函数概念十篇

函数概念篇1

关键词：函数的概念 教学设计 引导学生

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2013）12-0047-01

函数概念这节课，是初中学过的函数概念的基础而学习的。它是整个中学数学中最重要的基本概念之一，也是后续整个数学学习的基础。函数又是初等数学和高等数学非常重要的内容，它在数学的各个领域里经常用到。它还是数学思想中数形结合思想、函数与方程思想产生的载体。本课的教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系，正确理解函数的概念；教学难点：函数概念及符号y=f（x）的理解。我制定了以下的教学目标

一、知识目标（直接性目标）

1.用映射观点理解函数，掌握函数的三要素。

2.会求简单函数的定义域、对应法则、函数值、值域。

二、能力目标（发展性目标）

1.培养学生自主探索，归纳总结的能力。

2.培养学生由概念出发分析解决问题的能力。

3.培养学生自然使用数学语言的能力。

三、情感目标（可持续性目标）

1.激发学生学习数学的兴趣，带领学生感悟数学美

2.通过函数中的运动变化――培养学生用运动的观点来理解函数中变量间的关系。

本节课所面对的是职业高中一年级的学生，这个年龄段的学生思维十分活跃，求知欲望强，却不能独立思考，基础知识薄弱，对老师存在很大的依赖性，需要教师引导，本节课从学生原有的知识点和能力出发，引导学生探究身边的事例，老师将带领学生创设疑问，通过合作交流、共同探索来寻求解决问题的方法。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。职业高中不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言描述函数。

创设情景兴趣导入，举了两个生活中的例子。

1.上周四指法器比赛取得前5名的同学成绩填入表格

2.商店销售可乐，每瓶2.5元，应付款y与购买瓶数x之间的关系式为？

小组讨论的方式，得到以下五个问题的答案：

1.这二个例子中都涉及到了几个变化的量？

2.当其中一个变量取值确定后，另一个变量将如何？

3.这样的关系在初中称之为什么？

4.观察上述三问题，它们分别涉及到了几个集合？

5.两个集合的元素之间具有怎样的关系？

从生活实例出发，体会映射的对应关系（“一对一”或“一对多”）理解映射定义中的关键“任意”，“唯 一”培养学生自主探索的能力。

新授部分师生共同概括出函数的定义，指出解析式、表格都是一种对应关系。在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数。

将上述函数记作 变量x叫做自变量，数集D叫做函数的定义域

f（x）表示f与x的乘积吗？ D可以为空集吗？

教师仔细分析关键词语，充分讲解函数变量和法则之间的关系，强调函数的三要素理解函数符号。学生思考，理解，记忆，观察，领会函数的定义。

定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关，如函数 与 表示的是同一个函数。

巩固知识解析典型例题

使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言的定义，加深对函数概念的理解并加以应用解决问题。和同学归纳总结函数定义域：若f （x）是整式，则函数的定义域是实数集R。若f （x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集。若f （x）是偶次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集。如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合。

练习求下列函数的定义域

通过练习强化训练，巩固基础，并且加强对函数定义的理解。及时归纳定义域的基本情况。函数对应法则的理解，求自变量x=x0时对应的函数值，方法是将x0代入到函数表达式中求值。

突出代入意义，并且注意观察学生是否理解知识点

在课堂学生总结中，再次强调函数的概念：在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数。函数的表示方法：y=f（x）

函数概念篇2

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。

依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

学法：四、教学程序

一、课程导入

通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

二.新课讲授：

（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：ab，及原像和像的定义。强调指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从a到b的对应是否为映射的关键是看a中的任意一个元素通过对应法则f在b中是否有唯一确定的元素与之对应。

（2）巩固练习课本52页第八题。

此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设a、b是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得a中的任何一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及从a到b的对应法则f），并说明把函f：ab记为y=f（x），其中自变量x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈a}叫做函数的值域。

并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：

2.函数是非空数集到非空数集的映射。

3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

5.集合a中的数的任意性，集合b中数的唯一性。

6.“f：ab”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域a（要优先），值域c（上函数值的集合且c∈b）。

三.讲解例题

例1.问y=1（x∈a）是不是函数？

解：y=1可以化为y=0*x+1

画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。

四.课时小结：

1.映射的定义。

2.函数的近代定义。

3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

4.函数近代定义的五大注意点。

五.课后作业及板书设计

书本p51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。

函数（一）

一、映射：2.函数近代定义：例题练习

函数概念篇3

关键词  函数   概念

        回顾函数概念的历史发展，函数概念是不断被精炼，深化，丰富的。初中时函数的定义是一个变量对另一个变量的一种依赖关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中时，是用集合与对应的语言描述了函数概念。函数是一种对应关系，是函数概念的近代定义。

        设a,b是非空数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数,记作y=f(x),x∈a。函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。

        函数的概念这一节课，内容比较抽象，概念性强，思维量大，为了充分调动学生的积极性和主动性，教学中通过典型实例来启发和帮助学生分析，比较，以达到建构概念之目的。

        引出函数的概念，先是举出了生活中的三个实例。第一个实例是关于物体做斜抛运动的，和初中学习过的二次函数相联系。第二个实例是关于臭氧空洞的问题，给出了函数的图像，按照图中曲线，发现了两个集合之间的一种特殊的对应关系。第三个实例是关于恩格尔系数的经济实例。列表给出了恩格尔系数和时间（年）的关系。三个实例共同反映了变量之间的相互依赖的关系，同时反映出两个非空集合之间的一种特殊的对应关系。这样，自然而然地给出了函数的概念，并且这三个实例中的函数恰好是用了三种表示方法：解析法，图像法，列表法。

        以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。通过三个实例的教学，师生共同发现了函数概念中的对应关系。教师在归纳出函数定义后，可以在全班进行交流。结合初中函数的定义，指出两个定义的区别和联系。关于“y=f(x)”这一个函数符号的理解，教师可以提问：y=f(x)一定是函数的解析式吗？回答是不一定，可以举出实例二和实例三。函数的解析式，图像，表格都是函数的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函数，但f(x)不一定是解析式。当f(x)是一个解析式时，如果把x,y看作是并列的未知量或者点的坐标，那么y=f(x)也可以看做是一个方程。 

        函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域a的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在b中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合b中并非所有的元素在定义域a中都有元素和它对应；值域 。教师引导学生归纳并总结，函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

       然后，教师给出同学们所熟悉的三种函数，一次函数y=ax+b(a≠0)，反比例函数 ，以及二次函数 。教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察，分析，并请学生们思考之后，填写对应关系，定义域和值域。通过三个熟悉的函数加深学生对函数近代定义的理解。教师引导学生归纳总结出：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如果函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。

        连续的实数集合可以用集合表示，也可以用区间表示。利用多媒体课件展示怎样用区间表示集合。区间可以分为闭区间，开区间，半开半闭区间。特别地，实数集r记作(-∞,+∞), ∞ 读作无穷大；-∞ 读作负无穷大；+∞ 读作正无穷大;“∞”不是一个数，表示无限大的变化趋势，因此作为端点，不用方括号。

        例1和例2的编排，是为了进一步地加深理解函数的三要素。函数的定义域通常由问题的实际背景确定.对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。在例1中，要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量。f(a)是f(x)的一个特殊值。例2是来判断两个函数是否相等的。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就是相等的。

        数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务，是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础，概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因。

函数概念篇4

关键词：函数概念；高中数学；集合

在高中教材中，函数的概念是这样的：给定非空数集A，B，如果按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：xy=f （x），x∈A.集合A叫做函数的定义域，所有y组成的集合叫做函数的值域，记为C.

所以，要把握函数的概念需要明确两点：（1）A、B都是非空数集.（2）集合A中的任何元素（任意性），通过某种对应关系，在B中都要有唯一确定的元素与之对应（唯一性）.从函数的定义可以看出，不能一对多，否则与唯一性相悖，但是可以多对一.下面我将从两方面来分析如何加深对函数概念的理解.

一、客人住宿理论

我们可以将函数的概念与客人住宿问题联系起来.将客人用数字编号并看成集合A中的元素，将房间用数字编号看成集合B中的元素.首先，每个人都必须要安排一个房间（对应于任意性），其次每个人都只能住一个房间（对应于唯一性，不能一对多），再次多个人可以住同一个房间（即允许多对一）.所有客人的集合即是定义域，所有住了人的房间的集合即是值域.

下面，我们通过两道例题来分析一下：

例1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是（ ）

A.A={ -1，0，1 }，B={ 0，1 }，f：A中的数平方

B.A={ 0，1 }，B={ -1，0，1 }，f：A中的数开方

C.A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数

D.A=R，B={ 正实数 }，f：A中的数取绝对值

解析：按照客人住宿理论，选项A，-1，1对应于1，0对应于0.相当于每个客人都安排了房间，且-1，1两个客人住同一个房间.

选项B，由于1开方后有1和-1与之对应，故相当于一个人住了两个房间，一对多，不符合函数定义.

选项C，由于0在B中没有元素与之对应，即没有给客人0安排房间.

选项D同C.所以正确的选项是A.

例2.下列表示集合A到集合B的函数的是（ ）

解析：选项A，客人1一个人住了两个房间，违背了唯一性.

选项B，每个客人都安排了房间，并且住了同一个房间，属于多对一的情况，是函数.

选项C，3没有安排房间，与任意性不符.

选项D，5没有安排房间，与任意性不符.

二、竖直判断法

鉴于函数不能一对多的原则，判断给定的图象能不能表示函数图象，可以用竖直判断法.即用任意一条平行于y轴的直线与给定的图象相交，若存在交点个数不止一个的情形，则可以断定该图像不是函数图象.

例3.下列图象表示y是x的函数的是（ ）

解析：用竖直判断法，由于A、B、D平行于y轴的直线与图象都有两个或两个以上交点，很显然只有C可以表示函数的图象.

函数概念篇5

函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用x和y的函数关系表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

（来源：文章屋网 ）

函数概念篇6

关键词：初中数学；函数概念；形成分析

中图分类号：G623.5

初中阶段的数学函数概念，是学生必须掌握的核心概念，是常量数学到变量数学转折的关键，也是数学学习向变量方向发展的转折点。怎么样帮助学生真正理解并习得函数这一概念，一直都是初中教师所要探讨的难点问题。而此处所指的概念形成，指人们对表层不同的事物实现感知、比较、分析及抽象，再用归纳的手段概括出事物本质，继而最终形成正确概念的学习方法。在概念形成的过程里，学生若想得到变量同各变量间的本质属性，就一定要拨开变量表层非本质属性进行深入分析，从而取得期待目标效果。

一、初中数学函数概念形成研究之意义

从近代与现代数学的发展历史可以发现，函数是表达物体运动及变化的基础性概念，数学里面的很多概念均是由函数所衍生出来，它们都能以函数进行学习方法统率，或者用函数的观点实现研究。可以说，正是因为参与到函数的学习中来，才让学生从初等数学迈入高等数学的门槛。而恩格期在其著作中提到：初等数学（常量数学），仅仅局限在形式逻辑的范围之中。对函数加以研究，突破了这个形式逻辑范围，使人们对数学的认知界限到达辩证思维领域。根据这个研究，函数对于初中生教学的意义是重大的。

历来通常在数学学习中利用函数历史发展的形式，对学生加以函数概念上的引导，但是效果并不十分理想，那么究竟应当如何发展针对初中生的函数概念教学呢？为了更好地把握这个问题，必须对函数概念形成的难度加以分析研究。

二、初中数学函数概念形成的难度探讨

经过数学与心理学的研究，可以得出如下结论：那些可见实物的概念最容易获取，而空间图形较难，最难的则是数（包括函数）的概念。数的概念难度会因为关键特征的变化而发生相应变化，难易程度可以概念为：肯定类概念、合取类概念、涵盖类概念、条件类概念，很明显函数概念应当划分到条件类概念当中，而且属于双重条件概念，初中生尚没有完全形成科学的概念处理能力，对其进行相关教学的难度很大。再者还要注意下述几点，首先：研究内容同思维方法发生了质的变化，给学生添加很大难度。初中生学习函数概念以前，所学习的是数式的普通运算与简易方程，函数概念却把学生从常量数学带到变量数学的新环境，学生头脑中的知识结构根本没有变量数学的认识，若想获取相关知识，重新组建数学知识的认知结构，其困难程度可想而知。在思维方法上，变量数学的思维形式是运动的，而非学生此前认知的静止状态，思维构成从分散向连续转变、从运算向关系转变，达到了数量和图形的结合，在图、表、符号之间相互转换。在研究函数时，思维已经突破了原有的形式逻辑范围，进入到辩证逻辑中，这对学生思维能力的挑战是很大的。其次，函数的概念维度更多，这让概念形成变得困难重重，函数概念可以表达成C=（x1x2），其中的x1和x2分别表示变量1与变量2，两个变量间的关系存在运算意义，在形成概念的学习过程中，学生一方面要区分出两个变量，另一方面也要能准确检查出变量间的对应联系，而这是需要计算方能取得的，计算方法对于初中生来说，并不容易。最后，函数在表现形式上呈现出多样化特点，其可以运用列表、图像、解析等多种手段加以解决，每种手段均能独立提取出函数概念，函数概念多数都要同时照顾到不同的表达手段，并在它们之间加以协调转换，只是一时难以让学生适应的。

三、初中数学函数概念形成的教学方法分析

（一）注意第一个例子的研究分析。按照形成概念的心理特征，第一个例子必然成为后边例子的思维载体。将第一个例子研究透彻，非常有利于学生舍弃问题的非本质属性，而直接面对其本质属性。再者教师要注意语言上的引导与启发，让学生可以自觉进行变量间的本质联系分析，从而自主概括出函数概念本质属性。

（二）当学生对函数概念基本有了认识以后，要及时辅助以正反例变式的教学，以便让学生可以有概念内涵与外延上的明确边界，适时认清概念里面的总体概念关系，提升巩固概念的客观效果。这样才能够将新学到的概念知识收入原先已经形成的知识思维体系当中去。

总结：

现代数学体系里面的一个极重要概念就是函数，函数概念的形成标志着学习过程已经由常量数学朝变量数学迈进，它是初中教学时的一个难点。在教学时一定要与学生的生活经验相联系，选择有代表性和典型性的例子进行研究，让学生更清楚函数的概念及相关应用方法，从而切实提升函数概念学习的有效性。

参考文献：

[1]朱文芳.对数学教学中提倡"算法多样化"的几点认识[J].数学通报，2008（04）.

[2]文.神经成像在教学心理发展研究中的应用[J].自然科学进展，2007，17（5）

函数概念篇7

［关键词］ 函数；概念；生成；反思

本课在教材中的地位与作用

函数在数学课程中一直占据着非常重要的地位，尤其在初中阶段，它不仅有着基础性的重要功能与广泛的实际应用，而且对于学生的后继学习也有着举足轻重的作用，它是初中数学的核心内容，也是重要的基础知识和重要的数学思想. 大家是在前面学习代数式、方程等知识的基础上来学习函数的概念、平面直角坐标系知识、一次函数、反比例函数、二次函数等知识的，为高中函数的学习打下基础. 同时，在函数教材中还蕴涵了丰富的数学思想，如转化思想、模型思想、数形结合思想、分类思想等，感悟这些数学思想不仅是本专题学习的重要任务，而且对今后数学学习及学生生活都将发挥重要作用.

多少年来，学生谈“函”色变，教师教“函”叫苦，面对这样一个抽象的数学概念，如何教给学生，以求教学效益的最大化，是我们共同追求的目标. 因此，以“函数”概念引入课为参赛课题的各级赛课、展示课应运而生.

课堂实录及分析

2013年10月，在全市数学教师青年论坛上，一位数学教师执教苏科版八年级上册“函数”第一课时，这是一节数学概念的引入课，执教教师预先制作了精美的课件，上课前，让学生欣赏了一段视频，内容是自然界的万物变化，让学生感知自然，让数学走进生活.

导课环节，教师设置了以下问题情境：

1. 两张标签（购买相同单价、不同质量的鸡蛋标签）；

2. 模拟升国旗（标明了旗杆总长、升旗速度、旗杆剩下长度等信息）.

在这两个情境中，教师引导学生观察、分析两张标签的相同点、不同点，升旗过程中哪些量发生改变，哪些量不变，进而引导学生得出本课的第一组概念：变量和常量.

教师小结：在变化的过程中，常量和变量会有一些关系. 紧接着教师询问：我们是研究变量还是常量呢？学生回答：变量. 好！正合教师之意，于是进入下一个情境（情境3）进行探究（水位变化）.

课件呈现一个不规则容器（没有刻度），其中蓄水量在上升，教师提问：观察这个变化的过程，你发现变量有哪些？常量是什么？哪些变量之间有一定的关系？（表1）

教师提问：你发现水位和蓄水量之间有怎样的关系？如果在合理的范围内给定一个水位，会有对应的蓄水量吗？有几个蓄水量与之对应？（引导学生感受函数的定义）

分析了蓄水量与水位变化之间的关系后，教师总结：这种对应关系对于水利工作者的研究特别重要.

此时，教师没有立刻揭示函数的概念，而是进入问题情境4――搭小鱼. 在这个情境中，教师意在继续让学生感受变量、常量以及它们之间的变化关系. 从凭经验判断（观察：每次增加6根）到用数据来说明（可列式为6n+2，其中n为小鱼的条数），发现火柴棒的根数和小鱼的条数之间的关系，教师提问：假如在合理的范围内给出小鱼的条数，你能确定火柴棒的根数吗？唯一确定吗？（目标再次指向函数的定义）

此时，教师仍然没有揭示函数的定义，而是引导学生回忆旧知：

6n+2 代数式

6n+2=140（用140根火柴棒，搭了几条小鱼？） 方程

6n+2＜50（用50根火柴棒最多能搭多少条小鱼？）不等式

S=6n+2（火柴棒的根数为S） 此处设置悬念，目标指向函数的表达形式

教师此处对一个旧问题进行回顾，旨在让学生感受函数知识与方程、不等式等的联系和区别，教学意图是函数早已隐含在我们的学习中.

此时，教师仍然没有揭示函数定义的意思，又进入了最后一个情境，即情境5（水波纹）.

教师提出与前几个情境类似的问题：水滴滴下去，你发现哪些量在变化？不变的量有哪些？对于这个情境，教师让学生进行小组讨论、展示，学生展示的内容非常丰富：圆的大小、半径、周长、面积（变量）. 教师引导学生感受半径确定了，周长、面积也随之确定.

此刻，教学时机已经成熟，教师提出问题：同学们观察上述几个情境，变量与变量之间的关系有何共同之处？在经过了小组讨论过后，教师引导学生得出函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数，其中x称为自变量．

对于定义的揭示过程，教师希望由学生自己展示，但最终还是教师引导得出，听课的过程中我们感觉到，学生对定义中“唯一确定”还是不能深入地理解.

为了巩固定义，教师立即引导学生回到之前的情境中，结合定义分别指出变量、自变量、谁是谁的函数等知识点（这个环节前后呼应，顺理成章），并且揭示了S=6n+2或者S=8+6（n-1）都称为函数关系式（为下节课函数关系的表达形式做铺垫）.

紧接着，教师又安排了一系列紧扣函数定义的习题，对于其中的一题：“当矩形的面积一定时，矩形的长是宽的函数吗？”学生甲在回答时说道：对于长的每一个取值，宽都有唯一的数值与它对应，因此宽是长的函数.

学生乙立刻反驳：老师，他说反了，应该是对于宽的每一个取值，长都有唯一的数值与它对应，因此长是宽的函数.

此时，教师积极引导学生对这两个同学的回答进行分析，并指出有的时候y是x的函数， x也是y的函数. 点拨恰到好处，可惜的是，教师一带而过，就进入了下一题，估计还有很多学生没有完全明白这是什么意思.

小结：习题过后，本课的教学任务基本完成，接近尾声，教师把课件又重新切入到开头的视频（万物变化），并提出问题――回顾视频，用函数的眼光描述每一个变化之间的关系. （旨在引导学生用新的眼光观察身边的事物，函数无处不在）

至此，本课画了一个圆，从生活中来，回到生活中去，感悟数学的魅力和价值！

最后老师布置作业：举出身边函数的例子，并思考用怎样的方式表示变化的关系. （为下节课做铺垫，承上启下）

教学案例反思

通过研读2011版新课程标准，发现《标准》中强调了概念教学的形成过程应由学生感悟，自主生成，体现数学概念生成的合理性，强调数学活动，突出学生的主体地位，让学生在活动中感悟数学思想，积累数学活动经验.

在众多的函数概念课教学中，本课无疑是一节符合新课程标准比较成功的一节课，教师设计的每一个环节都体现了突出学生主体地位的意识，对于函数这样一个抽象的数学概念的形成，水到渠成地让学生感悟并生成. 同时，教师在整个教学过程中，调控全局，互动得当，及时提炼与总结，比较顺利地完成了教学任务.

然而，在教学过程中也有一些设计得不够合理的地方，如：

（1）所提到的水位变化过程，情境的创设不够直观，给学生形象感知函数的变化关系增加了难度.

（2）在生成“函数”概念之前，情境过多，新课标要求重视情境教学，使学生经历概念的形成过程，积累活动经验，但不能扎进情境中去，这样会显得没有重点，被情境所困. 如果在升国旗的情境中，就引导学生通过列表感悟升旗时间和旗杆剩下高度之间的关系，既能让学生感悟两者之间的对应关系，又能为下节课函数关系的表达形式之一（列表）埋下伏笔. 而水位变化的情境则可以换成气温变化图，变成学生熟知的情境，降低变量关系的理解难度，也隐含着用图象来表达函数关系的意识.

（3）概念生成的过程有些拖沓，在火柴棒搭小鱼的情境过后（函数关系式），就可以引导学生揭示函数的定义，而把水波纹的情境放入习题中，则可以加深对定义的理解，使得教学环节更加紧凑.

函数概念篇8

（一）函数知识是个复杂的体系

函数概念包括两个本质属性（变量和对应法则）及一些非本质属性（如集合、定义域、值域等），还有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。中学数学的函数就有对数函数、指数函数、三角函数、导函数和函数列（离散型函数）等多种类型。有了函数概念，方程、函数和不等式三者就得以联系和整合，函数知识已经构成了一个复杂的知识体系，成了中学数学的核心内容。因此，学生对函数概念的理解程度也将影响他们对函数有关知识的掌握程度。

（二）“变量”概念的复杂性和辩证性

函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。

另外，数学中的“变量”与日常生活经验是有差异的。函数定义在初中和高中分别采用“变量说”和“对应说”。“变量”、“对应”并没有给出比较明确的定义。在日常生活中“变量”是变化的，是不确定的。而数学中的变量包括常量。正是由于日常的变量概念对学生的干扰，使很多学生认为“Y=2中Y的值不随x的变化而变化，所以它不是函数”。函数概念中变量的意义更具一般性，既可以作为数，也可以作为点、有形之物，甚至为无形的东西。在教学实践中，教师往往对变量概念的理解困难估计不足，课堂上只是给出变量（自变量、因变量）这个词汇，至于学生头脑中的变量概念是怎样的，很少顾及。如果学生不能很好地理解变量概念，就会影响他们对函数概念的理解。有的学生能认识到函数是一种单值对应，但还弄不清是谁对谁的单值对应（函数是函数值对自变量的单值对应），或是在变化了的不熟悉的函数表征形式中难以区分自变量和函数值。

（三）函数的表征形式特别丰富

函数主要的七种表征类型： ①解析式： 这是中学教材中最常见的，例如二次函数f(x)=x2-2x-3；②图象式；③表格式；④集合箭图式(如左图)；⑤函数机器式(如右图)；⑥序偶式：例如，f={(1,2),( 2,4),(3,6),(4,8)} ；⑦通俗语言式：例如，甲是乙的两倍再加上3。

这七种类型各自又有很多的变式，要都能正确识别的确是困难的。有时要求学生在符号语言、图形语言和文字语言之间进行灵活地转换，使抽象思维和形象思维结合起来，这对学生而言，更是一种思维上的挑战。另外，函数概念学习之前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的，而函数要求在符号语言与图形语言间进行适当地转换。

中学阶段的数学教学，传统上只是关注函数解析式表征形式的教学，同时它们的图象都是直线或光滑的曲线，只能用列表法表示的函数例子屈指可数。学生从未接触过“不光滑”的曲线，这样势必影响学生对函数概念的建构，导致学生在心理上建立起不恰当的概念表象。学生很容易把按某种对应法则理解为一种规则或规律甚至是一个等式或代数表达式。Vinner指出，在学校教学的函数概念，经常只是用它的一种表征形式，要么是代数符号形式要么只是图形形式，前者会导致学生把函数当作公式。

（四）函数符号的抽象性

函数概念的符号化表示是学习的难点，y=f(x)表示了一种广义的又是特殊的对应关系，其中每一个字母往往既是广义的，又是特定的。例如，f表示任意一个函数，但又是一个确定的函数，但这种含义学生仅从字母是难以看出的。学生不能通过符号“f”来想象对应法则的具体内容，即使f所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的为符号“f”建立起具体内容的经验基础；也不能通过x或y来想象定义域，值域到底是什么。总之，要付出比//等符号更多的思维操作。“f”的抽象性和隐蔽性，大大增加了函数的学习难度。

另外，在f(x)的定义中，“对于任意给定的x，都有唯一确定的y”，其中同时强调“任意”和“给定，这对学生的

早期理解是有障碍的。

（五）学生的思维发展

函数概念篇9

【关键词】函数概念；函数定义；定义域；值域；对应法则

在中学数学中函数概念是整个数学的一个核心概念，学习函数对于学生的思维能力的发展具有重要意义，而中学生对于函数概念的理解和学习却感到非常困难。本文作者是一位高三学生，笔者根据函数概念的发展历史和自身理解来学习近代函数概念的三要素：定义域、值域和对应法则，并以近年来高考函数例题进行解答。

一、函数概念历史进程

从17世纪至20世纪上叶，函数概念经历了漫长的演进过程，在此过程中笔者对诸多数学家们给出的各种定义进行简述和总结。在函授概念传统定义中数学家提出最多的是变量对应角度的定义，代表人物德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet， 1805―1859）；除了变量对应角度的定义还有集合对应关系的定义，代表人物法国数学家坦纳里（J. Tannery， 1848―1910））；映射的定义，代表人物德国数学家戴德金（R. Dedekind， 1831―1916）；解析式的定义，代表人物瑞士数学家约翰・伯努利（John Bernoulli， 1667―1748）；运算的定义，代表人物17世纪苏格兰数学家格雷戈里（J. Gregory， 1638―1675）；变量的依赖关系的定义，代表人物法国数学家柯西（A. Cauchy， 1789―1857）；最后是曲线或图象定义，代表人物数学家欧拉、拉克洛瓦（S.F. Lacroix， 1765―1843）。从上述定义的代表数学家，笔者认为17世纪后函授概念的演进过程是运算―解析式―变量的依赖关系或对应关系―集合的对应关系或映射。

二、近代函数定义

传统函数定义是设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，与y值对应的值叫函数值。

例题一：正比例函数y=4x；解析：对于x的每一个实数y，都有唯一的实数与它对应y，x是的4倍；非空数集A、B是实数集R，对应关系f是乘4。

近代函数定义是设A，B，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）。其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。

例题二：反比例函数y=；解析：对于不等于0的每个实数，都有与其对应惟一的实数，y是x的倒数；非空集合A是不等于0的全体实数组成的集合{x∈R|x≠0}，非空集合B可以是实数集R（只要包含集合{y|y≠0}即可），对应关系f是求倒数。

由以上两例题笔者认为初等函数定义与近代函数定义其本质上是相同的，只叙述上的出发点是不相同的，传统函数定义是从运动变化的观点出发，而近代函数定义是从集合的观点出发。函数的实质都是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的对应。

三、近代函数定义的三个要素

笔者在初中的时候主要学习了函数的初等定义、一次函数、二次函数、反比例函数；到了高中还要学习函数的近代定义以及对数函数、指数函数等更多函数。因为不管是初中的一次函数还是高中的对数函数都是属于函数，并且具备共同特征，所以笔者认为函数概念的学习非常重要。

1.近代函数定义三要素的概念。学习近代函数定义主要掌握近代函数的三个要素：定义域（A）、值域（C）和对应法则（f）。定义域是自变量x的取值范围，是构成函数主要的组成部分。值域C是集合B的子集；集合B中包含了与任意x相对应的y值，还会包含其它数值，所以集合B包含集合C。函数的定义域A和对应法则f来确定函数的值域。

例题三：对应法则f就是集合A到集合B的函数吗？

解：不是，集合A、B以及对应法则f一起称为集合A到集合B的函数

2.近代函数定义三要素的三点说明：第一定义域不同，两个函数不同；如第二对应法则不同，两个函数不同；第三定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则。

例题四：f（x）=4x+2与g（t）=4t+2是同一函数吗？

解：是的，f（x）=4x+2与g（t）=4t+2定义域都是是4，值域和对应法则都是相同的，所以是同一函数。

注意：函数是两个数集之间的对应关系，任何字母来表示自变量、因变量以及对应关系都不影响两个函数是同一函数。

四、结论

对于所有学生来说理解和学习函数概念是中学数学的学习重点，同时也是学习难点。在初中学习函数概念一般采用“变量说”，而在高中学习函数概念一般采用“对应说”，笔者人物它的学习不仅是要掌握和理解函数概念的初等定义和近代定义，还要将实际生活与数学知识有机的结合起来，才能为今后打下良好的学习基础；才能灵活地解决其函数知识的多变问题，才能提高自身的数学素养和应用数学的能力。

【参考文献】

[1]任明俊，汪晓勤.中学生对函数概念的理解.历史相似性研究[J].数学教育学报，2007（11）

[2]谈雅琴.中学生对函数概念的理解[D].华东师范大学，2006

函数概念篇10

一、情景的创设要具有典型代表性

引入概念时，设计的情景，选取的例子应有典型性、代表性出函数概念，然后举例加以说明；另一种是从特殊到一般，先举一些学生熟悉的特殊例子，通过对这些例子的分析，抽象出其本质属性，然后归纳出定义，初中函数定义的教学应该用由特殊到一般的方法。

二、概念的形成要具有一定程序性

函数与之前学的列代数式、方程、不等式、平面直角坐标系、变量之间的关系等都有关系，因此，在上课前，可以出3～5题上述方面的内容进行小测。在本节课的教学中，归纳出函数概念形成过程时的情景引入及例题的教学，教师普遍都是采用（1）先由学生独立思考解答；（2）小组交流答案；（3）师生互动，交流答案，互动时每一个问题老师都强调是哪两个变量之间的关系；（4）小组交流，尝试归纳函数的概念；（5）师生协作，完善函数的概念。这充分调动了学生学习的积极性，让学生主动参加到新知识的建构过程中，符合本地的教学特色，是不错的设计。但从课堂实际效果看，学生从具体事例到形成函数概念表现得很困难，尽管老师反复强调每个问题中只涉及两个变量，但学生抽象不出定义来，最后老师只好舍去“ 麻烦”自导自演，自问自答把函数的概念归纳出来。为什么会出现这种“ 窘境”，我觉得还是老师“导”得不到位。有了上述的概括性材料后，老师不应该把精力放在问题的对应关系的观察及解析式的求解上。这是对学情把握不好所致，学生之前已经学了列代数式、代数式求值、列方程解应用题以及数轴、平面直角坐标系等知识，课前又进行了3～5题这方面的小测，因此引入的问题及练习题学生都不会感到困难，教师不必在这里花太多时间。学生感到困惑的是老师列举这些问题想向学生传递什么信息？怎么观察材料的异同点？怎样表达所需概括的概念的内容。由几个特殊例子归纳出函数的概念的过程是一个抽象思维的过程，教师帮助学生解决这个抽象思维过程的关键就是要促进学生对数学材料的内化，而促进学生内化的关键是依据学情帮助学生塔建解决问题的“脚手架”。

三、巩固练习时应注意知识的发展性

纳出函数的概念后，要对它进行巩固和深化，并检验学生是否真正理解了概念，对概念的理解是一个不断细化的过程，抽象的概念必须经过具体的应用才能得到深刻的理解，为此，必须让学生做一些有代表性的练习，如：（1）让学生联系实际列举现实生活中符合函数定义的例子，并指出其中的自变量和因变量。（2）完成后3个随堂练习题，并指出其中的自变量和因变量。（3）交换上面问题中两个变量的地位，？变量之间的对应关系还满足函数定义吗？解决了上面的问题后，本节课对函数的概念就有了一个彻底的、深刻的认识。

四、课堂小结要体现数学思想方法总结

课堂小结的方式方法很多，可以是教师概括、归纳、总结；可以是学生畅谈本节课的收获（包括学生互谈、小组互谈、学生向全班学生和老师谈等等）；可以是先学生谈再老师补充等等。本节课知识点不多，可以选择先让学生畅谈，再教师补充的方法。在畅谈这节课的收获时，学生甚至有些老师可能都会只停留在知识的层面上，诸如“一个概念、二个变量、三种表示”，“使我们认识到函数知识的运用非常广泛”之类，挖掘不出本节课所运用的数学思想方法，教师应该在此向学生传授本节课我们运用了归纳的数学思想方法抽象出函数的概念。知识的学习固然重要，但方法更重要，方法是知识，而且是更高级的知识。也许若干年后很多学生忘记了许多的数学知识，这并不重要，这并不等于他们白学，因为数学的思维方式将永远留存在他们的大脑中，他们已经不止一次地运用它解决生产生活中的问题。因此对数学思想方法的提炼比学生学习纯粹的数学知识重要得多，是树人的重要举。

五、课后作业的布置要具有层次性