概率公式十篇

概率公式篇1

关键词： 全概率公式 解题思路 应用

全概率及贝叶斯公式是《概率论与数理统计》课程中的两个重要的公式，由于全概率公式和贝叶斯公式本身是用来解决实际问题的，因而应用背景十分重要，如果对公式的应用背景不理解，则很难灵活运用。现就如何透彻地讲解公式和灵活应用全概率公式，谈谈我在教学中的体会。

全概率公式是概率的加法公式和乘法公式的综合，在进行这个知识点的教学时，如果按照课本上的顺序，直接给出公式，证明公式，然后套用公式来进行应用，这样就会导致学生感到公式不易理解，记忆困难，应用时就更感觉无从下手。鉴于此，我在教学中从实例入手，引导并帮助学生完成由已知的加法公式和乘法公式到建立全概率公式的思维过程，这样不仅可以激发学生的思维，而且能加深学生对全概率公式的理解和记忆。

引例：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：第1、2、3三家工厂提供元件的份额分别是0.15、0.80、0.05，它们的次品率分别是0.02、0.01、0.03，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率。

解：设A表示“取到的是一只次品”，B（i=1，2，3）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，由于导致A发生的原因B，B，B不能唯一确定，因此求P（A）用条件概率难以解决。由题意，A能且只能与B，B，B之一同时发生，即AB、AB、AB互不相容，这样A可表示为AB、AB、AB三事件之和，再利用加法公式，通过求P（AB）、P（AB）、P（AB）来求P（A）。由于B+B+B=Ω（必然事件），则有A=AΩ=A（B+B+B）=AB+AB+AB。

P（A）=P（AB+AB+AB）P（AB）+P（AB）+P（AB）

这样，可把求P（A）经过转化，分解为简单事件的概率和，又由已知条件，P（AB）不能直接求出，但易知P（B）=0.15，P（B）=0.80，P（B）=0.05，P（A|B）=0.02，P（A|B）=0.01，P（A|B）=0.03，这样利用乘法公式即可求出P（AB），从而求得P（A）。

P（A）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=P（B）P（A|B）+P（B） P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125

求P（A）事实上运用的就是全概率公式。由于次品的概率P（A）直接求不出来，按照题意把A分成三部分，A的发生受这三部分的影响且这三部分是互不相容的。把这三部分的概率分别求出，最后加起来，就得到A的全部概率。

全概率公式：设试验E的样本空间为S，B，B，…，B为E的一组事件，若满足

（1）BB=?，（i≠j，i，j=1，2，…，n）

（2）B∪B∪…∪B=S且P（B）＞0（i=1，2，…，n）。则对任一事件A有

P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+…+P（B）P（A|B）。

在全概率公式中，通常把满足条件（1）（2）的事件组B，B，…，B称为完备事件组，运用全概率公式的关键在于找出这个完备事件组。完备事件组B，B，…，B可以看成是引起事件A发生的一系列原因或A的发生要受因素B，B，…，B的影响，一个事件A往往可能在若干个不同原因B，B，…，B下发生，因而可将A分解成若干个互不相容的事件，只要知道了各种原因B，B，…，B发生的概率以及各种原因B，B，…，B发生的条件下A发生的概率，利用全概率公式就可求得事件A发生的概率。

全概率公式是使复杂问题简单化的很有价值的一个实际应用公式。当一个事件的发生是由几个不相关过程导致的时候，运用全概率公式则可简化思考过程，起到化整为零，化难为易的作用，下面举例说明。

例1：某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9、0.7、0.4。求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率。

解：问题实质上涉及两个部分：第一，选出的射手不知道是哪个级别的，由全概率公式知，都应该考虑到才全面。第二，某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率是已知道的，记A表示“选出的是i级射手”，i=1，2，3，记B表示“选出的射手能通过选拔进入比赛”则A，A，A构成一个完备事件组，有：

A∪A∪A=S且AA=?，i≠j，i，j=1，2，3

由题意：P（A）=4/20，P（A）=8/20，P（A）=8/20，因此

P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/20×0.9+8/20×0.7+8/20×0.4=0.62

这个数比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了。

例2：某工厂生产的产品以100个为一批。在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过4个，并且其中恰好有i（i=0，1，2，3，4）个次品的概率如下：

求各批产品通过检查的概率。

解：设事件B是一批产品中有i个次品（i=0，1，2，3，4），则

P（B）=0.1，P（B）=0.2，P（B）=0.4，P（B）=0.2，P（B）=0.1

显然有B=S且BB=?（i≠j，i，j=0，1，2，3，4），故B，B，B，B，B构成一个完备事件组。设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则有

P（A|B）=1，P（A|B）==0.900，P（A|B）=≈0.809，

P（A|B）=≈0.727，P（A|B）=≈0.652

所以，由全概率公式，即得所求的概率：

P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）≈0.1×1+0.2×0.900+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.8142

对于一个复杂的事件A，如果能找到一影响着A发生的完备事件组B，B，…，B，而计算各B（i=1，2，…，n）的概率P（B）与条件概率P（A|B）又较容易，这时为了计算A的概率，就可以考虑使用全概率公式。

参考文献：

［1］盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计.高等教育出版社，2008.

概率公式篇2

关键词：全概率公式；完备事件组；贝叶斯公式

全概率公式给了我们一个实际计算某些事件概率的公式，只要一旦我们知道了在各事件发生条件下该事件发生的概率，则该事件的无条件概率可以从全概率公式求得，也就是说，只要知道了各种原因发生条件下该事件发生的概率（原因概率），该事件的无条件概率可通过全概率公式求得。反之，若已知各种原因概率，设在进行随机试验中某事件已经发生，在这条件下求各种原因发生的条件概率，这是概率论重要的研究课题之一。为了达到这个目的，我们经常把已经发生的事件看成是一个“结果”，把若干个不相容的简单事件看成是导致这一结果发生的不同原因，再通过计算这些简单事件的概率、这些事件发生条件下已经发生事件的概率及运用概率的加法、乘法和除法得到最终结果。贝叶斯公式就是这种思想方法的一个反映，它是概率的加法、乘法与除法的综合。

一、贝叶斯公式的分析

1.完备事件组

设实验E的样本空间为Ω，A1，A2，…，An为E的一组事件，若A1，A2，…，An两两互不相容，并且■=Ω则称A1，A2，…，An为试验E完备事件组。

2.全概率公式

设试验E的样本空间为Ω，如果A1，A2，…，An是Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0（i=1，2，…，n），则对于E的任一事件B，有P（B）=■P（Ai）P（B/Ai）。

注：全概率公式是将求复杂事件B的概率P（B）转化为求概率P（Ai）与P（B/Ai）（i=1，2，…，n）乘积的和。

3.贝叶斯公式解析

设事件为A1，A2，…，An试验E的完备事件组，对于任一事件B，如果P（B）>0，则有：P（B/Ai）=■=■（i=1，2，…，n）。

（1）首先要认识事件B是试验E的一个事件，且把事件B看成是一个“结果”。

（2）完备事件组A1，A2，…，An理解成导致这一结果发生的不同原因，P（Ai）（i=1，2，…，n）是各种原因发生的概率，通常在“结果”发生之前就已经明确的，有时可以从以往的经验中求得，因而称之为先验概率。

（3）贝叶斯公式是在“结果”B已经发生之后，再去考虑各种原因发生的概率P（B/Ai）（i=1，2，…，n）。

（4）该公式可以通过以下几个步骤：第一，由条件概率得P（B/Ai）=■；第二，分子通过乘法公式得P（AiB）=P（Ai）P（B/Ai）；第三，分母通过全概率公式得P（B）=■P（Ai）P（B/Ai）；将第二、第三的结果带入第一即得贝叶斯公式。

有时，我们把P（B/Ai）称为“原因”概率，而称P（Ai/B）为“事后”概率，从贝叶斯公式可看出：“事后”概率可通过一系列的“原因”概率求得。P（Ai）（i=1，2，…，n）是在不知道事件B是否发生的情况下各事件发生的概率，在知道B发生之后，对概率P（Ai/B）（i=1，2，…，n）就有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化。

二、贝叶斯公式运用

例：对以往数据的分析结果表明，当机器处于良好状态的时候，生产出来的产品合格率为90%，而当机器存在某些故障时，生产出来的产品合格率为30%，并且每天机器开动时，处于良好状态的概率为75%。已知某日生产出来的第一件产品为合格品，求此时该机器处于良好状态的概率。

分析：该试验是“机器生产产品”，已知试验结果为事件B“生产出来的第一件产品为合格品”，从题可知，影响该产品合格的原因有两个，分别记为A：“机器处于良好状态”，■：“机器存在某些故障”，记该试验样本空间为Ω，则有A∩■=φ，即A与■互不相容；于是A、■为一个完备事件组，可运用贝叶斯公式。

解：设A表示事件“机器处于良好状态”，■表示事件“机器存在某些故障”，B表示事件“生产出来的第一件产品是合格品”，则A、■是一个完备事件组，且P（A）=75%=0.75；P（■）=25%=0.25；P（B/A）=90%=0.9；P（B/A）=30%=0.3。

根据贝叶斯公式，有

P（A/B）=■=■

=■=0.9=90%

三、贝叶斯公式运用准则

通过对贝叶斯公式及公式运用的分析，可总结出下列准则：先已知“结果”已经发生，在结果发生之后去寻找导致该结果发生的所有原因，完备事件组A1，A2，…，An往往是随机试验中导致该结果发生的所有原因，这些原因及其发生的概率通常在“结果”发生之前就已经明确的。结果发生时，我们并不知道具体是哪个原因导致的，要求的就是在结果已经发生的前提下是某个原因（Ai）导致的概率。

参考文献：

概率公式篇3

【关键词】全概率公式 逆概率公式 样本空间的划分

【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）05－0026－02

一 全概率公式和逆概率公式

定义1：设S是随机试验E的样本空间，B1，B2…，Bn是E的一组事件，若：（1）BiBj＝Φ，i≠j；（2）B1∪B2∪…∪Bn＝S，则称B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分。

注：若B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，则：

P（B1）＋P（B2）＋…＋P（Bn）＝1

定理1：设随机试验E的样本空间S，A为E的任意一个事件，B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，且P（Bi）＞0，则：

P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋…

＋P（Bn）P（A｜Bn）

此公式称为全概率公式。

定理2：设随机试验E的样本空间S，A为E的任意一个事件，B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，且P（Bi）＞0，P（A）＞0，则：

P（Bk｜A）＝ （k＝1，2，…，n）

此公式称为逆概率公式（也称贝叶斯公式）。

从定理1和定理2可以看出，不论是全概率公式，还是逆概率公式，都需要给出样本空间的一个划分B1，B2…，Bn。如何对样本空间进行合理划分是求解问题的关键。下面，我们给出对样本空间进行划分的基本原理，并通过实例进行说明。

二 对样本空间进行划分的基本原理

原理1：若完成某项试验需要多个步骤，问题关心的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面某个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。

我们通过下面两个例子对原理1进行说明。

例1，设有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和4个白球，乙盒中有2个红球和3个白球。现从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒任取一球，问从乙盒取到白球的概率为多少？

【例题解析】完成该试验需要两个步骤。步骤1：从甲盒任取一球；步骤2：从乙盒任取一球。问题关心的是第二个步骤完成后的结果，那么根据原理1，我们可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分，即：从甲盒取到红球或白球。

解：设B1＝｛从甲盒取到红球｝，B2＝｛从甲盒取到白球｝；A＝｛从乙盒取到白球｝。

则B1、B2就是对样本空间的一组划分，且：

P（B1）＝ P（A｜B1）＝

P（B2）＝ P（A｜B2）＝

由全概率公式，得：

P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）

例2，在电报通讯中发出“0”和“1”的概率分别为0.6和0.4。由于干扰，当发出信号“0”时，分别以概率0.8、0.1和0.1接收为“0”、“1”和模糊信号；当发出信号“1”时，分别以概率0.7、0.1和0.2接收为“1”、“0”和模糊信号。（1）求收到模糊信号的概率为多少？（2）如接收到的是模糊信号，把它翻译成？

【例题解析】完成该试验需要两个步骤。步骤1：发出信号；步骤2：接收信号。问题关心的是第二个步骤完成后的结果（收到模糊信号），那么由原理1，可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果来对样本空间进行划分，即：发出信号“0”或“1”。

解：设B0＝｛发出信号“0”｝，B1＝｛发出信号“1”｝；A＝｛接收到模糊信号｝。

则B0、B1就是对样本空间的一组划分，且：

P（B0）＝0.6 P（A｜B0）＝0.1

P（B1）＝0.4 P（A｜B1）＝0.2

（1）由全概率公式，得：

P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）

＝0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.14

（2）由逆概率公式，得：

P（B0｜A）＝

P（B1｜A）＝

答：把模糊信号翻译成“1”更好。

有时，随机事件之间看不出明显的步骤差异。在这种情况下，我们可以依据以下原理对样本空间进行划分。

原理2：若样本空间的样本点可以根据不同的方法进行分类，而问题关心的是按照某一分类方法进行分类是某种可能结果发生的概率，则我们可以根据另外一种分类方式对样本空间进行划分。

我们通过下面两个例子对原理2进行说明。

例3，设某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%和20%，且各车间的次品率分别为2%、3%和5%。现在从待出厂的产品中任意抽取一件，（1）求其为次品的概率；（2）已知抽中的是次品，问其来自哪个车间的可能性最大。

【例题解析】本例中样本空间的样本点为产品，具有不同的分类方式。分类方式1：正品和次品。分类方式2：来自甲厂、来自乙厂和来自丙厂。现在的问题关心的是第一种分类方式的某个结果，即次品，那么可以按照第2种分类方式对样本空间进行划分。

解：设B1＝｛该产品由甲厂生产｝，B2＝｛该产品由乙厂生产｝，B3＝｛该产品由丙厂生产｝；A＝｛该产品为次品｝。

则B1、B2、B3就是对样本空间的一组划分，且：

P（B1）＝0.45 P（A｜B1）＝0.02

P（B2）＝0.35 P（A｜B2）＝0.03

P（B3）＝0.20 P（A｜B3）＝0.05

（1）由全概率公式，得：

P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.45×0.02＋0.35×0.03＋0.2×0.05＝0.0295

（2）由逆概率公式，得：

P（B1｜A）＝

P（B2｜A）＝

P（B3｜A）＝

答：该次品来自第2个车间的可能性最大。

例4，甲、乙、丙三门大炮同时向一艘战舰射击，三炮击中的概率分别为0.6、0.5、0.7。战舰被击中一炮而沉没的概率为0.4，被击中两炮而沉没的概率为0.6，被击中三炮而沉没的概率为0.9。（1）求战舰被击沉的概率；（2）已知战舰被击沉，求它被击中一次的概率。

【例题解析】本例中样本空间也可以按照不同方式进行分类的具有不同的分类方式。分类方式1：按照被击中的次数分为击中0次、击中1次、击中2次和击中3次。分类方式2：按照是否击沉分为击沉和没有击沉。现在的问题关心的是第2种分类方式的某个结果，即击沉，那么可以按照第1种分类方式对样本空间进行划分。

解：设B0＝｛战舰被击中0次｝，B1＝｛战舰被击中1次｝，B2＝｛战舰被击中2次｝，B3＝｛战舰被击中3次｝；A＝｛战舰被击沉｝。

则B0、B1、B2、B3就是对样本空间的一组划分（为了方便计算B0、B1、B2、B3发生的概率，需要定义另外一组事件）。

设Ci＝｛第i门大炮击中战舰｝，i＝1，2，3。则：

P（B0）＝P（ ）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝0.4×0.5×0.3＝0.06

P（B1）＝P（ ）＝0.6×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＝0.29

P（B2）＝P（ ）＝0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＝0.44

P（B3）＝P（C1C2C3）＝P（C1）P（C2）P（C3）＝0.6×0.5×0.7＝0.21

（1）由全概率公式，得：

P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.06×0＋0.29×0.4＋0.44×0.6＋0.21×0.9＝0.569

（2）由逆概率公式，得：

P（B1｜A）＝

注：对某些题目，依据原理1或原理2都可以进行求解，可以根据自己的偏好进行选择。

三 结语

对样本空间进行合理划分是使用全概率公式和逆概率公式的前提。本文给出了对样本空间进行划分的两个原理，并通过实例验证了所给方法的可行性。

概率公式篇4

关键词：概率 方法

确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形，不需要做大量的重复试验，而且在经验事实的基础上，对被考察事件的可能行进行逻辑分析后得出该事件的概率。计算古典概型的常用方法有以下几种。

一、直接用古典概率的定义计算

定义：若事件A是古典概型中的的随机事件，则P（A）=，其中Ω为包含事件A的样本空间。

例1. 一个吧六根草紧握手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接。求放开后六根草恰好连成一个环的概率。

解：因为“六个尾两两相接”，不会影响是否成环，所以我们只需要考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有种不同结果，这是分母，而需成环则第一步从6个头中任取一个，此时余下5个头有一个不能相接，只可能与余下的4个头中的任一个相接；第二步从未接的4个中任取一个与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个相接，这总共有6×4×4×2×2×1种可能接法。由此所求的概率为P==。

二、利用概率加法公式进行计算

例2.在1～2000的整数中随机地取一个整数，求取到的整数既能被6整除，又能被8整除的概率。

解：设事件A=“取到的数能被6整除”，事件B=“取到的数能被8整除”，事件C=“ 取到的整数既能被6整除，又能被8整除”；则C=A∪B，由于333

三、利用事件的对立事件进行计算

例3.从数字1，2，…，9中可重复地任取n次，求n次所取数字的乘积能被10整除的概率。

解：设事件A=“至少一次取到5”，事件B=“至少一次取一个偶数”，事件C=“n次所取数字的乘积能被10整除”；则C=AB，C=A∪B，又因为P（A）=，P（B）=，P（AB）=所以P（C）=1-P（C）=1-P（A）+P（B）-P（AB）=1-

例4.某单位一个班有男生9人，女生5人，现要选出3个代表，求选出的3个代表中至少有1个女生的概率。

解：设事件A=“3个代表中至少有1个女生”，则A=“3个代表全为男生”

P（A）==，所以P（A）=1-P（A）=1-=.

四、利用全概率公式进行计算

例5，m个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余的m-1个人中的任何一个，求第n次传球时球仍然由甲传出的概率。

解：设事件A=“第i次传球时由甲传出”记pi=P（Ai），i=1，2，...则p1=1，且pi=P（Ai+1丨Ai）=0，pi=P（Ai+1丨Ai）=，所以由全概率公式P（An）=P（An-1）P（A丨An-1）+P（An-1）P（A丨An-1）=pn-1×0+（1-pn-1）=得递推公式pn=（1-pn-1）n≥2，将p1=1代入递推公式可得pn=[1-（）n-2]

五、使用贝叶斯公式进行计算

例6，学生在做一道又4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测。现从卷面上看题目是答对了；试在以下情况求学生确实知道正确答案的概率：

（1）学生知道正确答案和猜测的概率都为；

（2）学生知道正确答案为0.2。

解：A=“题目答对了 ”，B=“知道正确答案”则有P（A丨B）=1，P（A丨B）=0.25

（1）此时有P（B）=P（B）=0.5，所以由贝叶斯公式得

（2） 此时有P（B）=0.2，P（B）=0.8所以由贝叶斯公式得

概率的计算是学好概率的基础，后面的随机变量的分布，随机变量的数字特征都以概率的计算作为基础。

参考文献：

[1]盛骤 谢式千 潘乘毅，概率论与数理统计（第四版），高等教育出版社，2008.

概率公式篇5

原题 （课本9.1习题第1题）小明和小丽各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数和为奇数，小明得1分，否则小丽得1分，谁先得到10分，谁获胜，这个游戏公平吗？

【解析】判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.解决这类问题一般通过画树状图或列表法列出所有可能的结果，然后用概率公式求出每个事件的概率.此题用列表法比较合适，根据表1可求得小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，所以该游戏公平.

延伸1：小明和小丽各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数积为奇数，小明得1分，否则小丽得1分，谁先得到10分，谁获胜，这个游戏公平吗？

延伸2：小明和小丽各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数相同，小明胜，否则小丽胜，这个游戏公平吗？

【解析】上两题将原题中的条件“和为奇数”分别改为“积为奇数”、“点数相同”，解题方法与原题相同，可用列表法列出所有的可能结果，根据概率公式求出概率.

延伸1：小明获胜概率为，小丽获胜的概率为，该游戏不公平.

延伸2：小明获胜概率为，小丽获胜的概率为，该游戏不公平.

延伸3：小明和小丽各掷一枚骰子，用小明掷骰子朝上的数字x，小丽掷骰子朝上的数字y来确定点P（x，y），若他们各抛掷一次所确定的点P落在直线y=x+1的图像上，则小明胜，否则小丽胜，这个游戏公平吗？

【解析】此题先用列表法列出所有点的坐标，然后将坐标代入解析式y=x+1中检验，可求点P落在直线y=x+1上的概率，即小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，这个游戏不公平.

延伸4：小明、小丽玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字（如图1）. 游戏规则：小明、小丽两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时小明获胜，数字之和为奇数时小丽获胜. 若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘. 这个游戏公平吗？

【解析】其实就是将掷骰子游戏改为转盘游戏，本质是一样的. 首先根据题意画出树状图（如图2），然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为偶数情况，利用概率公式即可求得小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，这个游戏不公平.

延伸5：一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、蓝的小球，其中红球2个，蓝球1个，这些球除颜色外其余都相同.

（1） 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，如果两次都是红球则小明获胜，否则小丽获胜，这个游戏公平吗？

（2） 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色（不放回），再从中任意摸出1个球，如果两次都是红球则小明获胜，否则小丽获胜，这个游戏公平吗？

（3） 若向袋子中再放入一些黄球（除颜色外其余都相同），小明进行了多次摸球实验，得到红球的频率为50%. 现从袋中任取出两个球（不放回），如果两个球都是红球小明获胜，否则小丽获胜，这个游戏公平吗？

【解析】将问题情境改为摸球游戏，其本质与掷骰子游戏一样. 第（1）题与第（2）题的差异是摸出的球有无放回，此题用列表法比较合适. 第（1）题根据表2可求小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，第（2）题根据表3小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为. 第（3）题主要考查通过频率估计概率，即在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数m附近，那么事件A发生的概率P（A）=m，由题意可得，摸到红球的概率为，可求出袋中球总数为4个，黄球为1个，用列表法可求小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，这个游戏不公平.

对于概率问题，通常用列表法或画树状图来解决，其一般步骤为：①选择方法，列表法一般适用于两步求概率，画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②列举出事件发生的所有可能性结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；④用公式P（A）=求事件A发生的概率.

概率公式篇6

1 “条件概率”

国家新课标高中数学学科将“条件概率”作为增设内容，放置在《数学?选修2-3》第二章“随机变量及其分布”的第二节“二项分布及其应用”的第一小节[1]，其概念为事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率，其中涵盖了古典概型和几何概型，涉及的理念包括随机事件、基本事件、和事件、互斥事件概率公式及古典概型概率公式等，计算观念较为抽象，需要教师在学习开始前，教导学生复习基础知识，便于使用。

2 “条件概率”教学难点

2.1各要素的不同特征

在学习“条件概率”时，第一个难点就是理解其概念内容，形成初步认识，其概念定义表示为p（A丨B），即已知B事件发生的情况下事件A的发生概率，在此概念中有三个要素，即：事件A、事件B和条件关系，此三者一项都不可缺少，事件A具有随机性，事件B具有确定性，条件关系则存在各种各样的表达方式，教师在教导此部分内容时，需要由浅入深、由难到易，使学生接受概念并灵活运用。

首先需要掌握的方法?橹苯蛹扑惴ǎ?这是最为基础也是最为简单的计算方法，可以采用简单的题目，如：随机抛掷一颗质地均匀的骰子，求掷出的点数不超过3的概率，可直接由由古典概型的概率公式得到p（A）=1/3，然后在此基础上加大难度，研究已知掷出了偶数点，求掷出的点数不超过3的概率，则掷出了偶数点为已知B事件，B变为新的样本空间，其样本点具有等可能性，可计算p（A丨B）=1/3[2]。

其次可以渐渐引入公式法的计算，引入中可以借由题目使学生明白条件关系不单单只有实质条件关系，也可能为形式条件关系，以下题目为例：甲乙丙按顺序抽一张电影票，探究乙抽到电影票时甲抽到电影票的概率，此题目中事件B于事件A发生后发生，不可能影响事件A发生，因此AB间关系只为形式关系；除此之外，在不存在显明条件结构的条件概率中，其中的条件事件定为实质条件，以下题为例：某生物有0.7的概率存活至20岁，有0.56的概率存活至25岁，那么这种动物现已20岁，求活至25岁的概率，此题目中活到20岁为已知A事件，也是活到25岁的先决条件，根据条件概率的计算公式p（A丨B）=p（AB）/p（A）=p（B）/p（A）=0.8.

2.2界定概念要素和细节

在了解了条件概率的定义和基本公式后，需要进行概念的深挖掘，体会其中的细节内容，将概念掌握的更为牢固。此过程需要教师用更多的题目实例进行讲解，对不同类型的经典题目进行对比区分，确保学生完全掌握。

在解题中要避免望文生义，将辅加条件和题目核心条件相混淆，以下面的题目为例：甲乙两人同时加工120个零件，甲加工70个，其中65个正品，乙加工60个，其中50个正品，求任取一件样品为正品的概率，任取一件样品为甲生产正品的概率？同学在解题过程中可能会存在误区，认为已知是取到了一件正品，误以为甲生产正品的概率为p=65/115，然而忽略了文中说随机抽取一件样品，答案应当是p=65/120，这是学生在条件概率中非常容易犯的错误，主要是因为对题目的理解出现了偏差，教师在教导中应当将同类型的题目列举，使学生反复细心读题，剖析题目含义。

2.3变式练习和纠错练习

在解题中，可能会出现一些疑似条件或者干扰条件，我们将条件概率引入主要是为了在充分利用已知信息时，还能在现有条件中进行更为复杂的概率计算，因此一些变式练习有助于增强我们对于概率计算的了解；除此之外，眼过千遍不如手过一遍，并且数学的学习是一个反复练习的过程，增加纠错练习，可以使学生尽量减少出错率，在教学中，学生练习题目后老师对结果进行点评，指出学生计算失误之初，并教导其进行辨析，可安排学生准备纠错本，将错误的题目进行记录，反复练习，特别是对于屡次出错的题目，必须尤为关注，明晰出错的原因和正确的解题思路。

2.4挖掘深层内容

人在学习中就是对一个概念不断深化的过程，数学学习，尤其是“条件概率”的学习更是如此。再了解了简单知识后，教师不妨对授课内容进行深化，比如说以下题目：已知质点M在实数轴上的区间[0，5]内随机地跳动，设事件A={2}，事件B={2，3}，试研究事件A、B的独立性。此题目明显比上文中提到的题目更为复杂，若通过几何概型的概率公式计算我们认为二者独立，若根据B作为新的样本空间，其样本点具有等可能性，古典概型概率公式计算其不独立，结果就变为矛盾结果，对此，教师必须明白须在条件概率p（A丨B）的定义中限定p（B）>0，当后续概率公式是由条件概率进行推导而来时[3]，必须规定相应的条件。在深层挖掘中，一部分学生可能受到基础限制，很难理解这部分内容，教师需要细心讲解，并且根据学生的情况改变教课的分配比，做到因材施教。

概率公式篇7

[关键词]贝叶斯分析　情报分析　贝叶斯定律

[分类号]G35

1　贝叶斯分析在情报分析中的应用现状

贝叶斯分析是统计学领域的贝叶斯定理在情报分析中的应用。贝叶斯分析的目的就是通过以往发生的事件的概率，推断未来某一事件发生的概率，即进行未来某一事件发生的预测。

采用贝叶斯分析这一情报分析工具不仅可以精确地估算出各种假设发生的概率，而且可以把大量的证据信息通过概率估算融合成高质量的情报结论，这可为用户提供重要的决策依据。因此，贝叶斯分析在情报分析中有着重要的理论意义和实践意义。鉴于此，本文将试图以案例研究为基础，探讨贝叶斯分析在情报分析中的应用。

尽管贝叶斯分析在情报分析领域有着上述重要的研究意义，但是目前关于贝叶斯分析在情报分析领域的应用研究尚不充分。尽管目前关于贝叶斯分析的学术研究文章有很多，典型代表有文献[1－5]，但这些文章仅是在数学领域研究和探讨了贝叶斯分析的基本原理、功能、过程、方法和应用，而没有将其移植、改进和挖掘到情报分析领域的应用研究。文献[6]是众多研究贝叶斯分析的学术研究文章中较少几篇研究贝叶斯分析在情报分析领域应用的文章之一，尽管如此，该文仅是进行了贝叶斯定理在情报分析领域应用中的过程描述，而没有详细、深入地进行贝叶斯定理在情报分析领域应用中的案例研究。因此，本文将以案例研究为主线，着重研究贝叶斯分析在情报分析中的应用。

2　贝叶斯分析的基本原理

2.1　贝叶斯定理的基本思想

该思想是由英国数学家马斯・贝叶斯提出的，具体内容为：虽然世界是不确定的，但如果已知以往事件发生的概率，那么根据数学方法就可以精确地、定量地计算出未来事件发生的概率。贝叶斯的这一思想和有关的公式算法，被人们称为贝叶斯定理。贝叶斯定理在基因工程、天气预报、经济预测等方面有着广泛的应用，特别是在情报分析领域中的情报预测作用更加明显。

2.2　贝叶斯分析的定理

预测的实质就是估算问题的每一种可能事件发生的概率，其本质就是对那些可以预测的事件给出发生的概率。因此，贝叶斯定理指出，对于那些可以预测的问题，各种可能性的概率都可以通过历史数据的统计计算得出。其具体的计算概率包括初始概率、似然比、后验概率，即先算出某一事件发生的初始概率值，在估算出该类事件发生的似然比并计算出该类事件发生的后验概率后，即可预测该类事件未来发生的概率，以完成对未来的情报预测。

2.3　贝叶斯分析的步骤

贝叶斯分析的基本操作步骤包括：建立假设群、估算初始概率p0(H)、建立证据列表{E}t、估计似然比PR、计算后验概率P(Hi|Ei)、持续监控。

3　贝叶斯分析在情报分析中的案例应用研究

贝叶斯分析的具体操作是运用贝叶斯定理对各种假设进行定量的概率估算，对假设群内的各个假设进行缜密的分析评估，并根据新增证据信息的变化随时更新分析结论，以实现对所获取的海量证据信息的真正融合。本文将通过案例来研究贝叶斯分析在情报分析中的应用步骤。

案例：新政府是否会继续支持生产枪支?

某地区的武装政权长期支持有组织的生产枪支的活动，并动用政权大肆向别国走私枪支以换取外汇。然而，近期，该政权控制区发生了暴动并产生了新的政权。那么新政权是否会继续支持生产枪支呢?本文将通过贝叶斯分析进行该类情报分析。

3.1　建立假设群

此步骤即为提出各种可能的假设，形成相互独立的穷尽各种可能的假设群的步骤。

为了分析与预测出该类情报分析的结论，笔者组织相关情报专家进行摸底会议，会上提出了多种可能的结论，这些可能的结论可归纳为以下三种假设：

H1：代表假设1，即新政权已经彻底放弃生产枪支的政策；

H2：代表假设2，即新政权将继续奉行生产枪支的政策；

H3：代表假设3，即新政权将逐渐放弃生产枪支的政策。

根据贝叶斯分析公式，此处H代表假设，{H}代表具有K个假设的假设群，即{H}=H1H2H3…Hk。

3.2　估算初始概率p0(H)

此步骤即情报分析人员根据贝叶斯分析公式，对所有假设赋予初始概率值p0(H)。

初始概率值p0(H)，是指在不参照任何概率的情况下，各假设发生的概率。因为在假设群中所有假设发生的概率之和等于1，其数学公式为：∑P0(H)1-k=1，因此，通常情况下，当没有任何明确的证据支持或反对任何一个假设时，这些假设发生的概率相等，这时每个假设的初始概率p0(H)=1／k。根据此公式，案例的H1、H2、H3的初始概率值均为0.33％，如表1所示：

3.3　建立证据列表{E}t

本步骤即是建立案例的相关证据列表。

证据列表是关于某项需证实的问题的相关证据的列表清单，该清单是按时间顺序排列的。贝叶斯分析公式要求用E代表证据，{E}t代表由第1项至第t项证据组成的证据列表，如表2所示：

情报分析人员根据进一步获得的关于“新政权是否会继续坚持生产枪支的政策”的证据信息，建立案例的相关证据信息列表，如表3所示：

3.4　估计似然比PR

3.4.1　似然比的含义似然比是贝叶斯分析在情报分析应用中的核心概念。似然比描述了假设群{H}和某一证据E之间的关系，用数学语言表述为似然比PR=(当假设Hi成立时观察到的证据E的可能性)／(当假设H1成立时观察到的证据E的可能性)。即当假设Hi成立时观察到的证据E的可能性与当假设H1成立时观察到的证据E的可能性之间的比值就是似然比。

3.4.2　估测似然比的原因　之所以要估测似然比，是因为通过似然比可以直接发现情报人员所提供的原始情报中的非诊断性证据。通过这种方法，情报分析人员可以排除非诊断性证据，并为用户提供诊断性证据，以利于用户更准确地进行决策。非诊断性证据是情报分析中的一个术语，该类证据不能直接准确地支持某一类或某一个假设，而是支持所有的假设，对于这种不负责任的假设必须加以排除，才能确保某证据对某一类或某一个假设的准确支持。

3.4.3　似然比的估测步骤在贝叶斯分析中，似然比的估测步骤可以从第一时刻的证据E1开始。首先在假设1存在的情况下观察到t时刻的证据E1的概率相对数是1，然后再估计在假设2存在的情况下，观察到证据E1的概率相对数，以此类推，直到估计了所有假设成立的情况下，观察到证据E1的概率相对数。在此基础上，再对第二时刻的证据E2、第三时刻的证据E3分别进行似然比的估测。该过程通常可用似然比估测表来进行，如表4所示：

3.4.4　案例的似然比估测

根据上述贝叶斯似然比的含义和贝叶斯似然比的估测步骤，对案例的似然比进行估测，并建立估测表。

首先对于第一个证据“新政权领导人向媒体透漏，将放弃生产枪支的政策”进行似然比估测。情报分析人员假设：在新政权彻底放弃生产枪支政策(假设1)的前提下，新政权愿意放弃生产枪支这一经济政策的可能性为1。依据这一参照，情报分析人员通过集体评估认为，新政权在继续奉行生产枪支这一经济政策的前提下(假设2)，新政权表态放弃生产枪支的经济政策的可能性为0.7；在新政权逐渐放弃生产枪支这一经济政策的前提下(假设3)，新政权领导人表态放弃生产枪支这一经济政策的可能性为1。按照这种估测方式，情报分析人员对案例1其余的8组证据进行似然比估测，得出案例1的似然比估测表，如表5所示：

3.5　通过贝叶斯公式计算后验概率P(Hi|Et)

利用贝叶斯公式及原理进行情报分析的目的就是要对某一事件进行情报预测，而预测的实质就是要计算出每种问题的每种可能事件的发生概率。因此，进行这种情报预测，不仅要进行各种假设，搜集与这种假设相关的一系列证据，估测似然比，而且要计算出各种假设发生的概率，便于用户进行情报决策。

鉴于此，本步骤利用贝叶斯公式及原理，在建立假设群、搜集相关证据、估测似然比的基础上，计算每种假设发生的概率，以便预测某事件即将发生的概率，这一概率用数学公式表述为后验概率P(Hi|Ei)，其计算公式为：

P(Hi|Et)=P(Hi|Et-1)／∑j[P(Hj|Et-1)，PRtj]　(1)

当t=1时，P(Hi|Et-1)=P0(Hi)

公式(1)中，Hi代表假设群中第i个假设，P(Hi|Et)代表t时刻观察到证据E1情况下，假设Hi的概率。Hj代表从Hi到Hk的各种假设。PRtj代表根据证据Ei估测的假设Hj相对于假设Hj的似然比。∑j代表对括号内所有公式计算后从第1到第K个计算结果的加总。P0(Hi)表示假设Hi的初始概率。

公式(1)的具体使用步骤为：依据每个假设的初始概率P0(H)和证据E1的似然比，通过贝叶斯的上述公式(1)，计算出时刻1的各种假设的最新概率P1(H)，这一新的概率是在考虑了证据E1的情况下，对初始概率的调整和更新。在此基础上，情报分析人员可以根据时刻1的概率P1(H)和证据E2的似然比，再通过公式(1)计算得到各种假设在时刻2的最新概率P2(H)。以此类推，情报分析人员可以将所有观察到的证据的似然比逐步纳入上述计算过程，不断对假设的概率进行更新。每当收集到新的证据，都可以估算出该证据的似然比，并依据上一轮计算得到的假设概率，计算出各假设在当前时刻的最新概率，这一最新概率即为贝叶斯分析的阶段性结论，如表6所示：

根据本文贝叶斯分析步骤2获得的初始概率、步骤4获得的似然比、步骤5的贝叶斯后验概率的计算公式和计算表，即可算出案例的三个假设的后验概率，如表7所示：

从表7中可以看出，案例的贝叶斯分析的阶段性结论为：新政权已经彻底放弃生产枪支经济政策(假设1)的阶段性最新后验概率为0.11，新政权将继续奉行生产枪支经济政策(假设2)的阶段性最新后验概率为0.01，新政权将逐渐放弃生产枪支经济政策(假设3)的阶段性最新后验概率为0.88。这说明，情报分析得出的阶段性结果是新政权将采取逐渐放弃生产枪支的经济政策。得出上述阶段性的结果，并不是贝叶斯分析的最终目的，贝叶斯分析的最终目的是要对该政权所采取的未来经济政策进行预测，因此，下一步就要对该政权所采取的经济政策进行持续监控。

3.6　持续监控

贝叶斯分析是个动态的情报分析过程，当最新的一个证据Et的后验概率估测完毕之后，还可以通过下一个出现的新证据进一步监控该类情报的下一步发展动态。本文通过将案例新出现的事件证据纳入贝叶斯分析步骤3的证据列表中，并通过贝叶斯分析步骤4和5，再次估算出案例假设群的最新概率，以便持续监控该类情报的新动态，如表8所示：

案例出现的新事件内容为：情报机构通过9月10日的情报交流又进一步获悉，新政权试图以制造烟花炮仗为由进口大量的火药，而当地并无大型的烟花制造厂。

情报分析人员以此新事件作为证据E10并对相应的假设概率进行了更新，完成了对该类情报的持续监控(见表8)。从表8中可以看出，新政权已经彻底放弃生产枪支经济政策(假设1)的最新后验概率为0.08，新政权将继续奉行生产枪支经济政策(假设2)的最新后验概率为0.01，新政权将逐渐放弃生产枪支经济政策(假设3)的最新后验概率为0.92。由此可以得出情报分析结论，即新政权未来的经济政策则是采取逐渐放弃生产枪支经济政策的形式。

4　结论

总之，在情报分析中不能像神话中的先知那样进行某一事件是否发生的预言，而应科学地预测某一事件该如何发生。目前，关于情报分析中的科学预测方法有很多种，本文是在案例分析的基础上着重研究贝叶斯分析在情报分析中的原理应用、预测功能及应用步骤。本文没有将重点放在贝叶斯分析公式的原理形成和公式推导过程等数学原理上，而是以独特的视角从实际出发，重点研究了贝叶斯原理及公式在案例情报分析中的实际应用，通过估测案例的初始概率、估算似然比、计算后验概率的科学方式，科学地进行了案例的情报分析和预测。

参考文献：

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[2]慕春棣，戴剑彬，叶俊，用于数据挖掘的贝叶斯网络[J]，软件学报，2000(5)：660－666

[3]游达章，唐小琦，戴怡，等，贝叶斯理论的可靠性评估方法及在数控系统评估中的运用[J]，中国机械工程，2011，22(3)：314－317

[4]江敏，陈一民，贝叶斯优化算法的选择策略分析[J]，计算机工程与设计，201l，32(1)：266－269

[5]宋兵，李世平，翟兆松，等，动态测量不确定度贝叶斯评定的改进方法研究[J]，中国测试，2011，37(1)：35－37

[6]崔嵩，再造公安情报[M]，北京：中国人民公安大学出版社，2008：579

概率公式篇8

[关键词] 次级债 违约强度 风险分析 违约传染

在2004年的“新巴塞尔协议”中,对银行的风险管理都提出了更加严厉的要求。新的协议中除了继承了旧协议中的市场风险和信用风险外,还增加了操作风险和法律风险。于此同时“新巴塞尔协议”对各类风险资产的权重进行严格设定,它强调资本充足率的重要性,规定了银行的资本充足率不得低于8%。所以发行次级债已经成为各商业银行提高资本充足率的重要手段。

商业银行次级债的发行量在2009年迅速增加。根据中国人民银行的《2009年金融市场运行情况》报告,2009年,23家商业银行发行次级债总计2669亿元,发行量为前一年的3.7倍。特别指出,在这些银行发行的次级债中很大一部分是银行之间互相持有的。根据中国债券信息网的数据,上半年银行间市场商业银行共发行次级债12次,发行总额为1042亿元,既包括建设银行、农业银行等大型国有商业银行,也包括光大银行、宁波银行等股份制银行,浙商银行、重庆银行等城市商业银行也纷纷加入发债大军。本文将针对三家银行之间存在互持次级债券的现象,综合利用随机分析理论和约化法,通过建立数学模型对其所隐含的信用风险进行定量和定性分析,即主要从互持次级债对银行违约概率、信用利差和资本充足率三方面的影响进行分析。

本文通过三家银行的违约强度的“环形”相互依赖结构,来刻画三家银行由于互持次级债所形成的违约依赖性。这种违约强度传染模型最早是由Jarrow和Yu[1]在2001年提出的;这种模型由于具有“环形”的违约依赖性,给求解公司违约时间的联合概率分布带来极大的困难。Jarrow和Yu通过主次要(Primary-Secondary)公司框架避免了公司之间这种“环形”的违约依赖性,得到了两个公司违约时间的联合概率分布;随后Collin-Dufresne[2]等利用测度变换的方法来打破公司之间这种“环形”的违约依赖性,给出了两个公司违约时间的联合概率分布,并对公司债券进行定价;Yu[3]利用Norros[4]和Shaked 和 Shanthikumar[5]提出的“总的违约强度构建”方法给出了三个公司违约时间的联合概率分布,并应用于两个公司情形债券的定价。本文将基于Yu[3]的三个公司违约强度模型,在毕玉升等[6]对两家银行间互持次债所隐含的风险分析文章的基础上,对三家银行互持次级债的风险进行定量和定性分析。

1 三维违约时间的建模

在完备的概率测度空间( )里,定义 为公司 的违约时间, 表示公司 的违约过程, 表示违约过程 所产生的信息流, 表示由 所产生的最小 代数。假设 具有非负, 可测的违约强度过程 ,它满足对任意 和补偿过程 是一个 的可测鞅。

基于上述的记号与基本假设,鉴于考虑到公司 的违约强度依赖于另一个公司的违约时间,在观察到 的条件下,当 时,公司 在 时刻的条件违约强度能被定义:

⑴

基于公司 的条件违约强度 ,公司 在 , 期间总共累积的违约强度的定义如下:

⑵

根据Aalen和Hoem[7]证明了公司 ( =1,2,3)从0时刻直到它自身违约时刻所积累的总的条件违约强度是一个单位指数随机变量 ,且 、 和 相互独立,我们定义反函数如下:对任意 和 ,

⑶

利用⑴~⑶,从一组单位的指数随机变量 来构建一组随机变量( )如下:

让

和定义

Norros[4],Shaked和Shantthikumar[5]证明了模拟违约时间 与实际违约时间 的联合分布相同。因此我们能够通过求 的联合概率密度来得到 的联合概率密度。

2 具有互持次债银行债券的定价

2.1 基本假设

(1)银行 ( =1,2,3)同时向市场发行了零息票债券 ,到期日均为 ;

(2)银行 在向市场新发行债券 之前,已经存在互相持有次级债的关系;

(3)银行 ( =1,2,3)的破产是由不可预测事件引发的, 分别表示银行1,2,3的违约时间,且相应的违约强度满足如下结构:

(4)

3. 其中 为正数; 为银行 的自身违约影响因子, 表示为三家银行之间由于互持次级债券所隐含的违约传染因子;

(4)当零利息债券发生违约时,采用面值回收,其中假定银行 的回收率满足 ,在 期间未发生违约则到期日收回本金1元;

(5)两家银行同时破产的概率为零;

(6)无风险利率 为正常数。

3 具有互持次债银行债券定价的数学模型

4. 基于上述的基本假设,具有互持次债银行债券定价的数学模型表示如下:

,

, (5)

,

这里 、 和 分别表示具有互持次债三家银行相应的债券价格。

4 具有互持次债银行债券的定价公式

利用上述对于违约时间的构建方法,基于三家银行的违约强度模型(5),通过求模拟违约时间 的联合概率密度函数来得到三家银行违约时间 的联合概率密度函数。

由上述违约时间构建过程,知当 时,

由上述式子,可知 关于 的 行列式为:

由于单位指数分布 相互独立,于是当 时, 联合概率密度为

即当 时, 的联合密度函数为:

(6)

通过指标置换,可以求得剩余的5种情形下, 的联合概率密度函数。例如只要对 情况下概率公式里指标作 置换就可得到 时 的联合概率密度函数公式,即 时

综上可求得 的联合概率密度,即求得 的联合概率密度表达式。

下面将利用三维违约时间 联合概率密度表达式,结合具有互持次债银行债券定价的数学模型(5),来求解相应的债券定价表达式。由于对称性,我们以讨论银行1发行的债券1为主。

由 = (7)

可知要求 的值等价于计算 的值。

又由于

+ + + + +

下面我们主要对上述等式的右端6个概率式子进行计算:

综上可求的 的表达式,结合式子(7),可得银行1发行债券1价格的表达式。

为了讨论互相持有与无互相持有的不同,此处也给出当三家银行不互相持有次级债时,向市场发行债券的定价表达式。由于该情形下银行 ( =1,2,3)之间没有相关性,让 分别表示三家银行的违约时间,相应的违约强度分别为:

此时相应的无互持次债银行债券 ( =1,2,3)的定价数学模型是:

这里 分别表示无互持次债银行债券 的价格。

基于无互持次级债时三家银行债券的定价模型,可得相应的债券定价公式为:

至此,我们分别给出了三家银行互相持有和不互相持有次级债时新发行债券的定价公式,这些公式将用于下面的风险分析,根据对称性,主要以银行1风险分析为主。

5 金融意义分析

5.1 对资本充足率的分析

资本充足率=

其中,核心资本有:实收资本、资本公积金、盈余公积金和未分配利润等;

附属资本有:重估储备、一般准备、优先股、可转换债券、混合资本债券和长期次级债务等;

扣除项有:不合并列帐的银行和财务附属公司资本中的投资、购买外汇资本金支出、呆账损失尚未冲销部分等。

风险加权资产是指,银行总资产里面拥有风险权重的资产。

12.5倍的市场风险资本是指商业银行交易性的资产达到一定比例和额度之后,必须计提单独的市场风险资本。

第一种情形(三家银行之间互持次级债): 在银行 ( =1,2,3)中,银行1以长期次级债务的形式分别向银行2、3融资N元、K元,使银行1的附属资本增加N+K元;同时,银行1持有银行2、3的长期次级债务共N+K元,这样银行A的风险资本增加0.2(N+K)元。所以在这种情况下银行1的资本充足率为:

第二种情形(三家银行之间无互持次级债):银行 ( =1,2,3)没有互相持有次级债,此时银行1的资本充足率为:

记 , ,则

由上式可知。当 时, 关于 递增。从说明当银行1的资本充足率小于5时,银行1通过发行次级债提高了自身的资本充足率,且提高的幅度随互持次债总量 增大而增大。

5.2 信用利差

假设 分别表示银行1在互持和不互持次级债时的信用利差。根据关系式 , 可以得到:

=

因此要比较有无互持次级债时信用利差的变化,只要通过比较 和 的大小关系即可。同时由于互持对方次级债时银行1的违约强度 大于不互持对方次级债时银行1的违约强度 ,因此相应的银行1在 违约概率 大于 ,而根据定价模型(5)和(13),可知 和 的大小关系与 和 成反比,在回收率一致的基础上,可推出 。因此相比于无互持次债情形,在互持次级债背景下,银行新发行债券的价格将被降低,即相应的信用利差增大。

5.3 违约概率

第一,当三家银行都不相互持有次级债时,它们的违约概率就是本身的违约概率,

第二,当三家银行互持次级债时,各个银行都有可能发生违约,这时有以下三种情况发生:

()两家银行可能违约时银行1违约的概率为 , 由把(8)至(13)式子相加,即可得到相应的 表达式。

()三家银行中一家肯定违约条件下,另一家可能违约时银行1违约的概率为:

上述等式右边第一项 的表达式见式(10),其他剩下的5种情形,可以通过指标置换可得到相应的表达式。

同理只要把上述式中作指标置换 就可以求出 的表达式。

综上的求解方法,我们即可得到 相应的表达式。

() 三家银行中两家银行肯定违约时银行1违约的概率为:

同样基于 的表达式,通过作指标置换 即可得到 的表达式。然后结合上述所求的 表达式可得到 的表达式。

综上我们获得了几个不同条件下银行1的违约概率表达式,而且它们满足 ,该不等式表明,相比于无互持次级债券情形,互持次级债券使得银行违约概率变大,特别在经济环境比较差的背景下,即在其他两家银行肯定违约的前提下,银行的违约概率是巨大的,银行间由于互持次级债券所面临的隐含信用风险传染是巨大的。因此,为了有效防范所可能面临的风险,银行在看到通过互持次级债券提高自身资本充足率的同时,还应清醒地认识到银行由于互持次级债券所可能引发的信用风险传染也是巨大的。

6 结论

本文综合应用随机分析理论和约化法,建立了具有互持次债三家银行债券的数学模型,利用总的违约强度构建的方法,获得了相应的债券定价表达式,并基于所获得的定价表达式,讨论了互相持有次级债对银行资本充足率、违约概率和新发行债券的信用利差的影响。结果表明:通过互相持有次级债,虽然银行显著提高了自身的资本充足率,但是同时降低了发行债券的价格,使得债券的信用利差增大,甚至银行因互持次级债券所可能引发的信用风险传染也是巨大的,特别当互持次级债中的一方发生违约(或破产),将使另一家银行的违约概率骤然增大,甚至破产,从而使违约风险在银行之间迅速蔓延。

参考文献:

[1] Jarrow, R. and Yu, F. Counterparty risk and the pricing of defaultable securities[J] .Journal of Finance, 2001, 56(5):1765-1800.

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[3] Yu,F. Correlated defaults in intensity-based models [J]. Mathematical Finance, 2007, 17(2):155-173.

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[5] Shaked, M. and Shanthikumar,G. The multivariate hazard construction[J]. Stochastic Processes and Their Applications, 1987, 24:241-258.

概率公式篇9

关键词：概率论与数理统计 必要性 实践

中图分类号：G642 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.13.124

1 概率论与数理统计的定义和特征

概率论与数理统计是研究随机现象数据规律的一门课程，主要告诉人们如何有效地收集、整理和分析数据，对所观察的问题做出推断、预测，并能为未来提供合理决策和建议。在开设课程中，公安专业中一般需要半个学期，主要内容包括： 概率论的基本概念、随机变量及其概率分布、数字特征、参数估计和假设检验、回归分析等。

概率论与数理统计学科产生于17世纪，在20世纪得到了迅速的发展，成为了人类的重大科技成就之一。因此，概率与数理统计作为一门应用很强的学科，应具有其本身的特征，主要体现如下。

第一，概率论与数理统计的研究对象是随机现象。

依据事件的发生的可能性，人们把自然现象发成必然现象、不可能现象、随机现象。而概率论与数理统计的研究对象正是随机现象。随机现象是指，在一定的条件下，并不总是出现同一个结果的现象。从这个定义上看，随机现象的结果数应该是大于等于2个的，而到底出现哪一个，人们是不能提前得知的。

第二，概率论与数理统计是对数据的处理，具有较强的客观性。

数据是概率论与数理统计研究的原始材料。一切事物都是有质和量两个方面的，并且质和量紧密联系共同定义客观的事物。没有无质的量，也没有无量的质，质与量相伴相生。然而，在认识事物时，质与量却可以分开，对某一事物的研究，可以先单独研究数量，通过对数量的研究进而研究质。因此，对事物量的研究是人们认识事物的重要一方面。通过研究数据作为一个出发点，进而研究整个事物，是目前人们使用的最主要的研究方法之一。

第三，概率论与数理统计作为方法论，是属于归纳法的。

概率论与数理统计是根据实验和调查，得到大量的个体，并对这些个体进行研究，然后加以总结，得出总体规律的。比如说，我们要证明等腰三角形的两底角相等，运用概率与数理统计的方法，就是我们要做出来许许多多，各式各样的等腰三角形，量一量底角，看有是否相等。然后根据这些有限的等腰三角形的两底角是否相等的情况，来推而广之所有的等腰三角形的两底角的情况。这就算概率论与数理统计的研究方法。

2 概率论与数理统计方法在公安工作中的应用

概率论与数理统计作为一种定量的分析手段，并不是要教会学生怎么求均值，求方差，而是要交给学生是一种思维的方式，解决问题的方式。

现结合公安实际工作来看下概率与数理统计思想是如何应用的。

例1 警力分配。根据一段时期内某个地点发生违法犯罪案件数量，来配备该地区的警务人员。

如下图，给出了某市四个区域在一年中每月任意4天发生案件数总和。

如上图所示，甲地和丁地将是重点防御区域，可以加大警力。

例2 以案发现场留下的脚印长度测算犯罪嫌疑人身高。侦查人员可以根据收集到的罪犯脚印长度，并按照公式：身高=脚印长度×6.88，估算出罪犯的身高。上述公式的得到就是应用了数理统计学中的二维随机变量的数学期望理论。

例3 依据罪犯留下的某一数字信息，排查嫌疑人。在犯罪现场勘查过程中，测得现场人左步长的若干数据，现又密取到某一嫌疑人左步长的若干数据，一般情况下，这两组数据不完全一样，那这个差距是如何造成的呢？[1]是偶然原因造成，还是根本就不是同一个人呢？能不能根据这两组不同的数据做出判断，即排除该嫌疑人，或者将该嫌疑人作为重点疑犯。这个时候就可以用概率轮与数理统计中的假设检验来解决这个问题。举例如下：

在某一案件犯罪现场测得左步步长的15个数据，分别为：77，76，75.5，74，75.5，74.5，73，79，79.5，79，78，77，77，77，76.5 （单位：厘米）。密取了嫌疑人左步长15个数据为：83.5，79.5，77.5，79.5，78，83.5，81，76.5，79.5，80，80.5，82，83，83，80.6 （单位：厘米）。

现场左步长与嫌疑人的左步长是否有显著差异？

取a=0.001

X≈76.6

Y≈80..5

|U|≈12.342

查统计表可得：U0.001=3.3

|U|>U0.001

所以，我们有99.9%的概率认为现场测得的步长与嫌疑人的步长不是同一个人的，因此，可将此嫌疑人排除。

例4 犯罪机理的研究。通过一元线性回归方法可以研究文化程度与犯罪率之间的关系。举例如下：

研究人们的文化水平与犯罪率之间的关系，随机抽选1000人作调查，得到数据如下：

通过统计软件很快得到y与x的关系：

Y = 4.42 ―0.319x

这个方程表明犯罪率（Y）与人们受教育年限（x）之间成负相关关系。式中4.42是表示人们受教育年限为零时犯罪率为4.42%，式中一0.319是表示人们受教育年限每增加1年时，犯罪率的平均减少值为0.3188%，也就是10000人中将减少30个人左右[1]。

通过上述例子，能够真切的感觉到，概率论与数理统计的方法虽不能够提供最正确的结论，但它能够使人们在可能出现多种结果的情况下，做出某种判断，而这种判断将你出错的可能性控制在最小的范围内。在公安工作中应用概率论与数理统计方法地方还有很多：比如依据指纹特征进行指纹识别；依据语言规律进行语言识别和语音识别；依据罪犯信息特征（如罪犯性别、年龄、职业等）的统计分析，发现犯罪规律；依据交通流量的统计，查找交通拥堵，进行道路改良或制定政策；依据消防火警和火灾的统计，发现分布规律，预测和防止火灾等等。

3 概率论与数理统计的学习与公安院校教育的关系

第一，概率论与数理统计的学习是公安专业很多课程学习的基础。

犯罪情报学、公安信息系统应用、计算机犯罪侦查、公安统计等课程跟概率与数理统计内容都有很大关系，数理统计作为这些课程的基础，有助于学生理解和学习公安专业的课程。

在新的学科门类中，公安技术学是在工学门类下的。概率与数理统计是工学学科必修的一门课程，也是支撑公安技术学专业课程的基础课。

第二，概率论与数理统计的学习有助于学生完成本科毕业论文。

在文章写作过程中，定性分析和定量分析是较为重要的研究方法，尤其是定量分析越来越受到人们的青睐。而概率论与数理统计方法正是定量分析的一部分。若学生在本科学习阶段，学会一两种简单的概率论与数理统计方法，比如回归分析、方差分析等的方法，有助于他们对问题的分析，以及毕业论文的完成。

第三，概率论与数理统计学习可以提高公务员考试成绩，有助于学生的就业。

学生的就业一直是学校、家长、学生关心的重点。在警察院校，毕业之后能去做警察，应该是一个学警最直接、最渴望的出路。要想成为警察现今最主要的途径就是考公务员，而在公务员考试试题中，涉及概率、统计的试题是相对较难的部分。若学生学过这些知识，那么这部分难点将不再是问题。

参考文献：

[1]熊允发.谈加强《数理统计》课程的必要性[J].中国人民公安大学学报，2006，（1）.

概率公式篇10

关键词：移动自组网；公平性；空闲接入概率；吞吐量；媒体接入控制

中图分类号： TP393.1

文献标志码：A

0引言

移动自组网（Mobile Ad Hoc NETwork，MANET）具有高度的自组织性、鲁棒性和抗毁性，在无线通信领域异军突起，应用范围覆盖工业、商业、交通、医疗和军事等领域，是地震、极地考察等恶劣环境的终极通信方式之一。但由于MANET无需基础设施，缺少管理节点，若终端用户修改信道参数、丢弃数据包或切换休眠模式[1-3]，则产生自私节点（Selfish Node，SN），违反网络的公平性原则，产生吞吐量较高而公平索引值较低的失衡问题。媒体接入控制（Medium Access Control， MAC）层影响尤为显著，因为MAC协议直接与信道交互，且网络层、传输层、应用层等上层协议均建立在MAC协议基础之上，影响范围更广，因此MAC协议公平性要求更高。但若仅考虑公平性，将导致部分节点接入概率降低，同样无法使吞吐量性能达到最优，因此如何实现公平性和吞吐量的均衡成为MAC协议研究的新课题。

MAC层公平性和吞吐量均衡的研究集中于两类：一是检测、处理自私行为；二是降低算法控制开销。前者在于提高节点公平性，改善吞吐量性能，共同点在于以行为检测为目的，根据统计数据，建立评估机制和检测算法，提出限制模型，并优化改进协议的吞吐量性能。若优于标准协议分布式协调（Distribution Coordination Function，DCF）[4-5]或改进协议启发式缓变协议（Gentle DCF，GDCF）[6]等，则达到预期目的，否则不断修改控制参数，使协议性能最优，属于渐近优化过程，算法复杂度和硬件要求较高，且处理时延、控制开销较大。如Mackenzie等[7]研究指出DCF存在SN问题，并可通过控制节点之间信道参数防止不公平的信道共享。Kyasanur等[8-9]分析DCF自私行为产生机制，指出SN通过修改竞争窗口（Contention Window， CW）、分布式帧间间隙（Distributed InterFrame Space， DIFS）、短帧间间隔（Short InterFrame Space， SIFS）、网络分配向量（Network Allocation Vector， NAV）等参数提高自身接入概率，使得网络吞吐量急剧降低，但缺乏量化机制。刘春风等[10-11]量化分析DCF协议SN，建立描述吞吐量的二维马尔可夫模型，并设计了SWNCUSUM算法实现SN的检测，检测时延和精度较优，但受饱和条件限制。Serrano等[12-13]摆脱无线电假设，基于数理统计和KS评估理论，设计新的检测算法，降低检测时延，性能优于中心极限定理（Central Limit Theorem， CLT）和多米诺理论（Domino theory， DOMINO），且没有任何条件限制，但缺少吞吐量最优值的考虑。Giri等[14]指出通过修改DCF协议中二进制指数回退（Binary Exponential Backoff， BEB）算法实现不同类型、等级的SN的仿真，为SN行为的仿真提供可行性方案。Li等[15]针对多跳Ad Hoc网络MAC层SN问题，根据样本统计规律，设计检测和限制算法，提高检测精度，降低SN对正常节点吞吐量的影响，但控制开销和算法时延增加，且随着网络规模的增加，增速越来越快。Banchs等[16]为了降低SN对网络吞吐量的影响，采用主动机制，设计分布式反应算法，限制SN占用资源，最优吞吐量得到改善，精度较高，但算法开销仍未改善。以上协议均属于第一类，以提高公平性为目的，不断改善吞吐量性能，但算法复杂度和控制开销较高。

不同的是，后者侧重于降低算法复杂度，提高协议效率，共同点是将接入概率或竞争窗口改进为近似计算，将非线性、非齐次模型转化为线性、齐次模型，简化最优解求解过程。Lee等[17-18]以网络利用率最大化为基础研究竞争时间与有效占用信道时间的关系，构建最优化理论条件，定义效用函数，此时最优解才可与算法相关联，并提出利用缓冲过程将多个近似值解决方案转化为可行算法，但吞吐量等性能受限。Rad等[19]在此基础上，证明算法对大规模网络收敛，为近似最优解的可行性提供理论基础，但缺乏现实性考虑，即无限大存储空间和节点间的报文频繁交换，后者是评估通信信道误报率的必要条件。Bononi等[20]提出著名的渐进最佳回退（Asymptotically Optimal Backoff，AOB）协议简化最优值计算，实现网络吞吐量的优化。但AOB属于粗略近似，即假设最佳MAC协议与节点数量完全独立，适用于小规模网络。而空闲感知（Idle Sense，IS）[21]机制则尝试采用节点接入行为优化吞吐量，即最小化竞争和碰撞时间来增加传输可用时间，实现吞吐量最优，IS结果表明当连续感知5.68个连续时隙时，吞吐量最优值最大，且与竞争媒介的节点数量无关，但公平性仍存在较大的改进空间。

综上所述， MAC协议尚未综合考量公平性和吞吐量，仅对二者之一改进优化，失衡问题仍未缓解。但根据上述文献可得到3点启示：1） 降低算法难度能够降低控制开销；2） 节点之间的接入概率值越相近，公平性越高；3） 建立最优吞吐量与接入概率的关系，接入概率最优时，吞吐量最优，且最优值与网络参数相关性较低。基于该思想，结合上述算法的优点，建立最优空闲接入概率和节点数目评估算法，设计吞吐量公平性均衡的简单MAC机制（FairnessThroughput of MAC，MACFT），创新点在于：1） 推导绝对公平条件的网络最优吞吐量、节点数和空闲接入概率之间的函数关系；2） 利用李雅普诺夫漂移函数，证明在最优接入概率的前提下，MAC协议的可行性和稳定性；3） 根据自回归滑动平均模型（AutoRegressive and Moving Average model， ARMA）滤波确定空闲接入概率的评估模型，并通过比例积分控制器（Proportional Integral Controller， PIC）实现控制；4） 对比分析AOB、IS、DCF、GDCF和MACFT协议的公平性和吞吐量指标，证明协议性能的优越性。

第11期

朱清超等：移动自组网媒体接入控制协议吞吐量与公平性均衡设计

计算机应用 第35卷

1系统模型

假设网络节点数为n，任意时刻其子集N最多允许一个节点采用流渗透模式占用信道并发送数据，反之产生碰撞。在给定DIFS时间内若节点感知信道空闲，则计数器为0的节点竞争发送数据包，否则继续监听信道，计数器递减。在竞争周期内，节点管理时隙竞争计数器，回退时间在[0，W-1]内随机选取。若信道感知空闲，则竞争计数器减小；若检测到数据发送，则暂停计数；若DIFS间隔内重新感知空闲，则恢复计数，直至计数器值为0时开始数据传输。

该过程与DCF相似，根本区别在于，当检测到数据碰撞时DCF竞争窗口加倍，执行BEB算法，而MACFT采用单一最优竞争窗口，其值由每次数据发送的最后尝试值确定，与节点前期状态（成功/碰撞）无关。

1.1包发送概率

令τ为节点随机选择时隙发送报文的概率。由于采用DCF回退模型，则MACFT接入概率τ为W的函数[22]，即

τ=2W+1（1

1.2吞吐量

令S为系统吞吐量，表征信道成功利用的比例。根据IEEE802.11定义可知，计算S必须考虑给定时隙检测信道空闲的概率，即：

pi=（1-τ）n（2）

忙时发送成功的概率：

ps=nτ（1-τ）n-1（3）

和忙时碰撞概率：

pc=1-ps-pi（4

系统吞吐量为信道成功应用时间之和与周期平均值之比，即：

S=psE[p]piE[Ti]+psE[Ts]+pcE[Tc]（5）

其中：E[Ts]、E[Tc]、E[Ti]和E[p]分别表示成功、碰撞、空闲和帧周期的平均值。DCF推荐期望周期为常数[4-5]，即E[p]=P，E[Ts]=Ts，E[Ti]=Ti，E[Tc]=Tc，则S简化为：

S=PTs-Tc+[Tc+pi（Ti-Tc）]/ps（6

S最大值可通过确定最优值τ*获得，对式（6）求导可得最优值τ*满足：

（1-τ*）n（Tc-Ti）+（nτ*-1）Tc=0（7

将节点接入概率取值为τ*，可得最优吞吐量S*，式（7）所得τ*可写成n的函数形式，即：

τ*=f（n）（8

因此最佳媒体接入概率τ*仅与竞争信道的节点数量有关，且n>0时f（n）是n的减函数。若节点数目已知，则通过式（7）可得网络最佳接入概率和公平网络最优吞吐量。

1.3节点数量评估

定义a为监听信道空闲概率的估计值，由竞争周期内时隙的状态获得，具有缓慢时变性，可通过时隙样本过滤算法使其收敛到稳态，下节将详细介绍。如果网络正趋近稳态，则所有节点均以最优接入概率τ*竞争信道。若其他n-1个节点无数据发送，则监听空闲时隙，即pa=（1-τ*）n-1。此时对评估概率值a和最优值pa的方差求最小值可得节点数目的估计值，即：

=arg minn∈N（a-（1-τi）n-1）2（9

但问题产生，节点并不知道网络何时到达稳态，则参数τi未知。由于所有节点采用同一竞争窗口，则稳态时节点na可利用本身的媒体接入概率评估节点数量，即τi=τa。但如果网络远离稳态，则评估精度降低，当且仅当τa覆盖最优解τ*时才有效，因此作以下假设。

假设式（9）中节点na利用媒体接入概率τa确定式（8）中最优接入概率τ*，同时保证该媒体接入概率范围覆盖最优值，那么该MAC机制是可行的。

1.4MAC机制设计及稳定性分析

1）模型设计。

考虑媒体接入概率向量T（k）=（τ1（k），τ2（k），…，τn（k）），表征任意时刻k任意节点接入概率。向量T初始化为给定概率值0

1）在k时刻节点利用式（9）中a和概率τi=τinit得到竞争节点数量的评估值（k）；

2）将（k）代入式（8），计算系统参数（k）；

3）（k）通过控制器C（（k））控制输出τ（k+1），用于计算下一次竞争周期的窗口值W（k+1）=2τ（k+1）-1。

值得注意的是，k=3，4，…，m时的估计值a由τi=τ（k=2），τi=τ（k=3），…，τi=τ（k=m-1）获得，并非τi=τ（k=1）=τinit，由此可获得网络公平条件下的最优吞吐量评估值。

图片

图1MAC协议模型

2）稳定性证明。

首先引入李雅普诺夫漂移函数，该函数被成功用于多个稳定系统，如包交换系统[23]。在此基础上分析MAC机制的稳定性。由于MAC机制为马尔可夫型，最终状态等于已经存在的稳态分布。

利用李雅普诺夫二次方程[24]L（T）=∑ni=1τ2i，并根据概率论推出T（k），如果B>0和ε>0，则MAC机制属于强稳定，对所有时刻k，令李雅普诺夫漂移函数为：

Δ（T（k））E{L（T（k+1））-L（T（k））|T（k）}

若公式

Δ（T（k））≤B-ε∑ni=1τi（k）（10）

对于任意δ>0满足∑ni=1τi（k）≥（B+δ）/ε，则Δ（T（k））≤-δ。换言之，当媒体接入概率之和足够大时，条件（式（10））保证李雅普诺夫漂移为负值，即无论何时向量T超出边界区域T≥0|∑ni=1τi（k）≤（B+δ）/ε，负漂移最终使其回归到该区域，保证MAC机制的稳定性。

然后定性说明MACFT的稳定性和假设的有效性，分两种情况讨论：一是节点增加；二是节点减少。对于上述网络行为，MAC机制必须保证收敛到稳定状态的最优媒体接入概率。

1）节点数增加。

考虑到k-1时刻网络操作节点数n=Ke。从k-1到k，新增Ka个节点，由此n=Ke+Ka。已经存在的Ke个节点稳态时收敛到最优解，当Ka个节点接入信道时，式（9）控制估计值a减小。由于Ke个节点媒体接入概率τ（k）决定τ（k+1），如果a（k）（k-1）。由于τ（k+1）由减函数f（n）决定，则τ（k+1）

2）节点数降低。

同理考虑k-1时刻网络存在n=Ke个节点，从k-1到k，Kd个节点停止数据包发送，则剩余n=Ke-Kd个活动节点。已经存在的Ke个节点收敛到稳态最优解，当Kd个节点停止发送数据时，根据式（9）控制评估值a增大。由于剩余的Ke-Kd个节点采用当前接入概率τ（k）决定τ（k+1），如果a（k）>a（k+1），则（k）τ（k）。那么在k+2，k+3，…，k+G时刻，a（k+2）>a（k+1），…，a（k+G）>a（k+G-1）。但由于滤波机制样本值a引入时延，则G+1个周期后，a（k+G+1）（k+G）保持不变，因此在k+G+2时刻的传输概率能够保证负漂移，从而使MAC机制保持稳定τ（k+G+2）

2MAC协议实现

基于上述理论，本章采用最佳接入概率确保网络公平性，并使吞吐量接近公平网络的理论最优值。前文指出，最优接入概率需要4个参数支撑：1）空闲时隙概率估计；2）节点数量估计；3）最优接入概率计算；4）接入概率控制。

如前所述，空闲时隙概率可通过竞争周期内的时隙状态来评估，相关系数为：

1B∑Bi=1sloti（11）

式中： B为时隙数目。若第i时隙空闲，则时隙sloti为0；反之为1。为了获得参数a，采用ARMA滤波[25]，代入式（11）的相关频率，则a为：

a（k+1）=αa（k）+1-αB∑Bi=1sloti（12）

式中α表示滤波存储器系数。

为了确定ARMA滤波参数，场景中节点数目设置为每隔100s变化一次，对应节点数目分别为2、5、10、25、15、5、25。当网络节点数为25时，节点竞争窗口达到最优值。

图2所示为B=1000，α=0.75时a估计值。不难看出滤波参数的选择使a接近稳定状态值pa。当节点数目较少时，a估计值精确度较高，标准差很低。但节点数目较大时，由于样本数量减少，平均竞争时隙周期增加，a标准差较大，如300s到400s时的样本数量小于0到100s，前者波动范围明显大于后者。

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图2空闲时隙概率与仿真时间的关系

在确定评估值a后，根据式（9）和式（8）分别计算节点数目评估值和最佳接入概率。值得注意的是，由于考虑内存因素，式（12）中滤波器引入更慢的动态值，式（8）获得的参数不再直接用于每个节点。基于该原因，需根据PIC原理增加控制模块，即图1中所示C（），具体实现如图3所示。C（）根据参数（k）和ARMA动态滤波，简化媒体接入概率。

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图3PIC实现控制器C（）

为了确定参数Kp和TI，即增益比例和积分时间，对阶跃响应进行仿真，并采用开环模型估计a达到稳态所需的时间。在此利用经典的齐格勒尼格尔斯调谐方法估计Kp和TI分别为0.6和23.81。

图4和图5中分别采用图3中网络参数时，a和的变化曲线，最优媒体接入概率由MACFT确定，其中Winit为500。可以看出当网络节点数目变化时，在短时周期内媒体接入概率收敛于最优稳态值，精度较低。

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图4MACFT空闲时隙接入概率曲线

图5所示为MACFT的网络节点评估数目曲线。随着节点数目的增加，产生两种现象：一是ARMA滤波得到的a估计值并不精确，评估误差增加；二是短时间隔内的精确度降低，导致节点利用个体接入概率去评估节点数目。由于个体媒体接入概率未被真实节点数目采用，精度较低。但随着媒体接入概率向最优值收敛，越来越精确。

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图5节点数目评估值与真实值对比

3性能分析

3.1参数设置

本节利用软件NS2[26]对MACFT进行仿真，综合分析吞吐量和公平性指标，计算吞吐量与最优值的误差。为了更好地说明协议的有效性，在此与其他4种MAC协议AOB、DCF、GDCF和IS作比较，具体参数如表1所示。

表格（有表名）

表1仿真参数设置

参数值参数值

节点速度2m/s停留时间0s

报文速率1Mb/s路由协议DSR

场地大小1000m×1000m业务流cbr

CWmin16仿真时间700s

CWmax256最大连接数10

3.2性能分析

本节主要分析AOB、IS、DCF、GDCF和MACFT协议吞吐量和公平性指标，对比说明协议的优越性和可行性。

图6所示为各协议的瞬时吞吐量，在此仅列举绝对吞吐量，其值由传输速率实现标准化。结果表明前100s时仅2个节点传输数据，节点规模较小，AOB和IS中媒体接入概率精确度不高，而MACFT性能较优。随着节点数目增加，AOB吞吐量高于其他协议，但AOB和MACFT的差值未超过约150kb/s（600～700s）。原因在于DCF是基于假设建立的，性能与节点数目直接相关，而AOB、IS和MACFT采用最优化原则确定媒体接入概率，因而与节点数目相关性较低，变化幅度较小。除DCF外，其他MAC协议吞吐量均高于最优值，因为式（5）计算的吞吐量最优值是以绝对公平竞争为基础，而由于种种原因，实际媒体接入并不公平，若干节点竞争周期较小，因此网络吞吐量较高。例如极限条件时，若单个节点采用最大媒体接入概率（值为1），禁止其他节点接入，吞吐量等于最大网络利用率，大于绝对公平接入时的最优吞吐量。

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图6吞吐量随仿真时间变化曲线

图7所示为不同节点数目的平均吞吐量。随着节点数目的增加，MACFT性能接近IS，约为6.15Mb/s，略低于AOB和GDCF（6.2Mb/s），且吞吐量趋于最优值5.85Mb/s，表示节点并非处于绝对公平状态。而MACFT与IS均接近最优吞吐量，表明网络公平性更高。

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图7不同节点数时平均吞吐量曲线

图8所示为25节点不同窗口数目（从低到高分析）时各协议的Jain公平性[27]索引，反映网络的公平性，初始阶段采用小公平窗口分析短期性能，并逐渐增加到2500个接入信道。结果表明若考虑公平窗口大小而言，MACFT公平索引值最高，约为0.98，并接近最优值1，IS次之，AOB公平性索引低于MACFT和IS。原因在于MACFT将相似信道接入概率强加到各个节点，网络接入概率基本相同，趋于公平网络，但造成空闲信道资源的浪费，其吞吐量略低于AOB。IS同样考虑节点的行为控制，属于优化机制，并不强加到每个节点，因而公平性略低于MACFT，相对AOB粗略近似而言，公平性较高，因此协议公平性越高，吞吐量越接近公平网络最优值。

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图825节点不同协议Jain公平索引

综上所述，MACFT表现出更高的吞吐量和公平性，接近最优值，性能更优。

4结语

本文针对MANET失衡问题，以计算资源换取信道资源的思想，提出分布式吞吐量和公平性均衡算法MACFT，方法简单易行，并仿真分析AOB、IS、DCF、GDCF和MACFT吞吐量和公平性等指标，结果表明MACFT性能更优。但是尚存在以下问题：一是尚未考虑算法对系统时延等其他指标影响；二是对网络规模较大时系统性能未作分析。在后期工作中将针对上述问题深入研究。

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