一次函数十篇

一次函数篇1

大部分学生在学习这段内容后，都存在不同程度的困惑，特别是受前面学习的自然数、有理数、实数等“数”的影响，对函数意义的理解感到很渺茫，会不自觉地将函数与有关的数进行联系、归类.从而造成了许多认识上的混乱.

一、函数不是“数”

如果说整数、分数、有理数、无理数等数我们不仅能举出相应的数例来，而且还能在数轴上找到它们的相应的点的话，那么函数是什么呢？函数是一种关系，通俗地讲，函数是指两个变量之间的一种对应关系，那么变量又是怎么一回事呢？变量是相对于常量的.在一个事件过程中，始终保持不变的量我们称之为常量，而那些变化的量则称之为变量.在一次函数中有两个变量，比如：（1）y=3x、（2）y=x+1等式子，当式子中的一个变量x的值一旦确定，那么式子中的另一个变量y的值也随之确定了，即（1）中x的值确定3x 的值确定y的值确定，（2）式子中的x的值确定x+1 的值确定y的值确定.

二、数学模型化

任何一个二元一次方程，都可以化为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，例如方程3x-2y+4=0，化为y=

32x+2，x是自变量，y是x的一次函数.化为x=

23y-

43，则y是自变量，x是y的一次函数.可见一次函数的一般表达式就是形如：y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0）.当b=0时，即y=kx，（k≠0），y是x的正比例函数，反之，无论y是x的正比例函数y=kx（k≠0），还是y是x的一次函数y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），都可以化为kx-y=0、kx-y+ b=0的形式，这就是关于x、y二元一次方程.一次函数与二元一次方程在本质上是相同的，即含有未知数的等式，不同的只是函数的研究注重于因变量与自变量的那种对应关系.

三、“ 一”统到底

一次函数其基本模型是y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），它与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）总是存在千丝万缕的联系，也正是一次函数的出现，才使得这四个“一次”赋予了更新的内涵.

1.透过方程看函数

我们在学习一次函数前，已经系统地掌握了二元一次方程（组）的有关知识，两者从概念上看都是一次，说明未知数（或变量）的次数都是1，从式子的外形上看二元一次方程都可以转化为一次函数的形式（当然一次函数也可以转化为二元一次方程的形式）二元一次方程中的两个未知数就是一次函数中的两个变量.在一次函数中自变量x每取一个数值，函数y都有唯一的数值与它对应，一次函数的函数值是随自变量的取值的确定而确定，这与二元一次方程有无数个解是完全一致的.

2.借助图象解方程（组）

一次函数y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），它的图象是一条直线.直线是由无数个点组成的，其中直线上每个点的坐标都适合方程y=kx+b，因此方程y=kx+b由无数个解，在同一直角坐标系中，如果有两条直线y=k1x+b1， y=k2x+b2不平行，那么它们必然有一个交点，而且只有一个交点，这个交点坐标既适合方程y=k1x+b1，又适合方程y=k2x+b2，这个交点坐标就是由方程y=k1x+b1，y=k2x+b2组成的方程组的解.如果直线y=k1x+b1、y=k2x+b2平行，它们没有交点，这个方程组就无解，如果直线y=k1x+b1、y=k2x+b2是同一条直线，即两条直线互相重合，它们有无数个公共点，这个方程组就有无数个解.实践表明，方程组有无解以及它的解是否唯一，取决于k1、k2的关系：（1）当k1≠k2时，两条直线有唯一公共点，原方程组有唯一解；（2）当k1=k2、且b1≠b2时，两条直线无公共点，原方程组无解；（3）当k1=k2、且b1=b2时，两条直线有无数公共点，原方程组有无数解.

3.利用图象找解集

图1

一次函数的图象是一条直线，这条直线如果不与坐标轴平行、不经过坐标原点，则必然与两坐标轴相交，例如一次函数y=1.5x+3，其图象如图1所示.

该直线与x轴、y轴分别交于点A（-2，0）、B（0，3），由此图不难看出，当x= -2时，y=0，以点A为分界点，点A右边的图象处于x轴上方，点A左边的图象处于x轴的下方，这说明：当取x>-2时，y>0，即不等式1.5x+3>0的解集是x>-2；当取x

四、撩开面纱成双对

1.天生的一对变量

借用教材中的话说：“如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数”.可见，函数中必须有两个变量，如果把其中一个变量规定为自变量，那么另一个变量就是这个自变量的函数.

例如：在正比例函数y=-12x中，x是自变量，y是x的正比例函数，当x每取一个确定的数值时，y都有惟一的数值与它对应，也就是说，只要x取一个确定的数值，y也就有一个确定的数值了.

2.函数图象中点的坐标是一对有序实数

在平面直角坐标系中，可以通过列表、描点、连线等一系列过程作出函数的图象，那么在平面直角坐标系上找出任何一点的坐标，都是用两个实数表示的，并且表示横坐标的数写在前面，表示纵坐标的数写在后面，两个数中间用逗号隔开，前后再用小括号括起来.

例如，一次函数y=2x+2.如图2，其图象与x轴、y轴的交点坐标分别是（-1，0）和（0，2）.图象上其他点的坐标也都是如此表示.

图2图3

3.画一次函数图象只需找出两个点

一次函数的图象是一条直线，由直线公理：两点确定一条直线.可知：画一次函数的图象时，只需找出图象上的两个点的坐标即可.例如要作一次函数y=3x-2的图象时，当x=0时y=-2，即点坐标是（0，-2）；当x=1时y=1，即点坐标是（1，1）；在直角坐标系中将经过点（0，-2）与（1，1）的直线作出，就是函数y=3x-2的图象，如图3.

在平面直角坐标系中，能作出函数y=3x-2的图象的点很多，因为在函数y=3x -2中，x每取一个值，y都有惟一的数值与它对应，这样的坐标点在平面直角坐标系上可以找出无数个，因此，只要从中任取两个坐标点，就可以作出函数y=3x-2的图象了.

4.一次函数y=kx+b （k≠0，k、b为常数）的图象所经过的象限中，有两个象限是由k的符号确定的

一次函数篇2

1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。

2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。

二、内容分析

1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。

2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。

3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学次函数、反比例函数的学习方法。

三、教学过程

复习提问：

1、什么是函数?

2、函数有哪几种表示方法?

3、举出几个函数的例子。

新课讲解：

可以选用提问时学生举出的例子，也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式)，y=x，s=3t等。观察时，可以按下列问题引导学生思考：

(1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后，可指出，这是函数。)

(2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后，可指出，式子中等号左边的y与s是函数，等号右边是一个代数式，其中的字母x与t是自变量。)

(3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念，表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子，都是关于自变量的一次式。)

(4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)

由以上的层层设问，最后给出一次函数的定义。

一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数。

对这个定义，要注意：

(1)x是变量，k，b是常数;

(2)k≠0(当k=0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数，这点，不一定向学生讲述。)

由一次函数出发，当常数b=0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。

在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复习小学学过的正比例关系，小学数学是这样陈述的：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

写成式子是(一定)

需指出，小学因为没有学过负数，实际的例子都是k>0的例子，对于正比例函数，k也为负数。

其次，要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系：正比例函数是特殊的一次函数。

一次函数篇3

现在我结合一次函数的复习谈谈自己对其中的两点看法.

1. 一次函数表达式的确定

（1）通过题目给出数量关系求出函数关系式；

（2）通过观察函数图像，根据一次函数图像上两点坐标列出二元一次方程组，求出k，b的值，求出一次函数表达式；

（3）由已知条件出发，通过建立数学建模求出一次函数表达式.

2. 一次函数的应用

在实际生活问题中， 一次函数的应用非常广泛，应用一次函数知识解题的关键是建立一次函数关系式. 用一次函数解决实际问题的步骤：（1） 在一些具体的生活问题中，数据往往较多，反映的内容也很复杂，所以要认真分析实际问题中变量之间的关系；（2）若具有一次函数关系（或告之变量之间成一次函数关系），则建立一次函数的关系式；（3） 根据一次函数的性质，综合方程知识求解.

在一次函数应用的过程中，如何把众多的信息组织起来是解题的核心，要注意结合实际，确定自变量的取值范围，求出对应的函数值时，舍去不符合题意的部分. 现举例简要说明，例：为迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文比赛活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍. 已知一等奖奖品单价为12元，二等奖奖品的单价为10元，三等奖奖品的单价为5元.如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.

（1）求w与x的函数关系式；

（2）请你计算一下，如何购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？

解析 此题数据和术语很多：一、二、三等奖；不超过；2倍，10件；1.5倍；12元，10元，5元，50件等等，如何把众多的信息组织起来是解题的核心.

（1）当一等奖买x件时，则二等奖买（2x - 10）件，三等奖买[50 - x - （2x - 10）]件，整理得（60 - 3x）件.

因为 一等奖、二等奖、三等奖奖品的单价分别为12元、10元、5元，

故有w = 12x + 10（2x - 10） + 5（60 - 3x），

解得w = 17x + 200.

（2）因为比例系数k = 17 > 0，所以w随x的增大而增大，要求购买这三种奖品所花的总钱数最少，应先确定x的最小整数值.

因为购买三种奖品的件数都必须大于0，且三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍，

所以有 x > 0，2x - 10 > 0，60 - 3x > 0，5（60 - 30x） ≤ 1.5 × 10（2x - 10）.

解之，10 ≤ x < 20. 因为x是最小整数，所以x = 10.

这时，w的最小值为17 × 10 + 200 = 370，2x - 10 = 10，60 - 3x = 30.

一次函数篇4

考点1一次函数关系式的确定

例1正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图像都经过点A（1，2），且一次函数的图像交x轴于点B（4，0）。求正比例函数和一次函数的表达式。

解析 由正比例函数y=kx的图像过点（1，2） 得2=k。

所以正比例函数的表达式为y=2x。

由一次函数y=ax+b的图像经过点（1，2）和（4，0）得

a+b=2，4a+b=0。

解得：a=-■，b=■。

所以一次函数的表达式为y=-■x+■。

考点2一次函数的图像及性质

例2 如图1，一次函数y=（m-1）x-3的图像分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B两点，则m的取值范围是（）

A． m＞1 B． m＜1

C． m＜0 D． m＞0

解析 因为函数图像经过二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1。故答案选B。

例3 如图2，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行且经过点A（1，-2），则kb=_________。

解析 因为y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以k=2。

因为y=kx+b的图像经过点A(1，-2)，所以2+b=-2。

解得b=-4，所以kb=2×(-4)=-8。

考点3 一次函数与方程（组）、不等式（组）的综合问题

例4 如图3，一次函数y=k1x+b1的图像l1与y=k2x+b2的图像l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（）

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由图3可知，P点坐标是（-2，3），所以方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3，故答案选A。

■

例5 如图4，直线y=kx+b经过A（3,1）和B（6,0）两点，则不等式0＜kx+b＜■x的解集为________。

解析过点A（3,1）和原点的直线表达式为y=■x，即直线y=kx+b和y=■x交点为A，由图像可知，当x＜6时，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，当x＞3时，y=kx+b的值小于y=■x的值，综上所述，3＜x＜6是不等式0＜kx+b＜■x的解集。故答案填3＜x＜6。

考点4一次函数的应用

例6 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1 000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元。

（1）求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1 000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售一支甲种钢笔可获利润2元，销售一支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

解析（1）设购进甲、乙两种钢笔每支各需x元和y元，根据题意得：100x+50y=1 000，50x+30y=550。 解得 x=5，y=10。

答：购进甲、乙两种钢笔每支各需5元和10元。

（2）设购进甲种钢笔a支，乙种钢笔b支，根据题意可得：5a+10b=1 000，6b≤a≤8b。解得：20≤b≤25。因为a、b为整数，所以b=20，21，22，23，24，25共六种方案，因为5a=1000-10b＞0，所以0＜b＜100，所以该文具店共有6种进货方案。

（3）设利润为W元，则W=2a+3b，因为5a+10b=1 000，所以a=200-2b，所以代入上式得：W=400-b。

因为-1＜0，所以W随着b的增大而减小，所以当b=20时，W最大，此时a=160时，W最大。

所以W的最大值为400-20=380（元）。

答：当购进甲钢笔160支，购进乙钢笔20支时获利最大，最大利润为380元。

练习

1．函数y=■中，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞-1 B．x＜-1 C．x≠-1 D．x≠0

2．一次函数y=kx+b（k≠0）的图像如图5所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．x＜0 B．x＞0

C．x＜2 D．x＞2

3.如图6，已知一次函数y=kx+b（k≠0）图像过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式。

4．某超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图7所示。

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润。

练习参考答案

1．C 2.C

3.解：设一次函数y=kx+b（k≠0）图像与x轴交点为D（d,0）,因一次函数y=kx+b（k≠0）图像过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则■×2d=2，得d=±2。

将两点坐标（0，2）、（2，0）代入一次函数y=kx+b中，得b=2，2k+b=0，k=-1。因此一次函数的解析式为y=-x+2。

4．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由图像可知，

11k+b=10，15k+b=2。解得k=-2，b=32。

所以销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=-2x+32。

一次函数篇5

一、一次函数的性质

例1 （广西壮族自治区玉林市）一次函数y=mx+m-1的图像过点（0，2）且y随x的增大而增大，则m=（ ）

A.-1 B.3 C.1 D.-1或3

解析 把点的坐标代入函数解析式求出m的值，再根据y随x的增大而增大可判断出m>0，从而求得m。

因为一次函数y=mx+m-1的图像过点（0，2），所以m-1=2，所以m-1=2或m-1=-2，解得m=3或m=-1，因为y随x的增大而增大，所以m>0，则m=3。故答案选B。

点评 本题考查了一次函数的性质，解题的关键是要根据函数的增减性对m的值进行取舍。

二、一次函数的图像

例2 （湖南省益阳市）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中温度（T）随加热时间（t）变化的函数图像大致是（ ）

解析 水在一个标准大气压下的最高温度只能到100 ℃，故排除A、C，在均匀加热过程中，水温逐渐升高，故答案选B。

点评 此题是一个生活中常见的现象，但还是会有一部分同学对生活不够细心而把它做错，在均匀加热时，水温逐渐升高。

三、确定一次函数表达式

例3 （山东省菏泽市）如图1，一次函数y=-x+2的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰RtABC，∠BAC=90°，求过B、C两点直线的解析式。

解析 直线y=-x+2与x轴、y轴的交点坐标为（3，0）、（0，2），

如图2，过C作CDx轴，因为RtABC是等腰三角形，所以AB=AC，因为∠BAO+∠CAD=90°，∠BAO+∠ABO=90°，所以∠CAD=∠ABO，∠BOA=∠CDA=90°，所以AOB≌CDA，所以AO=CD=3，BO=AD=2，所以OD=5，即C（5，3）。

设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（0，2）与C（5，3）的对应值代入y=kx+b得，

2=b，3=5k+b。解之得k=，b=2。所以直线BC的解析式为y=x+2。

点评 求一个点的坐标，就是求该点到x轴、y轴的距离，求函数解析式的常用方法是待定系数法，就是把点的坐标代入关系式，组成关于k、b的方程组，求出k、b的值即可以确定函数解析式。

四、一次函数与不等式（组）的综合

例4 （湖北省恩施市）如图3，直线y=kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式0

解析 过点A（3，1）和原点的直线表达式为y=x，即直线y=kx+b和y=x交点为A，由图像知当x

点评 本题考查了一次函数的图像与一元一次不等式（组）的关系。解答此类题目一般不直接解不等式（组），只要找准两个图像的交点坐标，利用数形结合解决问题。

五、一次函数与面积

例5 （四川省泸州市）如图4，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C。

（1）求k的值；（2）求ABC的面积。

分析 （1）将点A（4，0）的对应值代入y=kx-6求出k；（2）先求出点B坐标，再求出线段AB长与点C坐标，即可求出ABC面积。

解 （1）因为直线y=kx-6经过点A（4，0），所以4k-6=0，解得k=；

（2）因为直线y=-3x+3与x轴交于点B，所以-3x+3=0，解得x=1，所以点B坐标为（1，0）。

因为两直线交于点C，所以有y=x-6，y=-3x+3。解得x=2，y=-3。所以点C坐标为（2，-3）。

所以ABC面积为：×AB×-3=×3×-3=。

点评 本题考查了一次函数图像及其性质的综合运用，考查了待定系数法、数形结合思想和方程思想。

六、一次函数的应用

例6 （湖北省襄阳市）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：

2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元。设该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元。

（1）上表中，a=________；b=________。

（2）请直接写y与x之间的函数关系式。

（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电量为多少时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？

分析 （1）由100

150×0.6+（200-150）×b=122.5，解得b=0.65。（2）分x≤150，150300三种情况列函数关系式。（3）分别用（2）中的三个函数关系式与当月总电费建立不等式求解。

解 （1）a=0.6；b=0.65。 （2）当x≤150时，y=0.6x。

当150300时，y=0.9x-82.5。

（3）当居民月用电量x≤150时，0.6x≤0.62x，故x≥0。

当居民月用电量x满足150

当居民月用电量x满足x>300时，0.9x-82.5≤0.62x，解得x≤294。

一次函数篇6

一、一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数是初中数学的重要内容 ，是初中、高中数学知识的衔接点，是中考中数学的重点考察内容之一，要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质，并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题，合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的.

首先，从其形式上来看：

一元二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）与一元二次方程0 = ax2 + bx + c（a ≠ 0）（其中a，b，c为常数）：

① 它们都是关于x的二次式，从上面我们可以看出，y = 0时，便是一个一元二次方程. 所以，我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式，这是用函数的观点看一元二次方程.

② 条件上，都是在保证a ≠ 0的情况下，去认识一元二次函数和一元二次方程. 如果a = 0时，再谈便无意义.

③ 从其表达式上可知道，无论是一元二次函数y的值，还是一元二次方程的解x应该都与系数a，b，c有关.

其次，我们还可以从其内涵上来看：

① 一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0时x的某确定值，即方程的根. 实质是用a，b，c来表示，如将x反代入表达式，则ax2 + bx + c值为0.

② 一元二次函数y = ax2 + bx + c是研究变量y随自变量x的变化情况，反应的是y的变化规律. 当x变化时，y也随着x以ax2 + bx + c变化. 而当y = 0时，求出方程x2 + bx + c = 0的两根x1，x2 . 而此时的x1，x2正是一元二次函数y = ax2 + bx + c与x轴的交点.

最后，我们知道，无论是一元二次函数还是一元二次方程，其交点或根都与系数a，b，c有关. 有交点就说明方程ax2 + bx + c = 0有根. 那么，是不是所有的一元二次方程ax2 + bx + c = 0都有根或者说所有的一元二次函数y = ax2 + bx + c都与x轴有交点呢？又是不是只要一元二次方程ax2 + bx + c = 0有根，一元二次函数y = ax2 + bx + c就与x轴有交点呢？

通过学习我们知道，并不是所有的一元二次方程都有实数根，也不是全部一元二次函数都与实数轴x轴有交点. 既然这样，那怎样的一元二次方程才有实数根，又是什么样的一元二次函数才与实数轴有交点呢？上面已经说过，无论是方程的根，还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关. 所以，现在我们应该考虑，能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题. 有根，有几个根；有交点，又有几个交点；满足有根或有交点时，系数之间是否呈现一定的关系和规律呢？

综上，我们可以看到，无论a∈（-∞，+∞），且a ≠ 0时，①当b2 - 4ac > 0时，一元二次函数与x轴有两个不同的交点，且相应方程有两个不同的实数根；②当b2 - 4ac = 0时，一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根（即x1 = x2）；③当b2 - 4ac < 0时，一元二次函数与x轴无交点，对应方程无实数根. 亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的. 它们都有一共同特征：就是一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于b2 - 4ac与0的比较. 一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式b2 - 4ac有关，并把它作为判断有无交点和有无根的依据，所以叫它为判别式，记为[2]. （注：它只是一个记号.）

二、用一元二次函数的观点看一元二次方程

例4 如图-2，以40 m/s的速度将小球沿以地面成30°角的方向击出时，球的路线将是一条抛物线，如果不计空气阻力，球的飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h = 20t - 5t2.

（1）球飞行高度能否达到15 m？20 m呢？20.5 m呢？

（2） 若能，需多长时间呢？

解 h = 20t - 5t2 = -5（t - 2）2 + 20

当t = 2s时h = 20 m，是球飞行的最大高度.15 < 20 < 20.5，即球不能达到20.5 m；能达到15 m，当h = 15，则t = 1 s或3 s.

此题实际上是求分别满足20t - 5t2 = 15、20或20.5时，t是否存在实数解，但这要分别对这三个一元二次方程进行讨论，这是很烦琐的. 如按以上的解法，就是充分运用了函数的性质，进而将问题简单化、明了化.

一次函数篇7

1 二次函数与一元二次方程的建构的关系及其应用

1.1 二次函数与一元二次方程的建构的关系

通过构建一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c相关问题,是解决二次函数的问题的常用方法之一。如构建一元二次方程ax2+bx+c=0解决抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴交点问题;构建一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c与其它函数的交点问题;构建一元二次方程解决其它与二次函数相关的的问题等等。

1.2 一元二次方程的建构在二次函数中的应用

通常解答二次函数的问题时,一元二次方程的构建及其求解是解决二次函数的问题不可缺少的工具。

例1 如图,抛物线y=x2+bx-2交x轴的正半轴于A点,交x轴的负半轴于B点,交y轴的负半轴于C点,O为坐标原点,这条抛物线的对称轴为x=.(1) 求A、B两点坐标,(2) 求证ACO∽CBO

略解:(1)由x=,可求b=故由一元二次方程x2+x-2=0易求B(-4,0),A(1,0)

(2)略。

2 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系及其应用

2.1 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系

由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式可知,① 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;② Δ=0时,方程有两个相等的实数根;③ 当Δ0 时,抛物线与 x 轴有两个交点;② 当Δ=0时,抛物线与x轴只有一个交点;③ 当Δ

2.2 一元二次方程根的判别式在二次函数中的应用

2.2.1 利用一元二次方程根的判别式解决二次函数与x轴的相交问题

例2 已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求证:不论m为何值时,抛物线与x轴一定有两个交点,且其中一交点为(-2、0)

略证:=m4+16m2+64=(m2+8)2>0

抛物线与x轴一定有两个交点

又由求根公式可求x2-(m2+4)x-2m2-12=0的两根分别为x1=m2+6,x2=-2

因而抛物线与x轴两个交点中的其中一交点为(-2、0)

例4 已知直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点

求m的取值范围

略解:由抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6可知,m≠-1

由直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点,易列关于x的一元二次方程(m+1)x2+6x-8=0中,>0即36+32(m+1)>0,

m>-178

m>-178且m≠-1

2.2.2 利用根的判别式求二次函数的解析式

例3 已知:p、q为正整数,m≠n,关于x的一元二次方程-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根,抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2,且m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,求抛物线的解析式

解:-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根

>0

p

p=1

m2-2m-1=0,n2-2n-1=0

m、n是x2-2x-1=0的两根

mn=-1,m2+n2=6

抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2, q为正整数

q=4

易求抛物线为:y=3x2-6x+2

3 二次函数与一元二次方程根与系数关系的关系及其应用

3.1 二次函数与一元二次方程根与系数关系的关系

3.1.1 由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根(设其两根为x1、x2)与系数关系可知: x1+x2=-ca,x1x2=ca由这两个公式可进一步探讨x1、x2的大小:当x1、x2都是正数,则0、-ba0、ca0;当x1、x2两根异号,则0、ca0;当x1、x2有一数为零,则0、ca=0;当x1、x2都是负数,则0、-ba0、ca0;…。进一步可知y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的一些情况。即① x1+x2=-ba>0且x1x2=ca>0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点都在x轴正半轴;② x1+x2=-ba0且x1x2=ca>0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点都在x轴负半轴;③ x1x2=ca0且x1x2=ca=0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点在原点及x轴正半轴;⑤ x1+x2=-ba

3.1.2 如果方程x2+bax+ca=0的两根是x1、x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca, 易知两根为x1、x2的一元二次方程x2+bax+ca=0可化为x2-(x1+x2)x+ x1x2=0或者化为(x-x1)(x-x2)=0,也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为a〔x2-(x1+x2)x+ x1x2〕=0或者化为a(x-x1)(x-x2)=0。根据这一点,当抛物线经过x轴上两点(如果存在)A(x1、0)、B(x2、0)时,就不必分别将此两点代入一般式,再与第三个条件联立方程组去求a、b、c,只须令其解析式为:y= a(x-x1)(x-x2),再将第三个条件代入去求a。这样求解二次函数的解析式就显得简洁方便.

3.2 一元二次方程根与系数关系的应用

3.2.1 求二次函数的解析式

例4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点(6,0)、(-2,0),顶点的纵坐标为,求这个二次函数的解析式。

略解:令该二次函数的解析式为:y= a(x-6)(x+2),由顶点的纵坐标为,易求a=-,所以可求出该二次函数的解析式。

3.2.2 利用一元二次方程根与系数关系解决二次函数图像与x轴的两交点位置关系相关的问题

例5 函数y=ax2+bx+c,若a>0,b

A. 没有交点;

B. 有两个且都在x轴的正半轴;

C. 有两个且都在x轴的负半轴;

D. 有两个,一个在x轴的正半轴另一个在x轴的负半轴;

分析:(1)=b2-4ac>0可知该函数与x轴有两个交点;(2)由根与系数关系x1+x2=-ba>0,x1x2=ca

一次函数篇8

一次函数反映的是数量关系与变化规律，是最基本的函数，学好一次函数是学好函数的基础。对于学生而言，一次函数学好了，真正做到数形结合，再学习后面的反比例函数和二次函数便会容易得多。本文结合教学实践，对一次函数中“数形结合”的思想进行探讨，以指导学生更好地理解函数的精髓，掌握解题方法。

一、从数到形，以形助数

例1　一个沙漏中有100g沙子，沙子以每秒钟10g的速度漏出。沙漏中余下的沙子y（单位g）与沙漏时间x（单位s）之间的函数图象是（）。

解析：y为余下的沙子，随着沙漏时间的增长，剩余的沙子y必然减少，因此，该函数一定是减函数，由此可以排除A和C选项。沙子最多时候为20g，漏完之后为0g，因此y的区间一定是0～20，由此可以排除D选项，因此本题正确答案应为B。

二、从形到数，量化入微

例2　有一种玩具小汽车的车速可以在1分钟之内加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高车速，最高车速为每秒40m，达到40秒之后便保持40m/s的速度行驶。假设时间为x（单位：s），车速为y（单位：m），则y与x的函数图象如下图所示。

（1）根据图象，写出当1≤x≤7时，y与x的函数关系式。

（2）计算车速要想达到35m/s时，需要多长时间。

（3）求出在多长时间之后，小汽车的速度就不再提高。写出小汽车车速达到40　m/s之后，y与x的函数关系式。

解析：（1）根据题意可知，此玩具汽车的速度分为三个部分，首先是第1秒内提高到10　m/s，之后以5　m/s的速度提速，在提到40　m/s的速度后便匀速行驶。当1≤x≤7时，小汽车是在10　m/s的基础上，以5m/s的速度加速。因此可以得出y与x的函数关系式为y=10+5（x-1）。

（2）车速达到35m/s，代入函数式，35=10+5（x-1）。经计算得出，x=6。即在6秒时，小汽车的车速可以达到35m/s。

（3）由题意可知，小汽车车速在达到40m/s之后，便不再加速，即y≤40。经计算可以得出，x=7时车速可以达到40　m/s，此时车速不再提高。在x≥7时，y与x的函数关系式为y=40。

在解答此类题目时，首先应充分理解题意。应注意观察分段函数图象的形状特征，从而确定函数解析式，然后再利用函数图象的性质来解答题目。

三、数形结合，复杂变简单，抽象化具象

例3　在某工厂中，有一批圆珠笔需要组装。工人甲和乙各每分钟组装10支。后来工人甲因身体不舒服回家休息，剩余的全部由工人乙独自组装。剩余圆珠笔数量y（支），组装时间为x（分钟），y与x的函数图象如下图。

请结合图象回答下列问题：

（1）根据图中信息，工人甲一共组装了多长时间，工作量是多少？

（2）写出y与x的函数关系式。

（3）组装完所有圆珠笔一共工作了多长时间？工作量是多少？

解析：（1）根据图象中提供的信息可知，需要组装的圆珠笔共400支，在组装完200支以后，剩余圆珠笔数量的组装速度开始减缓。由此可知，甲乙共一起组装了200支。由此可以得出甲乙共同工作时间为10分钟，甲组装的圆珠笔为100支。

（2）根据函数图象可知，当0≤x≤10时，y=400-（10+10）x=400-20x；当10≤x≤30时，y=200-10（x-10）=300-10x。

一次函数篇9

关键词：二次函数；二次不等式；一元二次方程；关系

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-117-01

二次函数是初等函数中的重要函数，历来是中考的重点知识，是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。下面，我们谈谈二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系。

一、二次函数与二次不等式有如下的关系：

①、使得二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围，即求 的解集；反之，求 的解集，即求二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围。（此处常用图解法求一元二次不等式的解集）

②用图像法求一元二次不等式

的解集步骤：

、设：设 ，则求 ，即求二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围。

、作：根据五点作图法，作出一次函数 的图像。

、解：根据直角坐标系特点， 轴上方， 恒成立；反之， 轴下方， 恒成立，故求 ，即看图像在 轴下方部分时， 的取值范围即可。

例1：已知y=x2-2x-3，当y

分析：因为二次函数与x轴两个交点坐标分别是 ， ，有图像可知，当 时，自变量x的取值范围是

解：根据五点作图法，作出二次函数y=x2-2x-3的图像

根据直角坐标系特点， 轴下方， 恒成立，故求 ，即看图像在 轴下方部分时， 的取值范围即可。所以自变量x的取值范围是

二、二次函数与一元二次方程的关系

因为抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1， x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。所以

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

例2.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=

分析：本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。

解： 抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

当 时，y=0，且 ，即 ，

又 点A（m，n），B（m+6，n）， 点A、B关于直线 对称；

，

一次函数篇10

例题：在一元一次方程一章中，我们曾考虑过下面两种移动电话计费方式：

用函数方法解答如何选择计费方式更省钱。问题一提出来，马上就有学生举手回答。

学生1：电话费与所用的时间有关。由于通话时间不知道，可以设成X分钟，这样，用全球通的费用为Y1＝50+0.40X，用神州行的费用为Y2＝0.60X，哪种更省钱的关键是看Y1和Y2的大小。

教师：怎样比较Y1和Y2的大小呢？

学生2：用作差法比较它们的大小

Y1－Y2＝(50＋0.40X）－0.60X＝50－0.20X

教师：(50－0.20X）是正数还是负数呢？

学生3：不一定。

教师：为什么？

学生3：还要看X的取值范围，具体地说，有以下三种情况：

令50－0.20X>0，即X0，选择神州行省钱。

令50－0.20X>0，即X>250时，Y1－Y2

令50－0.20X＝0，即X＝250时。Y1－Y2＝0，神州行和全球通收费相同。

教师：刚才，通过列式和作差法解决了怎样选择电话计费方式省钱的问题，还有没有其它方法？

学生4：前半部分和前面同学的解法一样，但后半部分我是用作图的方法解的。

我将学生的图象画在黑板上，如图：

同学们觉得不可思议：你怎样知道这两条射线交点的横坐标是250呢？

学生4：其实，250也是令Y1＝Y2求出的，因为两直线的交点，坐标直接看不出来，实质上是联立两个方程，将它们组成方程组求解，这样做的目的是从图形可以直观地看出结果，通话时间小于250分钟，神州行省钱；如果通话时间恰为250分钟，两种都一样：如果通话时间大于250分钟，则选全球通省钱。

大家都为学生4的解法鼓起了掌，以肯定学生4的回答。

教师：同学们对问题分析得很好，如果将两位同学的做法合在一起更好，体现了数学中非常重要的数形结合的思想，以前提到的“数学建模”中的“模”并不是指实物，实质是一个当X取非负实数时的一次函数……

我的话还未完，思维一向很严谨的学生5站了起来。

学生5：我觉得刚才解决问题的方法有问题。

他的话引起了大家的震惊一一怎么会呢？但我冷静下来，想听听他的想法。

教师：你能否给大家谈谈这么认为的原因？

学生5：因为电话费不足一分钱仍按一分钟收取，并不是打半分钟只收一半的钱。

我一下明白了学生5的意思，按实际列式，电话费应为一个分段函数而非一个连续函数，我们的处理把问题理想化了，并不是按实际来处理的。

教师：按电信局的收费标准，学生5的说话是正确的，函数的确有问题，但这里并没有说明是按电信局的收费标准来解决这个问题，所以，就解题并没有错，只是不符合实际而已。

学生5：但是，老师您经常说要用所学的知识来解决实际问题的。

其他同学也在小声讨论：是呀，不根据实际情况来解决问题，怎么称得上是解决实际问题呢？

我一时陷入了尴尬的境地，我们经常给学生讲的是要用所学的数学知识解决日常生活中的问题，而现在只是说一句“不符合实际而已”就回避学生提出的问题，不是自相矛盾吗？于是，还是选定先解决这个问题再说。教师：同学们对问题实事求是的态度值得表扬。下面，我们一起按实际收费的标准来解决这个问题，首先看神州行电话费与时间的关系式怎样表示。

同学们开始发表目己的见解。

学生6：打电话的时间不超过一分钟算成一分钟，如时间取0.1、0.5分和0.9分以至在不超过一分钟话费都是Y＝O.60×1（元），时间在大于一分钟而不超过二分钟算成二分钟，此时话费Y＝O.60×2（元），以此类推，表达式应该是Y＝O.60n（元）

学生7：不对，因为求的是Y与X的关系，而不是Y与n的关系

学生8：当X是非负整数时Y＝O.60X,但X不是整数时，就不知该怎样表示

教师：同学们能领会其中的意思，只是还不知怎么用式子将其表示出来。我们可以这样来考虑：当时间恰好是非负整数时，可以表示为Y＝O.60X，而当X不是非负整数时，如X＝1.8时，不是直接用1.8进行计算，而是用2进行计算，即可以看成先将X的小数部分舍去，再加上所得的数。这时我们引进一个记号——[x],[x]表示的整数部分，如1.8的整数部分是1，故[1.8] ＝1，所以，当X不是整数时，费用Y＝O.60（[X]＋1）综上所述，费用Y关于时间的函数可以表示成：

Y2＝0.60X（当X是非负整数时）：Y2＝O.60（[X]＋1）（当X＞0，且是非整数时）。

大家觉得比较奇怪：怎么不是一个式子而分开了呢？

教师：这种形式的函数叫分段函数，即自变量X的取值范围不同时，函数的表达式也不一样，下面我们来研究一下它的图形怎么作。

由于有刚才的分析，所以和同学们一起很快将其图象作了出来（图象略）

教师：同理，请同学们自己写出全球通的函数并画出它的图象：

Y1＝0.40X＋50(当X是非负整数时)；Y1＝0.40（[X]＋1）＋50（当X＞0，且是非整数时）。

教师：综上所述，只要将原来的结果稍作改变是可以得到正确答案的，即在考虑实际收费的情况下．也可用原来的方法。只要改变自变量的取值范围即可，大家课后思考一下这样做的道理。