函数教学论文十篇

函数教学论文篇1

如何能够通过一种教学方式使得学生在教学过程中参与度提高，对教学内容的兴趣也提高并且能够时常激发学生的好奇心和新鲜感以及他们的求知欲，同时又能达到多题重组以及一题多用的目的。而这种通过对数学中的定理和命题以不同层次、不同背景、不同角度以及不同情形来揭露问题本质，让学生看到不同知识点之间的内在联系的教学方式，我们称之为变式教学。下面是通过应用二次函数的顶点坐标求最值的例子来说明上面的理论：某水果批发商以每箱40元批发一批苹果，若以50元每箱的价格卖出去，一天平均可以卖出90箱，如果每箱的卖价提高1块钱，则平均每天就会少卖3箱。假设卖价每箱为x元，批发商每天的销售利润为y元则：

（1)销售利润y=__；

（2）销售单价是__元时，该批发商获利最大，此时最大利润是__。变式一:如果以“每箱苹果价格每减少1块钱，平均每天就会多卖出3箱”来代替“每箱苹果的价格每增加1块钱，平均一天就会少卖出3箱”，那么又会得出什么样的结果？变式二:如果用“每箱苹果价格每增加10块钱，每天就是少卖3箱苹果”来替换“每箱苹果每增加1块钱，每天就会少卖3箱”，这样会得出什么样的结果？通过这种针对同一题目做条件上的变化的教学方式，不仅使学生更好地理解和体会出数学建模思想，而且使学生对这一类型的问题的理解得到加深。

二、简约式教学法的运用

为了避免学生不知道为什么做题，只知道一味的去做题，陷入题海战的现象发生，教师可以根据人教版线性函数教学模块的安排来引导学生，参照“实例引入--概念推出--图像画法--性质归纳--综合应用”的顺序，以引导学生进行函数概念分析、性质的归纳和应用，以及画法等环节作为教学的重点，提高学生的做题效率，同时使学生更容易的接受和理解初中线性函数问题。例如，在讲述一次函数章节时，可以先通过实际现象进行问题的引出，如可以先讲述气温与海拔的关系进而引出一次函数，并通过多个生活常见实例进行一次函数的定义。得到y=kx+b（（k≠0）k,b为常数)的一次函数公式后，再逐步深入讲解。当b=0时，则得到y=kx（k≠0）称之为正比例函数，当b≠0时，通过具体的函数实例与图像进行进一步探讨。如y=2x与y=2x+3这样的一次函数，通过绘画图像并总结与相应的特点与性质，只有清楚了相关函数的特点，就能在以后的函数中建立相应的函数解题模型与方法。

三、函数图像解读法的应用

与抽象的图像数据相比，图像在表现数学知识方面显得更加的直观和清晰。因此，为了使学生更好的理解掌握函数知识，在数学教学过程中，教师应该更多的应用函数图像，一方面这种方式可以使变量的表达更加的直观，能够清晰明了的表达出变量之间的相互约束、相互限制的关系；另一方面，这种直观的函数图像能够使思维理解能力稍有不足的学生可以更牢固的记忆函数变量之间的关系，使学生更好地掌握函数知识。这种图像教学方式要求老师在课堂教学中能够时常的带领学生挑选代表性的函数，并且带领学生进行函数图像的绘制。绘图就会耽误一定的上课时间，但是这样做不仅能够让学生更好的理解函数，同时还能够提高学生的动手能力。初中大多数的函数老师总结出这样的结论，一般不会绘制函数图像的学生都很难把函数学好，关键原因是他们不理解函数变量之间的关系，没有正确理解函数的概念。所以，教师如何利用函数图象教学变得十分的重要，如何通过教学生绘制函数效果图来提高学生的学习质量和函数教学对初中函数教学来说显得尤为关键。

四、结语

函数教学论文篇2

关键词：函数；对应；映射；数形结合

1要把握函数的实质

17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。

2加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。超级秘书网

3将映射概念下放

就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。

函数教学论文篇3

关键词：分类讨论思想；一次函数；应用

当前，数学思想和数学思想方法多种多样。一个好的数学思想能轻松的解决生活中的实际问题，一种好的数学思想方法能便捷的使我们学习理解一个数学思想。本篇论文主要论述分类讨论思想和一次函数及分类讨论思想在一次函数中的应用。目前国内外论述分类讨论思想在一次函数中的应用的论文不胜枚举，大多都是从函数的概念、性质、图像、实际应用和解题需求这五个方面分类。首先，分类讨论思想是基本数学思想方法之一。它是一种解决生活中的实际问题的逻辑方法。合理地使用分类讨论思想，我们可以使繁琐的问题简单化，使解决问题的思路更有条理。分类讨论思想在教学中的应用实际就是“化整为零，各个击破”的教学策略。这也是为什么教材每个章节需要分各个小节。同时，分类讨论思想应用到数学教学中，有助于提高学生的逻辑性、条理性、概括性，对于培养学生严谨的科学态度和逻辑的数学思维有重要意义。使学生掌握分类讨论的思想方法有助于提高学生解题能力和分析问题的效绩。其次，一次函数是重要的几类函数之一，合理的利用好一次函数可以便捷的解决生产和生活中的诸多问题。近年来的考纲都有应用书本知识解决实际问题的考点，诸如成本最小化、经济效益最大化、方案最优化等等。可见掌握函数思想的重要性，因此学生应该学好一次函数。最后，学习一次函数常用到分类讨论的思想方法。分类讨论思想应用到一次函数中使教学思路更有条理，教学方案更清晰明了。

一、浅谈分类讨论思想

（一）分类讨论思想的起源

大家都知道数学思想方法的两大源头分别是中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》。随着古今学者的研究发展，数学思想方法已经出现了很多种。分类讨论思想方法就是众多的基本数学思想方法之一。

分类现象自古就存在。远古时期，人们收集到的食物会分类保存。能长时间保存的和不能长时间保存的、可以播种的和不能播种的植物，能圈养和不能圈养的动物。一个狩猎团体根据体质差异也有分工，行动敏捷的成员负责吸引猎物的注意力，身体壮实的负责对猎物造成伤害，臂力大的负责投掷标枪等等。现在分类现象随处可见，各种各样的职业共同推动社会发展，大小不一的零件使机器正常运行。正是因为分类思想，人们有条理的生活着，避免了很多的差错与混乱现象。分类思想是古老文明的基本思想。

司马迁编撰的《史记》 [1]卷六十五《孙子吴起列传第五》曾记载“田忌赛马”的故事，齐王与田忌赛马，双方按马的速度将马分为三等，齐王同等次的马的速度均高于田忌。田忌将马出场次序换位以下等马对齐王的上等马，以上等马对齐王的中等马，以中等马对齐王的下等马赢得比赛。田忌这种根据对方的马出场次序而相应的对自己的马出场次序作出调整的思想方法就是分类讨论思想。正是因为这一思想，田忌巧妙地赢得了比赛的胜利。为古代人的智慧史添上了绚丽的一笔。通过这个事例我们知道分类讨论思想的重要性，分类讨论思想其实与我们的生活息息相关。

现在已经有很多的学者专家都有总结分类思想的含义，在《数学思想方法教学研究导论》的第253页指出：“分类是基本的逻辑方法之一，数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”

随着数学的发展，分类讨论思想方法逐渐演化成数学思想方法的主要思想方法之一。同时，也正使得数学这门学科使得分类思想方法更加地深化与细化。如今，分类讨论思想方法已经是中高考试中的常考点。

（二）分类讨论思想的概念界定

我们先了解分类讨论思想的汉语释义。“分类”一词在辞海中的释义为根据事物的特点分别归类。“讨论”一词在辞海中的释义为就某一问题进行商量或辩论。“思想”一词在辞海中指思维活动的结果，属于理性认识。从分类讨论思想的汉语释义可以知道分类讨论思想先分别归类再逐一商量讨论。

分类思想和分类讨论有什么区别与联系呢？按从属关系划分，分类讨论是一个种概念，分类思想是一个属概念。分类思想并不专属于数学领域，它是人们早期认识世界面貌、改善生活条件的一种思维形态，即把复杂的事物依据其种类、性质或品级进行划分或归类。分类讨论是分类思想实际应用的一种具体形式，它要求把事物进行划分归类，把分类的若干个种类进行逐一的研究讨论，最后把分类的若干讨论结果归纳总结。

在数学领域各学者对于分类讨论思想方法的概念界定几乎大同小异，对于分类讨论思想方法的概念几乎不存在争议。顾泠沅教授所著的《数学思想方法》有提到分类讨论这一思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现化整为零、集零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，有关分类讨论思想的数学问题是比较繁琐复杂的，通常安排在解答题板块，所占分值比较高。所以在高考试题中占有重要的位置。

（三）分类讨论思想的分类原则与方法

分类讨论思想的分类原则：（1）所要分类的对象必须是确定的（2）分类出的各级内容必须是完整的，不能犯遗漏某一级这种错误（3）应该按同一标准分类（4）各个集域应当是互斥的，不出现重复的集域（5）分类必须逐级进行，不能越级分类。分类讨论思想的分类方法：明确分类讨论的对象，确定对象的所有内容，明_分类的标准，将对象正确进行分类；逐级进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合结论。

三、分类讨论思想在一次函数中的应用

分类讨论思想在一次函数中的应用主要体现在一次函数的概念、性质、图像与实际应用这几个方面。

（一）分类讨论思想在一次函数概念方面的应用

如何来辨别一个函数关系是不是一次函数？前面已经给出了一次函数的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）.当y=kx+b中的k是变量或者x的指数是变量时，该变量取不同的值会有不同的结果，因此就需要是用分类讨论的思想方法逐一讨论。

那么我们来看这道例题：

例4 已知函数y=（m-5）x2m-1+3x-1，当m为何值时，该函数是一次函数？

分析：根据函数概念，本题应该分为三种情况讨论：当m-5=0时，函数是一次函数；当2m-1=1时，函数是一次函数；当2m-1=0时，函数是一次函数。综上所述，m=5或1或 。

（二）分类讨论思想在一次函数性质方面的应用

我们已经知道一次函数具有单调增减性，一次函数的增减性在生活中经常用到。一次函数要么递增要么递减，因此又是也需要用到分类讨论思想。

例5 一次函数y=kx+b，当2≤ x ≤ 4时，10≤ y ≤ 14。求的值。

分析：此题中一次函数的单调性尚不明确，因此需要分为两种情况讨论：

当函数单调递增时，即当x=5时，y=10，当x=4时，y=14，因此k=2， b=6

故=3，当函数是单调递减时，即当x=2时，y=14，当x=4时，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。

（三）分类讨论在一次函数图像位置方面的应用

如果一次函数y=kx+b中的k或b不明确那么一次函数图像在平面直角坐标系中的位置也将不明确，因此很多时候需要用到分类讨论思想来解决相关问题。

例6 已知正比例函数y=x和一次函数y=kx+2的函数图像与x轴围成了一个面积为1的三角形，求一次函数的解析式。

分析：此题中一次函数的斜率并不明确，因此函数图像的位置需要分为两类。因为已经知道两个函数图像与x轴围成的三角形面积是1，且一次函数经过定点（0，2）根据斜率将一次函数分为递增和递减两类：当一次函数单调递增时，一次函数经过x轴上的点A（-1，0），一次函数解析式为y=2x+2；当一次函数单调递减时，一次函数经过x轴上的点E（2，0），一次函数的解析式为y=-x+2。所以总结两类讨论，一次函数的解析式为y=2x+2或y=1x+2。作图如图3.1和图3.2。

（四）分类讨论在一次函数实际问题方面的应用

一次函数应用到实际问题中已经是常考点，这使数学更贴近生活，培养学生灵活运用知识的能力。而在一些典型题型中常需要用到分类讨论思想。

例7 小明准备换电话卡，现在他已经了解了两种电话卡的套餐。A卡套餐为每月通话不超过100分钟，则按每分钟0.2元收费，若每月通话大于100分钟则超出时长按每分钟0.16元收费；B卡套餐为每月通话不超过200分钟按每分钟0.2元收费，若每月通话超过200分钟超出时长则按每分钟0.12元收费。如果小明每月通话 分钟，请问他该如何选择套餐最划算？

分析：此题尚不明确小明每月通话时长，因此需要分三种情况讨论：

当0≤ x ≤ 100时，显然两种卡消费一样。

当100≤ x ≤ 200时，A卡有优惠，B卡无优惠，因此选择A卡。

当x>200时，设A、B两卡消费分别为y1、y2。A卡消费为y1=0.16x+20，B卡消费为y2=0.12x+40，当y1=y2时，x=500因此又需要分三种情况讨论：当x=500时，A、B两卡消费一样，当200500时，y1>y2选B卡更划算。

分类讨论思想这是数学基本思想方法之一。学生熟练掌握了这一思想方法，将更有逻辑有条理的分析处理问题。一次函数是最基本的函数，它对于解决实际生活生产需要有重要意义。教师在教学一次函数时应当科学的选取适当的教W方法，务必是学生理解掌握一次函数，并将其迁移到实际问题中去。

参考文献：

[1]司马迁，史记，北京联合出版社，2016.

[2]王鸿钧，孙宏安，数学思想方法引论，人民教育出版社，1992.

[2]义务教育课程标准教师学习指导，2011.

[3]数学八年级下册，人民教育出版社，2013.

[4]顾泠沅，数学思想方法，中央广播电视大学出版社，2004.

[5]潘兴伟，初中数学教与学，分类思想在一次函数中的应用，2015.

[6]姬梁飞，科教文汇，论分类讨论思想方法，2017.

函数教学论文篇4

关键词:信息化教学;中学数学;函数

一、信息化教学的概述

信息化教学不仅是教师利用现代教育媒体进行的教学活动，也是以信息技术为基础在师生间举行的教学活动。信息化教学最明显的特点是有信息技术的支撑，但更深入，它是在当代教学理念的引导下，利用新兴教学方式进行教学［1］。在信息化教学中，形式多变的教学环境，大量的教学资源都是教师可以利用进行辅助教学。教师在现代教学理念的引导下组织教学重难点，开展多种多样的教学活动［2］。学生则在信息化环境中利用丰富的资源与工具展开协作学习，以往的接受式的学习方式将被改变，在教师的引导下，学生会对知识进行主动有意义建构，进一步促进个人的全面发展。信息化教学设计不是完全摈弃了传统教学模式，而是在此基础上学习了建构主义理论、多元智能理论，这样一来信息化教学设计相对于传统教学更适应社会的发展，表现出了许多与传统教学设计不一样的特点［3］。在相对自由的教学模式和教学环境下，考虑完整的教学过程，以改变传统教学设计相对局限、固定思维的特性，在轻松自由的学习环境下，让学生根据自己的学习需要，采用大量的信息资源自主学习，改变过去被动、封闭、灌输式的教学方式［4］。本文结合自身的教学实践，通过对初中数学函数概念变量、常量、函数、定义域、函数的解析式、函数的图像、一次函数和二次函数的理解，从变量开始的，通过对常量和变量的延伸引出函数的。利用信息化技术构建实验情境，利用现有知识引出一次函数、二次函数的特征，从而使学生理解函数概念。

二、传统教学与信息化教学之对比

在信息化教学中，教师要根据教学内容，设计一个或几个具体的有代表性的问题或任务进行教学，让学生能代入教师所设的问题或任务中，帮助学生对所学知识进行积极思考，使他们完成任务或解决问题的能力得到锻炼。从表1中可以看出，在传统教学中，主要的教学资源来自教师，学生对信息的获取收到教师的控制，而在信息化教学中，教师不再把作为自己资源库，而是帮助学生获取、分析大量的信息来使学生能自己解决问题。在学习过程中，学生就承担起主动学习的任务，通过自主的探索，或与教师同伴的沟通完成主动的认知建构。

三、信息化教学在中学数学课程中的应用案例

(一)信息化教学在初中数学函数概念教学中的应用

初中学生年龄在13－16岁之间，处于形式运算阶段，已经具有较强的抽象思维，能够运用逻辑来考虑现实的和可能的情境。初中数学函数概念包括变量、常量、函数、定义域、函数的解析式、函数的图像、一次函数和二次函数。初中函数部分的学习是从变量开始的，通过对常量和变量的延伸引出函数的。在这个过程中，可以利用信息化技术构建实验情境，利用现有知识引出一次函数、二次函数的特征，从而使学生理解函数概念。

(二)信息化教学在初中数学函数应用的研究

初中生对信息技术有着浓厚的学习兴趣，已具备一定的发散思维和较强的交流沟通能力，为开展协作性学习提供了必要条件。学生思维比较活跃，具有强烈的好奇心，容易接受新知识和观点。初中数学的教学目标中明确提出要求学生理解函数的概念，培养学生对各类函数的实际应用能力。而鉴于函数的抽象性，单纯依靠课题上的传统教学肯定是行不通的，所以，在教学过程中，利用信息化教学在具体的初中教学中创设教学环境，通过学生自己想象，让更多的学生建立自信，培养学生学习初中数学函数的兴趣，引导学生利用现有的函数知识来运用在实际的生活中。

四、结论

本文通过信息化教学设计在中学数学中函数的应用实例探究，结合自身教学经历，通过对初中数学函数概念变量、常量、函数、定义域、函数的解析式、函数的图像、一次函数和二次函数的理解，从变量开始的，通过对常量和变量的延伸引出函数的，从而培养了学生的理论实践能力，并促进了教师教学资源整合的层次与水平的提升，为初中数学教师在信息化函数教学中提供借鉴意义。

参考文献:

［1］李曼．以学生为中心的信息化教学模式架构研究［J］．中国大学教学，2012(8)，32－34．

［2］吴华，丛洋，孙丽梅．初中数学翻转课堂教学研究［J］．中国教育技术装备，2014(18):136．

［3］刘群．信息化探究式教学模式在中学数学实验中的应用［J］．软件导刊，2008(9):26－27．

函数教学论文篇5

【关键词】初中数学；教学方法；二次函数

数学是一门非常重要和基础的学科，而初中数学更是整个数学学习中的基础阶段，与其他学科有着紧密的联系，尤其是后期学习的物理、化学、生物等理科学科.在初中数学的教学大纲中，二次函数是教学的重点和难点，同时也是考试的常考题型，许多初中数学中的二次函数教学都存在一些困难，不仅给教师的教学过程增添了许多困难，同时教学效果也无法达到令人满意的要求.本文结合对当前初中数学中二次函数概念和用法的理解，对初中二次函数的教学方法和思路进行了分析和研究.

一、对二次函数概念的理解

概念的理解是学习任何知识点的基础，对二次函数也一样，如果要取得良好的教学效果，需要学生对二次函数的概念具有深层次的理解.在二次函数的教学过程中，教师首先要让学生对概念学习的重要性有着深刻的认识，其次，通过对二次函数概念的学习来完成对二次函数的判断.教师在进行二次函数概念的讲解过程中，可以先进行二次函数的展示，列举二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c均为常数），形如上式的方程式均为二次函数，首先让学生们对二次函数具有一定的认识，实现二次函数与方程式之间的转换；再次，通过各种的已知条件转变向学生介绍二次函数的一些基本性质，例如，在介绍二次函数图像时，可以通过实际例子画图来进行教学，这里要注意的是，一般二次函数的图像成抛物线状，但并不是所有的抛物线全是二次函数，开口向上或向下的抛物线才是二次函数，另外，可以让学生们自己进行讨论分析，当二次函数的三个常数分别满足什么条件时，函数图像是开口向上的；满足什么条件时，二次函数图像开口是向下的；满足什么条件时，二次函数会与x轴有交点，是一个点还是两个点；又满足什么条件时，二次函数与x轴没有交点，通过学生们的自由讨论引出二次函数根的性质.教师在进行二次函数讲解的过程中，要让学生明确：如果赋予x任意的值，那么y就会产生不同的值，这样的情况就说明y是x的二次函数，另外，教师还应该让学生明白二次函数的公式并不是简单的等式计算问题，而是用一个未知数x来表示另一个未知数y的变化情况，不能简单地认为是等式计算，要将学生从解方程式的思维转换到函数的理解上.

二、二次函数的教学方法

（一）培养兴趣

众所周知，数学是一门系统的、抽象的、需要较强逻辑思维的学科，它的这些特点也要求了学习该学科的学生需要有较强的逻辑思维.但是，数学又是我们初中学习中三门主要课程之一，不可否认，数学是其中最重要的学科，是每名学生的必学课程，同时也是初中考试的必考科目.教师可以通过培养学生对二次函数的学习兴趣，来提高初中数学二次函数的教学效果，通过学生对学次函数课程的高积极性，使其在课堂教学时积极地配合教师的教学，集中精力跟随教师的上课进度，积极思考教师上课时提出的问题.在初中数学二次函数的教学过程中，经常会出现教师在讲台上侃侃而谈，下面的学生却昏昏欲睡，像二次函数这样涉及大量计算和分析的科目，对于学生的接受能力来说是较难的，因此，许多学校在对二次函数进行教学讲解时出现了严重的两极化现象，有些成绩好、理解能力好的学生，上课认真听讲，认为二次函数的学习是极具挑战性的，但是对于有些本身成绩差、接受能力较弱的学生来说，二次函数是他们根本听不懂的内容，根本没有学习的必要，反正他们也听不懂.

然而，二次函数的教学绝不是要学生简单地理解它的概念和知识内容，而是要让学生学会使用它去解决问题.造成学生对二次函数的学习不积极的原因主要有以下两点：第一，是因为学生自身对其不感兴趣，学习能力、逻辑思维能力不强，找不到适合自己的学习方法，因此，上课听讲不理想；第二，二次函数的教学本身是一个枯燥、沉闷的教学过程，教师采用何种课堂教学方式是能否取得良好教学效果的关键.

（二）二次函数形象化

二次函数的学习过程是一个非常抽象的教学过程，正因其抽象性和逻辑性，使得学生在二次函数的学习上很难接受和掌握，为了学生能够很好地学习和掌握二次函数，二次函数教学形象化是一个很重要的教学方式.数学教师在进行二次函数教学过程中可以充分利用二次函数的图像讲解其基本性质，将抽象化的理论知识用实际图像来表述，便于学生的理解和想象.同时，在对二次函数进行教学时，我们还要合理地利用图像教学的优势，将其具体化，每当遇到二次函数求解时，首先根据函数方程式画一个简易的草图，培养学生画图的好习惯，通过自己所画的二次图像真正地了解二次函数，并利用其解决问题.

（三）深入了解概念

二次函数在中学三年级时开始进入学生的视野，教学目的是为了让学生懂得利用二次函数解决生活和学习中所遇到的实际问题.教师在二次函数的讲解过程中，可以列举很多实际生活中的例子，贴近学生的生活问题，让学生了解到原来二次函数在实际生活中的作用是如此之大.例如，某一杂志社要出版一本杂志，每本杂志的单价为25元，预计出版5万本.如果现在将每本杂志的单价提升百分之五，那么出版量就会减少1000本，那么杂志社要把单价设定为多少能获得较大的收益？通过这样的例子帮助学生加深对二次函数的理解.

【参考文献】

函数教学论文篇6

【关键词】初中数学教学 函数 信息化

将现代化的信息技术融入到初中的数学教学中，就是要实现把现代化的信息技术作为教学的手段和工具，把数学教学的内容作为载体融合到信息化的工具当中，改变传统的教学内容的呈现形式，让老师和学生都从中受益，提高教学效果。

一、初中数学函数教学的特点和教学的目标

函数作为数学知识体系中的重要的组成部分，初中函数教学是学生接触函数的第一步，是为高中和大学的函数学习奠定基础。通过图像来简单的分析函数的性质是初中数学函数教学的目标。学生通过对正反比例函数、一次和二次函数的图像和性质之间的变量关系的学习，对变量概念的掌握是整个函数教学和学习的重点和难点。函数教学具有以下的几个特点：首先是通过图像法、表格法和表达式法来学习函数，进而才能理解函数的定义。其次，在了解了函数的概念后，再学习函数的性质和图像，在图像和性质的指导下去运用函数，解决数学和生活中的一些实际问题。

二、信息化技术与初中数学函数教学融合的理论基础

1.建构主义学习理论。建构主义学习理论主张，知识不是被动的接收而是学生主动意义建构的过程。学习在学习过程中是自己对人类已有的数学知识建构起自己的理解，是主动亲自参与的充满丰富、生动概念和思想的组织过程。即学生是知识的主动构建者，教师是知识的传授者，信息化是学生知识构件的工具。

2.信息化教学理论。主要包括：以学生为中心，注重学习能力的培养；教师只是引导者；以任务驱动和解决问题为主线；强调协作学习；强调学习的过程评价。

3.中学数学教学理论。现代数学教学强调问题的解决，在解决问题中锻炼学生的思维，提高对数学知识的应用能力。信息化技术可以作为学生解决问题的工具。

三、信息化下初中数学函数教学方法的分析

1.信息化技术下初中数学函数概念教学方法

初中数学函数教学中，概念的教学是函数教学的基础，在传统的教学方法中，概念只能通过死记硬背记忆，要理解透彻甚至要到所有的性质和应用练习进行完才能完成。如初三代数中函数的概念，“对于x的每一个值，y都有一个唯一的值与之相对应”的概念有一个直观的印象。利用信息化技术，首先显示y=x+1的函数式，再播放水库的蓄水画面，引导学生将水位设置为y，将时间设置为x，这样就形成y与x之间的关系，并可以通过观看画面使学生对概念有了直接的认识。

2.信息化技术下初中数学函数的图像以及性质的教学方法

初中数学函数图像及其性质包括一次函数、反比例函数和二次函数这几种函数的图像和性质。函数性质的研究，是通过对函数图像的研究来实现的，在教学中需要使用几何画板来绘制大量的图形。几何画板软件的使用，使得函数图像在变量过程的轨迹的表达具有可行性，学生可以从多个维度来感受和体验函数的产生和变化，调动了学生的学习热情和增加了函数图像的直观性。学生可以亲自动手制作函数图像，以及在x的变化对y带来的变化，加深对函数性质的理解。几何画板软件的使用，让学生有了动手“做数学”的机会，学生主动参与讨论，他们不再是知识的被动接受者，而是知识的探索者和问题的研究者。学生的主体身份得以突出，自主性学习能力增强，培养了学生的独立自主的思考，是传统教学所无法比拟的。

3.信息技术下函数应用的教学方法

抽象的函数概念必须经过在解决实际问题中的应用来实现深刻的理解和应用。例如在学习一次函数和二次函数的时候可以与一次、二次方程的求解和几何的知识联系起来，在整个数学体系中，函数是重要的建模工具，是用来解决实际问题的有效方法。利用信息化技术可以很好的创设接近于现实的问题情境，提供丰富的学习资源和认知工具，让学生运用函数的知识去解答，在函数的实际运用中实现对函数概念、变量、函数性质等知识的透彻理解。

4.借助计算机的丰富的资源，培养学生的创新精神和发散思维

信息化技术带来了丰富的教学资源，给教学的开展提供了各种多所需的材料。如在讲函数中对称轴和轴对称图形时，可以分为三个阶段进行讲解：首先是老师利用投影仪将事先收集的现实生活中的对称图像的图片，学生们在多种多样的现实图片中体验对称的美。第二个阶段是实践阶段，让学生利用白纸制作出一件轴对称图形。第三阶段是利用信息化给学生提供更多的灵活多样的练习题供学生练习使用。

四、信息技术与初中数学函数教学整合的原则

在初中数学函数教学中利用信息化技术，主要包括设置问题情境、提供学习资源和提高认知工具三个方面。在实际的教学中，老师要主要了解信息化在函数教学中的运用原则，以免产生错误。原则一，强调学生主体地位和老师的引导作用。要以学生为主体进行自主性学习能力的培养，由老师利用信息化技术提供引导和帮助。很多老师觉得信息化的应用减少了自己的讲解，对教学的过程失去的把握，而过多的干涉了学生的主体性。原则二，以任务驱动和问题的解决作为初中函数教学的主线，强调协作学习。利用信息化的技术给学生创设问题的生活化情境，引导学生利用函数知识解决现实生活中的问题。

总结

信息化技术在初中数学函数教学中的应用，改变了过去只依靠老师讲解和画图来教学的方式，给函数教学提供了丰富的工具和现实情境，使学生更深刻的理解函数的定义和性质，在实际问题的解决中学会函数知识的运用。

【参考文献】

[1] 包春晖. 信息技术与初中函数教学整合的策略研究[J]. 科技信息（学术研究），2007（21）.

[2] 张丽娟、荣宝珠. 论信息技术与中学数学课程整合之教与学的变革[J]. 科技信息，2010（18）.

函数教学论文篇7

关键词：MATLAB；复变函数；可视化

复变函数理论是本科阶段的重要知识点。与实变函数相比，复变函数由两部分组成，即实部和虚部两个二元函数，因此需要在四维空间中显示复变函数的图形。与二元实变函数相比，复变函数相对不容易理解，而且，一些复变函数有着与实变函数截然不同的特征。如正弦和余弦函数的模可以大于1，并且是无界函数；对数函数和根式函数为多值函数等[1-3]。利用数学软件MATLAB功能强大的绘图功能，将复变函数可视化，利用图像展现复变函数和实变函数之间的差异，使抽象问题具体化。对于MATLAB软件，编写复变函数可视化的语言规则和命令可以从很多教材和论文中获得[4]，这里不作介绍，直接讨论图形化结果。本文将分别讨论几种常见的初等复变函数，在笛卡儿坐标空间中分别画出复变函数、复变函数的实部和虚部的图形，阐明复变函数图形的特征。

1 MATLAB软件将复变函数图形化的方法

为了借助MATLAB软件理解复变函数不同于实变函数的某些特征，有必要先弄清MATLAB软件将复变函数图形化的方法。用x―y平面表示自变量的平面，并将x―y直

2 几种初等复变函数图形

2.1 单值复变函数―正弦函数

2.2 多值复变函数―对数函数和根式函数

复数范围内的对数函数Log（z）和根式函数与实数范围的差别主要有两点：①负数的对数和开方是有意义的。若y=0，则z=x，当x为负数时，从图3a和图4a中我们可以看出，此时z的对数和平方根均存在。②对数函数和根式函数均为多值函数，多值的原因在于辐角的多值性。在图3b和c中，对数函数的实部仍为单值函数，但是，其虚部对应于复平面上某一点存在无穷多个值（图中只显示部分值），相邻值之间相差2π。既然其虚部是多值函数，所以从该图形可以判断对数函数是多值函数。对数函数的代数式为：

3 结束语

笔者介绍了正弦函数、对数函数和根式函数等几个初等复变函数，借助MATLAB软件分别画出了初等复变函数自身及其实部和虚部的图形。借助MATLAB软件，不但可以让学生从直观上更好地理解初等复变函数与实变函数的不同之处，而且可以增加课堂教学的生动性，对复变函数论的教学具有一定的意义。

参考文献

[1] 梁昆淼.数学物理方法[M].第四版.北京：高等教育出版社，2010.

[2] 吴崇试.数学物理方法[M].第二版.北京：北京大学出版社，2003.

函数教学论文篇8

关键词：特殊无理函数,积分公式,应用

无理函数积分类型很多，但求解方法有限。。本文将通过双曲函数代换法 (1)(2) 推导出一组特殊无理函数积分公式，并用其导出更多特殊无理函数积分公式，且用其进行积分计算。

一、二类特殊无理函数积分公式的简捷推导

1， 型的公式的推导

同理可推得：

2， 型的公式的推导

同理可推得：

二、所得特殊无理函数积分在推导无理函积分公式中的应用

1．推导 积分公式

同理可推得：

2．推导 积分公式

同理可推得：

此法可推广到

3， 型的公式的推导

同理可推得：

3， 型的公式的推导

同理可推得：

利用以上所得特殊无理函数积分公式还可推导出更多的无理函数积分公式，本文在此不作一一陈述了。。。

三、所得特殊无理函数积分在积分计算中的应用

由以上分析可管中窥豹，此特殊无理函数积分公式在无理函数积分公式推导、计算中有着广泛的用途。

参考文献

1林其安 一类无理函数的积分.三明师专学报1999（1）17-19

2殷谷昌.一类无理函数的积分的求解方法 咸宁学院学报第23卷3期2003年6月

3华东师范大学数学系.数学分析[M].第三版北京：高等教育出版社，2001年

4同济大学.高等数学. [M].第四版北京：高等教育出版社.2003年

函数教学论文篇9

关键词：函数；高中数学；求解思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）02-0203-02

高中数学容量很大，本身课程安排又很紧，如何在有限的时间内快速、准确的求解数学题目，给其它科目腾出更多的时间，是一个值得认真思考的问题。函数存在于高中数学的整个过程，也是高考必考的一个热点，可以用来解决很多实际问题，同时函数求解思想对我们高中生的思维能达到很好的训练。高中数学当中通过构造函数求解的数学问题大概有以下几类，比较数和式子的大小，求极值问题，不等式的证明，方程是求解和讨论参数的取值范围等等。当下，我们对数学认识不够深刻，对用数学思想解决实际问题这种思维模式比较陌生，不太容易和当下的实际生活接轨，适当的培养函数求解思想能增强我们学习的热情，同时可以培养学生的数学兴趣。

1 函数求解思想的介绍

函数求解思想是指在求解某些实际问题时通过构造成数学函数，然后以求解函数思想来解决所要求解的问题。通过构造函数，应用函数的特性求解非函数问题，会转换思考问题的思路，简化题目的难度，值得我们学习和运用。函数求解思想的解题策略实际上是将原本好像是静态的问题放到动态的过程中去考虑和观察，将片面的问题投放到全面的层次上去思考解决。这种求解思想很具有创新性。构造函数在降低解决问题难度的同时还可以塑造我们的数学思维，增强我们数学思维的灵活性，对我们的创新能力有一定的促进作用。

2 函数求解思想在高中数学解题方法中的的应用举例

函数求解思想贯穿于高中数学的各个层面，很多实际问题和几何问题都可以通过构造函数来求解，函数本身的特性和特定的函数以及题目的约束条件会大大的提高解题速度和准确性。本文就以下几个例题对函数求解思想加以阐述和说明。求解例题如下：试着比较0.80.5和0.90.4大小。

求解：这是一个不等式的比较问题，用常规的方法很难求解，若运用函数思想，将其构造成幂函数，，再通过函数的单调性，则可以得出，接才来构造幂函数，同样根据函数的单调性可知，由此可以得出。由该例题可以看出，函数求解思想可以化不可能为可能，原本无法着手的题目通过构造函数可以简单、清晰的求解。转换求解问题的思路，值得我们学习。

再看下一个不等式题目，令e

求解：该题目同上，也不好求解，运用函数思想，构造对数函数，，则导数，令=0，则得出x=e。再通过函数的单调性分析如下：

（1）当0

（2）当e0，在（e，+∞]上是单调递减的。

由于e

再来看一道通过构造函数来求参数的取值范围的题目，如果不等式对满足的所有x都成立，那么求x的取值范围。

求解：该题目若不通过构造函数来求解，则解题过程相当复杂，还的分类讨论。

构造函数，则题目可以转化为使得求解不等式组可得。由构造函数使得题目变得简单易解，这在考场上很有优势，可以节约大量的时间，减少计算量，使我们保持清晰的思维过程。

3 利用函数求解思想解决数学问题

函数求解思想需要大胆的想象，联想找到数学题目和函数的关联，类比，这和敏锐的数学嗅觉是分不开的，这就需要我们平时多思考，多做题目，多积累。深刻理解每一类函数的性质和特点，每一个函数的几何意义，实际意义，以及函数相关的数学定理，推论，只有深刻的洞悉这些函数内在的意义，在解题过程中才会有灵光一现的瞬间，我们在做题中应当刻意的去培养这种数学思维。尤其是在不等式的证明，求最值和比较大小，这时我们应该仔细观察题目中数学式子的模型，做一定的联想和匹配，再应用函数的特性尤其是单调性求解，使得所求解的问题简单化，取得化腐朽为神奇的效果，这也是当下课改以后高考的一个趋势。此外若涉及到求某个参数的取值范围，这种题目十有八九就是要通过函数来解决，因为通过求导，判断函数的单调性，求出函数的零点和极值，这本身也是一个很综合复杂的题目，考察的知识点也比较全面，符合当下课改的要求，更有助于培养我们解决问题的综合能力，在学习和解题过程中需要多加注意和总结。抛物线和一元二次方程的关系，未知数系数所代表的实际意义，以及有解和无解的判断，判别式的合理运用，可以快速的解决一部分选择题，大大减少题目的计算量。此外，不等式的证明类题目，大多数都是通过构造函数做差，证明该函数恒大于零或者恒小于零，这个题目的转化过程值得我们注意和思考。最后，还有一些实际问题也可以通过构造函数来解决，比如二次函数和车灯的激光反射问题，只是在考虑这类问题时，应该严格注意题目中自变量和因变量的取值范围，实际问题往往有实际取值的限制。只要我们善于思考，学习，尝试和总结，函数求解思想一定可以在解题中给我们很大的启发性。

4 结语

函数求解思想是高中数学解题别实用又很常用的一种方法，通过函数求解思想的应用可以更好的帮我们熟悉函数的性质和意义，进一步促进函数的学习，巩固先前的学习效果，挖掘单纯的函数学习背后的意义，其次和实际问题的接轨，可以削减单纯数学学习的枯燥，高效的解题方法除了提高我们学习热情和培养较好的数学思维外，还给其它科目腾出更多的学习空间，这样更有利于我们全面的学习，培养其它的兴趣爱好，全面发展，在高考中占据更有利的位置，函数求解思想触类旁通在物理中也可以借鉴，值得我们思考。将静态的问题通过动态的思想去解决，讲局部的问题通过全面的思想去解决，运用函数的性质和特性，尤其是单调性和O值，最后很好的解决数学问题这本身是一种具有创新性的思维模式，很符合当前的教育愿景，值得学习和思考。

参考文献：

[1]吴中林.注重教学实际突出思想方法――《构造函数求解不等式问题》的教学点评[J].教育科学论坛，2016，04：17-19.

[2]杨增权.高中数学函数教学数学思想的实践渗透分析[J].教育现代化，2016，25：296-298.

[3]朱永江.基于高中数学的恒成立问题分析[J].开封教育学院学报，2015，03：230-231.

[4]李刚.函数与方程：辩证与统一的数学艺术[J].中国校外教育，2015，26：116.

[5]张静.论高中数学“函数思想”的教学及意义[J].教育教学论坛，2010，34：131.

[6]刘静.函数的学习困难与课程设计[J].课程.教材.教法，2006，04：45-48.

[7]章建跃.普通高中数学课程标准教材的研究与编写[J].课程.教材.教法，2005，01：45-50.

函数教学论文篇10

关键词：函数零点；数学思想；中学数学；大学数学

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0392-02

1.引言

德国数学家F.克莱因认为：教师应具备较高的数学观点，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。函数零点问题涉及化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，且很多学生一直都有"恐函症"，一见"任意""存在"等字眼就发懵，因此，尽管这个命题只有寥寥数语但也带给学生不少困惑。另外，《数学分析》也对该函数零点问题进行了延续，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、数列致密性定理等都与它有千丝万缕的关系。本文从函数零点的概念延伸、函数零点的求解方法及导函数的零点问题对函数零点的几种应用类型进行比较，并进一步阐述函数零点问题在中学数学与大学数学中的联系。

2.零点概念性质的延伸

定义1[1]（函数零点） 对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

同时，关于函数零点，我们有如下几个等价条件[1]：函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点。

这个概念本身就已经结合了函数与方程的思想，而《高等代数》[2] 又赋予了这个概念新的解释：f（λ）=|A-λE|为A的特征多项式，则特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是说矩阵的特征值就是其特征多项式的零点，这就将零点应用拓宽到了矩阵领域。

另外，《数学1》[3]中还给出了一个结论，延伸到《数学分析》[7]里，我们把它称作函数零点存在定理： 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）

这个定理看起来非常易理解，但却包含了三个条件：⑴闭区间连续；⑵端点函数值互异；⑶开区间有零点。实际上是数学分析中介值定理的下放。而在此基础上也可以推导出零点个数的判定定理，加深对零点个数问题的理解。

定理1[4] 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，设f（a）.f（b）≠0，则当f（a）和f（b）同号时，f（x）在区间（a，b）内包含偶数个零点；则当f（a）和f（b）异号时，f（x）在区间（a，b）内包含奇数个零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。这个c也就是方程f（x）=0的根。

此外，我们在解方程时有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的时候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中阶段往往被作为零碎的方法或概念去解决某一类问题，而从零点角度，则可以统一概括为：解析函数的一个零点是否导致符号变更（是否为一"交叉点"），按此零点重数是奇数或偶数来定。而符号变更这一概念不止在解析函数适用，在非解析函数仍然适用。有了这些高等数学的理论和概念作为支撑，在高中函数零点的教学过程中，就可以渗透更为精确的概念和表述，提升数学素养。

3.中学与大学函数零点问题的对比和讨论

中学与大学函数零点问题主要归结于在函数零点概念性质的延伸的背景下，通过对中学与大学用不同知识点来解决函数零点问题的几种应用类型进行比较，并进一步阐述其在中学数学与大学数学中的联系。

3.1 二分法与区间套定理。在中学数学现有的各版本高中教材中，均给出了利用二分法求零点近似解方法。然而在大学数学中，利用区间套定理求解函数零点问题，这是二分法在大学数学中的直接延拓，更是新课改下，大学知识简化进入中学教材的典例。

例2 利用区间套定理证明零点存在定理。

证明 由区间套定理知：

1.进行若干次等分后，某分点cn处函数值f（cn）=0此时取ξ=c即可

通过对比，我们发现无论是区间套定理还是二分法，都是通过将相应区间的两个端点逐步逼近得到相应的点，只是区间套定理相对于二分法求零点的一个最大突破就是加入了极限的概念，另二分法当中的精确度ε0，从而使近似值趋于精确值，得到了质的飞跃。当然，尽管二分法在区间套的选取当中仍然扮演重要角色，但区间套定理不仅限于此，不只是满足即可，这也是从形式上对二分法的一种提升。另外，区间套定理中加入的唯一性的证明，则进一步体现了数学的严谨性和准确性。由此，我们也可以发现中学与大学数学的紧密联系，可以看出函数零点在高等数学教育中的基础作用。对函数零点定理的掌握可以帮助学生更好地学习实数完备性理论，一步步从区间套定理到聚点定理、有限覆盖定理等更高深的理论，从而提升其数学修养。

3.2 导函数零点问题--极值与罗尔定理。高中数学中的导函数零点问题，一直是高考当中的重点，源于它能将各大基本函数（这里指指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等基本初等函数）的图像和性质融为一体。便于考查学生综合解题能力以及对知识点的灵活应用。其主要涉及函数的极值问题，是高中数学的一块重要内容（重庆高考卷一般会考查"一大一小"）。

将函数零点转化为某函数导数的零点则是对这一问题的逆用，是《数学分析》中的罗尔定理在高中数学的基础上，从微分到积分的跨越。

例3 （改编自2012年高考数学湖北卷文科第三题） 证明：函数在 上至少有四个零点。

分析：如果直接从函数零点定理着手，这个问题较有难度，因此可以将所求函数零点问题转化为导函数零点问题，构造出罗尔定理中的函数。