微积分论文十篇

微积分论文篇1

【论文摘要】微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。

微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在计算图行面积和体积，初等数学中的一些应用。

一、在计算图形面积和立体图形体积上的应用

在学习和生活中，我们常常会遇到一些计算图形面积和体积的问题，而且这些图形大多是无规则的，对这些图形的计算，如果用我们中学的计算面积和体积的数学公式是无法解决，因为中学所学的这些公式都是对比较规则图形实用。但是我们应用了定积分，这样的问题就可迎韧而解。

1.计算平面图形的面积

例1.求抛物线y=x2与直线x+y=2所围的平面图形的面积。

分析：根据题目，我以在坐标系们可中画出y=x2和x+y=2所围的图形，即（图一）其中阴影部分就是所要求的平面图形的面积。

解：由于抛物线y=x2与直线x+y=2在A（-2，4）及B（1，1）相交，

所以S=f（x）dx，其中f（x）=（2﹣x）﹣x2（-2≤x≤1），于是有

S=[（2-x）-x2]dx=（2x--）]1-2=9/2

2.求立体图形的体积

用类似求图形面积的思想，我们也可以求一个立体图形的体积，例如求一个木块的体积，我们可以利用微元法，把木块划分成n份小块，其每一小块的体积厚度为xi，假设每一小块的横截面积为A（x）i则此小块的体积大约为A（xi）xi，从而将其所有的小块相加，我们可以得到其体积为V≈A（xi）xi，并且当其厚度xi趋于零时，由定积分定义有V=A（x）dx（其中a与b分别为计算体积时的起始值和终了值）。对于旋转体的体积，由于其平面截得旋转体的截面是一个圆，则设曲线y=f（x），其截面面积为A（x）=?仔[f（x）]2。于是，所求体积为V=A（x）dx=?仔[f（x）]2dx。

例2.一块由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax，（a>0a≤x≤3a）所共围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？

分析：（图二）斜线区域即为题意所指的区域，其旋转积求法，可将区域ABQD的旋转体积减去区域ABCD的旋转体积，即为所求。

解：首先来求区域ABQD的旋转体积：

V1=?仔?琢xdx=?仔?琢|=4?仔?琢3

而区域ABCD的旋转体积为一个其半径为a，高为2a的圆柱体，则V2=?仔?琢2•；2?琢=2?仔?琢3

区域CDQ的旋转体积为：V=V1-V2=4?仔?琢3-2?仔?琢3=2?仔?琢3

二、在初等数学中的应用

近些年来，定积分还越来越多的被应用到初等数学中的一些问题上面来，下面就来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限方面的应用。

1.证明不等式和等式

在运用积分来证明不等式时，一般要利用到积分的如下性质：设f（x）与g（x）为定义在[a，b]上的两个可积函数，若f（x）≤g（x），x∈[a，b]，则有：f（x）dx≤g（x）dx.

例3.设n∈N，求证：1n（n+1）<1++……+<1+1nn

证明：设是i任意一自然数，则有：

dx=1n|=1n-1n=1n-1n

在区间（，）上显然有i<=idx从而得：1n-1n<………（1）

<1n-1n…………（2）

由（1）式得：[1n-1n]<，所以有1n<

由（2）式得：=1+<1+[1n-1n]=1+1n

于是，综上所述：1n<1++……+<1+1n

以上是应用定积分的性质证明不等式，下面再看关于等式的证明。（注意：在运用定积分证明等式时，要根据等式的特点，作辅助函数，然后再直接积分从而证明等式。）

例4.证明：c+++……+=

证明：设f（x）=c+cx+……+cx=（1+x）n

f（x）dx=cx+x2+……+x

同时又有：（1+x）ndx=

cx+x2+……+x=

当x=1时，可得：c+++……+=

此外，定积分还可用来求和式，根据微分与积分互为逆运算的关系，先对和式积分，利用已知数列的和式得到积分和，再求导数即可，这里就不在介绍了。

2.求数列和的极限

在实际的学习中，我们会发现在计算一些数列和的极限时，可以利用定积分的计算法来求某些可以看成是积分和式的数列极限，这样，我们可得出一种求极限的新方法：若f（x）在[a，b]上连续，将[a，b]等分为几个小区间，x=记分点为：?琢=x0于是：f（x0+ix）x=f（x）dx，并且有些数列的一般项?琢n总可以设法写成?琢n=f（x0+ix）x，因此，有些数列的极限问题，则可以转化为定积分的计算问题。

例5.求：（++……+）

解：原式=（++……+）•；＝•；

取f（x）=且在[0，1]上连续，将[0，1]分成n个小区间，则有x=，分点为：0<<<……<<=1，于是有：f（x0+ix）x=•；，由定积分的存在定理有：原式=•；=dx=1n（1+x）|=1n2。

总而言之，微积分是与应用联系发展起来的。微积分的应用推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

文学，物理学，化学，工程学，经济学等自然科学，社会科学及应用科学各个分支中的发展，而且随着人类认识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

参考文献：

微积分论文篇2

关键词：模式方法，极限，微分，积分，分段函数

 

每年在教学过程中都会遇到许多同学学习微积分感觉困难的问题，其中一个主要原因就是同学们没有顺利完成从初等数学到高等数学的相应转变，而这里面学习方法的转变又是一个关键。对于初次接触大学数学--微积分的大一新生而言，在微积分学习过程中，掌握相关的几个重要“模式”就显得尤其重要了。下面就在一元函数微积分学习过程中所遇到的几种“模式方法”进行探讨。

一、关于极限

众所周知，函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具，它贯穿微积分的始终，掌握好函数的极限这一工具，对微积分的学习有着举足轻重的意义。

1．有理函数极限模式

当自变量时，比如对有理函数极限（其中分子和分母均为多项式）而言，该“模式”的特点为：若分母的极限， 则；若分母的极限，而，则；若，则分子分母定可找到相同公因式，约分化简后再按上述两步继续讨论。即，

另外当自变量时，极限取决于分子分母的最高次项的次数，当次数相等时，极限为分子分母最高次项的系数比；当分母的次数高于分子的次数时，极限；当分母的次数低于分子的次数时，极限。论文参考，微分。

2、两个重要极限模式；

第一重要极限模式有两个显著特点：作为分子的正弦函数所包含的表达式要和分母的表达式完全一样；该一样的表达式为在某一变化过程中的无穷小量；结论：该极限为1，即。论文参考，微分。此处需要注意的是，不论自变量是在在何种变化过程下，只需保证表达式即可。论文参考，微分。

第二重要极限亦具有两个类似的特点：底数一定要是1加上某个表达式，而指数是底数所加表达式的倒数；指数部分的表达式要为无穷大。结论：该极限值等于。即。对第二重要极限需要注意的是，在幂指函数的极限中，若底数可分离出1加某个表达式，且该表达式为无穷小，则其一般可以凑出第二个重要极限的模式。

3、无穷小等价替换模式

等价无穷小是一个非常有用的知识点，既然等价，我们就可以替换，从而就有了“无穷小等价替换模式”。该模式一般应用于分时极限，是仅在乘除法时使用，即若，（其中）。

二、关于微分

微分是微积分这门课程的重要构成部分，微分最核心的部分可用微分模式来概括，即函数的微分等于该函数的导数乘以自变量的微分。比如，函数的微分。这里需要强调的是微分一定等于导数乘以自变量的微分，而自变量的微分一般是初学微积分者易于忽略掉的地方

另外，即便是复合函数的微分也遵循这一模式：例如，复合函数的微分

三、关于积分

积分这部分有两个模式是非常重要的

1、奇零偶倍模式，完整的描述为奇函数在对称区间的积分为零，偶函数在对称区间的积分等于2倍的的积分。即

该模式对于计算对称区间上的定积分非常有用，可以节省诸多时间。

例：，其实该积分是不需要利用区间可加性去讨论去掉积分符号的。

2.积分上限函数模式（变上限定积分模式）

这里其实是只讨论积分上限函数的导数的求法，该模式的内容为积分上限函数的导数等于把积分上限带入被积函数后再乘以积分上限的导数。

例：

四、关于分段函数

微积分还有一个能够令初学者非常困惑挠头的地方，那就是讨论分段函数在分段点的极限、连续性、可导性的问题，此处由于都与分段函数有关，从而可归纳为“分段函数模式”。

“分段函数模式”的特点：一定要利用相应的定义（或相应的充要条件）去研究函数在其分段点处的极限、连续性与可导性。论文参考，微分。

分段函数在分段点处的极限左、右极限存在且相等；

分段函数在分段点处连续左、右连续；

分段函数在分段点处可导左、右导数存在且相等。论文参考，微分。

其中，左右极限，左右连续，左右导数一定要用相应的定义去求解或判断。论文参考，微分。

例：讨论函数在处的的连续性。

解：错误解法，，所以函数在处连续。错在忽略 函数在处左右两侧的表达式不一样这个问题。而利用“分段函数模式”解法：，右连续；

，不左连续，从而函数在处不连续。

例：讨论函数在处的导数。

解： 从而。

这种方法显然是错误的，而一旦我们应用“分段函数模式”，这种错误就可以避免。

，

。

显然在处不可导。

参考文献

[1]同济大学数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2007。

[2]赵树嫄，微积分[M]，北京：中国人民大学出版社，2007。

微积分论文篇3

[关键词]概率论；微积分；应用

[中图分类号]O172[文献标志码]A[文章编号]2096-0603（2017）36-0182-02

概率论主要是在高等数学教学后开设的数学课程之一，不属于高等数学的后續，在一定程度上属于微积分思想的一种延伸，这也进一步形成了新数学研究项目与内容。概率论知识在发展过程中与微积分有较大差距，概率论主要是对数学中随机变量方式进行深入研究，并逐渐成为随机数学知识的主要体现与代表，与微积分知识有相同的重要位置与作用，较好地提高了数学研究的生命力，促进数学研究的不断发展与完善。

根据这一问题我们可以得知机械设备在t0时间段正常进行工作，进一步可知其相应的初始条件为P（0）=1，在将相应的条件进行带出，可得知c=1，解得P（t）=e-at，因此该机械设备在t0至t0+t时间段中，机械设备正常运行的概率为e-at。

这一问题主要属于概率论中对概率求解的问题，在求解过程中，对微积分理论中极限思维知识进行了充分运用，在一定程度上较好地证明了概率论知识与微积分知识之间具有较为密切的联系。与此同时，在对概率论中期望值与方差进行充分计算期间，也对微分方法进行了科学与灵活的使用。

综上所述，对概率论中微积分思想的应用进行深入研究期间，主要对概率论中微增量知识的使用、概率论中数量级的使用、概率论中Γ（α）函数指数的运用等概率论问题进行了充分分析，证明了微积分思想与概率论之间的密切联系。同时微积分思想在概率论中的应用还有较大的空间范围，对概率空间的创建也有较大的作用。其中，微积分知识也属于概率论形成的主要基础，对概率论知识的使用也可将微积分思想进行丰富。

参考文献： 

[1]宋殿霞.基于概率论与微积分的知识关联的教学研究[J].现代商贸工业，2016（34）：368-369. 

微积分论文篇4

【关键词】微积分；发展；高等数学

微积分对于高等数学的意义非常重大.一方面，微积分是所有高等数学知识的基础，如学习线性代数和概率，学生都要掌握微积分知识.另一方面，微积分是前人为了解决实际生活中的难题而发明的，所以微积分与实际生活密不可分.对于科技的发展，知识是前提，微积分涉及生活中的各个学科领域，所以，高等学校的学生要想更好地适应科技发展，就必须学习和掌握微积分知识.

一、微积分的发展

微积分主要包括极限、微分学、积分学.早在古希腊时期，学者阿基米德在研究有关球的问题时就已经涉及了积分学.至于极限学，作为微积分研究的基础，早在我国古代就已经开始应用，只不过那时人们没有将它单独规范为一门学科.

微积分的发展历史就是一部人类对自然认知的过程史.17世纪，人类的知识体系还不是很完善，对于一些计算问题束手无策，这就要求人类找到一种科学方法来解决这些疑问，于是科学家们开始研究微积分.困扰当时人类的难题主要为四类，第一类问题出现在物体运动中，即速度问题.第二类问题出现在曲线中，即曲线的切线问题.第三类问题出现在函数中，即函数的极值问题.第四类问题出现在力学中，即两个物体之间的作用力问题.人类的求知欲引导着科学家进行漫长的探索.

17世纪，各个领域的科学家在微积分领域开始了研究，他们的国度不同，语言不通，信仰不同，但对于研究的目标是一致的，那就是解决问题，虽然没有最终总结出完整的理论，但他们的探索为后世的研究奠定了道路，也为微积分学说的提出作出了不小的贡献.

17世纪中叶，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨经过总结前人成果和自己的不断探索终于提出了微积分学说，但还只是初步.直到1671年牛顿写了《流数法和无穷级数》，提出了微积分的主要思想.1684年莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这本书提出了精确的数学符号，也规范了微积分学说.

19世纪初，以柯西为首的法国科学家，开始整理前人的微积分理论，并建立了极限理论.后来维尔斯特拉斯又经过深入研究，最后终于完善了微积分理论.

从微积分漫长的发展史可以看出，微积分的发展过程就是人类对自然认知的过程，人类解决任何问题都是从直观的认识开始的，运用抽象思维，最终将问题由感性认识成功转化为理性结论.其实，高等数学的教学也是这样，下面从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

二、从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点建议

（一）教导学生认识微积分的重要性

微积分是高等数学教育的基础，是每个大学都会开设的一门基础学科.然而，学生们学习微积分，往往是为了应付考试，根本就无法将其应用到实际生活中.针对这一点，微积分教学时，教师首先应该帮助学生端正自己的学习态度，只有持有一个端正明确的学习态度，学生们才能真正用心地去学习微积分.微积分课程一般被安排在大学一年级，而一年级正是学生们刚刚步入大学的时期，对于微积分这类复杂的数学知识学生们还没有太合理的数学思维去适应并掌握它，且微积分理论不仅难于理解还很枯燥乏味，对于学生们和老师来说都感觉“食之无味，弃之可惜”，最后的结果就是为了应对考试而只能硬着头皮死记硬背.教师应该让学生明白微积分并不仅仅是一个数学知识，它还是解决很多实际问题的金钥匙，学生们要想做一个对社会有用的人，就要端正学习态度，绝对不能知难而退，要打好高等数学的基础，就要认真学习微积分.

（二）理论联系实际，具体地教授学生微积分知识

抽象的理论很难被学生接受，尤其是微积分这种生涩的知识，更是不易掌握.针对这一点，应该多借鉴微积分的发展史，科学家开始也只是借鉴了生活中的实例，高等教学也可以这样做，可以引进一些恰当的教学模型，如讲解极限时，可以借助球体.这样不仅让学生听到讲解，也要学生看到讲解的过程，便于学生全

面的掌握知识.如在高等数学微积分的教学中曾出现这样一个问题：已知圆柱体的侧面和底面的厚度相同，而顶部厚度为侧面厚度的2倍，容积为V=3π，求这个圆柱体的高和底面的直径的比？传统的教学中，教师直接运用公式解答，最后学生们听得一头雾水；而按照本文所说的教学模式，教师可以先找一个易拉罐来当模型，然后让学生们实际接触并加以研究，理论结合实际，一定会有助于学生建立良好的数学模型.

结束语

人们总是善于从生活中发现并提取知识，并从感性认知成功地过渡到总结并提出理性观念，微积分学说的成功提出正是验证了这一点，我们在做任何事时都是重复着这一过程.高等数学微积分教学是一个艰巨的任务，不仅考验学生的认知能力，也考验教师的传授方式，只有提高学生对微积分的认识，再将理论与实际有机地结合起来，才能帮助学生掌握微积分理论.

【参考文献】

微积分论文篇5

关键词：极限思想；发展；符号表达

极限是高等数学中起着基础作用的概念，在某程度上可以说高等数学的整个体系都建立在这一概念的基础之上. 而极限思想则是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想作为一种数学思想，从其远古的思想萌芽，发展到现在完整的极限理论，其发展道路上布满了历代数学家们的严谨务实、孜孜以求的奋斗足迹。也是数千年来人类认识世界和改造世界的过程中的一个侧面反应，亦是人类追求真理、追求理想、创新求实的生动写照。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。

极限思想是微积分学的基本思想，数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都需要借助于极限来加以定义。 微积分则是现代数学的基础，要学好微积分，就应该了解极限思想，学会用极限思想来理解这些概念，进而把微积分学知识应用于日常生活和生产实践中，体会数学源于生产实践，服务于生产实践的事实。但是，极限思想较为晦涩，一向被视为是一难于理解的数学概念，若在教学中，加入一些涉及极限思想的故事及发展历程，则会有利于学生了解极限思想与微积分学之间的关系，从而加深对其概念的理解。

极限思想的发展，总数起来可认为有三个阶段：

阶段一，小荷才露尖尖角，朴素极限思想的出现。与所有的科学思想方法相同，极限思想同样是社会生产实践的产物。追溯到古代，战国时庄子与其弟子所著的《庄子》一书中的《庄子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 即：若取一根一尺长的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永远也不能取尽。此说法认为物质是可以无限分割的，其中蕴含了朴实的极限思想，具有很高的学术价值，但却偏重于哲学的角度，与数学的联系还没有建立。而三世纪的刘徽的 “割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，公元五世纪祖冲之计算圆周率的方法、公元前五世纪希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题创立的“原子论”、公元前三世纪古希腊诡辩学家安提丰在求圆面积过程中提出的“穷竭法”等等问题中，在蕴含了最原始的朴素的极限思想的同时，开始从数学角度思考问题。

16世纪时，荷兰的数学家斯泰文在三角形重心的研究中，改进了由欧道克斯提出的“穷竭法”，借助几何图形的直观性，利用极限思想考虑问题，并在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”，但却没有脱离当时的社会实际。

阶段二，极限思想在数学上的正式提出，改善和发展阶段。极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相联。16世纪的欧洲，资本主义正处于萌芽时期，生产力得到极大的发展。随着生产力的发展，生产和技术中出现了大量的问题，只用初等数学的方法根本无法解决，例如描述和研究变速直线的过程、曲边梯形的面积等等。这些问题的解决需要数学突破只研究常量的传统范围，这些是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

当牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分时，遇到了逻辑困难。牛顿在描述作变速运动的物体在某一时刻t时的瞬时速率时，用路程的改变量S与时间的改变量Δt的比值ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，当Δt无限趋近于零，该比值无限趋近于一与Δt无关的常数，该常数即物体在时刻t时的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学的基本理论。在叙述瞬时速率时，他已意识到了极限概念的重要性，也想以极限概念作为微积分的基础，初步提出了极限的直观性定义：“如果当n 无限增大时，如果an无限接近于常数A，那么就说an以A为极限。”但牛顿给出的极限观念与荷兰斯泰文同样也是建立在几何直观上的，这种直观的定性解释并没有给出极限的严格表述，也没有解决当时的数学危机，因此在此基础上，同时代及后起许多数学家对极限的概念进行了完善。

也是因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才会在那个时代受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果说是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，却又不能把包含着Δt的项去掉。这就是数学史上所说的无穷小悖论。在攻击微积分学的大家中，英国哲学家、大主教贝克莱的攻击最为激烈，他认为微积分的推导是“分明的诡辩”。

贝克莱激烈攻击微积分的原因有两个，首先他要为宗教服务，其次也是因为当时的微积分缺乏牢固的理论基础，即使牛顿自己也无法清楚地解释极限概念中的混乱。事实证明，严格极限的概念，建立严格的微积分理论基础，既是数学本身发展的需求，也有认识论上的重大意义。

阶段三，极限概念的定量化和数学符号表达阶段。这阶段主要指由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达极限的阶段。

19世纪，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。尽管这个定义是建筑在前人工作的基础上，但还是相对完整地阐述了极限概念及其理论。但是这个定义仍然欠粗糙，说用语句中的“无限接近”、“要多小就有多小”等都只能给人一种模糊的直觉，并没有彻底摆脱残存在头脑中的几何直观印象。

19世纪后半叶，德国的维尔特拉斯则提出了关于极限的纯算数定义，并给出了沿用至今所用的极限的符号。

极限的定义经过几代人的不断完善、严格，最终解决了微积分理论发展期所面临的强大逻辑质疑，给微积分学提供了严格的理论基础。也正是如此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。

极限思想在现代数学和物理学、天文学、化学甚至经济学、建筑学等学科中都有着广泛的应用，这也是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限又是微积分的基本概念，是微积分学的直接基础，也是微积分学区别于常量数学的重要工具，二者是相辅相成、密不可分的。极限思想扩展了数学能够分析研究的范围，促进了微积分的发展和完善，而微积分学在各个学科中的应用也是源于极限思想这个坚实理论基础。

参考文献

[1]白淑珍：《对极限思想的辨证理解》[J]；《中国校外教育》2008（02）：39-40

[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255

[3]钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：319

微积分论文篇6

【关键词】 微分中值定理 积分中值定理 关系

【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(a)-0056-02

1 引言

微分中值定理与积分中值定理是微积分学的基本定理和理论基础,不论在理论的逻辑证明方面还是应用上都起着重要作用。初学者在学习过程中对二者的理解常常不够全面和深刻,会孤立的看待微分中值定理和积分中值定理。因此,本文将对二者的关系进行探讨,并通过实例说明其联系。

2 微分中值定理与积分中值定理

定理1:(罗尔定理)设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,且,则至少存在一点,使得。

定理2:(拉格朗日定理)设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,则至少存在一点,使得。

定理3:(柯西定理)设函数都在闭区间上连续,在开区间上可导,且对于任意,,则至少存在一点,使得。

定理4:(积分中值定理)若在上连续,则在内至少有一点,使得。

定理5:(积分第一中值定理)若都在上可积,在上不变号,则存在,使得分别表示在的下确界和上确界。

特别地,若在上连续,则存在,使得。

加强定理5的条件,可得:

定理6:若在上连续,且在上无零点,则在中至少存在一点,使得,在中至少存在一点,使得。

3 定理关系

3.1 微分中值定理间的关系

3.1.1 拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况

当定理3中的时,可得:,即为定理2之结论。

3.1.2 罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况

在定理2的条件中,若满足,则得到,即为定理1之结论。

3.2 微分中值定理与积分中值定理的关系

3.2.1 定理4可推出定理2

定理4条件中在上连续,则在上一定存在原函数,;故满足定理2条件:在闭区间上连续,在开区间上可导;由定理4结论:(1);与牛顿莱布尼茨公式:(2);得

即(3);(3)式即为定理2的结论。

3.2.2 加强定理2的条件可推出定理4

定理2中,若将条件加强为在闭区间上可导,且其一阶导数在上连续,则可得定理4结论。

由(2)式:与(3)式:

得 即(4)

(4)式即为定理4的结论。

3.2.3 定理6可推出定理3

定理6条件中,在上连续,则一定有连续原函数,设,且在上无零点,则,。故定理6的题设条件中一定满足定理3的条件。

由定理6可知在上存在使:

;

,故

即(5),也即(6)

设,则在上有一阶连续导数,,

将代入,得:

可知:。由定理4知,在中至少存在一点,使得

故,也即(7)

由(5)、(6)、(7)式可得,在中至少存在一点,使得

(8)

(8)式为定理3的结论。

6)加强定理3的条件可推出定理6

将定理3条件加强为在上连续可导,设,

,由定理3,在内至少存在一点,使

(9)

而,

即整理得(10)

同理可证,在内至少存在一点,使得

(11)

(10)、(11)式为定理6的结论。

4 实例说明微分中值定理与积分中值定理的关系

设在上连续,在内有一阶连续导数,证明:必有,使。

证明:1)首先用“微分中值定理”证明。令

(12)

由“柯西中值定理”:都在上连续,在上可导,且对于任意,,则至少存在一点,使得

即(13)

2)其次利用“积分中值定理”证明。

由(12)式得,根据题设条件知在上连续,故在上可积,

(14)

由“积分中值定理”可得:(15)

又(16)

所以由(15)式与(16)式可知:

,

即(17)

参考文献

[1] 赵树嫄.微积分(第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.

[2] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2009.

[3] 同济大学数学系.高等数学(第六版上册)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4] 陈宁.微积分基本定理-微积分历史发展的里程碑[J].工科数学,2000.

[5] 罗敏娜.基于数学史背景的微积分教学[J].沈阳师范大学学报(自然科学版),2011.

微积分论文篇7

关键词：微积分 概率统计 函数

中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）02（c）-0217-01

众所周知概率统计是建立在微积分的基础上的，概率统计针对随机事件规律的统计，而概率统计中又会应用的微积分，微积分不仅是概率统计的关键，同时也可以决定概率统计的成败。以下就从微积分、概率统计的概念出发，介绍微积分在概率统计中的应用。

1 概率统计与微积分的概念

概率统计就是针对自然界的不确定性的现象，包括结果的不确定、偶然随机现象所呈现出的集体性规律，再根据概率论、数理统计的方法，统计出数据的规律性。然而对于微积分，也就是研究函数的微分、积分以及有关函数概念与函数应用的数学分支，微积分是建立在实数、极限、函数基础上的[1]。微积分在建立中的出发点就是直观的无穷小量，这个基础理论显然也是不牢固的，通过19世纪柯西与维尔斯特拉斯的极限理论以及康托尔的实数理论，才形成当前严密化的微积分知识。而且若果说没有微积分的推动，那么对于概率统计中的公理化、系统化学科也将很难形成。微积分同概率统计之间是有一定的亲缘关系，微积分不仅可以决定概率论中的确定论特征，概率论的发展也是另辟蹊径，概率统计中不仅有着非线性、反因果的特征，微积分更是可以渗透到概率统计中的各个方面[2]。

2 概率统计中微积分的应用

针对概率统计与微积分的概念，以及概率统计与微积分的关系，以下就从一些例子出发，分析在概率统计中的微积分应用。

问题1：有N个朋友可以随机地在一个圆桌旁边就坐，如果说在所有的朋友当前，其中有两个人是一定要坐在一起的，也就是要要在的相邻的座位，那么这个概率为多少？

问题2：在一个书架整理中，可以将编号分别是1，2，3的三本书任意地排列摆放在书架上，那么在这样的排列方式中，则出现至少有一本书在从左到右的排列顺序号同这本书编号相同，这样的概率又是多少？

问题3：在5个数字中进行连续抽取，针对1，2，3，4，5中等可能数字有放回地进行连续抽取期中国的3个数字，那么针对这样的事件中，3个数字完全不同出现的概率是多少？3个数字中不含1与5的概率是多少？“个数字中5刚好可以出现两次的概率是多少？以及在3个数字中至少出现以此数字5的概率是多少？

3 微积分方法在概率统计中的实际应用

3.1 级数求和法

级数是数学的重要组成部分，是表示函数的重要工具。在利用裂项相消法去求级数和的方法中，其关键计算方法就是要怎样去将级数通项拆开，并将其可以拆分成前后都有抵消部分的数据形式，通常经过变形的级数，不仅有理化分子，也有理化分母以及三角函数恒等，将其进行变形处理，就可以达到裂项相消的计算目标。又比如，针对一个三角函数式的级数求和中，计算级数的通项，就需要考虑怎样去利用三角函数公式，将这个三角函数式简化成两式之差，这样就也可以达到运用裂项相消法的目标。并且，如果说一个级数的通项是一个分母的分式，以及通项是若干根式之积的分式， 这时候就可以考虑把分母以及分子有理化，之后也会便于运用裂项相消法进行级数求和。同时在求级数和中，也可以利用四则运算的方法，等将所给的级数转化成代数方程的形式，然后再去求解。这些都可以证明，在概率统计中微积分的应用，微积分与概率统计有着相关联系。

3.2 求极限的应用

极限也是一种概率形式，极限作为微积分中的基础，贯穿在微积分的始终，极限的求法也是多种多样的，以下做具体介绍。公式原理如：求和法中当数列的通项是由n项的和构成时，通常可以考虑先求和再求极限.等差数列与等比数列往往可以直接用公式，而有些则需用到拆项、重组等，需要去认真观察所给的数列，这样就可以把原来的数列化为简单的数列，求其极限。

3.3 求概率方法

原理：就是通过建立随机模型，应用概率方法确定复杂结构的数列极限。建立如下表示的随机模型：也就根据设一个袋中装有一个红球与一个白球，并可以从中有放回的取球两次，如果说两球都是红球，则是成功；如果说两球不都是红球，就袋子里面再放一个白球，直到成功。同时对于求概率的方法中，也可以将这个数转化为微分方程再进行求解，也就是根据它的导数以及它本身的特点，找出二者之间的关联，看它是否可以满足在微分方程中的定解条件，然后再解该方程求概率。

3.4 使用Stolz定理来求极限

在数列极限问题的求解中，运用适当的微积分方法，不仅可以及时找到问题的突破口，还可以举一反三的解决问题。我们知道数项级数收敛的必要条件，对某些极限问题，也可通过级数来帮助解决。

3.5 对于二重积分的计算

4 结语

综上所述，通过以上分析，不仅认识到概率统计与微积分的概念，更是认识到概率统计与微积分之间的关系，并且针对概率统计中的微积分应用，了解到微积分在概率统计中的重要性。

参考文献

[1] 张英琴.对工科概率统计课程教学的几点建议[J].科教文汇（下旬刊），2010，7（18）：41-42.

微积分论文篇8

一、课题的来源及意义

通过对《数学分析》和《复变函数》的学习，我了解到《复变函数论》中的许多知识都是在《数学分析》基础上延伸、拓展的，而复积分在很大程度上说，它就是把实积分的变量范围拓宽了，即在复数域中进行积分。积分学是在古代东西方微积分思想萌发和微积分创立前夕欧洲的思想社会背景的基础上，经过多代数学家研究、探索最终形成完整的数学理论。实积分与复积分的比较研究是值得我思考和研究的一个课题。

积分学是函数论中的一个重要内容，无论是实积分还是复积分，都是研究函数的重要工具，而且在几何、物理和工程技术上，都有着广泛的应用。复积分是复变函数论中的一个重要部分，它在研究复变函数，特别是解析函数时所起的作用远远超过实积分在研究实变函数时所起的作用。无论是在研究复变函数、微分、级数，还是它们的各方面应用，都用到复变函数的积分理论。复积分是实积分的推广，而实积分的计算又用到复积分，因此，比较研复积分和实积分性质和应用对于深刻理解复变函数的理论，并用利用这些理论来解决数学及其他学科中的各种实际问题，都是有十分重要的意义。

二、国内外发展状况及研究背景

国内许多数学家对积分学进行分析和研究，而且许多大学教师也对复积分和实积分进行研究。陇东学院数学的完巧玲就对“利用复积分计算实积分”进行了全面的研究，而且还发表过相关的论文;陕西教育学院的王仲建也发表过“实积分与复积分的联系与区别”的相关论文。国外对积分学的研究要比国内的研究更广泛和深远。实积分和复积分是积分学的具体内容，现代的积分与以前的积分有着一定的区别，但它却是在以前的基础上，经过多代数学家的完善而形成的。积分学最初起源于微积分(微积分起源于牛顿、莱布尼兹)，微积分的核心概念是----极限，这个理论的完善得力于19世纪柯西和魏尔斯特拉斯的工作。17世纪利用积分学求面积、曲线长始于开普勒，他发表了《测量酒桶体积的新科学》。托里拆利、费马、帕斯卡等数学家对以前的积分进行了缺点修补和完善使得积分更接近现代的积分。积分不仅是研究函数的工具，而且在其他方面如几何、物理和工程技术上也有广泛的应用。

三、课题研究的目标和内容

通过对实积分与复积分的比较研究这个课题的研究，熟悉和掌握实积分和复积分的概念和类型，并对其进行分类、归纳，找出它们之间的区别与联系，并了解复积分和实积分的相关应用。

(1)实积分和复积分比较研究课题的研究背景、该课题目前国内外展的状况以及该课题研究的意义等。

(2)实积分和复积分的相关概念(定积分、曲线积分)及它们的性质和计算方法。

(3)对实积分与复积分的定义、性质、计算方法、应用方面进行比较;实积分与复积分的联系(应用复积分来计算实积分，结合例题进行分析、说明)。

四、本课题研究的方法

课题将通过分析、对比、综合等方法对实积分与复积分进行比较研究，最后通过例证说明利用复积分可以解决一些实积分问题。

五、课题的进度安排：

第一阶段：搜集资料，确定选题范围，联系指导老师(20XX秋1--7周)

第二阶段：选定题目、填写开题报告，准备开题 (20XX秋8--12周)

第三阶段：指导教师指导调研、收集资料、准备撰写初稿 (20XX秋13周--20XX春6周)

第四阶段：撰写初稿、在指导老师的指导下修改论文 (20XX春7--14周)

微积分论文篇9

关键词：宏观，微观，介观，Boltzmann方程，流体力学方程

 

流体力学时研究流体运动规律的一门学科，经过多年的发展，已经取得了丰硕的成果，但由于流体运动的复杂性，还有很多实际的问题没有得到解决，在数学上，其复杂性反应在描述其运动的上，除了一些简单的情况，一般是很难得到这些方程的精确解的，因此，方程的求解问题也被美国CLAY数学促进会设立的7个100万美元奖金的千年难题之一。

现在，对流体力学的研究一般从宏观，微观，介观三个层次。。首先我们来介绍下这3个方面。

流体力学方程是从宏观层次上得到的，流体被假设为连续介质，流体运动满足质量守恒，动量守恒，能量守恒，并由Euler方程组Navier-Stokes方程组来描述，在数值计算中【1】，以非线性的微分方程为出发点，有有限差分法，有限容积法，有限元法，有限分析法，谱方法等，这类方法本质上是一种自顶向下的方法，对微分方程进行离散，得到代数方程组或者常微分方程系统，再利用标准的数值方法求解。

在微观上，流体不再被假设为连续介质，流体由大量的离散分子组成，分子受到相互间作用力和外加作用力的影响。任何系统的宏观特征和运动规律，再微观上都表现为分子的无规则的热运动。因而，一种最直接的想法就是通过模拟每一个分子的运动。再进行统计平均，已获得流体运动的规律。这种方法称为分子动力学模拟。由于这种方法主要是在计算机上实现的，所以在早期，受到计算机的限制，模拟的空间尺度和时间尺度都很有限。。但随着近年计算机技术的高速发展，分子动力学模拟方法也得到了迅速的发展，已经成为研究流体运动的一种重要的方法。。

在介观上，流体被离散成一系列的流体粒子，通俗的说，这些粒子比分子的级别要打，但从宏观上来说又无限小，其质量比起有限容积法中的控制容积质量要小得多，此时用数学的观点来描述此流体就应该Boltzmann 方程。

从以上的综述可以看出，对于同一流体，从宏观和介观可以由不同的方程来描述，因此，从数学的观点将其统一起来，就是非常必要的，下面，我们就从理论的角度，来证明，从介观的Boltzmann 方程可以恢复到到宏观的Navier-Stokes方程组。

首先我们简单的介绍下Boltzmann 方程。。这个方程是由统计力学的创始人之一Boltzmann所建立的，用以描述非平衡态分布函数演化规律的方程，其具体形式如下，

（1）

其中，称为碰撞算子，它的形式由下式给出：

在中的B称为碰撞核，它仅依赖于粒子间的碰撞，从物理背景出发，我们总假设仅依赖于和，这里我们不过多的牵涉到它的具体形式。

下面，我们就严格的推导，如何从Boltzmann 方程到大家所熟悉的Navier-Stokes方程组，首先引入下面一个引理：

引理【2】：对于，，始终有成立。

注：该引理的证明科参考文献[2],这里我们不给出严格的证明，我们将以上的称为守恒量。

下面我们给出本文主要结论，即从形式上出发，可以由Boltzmann 方程到Navier-Stokes方程【3】。

证明：首先在方程两边同时乘以，并积分，利用引理，就可以得到下面的积分方程

(2)

如果我们定义，，就可以得到，这就是大家所熟知的质量守恒方程。

类似地，如果在方程（1）两边同时乘以和，并积分，再利用引理，

如果我们再定义，，，

，就可以得到动量守恒方程和能量守恒方程。

，(3)

(4)

以上的方程(2),(3),(4)j就是流体力学方程组。

注：虽然我们根据这个定理从形式上得到了流体力学方程组。。但要真正发挥作用，还需要求得，，使其成为一个封闭的方程组，而严格求解Boltzmann 方程是很困难的，所以还有很多的问题没有解决。。

对于宏观和微观的问题，近来成为大家研究的热点，相信随着研究的深入，很多问题都会被解决，也会给工程中带来更多的应用。

参考文献：

【1】何雅玲，王勇，李庆，格子方法的理论及应用，科学出版社。

【2】2008李大潜，秦铁虎，物理学与偏微分方程，高等教育出版社，2005

【3】C.Cercignani，R.Illner,M.Pulvvirenti,稀薄气体的数学理论，高等教育出版社，2009

微积分论文篇10

 

随着数学本身和计算机科学的飞速发展以及微积分、线性代数等基础知识在各领域的广泛应用，大学数学的教学改革的必要性和重要性越来越被人们所认可，一些教学改革的活动也被人们所接受，这与国外的情况相一致。虽然中国与美国等国家在政治、经济、教育和管理体制等许多方面有很大差异，但是在高等数学的教学改革方面有相似之处，也有不同之处，该文调研了美国的一些改革历程思路和方法，以作为我们大学数学课程教学改革的借鉴。

 

1 美国大学数学基础课教学改革

 

美国大学数学基础课程改革自上而下、思路清晰。美国的微积分教学在近60年来经历了巨大的变革，特别是20世纪80年代后期的“微积分改革”。[1-2]20世纪80年代开始，美国的一些高校开始研究数学课程教学特别是微积分的教学形式改革。主要是由于以下原因：(1)信息技术不断进行创新，并且开始对教学方面产生一定的影响;(2)很多学生考试不通过，可能与教学方法有关;(3)学生们提出对数学教学改革的需求;(4)传统的教科书(比如经典的Thomas《微积分与解析几何》(Calculus and Analytic Geometry)，1st版)偏理论与实际脱节，需要重新进行选择;(5)教学方式方法落后，需要进行改进和创新;(6)可以缩小授课规模等。

 

改革以后的进展值得我们借鉴。1985年， 美国举办了数学会(AMS)年会，并进行了特别的研讨会。[3]也导致了之后两次会议的产生：首先，是1986年的Tulane大学会议，会议主要的议题是“走向精简活泼的微积分学”;[4]其次，是1987年的华盛顿会议， 会议的主要内容是“新世纪的微积分学： 水泵而非滤器”。[5]当年，美国国家科学基金会(NSF)发起了微积分改革的计划。计划的主要内容是：改进与更新微积分学的相关课程，要加强培养学生对于数学概念的理解和运用能力，提高学生分析、解决问题的技巧以及举一反三的技能。同时，改革后的教学方式要求减少繁琐、乏味的计算。NSF给予了这项改革一定的资金支持，同时也促使了数学家们对于以前的微积分课程进行了严肃的反思。

 

哈佛微积分联盟所编写的教材非常有创意，其中有很多非常特别的、非常有趣的问题，将著名的“四规则”也引入其中：“每个概念都可以以图形、文字、数值、代数的方式展现给学生”。改革的评估体现在Susan L.Ganter所著的《变革中的微积分学—— 1988—1998年成果及其对国家的影响的评价报告》作了总结。[6]Ganter的结论是：大部分大学数学教师觉得之前的微积分教学方法效率较低，但谈及所做的改革是否是正确的方向发展，却有着很大争议。改革的成果激发了一些数学家们对于微积分教学方式的讨论。使得微积分的教学更加地普及，从而使教师们产生了对高校数学教育必要性以及重要性的重新认识。

 

同时，许多理工科的大学生注意到他们的具体计算能力不如从前了，这可能是教学改革的原因，当然也可能是计算机普及的结果。研究结果表明，与以前的学生相比，现在的学生选修了很多的超出学校规定的微积分学的非必修课程，这表明了微积分改革更加激起了学生对数学极大的兴趣。88%的调查报告认为，从培养学生的实际数学素质的能力方面说，微积分改革是非常成功的。计算机可以引导学生学习微积分，研究结果显示，微积分改革后，学生在基础数学上不合格的人数大幅减少。已有的改革成果成为美国数学家倡导的微积分教学方式。不断的讨论也让美国的基础数学教学充满了生命力。

 

2 大学数学基础课教材比较

 

美国高校的常用教材是Thomas《微积分》(现第10版)以及James Stewart《微积分》多个版本，，被称作“经典版本”。[7-8]Stewart所著的《微积分学》《微积分学：概念与内容》是目前畅销的教材，而改革的教材正在反过来逐渐传统化。

 

一般而言，美国高校所使用的微积分教材具有图文并茂和突出重点的特点，从内容上看，讲解细致，解释清楚，而且有含有背景知识的说明，让学生清楚地知道来龙去脉， 也有利于学生的自学。教材中普遍都是生活常见的例子，数据也都源自于生活，让学生有亲切感也有一些反映当代科技发展的最新成果的数据，这也让学生体会到生活中就有许多的数学问题。教材中的课后习题覆盖面广，编排层次由浅入深，也含有很多不同学科相互联系的交叉题，与基本概念和重要定理有效结合的图形题，以及反应生活和科技发展成果的应用题等。

 

教材也融入了新技术的应用，即微积分课程与计算机技术紧密地结合，计算机代数系统CAS，如：Mathematica、Maple、Matlab等在微积分的教学中广泛使用，并且具有极强的功能、计算机在描述图像运动、显现变量关系以及解决现实数学问题等方面能够发挥其巨大的作用，成为了微积分课程不可缺少的教学工具。因此，网络技术的快速发展也为微积分教学提供了一个全新的模式。

 

抽象概念的解释都是由一些具体问题引入，这与也突出了微积分在实际生活中的价值，兼应用和理论。课后练习题量大而且内容丰富，一般有6000题，每节结束后都有一定量的习题，每章结束后又会有一些总的习题。而且这些习题编排层次由浅入深。习题除了有练习题(Exercises)外，还设置了不同类型的小课题，例如：探索课题(Discover Project)、应用课题(Applied Project)、实验课题(Laboratory Project)和写作课题(Writing Project)。每个教材后都有一个附送光盘，里面含有教材中部分图片进行辅助的教学。教材之中也都穿插了很多的精美图片，一些是利用数学软件制成，例如：在空间解析几何与多元函数微积分中经常会出现各式各样的曲线、曲面图形。学生也可以使用网上教材学习。具体的可见附件论文《美国微积分教材的应用性和启发性赏析》。

 

所以，总体上美国大学生数学教学深度没有我们的深，但学生的数学意识和应用能力比我国的学生强。比较而言，我国很多的高校都在使用清华大学萧树铁等教授编写的《高等数学》、同济大学应用数学系编写的《高等数学》等，从概念的引入看，这两本教材强调严谨的概念、理论，先教会概念再举出例子，按照从一般到特殊的原则，当然近期的教材版本也有所改进，增加了应用例子，但大致模子还是这样的。习题的数量上看，同济教材在每节课后给出15个大题，每章结束后给出20个大题，书中所有的习题数约2000个。当然新的教科书版本也开始考虑到数学理论的应用，增加了很多实际运用的例子，从数量和范围上讲还可以继续改进。

 

3 教学理念和形式

 

多次改革历程后的美国微积分课程， 采用传统和现代兼而有之的教学模式，尤其是强调四原则(The Rule of Four)， 学生按照这些原则来进行微积分的学习，用不同的表述方式来解释微积分的概念，这远比在单一的概念中获得更多的信息，教材也增加了很多与现实生活相接轨的例子，增加了很多的数学建模问题以及增加了一些与离散数学思想的联系，将培养学生的数学意识和思维能力作为微积分课程教学的首要任务。

 

教学方式则各有特色，有传统的大班上课甚至礼堂上课，也有25人以内的小班上课，有些采用的是小组合作的学习方式，该方式有利于学生之间相互交流、启发以及帮助，增强了团队意识。一些美国大学设置的数学学习中心(Math Learning Center)、或是由学生自己组织的数学社团(Math Society)，运作方式通常是学生在学习及活动(比如数学建模)中主动向老师提出具体的数学辅导要求，老师相应给予一些辅导或讲座指导。

 

美国大学生可以根据自己的数学爱好程度、高中AP学习情况、不同专业需要，选择甚至可以不选不同难度的微积分或其他替代的数学课程，获取相应的学分，选择相对自由些。优点：灵活分层，自然精选出数学非常优秀的学生。缺点：要求学生有较强的自我认识能力及自我控制能力。

 

我国数学传统教学模式：传道、授业、解惑，老师讲、学生听，老师将书本知识扎实地传授给学生。当然近些年，也试图作些教学改革和创新，引入考察课数学实验课程，介绍常用的数学软件，数学课堂上引入了有趣的实例课件等演示、小组讨论等，由于教学进度、教学大纲及今后考研的要求，多是适可而止。关于数学课程知识的实际应用及最新的知识拓展，一般凭老师的个人科研、教学修养。当然在有限的课时内，学生若是要以后要考研，扎实的高等数学知识和解题技巧是必须的，目前的数学教育模式比较适合。同时，固定选课模式优势：基本所有的学生可以达到设定的数学要求，掌握基本的数学概念和解题技巧能力。缺点：抽象的数学可能让学生不感兴趣，但不得不硬着头皮通过统一考试;而对数学感兴趣的学生不能选更多的高级数学课程。

 

4 借鉴国外教学方法

 

学习借鉴美国大学数学基础课教学经验，摸索出适合我们大学特色的数学基础课教育体系，还有挺长的一段路程。

 

(1)由于两国大学数学基础课教学课程设置不同，学生进入大学时掌握数学知识情况不同，使得两国大学数学基础课的选课机制、学习机制、评价体系都有所不同，若要大幅度改革，估计也应该有个思想解放、自上而下的过程。

 

(2)目前来说，至少可以改革我们的教材内容。由强调严格化，注重严密逻辑推理和解题技巧，转向直观化和形象化、应用化。考虑现代技术的不断发展和大量计算机应用软件的产生，对传统的数学教学内容形成的巨大冲击，形式上可以开拓网上信息化教材内容。

 

(3)原有的师资要求，严谨的态度不变，可以改变的是固有的教学理念。美国数学老师善于将所教的数学知识与生活实际、现代科技结合。中国长期以来的教育现状，中考、高考、大学统考体制，多数大学数学教师也源于传统数学教育理念，偏爱教理论方法和解题技巧，应试性较强。一些有科研背景的老师相对知道掌握数学知识的部分应用背景，那些科研全面的同时又愿意在教学上下工夫的老师常常被学生认为是优秀的老师，但确是很少。

 

(4)教学方式，传统和改革的教学方式可以相互靠拢，形式上，手写黑板与多媒体、老师单向授课与学生独立思考、中文与英文教材等，按照数学课程特色设计合适的教学方式和模式。

 

(5)学习借鉴建立类似美国大学数学学习中心、学生数学社团等组织机构。要求我们的大学生在数学学习上有足够的主动性、组织能力和自控能力等。