数学归纳法范文

导语：如何才能写好一篇数学归纳法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理

归纳法与数学归纳法，在初等数学及高等数学中都要着广泛的应用，特别是在定理证明中占非常重要的地位，所以我们必须引起注意，下面我主要从三个方面来阐述归纳法及数学归纳法。

1归纳法

1.1归纳法的定义

由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法叫归纳法。

归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法两类。

1.1.1不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般结论的推理方法。

1.1.2完全归纳法：根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.

注意：不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算.观察、分析、推理出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质.应注意用不完全归纳法探索发现的规律，必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明。

1.2使用归纳法要谨慎

我们在使用归纳法时，经常盲目归纳，从而得出错误的结论，所以我们应该引起注意，下面我们通过几个例子看看。

例、求前n个奇数的和 [1+3+5+……+（2n-1）]

解：用S（n）表示这个和，令n=1，2，3，4，5，则有

S（1）=1

S（2）=1+3=4

S（3）=1+3+5=9

S（4）=1+3+5+7=16

S（5）=1+3+5+7+9=25

可见，对n=1，2，3，4，5，前n个连续奇数的和等于[n2]，但是，我们不能由此马上断定，对任意的n，都有S（n）=[n2]，因为，由“类比”而得到的结论有时是错误的.我们用几个例子来说明这一点。

考]形如[22n+1]的数.当n=0，1，2，3，4，时，这些数[220]+1=3，[221]+1=5，[222]+1=17，[223]+1=257，[224]+1=65537都是素数.十七世纪一位著名的法国数学家P.费尔马由此猜想，凡是这种形式的数都是素数.然而，在十八世纪，另一位伟大的数学家，彼得堡科学院院士，L.欧拉发现[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一个合数。

这里还有一个例子，十七世纪著名的德国数学家，高等数学的创始人之一G.W莱布尼兹证明了，对任意的正整数n，[n3-n]能被3整除，[n5-n]能被5整除，[n7-n]能备整除，据此，他差一点猜想：对任意奇数k和自然数n，[nk-n]能被k整除，幸亏他自己很快发现[29-2]=510不能被9整除。

现在我们回到求前n个基数的和的问题.从上述可知，不管验证了多少个n ，公式

S（n）=[n2] [……]（1）

总不能认为已证明了，因为总有一种可能性，对某个未检验过的n，公式（1）不再成立.为了确信公式（1）对所有n正确，我们必须证明：无论在自然数列中走到多远，我们决不能从使公式（1）成立的n值走到使（1）不再成立的数值。

2 数学归纳法

2.1 数学归纳法的定义

n=1正确时，若在n=k正确的情况下，n=k+l也是正确的，便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。

2.2 运用数学归纳法证题的步骤

（Ⅰ）验证当n=1时，某命题是正确的。

（Ⅱ）假设n=k时，命题也是正确的，从而推出当n=k+l时，命题也是正确的.因此，命题正确。

容易悟错的是：既然k是任意的自然数，n=k是正确的，那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢？这很容易理解，k虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了n=k时，k就是一个固定的自然数了，换句话说，k就是一个有限的数.因而，能否从n=k时命题正确，推出n=k+l时命题也是正确的，这就不一定.如在n=k时正确，推出了n=k+1也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从k到k+l，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。

在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形.

形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当n=[k0]的时候，命题是正确的，又假设n=k（k≥[k0]）时，这个命题是正确的，可以推出当n=k+l时，这个命题是正确的，那么这个命题当n=k+l时都正确，从而得出命题正确。

例、当n>1且n∈N时，求证：

[1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]

证明： （1）n=2时，左边[=13+14+15+16=1920>910]

左边[>]右边，所以不等式成立.

（2）假设n=k时不等式成立，即

[1k+1+1k+1+1k+3+…+13k>910]

当n=k+1时，

[1（k+1）+1+1（k+2）+2+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3]

[=][（1k+1+1k+2+…+13k）+] [（13k+1+13k+2+13k+3-1k+1）]

[>910+（13k+3+13k+3+13k+3-1k+1）]

[=910]

即n=k+l时，不等式成立。

根据（1）与（2）得，对于n>1且n∈N，所证不等式成立。

形式2：运用数学归纳法证明时，第一步不只验证第一个值，而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的，第二步假设n=k是正确的，推出n=k+l是正确的，那么这个命题就是正确的。

例、如果[r0]=2，[r1] =3，并且对所有自然数k有[rk+1=3rk-2rk-1]

试证：[rn=2n+1]

证明：由题意，需验证n=0，n=1两值。

（1）当n=0时，[r0]=2，另一方面[r0]=[20]+1=2命题是正确的；还有n=1时，[r1] =3，另一方面[r1=21+1=3]命题是正确的。

（2）假设当n=k时命题是正确的，当然n=k-1也 是正确的。

即 [rk-1=2k-1+1]，[rk=2k+1]成立。

则 [rk+1+1=3（2k+1）-2（2k-1+1）=2k+1+1]故在n=k+l时，命题也成立，于是可以断定原命题成立。

应注意，运用数学归纳法论证某一问题时，它的两个步骤是缺一不可的.没有第一步的证明就没有基础，而不做第二步的证明，就无法断定命题在一般情况下是否成立.如果二者缺一，将可能会得出十分荒谬的结论。

参考文献：

[1]（苏）L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著 姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》，莫斯科米尔出版社，1979年

[2]华罗庚的主编《数学归纳法》上海教育出版社，1963年

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1、数学归纳法在全日制普通高级中学教科书《数学》第三册(选修II)，第二章极限，第一节数学归纳法，人民教育出版社。

2、数学归纳法（MathematicalInduction,MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的数。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

3、学归纳法是中学数学证明题中常用的思想方法之一，近年来，数学归纳法的灵活运用是高考考查的重点。

4、数学归纳法主要用于证明与正整数n有关的命题的正确性。通常包括三个主要步骤：一是找准起点，归纳奠基。证明当n取第一个值n=n0时（n0=1或2时），命题结论成立。二是猜想假设，逻辑推理。假设n=k（k≥n0，k∈N+）时的命题结论成立，那么则可以利用已知条件和假设条件推导出n=k+1时的命题结论也成立。三是综合归纳，做出判断。即综合步骤一和二，总结命题的正确性。

（来源：文章屋网 ）

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【关键词】数学归纳法;递归

数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的方法。从它被纳入初中数学教学大纲就可以看出它的重要性。在实践中，用于证明问题的方法越来越多，但首选还是数学归纳法，因为它是最直观、最简便的。

一、数学归纳法的内涵

数学归纳法是一个很重要的证明方法，从数学归纳法被发现、发展到实用，关于它的相关知识逐渐丰富到逐步完善。了解数学归纳法的发现和发展的历史，是掌握数学归纳法的基础。理解数学思想方法和原理，是掌握数学归纳法的重要途径。数学归纳法的灵魂是递归思想，掌握它不但能培养我们以数学思想思考问题的习惯，还能提高我们总结经验、归纳规律的能力。

（一）数学归纳法的本源

先从少数的事例中摸索出规律，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。以小孩子识数为例。他们刚开始都是从一学起，一直学下去，直到某一时刻，他们领悟了，所有的数字都会数了。这是一个认识的飞跃，竟从有限跃到了无穷！这就是一个规律的总结。解释这个飞跃现象的原理，就是数学归纳法。数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无穷。

我们认识事物的时候，会自然的总结事物的规律，用一种设想将事物给描述出来。当我们对事物有了新的认识的时候，我们要前面的设想，再总结出一个新的设想。首先我们可以把对该事物最基本的认识做为第一个命题，这是能够保证其正确性的;如果我们可以证明在此基础上的第k个认识是正确的时候，第k+1个认识也是正确的，那么，这一系列认识就全部正确。前面的例子也很直观的说明了这个问题。

（二）数学归纳法的发展历史

正整数可以说是人们最先认识的数学概念之一。关于正整数，人们最初只是对有限个正整数的问题进行处理。而正整数是一个无限集。人们研究正整数就不可避免的要涉及到无限集的问题。但人们不可能对正整数做无限次的操作，所以人们只有通过某种方法来实现以有限次的操作去获取无限集的某些性质，来研究涉及无限集的问题。

1893年，意大利数学家皮亚诺建立起正整数的公理体系，他把数学归纳法作为一条公理纳入他的正整数公理系统之中。其形式一般为：

“如果一个由正整数组成的集合S包含有1，又如果S包含有某一数a，就必然也包含有a的后继（即a+1），则S就包含所有的正整数。”

此后，数学归纳法成为证明关于正整数的命题的首选方法，并且又发展出若干变型，如第一数学归纳法，倒推数学归纳法等。

（三）数学归纳法的本质

对于数学归纳法本质的认识，是学习数学归纳法并能正确应用数学归纳法的关键。

数学归纳法被明确提出并广泛应用的很长一段时间里，它的逻辑基础仍是不明确的。直到1889年，意大利数学家皮亚诺发表了《算术原理新方法》，建立起关于正整数的5条公理，才使严格意义下的数学归纳法得以进一步明确。

正整数五条公理：

（1）1是正整数;

（2）1不是任何正整数的后继者;

（3）每一个正整数a都是一个后继者;

（4）若a与b的后继者相等，则a与b也相等;

（5）若有一个由正整数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a时，它一定也含有a的后继者，则S就含有全部正整数。

正整数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定。数学归纳法原理可表述为：设p（n）是与自然数n有关的一个命题，如果p（1）成立，若p（k）成立，则p（k+1）成立，那么p（n）对一切正整数n都成立。

数学归纳法有着许多变种，但它的本质还是“1对;假设k对，k+1也对”，理解它并掌握，那么我们也可以变着法子来运用。

在数学归纳法的证法里，它的两个命题都是不可缺少的。即便它是对在n等于1乃至n等于1万都成立，它对于任何自然数是否都成立呢？这却是并不一定的。这样，对于后面那个命题，一般不会被我们遗忘。但是，值得注意的是，我们不能以为“当n=1时，这个命题是正确的”这句话简单而忽略它。在证题时，如果只证了“假设当n=k时，这个命题是正确的，那么当n=k+1时，这个命题也是正确的”，那么这个证明是不完整的、不正确的，它甚至会得出非常荒谬的结论。

如：所有的正整数都相等。

这个命题显然是荒谬的。但是如果我们忽略掉“1对”，那么可以用那个不完整的“数学归纳法”来“证明”它。

首先，我们假设“第k-1个正整数等于第k个正整数”是正确的，即k-1=k;

这时两边都加1，则得k=k+1，即

“第k个正整数等于第k+1个正整数”也是正确的。

这样，我们就得到了所有的正整数都相等这个结论。所以说，数学归纳法的2个组成部分是缺一不可的。

数学归纳法与一般归纳法的根本区别在于，数学归纳法具有明确的论证意识，通过应用归纳法步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性。庞加莱很明确的指出了普通归纳法和数学归纳法的本质区别，他说：“我们必须承认，这和通常的归纳程序有及其相似之处。但是，其中有一个根本的不同。归纳法，当其应用于自然科学时，常是不确定的，因为它的基础是相信宇宙中有一种普遍顺序，一种在我们之外的顺序。相反，数学归纳法，即递归证法，把自然视为一种必然，因为它不过是心灵本身的一种性质……”。

（四）递归函数

递归思想是数学归纳法的灵魂。一般来说，递归函数是一个在正整数集上定义了的函数。首先，有定义;其次，如果知道了，……，，那么也就完全知道了。

如：由

定义了一个递归函数。通过计算，可以知道=1， =2， =4，=7，……，从而可以得出这个递归函数就是

这个等式就变成一个需要“证明”的问题。而由数学归纳法可以很轻松的解决这个问题。

二、数学归纳法的数学应用

（一）代数恒等式方面的应用

例 1：等差数列的第n项，可以用公式

表示。这里，a1是它的首项，d是公差。

证明：当n=1时，，（1）式是成立的。

假设当n=k时，（1）式成立，那么有

=

=

所以当n=k+1的时候，（1）式也是成立的。

综上所述，对于所以的n，（1）式都是成立的。

例 2：等差数列前n项的和，可以用公式

表示。这里，是它的首项，是公差。

证明 当=1的时候， =，（2）式是成立的。

假设当=k的时候，（2）式是成立的，那么

=

=

=+

所以当n=k+1的时候，（2）式也是成立的。

综上所述，对于所以n，（2）式都是成立的。

这一个公式我们经常应用它解决一些数学题目，以前单纯的相信它，而不去思考它的正确性。但是现在我们在使用一个公式前都应该先运用自己已有的知识去尝试证明它，去思考它是怎么归纳出来的。这个时候，数学归纳法将是我们最好的帮手。

（二）不等式方面的应用

例3：求证n个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

n个非负数，，……，的几何平均数是;

算术平均数是

所以本题就是要求证明：

证明 当n=1时，（3）式显然成立。

假设0<QQ……Q

如果，那么所有的（j=1，2，……，n）都相等，（3）式显然成立。

进一步假设<，并且假设

成立。显然（4）式的右边<

因为 =

= +

把等式两边都乘方n（n 1）次，并且由

> + （a>0，b>0）

可知

>

+n（）

=

R

=……

所以

Q

也成立。于是定理得证。

上题可以说是不等式证明方面的一个比较轻松的例题。因为对于不等式方面的证明并不像恒等式那么直观，所以仅仅是会生搬数学归纳法的证明公式已经无法满足解题需要，我们必须理解数学归纳法的思想才能灵活应用。

运用数学归纳法思想于生活中解决实际问题，是我们学习数学归纳法的目的。数学归纳法不仅仅只是一个证明数学问题的证明方法，它包含了一个很好的看待事物的思想。在日常生活中以数学归纳法的思想看待问题可以帮助我们很轻松的解决一些看起来很复杂的问题。

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一、奠基点的选取

例1求证1+cosθ+cos2θ+…+

cosnθ=sin2n+1 2θ 2

sinθ 2

(n∈N*).

常规证法:（1）当n=1时，左边

=1 2+cosθ，右边=

sin3θ 2

2sinθ 2．

要证左边=右边，只要证

1 2=cosθ=sin3θ 2

2sinθ 2．

而sin3θ 2 2

sinθ 2=

sin(θ+θ 2)

2sinθ 2=

sinθcosθ 2+

cosθsinθ 2

2sinθ 2=

2sinθ 2cos2θ 2+

cosθsinθ 2

2sinθ 2=

sinθ 2(1+cosθ)

2sinθ 2+

1 2cosθ=

1 2+cosθ ．以下略．

剖析:以上证明的第（1）步中需拆凑角，用到了和、倍、半角公式，技巧性强、难度大，不易完成．实际上，可以将奠基点前移，取n=0，这既不改变题意，还能简化证明过程．

证明:（1）当n=0时，左边

=1 2，右边=

sinθ 2

2sinθ 2=

1 2，等式成立．（以下略）

例2 求证2n+1≥n2(n∈N*)．

略证:（2）假设n=k时，有

2k+1≥k2成立，当n=k+1时，

左边=2k+1+1=2•2k+1=

2(2k+1)-1≥2k2-1，右边

=(k+1)2=k2+2k+1.

故只要证2k2-1≥k2+2k+1，即k2≥2k+2．

显然此式对k=1，k=2就不成立，推理受阻．

剖析:式子k2≥2k+2对于k≥3还是成立的，因此在第（1）步中，可增加验证次数，将奠基点适当后移．

证明:（1）当n=1时，左边

=1+2=3，右边

=1，左边≥右边；当n=2时，左边

=22+1=5，右边=22=4，左边≥右边；当

n=3时，左边

=23+1=9，右边=32=9，左边≥右边．

（2）假设n=k(k∈

N*且k≥3) 时有

2k+1≥k2成立，当n=k+1时，

左边=2k+1+1=2•2k+1=2(2k+1)-1≥

2k2-1=k2+k2-1≥

k2+3k-1=k2+2k+(k-1)>k2+2k+1=(k+1)2=

右边.

不等式也成立．

由（1）和（2）可知，当n∈N*时都有

2n+1≥n2成立．

二、明确用上假设条件

例3 用数学归纳法证明

1•n+2•(n-1)+…+n•1=

n(n+1)(n+2) 6(n∈N*).

略证：（2）假设n=k时有

1•k+2•(k-1)+…+k•1=

k(k+1)(k+2) 6，当n=k+1时，

1•(k+1)+2•k+3•(k-1)+…+(k+1)•1

=1•k+2•(k-1)+…+k•1+(1+2+3+…+k+1)=

k(k+1)(k+2) 6+

(k+1)(k+2) 2

=(k+1)(k+2)(k+3) 6.

剖析:上面的证明如何由第一个等式用上假设推到第二个等式的，步骤不明，含糊不清．改正如下.

当n=k+1时，

1•(k+1)+2•k+3•(k-1)+…+k•2+(k+1)•

1=1•(k+1)+2•［(k-1)+1］

+3•［(k-2)+1］+…+k(1+1)+(k+1)•1

=［1•k+2•(k-1)+3•(k-2)+…+k•1］

+［1+2+3++(k+1)］

=k(k+1)(k+2) 6

+(k+1)(k+2) 2

=(k+1)(k+2)(k+3) 6.

点评:用数学归纳法证明一个命题，不是形式上象两个步骤就行，而是实质上经过了这两个步骤．因此推理运算必须有根有据，不能含糊其辞．

三、合理用上假设条件

例4 用数学归纳法证明

1 2+

1 22+…+

1 2n

试证:（1）n=1时，左边

=1 2，右边=1，左边

（2）假设n=k时，

1 2+1 22+…+

1 2k

左边=1 2+1 22+

…+1 2k+1 2k+1

可见不能推出左边

剖析:以上证明中对假设的条件应用不合理，导致证明失败．改正如下：

当n=k+1时，左边

=1 2

+1 22+…+

1 2k+1 2k+1

=1 2+1 2

(1 2

+1 22+…+

1 2k)

1 2+1 2

×1=1=

右边．

四、变更命题形式，便于用上假设

例5 用数学归纳法证明：几个非负数的平方平均值不小于算术平均值．

分析:本命题的数学表示是：设

a1，a2，…，an≥0，当n∈

N*且

n≥2时，证明

a21+a22+…+a2n n

≥a1+a2+…+an n

．

此命题的证明中，n=k时的假设形式是

a21+a22+…+a2k k

≥a1+a2+…+ak k,

当n=k+1时，左边

=a21+a22+…+a2k+1 k+1，该式无法用上假设条件，证明受阻．

本题可将不等式做些等价变形，以便于用上假设条件．实际上，

a21+a22+…+a2n n

≥a1+a2+…+an n

a21+a22+…+a2n n

≥(a1+a2+…+an)2 n2

(a1+a2+…+an)2≤n(a21+a22+…+a2n).

下面证明此式成立即可．

证明:（1）当n=2时，左边

=(a1+a2)2=a21+2a1a2+a22≤a21+a21+a22

+a22=2(a21+a22)=右边，不等式成立.

（2）假设n=k(k≥2)时，

(a1+a2+…+ak)2≤k(a21+a22+…+a2k),

当n=k+1时，

左边=(a1+a2+…+ak+ak+1)2=(a1+a2+…+ak)2

+2(a1+a2+…+ak)ak+1+a2k+1

≤k(a21+a22+…+a2k)+2a1ak+1+2a2ak+1

+…+2akak+1+a2k+1≤k

(a21+a22+…+a2k)+a21+a2k+1

+a22+a2k+1+…+a2k+a2k+1

+a2k+1

=(k+1)(a21+a22+…+a2k+a2k+1)=右边.

不等式也成立．

由（1）和（2）可知，当n∈N*且

n≥2时恒有

(a1+a2+…+an)2≤

n(a21+a22+…+a2n)，即

a21+a22+…+a2n n

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【关键词】第一数学归纳法；数列；证明

第一数学归纳法主要用来证明与整数有关的命题，它的步骤如下：

1.设p（n）是与整数n有关的命题，d为一给定的整数，p（d）成立.

2.对任一k，k∈Zd，Zd={n|n≥d，n∈Z}.

由1，2可知对一切n（n∈Zd），命题p（n）成立.

一、先猜想，后用数学归纳法证明的数列题

例1（2013年广东卷理科19题） 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N.

（1）求a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有11a1+11a2+…+11an

简解（1）令n=1代入2Sn1n=an+1-113n2-n-213即可得a2=4.

（2）根据a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N，就可算出a2=4，a3=9，a4=16，a5=25，…，猜想：an=n2.

下面用数学归纳法证明：

1）当n=1时，a1=12=1，命题成立.

2）假设n=k（k≥1）时，ak=k2成立，则当n=k+1时有

ak+1=2Sk1k+k213+k+213=2（a1+a2+…+ak）1k+k213+k+213=2（12+22+…+k2）1k+k213+k+213=21k×k（k+1）（2k+1）16+k213+k+213=k2+2k+1=（k+1）2，所以当n=k+1时，命题也成立.由1）及2）可知，当n∈N时，an=n2.

（3）此不等式仍然可以用数学归纳法证明，但是先要加强结论，使得不等式的右边也是关于n的式子，即证：对一切正整数n，有11a1+11a2+…+11an

二、加强命题后再用数学归纳法证明的题

例2（2008年辽宁卷第21题）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N）.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：11a1+b1+11a2+b2+…+11an+bn

分析第（1）问采用了第一数学归纳法，第（2）问采用了放缩法，没有用数学归纳法.由于第（2）问右边的式子与n无关，因此不能直接用数学归纳法，不过可以加强结论之后再用数学归纳法证明.

证明（1）略.

（2）n=1时，11a1+b1=112+4

1）当n≥2时，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）. 当n=2时，命题成立.

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关键词：数学归纳法；数学教学；证明；应用

数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个重要考点，也是一个难点。在看似简单易懂、形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其内在实质。有些学生仅仅只是生硬地记忆和牵强地套用形式，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应

用呢？在哪些类型的题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好地学习和利用数学归纳法呢？

当然，数学归纳法在很多时候也会使解题变得复杂繁琐，因此

我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。

一、应用数学归纳法证明恒等式

应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。

例1.用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）

证明：（1）当n=1时，左边=1=（2×1-1）=右边，等式成立。

（2）假设n=k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）…（3k-2）=（2k-1）2

那么，当n=k+1时有

（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

=［k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）］+8k

=（2k-1）2+8k

=4k2+4k+1

=（2k+1）2

=［2（k+1）-1］2

即当n=k+1时，等式也成立，对于任意正整数n，等式都成立。

二、应用数学归纳法证明整除问题

应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用

之一。这类问题涉及整除性的知识，如果a能被b整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项、去项进行“配凑”，使之能够获证。

例2.证明f（n）=5n-1+2·3n+1能被8整除。

证明：（1）当n=1时，f（1）=50+2·31+1=8，显然能被8整除，命题成立。

（2）假设当n=k时，原命题成立，即f（k）=5k-1+2·3k+1能被8整除，那么，当n=k+1时，f（k+1）=5k+2·3k+1+1

=5·5k-1+6·3k+1+4·3k-4·3k

=5·5k-1+10·3k+5-4·3k-1-4

=5f（k）-4（3k-1+1）

这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二项4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n=k时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。

三、应用数学归纳法证明几何问题

应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。

需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n=k到n=k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定式，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。

通过以上只是想说明对于有关自然数的命题的证明。不一定都采用数学归纳法这一种方法而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法达到简化证明过程的目的。从另一个角度来讲也能克服学习中的思维定式，使知识融会贯通，灵活运用。

以上我们对数学归纳法的基本形式及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进

行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很

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摘要：归纳法是数学中非常常用的一种学习方法，本文就数学归纳法的分类、运用环境以及如何正确灵活使用等几个问题浅谈自己的看法，将现有常用数学归纳法做了以下总结。

关键词：归纳法；完全归纳法；不完全归纳法；归纳推理

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，要比较正确地理解和运用这个方法，必须弄清楚为什么要应用归纳法，什么时候可以用数学归纳法，怎样正确地应用数学归纳法，怎样灵活地应用数字归纳法等问题。

数学归纳法其特点是由简到繁，由有限到无穷。华罗庚先生是这样引用归纳法的：如果我们有这样的一个保证，当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的东西也一定是红玻璃球，那么在这样的保证下，就不必去一个一个地摸了，只要第一次摸出来的确实是红玻璃球，就可以不再检查地做出结论：“袋里的东西，全部都是红玻璃球。”那么我们采用上述形式上的讲法，也就是有一批编了号码的数学命题，我能够证明第1号命题是正确的。如果我们能够证明在第 k号命题正确的时候，第k+1号命题也是正确的，那么这一批命题就全都是正确的。

归纳法可分为：完全归纳法和不完全归纳法。

根据某类物体中第一个个体都具有（或不具有）某种性质，推出该类物体具有（或不具有）某种性质的归纳推理方法称为完全归纳法。

例：证明当n∈N，N≤δ时，f（n）=n2+n+11是素数。

证明：f（1）=13、f（2）=17、f（4）=31、f（5）=41、f（6）=53、f（7）=67，均为素数。当n∈N，N≤δ时，f（n）都是素数。

根据部分对象具有某种属性作概括，做出该类事物都具有这一属性结论的推理方法称为不完全归纳法。

对于每一类题目在应用数学归纳法的时候，第一和第二两个步骤都是采用类似的格式，当然它的内容会随着具体不同的题目而有所不同，至于第三步不论在哪个题目中，我们总可以用同样的几句话来概括，所以可以用结论的形式来表述。综上所述，主要是两个方面：首先运用数学归纳法的题目是一些可以递推的有关自然数的论断；其次应用数学归数学归纳法在数学中的广泛运用，使得许多问题得以解决或简单化。

合情推理除了数学归纳以外，还有类比推理。类比推理是根据两个不同的对象的某些相同方面或相似特征，推出他们在其他方面也可能相同或相似的思维模式，它是思维进程中由特殊到普遍的推理形式。

熟练掌握归纳及推理在数学中的应用，可以帮助我们解决很多问题少走弯路，为了能够更透彻地学习各种不同的数学知识，我们还需要耐心长期的不断探索和研究。（作者单位：兰州资源环境职业技术学院）

参考文献：

[1]华罗庚.数学归纳法[M].上海教育出版社，1963年11月

[2]黄翔.数学方法论选论[M].重庆出版社，1995年4月

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【关键词】探究；归纳；是法宝

数学是一门科学性、逻辑性都很强的学科。同时，数学又具有趣味性和知识的严谨性。要想学好它，需要我们对它产生兴趣，并且，还需要我们在平时学习的过程中勤于探究、善于归纳总结，找出其中规律，并善于运用这些规律解决问题，我们才会把它学好。

就初中数学而言，很多知识都具有趣味性和规律性。只因我们在平时的学习过程中没有深入研究，而与之擦肩而过。只要我们在学习的过程中注意去研究发现其中的一些内在规律，并会灵活地运用这些规律解决问题，我们就能把它学好。

例如：在代数方面，运算规律是最基本的知识点，我们一定要把它记住。只有记住了运算规律，我们才能去谈运用和拓展。其实，在代数中有很多知识的拓展也是具有规律性，只要我们在学习时，注意去研究它，就会发现其中的弦机。

例如：我们在学习《反比例函数》时，我们不难发现：在反比例函数的图像上任取两点，过两点与坐标轴和原点所构成的直角三角形的面积总是相等的。这个结论我们容易证明：

已知：如图1，点A、B是反比例函数y=kx（K＞0）的图1上的两个点,AC、BD分别垂直于X轴。

求证：SAOC= SBOD

图1

证明：设A（a，ka）,B(b, kb),

OC=a,AC=ka

OD=b,BD=kb

SAOC=12a.ka=k2;

SBOD=12b. kb=k2

SAOC= SBOD

图2

这个结论我们掌握之后，我们在运用过程中就方便了。例如：如图2，过反比例函数y=2x(x>0)图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D,连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，AOE与梯形ECDB的面积分别为S1，S2，则S1、S2、的大小关系是（ ）。

（A）S1> S2 （B）S1< S2 （C）S1= S2 （D）不能确定

分析：因为SAOC= SBOD，所以

SAOC- SEOC= SBOD- SEOC,因此，

SAOE= S梯形ECDB。所以S1=S2。故选C。

图3

同样，在反比例函数的图像上任取两点，这两点与坐标轴和原点所构成的长方形的面积也总是相等的。这个结论也很容易证明：

已知：如图3，在y= (k>0)的图像上有两个点A、B，且AC y轴，AD X轴，BF y轴, BE X轴。

求证：SADOC= SBEOF

证明：设A（a，ka），B（b, kb）

ADOC和BEOF是长方形

又OD=a,DA=ka,OE=b,OF=kb

SADOC=a. ka=k；SBEOF=b. kb=k

SADOC=SBEOF

今后我们可以直接运用这个结论解决问题。例如：在反比例函数中y= (k≠0)的图像上有三点A、B、C，分别过点A、B、C作X轴，y轴的垂线，得到三个长方形，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是（ ）。

（A）S1＞S2＞S3 （B）S2＞S1＞S3 （C）S3＞S1＞S2 （D）S1=S2=S3

其实，象这道题目，如果我们知道了上述的结论，问题就非常的简单，毫无疑问就是D答案。

尤其是在几何的学习过程中，发现规律，掌握规律，运用规律，显得尤为重要。除了要记住课本中的定义、定理和性质之外，还要注意研究一些定理和性质的拓展，往往一些知识的拓展很具有规律性，只要我们注意去探究，注意去总结，注意去归纳，我们就可以发现和找出它们的规律。往后我们就可以直接运用其结果。这样会达到事半功倍的效果，对数学的学习很有帮助，是学好数学的一个诀窍。

例如：我们在学习《四边形》时，里面有很多知识的拓展很具有规律性。若我们在学习时，注意去探究，就会发现这些规律。如：平行四边形的两条对角线分平行四边形所得的四个小三角形的面积是相等的。这个结论我们很容易证明。

已知：如图4，在ABCD中，AC、BD相交于点O。

求证：SAOB=SAOD=SDOC= SBOC

图4

证明：过点A作AEBD垂足为E

ABCD是平行四边形

OB=OD

SAOB=12OB.AE SAOD=12OD.AE

SAOB= SAOD

同理可得: SAOB= SBOC, SAOD= SDOC

SAOB= SAOD= SDOC= SBOC

由此,我们可以归纳出上述的结论.并且,往后我们可以直接运用这个结论解决问题。如:如图，EF过矩形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB、CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ）。

图5

图6

（A）15 （B）14

（C）13 （D） 310

分析：因为BOE≌DOF，而SAOB=SAOD=SDOC=SBOC。所以阴影部分的面积就相当于SAOB的面积，因此，阴影部分的面积是矩形ABCD面积的四分之一。所以，应该选B。

又如：我们容易发现：顺次连接任意四边形各边中点所构成的图形是平行四边形。这个结论也不难证明。

已知：如图①②③，ABCD是任意四边形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD的中点。

求证：EFGH是平行四边形

证明：连接AC（或BD）

E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点

EF和GH分别是BAC和DAC的中位线

EF平行且等于12AC,GH平行且等于12AC

EF平行且等于GH

EFGH是平行四边形

我们掌握了这个规律之后，往后我们就可以直接运用这个结论。既省时，又省力，非常地方便。

例如：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是___________；顺次连接四边形各边中点所得的四边形是__________。如果我们把握了上述的结论，问题不就简单了吗？

再如：我们在学习梯形的时候，不难发现：梯形的中位线平行两底，并且等于两底和的一半。（以前的教材把它当成定理来学习，而现行的教材却没有介绍。）这个结论可以运用三角形的中位线定理来证明。

已知：如图9，ABCD是梯形，AD∥BC,E、F分别是AB、CD边上的中点。

求证：EF平行且等于 (AD+BC)

证明：延长BC交AF的延长线上于点G

图10

F是CD的中点

DF=CF

而∠1=∠2

又AD∥BC

∠3=∠4

ADF≌GFC

AF=GF，AD=CG

EF是ABG的中位线

EF平行且等于12BG而BG=BC+CG

EF平行且等于12（BC+CG）

EF平行且等于12（BC+AD）

因此，我们可以归纳得出梯形的中位线定理。往后我们可以直接运用这个结论来解决问题。如：如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，对角线AC交EF于点G，BC=10cm，EF=8cm，则GF=__cm。

分析：因为中位线EF=8 cm,

图11

所以BC+AD=2EF=16 cm，又因为BC=10 cm,所以AD=16-10=6cm,而GF是CDA的中位线，所以，GF=12,AD=12×6=3 cm。

同样,菱形的面积等于两条对角线的积的一半。也是从例题的推算过程中归纳得出来的结论。

总之，数学中有很多有趣的东西。只要我们去深入地学习和研究，就会发现这些有趣的东西，在不断地归纳，不断总结的基础上，注意运用这些有趣的东西去解决问题，我们会从中获得更多的乐趣，我们就会把数学学得更好！

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关键词：新课标；数学思想方法；归纳；渗透

初中数学中蕴涵了丰富的数学思想、方法的内容。如字母表示数的思想，数形结合的思想、函数思想、统计思想、分类思想（包括等价转化思想与化归思想）、等量思想、不等量思想等大量数学思想。数学方法有理论形成的方法、观察法、实验法、类比法、一般化方法和抽象化方法；解决具体数学问题的方法有代入法、消元法、降次法、配方法、待定系数法、分析法、综合法、坐标法、变换法等。数学知识、思想、方法、技能密不可分，相互联系，相互依存，协同发展，只要在课堂教学法中认真把握，把它们融于一体、就能使学生在学习过程中潜移默化，不知不觉地获得这些思想方法。下面是自己在教学中的一些做法和体会。

一、钻研教材，充分挖掘教材中蕴涵的数学思想方法。

新教材的弹性很大，其选择的材料是精心组织、合理安排的，表达了一定的思想、方法和目的，但是教师怎样设计数学情景？学生应形成怎样的数学思想和方法，教材只做了简短的说明。但是基本的数学思想、方法确如灵魂一样支配着整个教材。因此，教师在教学过程中一定要研究大纲，吃透教材，把教材中蕴涵的数学思想、方法精心设计到教案中去。例如初一代数第一册（上）的核心是字母表示数，正是因为有了字母表示数，我们才能总结一般公式和用字母表示定律，才形成了代数学科，这册教材以字母表示数为主线贯穿始终，列代数式是用字母表示已知数，列方程是用字母表示未知数，同时本章通过求代数式的值渗透了对应的思想，用数轴把数和形紧密联系起来，通过数形结合来巩固具有相反意义的量的概念、了解相反数及绝对值、研究有理数加、减法和乘法的意义等，通过有理数、整式概念的教学，渗透了分类思想，教师只有这样去把握教材的思想体系，才能在教学中合理地渗透数学思想和方法。

二、注重在知识介绍与展示过程中渗透数学思想和方法

概念、公式、法则、性质、定理等数学结论的导出过程，不是简单的再现，教师要创设一定的问题情景，提供丰富的感知材料，使学生的思维经历数学结论的发生、发展、形成的全过程，并在这一过程中通过尝试、观察、猜想、归纳、概括、类比、假设、检验等自我接受数学思想、方法的渗透。教师要抓住各种时机，引导学生透过问题表面理解问题本质，总结出教学思想方法上的一些规律性的内容。

三、点滴孕伏，不断再现，逐渐强化

数学思想、方法不可能经历一次就能正确认识并迁移，需要在长期的教学中，点点滴滴地孕伏，断断续续的再现，若隐若明的引导，日积月累的强化，使学生达到掌握的程度。通过解一元二次方程、一次方程组、分式方程和无理方程，使学生的转化认识、消元降次、化归的思想方法日趋成熟。再如对一元一次方程和一元一次不等式的解法进行类比，使学生了解它们的联系与区别，让学生学会了用类比思想解决问题的方法。

四、把基本数学思想、方法、知识、技能融于一体

教师在课堂中要把基本的数学思想、方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识、技能的同时，也悟到一定的数学思想方法，在运用思想方法的同时，也巩固了知识、技能。这样，思想方法有载体，知识、技能有灵魂，才能真正提高学生的数学素养。例如证明勾股定理或乘法公式时，经常由图形面积的等积变形来实现，这是把数量关系问题转化为图形问题来解决的典型例子。与此相反，证明两直线垂直时，可通过勾股定理的逆定理来证明或由角的数量关系来证明，这是把图形关系问题转化为数量关系问题的典型例子。通过这两种转化方法的不断训练，学生才能不断体会到数形结合的精妙之处，才能把数学思想、方法、知识、技能融于一体，才能真正领悟数形结合的思想方法。

五、有计划、有目的、有组织地上好思想方法训练课

小结课、复习课是系统知识，深化知识，使知识内化的最佳课型，也是渗透数学思想方法的最佳时机，通过对所学知识系统整理，挖掘提炼解题指导思想，归纳总结上升到思想方法的高度，掌握本质，揭示规律。初中数学中有许多体现“分类讨论”思想的知识和技能。如：1、实数的分类；2、按角的大小和边的关系对三角形进行分类；3、求任意实数的绝对值分大于零、等于零、小于零三种情况讨论；4、把两个三角形的形状、大小关系揭示得较为清楚的方法，是把两个三角形分为相似与不相似两大类；…，所有这些，充分体现了分类讨论的思想方法，有利于学生认识物质世界事物之间的联系与区别。

六、运用多媒体手段使数学思想方法形象化

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关键词：归纳思想；高中数学教学；应用

新课程改革的全面深化要求教师在课堂教学中更加注重培养学生的思维能力和创新能力，为学生以后的发展打下更好的基础。数学是一门抽象的学科，它在教学中非常重视抽象的数字含义以及推理过程。结合数学的学科特点和新课改的要求来看，归纳思想对于高中数学应用教学有着重要意义。

一、归纳思想的概述及意义

广义的归纳思想就是学生在已有的认知结构的影响下，通过观察、联想、类比、归纳、推理等，做出新的合情合理的认知过程。归纳思想无论对数学教学自身还是我国素质教育而言都具有重要意义。对数学而言，数学的创造过程不同于其他学科，在数学产生的过程中，为了证明一个定理之前需要经过合理的设想，然后进行检验、完善，最后进行修改。在经过再三的验证、修改、再验证的循环过程之后，才能真正形成定理，在这个过程中需要充分运用的就是归纳的思想。

二、数学归纳思想在高中数学教学中的应用

数学归纳法是高中数学教学中最具代表的归纳思想。它在教学中采用同归纳推理与演绎推理相结合的方式，更容易被学生接受。数学归纳法基本又分为两种：一种是完全归纳，一种是不完全归纳。不完全归纳是通过对题目中的部分对象进行观察，得出的一般性结论。这种归纳方法是由特殊到一般，有时候可能会出错，需要进行严密的论证结果。完全归纳法则是根据归纳原理得出严密结论的推理方法。

1.数学归纳法的基本步骤

例如，要证明一个与正整数n有关的命题的步骤是这样的：

（1）验证n=k1时命题成立；（2）假设n=k，（k≥k1）成立，那么证明n=k+1也成立。

2.数学归纳法重点

（1）数学归纳法的第一步和第二步是基础和依据，都是必不可少的。

（2）在证明n=k+1命题成立之前，一定会用上假设n=k，（k≥k1）成立。进行第二步运算时要想清楚先要获取目标等式，然后再想办法验证。

新课程改革的全面深化更加要求教师在课堂教学中更加注重培养学生的思维能力和创新能力，为学生以后的发展打下更好的基础。归纳思想在高中数学教学中被广泛使用，能够更好地被学生掌握，同时对于高考数学习题的解答有很大帮助，应该受到更加广泛的推广。