微积分范文10篇
时间：2023-03-13 14:47:20
微积分范文篇1
关键词：教学成效;微分学;积分学;案例教学
高职院校以培养高素质技术型人才为主要方向的高等教育目的，其在课程设置需要依照高等职业院校学生的特点和专业需要。高等数学的教学展开情况直接影响了技术型人才的技能素养和终身发展的需求。
一、发展简史
微积分的发展体现着人类认识是感性认识到理性认识的过程。早期萌芽时期始于公元前七世纪上半页，表现为对图形的长度，面积和体积的研究，比如穷竭法，割圆术等都体现了微积分思维的雏形。发展成型于十七世纪，此时科学的理论研究着力于速率、极值、切线等问题，特别是描述运动与变化的无限小算法等，后来，牛顿和莱布尼茨各自独立地提出微积分系统的理论，使得微积分成为一门数学学科。自此以后，连续性、导数、无穷小以及函数收敛等得到一系列数学家的继续深化研究和改善，微积分建立在牢固的理论基础上。初等数学无法解决的问题随着微积分理论迎刃而解，显示出微积分学的非凡魅力。
二、教学案例的设计
微积分的发展史也体现了人类在数学方面的认知发展过程，微积分的教学成为高职教育中非常重要的一环。在微积分的讲解过程当中，着力于高职教育的教育目的以及高职类学生的基础特色，着重从实际案例引入微积分的教学。(一)极限思维培养。在微积分的讲解过程当中，极限思维的培养是非常重要的。具有极限的思维能很好地理解函数的连续、可导，积分等微概念。案例：在课堂探讨无限循环小数0.9与1的大小关系。证明方式：x=0.9令，10x=9.9则有，联立方程组求解有：10x=9.9x=0.9，解得x=1。在进一步基础上，引入初等数学问题讨论“任意的无限循环小数都可化成分数”的实现。另外可以适当根据学生的基础情况，通过圆周率的确定，扇形面积公式等来进一步讲解极限思维的应用场景，实现与初等数学的衔接和极限思想的进一步培养。(二)函数以及函数的连续性。函数体现的是实数变量之间的对应关系，可引入速度、时间和路程这些量之间的关系，系统解释一元连续函数，如图1。在连续函数的基础上，可以进一步作离散的函数图2，以作连续和离散函数的对比。图1图2(三)函数的可导。在函数连续的基础上，导数定量研究函数的连续性，在实际讲解过程中继续对图1所示函数进行分析：以y表示直线运动的路程，x表示运行时间，其中y=2xx-6x-80≤x≤10。按照图3所示，逐点x0<x<10考虑dydx或者∆y∆x∆x→0，则得到瞬时速度函数y'=dydx=2x-6x-8+2xx-6+2x-80<x<10，则y'对应物体运动瞬时速度函数，比如在路程y函数上点x0,y0处有对应瞬时速度函数y'上有点x0,y0'，代表x0在时刻，有速度值y0'。另外根据需要和学生情况，在端点处x=0和x=10处探讨单侧可导性。图3图4通过此案例的介绍，其实导数衡量的变量的改变趋势，包括改变的方向以及改变的快慢，是一种定量研究函数连续性的方法。(四)函数的可微。微分主要衡量自变量的改变对应引起的因变量的改变大小，本质上是导数的变形。在此图中，s∆=y0'∆x-∆y，∆y为图3中对应的因变量的改变量，在极限状态∆x→0下s∆为零，故有∆y→y0‘∆x∆x→0，亦可记为dy=y0‘dx。此种推导过程推广到整个区间，则有任意点x0<x<10处都有dy=y’dx。从实际案例理解起来，就是微小时间的dx内，路程改变量dy=y’dx，即等于瞬时速度乘以时间。图5(五)不定积分。从数学的角度来说，不定积分属于微积分领域积分学的范畴，其实属于导数的逆运算。在从微分学跨越到积分学的过程当中，从离散状态的求和符号xi讲起，然后强调积分符号fxdx本质上是一种连续状态下的求和，把连续的微小量fxdx累加起来。通过不定积分的y'dx求解，可以得到——系列的路程——时间函数,这些函数的图象保持如图6所示的特点。路程——时间函数呈现图6的特点，得到多条趋势一致的曲线（即路程——时间函数不唯一），这是由于速度只是决定了路程的变化趋势，但是物体运动的初始位置没有限定，故由速度反向确定路程——时间，得到的结果不唯一。(六)定积分及其不定积分的关系。定积分问题本质上属于微分的逆运算，也是连续状态下的求和问题。如果以时间、速度和路程三者的关系为例子图6和图7充分反映了定积分以及不定积分的关系。y2-y1=s1-s2+s3=x1x2y'dx，其本质反映了在时间段x1,x2上按照速度y'运动的物体路程的累计改变量，其结果跟图6中所示的路程——时间函数具体选取哪个函数没有关系。在具体的教学过程当中，通过路程、时间和速度三者的之间的关系讲解，最后延伸到身边的数学当中去，比如可以借助经济增长模型、传染病控制相关知识、法医鉴定人体死亡时间等相关知识来探讨微积分相关知识。
通过案例的引入，加深学生对微积分的理解，最后再从具体的案例当中抽象出来，从数学层面纯粹探讨微积分并进行讲解。本文通过时间、路程和速度三者的关系进行实例剖析，通过实例介绍，介绍微积分从连续、可导、可微、定积分和不定积分这些概念的内在联系，为微积分的案例教学提供一定的参考。案例讲解过程中忽略理论推导而注重直观感受，比较符合高职教育的实际情况和需要。
【参考文献】
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[5]肖敏.试析高职院校微积分教学改革中的创新[J].电大理工,2017(12).
微积分范文篇2
关键词：微积分；数学建模
当今部分独立院校致力于培养学生为应用型人才，使学生通过本科阶段的学习培养，具有一定的综合能力与知识素养，能够在管理、生产服务建设等方面具有持续发展能力的应用型人才。对于独立院校经管类学生来说，微积分是一门重要的基础类课程，与后续的经济学、概率统计、专业课程的学习是紧密相关的。因此需要学好微积分来为其他学科的学习打下扎实的基础。微积分具有较强理论性，逻辑严谨，内容抽象等特征，对于独立经管院校的学生来说，学习起来会有些吃力，晦涩难懂，往往存在生搬硬套，只会套用公式做题，知其然而不知其所以然。对于独立院校，需要教师在教学过程中，加强学生对知识点的深入理解，尽量做到学以致用，从而有利于学生的后续发展，为实现将学生培养为应用型人才而打好坚实的基础。数学建模是通过对实际问题的观察分析、在一定的设定条件下，对问题进行抽象简化，通过设定变量与参数，利用数学符号语言表达变量间的关系，然后需要运用数学或者统计等相关软件对数学模型进行近似求解，最后通过求解的结果来解释、验证或者预测某些现象与问题。下面对数学建模思想在微积分教学中的作用进行探讨。
一、数学建模思想在微积分教学中的作用
数学建模能够较好的培养学生对知识的应用理解能力，同时提升学生的创造能力。因此，将数学建模思想融入微积分课程课程的教学中，是一件非常有意义的事，下面来具体进行介绍：（一）增强学生的学习兴趣独立院校经管专业的学生，一般数学基础相对薄弱，在授课过程中如果全程贯穿抽象的理论与计算，学生更会觉得学习枯燥乏味，从而对微积分的学习提不起兴趣。数学一般具有衔接性非常强的特点，而微积分的学习通常需要两个学期，学生如果中间有几节课落下，就会对后续的学习产生较大的影响，甚至影响整门课程学习效果。所以，在教学过程中，融入一些生活中的实际例子，然后利用微积分方法进行恰当的解决，会使学生觉得微积分没有那么晦涩难懂，抽象乏味，进而提高学习的兴趣。（二）加深对知识的理解与提高对知识的应用能力在授课过程中，通过融入适当的应用模型，可以帮助学生对知识点的深入理解。比如，在学习两个重要极限的知识之后，利用极限来计算复利，然后让学生在课下查资料，分成小组讨论，对房贷中的等额本息与等额本金两种贷款方式的进行理解计算，课上教师再加以进一步的讲解，这样可以加深学生对极限的理解与应用。在学习微分时，可以让学生对经济学中的一些问题进行近似计算，在这个过程中，既使得学生理解了微分的意义，又促进了学生对为微分的应用能力的提升。
二、建模思想融入微积分教学的途径
（一）教学手段的多样化。在教学方面，除了传统的板书加粉笔模式，可以适当使用多媒体教学，在讲授某些知识点时，多媒体可以给出更直观的表达，比如学习函数在某一点处极限的定义，可以给出自变量与因变量趋于无穷小的动态演示，来更好地理解这个定义。在学习导数的定义时，可以演示出用割线斜率逼近切线斜率的过程、用平均速度来逼近瞬时速度，可以更好地理解这样一个极限过程的导数定义；在学习一元多元函数定积分时，可以通过多媒体演示出将曲边梯形面积与曲顶柱体体积的分割、近似代替、作和、求极限的过程，这样可以将定积分定义给予深刻的理解，将来使用定积分的几何意义去求面积或者体积，也更容易一些。除了多媒体的使用，在每个新知识学习之前，可以让学生先去查阅相关资料去了解这段知识的背景，了解促使这个知识产生的原因，这个知识点提出的主要思想，然后课上老师加以介绍讲解，加深学生对该知识的认识；学习以人名命名的公式定理，可以去了解相关数学家的历史故事，成长经历，所作出的杰出贡献，从而增加对所学知识的兴趣，来提升对数学的热爱。（二）教学中多与实际应用相结合。对于经管类专业的学生，可以在讲解微积分课程中，大量引入经济学中的案例，来加深微积分知识的理解，同时促进学生经济学的学习。比如利用极限来对存款与贷款中复利的计算，可以调动学习的学习热情；在学习一元函数、多元函数的条件与无条件极值时，可以利用所学知识解决经济学中对最大利润，最小成本的计算；在学习导数相关内容的时候，关于商品的边际分析与弹性分析的计算。这些经济学中的知识与微积分紧密相关，通过互相的融入渗透，既可以加深对微积分相关知识的学习，又促进了经济学理论概念的掌握。在将经济学中的案例融入微积分的教学过程中，需要教师对交叉学课的知识熟练掌握，对经济学课程做到心中有数。在授课过程中对需要引入的案例模型能够信手拈来，顺理成章，这样使学生觉得微积分课程不是枯燥乏味的，具有广泛的应用，数学课程来源于实际，应用于实际，不只是抽象难懂的概念定理，数字符号，从而来增强学生的学习兴趣。（三）增设数学实验课。在微积分的学习过程中，有些复杂的计算、学生无法给出具体的计算结果，而软件可以协助这样的工作，因此开设数学实验课也是一个实现数学建模应用的途径。可以暂时开设数学实验的选修课，这样既可以解决实验设备不足问题，又让部分同学对所学知识通过另外一种方式加以应用，可以提升学生的学习成就感。（四）开设数学建模工作室建立通过数学建模工作室，培养学生将数学思维日常化，利用数学来解决生活中的各种问题。通过定期开展数学建模活动，组织学生通过查找资料，讨论形式等方式，促进学生分析问题，理解问题能力的提升，发挥数学应有的价值。引导学生在学习和生活中，使用数学思考的习惯，从而有利于学生创新思维的培养。
三、结束语
数学建模是数学知识应用能力的重要体现，在独立院校经管专业的教学过程中，慢慢形成这种对知识灵活应用的教学方式，在加深对知识点的理解与应用的同时，能够很好的提升学生的学习兴趣，从而能够促进学生对微积分的学习，因此将其融入微积分教学中是一项非常有意义的工作。
【参考文献】
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微积分范文篇3
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx→0
ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
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微积分范文篇4
关键词:牛顿;莱布尼兹;微积分;哲学思想
今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。”[1](p.244)本文试从牛顿、莱布尼兹创立“被看作人类精神的最高胜利”的微积分的时代背景及哲学思想对其展开剖析。
一、牛顿所处的时代背景及其哲学思想
“牛顿(IsaacNewton,1642-1727)1642年生于英格兰。⋯⋯,1661年,入英国剑桥大学,1665年,伦敦流行鼠疫,牛顿回到乡间,终日思考各种问题,运用他的智慧和数年来获得的知识,发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析。”[2](p.155)
1665年5月20日,牛顿的手稿中开始有“流数术”的记载。《流数的介绍》和《用运动解决问题》等论文中介绍了流数(微分)和积分,以及解流数方程的方法与积分表。1669年,牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子,在这里,牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的。所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到(更精确地说,和的极限能够由反微分得到),这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理。这里“,牛顿使用的是无穷小方法,把变量的无限小增量叫做“瞬”,瞬是无穷小量,是不可分量,或是微元,牛顿通过舍弃“瞬”求得变化率。”[3](p.199)1671年牛顿将他关于微积分研究的成果整理成《流数法和无穷级数》(1736),在这里,他认为变量是连续运动产生的,他把变量叫做流,变量的变化率叫做流数。牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:已知两个流之间的关系,求它们流数之间的关系,以及它的逆问题。《流数法和无穷级数》是一部较完整的微积分著作。书的后半部分通过20个问题广泛地介绍了流数法各无穷级数的应用。1676年,牛顿写出了《求曲边形的面积》(1704),在这里,牛顿的微积分思想发生了重大变化,他放弃了微元或无穷小量,而采用了最初比和最后比的方法。
1687年牛顿发表了它的划时代的科学名著《自然哲学的数学原理》,流数术(即微积分)是其三大发现之一。正如爱因斯坦所说的:“牛顿啊⋯⋯你所发现的道路在你的那个时代是一位具有最高思维能力和创造能力的人所发现的唯一道路,你所创造的概念即使在今天仍然指导着我们的物理学思想”。[4](p.192)
牛顿生活的时代正是英国发生变化的时代,当时英国发生了国内战争,资产阶级和贵族的阶级妥协,使英国资产阶级革命明显的带上了不彻底性。当时的英国资产阶级正在为现存的剥削阶级的一切上层建筑做永恒存在的论证,因此绝对化的思想成为占统治地位的主导思想,它也影响到当时的自然科学家们把形而上学的思想方法绝对化。牛顿的思想也受到了英国资产阶级革命不彻底性的影响,因而牛顿也往往不能从自然界本身或事物的本身来寻找最初的原因,而借助于外来的推动力。
牛顿在30岁以前发现了微积分,并建立了经典力学体系,而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成。这是由于在资本主义产生和形成的时期,资产阶级曾经向宗教神学发起冲击,帮助科学从神学中解放出来。但是当资产阶级的地位巩固以后,阶级斗争逐渐激化之时,资产阶级就逐渐衰退,他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器。牛顿受其影响很大,其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向,使他获得了巨大成就,而后半生则完全沉迷于神学的研究。
牛顿继承了培根的经验主义传统,特别重视实验和归纳推理的作用,他曾断言,自然科学只能从经验事实出发解释世界。这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的。但是“,牛顿却拘泥于经验事实,片面强调归纳的重要性。只有大量的感性材料,一切停留在事物的现象上,单独依靠归纳的方法是得不出系统的普遍性的理性认识来的。在分析和综合、演绎和归纳的问题上,形而上学使牛顿陷入了矛盾。”[5](p.123)
二、莱布尼兹所处的时代背景及其哲学思想
“莱布尼兹(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)生于德国。⋯⋯,1672年赴巴黎,在那里接触到惠更斯等一些数学名流,引其进入了数学领域,开始微积分的创造性工作。”[2](p.165)
1684年莱布尼茨发表了数学史上第一篇正式的微积分文献《一种求极限值和切线的新方法》。这篇文献是他自1673年以来的微积分研究的概括与成果,其中定义了微分,广泛地采用了微分符号dx、dy,还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。同时包括了微分法在求切线、极大、极小值及拐点方面的应用。两年后,又发表了一篇积分学论文《深奥的几何与不
变量及其无限的分析》,其中首次使用积分符号“∫”,初步论述了积分(或求积)问题与微分求切线问题的互逆问题。即今天大家熟知的牛顿-莱布尼茨公式∫baf(x)dx=f(b)-f(a),为我们勾画了微积分学的基本雏形和发展蓝图。
“牛顿建立微积分是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑,所创设的微积分符号远远优于牛顿符号,并有效地促进了微积分学的发展。”[6](p.120)牛顿发现微积分(1665-1666年)比莱布尼茨至少早了9年,然而莱布尼茨公开发表它的微积分文章比牛顿早3年。据莱布尼茨本人提供的证据说明他是在1674年形成了微分的思想与方法。如果说,牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则是从哲学的和几何学的角度去考虑,特别是和巴罗的“微分三角形”有密切关系,莱布尼兹称它为“特征三角形”。巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发,对微分三角形的研究,使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题。莱布尼兹第一个表达出微分和积分之间的互逆关系。
莱布尼兹的许多研究成果和思想的发展,都包含在从1673年起写的但从未发表过的成百页的笔记中。1673年左右,他看到求曲线的切线的正问题和反问题的重要性,他完全相信反方法等价于通过求和来求面积和体积。1684年,莱布尼兹发表第一篇微分学论文《一种求极大、极小和切线的新方法,它也适用于分式或无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》,对他以往的研究作了初步整理,叙述了微分学的基本原理,认为函数的无限小增量是自变量无限小变
化的结果,且把这个函数的增量叫做微分,用字母d表示。1675-1676年间,他从求曲边形面积出发得到积分的概念,给出微积分基本定理∫baf(x)dx=f(b)-f(a)。1686年莱布尼兹发表积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》。1693年,他给出了上述定理的一个证明。以上这些都发表在《教师学报》上。将微分和积分统一起来,是微积分理论得以建立的一个重要标志。莱布尼兹出生在德国路德派诸侯与天主教诸侯之间的对立而引起的“三十年战争”结束前。为了改变宗教纷争的局面,莱布尼兹立志要发现一种新的天主教和路德教都能适合的关于实体的学说,以成为两派教会得以联合的哲学基础。虽然莱布尼兹的意图是不可能实现的,但他后来却因此提出了一种与笛卡尔不同的实体学说———单子论。
“单子论是莱布尼兹哲学的核心内容。莱布尼兹认为一切事物都由单子这种精神的实体构成的,这种‘单子’既非物质的而又具有一定的质,它是精神性的,莱布尼兹就把它比之于灵魂。只有精神的单子才是真实的存在的实体,从单子是不可分的,即没有部分的“单纯”实体这一点出发,莱布尼兹就推论出它的一系列特征:单子没有部分,它就不能以自然的方式通过各部分的组合而产生,或通过各部分的分解而消灭,因此它的生灭只能出于上帝的突然创造或毁灭;单子没有部分,就不能设想有什么东西可以进入其内部来造成变化,这样,单子就成了各自独立或彻底孤立的东西,各单子之间不能有任何真正的相互作用或影响。单子之间没有量的差异,而只有质的不同。”[7](p.85)
总之,莱布尼兹的基本观点是唯心主义的,也是形而上学的。他把宇宙的秩序都归因于上帝的预先决定。他肯定许多必然真理并非来自经验,他认为不但认识的对象都是由精神性的“单子”所构成。而且认识的主体也只能作为精神实体的心灵这种“单子”。他把一切发展变化都归因于上帝的“前定”,实际也就否定了真正的发展,这是他的观点的消极的一面。但另一方面,莱布尼兹的哲学也有积极方面,它的哲学中含有丰富的辩证法思想,他肯定实体本身就具有力,因而是能动的,实质上肯定了物质与运动不可分的思想,他试图解决“不可分的点”和“连续性”的矛盾问题,接触到了个别与全体、间断性与连续性的对立统一问题,对促进理性和经验的辩证结合做出了一定的贡献。
三、牛顿、莱布尼兹创立微积分之比较
牛顿和莱布尼兹用各自不同的方法,创立了微积分学。如果说牛顿接近最后的结论要比莱布尼兹早一些,那么莱布尼兹发表自己的结论要早于牛顿。虽然牛顿的微积分应用远远超过莱布尼兹的工作,刺激并决定了几乎整个十八世纪分析的方向,但是莱布尼兹成功地建立起更加方便的符号体系和计算方法。两位微积分的奠基人,一位具有英国式的处事谨慎,治学严谨的风度,一位具有德国人的哲理思辨心态,热情大胆。由于阴阳差错的时代背景,过分追求严谨的牛顿迟迟未将自己的发现发表,让莱布尼茨抢了一个发表的头筹。
牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同。牛顿坚持唯物论的经验论,特别重视实验和归纳推理。他在研究经典力学规律和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的,因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法。“牛顿的研究采用了最初比和最后比的方法。他认为流数是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬间的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬间的比值。”[4](p.180)这个解释太模糊了,算不上精确的数学概念,只不过是一种直观的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中的每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。这样他就给出了极限的观点。
莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”,他从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值;求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和。莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的。莱布尼兹用无穷小的思想给出了微积分的基本定理,并发展成为高阶微分。莱布尼兹的无穷小是分阶的,这源于他哲学中的单子论思想。“莱布尼兹在单子论中指出:不同的单子其知觉
的清晰程度是不一样的,并从一种知觉向另一种知觉过渡和变化,发展就是由单子构成的事物,由低级向高级的不同等级的序列。”[6](p.91)可以说,莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的。莱布尼兹在微积分的研究过程中,连续性原则成为其工作的基石,而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想。
牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点有:从不同的角度创立了一门新的数学学科,使微积分具有广泛的用途并能应用于一般函数;用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来;都研究了微分与反微分之间的互逆关系。
牛顿和莱布尼兹创立微积分的不同点主要有:牛顿继承了培根的经验论,对归纳特别青睐。牛顿的微积分明显带着从力学脱胎而来的物理模型的痕迹,以机械运动的数学模型出现,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都来自机械运动,是机械运动瞬间状态的数学抽象。他建立微积分的目的是为了解决特殊问题,强调的是能推广的具体结果。而莱布尼兹强调能够应用于特殊问题的一般方法和算法,以便统一处理各种问题。莱布尼兹在符号的选择上花费了大量的时间,发明了一套富有提示性的符号系统。他把sum(和)的第一个字母S拉长表示积分,用dx表示x的微分,这套简明易懂又便于使用的符号一直沿用至今。
牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸,关心的是微积分在物理学中的应用。经验、具体和谨慎是他的工作特点,这种拘束的做法,使他没有能尽情发挥。而莱布尼兹关心的是广泛意义下的微积分,力求创造建立微积分的完善体系。他富于想象,喜欢推广,大胆而且有思辩性,所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。
牛顿和莱布尼兹都是他们时代的科学巨人。微积分之所以能成为独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响,主要是靠了牛顿与莱布尼兹的工作。从牛顿和莱布尼兹创立微积分的过程中可以看出:当巨人的哲学的沉思变成科学的结论时,对科学发展的影响是深远的。
参考文献:
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[4]吴文俊.世界著名科学家传记[M].北京:科学出版社,1994.
[5]CH爱德华.微积分发展史[M].北京:北京出版社,1989.
微积分范文篇5
【关键词】微积分;导数;微分;积分
一、导数在力学中的应用
（一）根据导数定义
假设一元函数在某点一个邻域内有定义，当给该点以增量（仍在同邻域）时函数产生相应增量。若函数增量与自变量增量比值，在自变量增量趋于零时的极限存在，则称此极限值为函数在点的导数.又称函数在该点可导。
（二）导数在力学中的应用
导数在力学中的存在形式并不统一。不同导函数在物理学中意义迥异。比如速度、加速度等。质点按位置矢量的规律运动，在一段时间内发生位移.当时间间隔趋于零时，位移与时间比值的极限，就是质点在初始时刻的瞬时速度.此速度其实就是位置矢量对时间一阶导数；再比如，圆周运动中角坐标表示质点某时刻所在的位置，质点运动中在一段时间内角坐标发生改变，产生角位移。当时间间隔趋于零时，角位移与时间间隔比值的极限，是角坐标对时间的一阶导数，其实就是质点在初始时刻的角速度；此外，导数还可以表征机械做功的快慢：设某机械在一段时间内做功，当时间趋于零时，机械所做的功与该段时间之比的极限，可得到机械在初始时刻的瞬功率，机械的瞬时功率实际上就是功对时间导数。
二、微分在力学中的应用
（一）根据微分定义函数在自变量某点一个邻域内有定义，当自变量发生改变时，若函数的增量可以表示为自变量增量倍（与自变量增量无关）跟自变量增量之高阶小的和，这个自变量增量的倍称为函数在初值处的微分，此时也称函数在该处可微。
（二）微分在力学中的应用微分在物理学中使用，常以“某某元”形式出现，如位移元，路程元，电流元、元功等质点运动时常用位置矢量表示质点在某时刻相对某点所处位置，位移表示一段时间内质点位置矢量的改变。位移元是位置矢量函数对时间的微分，它表示在很短时间间隔内质点微小位矢增量，亦即微小的位移；再如，路程元（又称长度元）表示质点运动时其轨迹长度的微小改变，即微小的路程。路程元是位置函数对时间的微分。
三、定积分在力学中的应用
（一）函数定积分的本质
函数定积分的本质是求函数在自变量有限范围内的部分量之总和。简言之，为计算总量，选取积分变量，取其任一小区间得函数部分量元素；从起点到终点对部分量元素累加之和是为总量，这个方法叫定积分元素法。
（二）定积分元素法在力学中应用
求质点在变力作用下沿曲线起点移至终点的总功。按功的定义，先计算外力在曲线上任一位移元上所做的元功，此时位移元大小等于曲线元，力做的总功就是元功从起点到终点的定积分；若刚体在垂直于转动轴的外力作用下，转过角位移元，按总功的定义，写出刚体受外力在这小段位移所做元功，可得力（力矩）对刚体所做总功。
四、可分离变量方程在力学中的应用
（一）微分方程
微分方程是指凡含有未知函数及导数的方程，称为微分方程。将微分方程中的变量先进行分离，再对两侧同时积分即可。
（二）可分离变量微分方程在力学中的应用
在物理学运算中常常会用分离变量法解微分方程。比如，在直角坐标系下，质点沿横轴做初速度不为零的匀变速直线运动。由于加速度是速度的一阶导数，分离变量可得速度微分等于加速度与时间微元乘积，结合初始条件两侧取定积分即可得解。综上所述，微积分与物理学（含力学）渊源深厚。对理工科学生而言，良好的微积分理论功底，对学习后续课程如物理学大有裨益。从教师角度，从事物理课程教学的教师，应有一定娴熟深厚的数学功底，才能在物理学（含力学）授课中挥洒自如；而数学教师在微积分教学中，在教学中灵活运用物理学量举例，以学生获取最大化为原则，适当考虑微积分相关教学内容安排与后续课程衔接。
参考文献
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微积分范文篇6
随着社会的不断发展，微积分及其相关知识应用越来越广泛。新课改也要求将微积分加入到教学中来，其必要性是因为它对很多学科、专业都有重要影响。同时，随着微积分对于现代生活的影响越来越广泛，微积分成为教学内容也可以说是社会对教育的要求。是社会发展的必然趋势。科学技术发展的越快，数学的应用也越来越多，从而对数学的要求也会越来越高。这就会对数学教学教学产生影响，教学的内容会相应的随着社会需求而改变。为了满足科技对人才的需要，教学内容就会增加新知识，以此适应时代的发展。例如，网络知识的增加、概率统计学以及微积分知识的加入，都是为了社会的发展而加入到教学中的。如今我们所面对的世界已经进入了信息时代，为了适应新时代的发展，微积分自然而然的就进入了高中教学中。高中作为我国基础教育的最后阶段，有着十分重要的作用。微积分之所以出现在高中也是为了推动可持续发展。无论高中毕业后是否继续学习，微积分都会在以后的生活中起到积极作用。对于大学生来说，高中的微积分教育是继续深造的基础；对于将要开始工作的学生来说微积分对新知识的掌握也有很大帮助。总之，在现代社会微积分是一项重要的基础知识。微积分的学习对学生思维的发展有着积极的影响。微积分中的以“直”代“曲”、以“局部”研究“整体”，从“有限”认识“无限”等思想，都是初等数学中从未涉及的。这些思想和方法有利于学生形成辩证逻辑思维，对学生的跳跃性思维有重要影响。体现了数学教育对人的思维的影响。这种从直到曲，从局部到整体，从有限到无限的思维认识，会成为学生在学习生涯中得到的宝贵知识。
二、微积分在数学教育中的价值
通过微积分的课程，可以加强高中数学教育的严谨性，从而达到优化教学的作用。锻炼学生解决实际问题的能力，提升他们应对问题时的反应能力，也会使学生不自觉的用数学思维思考问题。微积分的教育价值体现在，兼顾不同层次的学生要，对不同的层次研究不同的教法，准确把握不同阶段的学生对微积分知识的掌握情况做好定位。在数学教育中，严谨、精确是其最大的特点。而利用微积分相关的知识可以增加数学的严谨性。同时，它还可以使高中阶段的一些繁琐的数学问题简单化，能够轻易的解决难题，解题步骤也会让人眼前一亮。可见微积分知识扩展了数学教学，加强学生对解题的多样性思维的锻炼。微积分对于培养学生在解决实际问题和锻炼思维能力方面有重要作用。微积分会通过大量的实际经验和具体的实际案例所得出一些概念。例如通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，用来引导学生感受由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解瞬时变化率就是导数，感受微积分在研究函数和解决实际问题中的作用，体会微积分的思想及其内涵。微积分还有助于帮助学生解决一些实际生活中存在的问题，对于相关学科的理解学习也有帮助，从而开发学生在解决问题方面的能力，为学生解决问题积累经验教训。同时，锻炼思维能力，也是微积分进入数学教育的目的之一。微积分中包含有重要的数学思想和解题的思维方法，这些思想和方法会促进学生辩证逻辑思维的形成。掌握了微积分的知识，更有利于学生从微积分的高度重新的角度认识初等数学中的知识，这会加深学生的理解，更利于掌握初等数学，更明确清晰地了解其知识内容。同时，有利于加深对数学知识的体验，无论是初等数学知识还是高等数学知识他们都是有统一性存在的。通过学习这种更加灵活的思维模式，提高学生的思维能力。
三、微积分的作用以及对数学教育的影响
微积分的出现可以说推动了数学的发展速度。微积分让数学更生动，例如，微积分对于描述运动的事物有几大帮助，可以描述变化的过程。甚至可以说，数学界因微积分的出现而发生了改变。微积分的出现不单单是推动数学的发展，同时开创了许多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。这些新的分支不断地推动着数学的发展，特别是数学教育中，微积分的不断创新更利于学生在思维方面的不断创新。使得数学的学习增添了更多的趣味性。微积分还对其他一些相关学科有促进作用。由于数学本就是工具学科，对自然学科等发展都有重要影响。对物理学的影响更是不言而喻，很多的物理学问题都要靠微积分作答。伟大的牛顿就是用微积分学及微分方程从万有引力定律导出了开普勒行星运动三大定律。除此之外还有很多就不一一列举了。不可否认微积分的出现对社会和科学都有巨大贡献。而微积分在教育中的作用同样不可忽视，微积分的出现是对数学教育的推动。它让数学教育的内容更丰富，在教学中更具实用性。它使得数学与现实生活联系的更紧密，更灵活，着更有助于加深高中生对微积分的印象和兴趣。让微积分不知不觉渗透到他们的生活与学习中。微积分对于研究变化规律十分有帮助，因此只要涉及到与变化有关的学科都可以用到微积分。在人类发展的进程中微积分做出了举足轻重的贡献。如今，微积分更是被应用到各个行业，无论是社会还是经济的变化由于微积分有着不可分割的联系。此外，微积分还参与着人们的日常生活，以及各种科技工程等。微积分在高中教学中出现，对于为国家输送人才有很大帮助。这就体现了微积分在高中数学中的存在价值，虽然暂时来说微积分教育并不成熟，仍然存在很多不足，但综上所述，微积分教育在高中数学教育中出现时有必要的。
微积分范文篇7
关键词:新课程标准；微积分；高中数学；教学
随着课程标准的不断改革，微积分在高中阶段越来越受到重视。教育部颁布《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称新课标），对微积分的教学提出了更高的要求。事实上，微积分中所蕴含的美育价值、思维价值和应用价值，对高中生辩证思维的发展、解题思路的拓展和后续学习都有着十分重要的影响。因此，在新课标下，高中微积分教学成为数学教师亟需思考和研究的新课题。微积分在高中数学中经历了多次改革，广大数学教育工作者针对历次改革的新内容、新要求，对高中微积分教学提出了许多建议。如孟季和［1］在《中学微积分教材教法》中，对适应1978年教学大纲改革的微积分教学的教法进行了探讨；杨钟玄［2］根据新《数学教学大纲》的改革情况，结合当时数学课本弊端，提出要将数列极限的定义由抽象的“ε－N”符号语言改成更为直观语言的建议；匡继昌［3］尖锐地指出教学大纲删去极限内容的错误性，并表示这种无极限的导数模式不是创新，而是一种退步；李倩等［4］对课程标准中所列出的高中微积分内容从教学价值、教学实施方面进行了不同的探讨，认为高中微积分教学要充分体现高中微积分和大学微积分对学生的不同要求，不能让学生产生对运用微积分知识过度依赖的心理。因此，高中课程改革中微积分教学方法研究一直是数学教师教学研究的热点课题。另一方面，虽然我国数学教育工作者关于高中微积分教学研究较为广泛，但是在新课标框架下，探讨高中微积分教学的研究却不多。本文首先总结归纳新课标中微积分内容及其要求变化，然后剖析高中生学习微积分普遍存在的问题，最后有针对性地提出在新课标背景下高中微积分教学的几点策略。
1新课标中微积分内容和要求的变化
新课标对于微积分内容和要求做出了较大调整，尤其是对于理工科学生，其在内容的难度、深度、广度以及学习目标等方面都有很大的提高。表1以新课标A类为例，比较了其与2003年《普通高中数学课程标准（实验）》的异同。经过比较和分析，新标准关于微积分的变化可归纳为以下三个方面：1．1注重与大学数学的接轨。在2003版的高中数学课程标准中，考虑到高中生的认知水平，当时我国高中数学涉及微积分的知识无论是从内容的深度、广度和难度上都较为浅显。在世界范围内，相对于其他发达国家和部分地区高中数学课程标准中有关微积分内容，我国高中数学微积分内容的难度排名也相对靠后［5］。从表1可看出，新课标在微积分内容和结构上作出了调整。在内容上，数列极限、函数极限、连续函数、二阶导数、导数的应用、定积分的理论知识部分有明显的扩充和具体要求。在结构上，逾越极限直接通过大量的实例来理解导数的概念，修改为先学极限，再从极限的基础上给出导数这一数学定义，该教学结构与大学微积分基本一致。另外，新课标改善了高中和大学微积分内容的断点问题，在知识的建构上逐步与大学微积分接轨，其课程的连贯性和延续性得到进一步增强。1．2注重数学符号语言的培养。数学符号语言是一种简洁、高效的思考与表达方式［6］。一直以来，关于是否在高中阶段引入极限符号语言一直存在争议。数学课程标准研制组在《普通高中数学课程标准（实验）解读》中明确指出高中学习极限的弊端：若按照先学极限再学导数的顺序，极限的抽象概念会对理解导数思想和本质产生不利影响［7］。也有不少数学教育学者指出，高中极限内容的删减只会对学生理解微积分会产生障碍。新课标再一次增设了极限内容，对极限内容的学习要求由了解上升到理解的层面，不仅给出了极限的数学符号定义，并且要求学生掌握极限的相关性质及其证明。此外，有关连续函数、导数、定积分的概念，新课标也都给出了严格的定义和证明，这充分体现了新课标对培养学生数学符号语言的表达能力的重视。1．3注重微积分的实际应用。微积分是研究现代数学的基础，也是解决其他领域技术的重要工具。新课标更加强调借助几何直观和物理实际背景来引入微积分思想，并且对微积分的实际应用能力提出了更高的要求。事实上，微积分在研究数学的函数变化、物理学的物体变速运动以及经济学的生产优化等问题中起到关键作用。如在初等数学中，学生对于曲边图形面积和旋转体体积的计算往往倍感无从下手，但从微积分的极限思想出发，将曲边图形和旋转体划分为无数个无限小的面积微元和体积微元，再近似求和，便能有效地推导出曲边图形和旋转体积的求解公式。又如在物理的运动学问题中，对于常见的匀速直线运动等简单的运动形式，学生往往能得心应手，而对于变速直线运动来说，很多学生往往一筹莫展，但如果使用微积分工具便能很好地解决［8］。由此可见，提升微积分的实际应用能力是适应新时代数学教育发展，培养应用型人才的有效手段。
2高中生学习微积分存在的问题
高考是高中生数学学习的指挥棒，目前高考对于微积分内容的考查在分量和难度上普遍要求不高，导致高中生学习微积分存在很多问题，主要表现在以下三个方面：2．1对微积分课程的学习感到枯燥。新课标加入微积分相关概念和定理，致使高中微积分课程理论性明显增强。然而，现有教材有关微积分的内容安排比较繁杂，并且缺乏针对性和系统性，导致难以调动学生学习的积极性。许多高中教师在教学微积分的过程中，仍然采取传统的灌输式教学模式，缺乏对微积分所蕴含的思维价值、文化价值和应用价值的挖掘，导致学生对微积分的学习存在畏难情绪。另外，伴随高考升学压力，高中微积分教学呈现出一种应试化倾向。由于微积分内容难度较大，致使教师更多专注于书本和考试，偏重于公式的推导、题目的演算等机械化的训练，忽视了对学生的素质能力的培养，从而加重了学生对于微积分枯燥的刻板印象。2．2对微积分概念的理解不够透彻。为了准备高考，许多学生对于微积分的学习仅停留在对导数公式的记忆上，不断重复公式演算习题的训练，对微积分概念的认识浮于表面，死记硬背占很大的比重［4］。一方面，微积分本身对于初学者来说难度较大，尤其是对那些抽象的数学符号语言，让学生从常量思维跳跃到变量思维，难以接受，从而产生一种抗拒的心理。另一方面，由于初等数学内容的限制，高中数学教材一些知识点缺乏逻辑上的严密性。在课改前，我国大多数的高中教材都删去了极限的内容，对极限的思想一笔带过，加大了学生理解微积分的难度，再加上高中教师教学上偏重于题目的直观讲解，造成学生对一些基本概念的理解产生偏差。2．3对微积分思难以做到灵活运用。著名数学教育家R•柯朗说：“微积分是人类思维的伟大成果之一［9］”。微积分的创立是一代又一代数学家思维方式发生变化的结果。微积分以函数为主要对象，分析函数的常量和变量间的关系，它打破了传统的常量一直保持不变的思想，使数学变为一种动态的语言。在高中阶段常常会遇到一些研究较窄、较深的题目，在解答这一类题目时，学生常常会将实现目标的手段当作解题目标，并由此陷入繁杂的运算或是中断解题［10］，如此，在解题过程中将耗费大量的变形运算才能达到目标结果。在很多情况下，微积分的思想能为解答此类题目开拓思路，但由于受到高中阶段大量的填鸭式训练的影响，许多学生的思想被禁锢，难以做到对微积分思想的灵活运用。
3高中数学微积分的教学策略
高中微积分内容主要是微积分学的基础知识，教师的教学应符合微积分初学者的认知水平，要将微积分知识在课堂上通俗、直观、生动地呈现给学生。在高中数学微积分模块的教学过程中，教师可以通过讲述与微积分密切相关的数学史小故事，利用数形结合教学，运用微积分工具达到激发学生学习兴趣、增强概念理解和丰富学生解决问题能力等目的。3．1穿插数学史小故事，让学生感受微积分的趣味性。高中正是学生世界观形成的关键时期，在微积分教学过程中适当地引入数学史的小故事，不仅有助于摆脱微积分的枯燥性，激发学生的学习兴趣，还能让学生感受文化熏陶，体会数学的人文价值，提升自身的文化修养。因此，教师在微积分教学中，应充分挖掘微积分思想中的美育价值，通过数学文化引导学生感受微积分思想文化中所蕴含的人文价值，从而培养学生感受美、鉴赏美、创造美的能力［11］。如在介绍微积分符号的时候，可以穿插数学史上著名“牛顿－莱布尼茨之争”的故事。在微积分发展史中，关于谁是创立微积分第一人一直存在着争论。1684年，莱布尼茨首次公开提出微分的概念，两年后，他发表了一篇论文，将积分符号记为“∫”据莱布尼茨的手稿记载，1675年他已发现并完成了一整套微分学。然而，英国皇家学会却认定微积分的创始人是牛顿，并指出莱布尼茨抄袭了牛顿的“流数术”。其实，经后人的研究发现，牛顿和莱布尼茨基于不同的思维模式创立了微积分。牛顿从物理的力学出发，运用集合方法创建了微分学和积分学，并用“y”表示导数。莱布尼茨从几何问题出发，利用分析学方法引出微积分概念，并引进“dx、dy”作为微分符号，这一发明相较于牛顿的符号更清楚、直观、合理，而被广泛的采纳沿用至今。至此，人们才普遍认为牛顿和莱布尼茨均为微积分的第一创立者，因此，教材将微积分基本公式取名为“牛顿－莱布尼茨公式”。通过讲述微积分的数学史小故事，引出微积分符号，不仅能够有效地加强学生记忆，而且可以让学生对微积分的创建历史有了一个初步的了解，从中感受数学的人文价值。另一方面，从课堂教学来看，穿插数学史小故事，有助于学生摆脱微积分课堂枯燥的刻板印象，激发学生的学习兴趣，同时也能让学生感受到微积分中的正能量，从微积分名人的身上汲取养分，学习他们的精神，达到情感育人的目标［12］。3．2利用数形结合教学，增强学生对微积分概念的理解。新课标改善了高中微积分和大学微积分的断点问题，要求高中微积分中有关极限、导数、定积分等内容逐步与大学微积分接轨，这样提升了高中生对微积分概念理解的难度。在微积分教学中，教师应充分考虑高中生的认知水平和接受能力，在讲授抽象的数学概念和定理时，教师可以结合它的“形”直观地向学生传递其中蕴含的意义。通过数形结合引导学生主动参与到观察图像和公式的推导过程中，不仅有利于学生对于数学概念的理解，同时也能让学生充分感受到微积分和初等数学的差异性［13］。如在讲授函数极限的ε语言时，对任意给定ε＞0，在直角坐标平面上以y＝A为中心线，宽2ε的窄带，可以找到某个M＞0，使得在直线x＝M的右侧，曲线y＝f（x）完全落在窄带内（如图1所示）。教师可先运用图像法表示函数极限的几何意义，从而引导学生接受函数极限的ε语言，避免死记硬背概念。将“数”与“形”紧密结合应用到数学教学当中，不仅能让复杂的问题变得通俗易懂，而且有助于提高课堂的生动性和趣味性。又如，在推导幂函数的求导公式时，可以先从最简单的函数y＝x2出发。根据导数的概念，找到x单位的变化引起的函数变化率即可，即dx／dy可以被理解成是函数y＝x2图像的切线斜率。如图2所示，在坐标原点处，切线与x轴重合，所以斜率是0，且随着横坐标x的增大切线斜率会不断增大，引导学生观察出y＝x2的导数与自变量x正相关这一现象。图1函数极限的几何意义图2函数y＝x2切线斜率与自变量x正相关观察一个边长为x的正方形，假如给x一个微小的增量dx，此时其面积的增量可表示为dy（如图3所示），即由x的微小增量dx引起的y＝x2的值的微小增加量dy。正方形面积多出三个部分，即两个小长方形和一个小正方形，如此dy＝2xdx＋dx2，当dx无限趋近于0，一个微小的变化量的平方（dx）2可以忽略不计，所以dy＝2xdx，即dydx＝2x，最终得到了函数y＝x2的求导公式，也应证了先前观察到的规律。同样，在推导函数y＝x3的求导公式时，也可以考虑是在一个棱长为x的立方体上，给横坐标x一个微小的增量dx，其体积的增加量为3x2dx，故每单位x增加量引起x3的变化是3x2。由此，引导学生发现这两个函数的导数都是形如dydx＝nxn－1，即可得到幂函数的一般求导公式。在教学过程中，通过直观的图形辅助求导公式的推导，不仅可以引导学生领会微积分思想，简化学生对导数概念的理解，还能通过亲历微积公式的推导过程，培养学生逻辑思维、演绎推理的能力。3．3运用微积分工具，丰富学生解决问题的手段。微积分是打开现代数学大门的重要理论基础，其所蕴含的思想能为学生解决问题提供独特的方法和思路［14］。在高中阶段，一些数学问题的求解与讨论过程相当繁琐，而微积分的引入拓展了学生的思维，能够使学生从枯燥而重复低级的训练中走出来。教师在实际教学过程中，应有别于传统的灌输式教学，充分借助微积分思想方法，丰富学生解决问题的手段，提高学生微积分的应用能力。如证明对任意的正整数n，不等式ln（1n＋1）＞1n2－1n3都成立；又如，已知一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，当一质量为m的质点沿圆周x2＋y2＝R2，按逆时针方向走过第一象限的弧段时，求场力所作的功。这些问题如果用常规方法很难解决，但如果将问题转换为讨论函数的单调性和定积分的问题，学生则会有一种醍醐灌顶的感受。由此可见，微积分思想的引入可以拓展学生的解题思路，将一些复杂的问题化繁为简，如此可达到灵活运用微积分思想解决实际问题的目的。再如，求曲线C：y＝3x－x3过点A（2，－2）的切线方程。学生解决该问题的常规思路是，由点A在曲线C上，得到切线斜率为k＝y′＝－9，因此过点A的切线方程为9x＋y－16＝0。这一解法的错误在于遗漏切线方程y＋2＝0的情况。在求切线方程时，学生很容易将问题简化为求已知曲线与直线只有一个交点的情形，直接将两个方程联立求单根，这种方法虽能找到切线方程，但得到的答案却不完整。出现错误的根本原因在于对切线概念理解不准确，仅停留在片面的认识上，并未真正领会导数的思想。正确理解是，切线是曲线的割线与曲线交点由一端沿曲线无限地接近于另一端时的极限位置，这样就不能仅凭直线与曲线的公共点个数来判断切线的条数。因此，在极限的教学中，教师如果能够通过分析变量与常量之间的内在联系，挖掘微积分思想的来源，让学生体会近似与精确、有限与无限的之间动态变化规律，能有效训练与培养学生的辩证思维，丰富学生解决问题的手段。在新一轮的高中数学课程改革中，微积分知识的难度、深度和广度都有了一定提高。较以往的课程标准而言，新课标更加注重高中微积分和大学微积分的衔接、数学符号语言的表达能力和微积分的实际运用。与此同时，微积分课程难度的增加也给高中生的学习带来了更多的挑战，主要体现在对微积分理论的学习感到枯燥、对微积分概念理解不透彻以及对微积分思想难以做到灵活运用等方面。因此，探讨高中微积分的教学策略具有重要意义。本文在剖析新课标中微积分内容和要求的基础上，针对现阶段高中生学习微积分存在的问题提出对应的教学策略。在实际教学过程中，教师要以学生为本，从高中生的认知水平出发，以直观易懂，生动有趣的教学揭示微积分所蕴含的数学之美。通过穿插数学史的小故事，结合数形结合教学，运用微积分工具等教学方法来激发学生学习微积分的兴趣、增强理解微积分概念和运用微积分解决问题的能力，以期达到提升学生的数学核心素养的目的。
总之，新课标下微积分的教学研究是一个全新的课题，如何在教学中充分体现微积分的教育价值仍存在很多探讨的空间。
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微积分范文篇8
关键词：微积分；课程思政；教书育人
微积分作为一门典型的理工科专业基础课程，对后续课程和专业学习至关重要。正如李克强总理在2021年全国两会上对青年学生说的几句话：“不管你们将来从事什么职业、有什么样的志向，一定要注意加强基础知识学习，打牢基本功和培育创新能力是并行不悖的，树高千尺，营养还在根部。把基础打牢，将来就可以旁通，行行都可以写出精彩”[2]。而微积分恰好就是这样的一门基础课。作为理、工、经、管、文、法各专业的通识教育必修课，微积分是一门学时长、课时紧、内容多、知识难的基础课程。如何结合数学学科特点，使微积分课堂教学与思想政治理论教学同向同行，形成协同效应，实现全程、全方位育人的新理念呢？本文从以下几个方面进行了探索：
1微积分课程思政的实施对教师的要求迫在眉睫
1.1专任教师正确认识开展课程思政的必要性和紧迫性
2021年年初，一个网名叫“离灯冬眠”的25岁女生，因为游戏机被母亲砸烂，选择自杀离开这个世界，在遗书中说游戏是她人生唯一的追求和乐趣，失去了游戏就失去了人生的乐趣，这样的案例让教育工作者不得不思考，我们现在培养的部分大学生，专业知识有了，但是世界观、人生观、价值观严重偏离人生正确的轨道，大学毕业就失去了人生目标和崇高理想。因此，在专业教学中开展课程思政，帮助学生树立正确的“三观”，不但必要而且迫在眉睫。作为一名高校数学教师，不但要传授数学知识、数学方法、数学思维、数学技能，还要通过课堂思政教会学生如何做人、做事，形成正确的“三观”，摒弃“思政教育是思政教师的工作，思政教育跟数学教学没有关系”的错误思想，把课堂思政真正落到实处，让学生在学习专业知识的同时，接受思想政治教育，真正成长为有理想、有信念的时代新人[3]。
1.2专业课教学与课程思政的结合应自然贴切
微积分教学课程思政不是专业思政课，应根据微积分每堂课的专业知识点，找准思政元素和微积分教学内容的契合点，自然而不牵强地开展教学活动。思政元素一般不会直接显露在课程内容中，需要教师深入挖掘、提炼和加工，以最自然的方式融入课程教学，实现“润物无声”的育人效果。
1.3教师以良好行为做学生的行动楷模
教学无小事，教师要从我做起，一切为了学生、为了学生一切，以严谨的工作态度和良好的行为规范做学生的楷模[4]。
2微积分课程思政的探索和实施
在微积分中开展课程思政，使数学知识、价值引领与能力培养有机结合，让学生的世界观、人生观、价值观得以升华，让学生具备真正成长为终身运动者、责任担当者、问题解决者和优雅生活者的能力。
2.1用我国数学成就激发学生的爱国情怀
中国是四大文明古国之一，是人类文明的发源地，我国的古代数学成就对世界数学做出了极大的贡献。早在战国时期，我国就有了极限思想的萌芽，庄周的《庄子·天下篇》提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期的刘徽在《九章算术》里也提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这些对极限思想的论述的提出比欧洲早一千多年。近现代，我国有名的数学家华罗庚、陈省身、陈景润、苏步青、丘成桐等活跃在世界数学舞台上，并取得了不菲的成绩。通过结合中国数学家对世界的贡献的介绍，激发学生的爱国热情和民族自豪感，为振兴中华而读书，为民族复兴有所担当，鼓励青年学生成为对国家、对社会有用的人才[5]。
2.2将我国当代科技成就渗透课堂，树立民族复兴的远大目标
作为崛起中的国家，中国的飞速发展举世瞩目，而当代科技的发展离不开数学，因此，将当今我国重大科技成就融入微积分课堂教学，使微积分知识的应用与现代科技发展结合起来，让学生对自己正在学习的微积分有明确的学习目标，明白学好微积分才能更好地服务社会、报效祖国。在学习二重积分时，利用二重积分计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积比值的具体运用，融入我国2020年6月23日第55颗北斗导航卫星成功升空的例子，让学生意识到中国北斗卫星系统的成功建设，中国开始了从并跑到领跑的征程，大国重器就此终成，中国在通信领域的实力不容小觑。在讲授高阶导数时，通过“位移—速度—加速度”之间的导数关系，联系中国高铁从无到有、再到步入世界领先行列的壮举，高铁让中国人民实现“千里江陵一日还”的出行方式，让学生为祖国的日益强大喝彩点赞。在讲授空间曲面时，结合被誉为世界之最“中国天眼”的500米口径球面射望远镜，让学生体会劳动者的大国工匠精神，树立劳动光荣、创造伟大的思想，对共和国的建设者们产生由衷的敬佩。在微积分教学中融入社会热点问题，开阔学生视野，让学生更直接地了解数学知识的具体应用，明白只有学好我们的专业知识，才能为社会发展做贡献，鼓励学生做新一代的建设者和创造者。
2.3将微积分的发展史融入课堂，培养学生实事求是、坚持真理的精神
微积分的发展史也是人类的进步史和发展史。在学习牛顿-莱布尼茨公式时，通过该公式的命名，让学生懂得知识体系的建立和数学符号的发明经历也是曲折坎坷的，只有实事求是、坚持真理，人类才能发展。早在17世纪，牛顿在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分，其研究微积分的时间比莱布尼茨早10年；而成果发表的时间上，莱布尼兹却比牛顿早三年，牛顿和莱布尼茨对微积分都做出了巨大的贡献，但围绕微积分发明权归属问题的激烈争论把欧洲科学家分成誓不两立的两派：英国和欧洲大陆停止了学术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及自然科学领域，导致英德两国的政治摩擦。英国抱着牛顿的概念和记号不放，拒绝使用更为合理的莱布尼茨关于微积分的符号和使用技巧，其后果是英国在数学发展上大大落后于欧洲大陆。这个科学史说明，不管是个人还是国家，闭关锁国必然导致落后，面对权威只有实事求是、坚持真理、求同存异、共同发展，才能实现社会进步。
2.4用定积分化整为零的思想，教会学生明白人生的大目标终能由无数小目标来实现
定积分的思想是“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”，在高等数学、物理、工程技术等知识领域及生产实践中具有普遍意义，定积分中求“和的极限”思想方法或思维方式为科学研究提供了解决问题的思想和数学工具，即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等方法来解决复杂问题。在讲授定积分的概念时，可以结合定积分的思想，告诉学生人生就是由许多小目标成就的，只有通过脚踏实地地完成一个个小目标，人生大目标才可能实现，“没有比脚更长的路，没有比人更高的山”，不断努力，永不放弃，必达目的[6]。
2.5用微积分思想来提高学生科学分析问题、解决问题的能力
在学习微分三大中值定理时，由“罗尔—拉格朗日—柯西”通过不断放宽条件，进而达到越来越更具普遍意义的结论的学习过程，可以得到三大定理的学习在内容上遵循从简单到复杂、从特殊到一般的规律；从逻辑关系来看，后面两个定理的证明都是通过构造辅助函数借助罗尔定理来实现，体现事物是联系的本质，启发学生应在运动中看问题、谋发展。鼓励学生在分析问题、解决问题时要用循序渐进、联系的思想[7]。
2.6微积分教学内容与课程思政无处不在，重在挖掘，让教书育人两不误
在学习无穷大和无穷小概念时，提炼出“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”之人生哲理，让学生明白“一屋不扫何以扫天下”的人生哲理。学习多元复合函数求偏导数时，借助中间变量层层深入，得到“方法总比困难多，只要目标明确，问题总是可以解决”的人生理念。在学习空间解析几何的八个卦限时，结合《道德经》“道生一，一生二，二生三，三生万物”的思想，把“科学的发现和发展放在细微处，发展才是硬道理”等思想完美地演绎出来[8]。学习反常积分，当边界是趋于无穷或函数是无穷的情况下，是收敛还是发散不能一概而论，比如曲线∫-∞+∞dx1+x2，乍看感觉积分上下限是发散的，但通过计算发现结果是收敛的，从而让学生明白：看问题、想事情不能想当然，不能以偏概全，要用科学理性的方法和思维去分析判断，才能得到正确的结果。微积分教学与课程思政的结合无处不在，要用心去提炼、去挖掘，让微积分教学与课程思政完美结合，实现教书育人两不误[9]。
3结语
总而言之，微积分课程思政的实施在于教师的引导和挖掘，在教学中坚持以学生为中心，做好顶层设计，实施寓教于乐，教书育人两手抓。让学生在学习专业知识的同时，树立正确的世界观、人生观和价值观，成长为德才兼备、全面发展的新时代应用型人才。
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微积分范文篇9
莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。（［1］，p．8）或者说，“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统，利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。在《论组合术》中，二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时，这会成为一种通用语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理；错误，除去那些事实上的错误，只会是计算上的错误。形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的，但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。”（［2］，p．123）在1679年9月8日给惠更斯的信中他又写道，有一个“完全不同于代数的新符号语言，它对于精确而自然地在脑子里再现（不用图形）依赖于想象的一切有很大的好处。……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理，这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来，因而不得不作出无穷多个无用的试验；另一方面，这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。”（［3］，p．151～152）
综合莱布尼茨零零碎碎的设想，他的宏伟规划大体旨在创造两种工具：其一是通用语言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除现存语言的局限性和不规则性，使新语言变成世界上人人会用的具有简明符号、合理规则的语言，规定符号的演变规则与运算规则，使逻辑演变依照一条明确的道路进行下去，进而解决所有可用语言表达的问题。
为此，莱布尼茨做了两方面的努力：一是寻找能够代表所有概念并可认作最根本的不可分析的符号；二是给出表述诸如断定、合取、析取、否定、全称、特殊、条件联结等形式概念的设计。关于第一方面，莱布尼茨首次设想用数目代表原初概念，而逻辑演算则用如同算术中的乘或除来代替。他认为用这种数字的不同方式排列组合，进行各种运算，就可产生无穷多的复合概念。这一思想后来改进为以素数代表基本概念，而复合词项即可借分解相应的数字成为它们的素数因子来加以分析。以“人是理智动物”为例，用素数“3”代表“动物”、“5”代表“理智”，则“人”即以“15＝3．5”代表。为了更好地构设“通用语言”，莱布尼茨又以设想的“人类概念字母表”为语言词汇基础创制了一些逻辑符号，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下来。
关于第二方面，莱布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三个年代为标志划分为三个阶段。（［4］，pp．271～273）
第一阶段，莱布尼茨改进从数字代替概念以其演算，代之以对普通命题经验分析为基础的代数逻辑。他以全称肯定命题“a是b”的形式开始，提出五条基本演算规则：（1）ab是ba（交换律）；（2）a是aa（重言律）；（3）a是a（同一原则）；（4）ab是a或ab是b（化简原则）；（5）如a是b且b是c，则a是c（传递原则）。以此为据，他证明了同一和包含两个逻辑系词之间的重要关系，即，如a是b且b是a，则a与b是同一的。进而，他又提出四个定理：（1）如a是b且a是c，则a是bc；（2）如a是bc，则a是b且a是c；（3）如a是b，则ac是bc；（4）如a是b且c是d，则ac是bd。由此可见，莱布尼茨在第一阶段的逻辑演算已相当完善和科学化，为逻辑的系统化打下了坚实的基础。
第二阶段，莱布尼茨用等式符号作系词符号，借公式A＝BY表述全称肯定命题（Y为一未确定的系数，用以修饰B而使B成为A的一部分），同时提出双重否定之为肯定，即“非非A＝A”，并由此演释出一系列定理。为了进一步发展演算，莱布尼茨还试图通过与属性组合的关系，用代数方法来描述四个直言命题，甚至对四个直言命题的表示法提出了九个方案。
第三个阶段，莱布尼茨最有价值的工作是罗列了十四个基本命题：（1）A＝A＋A“＋”表示逻辑相乘，下同）；（2）如A＝B且B＝C，则A＝C；（3）如A＝B且B≠C，则A≠C；（4）如A＝B，且B＜C，则A＜C；（5）如A＝B且C＜B，则C＜A；（6）如A＝B且C＝D；则A＋C＝B＋D；（7）如A＝B，则A＋C＝B＋C；（8）A＜B，则A＋C＜B＋C；（9）如A＋B＝A，则B＜A；（10）如B＜A，则A＋B＝A；（11）如A＜B且B＜C，则A＜C；（12）如A＜B且B＜A，则A＝B；（13）如A＜C且B＜C，则A＋B＜C；（14）如A＜B且C＜D，则A＋C＜B＋D。为适应逻辑相除，他又引进逻辑相减运算，定义为：如B包含在A中且C包括除去内容B之外的整个A的内容，则A－B＝C。如前例“人＝动物＋理智”即可推为“人－理智＝动物”。
上述符号构设显示，莱布尼茨的中心思想是致力于以符号表示普遍概念的“通用语言”和以代换法进行数学演算他自称的“通用数学”。就今天的眼光看来，他实际上已经发现了符号逻辑的若干重要原则和定理，触及到后由哈米尔顿所阐发的谓项量化问题，认识到在直言与假言命题之间的基本类比（即原因包含它的结果正如主项包含它的谓项），并且把握了逻辑相加的问题，甚至讨论过非三段论的关系推理。因此，莱布尼茨实际上已探察到后来为布尔和施罗德所发展的逻辑代数的整个基础。数理逻辑学家有没有看过莱氏的著作，知道不知道莱氏的计划，但所作的研究大体上都是沿着莱氏所期望的方向进行的。”（［5］，p．10）所以，整个数学界都一致公认他是数理逻辑的首创者和真正奠基人。
莱布尼茨的符号数学研究在生前没有公布，结果使数理逻辑的发展延迟了一个半世纪。（［4］，p．119）可他关于微积分的成果却由于较早发表而惠泽数学界并引发一场争论持久的历史公案。
二、微积分：“理性的代数学”
1684年莱布尼茨在莱比锡的《教师学报》（ActaEruditorum）上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》（简称《新方法》）的文章。这是他关于微分计算要点的代表作，全文只有六页。1686年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章，实际可看作《新方法》的续篇。
莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。当这两无限减小时，曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时，矩形上面的那个三角形可以忽略不计，此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。
早在1666年，莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。（［6］，pp．216～217）在帕斯卡三角形中，任意一个元素既等于其上一行左边各项之和，又等于其下一行相邻两项之差；而在调合三角形中，任一元素均是其下一行右边各项之和，也是紧靠其上两项之差。
算术三角形调合三角形
莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差和微分：
自然数0，1，2，3，4，5，…y
一阶差1，1，1，1，1，1，…dy
二阶差0，0，0，0，0，…
自然数平方0，1，4，9，16，…y
一阶差1，3，5，7，…dy
二阶差1，2，2，2，…d（dy）
三阶差1，0，0，…
他把这些与微积分联系起来：一阶差相当于dy，它们的和等于y，如1＋3＋5＋7＝16。莱布尼茨认为，这种和与差之间的互逆性，与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值，而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算时，已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。（［10］，p．392）由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点，而不是几何出发点。（如［7］，p．101）
为解决求积问题，莱布尼茨把流动纵坐标是y的平面曲线下的曲边梯形的面积用符号y表示。这样，曲线的纵坐标就与面积变量明显地联系起来。过了几年，他便用“sydx”表示面积，“∫”是“Sum（和）”的第一个字母“S”的拉长。
在求量的差即微分方面，莱布尼茨先是引进了符号“x／d”表示x的微分，意思是求“差”要关系到量的同次的降低，并且他还认为，如果同时出现不同阶的微分，则只留下最低阶的，而把所有高阶的微分舍去。至于这样做的理由，莱布尼茨虽提供了多种解释，但都不充分，其实毋宁说他是当作“公理”来使用的。后来，他将“x／d”改为“dx”，一直沿用至今。
从上述思路出发，莱布尼茨给出了微积分的基本公式：
d（x±y）＝dx±dy（1）
d（xy）＝xdy＋ydx（2）
d（x／y）＝ydx－xdy／y［2］（3）
对于（2），他的推导是，令x、y分别成为x＋dx、y＋dy，则
（x＋dx）（y＋dy）＝xdy＋ydx＋dxdy＋xy于是d（xy）＝（x＋dx）（y＋dy）－xy＝xdy＋ydx＋dxdy
dxdy是比xdy＋ydx高一阶的无限小量，可以舍去，所以d（xy）＝xdy＋ydx
用同样的方法也可推导出公式（1）和（3）。
有了微分法的基本运算律，对整指数的幂函数x［n］就有dx［n］＝nx［n－1］。又由于求和是求差的逆运算，所以还有∫x［n］dx＝1／n＋1x［n＋1］（n≠－1）。这两个公式虽只对n是正整数情况而言，但莱布尼茨却断然宣布它们当n取其它数值时仍然成立。接着，莱布尼茨陆续地推导出指数和对数等超越函数的微分公式。
莱布尼茨的微积分算法是在解决几何和物理问题的过程中建立和完善起来的。他边建立新算法，边用这种算法解决当时物理学与几何学提出的疑难问题，有时还用老方法来解决问题以检验新方法的正确性。除了切线问题、极值问题、曲率问题、求积问题等几何问题，他还曾用新方法证明了光的折射定律。所有这些都显示了新算法比传统方法更加优越。
除了以上成果，莱布尼茨在微积分方面的具体研究还有：（1）复合函数的微分法则；（2）弧微分法则ds=根号下dx[,2]+dy[,2]；（3）对数函数和指数函数的微分法则；（4）在积分号下对参变量求微分的方法；（5）曲线绕x轴旋转所成的旋转体体积公式V＝π∫y［2］dx；（6）求切线、求最大值最小值以及求拐点的方法；（7）讨论曲率，密切圆和包络理论。（［8］，pp．394～395）
莱布尼茨微积分研究的背景与当时整个西欧的数学家们是一致的，他的工作基础也是建立在对无穷小的分析上。因此，此后很长一段时间，人们一直把微积分叫无穷小分析。由于莱布尼茨从有限差值开始无穷小的运算，因而他最初曾试图将实无穷小代之以与其成比例的有限数量，即不用dx、dy本身，而用它们的比值dy／dx。他以为把dx、dy看成有限量，问题就解决了。但是，比值dy／dx的获得同样需要说清dx、dy两个量本身的实际情况，而不能有半点含糊。于是，莱布尼茨提出用“充分大”和“充分小”去代替无穷大和无穷小。他解释说：“我们可以不用无穷大、无穷小，而用充分大和充分小的量，使得误差小于给定的误差限度，所以我们和阿基米德方式的不同之处仅仅在于表达方面，而我们的表达更为直接，更适合于发明家的艺术。”（［8］，p．401）为了更好地说明这一点，他不得不诉诸于感性的直观——物理或几何模型，用现实事物中量的不同层次的相对性解释无穷大和无穷小。所以有人说，莱布尼茨其实是半个理性主义，因为他在理性困厄之时，不得不借助经验。（［9］，p．130）例如，他认为点同直线不能相比，所以点加到直线上从直线上去掉等于不加也不减。于是，“当我们谈到有不同阶的无穷大与无穷小时，就象对恒星的距离而言，把太阳看成一个点；对地球半径而言，把普通的球看做一个点。这样，恒星的距离对于普通球的半径而言是无穷的无穷大，或无穷倍的无穷大。”［10］而“如果你不承认无限长、无限短线段具有形而上学的严密性，也不承认它们是实在的东西，那么你一定可以把它们当作一种能够缩短论证的思想的东西来使用，正如在普通分析中使用虚根一样，……老实说，我不十分相信除了把无限大、无限小看作理想的东西，看作有根据的假设，还有什么必要去考察他们，”甚至“我不相信确有无限大量和无限小量存在，它们只是虚构，但是对于缩短论证和在一般叙述中是有用的虚构。”［（10）］可见，莱布尼茨主要是把微积分当作了求得正确结果的一种方法，只要按这个方法去做，就能得出正确的结果，而不必关心基本概念怎样。事实上，莱布尼茨对于微积分基础的这种看似冒失的大胆相信态度，反倒可能促进了微积分及其应用的迅速发展。（［11］，p．359）
三、单子论：理性的僭越
莱布尼茨是古往今来唯一的一位驰骋于数学思想的两个宽广的、对偶的领域——分析与组合或连续和离散领域的数学大师，而且在每个领域都表现了人类的最高能力。（［2］，p．119）这除了他的已为人所周知的天赋和勤勉以外，就数学内部而言，最合理的解释应该是莱布尼茨数学研究的代数出发点和哲学研究方式。他的“通用语言”工作，今天看来实际上是在创立一种普遍适用的逻辑代数（数学）。而在微积分上，尽管他赞同那种认为无穷小需要一个几何学基础的偏见，但是他达到微积分的途径却是代数的和哲学的，而不是几何的。莱布尼茨的发现起因于寻找一个无限聚敛数列或交错级数1／1－1／3＋1／5－1／7＋……之和（＝π／4）的方法（最后莱布尼茨给出了自己满意的最一般的公式：arctgx=x=x[,3]/3+x[,5]/5+x[,7]/c+……）。在莱布尼茨看来：微分学就是确定这种数列极限的一种方法，所以他才习惯于将无穷小等视作有限量；积分学则是发现数列总和的一种方法，因而他的积分总是今天所说的定积分，而不是牛顿的不定积分。（［6］，p．219）在莱布尼茨时代，几何学由于笛卡尔和费尔马杰出的工作而倍受数学界欢迎，莱布尼茨抱着“通用数学”的信念，企图运用几何方法解决代数问题，结果却将自己代数的观点导入几何学，从而做出了对“天地间通用的微积分”的发现。（［12］，p．170）因此，为了深入追索莱布尼茨数学创造的思想渊薮，必须诉诸他的数学观及所接受的研究传统。
莱布尼茨最早的思想活动是在哲学领域，这与其父作为一个道德哲学教授的影响有关。少年莱布尼茨读了不少古典哲学著作，入大学后又首先接受了雅可布·托马修斯教授严格的经院哲学训练。他的毕业论文Deprincipioindividui（《论个体原则》）就是维护经院哲学中唯名论派观点的。尽管莱布尼茨后来到巴黎去认真学习和研究数学，并且首先在数学上有了划时代的贡献，但作为其全部科学研究起点的思维观念与思想传统却是在早年打下的，而且一生基本没有什么大的变化。（［13］，p．164）这在他的著作《新系统》（1695）中有明确表述。
虽然莱布尼茨生前没有留下一部令自己满意的哲学著作，他在哲学方面的所有主要著作都是为了某个人而写，但他却是第一个创立独立哲学体系的德国人。这体系的“拱心石”通常称为“单子论”，他自己则称之为“前定和谐系统”。
作为单子论核心范畴的单子是一种没有部分的只是组成复合物的单纯实体。（［14］，p．483）莱布尼茨认为单子具有六种规定性：（1）单子是最小的精神实体，它是能动的而又不具有广延（可分）性，因而是世界的实（主）体；（2）单子是上帝创造的，因其不能通过组合而生，只能凭创造而生，凭毁灭而亡；（3）单子是彻底孤立的实体，绝对封闭，各自独立；（4）每个单子各具不同的质，因其没有量的规定性，所以实际上存在着无限多样的单子；（5）单子运动变化的原因在自身，每个单子都是一个“力的中心”；（6）单子的基本属性是知觉，知觉反映自身和他物，因此每一个单子都是宇宙的一面永恒的镜子。从单子的规定出发，莱布尼茨提出了他的本体论原则：第一，连续性原则，认为宇宙是一个从低级到高级的发展过程；第二，前定和谐原则，认为各自独立的单子能同时一致行动的原因来自前定和谐；第三，普遍联系原则，认为整个宇宙中的单子和事物均处于普遍的相互联系之中。以上三个原则，连续性是用来调和事物质的对立的，前定和谐是用来调和“不可分点”（间断）与“连续性”的矛盾的，普遍联系则为了调合有限与无限、个别与一般、部分与整体的矛盾。［15］
上述本体论承诺决定了莱布尼茨的认识论必然是一种主张能动性然而却是唯心的先验论体系。它最终注定莱布尼茨的方法论只能是一种以逻辑为主干的多元方法论，既相信直觉，又看重形式。［15］他不仅承继了笛卡尔、斯宾诺莎一贯的唯理论传统，而且将理性主义原则扩展到在前者的哲学中遭拒斥的许多领域。他从哲学出发去理解科学活动及其本质，数学也仅是其哲学探索的一种智力模型。譬如，他的微分就是“原形先蕴”，通过形而上学的解释假定的。莱布尼茨注重运算的过程和探究结果。他在对待作为微积分逻辑基础的无穷小时，既不怯懦回避，也不轻易神秘化，而是从有限差开始，充满自信地大胆使用无穷小量及其阶，就如他自己所说，仅仅诉诸智力，更注重这种方法的运算性质。［16］他相信，假如他清楚地给出了适当的运算法则，并且把它们应用得恰当，就一定会得到某种合理的、正确的结果。他似乎觉得，根据充足理由（前定和谐）律，他就可以在这方面来实现从可能性到现实性的转变。（［6］，p．222）为此，他特别强调理论内容的形式化问题。他所建立的“通用数学”及无穷小量运算都是符号和术语体系的极好范例，是真正的现代意义形式化的始祖。
于是，我们不难理解，莱布尼茨为什么在离散与连续或组合与分析两个不同数学领域都表现出了同样的研究方式和最高创造力，因为它们在“理性”上是一致的。接续以“离散”为基础，是“离散”的连续，就如同“认识”不过是单子的活动而已。所以，莱布尼茨一直以代数的、有限的方法研究分析的、无限性的问题。这种研究在观念上从属于按照准确本体论原则建构起来的认识目的，它试图“在理智活动的各个领域内的那些早期传统间的看起来不可调和的矛盾冲突中创造出一个新的综合。”（［17］，p．4）
当然，莱布尼茨这种近于偏执和幻想式的理性主义传统，也使其数学研究遇到了许多困难。首先是在微积分的基本概念上，作为研究基础的无穷小量始终不明确，要么看作要多小有多小，要么看作理想之物，要么看作是纯粹然而有用的虚构，将科学基础概念的界定最终留给了信仰。其次是他的数学研究在逻辑上是不严谨的，尽管他发展了逻辑学，但其推导是不严格的，有主观臆造成分。特别是其微积分表示法的优越性更强烈地掩蔽了这一学科的逻辑基础，使之在严格论述方面走上了歧途。（［12］，p．234）至于他的理论推导中有时包含逻辑错误，如曾认为d（uv）＝dudv、d（u／v）＝du／dv（1675），这已属情理之中的事。他的零乱的工作如果不经Bernoulli兄弟整理加工，就很难有后来的局面。此外，英国科学家牛顿关于微积分严谨而扎实的工作更表明，对数学的发明与创造而言，理性主义方法也并不是唯一有效和可靠的途径。
四、流数术：数学需要两种传统
1705年《教师学报》上发表了一篇评述牛顿《求积术》的论文。文中说到，在那本书里只不过是把莱布尼茨的微分换成了流数。言下之意，两者实质上不外是同一样东西。这在那个极重个人荣誉的时代，无疑于掷出一枚重磅炸弹，立刻激起轩然大波，引发了究竟牛顿和莱布尼茨谁先发明了微积分的长时间争论。为此，英国皇家学会还于1712年在其《通讯》上公布了评判结果：“微分法和流数法是一回事，只是名称和记法不同而已；牛顿先生称之为瞬或流数的那些量，莱布尼茨先生称为微积分，并用牛顿先生不曾用过的记法，记作字母d。”（［6］，p．235）显然，上述两种看法是截然对立的。由于这种争论只是涉及发明的优先权问题，所以对微积分的进步没有任何益处。但争论也反映出一个问题，即当时的人们（包括牛顿和莱布尼茨本人）除了发觉两种微积分在概念和记法上不同外，并没有看出二者质的联系与差别。关于微积分的基础工作，是两个人去世后很久的事。
众所周知，就牛顿而言，他首先是个物理学家或主要是力学家。这不仅可以从其科学成就看出，而且在其对待微积分的方式上也表露得十分清楚。他称自己的微积分为流数术，即表明主要是为解决流体力学等问题而探讨和使用的新方法。牛顿关于微积分的主要著述有三部：《运用无穷多项方程的分析学》（1669）、《流数法和无穷级数》（1671）、《曲线求积术》（1690）。此外，他的代表作《自然哲学的数学原理》（1687）中也有不少论述。这些成果大致反映了牛顿对微积分的研究和认识的三个主要阶段。第一个阶段是静态的无穷小量方法阶段，他象费尔马等人一样把变量看作是无穷小元素的集合；第二个阶段是变量流动生成法阶段，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此把变量叫作流量，把变量的变化率叫流数；第三个阶段是最初比和最终比方法阶段，这种方法是牛顿对第一个阶段无穷小量方法的排除，转向极限观点。牛顿的微积分（流数术）中有三个重要概念：流量、流数和瞬。其中“瞬”是刚刚产生的一种无穷小量。这几个概念的提出，不仅使一切与变化率有关的问题有了统一认识和表述，而且直接揭示了原函数与导函数之间的可逆关系。由此可见，尽管牛顿后来用几何形式表述了微积分基本定理及其它一系列重要命题，但其把物理学作为出发点的做法却是十分明显的。就如他自己所说：“这里，流数术赖以建立的主要原理，及是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，就可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式之下产生的，至少经过类比和调整后可以如此。因此在产生这些具有固定的、可确定的关系的量时，其相对速度一定有增减，因而也就可以作为一个问题提出如何去求它们。”（［18］，p．Ⅺ）所以，“甚至最草率的牛顿研究者也明显看到，牛顿是一位彻底的经验主义者。”（［19］，p．198）
从物理经验出发，牛顿把速度、距离、加速度等作为中心概念，以变量x和y的无穷小增量作为求流数（导数）的手段（当增量越来越小时，流数实际上就是增量比的极限）；牛顿更多关心微积分的实际内容和基本方法，一些法则没有充分推广，对普通的讨论较少；他从变化率出发解决面积和体积问题，微分是其基础，通过微分及其逆来解决微积分问题。因此，作为自然科学家的牛顿处理问题十分严谨小心，讲究实在具体。人们认为他迟迟不发表微积分研究成果的原因，可能是因为没有为其基础找到合理的解释所致。德摩根甚至认为牛顿是由“一种病态的害怕别人反对的心理统治了他的一生。”（［20］，p．67）这和莱布尼茨那种从几何出发，整体求和的、注重推广和演绎的理性化方式大为不同。由此直接导致了他们所发明的微积分的基本差别：（1）莱布尼茨的微积分是由人工符号语言表述的法则与公式系统，他花了很多时间选择富有提示性的符号；牛顿的微积分主要是用自然语言进行叙述的数学体系，很少涉及符号，他基本认为符号无关紧要。（2）莱布尼茨的研究是从“整体”到“部分”，他首先讨论“和”即积分，用和来得到面积、体积或重心，其出发点是反微分；牛顿的研究是由“部分”到“整体”其基础是微分，他从变化率出发来解决面积和体积问题。（3）莱布尼茨的微分是高阶的，其积分是定积分；牛顿的微分是一阶的，其积分是不定积分。
但是，尽管在出发点、研究方式和表述形式上有巨大的差别，两人仍然创立了同一个微积分，并且彼此互补。经过他们的工作，微积分再不象希腊时期所有数学都是几何学的分支那样，被束缚在几何框架内，而是成为一个崭新的既不同于几何也不同于代数的独立的分析数学。并且，二人都不象他们的先驱那样仅限于解决某些实际问题，而是把微积分建立在一般问题和运算基础上，使之成为具有普遍性的通用方法。他们不再把微分问题和积分问题看作互不相干，而是找到了彼此的互逆关系，建立起微积分基本定理，使面积、体积及以往作为求和来处理的各种问题都归并为反微分，为求积运算开辟了一条新的便捷途径。这样，经过二人不懈的努力，微积分作为“天地间通用”的学科终于获得了资格证书。
在科学史上，几个人同时创造一项科学成就的事例并不少见。但是，牛顿和莱布尼茨各自从不同的研究传统出发发明了微积分，对数学的进步有着特别的意义。原因在于，微积分处于古代数学向近代数学转折的关节点上。经过微积分，近代以来的数学观及其方法论已大为改观，所以许多讨论近代数学的书往往称“微积分以来的数学”。（［21］，p．51）牛顿的工作无疑再一次表明了数学与经验的不可分割性，而莱布尼茨则以自己的探索证明了理性要素在近代数学发展中的增长。300年后的今天，数学哲学关于数学真理的实在性与非实在性问题的讨论进一步印证了两种数学传统对现代数学的发展都是必不可少的。
同样，莱布尼茨关于通用数学语言的构想，由于过份浪漫和理性化，也只是在200年后才找到自己数学的“经验”基础，从而经过皮亚诺、罗素等人的工作部分地成为现实。其思想为后来的逻辑经验主义者特别是卡尔纳普等人所继承和推广，开启了人工语言学的先河。这种状况与其说是历史造成的，毋宁说是数学和科学自身的特性使然。
数学的发展再一次证明了经验主义传统和理性主义传统同为科学进步的思想源泉，它们之间的一定的张力状态是数学能够顺利发展的思维基础，而牛顿治学的严肃审慎与莱布尼茨运思的浪漫机警同为科学工作者的必备素养。
参考文献
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微积分范文篇10
一、符号逻辑：“通用数学语言”
莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。（［1］，p．8）或者说，“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统，利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。在《论组合术》中，二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时，这会成为一种通用语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理；错误，除去那些事实上的错误，只会是计算上的错误。形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的，但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。”（［2］，p．123）在1679年9月8日给惠更斯的信中他又写道，有一个“完全不同于代数的新符号语言，它对于精确而自然地在脑子里再现（不用图形）依赖于想象的一切有很大的好处。……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理，这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来，因而不得不作出无穷多个无用的试验；另一方面，这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。”（［3］，p．151～152）
综合莱布尼茨零零碎碎的设想，他的宏伟规划大体旨在创造两种工具：其一是通用语言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除现存语言的局限性和不规则性，使新语言变成世界上人人会用的具有简明符号、合理规则的语言，规定符号的演变规则与运算规则，使逻辑演变依照一条明确的道路进行下去，进而解决所有可用语言表达的问题。
为此，莱布尼茨做了两方面的努力：一是寻找能够代表所有概念并可认作最根本的不可分析的符号；二是给出表述诸如断定、合取、析取、否定、全称、特殊、条件联结等形式概念的设计。关于第一方面，莱布尼茨首次设想用数目代表原初概念，而逻辑演算则用如同算术中的乘或除来代替。他认为用这种数字的不同方式排列组合，进行各种运算，就可产生无穷多的复合概念。这一思想后来改进为以素数代表基本概念，而复合词项即可借分解相应的数字成为它们的素数因子来加以分析。以“人是理智动物”为例，用素数“3”代表“动物”、“5”代表“理智”，则“人”即以“15＝3．5”代表。为了更好地构设“通用语言”，莱布尼茨又以设想的“人类概念字母表”为语言词汇基础创制了一些逻辑符号，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下来。
关于第二方面，莱布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三个年代为标志划分为三个阶段。（［4］，pp．271～273）
第一阶段，莱布尼茨改进从数字代替概念以其演算，代之以对普通命题经验分析为基础的代数逻辑。他以全称肯定命题“a是b”的形式开始，提出五条基本演算规则：（1）ab是ba（交换律）；（2）a是aa（重言律）；（3）a是a（同一原则）；（4）ab是a或ab是b（化简原则）；（5）如a是b且b是c，则a是c（传递原则）。以此为据，他证明了同一和包含两个逻辑系词之间的重要关系，即，如a是b且b是a，则a与b是同一的。进而，他又提出四个定理：（1）如a是b且a是c，则a是bc；（2）如a是bc，则a是b且a是c；（3）如a是b，则ac是bc；（4）如a是b且c是d，则ac是bd。由此可见，莱布尼茨在第一阶段的逻辑演算已相当完善和科学化，为逻辑的系统化打下了坚实的基础。
第二阶段，莱布尼茨用等式符号作系词符号，借公式A＝BY表述全称肯定命题（Y为一未确定的系数，用以修饰B而使B成为A的一部分），同时提出双重否定之为肯定，即“非非A＝A”，并由此演释出一系列定理。为了进一步发展演算，莱布尼茨还试图通过与属性组合的关系，用代数方法来描述四个直言命题，甚至对四个直言命题的表示法提出了九个方案。
第三个阶段，莱布尼茨最有价值的工作是罗列了十四个基本命题：（1）A＝A＋A“＋”表示逻辑相乘，下同）；（2）如A＝B且B＝C，则A＝C；（3）如A＝B且B≠C，则A≠C；（4）如A＝B，且B＜C，则A＜C；（5）如A＝B且C＜B，则C＜A；（6）如A＝B且C＝D；则A＋C＝B＋D；（7）如A＝B，则A＋C＝B＋C；（8）A＜B，则A＋C＜B＋C；（9）如A＋B＝A，则B＜A；（10）如B＜A，则A＋B＝A；（11）如A＜B且B＜C，则A＜C；（12）如A＜B且B＜A，则A＝B；（13）如A＜C且B＜C，则A＋B＜C；（14）如A＜B且C＜D，则A＋C＜B＋D。为适应逻辑相除，他又引进逻辑相减运算，定义为：如B包含在A中且C包括除去内容B之外的整个A的内容，则A－B＝C。如前例“人＝动物＋理智”即可推为“人－理智＝动物”。
上述符号构设显示，莱布尼茨的中心思想是致力于以符号表示普遍概念的“通用语言”和以代换法进行数学演算他自称的“通用数学”。就今天的眼光看来，他实际上已经发现了符号逻辑的若干重要原则和定理，触及到后由哈米尔顿所阐发的谓项量化问题，认识到在直言与假言命题之间的基本类比（即原因包含它的结果正如主项包含它的谓项），并且把握了逻辑相加的问题，甚至讨论过非三段论的关系推理。因此，莱布尼茨实际上已探察到后来为布尔和施罗德所发展的逻辑代数的整个基础。数理逻辑学家有没有看过莱氏的著作，知道不知道莱氏的计划，但所作的研究大体上都是沿着莱氏所期望的方向进行的。”（［5］，p．10）所以，整个数学界都一致公认他是数理逻辑的首创者和真正奠基人。
莱布尼茨的符号数学研究在生前没有公布，结果使数理逻辑的发展延迟了一个半世纪。（［4］，p．119）可他关于微积分的成果却由于较早发表而惠泽数学界并引发一场争论持久的历史公案。
二、微积分：“理性的代数学”
1684年莱布尼茨在莱比锡的《教师学报》（ActaEruditorum）上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》（简称《新方法》）的文章。这是他关于微分计算要点的代表作，全文只有六页。1686年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章，实际可看作《新方法》的续篇。
莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。当这两无限减小时，曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时，矩形上面的那个三角形可以忽略不计，此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。
早在1666年，莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。（［6］，pp．216～217）在帕斯卡三角形中，任意一个元素既等于其上一行左边各项之和，又等于其下一行相邻两项之差；而在调合三角形中，任一元素均是其下一行右边各项之和，也是紧靠其上两项之差。
算术三角形调合三角形
莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差和微分：
自然数0，1，2，3，4，5，…y
一阶差1，1，1，1，1，1，…dy
二阶差0，0，0，0，0，…
自然数平方0，1，4，9，16，…y
一阶差1，3，5，7，…dy
二阶差1，2，2，2，…d（dy）
三阶差1，0，0，…
他把这些与微积分联系起来：一阶差相当于dy，它们的和等于y，如1＋3＋5＋7＝16。莱布尼茨认为，这种和与差之间的互逆性，与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值，而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算时，已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。（［10］，p．392）由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点，而不是几何出发点。（如［7］，p．101）
为解决求积问题，莱布尼茨把流动纵坐标是y的平面曲线下的曲边梯形的面积用符号y表示。这样，曲线的纵坐标就与面积变量明显地联系起来。过了几年，他便用“sydx”表示面积，“∫”是“Sum（和）”的第一个字母“S”的拉长。
在求量的差即微分方面，莱布尼茨先是引进了符号“x／d”表示x的微分，意思是求“差”要关系到量的同次的降低，并且他还认为，如果同时出现不同阶的微分，则只留下最低阶的，而把所有高阶的微分舍去。至于这样做的理由，莱布尼茨虽提供了多种解释，但都不充分，其实毋宁说他是当作“公理”来使用的。后来，他将“x／d”改为“dx”，一直沿用至今。
从上述思路出发，莱布尼茨给出了微积分的基本公式：
d（x±y）＝dx±dy（1）
d（xy）＝xdy＋ydx（2）
d（x／y）＝ydx－xdy／y［2］（3）
对于（2），他的推导是，令x、y分别成为x＋dx、y＋dy，则
（x＋dx）（y＋dy）＝xdy＋ydx＋dxdy＋xy于是d（xy）＝（x＋dx）（y＋dy）－xy＝xdy＋ydx＋dxdy
dxdy是比xdy＋ydx高一阶的无限小量，可以舍去，所以d（xy）＝xdy＋ydx
用同样的方法也可推导出公式（1）和（3）。
有了微分法的基本运算律，对整指数的幂函数x［n］就有dx［n］＝nx［n－1］。又由于求和是求差的逆运算，所以还有∫x［n］dx＝1／n＋1x［n＋1］（n≠－1）。这两个公式虽只对n是正整数情况而言，但莱布尼茨却断然宣布它们当n取其它数值时仍然成立。接着，莱布尼茨陆续地推导出指数和对数等超越函数的微分公式。
莱布尼茨的微积分算法是在解决几何和物理问题的过程中建立和完善起来的。他边建立新算法，边用这种算法解决当时物理学与几何学提出的疑难问题，有时还用老方法来解决问题以检验新方法的正确性。除了切线问题、极值问题、曲率问题、求积问题等几何问题，他还曾用新方法证明了光的折射定律。所有这些都显示了新算法比传统方法更加优越。
除了以上成果，莱布尼茨在微积分方面的具体研究还有：（1）复合函数的微分法则；（2）弧微分法则ds=根号下dx[,2]+dy[,2]；（3）对数函数和指数函数的微分法则；（4）在积分号下对参变量求微分的方法；（5）曲线绕x轴旋转所成的旋转体体积公式V＝π∫y［2］dx；（6）求切线、求最大值最小值以及求拐点的方法；（7）讨论曲率，密切圆和包络理论。（［8］，pp．394～395）
莱布尼茨微积分研究的背景与当时整个西欧的数学家们是一致的，他的工作基础也是建立在对无穷小的分析上。因此，此后很长一段时间，人们一直把微积分叫无穷小分析。由于莱布尼茨从有限差值开始无穷小的运算，因而他最初曾试图将实无穷小代之以与其成比例的有限数量，即不用dx、dy本身，而用它们的比值dy／dx。他以为把dx、dy看成有限量，问题就解决了。但是，比值dy／dx的获得同样需要说清dx、dy两个量本身的实际情况，而不能有半点含糊。于是，莱布尼茨提出用“充分大”和“充分小”去代替无穷大和无穷小。他解释说：“我们可以不用无穷大、无穷小，而用充分大和充分小的量，使得误差小于给定的误差限度，所以我们和阿基米德方式的不同之处仅仅在于表达方面，而我们的表达更为直接，更适合于发明家的艺术。”（［8］，p．401）为了更好地说明这一点，他不得不诉诸于感性的直观——物理或几何模型，用现实事物中量的不同层次的相对性解释无穷大和无穷小。所以有人说，莱布尼茨其实是半个理性主义，因为他在理性困厄之时，不得不借助经验。（［9］，p．130）例如，他认为点同直线不能相比，所以点加到直线上从直线上去掉等于不加也不减。于是，“当我们谈到有不同阶的无穷大与无穷小时，就象对恒星的距离而言，把太阳看成一个点；对地球半径而言，把普通的球看做一个点。这样，恒星的距离对于普通球的半径而言是无穷的无穷大，或无穷倍的无穷大。”［10］而“如果你不承认无限长、无限短线段具有形而上学的严密性，也不承认它们是实在的东西，那么你一定可以把它们当作一种能够缩短论证的思想的东西来使用，正如在普通分析中使用虚根一样，……老实说，我不十分相信除了把无限大、无限小看作理想的东西，看作有根据的假设，还有什么必要去考察他们，”甚至“我不相信确有无限大量和无限小量存在，它们只是虚构，但是对于缩短论证和在一般叙述中是有用的虚构。”［（10）］可见，莱布尼茨主要是把微积分当作了求得正确结果的一种方法，只要按这个方法去做，就能得出正确的结果，而不必关心基本概念怎样。事实上，莱布尼茨对于微积分基础的这种看似冒失的大胆相信态度，反倒可能促进了微积分及其应用的迅速发展。（［11］，p．359）
三、单子论：理性的僭越
莱布尼茨是古往今来唯一的一位驰骋于数学思想的两个宽广的、对偶的领域——分析与组合或连续和离散领域的数学大师，而且在每个领域都表现了人类的最高能力。（［2］，p．119）这除了他的已为人所周知的天赋和勤勉以外，就数学内部而言，最合理的解释应该是莱布尼茨数学研究的代数出发点和哲学研究方式。他的“通用语言”工作，今天看来实际上是在创立一种普遍适用的逻辑代数（数学）。而在微积分上，尽管他赞同那种认为无穷小需要一个几何学基础的偏见，但是他达到微积分的途径却是代数的和哲学的，而不是几何的。莱布尼茨的发现起因于寻找一个无限聚敛数列或交错级数1／1－1／3＋1／5－1／7＋……之和（＝π／4）的方法（最后莱布尼茨给出了自己满意的最一般的公式：arctgx=x=x[,3]/3+x[,5]/5+x[,7]/c+……）。在莱布尼茨看来：微分学就是确定这种数列极限的一种方法，所以他才习惯于将无穷小等视作有限量；积分学则是发现数列总和的一种方法，因而他的积分总是今天所说的定积分，而不是牛顿的不定积分。（［6］，p．219）在莱布尼茨时代，几何学由于笛卡尔和费尔马杰出的工作而倍受数学界欢迎，莱布尼茨抱着“通用数学”的信念，企图运用几何方法解决代数问题，结果却将自己代数的观点导入几何学，从而做出了对“天地间通用的微积分”的发现。（［12］，p．170）因此，为了深入追索莱布尼茨数学创造的思想渊薮，必须诉诸他的数学观及所接受的研究传统。
莱布尼茨最早的思想活动是在哲学领域，这与其父作为一个道德哲学教授的影响有关。少年莱布尼茨读了不少古典哲学著作，入大学后又首先接受了雅可布·托马修斯教授严格的经院哲学训练。他的毕业论文Deprincipioindividui（《论个体原则》）就是维护经院哲学中唯名论派观点的。尽管莱布尼茨后来到巴黎去认真学习和研究数学，并且首先在数学上有了划时代的贡献，但作为其全部科学研究起点的思维观念与思想传统却是在早年打下的，而且一生基本没有什么大的变化。（［13］，p．164）这在他的著作《新系统》（1695）中有明确表述。
虽然莱布尼茨生前没有留下一部令自己满意的哲学著作，他在哲学方面的所有主要著作都是为了某个人而写，但他却是第一个创立独立哲学体系的德国人。这体系的“拱心石”通常称为“单子论”，他自己则称之为“前定和谐系统”。作为单子论核心范畴的单子是一种没有部分的只是组成复合物的单纯实体。（［14］，p．483）莱布尼茨认为单子具有六种规定性：（1）单子是最小的精神实体，它是能动的而又不具有广延（可分）性，因而是世界的实（主）体；（2）单子是上帝创造的，因其不能通过组合而生，只能凭创造而生，凭毁灭而亡；（3）单子是彻底孤立的实体，绝对封闭，各自独立；（4）每个单子各具不同的质，因其没有量的规定性，所以实际上存在着无限多样的单子；（5）单子运动变化的原因在自身，每个单子都是一个“力的中心”；（6）单子的基本属性是知觉，知觉反映自身和他物，因此每一个单子都是宇宙的一面永恒的镜子。从单子的规定出发，莱布尼茨提出了他的本体论原则：第一，连续性原则，认为宇宙是一个从低级到高级的发展过程；第二，前定和谐原则，认为各自独立的单子能同时一致行动的原因来自前定和谐；第三，普遍联系原则，认为整个宇宙中的单子和事物均处于普遍的相互联系之中。以上三个原则，连续性是用来调和事物质的对立的，前定和谐是用来调和“不可分点”（间断）与“连续性”的矛盾的，普遍联系则为了调合有限与无限、个别与一般、部分与整体的矛盾。［15］
上述本体论承诺决定了莱布尼茨的认识论必然是一种主张能动性然而却是唯心的先验论体系。它最终注定莱布尼茨的方法论只能是一种以逻辑为主干的多元方法论，既相信直觉，又看重形式。［15］他不仅承继了笛卡尔、斯宾诺莎一贯的唯理论传统，而且将理性主义原则扩展到在前者的哲学中遭拒斥的许多领域。他从哲学出发去理解科学活动及其本质，数学也仅是其哲学探索的一种智力模型。譬如，他的微分就是“原形先蕴”，通过形而上学的解释假定的。莱布尼茨注重运算的过程和探究结果。他在对待作为微积分逻辑基础的无穷小时，既不怯懦回避，也不轻易神秘化，而是从有限差开始，充满自信地大胆使用无穷小量及其阶，就如他自己所说，仅仅诉诸智力，更注重这种方法的运算性质。［16］他相信，假如他清楚地给出了适当的运算法则，并且把它们应用得恰当，就一定会得到某种合理的、正确的结果。他似乎觉得，根据充足理由（前定和谐）律，他就可以在这方面来实现从可能性到现实性的转变。（［6］，p．222）为此，他特别强调理论内容的形式化问题。他所建立的“通用数学”及无穷小量运算都是符号和术语体系的极好范例，是真正的现代意义形式化的始祖。
于是，我们不难理解，莱布尼茨为什么在离散与连续或组合与分析两个不同数学领域都表现出了同样的研究方式和最高创造力，因为它们在“理性”上是一致的。接续以“离散”为基础，是“离散”的连续，就如同“认识”不过是单子的活动而已。所以，莱布尼茨一直以代数的、有限的方法研究分析的、无限性的问题。这种研究在观念上从属于按照准确本体论原则建构起来的认识目的，它试图“在理智活动的各个领域内的那些早期传统间的看起来不可调和的矛盾冲突中创造出一个新的综合。”（［17］，p．4）
当然，莱布尼茨这种近于偏执和幻想式的理性主义传统，也使其数学研究遇到了许多困难。首先是在微积分的基本概念上，作为研究基础的无穷小量始终不明确，要么看作要多小有多小，要么看作理想之物，要么看作是纯粹然而有用的虚构，将科学基础概念的界定最终留给了信仰。其次是他的数学研究在逻辑上是不严谨的，尽管他发展了逻辑学，但其推导是不严格的，有主观臆造成分。特别是其微积分表示法的优越性更强烈地掩蔽了这一学科的逻辑基础，使之在严格论述方面走上了歧途。（［12］，p．234）至于他的理论推导中有时包含逻辑错误，如曾认为d（uv）＝dudv、d（u／v）＝du／dv（1675），这已属情理之中的事。他的零乱的工作如果不经Bernoulli兄弟整理加工，就很难有后来的局面。此外，英国科学家牛顿关于微积分严谨而扎实的工作更表明，对数学的发明与创造而言，理性主义方法也并不是唯一有效和可靠的途径。
四、流数术：数学需要两种传统
1705年《教师学报》上发表了一篇评述牛顿《求积术》的论文。文中说到，在那本书里只不过是把莱布尼茨的微分换成了流数。言下之意，两者实质上不外是同一样东西。这在那个极重个人荣誉的时代，无疑于掷出一枚重磅炸弹，立刻激起轩然大波，引发了究竟牛顿和莱布尼茨谁先发明了微积分的长时间争论。为此，英国皇家学会还于1712年在其《通讯》上公布了评判结果：“微分法和流数法是一回事，只是名称和记法不同而已；牛顿先生称之为瞬或流数的那些量，莱布尼茨先生称为微积分，并用牛顿先生不曾用过的记法，记作字母d。”（［6］，p．235）显然，上述两种看法是截然对立的。由于这种争论只是涉及发明的优先权问题，所以对微积分的进步没有任何益处。但争论也反映出一个问题，即当时的人们（包括牛顿和莱布尼茨本人）除了发觉两种微积分在概念和记法上不同外，并没有看出二者质的联系与差别。关于微积分的基础工作，是两个人去世后很久的事。
众所周知，就牛顿而言，他首先是个物理学家或主要是力学家。这不仅可以从其科学成就看出，而且在其对待微积分的方式上也表露得十分清楚。他称自己的微积分为流数术，即表明主要是为解决流体力学等问题而探讨和使用的新方法。牛顿关于微积分的主要著述有三部：《运用无穷多项方程的分析学》（1669）、《流数法和无穷级数》（1671）、《曲线求积术》（1690）。此外，他的代表作《自然哲学的数学原理》（1687）中也有不少论述。这些成果大致反映了牛顿对微积分的研究和认识的三个主要阶段。第一个阶段是静态的无穷小量方法阶段，他象费尔马等人一样把变量看作是无穷小元素的集合；第二个阶段是变量流动生成法阶段，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此把变量叫作流量，把变量的变化率叫流数；第三个阶段是最初比和最终比方法阶段，这种方法是牛顿对第一个阶段无穷小量方法的排除，转向极限观点。牛顿的微积分（流数术）中有三个重要概念：流量、流数和瞬。其中“瞬”是刚刚产生的一种无穷小量。这几个概念的提出，不仅使一切与变化率有关的问题有了统一认识和表述，而且直接揭示了原函数与导函数之间的可逆关系。由此可见，尽管牛顿后来用几何形式表述了微积分基本定理及其它一系列重要命题，但其把物理学作为出发点的做法却是十分明显的。就如他自己所说：“这里，流数术赖以建立的主要原理，及是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，就可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式之下产生的，至少经过类比和调整后可以如此。因此在产生这些具有固定的、可确定的关系的量时，其相对速度一定有增减，因而也就可以作为一个问题提出如何去求它们。”（［18］，p．Ⅺ）所以，“甚至最草率的牛顿研究者也明显看到，牛顿是一位彻底的经验主义者。”（［19］，p．198）
从物理经验出发，牛顿把速度、距离、加速度等作为中心概念，以变量x和y的无穷小增量作为求流数（导数）的手段（当增量越来越小时，流数实际上就是增量比的极限）；牛顿更多关心微积分的实际内容和基本方法，一些法则没有充分推广，对普通的讨论较少；他从变化率出发解决面积和体积问题，微分是其基础，通过微分及其逆来解决微积分问题。因此，作为自然科学家的牛顿处理问题十分严谨小心，讲究实在具体。人们认为他迟迟不发表微积分研究成果的原因，可能是因为没有为其基础找到合理的解释所致。德摩根甚至认为牛顿是由“一种病态的害怕别人反对的心理统治了他的一生。”（［20］，p．67）这和莱布尼茨那种从几何出发，整体求和的、注重推广和演绎的理性化方式大为不同。由此直接导致了他们所发明的微积分的基本差别：（1）莱布尼茨的微积分是由人工符号语言表述的法则与公式系统，他花了很多时间选择富有提示性的符号；牛顿的微积分主要是用自然语言进行叙述的数学体系，很少涉及符号，他基本认为符号无关紧要。（2）莱布尼茨的研究是从“整体”到“部分”，他首先讨论“和”即积分，用和来得到面积、体积或重心，其出发点是反微分；牛顿的研究是由“部分”到“整体”其基础是微分，他从变化率出发来解决面积和体积问题。（3）莱布尼茨的微分是高阶的，其积分是定积分；牛顿的微分是一阶的，其积分是不定积分。
但是，尽管在出发点、研究方式和表述形式上有巨大的差别，两人仍然创立了同一个微积分，并且彼此互补。经过他们的工作，微积分再不象希腊时期所有数学都是几何学的分支那样，被束缚在几何框架内，而是成为一个崭新的既不同于几何也不同于代数的独立的分析数学。并且，二人都不象他们的先驱那样仅限于解决某些实际问题，而是把微积分建立在一般问题和运算基础上，使之成为具有普遍性的通用方法。他们不再把微分问题和积分问题看作互不相干，而是找到了彼此的互逆关系，建立起微积分基本定理，使面积、体积及以往作为求和来处理的各种问题都归并为反微分，为求积运算开辟了一条新的便捷途径。这样，经过二人不懈的努力，微积分作为“天地间通用”的学科终于获得了资格证书。
在科学史上，几个人同时创造一项科学成就的事例并不少见。但是，牛顿和莱布尼茨各自从不同的研究传统出发发明了微积分，对数学的进步有着特别的意义。原因在于，微积分处于古代数学向近代数学转折的关节点上。经过微积分，近代以来的数学观及其方法论已大为改观，所以许多讨论近代数学的书往往称“微积分以来的数学”。（［21］，p．51）牛顿的工作无疑再一次表明了数学与经验的不可分割性，而莱布尼茨则以自己的探索证明了理性要素在近代数学发展中的增长。300年后的今天，数学哲学关于数学真理的实在性与非实在性问题的讨论进一步印证了两种数学传统对现代数学的发展都是必不可少的。
同样，莱布尼茨关于通用数学语言的构想，由于过份浪漫和理性化，也只是在200年后才找到自己数学的“经验”基础，从而经过皮亚诺、罗素等人的工作部分地成为现实。其思想为后来的逻辑经验主义者特别是卡尔纳普等人所继承和推广，开启了人工语言学的先河。这种状况与其说是历史造成的，毋宁说是数学和科学自身的特性使然。
数学的发展再一次证明了经验主义传统和理性主义传统同为科学进步的思想源泉，它们之间的一定的张力状态是数学能够顺利发展的思维基础，而牛顿治学的严肃审慎与莱布尼茨运思的浪漫机警同为科学工作者的必备素养。
参考文献
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