数值计算方法十篇

数值计算方法篇1

关键词： 工程专业; 数值计算; 课程建设; 计算思维

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2015）01-42-03

Exploration and thinking of course construction on numerical computation method

Yan Shiyu， Rao Jie， Jiang Hui， Li Meng， Yang Xiaohua

（School of Computer Science and Technology， University of South China， Hengyang， Hunan 421001， China）

Abstract： The mathematics are combined with the computer programming capacity in the course of numerical computation method. Since the engineering students have found it difficult to learn this course， the necessity of course setting on numerical computation method in engineering is expounded in this paper. According to the characteristics of engineering practical teaching， the teaching mode and method are optimized to promote computational thinking of engineering majors to achieve a better teaching result.

Key words： engineering; numerical computation; course construction; computational thinking

0 引言

随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值计算软件不断开发出来，数值计算方法对自然科学和工程技术科学的影响越来越大。现在，无论是在高科技领域还是在一些传统学科领域，数值计算均是不可缺少的方法，它已成为科学工作者和工程技术人员应当掌握的知识和工具[1]。工程专业学生在处理实际工程模型时，会遇到各种数值计算问题。学好“数值计算方法”这门课程，有助于提升工程专业学生计算思维的能力。

关于计算思维的科学定位，自然科学领域公认的三大科学方法：理论方法、实验方法与计算方法[2]。国防科技大学人文学院朱亚宗教授从科技史与科技哲学的视野出发，并结合人类的科技创新实践活动来考虑，提出了将理论思维、实验思维和计算思维并列为三大科学思维[3]。数值计算方法与其他基础数学课程又有着本质上的区别，它不仅研究自身的理论，而且更多地与实际问题相结合，是数值计算方法与工程技术实践紧密结合的一门课程。计算方法的目的是对数学问题建立计算机能够执行的解题方案，并从理论上加以验证其科学性和有效性。在解决工程实际问题时，常常依据传统数学理论，将其中的数学问题求解归结为利用数值方法来解决，并借助于计算机得以充分地实现。其中科学计算软件已经在许多工程领域得到应用。

掌握计算方法的基本理论及其应用，对工科大学生从事专业研究和提升计算思维能力具有重要意义。

1 工科数值计算方法课程教学缺陷

目前全国高校在软件工程专业本科学生中开设数值计算方法课并不多，即使有的学校开设了这门课程，其教学也是像数学专业一样，强调理论，没有结合软件工程思想有针对性和选择性地教授这门课程。工科学生往往并不具备很扎实的数学理论基础，在学习和理解数值计算方法中泛函、插值等相关知识时会缺乏兴趣。而且，数值计算方法这门课程在工科教学环节中得不到应有的重视，很多人认为这是数学专业的课程，软件工程学生重视工程实践就可以了，往往忽视了科学计算中非常重要的计算思维的能力的培养。该课程教学中普遍存在以下问题。第一，教学目标不明确;第二，教学内容不加甄别，教材的选择与学生的基础和接受能力脱节;第三，教师采用的教学方法缺乏灵活性，传统重理论的教学方式不能适合当代大学生课程教学，实践教学环节缺乏，最终达不到教学目标，还导致了工科学生对这门课程学习兴趣不浓。

2 数值计算方法课程建设的对策

针对以上问题，我们在这门课程的实际教学中，首先改变对课程的认识。数值计算方法是以各类数学问题的数值解法为研究对象，是理论与实践相结合的一门学科。它不同于纯数学只研究数学理论本身。通过方法的推导和描述，以及整个求解过程的分析，为数学问题依靠计算机提供实际可行的，理论可靠的，计算复杂性小的各种数值算法。为了使学生能够更好地掌握计算方法课程的基本思想、基本原理和方法，除了必须具备数学学科的基本知识外，还要摆脱这些数学学科思维模式的束缚，转而过渡到数值计算思维[4]。

另外，理论与算法实现两者相辅相成。软件工程学生编程能力强，但是数学理论偏弱，结合具体算法的具体应用和实例分析，通过上机实验来具体应用其所建立的算法，并验证理论结果，反过来理解数学理论，并且举一反三。

2.1 设置合理的教学目标

设置教学目标应跟上软件学科的发展，根据实际的教学效果做适当的调整，最终设置合理的教学目标。我学院软件工程系教研室针对卓越软件工程师班的本科学生，实行“3+0.5+0.5”的培养模式，学生在完成大学三年的基础和专业学习后，在大四学期开设了四个模块：群体软件工程、信息系统、核电软件、软件测试。学生可以根据自己喜好选择方向。在核电软件模块中开设了数值计算方法课程。近年来核电国产化的需求日益强烈，而核电软件的开发涉及科学计算问题，数值计算方法这门课程是这个方向的核心课程。结合行业特点和工科学生的数学背景知识，这门课程主要是培养学生对数值计算方法在实际工程背景中应用的理解，以具体的工程实践模型为背景，在解决实际问题中涉及的数值计算方法，从算法到编程、实现结果。从工程角度提升对数学理论知识的理解。

2.2 甄选教学内容

在工科专业课程课时分配上，计算方法课程学时很有限。在这有限的学时里，如何让学生系统地掌握基本方法和基本原理值得深入探讨。根据工科学生的数学基础，结合数值计算知识单元，以软件工程卓越班数值计算课程为例，采用Bloom分类法说明学生对知识点应掌握的程度，具体如下：

了解 能记住学习过的内容;

理解 能领会课程内容的含义，掌握知识的内涵;

应用 能在新的具体情况下应用所学知识解决问题。

同时，还应说明各个知识点的重要程度，具体如下：

核心 该知识点是核心知识单元的一部分;

推荐 该知识点不是核心知识单元的一部分，但应包含在必修课程中;

可选 该知识点属于选修知识单元。

有关教学大纲和各个知识点的重要程度见表1、表2。

2.3 创新教学方法和手段

这门课程数值方法的理论推导建立在很强的数值基础上，工科学生一方面对书本知识很难吃透，另一方面由于工科学生缺乏严密的数学逻辑思维的训练，心理上有种“谈数学而色变”的恐惧心理，因此也影响了课堂教学的效果。如果采用传统的数学理论讲解教学方式，很难调动学生的学习兴趣。因此，创新教学方法和手段很有必要。

表1 数值计算方法课程教学大纲

[主题＼&主要内容＼&数值计算中的误差分析＼&1、误差的来源与分类

2、误差与有效数字

3、数值计算中的误差估计

4、数值方法的稳定性与算法设计原则＼&线性方程组的数值解法＼&1、直接法与三角形方程组的求解

2、Guass列主元消去法

3、Guass全主元消去法

4、Guass选列主元消去法

5、平方根法＼&插值法与最小二乘法＼&1、拉格朗日（Lagrange）插值

2、插值多项式中的误差（插值余项，高次插值多项式的问题）

3、数据拟合的最小二乘法＼&数值积分和微分＼&1、Newton-Cotes公式

1.1 插值型求积公式及Cotes系数

1.2 低阶Newton-Cotes公式的余项目

1.3 Newton-Cotes公式的稳定性

2、复合求积法

2.1 复合求积公式

2.2 复合求积公式的余项及收敛阶

2.3 步长的自动选择

2.4 复合Simpson求积的算法设计＼&常微分方法的数值解法＼&1、欧拉（Euler）方法

2、龙格-库塔（Runge-Kutta）方法＼&]

表2 数值计算方法领域中的知识点表

[知识点＼&掌握程度＼&重要程度＼&数值计算中的误差分析＼&应用＼&核心＼&直接法与三角形方程组的求解＼&理解＼&核心＼&Guass消去法＼&应用＼&核心＼&平方根法＼&应用＼&可选＼&插值法与最小二乘法＼&应用＼&核心＼&Newton-Cotes公式-插值型求积公式及Cotes系数＼&应用＼&核心＼&低阶Newton-Cotes公式的余项目＼&应用＼&核心＼&Newton-Cotes公式的稳定性＼&应用＼&核心＼&复合求积法--复合求积公式＼&应用＼&核心＼&复合求积公式的余项及收敛阶＼&应用＼&核心＼&步长的自动选择-复合Simpson求积的算法设计＼&应用＼&核心＼&欧拉（Euler）方法＼&应用＼&核心＼&龙格-库塔（Runge-Kutta）方法＼&应用＼&可选＼&]

2.3.1 借助实际工程数学模型引入数值计算方法

从实际问题中抽象出来的数学模型，数值计算方法为这些数学模型的解决提供一些基本的算法。比如核电软件中，中子通量的计算最后可以抽象出一个扩散方程，那么通过对实际应用背景的描述，不仅可以激发学生的学习欲望，提供建立数值方法的实际应用源泉，也体现出数值方法的价值和意义，使我们的数学教学不再是无源之水，无本之木，不再显得那么空洞。有了扩散方程这个模型后，进一步就是离散方程。为什么要离散方程，以实例启示学生为什么建立数值方法，应该如何引进数值方法。建立一种数值方法后，哪些问题是值得我们研究的。例如在学习数值积分方法的时候，可以看到基于复化梯形公式的求积方法比牛顿求积公式精度更高，学生从计算实际结果中可以感觉到数学计算方法的神奇魅力。这样的启发式加互动式教学，对学生深入掌握样条理论起到了非常好的作用。

2.3.2 理论与算法实现相结合

从计算方法数学理论角度来理解什么是数值收敛，什么是数值稳定，以及什么情况下可以用高斯消元法来求解线性方程组，这些对于工程出身的学生来说是困难的。但数值计算方法数值稳定、数值收敛的概念是相当重要的。如何让学生轻松理解这些生涩难懂的概念，那么最简单的一个办法就是找一个数值算例，用计算机语言来实现。比如求解一个四阶的代数方程，用不同的求解方法来验证数值解的精确性，从结果反推出为什么有的方法数值解是收敛的，而有的方法则是不收敛的。从理论上去找原因。这样就加深了对理论的理解，进而提升学生的理论功底。

2.3.3 设计一个完整案例，让学生体验数值计算方法的美

数值计算方法的知识点很多，每个知识点都可以通过设计算法来实现。但是这些零散的知识点还不足以让学生体味到数值计算方法的力量和美，为此我们设计一个难度适中的案例，让学生从工程实践背景开始，提出模型，离散模型，分析方程特点，提出数值求解方法，设计算法，编程实现，分析数值结果，得出理论收敛结果。这个过程能让学生体会到数值计算方法的应用，在工程实践中的力量是很强大的，同时也会感叹数值结果的美。这个过程使得学生有了不同于传统的软件工程思维，提升了其计算思维能力。

<E：＼方正创艺5.1＼Fit201501＼图＼ysy图1.tif><E：＼方正创艺5.1＼Fit201501＼图＼ysy图2.tif>

用软件工程卓越班学生完成的一个简单的数值计算为例，编程分别通过一次插值和二次插值求f（sin500）的近似值及其误差。本次实验所用工具为Visual Studio 2012，使用的语言为C#，学生利用软件工程思想面向对象设计来做数值计算程序设计，采用界面直观展示不同结果，使学生更进一步体验了数值计算方法的美。

一次插值与二次插值比较，同时与已知电脑中的计算器计算结果进行比较，学生会自然发现二次插值的计算结果更接近真实值，误差比一次插值小。从而加深对误差的理解。

3 总结经验，创精品课程

经过教学效果和社会需求分析判断，达到教学目标。在这个过程中需要总结经验，为创精品课程做准备。在实践教学中，做到“跟上时代”与“注重基础”相辅相成，才能使这门课程兼具了纵向与横向的深度。学生能够在这门课程受益，学到知识的同时，也学会了一种新的思维方法，跳出狭窄的视野，在更广阔的范围内思考问题，扩展思维并提高解决问题的能力，同时也为自己树立起信心。

实践经验还告诉我们，创“数值计算方法”在软件工程领域的精品课程呼唤双师型教育。也就是说，作为教师个体，既需要有工程背景和工程经历，又需要有学术水平;作为师资队伍，既要有科学型教师，又要有工程型教师。这样才能培养出既有理论功底和专业基础，又有工程实践能力的软件工程人才。可以通过校企联合办学，引进兼职教师，加强教师培训，完善评价体系等措施，逐步建立起这样一支双师型的师资队伍。

参考文献：

[1] 傅凯新，黄云清，舒适.数值计算方法[M].湖南科学技术出版社，2002.

[2] 石钟慈.第三种科学方法-计算机时代的科学计算[M].清华大学出版

社，2000.

[3] 朱亚宗.论计算思维―计算思维的科学定位、基本原理及创新路径[J].

计算机科学，2009.36（4）.

数值计算方法篇2

关键词：数值方法，岩石力学

中图分类号：O3文献标识码： A 文章编号：

1 引言

当前岩石力学数值计算方法得到迅猛发展，出现了有限差分、有限元、边界元、离散元、块体元、无限元、流形元及其混合应用等各种数值模拟技术，使复杂岩石力学工程问题的设计发生了根本性的变化[1]。不同数值计算方法的结合,更能发挥各种数值方法优势互补的作用，如有限元—边界元的混合、有限元—离散元的混合、有限元—无限元和有限元—块体元的混合采用等。然而，由于岩体具有非连续、非均质、各向异性、天然初始地应力影响、地下水影响及复杂边界条件处理等诸多复杂性使得当前岩石力学数值计算仍然是一个值得探讨的问题。

2 常用岩石力学数值计算方法应用分析

2. 1 有限元法

1966 年,布理克[2] (W. Blake)最先应用有限元法解决地下工程岩石力学问题。目前，在岩石力学数值计算方面，有限元法主要用来求解线弹性、弹塑性、粘弹塑性、粘塑性等问题，是地下工程岩体应力-应变分析最常用的方法。其优点是可以部分地考虑地下结构岩体的非均质和不连续性，可以给出岩体的应力、变形大小和分布，并可近似地依据应力、应变规律去分析地下结构的变形破坏机制。

2. 2 边界元法

边界元法在20 世纪70年代中期得到迅速发展，在处理半无限域或无限域问题方面非常方便，适用于解决岩石力学问题尤其是岩石力学中地下开采的有关问题。该法只在求解区域的边界上进行离散(剖分单元)，这样就把考虑问题的维数降低了一维，这也是边界元法的优点。例如,在线弹性区域或无限域、半无限域采用边界元法，在非线性的区域采用有限元法，充分发挥各自的优势，使计算效率、计算精度得到提高和改进，这对工程实际应用是很有意义的[2 ,4]。王泳嘉[4]等人讨论了边界元的应力不连续法和直接边界积分法，并用应力不连续法给出了位移不连续时的解。

2. 3 离散单元法

离散单元法(Distinct Element Method)是20世纪70年代后发展起来的一种用于节理岩体应力分析的数值方法，特别适用于节理岩体及其与锚杆(索)的应力分析。该方法以结构面切割而成的离散体为基本单元，其几何形状取决于岩体结构中不连续面的空间位置及其产状，应用牛顿运动定律描述各块体的运动过程，块体可以发生有限移动与转动，体现了变形和应力的不连续性。沈宝堂等学者通过两个模型实验的结果，并与离散元法数值模拟的结果相比较，验证了离散元法用于边坡稳定性分析的可行性[5]。郭爱民[6]等人利用离散单元法研究矿山边坡的破坏机理，笪盍等人[7]利用离散单元法对盘石镍矿边坡进行稳定性分析和计算，计算结果与现场岩移进行比较表明两种结果吻合较好。

2. 4 关键块理论

关键块理论KB T ( Key Block Theory)是在1985年首先由Goodman 教授和石根华博士提出并用于工程稳定性分析的另一种数值计算方法。块体理论认为，在开挖面上所揭露的块体，可以分为可能产生向开挖面运动的块体和不可能向开挖面运动的块体。不可能向开挖面运动的块体即为稳定块体。石根华[8]等人提出搜寻关键块体一般方法，并介绍了传统关键块体理论的近期发展、应用和局限。

2. 5DDA法

不连续变形分析方法DDA (Discontinuous Deformation Analysis)是由石根华博士首创，基于岩体介质非连续性发展起来的，以模拟复杂加载条件下离散块体系统不连续大变形的力学行为为目的的平行于有限元法的一种数值方法，与有限元法不同之处是可以计算不连续面的位错、滑移、开裂和旋转等大位移的静力和动力问题。孙亚东[9]等人利用DDA法分析岩质边坡的倾倒破坏，并与Goodman 和Bray提出的基于极限平衡原理的分析方法进行比较。邬爱清、丁秀丽等学者应用DDA法研究了复杂地质条件下地下厂房围岩的变形与破坏特征[10]。

2. 6 FLAC方法

Cundall根据有限差分法原理,提出了FLAC( FastLagrangian Analysis of Continuum)分析方法。该方法采用了混合离散方法、动态松弛方法和显示差分方法，不形成刚度矩阵。它的求解方法虽同离散元法的显式按时步迭代求解，但是结点的位移连续，本质上仍属于求解连续介质范畴的方法。

2. 7 数值流形法

数值流形法是利用现代数学—“流形”的有限覆盖技术建立起来的一种新的数值方法，将有限元、不连续变形分析(DDA)和解析方法统一到一种计算方法中，它吸收了有限元、DDA和解析法等的优点，通过采用分片光滑的覆盖函数，对连续和非连续问题建立了统一的计算格式，是一种十分适合于岩土工程分析的数值方法[12] 。它最早由石根华博士在1991年提出并率先应用在块体与节理岩体的变形模拟中，在国内外学者的共同努力下，二维数值流形方法已经拥有一套比较完善的理论，而且应用方面的探讨也日渐增多[13]。郑榕明、张勇慧等也曾经对DDA法作了大量的研究工作[14 ]，在此基础上发展了二维流行元程序，并应用在地下洞室开挖的模拟中[15]，刘红岩等人[16]利用数值流形方法对一层状岩石边坡的倾倒破坏过程进行了模拟。

3岩石力学数值方法应用中的几个瓶颈与展望

3. 1 计算参数的取值问题

由于岩体性态与环境的复杂性,准确确定这些参数并非易事,因而数值分析手段至今仍不能最终为工程设计和工程决策提供可靠依据,幸运的是至今仍火热的反演分析方法有望在这方面为原始参数的取值提供一种新的途径[17]。中国近年来在反分析方面进行了大量研究工作，已由简单的线弹性反演问题发展到非线性、粘弹塑性反分析，从单一的毛洞围岩到考虑支护结构体系的反演,从有限元位移反演到边界元位移反演，从确定性反演到非确定性随机反演等等。而且反分析的目的已不仅仅是得到模型参数，更重要的是应用这些参数进行相应的时间序列值分析以及从参数估计发展到模型识别进而建立新的模型，以便对工程效果做出更合理的评价和有依据的预测。联邦德国对计算参数的取值问题也十分重视，他们认为计算输入的参数必须源于客观实际,地质勘探、岩石力学和数值计算必须紧密地结合起来，甚至从事计算的人需要自己动手到现场去取得第一手资料，而不只是单纯依靠委托单位提供的参数，这一点同主观臆断假定参数或依靠委托单位提供参数而不深入实际研究参数可靠性等脱离实际的作法形成鲜明的对比[18]，是我们应该值得学习和重视的。

3. 2 本构关系的选取问题

从事数值模拟计算的人都知道岩体性质比迄今为止人们所熟知的任何工程材料都要复杂得多，它既非连续介质,又非松散介质，既非弹性体，又非塑性、粘性体，从而导致计算中采用的本构关系很难准确把握。尽管用数值模拟对岩体结构进行力学分析的方法得到了广泛的应用，并且取得了许多成果，但是不敢断言这种方法在将来是否会对这样一类问题的研究有新的突破，至少目前还不可能将这一类问题的研究提高到一个全新的高度[19]。基于这样的原因，人们也在力求寻找其它的弥补途径，有学者改变单一的确定性正向分析方法，适应岩体的非确定性特征，将数值模拟方法与反分析方法、随机方法、模糊方法、人工智能等结合起来，这或许是数值模拟方法的一个正确发展方向[19]。

3. 3 单一数值方法的局限性问题

为了吸取各种计算方法的长处以弥补其不足,近年来涌现出大量的各种数值方法的耦合计算,这种思路进一步反映了岩体工程的计算特点，清华大学的周维恒先生在1993年就断言这种思路对岩石力学数值计算的发展是十分有益的[20] 。离散元、块体元和有限元、边界元、无穷元之间的结合又可提出若于种耦合方法，以发挥离散元和块体元在模拟不连续岩体方面的长处，并利用有限元、边界元、无穷元在模拟连续介质方面成熟的理论和计算技术，使应力分析、破坏、垮落及运动整个过程的数值模拟有可能实现。数值方法同解析方法或半解析方法的结合则是另一条可行的途径，这种结合的特点是用相应的数学推导得到更精确的(也更复杂了)单元模式，再通过离散化求解，解题效率及精度提高，不足之处是应用的局限性也随之增加。何翔[19]等人在Biot固结方程的基础上,引入介质渗透系数张量随应力张量的变化函数,建立能反映介质中应力场与渗流场非线性耦合作用的微分方程组,并在此基础上进行渗流场与应力场耦合问题的有限元求解,采用了精细积分方法进行时间离散。

参考文献:

[1] 谢和平,刘夕才,王金安,等. 关于21 世纪岩石力学发展战略的思考[J].岩土工程学报,1996 , 18 (4) : 98 - 102.

[2] 王泳嘉. 边界元法及其在岩石力学中的应用[J].东北工学院学报, 1984 (1) : 1 - 12.

[3] 刘红岩,秦四清. 层状岩石边坡倾倒破坏过程的数值流形方法模拟[J].水文地质工程地质, 2006 (5) :22 - 24.

[4] 王泳嘉, 冯夏庭. 关于计算岩石力学发展的几点思考[J].岩土工程学报. 1996 ,18 (4) :103 - 104.

[5] 刁心宏, 冯夏庭, 杨成祥,等. 岩石工程中数值模拟的关键问题及其发展[J].金属矿山, 1999 (6) :5 - 7.

数值计算方法篇3

中图分类号：TE95 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）21-0173-01

1 前言

通常认为，船舶码头系泊的主要因素可以看作以下几个部分：码头、护舷、系泊缆、系泊结构物（船舶或者平台）、环境载荷。以上几个因素相互影响，相互作用，最终决定系泊的结果。当前系泊状态主要受到风、浪、流三种载荷，按照静力计算方式或者采用经验公式可以对风、流载荷进行估算和确定，但是波浪力比较特殊，是其中唯一的动载荷，码头系泊的动态船舶运动特性可以看作波浪与结构物的相互作用。波浪力在早期的研究中往往简化为平均波浪力或者等效波浪力，在考虑风载荷和流载荷的叠加后，大多采用静态、准静态方法进行实际的缆绳受力、护舷受力计算，并没有考虑到波浪的动态属性。

系泊缆绳的张力计算需要遵循一定的计算准则，在上个世纪80年代左右，chemjawski、Michaell就已经提出了一种解析方法来求解计算船舶系泊缆张力。求解的方法有以下几个重要步骤：1）通过计算确定设定的方向船舶承受的风、流和等效静波浪力；2）计算求得由船舶横摇、纵摇、垂荡运动引发的垂直方向静回复力；3）用系泊揽本身属性如长度、横截面积、方向角度、弹性模量（非线性）等属性作为基础计算求出系泊缆绳的刚度矩阵；4）最后一步，求出整个系泊系统的总的刚度矩阵，采取提高载荷大小的方式进行迭代计算从而求得每个缆绳的张力值。

2 三维势流理论

在早期的码头系泊计算时往往采用静力或者准静力的计算方法，后来理论发展，计算方式大多采用频域或者时域分析方法。静力或准静力分析方法仅适用与水域状况较好、系泊船舶等运动不大的情况，由此得出系泊缆绳、护舷受力和系泊物体的运动。时域方法结合三维势流理论、脉冲响应原理、缆绳护舷的非线性很好的解决了各种情况下系泊物体的码头系泊问题。

为了适应实际工程问题，三维势流理论针对流体的性质进行了相应的简化，假设流体为无粘性、无旋、均匀的且不可压缩的理想流体。之所以这样简化是因为：

l）波浪的波幅和系泊浮体相比量级很小，绕射作用明显大于粘性影响，所以忽略粘性；

2）对于理想流体而言，初始运动无旋，之后任意时刻运动均无旋，无旋假定合理；

3）流体本身的密度几乎不发生变化，水密度假设为均匀和不可压缩也是合理的。波浪以及结构物的运动状态在液体自由表面附近都可以看作是微幅运动。根据连续性方程和NS方程推导求解流体运动方程，可将其简化为拉普拉斯积分的形式。

3 环境载荷计算

环境载荷主要包括风载荷、流载荷和波浪载荷。

3.1 风载荷

实际上，最有效的风载荷计算方法为风洞试验，Freathy和Vickery对半潜平台进行风洞试验，研究平台倾角、风向、上建布置等参数对风载荷的影响，最终结果对比规范，得出平台在不发生倾斜时的风洞试验结果和规范最为接近，一旦倾斜，结果相差很大。工程上常采用模块法计算海上结构物风载荷，这也是ABS和DNV建议的方法。这种方法主要要采用将整个结构物分解成不同的模块，通过计算每个模块（标准化的）的风载荷的手段，最后叠加得到总的风载荷。所以其部分计算结果很大程度上影响总体的准确性。在海面高度z的风速为：

（1）

式中：zr――参考高度；v（zr）――参考高度风速；p――指数。

3.2 流载荷

对于平台水下部分进行流载荷分析，求出流载荷系数需要利用不可压缩流体的连续性方程和N-S方程。应用有限体积法对控制方程进行离散，使得自升式平台水下受到流作用力能通过数值方式进行求解。

3.3 波浪载荷

海洋浮式结构物受到的波浪载荷包括：一阶波浪力（随波频变化）、二阶平均波浪力和速变（和频）及缓变（差频）波浪漂移力、高阶脉冲力。

一阶波浪力值与波幅成正比。二阶波浪力在包含两个频率wi和wj时，和频力是包含wi+wj的项，差频力则是带有wi-wj的项，此外二阶力还包括一个平均成分。相对于一阶力，二阶力的量级小很多。和频力主要在TLP平台垂荡、纵摇、横摇运动的共振时候考虑；差频力的作用主要体现在海洋结构物系泊状态下纵荡、横荡、首摇的运动响应上。

数值计算方法篇4

关键词：计算方法；教学；数值算法；实践

文章编号：1672-5913（2013）18-0069-04

中图分类号：G642

0 引言

作为科学方法论的三大组成部分之一，科学计算在人类生活中正扮演着日益重要的角色，而选用计算方法作为整个科学计算全过程中的一个重要环节，是程序设计和对数值计算结果进行分析的依据和基础。计算方法课程作为工学本科专业，尤其是计算机专业的一门重要选修课程，讲授内容包括常用的数值计算方法及其相关理论。通过该课程的学习，为学生进一步学习和解决各类科学或工程实际问题，培养自身的学科基本能力与创新能力奠定良好的基础。

长期以来，计算方法课程教学存在着过分强调理论教学，轻视实践教学，重视课堂教育，轻视算法设计与实现综合训练，以及缺少与科学、工程实际相关的教学案例等倾向，教学效果不甚理想。因此，计算方法课程教学改革势在必行。近几年，笔者一直从事计算机专业本科生计算方法课程的教学，在教学过程中，从教学内容、教学方法及实践教学等方面进行改革与实践，并取得了较好的效果，对该课程的教学有了较为深刻的认识与体会。

1 计算方法课程的定位、内容及教材选用

计算方法是从计算机的角度考察计算数学，形成“面向计算机”的数值算法设计学，它以数学问题为对象，研究各种数值算法及其相关理论。对于计算机专业的学生，学习计算方法的主要目的在于运用，即针对科学研究和工程设计中的实际问题，通过建立数学模型，运用理论设计相应的算法，编制相应的计算机程序，最终上机计算求出结果。因此，课程的主要任务是使学生掌握最常用、最基本的数值计算的基本概念、基本方法和基本理论。

计算方法课程包括插值方法、数值积分与数值微分、常微分方程的差分方法、非线性方程的求根、线性方程组的迭代法与直接法等内容。它们构成两大模块：①数值微积分模块，讨论将微积分方法化归为代数问题或解方程，包括插值方法、数值微积分和常微分方程的差分法；②方程（组）求解模块，致力于讨论方程（组）的解法，包括非线性方程求根、线性方程组的迭代法与直接法。课程具有以下特点：借助计算机提供切实可行的数学算法，所提出的算法必须具有可靠的理论分析、理想的精确度、收敛且稳定，误差可以分析或估计，计算复杂性好（该特点通过时间复杂性和空间复杂性两个指标衡量，即节省时间与空间存储量），并通过数值实验证明算法行之有效。

课程内容可安排在56课时内完成，其中课堂讲授40课时，上机实验16课时。教材选用由华中科技大学出版社、王能超教授编写的《计算方法》。该教材完全摒弃了依据微积分知识设计算法的传统做法，代之以几种富于概括性的设计思想和方法原则，概念清晰，结构编排由浅入深，分析问题具有很强的启发性。

2 计算方法的教学重点、方式与顺序

2.1 教学重点

学习计算方法课程，不必追求数学理论的完整性与严密性，重要的是进行算法的设计，它是科学计算成败的关键。合理地选择算法是建立在正确的算法分析基础之上，通过算法分析掌握算法的适用性、有效性、收敛性、可靠性和稳定性，但对计算机专业学生这部分内容可以不作为重点。课程讲授的重点应放在算法的设计与实现上，教会学生掌握各种算法的设计机理并灵活运用其进行算法的设计。

基于以上理念，在教学中我们合理设置了各部分内容的侧重点。

1）插值方法。

使学生明确插值过程实际是直接利用所给数据进行加权平均，基于代数精度的概念将插值公式的设计化归为确定平均化系数的代数问题。教学中应重点讲授多项式插值，包括Lagrange插值及Hermite插值，在此基础上使学生掌握通过线性插值的重复化得到高阶插值公式的Aitken逐步插值算法与Neville逐步插值算法，并重点介绍分段插值的基本思想与公式。至于样条插值，可不作考核要求。

2）数值积分与数值微分。

应强调数值积分的基本思想是通过若干个求积节点上的函数值的加权平均生成平均高度，数值微分则是将导数计算化归为若干个节点处函数值的加权平均。教师必须教会学生在尽可能高的代数精度目标下进行求积公式的设计，且设计求积公式时可利用对称性原理减少待定参数。具体内容以等距节点上的Newton-Cotes公式、非等距的Gauss公式为重点，明确Gauss公式的精度较高，但需同时处理求积系数和求积节点，并能利用对称性简化处理过程。对于固定步长、变步长的复化求积方法及Romgerg加速算法也应给予足够重视，而数值微分及其加速方法只简单介绍即可。

3）常微分方程的差分法。

重点介绍常用单步法的Euler方法和Runge-Kutta方法，线性多步法的Adams方法，它们又分为显示和隐式两种差分格式。具体实施中，使学生明确Euler方法的不同差分格式实际上是根据近似区间上导数方法的不同而得到，重点掌握显式方法与隐式方法、两步格式与梯形格式以及Euler预报校正系统。对于Runge-Kutta方法，关键在于寻求求解平均斜率的方法，重点掌握二阶及经典Runge-Kutta方法。为设计多步格式，需掌握如何将所给实际问题化归为数学问题，将数学问题化归为代数问题，并基于代数精度概念，具体地列出方程组。

4）非线性方程求根。

重点介绍根的存在性、根的范围和根的精确化，明确其基本思想是将隐式的非线性化模型逐步显式化、线性化。实际应用中，应通过运用基本的算法设计技术，舍弃高阶小量，将难以处理的非线性方程加工成容易求解的线性化的校正方程，逐步校正所获得的近似根，迭代误差逐步缩小，以保证迭代过程的收敛性，并对每一步迭代出的新值与老值进行加权平均（松弛），得出精度更好的改进值。要求学生熟练掌握Newton法及一系列改进的Newton方法。对于非线性方程组只需简单介绍Newton方法，但由于理论的复杂性，故不作考核要求。

5）线性方程组的迭代法和直接法。

对于迭代法，教会学生将线性方程组的求解过程加工成对角方程组或三角方程组求解过程的重复。重点介绍Jacobi公式与Gauss-Seidel公式，在此基础上掌握超松弛迭代加速方法，以及通过矩阵分裂导出上述两者方法的迭代矩阵。对于直接法，使学生掌握方法的核心在于利用矩阵分解技术通过运算手续直接将所给线性方程组加工成某个三角方程组乃至对角方程组来求解，掌握利用求解过程的“追”手续与“赶”手续。重点讲解Gauss消元法、列主元与全主元Gauss消元法、LU的Doolittle与Crout分解方法，然后使学生掌握通过LU手续利用追赶法求解三对角方程组、利用Cholesky及其改进方法求解系数矩阵为对称正定阵的线性方程组。

2.2 教学方式

课程教学中，我们牢牢把握了1条主线、2类基本方法和4种基本技术，对学生进行正确的引导，使学生能举一反三，快速掌握数值的校正量，要求校正方程具有逼近性和简易性；逐步求精是指继续迭代与否取决于改进值是否满足精度要求，若不满足，则用改进值作为新的猜测值重复上述步骤。

（3）松弛技术：松弛过程也是加速迭代的过程，即通过对两个与目标值精度相当的近似值的加权平均得到精度更高的改进值，其设计机理可表述为优劣互补、激浊扬清。运用松弛技术的关键是选取合适的松弛因子，当近似值有优劣之分时，松弛因子一正一负，松弛技术称为超松弛技术。

（4）二分技术：它是缩减技术的延伸，也是一种高效算法的设计技术，其设计机理变慢为快，即每一步使问题的规模减半，规模按等比级数（1/2）递减，直至规模变为1时终止计算。

2.3 教学顺序

算法设计的基本方法与过程。

1 条主线是复杂问题简单化，将复杂计算化归为一系列简单计算的重复。

2 类基本方法包括直接法与迭代法。它们均按照规模缩减的原则进行演化，主要区别在于直接法是正整数规模的有限缩减过程，而迭代法是实数规模的无穷缩减过程。

数值算法设计的基本与一般性技术（包括缩减技术、校正技术、超松弛技术和二分技术）是直接法与迭代法的设计基础。其中，二分技术是缩减技术的加速，超松弛技术是校正技术的优化。

（1）缩减技术：适用于通过有限步计算可直接得到问题解的直接法，其设计机理为大事化小，小事化了。大事化小即通过设计结构递归，将所考察的问题加工成规模压缩了的同类问题，使每一步加工后的问题规模相比之前小1，最终达到规模递减之目的；而小事化了则意味着问题的规模变得足够小，可直接计算或能方便地得出问题的解。

（2）校正技术：是指对于无法大事化小的问题只能通过无限的逼近过程——迭代近似求解，其设计机理可概况为以简驭繁与逐步求精。以简驭繁是指通过构造某个简化方程（校正方程）近似替代原先比较复杂的方程，以确定所给预报值

课程的讲授顺序应科学安排，循序渐进。

1）数值微积分模块。

该模块的3部分内容都是从简单出发、基于平均化原则，都归结为某些离散函数值的加权平均，最终归结为确定权系数，将含有多个权系数的代数模型加工为每步确定一个松弛因子的递推过程。

其中，插值方法讲授函数的近似表示，由其构造出的插值函数可充当某种简单的近似函数。插值逼近是数值微积分方法的理论基础，如果用插值函数近似替代被积函数，可导出数值求积公式。而数值微积分讲授积分与微分的近似计算，基于数值求积公式可以导出差分格式，常微分方程的差分方法讲授常微分方程的近似求解，形式上可表示为积分形式。作为承上启下重要环节的常微分方程的差分方法是数值计算的核心内容，其定解问题包括初值问题与边值问题，其中，初值问题的隐式格式需要求解函数方程，边值问题的差分方法化归为大型线性方程组。

2）方程（组）求解模块。

该模块的3部分内容形成了一个有机的整体，进行方程（组）求解所用的迭代方法是本模块的基础，即都是将函数方程或线性方程组划归为一系列递推算式。迭代方法不仅可用于非线性方程的求根（逐步线性化），而且还可进行线性（非线性）方程组的求解。而线性方程组的迭代法与直接法互为反方法，它们分别对矩阵施行矩阵分裂（矩阵相加）与矩阵分解（矩阵相乘）手续，基本的处理策略都是将所给的线性方程组化归为三角方程组逐步逼近所求的解。

对于上述两大模块，数值微积分模块讨论将微积分方法化归为代数问题乃至于解方程，而方程（组）求解模块致力于讨论方程的解法。因此，课程的教学顺序应为：插值方法、数值积分与数值微分、常微分方程的差分方法、非线性方程的求根、线性方程组的迭代法与直接法。

3 计算方法课程实验环节的设计

实践教学是计算方法课程教学内容的重要组成部分。在教学中我们采取了以下措施：

1）精选实验内容，注重提高解决实际问题能力的培养。

实验的目的在于使学生熟悉数值算法的运算过程，加深对基本理论的理解，并最终能用于解决科学、工程实际问题。因此，在进行实验内容设计时，我们将计算方法课程与其他学科相结合，精选一些贴近工程或科学实际的问题，启发引导学生积极思维，让学生自己动手，查阅文献，分析研究，建立模型，设计算法，编写程序并上机调试，以及分析运行结果。这样既加深了学生对算法的理解，同时培育了学生解决实际问题的能力。

2）基于Matlab计算平台，深入引导学生理解算法内涵。

为提高学习本课程的兴趣，可借助一些数学软件使问题简单化，将学生的注意力从编程转移到实际问题的解决上来。实践中，选用了Matlab作为实验平台，利用Maflab软件平台强大的计算功能与图形处理功能，将复杂抽象的定义、理论与算法简单化、具体化，既能进行数值计算，又能实现计算结果的可视化，取得较好的实验效果。

4 结语

计算机计算能力的提高需要借助于好的计算方法，计算方法课程致力于探索适合在计算机上使用的理论可靠、实现可行、计算复杂性好的数值算法之设计方法。针对计算机专业本科学生学习计算方法课程中存在的问题，我们对课程进行改革，以培养学生基本的数值算法设计与实现能力为核心目标，总结并提出了课程的教学重点、教学顺序、教学方式方法，以及实践教学环节应达到的目标。实践表明，这种教学模式对于提高学生的学习主动性和创新意识，培养学生的程序设计能力和综合应用能力具有较好的作用。

参考文献：

[1]王能超，计算方法：算法设计及其Matlab实现[M]，武汉：华中科技大学出版社，2010

[2]邓建中，理工科计算方法课程教学中若干分歧问题的我见[J]，大学数学，1992，8（2）：84-86

[3]陈延梅，张池平，李道华，大学工科数学计算方法教学之探讨[J]，大学数学，2005，21（2）：29-31

[4]陈瑞林，徐定华，计算科学与工程学科视觉下的计算方法课程教学改革[J]，浙江理工大学学报，2012，29（6）：933-937

数值计算方法篇5

关键词：pH平均值计算应用电离

中图分类号：D922.68 文献标识码：A

前言

pH值，是我们在环境监测工作中非常重要的一项指标，在水环境质量监测、废水监测、降水监测、土壤监测等一系列监测活动中都需要监测pH值。在监测及数据统计的过程中，我们常常会遇到需要计算所监测到一系列pH值的平均值的情况。本文中的pH平均值仅考虑溶液混合后的酸碱中和反应和水的电离反应，不考虑其它因素。

pH值

pH值在GB 6920-86《水质pH值的测定玻璃电极法》中的定义为：在物质的量浓度小于0.1mo1/L的稀薄水溶液有限范围，既非强酸性又非强碱性（2＜pH＜12）时

式中代表氢离子H+的物质的量浓度，y代表溶液中典型1-1价电解质的活度系数，与y的乘积就是氢离子活度，所以上式就可以等同于《水和废水分析监测方法》中的

因此在日常监测中，我们使用pH计测得的pH值实际上是氢离子活度取负对数后的另一种表示方法。在稀溶液中，氢离子活度约等于氢离子的浓度，因此可以用氢离子浓度来进行近似计算。

在日常工作中，我们常使用电极法测量pH值，即利用玻璃电极及参考电极，测定水样中电位变化，可得到氢离子活度（浓度），从而以氢离子浓度指数（pH）表示之。

常用的pH平均值计算方法

在工作中，常常会遇到需要统计数个水样中不同指标的平均值的情况。通常对于非无量纲数据的平均值，我们取其算数平均值，即可准确的反应一组数据的平均情况，而对于无量纲的pH值，我们则不能这么简单的对待了。

3.1算数平均值

如果对pH值取算数品均值，则会与实际情况有非常大的偏差，比如求以下三个pH值的平均值：5.00、8.00、8.00，如果以算数平均值计算，得到的结果为7。很显然，如果将等量的以上三个不同pH值的水样混合，在只考虑酸碱反应的情况下得到的水样一定是酸性，即pH＜7的，因此以算数平均值求pH平均值是不可取的。

3.2氢离子浓度[H+]水量加权法

在国家环保局1986年版《环境监测技术规范》第二册中规定,降水pH平均值采用氢离子浓度[H+]水量加权法计算。此方法即为求出各样品中氢离子浓度的平均值后再由此得出pH值，

此法虽然比单纯求算数平均值有了一定的进步，但是在现实计算中，也会出现一些问题。比如求解下列各组等量水样的混合后的pH平均值：

表1pH平均值计算表1

其中第1组的计算结果未发现异常，但是后四组的计算结果均得出了不符合理论的结果，其中第2组数据中，pH=9的水样碱性更强，等量混合后的pH结果应该更接近于9，而不是更接近8；第3组数据中等量的水样混合后结果应该为中性，即pH=7；第4组数据的计算结果与实际情况接近，但不准确；第5组数据的结果明显应该为碱性，但计算的结果为酸性，也与实际情况不符。因此此种方法只适用于一些pH＜7的平均值计算。

由于采用氢离子浓度[H+]水量加权法计算对于第2组数据不能计算，我们可以试用氢氧根离子浓度[OH-]水量加权法计算：

则我们得到的平均值为8.74，结果与实际情况相符，因此对于一些pH＞7的平均值计算，可以用氢氧根离子浓度[OH-]水量加权法计算。

3.3[H+ ][OH- ]溶液体积加权中和法

此方法综合考虑了溶液中的H+与OH-的相互作用与酸碱中和反应，经中和反应后剩余的氢离子或氢氧根离子在混合溶液中将建立新的水电离平衡，由平衡后的混合溶液中的[H+ ]和[OH- ]较高者，即可计算得到混合溶液的pH值。

当时，溶液为中性，pH=7

当时，溶液为酸性，

当时，溶液为碱性，

由此计算重新表1中5组数据的pH值

表2pH平均值计算表2

以上计算结果均与理论情况相符，为了进一步验证方法的可行性，我们继续求解一组数据的pH平均值

表3pH平均值计算表3

从上表可看出，五组数据中除第3组数据外，其余四组数据计算得到的pH平均值均不在两个pH组成的区间内，很显然与理论情况是不相符的。因此，单纯的用[H+ ][OH- ]溶液体积加权中和法还是不能解决pH≈7时的平均值计算问题，而pH≈7的情况是我们在地表水监测结果中常常会遇到的。

优化的计算方法

4.1优化算法

有精确的实验证明，水是一种极弱的电解质，它能微弱的电离，生成氢离子和氢氧根离子，即：，且在25℃时，溶液中

。

当混合前的溶液，混合后的pH=7

当混合前的溶液, 混合后的溶液显酸性，溶液中除了酸碱中和后剩下的氢离子，还有一部分氢离子是由水电离产生的, 而水电离产生的氢离子浓度和氢氧根离子浓度相等, 因此有:

由以上三式可以得到

求解得

混合后的

同理，当混合前的溶液,可以得到

混合后的

用优化后的计算方法重新计算表3中的pH平均值，

表4pH平均值计算表4

组别 1 2 3 4 5

特点 酸+酸 碱+碱 酸碱中和 酸强碱弱 酸弱碱强

pH1 6.70 7.10 6.70 6.70 6.90

pH2 6.90 7.30 7.30 7.10 7.30

平均值 6.80 7.20 7.00 6.89 7.11

从上表可以看出，通过优化后的计算方法得到的pH平均值与理论情况是相符的。

4.2 实验验证

取相同体积的已知pH值的氢氧化钠或盐酸水溶液于烧杯中混合均匀。用酸度计测定混合溶液的pH值即为这些水溶液pH平均值。

首先用pH计测的7个溶液的pH值分别为7.22、8.07、6.11、5.44、6.78、4.25、9.54，将上述溶液任意取2~4个进行等量混合，然后测定混合后的溶液pH值与计算得到的pH值进行对比。

表5pH平均值实测与计算结果对照表

由以上对照结果可以看出，实测值与计算得到的理论值非常相近，可以较为准确地反应混合溶液pH值的真实情况。

用excel表格快速计算pH平均值

建立一个excel表格，在B、C列分别输入公式，通过分步计算H+和OH-的浓度、平均浓度、混合后剩余浓度、总浓度，最终得到混合溶液的pH值。

表6pH平均值计算表

表6中b、c列中的内容即为B、C列中应该输入的公式。

当时，计算得到的[H+剩]为负数，此时应该用[OH-剩]计算[OH-总]，从而计算pH值。但由表6可以看出，虽然[H+剩]为负数的情况在理论中不存在，但最终仍然可以计算得出正确的pH平均值结果，因此在实际应用中可直接用[H+]计算。

速算pH平均值

通过EXCEL表格计算出大量pH平均值的结果，可以发现其中的规律，下表中列举出了一些速算的规律，在工作中可以利用这些规律快速估算两个pH值的平均值。虽然估算出的平均值不一定精确，但是对于快速判断两种溶液混合后的pH值却非常实用。

表7pH平均值速算规律表

如果遇到2n个pH数据需要求平均值时，可以利用上表中的规律将数据两两求平均值，再将得到的数据两两求平均值，最终得到的一个数据为这组数据的pH平均值，例如表5中的第七组数据，利用上表求得9.54、6.78平均值为9.24；7.22、8.07平均值为7.87；最后求得9.24、7.87平均值8.94即为四个pH值数据的平均值，与计算结果相符。

参考文献：

王心芳、魏复盛、齐文启等水和废水监测分析方法中国环境科学出版社。

数值计算方法篇6

关键词：数值分析；数值实验；数学建模

数值分析是一门与计算机使用密切结合的、实用性很强的课程。它内容丰富，涉及数学分析、代数、方程和泛函分析等诸多学科，研究方法深刻，有自身严密的科学系统。科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为实验和理论并列的一个不可缺少的环节［1］。所以数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其他学科的联系十分紧密。那么在平时的教学中，如何取得良好的教学效果呢？本文从以下几个方面进行探讨。

一、数值分析课程的教学特点

与其它纯数学理论课程相比，数值分析除了具备数学的高度抽象性与严密科学性的特点之外，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。具体来说，这门课程具有以下的教学特点：

1.知识面跨度大［2］

数值分析是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的必修课程，它广泛运用多门数学学科的知识，内容包括数值逼近、数值积分、线性代数方程组的直接解法和迭代方法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程数值计算等，涉及数学分析、代数学、微分方程、泛函分析等众多数学理论。

2.有可靠的理论分析［2］

能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

3.注重理论与应用的结合

与传统数学课程强调理论分析和逻辑推导不同，数值分析课程更注重运用这些理论构造适合计算机执行的数值方法，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。数值分析主要研究那些在理论上有解而用手工无法计算、必需借助计算机求解的数学问题。它的许多理论与方法本身并不是数学学科的产物，而是以“计算”为目标发展起来的。

二、教学体会

针对数值分析课程的特点，笔者认为在教学中应注重以下几个方面：

1.教学方法上注重数值思想的传授

计算方法这门课程最主要阐述的思想就是“近似计算”的思想。在实际的计算过程中，有许多问题的计算量非常庞大，简单的笔算费时费力，借助计算机可以快速解决这些问题。但由于计算机本身位数的限制，以及其它误差影响，只能进行近似计算。

（1）“误差分析”思想。由于是近似计算，那么就存在一定的误差，所以在计算过程中要分析误差、控制误差和比较误差，只有控制好误差才能找到好的近似值。误差是衡量近似计算结果好坏的一个标准，例如，在求解线性方程组直接法时，通过误差分析可以确定方程组是病态的还是良态的，只有良态的方程组才能保证解的准确性。通过分析误差可以判断算法的稳定性、收敛性及收敛速度。由此可见误差分析是非常重要的。

（2）逼近和近似思想。函数逼近是数值分析方法中的主要内容之一，许多数值方法都依赖于函数逼近的思想。如，各种插值方法、数值微分和数值积分、微分方程数值解等等。函数逼近中常常采取的各种近似，利用插值函数对数值近似处理，让学生意识到数值分析课程不是在简单地做数学练习，而是在训练通过对原问题的分析，如何利用已有的数学知识和工具去逼近和近似原来问题的解。逼近和近似思想作为一种全新的思维方式，它使学生认识到：不能解析或精确求解问题并不可怕，可怕的是不会和不敢利用已学数学知识去近似、简化原来的问题，从而获得原来问题的近似解答。

（3）“离散化”思想［6］。把求连续变量问题转化为求离散变量问题，称为“离散化”。一个连续的数学问题要实现上机计算，必须先进行离散化。在工程计算中，常常需要求解连续性问题，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很难找到解析解，所以数值求解微分方程是计算方法中的一个重要的内容。数值求解微分方程并不是依靠计算机给出微分方程的解析形式，而是依靠它近似给出微分方程在指定点的函数值。在引人离散化思想对问题离散后，可以采用各种数值方法来求解各点函数的值。通过离散化思想，原来的连续性问题变成了一个离散问题。离散化思想是数值计算的一个基本思想，现有的数值计算，几乎完全依赖于对问题的离散化解决。离散方法一直是数值分析研究中一个很重要的方面。

（4）“迭代”思想［5］。迭代是计算机中重要的概念，也是数值分析方法中的重要的概念。在数学建模过程中，对结果可能性的猜测可以在很大程度上帮助我们在建模方向上进行选择，使我们少走许多弯路。由于迭代方法大都只有有限的收敛区间，所以如何利用已有的信息对解进行猜测是很重要的一点，这依赖于学生在实践中能够综合运用数学分析理论和各种方法的经验。许多连续问题在转化为离散问题后，利用迭代法可以求解离散问题。

2.多媒体课件与板书相结合的教学手段［3］

使用多媒体教学方法，能增大教学容量，提高教学效率，有利于解决重点和难点问题。多媒体教学可以在一定程度上突破时间和空间的限制，充实直观内容，能够较彻底地分解知识技能信息的复杂度，减少信息在大脑中从形象到抽象，再由抽象到形象的加工转换过程，充分传达教学意图，并可以通过计算机的丰富表现手段突出教学重点。如，龙格现象可以用屏幕动态的显示在哪个区间收敛，使用多媒体教学可以帮助教师在课堂上根据学生的信息反馈，进行现场分析和答疑，以人机对话方式灵活方便地进行启发式教学。同时，精彩的多媒体课件也能激发学生的兴趣，提高学生的主动性。

数值计算方法篇7

一、数值分析在模型建立中的应用

在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。

以非负整数k表示时间，记xk为变量x在时刻k的取值，则称Δxk=xk+1-xk为xk的一阶差分，称Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分Δnxk。由k，xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为w（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型为w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）[2]，k=0，1，2，…，增加运动时只需将β改为β1+β，β1由运动的形式和时间决定。

二、数值分析在模型求解中的应用

插值法和拟合法在模型求解中的应用

1.拟合法求解

在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。

假设已建立了数学模型y=f（x，c），其中，c=（c1，c2，…，cm）T是模型参数。已有一组已知数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk），用最小二乘确定参数c，使e（c）=∑ki=1（yi-f（xi，c））2最小。函数f（x，c）称为数据（xi，，yi）（i=1，2，…，k）的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f（x，c）具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c。最合适的c应满足必要条件e（c）cj=-2∑ki=1（yi-f（xi，c））f（xi，c）cj=0，j=1，2，…，m。

2.插值法求解

在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数y=f（x）的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk）。要求一个函数

yi=φ（xi），i=0，1，…，k，（2）

这就是插值问题。函数yi=φ（xi）称为f（x）的插值函数。xi（i=0，1，…，k）称为插值节点，式（2）称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。

3.模型求解中的解线性方程组问题

在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n≥4的线性方程组，因此当n≥4时，可以采用迭代法进行求解。

迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型

Ax=b

其中A=a11a12…a1na12a22…an2an1a12…ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即A∈Rn×n，可将A改写为迭代的形式

x=Bx+f

并由此构造迭代法

xk+1=Bxk+f，k=0，1，2，…，

其中B∈Rn×n，称为迭代矩阵。将A按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵B，也就的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法[5]、高斯-赛德尔迭代法[5]、超松弛迭代法等。

由于计算过程中有舍入误差，为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭代收敛，收敛速度越快，误差越小。若x=Bx+f中，ρB

4.数值积分在模型求解中的应用

模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式If=∫bafxdx=Fb-Fa，使定积分计算变得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如∫10e-x2dx，或者即使找到表达式也极其复杂。另外，当被积函数是列函数，其原函数没有意义，因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。

假设a≤x0≤x1≤…≤xn≤b，则积分的计算公式[5]为∫bafxdx≈b-a∑ni=0αifxi，称其为机械求积公式，其中xi（i=0，1，2，…，n）称为求积节点，αi与f无关，称为求积系数或权数，机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取∑ni=0αifxi≈fξ

得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算机计算积分的主要方法，构造机械求积公式就转化为求参数xi及αi的代数问题。

5.数值分析在求解微分方程中的应用

在数学建模中，所建立的模型很多时候是常微分方程或者偏微分方程，这些方程求解析解是很困难的，而且即使能够求得解析解，由于所用数据的误差得到的解也是近似值，所以大部分情况下会采取数值的方法进行求解。

三、误差分析

在数学模型中往往包含了若干参变量，这些量往往是通过观察得到的，因此也带来了误差，这种误差称为观察误差[4]。这些误差是不可避免的，所以我们只能在模型建立和模型求解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析，区间分析法，及概率分析，但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差，因此在建模过程中更着重误差的定性分析，也就是算法的稳定性分析。

在误差分析中，首先要分清问题是否病态和算法是否稳定，计算时还要尽量避免误差危害。为了防止有效数字的损失，应该注意下面若干原则：一是避免用绝对值小的数作除数；二是避免数值接近相等的两个近似值相减，这样会导致有效数字严重损失；三是注意运算次序，防止“大数”吃“小数”，如多个数相加减，应按照绝对值由小到大的次序运算；四是简化步骤，减少算术运算的次数。

数值计算方法篇8

关键词 风险价值 计算方法 比较

1风险价值 （VaR） 的定义

VaR 为“Value-at-Risk”的缩写形式，意为“风险价值”。Value- at- Risk是从20世纪90年代初开始发展起来的一种金融市场风险测量的方法，其核心思想是计算由于市场价格波动导致金融资产所面临的市场风险的大小。VaR严格的数学定义为：在一定的概率置信水平下，某金融资产或其组合在未来特定时期内的最大可能损失额，数学公式表示如下：P（Δp≤VaRα）=α。这里，Δp是资产或其组合在持有期Δt内的损失，VaRα是置信水平α下的风险价值。若X代表某种金融资产， F（x）表示X在未来特定时期内的损失概率分布函数，那么置信水平α下的风险价值VaRα也可定义为损失分布函数F的α-分位数，即有：VaRα=F-1（α），其中， F-1表示F的逆函数。

2风险价值 （VaR） 的几种基本计算方法

由 V aR 的数学定义可知，若给定资产的损失分布函数是确定的，则可以直接由公式计算出VaR。所以，确定给定资产在未来时刻的损失分布函数是计算VaR的关键，概率分布函数构造方法的不同，则形成不同的VaR计算方法。

2.1历史模拟法

历史模拟法（Historical simulation method，简称HS法） 是直接利用历史数据模拟密度分布函数估计出VaR的值，它对基本的市场风险因素的统计分布不做任何假设和其他要求，只要假定在估计期间里一直持有该资产组合，该资产组合的现实值就可以当作损失值，进而再将这些损失值根据大小排序，由预先指定的概率水平，就可以从这一序列中直接得到VaR值，用历史模拟法计算VaR可以分为以下几步完成：第一：确定基本的市场风险因素，根据市场风险因素获取表示资产组合价值的公式；第二：获取市场风险因素的历史数据；并根据市场风险因素的历史数据，计算现有资产组合的损失值；第三：将损失值按大小排序，并由给定的置信水平选择相应的分位点，则可得资产组合的VaR值。

2.2 方差-协方差法

方差-协方差方法（Variance-covariance methods） 也称为分析法 （ Analytic Methods）， 它通过相关性和历史波动性来估计组合的市场风险，分析法的关键在于组合价值函数的估计方法及市场因子服从的分布形式，用参数计量方法求VaR，对资产收益的方差-协方差矩阵进行估计是其核心。其基本步骤为：第一，利用历史数据求出资产组合的收益的标准差、协方差；第二，假定资产组合的收益是正态分布，算出在一定置信区间下反映了分布偏离均值程度的临界值；第三，建立风险损失与资产组合的联系推出VaR值。

设pt是某金融资产价格的时间序列，Rt是收益率序列，这里收益率定义为Rt=（pt-pt-1）pt-1。在金融市场价格的随机游动假说下，pt服从独立的正态分布，由收益率定义式可知，当pt-1己知时， Rt也服从独立的正态分布。设Rt～N（μ，σ2t ），这里μ和σ2t 分别为Rt的期望值和方差，令Zt=（Rt-μ）σt，则有Zt～N（0，1），若W是起初的投资额，R是置信水平α下的最低回报率，由VaR的定义可得：P（Rt≤R）=P[Zt≤（R-μ）]σt=α。对给定的置信水平α，设对应的标准正态分布的分位数为Zα，故由（R-μ）σt=Zα可得：R=μ+Zασt，由VaR计算公式得到结果VaRα=-RW+μW=-ασtW。

2.3 蒙特卡罗模拟法

蒙特卡罗模拟法（Monte Carlo simulation method）是基于历史数据或既定分布假定下的参数特征，借助随机的方法模拟出大量的资产组合价值的数值推导出VaR值。其基本思想是，为了求解科学、工程技术和经济金融方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型的观察计算所求参数的统计特征，最后给出所求问题的近似解。一般来讲，基于蒙特卡罗模拟的风险价值VaR的计算可以分成以下三步：第一，选择市场因子变化遵循的随机过程和分布，估计分布的参数；利用蒙特卡罗方法模拟市场因子的变化途径，建立市场因子未来变化的情景；第二，对市场因子的每个情景，利用定价公司或其他方法计算投资组合未来的潜在损益；第三：根据潜在损益分布的模拟结果，计算出在给定置信度下的风险价值VaR值。

2.4 极值方法

极值理论（Extreme value theory，简称EVT）主要用来分析和解释极端事件，比如分布函数的“厚尾性”。它具有超越样本数据的估计能力，并可以准确地描述分布尾部的分位数。极值理论主要分为分块样本极大值模型（Block Maxima Medol，简记为BMM）和超越门限值模型（Peak Over Threshold，简记为POT模型）。

利用BMM模型求VaR的基本步骤为：第一，对服从同一分布函数F的损失观测值X1，X2，…Xn进行分组， 并从每一组观测值中获得这组观测值的最大值；第二，运用适当的参数估计方法，根据已知数据估计出样本分块后广义极值分布中的参数；第三，利用最大值的极值分位数的计算公式求出给定置信水平的VaR值。

利用POT模型求VaR的基本步骤如下：第一，选取适当大的门限值，并获取观测样本数据中超出门限值的样 本超限数据；第二，用适当的参数估计方法结合样本超限数据估计分布函数中的参数；第三，估计分布函数在所取门限值的值；第四，求给定置信水平的VaR值。

3 几种方法优缺点的比较

历史模拟方法适用于任何类型的市场风险，它的最大优点是不需要做出某些假设，体现了市场因素的实际变化情况。利用经验分布，市场研究人员可以回避那些在为市场价格波动建模时遇到的问题；资产组合的分布也可以随时调整，只要利用不同时期的样本，总能随时反映市场波形的真实状况。第二是避免计算任务量巨大的方差、协方差矩阵。历史模拟法的最大弊端是用这种方法计算出的结果经常会受到近期某些孤立危机事件的影响，而又很难测试其他假设条件。这势必造成历史模拟得到的结论在很大程度是后视的，运用到实际工作中，银行可以避免某些已经发生过的危机，却无法为未来可能出现的危险做好准备。另外，历史模拟法无法提供比观察样本中最小收益还要差的预期损失，而且它要求有足够多的样本数据，样本的大小对VaR值会产生较大的影响。

方差-协方差法的优点是计算风险值VaR 时很简单，只需估计每种资产的标准差和它们之间的相关系数，则可得到任意组合的风险值。但此方法是基于正态假设的，而很多数值模拟研究表明，资产的价格变化并不服从正态分布，而是一个不对称具有一定偏度、峰度的肥尾分布。所以用方差-协方差方法计算出来的风险值VaR，会低估真正的风险值。不仅如此，若资产组合由大量的单个资产组成，则要计算的协方差非常庞大，计算量会很大。另外，这种方法无法处理非线性问题。

蒙特卡罗模拟法是完全定价模型，因而能够展现风险因素的非线性特征。另外，蒙特卡罗模拟法可以创建无数个情景，因而能够测试更多可能的结果。但是它也存在两个重大的缺陷：一是计算量太大，因为投资组合的可能价格会被计算数千次；二是维数高、静态性，传统的蒙特卡罗模拟法由于采用抽样方法产生随机序列，均值和协方差不变，而经济问题中的变量是随着事件变化的，因此在静态方法处理时变型变量会产生一定的偏差。另外，传统的蒙特卡罗方法难以从高维的概率分布函数中抽样是较困难的，同时由于蒙特卡罗模拟必须预先假设一个随机过程，所以如在模型中加入不真实的假设，则可能产生严重的模型风险。

极值方法的优点是克服了厚尾现象和极小的概率条件等情况下，风险值VaR值计算不精确的问题。它不仅能准确的描述分布尾部的分位数，而且有解析的函数形式，计算方便。由于风险值 VaR 值是收益分布的极值分位数，而实际操作中又只有很少的极值观测值来估计该风险值VaR 值，故历史数据较少时，使用极值方法计算风险值VaR 值进行估计也是不精确的。它的不足综合来看有：第一，极值理论一般是有适用范围，即用于显著水平小于0.01 的尾部估计，这是极值理论的自身特点决定的。随着显著水平的增加其误差也越来越大，当显著水平超过0.05 时，误差会大于正态分布的误差。第二， 它的假设条件不一定成立，比如样本独立同分布时，就可能与实际不完全相符。第三， 在运用试算法时计算量很大，而用后验法检验极值方法时，要用逐日更新的历史数据重复计算每天的风险值VaR，并要与实际数据相比较，故而需要更大的计算量。

4结束语

以上的比较可以看出，方差-协方差法计算速度较快，但却无法发现非正态与非线性；蒙特卡洛模拟法可以发现非线性，但却无法发现非正态，而且运算速度较慢；历史模拟法可以发现非线性与非正态，但其结果会受到过去市场趋势的严重影响；极值理论方法能在最大限度上利用所有的极端历史数据，在计算较高置信度下的VaR时可以将误差减少到最小。关于风险价值的计算，应根据实际需要合理选择方法进行估计。

参考文献：

[1]刘晓星.银行操作风险度量方法比较研究[J].财经问题研究，2006，（1）：61-67.

[2]徐明圣.极值理论（EVT）在金融机构操作风险建模中的应用与改进[J].数量经济技术经济研究，2007，（4）：76-83.

数值计算方法篇9

Geological Engineering Specialization Teaching of the Computation Method

Wang Xinjian1 Shen Dajun2

（1.North china Univ.of water resource and Electric power，Zhengzhou Henan，450011，China；

2.Yangshan Co.Ltd of the China Gold Group.Longnan Gansu，746400，China）

Abstract：professional teaching reform of this course is mainly divided into the innovations of？the teaching staff including two ways，classroom theory，and experimental content and so on.Some specialization effective measures about the error，nonlinear iteration and the finite difference method for solving the seepage field of are listed in details.This method is affective proved by many years'teaching practice.

Key Words：Computational Methods；Geological Engineering；Teaching Research；Seepage；Finite Difference Method

近年来，计算机技术的普及，使得数值计算方法在地质工程专业领域得到广泛的应用，成为解决复杂工程地质问题的有力工具，再以地质定性分析相结合，可有效解决很多地质工程问题。而数值计算方法又是关于很多数值计算软件的最基本的知识。开设并教好这门课将有利于为本科生利用和开发数值计算软件，并有效解决工程地质问题打下坚实的理论基础。

数值计算方法在地质工程专业教学中存在的问题主要是教学内容纯粹数学化[1～3]，缺乏与地质工程专业相结合的应用，学生需要自己完成数学问题与专业知识的转化问题。同时导致专业学生不知道所学有何用处，减少了学习的兴趣和积极性。教师也往往是完全依据纯粹数学的教材，其中的例题习题绝大多数和高校的工程地质相差甚远，对地质工程应用到的数值计算方法的领域不甚了解，当然也就无法进一步引申，或者直接针对某个地质工程中的问题提出数值计算方法的解决手段。为了提高数值计算方法地质工程专业教学中的效果，针对以上教学中的问题，计算方法教学需要进行地质工程专业化。根据本人长期从事本学科的一线教学实践，这里从以下三个方面探讨计算方法教学专业化内容，也为可其他类似课程教学提供参考。

1 教学人员的专业化

提高数值计算方法地质工程专业教学效果，更好服务于地质工程建设，需要与地质工程有较好的衔接，必须使教学人员地质工程专业化。教学人员不但要具有数值计算方法教学的扎实理论基础及技能技巧。还需要一定的地质工程专业知识。教学人员的专业化可以通过以下两个方面建设。

一是通过数学专业人员的地质工程专业化培训或者自我拓展。数学专业从事数值计算方法教学的人员可以参加地质工程的专业基本知识学习，了解地质工程中哪些领域、哪些问题用到数值计算方法相应内容。了解地质工程专业常用软件计算的基本原理及其对应的数值计算方法中内容，在课堂教学、作业中及试验中加以引导。

二是通过地质工程专业人员从事计算方法教学。随着我国人才培养的迅速提高，具有高学历人员的地质工程专业的教师越来越多。长期接受高等教育及从事科研活动，理工科高学历人员往往已经熟练掌握了数值计算方法基本知识或者已经能够熟练应用这些知识解决地质工程中的问题。同时高学历理工科教师的高等数学理论知识通过历届的入学考试得到了很大的提升，这些人员通过学习，能够很快熟悉掌握数值计算方法的教学内容。随着高校教学、科研与社会服务三项主要任务的完善，高校教学人员个人平均教学任务量相对下调，更有利于地质工程专业人员教师从事计算方法等专业限选之类的课程教学。

以上两方面的人员的相互专业化过程，还可以通过高校的‘教研室活动’进行交流，目前的高校教研室活动仅仅限于一个专业或者一个专业的方向人员进行教学与专业知识的交流。随着学科交叉日益加深，需要打破专业范围内交流的局限，根据教学任务及具体情况定期不定期举办不同学科不同院系间的教学专业知识的交流活动。增长不同专业教师与服务对象专业不一致的专业外知识，扩展他们的视野，利于教学专业化，对有效提高教学质量，明确教学目标具有很大的帮助。

2 课堂教学内容的专业化

课堂教学内容的专业化是计算方法地质工程专业化的主要内容，是决定该课程的专业化程度及教学效果的主要因素。专业化教学与纯理论教学目的稍有不同，计算方法主要授课内容、教学重点及其对应的地质工程专业化教学的目的[4]有所不同，课堂教学内容的地质工程专业化还依赖于教材的专业化。具体体现在以下几个方面。

2.1 理论教学内容的工程地质专业化

作为数值计算方法地质工程专业化教学的启发与引导，下面结合主要章节的内容对地质工程专业化教学加以阐述，仅起到抛砖引玉的作用。

（1）误差分析：譬如很多教材并不明确表明什么的工程情况下的误差分析。当然作为数值计算方法这门较为专业的基础课，也不可能涉及众多学科中的具体工程误差情况，而是直接切入主题，对于接触到地质工程专业还不甚深入的学生感觉不到它的用处和重要性。事实上这部分内容比较重要，即使在工程界也往往被忽略，比如运用成熟的软件计算工程地质问题常会出现失真，有时小变形量却远远超过应该的范围，很多计算失真就是由于实际问题与商业软件适应工程问题存在差异导致。学习前可以通过演示方法举出地质工程中进行数值计算时因误差而导致计算结果失败的例子。又如在利用数值计算软件计算边坡变形时，有时会出现了不合乎常理的巨大位移或者求解过程不收敛，很多情况就是误差累计导致的，在第一章举出这样的实例就能够让同学们知道计算方法是本专业息息相关，并产生学习兴趣，激发主动学习的动力，也利于帮助同学们明确学习目标。在讲解误差来源时，应该把很多的纯数学中的内容替换成工程地质及岩土工程中经常遇到的各种误差，对照关系可采用表1中所列。

结合表1可以进一步提出启发性问题，比如如何减少这些误差呢？这样提出问题可以有效激发学生主动求知欲望。在有效数字判别及计算方法设计一节中同样可以采用数值计算常用软件中对应问题加以专业化。

（2）非线性方程求根：在岩土工程及地质工程领域，非线性问题很多。常见的如岩土体的本构关系，绝大多数情况下为非线性。此外非线性的迭代往往与最优解联系在一起。在常用的有限元及有限差分中的迭代更为广泛。此时如果专业基础知识可能有一定的局限性，可以在课程完成后，在偏微分放在最后一章中综合举例说明。由于应用面很广，所举例子只能局限在一定研究领域内。为使同学们比较清楚迭代背景，需要对计算领域稍加详细说明。结合我校水利工程强势学科，可举参考文献[5]中实例说明牛顿迭代法在堤坝集中渗漏探测中的应用。

（3）计算方法综合知识解地下水渗流问题。

工程中遇到的问题往往需要计算方法中多个章节知识才能解决，因而单独的取出一部分讲解可能学生会产生一些目的性的疑问。为了激发学生的学习兴趣，分步结合所学内容专业化教学也是很有必要的，但是应该明确最终解决的物理数学问题，逐步深入讲解，引导学生直至最终问题的解决。工程地质数值方法中的有限差分及有限元在解决水文地质及工程地质问题中得到了广泛应用。而这些方法几乎每一个重要步骤都涉及到了计算方法的重要内容。

渗流为工程地质与水文地质学科中的重要内容之一，有限差分法也是最早被用来求解渗流场分布的数值计算方法。其中涵盖了数值计算方法各主要章节的内容，也体现了数值计算的本质是工程地质数值法的基础知识。由于专业基础知识的不够丰富，进行有限差分法引入各章教学内容上可能很引起更多的疑问。因而需要从最简单的工程问题入手，比如引进渗流的一维问题。

①关于数值计算的离散―― 网格剖分：几何模型即为需要考虑几何形态，离散可以展现其计算方法中的离散化解决思想，并引入数值计算方法常用的步长及工程数值方法中的控制方程初始条件边界条件等术语。这里是将时间及空间分别离散化。

②利用微分中的差分代替微商办法处理微分问题：水头方程中的微商用差商代替，并舍去余项，代入方程原方程，并估计阶段误差。离散后的时间及空间步长都是常量。

③显式差分方程的求解：结合迭代法相关知识，建立地下水水流方程特殊形式的迭代格式。便于理解与计算，可引入无刚量参数得到控制方程，并计算各结点初始时刻水头值，利用差分方程计算各结点某时刻水头值；利用边界条件计算边界结点水头值；重复以上步骤，直到计算出拟计算的各个时刻的水头值。通过改变步长考查步长对计算结果的影响，步长太大会导致出现不合理的水头。可以取步长为一天进行试算，比较不同步长的计算结果，计算结果出现迭代不稳定。说明选取适当的步长是非常重要的。

2.2 实验课教学的工程地质专业化

根据现有《计算方法》教材，实验教学内容大多数基于电子、物理等基础学科的工程问题，这些内容有的暗含了某些地质工程问题，是工程地质与水文地质问题的抽象化或者是数学化。因而同学们学起来就会感觉抽象并难以与具体工程问题相联系。借助于工程地质水文地质的实际问题开展计算方法的实验教学，不但使学生懂得了计算方法实验的重要性实用性，并且也进一步接触了专业知识领域，为了毕业设计及后续的数值计算软件课程的学习打下坚实的基础。

上述的地下水渗流问题，亦可以作为实验的内容之一。地质工程专业的计算方法实验课一般安排为4个学时，学时较短，而实验内较多。地质工程专业化实验需要结合具体工程实践进行，把各种实验内容尽量集于一两个案例是较好的选择。而工程实践也只有通过各章的知识才能解决。这里仅就方程组的迭代方法相关的内容的工程地质专业化实验做事例。

上述渗流问题的地下水头的求解的另一种方法是利用隐式迭代格式，并建立矩阵形式的方程组，求解可采用不同的方法进行试验，比如做矩阵分解，典型的是进行追赶法求解等等。这样既节省试验时间，又可有效达到工程地质专业化的教学目的，效果较好。

2.3 课后作业的地质工程专业化

课后作业是巩固课堂教学内容的措施之一，现有教材课后作业同样存在内容过于基础，几乎没有地质工程方面的内容。地质工程专业化的作业需要从事地质工程水文地质的生产科研人员进行长期的筛选积累，收集及编写专业主要内容相关题目进行计算方法基本知识基本技能的训练。

同时还可以开展各式样的相关科研学术活动，比如参与相关教师的科研项目，组织反分析技术兴趣小组等途径深化计算方法实际应用。

3 结语

数值计算方法篇10

关键词：计算方法 工程地质 教学研究 渗流 有限差分法

中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）05（b）-0192-02

Geological Engineering Specialization Teaching of the Computation Method

Wang Xinjian1 Shen Dajun2

（1.North china Univ.of water resource and Electric power，Zhengzhou Henan，450011，China；

2.Yangshan Co.Ltd of the China Gold Group.Longnan Gansu，746400，China）

Abstract：professional teaching reform of this course is mainly divided into the innovations of？the teaching staff including two ways，classroom theory，and experimental content and so on.Some specialization effective measures about the error，nonlinear iteration and the finite difference method for solving the seepage field of are listed in details.This method is affective proved by many years'teaching practice.

Key Words：Computational Methods；Geological Engineering；Teaching Research；Seepage；Finite Difference Method

近年来，计算机技术的普及，使得数值计算方法在地质工程专业领域得到广泛的应用，成为解决复杂工程地质问题的有力工具，再以地质定性分析相结合，可有效解决很多地质工程问题。而数值计算方法又是关于很多数值计算软件的最基本的知识。开设并教好这门课将有利于为本科生利用和开发数值计算软件，并有效解决工程地质问题打下坚实的理论基础。

数值计算方法在地质工程专业教学中存在的问题主要是教学内容纯粹数学化[1～3]，缺乏与地质工程专业相结合的应用，学生需要自己完成数学问题与专业知识的转化问题。同时导致专业学生不知道所学有何用处，减少了学习的兴趣和积极性。教师也往往是完全依据纯粹数学的教材，其中的例题习题绝大多数和高校的工程地质相差甚远，对地质工程应用到的数值计算方法的领域不甚了解，当然也就无法进一步引申，或者直接针对某个地质工程中的问题提出数值计算方法的解决手段。为了提高数值计算方法地质工程专业教学中的效果，针对以上教学中的问题，计算方法教学需要进行地质工程专业化。根据本人长期从事本学科的一线教学实践，这里从以下三个方面探讨计算方法教学专业化内容，也为可其他类似课程教学提供参考。

1 教学人员的专业化

提高数值计算方法地质工程专业教学效果，更好服务于地质工程建设，需要与地质工程有较好的衔接，必须使教学人员地质工程专业化。教学人员不但要具有数值计算方法教学的扎实理论基础及技能技巧。还需要一定的地质工程专业知识。教学人员的专业化可以通过以下两个方面建设。

一是通过数学专业人员的地质工程专业化培训或者自我拓展。数学专业从事数值计算方法教学的人员可以参加地质工程的专业基本知识学习，了解地质工程中哪些领域、哪些问题用到数值计算方法相应内容。了解地质工程专业常用软件计算的基本原理及其对应的数值计算方法中内容，在课堂教学、作业中及试验中加以引导。

二是通过地质工程专业人员从事计算方法教学。随着我国人才培养的迅速提高，具有高学历人员的地质工程专业的教师越来越多。长期接受高等教育及从事科研活动，理工科高学历人员往往已经熟练掌握了数值计算方法基本知识或者已经能够熟练应用这些知识解决地质工程中的问题。同时高学历理工科教师的高等数学理论知识通过历届的入学考试得到了很大的提升，这些人员通过学习，能够很快熟悉掌握数值计算方法的教学内容。随着高校教学、科研与社会服务三项主要任务的完善，高校教学人员个人平均教学任务量相对下调，更有利于地质工程专业人员教师从事计算方法等专业限选之类的课程教学。

以上两方面的人员的相互专业化过程，还可以通过高校的‘教研室活动’进行交流，目前的高校教研室活动仅仅限于一个专业或者一个专业的方向人员进行教学与专业知识的交流。随着学科交叉日益加深，需要打破专业范围内交流的局限，根据教学任务及具体情况定期不定期举办不同学科不同院系间的教学专业知识的交流活动。增长不同专业教师与服务对象专业不一致的专业外知识，扩展他们的视野，利于教学专业化，对有效提高教学质量，明确教学目标具有很大的帮助。

2 课堂教学内容的专业化

课堂教学内容的专业化是计算方法地质工程专业化的主要内容，是决定该课程的专业化程度及教学效果的主要因素。专业化教学与纯理论教学目的稍有不同，计算方法主要授课内容、教学重点及其对应的地质工程专业化教学的目的[4]有所不同，课堂教学内容的地质工程专业化还依赖于教材的专业化。具体体现在以下几个方面。

2.1 理论教学内容的工程地质专业化

作为数值计算方法地质工程专业化教学的启发与引导，下面结合主要章节的内容对地质工程专业化教学加以阐述，仅起到抛砖引玉的作用。

（1）误差分析：譬如很多教材并不明确表明什么的工程情况下的误差分析。当然作为数值计算方法这门较为专业的基础课，也不可能涉及众多学科中的具体工程误差情况，而是直接切入主题，对于接触到地质工程专业还不甚深入的学生感觉不到它的用处和重要性。事实上这部分内容比较重要，即使在工程界也往往被忽略，比如运用成熟的软件计算工程地质问题常会出现失真，有时小变形量却远远超过应该的范围，很多计算失真就是由于实际问题与商业软件适应工程问题存在差异导致。学习前可以通过演示方法举出地质工程中进行数值计算时因误差而导致计算结果失败的例子。又如在利用数值计算软件计算边坡变形时，有时会出现了不合乎常理的巨大位移或者求解过程不收敛，很多情况就是误差累计导致的，在第一章举出这样的实例就能够让同学们知道计算方法是本专业息息相关，并产生学习兴趣，激发主动学习的动力，也利于帮助同学们明确学习目标。在讲解误差来源时，应该把很多的纯数学中的内容替换成工程地质及岩土工程中经常遇到的各种误差，对照关系可采用表1中所列。

结合表1可以进一步提出启发性问题，比如如何减少这些误差呢？这样提出问题可以有效激发学生主动求知欲望。在有效数字判别及计算方法设计一节中同样可以采用数值计算常用软件中对应问题加以专业化。

（2）非线性方程求根：在岩土工程及地质工程领域，非线性问题很多。常见的如岩土体的本构关系，绝大多数情况下为非线性。此外非线性的迭代往往与最优解联系在一起。在常用的有限元及有限差分中的迭代更为广泛。此时如果专业基础知识可能有一定的局限性，可以在课程完成后，在偏微分放在最后一章中综合举例说明。由于应用面很广，所举例子只能局限在一定研究领域内。为使同学们比较清楚迭代背景，需要对计算领域稍加详细说明。结合我校水利工程强势学科，可举参考文献[5]中实例说明牛顿迭代法在堤坝集中渗漏探测中的应用。

（3）计算方法综合知识解地下水渗流问题。

工程中遇到的问题往往需要计算方法中多个章节知识才能解决，因而单独的取出一部分讲解可能学生会产生一些目的性的疑问。为了激发学生的学习兴趣，分步结合所学内容专业化教学也是很有必要的，但是应该明确最终解决的物理数学问题，逐步深入讲解，引导学生直至最终问题的解决。工程地质数值方法中的有限差分及有限元在解决水文地质及工程地质问题中得到了广泛应用。而这些方法几乎每一个重要步骤都涉及到了计算方法的重要内容。

渗流为工程地质与水文地质学科中的重要内容之一，有限差分法也是最早被用来求解渗流场分布的数值计算方法。其中涵盖了数值计算方法各主要章节的内容，也体现了数值计算的本质是工程地质数值法的基础知识。由于专业基础知识的不够丰富，进行有限差分法引入各章教学内容上可能很引起更多的疑问。因而需要从最简单的工程问题入手，比如引进渗流的一维问题。

①关于数值计算的离散―― 网格剖分：几何模型即为需要考虑几何形态，离散可以展现其计算方法中的离散化解决思想，并引入数值计算方法常用的步长及工程数值方法中的控制方程初始条件边界条件等术语。这里是将时间及空间分别离散化。

②利用微分中的差分代替微商办法处理微分问题：水头方程中的微商用差商代替，并舍去余项，代入方程原方程，并估计阶段误差。离散后的时间及空间步长都是常量。

③显式差分方程的求解：结合迭代法相关知识，建立地下水水流方程特殊形式的迭代格式。便于理解与计算，可引入无刚量参数得到控制方程，并计算各结点初始时刻水头值，利用差分方程计算各结点某时刻水头值；利用边界条件计算边界结点水头值；重复以上步骤，直到计算出拟计算的各个时刻的水头值。通过改变步长考查步长对计算结果的影响，步长太大会导致出现不合理的水头。可以取步长为一天进行试算，比较不同步长的计算结果，计算结果出现迭代不稳定。说明选取适当的步长是非常重要的。

2.2 实验课教学的工程地质专业化

根据现有《计算方法》教材，实验教学内容大多数基于电子、物理等基础学科的工程问题，这些内容有的暗含了某些地质工程问题，是工程地质与水文地质问题的抽象化或者是数学化。因而同学们学起来就会感觉抽象并难以与具体工程问题相联系。借助于工程地质水文地质的实际问题开展计算方法的实验教学，不但使学生懂得了计算方法实验的重要性实用性，并且也进一步接触了专业知识领域，为了毕业设计及后续的数值计算软件课程的学习打下坚实的基础。

上述的地下水渗流问题，亦可以作为实验的内容之一。地质工程专业的计算方法实验课一般安排为4个学时，学时较短，而实验内较多。地质工程专业化实验需要结合具体工程实践进行，把各种实验内容尽量集于一两个案例是较好的选择。而工程实践也只有通过各章的知识才能解决。这里仅就方程组的迭代方法相关的内容的工程地质专业化实验做事例。

上述渗流问题的地下水头的求解的另一种方法是利用隐式迭代格式，并建立矩阵形式的方程组，求解可采用不同的方法进行试验，比如做矩阵分解，典型的是进行追赶法求解等等。这样既节省试验时间，又可有效达到工程地质专业化的教学目的，效果较好。

2.3 课后作业的地质工程专业化

课后作业是巩固课堂教学内容的措施之一，现有教材课后作业同样存在内容过于基础，几乎没有地质工程方面的内容。地质工程专业化的作业需要从事地质工程水文地质的生产科研人员进行长期的筛选积累，收集及编写专业主要内容相关题目进行计算方法基本知识基本技能的训练。

同时还可以开展各式样的相关科研学术活动，比如参与相关教师的科研项目，组织反分析技术兴趣小组等途径深化计算方法实际应用。

3 结语

计算方法知识点多而凌乱，连贯性较差，数学的分析推理较多，多数教材都是基于一般的数学物理等基础知识[6～9]。学习起来未免枯燥，并且目的不明确。特别是定性分析较多的地质工程专业更是难以理解课程的在专业领域中的作用。通过这门课的地质工程专业化教学方法，把每章节的学习内容同地质水文工程的领域的具体问题相结合，可以帮助学生明确学习目标，提高学习的积极性，激发学习兴趣，从而提高学习效果。

通过多年的计算方法对地质工程专业化教学实践及效果跟踪调查，地质工程专业的学生一致反映，这样的专业化教学使同学们对专业领域有了深入了解，为掌握数值分析工具奠定了基础，从而大大提高了毕业设计及快速适应社会生产项目的能力。

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