数学建模在概率论与数理统计的应用

摘要:对数学建模方法在概率论与数理统计教学中的应用进行研究。概率论与数理统计课程所包含的数学建模方法主要有引入随机变量和引入其他小的数学模型。随机变量就是从样本空间到实数集的一个映射，并满足一定条件，把随机事件问题转化为变量的问题，然后再定义分布函数，这样就完全把随机试验问题转化为了数学问题，从而可以通过数学工具来研究随机现象。概率论与数理统计中包含着很多小的数学模型，如古典概型、几何概型、n重贝努利概型，还有好多习题也是小的数学模型，可以充分利用这些例子来帮助学生掌握概率论与数理统计的理论知识，并用其来解决实际问题。将建模方法应用在概率论与数理统计课程教学中能够讲清楚概念的来龙去脉，使学生理解概率论与数理统计的理论和方法的背景意义及应用价值。利用数学建模方法能够提高课程教学的实效性，使学生能够利用其解决实际问题。

关键词:数学建模方法;概率论与数理统计;教学应用

1概率论与数理统计课程所包含的数学建模方法

1.1引入随机变量。针对概率论与数理统计课程教学改革的研究成果比较多［1－4］，可以将数学建模思想融入其中［5］。概率论是研究随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象在自然界随处可见。在随机试验中，可直接观察到的、最基本的、不能再分解的结果被称为基本结果(基本事件)。基本结果也被称为样本点，将所有样本点放在一起构成的集合被称为样本空间，可以把随机试验问题转化为集合问题和样本空间子集问题，将事件之间的关系和运算问题转化为集合的关系和运算问题，这样就第一次建立了随机现象的数学模型。概率论最先要研究的是随机现象在一次试验中出现的可能性大小问题，即事件的概率，但直接定义不方便，于是就采用了公理化定义，将所有事件放在一起构成事件域，将概率定义为从事件域到实数集的映射，并满足相应条件。为了更好地利用数学工具研究随机现象，便引入了随机变量的概念。随机变量就是从样本空间到实数集的一个映射，并满足一定条件，把随机事件问题转化为变量的问题，然后再定义分布函数，这样就完全把随机试验问题转化为数学问题，从而可以通过数学工具来研究随机现象。1.2引入其他小的数学模型。从局部来看，概率论与数理统计中包含着很多小的数学模型，如古典概型、几何概型、n重贝努利概型，还有好多习题也是小的数学模型。例如［6］:根据记录，某商店某商品的每月平均销售量为5件，为了有95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少件?泊松分布刻画的是一定时间段内稀有事件出现的次数，那么可以近似假设该商品销售量服从泊松分布，其中λ=5，从而建立了该问题的数学模型，可以计算出结果。在教学过程中，可以充分利用这些例子来帮助学生掌握概率论与数理统计的理论知识，并用其来解决实际问题。

2建模方法在概率论与数理统计课程教学中的应用

2.1讲清楚概念的来龙去脉。概率论与数理统计的基本概念都有其实际意义，应讲清楚这些概念的来龙去脉。例如，数学期望就是对随机变量取值的加权平均，如果X是离散型随机变量，其概率分布为P(X=xk)=pk，k=1，2，…，则E(X)=∑∞k=1xkpk就是对X取值的加权平均。如果X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则E(X)=∫+∞－∞f(x)dx也是对X取值的加权平均(积分就是连续求和)。在教学中，不仅要让学生会计算期望，更重要的是理解期望的统计意义，这就是对数学建模方法的应用。数学建模的基本方法就是将实际问题通过合理假设转化为数学问题，然后求解数学问题，最后将求解结果应用到实际问题当中。应用这一思维方式，能够使学生更好地理解概率论与数理统计的相关概念及方法，可以提高学生的学习兴趣，使课程教学更具针对性和实用性。2.2使学生理解概率论与数理统计的理论和方法的背景意义及应用价值。教学过程中，要注重讲解理论、方法的背景意义和内涵，不需要将主要精力都放在繁琐的推导和计算上。例如，对全概率公式和贝叶斯公式而言，应讲清楚这两个公式的背景意义。对于全概率公式，要讲清楚分割测量的思想。为确定事件B的概率，将样本空间划分为若干部分A1，A2，…，An，并使A1，A2，…，An两两互不相容且A1∪A2∪…∪An=Ω，如果能计算出P(BAi)(i=1，2，…，n)的概率，则B的概率也能计算出来。P(BAi)可以用乘法公式来计算，故有P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)。不需要学生死记硬背全概率公式，而是要在实际应用时构造样本空间的划分。对于贝叶斯公式而言，其本质就是条件概率的定义，即P(Ai|B)=P(AiB)P(B)，P(B)可利用全概率公式计算，P(AiB)可利用乘法公式计算。此公式的重点是它的实际背景意义，即事件B发生的因素有n个，即A1，A2，…，An，那么B发生时每个因素Ai发生的可能性是P(Ai|B)。在讲常用分布时，要简单介绍几种常用分布的背景来历和分布所描述的试验背景。例如，二项分布是描述n重贝努利实验中事件A(0＜P(A)＜1)出现的次数概率，泊松分布就是刻画一定时间段内稀有事件发生的次数概率，学生要掌握这些分布的意义并将其应用到解决实际问题当中。利用数学建模方法能够使学生更好地理解概率论与数理统计的基本理论和基本方法。

参考文献:

［1］陈振洲.概率论与数理统计的教学改革探索与研究［J］．教育教学论坛，2019，(03):112－113.

［2］李志英，刘伟.概率论与数理统计课程教学改革初探［J］．数学学习与研究，2019，(04):10－13.

［3］周菊玲.概率论与数理统计课程教学改革探索［J］．数学学习与研究，2019，(02):6.

［4］黄昱，李双瑞.课程思政理念下概率论与数理统计的教学改革［J］．教育现代化，2018，(53):109－111.

［5］张爱华，杨冬香.数学建模思想融入概率论与数理统计的教学改革研究［J］．科技文汇，2019，(452):80－81.

［6］韩旭里，谢永钦.概率论与数理统计［M］．北京:北京大学出版社，2018.

作者:席进华 单位:北部湾大学理学院