概率统计论文十篇

概率统计论文篇1

例如卡方分布，当自由度n比较大时，趋向于正态分布。:类似的例子还有二项分布XB(n，p)，当参数n(n≥100)较大，p较小，np≤10时，二项分布近似泊松分布，CknPk(1－p)n－k≈λkk!e－λ(λ=np)，t分布当n较大时趋向于正态分布，大数定理，中心极限定理也都可以通过图形演示来让学生信服。

二、上哪个专业的课，就举与这个专业相关的例子。比如，同样是学习单样本假设检验，在为给排水监测与评价专业学生上课时。

我举例如下:例1．已知某标准水样中CaCO3的含量为20．7mg/L，现在某方法测定该水样10次，结果为:20．99mg/L、20．41mg/L、20．10mg/L、20．00mg/L、20．99mg/L、20．91mg/L、20．60mg/L、20．00mg/L、23．00mg/L、22．00mg/L，问该法测定结果与真值之间有无显著差别?为食品营养与检测专业学生上课时，举例如下:例2．根据营养学要求，成年女性每日摄取食物的推荐平均热量为7725kcal。现在随机抽取11名20岁至30岁成年女性，其每日摄取食物的热量如下:5260，5470，5640，6180，6390，6515，6805，7515，7515，8230，8770问现今20岁至30岁成年女性每日摄取食物的热量是否足够?针对学生的专业，选取具有专业背景的案例。这样学生才会觉得以后工作离不开概率统计，现在必须学好它。这样，学生的学习态度自然也就端正了。

三、使用统计软件辅助教学。

目前，统计软件有很多，有SAS，SPSS，Mathematic，Matlab等，究竟应该选择哪个软件呢?其实，每个软件都有它的优缺点，关键在于我们要根据学生的水平和课时情况，选择最适合他们的软件。比如SAS软件命令和函数烦琐难懂，太专业，入门不易，普及性就低;matlab软件系统配置要求高，不适合安装运行在公共使用的多媒体教室的计算机上。对于非统计专业学生来说，SPSS，Mathematic是不错的选择，SPSS一般是英文版本，中文版本还不够成熟，学生在使用时有一定语言障碍。但是它最显著的特点是绝大多数操作仅靠鼠标击键就可完成，无需学习专门的程序语言;Mathematic软件基本数学运算命令简单易学，对于难度大的算法构造，计算机编程学生就可以适当忽略了。比如例1和例2，用SPSS做，只需选择工具栏中AnalyzeCompareMeansone－SampleTTest就可以了;用Mathematic做，首先要调用假设检验软件包的命令＜＜StatisticsHypothesisTests．m，然后MeanTest［data，u，SignificanceLevel0．05，TwoSidedTrue，FullReportTrue］此过程还算简单，但和SPSS比较起来，还是要麻烦一些。

四、结合学生考证来教学，“设置双证兼顾”的课程体系。

高职双证书制度，指的是学历证书+职业资格证书。学生除了重视毕业以外，对于考取职业资格证书也是非常积极的。教师应在教学中结合考证要求来授课，助学生一臂之力，将职业教育的实用性、职业性完整表现出来。我所教的环境监测与评价专业、食品营养与检测专业学生，一般会考取污水化验工、固定污染源(烟气或废水)连续自动监测系统上岗证、化学检验工、ISO9000内审员、食品检验工等证书。要考取这些证书就要用到很多概率统计知识，在教学中，按照考证的专业类别和级别层次，整理出职业资格证书覆盖的知识点，并以此为基础优化组合概率统计课程，形成对应初级、中级资格两个层次的模块组合，会使学生学习积极性大大提高。

五、注重在教学过程中融入数学建模思想。

从数学建模竞赛的题目来看，与概率统计有关的知识较多。例如:2000年的DNA序列的分类问题，2005年DVD在线租赁问题，2007年的中国人口增长预测问题，北京奥运会馆的人流分布问题，2013年的公共自行车系统研究等都不同程度地涉及概率统计相关知识。教师在教学中，指导学生利用已有的概率统计知识解决相关问题，不但加强了学生对所学知识的理解，激发了学生的求知欲，又拓宽了学生的知识面，培养了学生的建模能力，具有非常重要的意义。

六、总结

概率统计论文篇2

周口师范学院学院在第四学期为统计学专业开设了计量经济学这门课程，每周4个（3节理论课+1节实践课）学时，共68学时。计量经济学是经济、统计、数学交叉结合的学科。其内容体系分为：单方程计量经济学模型、联立方程计量经济学模型、违背基本假设的模型、时间序列分析等内容。该课程开设目的在于让学生基本掌握现代经济学分析与研究理论及方法，能够应用计量经济学模型理论知识分析解决实际经济问题。经典单方程计量经济学模型主要包括线性回归分析、违背基本假定的经典计量经济学模型及联立方程计量经济学模型等。计量经济学课程在内容体系与数学分析、高等代数、概率统计、西方经济学等紧密相联，我校目前的教学以教师讲授为主，学生被动的学习。

2教学过程中存在的问题

第一，计量经济学是以经济学理论为理论基础，以现实观测数据和实验数据为支撑，利用数学、概率统计等方法，依据计算机技术，来研究分析伴有随机因素效应的现象的定量关系和发展变化的统计规律的一门学科。计量经济学作为西方经济学的新的一个分支，西方经济学为其发展奠定了的理论基础，西方经济学中关于对经济变量之间质的分析是计量经济学进行定量研究的前提。数学与概率统计是计量经济分析、理论研究的主要工具，计量经济学在的建立与选择时，很多地方需要用到数学的方法和技巧。但在实际教学中，仅注重计量经济学模型的求解及检验方法，而忽略模型建立的经济学基础；仅仅强调模型的设定是正确的，但是却没有教会学生如何去检验模型是否正确；同时，也未将经济学基础考虑进来。第二，目前的教学过于强调“重思想、重方法”，把必要的数学过程与技巧只是作为解决计量经济学基本思想的工具，不过分强调，而是着重于基本思想和解决问题思路的分析。第三，在教学时，并没有将计量经济学方法应用到实际问题中进行实践。在上机课上，让学生自己操作Eviews软件对课本习题进行操作练习，并写实验报告，训练了学生的动手能力，但是学生并没有机会将所学到的知识运用到实际的经济问题中，计量经济学的教学理论在一定程度上与实践相脱节，相当一部分学生在使用计量经济学方法处理经济问题时，感到迷茫，也不知运用相关软件来完成计量经济学的运算，即使能够运用软件，却不知该怎样解释与分析模型的结果。

3计量经济学教学措施

通过教学改革提高教学质量，进一步使学生达到掌握经典的计量经济学模型理论和方法，了解计量经济学理论与方法的新发展；要求学生能够应用简单的计量经济学模型和方法，对实现经济数量关系进行实证分析；为继续学习高级计量经济理论、方法打下基础。

3.1理论与实验教学的互动发展

提升教学效果加强理论教学，同时开展创新实验教学，理论教学与实验教学的互动、协调发展。

3.2以"任务"驱动教学

课程理论知识、使用专用软件、提出研究问题、解决研究问题为计量经济学课程教学的四大任务。带动学生的自主创新及动手能力，适时的给学生布置任务，提高学生学习的积极性。

3.3划分和挑选教学内容

对计量经济学教学内容的层次划分进行反复讨论和界定，形成分层次的课程教学体系。

3.4教学和考核形式的改革

概率统计论文篇3

现有的概率论与数理统计教材中，概率部分比重较大，统计部分只涉及简单的参数估计、假设检验以及回归分析的内容，但这些远远无法满足各个专业学生的要求。我们要研究如何把统计学普及化，编写以统计为主、概率论为辅的教材，引入在自然科学、社会经济领域内目前应用十分广泛的，而在概率统计课中没有讲授的相关分析、方差分析、主成分分析、因子分析、聚类分析、秩和检验等内容，但诸多方法的引入必将导致内容大量增加，所以在引入时一定要注意：第一，不能涵盖所有的统计方法，要进行取舍，针对不同专业学生的需求，在教材中适当选择学生必需的一些简单的非参数和多元统计方法；第二，每一种方法的引入不能力求使学生完全掌握统计方法的原理，尤其是借助于适当的统计分析软件进行操作实践，并不是说将理论完全掌握后才能够进行统计分析，而是两者可以做到相辅相成。第三，想方设法让学生不用或少用微积分和线性代数知识就把统计方法学会。

二、弱化统计方法计算过程的阐述，加强方法背景、用途的介绍，增强课程的应用价值

教师对工科大学学生的授课要将概率统计定位于工具，在讲授的过程中应立足于应用，对于各种统计方法的教学，要努力帮助学生了解方法的背景、条件和用途，即重点解决有何用，如何用，何时用的问题。方法的实现则交给现有的统计软件。每一种方法都可从实例中引出，从简单到复杂，同时尽可能地联系生产实际，贴近学生专业学习，课程的应用性加强了，通过自己的实际操作，解决身边的统计问题的，既锻炼学生统计建模的能力，又能激起学生浓厚的学习兴趣。

三、相关统计应用软件知识加入，培养统计建模能力

概率统计论文篇4

我们熟知许多科学定律，例如牛顿力学定律，化学中的各种定律等。但是在现实中，事实上很难用如此确定的公式描述一些现象。比如，人的寿命对于个人来说是难于事先确定的。就个体来说，一个有很多坏习惯的人（比如吸烟、喝酒、不锻炼的人）可能比一个很少得病、生活习惯良好的人活得更长。实际上活得长短是受许多因素影响的，有一定的随机性。这种随机性可能和人的经历、基因、习惯等无数说不清的因素都有关。总体来说，人的平均年龄非常稳定。一般而言，女性的平均寿命比男性多几年。这就是规律性。一个人可能活过这个平均年龄，也可能活不到这个年龄，这是随机性。但是总体来说，平均年龄的稳定性，却说明了随机之中有规律性。又比如你每天见到什么人是比较随机的，但规律就是：你在不同的地方一定会见到不同的人，你在课堂上会见到同班同学，你在宿舍会碰到同寝室的室友，你去打球会见到球友，这两种规律就都是统计规律。

二、巧借实例自然引入新概念

着重培养学生的数学应用意识，教师在教学中的示范作用很重要。概率统计课程的概念是教学的难点，教师上课如果直接写出来，则学生会感到很突兀，很抽象且难于接受。一个教学经验丰富的教师应当重视概念引入的教学设计，从学生的认知规律出发，先使学生对概念形成感性认识，揭示概念产生的实际背景和基础，了解概念形成的必要性和合理性。例如极大似然估计的概念教学，一般引入的第一个例子是有个同学和一个猎人去打猎，一只野兔从前方经过，只听一声枪响，野兔就倒下了，这发命中目标的子弹是谁打的？同学们一定会推断是猎人，你们会说猎人命中目标的概率比同学的大，这个例子说明了你们形成了极大似然估计的初步思想。极大似然估计的思想是在已经得到实验结果的情况下，应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为θ的估计θ∧。极大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出，英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步研究。第二个例子是两个射手打靶，甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.4，现靶面显示10中6，且是一个人所为，请问是谁打的？一开始学生中会形成不同意见，有的说是甲，有的说是乙，有的不知如何判断。表面看，甲的命中率高，如果说是甲好像低估了甲的水平，乙的命中率低，如果说是乙又高估了乙的水平，但现在要作一个合理推断，我们建立一个统计模型：有一个总体为两点分布，参数为P（0.9或0.4侍定），现有样本X1，X2，…，Xn（n=10），其中有6个观察值为1，4个为0，设事件A={10枪6中靶心}若是甲所射，则A发生的概率为P1（A）=C610（0.8）6（0.2）4=0.088，若是乙所射，则A发生的概率为P2（A）=C610（0.8）6（0.5）4=0.21，显然，P1（A）＜P2（A），故可认为乙所射的可能性较大。从这两个实例中教师再引出极大似然估计的原理：在已经得到试验结果的情况下，我们应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为真θ的估计，显得水到渠成。

三、合理假设形成模型意识

概率统计学科本来就是为了解决实际问题而产生的，它的起源是对问题的研究。要培养学生的应用意识更应加强模型意识。数学模型是指应用数学的方法和语言符号对现实事物进行数学的假设和合理简化，可以理解为现实事物在数学世界的抽象存在，也是人们对实际问题的原型进行的数学抽象，它的目的是便于应用适当的数学工具得到对问题的量化研究。在概率统计教学中建立的数学模型应当选择问题的主要要素，模型相对比较简单并且易于教学推理和分析。

四、循序渐进培养应用能力

数学应用能力是一种综合能力，应循序渐进，慢慢培养。在现实中我们要注意：（1）概率是指某件事情发生的可能性大小。例如在天气预报中会提到晴天与雨天，预报明天下雨，只是说雨天可能性很大，这种概率不可能超过百分之百。（2）有些概率是可以估计的。比如掷骰子，你得5点的概率应该是六分之一，但掷骰子的结果还只可能是六个数目之一。这个已知的规律就反映了规律性，而得到哪个结果则反映了随机性。（3）应当在大量重复试验中出现的频率来估计生活中随机事件出现的概率。（4）多学习一些统计软件，充分利用一些直接的或间接的数据来源。

五、结语

概率统计论文篇5

关键词：数学文化；概率统计教学；文化渗透视角

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）20-0194-02

一、数学文化渗透到概率统计教学的重要性

1.数学文化的含义。数学是人们对于客观世界定性把握，定量刻画和抽象概括，并在此基础上形成特定的方法和理论体系。从这个角度来讲，数学研究的对象是非物质世界的事物，是抽象思维体系中的重要组成部分。也就是说数学是人类文化的一种表现形式，需要教学者以文化的视角去审视概率统计教学。通俗来讲，我们在学校所学到的数学知识，虽然后来能够运用到实际工作和生活中的比较少，但是无论是工作还是生活，人们往往会以数学的方法、数学的推理方式、数学的研究精神去处理各项问题，并随着实践的积累，这样的数学方式方法就演变成为文化载体，在人们的生活中无处不存在。

2.数学文化渗透到概率统计教学的重要性。首先，数学文化作为文化的一种表现形式，将数学文化渗透到概率统计教学过程中去，使得数学研究和学习的范围更加广泛，领域更加多样，这不仅仅丰富了数学知识，还实现了概率统计教学的结构调整和优化。其次，数学文化融合到概率统计教学过程中，将有利于实现数学文化修养的塑造，极好地规避了大学数学传统教学理论的教学方式，使得学生能够对于概率统计教学知识有更加全面的理解和判断，为学生创造力的发展打下基础。最后，将数学文化渗透到概率统计教学过程中去，将有利于树立大学生正确的数学观念，养成良好的数学观念，能够以数学严谨的态度去探析问题，解决问题。

二、现阶段概率统计教学中数学文化渗透的教学现状

将数学文化渗透到概率统计教学过程中，虽然已经不是很新的观点，相关学者和教师也在此方面做过很多的研究和实践，也获得了很大的成绩。但是其效果表现得不是很明显，详细来讲，目前概率统计教学中数学教学渗透还存在以下几方面的问题和不足：其一，数学文化渗透观念不强，由于传统数学教学观念根深蒂固，使得很多的教学者很难抛开束缚，难以将数学文化融合到概率统计教学中去，并且对于数学文化存在偏见；其二，融合教学方法不当，教师往往难以有效的将数学文化和概率统计教学融合在一起，找不到两者之间的切合点，在开展融合教学的过程中，要么融合不恰当，要么牵强附会，难以保证课堂效果的实现；其三，教学内容设置不合理，在处理概率统计教学内容和数学文化两者之间关系的时候，难以实现数学内容的丰富化发展。

三、数学文化渗透视角下的概率统计教学

案例：以正态分布为教学内容，我们来开展数学文化在概率统计教学中的融入。

教学思维：对于正态分布来说，不得不提到英国数学家棣莫弗，作为概率论的极限理论基础的创始人，他不畏艰难，历经数十载，最终由二项分布逼近导出正态分布的密度函数表达式，其研究成果在概率论发展中起着承前启后的作用，从他的身上看到的是伟大的数学家锲而不舍的精神和攻克难关的勇气。

1.从文化角度出发，树立正确的文化教学观。一般来说，概率统计教学思想是将概率统计问题归结为纯粹数学问题来处理，往往忽视了概率统计教学的目的。其往往只是注重数学形式、思想、逻辑性，却严重忽视了教学思想，教学精神，使学生人文素养方面难以得到全面发展。从这个角度来讲，我们应该从文化角度出发，树立正确的文化教学观：其一，不断实现文化数学课程的突破，积极调整教学观念；其二，重视教学知识技能与学科精神的并重发展，保证学生在概率知识掌握的同时，实现价值观的正确树立；其三，注重学生情感教学，以潜移默化的方式实现对于学生数学素养的养成和发展。

2.从文化角度出发，合理组织概率教学内容。从理论上来讲，概率统计的含义、方法、理论是其基本内容，需要不断强化和夯实的部分。但这不是概率统计教学的全部内容，要想实现概率统计教学内容的全面掌握，不仅仅需要系统知识的掌握，还需要不断培养学生理性精神等方面的文化素养，使学生深刻地理解到概率统计学科的文化风貌。详细来讲：其一，从概率统计学科的发展历史来入手，将学科艰辛的发展历程，研究学者的不屈精神，学科对于生命的求索一一地讲述出来，不断激发学生的学习兴趣；其二，积极树立数学概率统计学者楷模，将其为了实现数学概率统计学科发展的事迹讲述给学生听，如法国数学家拉普拉斯出版了著作《概率的分析理论》的事件，法国数学家贝特朗提出了“贝特朗悖论”事件等；其三，概率统计思想的培养教学，从理论上来讲，概率统计思想是概率统计学科的核心所在，是促进学科进一步发展的不竭动力，自然也是数学文化的重要组成部分，注重这方面文化思想的阐释，将有利于学生解决问题能力的提高。如贝叶斯公式是概率论中的重要知识点，如果仅仅教给学生公式表达式及其推导，知识会变得干瘪而缺乏活力，甚至烦琐。相反，教师若能深刻揭示隐藏在公式后的思想，知识将不再呆板，它会变得丰满而富有吸引力。

3.从文化角度出发，选择科学合理的教学方法。为了能够实现数学文化与概率统计教学之间的融合，单方面的讲授教学方法是难以发挥其实际作用的，我们应该尝试更多，更新的教学方法，详细来讲：其一，案例教学法，也就是结合概率教学的实际案例，引导学生去处理问题，探析知识，培养实际能力的教学方法。其二，实践教学法，由于概率统计教学自身的特点，如果将其融入到实践活动中去，将有利于学生动手能力的提高，实现知识的深刻理解。对于这样的方面，可以由教师自主设计，或者由学生自主设计，实现边学习边使用，不断养成数学文化素养，保证给予学生良好的学习体验和文化素养。

4.利用情境教学法使学生领略数学文化。数学文化与概率统计学的内涵不仅表现在知识本身，还有它的历史。教师应该在课堂中穿插一些关于概率统计的轶事，并可以根据教材特点，借助数学文化营造一个宽松的数学学习环境，通过情境教学吸引学生注意力，激发学生积极主动地参与课堂学习，使情境教学法不仅仅是语文教学中的专利，也可以增加到数学的课堂上来。并以此方法，展现概率统计数学知识的背景，渗透数学文化。

四、结束语

随着我国素质教育改革的不断发展，数学文化势必成为概率统计教学的重要组成部分，其不仅仅能够授予学生良好的数学知识，还能够保证学生数学精神的不断培养，从而保证大学生综合数学素质的发展。从这个角度来讲，教师需要做好以下几方面的问题：其一，积极改变旧有的思想，保证能够对于数学基础知识进行多角度理解；其二，不断探索数学文化渗透视角下概率统计教学的方式方法，实现数学教学方法的多样化发展；其三，积极学习先进教学方法，找到数学文化和概率统计知识之间的结合点，保证教学顺利开展。

参考文献：

[1]胡炳，陈克胜.数学文化概论[M]合肥：安徽人民出版社，2006.

概率统计论文篇6

一、数学文化的含义

数学是人们定性把握客观世界，定量刻画与抽象概括，并且在这个前提下产生特定的方法与理论系统。基于这个角度分析，非物质世界的事物便是数学研究的对象，也是组成抽象思维体系中的主要部分。也可以理解为在人类文化中数学是一种主要的表现形式，要求教学者基于文化的角度对概率统计教学进行审视。一般来讲，我们学习学校的数学知识以后，虽然很少能够应用到实际工作与生活中，但是不管是工作还是生活，人们通常会采取数学的方法、推理方式处理各种问题，并且随着不断积累的实践经验，如此的数学方法就会变成文化载体。

二、概率统计教学中数学文化渗透的重要性

第一，作为文化重要表现方式的数学文化，在概率统计教学中渗透数学文化，促使数学研究与学习形成更加广泛的范围，领域越加多样化，这样不但对数学知识极大进行了丰富，还有效调整与优化了概率统计教学的结构。第二，在概率统计教学融合数学文化时，可以很好的塑造数学文化修养，最大程度避免了高数传统教学理论的教学方法，帮助学生更加全面的理解与判断概率统计教学理论知识，为学生发展创造力奠定了基础。第三，在概率统计教学过程中不断渗透数学文化，可以帮助学生建立完整的数学理念，形成较好的数学思想，通过严谨的教学态度对待问题。

三、数学文化在概率统计教学中的应用

（一）在概率统计教学内容中应用数学文化

1.介绍概率统计史

将概率统计史的内容渗透到概率统计教学中，能够培养学生的学习兴趣，也有利于学生理解学科概念与原理。并且，通过介绍学科历史，仿佛学生进入了学科发展历史之中，帮助他们逐步理解知识，通过体会研究者的艰辛，以及他们不怕艰险、追求理想的精神，帮助自己培养正确的人生价值观。再者，一门学科的发展无法离开创新，其也是科学的血液，创新精神能够使人们产生生活热情，进一步很好的认知人生。比如在讲解概率定义时，可以简单介绍概率定义的发展过程。法国数学家拉普拉斯在1812年通过分析工具对概率论内容进行了处理，促使概率论成功从组合技巧过渡到分析方法，开启了概率论发展的崭新时期。

2.培养概率统计思想

在概率统计学科中概率统计思想是其灵魂，其也被认为是解决科研研究活动问题的最本质想法，是发展学科的动力，也是组成概率统计这门学科文化的重要部分。因此，在概率统计的教学过程中，需要对知识中的概率统计思想进行挖掘与概括，并且对其魅力积极展现，加深学生对其的认识，进一步从思想层面培养和提升学生对素质能力。

比如，概率论中的主要知识点是贝叶斯公式，若仅仅是向学生展示公式表达式和推导过程，这样的知识势必缺少活力。但是，教师如果可以向学生揭示公式后隐藏的思想，知识立刻有了活力，同时对学生产生了极大的吸引力。

3.必须与实际联系

生活酝酿了概率统计，生活中到处都可以看到它的身影，反之，在生产、生活以及科学技术的各个领域中国也可以用到概率统计。因此，概率统计的教学必须与实际紧密联系，多从实际生活中寻找素材，充分展现概率统计的活力和魅力，严禁与实际脱离，向学生灌输知识理论，好像概率统计仅有公式和方法。

比如贝叶斯公式较为繁琐，一些学生在应用过程中会觉得吃力。若教师在为学生提供公式的同时，可以充分展现它的思想，再与实际生活中的有趣例子配合，学生就可以更好的掌握贝叶斯公式的内涵，极大提升了教学效果。

（二）在教学方式中应用数学文化

1案例教学

案例教学，是把一些典型的实际案例作为代表，帮助学生获取知识以及培养实际能力。相较于直接的讲述，案例教学法更加容易技法学生的积极性，能够更好的培养学生独立考虑问题的能力，并且由于其亲自参与会帮助他们更加深刻的理解知识，很好体会概率统计的主要思想，进一步内化为本身的思考习惯，提升了整体素养。因此，可以在概率统计教学中科学应用案例教学，这对于提升学生理论结合实际的能力具有极大的意义。

2.实践教学

在概率统计教学过程中，可以合理设置实践教学阶段，帮助学生深刻理解概率统计知识，提升他们的实践操作能力。教师可以亲子设计教学实践活动，比如学习了常见分布之后，可以设置题目问题“常见分布随机数的产生”、“在图像去噪中正态分布的应用”等。也可以鼓励学生自己设置实践题目，问题可以来自于学生观察生活的经历。在实践操作时，鼓励学生独自完成工作，遇到问题独立学习，学用结合。如此，能够培养学生的学习兴趣，帮助学生获得很好的学习体会。

概率统计论文篇7

概率统计的概念、方法、理论等知识是概率统计教学的基本内容，掌握这些内容是概率统计教学的重要目标之一．除此之外，我们希望学生在接受知识的同时，能够形成技能、发展能力，能够吸收学科的文化和培养理性的精神，进而完成文化的传承．这一过程绝非纯粹的知识传授能够完成，它需要从不同的角度将学科的风貌、文化展现给学生，让学生尽情地体验、感受，并在不知不觉中提高对学科的认识、理解，吸收学科的文化内涵，最终形成内在的精神力量．

1．1概率统计史的介绍

在概率统计教学中适当渗透概率统计史的内容，可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对学科中的概念、方法和原理的理解．而且，通过对学科历史的介绍，学生仿佛置身于学科发展的历史情境之中，让他们了解知识一步步的发展，并逐渐成熟的艰难过程，体会研究者的艰辛，及他们不畏艰险、追求理想的精神，对培养学生正确的人生观、价值观都会大有裨益．再者，一门学科的发展史是创新的历史，创新是科学的血液，创新的精神能激发人们对生活的热情，从而热爱生活，形成对人生、对生命、对自然的良好认知．

例如，讲到概率的定义，可以适当介绍概率定义的发展历程．1812年，法国数学家拉普拉斯出版了著作《概率的分析理论》，他用分析工具处理概率论的基本内容，实现了概率论从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期．在他的著作中，拉普拉斯首次明确给出了概率的古典定义．但古典概型要求样本空间中元素个数有限，且每个样本点等可能出现，导致实际应用中有很大局限性．人们努力寻找更好的定义概率的方法．19世纪末，几何概型被引入，它将有限个样本点的情形推广到无限个样本点的场合．但1899年，法国数学家贝特朗提出了“贝特朗悖论”，在半径为r的圆内随机选择作一弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率，根据“随机选择”的不同情况，可以得到不同的答案．

这反映几何概率的逻辑基础是不够严密的．1900年，德国数学家希尔伯特在国际数学家大会上提出了建立概率论公理化体系的问题，随即，一些数学家在此方面进行研究，但提出的几种公理体系都不够严密．另外，1919年，奥地利数学家米泽斯提出了概率的统计定义，他将频率的稳定值定义为概率，此定义直观，而且也克服了概率古典定义中等可能性的缺陷，但从理论上讲，这种定义也不够严谨．到了20世纪30年代，随着大数定律的深入研究，概率论与测度论的联系越来越明显，在这种背景下，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年出版的《概率论基础》一书中给出了一套概率论公理化体系，得到了举世公认，它是概率论发展史上的里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下了坚实的基础．

通过以上对概率定义发展历程的介绍，让学生们体会到知识的来之不易，体会到它是无数科学家智慧、心血的结晶，是值得去珍惜和传承的．所以说，适当的概率统计史的介绍，既让学生们对知识的整体轮廓有了了解，也激发了学生们的学习热情和学习使命感，是渗透数学文化的重要教学内容之一．

1．2概率统计思想的培养

概率统计思想是概率统计这门学科的灵魂，它是人们在科学研究活动中解决问题的最本质、最根本的想法，是学科进一步发展的基础与动力，是概率统计这门学科文化内涵的重要组成部分．因此，在概率统计的教学过程中，要注意挖掘和概括知识中的概率统计思想，并有意识地展现它的魅力，增强学生对它的理解，从思想层面上培养与提高学生的素质及解决问题的能力．例如，贝叶斯公式是概率论中的重要知识点，如果仅仅教给学生公式表达式及其推导，知识会变得干瘪而缺乏活力，甚至繁琐．相反，教师若能深刻揭示隐藏在公式后的思想，知识将不再呆板，它会变得丰满而富有吸引力．在贝叶斯公式中，我们假定样本空间的划分A1，A2，…，An是导致试验结果B发生的“原因”，P(Ai)称为先验概率，它反映各种“原因”发生的可能性的大小，一般是以往经验的总结，是对各种“原因”的主观认识，试验前是已知的．试验后，结果B出现，这个信息将有助于进一步探讨结果发生的“原因”，利用贝叶斯公式计算条件概率P(Ai|B)，此概率称为后验概率，它反映了试验后基于试验结果B对各种“原因”Ai发生可能性大小的新认知、新判断．因此，当我们需要加深对Ai的认识时，可以收集相关的资料B，利用贝叶斯公式就可以做到这一点．让学生体会、感受、理解知识背后的思想才能使学生真正掌握知识，灵活运用知识解决实际问题，也才能真正从思想上传承文化，提高综合素质．

1．3紧密联系实际

概率统计来源于生活，日常生活中随处可见它的身影，反过来，概率统计也应用于生产、生活、及科学技术的各个领域．因此，概率统计的教学要注重紧密联系实际，从实际生活中多寻找素材，展示概率统计的活力与魅力，切不可脱离实际，展现给学生的仅仅是理论，仿佛概率统计只有公式和硬邦邦的方法．前面提到的贝叶斯公式，因为公式比较繁琐，部分学生应用起来会觉得困难．若教师教给学生公式，在很好地阐述它的思想的基础上，再配合现实生活中生动有趣的例子，学生会很好的领会贝叶斯公式的内涵，大大地提高教学效果．例如，生活中当我们遇到困难时会找朋友帮忙，朋友的可靠度我们内心有一个基本的判断，需要帮忙时我们会选择可靠度高的朋友．比如我们要外出旅游一段时间，家里的花委托给朋友A浇水，基于对朋友的了解，我们判断朋友A忘记给花浇水的概率为0．1，花比较娇嫩，如果浇水的话，它死去的概率为0．15，如果没浇水的话，它死去的概率为0．8，当我们旅游回来时，如果看到花死了，那朋友忘记给花浇水的概率是多少呢?“花死了”是我们看到的结果，它有助于我们修正对朋友忘记给花浇水的认识，利用贝叶斯公式计算，算得朋友忘记给花浇水的概率为0．3721，不要忘记在这件事之前，我们认为朋友忘记给花浇水的概率只有0．1，朋友的可靠度降低了．此时可提醒学生，接受他人委托后我们要认真对待，不然不良的后果会降低他人对我们的信任度．这样既让学生牢固地掌握了知识，也起到了育人的作用．生活中可利用的生动有趣的教学素材有很多，紧密联系实际，不仅可以激发学生学习概率统计的兴趣，提高教学效果，还可以让学生体会到这门学科对人类社会的作用和价值，感受到它的思想和文化内涵．

2选择基于文化的教学方式

目前，概率统计的教学方式通常是讲授法，讲授法有不少优点，教师可以根据授课对象灵活地处理讲授的内容，也可以选择学生易理解的词汇恰当地表达自己．但如果要更多的体现概率统计这门学科文化的内容，就需更多地融合其他的教学方式，以提高教学效果．

2.1案例教学

案例教学，是将某些具有代表性的实际事例作为范例，指导学生进行分析解剖以获取知识和培养实际能力的一种教学方法．相比直白的讲述，案例教学法更容易调动学生的积极性，可以更好地培养学生独立思考的习惯，而且因其自身的参与会让他们对所学的知识理解更为深刻，能更好地领会概率统计的基本思想，从而内化为自身的思考习惯，提高自身的综合素养．因此，在概率统计教学中适当地采用案例教学，对提高学生理论与实际相结合的能力，对概率统计学科文化的传承是有积极意义的．

2.2实践教学

概率统计论文篇8

关键词：课堂教学;概率论与数理统计;应用能力;教学模式

中图分类号：G427文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）02-0194-02

概率与数理统计是实际应用性很强的一门数学学科，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入产出分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用。概率与数理统计是高等院校财经类专业的公共基础课，它既有理论又有实践，既讲方法又讲动手能力。然而，在该课程的具体教学过程中，由于其思维方式与以往数学课程不同、概念难以理解、习题比较难做、方法不宜掌握且涉及数学基础知识广等特点，许多学生难以掌握其内容与方法，面对实际问题时更是无所适从，尤其是财经类专业学生，高等数学的底子相对薄弱，且不同生源的学生数理基础有较大的差异，因此，概率统计成为一部分学生的学习障碍。如何根据学生的数学基础调整教学方法，以适应学生基础，培养其能力，并与其后续课程及专业应用结合，便成为任课教师面临的首要任务。作为我校教学改革的一个重点课题，在近几年的教学实践中，我们结合该课程的特点及培养目标，对课程教学进行了改革和探讨，做了一些尝试性的工作，取得了较好的成效。

1 与实际结合，激发学生对概率统计课程的兴趣

概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程都有本质的不同，因此其基本概念的引入就显得更为重要。为了激发学生的兴趣，在教学中，可结合教材插入一些概率论与数理统计发展史的内容或背景资料。如概率论的直观背景是充满机遇性的，其最初用到的数学工具也仅是排列组合，它提供了一个比较简单而非常典型（等可能性、有限性）的随机模型，即古典概型；在介绍大数定律与中心极限定理时可插入贝努里的《推测术》以及拉普拉斯将概率论应用于天文学的研究，既拓广了学生的视野，又激发了学生的兴趣，缓解了学生对于一个全新的概念与理论的恐惧，有助于学生对基本概念和理论的理解。此外，还可以适当地作一些小试验，以使概念形象化，如在引入条件概率前，首先计算著名的“生日问题”，从中可以看到：每四十人中至少有两人生日相同的概率为 0.882，然后在各班学生中当场调查学生的生日，查找与前述结论不吻合的原因，引入条件概率的概念，有了前面的感性认识后学生就比较主动地去接受这个概念了。

在概率统计中，众多的概率模型让学生望而生威，学生常常记不住公式，更不会应用。而概率统计又是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。不少概念和模型都是实际问题的抽象，因此，在课堂教学中，必须坚持理论联系实际的原则来开展，将概念和模型再回归到实际背景。例如：二项分布的直观背景为 n重贝努里试验，由此直观再利用概率与频率的关系，我们易知二项分布的最可能值及数学期望等，这样易于学生理解，更重要的是让其看到如何从实际问题抽象出概念和模型，引导学生领悟事物内部联系的直觉思维。同时在介绍各种分布模型时可以有针对性地引入一些实际问题，向学生展示本课程在工农业、经济管理、医药、教育等领域中的应用，突出概率统计与社会的紧密联系。如将二项分布与新药的有效率、射击命中、机器故障等问题结合起来讲；将正态分布与学生考试成绩、产品寿命、测量误差等问题结合起来讲；将指数分布与元件寿命、放射性粒子等问题结合起来讲，使学生能在讨论实际问题的解决过程中提高兴趣，理解各数学模型，并初步了解利用概率论解决实际问题的一些方法。

2 运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力

案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与互相讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。它是连接理论与实践的桥梁。我们结合概率与数理统计应用性较强的特点，在课堂教学中，注意收集经济生活中的实例，并根据各章节的内容选择适当的案例服务于教学，利用多媒设备及真实材料再现实际经济活动，将理论教学与实际案例有机的结合起来，使得课堂讲解生动清晰，收到了良好的教学效果。案例教学法不仅可以将理论与实际紧密联系起来，使学生在课堂上就能接触到大量的实际问题，而且对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过案例教学可以促进学生全面看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实经济生活中得到更好的应用，发挥其应有的作用。

在介绍分布函数的概念时,我们首先给出一组成年女子的身高数据,要学生找出规律,学生很快就由前面所学的离散型随机变量的分布知识得到分组资料,然后引导他们计算累积频率,描出图形,并及时抽象出分布函数的概念。紧接着仍以此为例,进一步分析:身高本是连续型随机变量,可是当我们把它们分组后,统计每组的频数和频率时却是用离散型随机变量的研究方法,如果在每一组中取一个代表值后,它其实就是离散型的,所以在研究连续型随机变量的概率分布时,我们可以用离散化的方法,反过来离散型随机变量的分布在一定的条件下又以连续型分布为极限,服装的型号、鞋子的尺码等问题就成为我们理解“离散”和“连续”两个对立概念关系的范例,其中体现了对立统一的哲学内涵,而分布函数正是这种哲学统一的数学表现形式。尽管在这里花费了一些时间,但是当学生理解了这些概念及其关系之后,随后的许多概念和内容都可以很轻松地掌握,而且使学生能够对数学概念有更深层次上的理解和感悟,同时也调动了学生的学习积极性和主动性,培养了他们再学习的能力。

3 运用讨论式教学法，增强学生积极向上的参与和竞争意识

讨论课是由师生共同完成教学任务的一种教学形式，是在课堂教学的平等讨论中进行的，它打破了老师满堂灌的传统教学模式。师生互相讨论与问答，甚至可以提供机会让学生走上讲台自己讲述。如，在讲授区间估计方法时，就单双边估计问题我们安排了一次讨论课，引导学生各抒己见，鼓励学生大胆的发表意见，提出质疑，进行自由辩论。通过问答与辩驳，使学生开动脑筋，积极思考，激发了学生学习热情及科研兴趣，培养了学生综合分析能力与口头表达能力，增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程，教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习，更新知识，提高讲课技能，同时也调动了学生学习的积极性，增进师生之间的思想与情感的沟通，提高了教学效果。教学相长，相得益彰。

保险是最早运用概率论的学科之一,也是我们日常谈论的一个热门话题。因此,在介绍二项分布时,例如一家保险公司有1000人参保,每人、每年12元保险费,一年内一人死亡的概率为0.006。死亡时,其家属可向保险公司领得1000元,问:①保险公司亏本的概率为多大?②保险公司一年利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多少? 保险这一类型题目的引入,通过讨论课使学生对概率在经济中的应用有了初步的了解。

4 运用多媒体教学手段，提高课堂教学效率

传统上一本教材、一支粉笔、一块黑板从事数学教学的情景在信息社会里应有所改变，计算机对数学教育的渗透与联系日益紧密，特别是概率论与数理统计课，它是研究随机现象统计规律性的一门学科，而要想获得随机现象的统计规律性，就必须进行大量重复试验，这在有限的课堂时间内是难以实现的，传统教学内容的深度与广度都无法满足实际应用的需要。在教学中我们可以采用了多媒体辅助手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，形成了一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而大大增加了教学信息量，以提高学习效率，并有效地刺激学生的形象思维。另外，利用多媒体对随机试验的动态过程进行了演示和模拟，如:全概率公式应用演示、正态分布、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、中心极限定理的直观演示实验等，再现抽象理论的研究过程，能加深学生对理论的理解及方法的运用。让学生在获得理论知识的过程中还能体会到现代信息技术的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果。

5 改革考试方式和内容，合理评定学生成绩

应试教育向素质教育的转变，是我国教育改革的基本目标。财经类专业的概率与数理统计教学，除了在教学方法上应深入改革外，在考试环节上也需要进行改革。

考试是教学过程中的一个重要环节，是检验学生学习情况，评估教学质量的手段。对于数学基础课程概率与数理统计的考试，多年以来一直沿用闭卷笔试的方式。这种考试方式对于保证教学质量，维持正常的教学秩序起到了一定的作用，但也存在着缺陷，离考试内容和方式应更加适应素质教育，特别是应有利于学生的创造能力的培养之目的相差甚远。在过去的概率与数理统计教学中，基本运算能力被认为是首要的培养目标，教科书中的各种例题主要是向学生展示如何运用公式进行计算，各类辅导书中充斥着五花八门的计算技巧。从而导致了学生在学习概率与数理统计课程的过程中，为应付考试搞题海战术，把精力过多的花在了概念、公式的死记硬背上。这与财经类培养跨世纪高素质的经济管理人才是格格不入的。为此，我们对概率与数理统计课程考试进行了改革，主要包括两个方面：一是考试内容与要求不仅体现出概率与数理统计课程的基本知识和基本运算以及推理能力，还注重了学生各种能力的考查，尤其是创新能力。二是考试模式不具一格，除了普遍采用的闭卷考试外，还在教学中用互动方式进行考核，采取灵活多样的考核形式。学生成绩的测评根据学生参与教学活动的程度、学习过程中掌握程度和卷面考试成绩等综合评定。这样，可以引导学生在学好基础知识的基础上，注重技能训练与能力培养。

实践表明,运用教改实践创新的教学模式,可以使原本抽象、枯燥难懂的数学理论变得有血有肉、有滋有味,可以激发学生的求知欲望,提高学生对课程的学习兴趣。在概率统计的教学模式上,我们尽管做了一些探讨,但这仍是一个需要继续付出努力的研究课题,也希望与更多的同行进行交流,以提高教学水平。

参考文献

［1］陈善林，张浙.统计发展史［M］.上海：立信会计图书用品社，1987：119-151.

［2］姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版)［M］.北京:高等教育出版社,2003.

［3］肖柏荣.数学教学艺术概论［M］.合肥:安徽教育出版社,1996.

概率统计论文篇9

关键词：数学建模；大学数学；基础理论教学；能力培养

作者简介：于林（1965-），男，山东滨州人，三峡大学理学院，教授。（湖北 宜昌 443002）

基金项目：本文系三峡大学教学研究项目（项目编号：J2010057）的研究成果。

中图分类号：G642.1 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0124-02

大学生数学建模竞赛和数学建模活动在对大学生创新能力培养和数学技术应用能力培养中的重要作用已经是一个不争的事实，而在大学数学课程教学中融入数学建模思想的理念也被广大的数学教师所公认，并且取得了许多宝贵的实践经验。但是，在众多关于此问题的教学研究文献中，基本上都是仅仅就高等数学课程中那些本身就具有很强的应用性的数学方法和数学技术介绍了其在数学建模中的一些应用实例，而难得见到有关如何将原始的数学概念和抽象的数学定理的教学与数学建模相互联系的研究和分析。本文旨在通过对概率统计中两个最原始的概念（概率空间与统计结构）和高等数学中一个最抽象的定理（Weierstrass定理）的教学中如何融入数学建模思想的分析，揭示了在大学数学核心课程的教学中，数学建模与深化学生对基本概念的理解以及加强对抽象数学理论的实际应用能力的培养之间的关系。目的在于进一步探讨如何借助数学建模来激发学生对数学课程的学习兴趣，深化学生对抽象理论的理解。

一、最原始的概念，最基本的模型

众所周知，概率论和数理统计理论中有两个最原始的基本概念，一个是概率空间，另一个是统计结构（或者统计模型）。通常在“概率论与数理统计”课程教学中一般总是这样进行的，在给定了概率空间（Ω、F、P）之后，研究定义在其上的随机变量及其分布等性质；在给定了统计结构（或者统计模型） 之后，研究其上的样本、抽样分布及其由此而建立起来的统计推断问题。例如，一般的课本上几乎都是主要介绍建立在“正态分布总体”这样一种统计结构上的统计推断理论的。但是，只要稍微仔细思考一下，就会发现一个被忽略的问题：这种作为研究起点的所谓“概率空间”和“统计结构”是怎么来的？这一问题一般情况下被教师和学生所忽略，因为同学们只需要会做课后的习题就够了，而在每一个习题里这些所谓的“起点”早就被题目的设计者给设计好了。于是，时间久了，同学们也就习惯了，很容易由此而造成一种假象，似乎这些作为“起点”的东西是天生的，或者是自然就有的，很容易对这一课程中最基本的两个概念缺乏必要的理解。

然而，如果将这一问题与数学建模结合起来则情况就大不一样了。对于数学建模，任务不再是求解那种被人设计好的习题，而是面对的各类实际问题。运用概率分析的方法或者统计分析的方法对这些实际问题进行研究，但是概率分析理论、统计分析理论都不能直接作用于任何实际问题，这就需要首先确定这一实际问题所对应的“概率空间”或者“统计结构”是什么。事实上，“概率空间”就是架设在实际问题和概率分析理论之间的一座桥梁，而“统计结构”即是贯通在实际问题和统计分析理论之间的一条隧道。随机数学建模或者统计分析建模从对“概率空间”和“统计结构”的建立就已经开始了。

1.概率空间

（1）随机现象与随机试验。数学建模的研究对象都是一些实际的问题，如果这一实际问题表现为具有某种随机性的时候则被认为是一种随机现象，因此准备运用概率分析的方法进行研究。但是，概率理论直接的研究对象并不是随机现象，而是为研究随机现象所作的随机试验（Random Experiment）。为简单计，今后凡是在概率论中的随机试验皆简称为试验，并记之以英文字母E。对于数学建模者需要指出的是：对于同一随机现象，根据研究者的研究目的和研究方法的不同可以设计不同的随机试验。

例如，某同学打篮球投篮，这当然是一个随机现象，因为他可能投中也可能投不中，也就是说他每次投篮是否能投中具有随机性。假设现在要考察该同学投篮的命中率，可以设计如下两种不同的随机试验。试验E1是让该同学先后投篮10次，看他其中能投中几次；试验E2是请该同学连续投篮直到投中为止，看该同学共需要投几次才能投中。由于所设计的随机试验不同，因而所产生概率空间就不同，以后所运用的概率分析方法也就不一样。

（2）样本空间。当确定了随机试验E之后，称试验E的每一个可能结果为样本点（Sample Point），并称由全体样本点的集合为试验E的样本空间（Sample Space），并分别用希腊字母ω和Ω表示样本点和样本空间。

例如，对于上述的两个试验，试验E1的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中共投中k个球；试验E2的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中总共的投篮次数。注意，是一个有限样本空间，而则是一个无限样本空间。

（3）几何概率模型的实例。几何概率在现代概率概念的发展中起到了非常重大的作用。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答，然而Joseph Bertrand在1888年提出的一个问题改变了人们的想法，这就是贝特朗奇论（Bertrand’s paradox）。

Bertrand奇论：在一半径为1的园内“任意”作一弦，试求此弦长度l大于园内接正三角形的边长的概率P。

解法1：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。

解法2：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的，则所求概率为1/2。

解法3：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4。

于是得到了三个不同的答案，原因是什么呢？这是因为三种解法中使用了三个不同的随机试验，从而得到三种不同的概率空间。解法1 的样本空间Ω1是全圆周；解法2的样本空间Ω2是直径上点的全体；解法3的样本空间Ω3是二维区域C。这一例子说明，对于同一个问题，由于构造了不同的概率空间而可以得到不同的结论。相对于各自的概率空间，每一种解法都是正确的，而概率空间即是最基本的数学模型。

2.统计结构

（1）对统计总体的认识。正如“概率空间”是概率研究的起点一样，“统计结构”（或称统计模型）则是统计分析的起点。数理统计学就是这样一门学科：它使用概率论和数学的方法，研究怎样收集（通过试验或者观察）带有随机误差的数据，并在设定的统计结构（或称统计模型）之下，对这种数据进行分析（称为统计分析），以对所研究的问题做出推断（称为统计推断）。

面对应用中遇到的实际问题，统计结构是如何得来的呢？首先，来看一下如何认识统计的总体。所谓统计总体是指具有某种分布的随机变量（或随机向量）。所以，通常总体记为随机变量ξ，它服从某分布（族）P。

（2）统计结构（统计模型）。统计总体的随机变量量ξ及其服从的分布P统称为统计结构（或统计总体），P代表的实际上是一族分布函数。如果已经知道P的分布类型，即已知分布函数的类型，只是对其中的某个或者某几个参数θ未知，则问题就归结为根据样本值推断参数θ究竟取何值为好。此类统计模型就是参数模型，涉及的统计问题就是参数统计问题。如果连分布函数的类型也知道得很少，以至于不能给出参数模型，那么问题就成为非参数统计问题。

以对某物理量的测量问题为例：假设有某物理量μ，采取多次测量的方式以求得到该物理量真实值μ的估计。如何建立统计模型呢？

模型一：设总体随机变量，其中，所以

该研究者认为：测量仪器工作状态稳定，可以认为测量结果只存在随机误差。根据误差分析理论，此时有理由认为误差服从正态分布，由此总体随机变量。其中均值μ和方差都未知。所以该模型是一个含有两个未知参数的正态分布函数族。

现在再设想，假如该项测量工作是由一个非常专业的测量团队来完成的，因此事前可以假设测量的精确程度是已知的，即可以假设上述的方差已知，且取值为，于是又有如下模型。

模型二：设总体随机变量，其中，所以

当然，与建立模型二时相反，建模者可能十分悲观，或者事实上也是如此，这就是事前对该总体的信息收集实在太少。研究者只能肯定的是测量者既不会有意把数据夸大，也不会有意缩小，也就是测量所得的随机变量关于真实值应该是左右对称的，除此之外没有其它信息了。这样就只能设置模型如下：

模型三：设总体随机变量{对称分布}。

模型三得到的只是一个非参数统计模型，因此决定了首先必须运用非参数统计进行分析和研究，这较之前两种模型要复杂得多。

二、最抽象的定理，最直接的应用

1.Weierstrass定理

有界闭区间上连续函数的性质表现为一系列十分抽象的定理，Weierstrass定理是其中的一个。一方面，从理论上讲，它们在微积分理论体系中具有非常重要的地位；而另一方面，它们在形式上十分抽象。因此，一般情况下，学生们会认为其没有实用价值。其实正好相反，在数学建模中Weierstrass定理就经常被用到。该定理说：如果是上的一个连续复函数，那么便有多项式的序列，使得在上一致地成立。如果是实函数，则是实多项式。

2.在数学建模中的一个应用

土豆施肥效果分析：在土豆生长期间，施用不同量的氮（N）和钾（K）肥，土豆产量结果见附表1，求土豆产量与施肥量之间的关系。

首先，为了计算方便，对数据作中心标准化处理，即令：

，

如果说，施肥量x1、x2与土豆产量y有很密切的关系，则应该有，其中可能是线性函数，也可能是非线性函数，探求的具体形式是本题的目的，需要用回归分析方法。

（1）失败的线性回归模型。通常情况下，同学们首先想到的是线性模型：。根据最小二乘法计算得回归方程：。但是这个模型的效果究竟如何呢？计算多重判定系数得。显然，该线性模型对所给数据的拟合效果很差，由对数据的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合适的。

（2）有效的多项式回归模型。显然，所求的函数关系肯定不是线性函数，而一定是一个非线性函数。然而，非线性函数有无数种，最有可能是哪一种呢？此时，Weierstrass定理帮了大忙。其实，无论是什么样的非线性函数，总可以用多项式去逼近。因此，可以考虑为多项式函数，且不妨从最低阶的二次多项式开始。

设模型为：，

同样根据最小二乘法计算得回归方程：。经计算多重判定系数为：。由此可知该模型拟合效果非常好，问题得到圆满解决。

三、结论

由上述实例分析可见，恰当地将数学建模融入大学数学课程教学，不仅有利于对学生数学应用能力的培养，而且更重要的是还可以帮助学生对抽象的基本概念和理论的理解。因此，对于更多的抽象概念和定理，如何引入适当的数学模型是一个非常值得进一步详细探讨的问题。

参考文献：

[1]李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008.

概率统计论文篇10

关键词：课堂教学;概率论与数理统计;应用能力;教学模式 

概率与数理统计是实际应用性很强的一门数学学科，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入产出分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用。概率与数理统计是高等院校财经类专业的公共基础课，它既有理论又有实践，既讲方法又讲动手能力。然而，在该课程的具体教学过程中，由于其思维方式与以往数学课程不同、概念难以理解、习题比较难做、方法不宜掌握且涉及数学基础知识广等特点，许多学生难以掌握其内容与方法，面对实际问题时更是无所适从，尤其是财经类专业学生，高等数学的底子相对薄弱，且不同生源的学生数理基础有较大的差异，因此，概率统计成为一部分学生的学习障碍。如何根据学生的数学基础调整教学方法，以适应学生基础，培养其能力，并与其后续课程及专业应用结合，便成为任课教师面临的首要任务。作为我校教学改革的一个重点课题，在近几年的教学实践中，我们结合该课程的特点及培养目标，对课程教学进行了改革和探讨，做了一些尝试性的工作，取得了较好的成效。

1 与实际结合，激发学生对概率统计课程的兴趣

概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程都有本质的不同，因此其基本概念的引入就显得更为重要。为了激发学生的兴趣，在教学中，可结合教材插入一些概率论与数理统计发展史的内容或背景资料。如概率论的直观背景是充满机遇性的，其最初用到的数学工具也仅是排列组合，它提供了一个比较简单而非常典型（等可能性、有限性）的随机模型，即古典概型；在介绍大数定律与中心极限定理时可插入贝努里的《推测术》以及拉普拉斯将概率论应用于天文学的研究，既拓广了学生的视野，又激发了学生的兴趣，缓解了学生对于一个全新的概念与理论的恐惧，有助于学生对基本概念和理论的理解。此外，还可以适当地作一些小试验，以使概念形象化，如在引入条件概率前，首先计算著名的“生日问题”，从中可以看到：每四十人中至少有两人生日相同的概率为 0.882，然后在各班学生中当场调查学生的生日，查找与前述结论不吻合的原因，引入条件概率的概念，有了前面的感性认识后学生就比较主动地去接受这个概念了。

在概率统计中，众多的概率模型让学生望而生威，学生常常记不住公式，更不会应用。而概率统计又是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。不少概念和模型都是实际问题的抽象，因此，在课堂教学中，必须坚持理论联系实际的原则来开展，将概念和模型再回归到实际背景。例如：二项分布的直观背景为 n重贝努里试验，由此直观再利用概率与频率的关系，我们易知二项分布的最可能值及数学期望等，这样易于学生理解，更重要的是让其看到如何从实际问题抽象出概念和模型，引导学生领悟事物内部联系的直觉思维。同时在介绍各种分布模型时可以有针对性地引入一些实际问题，向学生展示本课程在工农业、经济管理、医药、教育等领域中的应用，突出概率统计与社会的紧密联系。如将二项分布与新药的有效率、射击命中、机器故障等问题结合起来讲；将正态分布与学生考试成绩、产品寿命、测量误差等问题结合起来讲；将指数分布与元件寿命、放射性粒子等问题结合起来讲，使学生能在讨论实际问题的解决过程中提高兴趣，理解各数学模型，并初步了解利用概率论解决实际问题的一些方法。

2 运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力

案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与互相讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。它是连接理论与实践的桥梁。我们结合概率与数理统计应用性较强的特点，在课堂教学中，注意收集经济生活中的实例，并根据各章节的内容选择适当的案例服务于教学，利用多媒设备及真实材料再现实际经济活动，将理论教学与实际案例有机的结合起来，使得课堂讲解生动清晰，收到了良好的教学效果。案例教学法不仅可以将理论与实际紧密联系起来，使学生在课堂上就能接触到大量的实际问题，而且对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过案例教学可以促进学生全面看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实经济生活中得到更好的应用，发挥其应有的作用。

在介绍分布函数的概念时，我们首先给出一组成年女子的身高数据，要学生找出规律，学生很快就由前面所学的离散型随机变量的分布知识得到分组资料，然后引导他们计算累积频率，描出图形，并及时抽象出分布函数的概念。紧接着仍以此为例，进一步分析:身高本是连续型随机变量，可是当我们把它们分组后，统计每组的频数和频率时却是用离散型随机变量的研究方法，如果在每一组中取一个代表值后，它其实就是离散型的，所以在研究连续型随机变量的概率分布时，我们可以用离散化的方法，反过来离散型随机变量的分布在一定的条件下又以连续型分布为极限，服装的型号、鞋子的尺码等问题就成为我们理解“离散”和“连续”两个对立概念关系的范例，其中体现了对立统一的哲学内涵，而分布函数正是这种哲学统一的数学表现形式。尽管在这里花费了一些时间，但是当学生理解了这些概念及其关系之后，随后的许多概念和内容都可以很轻松地掌握，而且使学生能够对数学概念有更深层次上的理解和感悟，同时也调动了学生的学习积极性和主动性，培养了他们再学习的能力。

3 运用讨论式教学法，增强学生积极向上的参与和竞争意识

讨论课是由师生共同完成教学任务的一种教学形式，是在课堂教学的平等讨论中进行的，它打破了老师满堂灌的传统教学模式。师生互相讨论与问答，甚至可以提供机会让学生走上讲台自己讲述。如，在讲授区间估计方法时，就单双边估计问题我们安排了一次讨论课，引导学生各抒己见，鼓励学生大胆的发表意见，提出质疑，进行自由辩论。通过问答与辩驳，使学生开动脑筋，积极思考，激发了学生学习热情及科研兴趣，培养了学生综合分析能力与口头表达能力，增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程，教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习，更新知识，提高讲课技能，同时也调动了学生学习的积极性，增进师生之间的思想与情感的沟通，提高了教学效果。教学相长，相得益彰。

保险是最早运用概率论的学科之一，也是我们日常谈论的一个热门话题。因此，在介绍二项分布时，例如一家保险公司有1000人参保，每人、每年12元保险费，一年内一人死亡的概率为0.006。死亡时，其家属可向保险公司领得1000元，问:①保险公司亏本的概率为多大?②保险公司一年利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多少? 保险这一类型题目的引入，通过讨论课使学生对概率在经济中的应用有了初步的了解。

4 运用多媒体教学手段，提高课堂教学效率

传统上一本教材、一支粉笔、一块黑板从事数学教学的情景在信息社会里应有所改变，计算机对数学教育的渗透与联系日益紧密，特别是概率论与数理统计课，它是研究随机现象统计规律性的一门学科，而要想获得随机现象的统计规律性，就必须进行大量重复试验，这在有限的课堂时间内是难以实现的，传统教学内容的深度与广度都无法满足实际应用的需要。在教学中我们可以采用了多媒体辅助手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，形成了一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而大大增加了教学信息量，以提高学习效率，并有效地刺激学生的形象思维。另外，利用多媒体对随机试验的动态过程进行了演示和模拟，如:全概率公式应用演示、正态分布、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、中心极限定理的直观演示实验等，再现抽象理论的研究过程，能加深学生对理论的理解及方法的运用。让学生在获得理论知识的过程中还能体会到现代信息技术的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果。

5 改革考试方式和内容，合理评定学生成绩

应试教育向素质教育的转变，是我国教育改革的基本目标。财经类专业的概率与数理统计教学，除了在教学方法上应深入改革外，在考试环节上也需要进行改革。

考试是教学过程中的一个重要环节，是检验学生学习情况，评估教学质量的手段。对于数学基础课程概率与数理统计的考试，多年以来一直沿用闭卷笔试的方式。这种考试方式对于保证教学质量，维持正常的教学秩序起到了一定的作用，但也存在着缺陷，离考试内容和方式应更加适应素质教育，特别是应有利于学生的创造能力的培养之目的相差甚远。在过去的概率与数理统计教学中，基本运算能力被认为是首要的培养目标，教科书中的各种例题主要是向学生展示如何运用公式进行计算，各类辅导书中充斥着五花八门的计算技巧。从而导致了学生在学习概率与数理统计课程的过程中，为应付考试搞题海战术，把精力过多的花在了概念、公式的死记硬背上。这与财经类培养跨世纪高素质的经济管理人才是格格不入的。为此，我们对概率与数理统计课程考试进行了改革，主要包括两个方面：一是考试内容与要求不仅体现出概率与数理统计课程的基本知识和基本运算以及推理能力，还注重了学生各种能力的考查，尤其是创新能力。二是考试模式不具一格，除了普遍采用的闭卷考试外，还在教学中用互动方式进行考核，采取灵活多样的考核形式。学生成绩的测评根据学生参与教学活动的程度、学习过程中掌握程度和卷面考试成绩等综合评定。这样，可以引导学生在学好基础知识的基础上，注重技能训练与能力培养。

实践表明，运用教改实践创新的教学模式，可以使原本抽象、枯燥难懂的数学理论变得有血有肉、有滋有味，可以激发学生的求知欲望，提高学生对课程的学习兴趣。在概率统计的教学模式上，我们尽管做了一些探讨，但这仍是一个需要继续付出努力的研究课题，也希望与更多的同行进行交流，以提高教学水平。

参考文献

［1］陈善林，张浙.统计发展史［M］.上海：立信会计图书用品社，1987：119-151.

［2］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］肖柏荣.数学教学艺术概论［M］.合肥:安徽教育出版社，1996.