高中函数单元教学设计分析

1数学单元教学设计

单元教学是指教师依据系统论、认知主义和建构主义等教学理论，以学科核心素养为目标，以单元为教学内容的一种教学方式［2］．单元教学设计是把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行的整体设计［3］．这个数学教学观，实质上就是《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《课程标准》）所倡导的整体教学观，单元（主题）教学设计正是落实整体教学观的课堂教学实施方案［4］．单元教学设计是教师对教材中具有“某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的单元（主题），以数学单元（主题）知识为主要线索，遵守学习规律、认知规律和数学教学原则，以培养和发展数学核心素养为目标的一种教学设计［5］．数学单元教学具有主题性、系统性、模型性、全息性等特点［2］．数学单元教学是从“双基”到“数学核心素养”的桥梁［2］．高中数学单元教学设计就是要构建一个反映高中数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的高中数学核心概念和思想方法结构体系，并使核心概念、思想方法在高中数学课堂中得到有效落实，让学生真正领会高中数学的本质和作用，落实数学学科核心素养［6］．

2高中函数教学研究现状

由于函数定义、函数单调性定义和函数思想是高中函数单元教学的重点和难点，因此，本单元的教学应着力研究函数定义、函数单调性定义和函数思想的教学．2．1函数定义的教学黄宁静等［7］认为，高中函数概念教学可采用引导发现的教学方法，以“问题”来驱动教学，并以“y＝1是函数吗？”来激发学生的学习动机．研究者多年高中教学经验也证明了问题“y＝1是函数吗？”的确能够引发学生的认知冲突，并能激发学生学习高中函数定义的动机．张忠旺［8］认为，对应法则是函数概念的核心，也是学生理解函数概念的难点，函数概念教学可通过揭示对应法则的不同表现形式并辅以数形结合的思想方法，则可突破这一难点．但也需注意，对应法则对于学生来说是非常抽象的、概括的，学生感到很难理解，很不容易内化为自己的经验．因此，理想的教学是给“对应法则”找一个“支架”，或构造一个“原型”．丁银凯［9］认为，高中函数概念教学可采用“先行组织者”的教学策略，其路径为：（1）概念同化（重视各位属关系的教学设计）；（2）问题化归（注意教学任务中的问题设置）；（3）概念再识（纠正问题解决中的偏差理解）．“先行组织者”策略是数学“同化学习”的基本原理，其核心思想是给新知识搭一个“支架”，最好的“支架”是能联系学生初中阶段的函数知识和经验．章建跃［10］认为，抽象数学概念的情境与问题的创设应关注典型性、丰富性和反例等；从数学学科和学生认知两个方面，应重视数学情境的积极作用．贾随军［11］总结了函数概念演变经历的4个主要阶段：（1）以表格、曲线形态呈现函数（阿波罗尼奥斯，奥雷斯姆）；（2）函数是解析式（欧拉）；（3）函数是对应（傅立叶，狄里克雷）；（4）函数是关系（布尔巴基学派）．在函数的教学中，教师讲点数学史，让学生了解一点函数产生、发展、演化、逻辑严密化的历史，可以增添数学教学的故事性、情境性、趣味性和人文性．赵思林等［12］基于从初中学生熟悉的某个二次函数出发，比较自然地建构了高中函数的定义．比如，以y＝x2－4为认知起点，教师和学生一起思考与探究5个问题，其中最重要的是下面2个问题：（1）给定x的值，怎样计算x对应的值呢？其算法是什么？（2）这个函数的对应关系（法则）是什么？在此基础上，得到3个结论［12］．一是让学生理解在函数y＝x2－4中隐藏着一个对应关系f，这个f就是算法的意思，即“（对x）平方，减4”．二是f有三个作用：①把x和y联系起来；②隐蔽地把数集R和数集y｛y≥－4｝也联系起来了，联系的方式叫做“对应”，即f：R→y｛y≥－4｝，f：xy；③在f的作用（即算法规则）下，使得R中的每一个数都对应着数集y｛y≥－4｝中的唯一确定的数．三是让学生用“集合”和“对应”等概念给这个二次函数下一个新的定义：设f是从R到y｛y≥－4｝的一个对应关系，若实数集合R中的每一个数对应着数集y｛y≥－4｝中的唯一确定的数，则称f是一个函数，记为y＝f（x）．接着，再给出函数的一般定义．需要说明的是，问题（1）的主要作用是让学生加深理解求函数值的算法；问题（2）把抽象的“对应关系”理解为“算法”，虽然不够准确、不够全面，但“算法”是“对应关系”比较好的“支架”（经验）［12］．2．2函数单调性定义的教学函数的单调性是在高中讨论函数“变化”的一个最基本、最重要的性质［13］．黎栋材等［13］建议应整体把握函数单调性的教学：（1）从学科地位、课标要求、教学要求、内容的作用、高考等方面分析内容的地位与作用；（2）包括内容的教育特点、学生基础、内容的教育价值等作教学分析；（3）按照教育规律做好教学安排．具体地说，在讲授函数单调性的定义时应重点放在数学语言教学上，即以学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的图象为载体，让学生经历单调性的“图形语言→文字语言→符号语言”的逐步抽象与建构过程；在讲解幂函数（5个）、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的单调性时，让学生经历“图象→性质→应用”的过程；在讲解不等式、数列、最大（小）值等内容时，让学生认知函数单调性的应用价值；在讲解导数的定义时，应注意导数定义与函数单调性的综合应用，让学生认识到“数学是一个有机的整体”．关于函数单调性定义的教学，江河［14］设计了“粗—细—精—准”四个活动，让学生从正反两方面深刻理解函数的单调性的定义．李秀萍等［15］提出了函数单调性定义的“八步”教学程式，即“画”（画图象）—“看”（观察图象）—“说”（说图象上升或下降趋势）—“描”（描述性定义）—“定”（定义）—“懂”（理解）—“用”（应用）—“悟”（感悟思想）等程式．2．3函数思想的教学函数思想是刻画事物运动、变化发展的辩证思维工具，用定量方法研究事物之间的数量关系［16］．函数思想是对函数知识（含概念、符号、性质、模型）的凝结和升华．函数思想就是应用函数概念、函数性质、函数模型等方式方法去发现、分析、转化、解决现实问题的数学方法［16］．史宁中等［17］认为，通过建立模型、分析模型、求解模型、解释规律等过程，引导学生理解函数是一个好的学习途径．“渗透函数思想”“重视函数思想方法的应用”已成数学教师的共识．2．4高中函数的单元教学仇炳生［18］从语言转换与方法同构的角度，提出了高中“函数”单元教学的整体设计：既要突出函数的科学性、系统性，又要从学生已有知识经验出发，帮助学生理解函数的系列概念，逐步领会函数思想和学习函数的方法．具体包括：（1）函数概念的教学（应注意初高中的衔接和集合语言的应用）；（2）函数性质的教学（应着重于培养观察能力，训练用文字语言、图形语言和符号语言表征数学对象的能力，以及几种语言相互转换的能力）；（3）基本初等函数的教学（应重在帮助学生进行自主探索和学习）；（4）函数应用的教学（应具有复习或终端考核的性质）．上面这些研究成果对高中函数的单元教学（设计）无疑是具有指导作用的，但这些研究成果如何变成教学的现实生产力仍需探讨与实验．

3高中函数的单元教学内容设计

3．1高中数学单元教学设计步骤．针对多数新知课，一个具体的单元（主题）教学设计可按照以下步骤进行：第一步，根据课程标准和教材，确定主题（单元）；第二步，根据知识逻辑，设计单元教学内容（含课时安排），课时安排因学生的实际水平而定；第三步，着眼“四基”“四能”和“六核素养”，设计教学目标；第四步，依据教学逻辑、学习逻辑和认知逻辑，并照顾学生已有知识经验的基础，设计教法、学法和教学活动；第五步，设计课时教学环节，设置一定数量的探究性问题、开放性问题、应用性问题及课内课外的思考题，引导并指导学生深度学习，以问题作为单元学习的主题，采用问题驱动方式教学，问题的选择应有一定难度和区分度，问题应体现数学基本思想方法（即全息思想方法）；第六步，学习评价（反馈）与反思的设计．综上可得，数学单元教学设计的步骤可简化为：（1）确定主题；（2）设计教学内容（包括小单元）与含课时安排；（3）设计教学目标；（4）设计教法和学法；（5）设计教学环节；（6）设计教学评价．3．2高中“函数”单元教学内容．（学时）与设计意图说明第一步，单元的主题确定为“函数”．“函数”这一主题作为“大单元”，是几个“小单元”主题的集合．“函数”“大单元”的知识逻辑所包括的“小单元”主题有：函数的定义与符号；函数的整体性质与局部性质；方根、指数、对数的定义及运算；几种基本初等函数；函数思想与应用（补充）；函数的实际应用问题；单元复习与检测．第二步，设计单元教学内容，作课时安排（因学情而定，下面写的课时仅供参考）：（1）函数的定义与符号（3学时）设计意图：重点放在理解符号f（x）及其应用上．因为函数的符号f（x）特别是计算函数值在研究函数的所有性质时都会用到，所以函数的符号f（x）及计算函数值是函数中的全息知识和方法．高中数学人教A版新教材约用5页、5个例题来讲“函数的表示法”，此内容教懂学会需要安排2学时，让人感到比较繁琐、不够简约．对此，研究者建议：把“函数的表示法”放在“函数的定义与符号”这一单元中，简单介绍即可．（2）函数的整体性质函数的奇偶性（2学时），函数的周期性（1学时），函数的最值（简单介绍概念及求解方法，1学时），函数的有界性（1学时）；“函数的局部性质”：函数的单调性（3学时），函数的极值（简单介绍概念，放在高三的“导数的应用”中更为合理）．设计意图：考虑到“函数的有界性”对学函数极限有用，可以增设此内容．“函数的极值”在高一年级只宜花几分钟时间简单介绍概念，不宜深究，求解函数的极值适合放在高一年级后面将学的“导数的应用”中．（3）方根、指数、对数的定义及运算（7学时）设计意图：这部分包括3个内容：“n次方根的概念”“指数的定义及运算”和“对数的定义及运算”．“n次方根的概念”源于对“问题：已知xn＝a，求解x”的探究，此问题实质上是一个双参数讨论的问题，需要二级分类，问题的抽象度高、难度大，因此，“n次方根的概念”历来是教学的难点，教师应讲清二级分类的原则（标准）和方法，教学应适当慢些；对数的定义与运算历来既是教学的重点，又是教学的难点，教学时可适当多花一些时间，建议花3学时；“指数的定义及运算”和“对数的定义及运算”是学习指数函数、对数函数的核心基础，应打牢基础．（4）三种基本初等函数指数函数及研究方法（2学时），对数函数及性质（2学时），幂函数（y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝槡x，y＝x3）（2学时）．设计意图：幂函数在课标中只要求掌握这5个，但全体幂函数的定义域、值域、图象情况等都比较复杂，所以建议最先讲比较简单的指数函数，然后讲对数函数，最后讲幂函数．（5）函数思想与应用（2学时）设计意图：函数的思想是函数知识的精华部分，有广泛的应用，特别应重视函数单调性的广泛应用，如解方程（组）的同解原理、解不等式（组）的同解原理其本质都可看成是函数单调性的推论．此内容在课标和教材中均未单独出现，但鉴于这个内容在高考中出现的频率较高，并且它是培养学生数学核心素养的重要素材，因此研究者建议增设此内容．（6）函数的实际应用问题（2学时）设计意图：通过把实际应用问题变为函数模型（问题），可以让学生学习垂直数学化的方法，也能让学生体会数学的应用价值．（7）单元复习与检测（4学时）设计意图：鉴于本单元的重要性和难度大的特点，安排单元复习和一定的检测是必要的．第三步，设计教学目标．参考课标，此处从略．第四步，设计教法和学法．设计意图：通过指数函数的学习，让学生掌握研究某类函数的基本方法即定义域—值域—图象—性质—应用，这个基本方法对后续研究对数函数、幂函数、三角函数等都是有意义的．因此，研究某类函数的基本方法是研究函数的普遍方法———“渔”．第五步，设计教学环节．如，新知课的教学环节一般可设计为“情境—问题—探究—知识—应用—练习—交流—总结”，教学环节可根据教学内容、学情、时间等作适当调整．第六步，设计学习评价（反馈）与反思（2学时）．设计意图：第六步应与第二步（7）相呼应、相联系．应重视学生的自我评价与反思，因为这有利于开发元认知．完成本单元教学任务约花34学时，比课标和教材需用的学时都更少，并且教学内容比课标和教材增加了“函数的最值（1学时）”“函数的有界性（1学时）”“函数思想与应用（2学时）”“单元复习与检测（4学时）”等重要内容．由此可看出，单元教学比传统的非单元教学节约课时．上述安排从理论上看具有一定的合理性．其实践的可行性，需要一线教师的实验、总结与不断完善．

作者:李红霞 赵思林 单位:内江师范学院数学与信息科学学院