函数思想十篇

函数思想篇1

关键词： 函数思想 构造

函数思想是用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。是在知识和方法反复学习运用中抽象出带有观念性的指导方法。所谓函数思想的运用就是对一个数学问题构建一个相应函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质通过类比联想转化，合理地构造函数，然后分析其性质，最终利用函数的性质去解决问题。

用函数思想去解决一些非函数数学问题是函数思想应用的难点。有些数学问题例如求最值问题等，很明显是用函数的思想去解决的，还有一些数学问题表面上看起来与函数没有任何关系，而内部却隐藏着函数关系，应用函数思想去分析能够避繁就简、化难为易。

一、 方程问题中巧用函数思想

以上两例都隐含着函数关系，如果被题面误导，我们就会走弯路甚至解不出来。

二、 巧设主元证明不等式

函数思想篇2

分析说明：

1、函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质（f（x）、f （x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等）解题，要求在高中阶段，我们需熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

2、有关一元二次方程、一元二次不等式（一元一次方程、一元一次不等式）往往可以通过一元二次函数来解决，本质是研究一元二次函数的图象与坐标轴交点的问题。数列的问题，也常用函数的观点分析，如等差数列的通项公式可以写成一元一次函数的形式：f（n）=（n-1）d+a ；等差数列的求和公式可以写成一元二次函数的形式：f（n）=a +b 。解析几何的一次、二次曲线都可以通过一次函数、二次函数来解决。

3、应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答。

函数思想对培养学生对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程，能否具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，能否构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的等有深刻的指导性。函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维。

方程的思想：将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，它表示问题中的其它各量，根据题中隐含的等量关系，列方程，通过解方程或对方程进行研究，以求得问题的解决。

分析说明：

1、从一般意义上认识，利用方程解题不外下述三个步骤：首先是将数学问题转化为方程问题，构建常见的方程或方程组，如一元二次方程、简单三角方程等；其次是运用方程的性质求解或讨论方程；最后将由方程得到的结论返回到原来的问题中。构建方程的意识和利用方程性质求解的技能常常是问题解决过程中必不可少的。

2、笛卡尔方程思想：实际问题――数学问题――代数问题――方程问题。

3、方程思想是解决数学问题的重要思想之一，也是常用方法之一，在三角函数、数列、解析几何等中常用方程来解决，充分利用解方程的方法如：配方法、换元法、消元法等。

函数与方程的联系：

1、函数与方程（或不等式）是互相联系的，在一定条件下，它们可以互相转化，如解方程f（x）=0就是求函数y= f（x）图象的零点，方程f（x）=g（x）的解就是函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点的横坐标的值相等，解不等式f（x）>g（x）就是有两个函数值的大小关系确定自变量的取值范围等等来形成它们之间的内在联系。

函数思想篇3

【关键词】数学函数教学 思想渗透 引导领悟

函数概念在初中数学关于式、方程、不等式等主要内容中起到了横向联系和纽带作用，由于函数应用十分广泛，所以函数概念的形成和发展助推了中学数学中从常量到变量的一个认识上的飞跃，而理解和掌握函数的思想方法是实现这一飞跃的关键。根据青少年的身心发展与一定的知识逻辑结构，函数思想的教学是一个循序渐进的过程特点。

一、反复渗透

“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。

（一）函数思想的渗透，首先要准确把握渗透点。

这就要求教师在教学上要挖掘知识中蕴含的函数思想，有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养。同时要注意有机结合、自然渗透，要潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的函数思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

初中数学中的正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数虽然安排在八、九年级学习，但函数思想从七年级就已经开始渗透。如通过讨论三角形面积一定时，底与高之间的关系：等底时，面积与高的关系；等高时，面积与底的关系。将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会知识，这是发展函数思想的重要途径。

在数学思维的发展过程中，由“常量”到“变量”是一个质的转变，为此，在函数概念教学之前，就需要不断渗透变量思想的教学。在初中阶段，由具体的数过渡到用字母表示数，再由字母过渡到代数式、方程及简单的不等式，而后由方程、不等式过渡到函数的概念等，都需要不断渗透变量思想的教学，在“变”与“不变”的辩证思想教学中强化学生的变量意识。在高中阶段，变量思想的教学还将进一步加强。

函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系，一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标等。反之，许多有关函数的问题也可以用方程思想去解决，函数思想与方程是解决很多数学问题的基本思想，初中数学中的很多章节 （方程、方程组、函数等）都存在着方程思想和函数思想，因此，许多有关方程的问题都是函数思想教学的重要渗透点。

（二）其次要注意渗透的长期性、反复性。

应该看到，对学生函数思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见效的，而是有一个过程。

通过具体知识的学习，对于蕴含在知识中的数学思想方法有了感性认识，经过多次反复，形成较丰富的感性认识后，逐渐上升到理性认识，然后通过对已形成的数学思想方法进行实验证明和运用，加深了理性认识。经过多次反复，逐渐提高对思想方法的认识，才从低级到高级，形成对数学思想方法的理性认识。同样，函数思想方法必须经过循序渐进和反复训练， 才能使学生真正地有所领悟。

（三）函数思想的渗透，还应建立在扎实的知识基础上。

不能因为要渗透函数思想而放松基本知识与技能的教学，基本知识与技能是数学思想、方法教学的基础。学生掌握了一定量的数学表层知识，具有扎实的知识基础是学生能够接受相关深层知识的前提。

二、适时介绍

“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。函数思想从七年级起就开始有步骤、分层次地边渗透边介绍。

函数概念是函数思想的基础，因而让学生深入理解函数概念是极其重要的。初中教材中，我们可以通过确定代数式（特别是二次根式、分式）中字母的取值范围来学习和介绍函数的定义域。通过不等式、方程（特别是无实根的二次方程）以及与函数有关的实际问题、几何问题来讨论和研究函数的值域。在学习数轴时，七年级就应适当介绍有理数数轴上的点的对应关系，八年级在学习实数时，再进一步介绍实数数轴上的点的一一对应关系，从而让学生初步建立对应思想。就初中生而言，学习代数式的值时，求字母的不同取值时代数式的值也是介绍对应思想的重要契机。

对函数思想的介绍而言，初中阶段还应加强几种初等函数性质的教学，以充实函数思想的理论内容。一是要在学生充分理解与熟练掌握的基础上加以科学、系统的概括，二是要在教材的基础上加强系统性和灵活性的教学。加强系统性的教学，就是加强函数性质与性质、性质与图象、函数与函数、函数与方程等之间的联系与概括。加强灵活性的教学，就是强化函数性质的灵活应用。为此，教学既要纵横联系，又要深入剖析和挖掘应用的价值，不断提炼和介绍函数思想方法。

三、充分领悟

“领悟”是指在教师引导下，把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，要求学生在此基础上进而知道选用和善用，目的在于最大限度地发挥这些数学思想、方法的功能。

在加强联系，适时介绍，提高灵活性的基础上，综合渗透函数思想解决问题，是让学生充分领悟函数思想的重要途径。

首先，要指导学生用函数的观点看问题。运用函数思想来处理问题，方法新颖，思路独特，直观明了，有时可大大简化解题过程。

函数思想篇4

关键词：数学；函数思想；方程思想

一、知识内容

1. 函数的思想

就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超越不等式中，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解决。

二、典例分析

1. （题型1）构造函数，并利用函数的图像和性质来解决有关问题

例1 若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。

分析：方程2x+2x=5与方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以应找到两个方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。

解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x…（1）

2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x… （2）

由（1）式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=-x的产生的交点A的横坐标；

由（2）式知x2可以看做函数y=log2（x-1）与函数y=-x产生的交点B的横坐标。

而y=2x-1与y=log2（x-1）分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称，即y=2x-1与log2（x-1）函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=-x互相垂直，其交点C坐标为（，），同时A、B两点关于C点对称，所以x1+x2=2×=。

点评：本例由已知方程构成函数，巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。

变式：设a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。

分析：观察已知条件中结构形式，构造函数f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）为奇函数且y=f（x）在R递增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。

例2 设不等式2x-1>m（x2-1）对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。

分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是构造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分类讨论思想较为复杂化，若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max

只要f（-2）

实数x的取值范围为（，）。

点评：本例将不等式恒成立问题构造函数，利用函数的性质巧妙解决问题。

2. （题型2）建立方程，利用方程的思想解决有关问题

例3 如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数的值。

分析：函数y=的定义域为R，值域为-1≤y≤4，由y=转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根，使用到别式。

解：y=定义域为Ryx2-ax+y-b=0有实数根 （-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。

-1≤y≤4，4y2-4by-a2-=0产生有两根-1，4。

-1+4=-1+4=a=±4b=3。

点评：本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。

例4 已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。

（1）当a>1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）单调递增。

（2）若函数y=f（x）-t-1有三个零点，求的值。

分析：函数y=f（x）-t-1有三个零点转化方程f（x）-t-1=0有三个根，再转化成f（x）=t±1方程有三个根，再转化成函数y=f（x）与函数y==t±1有三个交点，利用函数与方程思想相互转化。

解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。

x>0，a>1，ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。

（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。y=f（x）在（0，+∞）是单调递增的。

（2）函数y=f（x）-t-1有三个零点？圳方程f（x）-t-1=0有三个根？圳f（x）=t±1方程有三个根？圳函数y=f（x）与函数f=t±1有三个交点。

由（1）式知当a>1时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，f'（x）=（ax-1）lna+2x，当a>1时，若x

当a>1时，y=f（x）在（-∞，0）单调递减。

当00时，ax-1

当a>1时，y=f（x）在（-∞，0）单调递增。

当00 lna

（ax-1）lna

当0

y=f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

y=f（x）与y=t±1有三个不同的交点，又t+1>t-1，y=t-1=f（0）=1时，且t=2时满足要求。

t=2。

点评：本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问题。

函数思想篇5

一、函数与方程思想分析

首先，函数思想的核心在于：通过对函数关系中的相关图象、以及性质为出发点，展开对相关问题的分析.在具体的数学问题当中，主要可以将题目已知条件当中所给出的方程问题、以及不等式问题转换成为函数方面的问题.具体来说，通过自方程问题向函数问题的转化，可以通过对函数性质、图象的判定来为方程求解提供相关的条件支持.同时，实践教学中发现：对于题目当中所给出的不等式恒成立问题、超越不等式问题、以及求解方程根等相关问题而言，若能够实现对函数思想的合理应用，则对于简化操作步骤而言有着重要的意义.

其次，方程思想的核心在于：以函数关系为出发点，构造与函数关系所对应的方程表达式.进而，通过对所构造方程表达式的进一步分析，实现对相关问题的求解.具体来说，通过自函数问题向方程问题的转换，可以将常规意义上的y=f（x）函数转化成为方程表达式：f（x）-y=0.同时，在具体的实践操作过程当中，对于二元方程组的应用是最为普遍的.特别是对于涉及到函数值域、以及直线/圆锥曲线位置关系等问题的求解而言，通过对方程思想的应用，往往能够取得事半功倍的效果.

二、函数与方程求解案例分析

函数思想篇6

关键词： 数形结合思想 解题 函数

1 一次函数与数形结合

例1：已知集合 ，若 ，求a的值？

解：如图集合A表示不含点 的直线

： ，集合B表示直线 m：

（1）当直线 与直线m平行时

此时a =1

（2）当直线m经过点（2，3）时，

此时 所以所求的a的值是1或

小结：本题应该是集合运算的范围的，但是给这些数和式以“形”的直观，使抽象空洞的集合运算变得形象具体起来，将集合的问题转化为一次函数的问题来解决，这就体现了数形结合优化解题思想和转化的思想。

2 二次函数与数形结合

例2、已知关于 的方程为 ，有四个不相等的实根，

那么实数 的取值范围为？

解析：根据题意，我们观察所谓的函数式，直接求解，要用到分段函数，太过于复杂。我们可以由方程联想二次函数进行数形结合.如图，以数助形，则简洁明了.设： ， .又 为偶函数，由图可知

3 反比列函数与数形结合

例3、方程 的实根为 、 ，则

分析：本题中的函数方程属于超越函数，直接通过计算是没办法算的，但是分析它们的组成函数，都是基本函数，所以，我们要很快的想到从它们的图像入手，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，以数助形可巧妙求解。

解：令 ，

如图所示，因为 ， 互为反函数，

所以其图象关于 对称，所以设 得 即

4 函数不等式与数形结合

应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求不等式的几何意义，看下面这样一道例题。

例4、设变量 在区间 中取值，试证： .

解：如图，正三角形 边长为1，设点 分别在边 、 和 上，

且有 ， ， 则 ， ，

， ，

即 ，结论得证.

小结：本题直接不好证明，由左边的轮换式可以联想到其面积，由于变量 、 、 在区间 中取值构造出一个边长为1的正三角形.将这些关系统一在一个不等式中，可得到简洁而优美的解法.这道题就充分的凸显的形的直观，数的严谨，两者相互补充，就达到了优化解题的目的。

5 三角函数中的数形结合

例5已知 那么下列正确的命题是（ ）

A、若 、 是第一象限角，则

B、若 、 是第二象限角，则

C、若 、 是第三象限角，则

D、若 、 是第四象限角，则 分析 考察选项A，作单位圆，如图，OA、OB分别为角 、 的终边，因为OC为 的余弦线，OD为 的余弦线，所以有 知A错，依次判断知选D.

小结：在三角函数这块只是中，由于所要记忆的公式特别的多，所以我们要充分的利用图形来解决这类的问题.而单位圆是解决三角函数最常用的工具图形，所以我们必须熟练的掌握和运用.

参考文献

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[2]顾亚萍 数形结合思想方法之教学研究[J].南京 南京师范大学学报 2004.

[3]于伯宁 把学生带进数学乐园―在圆锥曲线教学中培养学生的思想品质 [J] 2005（11）.

[4] 袁海军 数形结合在解题中的应用[M].广东教育（高中版）》2008-10-10

[5] 尚文斌；聂亚琼；数形结合在解题中的应用[J].科教文汇（上旬刊）2008-12-10

[6] 陈传理 张同君 竞赛数学教程[M].北京 高等教育出版社 2004.

函数思想篇7

【关 键 词】 数列；函数思想；数学

数列性质的研究主要是通过其通项公式和前n项和公式及相邻项的关系来进行的. 我们可以把数列看成是一种以正整数n为变量的函数，数列的性质就可以通过函数的性质反映过来. 这为数列问题的解决提供了一种新的方向.

一、an及Sn与n的函数关系

数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系，因而等差等比数列的通项及前n项和都可以看作关于n的函数，其图像都是一列离散的点.

等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）d，这表明（n，an）在直线y=dx+（a1-d）上，其图像是该直线上一系列离散的点；

等差数列的前n项和公式为Sn=na1+■d，这表明当d≠0时，点（n，Sn）在抛物线y=■x2+（a1-■）x上，其图像是该抛物线上的一系列离散的点；另外■=■n+（a1-■），这表明（n，■）在直线y=dx+（a1-d）上，其图像是该直线上的一系列离散的点；

等比数列的通项公式为an=a1qn-1=■qn，这表明当q≠1时，点（n，an）在函数y=■qx图像上，是一系列离散的点；

等比数列的前n项和公式当q≠1时Sn=■=■-■=-qn（q≠1），这表明（n，Sn）在函数y=■-■qx（q≠1）的图像上，类似于指数函数式的结构特征，其图像是类指数函数图像上的一系列离散的点.

二、典型例题

例1：在等差数列｛an｝中，Sn是｛an｝的前n项和，q，p∈N+，且q≠p.

（1）若Sp=Sq，求证：Sp+q=0；

（2）若Sp=q，Sq=p，求证：Sp+q=-（p+q）.

分析：因为数列是一种特殊的函数，故在解决数列问题时我们可以用函数思想去解决往往会达到事半功倍的效果.

证明：（1）由于Sn是关于n的二次函数，可设f（n）=a■■+bn，又Sp=Sq.

f（p）=f（q），因此它的对称轴为n=■.

f（p+q）=f（0）=0.

（2）解法1：用一次函数求解

由（1）可知■是关于n的一次函数，因此点（p，■），（q，■），（p+q，■）在同一直线上.

■=■.

■=■.

Sp+q=-（p+q）.

解法2：用二次函数求解

设等差数列｛an｝的前n项和Sn=a■■+bn，则Sp=a■■+bp=q，Sq=a■■+bq=p，两式相减得a（p2-q2）+b（p-q）=-（p-q），而q≠p，则a（p+q）+b=-1.

Sp+q=a（p+q）2+b（p+q）=（p+q）［a（p+q）+b］=-（p+q）.

例2：｛an｝，｛bn｝分别是等差数列和等比数列，a2=b2>0，a4=b4>0，且a2≠a4，b1>0，试比较an与bn的大小并说明理由.

分析：该问题如果从常规思路求解需求出an与bn的通项公式并求差，但从现有的条件来看an与bn的通项公式求不出来，所以我们只能另辟蹊径，利用函数思想求解，借助函数图像问题便可迎刃而解.

解析：设等差数列的通项可以表示成an=an+b.

a2≠a4， a≠0，从图像上来看表示这个数列的各点均在一次函数y=ax+b的图像上；

设等比数列的通项bn=b1qn-1=■qn，由b2≠b4，则q≠1，q>0，从图像上来看表示这个数列的各点均在指数型函数y=■qx的图像上；

当q>1时，an与bn的图像如图1所示；

当0

■

从这两个图中可以得出结论：a1

例3：（1）在等差数列｛an｝中，a1=25，S17=S9，问此数列前多少项和最大，并求出最大值.

（2）在等差数列｛an｝中，a4=84，前n项和Sn，已知S9>0，S10

解析：（1）从函数的角度分析此题，等差数列｛an｝的公差d

（2）从函数的角度分析此题，等差数列｛an｝的公差d

函数思想篇8

关键词：函数思想；数列题目

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）12-0343-01

在高一数学教材中，数列的定义如下 ：按一定顺序排成的一列数叫数列。数列中的每一个数叫数列的项，如果数列的第n项an 与项数 n之间的关系可用一个公式表示，那么这个公式叫数列的通项公式。而数列的函数定义如下：数列可看作一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 {1，2・・・n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式就是相应的函数解析式。运用函数的观点，在解决有关数列的题目中，可以化难为易，使问题得到轻松解决。本文以实例说明这一问题。

例1：已知数列{an}中，a1=2，a17 =66，通项公式是n的一次函数，求通项公式 an

所以通项公式为an=4n-2

评析：一次函数的解析表达式是y=kx+b，而题目的已知条件是通项公式是n的一次函数，故由函数的定义出发，可设通项公式an=kn+b，把相应数据代入通项公式中，可得到k、b，最后求出通项公式。

例2：一个首项为正数的等差数列{an}，已知S5 =S13 ，那么这个数列的前几项和最大？

解：S5=S13 Sn的图像所在的抛物线的对称轴为x=5+132=9

又a1>0 公差d

评析：等差数列的前n项和Sn=na1+n（n-1）d/2=dn2/， 把n 看作自变量，Sn 看作函数，则为二次函数，应用二次函数求极值的方法使问题得到轻松解决。

例3：已知数列{an}的通项公式an=n2-11n+10，从第几项起，这个数列的项都大于70？并求它的数值最小的项？

解：由an=n2-11n+10>70得 n2-11n-60>0

得（n-15）（n+4）>0 得 n15

设二次函数为y=x2-11x+10

当x=-11/-2=5.5时，

Y最小值=4×10-（-11）2/4 =-81/4=-20.25

结合二次函数图像知：当n=5或n=6时，

a5=a6=-20

答：从第16项起，项都大于70，数值最小的项为第5项和第6项，为-20

评析： 把n看成自变量x ，an 看成函数y，则为二次函数y=x2 -11x+10 ，第1问转化为求一元二次不等式x2-11x+10>70的解集，由数列的定义域为N* 或它的有限子集{1，2…n }的函数，故x

例4：一个等差数列{an}中，Sm =n，Sn =m求Sm+n

解：（方法1）

等差数列的求和公式

Sn=na1+n（n-1）d/2

Sn/n=a1+（n-1）d/2

如果把它作为一次函数 ，那么（n，Sn/n）就是

y=a1+（x-1）d/2图像上的点，

（m，n/m）（n，m/n）（m+n，Sm+n/m+n）

三点共线 ， y2-y1/x2-x1= y3-y1/x3-x1

函数思想篇9

关键词：高中数学 函数教学 数学思想方法

一、前言

新课改对数学教学目的进行新的要求，学科教育重点养育学生学科核心素质，就数学教学而言，即通过数学教育培养学生的数学综合素质，让学生学会用数学思维来思考、分析以及解决问题。而良好的数学思想方法是学习数学的基础。

二、高中数学函数以及数学思想方法

（一）高中数学函数

高数数学（人教版）主要包括变量与函数、正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数以及相关的函数图像平移、对称，二次函数与一元二次方程之间的关系；幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等内容。高中数学的难度较大，尤其是函数部分更是学习的重点、难点。为了使得学生在学习函数的过程中可以用简单的思想方法享受到学习数学的乐趣，提高学习的兴趣，教师需要不断地更新自己的教学理念以及教学方法，提高学生学习的积极性，将数学思想方法渗透到高中数学函数的教学中。

（二）数学思想方法

数学思想方法是指学生在解决数学问题的过程中发现问题、分析问题以及解决问题的整个过程，是一套科学而完整的思想方法。数学学习方法通过实际的数学教学过程而产时并且展示出来的，但是特殊的是，它是对数学教学的深入，它不是单纯的解决数学题目的能力，而是指通过解决数学问题展示出来的学生的数学函数思想，数、形结合思想、方程思想以及整体的数学思想等。在高中数学函数教学对数学思想方法进行渗透，不仅有利于提高学生学习数学函数的质量以及效率，也有利于提高学生的数学思想方法，提高学生综合数学学科核心素养。

三、高中数学函数教学对数学思想方法的渗透

（一）炼学生相互转换的能力

在数学学习的过程中，学生如果只用一种解决方法解决数学问题，往往很难达到较好的效果，甚至会增加解决问题的难度。传统教学带来的后遗症之一就是学生在解决问题的时候缺少变通，不能对问题进行更深入的思考，无法学会运用已经学过的知识进行相互的转换 ，以解决问题。函数以及方程是高中教学的两个重点以及难点，函数思想方法以及方程思想方法也是高中基本的数学思想方法法。

在《函数的应用》第一课中就讲到函数以及方程的关系，函数与方程教学的重点内容之一即两者的相互转换。在教学中，可以通过函数关系构造与之相对应的方程表达式，如将y=f（x）函数转化为f（x）-y=0，通过两者的相互转换，减少了解题的难度，甚至可以由此算出函数因为因变量而变化而发生变化的规律，也可以有函数的图像中观察到方程中未知数变化规律。函数思想是指通过运动以及变化的规律来建立函数关系，并且可以以图像表达出来。而方程思想则是在数学问题变量质量是等量的关系。可以看出函数以及方程的学习中渗透着函数思想方法以及方程思想方法，并且很好的将两者结合起来，使学生通过不同的方式解决问题，培养学生强大的计算能力。

（二）锻炼学生化归、类比的逻辑能力

化归、类比思想方法也是数学思想方法中重要的一部分，只要是指在所需要解决的问题进行化归，将其划分到相类似的已经解决过的问题中，并且用已经掌握的的知识解决这个问题。在高中的函数教学中，就明显渗透着化归、类比思想方法。比如在在《数列》中关于数列以及函数的教学，学生可以通过函数的相关知识，清楚的分析数列属于递增数列还是递减数列，能清楚的计算出数列的前n项和。比如：一个数列{an}，假如其函数表达为an+1>an，那么这个数列为递增数列；假如函数表达为an+1

那么，可以推断出，数列an为递增数列，且当n=1时，an=1；当n=2时，an=3；当n=3时，an=5……在高中数学函数教学中渗透化归、类比思想方法，不仅可以提高学生解决问题的效率以及质量，还能够培养学生的归纳、总结、相互转换的逻辑思维能力，促进学生通过灵活多样的方法解决问题。

（三）锻炼学生数、形结合的想象能力

在高中数学教学，尤其是函数教学的过程中，渗透最为明显的为数学数形结合思想方法。数形结合思想方法即分析以及解决数学问题的时候将抽象的函数化为直观的平面图形或者空间图形，帮助学生发现函数的规律以及推算某一项特定的值。在函数的教学中，离不开相对应的函数图像，在结节函数问题时候教师往往要求学生绘制能够表达出该项函数关系的对应图形，以图像进行说明这项函数的关系，直观的表达出函数的变化规律。其实从本质上来说，这是形象思维与抽象思维的有效结合。学生在解决数学问题的的时候可以通过函数图形作为辅助的工具，简化复杂的数据，比如上文所举关于数列与函数的例子，从中可以清楚的发现，通过图形，我们可以简化将每一个变量代入的步骤，直接观察出与X相对应的Y值，这样就轻松达到了快速解决问题的目的。

四、结语

高中数学函数教学中处处都渗透着数学思想方法，数学思想方法可以帮组学生培养数学学科核心素养，培养学生的发散思维以及创新能力，使得学生在学习中能够做到举一反三，不断地学过的知识进行反复的温习，并且将其应用到新问题的解决中，这样不仅提高了课堂教学的效率以及质量，还能够帮助学生建立完整的数学知识系统，是学生养成用数学思维解决问题的良好习惯。

参考文献：

[1]董朝芳.高中数学函数教学对数学思想方法的渗透[J].教育教学论坛，2014，（21）.

[2]戴进枝.如何在高中数学课堂教学中渗透数学思想方法[J]西部素质教育，2016，（08）.

函数思想篇10

【关键词】：函数思想；方程思想；应用

[Abstract]: function and equation is the most important content in middle school mathematics. Function and equation thought is one of the important basic thought of in the high school mathematics, has been widely used in problem solving, over the years is a key test of the college entrance examination.

[keyword]: function; equation; application

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）

函数与方程是中学数学中最为重要的内容。函数与方程思想更是中学数学中的重要基本思想之一，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。

函数与表达式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。

高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。

第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；

第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；

第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；

第四层次：构造方程或不等式求解问题。

其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

函数思想

所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。

构造函数，运用函数的性质

例1.（1）已知关于的方程有唯一解，求的值；

（2）解不等式。

分析：（1）构造函数，则问题转化为求的零点唯一时的。

（2）由观察可构造函数再利用函数的性质，解决问题。

解析：（1）令，

的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解），。

（2）设，易证在区间内为增函数。点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。

2.选定主元，揭示函数关系

例2．对于的一切值，使不等式恒成立的的取值范围是

分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。

解析; 且，，即。①

当时，不定式①不成立。

当时，设。

当，

即又当，

即故的取值范围时。

点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。

3．选取变元，确定函数关系

例3．函数的值域是。

分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。

解析：由，设，

那么，

当

点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。

4.利用二项式定理构造函数

例4：求证：。

分析：构造函数，比较两个展开式中的系数。

解析：令，展开式中的系数，又

其中的系数为，故=。

点评：利用函数，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。

5.用函数的思想方法解数列题

例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。

分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。

解析：令

，

所以为增函数，且

由题意得。

点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。

6.建立函数关系解应用题

例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。

解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为

由，设容器的容积为y(m),则有

整理得，求导，得

，令即

解得。从而，在定义域内只有在。因此，当时，y取得最大值，这时，高为。

答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。

点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。

7.函数思想在几何中的应用

例7 如图,是圆的直径,垂直于圆所在平面,是圆周上任意一点,设,.求异面直线和的距离.

分析：因为异面直线间的距离是连结异面直线上任意两点的线段中的最短者, 因此本题可用求函数最小值的方法来解, 这里建立函数表达式是解题的关键

解析： 在上任取一点,过点作于,过作于,连结,设,由题设易证

因为是等腰直角三角形,所以

在中,

因为,

所以,当时,

点评：本题主要是根据几何关系建立函数关系式,通过解决函数问题来求出对应的几何问题.

方程的思想

方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。

解方程或分析方程的解

例8.已知实数成等差数列，成等比数列，且求。

分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。

解析：由题意得由1、2两式，解得，将带入3式，整理得

故。经验算，上述两组数符合题意。

点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。

2通过换元构成新的方程

例9.关于的方程恒有解，求的取值范围。

分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。

解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，

即，

解得

（方法二）设

①当

；

②.

综上可得，。

点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。

3.构造方程求解

例10.设函数，且存在使得成立。

⑴若

⑵若直线的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线平分，求出的最大值。

分析：对于⑴小题，由题设条件易得，由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出；第⑵小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。

解析：⑴由题意

的图像的对称轴为，

⑵

。由，代入直线方程，得

当且仅当。

点评：若没有方程的思想意识，则不能从中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出这样有用的关系式，使解答陷入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。

函数与方程相互转化的思想

解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。

例11.已知抛物线

⑴当为何值时，抛物线与轴有两个交点？

⑵若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求的取值范围；

⑶如果抛物线与轴相交于A,B两点，与轴交于C点，且的面积等于2，试确定的值。

分析：⑴令函数，则转化为求方程有两个不等的实根时的值；⑵利用根与系数的关系转化成解不等式；⑶建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。

解析：⑴令据题意，须，

即。

⑵在得

所以m的取值范围是

⑶由。

点评：型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。