统计学家中的佼佼者,一度选定其为接班人。1945年,奈曼邀请许宝騄参加了第一届伯克利概率统计讨论会,并聘请他为伯克利统计实验室教师。校方仅聘许宝騄为讲师,奈曼为此大声疾呼,表示了强烈不满。1946年秋,许宝騄开始在教堂山(ChapelHill)教学,奈曼还曾去看过他。当许宝騄回国时,奈曼一再挽留,想把他争回自己的麾下。回国后,许宝騄也与奈曼保持了多年的联系。许宝騄对科学所做的贡献以及孜孜以求的好学精神,是与奈曼的教诲和影响分不开的。

如果个体的观测数据能表示为P维欧几里得空间的点,那么这样的数据叫做多元数据,而分析多元数据的统计方法称为多元统计分析。主要多元分析方法有:多重回归分析、判别分析、聚类分析、对应分析、典型相关分析、多元方差分析等。许宝騄在哥伦比亚大学和教堂山讲授多元统计分析,培养学生从事这一领域的研究。

自20世纪30年代起,费希尔、郝太林、许宝騄等做出了一系列奠基性的工作,使多元统计分析在理论上得到迅速发展。1938年到1945年,许宝騄所发表的相关论文一直处在多元统计分析理论的前沿。在多元分析假设检验理论中,许宝騄最先讨论了优良性,是奈曼-皮尔逊的假设检验理论在多元分析中应用的先导。他推进了矩阵论在数理统计理论中的应用。许宝騄把矩阵论中处理问题的方法引进了数理统计的研究,实质上这是一个长方阵在某一变换群下的标准型。有了线性模型的法式,使估计和假设检验问题变得十分简明。

费希尔创立的“n维几何”方法,使数学家们获得了一些重要统计量的精确分布。典型例子是1928年维夏特(J.Wishart)导出了任意维正态样本全体二阶矩的联合分布———维夏特分布。

不少学者给出维夏特分布的不同证明。1939年,许宝騄利用数学归纳法推导出维夏特分布。他假定对n-1,p-1成立来推导对n,p的密度函数。除了密度函数中的矩阵外,还需要一个(p-1)维的正态向量和一个n维的正态变量,在证明过程中所需的分析推导仅仅是n维向量模的平方是x2n分布[11]。专家们一致认为许宝騄的推导方法是最优美的一个。

文中许宝騄的另一个杰作就是得到了现今所称的许氏公式:当n≥p≥1时,有

∫⋯∫f(x′x)dxn×p=πnp2-p4(p-1)Πp-1j=OΓ(n-j2)∫A>0⋯∫|A|n-p-12f(A)dA

该公式是处理20世纪80年代所形成的椭球等高分布统计量的有力工具。

多元分析中一个基本分布是关于随机正定阵相对特征根的分布。线性模型中线性假设的检验问题,都与这些特征根有关。若正定随机矩阵A和B相互独立,各自遵从维夏特分布W(m,Σp×p)和W(n,Σ),且m≥p,n≥p,θ1≥⋯≥θp≥0表示|A-θ(A+B)|=0

的p个根,寻求θ1,⋯,θp的联合密度是一个重要研究课题。在20世纪30年代末,许宝騄和一些著名统计学家,都对其进行了探讨。在众多方法中,许宝騄的方法严密而清晰,他以矩阵微分为工具,计算了一些复杂变换的雅可比行列式,而导出相应的分布[12]。

这个方法的难点是计算雅可比行列式,许宝騄在文章中给出了任意阶的雅可比行列式结果,并证明了3阶行列式情形。其学生安德逊(T.W.Anderson)详细介绍了这一工作,认为某些雅可比行列式的计算是许宝騄的杰作。

许宝騄把数学家分成三流。第一流的数学家是天才,他们能开创新的领域,如柯尔莫哥洛夫、诺依曼(JohnvonNeumann,1903—1957)、维纳(NorbertWiener,1894—1964)等。第二流数学家是靠刻苦学习而成功的。他们认真消化整理前人的东西,在此基础上有所创造和发现,辛钦就属于这一类。第三流的数学家只是在某个问题上有所贡献,不能像第二流的那样系统工作。剩下的就是不入流的数学家了。他认为自己没有才能,所有成就完全是靠刻苦学习而获得。

“三十功名尘与土,八千里路云和月”。许宝騄对科学研究的态度和精神永远值得我们借鉴和学习。

参考文献

1吴文俊.世界著名数学家传记[M].北京:科学出版社,1990.

2江泽涵,段学复.深切怀念许宝騄教授[J].数学的实践与认识,1980,(3):1—3.

3张奠宙.中国近现代数学的发展[M].石家庄:河北科学技术出版社,2000.

4Pao-LuHsu,pleteConvergenceandtheLawofLargeNumber[J].Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A.,1947,33:25—31.

5Pao-LuHsu.TheApproximateDistributionoftheMeanandVarianceofaSampleofIndependentVariables[J].Ann.Math.Statist,1945,16:1—29.

6钟开莱.许宝騄在概率论方面的工作[J].数学的实践与认识,1980,(3):12—15.

7陈希孺.数理统计学简史[M].长沙:湖南教育出版社,2005.

8MorrisLE,RichardAO.RandomQuotientsandtheBehrens2FisherProblem[J].AnnMathStatist,1972,43:1852—1860.

9Pao-LuHsu.ContributionstotheTwo-sampleProblemandtheTheoryofthe“StudentpsT-test[J].Statist.Res.Mem,1938,2:1—24.

10Pao-LuHsu.OntheBestQuadraticEstimateoftheVariance[J].Statist.Res.Mem,1938,2:91—104.

11Pao-LuHsu.AnalysisofVariancefromthePowerFunctionStandpoint[J].Biometrika,1941,32:62—69.

12Pao-LuHsu.ANewProofoftheJointProductMomentDistributions[J].Proc.CambrigePhilos.Soc.,1939,35:336—338.

概率论论文范文篇9

一、数理统计的基本问题

在概率论中，对于许多问题，常常是在已知或假设已知随机变量的概率分布的基础上，研究它的种种性质。但在实际问题中，人们事先并不知道随机变量的概率分布或其他特征，而需要对它们进行估计或推断，这就产生了数理统计问题。由于研究对象的数目一般很大，有时甚至是无限的，数理统计中常用的方法是：从研究对象的全体元素中，随机地抽取一小部分(有限个)进行观察或试验，然后以观察得到的资料数据，对上述问题进行估计或推断，这种方法称为统计推断。另外，数理统计还要研究如何科学地抽取研究对象、安排试验，才能最经济、最有效、最准确地取得统计推断所必需的数据资料和其他信息，这是数理统计的两个重要分支——抽样方法和试验设计的基本内容。理解概率的定义、性质、事件之间的关系与基本运算，会用古典概型、加法公式、条件概率公式、贝努利概型计算概率；理解几种重要随机变量、密度函数的概念及其性质；掌握数学期望、方差的性质与计算；了解常见统计量、参数估计、假设检验的概念及一元线性回归方程的最小二乘法求解；会求正态分布下的均值和方差的置信区间。

二、大学概率论与数理统计课程教学基本要求

课程说明概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门方法论学科。概率论侧重于研究随机现象发生、变化及其相互关系，数理统计则侧重如何推断客体对象的数量特征及其变动规律。广泛性和随机性是该课程研究对象的显著特点。概率论与数理统计在社会经济等众多领域有着极为广泛的应用，特别是在经济全球化、社会信息化的今天，市场经济中不确定性成分日渐增多，概率论与数理统计方法在经济数量分析、宏观经济管理、微观经济管理中的地位也日趋重要，逐渐成为学习现代经济学的基本工具之一。学习本课程的主要目的是，能够应用概率论与数理统计的基本方法正确地分析和把握随机现象的发生及变动规律，推断客体对象数量特征及发展趋势，在随机性和偶然性中把握必然性和规律性。该系统涵盖了概率论与数理统计课程的主要内容，设计了大量供学习者参与的随机试验，对重要概念、定理、法则进行直观演示，用大量事例介绍统计思想和方法。该系统利用先进的计算机技术，通过巧妙的程序设计，采用文字、图形、动画、语音等多种信息传递方式，能在短时间内对随机现象进行成千上万次的模拟试验，揭示随机现象的规律性：对抽象概念和定理作形象、动态的描绘，从显示的直观现象中揭示深刻的理论本质。丰富的内容及图文并茂的演示能极大地调动学生的学习兴趣，帮助学生正确理解教学内容，了解到概率统计多方面的应用。交互式的教学，使学生由被动学习到主动参与。它使传统课堂教学中无法实现的大量试验成为现实，使抽象枯燥的概念变得形象直观，寓知识性和趣味性于一体。使教师讲起来省力省时，使学生听起来易懂，看起来可信。目前大部分服务于网络教学的应用系统都是条块分割的，各部门自行开发自己的系统，比如精品课程网站、教学资源库的建设。缺乏标准化、规范化和兼容性，信息资源难以共享，出现了一个个“信息孤岛”，与教学资源共享的基本要求背道而驰。这也是任何高等院校开展网络教学发展阶段中必然面临的问题，首先大学数理统计教学的应用是有阶段性的，在计算机教育应用的初级阶段，围绕一项项教学或管理的业务工作，开发或引进一个个应用系统。这些分散开发或引进的应用系统，一般不会统一考虑数据标准或信息共享问题，产生“信息孤岛”是在所难免的，但可怕的是如果大学数理统计教学建设总是停留在初级阶段而不向前发展，就会导致旧的“信息孤岛”还未消除，而新的“信息孤岛”却不断出现，积重难返，从而造成了重复建设和资金的严重浪费，不仅没有提高效率，反而增加工作量，系统维护成为沉重的负担。

三、大学数理统计教学的新模式与新方法

1.推进教学改革，努力探索课堂教学新模式、新手段。从培养学生应用能力出发，改革概率论与数理统计系列课程传统教学模式。把以教师为中心，传授知识为宗旨的传统教学方法，转变为以学生为主体，努力探索课堂教学新模式，即引导学生大胆质疑，深入探索。根据教学内容，按照“提出问题——进行观察和实验——收集整理资料——提出假设和猜想——进行统计推断——得到合理统计结论”这一过程组织教学。实验结果表明：它符合“学习知识、培养能力、激发创新、优化素质”的人才培养规律。应用计算机知识和多媒体辅助教学，减少了教师和学生在冗长的已知高等代数和数学分析运算推导上所花的时间，使他们能集中主要精力掌握每一种元分析方法的统计思想、基本原理和统计结论，确定解决实际问题的思路。

2.实施教学、科研、专业实习三位一体的人才培养模式。组织学生开展科研活动并贯穿教学全过程，使课堂教学与专业实习紧密结合，指导学生撰写课程论文，召开课程论文报告会，调动了学生学习和科研的积极性，培养和锻炼了学生分析问题和解决问题的实际能力。《多元统计分析》课程考试说明如下：课程论文《多元统计分析》是一门利用电子计算机进行数据分析的应用性很强的课程，主要培养学生提出问题和联系实际解决问题的能力。因此，结合课程的特点，统计学专业必修课《多元统计分析》考试形式采用课程论文的形式。大学数理统计教学是由教师、学生、教材、教学手段等多个要素及其相关关系构成的一个整体，教学质量的评价除了包含对教学设施，教学工具等硬件的评价外，还包括对教师教学能力、教学方法等的评价和对学生的学习态度、学习效果等的评价。教师教学质量的评价一般采用对教学效果的检测和实时测评两种方式来进行，具体到高校教师教学质量的评价，在实际应用中，一般采用测评的方式来进行。测评方法一般采用学生测评、同行测评与专家测评相结合。为了表述上的方便，以下如无特别注明，所说教学质量评价仅指对教师的教学质量评价，所说教师教学质量评价系统仅指通过学生和同行、日常教学督导测评来取得教师评价结果的软件系统。作为对教师工作绩效进行评价的一个重要组成部分，对教师教学质量的评价是一个复杂的系统工程。一些发达国家，特别是一些名牌大学都把教学质量的监控、评价工作放在教学管理工作的重要位置，他们都建立了各自的具有特色的且在不断完善的教学质量评价系统。例如，在讲解概率定义及其性质时，可以从下面的方式进行研究，对于一般的随机现象，在进行理论研究和实际应用时，我们不可能对每一事件都做大量的试验来获得概率的统计定义下的事件发生可能性大小的概率。所以需采用严谨的合理化结构，给出如下度量事件发生可能性大小的概率的定义。

3.加强实践教学，提高学生的动手能力。在国外，数学实验早已成为常见的教学方式。在我国，很多高校也已经把数学实验作为数学专业的必修课。进行数学实验，使理论教学与学生上机实践相结合，能使学生由被动接受转变为积极主动参与，激发学生学习本课程的兴趣，培养学生的创造精神和创新能力。让学生在上机时完成一定量的数学实验，选用Excel软件作为实验平台。上课过程中为学生提供一些实验课题，如随机实验的模拟——模拟抛硬币实验、正态分布模拟、蒙特卡洛实验模拟等。每次实验时，教师给出所要实验课题的背景，实验的目的和要求及实验的主要内容等。在实践教学过程中，灵活运用多种教学方式，使学生在掌握基本知识和方法的同时培养分析和解决问题的能力，提高学生学习概率论与数理统计的兴趣。

4.建立优质专业学科资源，培养大学有竞争性的人才。随着大学的扩招，我国大学的学科覆盖范围愈来愈大，综合性愈来愈强，同一地区的大学，办学方向是不相同的。但近年来的大学扩招，却使得各校都向综合性方向发展，各校之间相同学科与相近学科愈来愈多。所以，建立区域性优质教育资源信息资源共建共享体系，是满足大学扩招而导致的信息需求迅速扩张的有效途径。因此大学数理统计教学完全可以利用示范的优势占领制高点。

5.建立网络课程平台，实现资源共享。平台以网络课程为最基本的建设/教学/管理单位，而教学资源则是网络课程建设的最基本素材，包括图形图像、视音频、多媒体教案、网络课件、试题库等等。网络课程既是教学的目标，也是申报精品课程的核心，以网络课程为基础，实现网络教学平台和精品课程平台无缝集成，使得大学数理统计精品课程可以实际应用于校园网教学；同时，教学平台的网络课程同样可以在精品课程平台实现课程的申报和审批。网络课程是网络教学系统最基本的建设/教学/管理的单位。基于网络，老师可以在任何时间、任何地点创建和编辑网络课程，实现网上备课。同时老师可以管理自己的各种教学素材、资源，为从事大学数理统计教学活动准备各种教学内容。老师可以根据需要随时更新网络课程的内容，以体现自己的教学策略，将网络课程的控制权真正还给老师，有效提高老师的工作效率，让老师的网络课程得以方便地共享，以及实现知识的积累。网络课程根据教学目标的不同，可以建设两种类型-自主学习型网络课程和引导学习型网络课程。自主学习型网络课程以学生探究学习和协作学习为主，提供多种智能策略，由学生自主完成整个课程的学习；引导学习型网络课程以老师引导为主，辅助学生完成大学数理统计课程学习。

概率论论文范文篇10

概率论与数理统计作为一门实用性很强的课程，被国内高等院校的数学、统计、经济与管理等院系设置为基础课，并且随着时代的发展越来越受到重视.概率统计涉及的我们生活的许多方面，早在十七世纪概率统计就已经在金融保险业等方面有所应用.随着社会的发展，又在医学、交通、人口统计、金融、微商等方面被频繁应用，并且这些方面有些急需解决的问题也进一步促进了概率统计的发展，使得更多的学者投入到新工具新理论的研究中，让统计学体系更加完善.这门课程虽然比较抽象，但作为老师要做到让这门课具体化、生活化并且与实际相结合.目前，大多院校都比较重视理论的讲授而轻视实际的应用，老师应当做到在让学生对学习概率统计产生浓厚兴趣，掌握其基本概念、理论和方法的同时，又能从实际问题出发借助概率统计方法进行分析和解决.随着科学技术的进步和大数据的出现，数据的结构越来越复杂，数据量越来越庞大，大数据所涉及的各行各业时刻影响着我们的生活、工作与学习.在大数据时代，数据就是价值，因此大数据的研究受到了政府、各大高校科研机构以及企业的高度重视.当前，大数据所涉及的内容和方面过于广泛，具有规模性、多类型性、处理快速性、预测性和潜在性等几个特征，所以必然要求学生需要掌握一定的数据处理能力，其中统计软件的操作是必备的处理数据的技能.因此种种这些现实必将促使概率统计课程需要在教学方式上做一些改变.在大数据时代，灵活学会概率统计课程可以让我们迅速地发现数据内部的规律，可以在大而杂的数据中寻找到需要研究的方向，从而加快对数据的分析处理，进而更快地进入主题[1].在分析大数据时我们总想着找到数据之间的联系，那么如果我们用概率统计中对随机现象统计规律的演绎和归纳思想来处理数据，推演数据的演变趋势会带来很多的好处.在大数据中运用概率统计模型会让理论更结合实际，便于学生更加容易掌握这门课程.在本文中作者根据自己多年的教学经验和对大数据的认识，基于时展和学生自身发展的需要，也促使这门课需要提出一些新的教学方法，提出新的建议.

2对传统的教学模式和考核机制进行调整

2.1把趣味和生活引进课堂教学.概率统计是对随机现象中隐藏的客观规律进行分析研究的学科，相比较其他的数学学科，会更加抽象、更加难以理解.久而久之学生对其学习会失去兴趣，这将不利于后面专业课的学习，因此需要通过有趣的教学方法激发学生的学习动力和兴趣.每一个新知识点讲解的第一节课往往都是学生印象最深的，会对学生以后的学习以及是否能熟练掌握产生极大的影响.教师可以在课程开始前将本节内容的发展史引进课堂，使课堂教学历史化.所谓“磨刀不误砍柴工”，在讲授新内容之前让学生全面了解概率统计的发展史，简要介绍概率统计大家的生平，通过一些趣味故事介绍他们对本节内容的研究过程，让学生在短时间里通晓古今，对概率统计发展史有一定了解，激发学生对知识的探索的认识，开阔学生眼界，对以后的学习有着引导意义[2].比如在讲解概率的定义时，可以告诉学生在概率论的发展历史上，曾有过概率的古典定义、几何定义、频率定义以及主观定义等.借助具体实例展示这些定义各适用于对应的随机现象中的概率，进而引出如何给出适用于一切随机现象的概率的一般性定义的探索性问题.1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义解决这个问题，1933年苏联科学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义，这个定义概括了上述几种具体概率定义的共同特性，提炼出概率的基本性质，是概率论发展史上的里程碑[3].学生了解这个发展历史就会对概率的公理化定义容易理解，不会觉得怪异抽象.在大数据时代下学习概率统计应该让课堂更接近实际生活，选取生活中的真实案例和实际生活情景，让学生真实感受到概率统计与我们的生活形影不离，无处不在.解决这些实际问题，可以培养他们的理论应用意识，增强分析处理问题的能力，同时也加强了他们的主动性和自觉性.酒吧街头打赌，运动员射击比赛，销售中心等都可以拿来作为课堂案例.比如随机相遇的两个人的生日在同一天的可能性有多大？我们知道两个人生日的所有的可能性搭配有365×365种，其中生日相同有365种可能性，那么这两个人的生日相同的可能性约为0.0027，这几乎是不可能发生的.但是假如在人数超过50的一次聚会或者一个班级里，存在两个人生日相同的概率又是多少呢？这里可以跟学生讲一个美国数学家伯格米尼在观看世界杯足球赛时在台上随意挑选了22位观众，结果有两位观众的生日相同，通过计算当人数达到64人时，至少有两人生日相同的概率已经达到99.7%，这几乎已经是必然事件了，教师可以在班里现场做一个验证，进一步向学生解释小概率累积效应，带动课堂气氛.2.2改变教学方法和内容.2.2.1教学手段和学习方式比较单一.传统的教学方式比较单一固化，学生的学习处于被动的地位，一支粉笔一块黑板的教学模式已经不能完全满足这门课的需要和社会的发展，课堂需要生动活泼的教学情形.教学过程的枯燥乏味很容易使学生失去学习热情，所以教学方式的改变已迫在眉睫.首先不再让多媒体和计算机只是用来播放视频和课件，要真正的发挥其作用.大数据时代下讲授概率统计内容更多的是理论在实际中如何运用，所以当讲授完理论的证明后要跳脱出来，向学生解释定理揭示了哪些问题，定理在实际中有什么用.数理统计那一部分因为涉及大量数据的计算问题，计算量过于庞大所以无法进行具体计算，所以这一部分的难度在于学生如何通过统计软件得到结果，因此老师应该更多一些的投入时间向学生介绍统计软件的使用.在概率论部分要求学生可以通过统计软件进行一些概率实验，例如用计算机重复实验蒲丰投针问题，去验证π的值，这是个很有趣的实验，相信学生都会在自己动手实验后对事件的概率这一知识点的理解会更加深刻.所以计算机，多媒体带来的图像、模型展示，对实际问题处理的过程会更加易于学生理解、掌握基本知识，同时也提高了学生处理实际问题的能力.2.2.2教学内容过于注重理论.教学内容比较单一，高校里概率论与数理统计这门课主要由概率论基础知识和统计知识两部分组成.在实际教学中，教师往往是只对理论及其证明进行介绍，并未更多的解释理论的实用性，其间虽有部分习题，但也都是把实例简化后很容易就能得到结果的问题.整个课时的安排也是概率论所花时间多，而数理统计只用很少的时间来介绍部分统计内容.这样的教学内容很容易让学生对概率统计这门课产生误解，认为这门课就是在学习公式、定理和证明，从而忽略了概率统计本身的实用性和具体解决实际问题的思想，这是很不合理的，在大数据一年强过一年的趋势下应该提高学生解决实际问题、分析数据的能力.为此应优化教学内容，教师带着学生先浏览涉及概率统计的实际问题的风景，而后再进入概率统计的天堂，就使得各种概念和理论有了有源之水、有本之木.强化概率统计思想与方法的认识，增加统计软件的操作学习，具体体现在以下几方面.①在不影响课程完整性的条件下，可以适当的降低理论的难度，增加趣味性和实用性，便于学生更容易理解基本概念.②为加强学生运用统计知识处理数据的能力，增加描述性统计部分内容，能够进行数据的频数分析、集中趋势分析、离散程度分析、分布以及一些基本的统计图形[4].③融入统计建模思想和数学建模思想，提高学生的团队协作的精神和根据实际问题建模的动手能力，建立概率统计案例库，以案例引入知识点，将统计和数学建模的思想融入概率统计的教学当中，使学生对概率统计知识的运用受到实训和培养.近几年来，全国数学建模比赛试题中频繁出现涉及概率统计知识的题目，统计建模大赛选题形式实行开放性的数据分析模式.例如：2015年的B题“互联网+”时代的出租车资源配置，2013年D题公共自行车服务系统，2011年A题的城市表层土壤重金属污染分析.2018“东证期货杯”全国大学生统计建模大赛初赛通过直接在线发放选题数据撰写初赛论文.这些试题都需要参赛者对数据进行分析，要求参赛者懂得概率统计的知识，所以将统计和数学建模的思想融入概率统计的教学过程当中，有助于提高学生的数据分析和建模能力[5].④开设实验课，将SPSS、SAS、R等统计软件引入到教学中.2.3改变考核内容.除了教学方法、手段、教学内容需要改变外，学生的考核标准是否合理也是需要深思的.传统的方式是通过课后作业情况和最终的考试成绩来判断教学成果和学生的学习情况，由于现在学生作业的抄袭情况严重，老师如果仅通过学生上交的作业完成情况来判断学生的学习情况是不准确的，因此改变考核机制是有必要的.教师应采取更灵活的考核方式，由考试成绩、论文成绩、实践成绩、平时成绩这四部分来确定学生的最终成绩.增加课程论文这一项的好处有很多，它不仅可以促使学生在完成的过程中复习所学知识，而且能够培养学生自己查阅资料和归纳总结的能力、应用分析问题能力、组织和表达能力等.实践成绩包括实验课的表现，参加建模比赛等活动的成绩.平时成绩包括听课效果、作业的完成、课堂的随机性提问、随机小测验等.通过这写灵活多样的考核方式得到最终的成绩就比较全面，可以更好地了解学生的学习情况和教师教学成果，也符合大数据时代背景下应用型人才的培养需求，也最终达到了统计学人才培养的目标.

3结束语

随着科学技术的进步，大数据有着一年强过一年的趋势，深入到各个领域，其分析应用服务于社会越来越多的领域.在此背景下，培养应用型人才是高校非常重要的教学目标.概率论与数理统计的灵活运用将会给大数据的研究带来新的发展和有效的利用.上述是作者结合自身的教学体会与实践所提出的一些建议.总之，教学既包括教也包括学，在教与学的过程中需要根据不同的学生和不同的课程不断地改变教学方式和教学内容，因材施教，激发学生的学习热情.时代的快速发展变化，也必将促使我们在教学过程中要不断地完善教学手段和方法，改进考核方式，致力于提高学生的综合素质.

参考文献:

〔1〕翟雪.基于大数据下概率论与数理统计的研究与分析[J].科技经济导刊，2016（25）:141-142.

〔2〕陈忠维，惠淑荣，郑钰.高等学校概率论教学改革的探索与实践[J].沈阳农业大学学报，2011（13）：331-334.

〔3〕茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2004.12.

〔4〕谷艳华.大数据时代概率论与数理统计课程改革探析[J].课程教育研究，2017（2）:243.