数值积分十篇

数值积分篇1

关键词：高斯数值积分方法；积分变量；积分区间；非圆弧拱；多拱梁法

1问题的提出

高斯数值积分方法是一种节点很少、精确度很高的方法，它的特点是节点不等距，计算精度很高，一般利用正交多项式的有关关系式来确定其节点位置和系数.当节点为n时，其代数准确度可达2n-1次.如节点数为3,则求积公式对于任意5(=2×3-1)次多项式都是准确的，这样的精度完全可应用于拱坝程序中的拱段及梁段的计算.笔者曾在圆弧拱多拱梁法程序中，广泛采用3节点高斯数值积分，取得成功[1].但将这一方法推广应用于非圆弧拱多拱梁法程序，却有一定的难度.

由计算数学可知[2]，一般定积分式与高斯积分式的变换形式为：

式中:l=(b-a)/2，为积分限变换系数；n为高斯节点数；ξi为高斯积分节点坐标；gi为与ξi对应的高斯积分系数.

如所周知，拱圈形、载常数计算公式为：

(1)

(2)

式中:S为弧长.

当采用高斯积分公式且为等截面圆拱时，上式相应改为：

(3)

(4)

式中:φ为与弧长S对应的中心角；r为中心半径；E为坝体弹模；Ii,MLi为与高斯节点i对应的截面惯性矩及静定力矩.从上式可见，由于等截面圆拱r为定值，存在简单的dS=rdφ,S=rφ的关系，所以积分变量由S变为φ，积分区间由弧段0～S变为中心角0～φ.在等截面圆拱计算中，许多参数(如坐标及静定力系等)可直接由中心角用显式求得.积分变量由S改为φ后，可大大简化计算.

然而，对于非圆弧拱，问题要复杂得多.因为非圆弧拱的曲率半径和曲率中心处处都在变化，往往不能用简单的显式来表示某一拱段中心角与弧长的关系.并且某些曲线计算弧长也很麻烦，甚至不易用显式求得.如何采用适宜的积分变量和积分区间，是迫切需要解决的问题.

2不同曲线积分变量区间的选取

2.1基本资料5种非圆弧拱示意见图1.几种非圆弧拱曲线方程及有关公式见表1.

图15种非圆弧拱平面示意

表1几种非圆弧拱曲线公式

类型抛物线对数螺旋线椭圆双曲线

曲线方程y=x2/2Rρ=ρ0eaψ

a=cosβ

曲率半径r=(R2+x2)3/2/R2r=Reaψ

r=a2b2x

[(a-y)2/a4+x2/b4]3/2r=a2b2x

[(a+y)2/a4+x2/b4]3/2

弧长S=1/2{xA/cosψA+RLn[(sinψA+1)/cosψA]}S=R/a(eaψA-1)

dSReaψdψ

备注R为拱冠曲率半径β为切线角,R为拱冠曲率半径a为长轴之半,b为短轴之半a为实轴之半,b为虚轴之半

2.2弧的微分公式表1所列弧的微分(dS)算式，除了对数螺旋线稍简单外，其余3种曲线的算式都比较复杂.若从曲线的一般性质来看，当曲线方程y=f(x)时，则弧的微分为：

式中:y′=tgφ，为函数y=f(x)在点x的导数，φ为过点(x,y)的切线与x轴的交角，不难看出，此角与该点的中心角相等.将y′=tgφ代入上式：

所以dS=dx/cosψ(5)

将式(1)作为抛物线、椭圆、双曲线3种曲线弧的微分一般公式，比表1中所列dS算式要简捷得多.式(1)也适用于其他一阶导数存在的任何曲线.

2.3积分变量区间的选取根据各类曲线的性质，选取3种积分变量区间，分述于后.

(1)对于抛物线、椭圆、双曲线3种曲线，采用式(1)所列弧的微分一般公式.此时积分变量为x，积分区间为与S相应的x变化区间.高斯积分时各项均应乘以1/cosφi,φi为与节点i对应的中心角.如A1算式改为:

(6)

(2)对于对数螺旋线，采用表1所列算式：dS=Reaφdφ.此时积分变量为φ，积分区间为与S相应的φ的变化区间，各高斯积分项i均应乘以Reaφi，如A1算式为：

(7)

上式除了高斯积分项乘以eaφi外，其余与圆弧拱相似.

图2五心拱平面示意

(3)对于五心拱，其中弧段为圆弧，算法与等截面圆拱相同，当其边弧段为变截面时，则中心拱弧线为非圆弧曲线，且不便用显式表达.仔细考察该段曲线，发现它与以R3=(RM+RD)/2为半径的圆弧很相近(RM,RD分别为边弧外、内半径)，此圆弧中心O3在边弧起始截面外弧中心O1与内弧中心O2联线中点处，如图2所示.

边弧段计算时，积分变量为φ，积分区间为与边弧S相应的φ的变化区间φ3，如A1算式为：

(8)

上式形式上与圆弧拱一样.

3算例

以上述3种积分变量区间的选取方式，计算各类曲线的半拱弧长，举例于下.

设采用3节点高斯数值积分方法，节点坐标及高斯积分系数列于表2.如以中心角φ为积分变量，以Δφ为积分区间，则与节点i相对应的φi=Δφ(1+ξi)/2.又如以水平坐标x为积分变量，以Δx为积分区间，则与节点i相对应的xi=Δx(1+ξi)/2.

表2节点坐标及高斯积分系数

节点号i节点坐标ξi高斯积分系数gi

1-0.7745966910.555555582

200.888888896

30.745966910.555555582

3.1求抛物线、椭圆、双曲线拱半拱弧长例1：设抛物线拱拱冠曲率半径R=140m，拱端中心角φA=45.32°，拱端坐标xA=141.5726m，求半拱弧长S，可以采用两种方法.一种是按表1所列S的公式直接计算，这是理论积分后的公式，是精确的.另一种是采用高斯数值积分方法，以x为积分变量，xA为积分区间.

(1)按理论公式

S=1/2{xA/cosψA+RLn[(sinψ\-A+1)/coxψA]}

算得S=162.921371m.

(2)按高斯数值积分方法，应有

算得gi/cosφi=2.301610646,S=(141.5726×2.301610646)/2=162.922485m.

该数值积分值与理论计算值162.921371m相比，仅相差0.001114m，相对误差仅为6.8×10-6.

例2：设椭圆拱拱冠曲率半径R=164.51m，拱端中心角φA=51°，坐标xA=141.5843m，长轴之半236.9m，短轴之半197.42m，求半拱弧长.例3：设双曲线拱拱冠曲率半径R=152.71m，拱端中心角φA=41°，坐标xA=141.58421m，实轴之半954.41m，虚轴之半381.77m，求半拱弧长.

上两例因两种曲线无理论积分公式直接用显式计算弧长S，只能与表1中dS算式的高斯数值积分值相比.用dS算式直接数值积分时，积分变量、积分区间与前述方法一样，仍为x及xA，但每一高斯积分项不用除以cosφi，而是乘以dx前的算式等，可见后一算法较繁.两例成果S及比较见表3.

表3椭圆拱、双曲线拱计算成果比较

类别例2椭圆拱例3双曲线拱

原dS算式成果164.143661158.610046

dS=dx/cosψ成果164.143737158.610031

两种算法差值/m0.0000760.000015

相对误差4.63×10-79.457×10-8

由表3可见两种算法成果非常接近.

3.2求对数螺旋线拱半拱弧长例4：设对数螺旋线拱拱冠曲率半径R=154m，拱端中心角φA=46°，切线角β=52°，a=ctgβ=0.781285626,以中心角φ为积分变量，积分区间为拱端中心角φA，求半拱弧长S.

(1)按理论公式计算

S=R/a(eaψA-1)=171.9726625m

(2)按高斯数值积分计算

两种算法成果差值为0.0000061m，相对误差仅为3.547×10-8.

3.3用近似方法求五心拱边例5：设五心拱半拱边弧夹角10°，外半径RM=290m，内半径RD=193.514m，边弧起点拱厚6.466m，拱端厚度8.466m，求半拱边弧长S.

(1)用较精确的计算公式S=φ3×(RA+2×R3)/3.式中3=(RM+RD)/2;φ3为以O3为近似中心的边弧夹角，以弧度计；RA为边弧拱端点与O3联线的长度，见图2.算得RA=241.56728m，φ3=0.206893551弧度，R3=241.757m，从而算出S=50.00488034m.

(2)用近似计算公式S＝φ3×R3=50.01796429m.

两种算法所得的差值为0.013m，相对误差为2.6×10-4.

由以上成果可知，以R3为半径，以φ3为中心角所得的圆弧与边弧的中心弧很近似，因此在高斯数值积分计算时，可以采用较简单的积分变量φ及积分区间φ3.

4结语

综上可知，高斯数值积分应用于非圆弧拱时，需针对非圆弧拱曲线的性质和特点，选取适宜的积分变量与相应的积分区间，这样常可收到事半功倍之效.如对于抛物线拱、椭圆拱、双曲线拱，采用dS=dx/cosφ的通式，既避免了各种曲线的繁复计算，也便于程序规格化.对于对数螺旋线拱，则利用对数函数微分、积分都简单以及极坐标方程弧的微分的特点，积分变量选取φ而不选取x，既大大简化了计算，也很容易利用圆弧拱的算法稍加变换.对于五心拱，在控制误差足够小的前提下，边弧线采用近似圆弧，大大简化了计算.

将3节点高斯数值积分方法推广应用于各种非圆弧拱坝多拱梁法程序，对于提高拱坝程序的计算速度和精度，有很大价值；对于将来推广应用高斯数值积分于各类复杂结构的分析、计算，也有一定的启发和借鉴作用.

参考文献

数值积分篇2

通过微积分的课程，可以加强高中数学教育的严谨性，从而达到优化教学的作用。锻炼学生解决实际问题的能力，提升他们应对问题时的反应能力，也会使学生不自觉的用数学思维思考问题。微积分的教育价值体现在，兼顾不同层次的学生要，对不同的层次研究不同的教法，准确把握不同阶段的学生对微积分知识的掌握情况做好定位。在数学教育中，严谨、精确是其最大的特点。而利用微积分相关的知识可以增加数学的严谨性。同时，它还可以使高中阶段的一些繁琐的数学问题简单化，能够轻易的解决难题，解题步骤也会让人眼前一亮。可见微积分知识扩展了数学教学，加强学生对解题的多样性思维的锻炼。微积分对于培养学生在解决实际问题和锻炼思维能力方面有重要作用。微积分会通过大量的实际经验和具体的实际案例所得出一些概念。例如通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，用来引导学生感受由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解瞬时变化率就是导数，感受微积分在研究函数和解决实际问题中的作用，体会微积分的思想及其内涵。微积分还有助于帮助学生解决一些实际生活中存在的问题，对于相关学科的理解学习也有帮助，从而开发学生在解决问题方面的能力，为学生解决问题积累经验教训。同时，锻炼思维能力，也是微积分进入数学教育的目的之一。微积分中包含有重要的数学思想和解题的思维方法，这些思想和方法会促进学生辩证逻辑思维的形成。掌握了微积分的知识，更有利于学生从微积分的高度重新的角度认识初等数学中的知识，这会加深学生的理解，更利于掌握初等数学，更明确清晰地了解其知识内容。同时，有利于加深对数学知识的体验，无论是初等数学知识还是高等数学知识他们都是有统一性存在的。通过学习这种更加灵活的思维模式，提高学生的思维能力。

二、微积分的作用以及对数学教育的影响

微积分的出现可以说推动了数学的发展速度。微积分让数学更生动，例如，微积分对于描述运动的事物有几大帮助，可以描述变化的过程。甚至可以说，数学界因微积分的出现而发生了改变。微积分的出现不单单是推动数学的发展，同时开创了许多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。这些新的分支不断地推动着数学的发展，特别是数学教育中，微积分的不断创新更利于学生在思维方面的不断创新。使得数学的学习增添了更多的趣味性。微积分还对其他一些相关学科有促进作用。由于数学本就是工具学科，对自然学科等发展都有重要影响。对物理学的影响更是不言而喻，很多的物理学问题都要靠微积分作答。伟大的牛顿就是用微积分学及微分方程从万有引力定律导出了开普勒行星运动三大定律。除此之外还有很多就不一一列举了。不可否认微积分的出现对社会和科学都有巨大贡献。而微积分在教育中的作用同样不可忽视，微积分的出现是对数学教育的推动。它让数学教育的内容更丰富，在教学中更具实用性。它使得数学与现实生活联系的更紧密，更灵活，着更有助于加深高中生对微积分的印象和兴趣。让微积分不知不觉渗透到他们的生活与学习中。微积分对于研究变化规律十分有帮助，因此只要涉及到与变化有关的学科都可以用到微积分。在人类发展的进程中微积分做出了举足轻重的贡献。如今，微积分更是被应用到各个行业，无论是社会还是经济的变化由于微积分有着不可分割的联系。此外，微积分还参与着人们的日常生活，以及各种科技工程等。微积分在高中教学中出现，对于为国家输送人才有很大帮助。这就体现了微积分在高中数学中的存在价值，虽然暂时来说微积分教育并不成熟，仍然存在很多不足，但综上所述，微积分教育在高中数学教育中出现时有必要的。

三、结语

数值积分篇3

关键词：单摆，数值积分，梯形公式，辛普森公式，MATLAB

 

单摆问题是一个古老的问题，在现实中应用很广，例如摆钟就是应用单摆的原理制造的. 在无阻尼的情况下，单摆动力学方程是：

(1)

其中是单摆的质量，是单摆的摆长，的初始角为(见图1).

图1

在单摆的摆角很小的情况小，我们用公式：

(2)

作为单摆的震动周期的近似计算公式.但是当单摆的摆角较大(一般认为大于)时，公式(2)就不适用了. 此时单摆的振动周期需用公式(1)的精确解[1]：

(3)

来计算.但是公式(3)涉及到椭圆积分，这个积分利用莱布尼茨公式是很难计算出来的， 这时我们可以借助数值积分方法来计算单摆的振动周期.我们利用了数值积分中的梯形公式和辛普森公式得到了两个计算单摆的震动周期近似公式.

1 近似公式的导出

数值积分中的梯形公式和辛普森公式[2]分别为:

，(3)

，(4)

其中为积分上限，为积分下线，为被积分函数.

对公式(3)用梯形公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：

.(5)

对公式(3)用辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：

.(6)

2 近似公式的精确程度分析

数值积分中的梯形公式和辛普森公式的误差[2]分别为:

，

.

从误差公式可以看出辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式比梯形公式要精确.

为了考察公式(5)和公式(6)的精确程度，我们用数值积分公式中自适应辛普森公式[2]近似的取代精确解，计算精度取到. 下面我们利用MATLAB软件，在区间每隔取值，计算出的90个点的值，然后画出以横坐标，以纵坐标的曲线图.

数值积分篇4

关键词：积雪覆盖；水分迁移；季节性冻土；有限差分法

中图分类号：S161；P641.2文献标识码：A文章编号：1672-1683（2013）01-0151-04

我国有54%的国土面积位于季节性冻土地区[1]，其中东北、西北和西南等地区在冬季普遍存在季节性冻土表面覆盖一层积雪的现象。积雪改变了土壤与大气之间的水热传递规律，导致积雪覆盖条件下土壤的水热状况也发生了改变[2]，进而影响“冬小麦”的生长发育和来年春季的土壤墒情。因此，国内外学者对该问题进行了大量研究。Philip和DeVries[3]提出了水热耦合迁移理论；Kane[4]使用了一个伴随相变的二维热传导模型来说明气候变暖对活动层温度和融化深度的影响；雷志栋[5]等模拟了冻结条件下土的水热耦合迁移规律及对潜水蒸发的影响；康绍忠[6]对于作物覆盖条件下田间水热运移的模拟研究；任理[7]对条带覆盖下土壤水热耦合状况进行了研究。上述学者虽然取得了一些突出的研究成果，但由于地域限制，无法充分考虑积雪对于土壤水分状况的影响，特别是高寒地区“冬小麦”冬季生长发育期间的水热状况。

为此，本文以哈尔滨为例，通过不同积雪覆盖下的冬季冻结土壤大田试验，采用土壤水动力学理论分析了稳定积雪覆盖对土壤水分迁移状况的影响。研究成果对于揭示稳定积雪覆盖下的水分迁移规律，指导农业生产实践具有重要理论和实践意义。

数值积分篇5

关键词： 高等数学竞赛试题 绝对值 导数 最值

绝对值函数是中学数学中重要的一元函数，它的连续性，最值，单调性等都有非常直观的几何解释.高等数学是中学数学的直接后继课程，运用高等数学解决实际问题往往要处理一些包含绝对值的问题.所以，必须熟练掌握解决绝对值问题的方法.

高等数学竞赛旨在提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革［1］.各省（市）高等数学竞赛往届试题中有大量关于绝对值的问题，下面结合高等数学竞赛试题归纳绝对值与最值的类型和解决问题的方法.

1.用绝对值定义函数的最值问题

第一类问题，用绝对值定义函数.通常做法是对定义域进行分割，去掉绝对值，将函数尽量简化.

例1.2005年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：求函数f（x）=|x|+|x-1|+|x-3|的最小值.

评注：这事实上是中学数学问题.由于函数x，x-1，x-3分别在x=0，1，3的两侧变号，因此需要将实直线分割为4个子区间，然后化简函数.在多元函数中也存在绝对值定义函数的最值问题.

例2.陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题：求函数f（x，y）=max{|x-y|，|x+y|，|x-2|}的最小值［2］.

评注：将多元函数中绝对值去掉要麻烦得多.这个问题中x-y，x+y，x-2分别在直线y=x的上下两侧变号，在直线y=-x的上下两侧变号，以及在直线x=2左右两侧变号，因此用这三条直线可以将xoy平面分割为7部分，然后在每个区域上化简函数f（x，y）.在每个区域中f（x，y）都是关于x和y的一次函数，于是两个偏导数都是0，因此在区域内部f（x，y）不可能取到最小值，最值点只可能位于区域的边界上.比较边界线y=x，y=-x和x=2上点的函数值，得到minf（x，y）=2，（x，y）∈R.

第二类方法是使用最优化理论方法.此种问题事实上就是凸规划问题，根据最优化理论可知：凸函数在凸区域的最值只在区域的边界上取到［3］.在例2中，用三条线将平面分割为7部分，每个部分都是平面上的凸集，而化简后的f（x，y）是线性函数因此也是凸函数，f（x，y）只能在这7部分的边界上取到最值.

2.已知最值求参数问题

第二类问题，已知最值（或极值），计算其中所含参数的值.通常的办法是先计算不含有绝对值函数的最值（或极值），然后取绝对值后比较这些点处函数值的大小，得出参数的值.

例3.2008年浙江省高等数学竞赛题［4］：求常数的值使得|cosx+x-t|=π.

评注：首先计算函数g（x）=cosx+x-t在区间［0，2π］的极值问题.由于g（x）单调增加，所以|g（x）|的最大值一定在区间端点处取到，比较|g（0）|和|g（2π）|可得t=x+1.

例4.2011年浙江省高等数学竞赛题（文专类）［5］：求a的值，使得函数f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值为2.

评注：作变量代换y=x后问题等价于f（y）=|y-4y-a|在上［-4，4］的最大值为2.先计算绝对值之内的函数的极值点，因为是抛物线，因此最大值一定在对称轴或区间端点处取到，比较这些点的函数值即可得到a=-2.也可以直接计算g（x）=x-4x-a在［-2，2］上的极值，再比较这些点和区间端点处函数值的大小可得结果.

3.绝对值积分的最值问题

第三类问题，定积分中被积函数包含绝对值，求其最值问题.

例5.2011年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：计算?蘩|x-t|dx.

评注：解决此类问题的通常方法是根据积分变量的取值范围，将积分区间进行分割，使每个区间中被积函数不含有绝对值，积分后再利用积分区间可加性计算积分.本例中将积分区间分割成［0，］和［，1］两个区间后分别积分得到?蘩|x-t|dx=t-t+.然后计算在［0，1］上的最大值即可得结果2/3.

例6.2009年浙江省高等数学竞赛题：求g（x）=?蘩|x-t|edt的最小值.

评注：类似于例5，根据参数不同取值划分区间，去掉绝对值.因为研究的是最值，所以不必要（有时候是不能）将积分先计算出来然后讨论最值.第二种处理方法是直接研究这些积分表示函数的单调性，从而得出最值.令A=?蘩edt＞0（这个积分无法用牛顿――莱布尼茨公式计算出来），则x＜1当时，g′（x）=-A；当x＞1时，g′（x）=A；当-1≤x≤1时，g′（0）=0，g″（x）=2e＞0，因此g（x）在x=0在取到最小值.

4.结语

高等数学（微积分）中绝对值和其他问题结合往往会增加问题的难度，如何选择合适的方法去掉绝对值是解决此类问题的关键.一般方法是比较绝对值内部变量值的大小划分区间（或者区域）去掉绝对值后分段讨论.

参考文献：

［1］浙江省高校高等数学教学研究会.浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛章程［EB/OL］.http：//zufe.省略/document.asp?docid=5520.

［2］陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题［J］.高等数学研究，2009，（02）：封面三.

［3］袁亚湘等.最优化理论与方法［M］.北京：科学出版社，1997.

［4］卢兴江，金蒙伟主编.高等数学竞赛教程（第四版）［M］.杭州：浙江大学出版社，2011.

［5］田增锋.浙江省高等数学竞赛题的几何思考［J］.考试周刊，2011，（40）：13-14.

数值积分篇6

关键词：林业自然资源资产；价值评估；森林生态服务功能价值

加快生态文明制度建设、严守生态保护红线是深入贯彻和落实《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》的要求。2015年，贵州省开展林业自然资源资产负债表（价值量表）的编制工作。本文通过白云区林业自然资源资产负债表（价值量表）的编制，初步评估白云区林业自然资源资产价值量。

一、工作组织情况

2015年10月，根据贵州省林业厅相关文件的要求，白云区生态文明建设局成立专门工作小组，前后经过工作准备阶段、计算更新数据阶段、编制报告阶段等3个阶段完成了森林、林地、湿地等价值量的专项调查和更新工作。

二、编制对象、内容及方法

（一）编制对象

编制对象为白云区辖区范围内的所有林地、湿地、林木。

（二）指标体系

根据评估规范，林业自然资源资产价值量主要包括经济价值、森林生态服务功能价值和社会价值三个方面。经济价值指标包括林地价值量、林木价值量、经济林产品价值量3个指标；森林的生态服务功能价值指标包括调节水量、净化水质、固土、保肥、固碳、释氧、积累营养物质7个指标；社会价值包括森林旅游、森林疗养与休闲2个指标。

三、价值量评估方法及参数取值

（一）经济价值评估

1. 林地价值量

根据《关于贵阳市征地统一年产值标准和征地区片地价的公告》（筑府发〔2009〕99号）确定白云区的统一年产值和征地区片价标准，根据质量检查合格的林地年度更新数据库统计林地面积，不包括非林地森林面积，按下列公式计算林地价值量。

林地价值量=林地面积×统一年产值

2. 林木价值量

（1）有蓄积的林木

根据白云区森林资源情况，结合贵州省划分的树种组，白云区树种组划分为马尾松、杉木、华山松、柏木、软阔、硬阔、针叶混、阔叶混、针阔混9个树种（组），根据市场分别确定其销售单价，没有销售单价的参照相似树种计算。蓄积量根据质量检查合格的林地年度更新数据库统计，包括森林蓄积、非林地上的森林蓄积、散生木蓄积、四旁树蓄积。由于散生木和四旁树难以确定树种，因此按阔叶树销售价格计算。

林木价值量=林木蓄积×销售价格

（2）无蓄积的林木

对于无蓄积的乔木幼林、未成林造林地、灌木林等林地上林木按上一年度单位面积工程造林所需费用及抚育、管护全部投资计算价值量。工程造林全部投资生态公益林按500元/亩计算，商品林按1000元/亩计算。

林木价值量=无蓄积林木面积×单位面积造林投资

（3）竹林

由于竹林不计算蓄积量，因此以单株平均销售价乘以总株数计算价值量。单株平均销售价毛竹按15元/株计算，其它竹按2元/株计算。

竹林价值量=竹林总株数×单株销售价

3. 经济林产品价值量

根据区林业统计年报数中的经济林产品生产情况及主要林产品销售实际平均价格计算其价值量。

经济林产品价值量=产量×单价

（二）森林生态服务功能评估

1. 涵养水源

（1） 调节水量

①评估公式：

实物量：G调=10A（P-E-C）

价值量：U调=10C库A（P-E-C）

②相关说明：G调-林分年调节水量，单位：m3.a-1；U调-林分年调节水量价值，单位：元.a-1； C库-单位库容水库的建设投资（主要包括水库的工程建设造价、征占土地拆迁补偿以及水库日常维护费用等等），单位：元.m-3；A-林分面积，单位：hm2；P-降水量，单位：mm.a-1；E-林分蒸散量，单位：mm.a-1；C-地表径流量，单位：mm.a-1。

③计算方法：降水量以贵州省气象部门统计数据为准。林分蒸散量和地表径流量参照相关研究成果进行计算，针叶林蒸散量按降水量的52%计算，地表径流量按降水量19.7%计算；阔叶林蒸散量按降水量的54.8%计算，地表径流量按降水量11%计算；针阔混交林蒸散量按降水量的55.3%计算，地表径流量按降水量13%计算；竹林和特殊灌木林参照阔叶林计算。C库以“评估规范”推荐使用价格为准，取值6.11元/t。林分面积以质量检查合格的林地年度更新数据库为基础进行统计。

（2）净化水质

①评估公式：

价值量：U水质=10KA（P-E-C）

②相关说明：U水质-林分年净化水质价值，单位：元.a-1；K-净化水质费用，单位：元.t-1；其他参数与调节水量相同。

③计算方法：根据“评估规范”中的社会公共数据，K取值2.09元/t。按照计算公式算出森林净化水质的价值量。

2. 保育土壤

（1）固土

①评估公式：

实物量：G固土=A（X2-X1）

价值量：U固土=AC土（X2-X1）/p

②相关说明：G固土-林分年固土量，单位：t.a-1；A-林分面积，单位：hm2；X2-无林地土壤侵蚀模数，单位：t.hm-2.a-1；X1-林地土壤侵蚀模数，单位：t.hm-2.a-1；C土-挖取和运输单位体积土方所需费用，元.m-3；p-林地土壤容重，单位：t.m-3。

③计算方法：林地土壤容重参考相关文献确定，针叶林p=1.397 t.m-3，阔叶林P=0.973 t.m-3，针阔混p=1.257 t.m-3，竹林和特殊灌木林参照阔叶林计算。根据“评估规范”中的社会公共数据，C土取值12.6元/m3。林地土壤侵蚀模数和无林地土壤侵蚀模数，根据质量检查合格的林地年度更新数据库中森林小班郁闭度（覆盖度）和坡度计算林地土壤侵蚀模数，无林地土壤侵蚀模数使用坡度按坡耕地查表确定。

（2）保肥

①评估公式：

实物量：GN=AN（X2-X1） GP=AP（X2-X1） GK=AK（X2-X1）

价值量：U肥=A（X2-X1）（NC1/R1+PC1/R2+KC2/R3+MC3）

②相关说明：GN-减少氮流失量：t.a-1；GP-减少磷流失量：t.a-1；GK-减少钾流失量：t.a-1；N-土壤含氮量，单位：%；P-土壤含磷量，单位：%；K-土壤含钾量，单位：%；U肥-林分年保肥价值，单位：元.a-1；M-林分土壤有机质含量，单位：%；R1-磷酸二铵化肥中的含氮量，单位：%；R2-磷酸二铵化肥含磷量，单位：%；R3-氯化钾化肥含钾量，单位：%；C1-磷酸二铵化肥价格，单位：元.t-1；C2-氯化钾化肥价格，单位：元.t-1；C3-有机质的价格，单位：元.t-1。；其他参数与固土相同。

③计算方法：土壤的全N、全P、全K含量参照相关文献数据，针叶林土壤N=0.074%，P=0.074%，K=0.74%，阔叶林土壤N=0.073%，P=0.073%，K=1.283%，针阔混土壤N=0.125%，P=0.125%，K=1.535%。林分土壤有机质含量参照相关文献数据，针叶林M=1.567%，阔叶林M=2.188%，针阔混M=1.723%。竹林和特殊灌木林参照阔叶林计算。根据“评估规范”中的社会公共数据，磷酸二铵化肥含氮量为14%，含磷量为15.01%，氯化钾化肥含钾量为50%；磷酸二铵价格为2400元/t，氯化钾价格为2200元/t，有机质价格为320元/t。

3. 固碳释氧

（1）固碳

①评估公式

植被固碳实物量：G植被固碳=1.63R碳AB年

土壤固碳实物量：G土壤固碳=AF土壤碳

固碳价值量：U碳=AC碳（1.63R碳B年+F土壤碳）

②相关说明：G植被固碳-植被年固碳量，单位：t.a-1；R碳-CO2的碳含量；A-林分面积，单位：hm2；B年-林分净生产力，单位：t.hm-2.a-1； G土壤固碳-土壤年固碳量，单位：t.a-1；F土壤碳-单位面积林分土壤年固碳量，单位：t.hm-2.a-1；U碳-林分年固碳价值，单位：元.a-1；C碳-固碳价格，单位：元.t-1。

③计算方法：CO2中碳的含量为27.27%。单位面积林分土壤年固碳量通过查阅文献确定，针叶林、阔叶林、针阔混交林0～90cm土壤深度的土壤年固碳量分别是2.29、3.00、1.52 t・hm-2・a-1。根据“评估规范”中的社会公共数据，固碳价格为1200元.t-1。林分净生产力通过本期生物量减上期生物量得到，生物量分别乔木树种、竹林进行计算。乔木树种通过生物量转换因子法（BEF）计算，根据单株材积表和单株生物量表（地上生物量）地方标准计算生物量转换因子，马尾松BEF为0.5239 t/m3、杉木BEF为0.4213 t/m3、华山松BEF为0.5712 t/m3、柏木BEF为0.7443 t/m3、软阔BEF为0.6942 t/m3、硬阔BEF为0.7803 t/m3，针叶混、阔叶混、针阔混按相似树种计算；竹林按照生物量地方标准DB52/T829-2013、DB52/T830-2013计算单株生物量，再乘上竹林株数得到总生物量；特殊灌木林暂不计算固碳释氧实物量和价值量。

（2）释氧

①评估公式

实物量：G氧气=1.19AB年

价值量：U氧气=1.19C氧AB年

②相关说明：G氧气-林分年释氧量，单位：t.a-1；U氧-林分年释氧价值，单位：元.a-1； C氧-氧气价格，单位：元.t-1；其他参数与固碳相同。

③计算方法：根据“评估规范”中的社会公共数据，氧气价格为1000元.t-1。

4. 积累营养物质

①评估公式

林木固氮、磷、钾实物量：

G氮=AN营养B年 G磷=AP营养B年 G钾=AK营养B年

林木固氮、磷、钾价值量：

U营养=AB年（N营养C1/R1+P营养C1/R2+K营养C2/R3）

②相关说明：G氮-林分固氮量，单位：t.a-1；G磷-林分固磷量，单位：t.a-1；G钾-林分固钾量，单位：t.a-1；N营养-林木含氮量，单位：%；P营养-林木含磷量，单位：%；K营养-林木含钾量，单位：%；A-林分面积，单位：hm2；B年-林分净生产力，单位：t.hm-2.a-1；U营养-林分年营养物质积累价值，单位：元.a-1；C1-磷酸二铵化肥价格，单位：元.t-1；C2-氯化钾化肥价格，单位：元.t-1；R1-磷酸二铵化肥含氮量，单位：%；R2-磷酸二铵化肥含磷量，单位：%；R3-氯化钾化肥含钾量，单位：%。

③计算方法：根据“评估规范”中的社会公共数据，磷酸二铵化肥含氮量为14%；磷酸二铵化肥含磷量为15.01%；氯化钾化肥含钾量为50%；磷酸二铵化肥价格为2400元/t；氯化钾化肥价格为2200元/t。林分净生产力计算方法与固碳释氧相同。林木氮、磷、钾元素含量通过查阅相关文献确定，针叶林氮、磷、钾元素含量分别为0.642%、0.259%、0.030%；阔叶林氮、磷、钾元素含量分别为0.736%、0.418%、0.033%；针阔混交林氮、磷、钾元素含量分别为0.831%、0.577%、0.037%；竹林氮、磷、钾元素含量分别为0.287%、0.047%、0.395%。特殊灌木林暂不计算。

（三）社会价值量评估

根据区林业统计年报数中的森林旅游与休闲产业发展情况计算社会价值量。

森林旅游价值量=人次×人均花费

森林疗养与休闲价值量=人次×人均花费

四、白云区林业自然资源资产现状

（一）林地资源现状

根据调查统计数据，截止2015年，白云区国土总面积为25960.00hm2，中林地面积10546.32hm2，占国土面积的40.63%；非林地面积15413.68hm2，占国土面积的59.37%。林地面积10546.32 hm2（其中：有林地面积8536.77hm2，灌木林地面积1205.33hm2，未成林造林地面积632.49 hm2，苗圃地面积24.66hm2，无立木林地面积65.92hm2，宜林地面积63.36hm2，林业辅助生产用地面积17.79hm2），林地上森林面积9594.35hm2，非林地上的森林面积1204.09hm2，四旁树占地面积649.67hm2。

（二）森林资源现状

1. 森林面积

根据调查统计数据，截止2015年底白云区森林面积11448.11 hm2，其中乔木林地面积为8536.77 hm2，特殊灌木林地面积为1057.58 hm2，非林地上森林面积为1204.09 hm2，四旁树林木的覆盖面积为649.67 hm2。

2. 森林蓄积

根据调查统计数据，截止2015年底白云区森林蓄积439225.1 m3，其中杉木蓄积36384.7 m3，马尾松蓄积322808.7 m3，华山松蓄积13483.5 m3，柏木蓄积16.7 m3，软阔类蓄积49561.1 m3，硬阔类蓄积23350.5 m3。

（三）湿地资源现状

根据调查统计数据，截止2015年底白云区湿地面积277.09 hm2，其中河流湿地面积104.69 hm2，人工湿地面积172.40 hm2。

五、价值量评估结果与分析

（一）评估结果

经过测算，白云区林业自然资源资产负债表（价值量表）评估结果如下。

1. 经济价值量

白云区林业自然资源资产经济价值量为424152.66万元，其中林地价值量414594.32万元、林木价值量9557.87万元、经济林产品价值量0.47万元。详见表1。

2. 森林生态服务功能价值量

白云区林业自然资源资产中涵养水源价值量为37247.79万元、保育土壤价值量为140536.55万元、固炭释氧价值量为5141.04万元、积累营养物质价值量为230.04万元，森林生态服务功能的价值总量为183155.42万元。详见表2。

3. 社会价值量

白云区林业自然资源资产社会价值量为150.00万元，均为森林旅游价值量。

（二）评估结果分析

经评估，截止2015年底，白云区林业自然资源资产价值量为607458.08万元，其中经济价值量424152.66万元，森林生态服务功能价值量183155.42万元，社会价值量150.00万元。详见表3。

在白云区林业自然资源资产价值量评估中，经济价值量最高，占总价值量的69.83%；其次为森林生态服务功能价值量，占总价值量的30.15%；次之为社会价值量，占总价值量的0.02%。白云区林业自然资源资产价值量评估中经济价值量最高的主要原因是白云区是贵阳市主要城区之一，经济发展水平和林地补偿价值相对较高造成的。从评估结果中同样可以看出，白云区林业自然资源资产价值量评估中社会价值过低，仅占总价值量的0.02%，主要原因是白云区森林旅游和森林疗养与休闲的价值没有得到充分重视和挖掘，经济贡献度较低。因此，充分挖掘林业自然资源的社会价值是白云区今后林业自然资源保护和发展的方向之一。在分项详细指标中，林地价值量最高，占总价值的68.25%；其次为保育土壤价值量，占总价值的23.14%；次之为涵养水源价值量，占总价值的6.13%。对于林业自然资源保护来说，林木价值最能够直接反映林木蓄积的多少，进而间接反映出森林质量的高低。白云区林木价值量为9557.87万元，仅占总价值量的1.58%，排在分项详细指标的第4位，说明其林木蓄积较低，林木结构不合理，森林覆盖率较低，在以后森林资源保护工作中要加强森林资源保护，在提高森林资源的质量的同时增强森林的生态服务功能，这样既有利于白云区林业自然资源的保护，又能促进区域经济发展。

六、小结

数值积分篇7

（①内蒙古大学鄂尔多斯学院，鄂尔多斯 017000；②内蒙古鄂尔多斯市东方路桥集团，鄂尔多斯 017000）

（①Department of Civil Engineering，Ordos College of Inner Mongolia University，Ordos 017000，China；

②Dongfang Road-bridge Group Shares Limited Company，Ordos 017000，China）

摘要：本文用边界元法建立了非线性理想数值波浪水槽，求解边界积分方程模拟了波浪的生成、传播、变形，并用线性元法对积分方程进行离散求解，得到波浪水槽不同时刻整个波浪场的状态。对计算值和理论解进行了验证，结果表明二者吻合较好，为后续在波浪水槽中模拟极端波浪奠定了基础。

Abstract： In this paper， nonlinear ideal numerical wave flume is established by the Boundary Element Method， the wave generation， transmission， deformation are simulated by solving the boundary integral equation， then，integral equations are dispersed and solved by linear element method， the state of the whole wave field of wave flume in the different time is obtained. The calculated value and the theoretical solution is verified， and the results are in good agreement with each other. There is a good foundation that extreme waves can be simulated in wave flume for further research.

关键词 ：边界元法；数值波浪水槽；数值模拟；极端波浪

Key words： boundary element method；numerical wave flume；numerical simulation；extreme wave

中图分类号：TV139.2+5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）18-0176-02

课题项目：内蒙古自治区高校科研项目（NJZY14010）。

作者简介：商艳（1976-），女，山东德州人，在读博士，讲师，土木工程系副主任，主要从事土木工程系教学、科研和管理工作以及道路桥梁的教学和科研工作。

0 引言

目前，深水波浪与结构物之间的相互作用研究越来越受到研究者们的关注，尤其是波浪对深水结构物作用力即波浪力的研究。波浪力研究的方法有理论分析法、物理模型试验法、现场观测法、数值计算法。随着计算机技术的迅速发展，越来越多的人应用数值计算方法模拟波浪运动以及波浪与结构物之间的相互作用[1]。数值波浪水槽是对波浪自由表面运动和波浪与浮体相互作用的数值算法的总称[2]。数值波浪水槽与物理模型试验在理论上和功能上基本一致，但数值波浪水槽能避免物理模型试验的局限性和尺度效应，同时能节约人力、物力、财力，便于使用、改造，精确度高，基于此，现为研究者使用。

1 数值波浪水槽模拟方法比较分析

1.1 有限差分法（FDM）

FDM是历史上最早、最经典的数值方法，通过使用这种方法，能够对非定常的Navier-Stokes方程（N-S方程），直接求解，不过，在使用FDM进行数值模拟时，需要很多假设。另外，由于FDM的网格点增长很快，所以一般需要用运算能力较强的计算机。值得注意的是，FDM在模拟动边界和不规则边界方面效果不是很好。

1.2 有限元法（FEM）

FEM能够比较自由地控制网格点的枢密程度，划分相对容易，并且在解决动边界方面，也有一定优势。FEM能够有效解决不规则区域的计算，但是对计算机的性能要求也很高。

1.3 边界元法（BEM）

边界元法（BEM）是根据微分方程的基本解将其转化为边界处的积分方程，然后求解积分方程从而得出微分方程的解。BEM的优点远远多于FEM，边界元法是在闭合的区域中满足Laplace方程，Green函数基本解的存在意味着在区域内任一点的值能够从边界处的值获得。该种方法的缺点主要是它的应用范围受限，具体来说是以存在相应的微分算子基本解为基础，对非均匀的介质难以应用。

1.4 有限体积法（FVM）

有限体积法（FVM）是一种新的研究Navier-Stokes方程的数值计算方法，目前在流动、传热、福射等问题中应用的很广泛。它是将计算域划分为一系列的控制体，每个控制体的特征都用形心处的一个节点来代表，通过对控制体的节点处建立通量守恒方程建立离散形式的控制方程。

基于以上方法的比较，本文选用边界元法对数值波浪水槽进行数值模拟。

2 边界元法（BEM）模拟数值波浪水槽

2.1 边界元法（BEM）简介

数值法基本分为两类：区域型和边界型[3]，边界元法（BEM）属于边界型的数值方法。在应用BEM时，需要将区域内的微分方程变换成边界上的积分方程，再把边界方程离散成代数方程。

边界元法分为直接法和间接法两种[4]。直接法用物理意义明确的变量来建立积分方程，积分方程中的未知函数就是所求物理量在边界上的值；间接法用物理意义不一定明确的变量来建立积分方程。积分方程式是边界元方法的理论基础。

2.2 建立边界积分方程

边界元法的基本控制方程式拉普拉斯（Laplace）方程。由于波浪具有自由表面，且流体是不可压缩的，因此，波浪的运动满足Laplace方程：

2.3 数值波浪水槽模型

假想一数值波浪水槽[4]，如图1所示，SF为自由水面，SB、SV为底面，SS、S2为侧边界，SF、SB、SS、S2组成计算域，计算域左端为造波板边界，右端为海绵层吸收边界。在线性理论的基础上，给出造波板的冲程、速度和加速度后，在造波板边界通过求解边界积分方程来模拟波浪的生成、传播和变形。吸收边界采用Sommerfeld边界条件和海绵层吸收边界条件相结合的方法来吸收波浪。

2.4 边界积分方程数值解

边界积分方程的离散采用线性元离散。将边界分割成N个边界单元，整个边界上的积分以N个边界单元上的积分和来表示。

设在边界上有N个节点，任意一个单元J包括节点j和j+1，边界上的变量用Γ表示，边界积分方程可离散为：

离散后的边界积分方程与自由表面动力学边界条件结合，可计算出任何边界上的势函数及其导数值。在此基础上进行有限差分格式时间步进，即在每一个时间步长内，求解关于速度势的边界值，得到波浪水槽不同时刻整个波浪场的状态。

3 数值波浪水槽的验证

为了验证建立的数值波浪水槽模拟非线性波浪的可行性、正确性和精确性，可通过数值波浪水槽生成波浪的计算结果和波理论解比较，如图2，发现计算值和理论界吻合较好，表明以上建立的数值波浪水槽模拟非线性波浪可行。

4 结论

本文用边界元法建立了理想的数值波浪水槽，通过求解边界积分方程模拟了波浪的生成、传播和变形，通过线性元方法对边界积分方程进行了离散，求解边界值得到不同时刻波浪水槽波浪场的整个状态，并对波浪的计算值和理论解进行了验证，结果表明二者吻合较好。这说明边界元法建立的数值波浪水槽能很好地模拟非线性数值波浪，为后续的在波浪水槽中模拟极端波浪的研究奠定了良好的基础。

参考文献：

[1]辛颖.Fluent UDF方法在数值波浪水槽中的应用研究[D].大连理工大学硕士学位论文，2013，6.

[2]Katsuji Tanizawa. The state of the art on numerical wave tank [J]. Proceeding of 4th Osaka Colloquium on Seakeeping Performance of Ships，2000：95-114.

数值积分篇8

关键词：图像处理，叶面积无损测量

 

0引言

叶片面积的大小直接影响到植物生产力的高低，叶片面积的变化也直接影响植物水分生理的变化过程。测定植物叶片面积，往往是研究一些与植物叶片面积相关的生理生化指标首要解决的问题。例如，对小面积叶片的光合速率进行测定时，需要知道这些叶片的实际面积，以此换算标准光合速率。

叶片的面积的测定经历了网格法、称重法、系数法以及使用叶面积仪进行测定，前三种方法需要进行破坏性测量，而叶面积仪价格昂贵，且当叶片面积很小时，测得的面积与实际面积间会产生较大偏差。游明安等[1]介绍了采用叶长×叶宽与叶片面积间的回归关系来测定叶片的叶面积，然而在建立回归关系前，还需对抽样后的叶片进行面积测定。当需要在田间进行非破坏植株的叶面积测定时，可以采用基于机器视觉技术的图像处理方法来求得叶面积，该方法可以有效的实现无损测量。

本文利用机器视觉知识，基于参照物的叶面积测量方法，通过对目标图像进行区域分割，分别对其计算区域面积，最终求得比较准确的大豆叶片参数值。论文格式。

1、测定原理

数字图像有许多像素点组成，每个像素点代表一定的实际面积值，而其所代表的实际面积值可以由已知参照物面积求得[2]。因此叶面积可由下列公式求得：

（1）

其中S代表叶片面积，S0代表参考物体的实际面积，通过图像处理得到叶片面积S1，参考物体面积S2。这种方法在测量叶片面积时，需要在严格的物距下进行叶片的采样，以保证每个像素代表的真实面积不变，而且要求光学器件的线性度高，镜头的焦距不可变，可见此方法难度较大。

拍摄图像时让数码相机离被测叶片尽量远，通过数码相机的变焦功能使被测叶片的像尽量大，相当于在尽量长的焦距下拍摄，误差就会有效地减少。测量时要求将被测叶片与标准测度参照物同时拍摄，从而按比例获得绝对尺寸，被测叶片和标准物体要求拍摄到同一幅图像上。

2、图像的获取

叶面积的测量系统硬件部分主要有成像设备、计算机、参照物以及测量叶片时所需的夹具一套。论文格式。成像设备选用普通的数码相机，参照物是测量中一个关键的设备，本研究中选用一个黑色圆片，它必须要能与与叶片有很大的颜色差别。参照物圆片要足够远，圆片的面积将直接影响测量的精度。测量所用夹具需要以下特点：能够构建一个与叶片颜色有很大差别的背景，选择白色的纸板。并能使参照物固定在背景纸板上。

借助于数码相机来获取图像，可以不破坏作物的群体结构，真正地检测叶片的生长规律而不只依靠统计规律，但是需要对测量系统进行标定，而且要求被测叶片和标准参照物必须同时拍摄，所以影响测量精度的因素很多。

3、叶面参数的测量方法

如图1所示，极为叶面参数计算的工作流程图。在对原图像进行预处理以后，将图像转化为灰度图像，将转换后的灰度图像进行图像分割、边缘提取、最后经过计算求出叶面的基本参数。

图1 系统工作流程

3.1图像预处理

由于受到外界光线以及噪声的干扰，使得图像想上出现一些噪声点，需要对其进行处理，才能使图像清晰，更加准确的表征事实。预处理过程包括对图像进行亮度、对比度调整和平滑滤波。亮度和对比度的调整可以使图像特征明显，易于识别；平滑滤波的目的则是去掉尖锐不连续的噪音。

3.2图像分割

要获取图像中参考物的面积及图像中作物叶片的参数，首先要讲参考物目标和叶片目标从原图像中分割出来。目前，用于图像分割的方法很多，其中双峰阀值处理是最常用的一种。阀值处理时将所有灰度值大于或等于某阀值的像素都被判定属于物体，所有灰度值小于该阀值的像素被排除在物体之外，即为背景。

利用迭代阈值法对图像进行分割[3]。论文格式。该方法具体步骤如下：

① 选择灰度阈值T的初始估计值。

② 用T分割图像。这样就会生成两组像素：G1由所有灰度值大于T的像素组成，而G2由所有灰度值小于或等于T的像素组成。

③ 对区域 G1和 G2中的所有像素计算平均灰度值μ1和μ2。

④ 计算新的门限值：

T = (μ1+μ2)/2(2)

⑤ 重复②到④，直到逐次迭代所得的T值之差小于事先定义的参数T0。

图2目标直方图

将图像的最大灰度值和最小灰度值的均值作为灰度阈值T的初始估计值。迭代得到灰度阈值T后，将大于T的像素的灰度值设为1，其余像素的灰度值设为0，这样便得到了二值图像，使得参考物目标和叶片目标从原图像中分离了出来。

3.3去噪处理

采用阀值分割后的二值化图像，其叶片周围常存在若干噪声斑点，需要进行去噪处理，中值滤波是一种去除噪声的非线性处理方法，能够在抑制噪声的同时很好的保护边缘轮廓信息[4]，采用开运算将参照物内部填充完整。

3.4目标参数的获取

设d为实际参照物的直径，则实际参照物的面积S0可以通过下式得到：

（4）

用实际的参照物面积除以图像中参照物的面积S1得到一个比例系数k，即

(5)

根据图像中叶片面积A、最小外接矩形的长L和宽W，以及比例系数，可计算得到实际的叶片面积AR、叶长LR和叶宽WR，它们分别由式（6）—式（8）计算得到[1][5]：

；（6）

；（7）

；（8）

4结果和分析

实验选用了大豆叶片为待检测的目标，并以一元硬币作为参照物，利用三星S1050数码相机获取原始图像，用1.73GHz Pentium微机、在Window XP平台上用Matlab编程实现。试验中，使用游标卡尺测量出参照物的实际直径为d=2.500cm.，T0=0。

图3给出了实验中图像处理的过程与结果，其中（a）为相机拍摄的原始灰度图像，(b)为对原始图像进行迭代阀值法分割后的二值图像，（c）为对二值图像进行开运算后的结果，（d）是从（c）中分离出来的大豆叶片目标，（e）是从（c）中分离出来的叶片外接矩形图像。（f）是从（c）中分离出来的参照物图像。

（a）原始灰度图像（b）二值图像（c）开运算效果图

（d）分离后叶片对象 （e）叶片外接矩形 (f)参照物对象

图3图像处理的过程与结果

使用图像处理技术计算得到的叶片面积为12.3825cm2，叶片长为4.6478cm、宽为3.6149cm。计算的中间数据如下：

表1 实验叶片参数和参照物的数据

数值积分篇9

吉林省行政区划包括长春市、吉林市、四平市、辽源市、通化市、白山市、松原市、白城市和延边朝鲜族自治州(延吉市)共9个区划单元，根据吉林省资源、环境和经济地域差异及自然状况，将全省划分为4个生态经济区，即东部长白山资源保护与旅游、健康产业生态经济区，东中部水资源保护与特色产业生态经济区，中部松辽平原黑土地资源保护与高新技术产业生态经济区，西部草原湿地保护与绿色产业生态经济区。东部生态经济区包括延边朝鲜族自治州、白山市全部、通化市区及所属的集安市、柳河县、通化县，面积7．25万km2，约占全省总面积的38．7%;东中部生态经济区包括辽源市全部，吉林市的磐石市、桦甸市、蛟河市，通化市的梅河口市、辉南县，面积2．63万km2，约占全省总面积的14.0%;中部生态经济区包括长春市的全部，四平市区及所属的公主岭市、伊通县、梨树县，吉林市区及所属的舒兰市、永吉县，松原市的扶余县，面积4．25万km2，约占全省总面积的22．7%;西部生态经济区包括白城市全部，松原市区及所属的前郭县、长岭县、乾安县，四平市的双辽市，面积4．61万km2，约占全省总面积的24．6%。

研究方法及数据资料来源

研究方法水土资源匹配系数。水土资源匹配系数(R)是表征特定区域农业生产所拥有的水资源与耕地资源在时空上适宜匹配的量比关系，将该系数引入区域水土资源的匹配测度，旨在揭示一定区域尺度水资源和耕地资源时空分配的均衡状况与满足程度。区域水资源与耕地资源分配的一致性与量比水平越高，其匹配程度就越高，农业生产的基础条件就越优越［1，4－5］。目前我国学者对水土资源匹配系数的计算主要采用基尼系数法和单位面积耕地所拥有的水资源量法。该研究采用的计算方法为基尼系数法，通过构建区域基尼曲线和计算区域基尼系数，对吉林省水土资源匹配状况进行定量分析，同时对比我国省际间的水土资源匹配状况和世界国际间的水土资源匹配状况，对吉林省水土资源匹配现状做出正确评价。水土资源匹配系数的推广。从我国水资源的需求结构来看，可以分为农业用水、工业用水和生活用水。从水资源需求的空间特征来看，农业用水与耕地的分布、农业用水与农业产值、工业用水与工业产值、生活用水与人口数量密切相关［6］。基于基尼系数法的水土资源匹配系数对区域水资源和耕地的匹配特征做了很好的描述，依此原理可以分别计算水资源与人口数量、水资源与农业产值、水资源与工业产值的基尼系数，从而得出水资源与人口数量、农业产值和工业产值的空间匹配特征。区域基尼系数的构建。基尼系数通常用来衡量居民收入的差异程度，测算时将人口按收入水平分级后构建基尼曲线求得。根据保罗•克鲁格曼在产业与空间布局关系方面的研究，结合资源的空间分布特性，对于研究区域水土资源的匹配问题时，其区域基尼曲线构建方法如下［6－7］:(1)在研究区的9个行政区划单元，分别计算出单位体积水资源所需服务的耕地面积，该相对值即为资源匹配水平分级的指标。按照该相对值从低到高对区划单元进行排序。(2)分别计算出9个行政区划单元水资源和耕地资源占吉林省各自总资源量的比例。(3)按照排序，依次计算出9个行政区划单元水资源和耕地资源各自占吉林省资源总量比例的累计总和。例如，将研究区域分为3个区位:区位1拥有20%的水资源和50%的耕地资源，区位2拥有30%的水资源和30%的耕地资源，区位3拥有50%的水资源和20%的耕地资源。那么可得到区域基尼曲线。此时，定义中曲线与45°线构成的面积(A)的2倍为区域基尼系数(G)。耕地资源的地理分布与水资源的地理分布越匹配，则曲线越与45°线接近，当各区位水土资源极度匹配时，曲线与45°线重合，即G=0;相反，若耕地资源几乎完全集中在某一区位，而该区域的水资源又很少时，则区域基尼系数G越接近于1，说明水土资源极不匹配。文中对基尼系数的求取方法是先利用SPSS对基尼曲线拟合曲线方程，然后利用定积分对0～1间基尼曲线与45°线所夹图形求面积A，G=2A。水资源与人口数量、水资源与农业产值、水资源与工业产值的基尼系数的构建方法与水土资源类似，具体过程如下:(1)分别计算出9个行政区划单元单位体积水资源所需服务的人口数量、单位体积水资源所对应的农业产值、单位体积水资源所对应的工业产值，该相对值即为二者匹配水平分级的指标。按照该相对值从低到高对区划单元进行排序。(2)分别计算出个9个行政区划单元水资源、人口数量、农业产值、工业产值占吉林省各自总量的比例。(3)按照排序，依次计算出9个行政区划单元水资源、人口数量(或农业产值、或工业产值)占吉林省相应各要素总量比例的累计总和。水资源与人口数量、水资源与农业产值、水资源与工业产值的区域基尼曲线的绘制和区域基尼系数的计算方法与水土资源匹配区域基尼系数的算法相同，在此略过。数据资料来源总水资源量和9个行政区划单元的水资源量均来源于《2006年吉林省水资源公报》。耕地面积、人口数量、农业产值、工业产值来源于《2010吉林统计年鉴》。

区域基尼系数计算

吉林省水资源总量为353．63亿m3，截止到2009年末，耕地面积总数为5325125hm2，人口总数为2719．48万人，2009年农业总产值为7774535万元，工业总产值为100802045万元［8］，9个行政区划单元的水土资源数据，人口数量、农业产值和工业产值的数据。水土资源匹配区域基尼系数计算根据吉林省9个行政区划单元的水资源量和耕地面积的数据，利用上文构建区域基尼系数的方法，将9个行政区划单元的水资源所占比例累计和耕地资源所占比例累计对应绘制成(a)，计算吉林省水土资源匹配区域基尼系数，从而得出吉林省水土资源匹配的现状。图2(a)表明，吉林省水土资源分布极不均衡，80%水资源服务着不到30%的耕地，而剩下20%的水资源却服务着超过70%的耕地。计算得到各点连线所构成的曲线与45°线构成的面积为A1=0．3053，根据区域基尼系数定义，得到吉林省水土资源匹配的区域基尼系数为G1=0．6106。根据吴宇哲等《区域基尼系数及其在区域水土资源匹配分析中的应用》一文，我国(省际间)水土资源匹配的区域基尼系数为G=0．5664，全球(国际间)范围内的水土资源匹配区域基尼系数G=0．5864［7］。根据姜宁等《基于基尼系数的黑龙江省水资源空间匹配分析》一文，黑龙江省水土资源空间匹配基尼系数为0.4824［6］。水资源与人口数量、农业产值和工业产值匹配区域基尼系数计算根据吉林省9个行政区划单元的人口数量、农业产值、工业产值的数据，利用上文构建区域基尼系数的方法，计算累计比例，绘制区域基尼系数曲线，(b、c、d)，计算得出水资源与人口数量、农业产值、工业产值匹配区域基尼系数。计算得到各点连线所构成的曲线与45°线构成的面积分别为A2=0．2516，A3=0．2868，A4=0．3160，根据区域基尼系数定义，得到吉林省水资源与人口数量匹配的区域基尼系数为G2=0．5032，水资源与农业产值匹配的区域基尼系数为G3=0．5736，水资源与工业产值匹配的区域基尼系数为G4=0．6320。根据姜宁等《基于基尼系数的黑龙江省水资源空间匹配分析》一文，黑龙江省水资源与人口和第二产业总产值的空间匹配基尼系数分别为0．4606和0．7184［6］。

数值积分篇10

关键词：曲面面积 数值计算 数值微分 积分

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（b）-0238-02

在计算地形表面时，由于地面高低起伏不定，是一个不规则的曲面，因此我们想通过数学软件拟合出一个函数来近似是不可能的。但是，在其局部区域，地面相对平整，可以认为是平面或者二次曲面，可以通过对局部曲面面积的计算得到整个区域的表面积。对表面积的计算我们有许多建立在数值上的近似的方法。[1～2]由于上述模型的建立是基于多网格化下小区域内曲面积近似等于平面面积，因此计算结果存在一定误差，且计算精度不易分析。为了减小误差，提高精度，我们把数值分析中计算定积分的Simpson公式推广到二重积分上，建立计算表面积的数值计算公式。

1 二重积分的复化Simpson积分公式

4 结论

通过实验可知基于本文的方法求解面积算法的误差是，而传统的“三角形法”误差是，因此本文的算法远好于三角形法。虽然它的计算公式比较复杂，计算效率不高，但是在要求相同精度的条件下，它的计算时间是还是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息点少，精度较好，运算速度快，具有较大的实用价值。

参考文献

[1] 肖泽昌，杜跃鹏.带端点3阶导数的Simpson修正公式[J].吉首大学学报：自然科学版，2008，29（4）.

[2] 张正印.二重积分的Simpson公式及其误差估计[J].内蒙古民族师院学报，1995，10（1）.