有理数的乘方十篇

有理数的乘方篇1

1.知识目标：

（1）正确理解有理数乘方、幂、指数、底数等概念

（2）会进行有理数乘方运算

能力目标：

通过对乘方意义的理解，培养学生观察，比较，分析，归纳，概括的能力，渗透转化思想.

3.情感目标：

（1）通过观察、推理，归纳出有理数乘方的符号法则，增进学好数学的自信心

（2）体验小组交流、合作学习的重要性

【教学重点】正确理解乘方的意义，掌握有理数乘方的符号规律

【教学难点】正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算

【课型】：新授课

【教具】：多媒体课件（演示文稿）

【教学方法】：讲授法、讨论法

【教学过程】

1.创设情境，引入有理数的乘方

从前有个聪明的乞丐要到了一块面包，他想，天天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，依次类推，每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，我就永远不要去要饭了！

请同学们讨论交流，再算一算，如果把整块面包看成整体"1"，那他第一天将吃到面包的（ ）；第二天将吃到面包的（ ）；第三天将吃到面包的（ ）……第十天将吃到面包的（）.

这就是我们这节课要学习的内容-----有理数的乘方

2.合作交流，探索新知

（1）正方形的边长是5cm，它的面积是多少？

（2）正方体的棱长是acm，它的体积是多少？

猜想：4个a相乘怎么写？5个a呢？n个a呢？

引导：显然这样的书写和计算都很麻烦，人们在社会和科学的实践中，通常都是寻找一种既简洁又美观的表达形式和方法，这里自然会想到能否找到一种既简洁又美观的方法表示n个a相乘呢？

教师启发学生联想，4个a相乘表示为a4，5个a相乘表示为a5，那么n个a相乘表示为an

引出乘方运算的定义、符号及写法读法.

求几个相同因数的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数.

在学生初步理解乘方的意义的基础上，教师强调指出如下几点：

（1）乘方是一种运算，跟加减乘除运算一样，加法的结果叫做和，减法的结果叫做差，乘法的结果叫做积，除法的结果叫做商，而乘方的结果叫做幂。

（2）乘方运算一定要注意书写规范、正确，强调底数写正中间且大，而指数位于底数的右上角且小.

（3）当底数是负数或分数时，必须加括号，把它看成一个整体。

3.例题解析，总结规律

例1.（1）指出下列乘方中的底数、指数，并指出他们各表示什么意义

（2）（-3） ×（-3） ×（-3） ×（-3） ×（-3）可以记为（）

（3）在（-5）2中，底数是____，指数是____.

（4）在-52中，底数是____，指数是____.

探究讨论：-52与（-5）2 有什么不同？结果相等吗？

（ -52 读作 5的平方的相反数，表示5的平方的相反数

（-5）2 读作-5的平方，表示2个-5相乘

-52=-25 ；（-5）2=25 ）

例2.计算

（1）53（2）（-3）4（3）-34（4）25

例3.计算

（1）21 22 23 24 25

（2）（-2）1 （-2）2 （-2）3（-2）4 （-2）5

（3）11 14 17 18 12015

（4）01 06 08 09 02015

观察例3的结果，你能发现什么规律？小组讨论，每组代表发言.

总结规律并板书：正数的任何正整数次幂都是正数

负数的奇次幂是负数

负数的偶次幂是正数

1的任何正整数次幂都是本身

0的任何正整数次幂都是0

3.课堂小结与作业布置

（1）这节课你学到了什么？

（2）作业

有理数的乘方篇2

概念形成是指“从大量的同类事物的不同例证中独立发现，实质是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。[1]”数学抽象是数学核心素养之一[2]，“是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。”[3]学生数学学习的效果在一定程度上受到数学抽象影响[4]。分析其主要原因有，数学具有抽象性这一特性。数学与客观现实有紧密的联系，又与现实世界中的具体事物有一定距离，特别是使用了高度抽象的数学语言，增加了学生对数学学习的难度。因此，数学抽象是学生学好数学的基础。本文立足于初中数学课堂教学，以“乘法（第一课时）”教学设计为例，探索培养初中学生数学抽象。

一、教学目标

1.知识与技能

（1）让学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；

（2）能够正确进行有理数的乘方运算。

2.过程与方法

（1）在现实生活的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；

（2）培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力；

（3）经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受化归的数学思想。

3.情感、态度与价值观

让学生在经历发现问题，探索规律的过程中体会到数学学习的乐趣，从而培养学生学习数学的主动性和勇于探索的精神，增进学生学好数学的自信心。

二、教学重点、难点

教学重点：有理数乘方的定义，有理数的乘方运算规律。

教学难点：有理数乘方的运算的符号法则；乘方与幂的相互关系。

三、教学过程

1.创设情境，激发兴趣

师：前面我们学习了有理数的乘法运算，在有理数乘法的运算中，有时我们会碰到求几个相同因数的积的情况。

边长为2cm的正方形的面积，怎么表示？棱长为2cm的正方体的体积，怎么表示？

生1：边长为2cm的正方形的面积是 （cm2）；棱长为2cm的正方体的体积是 （cm2）。

师： ， 都是相同因数的乘法，为了简便，我们将它们分别记作 ， 。

【设计意图】在有理数的乘法运算中，我们会碰到多个相同的因数相乘的情况，由于相同因数出现的次数可能较多，书写起来比较麻烦而且容易写重或写漏，读起来也费时费力。从现实生活的情境中让学生体会学习有理数乘方的必要性，激发学生数学学习兴趣。

2.提出问题，探求新知

师：形如 、 、 、 ，就是我们今天学习内容“乘方”。乘方是什么样的运算？

生2：多个相同的因素相乘

师：几个相同的因数 相乘，如何表示？

生3：记作

师：一般地，几个相同的因数 相乘，即 ，记作 。这种求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

师：在 中，底数和指数分别是多少？读作什么？它表示什么？

生4：在 中，底数是9，指数是4， 读作9的4次方，或9的4次幂，它表示4个9相乘，即 。

师：在 中，底数和指数分别是多少？读作什么？它表示什么？

生5： 的底数是-2，指数是4，读作-2的4次方（或-2的4次幂），它表示 。

师：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来。

师： 与 一样吗？

生6： 与 在表示方式是不同的，表示意义也不相同， 表示4个-2相乘， 表示4个2相乘的相反数。

【设计意图】教师列举“乘方”具体实例，引导学生对它们共同本质特征的抽象，形成“乘方”概念。将“乘方”概念与乘法运算建立联系，乘方运算可以转化为几个相同因数的乘法运算，乘方运算是乘法运算的特殊情况。同时，使学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义，认识到乘方与幂的相互关系。

3.巩固新知，加深理解

师：乘方如何进行计算？

生8：把乘方运算转化为乘法运算。

师：乘方运算为什么可以转化为乘法运算？

生9：因为 就是 个 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。

师：在了解了乘方意义，知道乘方是乘法的特殊情况后，我们可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。

例1计算：

（1） （2） （3）

学生讨论：根据有理数乘法运算的符号法则，很容易得到乘方运算的法则。如下，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0。

【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会乘方运算是乘法运算的特殊情况，然后通过有理数的乘法符号规律，归纳有理数乘方的符号规律。主要通过例1的分析，引导学生讨论得到：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数的结论，确定有理数乘方的运算的符号。能够正确进行有理数的乘方运算。

4.课堂小结

师：通过这节课的学习谈谈你的收获，你能解决下列问题吗？

（1）乘方是什么样的运算？

（2）乘方如何进行计算？

（学生回答略）

【设计意图】教师不是孤立地对本节课内容进行小结，而是站在整个知识体系的角度归纳小结，引导学生感受数学地整体性，帮助学生理清知识之间的区别和联系。

5.布置作业

（1）必做题：教材第42页练习题1-3

（2）选做题：例题的变式2

【设计意图】作业的布置，充分体现了让不同层次学生在数学上得到不同的发展。

四、教学反思

本节课教师要重视将因数的范围扩充到负有理数的扩充过程，在教学中要结合示意图讲清楚幂、底数、指数的意义和相互关系：乘方是一?N运算，幂是乘方的结果，就如加法是一种运算，和是加法运算的结果一样。同时要通过例题、课堂练习和家庭作业，加强巩固乘方概念和运算法则。

【总评】教师按照学生的认知规律，从最近发展区入手，较好地展现了教师的教学特色。

（1）注重概念形成过程

“乘方”概念形成的基本过程大致是：分析不同实例的各种属性――发现不同实例的类似之处――对相似之处进行抽象――形成概念。“乘方”概念形成过程实质是数学抽象过程，教师在教学过程中引导学生，逐渐培养初中学生数学抽象。

有理数的乘方篇3

“小数乘整数”是苏教版五上的教学内容，教学设计中通过买西瓜这一学生熟悉的生活情境，启发他们积极地来理解运算意义，并且探索计算方法。“小数乘整数”计算的实质方法，就是根据“积的变化规律”把“小数乘整数”转化成“整数乘整数”，算出整数乘整数的积后再点上小数点，得到“小数乘整数”的乘积。

理论上说，数学理解有“直观理解、程序理解、抽象理解、形式理解”这四个类型或层次。那么学生在进行“小数乘整数”的竖式计算以及确定积的小数点位数时，能对其计算方法由“直观理解”“程序理解”发展到“抽象理解”和“形式理解”，并且把这四种理解进行融合。因此，就在这样理解的基础上进行教学。

教学片段一

1.出示购物场景图：夏天西瓜每千克0.8元，买3千克西瓜需要多少元呢？

2.列出算式。

3.提问：你能用学过的知识来计算0.8×3的积吗？

4.小组交流，全班汇报。

可能出现下面几种方法：

A.0.8+0.8+0.8=2.4（元）

B.0.8元=8角 8×3=24角 24角=2元4角=2.4元

C.0.8里面有8个0.18个0.1乘3=24个0.1 24个0.1是2.4

D.因为8×3=24，所以0.8×3=2.4

E.0.8×10=8，8×3=24，24÷10=2.4，说明：先将乘数0.8扩大10倍，得到的积就扩大10倍，要得到原来的积，就要把24缩小10倍，就是2.4.

这五种算法体现了不同的理解水平，有的同学是“直观理解”，有的同学却是“程序理解”。

第一种0.8+0.8+0.8=2.4（元），直接用3个0.8相加，从乘法的意义出发，运用已有的加法经验发挥作用，体现了“经验直观”。

第二种就是借助已学的单位换算经验，把0.8元看成8角，3个8角就是24角，也就是2.4元。

第三种根据小数的意义，先算出有8×3=24个，再看24个0.1是2.4.

第四种先算8×3=24，再想出结果是2.4，可以看作是学生直觉思维的结果，是“数字直观”的体现。

以上四种都是“直观理解”。

而第五种是“程序理解”，通俗地说，就是会计算。能够说出计算过程：把0.8看作整数8，算出8×3=24，由于乘数0.8扩大了10倍，积也扩大了10倍，要得到原来的积，就要把整数乘出来的24缩小10倍，所以得数是2.4.

由于学生在生活经验.学习基础等各方面都存在差异，所以学生在探索算法的过程中就会产生不同的算法。

教学片段二

再次出示购买西瓜的场景图。

1.出示：西瓜每千克2.35元，冬天买3千克西瓜要多少元？

2.提问：怎样列算式？板书：2.35×3=你能用竖式计算吗？

3.学生独立计算，师巡视检查

4.展示交流：

2.35 2.35

×3 × 3

7.05 7.05

观察两道竖式计算，你觉得哪个竖式正确？ 能说说理由吗？

我们在计算小数和整数相乘时，都是先把它看作整数和整数相乘。整数和整数相乘时是末位对齐，所以小数和整数相乘的竖式也是末位对齐。算出整数的积后再点小数点。

5.提问：那买23千克西瓜需要多少元呢？你会计算吗？

6.学生探究“2.35×23”的算法。

学生方法一：当作“整数乘整数”，算出积后再点小数点。

学生方法二：在计算的过程中点小数点。

提问：在相乘的过程中要不要点小数点？能说说理由吗？

明确：不点，因为计算过程中是把它看作整数乘法在计算。

教学片段三

1.比较：用竖式计算2.35×3和2.35×23时，有没有相同地方？（乘时都是把“小数乘整数”看作“整数乘整数”，算出积后，再在积里点上小数点，就得到原来的积。）

2.质疑：这样计算的根据是什么？（根据积的变化规律。）

3.再次比较：观察这两题的积和乘数的小数位数，你发现了什么？（积的小数位数和乘数的小数位数相同）

4.练习：根据你的发现，下面各题的积应该是几位小数？

4.7×36= 3.6×23= 206×0，76=

5.总结：“小数乘整数”的计算方法是什么呢？（看作整数和整数相乘，算出积后，再在积里点上小数点，就得到原来的积。乘数中有几位小数，积中就有几位小数）。

通过“比较”和“质疑”的环节，使学生对“小数乘整数”的计算从“直观理解”达到“抽象理解”的层次，引导学生发现“积的小数位数和乘数的小数位数的关系”。

有理数的乘方篇4

一、在口算教学中进行拓展

三年级要学习三位数除以一位数和两位数乘两位数的口算。学生在理解了口算的算理，明确了算法以后，教师可将被除数的位数从三位改到多位，让学生想一想可以怎样算，为什么能这样算？如学习300÷3以后，拓展到3000÷3、30000÷3，使学生明确“被除数不管是几位数，只要末尾有零”的一类口算题的算法。学习整十数乘整十数的口算以后，拓展到整十数乘整百数、整百数乘整百数等口算。这样学生学到的口算方法就从一道题类化为一类题。在进行以上拓展的时候并没有加重学生过多的负担，学生只要运用知识的正迁移很顺利就掌握了一类题目的计算方法，在遇到单位转化的问题，出现整百或整千数的计算时，学生也能灵活解决了。假如按照书上的计算要求不进行一点拓展，如果在计算中稍有变化，有些学生是很难迁移运用的，只要出现被除数或者乘数稍有变化，学生就会因为没有学过而不知所措。因而在口算教学中加入拓展，是帮助学生提高学习效率，养成良好思维方式的好方法。

二、在笔算教学中进行拓展

三年级学习两位数乘两位数的笔算，四年级学习三位数除以两位数的笔算，关于整数部分的笔算学习就全部结束。其实学生到了五年级进行小数乘除法计算的时候常常会碰到多位数乘多位数的计算内容，比如计算圆周长面积的时候常常需要用到3.14这个数去乘，乘数的数位会变多，除法中被除数与除数的数位也会变多。如果在整数计算阶段进行乘数及被除数、除数位数的拓展，到了五年级，多位数乘除法的笔算方法也可以直接迁移到小数的计算中。如果在整数计算阶段不拓展，那么学生在解决问题中碰到了多位数的乘除法计算就不能正确计算了。进行乘除法笔算教学拓展的方法也不一样。乘法从两位数乘两位数拓展到多位数乘多位数分两步走。先在三年级上学期学习三位数乘一位数的时候进行一次拓展，从三位数扩展到多位数乘一位数，让学生通过三位数乘一位数的算法迁移，明确多位数乘一位数，就要用一位数去乘多位数的每一位数。然后到三年级下学期，学习两位数乘两位数以后拓展到多位数乘两位数，多位数数乘三位数。以上乘法笔算的拓展都不需要另外增加课时，只需在新授时加入一两道题，进行算法迁移即可。而除法的笔算拓展内容需要另立一课时，对除法的笔算法则进行全面梳理，并且重点突出跟商0有关的笔算书写格式。除法笔算的拓展也分两步走。首先是三年级下学期学习了三位数除以一位数的笔算之后进行拓展，将被除数拓展到多位数除以一位数。本次拓展不需要增加课时，只要直接在三位数除以一位数新授课时增加一道四位数除以一位数的题目，学生就能将算法进行迁移了。在四年级上学期学习三位数除以两位数的笔算时，这次拓展需要另立一课时，帮助学生对于笔算除法的计算方法进行整体构建。实际上乘除法笔算的拓展不仅仅是帮五年级小数乘除法打基础，也是让学生在四年级阶段遇到比较复杂的问题时能顺利计算。

三、在简便运算中进行拓展

四年级学习混合运算以后，学生开始学习整数计算中的简便运算，到了高年级这些简便运算从整数拓展到小数与分数中。教材编写时，考虑到学生认知水平的局限性，四年级上学期只要求学习加法交换律结合律、乘法交换律结合律，下学期学习乘法分配率，整数阶段的简便运算。课本上虽然没有涉及减法与除法的性质，但是学生学习了加法与乘法的运算律，是否能避免将这些简便方法进行负迁移呢？学生遇到有些复杂的简便运算题涉及了减法与除法的性质，教师是否就题论题讲过就算了呢？到了高年级小数的简便运算的学习是否只限于加法与乘法的简便计算呢？基于这三点，我觉得学习了整数的简便运算需要拓展，而且拓展的内容较多，需要增加一些课时来帮助学生对比消化，以达到灵活运用。在四年级上学期学习加法与乘法的交换律结合律后，需要增加减法的性质与除法的性质，既可以帮助学生深刻理解加法与乘法运算律，又可以避免学生将这些运算律进行负迁移；下学期主要是学习了乘法分配率以后与上学期所学习的乘法结合律要进行对比强化，让学生正确建模，达到分辨清楚的效果。

有理数的乘方篇5

关键词：公交查询 优化枚举算法 Java Applet 最少换乘

中图法分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0195-02

随着我国社会经济的发展，人民出行频率不断增加，交通问题日益突出，而城市公共交通具有运量大、人均占有道路少等优点。城市道路基础建设规模扩大的同时，道路的延伸后，随之满足人民需要的公交线路也在不断地增加。为市民提供便捷的查询系统，为方便地提供给人们出行时选择最优的公交换乘方案。在多种交通出行方式的复杂情况下，如果通过换乘进行协调配合，那么将会提高公共交通的利用率，从而有效减少重复投资建设的现象。

由于我国在公共交通管理方面还处于较低水平，推行公共交通换乘方面没有加强，因此，在公交换乘系统的开发方面，也处于起步阶段。然而，随着信息技术的快速发展，公交换乘查询系统的开发及推广也势在必行。目前，我国公交换乘查询系统仍存在一些问题[1]。

（1）公交线网管理混乱，没有建成换乘枢纽。

（2）公交信息查询系统终端没有普及。

（3）公交查询信息单一，不能满足出行者需求。

（4）查询信息陈旧，没有数据维护管理员。

1 公交换乘理论基础

公交换乘从换乘交通工具的一致性来讲，主要分为多方式换乘和普通换乘。多方式换乘是指换乘前后所采用的交通方式不同；而普通换乘则是指换乘前后的交通方式是一样的。本系统所要设计的换乘系统主要指的是普通换乘，主要针对公交这种特定的交通方式进行设计。

公共交通线路网的结构可按三种不同的线路网组成，分别是：放射形线路网、主干线和驳运线相结合的线路网、带有环线或切线状线路的放射形线路网[2-3]。

公交换乘的特性：

（1）换乘的必要性。

（2）换乘的有效性。

（3）换乘的多功能性。

2 优化枚举快速算法研究

基于距离最短的换乘方式，人们考虑更多的是减少换乘次数，避免换乘频繁带来的麻烦。因此，换乘理论中，基于换乘次数最少的方式，与实际换乘系统的应用联系更为紧密。基于换乘次数最少的换乘算法的算法思想核心是，根据调查显示[4]，出行者出行时对于公交线路的选择时，多数优先考虑是否有直达车，如图1（a）所示。如果没有直达车，则考虑一次换乘的方案，然后考虑中间站的位置，如图1（b）所示。如果没有一次换乘的方案，则考虑多次换乘，二次换乘如图1（c）所示，三次换乘如图1（d）所示。

基于优化枚举快速算法，通常情况下搜索得出的换乘次数要比实际公交换乘次数多。原因是算法理论搜索得出的是只考虑在原地换乘的结果；而在实际生活中，同一区域站点设置有一定的短距离，出行者会通过步行转到换乘点。因此，出现了查询换乘次数较多的现象。所以，在后续设计换乘查询模块时，应考虑到同一区域范围内的所有站点情况。

基于优化枚举快速算法的基本思想：如果确定起始站点Q、终点站Z出发，与数据库中各个线路中的站点相比较，寻找可换乘车站，得出可能的路径。

设S（I）（I=1，2，…，m）为经过起始站Q 的线路集合。

T（J）（J=1，2，…，p）为线路S（I）上的所有站点的集合。

F（J，V）（V=1，2，…，g）为线路T（J）上的所有站点集合。

R（K）（K=1，2，…，g）为经过站点 E（I，U）的线路集合。

Y（O）（O=1，2，…Z）为经过 F（J，V）的线路集合。

G（K，W）（W=1，2，…i）为线路 R（K）上的站点集合。

算法的步骤如下：

根据出行目的确定起始站Q和终点站 Z。

分别求经过起始站Q的所有线路集 S（I），以及经过终点站Z的所有线路集 T（J）。

经过判断条件S（I）与T（J）是否相等。如果相等，即存在直达线路，输出结果T（J）；如果没有则进行下一步。

求线路S（I）上的站点E（I，U）以及线路 T（J）上的站点F（J，V）。

分别求经过E（I，U）的线路集 R（K），和经过 F（J，V）的线路集Y（O）。

经过判断条件R（K）=Y（O）是否相等。如果相等，则得出两次换乘的一条可行路径 S（I），R（K），T（J），经过的中间换乘站点为 E（I，U）和 F（J，V），输出结果，结束运算。

3 查询系统的实现

本公交查询系统的功能主要包括：电子地图绘制和操作、公交线路查询、公交站点查询以及公交换乘的查询等。其公交查询的页面如图2所示。

优化枚举快速算法算法的算法思想核心是，根据调查显示，出行者出行时对于公交线路的选择时，多数优先考虑是否有直达车，如果没有直达车，则考虑一次换乘的方案，然后考虑中间站的位置，如果没有一次换乘的方案，则考虑多次换乘。通常情况下搜索得出的换乘次数要比实际公交换乘次数多。原因是算法理论搜索得出的是只考虑在原地换乘的结果；而在实际生活中，同一区域站点设置有一定的短距离，出行者会通过步行转到换乘点。因此，出现了查询换乘次数较多的现象。

换乘查询模块，进入路径查询时，共有两种选择，一是直达，另一个是换乘一次。进入界面后先在起点站和终点站输入框中点击选择站点，或者输入起点站和终点站的名称，点击“查询”按钮，查询结果显示在下面的列表框中，列表框中结果包括这两点之间的所有路线。查询用户根据出行行为倾向选择其中任一结果，点击显示详细信息。若查询的起终点之间存在直达线路，则系统优先得出直达的查询结果，即显示出经过这两个站点的所有直达线路的所有站点及其详细路径。若查询的起终点之间不存在直达线路，则系统自动进入一次换乘，需要通过输入中间站点名称来得出用户想要经过的中间地点。若查询的起终点之间没有换乘方案，则系统显示出没有查询结果，并且提示用户进行二次换乘，继续输入二次换乘的中间站点名称，或者修改查询的起终点名称。

试验结果表明，用户输入需要查询的公交线路，系统通过相应的线路路段中相应的字段或者车次号，获取该车次所经过的所有站点；也可以根据给出的一个站点，查询出经过该站点的所有公交车，从而为用户提供更多的公交信息。

4 结语

该论文在分析和总结公交站点、公交线路等公交数据的特点基础之上，改进了公交换乘的算法，引入了紧邻站点和站站快表，使算法更符合生活中人们的实际需求和提高了查询的效率。系统实现多种换乘查询的方式，不仅能满足不同乘客的不同需求，在换乘查询过程中，得出的结论也更为合理。因此算法具有很强的实用性和通用性，在公交网络中可以广泛采用。

参考文献

[1] 王建聪，高利平，陈绍宽，等.城市公共交通枢纽换乘组织仿真研究[J].交通运输系统工程与信息，2006，6（6）：68-69.

[2] 赵巧霞，马志强，张发.以最小换乘次数和站数为目标的公交出行算法[J].计算机应用，2004，24（12）：90-92.

有理数的乘方篇6

【课前测试】

第一次前测：计算12×3。

有80%的学生是用口算的方法直接写出得数;还有少部分的学生是用连加的方法计算出结果。

第二次前测：要求学生列竖式计算12×3。

通过访谈得知，有20%的学生是用口算先算出了结果，并写在了竖式的下面。12%的学生是真正用笔算做的，但是这里面有一部分学生不能够理解为什么可以这样算。加法竖式计算占了32%，展开式占了30%，有4%的学生没有乘十位。还有2%的学生无从下手。从第二次检测可以看出，虽然有些学生可以用乘法竖式的形式来书写它的计算过程，但是他们对乘法竖式的算理是不理解、不清晰的，所以理解乘法竖式的算理是本课的重、难点。

【教学目标】

1.在解决问题的过程中，探索并掌握两、三位数乘一位数（不进位）的计算方法，能正确进行计算。

2.让学生尝试用不同的方法进行计算，沟通不同算法之间的相同之处，理解乘法竖式的算理。

3.在笔算的过程中，培养学生耐心细致计算的良好习惯。

【教学过程】

一、情境导入

1？郾出示修改过的情境图（3行蚂蚁，每行12只）：你从这幅图上获得哪些数学信息？可以提出什么数学问题？

【设计意图】书本中原图有四行蚂蚁，笔者改成了三行，因为从前测中我们知道，本课学习的一个重要起点，就是相同加数的和列竖式计算，而这个内容是在二年级学习的，学生只接触过了三个相同加数的和，如果直接出现四行，就变成四个加数，不便于学生列竖式计算。

2.根据问题列式计算。

（1）展示算式，呈现了两种方法[连加（12+12+12，含竖式），乘法（12×3）]。

（2）让学生说一说：你是怎么算的？

学生会说到口算的方法，10×3=30，2×3=6，30+6=36。

【设计意图】两位数乘一位数的竖式计算的起点是加法竖式与口算乘法。本环节的教学为理解两位数乘一位数的算理，掌握算法做好铺垫。

二、算法探究

1？郾加法可以列竖式计算，乘法可以列竖式吗？

本环节让学生尝试计算，通过前测知道，学生有30%会用展开式，32%会用标准式，虽然学生对过程并不理解，但是会呈现相应的过程。

2？郾学生独立思考，列乘法竖式进行计算。

3？郾展示学生的乘法竖式。

4？郾乘法竖式的展开式：

（1）我们先来看这个乘法竖式（图1），为什么可以这样算？

（2）同桌交流：说一说每一步算的是什么？

（3）全班交流：课堂中，教师根据学生的回答进行随机教学。

①用加法竖式说明算理。

如果学生是根据加法竖式的方法来理解的，那么个位6就是3个2加起来的结果，30是十位上3个10加起来的结果。

②用口算的方法说明算理。

学生中用口算来理解的：6是3乘个位得到的结果，30是3乘十位得到的结果。

③用点子图来说明算理。

学生中用点子图进行直观理解的：6是3个2点。30是3个10点。

【设计意图】本环节乘法的展开式中的加法部分，我们利用加法竖式、口算、点子图进行沟通和理解，体会乘法竖式展开形式与点子图、口算乘法、加法竖式之间的内在联系，理解6、30、36的含义，深入理解竖式计算的算理。

（4）填一填。

【设计意图】在对乘法竖式展开式进行解读的基础上，笔者设计了突出位值的分解式练习，这是沟通笔算与口算的联系的过渡性练习，帮助学生进一步理解算理、掌握算法。

5？郾乘法竖式的标准形式。

（1）让学生比较乘法的两个竖式，有什么相同的地方和不同的地方？然后借助多媒体，展示由繁到简的过程（如图2所示）。

（2）让学生说一说计算法则。

用3去乘个位，积就写在个位下面。用3去乘十位，就把积写在十位的下面。

【设计意图】通过比较两种乘法竖式计算的形式，学生进一步明确了算理，而且“把竖式进行简化”成了全体学生的追求方向。在这里，过程是学生亲身经历的，方法是大家在充分比较的基础上得出的，充分发挥了学生的主观能动性。

6？郾试一试。

12×4= 13×3=

7？郾自主尝试：三位数乘一位数。

（1）出示题目：“213×3=”，你会算吗？

（2）试一试：用竖式进行计算并展示算法。

（3）想一想：两位数乘一位数和三位数乘一位数，有什么相同的地方？有什么不同的地方？

学生很容易会发现，其实两者都是从个位乘起，3去乘个位，积就写在个位上，3乘十位，积就写在十位上，不同的是3要再去乘百位，积就写在百位的下面。

（4）试一试。

123×3= 214×2=

【设计意图】把前面练习中的“13×3=”在“13”前面加上一个“2”变成“三位数乘一位数”，学生很自然地从两位数乘一位数迁移到三位数乘一位数，培养学生的迁移、推理与自主学习的能力;比较两种类型的计算相同点和不同点，加深学生对算理的理解，以及对算法的巩固。

三、学以致用

1.专项练习。

蚂蚁学校开学了，准备买一些教学用品。

1个地球仪的价钱是1本字典的2倍。

（1）1个地球仪的价钱是多少元？

（2）买3个足球多少元？

（3）买2个地球仪和1副羽毛球拍，一共多少钱？

2.拓展练习。

校长决定给每一只小蚂蚁都购买一根跳绳，需要小朋友们帮忙算一算全校有多少只蚂蚁。从表中你获得了哪些信息？全校一共有多少只蚂蚁？

【设计意图】从“蚂蚁做操”“蚂蚁学校买教学用品”“给小蚂蚁买跳绳”三个阶段使情境创设具有连续性。专项练习，鼓励学生综合运用本节课的知识，在新的情境中解决实际问题，积累更多的解决问题的经验。拓展练习，富有趣味性和挑战性，学生在思维的历险中，经历了简化和移多补少的策略，体会到了数学的神奇。

四、总结延伸

1？郾说一说这节课你有什么收获，还有什么问题？

动态揭示课题：两、三位数乘一位数（不进位）的乘法。

2.延伸练习。

（1）算一算：算式中的图形代表什么数（图3）？

（2）下面竖式中（图4）的可能是几？如果在积中增加一个数，这时可以表示哪些数字？这时积是多少？

有理数的乘方篇7

一、竖式计算作用

1.拆解步骤，降低计算难度

竖式是为了帮助学生进行稍复杂的计算而产生的，在学生不能进行口算或口算很麻烦时需要用到笔算，竖式便是笔算的过程展示与形式呈现。竖式计算能帮助学生拆解步骤，呈现每一步计算的结果，降低了计算的难度。

2.夯实基础，为后续计算作铺垫

第一次学习用竖式进行计算，得到正确的结果只是目标之一，竖式计算算理的理解、竖式格式的掌握才是重中之重。学生掌握了用竖式进行100以内加、减、乘、除的运算，为以后万以内、万以上的大数运算奠定了基础，同时还可以迁移到小数、分数的四则运算中。

二、修订版教材调整乘法竖式与除法竖式教学次序的理由

观察比对教材，我们可以发现：苏教版的实验版教材中，乘法的竖式是在二年级上册学习了表内乘法后进行教学的，表内乘法是通过记忆乘法口诀、利用乘法口诀让学生得到计算结果。在这儿教学乘法竖式有为教学而教学的嫌疑，学生在心理上不愿意接受乘法竖式。原因有二方面：一是明明可以口算出结果，偏要很麻烦地书写竖式，刻意进行笔算，为写而写；二是竖式的功能在此被消减，竖式是为了进行稍复杂计算时帮助学生计算，起的是拐杖作用。因此教材在表内乘法单元删除了乘法竖式的教学，后移到三年级学习两三位数乘一位数单元，不能直接口算出结果时再呈现乘法竖式，让学生真正体会乘法竖式的简捷与方便。

再来谈谈除法竖式的教学，在实验版教材中，除法竖式的教学也是在表内除法中进行的，学生并不明白为什么除法竖式不能像加法、减法和乘法的竖式一样，直接写成被除数除以除数的形式（图1）。此时写成这个形式完全可以解决问题，符合规范。细究原因，我们可以发现，此时，除法竖式的结果是学生利用乘法口诀求商的方法直接得来的，再模仿其他竖式的样子写上去，并没有拆解步骤，逐步计算得到结果，除法竖式的功能在此没有得到体现。

8 15

÷ 4 ÷ 3

2 5

图1 除法竖式

在修订版教材中，将除法竖式的教学安排在有余数除法学习之后，因为出现了分后有剩余，用与加法、减法、乘法相近的“除法竖式”（图1）已经无法表示出分后有剩余的情况，所以除法的竖式必须有自己独特的形式。教材用一个例题中的两个问题，让学生发现分后有剩余和分后无剩余两种情况在书写竖式时的相同之处与不同之处（图2）。

结合平均分苹果的过程，让学生理解竖式的结构，学会求商的思考方法：计算有余数的除法，要利用乘法口诀求商（一除），要把商和除数相乘（二乘），要用被除数减商和除数相乘的积（三减）。把这几步计算写成竖式，记忆的负担就被分散，思维难度相应降低。

同时，在学习有余数除法计算时，学生不可能每次都借助分实物的方法去得到商和余数，必须有一种普适的方法，除法竖式在此正好起了拐杖的作用，帮助学生顺利完成有余数除法的计算，因此教材在这里安排除法竖式的学习是必须且合理的。

三、乘法竖式内容后移对除法竖式学习没有影响

乘法竖式内容后移对除法竖式学习是否有影响？笔者觉得用除法竖式进行计算较之加法、减法、乘法的确有一定的难度，这是除法计算的特点决定的，与乘法竖式内容滞后于除法竖式内容无任何关系。

有理数的乘方篇8

关键词：金融危机；基础货币；货币乘数

Abstract：This paper analyzes the movements of monetary multiplier around financial crisis in China，and the results show that China's monetary multiplier and macroeconomic volatility cycle are basically consistent. Money multiplier and money supply trends indicate that changes in the operation of monetary policy is still in rough shape， and components by monetary multiplier and the money multiplier itself changes the conclusion does not conform to traditional theory. This article suggests that we should change the mode of China's economic growth，and speed up the construction of multi-layered financial market，to improve the effectiveness of monetary policy operations.

Key Words：financial crisis，monetary base，money multiplier

中图分类号：F832.59文献标识码：A文章编号：1674-2265（2012）02-0023-05

一、引言

在金融危机爆发之前，全球金融市场和我国金融体系均充斥着大量流动性。我们以消费者物价指数（CPI）为基本指标对金融危机爆发前后我国宏观经济状况进行分析（见图1）。在金融危机爆发之前，我国CPI在流动性过剩的影响下不断攀升，并于2008年2月达到了8.7%。随后在金融危机的影响下，我国国内需求和出口不断下降，CPI也开始下滑。在2008年末，为了应对金融危机的影响，我国宏观经济政策调整为“积极的财政政策和适度宽松的货币政策”。此后，为抑制不断攀升的CPI，政策当局又出台相应的紧缩政策，直到2011年8月CPI才有所下降。与此同时，相应的宏观经济增速也开始下滑。比如在2011年，GDP增速呈逐季下降趋势，前三个季度分别同比增长了9.7%、9.6%和9.4%。因此，图中的CPI走势能清晰反映我国宏观经济的运行态势。在我国，货币供应量对宏观经济运行影响巨大，但货币供应量的重要决定变量――货币乘数的变动周期是否与宏观经济运行基本吻合？本文将对此进行分析。

图1：金融危机前后我国消费物价指数（CPI）走势

二、金融危机前后我国货币乘数变动的基本判断

货币供给的基本公式为： ，其中 为货币供应量， 为货币乘数， 为基础货币。我们定义流通中的现金为 ；活期存款 ；定期存款为 ；储蓄存款为 ；基础货币 ，其中 为商业银行在中央银行的准备金；现金比率 ；准备金率 ；定期存款和活期存款的比率 ；储蓄存款与活期存款比率 。因此，狭义（m1）和广义（m2）的货币乘数分别为：

因此，货币乘数是由现金比率、准备金率、定期存款与活期存款之比和储蓄存款与活期存款之比共同决定。如果分析货币乘数变动趋势，必须分析货币乘数的各个影响因素。

（一）金融危机前后我国货币乘数的变动趋势

图2反映了我国金融危机前后货币乘数的变动趋势。图中显示，狭义货币乘数 自2007年1月到2011年10月的波动幅度比较平稳，其最高点在2007年1月，为1.812387；最低点在2011年9月，为1.289877。从波动幅度来看， 从2007年1月至2008年底是逐月下降的，特别是在2008年 基本上在1.45与1.35之间进行波动，这也是受金融危机影响最深的一年。随着2008年底经济政策的调整， 又开始逐月上涨，一直延续到2011年，在央行稳健货币政策的影响下， 才开始下降。

图2：金融危机前后狭义和广义货币乘数的变动情况

数据来源：Wind咨询。

广义货币乘数 的变动趋势比较明显。随着金融危机爆发直到2008年末我国宏观经济政策的调整， 不断下降。在2008年底，随着经济政策的调整， 开始进入上升通道，并在2011年随着货币政策转向才开始下跌。 的变动趋势和 基本一致，只是波动幅度大于 。

（二）金融危机前后我国货币乘数与宏观经济周期的变动趋势分析

由于货币供应量的周期性变动能够引致宏观经济的波动，因此货币乘数的周期性变动也能产生类似影响。以下以CPI和固定资产投资作为宏观经济周期衡量指标，由此分析货币乘数与宏观经济周期的变动趋势。

图3：我国货币乘数与CPI的变动趋势分析

数据来源：Wind咨询。

1. 我国货币乘数与CPI的变动趋势分析。图3反映了广义货币乘数与物价的变动趋势，我们以CPI来代表物价。图中并不能反映货币乘数与物价周期性变动的一致性。但如果考虑货币政策的“滞后性”，两者的周期性变动还是趋于一致的。比如，货币乘数从2007年4月到2008年3月处于下降周期，而CPI在2008年1月到2009年1月处于下降周期，CPI的下降周期比货币乘数晚了将近一年。随着我国宏观经济政策的调整，货币乘数从2009年1月到2010年初处于上升通道，而CPI在2009年8月达到低谷以后，于2009年10月开始上升，该周期一直延续到2011年7月。这两个阶段均显示了货币政策的滞后性，滞后期间在8个月到1年不等。因此，图中结果并不代表我国物价变动与货币乘数周期不具有吻合性，而是因为货币乘数滞后性影响的结果。

图4：我国固定资产投资增长率与货币乘数的变动趋势分析

数据来源：Wind咨询。注：固定资产数据单位：%

2. 我国货币乘数与固定资产投资的变动趋势分析。图4为我国固定资产投资完成额的累积同比增速与货币乘数变动趋势图。图中显示，自2008年初以来，固定资产投资完成额累积同比增速与货币乘数的变动周期基本是一致的。比如，自2008年初到2009年6月，固定资产投资完成额累积同比增速和货币乘数均处于上升区间；自2009年8月到2011年8月，固定资产投资完成额累积同比增速处于下降通道，虽然伴随一个小幅的上涨区间，但基本上与货币乘数的变动趋势一致。

总之，在金融危机爆发前后，CPI指标和固定资产投资完成额累积同比增速指标均显示了我国宏观经济与货币乘数周期性变动的一致性。

三、金融危机前后我国货币乘数变动的结构性分析

（一）货币乘数变动对货币供应量的影响

货币供应量的基本决定方程为： 。我们对该方程进行全微分，可以得到：

在上述式子中， 为基础货币变化所引起的货币供应量变化，而 为货币乘数变化所引起的货币供应量变化。我们对上面的式子进行整理，得到：

即：

因此，货币供应量增长率可以分解为基础货币增长率与货币乘数增长率之和。给定货币乘数增长率，基础货币变动1个百分点会使货币供应量相应变动1个百分点。若给定基础货币增长率，货币乘数变动1个百分点也会使货币供应量相应变动1个百分点。

图5：狭义货币供应量增长率、基础货币增长率和货币乘数增长率之和的变动趋势

数据来源：Wind咨询。

图6：广义货币供应量增长率、基础货币增长率和货币乘数增长率之和的变动趋势

数据来源：Wind咨询。

图5反映了狭义货币供应量增长率、基础货币增长率和货币乘数增长率之和的变动趋势；图6反映了广义货币供应量增长率、基础货币增长率和货币乘数增长率之和的变动趋势。图中显示，基础货币增长率和货币乘数增长率之和基本上高于实际货币供应量增长率，说明在我国宏观经济中，货币政策并没有使足够多的货币供给流入实体经济，而是流入房地产和股票等虚拟经济，由此导致基础货币增长率和货币乘数增长率之和高于货币供应量增长率。对两幅图的变动趋势具体分析可知，自2008年底到2010年4月，基础货币增长率和货币乘数增长率之和与货币供应量增长率之间的差异要大于2007年1月到2008年底和2010年4月到2011年10月这两个区间，这主要是由于在金融危机影响下，虽然货币政策的调控力度比较大，但由于市场信心不足，公众更愿意持有现金，商业银行也愿意持有更多的流动性而产生“惜贷”，因此导致货币供应量增长率远远低于基础货币增长率和货币乘数增长率之和。但在2010年4月以后，随着实体经济逐渐恢复，公众市场信心也开始转变，这使得货币供应量增长率与基础货币增长率和货币乘数增长率之和的差距逐渐缩小。

（二）现金比率的变动对货币乘数的影响

现金比率是货币乘数的重要组成部分。根据西方经济理论，如果将现金作为微观主体所持有的资产组合的一部分，市场利率、人均可支配收入、证券投资收益率以及价格水平的变动均会影响微观主体所持有的现金占其资产总量之比。具体而言，市场利率、人均可支配收入、证券投资收益率以及价格水平的上升都会引起人们所持有的现金比率下降。根据货币乘数公式，可以得到：

这两个公式都是小于零的，由此可以看出现金比率与货币乘数的变动趋势是相反的。

图7：广义、狭义货币乘数与现金比率的变动趋势

数据来源：Wind咨询。

图7反映了货币乘数与现金比率的变动趋势。从图中可以看出，虽然现金比率变动趋势比较平稳，但如果仔细观察，会发现现金比率与货币乘数的变动趋势基本上符合反向趋势。现金比率分别在2008年1月、2009年1月和2011年2月达到最高值，这三点也分别是广义货币乘数和狭义货币乘数的最低点。从图中还可以看出，现金比率和狭义货币乘数的反向变动趋势并不是很明显，但与广义货币乘数的反向变动趋势比较明显，其下降和上升区间分别对应于广义货币乘数的上升和下降区间。

（三）定期存款和活期存款之比的变动对货币乘数的影响

定期存款和活期存款比率也是货币乘数的主要组成部分。与现金比率类似，影响该比率的主要因素包括定期存款利率、人均可支配收入、证券投资利率和价格水平等。一般而言，证券投资利率与该比率呈反方向变动；人均可支配收入的增加会使投资者更多地持有定期存款，因此该比率上升；定期存款利率的上升也会使该比率上升。根据货币乘数的基本公式，可以得到该比率对货币乘数的影响方式，即：

在这两个公式中，第一个是小于零的，第二个是大于零的。因此定期存款和活期存款之比与狭义货币乘数呈反方向变动，与广义货币乘数呈同方向变动。

图8：广义、狭义货币乘数与定期存款和活期存款比率的变动趋势

数据来源：Wind咨询。

图8反映了该比率与货币乘数的变动趋势。首先来看该比率和广义货币乘数的变动趋势，从理论上来讲，该比率与广义货币乘数的变动趋势是同方向的，但图中的数据并不支持这一结论，比如从2007年1月到2008年9月，以及2009年9月到2010年9月，该比率均是呈先下降后上升的“U”型状态，但是广义货币乘数从2007年1月到2008年9月呈不断下降的趋势，同时从2009年9月到2010年9月，广义货币乘数经历了两个阶段的“倒U”型状态，因此该比率与广义货币乘数的变动趋势并不符合“同方向”结论。其次来看该比率与狭义货币乘数的变动趋势，理论上认为该比率与狭义货币乘数的变动趋势是反方向的，图中数据不完全支持这一结论。比如从2007年10月到2008年9月，该比率和狭义货币乘数均不断上升，但从2009年9月到2010年初，该比率不断下降，而狭义货币乘数却不断上升。

（四）储蓄存款和活期存款之比的变动对货币乘数的影响

对于储蓄存款和活期存款之比而言，储蓄存款利率、证券投资收益率、人均可支配收入以及价格水平等因素也是影响其变动的主要因素。比如，储蓄存款利率和人均可支配收入的提高会使人们更多地持有储蓄存款，致使该比率上升；证券投资收益率的上升会使人们更多地持有证券，导致该比率下降。同时，传统的社会文化等因素也会对该比率造成影响。根据货币乘数公式，可以得到该比率对货币乘数的影响方式，即：

因此，该比率对狭义货币乘数的影响是反方向的，对广义货币乘数的影响是正方向的。

图9：广义、狭义货币乘数与储蓄存款和活期存款比率的变动趋势

数据来源：Wind咨询。

图9反映了该比率与货币乘数的变动趋势。首先来分析该比率与狭义货币乘数的变动趋势，从理论上来讲，该比率对狭义货币乘数的影响是反方向的，图中的数据并不完全支持这一结论，比如从2007年初到2007年10月，该比率从1.7886下降到1.4094，狭义货币乘数从1.8124下降到1.6824，两者均是呈下降趋势，但从2008年1月到2008年12月，该比率小幅上升，原因可能是在金融危机的影响下，投资者对经济前景信心不足，导致储蓄存款的增加。在这一段时期内，狭义货币乘数则从1.459下降到1.316，两者的变动趋势是相反的，所以图9并不完全支持两者反向变动的结论。其次分析该比率与广义货币乘数的变动趋势，理论上认为该比率与广义货币乘数的变动趋势是同方向的，图中的数据也不完全支持这一结论。比如从2007年初到2007年底，该比率不断下降，同时广义货币乘数也是不断下降的，从4.8135下降到3.9406。2009年1月到2009年9月广义货币乘数不断上升，从3.9603上升到4.5912，而这段时期的储蓄存款和定期存款比率却不断下降，从1.8782下降至1.4968。

四、结论及启示

第一，货币乘数变动趋势基本上与宏观经济周期相吻合。数据显示，货币乘数的变动趋势基本上与宏观经济运行周期相吻合，货币乘数的变动能够对宏观经济波动作出很好的解释。同时货币乘数一般先于CPI变动，因此也支持经济理论中“货币政策滞后性”这一结论。

第二，理论上来讲，对于货币乘数增长率与货币供应量增长率而言，货币供应量增长率应等于基础货币增长率和货币乘数增长率之和。但在我国，不管是狭义还是广义货币供应量，其增长率总小于基础货币增长率和货币乘数增长率之和。

第三，从货币乘数各个组成的变动趋势来看，现金比率与货币乘数的变动趋势基本上支持经济理论的结论，而储蓄存款与活期存款比率、定期存款与活期存款比率与货币乘数的变动趋势并不完全支持。

由此可得到如下几点启示：首先，改变我国粗放的经济增长方式。长期以来，受各种因素影响，我国货币政策的运用仍较粗放，大量货币没有流入实体经济。应在改变经济增长方式的同时，通过货币政策与产业政策和产业结构升级相配合，引导货币更多地流入实体部门，这样不仅可以防止货币流入资产市场所引起的资产价格泡沫，还可以提高货币政策的调控效率。其次，应该逐步改变侧重使用数量型货币政策工具，实现利率和汇率等价格变量的市场化，使用价格型货币政策工具来调控货币供应量，这样有利于货币政策由粗放型向集约型转变。再次，构建多层次金融市场，扩大投资品种的种类，逐步放开资产定价管制，使投资者可以自主选择投资渠道，引导资金的合理流动。

参考文献：

有理数的乘方篇9

关键词：乘法公式；理解；记忆；运用

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2012）11-0145-01

数学公式是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切地反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好地理解事物的本质和内涵。乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，它是一类具有特殊结构的多项式的乘法，是进行整式乘法运算及今后学习的重要工具。能正确运用乘法公式解决有关问题是学习乘法公式的基本要求，而要达到这个基本要求，就必须准确理解和记忆公式、熟练运用公式。下面谈谈学习、理解、记忆、运用乘法公式的一些方法。

1.准确理解乘法公式

1.1 理解平方差公式。两数和乘以这两数的差的公式，叫做平方差公式。用字母表示为：

（a+b）（a-b）= a2－b2。这个公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；而右边是二项式中两项的平方差，即相同的项的平方减去互为相反数的项的平方。它的是两边都有差的运算，关键要准确把握是谁减去谁的问题。

1.2 理解完全平方公式。两数和（或差）的平方公式，叫做完全平方公式。用字母表示为：（a±b）.2=a.2±2ab＋b.2。这个公式的左边是两数和（或差）的平方，右边是这两个数的平方和，再加上（或减去）这两数积的2倍。公式两边的符号是一致的，关键是要准确把握符号的问题。

1.3 理解公式中字母的含义。乘法公式中的字母a、b都可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。只有理解了字母含义的多样性，才能在更大的范围内正确运用公式。如计算（2x+y－3z）2，如果把2x+y看作公式中的a，3z看作b，那么就可用完全平方差公式（a－b）2=a.2－2ab+b.2来解了。

2.准确记忆乘法公式

准确记忆乘法公式，首先要弄清公式来源，因为弄清公式来源对于准确记忆公式非常重要。一方面，当忘记公式的时候就可以通过其来源做多项式乘法重新得到公式；另一方面，在推导公式的过程中可以了解到有些项被合并同类项了，因而对乘法公式是多项式乘法的特例有了更深刻的认识，从而达到准确记忆公式的目的。其次要重视公式里字母的表示和语言叙述。学习乘法公式，如果能从字母表示和语言叙述这两个方面对公式加以理解记忆，不仅容易记住公式，而且计算不会出错。计算中，有的同学常常顾此失彼，从而出现诸如（2x＋2y）（2x－2y）=2x.2－2y.2的错误，这就是在语言叙述时没有很好地理解"这两个数"的含义；在字母表示时没有将式中的2x和2y整体看作公式（a＋b）（a－b）＝a.2－b.2中的a和b。第三要防止各种因素的干扰，避免出现错误。随着学习的公式越来越多，同学们常因为受到各种因素的干扰和影响而出现这样那样的错误。如由于受到（ab）2= a2b2的干扰而出现（a±b）2=a2±b2的错误。为避免出现这样的错误，应特别记住各个公式在项数、系数、符号等方面的特点，从而准确地记住公式。

3.熟练运用乘法公式

有理数的乘方篇10

【关键词】乘法口诀　引导学生教学乘法算式　理解熟练

乘法口诀是我国数学教育的特色内容之一，又是最基础的数学知识。乘法口诀的熟练与否关系到学生对乘、除法计算的掌握。那么， 如何进行乘法口诀的教学，让学生熟练地掌握乘法口诀呢？下面我来谈谈自己的一些教学体会：

一、让学生经历编口诀的过程，体会口诀的意义

为了提高学生在学习数学的过程中掌握的知识程度，不能只单一的靠平时的老师在课堂上的教学，还需要学生在不断的实践中获得更多的知识，提炼数学知识，达到对数学知识的理解和掌握。乘法口诀的学习也不例外。让学生经历编乘法口诀的过程，应该从根本上更改以往的教学方法，把这部分的教学价值发挥到极致。表现在：不仅有利于学生理解和记忆口诀，发展推理能力和概括能力，而且能培养学生的探索精神和创新意识，增强学生学习数学的趣味性和自信心。乘法口诀的学习，教材是分两个单元来编排的，先学1-6的乘法口诀，再学7-9的乘法口诀。引导学生经历编口诀的过程，要处理好以下三个环节： 一是根据具体的数学内容写出乘法算式，二是根据乘法算式编出乘法口诀，三是用乘法口诀得出乘法算式的积。新教材在编乘法口诀时，首先是5的乘法口诀，教材以学生喜欢熟悉的福娃为例，我们都知道福娃名字是“北京欢迎你”，一套福娃是5个，两套是几个，也就是求2个5是多少，让学生先写加法算式5+5=10，再引导学生用乘法写算式，可以用2×5=10计算；根据2×5=10可以编成一句口诀“二五一十”。同时也要告诉学生, 这句口诀也可以写出5×2=10。依次类推，得出口诀“三五十五” “四五二十”“五五二十五”。让学生实实在在经历由加到乘的概括过程，从而理解每句口诀的意义。

学习1―6的乘法口诀，教师教学时要先教给学生编口诀的方法，即创设生动的现实生活情景，让学生发现数学问题，然后按乘法意义把几个相同的加数写成乘法算式，最后根据乘法算式编出相应的口诀。学生有了初步的经验后可以慢慢放手，慢慢加快学生自编口诀的本领。有了以上的经验，老师在7-9的乘法口诀的教学中，应该把教学重点放在乘法口诀的历史和含义，让学生能够发现乘法口诀的不同规律，加强学生的应用能力，而不是着重的让学生去死记硬背乘法口诀。深刻了解乘法口诀比死记硬背乘法口诀要有用得多，教师教学时要落实在两个层面上：一个是，理解每一句口诀的具体意思，它表示几个几相加的和是多少；另一个层面是，用心体会，感受口诀的用处，这样就能迅速的算出乘法公式的结果，这样的算法比求几个相同加数的和的算法要简单多了。

二、结合乘加、乘减，进一步理解乘法的意义，提高乘法口诀的记忆

我们可以拿课本中的一些例题去从中学一学，一些关于乘假乘减的题目，都是先乘除后加减。所有的教学材料里面的乘加，乘减都是为了能够让学生能够更深刻的理解乘法的含义，能够更深刻的记住乘法的口诀。在一般课本中出现的试题，大多数都是乘号在前面，加减号在后面，学生在做这些实体的时候，只需要直接写出最终答案就好，根本就不需要写出计算的步骤与过程。

设计出与课本上不同的乘加，乘减的试题，渗透记忆乘法口诀的方法。58页“做一做”第2题编排了几道乘加或乘减的试题。 如：4×3+4= 可先算4×3=12 ，然后12+4=16。同时引导学生想乘法的意义，4×3就是3个4相加，再加个4，就是4个4,4个4相加可用口诀“四四十六”直接写得数。这几道题不仅起到巩固“先算乘法”和练习口算的作用， 更渗透了相邻乘法口诀间的关系，有助于今后记忆乘法口诀。

三、运用多种形式帮助学生熟练掌握乘法口诀

为了能够更好地学习好乘法口诀，关键是要熟练的记住乘法口诀，一些小学生会对重复出现的教学知识产生厌恶的态度。根据儿童的心理特征，在教学中，我采用儿童喜闻乐见的游戏或竞赛形式熟记口诀。如“对口令”，看卡片很快说出得数，或用转盘游戏、夺红旗等游戏进行练习，逐步达到正确、熟练地要求。这样能使儿童在玩中学，在学中获得成功的喜悦，培养竞争的意识。

学生要是对乘法口诀达到熟练的程度是很有难度的，必须要利用各种不同的方法，从各个不同的角度，不断的练习，才能达到脱口就说的成绩。老师在教学乘法口诀时，都是按照原来的老方法一个一个的讲解，然后把它整理成乘法口诀表格，老师可以充分的利用这些表格，让学生能够顺着背，倒着背，从中间抽出来背，让学生能够熟练的记住乘法口诀，可以达到随便抽一句，就能立即说出结果的效果。

四、在解决生活实际问题中熟记乘法口诀