数值分析十篇

数值分析篇1

论文摘要：本文通过实例对线性方程组数值解法和矩阵的特征值及特向量的计算进行了探讨。在对线性方程组数值解法的讨论下用到了列主元高斯消去法、雅可比法和高斯－赛德尔迭代法。正是高斯消去法在消元时存在一些必须的条件，才启发我们通过列主元高斯消去法来对线性方程组数值解法作进一步的研究，达到了很好的的效果。同时用雅可比法和高斯－赛德尔迭代法对相类似的问题的探讨来比较它们的优劣，使我们在分析问题时能更好的把握方法。在求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量时，本文用到了幂法，可以使现实中很多复杂的计算简单。

第一章：线性方程组数值解法

实验目的

熟悉求解线性方程组的有关理论和方法 ；会编制列主元消去法，雅可比及高斯-赛德尔迭代法的程序 ；通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

实验内容

列主元高斯消去法求解线形方程组；

雅可比法和高斯－赛德尔迭代法解方程组；

1.1 题目：列主元高斯消去法求解线形方程组

方程组为：

1.1.1 列主元高斯消去法算法

将方程用增广矩阵 表示

1）

消元过程

对k=1，2，….，n-1

1 选主元，找 使得

2 如果 则矩阵A奇异，程序结束；否则执行3

3 如果 则交换第k行与第 行对应元素位置， j=k，…，n+1

4 消元，对i=k+1，…，n计算 对j=k+1，…，n+1计算

2） 回代过程

1 若 则矩阵A奇异，程序结束；否则执行2

2 ；对i=n-1，…2，1计算

#include

#include

void ColPivot(float *c，int n，float x[])

{ int i，j，t，k;

float p;

for(i=0;i

{k=i;

for(j=i+1;j

if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>(fabs(*(c+k*(n+1)+i))))k=j;

if(k!=i)

for(j=i;j

{

p=*(c+i*(n+1)+j);

*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);

*(c+k*(n+1)+j)=p;

}

for(j=i+1;j

{

p=(*(c+j*(n+1)+i))/(*(c+i*(n+1)+i));

for(t=i;t

}

}

for(i=n-1;i>=0;i--)

{

for(j=n-1;j>=i+1;j--)

(*(c+i*(n+1)+n))-=x[j]*(*(c+i*(n+1)+j));

x[i]=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i));

}

}

void main()

{

void ColPivot(float*，int，float[]);

int i;

float x[4];

float c[4][5]={1，-1，2，-1，-8，2，-2，3，-3，-20，1，1，1，0，-2，1，-1，4，3，4，};

ColPivot(c[0]，4，x);

for(i=0;i

}

1.1.3 输出结果

1.1.4结果分析

从输出结果可以得到 =-6.999999，=3.000000，

=2.000000，=2.000000

从结果和过程可以知道这种方法一般能保证舍入误差不扩散，这个方法基本上是稳定的。

1.2 题目 雅可比法解方程组

方程组为：

1.2.1 雅可比迭代法算法

设方程组Ax=b的系数矩阵的对角线元素（i=1，2，…，n），M为迭代次数容许的最大值 为容许误差。

1 取初始向量 令k=0.

2 对i=1，2，…，n计算

3 如果则输出结果；否则执行4

4 如果则不收敛，终止程序；否则，转2

1.2.2 程 序

#include

#include

#define eps 1e-6

#define max 100

void Jacobi(float *a，int n，float x[])

{

int i，j，k=0;

float epsilon，s;

float *y= new float [n];

for(i=0;i while(1)

{

epsilon=0;

k++;

for(i=0;i {

s=0;

for(j=0;j {

if(j==i)continue;

s+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];

}

y[i]=(*(a+i*(n+1)+n)-s)/(*(a+i*(n+1)+i));

epsilon+=fabs(y[i]-x[i]);

}

for(i=0;i if(epsilon {printf("die dai ci shu wei:%d\n"，k);return;}

if(k>=max)

{printf("die dai fa san");return;}

}

delete y;

}

void main()

{s

int i;

float a[4][5]={10，-1，2，0，-11，0，8，-1，3，-11，2，-1，10，0，6，-1，3，-1，11，25};

float x[4];

Jacobi(a[0]，4，x);

for(i=0;i

}

1.2.3 输出结果

1.2.4 结果分析

迭代次数增加时，精度越高。从输出结果可以看出此方程组的迭代次数为17，迭代结果越来越接近精确解了，于是

=-1.467391， =-2.358696， =0.657609， =2.842391

1.3 题目 高斯-赛德尔迭代法解方程组

方程组为：

1.3.1 高斯-赛德尔迭代法算法

设方程组Ax=b的系数矩阵的对角线元素（i=1，2，…，n），M为迭代次数容许的最大值 为容许误差。

1 取初始向量令k=0.

2 对i=1，2，…，n计算

3 如果则输出结束；否则执行4

4 如果则不收敛，终止程序；否则，转2

1.3.2 程 序 #include

#include

#define N 600

void main()

{

int i;

float x[4];

float c[4][5]={10，-1，2，0，-11，0，8，-1，3，-11，2，-1，10，0，6，-1，3，-1，11，25};

void GaussSeidel(float *，int，float[]);

GaussSeidel(c[0]，4，x);

for(i=0;i

}

void GaussSeidel(float *a，int n，float x[])

{

int i，j，k=1;

float d，dx，eps;

for(i=0;i

while(1)

{eps=0;

for(i=0;i

{

d=0;

for(j=0;j

{

if(j==i)continue;

d+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];

}

dx=(*(a+i*(n+1)+n)-d)/(*(a+i*(n+1)+i));

eps+=fabs(dx-x[i]);

x[i]=dx;

}

if(eps

{printf("迭代次数是:%d\n"，k);return;}

if(k>N)

{

printf("迭散n\n");

return;

}

k++;}}

1.3.3 输出结果

1.3.4 结果分析

从输出结果可以看出此方程组的迭代次数为7，此时能得到精确结果是

=-1.377632， =-1.281579， =0.747368， =-107374176

从结果和原有知识可以知道其系数矩阵是严格对角占优的。所以此迭代解法有很好的收敛性。

1.4 方法比较

雅可比法和高斯－赛德尔迭代法解方程组两种方法的比较 。

由于此题的系数矩阵是严格对角占优的，所以雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都是收敛的，这两种迭代法没迭代一步均是作一次矩阵和向量的乘法，但前者需要2组工作单元分别存放和，而后者只需要1组工作单元。对于同一个线性方程组，这两种方法可能同时收敛，也可能同时发散，也可能其一收敛，而另一发散。但当两者皆收敛时，一般来说高斯-赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛快。实际中更多的是使用逐次超松弛迭代法。

第二章 矩阵的特征值及特征向量的计算

实验目的

在数学和物理中，很多问题都需要计算矩阵的特征值及特征向量，它们是线性代数中的一个重要课题，而在实际问题中，这样的计算是很复杂的，有的要求矩阵按模最大特征值及相应的特征向量，有些则要求全部特征值及特征向量，根据不同的要求计算方法大体上可分为2种类型。本实验用的是幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量，要求领会求矩阵特征值及特征向量的幂法的方法，并要求会编制幂法的计算程序，来计算有关问题。

实验内容

利用幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量。

2.1 幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量

用幂法求矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量，使 ，

2.1.1 幂法算法

幂法是求矩阵主特征值的一种迭代方法。设有n个线性无关的特征向量，而相应的特征值满足，则对任意非零初始向量按下述公式构造向量序列：

其中表示中最大的分量，并且有，。

用幂法计算实对称矩阵的特征值时，可用Rayleigh商作加速。设的Rayleigh商为则

，

当时，将比更快趋于。

2.1.2 程 序

2.1.3 输出结果

2.1.4结果分析

主特征值为：98.521690；相应的特征向量为 。

幂法是求矩阵主特征值的一种有效方法，特别当矩阵为大型稀疏（即矩阵元素中0元素较多）时，更显得如此。但由于特征值的分布无法事先预测，因此不能控制收敛速度，往往需要利用某些加速技巧。所以计算时我们要根据需要选择计算方法来计算矩阵的特征值及特征向量。

参考文献

[1] 袁尉平，孙志忠等．计算实习方法．南京：东南大学出版社．2005

[2] 李庆扬，王能超等．数值分析．北京：清华大学出版社． 2001

[3] 谭浩强．C程序设计．北京：清华大学出版社．1999

[4] 孙志忠．计算方法与实习学习指导．南京：东南大学出社．2005

数值分析篇2

一、数值分析在模型建立中的应用

在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。

以非负整数k表示时间，记xk为变量x在时刻k的取值，则称Δxk=xk+1-xk为xk的一阶差分，称Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分Δnxk。由k，xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为w（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型为w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）[2]，k=0，1，2，…，增加运动时只需将β改为β1+β，β1由运动的形式和时间决定。

二、数值分析在模型求解中的应用

插值法和拟合法在模型求解中的应用

1.拟合法求解

在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。

假设已建立了数学模型y=f（x，c），其中，c=（c1，c2，…，cm）T是模型参数。已有一组已知数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk），用最小二乘确定参数c，使e（c）=∑ki=1（yi-f（xi，c））2最小。函数f（x，c）称为数据（xi，，yi）（i=1，2，…，k）的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f（x，c）具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c。最合适的c应满足必要条件e（c）cj=-2∑ki=1（yi-f（xi，c））f（xi，c）cj=0，j=1，2，…，m。

2.插值法求解

在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数y=f（x）的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk）。要求一个函数

yi=φ（xi），i=0，1，…，k，（2）

这就是插值问题。函数yi=φ（xi）称为f（x）的插值函数。xi（i=0，1，…，k）称为插值节点，式（2）称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。

3.模型求解中的解线性方程组问题

在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n≥4的线性方程组，因此当n≥4时，可以采用迭代法进行求解。

迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型

Ax=b

其中A=a11a12…a1na12a22…an2an1a12…ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即A∈Rn×n，可将A改写为迭代的形式

x=Bx+f

并由此构造迭代法

xk+1=Bxk+f，k=0，1，2，…，

其中B∈Rn×n，称为迭代矩阵。将A按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵B，也就的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法[5]、高斯-赛德尔迭代法[5]、超松弛迭代法等。

由于计算过程中有舍入误差，为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭代收敛，收敛速度越快，误差越小。若x=Bx+f中，ρB

4.数值积分在模型求解中的应用

模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式If=∫bafxdx=Fb-Fa，使定积分计算变得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如∫10e-x2dx，或者即使找到表达式也极其复杂。另外，当被积函数是列函数，其原函数没有意义，因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。

假设a≤x0≤x1≤…≤xn≤b，则积分的计算公式[5]为∫bafxdx≈b-a∑ni=0αifxi，称其为机械求积公式，其中xi（i=0，1，2，…，n）称为求积节点，αi与f无关，称为求积系数或权数，机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取∑ni=0αifxi≈fξ

得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算机计算积分的主要方法，构造机械求积公式就转化为求参数xi及αi的代数问题。

5.数值分析在求解微分方程中的应用

在数学建模中，所建立的模型很多时候是常微分方程或者偏微分方程，这些方程求解析解是很困难的，而且即使能够求得解析解，由于所用数据的误差得到的解也是近似值，所以大部分情况下会采取数值的方法进行求解。

三、误差分析

在数学模型中往往包含了若干参变量，这些量往往是通过观察得到的，因此也带来了误差，这种误差称为观察误差[4]。这些误差是不可避免的，所以我们只能在模型建立和模型求解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析，区间分析法，及概率分析，但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差，因此在建模过程中更着重误差的定性分析，也就是算法的稳定性分析。

在误差分析中，首先要分清问题是否病态和算法是否稳定，计算时还要尽量避免误差危害。为了防止有效数字的损失，应该注意下面若干原则：一是避免用绝对值小的数作除数；二是避免数值接近相等的两个近似值相减，这样会导致有效数字严重损失；三是注意运算次序，防止“大数”吃“小数”，如多个数相加减，应按照绝对值由小到大的次序运算；四是简化步骤，减少算术运算的次数。

数值分析篇3

关键词：数值分析；教学实践；数学建模；案例教学

中图分类号：G643文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)01-0228-03

The Practice of Mathematical Modeling in Numerical Analysis Teaching

LI Jun-cheng1, CHEN Guo-hua1, SONG Lai-zhong2

(1. Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology,Loudi 417000, China; 2. College of Science, Chi? na Three Gorges University, Yichang 443002, China)

Abstract: For the effective implementation of the practice teaching of numerical analysis course, this paper analyzes the necessity of the or? ganic integration of mathematical modeling and numerical analysis course teaching. And then, several selected mathematical modeling cases are introduced according to the different teaching contents in numerical analysis. Through the integration of mathematical modeling in nu? merical analysis teaching, it can not only make students better grasp of the theory and method of numerical analysis, but also can cultivate students’ ability of mathematical modeling.

Key words: numerical analysis; practice teaching; mathematical modeling; case teaching

数值分析作为高等院校应用数学专业、信息与计算科学专业的主要基础课程和很多理工科专业的公共课，主要研究求解数学模型的算法及有关理论，是求解数学模型的不可缺少的途径和手段。在信息科学和计算机技术飞速发展的今天，数值分析课程中所介绍的数值方法更显得极其重要。与其它数学课程的最明显的区别在于，数值分析是一门更注重应用的科学，特别注意在方法的精确性和计算的效率之间的平衡。传统的教学模式只注重讲授数值方法的原理，算法的理论推导占据了整个教学过程的大部分时间，再加上缺乏实践环节的教学，就使得学生不能很好的运用所学的理论去解决实际问题[1]。

既然数值分析主要研究数学模型的求解算法及有关理论，因此将数学建模思想融入到数值分析的教学中是可行的[2]。为有效地实施数值分析课程的实践教学，本文主要介绍了几个针对数值分析不同教学内容的数学建模实践教学案例，这些精选的案例都涉及到相关的数值分析理论和方法。通过对实际问题进行数学模型的建立和求解，将数学建模思想和数值分析教学进行有机的融合，不但可以激发学生的学习积极性和学习兴趣，提高了学习效率，而且可以培养学生运用数值方法求解实际问题的能力。

1数学建模思想与数值分析课程教学有机融合的必要性

数值分析是一门理论抽象但实践性较强的课程，传统的教学模式一般只注重理论证明和公式推导，再加上学时的限制，很少会利用数学软件进行相应的实践性教学，导致学生只掌握了数值分析中的基本方法和原理，而运用数值方法解决实际问题的能力没有得到较好的锻炼。也正因为如此，学生的学习积极性不高，大部分学生不知道或者根本没有想过可以利用所学的数值方法去解决很多实际的问题。因此，针对数值分析课程的特点，采取可行的教学改革是有必要的。许多从事数值分析课程教学的工作者在这一方面作了很多的尝试和探索。例如，文献[3]讲述了任务驱动教学法在数值分析实验课教学中的实施步骤及过程，并给出具体实例。文献[4]以MATLAB作为工作语言和开发环境，开发了一个能有效地辅助数值分析课程教学的软件。

从数值分析课程的特点和教学目标来看，培养学生运用数值方法解决问题的能力是该课程的重点所在[5]。而数学建模主要考察的是学生将实际问题抽象成数学模型，然后利用综合知识求解数学模型的能力。通过对历年来全国大学生数学建模竞赛进行分析发现，许多数学模型的求解都会用到数值分析课程中的各种数值方法。因此，将数学建模思想与数值分析课程教学进行有机的融合是非常必要的。在数值分析课程的各个教学模块中，通过实际的数学建模案例进行数值方法与理论的讲解，让学生觉得所学的知识在实际工程问题中具有很大的应用价值，这样既可以吸引学生的眼球，提高学习效率，同时也可以培养学生运用数值方法解决实际问题的能力。

由表2可知两点三次Hermite插值多项式计算断面面积的误差最小，其次是三次样条插值多项式，误差最大的是三次Lagrange插值多项式，即所得结论与理论是相符的。

通过此案例，不但可以让学生掌握不同插值法的基本原理，而且还可以让学生体会到不同插值法的特征：三次Lagrange插值多项式(三次Newton插值多项式)分段光滑，两点三次Hermite插值多项式整体一阶光滑，而三次样条插值多项式整体二阶光滑。

2.2数据拟合的案例教学实践

所谓数据拟合是指已知某函数的若干离散函数值，通过调整该函数中若干待定系数，使得该函数与已知点的差距最小，最常用的数据拟合方法为最小二乘法。在数据拟合的教学中，可采用下列数学建模问题的求解进行案例教学。

例2：数据拟合教学案例――上海市就业人口预测

已知2000年～2009年上海市每年的就业人口数，如表3所示，现要预测2010年上海市的就业人口数，并与2010年真实的就业人口数(1574.6万人)进行对比分析。

表3上海市就业人口统计(单位:万人)

图2上海市就业人口数拟合图形

通过此案例的教学，不但可以让学生理解最小二乘曲线拟合的基本原理与步骤，而且还可以为学生参加数学建模竞赛时进行数据处理打下基础。

2.3数值微分的案例教学实践

所谓数值微分是指根据函数在一些离散点的函数值，构造一个较为简单的可微函数近似代替该函数，并将简单函数的导数作为该函数在相应点处导数的近似值。常用的数值微分公式有差商公式、两点公式、三点公式等。在数值微分的教学中，可采用下列数学建模问题的求解进行案例教学。

例3数值微分教学案例――人口增长率[7]

已知1950年～2000年每10年中国人口的统计数据如表1所示，试计算这些年份的人口增长率。

表4中国人口统计数（单位：亿人）

3结束语

为有效地实施数值分析课程的实践教学，本文主要介绍了几个针对数值分析不同教学内容的数学建模实践教学案例。通过对实际问题进行数学模型的建立和求解，将数学建模思想融入到数值分析的教学中，不但可以让学生较好的掌握数值分析的有关理论与方法，而且还可以培养学生的数学建模能力，为参加数学建模竞赛时打下一定的基础。

参考文献：

[1]赵景军,吴勃英.关于《数值分析》教学的几点探讨[J].大学数学, 2005, 21(3): 28-30.

[2]郭金,韦程东.在数值分析教学中融入数学建模思想的研究与实践[J].广西师范学院学报(自然科学版), 2008, 25(3): 124-127.

[3]杜廷松.摭谈数值分析实验课程中的任务驱动教学[J].中国电力教育, 2008, 1: 118-120.

[4]王强,金珩. MATLAB环境下的数值分析教学软件开发[J].内蒙古民族大学学报(自然科学版), 2004, 19(2): 176-179.

[5]刘艳伟,司军辉.数值分析课程教学改革若干问题探讨[J].黑龙江教育学院学报, 2010, 29(6): 75-76.

数值分析篇4

关键词:多维独立成分分析；多维Amari； 数值仿真；信号测试

中图分类号: TP301.6；O242.1 文献标志码:A

Numerical simulation and analysis based on multidimensional independent component analysis

XIE Yong.hong1*, ZHANG Guo.wei2

(1.Department of Computer Science, Harbin Finance University, Harbin Heilongjiang 150030, China

;

2.School of Electronics and Information Engineering, Xian Jiaotong University, Xian Shaanxi 710049, China

Abstract:

By introducing a indicator to evaluate performance of Multidimensional Independent Component Analysis (MICA) algorithm, the separation was studied by numerical simulation. Using multidimensional Amari separation error as an important indicator of a measurement of multidimensional independent component analysis algorithm performance. In the comparative analysis of four algorithm named vkMICA, cfMICA, MSOBI, SJADE in the separation performance, a random distribution of letters signal was used for simulation and testing, and get a visual representation of MICA model of separation and uncertainty. The results show that MICA is a very effective method for multidimensional source signal analysis.

By introducing an indicator to evaluate performance of Multidimensional Independent Component Analysis (MICA) algorithm, the separation was studied by numerical simulation. The multidimensional Amari separation error was used as an important indicator of the measurement of MICA algorithm performance. In the comparative separation performance analysis of four algorithms named vkMICA, cfMICA, MSOBI, SJADE, a random distribution of letters signal was used for simulation and testing, and a visual representation of MICA model of separation and uncertainty was got. The results show that MICA is a very effective method for multidimensional source signal analysis.Key words:

Multidimensional Independent Component Analysis (MICA); multidimensional Amari; numerical simulation; signal testing

0 引言

法国学者Cardoso［1］于1998年首先给出了标准的多维独立成分分析(Multidimensional Independent Component Analysis, MICA)定义，提出了加法模型并通过几何参数化方法对MICA的算法进行分解。MICA算法估计的系统框架如图1所示。

在图1中，A是混合矩阵，V是白化矩阵，U是局部的正交分离矩阵，B是利用算法最终确定的全局解混矩阵，它实际上是对A－1的估计，而得到的y是对源的估计。所以，MICA估计算法的中心任务就是确定分离矩阵B，使得能够对源S【图上是小写？】或混合矩阵A实现有效地估计。对于MICA估计算法，可分为批处理(离线)和在线算法，把批处理算法结合独立成分分析（Independent Component Analysis，ICA）算法，并将其推广到多维的情况，从而讨论四种MICA算法的分离性能，即基于向量峭度的不动点算法［2］(vector kurtosis based MICA, vkMICA)，基于第二特征函数Hessian矩阵联合块对角化的算法［3］(characteristic function based MICA, cfMICA)， 基于特征矩阵联合块对角化的算法［4］(Subspace JADE, SJADE)和基于时延协方差矩阵联合块对角化的算法［5］(Multidimensional Second Order Blind Identification, MSOBI)。通过引入一个用于评价MICA算法性能的指标，进行数值仿真来研究其分离性。

2.2 处理点数K的选取对算法的影响

以cfMICA算法为例，使用式(7)所示的混合矩阵得到观测信号X(t)=As(t)，取处理点数K分别为K=10,20,…,100，对每个K分别运行50次，得到混合矩阵的估计AU，求取每个K对应的平均多维Amari分离误差E(2)(AU-1A)，得到的结果如图5所示。

由图5可知，对于不同的处理点数K，算法的分离误差E(2)(AU-1A)约为0.059，且波动范围不大，这说明在处理点选取为［-0.025,0.025］的均匀分布时，处理点的个数对于算法的性能并无明显的影响，算法是比较稳健的。但当K=60时，分离误差是最小的，故在比较各算法的性能时，将选取此值。

2.3 时延个数L的选取对算法的影响

以MSOBI算法为例，仍然使用式(7)所示的混合矩阵得到观测信号X(t)=As(t)，取时延个数分别为L=10,20,…,100，对每个L分别运行50次，得到混合矩阵的估计AU，求取每个L对应的平均多维Amari分离误差E(2)(AU-1A)，得到的结果如图6所示。

4 结语

本文检测了MICA的四个算法的性能指标，主要分析了处理点的个数的选取、不同时延个数的选取对算法的影响；在无噪声和有噪声条件下，基于联合块对角化(JBD)的CFMICA、SJADE、MSOBI三个算法都表现了一定的抗噪声性能。但当高能量的噪声下，需要在算法处理前加上降噪处理环节。仿真与测试分析表明，四个算法均能够在一定程度上完成对源信号的分离，在此基础上，再进行联合块对角化的协方差矩阵相应增加，从而更好地反映了信号空间的“平均特征”，得到更好的分离效果。MICA的算法可以非常有效地进行多维源信号分析，也是后期研究和实际应用的内容。

图片

图12 以SJADE算法为例分析得到的对3个字母信号的估计参考文献:

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数值分析篇5

【关键词】数值分析教学改革教学方法

数值分析又名计算方法，它主要研究运用计算机解决数学问题的理论和方法，是一门与计算机密切结合、实用性很强的数学课程。通过本课程的学习，使学生能够熟练掌握各种常用数值算法的构造原理和分析理论，在提高计算机操作能力的同时，培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力，对学生后续课程的学习和今后进一步从事科学研究均具有现实意义。但在实际教学中出现了学生学习兴趣不够高，教学效果不够理想等现象。因此，如何提高数值分析课程的教学水平和教学质量是一个值得研究的课题。本文针对数值分析课程的教学改革进行了一些有益的探讨。

一、高校数值分析教学中普遍存在的问题

1.理论知识与实际应用脱节

当前该课程的教学方式只是较多地注重计算公式的推导，收敛性、稳定性等定理的证明，实验课上也只是针对具体算法进行程序实现，导致很多学生虽然理论知识、公式掌握了不少，但却不知道这些公式应该用在什么地方、怎么用。

2.教学手段相对滞后

数值分析是一门与现代科学技术密切相关的学科，该课程中经常会出现繁琐的算法公式推导、复杂数值误差的计算以及大量的数据处理。凭一支粉笔和一块黑板的传统教学模式显然已不能适应现代的教学需求，不仅教师讲的累，学生听的更累，而且很难收到比较好的教学效果。现代科学技术要求采用现代教学手段。因此，我们必须对数值分析的教学手段进行创新，只有这样才能提高学生学习数值分析课程的积极性，从而达到较好的教学效果。

3.重理论，轻实验

数值分析是一门实践性和应用性很强的课程，它要求学生在学习理论的同时，要能将学习到的理论内容加以实践，最简单的就是将相关的算法在计算机上加以实践和应用，因此上机实验是数值分析课程的一个重要环节。，虽然这门课实验比较重要，但在教学中普遍存在着"重理论轻实验、重方法轻应用"的现象，这就造成了学生解决实际问题的能力较弱。因此，在教学中如何突出数值分析课程的特点，使理论分析、算法设计及实验有效结合，增强教学效果，也是一个亟待解决的问题。

二、从以下几个方面进行数值分析课程的教学改革

1.加强理论知识与实际应用的联系，将数学建模融入到数值分析的教学中

为了改变学生理论知识与实际应用脱节的情况，将数学建模融入到数值分析的教学中，这样可以加强学生理论知识与实际应用的联系。将乏味、枯燥的课堂变得生动活跃，由此激发学生参与教学，提高教学效果。数学建模是培养大学生利用所学知识解决实际问题的一种有效方法。大学生数学建模竞赛是一年一度的全国性竞赛活动，题目都具有很强的现实意义，而且解决问题的方法不固定。很多的数学模型试题都可以利用数值分析中的某些理论和算法来解决，而且很多数学模型本身就是数值分析某些算法和理论的应用实例。数值分析联系实际的桥梁是数学建模，，所以在数值分析的教学中可以将两者有机的结合起来。在学习数值分析理论过程中加入实际问题的数学模型实践，可以提高学生的实际应用能力。

2.创新教学手段，完成课程平台建设

除了课堂上的理论讲授，建设网络课程平台，更有助于培养学生实践能力和创新能力，为将来的科学研究工作打下良好的数值计算基础。将课堂讲授、上机实验、第二课堂三者有机结合，全面提高教学质量和学生的学习效率。开发在线的CAI教学系统。不只是传统的Power-Point课件，而是基于Web的一个学生学习的平台，师生交流的平台.学生科技活动开展的平台。这个学习系统具有帮助学生预习、自学、练习的功能，并可以实现对学生学习过程的记录，使教师了解学生的学习情况。同时丰富的网络资源也能更充分地体现各学科的专业特点，使数值分析的学习能够与学生自身专业相结合。在线CAI系统可大大方便学生学习。使学生对数值分析课程的学习活动从单独的课堂时间变成随时进行。利用这个平台，开展第二课堂活动。结合适当的实际科研项目，训练学生建模能力，培养其独立分析问题和解决问题的能力。

3.加强实践环节，培养应用能力

数值分析是一门把理论和计算密切结合的课程，所以为了让学生更好地体会数值分析在实际生活中的应用，我们在教学中必须加强实践环节。实践环节可安排两方面的内容。一方面，让学生对典型的算法进行上机实习。在这个过程中，要求学生对每一算法画出流程图，编制相应程序，然后上机调试并分析实验结果，最后写出实验报告。由于一个问题可能有多种计算方法，而每种算法又各有优缺点，因此要求学生使用不同算法计算这些问题，并通过对比分析找出它们的优缺点，从而加深对各种算法的理解。另一方面，在这门课程结束后，让学生分组完成一些综合性的课题，比如传染病的传播问题、病态方程组的数值计算等。学生通过查阅资料、建立数学模型、设计算法上机、分析求解结果，可以体验初级科研的整个过程，从而达到培养学生解决实际问题的能力。学生通过实践环节既有助于熟悉算法流程，又有助于提高解决实际问题的科学计算能力，还有助于扩大知识面和培养科研创新精神，所以理论教学和实践环节是相辅相成的，两者缺一不可。

4.改革考核方式，建立多元化课程评价标准

合理的考核方式有助于调动学生学习的积极性。改变以理论推导为主的考核，结合工科的特点，以算法设计与解决实际问题为主进行成绩考核，从而促使学生将主要精力放在使用数学工具去解决实际问题上。考核评价包括"笔试、实验、小论文"三部分。笔试考核采用闭卷形式，力求题型丰富。主要考查基础知识与解决问题的能力，考核的重点放在解决问题的方法与步骤上。实验评价主要是考核学生利用计算机解决数值计算问题的基本能力，一般采用半开卷形式，允许学生查阅基本公式等资料。现场抽题，编程解决问题并运行程序得到结果。同时，要求学生结合自己的学科与研究方向，选择自己研究或导师研究的科研项目中的数值计算问题，通过利用课程的网络平台自学等方法解决实际问题，并形成研究报告，即小论文。这种考核方式对研究生来说可以促使他们较早进入科研角色。真正做到"学为所用"。

数值分析篇6

[关键词]数值分析；MATLAB软件；考核方式

[中图分类号] G64 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）02-0072-02

近年来，高等教育越来越高度重视“实用型”和 “应用型”的教育培养模式。科学考核学生对所学知识的了解和掌握程度，创造一种好的考核方式至关重要。数值分析是高等学校理工科教育和研究生教育的重要专业课程或学位课程之一，主要讲授在Matlab软件环境中运用数值计算方法去处理实际数值计算问题，着力培养学生具备应用数值计算方法去解决实际问题的素质和能力。改变传统的应试教育模式，建立以创新与实践操作能力为核心的考核方式，对解决考试方式单一和考试目标错位等问题具有很重要的现实意义。

一、数值分析传统考核方式研究

数值分析传统评估学习质量的唯一方法就是闭卷考试。试题多参考所用教材中的例题和课后练习题，以选择题、填空题、计算题和证明题为主。这种方式是以“概念-定理-例题-试题”模式为基础，以“总成绩=期末考试成绩×70%+平时成绩×30%”来评定该课程的成绩。平时成绩一般以作业和出勤率为依据给出。期末考试成绩即学生期末笔试分数，常常及格就能达标。这种模式凸显了很多问题，主要表现为：

（一）考核目标错位，阻碍了学生的素质提高

对于很多教师来说，考试只是为了检验学生对数值分析课程的学习情况，甚至是为了让学生能够拿到学分。对于学生来说，考试拥有很强的功利性，考试只是为了获得高分或通过课程，从而可以获得一些奖项或学分。

（二）考核方式单一，笔试考试内容太窄

很多试卷都是教材例题或课后习题的翻版，或者是教师上课时反复强调的内容。这种出题方式造就了试卷题型和内容太死板，难以真正地考核学生的学习情况，及其对知识的了解程度和能力，容易使学生只会简单地套用公式和只会做课后或者作业题目。图1是我们对目前数值分析考核方式弊端调查的反馈意见。

■

图1 当前考核方式弊端调查结果显示

（三）考核方式缺乏科学性

目前很多高校都是以“期末笔试成绩×70%和平时成绩×30%”来评定本课程的总成绩的。其实期末的一次笔试很难真正地考核学生的学习情况。平时成绩按照上课考勤和平时作业质量给分，也存在着很多的不足。比如学生估计自己期末能够考好，平时成绩只要作业做好就行，于是就放松自己，平时爱逃课，或作业靠抄袭完成。这样，平时成绩的考核质量也会下降。

二、基于MATLAB软件的数值分析笔试考核研究

为适应高等教育培养应用型和创新性人才的新时代要求，我们改革了数值分析课程的考核笔试内容，认为首先要修订好考试大纲， 突出考核学生独立分析和解决问题的能力，建议适当增加一些主观题，综合性题目或实践性的考试内容，减少客观题和完全依赖知识点的题目。其次试卷考核知识点的覆盖面要广，考题要有一定的难度，不出偏题和怪题。为凸显数学软件MATLAB在本课程的学习地位，也可以在笔试中适当考核学生应用数学软件去解决科学计算具体问题的能力。

三、基于MATLAB软件的数值分析机试考核研究

随着互联网时代的发展，MATLAB已被认为是一款准确、可靠、易学的科学计算软件。因此，培养应用型人才，更加要促使学生学习MATLAB软件，学会使用该软件去解答数值计算问题，同时有必要设置相应的上机考核方式。我们可以建立试题库，考试时让学生在所给的试题库里随机抽取形成一套试卷进行考试。这种方式既可以避免学生作弊行为，还可以提高学生对知识的掌握能力和应用实践能力。

应用MATLAB求解数学问题是数值分析课程的特点，我们要关注本课程上机考核的重点，如，求解非线性方程的根、求解线性方程组的直接法和迭代法、数值积分与微分等。

四、基于MATLAB软件的数值分析考核成绩评定的研究

由于高等学校人才培养目标注重培养应用型和实践性的实用型人才，我们在调查研究（图2和3）的基础上，总结出数值分析考核总成绩的评定标准应为：

考核总成绩=平时成绩×20%+机考成绩×20%+笔试成绩×60%。

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图2 考核方式与国外相比可以借鉴的地方调查结果

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图3 数值分析理想的考核总成绩内容组成调查结果

调查显示，70%的学生认为数值分析课程考核应采用“平时成绩+期末成绩”的形式，75%的学生觉得课程考核组成部分应有平时作业分值，75%的学生希望课程考核组成部分加入课堂讨论分值。

目前教学改革提倡给学生减负，不能仅凭一次期末考试来评定学生的成绩。我们结合实际，把平时成绩的分值调整为占期末成绩的20%。平时成绩主要根据平时课堂的出勤率、提问讨论以及作业的完成情况等来评定，评定的目的是鼓励学生巩固本课程的知识和技能，调动他们学习本课程的主动性和积极性。

作为一门研究生学位课程或专业核心课程，数值分析不能少了笔试。由于要考核的知识点非常多，因此科学巧妙的命题也是考核学生的主要内容。

我们认为笔试应占考核总成绩的60%。笔试可以采取闭卷的形式，也可以尝试开卷和闭卷相结合的形式。教师可以在课堂上讲授考核的重点和难点知识，让学生做好相关练习来巩固这些重点和难点。在命题和制卷上，要考虑基础知识的掌握，同时要结合不同专业对学生的要求，针对出一些不同专业的选做题。对于理科专业，如数学专业，可多一些的理论知识性强的考核试题；而对于工科专业，可以侧重应用型的笔试题目，多一些与实际相关的科学计算问题的题目。这样学生能够有针对性地选择适合自己专业的考试题目进行作答。

数值分析课程要求学生掌握使用MATLAB软件来解决数值计算问题，特别是对于一些大数据，利用MATLAB软件来进行数值计算非常必要。因此加强对MATLAB软件环境下的数值分析上机实验和上机考核势在必行。但是在实际的教学过程中，授课老师由于一些客观原因，淡化或忽略了利用MATLAB软件来进行数值分析的课堂教学和实验教学，使一些学生学完这门课程后，对于利用MATLAB软件进行数值计算的方法还不能掌握。

由于数值分析机考是非常必要的，我们可以在机考的形式上给学生减轻负担。可以建立上机练习题库和模拟考试题库，让他们平时能熟练掌握机考要求的知识点和必备技能。我们还可以将考试时间进行调整，可以分阶段进行或调整到期末考试前进行。这样学生不会感觉期末考试有很大的压力。

五、结语

本论文针对数值分析课程的特点和对数值分析学习的调查结果，分析了传统的数值分析考核的弊端与存在的主要问题。我们结合MATLAB软件，总结出比较适合当代大学生的数值分析考核方式为：“考核总成绩=平时成绩×20%+机考成绩×20%+笔试成绩×60%”。我们改革的目标是让学生掌握数值计算方法的基本思想和计算方法，学会分析、比较及选择不同算法，能够动手上机编程，解决具体数值计算问题。我们希望这种考核方式在评价当代学生的数值分析学习和实践能力方面能起到良好的促进作用。

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数值分析篇7

关键词：MATLAB；数值分析；教学改革

中图分类号：G421 文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 13-0000-01

Attempts to Strengthen the Teaching of Numerical Analysis by Matlab

Huang Cheng

(Foreign College Of Central South University of Forestry and Technology,Changsha410201,China)

Abstract:The combination of Matlab and Numerical Methods is a viable reform of teaching about Numerical Methods.This paper introduces the new teaching’s system and new curriculum.In order to solve the defects of curriculum,provides new ideas and approaches.

Keywords:MATLAB;Numerical Analysis;Teaching Reform

历年本科学生对数值分析的反映可表达为：抽象、冗繁、枯燥，只是为了考试而学。这种状况必须改变。

MATLAB在上世纪80年代推出后，已发展为一种功能全面的软件。它问世后，一个“用软件工具增强线性代数教学”的项目ATLAST在美国国家科学基金立项，并在90年代获得成功。其后欧洲日本等国家快速跟进，并在相邻学科中进一步拓展。

09年中南林业科技大学将“数值分析”改为“数值分析与MATLAB”，要求在教学领域有所创造和前进。我受教研究室的支持和帮助，在教学中进行了初步尝试。本文讨论该课程教学体系的改革和教学内容改变两个问题。

一、教学体系的变革

国内“数值分析”的多数是沿着方法原理、计算步骤、计算框图、计算速度、误差、收敛和实例这样一个体系展开A。这套体系成型于手工计算时代。在低级语言编程的时代作了一定改进，但仍显繁琐。目前在MATLAB下，各种方法已打包为指令，不再需要对各种方法进行编程。使用者只需知道方法原理、调用方法和指令即可。导致教学的立足点己经不同，这是一个根本性的改变。面对这样情况的出现，课时与内容矛盾不断加剧，国内计算器时代建立起来的教学体系到了必须改变的时候，也具备了改变的条件。

现在我们在“数值分析与MATLAB”课中讲授数值分析是按：问题提法、解题理念与原理、解题指令与多指令的配合、计算结果表示、实例和实验这样一套教学体系进行的。

这样有什么理由和好处呢？一个课程的教学体系与该学科体系、教学目的、学习者层次等因素有关。从教学目的、学习者层次角度而论，本科生学习“数值分析”课的目的是应用它来解工程和科学问题；从学科体系看，数值分析的学科发展与计算工具有着密切的关系[1]。可惜，目前教学领域未适应这种发展和变革。所以改革是很有必要的。MATLAB只是软件发展的一个阶段，但也引起了很多变化。它的影响表现为两个方面：一可以把传统分析方法、设计程式处理得更简捷；二是推动新方法、新程式面世。例如在MATLAB中，用4阶Runge-Kutta数值积分法解常微分方程，核心部份是[2]

〔t，Y〕=ode45（odefun，tspan，y0）

从应用角度看，详细的讲ode45内Runge-Kutta算法是不必要的。只需知道输入量的意义、输入方法，能看懂输出量t，Y的意义，就可以了。换句话说，知道解题指令与多指令的配合、计算结果表示等就可以用了。但为保证正确使用，就必须了解其适用范围、优缺点等。讲授时就不必追求数学上的公式推导，而应着力阐述概念。其中包括：问题的数学提法，解题方法的实质理念、几何概念和计算公式。而有关计算速度，因仅用计算次数来分析计算速度，显得不适用。而在MATLAB中有计时器可测出指令计算问题的时间，从而得出该方法是否接受；也可对比不同方法的速度，从而给出评价。所以分三条途径学习：一是在解线性方程组的章节中重点介绍用计时器进行实测和评价；二是以做习题的形式，要求用计时器对比各种方法的计算速度；三是在章节总结中，从原理和实算二方面进行归纳对比。有关误差分为二条线：一是把误差概念集中一章介绍；二是在讲迭代法解微分方程和数值积分的指令时，介绍误差控制和自适应性。这样的好处是：立足应用，原理概念清晰，联系实际。一定程度上克服了抽象、枯燥的问题，提高了学生实际使用能力。

二、教学内容改变

在新形势下如何规范精选教学内容是个急待解决的问题。我们的原则是：摒弃部分原有的分析方法和设计程式，传授以MATLAB为基础的分析方法和设计程式。将课程内容设定为三部份：一是MATLAB基础，含MATLAB语言基础和数据可视化基础；二是多项式运算、数值微积、插值逼近、误差分析、解微分方程等传统数值分析的内容；三是符号运算、线性系统分析和Simulink建模仿真介绍。较传统意义上的数值分析内容更为广泛。

课程中MATLAB语言基础是最基本的。同时为加强形象思维和图示计算结果，安排了数据可视化基础。鉴于多项式运算在线性系统分析中的作用；插值逼近、解微分方程等为传统数值分析中最基本内容，于以保留。数值微积在解微分方程中要用到，也选取了[3]。符号运算、线性系统分析和Simulink等应用面最广泛，作为高端应用代表入选。

上述教学内容前两部份数学基础主要为线性代数、高等数学。线性系统分析和Simulink建模仿真等，则涉及运算微积、控制论、仿真等专业知识。各专业学生对于此类基础概念参差不齐是个突出难题。此部分课内适当补充基础，教师掌握好课程深浅是成败的关键。因此对数值分析实行分类分级教学，不同专业和不同层次的学生采取不同的教学方式，从总体上提高教学质量是特别必要的。

通过教学实践，我们形成了新教学体系。虽然这套体系尚不完整，但为解决“数值分析”课的蔽端，提供了一种新思路。但所选方法是否抓住了最基本、最有用的方法？能否反映学科前沿？颇值得讨论。改革是个长期的过程，成效多大，更要通过社会与教学的长期考验才会有结论。写了上面的文字，希望能得到大家的指正。

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数值分析篇8

关键词：岩土工程；数值分析；措施

中图分类号：O241 文献标识码：A

岩土工程分析里的关键

通常情况下，在实际进行岩土工程数值分析的过程中，人们往往是要用简化以后的物理模型去解决比较复杂的工程问题，之后在将其转化为与数学相关的问题，然后在利用数学的方法来解决这些问题。比如，在饱和的软黏土地基中如果出现大面积的沉降问题，就可以通过将其转化成太沙基一维固结物理模型，然后再转化成固结方程来求解。可以知道，在实际的运用中，续介质力学模型受到了广泛的应用，连续介质力学模型主要包括以下几种方程：一个是运动微分方程这种方程主要有动力和静力两种方式；一个是几何方程，这个几何方程主要是分为小应变分析和大应变分析两种情况，并且它们分别用于不同的实际分析过程中；最后一种是本构方程，也叫做力学本构方程，这种一般是用于力学问题的测算等方面。

在实际的操作过程中，具体的问题还要根据所得到的边界条件或者是初始化条件进行解答，但是对于那些比较复杂的工程问题来说，这就需要采用数值分析的方法。也就是当一项工程会涉及到很多种方程问题的时候，这就需要用连续力学模型来解决，这时所用到的运动微分方程和几何方程基本上都是相等的，但是本构方程以及边界条件和初始条件通常是不一样的。而且需要特别注意的是，如果材料是线性弹性体时，本构方程就发生了变化，进而转化成广义的胡克定律。

一般来说，岩土材料都是多相体的，因此在采用连续介质力学模型来分析这些问题的时候，通常会包括以下几种方程：一种是运动微分方程，这个方程同样是分为动力和静力两种形式；一种是有效力原理，而且在这个原理中，总效力往往是有效应力和孔隙压力之和；第三种是几何方程，几何方程主要包括小应变分析和大应变分析两种；最后一种就是本构方程，本构方程主要包括力学和渗流本两种。

通过以上的内容，我们可以看出，多相体和单相体相比较的话，主要是多出了有效力方程和连续方程，另外在本构方程中又多出了渗流本方程。但是在解决不同的岩土工程问题时，基本方程中的有效力原理、运动微分方程、连续方程和几何方程的表达式基本是相同的，但是本构方程和前面几种有很大的差别。如果涉及到具体的岩土工程问题时，我们应该根据具体的边界条件或者相关的初始条件进行解决可能遇到的问题，这样所采用的方法通常就是数值分析法。通过上面的介绍，我们可以发现，连续介质力学通常都是借助于数值分析的方法进行解决的，并且这种方法具有非常好的适应性。

岩土工程数值分析的现状

众所周知，由于岩土是自然的产物，通常具有很强的区域性，它的初始应力是很难能预测到的。在分析岩土工程的过程中，首先需要掌握的就是工程的地质条件，另外还要掌握岩土的工程性质，重要是的掌握力学中的一些比较基本的概念，并且能够在此基础上利用公式以及数值的分析方法来解决问题。在计算的过程中，需要能够做到因地制宜，能够对具体的问题做出具体的分析，然后将得到的结论运用到工程建设中去。在实际的岩土分析过程中，数值分析所得到的结果对于工程师的综合判断是相当重要的。在实际的操作过程中，对岩土工程的对象进行分析时，应该做好岩土材料特性的分析，还应该注意结合岩土工程的初始条件和边际条件进行综合的分析。针对目前的岩土工程数值分析的现状来说，我国的岩土工程的数值分析现状有以下几点：

（1）难以解决又无法回避，是本构模型及它的参数测定在岩土工程分析里的重要特点。前面已经提到：通过建立涉及到区域性特性影响、土类和工程类别的各类特点，是岩土工程数值分析和发展利用工程实用本构模型的侧重方向。工程实用本构模型具有易于测定、参数应用比较少、有利积累工程经验等多个优点。通过大量的工程经验的积累，以及建立多个工程实用本构模型的有效结合，一定能极大促成岩土工程分析里岩土工程数值分析的研究应用，最终由只能用于定性分析逐步过渡到能用于定量分析。

（2）自从剑桥模型确立至今，多国学者提出过多版本的本构方程，但在实际中极少应用。这个现象反映了怎样建立岩土的工程使用本构方程，当之无愧成为采用连续介质力学模型解答岩土工程问题的关键所在；

（3）在了解土的工程性质基础之上，充分掌握、有效分析工程地质资料，通过合理物理数学模型的采用，再运用多类方法进行科学地计算与分析，结合多类工程经验进行综合性判断，从而提出设计的依据，这是对岩土工程师的要求，在岩土工程分析计算中，本着因地制宜的原则，来有效深入开展自己的工作，为研究学科的发展和进步做出自己的贡献

（4）考虑到对岩土工程分析对象的岩土材料特性的掌握和分析，同时岩土工程的边界条件和厨师条件都非常复杂，岩土工程的分析几乎没有能够得到有效解析。目前的实际情况是，只能在定性分析的基础上对岩土工程的数值进行分析。这些特点要求岩土工程设计师们，在工程设计阶段就要重视概念的设计，重视综合判断，因为分析结果很大程度成为分析过程中综合判断的重点依据来源。

岩土工程数值分析的发展措施

岩土工程数值分析的有关专家表示，在反应作用和效应之间的关系称之为本构关系，本构关系设计到的范围比较广，比如力学中的胡克定律和电学中的欧姆定律等。由于岩土生长在大自然中，因为它一般具有以下几个特征：即使是在同一个地区的岩土也会有一定的区别，它们的区域划分比较明显，而且深度和水平方向上的岩土变化也比较多样化；拿目前的技术水平来说，岩土的初始应力很难测定到，岩土往往是多相体的，具有固体、液体、气体三种存在形式，这三种形式有时是很难区分开来的，并且他们之间在不同的状态间还能相互进行转化，这样就给研究学者带来了一定的难度。一般来说，土体都是有一定的结构性的，并且结构土样土质的矿物质、环境以及历史形成等因素都是有关系的，有的土壤还有剪胀性的特点。到目前为止，科学家们已经建立了很多本构模型，其中主要包括非线性弹性模型、弹塑性模型、弹性模型、钢塑性模型等，总计有一百多种，但是真正能够得到工程师们认可并且还能普遍利用的模型是很少的。我国在对本构模型的构建方面，曾经有过高峰期状态，但是现在又开始滑入到低谷中。通过以上的分析可以知道，本构模型主要是通过连续介质力学来解决岩土的问题的。

为了使本构模型能取得更好的发展，我们可以将本构模型的研究分为两大类，通常是科学型模和工程实用型模型。需要注意的是，科学型的模型主要用于揭示和反映一些客观的规律，比如土的剪胀性等。而对于这种模型的建立要求不能过于严格，只要能够保证揭示出一个或者几个客观的规律就可以。工程的实用型模型需要的并不是全面的通用，而是简单并且实用，重要的是能够反映出工程建筑中的实际问题，然后抓住问题的主要矛盾，将其参数能尽可能少以免容易测定，这样的话更能符合实际的操作需要。工程实用型模型建筑的主要目的是使它能够应用到实际的操作过程中，国家应该鼓励更多的人投入到该项研究中去。另外，还要注意在研究中区分工程的类别，对对基坑工程、路基工程等有明确的划定标准，还要区分好土的种类，辨别是粘性土还是沙土等。

结束语

综上所述，关于岩土工程数值分析的几点思考只是初步的研究，相信在经过众多学者的讨论以后还能有更加深刻的见解。岩土工程数值分析对于岩土施工来说是相当重要的，它会影响整个建筑的发展。所以，岩土工程师们应该结合多种模型来进行分析，并在充分掌握了工程地质条件的基础上能够利用具体的参数计算出设计图纸。另外，在岩土工程数值计算的过程中，还需要做到因地制宜，能够抓住问题的主要矛盾，根据实际情况制定出更过的实用性模型，但是应该时刻坚持宜简不宜繁的原则。

参考文献:

[1]田生福. 浅谈岩土工程中数值分析的几点思考[J].研究与探讨，2013(2).

数值分析篇9

关键词：土钉墙；深基坑；数值模拟；数值对比

中图分类号：C35文献标识码： A

1 前言

土钉支护是一种原位加筋技术，是在土中敷设拉筋而使整体土工系统的力学性能得以改善的加固方法[1]，具有施工方便、造价低、工期短等优点，在基坑支护工程中得到了大量的实际应用，但基坑塌方的事故也时有发生，造成事故发生的原因是多方面的；本文利用大型有限元软件对某实际工程的土钉支护深基坑施工过程进行了模拟，分析研究了基坑深度范围内土体水平位移特征曲线和土钉内力的变化规律，同时对基坑坡面水平位移模拟值与实测值作了比较，可为土钉支护的设计与施工提供一定的参考价值。

2 工程概况

拟建浙江大厦（新源・燕府）地上31层，地下3层，钢筋混凝土框架剪力墙结构，基坑长约180m，宽约160m，挖深分别为8.6m、9.5m，周边环境相对简单；拟建场地地貌单元属太行山山前冲洪积平原，除表层填土外，均为第四系冲洪积成因的黏性土、砂类土、碎石土，基坑开挖涉及到的土层物理力学参数如表1所示；本文选取挖深最大的剖面进行分析，土钉支护剖面参数如图1所示，基坑分七步开挖，各工况开挖深度分别为地下1.7m、3.0m、4.3m、5.6m、6.8m、8.0m、9.5m。

表1土层物理力学参数

土层名称 层厚

m γ

（kN/m3） c

（kPa） φ

（°） Es1-2

（MPa）

素填土 0.3~3.9 18.5 10.0 15.0 6.2

新近沉积黄土状粉质黏土 0.4~2.5 18.9 15.3 12.7 7.0

黄土状粉质黏土 1.1~5.6 19.3 21.3 19.9 8.7

粉细砂 0.2~4.4 18.5 0 28 20.0

粉质黏土 1.2~6.7 19.6 19.7 20.1 21.1

3 数值模拟分析

考虑基坑结构的对称性，模型取局部进行计算分析[2]，模型尺寸如图2所示，深度方向取为20m，宽度为15m，长度取为50m，土体单元采用C3D8R三维八节点缩减积分单元，选用摩尔库伦本构模型；土钉单元采用B31梁单元；边界条件为上表面自由，下表面完全约束，垂直于x轴的平面约束x方向位移，垂直于z轴的平面约束z方向的位移。

3.1 水平位移变化特征分析

沿基坑坡面a~b线（如图3）自上而下每隔1m取一个特征点进行水平位移分析，共选取10个特征点，最后一个特征点在坡底位置，距离上一个特征点0.5m。各特征点的水平位移随工况变化情况如图4所示；从水平位移最终分布云图可以看出，整个基坑开挖支护完成后，坡面中下部的水平位移较大，其中坡面最大水平位移发生在距坑底约1.5m位置处，位移值为18.2mm，而坡顶水平位移量最小，为8.1mm，水平位移分布形式与粘土中土钉墙的变形趋势[3]较为吻合。

各特征点的水平位移随工况变化情况如图4所示，根据特征点水平位移变化曲线可以看出，坡顶水平位移主要集中发生在前四个工况中，也就是基坑开挖深度达到5.6m时，坡顶水平位移为6.3mm，约占坡顶总位移量的80%。

3.2沿基坑坡面水平位移实测值与模拟值对比

选取开挖至9.5m时，沿基坑坡面a~b线（如图3）自上而下每隔1m取一个特征点进行水平位移实测值与模拟值对比，共选取10个特征点，最后一个特征点在坡底位置，距离上一个特征点0.5m。各点水平位移实测值与模拟值随深度变化曲线如图5所示

图5 水平位移实测值与模拟值随深度变化曲线

由图 5水平位移实测值与模拟值各特征点变化曲线可以看出，利用大型有限元软件对深基坑的支护过程进行的坡面水平位移的数值模拟与现场实际水平位移基本吻合。

3.3 土钉内力分布特征分析

根据图6土钉拉应力最终分布情况可以看出，整体开挖支护完成后，上部两道土钉承受拉力相对较小，拉应力沿土钉长度方向分布较均匀，下部四道土钉承受拉力较大，每道土钉拉应力最大值都靠近于坡面，其中以第五道土钉承受拉力最大，拉应力值为313.4 MPa，此处距离坑底垂直距离为3.0 m。

选取具有代表性的上部第一道土钉和中下部第五道土钉作为研究对象，图7给出了随着开挖工况的进行，两道土钉拉应力的变化曲线；

根据第一道土钉拉应力变化情况可以看出，前三个工况中（基坑挖深达到4.3m），土钉拉应力整体增速最快，拉应力最大值发生在距坡面1.76 m的位置，此处应力值在挖深到3.0 m时达到最大，值为75.9 MPa，此后该点拉应力逐渐减小，但减小幅度不大，最后稳定在66.3 MPa；而距离坡面较远位置（4.4 m以外），土钉拉应力一直呈增长趋势；从整个开挖过程来看，第一排土钉拉应力最大值逐渐从土层浅部移动到土层深部，也就是说土钉墙潜在破裂滑动面逐渐向土层深部移动[4]。

根据基坑中下部第五道土钉的拉应力变化情况可以看出，该道土钉所承受的拉应力远大于第一道土钉，最大值达到约300 MPa，拉应力随着挖深增加而逐渐增大，分布特点为浅部（离坡面近的位置）大，深部小。

4 结论

通过土钉支护深基坑的数值模拟分析，可以得出如下结论：

（1）坡顶水平位移在基坑上半部分土体开挖时增大速率最为显著，此阶段应加强观测坡顶水平位移，严格按照设计工况开挖，严禁超挖，待孔中泥浆达到设计强度要求后，再进行基坑下半部分土体的开挖；

（2）数值模拟基坑坡面水平位移变化曲线与现场实测基坑坡面水平位移变化曲线基本吻合，说明基坑支护数值模拟准确可靠。

（3）中下部土钉所承受的拉应力远大于上部土钉，可适当加强中下部土钉的截面面积，保证材料强度有足够的安全储备；

（4）数值模拟显示坡顶水平位移量满足规范要求，土钉材料发挥强度小于钢筋屈服强度，具有一定的安全储备，说明该基坑土钉支护设计方案合理有效。

参考文献

[1] 林宗元.岩土工程治理手册[M].沈阳:辽宁科学技术出版社,1993:664-672.

[2] 武亚军,栾茂田,杨敏.深基坑土钉支护的弹塑性数值模拟[J].岩石力学与工程学报,2005,24(9):1549-1553.

数值分析篇10

论文关键词：无压；渗流；自由面；数值计算

论文摘要：在水利水电工程中，存在许多有自由面的无压渗流问题，自由面是渗流场特有的一个待定边界，这使得应用有限元法求解渗流场问题时，较之求解温度场和结构应力等问题更为复杂。归纳总结了无压渗流分析的各种数值计算方法，分析比较了其优缺点和适用条件，提出了无压渗流数值分析方法的发展趋势。

1 引言

在许多水利工程中(如土石坝渗流、混凝土坝渗流、拱坝绕流、地下结构渗流等等)，都存在着无压渗流问题，这类问题的关键在于求解渗流场的边界，即确定事先不知道其位置的自由面和溢出面，属于非线性边界问题。求解该问题的有限元法以往采用移动网格法。虽然取得了许多成功的经验，但也表现出方法本身的缺陷。为解决上述问题，国内外学者致力于寻找有自由面渗流分析的新方法。其研究核心就是计算中不变网格，自Neumann于1973年提出用不变网格分析有自由面渗流的Galerkin法以来，出现了多种固定网格法，如剩余流量法、单元渗透矩阵调整法、初流量法、虚单元法和虚节点法等。

2 无压渗流的数值分析方法

2.1 调整网格法

调整网格法先根据经验假定渗流自由面的位置，然后把它作为一个计算边界，按照vn=0的边界条件进行分析，得出各结点水头H值后，再校核H=z是否已满足。如不满足，调整自由面和渗出点的位置，一般可令自由面的新坐标z等于刚才求出的H，然后再求解。

该方法原理简单，渗流自由面可以随着求解渗流场的迭代过程逐步稳定而自行形成，并且迭代是收敛的。但是，当初始自由面与最终自由面相差较大时，容易造成迭代中的网格畸形，甚至交错重叠；当渗流区内介质的渗流系数不均匀时，特别是有水平分层介质时，程序处理困难；对复杂结构问题，由计算机自动识别和执行网格移动几乎是不现实的。

2.2 剩余流量[1]

剩余流量法通过不断求解流过自由面的法向流量（称为剩余流量）建立求解水头增量的线性代数方程组，达到修正全场水头和调整新的自由面位置的目的。迭代过程中只需一次形成总体渗透矩阵，但需要判断自由面被单元分割的各种情形，要求算出穿过单元的自由面被单元切割的面积及流过自由面的法向流速，计算工作量很大，难以推广到三维问题中。剩余流量法的全部调整均基于第一次有限元计算的结果，因而计算精度较差。

2.3 单元渗透矩阵调整法[2]

单元渗透矩阵调整法利用对渗流场有限元计算的结果，根据单元结点水头与结点位置势的比较，把渗流场进行分区，各区的渗透系数给不同的值，通过不断调整单元渗透矩阵，模拟渗流不饱和区的作用，来确定出真实的渗流饱和区及渗流场。

该算法实际上是把边界不确定的非线性问题转化成了材料非线性问题来考虑。但是，单元渗透矩阵调整法对三维而言其计算效率是很低的，不能真实反映渗透区域的透水特性，计算精度和收敛稳定性都受到影响。

2.4 初流量法[3]

初流量法利用高斯点的水头求出结点的初流量作为求解水头增量的右端项，避免了求自由面被切割的面积，同时避免了每次迭代中确定自由面的位置的做法，大大简化了剩余流量法的计算工作量。由于初流量法在计算跨自由面单元的结点初流量时，自由面以下的高斯点未予计算，计算精度受到影响。初流量法其收敛性不尽人意，解的稳定性不好。

2.5 虚单元法[4]

虚单元法以上一次有限元计算的结点水头值为基础，求出自由面与单元边线的交点，移动跨自由面单元的某些结点，使之落于交点处，自由面将单元分成渗流实区和虚区。渗流虚区在下一次计算中退出计算区域，随着渗流计算区域向渗流实区逼近，结果也逼近问题的真解。该方法对三维复杂问题不适用，易产生结果收敛不稳定的现象。同时，虚单元法在处理有自由面穿越的单元时，结点移动路径的确定是比较困难的。

2.6 虚节点法[5]

虚节点法以上一次有限元分析求得的节点势为基础，求出自由面和单元节线的交点，根据交点确定单元的积分区域，形成下一次分析的渗透矩阵。不同于虚单元法，虚节点法无需移动任何节点，因此不会出现网格畸形；虚节点法对网格不作改动，并能精确地描述跨越自由面单元的渗透矩阵，具有很好的精度和数值稳定性。

此外，无压渗流的数值分析方法还有边界单元法、流形单元法、无单元法等。

3 无压渗流数值分析方法的比较

调整网格法计算原理简单，迭代过程稳定而自行形成，迭代过程收敛，但该算法对有复杂夹层和复杂排水系统的水工结构处理起来太困难，几乎不可能实现；另外对初始渗流自由面位置的假定要求也较高，如果初始位置与最终自由面位置相距甚远，则极易造成单元严重畸变，影响计算的精度；剩余流量法计算工作量很大，难以推广到三维问题中。初流量法在剩余流量法的基础上作了重大改进，大大简化了剩余流量法的计算工作量，但是收敛稳定性较差，而且由于两种算法的整个迭代过程依赖于第一次有限元计算的结果，精度受到一定的影响。单元渗透矩阵调整法对跨自由面单元按复合材料单元处理，复合材料单元渗透系数在复合面突变，其单元渗透矩阵不能代表这一特性，且矩阵主系数常不占优，因而计算精度和计算稳定性均受到影响。虚单元法对三维复杂问题不适用，易产生结果收敛不稳定的现象。虚节点法具有很好的精度和数值稳定性。

结论

本文归纳总结了各种无压渗流数值计算方法的原理及其优缺点，得到如下结论：

传统的调整网格法虽仍被使用，但由于自身的缺陷给应用带来诸多不便，因而正在逐渐被固定网格法所取代。具体选择计算方法时，应从问题的复杂度、收敛性及精度要求等方面加以考虑。现有的大型商用软件如ANSYS提供了良好的二次开发环境，用户可以通过二次开发，来实现无压渗流的数值分析。

参考文献

[1] DESAI C S. Finite element residual schemes for unconfirmed flow [J]. Int Num Method Eng. 1976， 10(6):1415~1418.

[2] BATHE J N. Transmit matrix method for seepage with free surface problem [J]. Int J Num Meth Engng， 1983， (7):41~53.

[3] 张有天， 陈平， 王镭. 有自由面渗流分析的初流量法[J]. 水利学报， 1988， (8):18~26.