数值方法十篇

数值方法篇1

关键词：函数最值；基本方法

在中学数学中常遇到一类求函数最大值、最小值的问题，它是中学数学教与学中普遍感到困难的一类问题。函数最值涉及的知识面较广，方法也灵活多变，训练思维能力效果好，因此在数学中占有重要的地位，要学好函数最值就必须了解和掌握求函数最值的方法与技巧。函数最值的基本方法有很多，这章主要介绍代数法、导数法、构造法、数形结合法、引进复数求函数最值。

一、配方法

代数法是中学阶段应用最广泛的方法，它包括配方法、判别式法、换元法、不等式法等。首先，我们介绍配方法。

利用配方法将二次型转化为标准型求函数最值的方法不仅易于掌握，而且思路清晰，操作简单，它是求二次函数最值一种行之有效的方法。配方法及其思想在数学分析、高等代数、空间解析几何等中都有着广泛的应用。配方法的基本步骤如下：

函数y=ax2+bx+c，经配方得

y=ax+2+，

若a>0，当x=-时，ymin=；

若a

配方法是一种对数学式子进行定向变形（配成完全平方）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。掌握这一方法关键在于合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧。

二、判别式法

判别式法主要是应用方程的思想来解决函数的最值。它是我们解题时常用的方法，具体的过程如下：

将函数y=，

改写成关于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，

则它有实数解x的充要条件是其判别式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，

从而由等式（方程）转化为关于y的不等式，从而求其最大或最小值。在解题中应注意a（y）≠0。

利用判别式法求函数的最值时应注意两点：

（1）求函数的定义域；

（2）对于二次方程的二次项系数要分零和非零两种情形。

三、换元法

利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决。求函数最值的换元法主要有三角换元法和代数换元法。中学数学中较常见的是下面两种形式的换元。

（1）y=ax+b+，令t=，将y转化为t的二次函数，再求最值。

（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，将y转化为t的二次函数，再求最值。

四、不等式法

中学数学中利用均值不等式求函数最值是一种基本的、常用的方法。灵活运用均值不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值。均值不等式的运用有三个严格的限制条件，即（1）各项均为正数；（2）积或和是定值；（3）等号能否取到，简言之“一正二定三相等”，三个条件缺一不可。以下是有关均值不等式两个定理。

定理1：当a，b∈R+时，则≥，当且仅当a=b时等号成立。

定理2：当a，b，c∈R+时，则≥，当且仅当a=b=c时等号成立。

五、导数法

导数法一般用来解决一类高次函数的最值。

用导数法求函数最值的步骤为：

第一步：找出fx在a，b内所有可能的极值点，即驻点和一阶不可导点；

第二步：求出fx在上述点和两个端点a与b处的函数值；

第三步：将函数值进行比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

综上可知，函数最值内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，应注意选择最优解法。以上就是本文整理出的有关于求函数最值的一些解法。当然求函数最值的方法不止这些，这里只是对求函数最值的方法作部分的归纳，具体的方法还有待去进一步的发现和总结。

六、结语

函数最值的方法是数学解题中既重要又实用的技巧。因此，深刻理解函数最值，熟练掌握求解函数最值的方法并在实践中灵活运用，是我们学好数学的关键。

以上求解函数最值的方法与应用并不全面，事实上还存在很多有关函数最值的求解方法和在其他方面上的应用，因此需要不断更新、研究，以便总结出更多求解函数最值的方法和更有效地应用这些方法解决函数最值，让函数最值的方法的应用更加广泛。

参考文献：

1.张弛.函数的最值及其应用.黑河教育，2004（2）：34.

数值方法篇2

关键词：岩土数值模拟 有限元法 无网络伽辽金法扩展有限元法数值流形法离散元法

Abstract: gradually developed some geotechnical analysis method and mathematical theory, such as information method, the analytic hierarchy process (ahp), random simulation method, the numerical manifold method, no network, discrete element method, fractal theory, reliability analysis, artificial neural network and intelligent rock mechanics etc, has presented a comprehensive application trend, for research in rock mechanics, rock failure process of rock mass progressive, the existence of the internal initial damage and block the discontinuous characteristics between is must consider factors so based on continuum mechanics on the basis of the traditional finite element method has obvious limitation. All kinds of the emerging of the new method from different aspects promote the rock mechanics numerical calculation method of progress.

Keywords: geotechnical numerical simulation finite element method without network petro-galerkin method was expanded numerical manifold method finite element method of discrete element method

中图分类号：O241 文献标识码：A文章编号：

岩土数值模拟是否正确，其解决问题的重要基础仍然是地质工作，“地质体运动真实行为的理解比精确计算更为重要”。基础工作主要是研究地球内外动力作用的规模、机制和发展演化规律及所产生的不良地质问题，对之进行分析、评价以及提出有效的防治对策和措施。传统的岩土工程地质评价方法有自然历史分析法、工程地质对比法、模型模拟试验法、图解法等。

纯粹数值模拟方法的研究，近年来重新成为国际岩土工程界的热点。有限单元法、有限差分法等传统数值方法的使用仍然是解决实际应用性岩土工程问题的主要方法。近年来，逐渐发展起来的一些分析手段与数学理论，如信息量法、层次分析法、随机模拟法、无网络法、数值流形法、离散元法、分形理论、可靠度分析、人工神经元网络和智能岩石力学等，已经呈现出综合应用的趋势。

目前，有限元法显然成为计算力学中解决工程问题的主要数值手段，然而随着其应用范围的扩展，其固有的一些缺陷也日益突出。在金属冲压成形、高速碰撞、流固耦合等涉及特大变形的领域中，基于拉格朗日法的有限元划分网格可能产生严重的扭曲，甚至使得单元的雅可比行列式为负值，不仅在计算中需要网格重构，而且严重地影响解的精度；对高速冲击等动态问题，显式时间积分的步长取决于有限元网格的最小尺寸，因而网格的扭曲将使得时间积分步长过小，这将大幅度地增加计算工作量，降低运算效率；对裂纹的动态扩展问题，由于裂纹的扩展方向不能提前确定，在计算过程中不断地重新划分网格以模拟裂纹的动态扩展过程成为难题。由于有限元近似基于网格，因此必然难于处理与原始网格线不一致的不连续性和大变形。网格重构不仅计算费用昂贵，而且会损害计算精度。鉴于此，近些年来国际上许多著名的计算力学学者，如 T. Belytschko， O.C. Zienkiewicz，S.N. Atluri，J.T. Oden，W.K. Liu 等都对无网格方法表现出了极大的兴趣，并进行了大量的研究工作。无网格方法采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，不需要网格的初始划分和重构，不仅可以保证计算的精度，而且可以大大减小计算的难度。然而，由于目前的无网格近似一般没有解析表达式，且大都基于伽辽金原理，因此计算量很大，要超出传统的有限元法；另外，无网格近似大都是拟合，因此对于位移边界的处理比较困难，多采用拉格朗日乘子法处理。 目前已提出了十余种无网格法，其主要区别在于离散微分方程的方法（如伽辽金法、配点法、最小二乘法、彼得洛夫-伽辽金法等）和建立近似函数的方法（移动最小二乘近似、核近似、重构核质点近似、单位分解法、hp云团法、径向基函数法、点插值法等）。

众多岩土力学数值方法中，无网络伽辽金法(EFGM) 。EFGM 的特点是采用移动最小二乘法构造位移函数，从弱变分原理形成控制方程，利用罚函数满足边界条件。因此，无网络法只需结点信息，勿需大量的划割网格的前处理工作，尤其适用于岩体的裂隙扩展、大变形和动力学分析等。由于是任意点的加权拟合面，导致边界条件的处理仍然得不到很好的解决。目前，较之于有限元方法，无网格方法的问题一点不比它的优点少。首先无网格方法确实提高了插值的连续性，但同时也极大地提高了计算量，求解域内的每个点的插值系数都需要对相应节点耦合矩阵求逆，光滑性越高耦合矩阵的阶数就越高，相应的求逆就越耗费计算量，较之于有限元方法，这一部分计算负担实在太重。对于被奉为经典的二维裂缝扩展问题，仔细考察就会发现裂缝扩展问题的关键技术在于加强函数（enrichment）的采用，其实用不用无网格插值都可以，用有限元插值也没有任何问题，这就是后来发展的，也是现在最热门的扩展有限元方法（XFEM）。

1999年，以美国西北大学Belytschko教授为代表的研究组首先提出扩展有限元思想，2000年，他们正式使用扩展有限元法(XFEM)这一术语。XFEM是迄今为止求解不连续力学问题最有效的数值方法，它在标准有限元框架内研究问题，保留常规有限元的所有优点，但并不需要对结构内存在的几何或物理界面进行网格剖分。XFEM与常规有限元的最根本区别在于所使用的网格与结构内部的几何或物理界面无关，从而克服了在诸如裂纹尖端等高应力和变形集中区进行高密度网格剖分所带来的困难，当模拟裂纹扩一展时也无需对网格进行重新剖分。例如在处理裂纹问题时，XFEM包括以下三方面内容：第l不考虑结构的任何内部细节(例如材料特性的变化和/或内部儿何的跳跃)按照结构的少卧丁外形尺寸生成有限元网格;第2，采用其它方法(如水平集法)确定裂纹的实际位置，跟踪裂纹的生长;第3，借助于对所研究问题解的已有知识(不必知道封闭形式解)。改进影响区内单几的形状函数，以反映裂纹的存在和生长。由于改进的形状函数在单元内部具有“单位分解”特性，扩展有限单元的刚度知阵具有与常规有限单元样的优点，即对称、稀疏且带状。

1996年Melenk和Babuska及Duarte和Oden先后提出了单位分解法(PUM)，其基本思想是任意函数都可以用域内组局部函数表示，即

其中，为有限单元形状函数，它形成个单位分解

基于此，可以对有限元形状函数根据需要进行改进。

1997年，Babuska、Menlenk证明了PUM的收敛性并将之应用于求解高波数Helmholtz方程。PUM容许在相容的试探空间中增加用户定义的局部特性，因而对CFEM无法求得或求解代价太大的问题，可体现出PUM的独特优势。其特征为:(1)PUM容许在试探空间中包含对微分方程的先验知识;(2)利用PUM能很容易地构造出任何期望的试探空间，因而可以获得适用于高阶微分方程变分形式的试探空间。

当前最为热门的另外一种数值方法，数值流形法(MM) 采用有限覆盖体系，系统控制方程的建立依据最小势能原理，特别适合模拟断续介质材料的变形，如岩体开挖导致的大位移。该方法采用连续和非连续的覆盖函数统一解决有限元、DDA和解析方法的计算问题, 最早由石根华博士在 1991 年提出，并率先应用在块体与节理岩体的变形模拟中。经过近十年的发展，二维数值流形方法已经拥有一套比较完善的理论，但在工程方面的应用则不多见。主要的困难来自对双重覆盖的理解，覆盖函数的选取以及程序的编制。

数值流形方法采用数学覆盖和物理覆盖两套覆盖系统来定义计算区域：数学覆盖定义近似求解精度，可由用户自行选择，如规则的格子、有限元的网格或级数的收敛域，都可以转化为有限数学覆盖；物理覆盖系统是由数学覆盖和物理网格共同形成，物理网格由材料本身决定，定义其积分区域，包括材料体的边界、裂隙、块体和不同材料区域的交界面等。如果物理网格将一个数学覆盖分成两个或更多的完全不连续的区域，这些区域定义为物理覆盖。所以说物理网格将数学覆盖细分成物理覆盖系统。如图 1 所示, 分析一个包含一条不贯穿的裂隙的多边形块体, 采用三角形的数学覆盖网格将分析区域全部覆盖, 共有 6个数学覆盖 V1, V2, V3,V4,V5, V6, 每个数学覆盖由含有该节点的所有三角形单元形成。例如，节点 1的数学覆盖由单元 123组成，节点 2的数学覆盖由单元 123，253，245 共同组成。物理网格（图 1 中的粗线条）将数学覆盖V1 分成一个物理覆盖11，将数学覆盖 V2 分成两个物理覆盖 21和 22，21和 22可有不同的材料性质，沿交界边（即图中裂隙）可以有不连续的力学行为，可以拉伸，扭曲甚至完全裂开。也就是说，原始的有限元单元 245被裂隙分割成 2个流形单元21425 和 224151，它们在接触边上的节点是不同的，在接触处可以有不连续的位移，这是与有限元分析的最大的不同，也是该方法的优势所在。而在边 23 上，两边的物理覆盖都是相同的，如物理覆盖 21和 21，物理覆盖 31和 31。这表明，沿着 边23，两边的材料体是相同的，所有的力学行为是连续的，这又比不连续变形分析（DDA）方法中采用的所有的边都是不连续的假设要更符合材料本身的状况。可以说数值流形方法是利用覆盖技术将有限元，DDA和解析方法统一到内部的新的数值方法，而有限元和DDA只是数值流形方法的两种特殊情况.

图1 有限覆盖系统中流形单元的节点编号

流形元法和无单元法的出发点在于计算步骤的简化和较粗的积分,但精度并不降低。不用单元,只用结点使得它对开裂问题极为有效。

离散元法 (Distinct Element Method)是Cundall于20世纪70年代初所提出的,最初它的研究对象主要是岩石等非连续介质的力学行为。Cundall提出了第一个实用的离散元模型,并用它来模拟岩石块体的渐进运动过程。后来,Cundall和Strack提出用于模拟颗粒体的二维程序,得到与动光弹实验极为吻合的结果。至今为止,经过许多学者的共同努力,离散元法已经得到了长足的发展。早期的离散元法只能处理离散刚度块体系统,后来该方法被扩充了,可用于模拟变形块体。1980年美国ITASCA咨询集团开发离散元法程序UDEC并投放到市场。Lorig和Brady开发出离散元―边界元耦合计算程序。Cundall等开发了用于模拟节理岩体的三维离散元程序(3DEC)。离散元在我国起步较晚,但是发展迅速。

离散元法是专门用来解决不连续介质问题的数值模拟方法。该方法把节理岩体视为由离散的岩块和岩块间的节理面所组成,允许岩块平移、转动和变形,而节理面可被压缩、分离或滑动。因此,岩体被看作一种不连续的离散介质。其内部可存在大位移、旋转和滑动乃至块体的分离,从而可以较真实地模拟节理岩体中的非线性大变形特征。离散元法的一般求解过程为:将求解空间离散为离散元单元阵,并根据实际问题用合理的连接元件将相邻两单元连接起来;单元间相对位移是基本变量,由力与相对位移的关系可得到两单元间法向和切向的作用力;对单元在各个方向上与其它单元间的作用力以及其它物理场对单元作用所引起的外力求合力和合力矩,根据牛顿运动第二定律可以求得单元的加速度;对其进行时间积分,进而得到单元的速度和位移。从而得到所有单元在任意时刻的速度、加速度、角速度、线位移和转角等物理量。

数值方法篇3

摘要：小波去噪 阈值函数 信噪比 均方误差

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2012）09-0043-03

信号在产生、传输以及接收过程中，会不可避免的受到各种噪声的污染，因此信号去噪无论在工程应用还是理论研究中一直是研究的热门话题。小波变换是近十年来发展起来的一种新的信号处理工具，由于其特有的多分辨率分析技术，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，使它在信号处理方面应用非常广泛[1]。Donoho在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪方法，并证明了该方法在最小方差意义下可达到最佳估计值，而其它线性估计则无法达到同样的效果[2]。但是，阈值法中的阈值函数存在着一定的缺陷，如软阈值函数中得到的小波系数与信号的小波系数之间存在着恒定偏差，硬阈值函数具有不连续性，对大于阈值的小波系数不处理等，这些都在不同方面影响着去噪的效果[3-4]。为了克服软、硬阈值函数的缺点，取得更好的去噪效果，本文提出了一种新的阈值函数，新阈值函数在保持了很好的连续性的同时，对不同值的小波系数也做了更为合理的收缩处理，使其与信号真实值更加逼近。仿真实验表明， 新阈值函数去噪重构后得到的估计信号既能很好地保留信号细节，又具有较好的光滑性，去噪效果要明显优于其他阈值函数。

1、小波阈值去噪原理

假设有如下一观测信号

其中为含噪信号，为原始信号，为方差为的高斯白噪声，服从分布[6]。

对作离散小波变换，可得：

其中，，，分别为含噪信号，原始信号和噪声在第层上的小波分解系数；为小波变换的最大分解层数；为信号的长度。

小波变换是线性变换，因此对含噪信号作离散小波变换后，得到的小波系数，为方便起见记为，仍由两部分组成：一部分是原始信号的小波系数，记为，另一部分是噪声对应的小波系数，记为。

Donoho提出的小波阈值去噪方法的基本思想是[2]：当小于某个临界阈值时，认为这时的主要由噪声引起的，可将其舍去；当大于这个临界阈值时，认为这时的小波系数主要由信号引起的，那么就把这一部分的直接保留下来（硬阈值法）或者按照某一个固定量向零收缩（软阈值法），然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号。此方法可通过以下3个步骤实现：

（1）选定合适的小波基及小波变换的分解层数对带噪信号作小波变换，可以得到一组不同分解层数的小波变换系数；

（2）确定各层高频系数的阈值及阈值函数，通过对小波分解高频系数进行阈值量化处理，得出估计小波系数，使得尽量小；

（3）小波重构，利用进行小波重构，得到去噪后的估计信号。

小波阈值去噪方法的关键步骤是阈值处理，这部分包括阈值的估计和阈值函数的选取，本文只针对阈值函数的选取进行研究。

D.L.Donoho提出的硬阈值函数为：

软阈值函数为：

其中，为符号函数，阈值取为。Donoho在文献[2]中证明了由此方法得到的估计信号在最小均方差意义上是有效的。

硬阈值函数表明，大于阈值的小波系数主要是由真实信号引起的，对这些系数予以全部保留，认为其他的系数主要是由噪声贡献的，故将它们全部置零[2-5]。其图形如图1所示。软阈值函数对小波系数采用另外一种处理策略，它把大于阈值的系数按从到零进行收缩的办法予以保留，把其他的置零，因此软阈值函数也被称为小波收缩函数[2-5]。其图形如图1所示。

2、一种新的阈值函数构造

尽管软硬阈值去噪方法在实际中得到了广泛的应用，也取得了一定的效果，但它们本身还是存在着缺点[6]。由图1可以看出，软阈值法得到的小波系数整体连续性比较好，不存在间断点，这会使去噪效果变得平滑，但是软阈值函数的导数是不连续的，因而在求高阶导数时会存在困难。另外软阈值对大于阈值的小波系数采取恒定值压缩，这与噪声分量随着小波系数增大而逐渐减小的趋势不相符，会直接影响重构信号与真实信号的逼近程度；硬阈值法能较好的抑制噪声，但硬阈值处理函数在和处存在间断点是不连续的，这与实际应用中常常要对阈值函数进行求导运算存在矛盾，这样利用小波重构信号时很可能会出现突变的震荡点，从而所得到的估计信号会产生附加的振荡，不具有同原始信号一样的光滑性，同时，它只对小于阈值的小波系数进行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，这与实际情况下大于阈值的小波系数中也存在噪声信号的干扰不相符。以上分析表明，硬阈值函数可以保留一定的信号特征，但是在平滑方面有所欠缺；而软阈值函数通常会使去噪后信号平滑一些，但是会丢失掉某些特征。

基于以上分析及软、硬阈值函数的不足，这里提出了一种新的阈值函数，其函数表达式如下：

其中为调节因子，可以取任意正常数，一般取正整数。

由表达式（5）可以看出，该函数不仅在小波域内是连续的，而且在和内具有高阶导数。当趋于无穷大时，新阈值函数趋近于硬阈值函数。新阈值函数及软、硬阈值函数图形如图2所示。从图2中我们可以看出，这里构造的新的阈值函数不仅具有硬、软阈值函数的优点，而且克服了它们的缺点，是硬、软阈值函数的一个很好改进方案。如图2所示在内，新阈值函数对小波系数采取的是缓变地压缩处理，随着小波系数的增大，压缩量逐渐减小，当小波系数大于一定值时，不再进行压缩处理，这样做符合对大于阈值的小波系数进行处理，能够比较好地处理有用信号中存在的噪声分量。在内，新阈值函数也没有直接将小波系数置零，而是有一个缓变到零的过程，这样有利于防止阈值设置过大时能够保留部分信号的小波系数，从而有利于重构后保持原信号的波形。

同时为了便于比较这里引入折中阈值函数的方法，其函数表达式如下：

当分别取0和1时，上式既为硬阈值法和软阈值法。适当的调整值，可以获得更好的去噪效果，可以看作是软阈值和硬阈值法的折衷方案。其图形如图2中所示。

3、仿真实验及分析

3.1 信号去噪效果评价指标

信号去噪处理中，为了更好的更直观评判去噪方法，常用信号的信噪比（SNR）和重构信号均方误差（MSE）来描述信号的去噪效果。一般来说，SNR越大，MSE越小，表明信号去噪能力越强，去噪效果越好。

其中，表示标准原始信号，表示经处理后的估计信号，表示信号长度。

3.2 实验结果及分析

为了说明新阈值函数在去噪算法中的有效性和优越性，分别用软、硬阈值函数，折中阈值函数和新阈值函数对Donoho所采用的典型测试信号Bump和Heavysine在相同的条件下进行对比试验。设信号长度为2048个，输入信号的信噪比（SNR）为10.1209db，采用db4小波作为小波基，分解层数为4层，阈值采用每个尺度可变的，其中表示分解尺度，表示信号长度。仿真试验结果如图3、图4所示，去噪信号的信噪比（SNR）和均方误差（MSE）如表1、表2所示。

从上述图中，可以看出硬阈值法去噪效果不如软阈值法，软阈值法不能够很好的反映原始信号，应该出现尖峰的地方被平滑了，而新阈值法具有传统硬、软阈值方法的优点，不仅去噪效果较好，而且能够很好的恢复原始信号。从表1表2可知，本文构造的新阈值函数去噪效果在信噪比和均方误差两个性能指标上都明显优于软、硬阈值函数，并且优于折中阈值函数。以上两个方面都说明了本文构造的新阈值函数去噪的优越性。

4、结语

本文在分析Donoho软、硬阈值函数的缺点的基础上，构造了一种新的阈值函数。通过仿真实验表明，新阈值函数取得了较为理想的去噪效果，在信噪比和均方误差定量指标上均优于传统的软、硬阈值及改进的软硬阈值折中算法，同时还能够很好的保持原始信号的特征，具有一定的工程应用价值。需要指出的是，小波变换信号去噪效果的提高不仅与选用的阈值函数有关，还与选用的小波基函数及阈值规则有关。本文选取的小波基函数及阈值规则并不是最优的，具体情况下的小波基函数及最优阈值是以后需要继续加以研究的问题，以使本文构造的新阈值函数达到更满意的去噪效果。

参考文献

[1]飞思科技产品研发中心编著.小波分析理论与MATLAB 7 实现[M].北京： 电子工业出版社，2005.3.

[2]DONOHO DL. De-noising by soft thresholding[J]. IEEE Transactions on Information Theory，1995，41（3）：613-627.

[3]Zhang， Xiao-Ping， M. Desai. Adaptive de-noising based on SURE risk [J]. IEEE Signal Processing Letters， 1998，5（10）：265-267.

[4]Zhang Xiao-Ping， M. Desai. Nonlinear adaptive noise suppression based on wavelet [J].International Conference on Acoustics， Speech， and Signal Processing， Seattle， Washington， May 12-15，1998.

数值方法篇4

Technology Stockholm, Sweden

Ake Bjrck Linkoping University

Linkoping, Sweden

Numerical Methods in

Scientific Computing

vol.1

2008, 717pp.

Hardcover

ISBN 9780898716443

SIAM

G. 达尔奎斯特等著

1974年出版的《数值方法》是当时Prentice-Hall丛书中最成功的经典著作之一,它是在KTH本科教学用书的基础上编写的英文版本,正是这本书使得数值方法在科学研究与工程技术中发挥了越来越重要的作用。它已被翻译成多国文字,1990年出现中文版本。2003年由Dover出版社再版。而这本经典著作正是出自本书的两位作者之手。

本书共分6章。1.基础的思想和概念,包括一些数值算法、求线性方程数值解和最小二乘法问题的基本方法、常微分方程数值解法初值问题的基本方法、矩阵计算等内容,还介绍了Monte Carlo法,包括对方差缩减技术、伪随机数发生器等内容进行了回顾;2.如何获得和评估准确度。包括误差估计的基本概念、计算机的计数系统、准确度与舍入误差、误差传播、精度的自动控制与校验计算;3.级数、算子和连分式。主要讨论了数值计算中无穷幂级数的不同用法,包括病态和半收敛级数;4.插值与近似。介绍了多项式插值的基础知识及相关的插值公式,重点讨论了重心Lagrange插值公式的优点,介绍了在复平面中运用复分析推导多项式插值通用Lagrange-Hermite公式,简单回顾了有理数和多维插值的运算法则。分段多项式在计算机辅助设计与制造中应用越来越广泛,介绍了如何从分段Bern?tein多项式得到参数Bézier曲线;5.数值积分。首先介绍了等距节点Newton-Cotes法则和数值积分Clenshaw-Curtis插入法则,然后讨论了Romberg法和算法外插法。对一些特殊算例中的梯形超法则和用于振荡被积函数的Filon型方法等超收敛方法也进行了介绍;6.标量非线性方程求解。介绍了二分法、不动点迭代、收敛阶等基本概念与方法。

G. 达尔奎斯特教授是瑞典数学家和数值分析学家,1962年创建了皇家科技研究所数值分析系,是数值分析领域的奠基人。1965年被选入瑞典皇家科学院, 1988年受邀参加工业和应用数学学会John von Neumann Lecturer演讲。为了表彰G. 达尔奎斯特教授在数值分析领域的开创性工作,1995年SLAM设立了以G. 达尔奎斯特教授名字命名的国际Germund Dahlquist奖,该奖每两年由工业和应用数学学会颁发一次。1999年由于他在数值分析领域的杰出贡献获得了苏黎世联邦高等工业学院和工业和应用数学学会的Peter Henrici 奖。

ke Bjrck是瑞典Linkping大学数学系教授,曾于1996年出版《最小二乘法问题的数值方法》一书,1993-2003年间是BIT Numerical Mathematics 杂志的常务编辑。研究方向为数值线性代数、最小二乘法问题和稀疏矩阵计算。

本书作者还根据40年的教学经验在书中准备了很多问题和练习题。本书可以作为大学本科数值分析课程的入门教材,也可以作为相关科研人员的参考用书。

论立勇,博士生

(中国科学院理化技术研究所)

数值方法篇5

关键词：数值方法，岩石力学

中图分类号：O3文献标识码： A 文章编号：

1 引言

当前岩石力学数值计算方法得到迅猛发展，出现了有限差分、有限元、边界元、离散元、块体元、无限元、流形元及其混合应用等各种数值模拟技术，使复杂岩石力学工程问题的设计发生了根本性的变化[1]。不同数值计算方法的结合,更能发挥各种数值方法优势互补的作用，如有限元—边界元的混合、有限元—离散元的混合、有限元—无限元和有限元—块体元的混合采用等。然而，由于岩体具有非连续、非均质、各向异性、天然初始地应力影响、地下水影响及复杂边界条件处理等诸多复杂性使得当前岩石力学数值计算仍然是一个值得探讨的问题。

2 常用岩石力学数值计算方法应用分析

2. 1 有限元法

1966 年,布理克[2] (W. Blake)最先应用有限元法解决地下工程岩石力学问题。目前，在岩石力学数值计算方面，有限元法主要用来求解线弹性、弹塑性、粘弹塑性、粘塑性等问题，是地下工程岩体应力-应变分析最常用的方法。其优点是可以部分地考虑地下结构岩体的非均质和不连续性，可以给出岩体的应力、变形大小和分布，并可近似地依据应力、应变规律去分析地下结构的变形破坏机制。

2. 2 边界元法

边界元法在20 世纪70年代中期得到迅速发展，在处理半无限域或无限域问题方面非常方便，适用于解决岩石力学问题尤其是岩石力学中地下开采的有关问题。该法只在求解区域的边界上进行离散(剖分单元)，这样就把考虑问题的维数降低了一维，这也是边界元法的优点。例如,在线弹性区域或无限域、半无限域采用边界元法，在非线性的区域采用有限元法，充分发挥各自的优势，使计算效率、计算精度得到提高和改进，这对工程实际应用是很有意义的[2 ,4]。王泳嘉[4]等人讨论了边界元的应力不连续法和直接边界积分法，并用应力不连续法给出了位移不连续时的解。

2. 3 离散单元法

离散单元法(Distinct Element Method)是20世纪70年代后发展起来的一种用于节理岩体应力分析的数值方法，特别适用于节理岩体及其与锚杆(索)的应力分析。该方法以结构面切割而成的离散体为基本单元，其几何形状取决于岩体结构中不连续面的空间位置及其产状，应用牛顿运动定律描述各块体的运动过程，块体可以发生有限移动与转动，体现了变形和应力的不连续性。沈宝堂等学者通过两个模型实验的结果，并与离散元法数值模拟的结果相比较，验证了离散元法用于边坡稳定性分析的可行性[5]。郭爱民[6]等人利用离散单元法研究矿山边坡的破坏机理，笪盍等人[7]利用离散单元法对盘石镍矿边坡进行稳定性分析和计算，计算结果与现场岩移进行比较表明两种结果吻合较好。

2. 4 关键块理论

关键块理论KB T ( Key Block Theory)是在1985年首先由Goodman 教授和石根华博士提出并用于工程稳定性分析的另一种数值计算方法。块体理论认为，在开挖面上所揭露的块体，可以分为可能产生向开挖面运动的块体和不可能向开挖面运动的块体。不可能向开挖面运动的块体即为稳定块体。石根华[8]等人提出搜寻关键块体一般方法，并介绍了传统关键块体理论的近期发展、应用和局限。

2. 5DDA法

不连续变形分析方法DDA (Discontinuous Deformation Analysis)是由石根华博士首创，基于岩体介质非连续性发展起来的，以模拟复杂加载条件下离散块体系统不连续大变形的力学行为为目的的平行于有限元法的一种数值方法，与有限元法不同之处是可以计算不连续面的位错、滑移、开裂和旋转等大位移的静力和动力问题。孙亚东[9]等人利用DDA法分析岩质边坡的倾倒破坏，并与Goodman 和Bray提出的基于极限平衡原理的分析方法进行比较。邬爱清、丁秀丽等学者应用DDA法研究了复杂地质条件下地下厂房围岩的变形与破坏特征[10]。

2. 6 FLAC方法

Cundall根据有限差分法原理,提出了FLAC( FastLagrangian Analysis of Continuum)分析方法。该方法采用了混合离散方法、动态松弛方法和显示差分方法，不形成刚度矩阵。它的求解方法虽同离散元法的显式按时步迭代求解，但是结点的位移连续，本质上仍属于求解连续介质范畴的方法。

2. 7 数值流形法

数值流形法是利用现代数学—“流形”的有限覆盖技术建立起来的一种新的数值方法，将有限元、不连续变形分析(DDA)和解析方法统一到一种计算方法中，它吸收了有限元、DDA和解析法等的优点，通过采用分片光滑的覆盖函数，对连续和非连续问题建立了统一的计算格式，是一种十分适合于岩土工程分析的数值方法[12] 。它最早由石根华博士在1991年提出并率先应用在块体与节理岩体的变形模拟中，在国内外学者的共同努力下，二维数值流形方法已经拥有一套比较完善的理论，而且应用方面的探讨也日渐增多[13]。郑榕明、张勇慧等也曾经对DDA法作了大量的研究工作[14 ]，在此基础上发展了二维流行元程序，并应用在地下洞室开挖的模拟中[15]，刘红岩等人[16]利用数值流形方法对一层状岩石边坡的倾倒破坏过程进行了模拟。

3岩石力学数值方法应用中的几个瓶颈与展望

3. 1 计算参数的取值问题

由于岩体性态与环境的复杂性,准确确定这些参数并非易事,因而数值分析手段至今仍不能最终为工程设计和工程决策提供可靠依据,幸运的是至今仍火热的反演分析方法有望在这方面为原始参数的取值提供一种新的途径[17]。中国近年来在反分析方面进行了大量研究工作，已由简单的线弹性反演问题发展到非线性、粘弹塑性反分析，从单一的毛洞围岩到考虑支护结构体系的反演,从有限元位移反演到边界元位移反演，从确定性反演到非确定性随机反演等等。而且反分析的目的已不仅仅是得到模型参数，更重要的是应用这些参数进行相应的时间序列值分析以及从参数估计发展到模型识别进而建立新的模型，以便对工程效果做出更合理的评价和有依据的预测。联邦德国对计算参数的取值问题也十分重视，他们认为计算输入的参数必须源于客观实际,地质勘探、岩石力学和数值计算必须紧密地结合起来，甚至从事计算的人需要自己动手到现场去取得第一手资料，而不只是单纯依靠委托单位提供的参数，这一点同主观臆断假定参数或依靠委托单位提供参数而不深入实际研究参数可靠性等脱离实际的作法形成鲜明的对比[18]，是我们应该值得学习和重视的。

3. 2 本构关系的选取问题

从事数值模拟计算的人都知道岩体性质比迄今为止人们所熟知的任何工程材料都要复杂得多，它既非连续介质,又非松散介质，既非弹性体，又非塑性、粘性体，从而导致计算中采用的本构关系很难准确把握。尽管用数值模拟对岩体结构进行力学分析的方法得到了广泛的应用，并且取得了许多成果，但是不敢断言这种方法在将来是否会对这样一类问题的研究有新的突破，至少目前还不可能将这一类问题的研究提高到一个全新的高度[19]。基于这样的原因，人们也在力求寻找其它的弥补途径，有学者改变单一的确定性正向分析方法，适应岩体的非确定性特征，将数值模拟方法与反分析方法、随机方法、模糊方法、人工智能等结合起来，这或许是数值模拟方法的一个正确发展方向[19]。

3. 3 单一数值方法的局限性问题

为了吸取各种计算方法的长处以弥补其不足,近年来涌现出大量的各种数值方法的耦合计算,这种思路进一步反映了岩体工程的计算特点，清华大学的周维恒先生在1993年就断言这种思路对岩石力学数值计算的发展是十分有益的[20] 。离散元、块体元和有限元、边界元、无穷元之间的结合又可提出若于种耦合方法，以发挥离散元和块体元在模拟不连续岩体方面的长处，并利用有限元、边界元、无穷元在模拟连续介质方面成熟的理论和计算技术，使应力分析、破坏、垮落及运动整个过程的数值模拟有可能实现。数值方法同解析方法或半解析方法的结合则是另一条可行的途径，这种结合的特点是用相应的数学推导得到更精确的(也更复杂了)单元模式，再通过离散化求解，解题效率及精度提高，不足之处是应用的局限性也随之增加。何翔[19]等人在Biot固结方程的基础上,引入介质渗透系数张量随应力张量的变化函数,建立能反映介质中应力场与渗流场非线性耦合作用的微分方程组,并在此基础上进行渗流场与应力场耦合问题的有限元求解,采用了精细积分方法进行时间离散。

参考文献:

[1] 谢和平,刘夕才,王金安,等. 关于21 世纪岩石力学发展战略的思考[J].岩土工程学报,1996 , 18 (4) : 98 - 102.

[2] 王泳嘉. 边界元法及其在岩石力学中的应用[J].东北工学院学报, 1984 (1) : 1 - 12.

[3] 刘红岩,秦四清. 层状岩石边坡倾倒破坏过程的数值流形方法模拟[J].水文地质工程地质, 2006 (5) :22 - 24.

[4] 王泳嘉, 冯夏庭. 关于计算岩石力学发展的几点思考[J].岩土工程学报. 1996 ,18 (4) :103 - 104.

[5] 刁心宏, 冯夏庭, 杨成祥,等. 岩石工程中数值模拟的关键问题及其发展[J].金属矿山, 1999 (6) :5 - 7.

数值方法篇6

关键词：金融衍生产品；定价；数值方法

中图分类号：F830　文献标识码：B　文章编号：1007-4392(2009)08-0007-03

一、研究背景

2007年美国次贷危机爆发，经济衰退逐渐波及我国，对于此次金融危机爆发的原因，理论界与学术界众说纷纭，各方都比较认可的一点便是金融衍生产品在其中起到了举足轻重的作用，其定价的偏误更是其中最关键性的技术环节。我国商业银行开展金融衍生产品业务始于1997年。人民银行允许中国银行首家试点办理远期结售汇业务。2002年12月，中国银行在上海推出国内首个基于外汇期权交易的个人外汇投资产品“两得宝”，从而打破了国内银行个人金融衍生业务的空白。2003年5月，中国银行上海分行向市场推出了外汇期货宝，拉开了外汇衍生业务在国内进入实质性操作阶段的序幕。2007年12月14日，中国人民银行副行长吴晓灵表示，央行将积极研究如何根据中国金融市场的实际特点。发挥好金融衍生产品定价在丰富投资品种和提高信用风险管理水平等方面的作用，从而促进中国金融市场全面协调可持续发展。所以金融衍生产品的定价问题还应该以中国本土的金融机构服务为目的，在金融风险复杂性的加剧以及计算技术的不断提高的大环境下，研究中国金融机构如何运用金融衍生产品定价的数值方法在实际的风险管理中进行风险规避很有必要。

二、金融衍生产品定价历史沿革

早在18世纪欧洲和美国就已经有了简单的期权交易，到了20世纪70年代，期权交易在投资者中开始普及。特别是1973年布莱克和斯科尔斯合作建立了期权定价模型，为期权交易提供了有利的工具，使得期权交易越来越扩大，以致于到了80年代初期，虽然不同的交易所交易量不同，但是总体上看，有些交易所的每日交易的期权合约规定的标的股票总数超过了某些交易所股票本身的交易量。期权交易的迅速发展既说明了它本身具有的内在优势，也说明了在金融市场上期权交易对投资者起着越来越重要的作用很明显，期权定价是期权交易的核心问题，它在理论和实践上都有重要意义。

对于欧式期权，布莱克和斯科尔斯早已给出了解析形式的定价公式。经典的B-S方程把美式期权的定价问题，即决定美式最优执行价格问题，转化为决定抛物方程的自由边值问题与欧式期权不同，对于美式期权的价格不存在解析公式，也无法求得精确解。因此，发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义。数值方法可分为连续型方法与离散型方法两类，离散型方法由于操作简单，对计算能力要求较低，在较长一段时间内得到了广泛的运用。但离散型方法在定价精确性以及后处理方面与连续型方法存在较大差距。随着金融风险复杂性的加剧以及计算技术的不断提高，连续型方法越来越受到重视尽管人们早已提出可用偏微分方程数值方法如有限差分法和有限元方法等来近似求解此类问题。但有关数值方法，特别是连续型数值方法的理论分析如收敛性和稳定性方面的工作还很不完善。

三、金融衍生产品定价的数值方法分析

(一)金融衍生产品定价的离散型数值方法

离散型数值方法包括二叉树方法、蒙特卡洛方法以及有限差分法等，本部分将对这些方法进行分析介绍。

第一，二叉树方法。二叉树方法是由Cox、Ross和Robinstein提出，其基本概念是先求得风险中立假设下未来现金流量的期望值，再以无风险利率折现而得到期权的现值。CRR模型的基本假设有：(1)标的资产的未来价格只有上涨或下跌两种情况；(2)标的资产的未来价格上涨或下跌的报酬率已知，且投资人能利用现货市场及资金借贷市场，建立与期权报酬变动完全相同之对冲资产组合；(3)无摩擦之市场，亦即无交易成本、税负等，且证券可以无限分割；(4)借贷利率均相等，皆为无风险利率。由于二叉树方法是采用离散化的方式来处理价格，所以在期权的合约期内可以考虑股利发放的情况。而且。在树状结构完成以后，知道期权到期的可能价值，很容易推算先前结点的价位，并计算价格树上任何结点的理论价值。在每一结点。可以比较继续持有与立即执行的价值，从而选择一个最佳值。不仅可以取得每一点的合理价格，而且可以知道最理想的期权执行时间。所以二叉树方法也可以用于美式期权的计算。

第二，蒙特卡洛方法。蒙特卡洛模拟模拟方法也是一种数值计算方法，可以对欧式衍生证券进行估值。这种方法能处理较复杂的情况且计算的相对效率较高。它是由初始时刻的期权值推导未来时刻的期权值，只用于欧式期权的计算。蒙特卡洛模拟方法的基本思想是：假设已知标的资产价格的分布函数，然后把期权的有效期限分为若干个很小的时间间隔，借助计算机的帮助，可以从分布的样本中随机抽样来模拟每个时间间隔股票价格的变动和股票价格一个可能的运行路径，这样就可以计算出期权的最终价值。这一结果可以被看作是全部可能终值集合中的一个随机样本，用这个变量的另一条路径可以获得另一个随机样本。利用更多的样本路径可以得出更多的随机样本。如此重复几千次，得到T时刻期权价格的集合。对几千个随机样本进行简单的算术平均，就可求出T时刻期权的预期收益。蒙特卡洛模拟方法一般用于对标的股票的标准差为随机变量的期权进行分析，股票的价格和标准差的路径同时被模拟。任意时刻的标准差的值。决定了被抽样的股票价格的概率分布。

第三，有限差分方法。有限差分方法是控制股票期权价格演变的偏微分方程的一种数值方法，是通过用差商代替微商对方程以及定解问题离散化。有限差分法就是用有限地离散区域来替代连续地时间和资产价格。首先。把从零时刻到到期日T时刻之间的时间分为有限个等间隔的小时间段。其次，把资产价格的变化也分为M个等间隔的小价格段。如果划分合理。初始的资产价格会落在零时刻的一个格点上。时间、资产价格的期权价值都仅仅在相应的格点处离散计算。应用这些格点之间的关系和已知的边界条件，我们可以把连续偏微分方程转化为一系列的差分方程，逐次求解，就可以得到零时刻初始资产价格所对应格点

的期权价值。建立与偏微分方程对应的差分方程有多种方式。但从求解的方式来划分可以分为大类：一大类是显式差分格式。求解的过程是显式的，可以通过直接运算求出它值；另一类是隐式差分格式，求解的过程必须通过求解一个代数方程组才能得到的值。

(二)金融衍生产品定价的连续型数值方法

最优执行曲线必须作为定价模型解的一部分而求解，这使得金融衍生产品定价问题在理论和应用上都是很困难的。因此，到目前为止，我们还不能找到美式期权定价模型解的显示表达公式。在这一点上，美式期权定价问题完全不同于欧式期权定价问题。为了克服这一困难，人们通常使用适当的近似方法来给美式期权进行定价。

在过去的二十多年里，这个问题的研究分为两类，即解析近似方法和数值近似方法，而且关于这两种方法现在已有大量的文献。对于解析近似方法而言，典型的方法有插值方法，复合期权近似方法，二次近似方法等。对于数值近似方法而言，常用的方法有二叉树方法，蒙特卡洛方法、有限差分方法、有限元方法、遗传算法、区域分解算法等。为了除去经典的Black-Scholes模型的退化性，在数学上人们通常使用变量变换来做到这一点。然而，这样做同时又带来了一个新的困难：经变量变换后所产生的新模型需要在空间变量的无限区域上求解。

在实践上，人们为了克服这个新困难，就在一个大的但却有限的区域上数值求解这个新模型。于是，另外两个新的困难又出现了：计算机仿真必须在一个“大”的区域上进行，因而计算速度变得相对慢起来：必须施加一个人工边界条件，这影响了仿真的精度。特别地，当利率大于红利时，精度问题变得很严重，这是由于Black-Scholes偏微分方程中的对流项的固有性质所引起的。在数学上，一个新的非局部边界条件是准确成立的，并且它使得我们能够将原来问题转化为一个非常小的区域上的等价的变分不等式。数值实验表明与其它现有的方法相比，该方法提供了快速的期权定价手段。

四、结论与建议

首先，尽管布莱克与斯科尔斯早在上世纪70年代就提出了经典的具有完美解析形式的B-S公式，但是金融衍生产品的定价问题其实还远远没有解决，在定价的精确性、稳定性以及后处理方面存在诸多问题，这也是金融危机中衍生产品表现出定价严重扭曲的一个重要原因。

数值方法篇7

一、 判别式“Δ”法

利用数式变形，将问题转化为一元二次方程有实数解的问题，再利用判别式解之.

例1 x、y∈R，且4x2-5xy+y2=5，记S=x2+y2，求S的最值.

解：4x2-5xy+4y2=5•x2+y2s

(4s-5)2-5sxy+4(4s-5)x2=0

(1) 当x=0时，由题设有y2=54，故S=x2+y2=54

(2) 当x≠0时，式变为(4s-5)yx2-5syx+(4s-5)=0

Δ=(5s)2-4(4s-5)2≥0，1013≤s≤103，

当且仅当x=-y=±6513时或x=y=±153时成立.

二、 三角换元法

对某些涉及“2+2”的二元函数求取值范围的问题，可考虑用三角换元法.

例2 已知点P（x，y）在曲线（x－2）2＋2y2=1上移动，

则式子2x＋2y2的最大值为.

本题考查求函数极值的运算能力.

提示：解法一、设x=2+cosθ，y=22sinθ，代入得

原式=-cos2θ+2cosθ+1+22，

用二次函数可得最大值为32+22.

练习：已知：x≥0，x2+(y-2)2=1，

试求y=3x2+23xy+5y2x2+y2的取值范围.

解法一、三角换元法.

解法二、2y2=1-(x-2)2（1≤x≤3），代入得

原式=-x2+（4+2）x-3，用二次函数可得最大值为32+22.

三、 利用基本不等式法

例3 已知实数x、a1、a2、y成等差数列，x、b1、b2、y成等比数列，则(a1+a2)2b1b2的取值范围是.

本题考查等差、等比数列的性质以及分类讨论的能力

提示：(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=xy+yx+2，

(1) 当xy＞0时，上式≥4；

(2) 当xy＜0时，上式≤0.

四、 消元法

例4 已知logxy=-2，则x＋y的最大值为.

本题考查用“消元法”把问题转化为二次函数以及利用基本不等式求极值问题的能力.

提示：由logxy=-2，得y=x-2(x＞0且x≠1，y＞0)，

M=x+y=x+x-2=x+1x2=x2+x2+1x2≥33x2•x2•1x2=3•322.

本题考查等差、等比数列的知识运算能力.

提示：设a、b、c成等比数列的公比为q，

z=ax＋cy=2aa+b+2cb+c=21+q+2q1+q=2.

五、 数形结合法

例5 如果ax＋by=2与圆x2＋y2=4相切，那么u=a＋b的最大值为.

本题考查直线与圆的位置关系，及求条件最值的数形结合、基本不等式应用的能力.

提示：2a2+b2=2，a2+b2=1，u=a＋b≤2(a2+b2)=2.

练习：若a、b∈R+且a2+b2=a+b，那么t=a+b的最大值为.

解：可用a+b=a2+b2≥(a+b)22来解，也可

数值方法篇8

关键词: 数值分析迭代法线性方程组

在工程技术、自然科学和社会科学中的许多问题最终都可归结为解线性方程组,因此线性方程组的求解对于解决实际问题是极其重要的。线性方程组的解法有很多种,其中数值分析中的迭代法是比较重要的一种。

迭代法的基本思想是将线性方程组:

Ax=b(其中A∈R,b∈R),(1)

经过变换构造出一个等价同解方程组:x=Mx+c,然后改写成Jacobi迭代式:

x=Mx+c(k=0,1,2,…),(2)

或者Gauss-Seidel迭代式:

x=Bx+Bx+c(k=0,1,2,…)(其中B+B=M),

选定初始向量:x=(x,x,…,x),反复不断地使用迭代式来构造一个序列:{x}(k=0,1,2,…)。如果{x}(k=0,1,2,…)收敛,它就是该方程组的近似解序列,否则它就没有实用价值。本文利用系数矩阵A的对角线上元素的和给出了系数为对称正定矩阵的线形方程组Ax=b的一种新的定常迭代格式,如果系数矩阵A为可逆的非正定矩阵,可以通过预处理转化为正定矩阵,令A:=AA,b:=Ab即可。且充分考虑加快计算速度。

一、收敛定理及证明

1.引理:如果M是一个n×n矩阵,对任意的n维向量c迭代格式(2)收敛的充分必要条件是ρ(M)

证明见文献[1]。

2.定理1:如果A为对称正定n×n矩阵,则线形方程组Ax=b的迭代格式

x=[I-A]x+(3)

是收敛的。

证明见文献[3]。

对任意系数为正定矩阵的线性方程组,迭代格式(3)都是收敛的,因为收敛速度取决于迭代矩阵谱半径的大小,谱半径越小,收敛速度越快,谱半径越大,收敛速度越慢。但迭代格式(3)只能保证迭代矩阵的谱半径小于1,如果迭代矩阵的谱半径非常接近1,其收敛速度是非常慢的。

下面通过在迭代格式(3)中引入一个因子来改进收敛速度。

构造迭代格式:

{y=[I-A]x+b(4)

或者与(4)等价的迭代格式:

x=[I-A]x+b(5)

3.定理2:如果A为对称正定n×n矩阵,则线性方程组Ax=b的迭代格式(5)是收敛的。

证明:设λ(i=1,2,…,n)为A的n个特征值,因为A是对称正定矩阵,所以λ>0(i=1,2,…,n),λ+λ+…+λ=a+a+…+a。

I-A的n个特征值为1-(i=1,2,…,n),

显然-1

这样有ρ[I-A]

如果正定线性方程组Ax=b的系数矩阵特征值的分布相对比较集中,还可以进一步对定理2的迭代格式进行改进,以加快计算速度。

当系数矩阵的特征值分布比较集中时,(i=1,2,…,n)近似等于,

即A的特征值近似等于。

构造迭代格式:

{y=[I-A]x+b(6)

或者与(6)等价的迭代格式:

x=[I-A]x+b(7)

因为当系数矩阵的特征值分布比较集中时,(i=1,2,…,n)近似等于,这时迭代格式(7)的迭代矩阵[I-A]的谱半径就与0非常接近,从而使得收敛速度极快。

4.定理3:迭代格式(7)收敛的充分必要条件是:

证明:迭代格式(7)收敛的充分必要条件是其迭代矩阵I-A的谱半径小于1,

而矩阵I-A的谱半径小于1的充分必要条件是:

5.推论1:迭代格式(7)收敛的充分条件是λ≤2λ。

证:因为λ≤2λ,所以得到:

即迭代格式(7)是收敛的。

二、实验结果

在特征值分布比较集中时,分别用迭代格式(7)对应的算法(iterativen函数)与Gauss_seidel迭代算法、Cholesky分解算法对系数矩阵的阶数J=100,200,500,1000的4个线性方程组进行计算,对所耗时间进行比较,结果如下表:

Iterativen,Gauss_seidel,Cholesky算法耗时比较表

虽然Gauss_seidel算法的迭代次数比Iterativen算法少,但是Gauss_seidel算法在求逆的过程中浪费了大量的时间。当系数矩阵的特征值比较集中时,Iterativen算法要远远优于其他2种方法。

参考文献:

[1]Kelley C T.Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations[M].Philade-lphia U.S.A:SIAM,1995.

[2]张传林.数值方法[M].北京:中国科学文化出版社,2001:80-150.

[3]戈卢布・G.H,范洛恩・C.F著.袁亚湘译.矩阵计算[M].北京:科学出版社,2002.

[4]许波,刘征.Matlab工程数学应用[M].北京:清华大学出版社,2000.

数值方法篇9

关键词：公司；价值评估；数量模型；方法研究

进行公司的价值评估与价值增长领域的研究，对于完善我国资本市场的资源优化配置功能，挖掘公司的真实价值，培育公司的可持续生存和发展的能力，提高资本市场的运作效率均具有重要的意义。公司价值评估能有效地反映公司的赢利能力、核心竞争能力和持续成长能力，一方面体现了企业存量资产的价值，另一方面也是企业未来价值增值的重要指标。因此，无论是对于政策的制定者和监管者，或是对于市场博弈的各方参与者而言，均具有明确的借鉴和参考价值。

在中国加入wto后，增强企业参与国际化竞争的实力要求将更多的国企改制上市，利用证券市场融资，国有资产的“有进有退”、“有所为，有所不为”的战略结构调整也要求国有资产从某些企业、行业中有序退出。随着上市公司股权协议转让的重新放开和qfii的正式实施，民间资本和国际战略资本也将大规模涉足上市公司资本结构的调整战略中。但是，由于长期存在的股权结构的不规范，政府往往利用控股股东的角色间接地干预公司的运作，公司价值的保值增值积极性不高，而侵蚀公司资产的案例却时有发生；公司资源优化和资产重组行为往往掺杂了过多的政府意志的色彩，重组脱离企业的真实价值，导致资产价值评估过低，国有资产流失的案例也屡见不鲜，此类重组非但不能增加企业未来的价值，相反损害了公司的可持续生存能力；优质企业的品牌价值、人力资产价值、核心竞争力价值、经济创值力等无形资产不能有效地评估，也有碍公司提升企业价值，合理地融资定位；由于国内证券市场股权分割，现行协议转让政策相对较“宽容”，易引发股权转让中的“暗箱操作”和恶意“圈钱”行为，从而为证券市场的发展带来道德风险，侵害广大中小投资者的权益。种种现象迫切要求建立一种更为客观有效、符合新兴的中国证券市场公司价值评估理论体系和实施方法，找出发掘企业价值的有效途径。

一、研究溯源

在证券市场的实务中，每股净资产、每股税后利润、净资产收益等等传统利润指标一直是衡量公司价值的通用标准，此后，以权益法（equity approach）、实体法（entity approach）等为代表的现金流量折现法（dcf，discounted cash flow approach）的新进展、投资机会方法（investment opportunities approach）、股利流量法（sda，the stream of dividends approach）、经济增加值法（eva, economic value added）和结合capm 模型的改良dcf法，基于black-scholes的期权定价模型、无形资产评估方法等理论体系日臻成熟，形成较为完备的公司价值评估理论体系。

企业价值评估最早可追溯到20世纪初，fisher(1906)提出的资本价值理论，该理论提出，资本价值是收入的资本化或折现值，利息率对资本的价值有较大影响，利息率下降，资本的价值将上升，反之，则下降。fisher的研究从利息率的角度探求了资本收入与资本价值的关系，初步奠定了资本价值评估的基础。fisher提出的企业价值评估公式为：cv=i+npv （1）

其中：i：投资，npv：企业价值的净增量。

从20世纪初至20世纪50年代，fisher的资本价值理论广为流传，但是，用其理论在实践中进行应用却进展困难，其主要原因是fisher的理论有其特定的应用前提条件，即把企业当作能产生未来已知的、确定收益流量的投资资本，企业资本的机会成本就是市场决定的无风险利率，则企业的价值就是依照该利率贴现的未来的收益的现值。然而，企业面临的市场是不确定的，且企业资本结构与资本成本间的关系也是不明确的，企业资本的机会成本无法确定，企业价值的资本化利率也就无法确定，企业价值的净增量npv也无法确定，fisher的资本价值理论在实践中并无用武之地。

modigliani 和 miller(mm)（1958）首先系统地将不确定性引入到企业价值评估的理论体系中，创立了现代企业价值评估理论，第一次解决了不确定情况下企业价值与企业资本结构的关系问题，该理论指出：在不确定情况下，企业价值是企业的市场价值，等于企业的债务市场的价值与权益市场价值之和。企业价值评估模型为：

其中：vj：企业的价值（企业的市场价值）；sj：企业股东权益的价值（权益的市场价值）；dj：企业债务的价值（债务的市场价值）；xj：企业预期回报的期望值；ρk：企业成本（企业纯权益的资本化率）；ij：企业普通权益的回报率；r：企业债务的固定回报率。

1961年,mm将企业价值评估归纳为4种方法，进一步完善了企业价值评估体系。

1． 现金流量折现法（dcf）。将企业价值，通过现金流入与流出的关系模型提示出来。

其中：v（o）：第0期企业的价值；p：资本市场的收益率（或利率）；r(t)：第t期企业的现金收入；o(t)：第t期企业的现金流出。

2． 投资机会方法（investment opportunities approach）。基于投资者购买能产生收益的资产的角度考虑，企业价值由企业证券的市场回报率、企业实物资产的获利能力、超过正常市场收益率的超额收益（由企业的良好商誉而产生）等几方面价值组成。

其中：x(0)：企业每年持续获得的收益；i(o)：第t其企业的投资；v*（t）：企业获得超过资本市场利率的超额回报率；其它参数同上。

3． 股利流量法（the stream of dividends approach）。

其中：d(t)(1+τ)表示从第t期开始在（t+τ）期间从总股利d（1+τ）中支付股东部分。

4． 收益流量法（the stream of earnings approach）。用企业所产生的收益而非股利评估企业价值的方法。

其中：x(t)：第t期企业的收益；vi（t）：t期企业投资资本的机会成本；其它参数同上。

在fisher, modigliani 和miller（mm）等学者研究的基础之上，对企业价值评估逐步进行到实用阶段。

二、公司价值评估的新进展

进入到20世纪80年代以后，一些新的方法开始逐步应用到公司价值评估中，比较典型的有期权定价模型、eva方法及对无形资产评价的方法等。

1． 基于black——scholes的期权定价模型。

期权是一种特殊的金融证券，它赋予持有人在特定的时期以确定的条件购买或售卖一种资产的权利。black-scholes从股票价格、股票价格的波动率、期权的执行价格、距期权到期日的时间、无风险利率这5个变量推导出的期权定价函数。基于无套利可能性、不确定世界的基于不付红利股票的欧式看涨期权的定价公式： 　c=sn(d1)-xe-rftn(d2) （8）

其中：c是欧式看涨期权的价格，s是股票价格，x为期权的执行价格，t是期权距到期日的时间，rf为无风险利率， n(d1)和n(d2)表示累积正态密度函数，

σ是股票价格的年标准差(波动率)。

根据看涨期权的定价公式，就可根据看涨期权——看跌期权的平价关系推导出看跌期权的定价公式。

p=sn(d1)-xe-rftn(d2)+xe-rft-s=xe-rftn(-d2)-sn(-d1)（11）

从本质上来看，公司股票和债券均可看成是基于公司资产的期权，因而可用期权定价方法对其价值进行评估。上述模型不仅可以给期权及其它金融衍生证券估价，而且在公司财务估价中，也可以对公司股票、债券及其它公司证券估价。从期权的观点看，公司股票可看成是基于公司资产的看涨期权。考虑一个负有债务的公司，其资本结构由权益资本和债务资本组成。设v(t)是公司在t时的价值，在一个有效的市场上，v(t)由市场决定。e(t)表示t时的权益资本(普通股票)的价值，d(t)为t时的债务资本价值，则有：

v(t)=e(t)+d(t)（12）

t时债券的价值应等于公司价值减去股票的价值，即：

d(t)=v(t)-e(t) （13）

因此，在期权意义上，公司股票实际上是一种基于公司资产的看涨期权，其价值可直接用上述看涨期权定价公式估计：

σv是公司资产价值的标准差，它反映了公司资产的风险程度。因此，股票的价值受公司价值（v（t））、司债的到期值（b（t））、无风险利率（rf）、公司债务的期限（t）和公司资产价值的标准差（σv）这五个变量的影响，其中b（t）、rf、t为已知，v（t）由市场决定，σv可由公司价值的历史数据估计。而且，公司的预期收益率和投资者的风险偏好不影响股票的价值，进入估价公式的风险因子σv是公司的总风险。

2． 基于经济增加值法（eva, economic value added）评估模型。

eva是由美国一家咨询公司 stern stewart发明的，是20世纪90年展起来的一种新的价值评定方法，eva正越来越受到企业界的关注和青睐。世界上一些著名的大公司 ，像西门子、coca-cola和 sony等，都采用了 eva方法。它是一种基于税后营业收入、产生这些收入所需要的资产投资和资产投资成本（或资本加权平均成本 wacc）的价值评定方法。在计算eva时，所用到的3个要素为：税后营业收入，资产投资和资本成本。一个公司的经济附加值是该公司的资本收益和资本成本之间的差。从股东的角度，一个公司只有在其资本收益超过为获取该收益所投入的资本的全部成本时才能为公司的股东带来价值。因此，经济附加值越高，说明公司的价值越高。eva的计算公式为：

eva＝税后净营业利润(nopat)－经营资本的税后成本（15）

在eva项下，nopat的值比会计项目更接近它的真正经济价值，是真正从投资角度来分析公司的盈利的。eva和会计利润有很大区别。eva是公司扣除了包括股权在内的所有资本成本之后的沉淀利润(residual income)，而会计利润没有扣除资本成本。股权资本是有成本的，持股人投资a公司的同时也就放弃了该资本投资其它公司的机会。投资者如果投资与a公司相同风险的其它公司，所应得到的回报就是a公司的股权资本成本。股权资本成本是机会成本，而并非会计成本。

通过eva评价上市公司的价值，意味着是以投资者价值最大化为目标的。它所蕴含的基本思想是：只有投资的收益超过资本成本，投资才能为投资者创造价值。公司以eva作为的财务标准，就必须提高效益，并慎重地选择融资方式，是售新股、借贷，还是利用收益留存和折旧。哪种方式能使投资者价值最大化就必须选择那种方式。这样上市公司就有了一个最基本的经营目标，就能为股东、监管部门提供公司客观的经营业绩。

3． 公司无形资产价值评估模型与方法。

在评估公司价值时，无形资产价值往往易于忽视和低估，国内外大量事实已经证明，技术和其它无形资产是一种把自然资源转变为另一种产出性资源的有力杠杆。无形资产是指依附于一定主体而存在的，不具有实物形态而具有资产使用价值的某种特定权利和知识产权。它包括专利技术、非专利技术、著作权、商标权、土地使用权、专营权、许可权、商誉等。在企业运营中起着举足轻重的作用。目前无形资产传统评估方法主要是收益现值法、成本法、市场法3种。

（1）收益现值法。依据变现等值标准,将无形资产的预期或实际年收益在有效使用年限内,按照一定的贴现率计算出折现值,并以此现值乘以一定的提成率（提成比例）求得该项无形资产重估价值的一种方法。采用这种方法,要求准确地商定和预测提成率、收益期和新增利润或新增销售额。其计算公式为：

其中：p为无形资产的评估值；ri为第i年的预期收益或收益分成额；r为折现率；n为持续收益年数；a为社会贡献率（一般取5%～30%）；ri=受让方实现的销售收入×销售收入分成率；r=无风险利率+无形资产的风险报酬率。

采用收益现值法关键是要准确地统计或预计使用技术后的年收益或年平均收益,其中确定利润分成率十分重要,为此,国际技术贸易总结了一个简明实用的计算法,即“lslp法”，其计算公式为：

销售收入分成率=技术供方在技术受方利润中的份额×技术受方的销售利润/技术受方产品销售价

（2）成本法。此法须计算无形资产的重置成本、无形资产价值损失、无形资产的可转让性等因素，另外还有机会成本需考虑，因此综上所述成本法估价的公式为：

无形资产评估值=无形资产重置成本×（1-价值损失率）×转让成本分摊率+无形资产转让的机会成本

（3）市价法。无形资产评估的现行市价法是选择一个或几个与评估对象相同或类似的无形资产或行业作为比较对象,分析比较它们之间的成交价格、交易条件、资本收益水平、新增利润或销售额、技术先进程度、社会信誉等因素,进行对比调整后估算出无形资产价值的方法。这种方法有人称之为市场价格比较法、销售比较法、差异比较法等。其计算公式为：

p=p＇·α·β（16）

其中：p为无形资产评估值；p＇为参照物现行市价；α功能系数,由被评估无形资产与参照物功能差异而定；β调整系数,由被评估无形资与参照物的成交时间、成交地点及市场寿命周期等因素决定。

这种方法着重强调供求关系对无形资产价值的影响。运用这种方法的前提有两个:一是必须具备健全或比较健全的产权交易市场;二是被评估对象必须与参照物在功能、效果、产品产量、销售价格、社会信誉、应用范围等方面尽可能接近,并尽量以近期同类参照物为主。

目前在无形资产评估中普遍使用的方法基本上是这3种方法，以及在这3种方法的基础上做一些改进，比如技术含量估价法和对比计价法等。上市公司的无形资产评估由于其资产特性以及行业属性，导致无形资产评估的差别化程度提高，因此应依据行业与无形资产类别，有针对性地选择无形资产评估方法，以便准确界定具体上市公司的无形资产价值。

三、结束语

对公司的价值进行合理评估关系有利于证券市场理性均衡的价值中枢的形成，有利于股价的正确定位、ipo发行、资产重组和公司的价值增殖和提升，因此，一直受到各国政府和学者的高度关注，很多成果也进入到实际操作中。但是，由于我国证券市场的发展历史较短，法律法规相对滞后，内幕交易者和非法套利者往往试图利用对公司价值评估的疏漏进行牟利，表现为证券市场中诸多的价格偏离的异常现象。将先进的公司价值理论和方法引入我国，并进行一些有益的实践，无疑将会对证券市场的有效运作起到积极的推进作用。

参考文献：

1．田志龙，李玉清．一种基于帐面价值和未来收益的公司财富评估方法．会计研究，1997，（5）．

数值方法篇10

关键词：数学思想方法；教育价值；渗透

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2015）10-0292-01

如今社会发展迅速，科学技术水平日益提高，人们的物质生活水平也随之提高。现代社会不仅是一个科技迅速发展的知识密集型社会，还是一个生活质量全面提高、文化需求全面增长的社会。单纯的物质享受也满足不了现代人们的需求了。人们对精神享受和文化教养的充实和提高有了更高的要求。因此，人们越来越重视学校教育，希望能在学校中学习到更多的科学知识，增加自己的科学素养，更好的完善自我的品质，形成良好的世界观和人生观。而数学科学教育是学校教育中的重要组成部分。数学科学涉及人们生活工作的各个领域，是最基本的一门学科。数学科学以其学时之多，学习时间之长，以及数学的特征，在发展和完善人的教育活动中，在认识世界的态度和方法上，对整体素养的提高起到了积极而重要的作用。而数学思想方法是数学教学中重要的内容之一，它的重要性并不在于它能解决多少数学问题，因为这些数学问题并不太会出现在人们的工作生活中，而是通过学习、使用数学思想方法来锻炼和发展人的思维，使人的思维逻辑能力更强，使人的思维能够做到多角度、多侧面、多视角，也使人的思维更宽广、更深刻、更完整、更科学、更合理、更灵活也更客观。因此，在本研究中将会对数学思想方法的教育价值等问题进行一些研究。

围绕着数学思想方法的教育价值及其实现这一问题目前研究比较多，研究主要围绕数学思想方法在中学教学中的教育价值和数学思想方法在中学教学中的渗透这两个问题进行研究。钱佩玲在《数学思想方法与中学数学》[1]中指出"数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此，引导学生理解和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，也是现代数学思想与传统数学思想根本区别之一"；张志淼在《数学学习与数学思想方法》[2]一书中指出"数学思想方法对于中学数学学习和学生的思维能力、解决问题能力的培养和提高起到推动作用。同时思想方法的形成也是学习水平提高的标志"；朱成杰所著的《数学思想方法教学研究导论》[3]中指出"数学思想方法比形式化的数学知识更具普遍性，在学生未来的工作和生活中有更加广泛的应用"；王培德在《数学思想应用及探究-建构教学》[4]中提出"数学思想方法是群体数学思维的产物，又是认知个体的思维成果，蕴含着主体认识和改变外部现实的理性应变能力，起着由主观到客观又由客观到主观的适应调节作用"；江阴市山观中学的徐培洪老师在《浅谈如何进行数学思想方法的渗透》[5]一文中提到"数学思想方法是数学中联系各项知识的纽带，它较数学知识有更大的抽象性和概括性，只有在教学过程中长期渗透，才能收到较好的效果，这就要求我们教育者常抓不懈，一刻也不能放松"；陈继章在《初中数学思想方法教学初探》[6]中提到"数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。突出数学思想方法教学，是当代数学教育的必然要求，也是数学素质教育的重要体现。任何数学问题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段。综上所述，可以发现数学思想方法的教育价值重大，数学思想方法在教学中的渗透需要我们继续研究。因此，本文将围绕数学思想方法的教育价值和数学思想方法在教学中的渗透这两个问题开展一些研究。

20世纪以来，由于数学基础学科中重大思想方法的出现，特别是数学公理化的形成以及数学基础理论研究的深入开展，人们渐渐关心数学各分支之间的内在联系，开始对数学思想方法本身的产生及其发展规律的探讨。数学思想方法的研究始自20世纪40年代，数学家波利亚著有《怎样解题》，20世纪80年代我国徐利治教授在大学数学系开设"数学方法论"，著有《数学方法论选讲》。自此，我国专家学者开始对数学思想方法进行研究。进入20世纪90年代，随着教育改革的深入，我国许多数学专家和学者对数学思想方法及其教学的研究兴趣日益浓厚，有了很多著作出版，如郑毓信先生的《数学方法入门》，张奠宙先生与过伯祥先生合著的《数学方法论稿》。1992年8月国家政委制定的"九年义务教育数学教学大纲"中明确数学思想方法是数学知识的组成部分，这使得人们对数学思想方法的教学有了更进一步的重视。发展到现在，数学思想方法的研究已成为我国数学教学的特色之一。目前，许多高等师范院校数学系将《数学思想方法》列为一门课程，这给予了数学思想方法足够的重视。

本文作者根据结论进行了分析，认为结论的第一点是就眼前来说的。学生在学校接受教育就是要他们学到数学的相关知识，然后让他们运用所学的知识来解答数学问题。而且学生在学校期间比较在意的是自己是否能够很快的解出这道题，在意自己能否将所学的知识运用到解题当中去，在意自己是否可以在考试中取得好的成绩。因此，作者得到的第一条结论是数学思想方法的比较表面的教育价值。

而结论的第二点是就长远来说的。因为在日常生活中不会常出现数学问题，所以我们在学校中学习到得解题方法不能够完全的运用到日常生活中去。但是，学习数学知识和数学思想方法不但可以让学生更好的解答题目，而且能在学习的过程中锻炼一个人的思维。学生获得了科学的思维方法才能更好的考虑每一件事情，才能接受其他的科学知识，才能培养自身的素养，才能成为对社会有用之人。学生毕业离开学校一段时间后会慢慢的忘记当初所学习的知识和思想方法，可是却不会丢失自己的思维方式和方法。因此，在学校中因为学习数学思想方法而锻炼出的科学的思维方式和方法是可以伴随学生的一生的，那种思维方式和方法在潜移默化中影响着学生的生活和工作。所以，第二条结论是数学思想方法比较深层次的教育价值。

现在虽然各位教师都知道在教学中要贯彻渗透数学思想方法的原则，但教师们却没有找到什么特定的方法可以将数学思想方法完美的渗透到教学中去，所以要进行数学思想方法的渗透就需要教师们在教学过程中一边不断地研究理论知识，一边不断地进行课堂实验教学，可是这是个比较漫长的过程，需要教师长时间的摸索才能找到其中比较适合的渗透方法。所以才会出现现在的局面。