数学归纳法十篇

数学归纳法篇1

一、数学归纳法的理论基础

数学归纳法的发现、发展到应用几乎经历了整个数学的发展历程，是一段漫长的历史。16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科（F·Maurolycus）对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究，明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家R.帕斯卡（Pascal）在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法，对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。并用其证明了“帕斯卡三角形”口项展开式系数表，中国称为“贾宪共角性”或“杨辉三角形，”等命题。但“数学归纳法”这一名称的提出，最早见于英国数学家A德·摩根1838年所著的《小百科全书》的引言中。他指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称。

虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑基础都是不明确的。1889年意大利数学家皮亚诺（GYeano）建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，并逐渐演变为一种常用的数学方法。

二、数学归纳法的原理

用数学归纳法证明一个命题时，必须包括下面两个步骤：

第一步：验证当n取第一个值（如n=1）时命题成立；

第二步：假设当n=k（k∈N）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

完成了这两个步骤，就可断定命题对一切自然数都成立。这里的第一步称为奠基步骤，是命题论证的基础：第二步称为归纳步骤，是判断命题的正确性能否从特殊推广到一般的依据。这两个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤中的假设（简称归纳假设）就失去依据，从而使归纳步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上的，所以仍然不能断定原命题是否正确。初学者对于上述思想往往缺乏深刻的认识，对用数学归纳法证题，总觉得不大放心，以为这种证法流于形式，证与不证似乎没有什么两样。这种疑虑是进一步学习的绊脚石。只有弄清实质，理解原理，才能学好数学归纳法。

三、数学归纳法的标准形式

由归纳公理，立刻可以得到，设P（n）是关于自然数n的命题，若

1°（奠基）p（n）在n=1时成立；

2°（归纳）在到p（k）（k是任意自然数）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数都成立。

这就是数学归纳法的标准形式通常称作第一数学归纳法。

适当变换第一数学归纳法中奠基与归纳步骤中的内容，有第一数学归纳法的基本变形。

设P（n）是关于自然数n（n≥n°，n°∈N）的命题，若

1° p（n）在n=n°时成立；

2°在P（k）（k是不小于n°的自然数）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，则p（n）对不小于n°的一切自然数都成立。

设P（n）是关于自然数n的命题，若

1°p（n）在n=1，2…时成立；

2°在P（k）（k是任意自然数）成立的假定下可以推出P（k+l）成立，则P（n）对一切自然数n都成立。

能否改变第一数学归纳法中归纳假设的内容，例如在一些情况下，可以假定n≤k成立，代替假定n=k成立。

四、归纳步骤的证明思路

用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键，又在于合理应用归纳假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的。就中学教材而论，应用数学归纳法证明的命题大致有两种类型。

1.能直接应用归纳假设来证明的。证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中是比较常见的。

2.不能直接应用归纳假设来证明的。这类命题解题时，一般通过下面两种途径，为应用归纳假设创造条件：（1）先将n=k+l带入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而证得结论；（2）利用其他数学知识，建立P（k）（第k号命题）与P（k+1）（第k+l号命题）的联系，从而得到结论成立。对于这种类型题目在中学数学的学习中，特别是在高考大题中的出现概率是比较高的。

五、运用“多米诺骨牌效应”模型，建立直观具体的形象

数学归纳法篇2

【关键词】 数学归纳法 归纳 解析

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）06-023-01

数学归纳法公理是江苏省理科加试题测试内容，是证明有关自然数命题的依据，这一部分内容常见的问题主要有：证明整除问题，证明几何问题，归纳猜想问题和证明不等式问题，本文列举几例予以阐述，供大家参考。

一、证明整除问题

例1. 求证：f（n）=n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除。

证明：（1）当n=1时，f（1）=1+8+27=36能被9整除；

（2）假设当n=k（k∈N*，k≥1）时，结论成立，f（k）=k3+（k+1）3+（k+2）3即能被9整除；则当n=k+1时，f（k+1）=（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3

=k3+（k+1）3+（k+2）3+9（k2+3k+3），根据归纳假设可知，f（k+1）也能被9整除，故当n=k+1时结论成立；

综合（1）（2）可知，f（n）=n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除。

点评：在此类问题中我们要找到f（k）与f（k+1）的关系，在f（k+1）中要“凑项”，增项，减项，拆项等方法还原分离出f（k），从而利用归纳假设使问题得证。

练习：求证：当n为奇数时，xn+yn能被x+y整除。

二、证明几何问题

例2. 已知n（n∈N*）个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明：这n个圆将平面分成f（n）=n2-n+2个区域。

证明：（1）当n=1时，一个圆将平面分成2区域，而f（1）=1-1+2=2，满足条件；

数学归纳法篇3

关键词：高中数学；归纳法；应用

数学归纳法作为一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在一定的范围内成立，是高中数学解题过程中常用的一种重要的解题方法，它不仅可以提高学生的解题效率，而且，对提高学生的逻辑思维以及逆向思维的培养都起着非常重要的作用。所以，本文就从几个例题简单地对数学归纳法进行简单介绍，以促使学生获得更好的发展。

例如，已知各项全不为0的数列{an}的前k项和为Sk，且Sk=1/2akak+1，其中a1=1，求数列{ak}的通项公式。

解法一：Sk=1/2akak+1，a1=1

a2=2，a3=3，a4=4ak=k

当k=1时，a1=1成立

设当k=n时，an=n，Sn=n（n+1）/2成立，所以当n=k+1时，Sn=1/2anan+1

an+1=2Sn/an=n+1成立

ak=k，在k∈N+均成立。

解法二：Sk=1/2akak+1，a1=1

a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6……ak=k

因为试题中没有说该数列是等比数列还是等差数列，所以，即便是学生给出了ak的答案，但也只是停留在假设，如果这是一道填空题，这个答案是可以得分的，但这是一道解答题，需要证明过程。所以，也只能说，解法二的答案是不完整的。

不难看出，解法二的思路是正确的，但并没有给出完整的解题过程。而在解法一中，运用的是数学归纳法，先验证当a1=1是否成立，之后，进行假设阶段，即假设当k=n时，命题ak=k成立，之后就是证明当k=n+1时，命题也能成立。这样当n取k的取值范围，假设都成立。所以，题目也就解答出来了。这基本上也是数学归纳法的基本步骤，以具体情况而定，这也是证明问题的一大技巧，对学生的解题效率起着非常重要的作用。

但是需要注意的是，不是所有的证明题都可以使用数学归纳法的，因为并不是当k=n+1都能证明成立的。因此，在解题的过程中，学生要注意选择。

总之，教师要鼓励学生将数学归纳法运用到解题过程中，要让学生能够轻松地、熟练地利用将数学归纳法提高自己的解题质量，进而培养学生的数学能力。

参考文献：

数学归纳法篇4

一、数学归纳法的结构――演义与归纳的辩证统一

如果把特征的命题简记为，则数学归纳法证题的一般步骤是：（1）证明：真；（2）证明：S（k）真?圯S（k+1）真；（3）结论：真。

图示为：S（k）真?圯S（k+1）真

S（1）真?圯S（n）真

纵观全过程，这是一个“个别―特殊―一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序。从这一层面来讲，它是归纳的。

但是，这个“从S（1）真到S（n）真”并不能靠归纳本身完成，否则就会成为“不完全归纳法”。它将经由这样的程序：假设S（k）真（S（1）真为这个假设奠定了基础），然后经过合乎逻辑规则的推理，最后得出S（k+1）真，这正是一个确定的结论的演绎的证明。从这一层面来讲，它又是演绎的。

所以，把这种证题方法叫做数学归纳法，较能体现归纳中有演绎、演绎中有归纳、归纳与演绎辩证统一的关系。而其中起关键作用的是演绎――正是靠了演绎，结论的正确性得到以从自然走向必然。我们认为，数学归纳法的本质是归纳―演绎的，而演绎是其灵魂。数学归纳法是由递推基础“S（1）真”和递推根据“S（k）真?圯S（k+1）真”协同作用实现其证明的美妙而独特的数学方法。

二、教学中应注意的几个问题

1.注重不完全归纳法的地位。

数学归纳法有着不同的侧面。作为纯粹证题方法的“数学归纳法”与作为教学对象的“数学归纳法”，二者并非一回事。一般教法比较失策的一点是：为了引入数学归纳法，不惜牺牲不完全归纳法，只强调不完全归纳法“不可靠”的一面，而忽略它在作出“新发现”中起作用的一面。在教学中我们从不完全归纳法开始，利用“问题―发现”式教学，其程序大致是：

（1）问题：S（n）=1+3+5+…+（2n-1）=?

（2）列表：1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

如果必要尚可多列出一些（或配合以图形）。

（4）证明：用数学归纳法，示范讲解，提出数学归纳法及其解题步骤。

（5）讲练：初步入门就迅速转入练习（包括讲解例题），使学生在教师指导下，通过讲练达到能懂、会用，明白道理。

2.递推关系是数学归纳法的灵魂。

在数学归纳法教学与解题过程中，中心而困难的一个环节是：“证明：S（k）真?圯S（k+1）真。”

问题表现在：

（1）不懂得对于每个具体的题目，如何将S（k）、S（k+1）真具体化。这在学习初期表现突出。对此，要耐心地进行“解疑”和“启蒙教育”。

（2）不懂得经由怎样的中间步骤实现“S（k）真?圯S（k+1）真”。解决这个问题没有一成不变的办法，原则是创造条件，利用归纳假设，针对具体题目（即一凑假设，二凑目的）。有时需要充分利用几何直观和试算猜想，其思维特点是直觉的或者归纳的；有时则需要从结论出发进行逆推。而分析法用于数学归纳法证题，亦有讲究。3.防止思维混乱，避免“假证明”。

数学归纳法证题训练中，学生往往不知不觉地认为：（1）假设S（k）真，不也是假设了S（k+1）真吗？S（k）与S（k+1）只是S（n）中n取k与k+1，它们没有区别，所以关于“S（k）真?圯S（k+1）真”的证明是走形式。（2）假设S（k）真不就是假设S（n）真吗？k与n都代表自然数，只是符号有别，命题S（k）就是命题S（n），假设它真还证什么？如上述种种错误理解，极易引起学生的思维混乱，甚至导致数学归纳法“可靠性”的怀疑。而另有一些同学则喜不自胜，以为数学归纳法全是走过场，作业中便会自觉或不自觉地出现一些“假证明”。为此，在教学开始时应讲清楚数学归纳法的原理，在证题训练中让学生完全理解并规范约束学生的证题思路，使他们由不自觉到自觉，真正领会数学归纳法，会用数学归纳法。

数学归纳法篇5

【关键词】归纳推理法;初中数学;教学

一、基本概念

归纳推理法就是观察某一类事物的一部分对象具有哪种相同的性质推导出这类事物的所有对象都具有如此性质的方法，是一个从特殊到一般的过程。

分两类：完全归纳推理以及不完全归纳推理。完全归纳推理即需要人们观察某类事物的全部包含对象。比如观察到鹦鹉会飞，麻雀会飞，观察完所有的鸟发现它们都会飞，便可得出鸟类具有会飞的性质这一结论。但这样一来工作量就太大，所以完全推理很难应用于现实生活中，是种在现实中应用不多的推理方法。不完全推理就是观察部分事物的特征进行推理的方法，由于操作方便，它便成为相较于完全推理更常用于生活中的方法，也是我们在教学中经常使用的方法。

二、归纳推理法的作用

1.有利于学生数学思维的形成

这个年龄段的学生处在由形象思维到抽象思维的发展过程，他们还难以从事物的具体表象中脱离出来，如果遇见较难的问题思维便会受阻。比如在教授一些抽象概念时，学生在生活中看不见摸不着，就会难以理解。而数学又充满了抽象概念。所以此时就要根据他们这种心理特征，开始对他们进行归纳推理法的传授。一旦学生掌握了这种良好的学习方法，便会渐渐形成一种数学思维，就能更好的处理数学学习中的难题。

2.激发学生的主观能动性

学习是一个主动探索的过程，而不是被动接受。所以教师在教学的过程中要有意识的着重培养学生独立自主的学习习惯，主动去发现问题、思考问题、找出办法解决问题的能力，让他们的思维得到极大激发，成为学习的主体。

三、教学策略及实际应用举例

1.教学策略

（1）归纳推理法教学思路。合理的教学设计是第一步，它是一堂课是否能达到预期效果的前提。首先要提出问题，比如学习分式的运算这一章，在提出问题这一环节结合以前整式运算的知识，将学生由已经获得的知识点引入新知识的学习上。接下来教师可以给出一个具体实例，比如给全班同学分苹果，将抽象的概念具体化，这样一来学生便在潜意识中对归纳推理思维过程有了了解。

（2）鼓励学生彼此之间交流探索。归纳推理法是一种需要探索的方法，不少学生形成的固有学习模式就是上课听讲记笔记就可以，彼此之间的相互交流和学习的探索能力都很缺乏，这种不思考的僵化思维是不利于掌握归纳推理法的。所以在归纳推理法的教学中，教师要鼓励学生在课堂上积极交流，对归纳的方式就行探索，敢于发表不同的看法，得出合理的结论。这也将在潜移默化中促进学生归纳推理思维的养成。

2.具体应用

（1）代数上的应用。代数是初中数学课程设置的重要环节。教师在这一部分教学中教会学生运用归纳推理法，可以，可快速提高学生的推理能力。比如教师在教授不等式推导检验过程中，要引导学生进行假设，再验证假设是否正确，若不正确，那应当是怎样的结果;若正确，再进而提出不等式的概念。比如已知一个不等式9>2，此时教师可以提出问题：当不等式两边一起乘以一个正数比如2，新的不等式能否成立？当同时乘以一个负数比如-2，还是否成立？让学生自己多举几个例子，看还能得出怎样的结果。如上所述，此时教师要给学生足够的交流探索实践，让学生自己推断出正确结论。

（2）几何上的应用。几何图形学生在日常生活中比较常见，但对它们也只是有个大概的印象，这就需要教师引导学生在已有知识的基础上，通过运用归纳推理，掌握几何的相关知识点。如在推导多边形的内角和时，教师可以先利用多媒体课件呈现一些几何材料，让学生思考，他们已经知道三角形的内角和是180°，矩形的是360°，那么六边形是多少？n边形又是多少？一开始学生的思维可能仍在受阻状态，于是教师要开始启发他们，让他们探索三角形和矩形各自有什么特点，它们之间相同和不同之处与内角和之间的差异又有什么联系。此时也要鼓励学生彼此间交流讨论这些问题，还可以他们通过动手画图研究多边形的内角和，这样慢慢归纳推理出答案。

四、结语

综上所述，归纳推理在初中数学教学中是一种应用广泛的策略，对激发学生的思维，锻炼他们的数学能力起着相当重要的作用。所以教师应对该教学策略熟练掌握，并将其传授给学生，使他们领悟其中精髓。同时，这一策略的运用是循序渐进的过程，教师要了解学生的知识水平。从他们易于接受的程度入手，鼓励学生不论在课堂还是在课后彼此之间都要经常进行逻辑思维的交流互动，彻底理清从个性到共性的过程中进行归纳推理的思路，明确思考方向，及时对学生的归纳结果进行反馈，让学生通过观察、对比、假设、验证等一系列学习方法，综合提高自己的逻辑思维能力和数学运用能力。

参考文献：

数学归纳法篇6

【关键词】数学归纳法；表现形式；解题技巧；常见错误

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一，中学数学中的一些概念、公式、定理及很多命题，通过数学归纳法导出和证明更符合学生的认知特点，也符合人们从特殊到一般的认知规律。但是，数学归纳法应用于证明不等式，应该怎样去用，在运用过程中应注意哪些问题，这一直困扰着我们中学生。

事实上，数学归纳法只能证明与自然数有关的数学命题，且该命题中所讨论的对象必须属于Cantor集（通常意义上的集合），而Cantor集具备三条基本特征―确定性、互异性、无序性。在适用范围内，数学归纳法的实质就是将一个无穷验证或很难穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题：

①当时，命题成立。

②假设当时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

从而达到证明的目的。

数学归纳法的两个步骤看似呆板，但却有多种表现形式，我们对此做一个简要的阐述。

1、第一数学归纳法

表现形式：①验证n取第一个值n0时命题成立。

②由假设当n=k时命题成立，证明对于n=k+1时命题也成立。

则命题对任意的n≥n0命题成立。

2、第二数学归纳法

表现形式为：①验证n取第一个值n0时命题成立。

②由假设n≤k时结论成立，证明对于n=k+1时命题也成立。

则命题对任意的n≥n0命题成立。

3、第三数学归纳法

表现形式如下：设P（m、n）是与两个独立的自然数m和n有关的命题，若

①P（1、1）成立；

②对任意的自然数k、l，假设P（k、l）成立，可以推出P（k+1、l）和P（k、l+1）都成立；

则对任意自然数m、n，P（m、n）均成立。

给出了以上三种在数学证明中常用的数学归纳法的解题思路及步骤，现在我们来讨论一下运用数学归纳法在不等式证明中的解题技巧。

（1）适当放缩

要由“假设不等式”成立推到“目标不等式”成立，宜尽早使用“假设不等式”，再利用辅助条件，通过合理的放缩，逐步向“目标不等式”逼近。

例、（1990年全国竞赛题）设且，求证：对于任何，有成立。

证明：1、当n=1时，原不等式显然成立。

2、设n=k时，原不等式成立，即

则当n=k+1时，

= （关键）

由可得，

即n=k+1时，原不等式成立。

由1、2可知对任何原不等式成立。

注：此题的关键一步运用了适当放缩使问题较为简单的解决。由此可以看出， 放缩法在用数学归纳法证明不等式时的重要性。

（2）增设引理，铺桥架路

当“假设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难时，可以将问题归纳到某个中间联系环节（辅助命题或引理）来处理，而这个中间联系环节只起到桥梁的作用。

例、设a、b为正实数，n为正整数，试证明：

分析：1、当n=1时，不等式显然成立，当n=2时，易证不等式成立。

2、假设当n=k时，结论成立。

当n=k+1时，左边=

要使上式不大于，中间还有一段距离，经分析如能证明辅助命题，则问题可以迅速解决，而这个辅助命题用比较法容易证明，故可证。

（3）分类讨论，柳暗花明

当由“假设不等式”向“目标不等式”过渡时，将要证明的一个命题分成几个命题，然后用数学归纳法讨论。

例、（1986年高考题）已知，

且，

试证：数列{}或者对任意都满足或都对任意都满足。

分析：由于且，又由题意可知，对任意，有，故与同号，于是应分与两种情况讨论。

证明：1、若，用数学归纳法证明

（1）当n=1时，成立。

（2）假设当n=k时，成立，则当n=k+1时，，即当n=k+1时，有

对任意，有。

2、若，同样可证，对任意，，此时有

综合1、2，原命题得证。

（4）加强命题，以屈求伸

当“假设不等式”很难直接过渡到“目标不等式”，则可以通过加强命题的方法加强结论，达到调整结构，以屈求伸之功效。

例、设0

分析：由题设知，，若设，则很难由递推公式推出，因为这里出现在分母上，为了得到应知道小于某个数值，而这一点恰恰无法从归纳假设中得到，为了解决这个困难，我们来证明“对一切，有”，这显然是一个比“”还要强的命题。

证明：先证明对于任何恒成立。

1、当n=1时，0

2、设n=k时结论成立，即成立，则n=k+1时，

成立。

由1、2可知，对于任何恒成立，故恒成立。

参考文献：

[1]赵小云.数学归纳法原理.数学通讯.

[2]张黎明.数学归纳法的应用与技巧.青海师范大学民族师范学院学报.

数学归纳法篇7

随着近几年考试命题对于考查学生的探索和归纳问题的能力的侧重，很多的考试题目开始广泛出现了利用数学归纳法进行不等式证明的应用.所谓数学归纳法，是用来证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法，主要用来探讨与正整数有关的一系列数学问题，在高考试题和数学联赛试题中应用非常频繁和广泛.数学归纳法的历史非常悠久，早在1575年就出现了数学家巧妙地利用递推关系证明出了前n个奇数的总和为n2，以此成功地总结出了数学归纳法的证明.数学归纳法总结起来有四种，分别是第一类数学归纳法、第二类数学归纳法、倒退归纳法（反向归纳法）以及螺旋式归纳法.最常见并且最简单的数学归纳法是用来证明当n隶属于全部的正整数时一个数学表达式是否成立，主要由两个步骤组成：进行递推的基础条件是证明当n为1时所要证明的数学表达式成立，进行递推的依据是证明假如n为正整数m时数学表达式成立，那么当n为m+1时数学表达式同样成立.此方法包含的原理是由第一步的递推基础证明起始数值在数学表达式中能够成立，然后证明从一个数值到另一个数值的证明过程是有效的，那么任意一个数值的证明都可以包括在这种不断重复的证明过程中.将这种方法类比于多米诺效应理解起来更容易：对于一排直立着的很长的多米诺骨牌，如果可以确定第一张牌将会倒下，只要是某一个牌倒下了，与它相邻的下一个牌也会倒下，那么就可以以此确定出相应的递推关系来推断所有的多米诺骨牌都会倒下.

二、数学归纳法证明不等式之应用

1.数学归纳法证明不等式的方法

利用数学归纳法来证明不等式的方法可以分为两个步骤：第一步是验证当n取第一个初始数值n0时所要证明的不等式成立，第二步是对于任意的正整数k，假设当n的值等于k时不等式能够成立，以此来证明当n为k+1时所要证明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能够顺利证明完成，那么可以得出结论，即对于所有大于或等于n0的正整数n不等式成立.运用数学归纳法来证明不等式的方法中的这两个步骤体现了数学中的递推思想，对于证明格式要求比较严格，第一个步骤是递推思想应用的基础，第二个步骤是递推思想应用的依据.而且第二个步骤的变形是不等式证明的关键点，需要运用假设方法来作为递推证明的基础.利用数学归纳法证明不等式涉及的主要知识点有整除、恒等式、不等式和与几何教学相关的知识内容.数学归纳法来证明不等式的难点重点在于由n等于k时不等式成立来推出n等于k+1时不等式同样成立这一步骤.为了顺利完成这一步的推断，不仅仅要合理使用假设和归纳的方法，还要灵活地使用所给问题的其他相关条件和知识，证明时先比较n=k和n=k+1这两个等式间的共同点和差异，然后决定后者做哪一种变形，再利用分析、放缩、比较、综合的方法和不等式的传递性质来完成证明.

2.数学归纳法证明不等式例析

数学归纳法在证明不等式方面的应用非常广泛，利用它来证明不等式使用起来简单容易.在利用数学归纳法证明不等式时，应该比较当n=k和n=k+1时所得出的两个不等式之间的形式差异，然后决定后者做什么样的变形能符合条件.一般来说有如下几个解题方法和策略，首先是要学会活用起始点的位置，这样可以适当增加起点或者将起点位置前移，这样可以补充不等式的一些特殊情形，容易验证；其次可以根据不等式的递推目标进行适当的分析和放缩，或者引入一些合理的不等式用来过渡，将所要证明内容进行平稳过渡，为目标不等式的证明架桥铺路.

例如，起点增加和前移的应用：证明对于一切正整数n，都有2n+2>n2成立.

①当n为1时，不等式两边显然成立；

②假设对于正整数k，不等式也成立，即2k+2>k2，那么就需要证明不等式对于n=k+1也是成立的，即证明2k+1+2>（k+1）2.

因2k+1+2=2×2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

数学归纳法篇8

推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.由于解答高考试题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中.从近几年的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主.当然有些省市（如山东卷、广东卷、海南、宁夏）没有单独考查此内容，因为解答与证明题本身就是一种合情推理与演绎推理，作为一种推理工具是很容易被解答题与证明题接受的.

命题特点

本讲考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，这为创新性试题的命制提供了空间.

从近几年高考试题中可以看出，高考命题在推理与证明方法的考查呈现以下特点.（1）考查的主要方式是对它们原理的理解和用法，难度多为中档题，也有高档题；（2）从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法；（3）与导数、数列、不等式相结合，用数学归纳法证明不等式是命题的热点.

1. 运用归纳推理与类比推理发现结论

例1 在平面几何里，有“若[ABC]的三边长分别为[a，b，c]内切圆半径为[r]，则三角形面积为[SΔABC=12a+b+cr]”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体[ABCD]的四个面的面积分别为[S1，S2，S3，S4]，内切球的半径为[r]，则四面体的体积为________”.

解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中[12]类比为三维图形中的[13]，得四面体[ABCD]的体积[V=13S1+S2+S3+S4r].

答案 [V=13S1+S2+S3+S4r].

点拨 归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.

2. 利用综合法证明有关命题

例2 如果[a，b]都是正数，且[a≠b]，

求证：[a6+b6>a4b2+a2b4].

解析 因为[a6+b6-（a4b2+a2b4）=a4（a2-b2）+b4（b2-a2）][=（a2-b2）（a4-b4）]=[（a2+b2）（a2-b2）2]，

又因为[a>0，b>0]且[a≠b]，

所以[（a2+b2）（a2-b2）2>0]，即[a6+b6>a4b2+a2b4].

点拨 作差法属于综合法的一种，利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论.

3. 利用分析法证明有关命题

例3 求证：[a-a-1

解析 要证[a-a-1

所以只需证明[a（a-3）

[0

点拨 （1）在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件.

（2）用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语.

4. 反证法证明相关问题

例4 若[a，b，c]均为实数，且[a=x2-2y+π2]，[b=y2][-2z+π3]，[a=z2-2x+π6]，求证：[a，b，c]中至少有一个大于0.

解析 设[a，b，c]都不大于0，则[a≤0，b≤0，c≤0]，所以[a+b+c≤0].

而[a+b+c=（x2-2y+π2）-（y2-2z+π3）+（z2-2x+π6）]

=[（x2-2x）+（y2-2y）+（z2-2z）+π]

=[（x-1）2-（y-1）2+（z-1）2+π-3]，

所以[a+b+c>0]，这与[a+b+c≤0]矛盾，

故[a，b，c]中至少有一个大于0.

点拨 从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如这类带有“至少有一个”等字样的数学问题.

5. 数学归纳法

例5 已知数列[{bn}]是等差数列，[b1=1，b1+b2+…][+b10=145]，

（1）求数列[{bn}]的通项公式[bn]；

（2）设数列[{an}]的通项[an=loga（1+1bn）]（其中[a>0]且[a≠1]），记[Sn]是数列[{an}]的前[n]项和，试比较[Sn]与[13logabn+1]的大小，并证明你的结论.

解析 （1）设[{bn}]的公差为[d]，由题意得，

[b1=1，10b1+10（10-1）2d=145，?b1=1，d=3，]bn=3n-2.

（2）由①知，[Sn=loga（1+1）+loga（1+14）+…+][loga（1+13n-2）=loga[（1+1）（1+14）…（1+13n-2）]，]

而[13=][loga3n+13]，

于是比较 [Sn]与[13logabn+1]的大小[?]比较[（1+1）（1+14）…（1+13n-2]）与[3n+13]的大小.

取[n=1]，有[（1+1）=83>43=3?1+13].

取[n=2]，有[（1+1）（1+14）>83>73=3×2+13].

推测 [（1+1）（1+14）…（1+13n-2）>][3n+13]（*），下面用数学归纳法证明.

（1）当[n=1]时，已验证（*）式成立.

（2）假设[n=k（k≥1）]时（*）式成立，即[（1+1）（1+14）…][（1+13k-2）>][3k+13]，

则当[n=k+1]时， [（1+1）（1+14）…（1+13k-2）（1+13（k+1）-2）>]

[3k+13（1+13k+1）][=3k+23k+13k+13]，

[（3k+23k+13k+13）3-（3k+43）3]

[=（3k+2）3-（3k+4）（3k+1）2（3k+1）2=9k+4（3k+1）2>0]，

[3k+133k+1（3k+2）>3k+43=3（k+1）+13]，

[（1+1）（1+14）…（1+13k-2）（1+13k-1）>3（k+1）+13]，

即当[n=k+1]时，（*）式成立.

综上可知，（*）式对任意正整数[n]都成立.

于是，当[a>1]时，[Sn>13logabn+1].

当[0

点拨 比较大小的方法常用的有：作差比较法、作商比较法、函数单调性法等等.此例采用的方法为“计算、归纳、猜想、论证”的方法，即通过计算、归纳，猜想得出一般性的结论，然后用数学归纳法加以证明.这也是解决问题的一种常用方法.

备考指南

1. 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面现象的相似甚至假象去类比，就会犯机械类比的错误.

2. 合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明；演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.

3. 综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用.

4. （1）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.

（2）用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论[P]，再说明所要证明的数学问题成立.

限时训练

1. 观察下列各式：[55=3125，56=15625，57=78125，…，]则[52014]的末四位数字为 （ ）

A.[3125] B.[5625] C.[0625] D.[8125]

2.已知结论：在正三角形[ABC]中，若[D]是边[BC]的中点，[G]是三角形[ABC]的重心，则[AGGD=2].若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体[ABCD]中，若[BCD]的中心为[M]，四面体内部一点[O]到四面体各面的距离都相等，则[AOOM]等于 （ ）

A.1 B.2 C.3 [ 11 12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 120 15 …] D.4

3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第[n]行有[n]个数且两端的数均为[1n（n≥2）]，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如[11=12+12]，[12=13+16]，[13=14+112]，…，则第[7]行第[4]个数（从左往右数）为 （ ）

A. [1140] B. [1105] C. [160] D. [142]

4.[p=ab+cd，q=ma+nc?bm+dn（m，n，a，b，c，d）]均为正数，则[p，q]的大小为 （ ）

A.[p≥q] B.[p≤q] C.[p>q] D.不确定

5. 设[a=lg2+lg5]，[b=ex（x

A.[a>b] B.[a

6. 某个与正整数[n]有关的命题，如果当[n=k（n∈N?，k≥1）]时，该命题成立，则一定可推得当[n=k+1]时，该命题也成立，现已知[n=5]时，该命题不成立，则 （ ）

A. [n=4]时，该命题成立

B. [n=6]时，该命题成立

C. [n=4]时，该命题不成立

D. [n=6]时，该命题不成立

7. 用数学归纳法证明不等式[1n+1+1n+2+…][+12n

A. 增加了一项

B. 增加了两项[12k+1，12k+2]

C. 增加了B中两项但减少了一项[1k+1]

D. 以上各种情况均不对

8.给出下列三个类比结论：①[（ab）n=anbn]与[（a+b）n]类比，则有[（a+b）n=an+bn]；②[loga（xy）=logax+logay]与[sin（α+β）]类比，则有[sin（α+β）=sinαsinβ]；③[（a+b）2][=a2+2ab+b2]与[（a+b）2]类比，则有[（a+b）2=a2+2ab+b2].其中结论正确的个数是 （ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

9. “因为指数函数[y=ax]是增函数（大前提），而[y=（13）x]是指数函数（小前提），所以函数[y=（13）x]是增函数（结论）”，上面推理的错误在于 （ ）

A.大前提错误导致结论错误

B.小前提错误导致结论错误

C.推理形式错误导致结论错误

D.大前提和小前提错误导致结论错误

10.一个赛跑机器人有如下特性：①步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米或1.9米；②发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；③当设置的步长为[a]米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔[a]秒.则这个机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是 （ ）

A.48.6秒 B.47.6秒

C.48秒 D.47秒

11.如图所示，第[n]个图形是由正[n+2]边形拓展而来[（n=1，2，…）]，则第[n-2]个图形共有_____个顶点. [①][②][③][④]

[12]. 如图都是由边长为[1]的正方体叠成的图形，例如第（[1]）个图形的表面积为[6]个平方单位，第（[2]）个图形的表面积为[18]个平方单位，第（[3]）个图形的表面积是[36]个平方单位.依此规律，则第[n]个图形的表面积是__________个平方单位.

[（1）][（2）][（3）][（4）]

13.设函数[f（x）=xx+2（x>0），]观察[f1（x）=f（x）=xx+2，] [f2（x）=f[f1（x）]=x3x+4]，[f3（x）=f[f2（x）]=x7x+8]，[f4（x）=f[f3（x）]]

[=x15x+16]…

根据以上事实，由归纳推理可得，当[n∈N+且n>1]时，[fn（x）=f[fn-1（x）]=]________.

14.设数列[11，12，21，][13，22，31，…，][1k，2k-1，…，k1，….]这个数列第[2010]项的值是________；这个数列中，第[2010]个值为[1]的项的序号是__________.

15.在各项为正的数列[an]中，数列的前[n]项和[Sn]满足[Sn=12（an+1an）].

（1）求[a1，a2，a3]；

（2）由（1）猜想数列[an]的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.

16.已知函数[f（x）=ax+x-2x+1（a>1）].

（1）证明：函数[f（x）]在[（-1，+∞）]上为增函数；

（2）用反证法证明[f（x）=0]没有负根.

17.数列[an]的前[n]项和记为[Sn]，已知[a1=1]，[an+1=n+2nSn（n∈N+）].证明：

（1）数列[Snn]是等比数列；

（2）[Sn+1=4an].

18.在数列[an，bn]中，[a1=2，b1=4]，且[an，bn，an+1]成等差数列，[bn，an+1，bn+1]成等比数列[（n∈N?）].

数学归纳法篇9

【关键词】归纳法；数学归纳法；情境

数学归纳法是高中数学中的一个重要知识点，也是一种重要的数学证明方法.这一课的难点是正确理解数学归纳法中的递推思想，认识到从“无限”到“有限”，从“量变”到“质变” 的过程.因此在新课的处理上教师可以巧设一些情境，有助于学生更好地理解和掌握并且实现难点的突破.下面笔者将创设的情境一一举例说明.

一、创设故事情境，引入财主儿子学写字的故事

从前有个财主，想叫儿子识字，请来一位教书先生.先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，学生归纳出是个“三”字.学到这里，儿子认为“万”这个字好麻烦要写一万横.类似的情境还有很多，例如：

（1）脑筋急转弯：小明的爸爸有三个孩子，老大叫大毛，老二叫二毛，请问：老三叫什么呢？

（2）谚语：天下乌鸦一般黑.

其实，数学中有许多像这样通过观察、归纳、猜想得出的结论，然后可将情境导入数学，提出问题.

二、创设回想情境，回想等差数列通项公式的归纳猜想过程

请大家回想，“以前有像财主儿子那样通过归纳猜想获得过某些数学结论吗？请举例.”学生举例：

故事导入后，再由生活联系数学，达到了温故知新的目的，也可激发学生的学习兴趣，从而对本节课的教学内容产生强烈的求知欲.

三、创设生活情境，引入“买票难”这一社会热点问题

春运期间，买票难也一直都是一个热点问题，排了很长的队伍却不知道自己能不能买到票.一次，小华跑到前面问了问售票员：“我能买到去哈尔滨的票吗？”售票员回答说：“票是充足的，已有人买到票.”然后她还说了一句话，小华立即高兴地去排队了，请问：售票员回答时又说了一句什么话呢？

告诉学生，售票员说：“如果前一个人能买到票，那么紧跟其后的一个人一定能买到票.”这个实例的选取可以引导学生将所有排队的人能买到票的条件归纳总结如下：（1）第一个人能买到票；（2）售票员作出的“只要前面某人买到，紧跟其后的一个人就一定能买到”的承诺能兑现.并且引入这样的社会热点问题，易激活学生学习的兴奋点，同时有助于学生“由表及里”逐步领悟数学归纳法的本质.

四、创设游戏情境，引入多米诺骨牌游戏

多媒体展示游戏过程并且提出这样的问题：假如骨牌有无限多块，这个演示我们永远不可能看完，但你能据此确定骨牌一块接一块全部都倒下吗？

通过前两个（财主儿子学写字和买车票）实例引导学生由归纳法到数学归纳法步骤的归纳，随后多米诺骨牌游戏的动态演示，利用了学生的生活经验，在学生思维的“最近发展区”生长新知，符合学生的认知规律.并且让学生在形象生动的画面中认识从“有限”到“无限”的递推过程，为教学难点突破提供直观形象的解释.从触及到感悟再到运用递推思想，学生对数学归纳法本质和步骤的认识层层递进.

此处的情境也可以选取：以识数为例，小孩子识数，先学会一个，两个，三个……这个时候，能够数到十了；又过些时候，会数到二十，三十……一百了.后来到某个时候，他领悟了“我什么数都会数了”.这一飞跃，竟从有限跃到了无穷.怎么会的呢？解释以上飞跃现象的原理，也正是数学归纳法.（1） 他知道从头数；（2） 他知道一个一个按照次序数，而且不愁数了一个以后，下一个不会数.于是，他就会数任何数了.情境创设后学生很容易能用类比的思想，类比到自然数n有关的命题.也就是：有一个与自然数n有关的数学命题， 能够证明当n=n0时命题正确，如果我们能够证明在n=k（k∈N，且k≥n0）时命题成立，当n=k+1时命题也成立，那么这一个命题就对从n0开始的所有的自然数n全部成立.

至此，大部分学生已能归纳概括数学归纳法的两个步骤，理解其实质.但仍有小部分学生对此理解模糊，表现在：（1）把重点放在第二步（归纳递推）上，而对第一步（归纳奠基）感到可有可无.（2）为什么可以先归纳假设呢？怎么可以作为条件来使用呢？怎样实现递推？此时可举出具体反面事例说明.

五、创设数学情境

（1）奇数是2的倍数.如果学生没有第一步归纳递推，直接假设“如果奇数k是2的倍数”却能够推出“那么下一个奇数k+2也是2的倍数”，很显然这是个错误的结论.

（2）n2+n+11是质数.这个命题对于n=1，2，3，4，5，6，7，8，9都成立，但是对于n=10却不成立，因为121是一个合数.所以第二步归纳假设要用到，要形成递推关系.

数学归纳法一课通过不断地创设情境，层层递进，引导学生从“有限”认识到“无限”，从“具体”认识到“抽象”的数学思维策略，充分理解其原理和实质.在某种意义上说，一个理想情境的创始能使课堂教学达到事半功倍的效果.

【参考文献】

数学归纳法篇10

关键词：初中数学；数形结合；分类讨论；函数思想；转化思想

数学思想顾名思义，就是人们在科学运用数学方法解决实际问题时将数学过程和理论联系概括、总结升华得出具有奠基性、总结性和广泛性的数学指导方法。俗话说：“磨刀不误砍柴功。”数学思想方法是指导我们解决数学问题的工具，同学们只有掌握了数学思想才能学以致用、运用数学知识解决问题，掌握数学思想，就掌握了数学的精髓。初三进入应考阶段，掌握数学思想方法解决问题的技巧会使我们大受裨益。所以，一线数学教师务必要给学生渗透运用数学思想方法来解析、探索和解决问题的思想。鉴于此，笔者通过本文对初中数学教学中常见的数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归等四种数学思想方法展开讨论与研究。

一、数形结合探索

数学的范畴本来就包括事物的空间结构形式和数量关系等两个方面，数与形更是数学的两个基础概念，而初中数学正是引导学生认知数形结合、处理实际问题的关键环节。课堂教学中学习数形结合思想可以让学生掌握将抽象文字辅助以形象的图形示意，或者将抽象的图形示意解说以细致的文字表达，该方法能成功将抽象的数学关系以形象、全面的形式表达出来，通过几何问题代数化解、代数问题几何描述的方式实现将问题简单化的

目的。

例如，我们小学阶段做路程应用题时就学过用线段形象地表达题意、形象地理解这就是最初的数形结合解决实际问题的案例；再如，初一阶段学习有理数大小比较时，也是用线段图进行对比表示“右边比左边大”；初中阶段开始学习的“建立直角坐标系”就是数形结合思想中的重要手段，接下来我们学习的各种方程及不等式解集等都可以用数形结合的形象方式在图上表示出来，一目了然，让我们易于理解和观察。反之，如果我们不结合图形，只以抽象的理论进行照本宣科的解说，我相信，绝大多数同学会听得云里雾里，不知所云。

总之，数形结合思想可以兼抽象概念与形象思维而顾之，能

及时取长补短、优势互补，在初中数学学习过程中具有非常重要的指导意义。

二、分类讨论研究

当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。初中数学阶段，我们在解决实际问题时往往会出现这样的情况：有的问题答案不再像小学阶段一样只是一个常数或者唯一的描述，而是几个答案或实用范围，为了找到正确答案，我们就要通过分类讨论来进行验证和解决。

综上所述，分类讨论作为比较重要的数学逻辑思维和解题策略，体现了统零为整总结概括和化整为零各个击破的解题战略思想。分类讨论通过层层分析，步步为营，将负责的问题化整为零，解题思路条理清晰、有条不紊，问题答案豁然开朗。

三、函数思想方法

函数是初中数学中最重要的概念之一，它表达的是事物数量之间的关系。函数思想方法就是在解决相关数学问题时，巧妙借用函数的概念和性质通过分析、研究最终解决问题。当然，函数思想方 四、转化思想

转化思想就是将陌生的复杂问题转换成容易理解的、熟悉的问题，以谋求简化问题，找到有效解决途径的数学思想方法。活用转化思想不仅可以提升学生在解题过程中的应变能力，而且有助于学生养成多方位、多角度立体思考问题的习惯。下面从概念性的转化和方法性两个方面来进行解说：

1.概念性转化

概念性转化就是将难以理解的概念和数量关系根据数学原理转换成易于理解的概念。为了利于大家认识和理解，这里举一个最简单的例子：x+2=3这样简单的小方程，大家都知道在解决问题时我们通常会转化成：逆运算减法x=3-2这样就将问题简单

化，更容易理解和得出答案。这个问题虽简单，但是道出了概念性转化思想的真谛。

2.方法性转化

有些数学问题用通常的方法解决比较困难，这时候我们就要通过巧妙的方法转化来解决问题：例如，将（ab-1）2+（a+b-2）（a+b-2ab）分解因式。

数学课堂教学中，我们应该根据初中生的认知规律和知识结构特点，具体研究问题各要素之间的关联方式，进而找到合理的转化方法，如：我们在解题过程中经常在函数、方程和不等式之间进行转化。掌握转化思想不仅有助于促进学生知识的巩固和迁移，还有助于学生积极主动地参与知识探本溯源的学习过程，最终树立自主运用数学思想方法处理实际问题的意识。

上文是笔者结合一线教学实践对初中常见的四种数学思想方法的总结和归纳。总之，数学思想方法是解决数学问题的根本准则和方向指导，它有利于学生通过科学的方法掌握知识，提升技能。教学实践中，我们一定要从学生的实际认知出发，结合教学内容设置相应的教学方式和方法，不断改进数学思想方法，努力培养更加优秀的学生，追求完美的高效课堂。

参考文献：

[1]唐国剑.浅谈中考中的常见的初中数学思想方法[J].新天地·开拓教育新天地，2011（9）.

[2]张改欣.初中数学常见思想概述[J].新课程：上，2009（6）.