分类讨论的数学思想方法十篇

分类讨论的数学思想方法篇1

1. 结合物体、图形的分类教学进行渗透

在图形学习的章节里，分类思想是渗透得最明显的。如在四年级下册《三角形》的分类学习中，三角形即可按边分类，又可按角分类，就充分反映了分类标准不同，则会出现分类的结果不一样的状况。那么在教学时，就要问学生：你为什么要这么分？你比较了物体图形的哪些特征？分类的标准是什么？

2. 结合概念的学习进行渗透

有位老师在教四年级上册《垂直与平行》时，通过一些数学活动的安排，渗透了分类讨论的数学思想：先出示同一平面内的各种不同位置关系的几组直线，然后引导学生根据“相交与否”作为分类标准，得到两大类后，整理其中一类中各组直线的共同特征，从而引出平行线的概念；在垂线的概念获得活动中，又以“相交是否成直角”为标准，对另一类中各组直线进行分类，进而概括出垂线的概念。

3. 结合统计与概率教学进行渗透

如一年级上册《我们的校园》统计学生活动人数时，就需让学生明确，统计的前提是先对校园内同学们的活动类型进行分类，在此基础上才能统计人数。在二年级下册《统计》一节中，不管是统计同学们的体重还是马路上的车辆，都需先对相关数据或现象进进行合理的分类，再行讨论。

4. 结合《数学广角》教学进行渗透

四年级下册《数学广角》中“一共要种多少棵树？”的几道题，囊括了3种植树类型：两端都种、一端种一端不种、两端都不种。在教学中，教师可通过图例，帮助学生建立分类讨论的意识，依次分析出植树问题的3种类型，然后讨论出各类型的解题模式，最后综合得出解决此类问题的一套有效方法。

分类讨论的数学思想方法篇2

【关键词】高中数学；分类讨论思想；应用研究

分类讨论思想是当代教育学界中普遍应用的数学思想，这种教学思想主要是锻炼学生发散数学思维，达到“举一反三”的学习效果。如果将分类讨论思想渗透到学生的学习习惯中，就会提升学生的数学能力，有利于提高学生的逻辑思维能力。高中数学教学目标之一就是培养学生数学思维，尤其是将数学思维与实践应用能力相结合，促进学生学生学与用融会贯通，增强学生解决实际问题的能力。

一、分类讨论思想应用于高中数学教学中的意义

（一）有利于学生深入了解数学概念

何为分类讨论思想，简单的说就是把问题按照特点和意义进行分类，然后按照同一组特点进行问题解决的数学思想。这种数学思想能够梳理学生的学习思路，为学生指引思考方向，尤其是在讲解数学新课程中，教师可以利用分类讨论思想简化数学知识，利用以往学习过的数学内容引导学生探讨新课程知识[1]。这样学生们就会很快的掌握新知识的概念和含义，例如学习圆锥体体积时，教师可以将圆锥体体积问题与圆柱体体积进行联系，使学生们可以从观察中发散思维，借助圆柱体体积的求法探索圆锥体积的公式。

（二）有利于学生思考解题思路

高中数学教学中广泛应用分类讨论思想，有利于培养学生的良好学习习惯，促进学生思考解题思路，提高解}效率。我们知道，数学是一门严谨、逻辑性严密的学科，通常一道数学题如果发现了正确的解题思路，就会顺利的解答出结果，但是如果学生始终无法发现解题的切入口，或者认知形成错误，就容易面对死胡同，最后也无法得到正确结果。而分类讨论思想就是一种为学生提供解题思路的数学思想，所以所分类讨论思想在高中数学教学中占据重要的地位。

（三）满足学生未来成长需要

分类讨论思想的渗透是伴随着学生一生的学习工具，这对学生的未来成长也具有深远意义[2]。无论是大学阶段还是工作岗位上，学生们学会利用分类讨论法，可以从理性、逻辑性方面解决问题，能够为学生创造良好的未来。

二、分类讨论思想应用于高中数学教学的有效途径

（一）在数学教学课堂上的应用

数学课堂是教师渗透分类讨论思想最为重要的场合，高中生受教育多数是来自课堂教学。教师在引导学生重视分类讨论思想过程中需要注重引导方法，要让学生们以积极主动的心态接受这一教学方法，并充分认识到分类讨论思想的重要性。需要注意的是，分类讨论思想与一题多解并不一样，分类讨论思想是一种数学思想，其可以看作是解题思想，也可以看作是思考习惯[3]。例如，对于一道工程类题目，可以应用解方程法解决，也可以通过直接求解的方式解答，这只是分类讨论思想的一个方面；在数学学习过程中，学生们会遇到许多题目都是相似的，但是其考察学生的知识范围却不一样，此时就需要学生具备这种区分题目考察内容的分类讨论思想，比较突出的是有的“水池问题”题目可能是考察函数问题，也可能是考察立体几何问题，“运输成本问题”题目可能是考察均值不等式问题，也可能是考察函数问题。所以，在课堂上教师们要从多方面培养学生的分类讨论思想，拓展学生的思维宽度。所以在课堂教学中，教师要向大家阐明分类讨论思想的真正内涵，促进学生们真正掌握这一思想。在课堂上教师也可以将分类讨论思想教学法与其他教学方法结合起来，共同发挥作用，促进学生更快的掌握这种数学思想。。例如，教师可以将小组讨论方法与分类讨论思想教学法结合起来，在数学课堂上讲班级分为几个大组，然后通过每个小组自行讨论一类数学题提高学生的讨论热情，每个小组讨论结束后可以派出一名代表，到讲台上进行讲解，这样既能巩固自身的学习基础，又能促进其他同学的思想意识，使同学们在彼此交流和讨论中将分类讨论思想潜移默化。

（二）在数学课后训练上的应用

除课堂教学外，课后训练也是渗透分类讨论思想的重要途径，教师们通过联系生活实际，给学生出一些具有灵活解答方式的题目，要求学生做练习题时多运用分类讨论思想，看谁的解答方式更为新颖。这种激励性的渗透方法有利于发挥高中生的主体地位，大家在课下会相互沟通和讨论，或者每个人都能够主动的动脑思考，发掘新的解题思路，对照生活实际，将数学题按照特点进行区分，掌握数学题的基本考察要点，最后探索多种的解题方法。例如，教师为学生们出的一道题，三角形花园，其中一个角30°，与这个角相邻的两条边分别是20m，15m，求花园的面积。这是一道非常简单的求三角形问题，有的学生将其转化为三角形ABC，∠B=30°，AB=20，BC=15。有的学生则是将其转化成平行四边形，然后直接求解。无论学生们将其转化成什么图形，但是不可否认的是学生们对分类讨论思想已经有所认知，并应用在实践中，这是十分可贵的。

结 论

综上所述，在高中数学教学中应用分类讨论思想，对促进学生的解题能力极有帮助，这说明分类讨论思想的渗透和培养有利于学生的成长，对学生学习和生活都有巨大的意义。

参考文献：

[1]曹士勋.探讨分类讨论思想在高中数学教学中的应用[J].新校园（阅读），2016，08：108.

分类讨论的数学思想方法篇3

一、分类讨论思想的理论概述

高中数学学习过程，是将数学知识和数学思想融合的过程.高中学习到的数学思想，包含了函数思想、转化思想、数形结合思想、方程思想、公理化思想、分类讨论思想等等.根据不同的问题进行具体分析.分类讨论思想是一种重要的数学思想，也叫一种逻辑方法.进行分类的过程中，包括有现象分类和本质分类，根据现象分类是依据对象的外部特征来展开的，比如数的分类的等，根据本质分类是根据特征来进行的，比如函数的分类方法有多种，以及函数表现出的单调、有界、值域、定义域等问题.灵活应用分类思想进行数学学习，能有效促进学生思维能力的提升.

二、分类讨论思想的实际应用

分类讨论思想的应用步骤：① 分析讨论对象，明确讨论参数；

②将讨论对象合理分类，做到不重复也不遗漏，分层清晰统一；

③逐层分类，分步解决，分步归纳，并最终将各种情况进行总结.

分类讨论思想的应用方向：根据概念定义分类讨论；根据公式、定理的限制条件分类；根据运算和证明需要进行分类；由于参数变化引起的分类；图形的不确定性引起的分类；在实际情况中需要进行分类讨论等.

分类讨论思想的应用实例：

讨论方向1： 根据公式、定理引起的分类讨论：比如二次函数的定义、绝对值定义、曲线方程标准定义、对数底数定义、等比数列求和公式中的定义等等.与这些定义相关的一些问题，不同情况下应该具有不同的解题策略，从而引起了分类讨论.

实例1：假设有0

解：根据对数底数的定义，在a的值不同的情况下，本体中去掉绝对值的方法不同，从而将a分类讨论为01两部分.

由0

分类①：当0

=[loga（1-x）]-[-loga（1+x）]

=loga（1-x2）>0.

分类②：当a>1时，|loga（1-x）|-|loga（1+x）|

=

[-loga（1-x）]-[loga（1+x）]

=-loga（1-x2）>0.

总结得出|loga（1-x）|>|loga（1+x）|.

讨论方向2：根据实际情况进行分类讨论，比如排列组合中的实际情况和问题等.

实例2 四位同学参加一种竞赛，有两种类型的题目可以选择.A类题目选对得50，选错扣分50，B类题目选对得分40，选错扣分40，最后这四位同学的总得分是0分，请问这样的情况有多少种.

解：对于实际问题，根据题目的需要进行分类讨论，可以分为三类，都选A，2对2错则为C24种；都选B，2对2错则为

C24种；2个选A，1对1错，2个选B，1对1错，为C24C12C12；一共36种.

三、分类讨论思想的注意事项

分类讨论的数学思想方法篇4

关键词：分类讨论思想；初中数学解题中的应用；思考特点与运用方式；解题效果

分类讨论思想是一种重要的数学思想，更是一种重要的解题策略，它不仅体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，也揭示着数学对象之间的内在规律，有助于学生总结和归纳数学知识。更重要的是，在面对诸多数学问题时，科学有效、合理有序的分类讨论思想不仅有利于提高学生数学解题的能力，增加学生解题成功的概率，从而达到调动学生学习数学知识的热情与积极性的目的；也有利于提高学生的创新意识和实践能力，使学生真正认识到数学学科的无限魅力，从而在促进初中数学教学优化与升级的同时，高效推进教育改革的完美转型。

一、数学分类讨论思想的思想特点与运用方式

1.通过实际讨论，实现思想上的论证

例如，在八年级下册针对一元一次不等式的知识点考核衍生的数学问题：某公司为了扩大经营，决定购进5台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过22万元。

据上述例子总结，可以看出分类讨论思想对于实际问题进行讨论论证的特点是对学生思维谨慎性与比较性的实际锻炼。首先，学生在看到题目时，通过题目的问题提示，即“按该公司要求可以有几种购买方案？”学生可以立即在思想上判断出此题的讨论论证存在多种可能；接着，学生根据题目的要求，对问题进行假设，通过对一元一次不等式的求解，得出假设的可能性结果；最后，根据不等式的求解结果，有针对性地进行分类论证，最终得出符合公司要求的购买方案。在学生运用分类讨论思想解决该问题时，其思想上的分类结果不一定是对的，但是这个思考的步骤却是必要的。

2.通过知识点的性质，实现讨论式论证

这道题针对的是九年级下册第三章“圆”中的部分知识点。依据上面题目中的阐述，AB、CD是圆的两条弦，但是却并没有提到AB与CD在圆内的准确位置，学生在面对这道题时，首先要查觉到这个疑点，随后就自然而然地将思考方式趋向于分类讨论的方法运用上。学生的思考方向有了结果、应该采用的解题方式也有了定向，那么就可以依照上面两图中AB、CD的不同位置分别对AB与CD之间的距离进行求解。这种题目的分类讨论思想运用是有一定条件要求的，比如说AB与CD之所以存在不同位置的疑点，是因为AB、CD这两条线存在于一个圆中，而圆的性质恰巧与AB、CD的位置疑点相互联系，这就为分类讨论思想提供了适时运用的机会。

对于解不等式的问题，分类讨论思想出现在解题过程中的现象非常多，主要原因有两点：第一，不等式本身存在着不定性；第二，不等式中存在的变量较多。因此，学生在解答类似问题时，必须充分运用分类讨论的思路，不仅可以使解答过程更有目的性、更加顺畅，也可以使解题结果更加准确。如上题中，不等式中的变量为k-1，而x自身也是变量，也可以说是不等式变量中的不定变量，学生则主要根据k-1与0之间的关系进行分类讨论。当k-1=0时，变量则主要集中在k本身；当k-1>0或者k-1

数学分类讨论思想是配合初中数学知识点教学的思维方式之一，既是对学生有针对性地理解数学题目中的实际考核要点与难点的锻炼，也是促进学生成功解决数学难题较为有效而方便的思考线路。同时，要注意的是，数学思想是具有很强的灵活性与连接性的，运用分类讨论思想解决了一种类型的数学难题，若遇到类似的问题时，学生可以进行灵活的思想转换；若遇到新的问题时，学生则可以链接相同的数学思想对问题进行验证，查看是否符合解题要求的同时，也提升了对数学问题的思考能力与解决能力。总的来说，分类讨论想不仅仅是一种数学思维方式，更是一种对数学的认知能力，有效地掌握这种思想的特点与应用方法，对学生综合能力的提升与数学教学的优化都是具有十分重要的意义的。

参考文献：

[1]叶锋.初中数学解题教学中分类讨论思想的作用与教学策略[J].新课程：中学，2012（05）.

[2]丁守方.例谈分类讨论思想在解初中教学题中的应用[J].新课程学习：基础教育，2010（10）.

分类讨论的数学思想方法篇5

【关键词】初中数学 分类讨论 探讨

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）01-0133-02

分类讨论是初中数学中常用的数学思想方法之一。在新课改的大环境下，要想在初中数学教学中，使学生真正地掌握分类讨论的方法，教师要对这种方法的意义和重要性等方面有详细的认识和了解，并对其应用的策略与方法熟练掌握、不断探索创新。

一 初中数学教学中分类讨论的必要性

在新课改中，强调了对学生综合能力的培养，学生总体素质和能力的提高是教学的重点。对有关的数学问题进行分割，将其按种类进行划分，然后对其进行逐个的解答，这个过程称为分类讨论。做好分类讨论的教学工作，符合新课改的要求，有利于学生整体素质和能力的提高。在进行分类讨论时，最基本的要求就是做到尽量不要将知识点重复讲解，也不要遗漏重要的知识。在初中数学教学中运用分类讨论的办法，能够有效地提高学生的创新能力和探究能力，在这一点上与新课改的要求是一致的。分类讨论对于学生思维的培养有着积极的作用，能够提高学生思维逻辑的有序性和严谨性，使学生能够对遇到的问题进行全方位的仔细分析，对其进行更深一步的探究，同时还能使学生的思维更加连贯。虽然在初中数学中的分类讨论有很多的好处，但是其对于学生来说，具体学习和掌握起来有很大的难度。通过多年的教学工作和学生的学习效果来看，很多学生还是做不好分类讨论，表现为对分类讨论运用得不够，在进行分类讨论的过程中，对于问题的考虑不够全面，使得在考试中这方面问题的得分率不高。对导致这种现象的原因进行分析，主要是在实际的初中数学的教学中，教师对于分类讨论思想的强调和讲解不够，学生不能够熟练地运用分类讨论思想。

数学问题究其本质是一样的，只是在某些具体问题上存在着差异，在对这些数学问题进行分类时，导致需要进行分类讨论的原因主要有以下几种：

第一，数学中相关概念的不同，例如对于绝对值的定义，我们将其分为小于零、等于零和大于零这三个具体的情况；对于求含有字母的绝对值的问题时，也要进行分类讨论；此外还包括对实数进行分类等等。

第二，某些数学公式、定理以及性质等在进行变换时存在着特定的约束限制条件，这时候也需要进行分类讨论，如对一元二次方程根的解决。

第三，在几何知识中，在图形的位置之间的关系变化和图形大小的变化等问题上，需要进行分类讨论，例如圆和直线的关系的确定；圆和圆位置关系的确定；利用圆周角确定同弧的圆心角时，都要用到分类讨论。

第四，在式子中存在某个字母参数时，要对参数的取值范围和各种临界点进行分类讨论，例如一次函数中K值的不同引起函数图像的变化；不等式的性质等等。

二 初中数学中运用分类讨论思想的重要意义

当我们在对于一些数学问题进行求解时，问题对象的不同可能会对研究结果造成很大的不同，使得最后的结果不能满足实际情况，所以，在求解的过程中，对于具体问题要进行分类的讨论；另外，随着问题的研究，出现了多种情况，也需要我们对其进行分类讨论和研究。

在解决数学问题的时候，运用好分类讨论，能够将原本复杂的问题简化，能够更清楚地了解问题的本质，在某种特定环境下对问题进行分析，使问题变得简单。“分类讨论”简单来讲就是对于数学问题先进行分类，然后逐个进行讨论。在对教材和教学大纲的阅读时可以发现，在初中数学的教材中对分类讨论是由易到难来进行安排的，将“分类讨论思想”划分为两个部分。首先是“分类思想”，它在初中数学教材的编排中较为重视，对此方面的教学安排较多，目的是为了使学生建立起分类的好习惯，正确运用分类方法。其次是“讨论思想”，对于讨论方法的学习要求教师在教学中向学生逐渐渗透。

三 初中数学教学分类讨论思想的基本原则

在初中数学中的分类讨论要严格遵照一些基本原则去进行，本文将这些原则大体总结为以下几点：

1.标准一致性原则

在进行分类时要按照一致的标准进行，对于同一个问题在进行分类时按照不同的标准进行，这样会造成分类的混乱。例如，在实际的教学中，有的学生对三角形进行分类时，将其分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等腰三角形、不等边三角形。在分类时将按角分类和按边分类混用，造成了分类的混乱。锐角三角形中存在着等腰三角形，直角三角形同时也可能是等腰三角形；而等腰三角形中同时包含着锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。这种混乱的分法对于学生的学习和理解无形之中增加了困难。

2.无交集原则

在进行分类后，各个分类情况中包含的子项应该是彼此没有交集的，要做到互相排斥，不产生关联，要做到同一个子项只属于某一个大类。例如在运动会上，班级里有十个同学参加了田径和舞蹈两个比赛，其中七个人参加了舞蹈比赛，六个人参加了田径项目。假如将这十个人按照参加舞蹈和田径比赛来进行划分，这就违背了无交集原则，这是因为，在这十个人当中，一定有人参加舞蹈比赛又参加了田径比赛。

3.相称性原则

在进行分类时要做到相称，也就是说在分类之后，分成的各小项的总和在进行扩展和延伸时，要与未分类之前问题的拓展和延伸相对称，不能在分类之后，在进行问题延伸时与原问题出现差错。例如对于有理数的分类，有的学生将其分为负有理数和正有理数，这就违反相称性原则。分类后各项进行延伸后的和小于分类之前的，没有将零这种特殊的有理数考虑在内，因为零既不属于正数又不属于负数。

4.多层次性原则

对问题的分类包括一次分类和多次分类。“一次分类”指的是对于所讨论的问题或对象只进行一次分类；“多次分类”指的是在进行首次分类后，对于分类后的各个小项再次进行分类，一直到能够达到实际需要。在实际中，一些较为复杂的问题，常常会用到“二分法”，根据一些性质对其进行划分，将所讨论问题进行不断地延伸，直到在分类中出现矛盾。

四 初中数学中进行分类讨论的一般步骤

在初中数学中进行分类讨论是要遵循一定的步骤，其大体步骤如下：（1）对讨论问题和对象的取值范围以及其本身进行确定；（2）对于分类标准要进行正确、合理地选择，做到分类的合理；（3）按照所分类型逐个进行分析讨论，解决问题；（4）对于讨论的结果进行总结。

五 在初中数学的教学过程和解题中对分类讨论思想的具体应用

要想在初中数学的教学过程和解题中应用好分类讨论思想，首先要求教师在进行知识传授的同时，重视对分类讨论思想的渗透，从而帮助学生养成遇到问题分类讨论的好习惯。目前，初中生在数学的学习中对分类讨论运用的效果不好，其遇到问题进行分类讨论的意识还有待增强，不清楚该对哪些问题进行分类讨论，头脑较为混乱。另外，分类讨论思想不同于其他的数学知识，不是通过短时间的学习就能够学会的。这就对教师提出了更高的要求，教师要对教材进行更进一步的研究，在教学中结合有关知识渗透分类讨论思想，帮助学生建立分类讨论的习惯，对其本质进行更好地揭示，从而使学生能够更好地运用分类讨论思想解决有关问题。

下面根据本人在教学中分类讨论教学的实例，来讲解在初中数学的教学中如何具体地应用分类讨论方法。

例1，当m为何值时，函数y=（m+5）x2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。

解答：当（m+5）x2m-1为一次项时，要求2m-1=1；则m=1，函数为y=13x-3。当（m+5）x2m-1为常数项时，

2m-1=0；则m= ，函数为y=7x+ ；当m+5=0时；

m=-5，函数为y=7x-3。

点评：对（m+5）x2m-1进行讨论，考虑其是常数项或者一次项的情况，对这两种情况分别进行解答，求出满足条件的m的所有值。

例2，若|n-m|=m-n，且|n|=4，|m|=3，则（m+n）2为多少？

解答：由于|m|=3，|n|=4，所以m为3或者-3，n为4或者-4；又由于|n-m|=m-n，因此，m-n的值大于等于零，且m大于等于n；当m=3时，n的可能取值是-4，结果是1；当m=-3时，n的可能取值是-4，这时的结果为49。所以（m+n）2的所有可能的值是49或1。

点评：与绝对值相关的问题，在解答时要特别注意对其进行分类讨论。对其各种情况进行合理的分类，才能得到正确的完整结果，若不能进行分类，会造成最终结果的不全面，导致错误。

例3，某运动旗舰店卖篮球袜和护腕，篮球袜的定价为200元一组，护腕的定价为40元一套。卖家在进行促销时有两种具体的优惠方案，第一种是买篮球袜送一套护腕；第二种方案时篮球袜和护腕均按原价卖，顾客在同时购买时，可享受九折优惠，并且只能选择一种优惠方案。某个运动队教练要到该旗舰店购买20套篮球袜和20套以上的护腕，请为这个教练选择一种最经济的购买方案。

问题分析：由于题干中没有具体说明要买的护腕的数量，所以这种购买方案具有不确定性，是由购买的篮球袜的数量而决定的。

解答：假设教练要购买篮球袜x套，则根据方案一，所付款数为200×20+（x-20）×40=40x+3200（元）；根据方案二，所付款数为：（200×20+40x）×90%=36x+3600（元）；设两者的差为y，则y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元）。（1）当y

根据以上分析，当购买护腕数大于20套而不足100套时，选择方案一；当购买护腕数等于100套时，哪种购买方案都行；当购买护腕数大于100套时，选择方案二。

六 总结

以上就是对初中数学分类讨论思想的论述，分析了在初中数学教学中分类讨论思想的意义和重要性，并简单介绍了其应用的基本原则和步骤，最后根据本人在教学中的实际，列举了分类讨论的具体应用。由于本人能力有限，对这方面的研究还不够充分，还需要在今后的教学中进一步探索，让学生在解决数学问题时真正掌握分类讨论的思想方法。

参考文献

[1]邓凤文.如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想[J].中学教学参考，2013（26）：65～66

[2]徐桂彬.浅谈初中数学分类讨论教学[J].中学生数理化，2013（3）：130～132

[3]顾伟.浅议初中数学分类讨论思想的运用[J].中学数学，2012（14）：112～113

分类讨论的数学思想方法篇6

分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易，有中，也有难题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域。它一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养，分类讨论本质上是“化整为零，各个击破，积零为整”的解题策略。因此，掌握这一思想对于数学解题会有出其不意的效果。

二、引起分类讨论原因

1、涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义，P点分线段的比等）；

2、公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；

3、几何图形中点、线、面的相对位置不确定；

4、求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

5、数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果。

三、分类讨论的原则

1、分类标准统一，对象确定，层次分明；

2、所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分；

3、分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结果作以整合概述。

四、分类讨论的一般步骤

1、确定讨论对象和确定研究的全域；

2、进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果，分类时，应不重复，不遗漏；

3、逐类讨论；

4、归纳小结，整合得出结论。

五、规律方法总结

1、需要分类讨论的知识点大致有以下几点

绝对值的概念；根式的性质；一元二次方程的判别式符号与根的情况；二次函数二次项系数的正负与抛物线开口方向；反比例函数与正比例函数的比例系数k，一次函数y=kx+b （k≠0）的斜率k与图象位置及函数的单调性的关系；幂函数y=xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=a^x （a>0且a≠1）、对数函数y=logax （a>0，a≠1）中底数a的范围对单调性的影响；等比数列前n项和公式中公比q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类；不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系；运用点斜式，斜截式直线方程时斜率k是否存在；角的终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等 转贴于

2、分类讨论产生的时机

（1）涉及的数学概念是分类定义的；

（2）运算公式、法则、性质是分类给出的；

（3）参数的不同取值会导致不同的结果；

（4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的结果；

（5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质引发不同的结论；

（6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便于解决；

（7）实际问题的实际意义决定要分类讨论。

六、培养学生对“分类讨论”的兴趣

分类讨论思想在数学的学习中是较为常用的，但是很大一部分学生对此存在误解，认为分类讨论思想是非常枯燥和抽象的，在数学解题过程中，学生往往陷入只是一味的按照通常的方法做下去，而不知道对题目进行分类处理，只死记公式应用，不理解公式推导过程。因而在学习和运用分类讨论思想的时候会存在反感心理。其实，分类讨论思想培养学生的逻辑思维能力的功能。教师在教学中应当从分类讨论的本质出发，在数学教学中改革教学方法，选择有数学逻辑性强的特征的知识进行教学，从学生熟悉的数学内容开始，多方面结合，增强学生对分类讨论思想的认识，选择恰当的时机和环境开展教学，以此来增强学生对分类讨论的兴趣。

七、加强数行结合思想训练

当学生弄清楚了分类讨论思想以后，教师在数学基础知识教学和及解题指导中，应尽量体现分类讨论思想方法的运用，使其达到自觉、自由的熟练运用。

分类讨论的数学思想方法篇7

关键词：分类讨论；七年级数学；有效运用

在我们的生产活动、日常生活中，抑或是科学实验中，都能见到人们将分类讨论的思想运用于其中，其目的是使人们能通过此种方法更加便易地解决问题。所以，初中数学教师应该将分类讨论运用于教学中，注重指导学生学会运用。因此本文就在七年级数学教学中，如何使分类讨论运用于其中做出以下几方面的建议。

一、数学概念教学中植入分类讨论思想

数学教学的思想及方法作为初中的基础知识已被明确提出，学生能够通过独立思考与合作交流来领悟数学思想已成为如今新课程标准的要求，所以分类讨论的思想方法在数学教学中有其重要性与必要性。而将分类讨论运用于七年级数学教学中，不应只是给出概念数学的定义，数学教师还应该引导学生明白在教学过程中所涉及的分类讨论思想。就比如七年级数学中的实数、整式以及方程的分类等，都应该引导学生明白。由于小学数学的内容较为具体，而七年级数学内容相对于较为抽象，它的概念相对较多、基础性也相对于较强，从小学到初中，就有了一定的跨越，又因学生对直观具体的内容较为容易掌握，所以为了让学生更好地领悟数学知识，课程根据学生的年龄特点及知识水平逐步将分类教学运用于七年级数学教学中。

就比如需要运用分类讨论思想来解决学生在绝对值定义教学中遇到的问题，在此过程中，数学教师则需要根据学生的认知水平及认知规律来调动学生学习的主观能动性和学习的积极性。教师可以设计以下方案来解决其中的问题：第一步，让学生先读出下列各式再写出其结果5/2，-5/2，-1001，+1.7，-3，0。第二步，将学生分成各学习小组让学生通过共同交流与工作观察出上面各式的结果，并总结出特点。最后，学生得出各式正确答案并将这些数分为三类：正数、负数以及零，得出了结论“正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”。在此过程中，学生通过分类讨论思想能够对有理数和绝对值化简有一定的了解和分类，并通过这个方案不仅使分类讨论能够运用于数学教学中，还激发了学生的思维能力，调动了学生学习的积极性和主动性。

二、函数教学中植入分类讨论思想

为让学生更容易掌握解决问题的技巧及思路，让学生学会在数学教学中运用分类讨论的思想来解决问题是尤为必要的。所以，在数学教学过程中，教师应该让学生通过分类讨论的思想来分析解决各种难易程度不同的题目。如下题来说。

例1.已知函数y=ax2-ax+3x+1与x轴相交于一点，求出a的值，并写出其与x轴的交点坐标。学生通过分类讨论的思想可以分析出：题中并未提及是何种类型的函数，要根据a取值的不同来得出它是一次函数还是二次函数。所以讨论情况如下。

解：当a的值等于0时，函数为一次函数，y=3x+1，得出交点为（-13，0）；

当a的值不等于0时，函数为二次函数，y=ax2+（3-a）x+1，

b2-4ac=a2-10a+9=0，

解得a=1或a=9，得出交点为（-1，0）或（13，0）。

三、不等式教学中植入分类讨论思想

分类教学在不等式中的运用道理和其在函数中的运用道理一致，就拿下面这个例题来说。

例2.解不等式（k-1）x>k2-1

学生可以通过分类讨论的思想分析得出：如果将两边同时舍去一个k-1，对k-1的值不加区分的话，那么会得到x>k+1，这种结论明显是错误的。正确的讨论应该根据不等式的性质来分三种情况讨论并得出结论，解出不等式。k-1取值有不同情况，所以解答如下。

解：当k-1=0时，即k=1时，原不等式为0？而x>0，不等式

无解；

当k-1>0时，即k>1时，则x>k+1；

当k-1

当k>1时，x>k+1；

当k=1时，不等式无解；

当k

总的来说，数学教师在七年级教学中有效植入分类讨论思想是十分重要，也是十分有效的。通过多次的研究、思考与探索，更好地理解数学思想，同时也为学生八年级的数学学习打下良好的基础，取得良好的学习成绩。

参考文献：

分类讨论的数学思想方法篇8

关键词：分类讨论；初中数学；策略

数学思想不仅是一种可以应用于学习阶段的学习思路，更是一种人与自然数量关系、空间关系的意识总结，换言之，它是一种思维的结果。它能够帮助人们以系统化的眼光看待这个世界，通过相关知识的掌握和相关问题的证明来总结这个世界的数量关系。而在数学思想的范畴中，化归思想、数形结合思想、分类讨论思想比比皆是，而其中，分类讨论思想在中学阶段的运用范围最为广泛。从涵盖范围上而言，分类讨论思想不仅包括代数模块的解题，还包括了几何模块的思考，在解决一个具体的问题时，避免采取单一方式，而是将问题进行细化，从细节入手，重新思考问题，进而探究新的解题思路。

一、分类讨论思想在初中数学教学中的重要意义

从本质上而言，分类讨论思想其实是一种逻辑思维方向，它致力于将数学题目中的一些小问题各个击破，化整为零，进而实现集零为整。分类讨论思想作为一种重要的数学思想和解题策略运用于数学的各个模块中，它不仅体现了思路多元化的可能，还结识了数学对象的内容规律，有助于学生在面对数学题目时的多角度考量，从而在解题过程中总结和归纳数学知识。同时，在诸多数学问题中，科学合理的分类讨论不仅可以有效推进数学问题的解答，还能有效提高学生的数学解题能力，调动学生的数学学习热情和创新实践意识，使学生在数学学习过程中不断强化信心，在解题过程中获得数学知识的快意，最终认识到数学学科的魅力。在当下教育转型和教育理念更新的时代中，获得知识的强化和能力的升级，与无数师生共同推进教育改革的进程。

二、分类讨论思想在运用过程中须遵循的原则

1.坚持多层次性和互斥性

所谓互斥性原则指的是在分类讨论过程中的所有可能性之间都应该是不存在重复关系的，没有交集的，相互排斥的，各自独立的。而层次性则是指在实际解题过程中，应该遵循解题步骤和环节要求，按部就班，严格遵守知识的有序性和连续性，即使是分类之间也应该存在先后的环节步骤之分，如此逐层分类，可以有效提高分类讨论思想的科学性。

2.同一性和相称性

分类讨论思想的最初阶段应该是确定分类兑现，只要明确了分类对象之后才能进行具体的分类讨论分析，在实际的数学问题中并不需要对全部接替对象都进行分类，而要根据解题需要、步骤需要进行分类。在分类过程中严格把握分类的科学性和步骤性，避免分类层次两两之间出现交集和重复。

三、分类谈论在初中数学教学中应用的相关策略

1.在函数中的应用

在初中数学阶段，分类讨论最多出现在函数的教学当中，无论是一次函数、反比例函数还是二次函数，都需要教师引导学生进行相关问题的思考，在必要情况下进行分类讨论。如，在教学“函数及其图象”时，对“y=kx+b”这一等式的实际应用就涉及“k”是否为零的分类讨论，因此，在具体的题型练习中，教师要时刻提醒学生考虑到这一点。

2.在几何中的应用

在几何题型当中，分类讨论的思想主要用于几何图形的具体规律和性质的应用中，如，在教学“圆”这一章时，已知圆与直线的位置关系存在相切、相交和相离，因此，对于圆的表达式的有效性就存在着一个分类讨论的关键点。

3.在方程中的应用

对于初中数学而言，解方程的题型是家常便饭，而解方程的题型通常存在一些难度。如，在教学“二元一次方程组”时，就可能对方程的系数是否为零进行分类讨论，学生在具体解题过程中要关注到这一点，不可忽略任何一个可以进行分类讨论思考的地方，避免知识点的忽略和混淆。

在初中数学学习中，分类讨论思想是一种常用思路，它既是针对学生对于数学题目中考核知识点的训练，又是促进学生有效解答问题、领会题目内涵的重要思路，在长远影响上有利于学生思维灵活性和发散性的提高和强化。数学思想是一种潜藏于日常知识运用和问题解答过程中的思维工具，无论是较为容易的题目还是步骤困难的题目，只要能够灵活转换思维，运用好分类讨论思想，皆可以良好地解答相关的数学题目。

总而言之，分类讨论是一种数学能力，对于学生综合能力的提升和数学学习效果的优化具有重要意义。

参考文献：

分类讨论的数学思想方法篇9

关键词：高中数学；分类思想

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）11-0215-01

高中数学学习是中学学习中一个关键环节。重视并认真完成这个阶段的教学任务，有利于学生为中学的数学学习打下好的基础，培养良好的数学兴趣。对数学教学有着至关重要的作用，在高中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a

（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。许多教师在教学中进行了认真而有成效的探索和实践活动。我借助一些现有教学实践资料，进行了一些探究，现根据实践体会，谈谈自己的一些做法和措施。

1.注重引导，认清其要义

教师是高中教学过程的总指挥，其教学方式的有效性直接关系到学生对学习的有效掌握。所以，教师在课堂的教学过程中，要利用所备课的内容正确引导学生掌握教材中的内容并能合理的运用，有分析问题的实际能力，能够抓住数学问题的根本所在，再正确的解答问题的。比如在学习不等关系这一章节的教学时，教师可以先向学生提出问题："设m∈R，解关于x的不等式m2x2+2mx-3

2.加强实践运用

许多教师在实践中都深深地体会到学生只有在实践中才能有效的提高自身的数学解题能力，才能有效的锻炼和提升逻辑思维能力。教师在平常的教学课堂中进行分类讨论思想教学的时候，要多向学生提供讨论问题和解答问题的机会。比如：有些数学概念思想是要对其进行分类来确定其定义，所以利用分类讨论思想来体现出这些概念的应用，而另一些数学思想概念在给出定义的时候要考虑其对象的范围，但是会存在一些限制，而对于这种情况正确的应用分类讨论思想也是非常关键的。

3.解题中渗透分类讨论思想

数学教师平时在课堂的教学过程中要抓住合适教学时机，提问学生一些问题，让学生独立思考再对问题进行探究，把学生引导到数学题目中分类讨论思想的解题活动中，做到能够自然的分析问题和逐步地应用分类讨论思想来解答题目的能力。比如在解答三角形的学习过程中，教师可以抓住本章节中的一些应用实例，提问这样的问题"在三角形ABC中，如果∠B=30°，AB=23，AC=20，求三角形ABC的面积。"先让学生进行集体讨论，然后在教师的引导下，找出题目中的关键点AB>AC，则∠C>∠B，最后讨论C为锐角还是钝角的分类式的讨论。

4.创设情景提高学生的自觉应用能力

准确的运用分类讨论思想需要学生有过硬的学习能力，这就需要教师在课堂上不断加强学生的学习意识，还要学生在课外有意的做些相关的题目，不断的在解题中应用这一数学思想方法，不断的强化，并要克服学生在解题时的盲目性和随意性，要做到分类讨论思想的适应应用，从而提高学生的综合运用能力。

5.不断强化，形成习惯

有了前面的学习，学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识。学生在学习中教师应当乘胜追击，以使学生能在不断的强化过程中形成良好的习惯。

例如：教师给出例1：解不等式ax20且a≠1），有了前面的铺垫，多数学生已经能从容地分a>1，a0且a≠1）的单调区间."一回生两回熟，三次见面就是老朋友."在对数函数的学习中，教师不妨给出同样的两道例题，例1：解不等式loga（2x-1）0且a≠1）与例2：求函数loga（2x-1）（a>0且a≠1）的单调区间，目的就是使学生在不断的强化中，自然而然地将分类讨论的数学思想在脑海中根深蒂固。

分类讨论的数学思想方法篇10

一、函数与方程

通过对函数概念本质的认识，把实际的问题构建成相应的函数模式，再利用函数来解决问题，让问题变得简单.这就是函数思想.利用数学上变量之间的等量关系，将其转化成方程来解决问题，把问题变得更简单的思想就是方程思想.它的实质就是在变量之中找到等量关系，让等量处于运动之中.在运用函数和方程思想解题时一般有几种类型：以函数分析数列，以函数分析变量，以函数分析不等式、最值、方程问题等.

二、等价变换和归化

等价变换和归化是高考中常考的知识点.学生研究数学的过程就是等价变换和归化的过程，包括学生在解决数学问题时也是进行等价变换和归化的过程.等价变换和归化不只是数学能力，也是数学思想.而运用这个思想去解决问题一般有两种情况：一是把复杂的问题简单化、把抽象的数学问题转换成直观、简单、具体的问题；二是把陌生的问题熟悉化.有些学生在做题时发现，老师讲过的题明明已经听懂了，但是遇到类似的问题却解答不出来.这是因为学生没有把陌生的问题熟悉化.一般比较常用的归化方式有语义转化、正反转化、一般转化、特殊转化、换元法等.

三、分类讨论

分类讨论的思想简单来说，就是学生在做题时对问题的情况分别进行讨论.那种含有情况种类过多，不能统一进行讨论的题，就可以以某一个标准进行分类，然后在每个分类中得出结论，对这些结论进行分析，最后得出这道题该有的答案.分类讨论的思想一定要遵循某一种原则.比如，分类时一定要全面，不能有任何遗漏；分类出的集合要互相排斥；分类的标准要统一；等等.分类讨论思想运用在数学解题过程中有一个步骤，一般是首先确定分类讨论对象的范围，然后确定分类的标准，再对每一个分类进行讨论，并把所有的讨论结果进行归纳和总结，最后得出结论.

在数学解题过程中，学生经常会用到分类讨论思想.参数：由参数引发的分类讨论一般分为含参变量函数的形式和整数的奇偶性等性质，在进行研究时需要分类讨论.图形：因为图形的不确定性而引发的分类讨论，如二次函数二次项系数的符号关系和图形的开口方向，角终边的象限、三角函数符号和曲线方程中的参数等.公式、性质、定理：一般由公式、性质和定理引发的分类讨论的情况，如正反比例函数中比例系数的单调性，等比数列求和，一元二次方程根的个数和判别式等.运算：由数学运算引发的分类讨论，大多是三角函数定义和偶次方根非负等情况.在进行分类讨论时，学生要注意：首先要分出层次，不能越级；其次分类的对象要确定，统一标准；最后不能遗漏，更不能重复.

四、数形结合

将高中数学课程按照基础知识分类的话，大概是三类，一是解析几何里面数形结合；二是立体几何和平面几何纯粹知识；三是代数、方程、实数等数知识.学生在做题时经常会用到数形结合的方式，其实数形结合就是在解答问题时找到数学问题的结论和条件之间一定的联系，形与数都是数学研究的范畴之内，关系上对立统一.也就是说，如果把握住形与数之间的关系，就能通过数来研究形，相反也能通过形直观地表达出数.这样，就是把复杂的形状用具体的数进行表示，把抽象的数字以直观的图形进行反映，将两者巧妙结合在一起，进而让学生找到解题思路，让题目的解决简单化.

五、排除法

如文字的表面意义，排除法就是把每一个选项放入到题设之后，进行验证，大多适用于选择题，想尽办法把错误的选项去掉，剩下的就是正确答案.采用这种方法的原因主要是学生对大多数问题的把握还不是特别熟练，如果直接计算出结果可能有点困难，但是排出错误的答案相对比较简单，从而提高解题效率.

六、特例法