指数与指数幂的运算十篇

指数与指数幂的运算篇1

二、重点、难点分析

本节教学的重点是幂的乘方与积的乘方法则的理解与掌握，难点是法则的灵活运用.

1.幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘，即

(都是正整数)

幂的乘方

的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质.

幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把的结果错误地写成，也不能把的计算结果写成.

幂的乘方是变乘方为(底数不变，指数相乘的)乘法，如;而同底数幂的乘法是变(同底数的幂)乘为(幂指数)加，如.

2.积和乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即

(为正整数).

三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.例如：

3.不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变).

4.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解.在这三个幂的运算中，要防止符号错误：例如，;还要防止运算性质发生混淆：等等.

三、教法建议

1.幂的乘方导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法性质.教学时，也要注意导出这一性质的过程.可先以具体指数为例，明确幕的乘方的意义，导出性质，如

对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明.以为例，再一次说明

可以写成.这一点是导出幂的乘方性质的关键，务必使学生真正理解.在此基础上再导出性质.

2.使学生要严格区分同底数幂乘法性质与幂的乘方性质的不同，不能混淆.具体讲解可从下面两点来说明：

(1)牢记不同的运算要使用不同的性质，运算的意义决定了运算的性质.

(2)记清幂的运算与指数运算的关系：

(同底)幂相乘指数相加(“乘”变“加”，降一级运算);

幂乘方指数相乘(“乘方”变“乘法”，降一级运算).

了解到有关幂的两个重要性质都有“使原运算仅降一级运算”的规律，可使自己更好掌握有关性质.

3.在教学的各个环节中，注意启发学生，不仅掌握法则，还要明确为什么.三种运算法则全讲完之后，学生最易产生法则间的混淆，为了解决这个问题除叫学生熟记法则之外，在学生回答问题和写作业时，注意解题步骤，或及时发现问题，说明出现问题的原因;要注意防止两个错误：

(1)(-2xy)4=-24x4y4.

(2)(x+y)3=x3+y3.

幂的乘方与积的乘方(一)

一、教学目标

1.理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算.

2.通过推导性质培养学生的抽象思维能力.

3.通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力.

4.培养学生严谨的学习态度以及勇于创新的精神.

5.渗透数学公式的结构美、和谐美.

二、学法引导

1.教学方法：引导发现法、尝试指导法.

2.学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题.

三、重点·难点及解决办法

(-)重点

准确掌握幂的乘方法则及其应用.

(二)难点

同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用.

(三)解决办法

在解题的过程中，运用对比的方法让学生感受、理解公式的联系与区别.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

投影仪、胶片.

六、师生互动活动设计

1.复习同底数幂乘法法则并进行、的计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解.

2.教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质.

3.设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解.

七、教学步骤

(-)明确目标

本节课重点是掌握幂的乘方运算性质并能进行较灵活的应用

(二)整体感知

幂的乘方法则的应用关键是判断准其适用的条件和形式.

(三)教学过程

1.复习引入

(1)叙述同底数幂乘法法则并用字母表示.

(2)计算：①②

2.探索新知，讲授新课

(1)引入新课：计算和和

提问学生式子、的意义，启发学生把幂的乘方转化为同底数暴的乘法.计算过程按课本，并注明每步计算的根据.

观察题目和结论：

推测幂的乘方的一般结论：

(2)幂的乘方法则

语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.

字母表示：.(，都是正整数)

推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据.

(3)范例讲解

例1计算：

①②

③④

解：①

②

③

④

例2计算：

①

②

解：①原式

②原式

练习：①P971，2

②错例辨析：下列各式的计算中，正确的是()

A.B.

C.D.

(四)总结、扩展

同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：

指数与指数幂的运算篇2

一、 弄清幂的每个运算性质的由来

学习幂的运算性质时，应弄清楚每个运算性质产生或推导的过程，不要只是被动地记忆公式，因为被动记忆时我们只能记住它的外形，无法理解性质的本质，一旦遇到外形类似的公式，就容易混淆.例如有些同学初学幂的运算时，常与幂的乘方运算混淆，出现a2・a4=a8的错误，这是由于没有弄清楚同底数幂乘法运算的实质，即am・an=・==am+n.

理解和记忆同底数幂的运算性质时，应结合上面这个推导过程，从本质上掌握同底数乘积的结果的幂指数是和不是积，对于幂的其他运算性质也应结合推理过程来理解并记忆，这样才能真正把握运算性质本质，避免张冠李戴.

二、 明确幂的运算性质的相同点与不同点

2. 同底数幂的除法、0指数幂和负指数幂性质的相同点与不同点

三、 拓展幂的运算性质中字母的含义

同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三条运算性质中的字母a、b既可以表示任意的数，也可以表示单项式和多项式，而同底数幂的除法中的除数既可以表示不等于零的数，也可以表示值不等于零的单项式和多项式.如计算（x-y）・[（x-y）3]3・（x-y）2，通常把（x-y）看作底数，先运用幂的乘方性质，然后运用同底数幂的乘法运算性质进行计算，可以得到（x-y）・（x-y）9・（x-y）2=（x-y）12. 这里需要避免出现这类错误：（x+y）3=x3+y3.

四、 活用幂的运算性质解题

学习幂的运算性质，不仅要能从左到右运用性质计算，还要善于应用逆向思维，尝试从右到左使用性质. 灵活运用，往往能避繁就简，化难为易，提高解题效率.

例1 计算：-

-2013×

22013.

【解析】面对这么大的两个数相乘，直接计算一定很难得到正确的结果，通过积的乘方运算法则的逆向运用，则可以将问题转化为两个简单的分数相乘. 即-

-2013×

22013=-

-

×2013=-（-1）2013=1.

例2 比较a=3555，b=4444，c=5333的大小.

【解析】由于a、b、c的指数都较大，即使用计算器也有一定的难度，故直接由乘方求解较繁，但仔细观察分析知555、444、333都是111的倍数，这时可逆用幂的乘方的法则.

解：因为3555=35×111=（35）111=243111；4444=44×111=（44）111=256111；5333=53×111=（53）111=

125111.

而由乘方的意义可知，125111

指数与指数幂的运算篇3

Yang Gaoxiang

（Ankang University，Ankang 725000，China）

摘要：主要讨论了当被积函数为幂函数与三角函数的乘积、被积函数是幂函数与反三角函数乘积、被积函数是幂函数与对数函数、被积函数是幂函数与指数函数乘积、被积函数是指数函数与三角函数乘积时四种情况下，如何具体的应用分部积分法，使学生更好的接受分部积分法的思想。

Abstract: When integrand was the following five cases: product of prower function and trigonometric function,product of prower function and inverse trigonometric function, product of prower function and logarithmic function, product of prower function and exponential function, product of exponential function and trigonometric function, how to apply the integration by parts was discussed such that student would better accept the integration by parts.

关键词：分部积分法 函数分类 分类教学

Key words: integration by parts；category of functions；category teaching

中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）29-0193-01

0引言

对于《高等数学》的初学者而言对该课程的基本概念、定理的理解以及相关公式的应用往往有一定的难度，所以在实际的教学过程就需要教师对教学内容进行梳理，这样让才能使学生对所学的内容有比较清晰的认识和了解。对于不定积分的分部积分法[1]这部分知识已有许多从事高等数学教学的教师[2]对其教学方法进行了研究，笔者结合自己的教学经验认为就被积函数采取分类形式的教学能够使学生能够比较容易的接受和掌握计算要领。我们都知道分部积分法的公式为：?蘩f（x）dx=?蘩udv=u・v-?蘩vdu，其中要求?蘩vdu更容易求解。学生在利用这个公式求解不定积分题目时往往不知道如何选择恰当的函数u和v，使得?蘩vdu的计算比原不定分?蘩f（x）dx的计算更简单。下面我们主要从如下四个方面就被积函数的类型展开讨论。

1被积函数是幂函数与三角函数乘积

当被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，三角函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把三角形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。

例1. 计算不定积分?蘩x2cosxdx。分析：因为被积函数是x2cosx为幂函数与三角函数乘积的形式，我们只需要对函数cosx借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（sinx），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：?蘩x2dcosxdx=?蘩x2d（sinx）=x2sinx-?蘩sinxdx2=x2sinx-2?蘩xsinxdx=x2sinx-2?蘩xd（-cosx）=x2sinx+2xcosx-2?蘩cosxdx=x2sinx+2xcosx-2sinx+c

2被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数乘积

当被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积时，幂函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把幂函数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。

例 2. 计算不定积分?蘩xarttanxdx[3]。分析：因为被积函数是xarttanx为幂函数与反三角函数乘积的形式，我们只需要对幂函数x借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩arttanxd（■x2），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：?蘩xarttanxdx=?蘩arttanxd（■x2）=■x2arttanx-■?蘩x2d（arttanx）=■x2arttanx-■?蘩■dx=■x2arttanx-■x-■arttanx+c

（其中c为任意常数）

例 3. 计算不定积分?蘩x2lnxdx。分析：因为被积函数是x2lnx为幂函数与对数函数乘积的形式，我们只需要对函数幂函数x2借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩lnxd（■x3），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：?蘩x2lnxdx=?蘩lnxd（■x3）=■x3lnx-■?蘩x3d（lnx）=■x3lnx-■?蘩x2dx=■x3lnx-■x3+c

3被积函数是幂函数与指数函数乘积

当被积函数是幂函数与指数函数乘积时，指数函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与指数函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把指数函数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。

例 4. 计算不定积分?蘩x2exdx。分析：因为被积函数是x2ex为幂函数与指数函数乘积的形式，我们只需要对指数函数ex借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（ex），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：?蘩x2exdx=?蘩x2d（ex）=x2ex-?蘩x2d（x2）=x2ex-2?蘩exxdx=x2ex-2?蘩xd（ex）=x2ex-2xex+2?蘩exdx=x2ex-2xex+2ex+c（其中c为任意常数）。

4被积函数是指数函数与三角函数乘积

当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时，无论是先把指数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面还是先把三角函数形式的函数放到“d”的后面无所谓，不过要使用两次分部积分法，并出现一次循环。

例 5. 计算不定积分?蘩exsinxdx。分析：因为被积函数是exsinx为指数函数与三角函数乘积的形式，我们只需要对函数cosx借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（sinx），然后再借助分部积分法公式进行求解。

解：方法一：先把指数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面。?蘩exsinxdx=?蘩sinxdex=exsinx-?蘩exd（sinx）=exsinx-?蘩excosxdx=exsinx-?蘩cosxd（ex）=exsinx-excosx+?蘩exd（cosx）=exsinx-excosx-?蘩exsinxdx

故?蘩exsinxdx=■ex（sinx-cosx）+c（其中c为任意常数）。

方法二：先把三角形式的函数放到被积表达式中“d”的后面。

?蘩exsinxdx=?蘩exd（-cosx）=-excosx+?蘩cosxd（ex）=-excosx+?蘩cosxexdx=-excosx+?蘩exd（sinx）=-excosx+exsinx-?蘩sinxd（ex）=-excosx+exsinx-?蘩exsinxdx

故?蘩exsinxdx=■ex（sinx-cosx）+c（其中c为任意常数）。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学( 第六版上册) [M].北京: 高等教育出版社, 2007:208-212.

指数与指数幂的运算篇4

一、 忽视幂指数“1”

例1 计算：x3・x2・x.

错解 x3・x2・x=x3+2+0=x5.

剖析 误认为x的指数为0，实际上，单独一个字母的指数为1，只是省略没有写.

正解 x3・x2・x=x3+2+1=x6.

二、 混淆同底数幂的乘法与合并同类项

例2 计算：① x2・x2；② x2+x2.

错解 ① x2・x2=2x4；② x2+x2=2x4.

剖析 同底数幂的乘法法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；而合并同类项法则是：字母及字母的指数不变，只把系数相加减.

正解 ① x2・x2=x2+2=x4；② x2+x2=（1+1）x2=2x2.

三、 幂乘误为指乘

例3 计算：x4・x5.

错解 x4・x5=x4×5=x20.

剖析 把幂x4与x5的乘法运算符号用到指数4与5的运算上而造成错解.

正解 x4・x5=x4+5=x9.

四、 底数互异时符号错

例4 计算：① -x4・（-x）2；② （x-y）2・（y-x）3.

错解 ① -x4・（-x）2=（-x）6=x6；

② （x-y）2・（y-x）3=（x-y）2・（x-y）3=（x-y）5.

剖析 错误原因是把不同底数化为同底数时，漏掉了底数之中的负号或将式子的符号错当成底数符号.

正解 ① -x4・（-x）2=-x4・x2=-x6；

② （x-y）2・（y-x）3=（y-x）2・（y-x）3=（y-x）5.

五、 积的乘方漏因式

例5 计算：（a2b3）4.

错解 （a2b3）4=a2b3×4=a2b12.

剖析 积的乘方应该是将积中每一个因式分别乘方，而不是只将最后一个因式乘方.

正解 （a2b3）4=（a2）4・（b3）4=a2×4b3×4=a8b12.

六、 混淆幂的乘方和同底数幂的乘法

例6 计算：（x3）2.

错解 （x3）2=x3+2=x5.

剖析 幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，而不是相加.

正解 （x3）2=x3×2=x6.

七、 半途而废，算不彻底

例7 计算：-■2012×3■2012.

错解 -■2012×3■2012=-■2012×■2012.

指数与指数幂的运算篇5

关键词：幂函数；案例设计；创新

一、中职幂函数教学单元的定位

1.课程定位

2.教案设计理念

在中职数学教学过程中，绝大多数执教教师发现，若没有数学认知和自我总结的实践过程，而是仅仅以结论提供方式的记忆式学习，往往容易造成学生解题时的困惑，这与其尚未真正掌握幂函数规律密切相关，故而本教案设计的核心原则在于避免以往的“告诉”式，而是以建构的理念，还学生以知识认知与理解掌握的主动权，鼓励学生在自我探究的过程中发现幂函数基本规律及其性质、属性，并同时结合教师的引导对知识进行确认与巩固，通过反复的、源自于幂函数性质规律各角度的练习，进行幂函数深入学习。“授人以渔”的指导思想让学生学会知识摸索与探求的基本学习规律和技巧。

3.教学基本情况分析

本节课程的授课对象为中职学生，基于其对函数一定量的基本概念与性质认知，函数研究思路与方法也有所熟悉，幂函数课程是结合并运用已知指数和对数函数概念、性质和图象及结题运用，开展教学的知识模块。但由于刚步入中职，对初中学习阶段的各种学习特点及习惯仍有所保留，而且能力和思维模式的发展仍属于转折成型期，所以教师须把握幂函数教学创新的体验、契机，对中职学生进行数学理性思维和类比等思维的培育，并获得幂函数教学的良好效果。

4.教材要求与目标设定

幂函数作为改革教材的重点内容，在现行中职类专业教学的数学教材中处于指数函数与对数函数之后，主要目的在于比对上述函数的复杂性之后，鼓励学生结合指数函数、对数函数进行归纳分析总结。

本教案所涉课程的主要内容为幂函数，主要以结合实例引用概括幂函数概念，在学生了解识记幂函数结构特征的基础上，了解其与指数函数和对数函数的区别，并通过特殊简单函数的图象比对进行观察、分析与总结。教学目标为结合一次、二次和指对函数的特性对比，培养学生数学的对比结合和相应的分析归纳能力，并提升其数形结合、特殊上升到一般、归纳类比的逻辑思维。

二、教学案例实施过程

1.以学生业已熟悉的各类简单函数的引出，进行学生函数思维的重新建立，如运用（1）p=k，（2）S=x2；（3）V=ax3；（4）r=■；（5）v=s・t-1提问学生上述函数在其“形状”变化上的一些共同特点，进而引出y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=■，y=■，再结合一定时间的学生讨论，引导学生归纳幂函数的变化特征为以x为自变量，a为特定常数作为其指数所构成的y=xa，这一函数称为幂函数。经过上述幂函数的引入教学，学生被自然地带入对于类似函数的思考研究中，从而获得一定程度的概念性认知。而且该方法突出了本教案设计的“用教材而不是教教材，要创造性地使用教材”的教学创新原则，尊重教材的同时适当创新教材展示与教学设计。

2.基于幂函数引入的课堂导入，使学生获得幂函数理解认知，并提示指出幂函数结构中的x自变量位置，并以其与指数函数的位置进行直观对比，从而将复杂的幂函数与指数函数结构易混淆问题变为简单且不易遗忘的形状识记。同时，可以配合一定量的各种幂函数举例辨别，分辨并总结各类幂函数，在此基础上又对幂函数的形式进一步探析。接着，对幂函数的一般形式进行进一步探析。当然基于课程的教案创新改革必须秉持一贯的教学目标及其实施，也不能一味地进行脱离教学规律的教法创新。

总之，作为逐步发展的教学教法创新过程中的教学革新，都需要广大教学工作者充分结合学生现实、教材现实、教学现实、教育发展现实，中职数学中的幂函数不能以简单的给定义、告性质、做练习的模式进行，更应充分结合学生特点及其自有知识结构体系与认知能力特性，进行综合性创新。

参考文献：

[1]黄邦杰.例谈幂函数的教学设计与教学[J].课程教材教学研究：中教研究，2010.

指数与指数幂的运算篇6

技巧一：变底数

例1 若2x+5y=3，求4x・32y的值.

解：4x・32y=22x・25y=22x+5y=23=8.

例2 设x=3m，y=27m+2，用含x的代数式表示y，则y=________.

解：y=（33）m+2=33m+6=33m・36=（3m）3・36=x3・729=729x3.

【点评】例1将底数4和32换成2为底，再利用幂的乘方和同底数幂乘法法则得到22x+5y，利用整体代换的方法求出结果为8.例2将27换成33，将幂的乘方法则和同底数幂乘法法则顺向和逆向使用，从而得到y=729x3.

技巧二：变指数

例3 若a=2555，b=3444，c=6222，请比较a，b，c的大小，用“>”连接.

解：a=2555=25×111=（25）111=32111，

b=3444=34×111=（34）111=81111，

c=6222=62×111=（62）111=36111.

因为81>36>32，所以b>c>a.

例4 3-108与2-144的大小关系是_______.

解：3-108=（3-3）36=■36，2-144=（2-4）36=■36，

因为■

【点评】例3，例4都是先将指数化为相同的数，再比较底数的大小，找到指数的最大公约数，熟练地正向和反向使用幂的乘方法则是关键.

技巧三：凑出“1”

例5 计算■2012×（1.5）2013×（-1）2013.

解：原式=■2012×■2013×（-1）=-■×■2012×■=-■.

例6 计算-■2011×2■2012的值.

解：原式=-■2011×■2011×■

=-■×■2011×■=-■.

【点评】例5逆用积的乘方法则以及幂的乘方公式凑出“1”，例6先定积的符号为负，再用例5的方法凑出“1”使运算变得简便.

技巧四：凑整体

例7 已知10m=20，10n=■，求9m÷32n的值.

解：因为9m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32（m-n），

而10m=20，10n=■，所以10m÷10n=20×5=100，

所以10m-n=102，所以m-n=2，所以9m÷32n=32（m-n）=32×2=34=81.

例8 已知a2+a=1，求2 013a3+4 025a2-a的值.

解：原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a

=2 013a（a2+a）+2 012a2-a

=2 013a+2 012a2-a

=2 012a2+2 012a

=2 012（a2+a）

指数与指数幂的运算篇7

【关键词】高中数学；幂函数；指数函数；对数函数；课程标准；国际比较

1研究问题

幂函数、指数函数、对数函数是三类重要的基本初等函数，因此也是高中数学课程中的基础内容之一.近年来，我们对中国、澳大利亚、芬兰及法国、美国、英国等国家数学课程标准、教科书进行了量化比较研究[1-3].本文是这一系列研究的一部分，主要针对高中数学课程标准中的幂函数、指数函数和对数函数内容，以课程标准中的内容主题及认知要求为切入点，对澳大利亚、加拿大、芬兰、法国、德国、日本、韩国、荷兰、南非、英国、美国、中国这十二个国家高中阶段的数学课程标准进行比较分析.具体来说，本文主要研究以下问题：各个国家幂函数、指数函数、对数函数内容的广度和深度分别是多少，有何特征？这些国家是如何对幂函数、指数函数、对数函数的内容进行设置的？1.1研究对象与方法

研究国家和数学课程标准版本的选取

本文主要选择了五大洲以下12个国家的数学课程标准作为研究对象，具体国别分别是：（亚洲）中国、日本、韩国；（欧洲）法国、芬兰、英国、德国、荷兰；（美洲）美国、加拿大；（非洲）南非；（大洋洲）澳大利亚.这12个国家来自不同的洲，拥有着不同的人文背景和社会环境，经济发达程度也不尽相同，可以很好地展示不同国家数学课程标准的共性与差异.所选取的高中数学课程标准文本材料主要来源于曹一鸣、代钦、王光明教授主编的《十三国数学课程标准评介（高中卷）》[4]，选择国际比较样本的主要依据是大部分高中生升学时所必须要求的内容，其别关注理科、工程类学生.具体所选择的版本如下：

1.2研究工具及方法

本文采用定量分析和定性分析相结合的方法，具体的研究方法有定性分析中的个案研究法和比较研究法，以及定量分析中的统计分析法.按照课程论学者泰勒的思想，主要从“内容主题”和“认知要求”两个方面进行研究.

（一）广度

课程广度是指课程内容所涉及的领域和范围的广泛程度.为了便于统计结果，本文利用下面的公式计算课程标准的广度.

G=aimax{ai}

，其中ai表示各个国家的知识点数量总和，即广度值，max{ai}表示所有国家的课程标准广度值中的最大值.

广度的统计涉及到对知识点的界定，由于我国对幂函数、指数函数、对数函数知识点的处理比较系统和详细，本文以我国高中数学课标中幂函数、指数函数、对数函数内容为主，并结合其他国家数学课程标准中的幂函数、指数函数、对数函数内容，逐步形成完善的知识点框架，并统计各个知识点的平均深度值.

（二）深度

课程深度泛指课程内容所需要达到的思维深度.我国课标对知识与技能所涉及的行为动词水平分为了解、理解和掌握三个层次，并详细说明了各个层次对应的行为动词.很多国家的课标并未对教学内容的具体要求上做出明确的划分层次.综合我国对教学内容要求层次的划分方式，并参考新修订的布卢姆教育目标分类学[11]，本文提出认知要求维度的分类为：A.了解；B.理解；C.掌握；D.灵活运用.将每个知识点的深度由低到高分为四个认知要求层次：了解、理解、掌握、灵活运用，并规定水平权重分别为 1、2、3、4.然后，利用下面的公式计算课程标准的深度.

S=∑4i=1nidin∑4i=1ni=n；i=1，2，3，4

其中，di=l，2，3，4 依次表示为“了解”、“理解”、“掌握”和“灵活应用”这四个认知要求层次；ni表示儆诘di个深度水平的知识点数，ni的总和等于该课程标准所包含的知识点数总和n，从而得出课程标准的深度.

3高中课标中函数内容比较研究结果

3.1幂函数内容的广度、深度比较结果

3.3对数函数内容的广度、深度比较结果

中国、澳大利亚、日本、韩国和荷兰在对数函数的广度统计中排名靠前.这些国家课标都提及对数的概念及运算，对数函数的概念、图象、性质，反函数的概念.另外，中国还要求反函数的定义域、值域、图象以及对数函数的应用，而澳大利亚、日本、韩国、荷兰对反函数的定义域和值域不作要求.法国、南非处于中间层次.这两个课标都不涉及对数的概念和运算、对数表、对数的应用.在反函数方面，法国只讲解其概念和图象，南非还讲解其定义域、值域.美国、芬兰、德国在对数函数部分的知识点数相差不多，但侧重点不一样.美国侧重于反函数内容，德国侧重于对数的概念和运算，芬兰侧重于对数函数的概念和性质.加拿大和英国排在最后，加拿大只提到了对数函数的概念，而英国在对数函数部分的知识点数为零.

3.4幂函数、指数函数和对数函数的内容设置

从整体上来看，幂函数、指数函数和对数函数是高中阶段要学习的比较重要的基本初等函数，也是刻画现实世界的几类重要模型，另外，幂函数、指数函数和对数函数的学习有助于加深学生对函数概念的理解和应用.有些国家并未把幂函数、指数函数、对数函数作为连续内容出现在课程标准中，说明它们之间并无必要的逻辑关系.

对于幂函数这部分内容，除澳大利亚、芬兰、荷兰、英国、中国提及“幂函数”以外，有些国家并没有提到幂函数，如加拿大、印度、俄罗斯、新加坡、南非、德国.有些国家则以其他函数形式代替：法国以多项式函数出现；日本没有专门的幂函数概念，则是以分式函数、无理函数形式出现，安排在《数学Ⅲ》中，而且三角函数安排在指对数函数之前；韩国也没有专门的幂函数概念，则是以分式函数、无理函数形式出现；美国以根式函数出现.对于幂函数的处理，一直存在着争议，中国之前删除了幂函数的内容，现在又把这部分的内容加回来，有利于完善高中涉及的函数模型，便于学生在利用函数模型解决实际问题时考虑更全面，所以中学生需要对幂函数有初步的认识.像美国以根式函数、法国以多项式函数、日本以分式函数和无理函数、韩国以分式函数和无理函数等其他具体函数形式代替幂函数内容，这样处理的好处不仅在于具体实用，便于数学模型的建立，而且与高等数学的联系紧密，这一点值得我们借鉴.

指数函数和对数函数部分的概念原理无论在表述上还是数量上，各国都不尽相同.除芬兰是单独讲解指数函数和对数函数以外，大部分国家都是先学习指数函数，然后利用反函数或互逆关系来引出对数函数，这样使得对数函数的学习变得容易了.其中，澳大利亚把指数函数和对数函数进行对比学习，没有利用互为反函数来解释；法国在指对数函数上求导数等.还有一些国家注重和生活情境相联系，如德国、荷兰.英国在名称上有所不同，以“指数型函数”名称出现.美国强调利用指对数函数进行建模.针对指对数函数的具体说明如下.

4结束语

我国从2003年进行高中数学课程改革，到目前已经进行了十余年的实践，并取得显著成效，通过国际比较研究来审视我国高中数学课程改革的特色和不足，从而为接下来我国高中数学课程改革的推进提供参考.虽然中国在课程的基本理念中提到要发展学生的数学应用意识，但落实在具体的函数模型应用方面，只强调“体会”层次.如对于幂函数的处理，美国以根式函数、法国以多项式函数、日本以分式函数和无理函数、韩国以分式函数和无理函数等其他具体函数形式代替幂函数内容，这样处理的好处不仅在于具体实用，便于数学模型的建立，而且与高等数学的联系紧密，这一点值得我们借鉴.

参考文献

[1]康h媛，曹一鸣，XU Li-hua，David Clarke. 中、澳、芬数学课程标准中内容分布的比较研究[J]. 教育学报，2012（1）：6266.

[2]康h媛，曹一鸣. 中英美小学初中数学课程标准中内容分布的比较研究[J]. 课程・教材・教法，2013（4）：118122.

[3]宋丹丹，曹一鸣.高中课程标准中函数内容的国际比较研究[J].数学通报，2014（12）：17，16.

[4]曹一鸣， 代钦，王光明. 十三国数学课程标准评介（高中卷）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2013.

[5]董连春，Max Stephens. 澳大利亚全国统一高中数学n程标准评述 [J]. 数学教育学报，2013（4）： 1620.

[6] 康h媛，Fritjof Sahlstrm. 芬兰高中课程改革及高中数学课程标准评介[J]. 数学教育学报，2013（4）：1115.

[7]金康彪，贾宇翔. 韩国高中数学课程标准评介[J]. 数学教育学报， 2013（5）： 4246.

[8]李娜，曹一鸣，Lyn Webb. 南非国家高中数学课程与评价标准评介 [J]. 数学教育学报， 2013（4）： 610.

[9]曹一鸣，王立东，PaulCobb. 美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J]. 数学教育学报， 2010（5）： 811.

[10]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.

[11]（美）L・R・安德森. 学习、教学和评估的分类学 布卢姆目标分类学（修订版）[M]. 上海：华东师范大学出版社，2008.

指数与指数幂的运算篇8

一、教材存在的同步问题

1.同底数幂的运算

鲁科版物理教材八年级上册第一章《物体运动》、第二节《运动的快慢》速度的公式，第五章《质量和密度》中的密度公式等物理量的单位换算均会用到同底数幂的运算；另外，在计算激光往返地球与月球之间的时间时，要用到同底数幂的除法。但在人教版数学教材中有关同底数幂的运算问题放在八年级上册的第十五章也是最后一章《整式的乘除与因式分解》中讲解，也就是说学生欠缺解决物理问题所需要的数学知识，从而违背了学生认知规律，增加了物理学科的教学难度，影响教学效益。

2.负指数问题

鲁科版八年级上册物理教材中关于组合单位的写法均采用了两种方式表示，如速度的单位，米每秒的符号为m/s或m・s-1、密度单位千克每立方米的符号为kg/m3或kg・m-3，还有在记述电子、氢原子、流感病毒等质量时，均出现了负指数。而在人教版数学教材中有关负指数的知识是放在八年级下册第十六章《分式》16.2.3节《整数指数幂》中讲解，整整迟了一个学期，造成学生理解困难。

3.正比例函数及图像

利用图像问题分析物理知识是物理课中常用的方法。鲁科版物理教材八年级上册第一章《物体运动》，第二节《运动的快慢》中匀速直线运动的知识经常会用到正比例函数图像分析物体的运动状态，如下题：

下列图像中，能正确表示物体做匀速直线运动的是（ ）

此类问题有利于加深学生对匀速直线运动中，速度、路程、时间关系的理解，在解答此题过程中必须运用正比例函数的知识，但有关正比例函数问题在人教版数学教材中要在八年级上册第十四章《一次函数》中学习，比物理知识落后了近五周。

二、解决对策

1.调整教学进度

鲁科版物理教材八年级上册《物体运动》作为学生学习物理的第一章，不仅仅是传授物理知识，更重要的是启发学生兴趣，形成物理思维，认识研究方法，引导入门。但由于有关速度的计算题目，灵活性较强，对学生的数学技能要求较高。如果在学生没有掌握有关知识的前提下仓促讲授，超出学生能力，使学生产生畏难情绪，必然降低学生学习物理的兴趣，产生较大的负面影响。为避免负面影响，可以突破教材编写体系，将第一章《物体运动》知识移到第四章《透镜及其应用》之后，等相应的数学基础形成后再学习，同时将较简单且更有趣的第二章《声现象》内容作为学生入门篇章，更有利于增加学生兴趣，教学效果会更好一些。

2.提前简单传授有关数学知识

物理学科对于学生数学技能的要求比数学学科的要求要低。物理学科仅仅要求学生会应用数学法则解决物理计算即可，不关注数学法则的推导过程，所以作为物理教师可以在正式物理授课之前，先就学生学习物理所必备的数学基础进行简单传授，需要1课时。主要针对以下三方面进行学习，并出相应的习题进行练习，使学生掌握这些知识：（1）针对科学计数法，明晰绝对值大于10的数：10的指数等于原数的整数位数减1；绝对值小于1的数：10的指数等于原数中第一个非零整数数字前的0的个数的相反数。（2）同底数幂的乘法法则：am・an=am+n（m、n都是正整数）。（3）同底数幂相除法法则：am÷an=am-n；a-m=■。（m、n都是正整数且a≠0）

3.降低教学要求

对于那些需要新的数学知识才能解决的问题，教师可以采用降低教学要求，暂时绕过教学难点，并通过精选题目，避免有关数学知识的出现与应用。如对于米每秒的符号的表示方法m・s-1，不做讲解和要求；对于蜗牛的速度1.5×10-3m/s只告诉学生等于0.0015m/s；速度的计算尽量避免采用幂的形式。当然对于上述问题并不是永远绕着走，可以在有关数学基础形成以后按认知规律逐渐补充。

4.换用配套的教材

指数与指数幂的运算篇9

前不久，我们学习了数学中的一章――幂的运算.因为之前从来没有接触过这一类的知识，在看到这个单元时，不免有一些紧张和兴奋，并且，在看到这个题目时，心中自然产生了一些疑惑，比如幂是什么，怎样进行幂的运算等等.于是，我便怀着期待的心情开始了这个单元的学习.

在上完一节课后，我了解了幂是什么，就像以前我们学过的平方，其实就是二次幂.但这一节课仅仅解答了我的一个问题，我仍然有许多不明白的地方，这自然增加了我对下面的数学课的期待.为了不使在下面学习幂的运算时出什么差错，我又回去复习了这一节所学的概念.

接下来的几节课，我学到了一些简单的幂的运算，如83乘83，就可以直接把两个3次方相加，变为86；反之，若是两数相除，则它们的次方相减.然后，我们又学习了幂与幂相乘，如（83）3等于89等等.随着学的知识越来越多、越来越难，学习起来也就越来越不容易.所以，在学习过程中，我还运用了一些有利于更好地掌握知识的方法.

首先，每天课上都要认真听老师讲，如果漏掉了什么知识，在课后是很难补回来的.有什么不懂的地方就提出来，不要把疑惑留在心里.

其次，每天回来后要先复习，回顾一下今天学习的内容，这样在做作业时就能更熟练地运用今天学习到的知识，并且还要查漏补缺，看看自己有没有不太明白但在课上却没有发现的内容，明天可以留着问老师和同学.

做完作业后，要记得预习明天所要学习的内容，这时候会碰到很多自己不会的，这正是预习的目的.把这些问题记在心里，第二天上课时就有了听课的重点，知道了第二天上课的内容的大体框架，学习起来也就更加容易了.

在完成这一单元的学习后，我也有没有熟练掌握的知识点，所以便做了些练习，来帮助自己更牢固地掌握这一块的知识，也为了以后在学习更难的幂的运算时有一定的基础.

学习幂的运算不仅使我了解了更多数学上的知识，也使我对学习方法的运用更加熟练，所以让我记忆深刻.

指数与指数幂的运算篇10

(1)把握复数乘法与除法的运算法则,并能熟练地进行乘、除法的运算;

(2)能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题;

(3)让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法;

(4)通过学习复数乘法与除法的运算法则,培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘,与加减法一样,可以按多项式的乘法进行,但必须在所得的结果中把换成-1,并且把实部与虚部分合并.很明显,两个复数的积仍然是一个复数,即在复数集内,乘法是永远可以实施的,同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算,它同多项式除法类似,当两个多项式相除,可以写成分式,若分母含有理式时,要进行分母有理化,而两个复数相除时,要使分母实数化,即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数,使分母变成实数.

三、教学建议

1.在学习复数的代数形式相乘时,复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数,那么它们的积:

也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的,注重有一点不同即必须在所得结果中把换成一1,再把实部,虚部分别合并,而不必去记公式.

2.复数的乘法不仅满换律与结合律,实数集R中整数指数幂的运算律,在复数集C中仍然成立,即对任何,,及,有:

,,;

对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义,因此假如把上述法则扩展到分数指数幂内运用,就会得到荒谬的结果。如,若由,就会得到的错误结论,对此一定要重视。

3.讲解复数的除法,可以按照教材规定它是乘法的逆运算,即求一个复数,使它满足(这里,是已知的复数).列出上式后,由乘法法则及两个复数相等的条件得:

,

由此

,

于是

得出商以后,还应当着重向学生指出:假如根据除法的定义,每次都按上述做来法逆运算的办法来求商,这将是很麻烦的.分析一下商的结构,从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法,就是先把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可.

4.这道例题的目的之一是练习我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作,要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果,我们应该看出,也是1的一个立方根。因此,我们应该修正过去关于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程,发现其中所有的“”号都可以改成“±”。这样就能找出1的另一个虚数根。所以1在复数集C内至少有三个根:1,,。以上对于一道例题或练习题的反思过程,看起来并不难,但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维,拓宽和加深我们的知识,使我们对一个问题的熟悉更加全面。

5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式,在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中,要非凡注重等号成立的条件。

教学设计示例

复数的乘法

教学目标

1.把握复数的代数形式的乘法运算法则,能熟练地进行复数代数形式的乘法运算;

2.理解复数的乘法满换律、结合律以及分配律;

3.知道复数的乘法是同复数的积,理解复数集C中正整数幂的运算律,把握i的乘法运算性质.

教学重点难点

复数乘法运算法则及复数的有关性质.

难点是复数乘法运算律的理解.

教学过程设计

1.引入新课

前面学习了复数的代数形式的加减法,其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢?

教学中,可让学生先按此办法计算,然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照,从而引入新课.

2.提出复数的代数形式的运算法则:

.

指出这一法则也是一种规定,由于它与多项式乘法运算法则一致,因此,不需要记忆这个公式.

3.引导学生证实复数的乘法满换律、结合律以及分配律.

4.讲解例1、例2

例1求.

此例的解答可由学生自己完成.然后,组织讨论,由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质:.

教学过程中,也可以引导学生用以上公式来证实:

.

例2计算.

教学中,可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算.比如说第一组按进行计算;第二组按进行计算.讨论其计算结果一致说明了什么问题?

5.引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质

教学过程中,可根据学生的情况,考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂.

6.讲解例3

例3设,求证:(1);(2)

讲此例时,应向学生指出:(1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立;(2)复数的混合运算也是乘方,乘除,最后加减,有括号应先处括号里面的.

此后引导学生思考:(1)课本中关于(2)小题的注解;(2)假如,则与还成立吗?

7.课堂练习

课本练习第1、2、3题.

8.归纳总结

(1)学生填空:

;==.

设,则=,=,=,=.

设(或),则,.

(2)对复数乘法、乘方的有关运算进行小结.