立体几何十篇

立体几何篇1

（1） 证明：OD∥平面PAB；

（2） 当k=■时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

（3） 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？

下面我们通过对此题的分析和解决，来思考高三立体几何的复习策略．

一、 明确考试要求，找准复习目标

立体几何是研究空间中点、线、面间位置关系的科学．高考考查的关于空间中点、线、面间位置关系的问题大致可以分为两类：一类是定性判断，主要有判断点是否在线上或面内，直线和直线、直线和平面以及平面和平面是否平行或垂直等，如上题中的第（1）问；另一类是定量求解，即求解直线与平面之间的夹角、距离，以及与夹角、距离有关的问题，如上题中的第（2）、（3）问．明确了考试的内容，我们就能将主要精力放在重点知识和重点方法的学习和复习上．

二、 知晓考试难度，树立得分信心

本题为2005年高考浙江试卷解答题的第4题，难度系数约为0.7，属于中档题．绝大多数同学都能得分，部分同学还能拿到较高的分数甚至是满分．另外，高考数学试卷中关于立体几何内容的问题一般还会有一道选择题和一道填空题，难度略低于解答题，总分值为23分左右，约占试卷总分的15％．立体几何部分总体难度为中低档，只要树立起充分的信心，通过科学系统地复习，立体几何部分要拿到高分并不困难．

三、 学会知识串网，注重方法积累

明确了考点和难度之后，我们需要对本部分的知识内容有熟练的掌握．立体几何所涉及的知识点比较多，概念之间容易混淆，在复习的过程中，可以通过列知识图表、画网络图等形式，将知识串联起来，形成属于自己的知识网络结构，有利于知识的记忆和提取．

图2所示是立体几何的一个典型图例，通过它我们可以很好地建立起有关立体几何的知识网络．简言之就是“一个模型、两种关系、三大交角、四个公理、五大步骤、六种距离”.通过这个模型，我们可以发现平行和垂直两大位置关系，寻找线线角、线面角和面面角三类夹角，揭示立体几何的四大公理，训练求角过程一般所遵循的 “一找二作三转化四证明五求解”的解题程序，计算点、线、面三元素之间的距离．

如从四面体E－BFG中，我们可以找到构成它的四个直角三角形；EG，EF和平面GBF是三垂线定理的常见模型．高考立体几何的解答题一般以柱或锥为背景，在图2中稍加连线，就可得到典型的柱体、锥体，其中对线面关系、角度、距离等问题都有体现；应用9B知识解题，需要建立适当的空间直角坐标系，在上图中也能找到两两垂直关系的三线来建立坐标系.图2所示的结构也是高考立体几何题的创题背景．

四、 关注演练提升，着意形成能力

练习是复习备考必不可少的环节，一方面可以进一步熟悉知识、体会方法；另一方面，同学们需要在实践中不断锤炼，才能提高分析问题和解决问题的能力．

例题第（1）问中要证明线面平行，常用方法是将问题转化为证明直线和直线平行或者平面和平面平行．所以既可以在平面PAB内找与直线OD平行的直线，也可以寻找过OD且与平面PAB平行的平面．解法如下：

解（1）： O，D分别为AC，PC的中点， OD∥PA.又 PA?奂平面PAB， OD∥平面PAB．

立体几何篇2

关键词：高中数学；立体几何；教学策略

立体几何是高中数学教学极为重要的内容之一，也是高考考查的重点.《课程标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等，在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，《课程标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程. 然而，对于许多学生来说，由于缺乏空间想象能力，没有掌握合适的解题方法，立体几何是令他们头疼的一大板块，对文科生尤其如此. 那数学教师在教授立体几何时，应当如何讲解才能使得学生对立体几何的了解更为透彻，进而掌握解题的方法和策略呢？笔者认为，要想让立体几何变得不再那么“立体”，教师可以从以下几方面入手.

[?] 立体几何教学大纲的要求

按照立体几何教学大纲来看，学生对立体几何的学习应当从整体的观察开始，以对空间图形的认识为基础，进而理解空间中点、线、面之间的关系，有一定的空间想象能力.

1. 对线、面、体的教学要求

按照大纲要求，学生应该掌握平面的基本性质、直线和平面的位置关系、线线平行和线线垂直的判定方法、二面角等多项内容. 在数学方法上，大纲要求学生能够较为熟练地运用反证法来证明一些简单的几何题目；在几何图形上则需要学生了解多面体、球体、棱柱和棱锥的基本概念和相关的面积计算公式等.

2. 对空间几何体的教学要求

大纲对空间几何体的教学要求是需要学生认识并掌握空间几何体的结构特点，并能在现实生活中找到相对应的例子. 此外，大纲还要求学生掌握三视图的画法，要能画出一些结构简单的空间图形.

3. 大纲对点、线、面之间的位置关系的要求

点、线、面之间的位置关系既是立体几何学习的重难点，也是高考考查的重要知识点，因此学生对点、线、面之间关系的掌握一定要很牢固. 按照大纲要求，学生要能够按照一定的模型来理解点、线、面三者之间的位置关系，并在掌握了教材所讲授的定义、公理等的前提下，通过理论想象和动手操作来加深对线面平行等的认识. 正是因为点、线、面之间的位置关系种类很多，因此学生要加强对其中必要的、常用的公理、定理的掌握.

[?] 教师应当如何让立体几何变得不再“立体”

从多年的从教经验来看，笔者认为，可以从以下几个方面着手让立体几何变得不再“立体”：

1. 将立体几何与生活相结合

数学这门科学很大程度上是源于生活的，这一点从立体几何上可以看出.我们日常生活中的许多建筑就有立体几何的影子，因此，在立体几何的教学中教师应将立体几何与生活进行一个融合. 比如说，在上立体几何的新课之前，可以先引导学生观察一些常见的物体，并让学生自行描述、概况和总结这些物体的几何特征，这样可以让学生感觉立体几何存在于我们的日常生活中，学习的热情不自觉地也就有所提升，同时还减少了学生对立体几何的恐惧感.

在苏教版的高中数学教材中， 立体几何的教学是从“柱、锥、台、球的结构特征”开始的，教师在上课前就可以准备一些实物模型，比如地球仪等让学生来描述这些物体的结构特征，并进行总结. 这种方法能够让教学在好的氛围下顺利进行. 同时，这种从抽象到具体的教学方法也使得对物体的感性认识加深.

2. 巧妙运用转化的数学思想

转化这种数学思想在高中数学的学习中至关重要，在立体几何的学习中更是如此.许多学生从平面图形的学习转为立体几何的学习中常常会感到不适应，这和空间想象能力的缺乏有很大关系.因此教师应当积极培养学生的空间想象能力，同时要教会学生巧妙运用转化的思想来解决各种立体几何的问题. 转化思想在立体几何中的运用主要体现在以下几个方面：首先是空间里直线和平面关系的转化，其次是将立体几何问题转化为平面问题. 在具体的教学过程中，教师应当注重引导学生对这两种转化的重复练习. 如何将立体问题平面化，在遇到不同平面的直线所成的角的问题时，一般是将其转化为某三角形的角，二面角转化成平面角的问题，线面平行转化为线线平行，等等. 只有让学生经过不断的练习，掌握转化的精髓，才能帮助学生真正提高解题的效率，更好地掌握立体几何的知识.

3. 投影、三视图和直观图的运用

投影、三视图和直观图都是在新课改进行以后增加的内容，按照课标的要求学生应当能够画出三视图和直观图，这两种图形的画法能够帮助学生提高对空间图形的认知，因此，也成为以后立体几何教学的一大重点. 与人教版和北师大版教材都不相同的是，苏教版的数学教材在立体几何的章节里更为重视投影、中心投影等. 同时，在教材的编排上，苏教版重视逻辑性思维的培养和塑造，这种内容较多的教材也能更好地帮助学生理解和掌握教学的内容，因此也更适合学生的学习.

4. 直观感知和动手操作相结合

教师在立体几何的教学中要加强对学生的直观感知能力的培养和逻辑思维的培养. 由于立体几何概念和定义的抽象性，因此要多给学生提供动手操作的能力. 学生通过自己动手画，组合几何图形能够加深对所研究图形的理解，这种自主探索的精神对于学生科学态度的形成也有着重要作用. 因此，在立体几何的教学活动中，教师应当鼓励学生认真观察，仔细操作，大胆猜想，规范作图等来加深自己的感性认识，进而上升到理性认识.

5. 教会学生正确运用解题策略

教师要想让立体几何变得不再“立体”，除了要做好上述几点之外，也应当教会学生正确运用立体几何的解题策略.立体几何的解题策略主要包括以下这些：（1）一般问题特殊化处理，一般问题特殊化处理的方式常常适用于问题较为复杂且计算量较多的情况，这种取特例和特殊值的方法更多在选择题的时候运用. （2）将表面距离平面化. 当我们需要求圆柱、圆锥等常见几何体表面的某两点的最短距离时，我们一般都会将这两点转化到平面几何中去处理，而在平面之中两点之间距离最短的是线段，因此我们遇到此类问题常将立体图形的侧面展开，展开的侧面是一个平面，计算这两点间的线段长度就能得到正确的答案.

6. 教会学生运用画图方法

教会学生画图，从而更好地解题，也是立体几何一种学习策略. 例如：“直线与平面垂直的判定”这一部分的知识，学生必须弄清定义“若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直”. 根据其定理再进行有关延伸，学生能够转化为数学语言：“m为直线，n为平面β中的任意一条直线，若mn，那么mβ”，或者是“m为直线，n为平面β中的任意一条直线，m，n交于A点，若A点为垂点，则mβ”. 这样说明学生对该基础知识有所掌握，教师再根据定义，将判定依据“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面”等进行讲解和举例，最后根据各条判定条件进行有关的例句举例和练习.

除了以上的将一般问题特殊化、表面距离平面化之外，面临立体几何中的最值问题求解时，我们可以先根据题目条件构造出一个由所求变量所组成的目标函数，函数构造完以后通过函数最值的求法算出我们需要的结果. 在求解的过程中我们可以运用配方法、判别式法、三角法等等，如下例.

立体几何篇3

【关键词】立体几何；教学法

中学教学大纲指出，要重视能力的培养，使学生逐步学会分析、综合、归纳、类比等重要的思想方法。根据高中生的抽象逻辑思维从经验型向理论型急剧转化的心理特点和高中数学教材的特点，教学中恰当地应用类比等方法，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力。本文就“立体几何”的教学，谈一些自己的教学体会。

1. 学习立体几何之前，学生已学习了平面几何的公理、定理；积累了大量的基本几何图形和思考二维平面问题的方法，立体几何中的大量概念又借助平面几何的概念发展而来，于是合理类比平面几何的结论，从立体到平面，再回到立体思考问题有利于学生容易理解。联系相应的平面几何的知识，抓住―切可供类比的知识点，将两种图形的性质进行对比，对于培养学生的数学感是相当有利的。

如，当学生掌握了棱柱、棱锥、棱台的体积公式以后，让学生寻找这三个公式之间的联系

V=Sh V=1/3Sh V=1/3（S1+S1S2+S2）h

棱柱和棱锥的体积计算公式可以看作棱台的上下底发生变化发展而来，当棱台的上底和下底一样大小的时候，棱台成为了棱柱，则有S1=S2，棱台的体积公式V=1/3（S1+S1S2+S2）h变化为棱柱的体积公式V=Sh，当棱台的上底缩为一个点的时候，棱台成为了棱锥，V=1/3（S1+S1S2+S2）h变化为V=1/3Sh，进一步思考这种联系与平面几何中的哪三个公式有类似之处。

通过学生讨论知悉：平面几何中都是平面图形，不存在体积计算同题，那么体积计算公式应对应于平面图形的面积计算公式，棱台如抽象成平面图形可比作梯形，棱锥对应于三角形！那么棱桂又该怎样呢对棱柱的特点作仔细研究，最后学生想到了棱柱可与平行四边形进行对照，把梯形、平行四边形、三角形的面积公式列在―起很快发现这三个公式有类似的规律，从中既让学生对于平面几何与立体几何的类比有了一定的认识，如面积类比体积，也让学生领略到数学公式的美。

2. 数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似”。把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。

例如：“二面角的定义”，从模型引入二面角后可以从平面几何角的概念，类比概括二面角的定义：

通过角的概念，由“平面―空间”、“点―线”、“绂―面”进行类比得出二面角的定义，既可减少二面角的教学难度，又进一步让学生了解到一些平面几何研究对象与立体几何研究对象常用的类比关系，如点可以类比直线，直线类比平面等，使类比思维方法潜移默化地渗透于教学之中。

3. 在讲授新知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，扩展学生的思路，养或学生进行类比推理的习惯，平面几何的基本元素是点和直线，而立体几何的基本元素是点、直线和平面，若建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相以的立体几何定理。如有：

平行于同一直线的两条直线平行 平行于同一平面的两个平面平行

4. 通过这样新旧知识的联系来进行类比，既有利于理解、掌握新知识，还能使旧知识得到巩固，同时拓宽视野，当学生对于平面与空间的类比有了进一步认识以后，让学生尝试完成下面的类比：

（1）在平面几何中，正三角形内任何一点到各边的距离之和为定值。探讨：在立体几何中，三角形类比成三棱锥，那么正三角形作为最特殊的三角形，应该类比成什么三棱锥？有学生说是正三棱锥，有学生说是正四面体，通过学生相互的讨论、争执，最后发现正三棱锥应该和等腰三角形进行类比，正三角形应该和正四面体进行类比，又根据线和面对应，于是可以猜想该结论是：在立体几何中，正四面体内一点到各个面的距离之和为定值。

5. 关于类比，还要注意可能产生的负迁移，也就是要克服一些错误的类比，如易混概念的类比，易混性质的类比，从而准确地掌握概念和性质的本质，有区别地认识具有某种相似性的概念。如，有学生把平面几何中“苦ac，bc，则ab”的结论总是在立体几何中进行使用， 有的学生由“若ab，

bc则ac”的结论类比得出“若a和b异面，b和c异面，则a和c异面”的错误结论。

立体几何篇4

一、类比拓展型

对于两个比较相似的问题，如果已知一个问题的结论和方法，那么，我们可以通过将两个问题加以比较分析、借鉴与拓展，得出另一个问题的结论和方法．平面几何到立体几何的类比在历年高考中屡屡频现．将平面问题与空间问题加以类比，有助于对空间图形的认识．

例1 函数的反函数等于本身，这类函数称为自反函数．已知真命题：“在平行四边形中，设两邻边为夹角为常数），若该平行四边形的面积与它的周长相等，则的函数关系为自反函数关系：．请你在空间图形中，写出类似的一个真命题：在长方体中，设底面二邻边为，高为，若该长方体的体积与它的表面积相等，则的函数关系为自反函数关系：_____________．

解析：本题从命题的解法或式子的结构入手类比，即可得出答案为：．

评注：对于这类问题，可从命题的结构形式特征入手，运用已知信息，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论、空间维度等通过合情推理、延伸或迁移，从而得出新的结论．例如，二维平面的面积比，类比联想三维空间的体积比；二维平面两线段乘积的比，可类比联想到三维空间三线段乘积的比；“每一个三角形都有一个外接圆”，将此结论类比到空间可以得到“每一个三棱椎都有一个外接球”等．

二、情境新颖型

通过新的立意，新的背景，新的表述，新的设问都创设试题的新颖情境，让考生触题就能感到题目的“不俗”．其解决途径和解题方法超越常规，有一定的创造性成分，需要用观察、联想、模拟等似真推理来探路，再借助逻辑思维进行严格的推理论证．

例2 空间这样的四个点A、B、C、D，使得AB=CD=8 cm，AC=BD=10 cm， AD=BC=13 cm．（填“存在”或“不存在”）

解析：要去寻找这样的点是很难叙述的，但我们可以虚拟一些特殊 的图形去模拟运动，判断结果．细看题目有四个点，显然可以从四边 形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来 得出需要的结论．

在空间中，分别以8、10、13为边长，作如图1所示平面四边形，它由ABC和BCD组成，公共边为BC=13 cm，AC=BD=10 cm，AB=CD=8 cm，固定ABC所在的平面，令BCD绕着边BC旋转.显然当D位于ABC所在的平面时，AD最大．BC=13 cm，AC=10 cm，AB=8 cm，可得cos∠BAC=-，即可知∠BAC是钝角，故对于平行四边形（即D在平面ABC内时）ABDC，对角线AD的长小于对角线BC的长，即AD

评注：该题以空间多点间相对距离立意，可通过构造先满足部分条件的图形模拟运动导出，属于边缘性知识，设置为小题显得不偏、不难，考查了理性思维和分析问题的能力．

三、截线截面型

一个平面与几何体相交所得的几何图形（包括边界及内部）叫做几何体的截面，截面的边界叫做截线（或交线），常见的截面有对角面、轴截面、直截面、平行于底面的截面以及其他具有某种特性的截面．有关截面的问题主要有面积、距离和角的计算问题以及与截面的位置、形状、数量有关的证明和判定问题．

例3 如图2所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A、A′、B、B′分别为 的中点，分别为的中点．

（1）证明：四点共面；

（2）设G为A A′中点，延长到H′，

直线BO2是由直线AO1平移得到，

（2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接，由平移性质得=HB，

评注：本题考查了轴截面问题．截面能反映几何体的内部结构，截面上可集中几何体的主要元素，反映它们之间的内在联系，是研究几何体的必由之路．常常可以利用截面把几何体中的元素集中到平面图形来，利用降维的思想，实现空间问题向平面问题的转化．

四、动态折展型

折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现．解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化．这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据．而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试．

例4 已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD.

（Ⅰ）证明：平面PADPCD；

（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；

（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.

解析：（I）易证从略；

（II）由（I）知平面ABCD，平面PAB平面ABCD.

如图3， 在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD，

（Ⅲ）连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD

O不是BD的中心 ，又M为PB的中点

在PBD中，OM与PD不平行，OM所以直线与PD所在直线相交

又OM平面AMC，直线PD与平面AMC不平行.

评注：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等．

五、几何交汇型

教材中关于轨迹，多在平面几何与平面解析几何中加以定义，在空间中，只对球面用轨迹定义作了描述.如果把平面解析几何中的定点、定直线不局限在同一个平面内，则很自然地把轨迹从平面延伸到空间．

例5 如图4，棱长为1的正方体, M、N为BB1、AB的中点，O是B1C的中点，过O作直线与AM交于P，与CN交于Q.（Ⅰ）求PQ的长度；（Ⅱ）将平面A1B无限延展开来，设平面A1B内有一动点T，它到直线DD1的距离减去它到P点的距离的平方差为1，请建立适当的直角坐标系，求出动点T所构成曲线K的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，请说明以PB为直径的圆与曲线K是否有交点，如果有请求出；如果没有，请使用适当的文字加以说明．

解析：（Ⅰ）连MO交CC1于E，连DE，延长DA， CN交于Q，连结OQ交AN于P，则PQ为所求，易得，

（Ⅱ）如图5，过T作TEDD1，过T作TFAA1，又AA1TF，DD1TE，

DD1∥AA1，AA1平面TEF，故AA1EF，EF∥AD.

在RtTFE中，，

TF = PT.故T点的轨迹是以P为焦点，以AA1为准线的抛物线，

以过P点且垂直于AA1的直线为x轴，以P点AA1的垂线段的中点为原点，建立直角坐标系，设抛物线的方程，由于P点到AA1的距离为，

故，曲线K的方程为.

（Ⅲ）假设抛物线与圆有交点，设交点为G，则∠PGB为直角，易得，故，又，过G作GHAA1，则PG = HG.

，与矛盾，故交点不存在，于是以PB为直径的圆与曲线K是没有交点．

评注：此题将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新．许多同学对此茫然．但此题的解答却很简单，利用普遍性与特殊性的关系转化，首先考虑特殊图形，然后考虑一般情形．

六、割补切接型

立几问题中的某个几何图形可能是另一个几何图形的一部分或者是由两个几何体通过相切相接组合而成，因此这类几何问题可能具有包含它的那类几何问题的性质.由这类问题与其他问题的联系解决问题的方法，实际上是在寻找解题的中间环节.

例6 （1）如图6，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足，求该正四面体的体积.

解析：（1）取的三等分点的中点，的中点，过三点作平面，过三点，，作平面，因为∥,∥,所以平面∥平面，再过点，分别作平面，与平面平行，那么四个平面依次相互平行，由线段被平行平面截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故为所求平面.

（2）如图7，现将此正四面体置于一个正方体中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体）的中点，和是两个平行平面，若其距离为1，则正四面体 即为满足条件的正四面体.图8是正方体的上底面，现设正方体的棱长为，若，则有据，得，

于是正四面体的棱长，其体积.（即等于一个棱长为的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）

立体几何篇5

定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。定理简介：又称“欧几里德定理”，由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。射影定理是数学图形计算的重要定理。立体几何简介：数学上，它是3维欧氏空间的几何的传统名称。因为实际上这大致上就是人类生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。欧几里得简介：古希腊数学家。他活跃于托勒密一世时期的亚历山大里亚，被称为“几何之父”，最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

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立体几何篇6

高考数学立体几何知识点一

1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

2. 判定两个平面平行的方法：

(1)根据定义--证明两平面没有公共点;

(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;

(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3.两个平面平行的主要性质：

⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。

⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那

么它们的交线平行“。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。

高考数学立体几何知识点二

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

 

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立体几何篇7

一、要重视空间概念的形成

从数到形的转变，从平面到空间的概念转化，是一个很大的认识跨越，必须有一个逐步的培养过程．

1.利用实物模型等手段进行直观教学

运用实物模型进行直观教学，使学生在头脑里形成空间观念的整体形象，一维、二维图形与实物形状和人的视觉形象基本一致，因此，平面几何的直观能力较易为学生所掌握．三维空间的实物画在二维平面上，图形、实物和人的视觉形成不完全一致，空间形状的直观想象便变得特别困难．在数学教学中，教师要指导学生通过对实物模型的观察、剖析，使空间形式在学生头脑中具体化．这样日积月累，就能逐步离开实物模型而进行空间形式的思考．例如，在讲授棱柱的概念时，我指导学生对一系列不同的棱柱实物模型进行观察，归纳出这一系列实物模型的共同点，然后得出棱柱的概念．因此，借助实物模型等直观教具进行直观教学，是培养学生空间想象能力不可或缺的有效途径．

2.加强画图能力和识图能力的培养

通过绘画草图或示意图使学生头脑中形成的空间概念“具体化”．空间想象能力是形象思维和逻辑思维交替作用的思维过程，几何语言即几何图形是表达这种思维的最好语言．

例1　一个正三棱锥，其侧棱长为1，且三条侧棱两两垂直，求该正三棱锥的体积．

分析：很多学生会把图形画成图1的形式，结果对解本题带来很大不便．图1的空间图形的位置摆放不利于本题的解答．由题意“三条侧棱两两垂直”，所以可以如图2摆放．

3.研究图形的组成关系及其性质

通过深入了解空间形式的内部结构和特征，从复杂的图形中“取得”基本图形，进而分析其中的基本图形和基本元素之间的关系．

例2　如图3，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°，点D、E分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=AC=CC1，求异面直线BD与AE所成角的余弦值．

分析：要求异面直线BD与AE所成角的余弦值，就必须清楚直三棱柱的内部结构，可以取BC中点F，连接EF，连接DE、AF，在AEF中求∠AEF的余弦值．

二、掌握空间形式的表达方法

1.用常规作图工具

人们为学习、生活、工作的需要，根据人们的视觉规律将空间图形表达成各种平面图形．例如绘“正方体”直观图，要求学生在掌握如何作平面图形的基础上进一步掌握立体图形的作图方法．

例3　在棱长为a的正方体AC1中，点E、F分别是AB、BC的中点，求截面A1EF的面积．

分析：画出正方体的直观图，如图4，求出截面A1EF的三条边长．

2.计算机辅助教学

立体几何篇8

【关键词】高中数学；立体几何；基础能力

新课程标准的出现，对于培养学生的空间想象能力和综合思考能力有了具体要求.而立体几何作为高中数学教学中的重点和难点，经常性地造成学生畏惧学习，教师难于讲解的状况，最终导致学生学习立体几何的兴趣和信心逐步丧失.如果能改善这一现状，将会促进学生综合能力的提高，改善教学质量.下面结合教学实践浅谈如下几点.

1.增强学生兴趣，提高学习热情

任何学科的学习都需要兴趣作为支撑，尤其针对学生通常认为枯燥无味的高中数学，更需要教师通过适当的方法引导学生，提高学生学习立体几何的兴趣.其中合理的展现高中数学的魅力并加强学生之间互动是提高学生学习热情的重要方法.

数学作为一门逻辑与艺术融合的学科，尽管具有较强的抽象性，但其中也蕴含着独有的魅力.在实际的教学中，如果教师纯粹的进行知识的讲解，很容易造成学生的心理疲劳，反之如果教师能将数学本身的魅力融合在立体几何知识中，可以很好地拉近与学生的距离，从而极大提高学生学习立体几何的热情.例如学习立体几何之初，教师可以布置思考题：通常情况下，三根火柴可以拼成一个平面三角形，那么六根火柴可以拼成什么立体图形？在这道题中，学生很容易就可以想象到三根火柴拼成的样子，但学习初期对于六根火柴拼成的立体图形却并不是非常熟悉，不过学生可以动手使用火柴实验，最终会发现六根火柴拼成的是一个空间正四面体.通过这种形式将学生思路由平面转变到空间的同时，也通过动手参与感受到立体几何的魅力，提高学习的兴致.

新课标要求下的高中数学课堂，需要构建学生之间互动交流的氛围，改变传统高中数学教学中学生被动接受知识的情况，尤其是在立体几何内容的学习过程中，更需要学生间进行合作交流探讨，增加学习立体几何的信心和热情.例如学习苏教版必修二《立体几何初步》一章时，教师在基本讲解完成后，将学生分组，布置思考题：一个长、宽、高分别为6厘米、8厘米、10厘米的盒子，它的表面积是多少？在解答的过程中，教师要鼓励学生想出尽可能多的解题方法，不仅仅依靠课本内容.经过小组讨论，让学生之间交流，通过分别计算每个面的面积再相加；或将整个盒子展开，将分离开的部分剪下填补于空余位置，直接计算整体面积的方法，得出盒子的表面积为376平方厘米.通过这个讨论过程，让学生的思维充分发散，不局限于课本内容，对于学生更好的学习掌握立体几何知识意义重大.

2.夯实基础知识，掌握基本技能

教师在多年的教学过程中可以总结发现，在立体几何的学习中，学生掌握牢固的基础知识和能力是学习立体几何的前提.教师需要将基础知识的重要性多次陈述，让学生明白在立体几何的学习体系中，前后知识点联系的紧密性和重要性，对于学生最基本的要求是能灵活运用图形、文字、符号等形式表达基本概念和公式，让学生知其所以然，获取对于立体几何的感性认识.而为了达到这些目标，教师在课堂上要从自身做起，在授课时不能随意省略几何图形的正确称呼，不能让学生养成省略书写称呼的不良习惯.同时，教师在布置作业时也要注重基础知识的重要性.例如在每次作业中都要穿插训练学生描述立体几何特征的题目：给学生一幅三棱锥的图片，其中一个面的线段长度都是3厘米，其余线段长度均为5厘米，让学生判断这些长度是否能组成三棱锥，如果可以的话又有什么特性？这道题目的在于观察学生对于三角形基本定义的掌握以及三棱锥定义的了解，经过判断，得出每一个面的三角形都符合构造理论，能够构成三棱锥，并且组成的三棱锥有一个面是正三角形，其余为等腰三角形.通过这样不断锤炼学生基础知识，让学生具备学习立体几何的基础能力.

3.建立空间概念，发挥想象能力

立体几何篇9

1. 加强对立体几何基础知识复习 数学概念是构成数学知识体系中最基础部分，而立体几何中涉及大量的基本概念、定理、性质，特别是集中在空间平行、空间垂直、空间角、空间距和简单几何体等相关的内容。.理解与掌握这些概念、公理、定理是学好立体几何的关键。

（1）复习时切忌死记硬背。教学时为培养学生空间观念的建立和空间想象能力的提升,.多让学生仔细观察实物、模型或动画动态演示空间中的点、线、面间的位置关系,以及立几中的定义、定理。如把教室看成长方体，来观察.理解异面直线、异面角、异面直线垂直、异面距、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）、.空间距中的点面距、线面距、面面距、点线距、线线距及其相互间距离的转换关系；再如立几中的三垂定理及逆定理、线面角、斜线段长定理中都离不开射影，可借用电筒、铅笔、桌面来做实验，演示斜线在平面中的射影产生过程，当只有在光垂直照射在桌面时斜线铅笔留在桌面的影子才能叫斜线的射影。进而推想在立几图象中如何找斜线的射影啦，只要把光换成过斜线的面垂线就可以了。这样让每一个立几中的定义、定理，尽可能的让学生在经历观察、实验、猜想、证明等数学活动中，发展合情推理和初步的演绎推理能力。

（2）复习时应加强学生在画图、识图、辩图、用图的能力。在立几的解答中，学生往往感觉不易建立空间概念，在头脑中难以形成较为准确，直观的几何模型，从而反映在做题时不会画图或识图困难，甚至作出错误的图形来，从而影响了解题。所以正确画好立体图形是学好立体几何的重点，也是识图、用图的关键。在练习复习时叫学生逢图必画，多集中在棱柱、棱锥、球体，要求形象、直观、准确、迅速。

（3）复习时要突出运用文字语言、图形语言与符号语言来理解基础知识。本章中有大量的判断定理和性质定理，要求学生要三种语言娴熟，准确描述。在结合立几问题应用时，先提出命题的文字语言，再联想出图形语言，最后形成符号语言。对数学的公理，定理的理解和应用，突出反映在题目的证明和计算上。在具体的证明中要求学生写出相应的依据，使逻辑推理严密，运用定理﹑公理﹑法则时言出有据，书写格式合理，层次清楚，数学符号语言使用恰当，合乎习惯等。

2. 搞好专题练习复习

2.1结合考纲,做好立几理论知识考点的总结复习。 复习课也不能由教师包讲，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝活表演”，而要让学生成为学习的主人，让他们在主动积极地探索活动中实现创新、突破，展示自己的才华智慧，提高数学素养和悟性，作为教学活动的组织者，教师的任务是点拨、启发、诱导、调控，而这些都应以学生为中心。在专题练习前教师要做好这些方面的工作：

（1）研究考纲：叫学生结合本地前几年的高考试题和考纲，做好对立几试题的分析与研究，提高专题复习的针对性与实效性,让学生知道考什么、学什么、怎么考等；

（2）结合全国各地近几年的高考，可叫学生做好考点、热点问题的分类与整理，这样可让学生发现立几问题考察的特点、重点，特别是解答题问题的设置主要围绕那些方面在进行，做到心中有数，在训练时要加强练习。

立体几何篇10

    数学是一门注重培养学生逻辑思维的学科，因此数学教学要充分体现严密的逻辑性.章建跃认为，数学教学要以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考.立体几何中，研究线、面的位置关系——不同位置关系所研究的问题、思路和方法具有一致性，教学中应利用这种一致性，培养学生的独立思考能力，使学生学会学习.本文以“直线与平面垂直”为例对此进行探讨.

    一、挖掘教学内容之间的逻辑关系

    “直线与平面垂直”是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间直线与直线垂直位置关系的延伸，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的桥梁，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一，在教材中起到承上启下的作用.

    教材对线面位置关系的安排，先研究“线面平行”，再研究“线面垂直”.因两者内容的相似性，因此在教学策略上完全可作类比，让学生明确如下过程：

    

    这个层层递进的教学流程，是研究一个几何对象的基本套路，对于学生掌握认识和解决问题的方法很有用，也是提高学生逻辑思维能力的载体，在教学中要给学生明示.让他们在了解之后，能明确探究方向，增强学习主动性，促进自主学习能力的提高.

    同时，从“线面平行”到“线面垂直”还应体现数学思想方法上的连贯性.如“空间问题平面化”，“平面问题空间推广的可行性”等，都体现了化归思想、类比思想等等.这些思想方法的恰当应用，就能在教学中突出重点，并使学生更容易地突破认知难点.

    本课例中，构建“线面垂直”定义是教学难点.因为学生能直观感知，能意会，但要准确描述定义则比较困难.因此要让学生增强体验，多观察，多操作，多举实例.如以校园中的旗杆为例，让学生课间绕旗坛四周观察，使其能获得这样的体会：无论从哪个方向看旗杆都是直的.抽象成数学语言即是：旗杆垂直于地面上任何方向的直线.再结合课本的圆锥生成的例子，进一步感知直线与平面垂直位置关系，可以转化为该直线与平面内直线的垂直关系.至此线面垂直的定义已是呼之欲出了，学生就能够自行概括得出了.

    另外，从本节课的教材内部结构来看，不仅知识之间存在显性的逻辑连贯，而且思想方法上也存在直接的关联性.

    如在给出定义后，教材出了一个证明题：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

    笔者认为，这个例题有两个意图：一是体会定义证法，二是为研究判定定理作铺垫.这样理解的缘由是，定义证法是把“所有”等价为“任意”，其转化过程不易想到.而“任意性”又连接了“不确定性”，给学生证明带来了操作上的难度，为此有必要探寻具有“确定性”、“可操作性”的判定定理.可惜的是，这个暗含的逻辑关联被许多教师忽略，问题一带而过，另起炉灶去研究判定定理.这种教学上的割裂让人感觉东一榔头西一棒，学生只能是被教师牵着鼻子走.

    二、分析学生认知基础，找准逻辑关联点

    数学概念教学，在把握学生认知基础后，要从学生思维最近发展区出发设计问题，层层推进，这样既顺应了学生原有的认知结构，又能逐步改变学生的认知图式，从而使学生顺利实现新概念的建构.

    学习“线面垂直”的认知基础，教师普遍认为有两方面：一是学习“线面平行”的经验，其研究方法可以迁移到“线面垂直”中来；二是在空间两条直线位置关系的认识中，已从“相交垂直”拓展到了“异面垂直”.但实际情况并非如此.下面看解决例1时学生的思维过程.

    例1　求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直这个平面.

    为引发学生思考，把它改成探究性问题：在平面几何中我们知道，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线.现把“垂直于直线”改为“垂直于平面”，这个结论成立吗？

    为充分暴露学生思维过程，课堂上让学生自行研究.下面是探究后的课堂交流.

    学生甲：设直线a，b与平面α分别交于点A、点B，连接AB.

    因为直线a⊥α，直线ABα，故有a⊥AB.因为a//b，所以b⊥AB，故有b⊥α.

    

    教师：证明直线b垂直平面α的依据是什么？

    甲：线面垂直的定义.

    话音未落，就有同学提出异议.定义要求直线b与平面α内的任意一条直线都垂直，你只证了与一条具体的直线垂直.

    教师：如何改进？

    不一会儿，学生乙建议，把直线AB改成仅过A点的一条直线l，类似地可证直线b垂直过点A的直线l.由此即得证b⊥α.

    “此法可行吗？”教师启发大家思辨.

    学生丙：还有缺陷.虽然直线l相比直线AB是有了任意性，但它仅仅是过点A的一条直线，任意性不够，因为平面内还有许多不过点A的直线.

    学生乙：不过点A的直线，可以通过平移让其过点A.由垂直的平移传递性，同样可证得这样直线与b垂直.

    学生丁抢答：那不如就在平面α内画任意一条直线得了.

    教师追问：“可行吗？”

    一番研究后，得到证明.

    显然，课本上三言两语的应用定义证明，对学生而言并非易事.因为学生的认知基础是：对相交垂直根深蒂固，异面垂直始终有悬空之感.展示他们的思维过程，就能抓住思维中的漏洞，不断完善，由此促进学生对定义及其应用条件的理解.这种研究方式也为学生今后的学习提供了很好的范式.

    综上所述可见，学生的认知基础确实存在差异，而差异的消除过程正是培养学生思维连贯性的过程.

    三、体现逻辑连贯的教学设计

    基于上述分析，下面给出教学设计.本设计的核心是以问题串诱发学生主动探究，在解决问题的同时，学会新知，提升能力.

    1.复习旧知、引入课题

    问题1　直线与平面有几种位置关系，已经研究了哪几种？直线与平面相交，特殊的位置关系是什么？

    揭示课题：直线与平面垂直

    设计意图：复习回顾，唤醒旧知，明确学习任务.

    2.创建情景、探寻定义

    问题2　能否举一些“线面垂直 ”的实例？（估计学生会提出“旗杆与地面垂直”）

    追问：

    （1）观察“旗杆与地面垂直”，思考一个现象：绕着旗坛一圈，无论从哪个方向观察旗杆，它都是直的.上述现象说明了什么？

    （2）观察圆锥形成过程，思考：轴与底面半径的位置关系是什么？轴与底面任一直线的位置关系又是什么？

    问题3　通过上述实例和分析，能否概括线面垂直的共同特征？

    设计意图：充分举例，让学生对“线面垂直”有足够的感性认识.剖析实例，观察思考，让学生悟出隐含在现象背后的数学道理.

    3.数学建构，认识定义

    （1）让学生试说定义，引导学生剖析、完善定义.

    （2）辨析定义，说出定义中的关键词.追问：能否把“任意一条直线”改为“无数条直线”？

    （3）画出图形，并用符号语言表示定义.

    （4）揭示定义的双重性：可以判定“线面垂直”；通过“线面垂直”又可以得出“线线垂直”的性质.

    设计意图：定义让学生自己建构，师生逐步共同完善.延用研究“线面平行”的基本套路进一步认识“线面垂直”，体现研究方法的连贯性.

    4.尝试解决，深化认识

    例1　求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

    提示：画出几何图形，并用符号语言写出已知、求证.

    引导性问题：条件和结论都涉及线面垂直，两者如何建立联系？目前研究线面垂直的方法有哪些？

    让学生思考之后，先尝试证明，再以学习小组为单位进行课堂展示，其他组进行评价、质疑，提出合理的意见和建议.

    设计意图：教材安排例1的目的是定义应用.本例是学生自主探究的好素材.探究的过程可以让学生体会到定义证明的困难之处，在于平面内任意一条直线的不确定性，由此引出研究判定定理的必要性.

    5.操作验证，感知判定

    （1）操作、观察并思考

    问题4　怎样让一张矩形纸片折叠后竖直放在桌面上？

    观察：此时折痕与桌面有怎样的位置关系？

    追问：考察旗杆与地面是否垂直时，需要考察几个方向？

    （2）探究判定定理

    问题5　上述两例，对研究线面垂直的判定定理有何启示？你能从中归纳出判定线面垂直的方法吗？

    让学生试说线面垂直的判定定理，然后完善，画出图形，并用符号语言表示.

    设计意图：沿用探索立体几何定理的常用方法，即“感知实例，确认判定”.让学生在动手操作、观察分析的基础上，形成判定定理的雏形.在此基础上，通过探讨交流得出判定定理.由于现行教材对判定定理证明均不作要求，因此必须要强化探索过程.

    6.应用新知，解决问题

    

    引导性问题：

    （1）目前证明线面垂直有些什么方法？

    （2）你觉得采用哪个方法较好？

    （3）条件中的正方体提供了许多线线垂直和线面垂直，怎么与BD联系起来？

    例3　应用线面垂直判定定理再证明例1.

    设计意图：两种证法作比较，体会判定定理的价值.

    7.总结反思，完善认知

    问题6　（1）本节课学习了哪些知识？它们之间有何联系？

    （2）我们是如何研究的？

    （3）试比较“线面平行”与“线面垂直”有哪些异同点？

    设计意图：回顾所学知识，意在形成知识框架，进而完善学生的认知结构.数学思想方法的提炼，使学生能在理解的基础上达到有效迁移.而“线面平行”与“线面垂直”异同点的比较，不仅体现了类比思想，更体现了逻辑连贯.

    四、从逻辑连贯反思教学实施

    根据上述设计进行的课堂教学，在定义形成阶段，由于提供了丰富的实例，让学生观察、思考、分析，因此得出定义相当顺畅.

    辨析定义有一定障碍，特别是探讨“任意一条直线”能否改为“无数条直线”？费了周折.原因在于问题的提出者是教师，学生还没有深入思考到这个层次.那么这样的辨析是否有价值？很难有定论，关键看其是否能激发学生的认知冲突.事实上，学习一个新概念，学生对其认识不可能一步到位.因此，如果把这一辨析放在课堂小结，也许是画龙点睛之举.

    课本例1的教学实施，与预想基本一致.课本如此简练的证明对学生而言却并不是一蹴而就，如前所述，学生之间相互质疑、探讨很激烈.由此使他们体会了应用定义证明的难度，也就激发了探究判定定理的强烈愿望，教材的逻辑意图不言自明.

    通过“直观感知，操作确认”，并强化了探索过程，判定定理的得出似乎顺利.但判定定理的应用则有些出乎意料.巡视学生证明例2，有一种证法令人意想不到，但却有一定的代表性.