几何定理范文10篇

几何定理范文篇1

对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基本要求；第3环节是基本推理模式，第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→组合定理→联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求

我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

如：

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

学生在书写时果然出现了一些问题：

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现∵××，又∵××，∴××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现∵∠1和∠2是同位角，∴AB∥CD）；条件重复（如定理49，结论∠APO＝∠BPO已经包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：

⑴问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？

答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？

答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。

⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？

答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）→定理24（作矩形的外接圆）→定理34。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）→定理36（一线平移成切线）→定理47、48（绕切点旋转）→定理50。

③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：

⒊推理模式

从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

①条件→结论→新结论（结论推新结论式）

②新结论（多个结论推新结论式）

③新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。

⒋组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求△BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质→S/AS/证相似→相似三角形性质→垂径定理→勾股定理→三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？

实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，AB是⊙O1的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④的性质结合在一起，学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

参考资料：

①高三数学第二轮复习的理论和实践孟祥东等《中学数学教与学》2001、3

②全国初中数学教育第十届年会论文集P380、P470

附录：初中数学几何定理集锦（摘录）

1。同角（或等角）的余角相等。

3。对顶角相等。

5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7。同位角相等，两直线平行。

12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

47。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

50。弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

51。相交弦定理；切割线定理；割线定理

几何定理范文篇2

那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我们把它归纳为以下几点：

⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。

⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。

⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的原因，我们在教学中采取了一些自救对策。

一、教学环节

对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基本要求；第3环节是基本推理模式，第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→组合定理→联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求

我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

如：

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

学生在书写时果然出现了一些问题：

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现∵××，又∵××，∴××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现∵∠1和∠2是同位角，∴AB∥CD）；条件重复（如定理49，结论∠APO＝∠BPO已经包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：

⑴问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？

答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？

答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。

⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？

答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）→定理24（作矩形的外接圆）→定理34。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）→定理36（一线平移成切线）→定理47、48（绕切点旋转）→定理50。

③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：

⒊推理模式

从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

①条件→结论→新结论（结论推新结论式）

②新结论（多个结论推新结论式）

③新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。

⒋组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求△BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质→S/AS/证相似→相似三角形性质→垂径定理→勾股定理→三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？

实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，AB是⊙O1的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④的性质结合在一起，学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

几何定理范文篇3

对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基本要求；第3环节是基本推理模式，第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→组合定理→联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求

我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

如：

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

学生在书写时果然出现了一些问题：

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现∵××，又∵××，∴××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现∵∠1和∠2是同位角，∴AB∥CD）；条件重复（如定理49，结论∠APO＝∠BPO已经包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：

⑴问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？

答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？

答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。

⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？

答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）→定理24（作矩形的外接圆）→定理34。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）→定理36（一线平移成切线）→定理47、48（绕切点旋转）→定理50。

③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：

⒊推理模式

从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

①条件→结论→新结论（结论推新结论式）

②新结论（多个结论推新结论式）

③新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。

⒋组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求△BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质→S/AS/证相似→相似三角形性质→垂径定理→勾股定理→三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？

实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，AB是⊙O1的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④的性质结合在一起，学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

摘要：教师在教学时经常需要面对不同的学生，如何根据不同的情况采取相应的措施显得非常必要。一些学生到了初三仍对几何证明题书写感到困难，思考时没有明确的目的。本文针对这些情况，充分重视了“定理教学”，采取了先集中讲授再平时渗透的方法，提出了从定理的基本要求出发，通过建立表象、组合定理、联想定理等教学对策，从而使学生具备“用定理”的意识。

关键词：建立表象、组合定理、联想定理

参考资料：

①高三数学第二轮复习的理论和实践孟祥东等《中学数学教与学》2001、3

②全国初中数学教育第十届年会论文集P380、P470

附录：初中数学几何定理集锦（摘录）

1。同角（或等角）的余角相等。

3。对顶角相等。

5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7。同位角相等，两直线平行。

12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

47。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

几何定理范文篇4

关键词：建立表象、组合定理、联想定理

教师在教途上并不是一帆风顺的，尤其在农村中学，有时由于教学上的需要，往往到了初三，也会出现面对陌生学生的情况。笔者今年就遇到了尴尬：几何证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容；更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。面对着时间紧、任务重，怎么办呢？经过一番苦思冥想，针对学生基础差、底子薄，决定狠抓“定理教学”。通过一段时间的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”，也发现了定理的价值，基本树立了“用定理”的意识。

那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我们把它归纳为以下几点：

⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。

⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。

⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的原因，我们在教学中采取了一些自救对策。

一、教学环节

对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基本要求；第3环节是基本推理模式，第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→组合定理→联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求

我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

如：

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

学生在书写时果然出现了一些问题：

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现∵××，又∵××，∴××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现∵∠1和∠2是同位角，∴AB∥CD）；条件重复（如定理49，结论∠APO＝∠BPO已经包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：

⑴问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？

答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？

答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。

⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？

答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）→定理24（作矩形的外接圆）→定理34。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）→定理36（一线平移成切线）→定理47、48（绕切点旋转）→定理50。

③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：

⒊推理模式

从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

①条件→结论→新结论（结论推新结论式）

②新结论（多个结论推新结论式）

③新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。

⒋组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求△BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质→S/AS/证相似→相似三角形性质→垂径定理→勾股定理→三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？

实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，AB是⊙O1的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④的性质结合在一起，学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

参考资料：

①高三数学第二轮复习的理论和实践孟祥东等《中学数学教与学》2001、3

②全国初中数学教育第十届年会论文集P380、P470

附录：初中数学几何定理集锦（摘录）

1。同角（或等角）的余角相等。

3。对顶角相等。

5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7。同位角相等，两直线平行。

12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

47。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

几何定理范文篇5

那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我们把它归纳为以下几点：

⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。

⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。

⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的原因，我们在教学中采取了一些自救对策。

一、教学环节

对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基本要求；第3环节是基本推理模式，第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→组合定理→联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求

我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

如：

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

学生在书写时果然出现了一些问题：

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现∵××，又∵××，∴××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现∵∠1和∠2是同位角，∴AB∥CD）；条件重复（如定理49，结论∠APO＝∠BPO已经包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：

⑴问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？

答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？

答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。

⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？

答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）→定理24（作矩形的外接圆）→定理34。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）→定理36（一线平移成切线）→定理47、48（绕切点旋转）→定理50。

③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：

⒊推理模式

从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

①条件→结论→新结论（结论推新结论式）

②新结论（多个结论推新结论式）

③新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。

但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。

⒋组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求△BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质→S/AS/证相似→相似三角形性质→垂径定理→勾股定理→三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？

实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，AB是⊙O1的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④的性质结合在一起，学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

参考资料：

几何定理范文篇6

一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算

（一）、几何运算

本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。

（二）、代数运算

1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。

（三）、坐标运算

在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学内容、要求、重点与难点

（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。

1、平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有:向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。

2、平面向量的坐标运算,联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有:平面向量的坐标运算(5.4节),向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。

3、平面向量的应用,具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理,余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。

（二）、教学要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（三）、教学重点

向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。

（四）、教学难点

向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。

三、本章的特点

教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。

1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会,也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。

2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。

4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力，教材还安排了"实习作业",通过实际测量,使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。

四、教学体会

依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：

1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。公务员之家

几何定理范文篇7

【关键词】平面向量；数形结合；向量法；教学体会

现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。

一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算

（一）、几何运算

本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。

（二）、代数运算

1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。

（三）、坐标运算

在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学内容、要求、重点与难点

（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。

1、平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有:向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。

2、平面向量的坐标运算,联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有:平面向量的坐标运算(5.4节),向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。

3、平面向量的应用,具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理,余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。

（二）、教学要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（三）、教学重点

向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。

（四）、教学难点

向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。

三、本章的特点

教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。

1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会,也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。

2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。

4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力，教材还安排了"实习作业",通过实际测量,使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。

四、教学体会

依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：

1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。公务员之家

4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题

5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。

【参考文献】

几何定理范文篇8

关键词：平面向量；数形结合；向量法；教学感悟

现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。

一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算

（一）、几何运算

本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去感悟数形结合的数学思想。

（二）、代数运算

1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。

（三）、坐标运算

在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学内容、要求、重点与难点

（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。

1、平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有:向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。

2、平面向量的坐标运算,联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有:平面向量的坐标运算(5.4节),向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。

3、平面向量的应用,具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理,余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。

（二）、教学要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用他们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（三）、教学重点

向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。

（四）、教学难点

向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。

三、本章的特点

教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其他章节。

1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，依据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会,也为教师依据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。

2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。

4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力，教材还安排了"实习作业",通过实际测量,使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。以此来强化学生依据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能依据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能依据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。

四、教学感悟

依据教学内容、要求及本章的特点，依据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学感悟：公务员之家:

1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，依据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。

4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题

5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。

【参考文献】

几何定理范文篇9

【关键词】平面向量；数形结合；向量法；教学体会

现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。

一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算

（一）、几何运算

本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。

（二）、代数运算

1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。

（三）、坐标运算

在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学内容、要求、重点与难点

（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。

1、平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有:向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。

2、平面向量的坐标运算,联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有:平面向量的坐标运算(5.4节),向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。

3、平面向量的应用,具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理,余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。

（二）、教学要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（三）、教学重点

向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。

（四）、教学难点

向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。

三、本章的特点

教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。

1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会,也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。

2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。公务员之家

3、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力，教材还安排了"实习作业",通过实际测量,使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。

四、教学体会

依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：

1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。

4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题

5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。

【参考文献】

几何定理范文篇10

1、教材分析

(1)知识结构：

由平行线的画法，引出平行线的判定公理(同位角相等，两直线平行).由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.

(2)重点、难点分析：

本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.

本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.

2、教学建议

在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”

教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.

平行线的判定公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.

教学设计示例1

一、教学目标

1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.

2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.

3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.

二、学法引导

1.教师教法：启发式引导发现法.

2.学生学法：独立思考，主动发现.

三、重点·难点及解决办法

(一)重点

在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.

(二)难点

判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.

(三)解决办法

1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.

2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.

四、课时安排

l课时

五、教具学具准备

三角板、投影胶片、投影仪、计算机.

六、师生互动活动设计

1.通过两组题，复习旧知，引入新知.

2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.

3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.

七、教学步骤

(-)明确目标

教学建议

1、教材分析

(1)知识结构：

由平行线的画法，引出平行线的判定公理(同位角相等，两直线平行).由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.

(2)重点、难点分析：

本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.

本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.

2、教学建议

在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”

教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.

平行线的判定公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.

教学设计示例1

一、教学目标

1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.

2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.

3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.

二、学法引导

1.教师教法：启发式引导发现法.

2.学生学法：独立思考，主动发现.

三、重点·难点及解决办法

(一)重点

在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.

(二)难点

判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.

(三)解决办法

1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.

2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.

四、课时安排

l课时

五、教具学具准备

三角板、投影胶片、投影仪、计算机.

六、师生互动活动设计

1.通过两组题，复习旧知，引入新知.

2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.

3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.

七、教学步骤

(-)明确目标

掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.

(二)整体感知

以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理.

(三)教学过程

创设情境，引出课题

师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由(出示投影).

1.两条直线不相交，就叫平行线.

2.与一条直线平行的直线只有一条.

3.如果直线、都和平行，那么、就平行.

学生活动：学生口答上述三个问题.

【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法.

师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗?根据什么?

学生：能判定垂直，根据垂直的定义.

师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗?

学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行?

教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢?

学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线，让，再看是否平行于就可以了.

师：这种想法很好，那么，如何作，使它与平行?若作出后，又如何判断是否与平行?

学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题.

师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的平行线的判定(板书课题).

[板书]2.5平行线的判定(1).

【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断.这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容.

探究新知，讲授新课

教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动，让学生观察，转动到不同位置时，的大小有无变化，再让从小变大，说出直线与的位置关系变化规律.

【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论.

图1

学生活动：转动到不同位置时，也随着变化，当从小变大时，直线从原来在右边与直线相交，变到在左边与相交.

师：在这个过程中，存在一个与不相交即与平行的位置，那么多大时，直线呢?也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系.

师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线外一点画的平行线.

学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示(见图1).

师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么?

图2

学生：保证了两个同位角相等.

师：由此你能得到什么猜想?

学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行.

师：我们的猜想正确吗?会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢?

教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前，让学生看清角和角(如图2)，而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论.

学生活动：学生观察、讨论、分析.

总结了，当时，不平行，而无论取何值，只要，、就平行.

图3

教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为平行线的判定公理.

[板书]两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

即：∵(已知见图3)，

∴(同位角相等，两直线平行).

【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确.尝试反馈，巩固练习(出示投影).

图4

1.如图4，，，吗?

2.，当时，就能使.

【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.

(出示投影)

直线、被直线所截.

图5

1.见图5，如果，那么与有什么关系?

2.与有什么关系?

3.与是什么位置关系的一对角?

学生活动：学生观察，思考分析，给出答案：时，，与相等，与是内错角.

师：与满足什么条件，可以得到?为什么?

学生活动：，因为，通过等量代换可以得到.

师：时，你进而可以得到什么结论?

学生活动：.

师：由此你能总结出什么正确结论?

学生活动：内错角相等，两直线平行.

师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：

[板书]两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.

师：上面的推理过程，可以写成

∵(已知)，

(对顶角相等)，

∴.

[∵(已证)]，

∴(同位角相等，两直线平行).

【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使中国学习联盟胆尝试，培养他们勇于进取的精神.

教师指出：方括号内的“∵”，就是上面刚刚得到的“∴”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略.

尝试反馈，巩固练习(出示投影)

1.如图1，直线、被直线所截.

(1)量得，，就可以判定，它的根据是什么?

(2)量得，，就可以判定，它的根据是什么?

2.如图2，是的延长线，量得.

(1)从，可以判定哪两条直线平行?它的根据是什么?

(2)从，可以判定哪两条直线平行?它的根据是什么?

图1图2

学生活动：学生口答.

【教法说明】这组题旨在巩固平行线的判定公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.

变式训练，培养能力

(出示投

1.如图3所示，由，可判断哪两条直线平行?由，可判断哪两条直线平行?

2.如图4，已知，，吗?为什么?

图3图4

学生活动：学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.

【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.

(四)总结扩展

2.结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式.

八、布置作业

课本第97页习题2.2A组第4、5、6(1)(2)题.

作业答案

4.当时，就能使.

5.(1)从，推出，根据同位角相等，两直线平行.

(2)从，推出，根据内错角相等，两直线平行.