数学建模模型分析范文

导语：如何才能写好一篇数学建模模型分析，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公文云整理的十篇范文，供你借鉴。

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一直以来，中学数学教学存在很多问题，新人教版教材也是如此：教学中重知识轻思想，重结论轻证明，重理论轻应用，教学内容远离实际。面对诸多问题的教学系统，学生是受影响最大的群体。很多中学生会说：数学就是虚无缥缈并且枯燥无味的，比如说求sin、cos、tan，求两三角形相似等等问题，为什么要求它呢？对于我今后的生活毫无意义，很多人没有学数学，但是照样生活幸福。因为在目前的体系中，数学确实给学生们的感觉就是脱离实际的，没能使学生真正认识到数学在归纳演绎、训练思维、科学应用等方面的乐趣，更不用谈充分发挥学生的创新能力。所以《新数学课程标准》提出：数学模型的建立，对于合理的描述社会和自然现象有良好效果。可以让学生在课程的学习中从问题情境出发，然后尝试建立模型，然后求解，最后对应用进行解释。经过这样的过程，增强学生对数学的理解，提高学生的观察力、想象力、实际操作与思维能力，随着学习的不断深入，创造性便由此酝酿并发挥巨大作用。

二、数学建模发展的背后意义

随着计算工具的发展，特别是因为计算机的产生而催生的信息时代，庞大的数据、各行各业激烈的竞争，对于定量分析、数据处理等等问题，都需要数学的参与。虽然数学的实际应用已经到达了空前的繁荣，但是数学建模在数学学习中的应用却没能体现出来，远远落后于现实世界的发展脚步。众所周知，数学建模在四、五十年前进入一些西方国家大学，不到20年时间，我国的几所大学对数学建模的引进也风生水起。数学建模的相关课程也在各类高校形成规模，一条为培养广大学子的数学分析、实践能力的道路开辟了出来。数学建模思想如雨后春笋，以欣欣向荣之势横扫西方和中国各大高校，但是数学建模作为一种特有的思考模式，它通过抽象、简化的方法，建立起能够近似刻画并解决实际问题，已然不仅仅是一种语言和方法，而更是一种有利的手段。虽然有在大学阶段进行强化和补充，但从其效果来看是远远不够的。于是，对于在初中时期就进行数学应用能力的培养成为了新的要求、重点。当前，学生作为教学环境的主体，是否能够将所学转化成所用就成为教学效果的重要评判标准。

三、数学建模教育的重要作用

1.对应用数学的意识的培养

遇到实际生活中的问题，可以学以致用。以一个数学学习者以及实践者的立场来解决问题。

2.极大的提高数学学习的乐趣

能够在生活的诸多方面利用数学思维来解决问题，可以说成为生活中一个有力的助手。

3.提高对于数学学习的信心

传统教学中，数学以其抽象的思维以及各种看似脱离实际的问题，让学生晕头转向，逐渐让学生开始害怕数学学习。而数学建模让抽象的数学一下子变得贴近生活，更容易接受。凭借不断的学以致用，自信心便会慢慢树立。中学生正处于人生的黄金时期，对于各种能力的培养都是关键时期，所以对于数学思想的灌输应该跟上来，这将让学生终身收益。教师可以在适当的时候研究哪些内容可以引入模型教学，通过一些生活实践来让学生建立模型来解决问题，结合教材中一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。比如说：出租车作为现代日渐流行的代步方式，对其收费标准的探讨可以引入数学模型。某地的收费标准有两种，A方案的起步价是15元，5千米以上1.5元/km，B方案的起步价为10元，3千米以上1.2元/km，如果你要到达10km以外的某地，问选何种方案更经济，相比另外一种方案省了多少钱？虽然初中数学中出现的很多应用问题是一些比较简单的数学建模问题，但是麻雀虽小，五脏俱全，它包含了数学建模的全过程，我们可以把数学建模的思想方法渗透其中。

四、结语

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我们平常经常说到的传染病，实际上是由病原微生物入侵人体所引发的一系列疾病，它能够通过人体、动物和其他的我们经常可以接触到的货品进行传播，并可以形成较为广泛的流行和传播.当下，各种各样的传染病的威胁一直都存在，譬如说流行性的感冒、乙肝病毒结肠炎等等，都会对人类的健康形成非常大的危害.世界上的许多国家都对口岸传染病进行了极其严格的控制，并通过数学模型建立起了一套可以有效预测的系统.预测系统可以根据人群的特征、相关的社会现状以及相应的传播规律，通过数学知识中的模型结构来对疾病的发展过程进行详细的模拟，从而揭示出疾病流行的规律，并对其可能会发展的规律作出科学合理的预测，对产生病原的因素进行解析，最终找出可以进行预防和控制的最有优化的策略，为防止传染病毒的进一步扩散做好基础.

2.口岸传染病传播与控制数学模型的基本形式

在口岸传染病的数学模型的建构过程中，一般而言均是采纳Kermack与McKendrick于1927年提出的通过动力学的知识所建立起来的SIR模型.这种模型的基本结构就是N（t）=S（t）+I（t）+R（t）.结构中的S（t）指的是容易被感染的群体，具体指的是虽然当下没有染上传染病毒，但是极有可能被感染的一类群体；结构中的I（t）指的是已经被感染的群体，具体指的是在t时刻已经被感染成为病毒携带者，并有机会感染到其他人的人群；结构中的R（t）指的是已经恢复者，具体指的是在t时刻被顺利从感染群体中移除的群体.我们在这个过程中假设总人口是N（t），最后就会顺利得到公式，即为N（t）=S（t）+I（t）+R（t）.

我们注意到，这个模型的建立主要有以下几个假设：其一，不去考虑人口的变化流动状态，即保证人口一直是一个常数；其二，一旦病人和一个普通人接触，那么就肯定会感染到病毒，我们可以假设在单位时间内，一个病人可能会感染到的数目和在这个环境中易感者的比率成正比，比例系数是β，就可以很容易推算出在单位时间内，所有病人的传染数目就是β S（t）I（t）；其三，在t时刻，单位时间内从染病者中移出的具体人数和具体的感染病毒者是成正比的，比例系数是γ，那么可以推算出单位时间内移除的感染者数量就是γ I（t）.用框架图来表示就是：

S[]βSII[]γIR

通过观察我们也可以看出，事实上这种模型的结构非常粗糙，许多病毒传染方面的专家之后对这个模型做了很多的补充与推广.譬如说，如果我们不去考虑人口流动变化情况，也不去考虑病毒的潜伏期，数据模型就可以表示为以下几种情况：

患病之后基本上不能治愈，可以称之为是SI模型；患病之后可以治愈，但是恢复了之后却不具备免疫力，我们将其称之为是SIS模型；感染者从中移除之后获得了终身的免疫能力，我们称之为是SIR模型.病人在移除出感染者群体之后只是具备了阶段性的免疫能力，过了这段时间之后，免疫力丧失之后还会再次的传染.当然，这是不考虑潜伏期的情况下，如果将潜伏期的因素考虑进去，那么已经受到感染但是并没有发病的人，完全可以在SIR或SIRS模型的基础上得到与之不同的但更为复杂的SEIR或SEIRS模型，在这个过程中，如果想要考虑种群动力学因素、年龄结构等等更为复杂的因素，模型的具体参数也会发生相应的改变，而且也会变得更加复杂.

除了上文所说的主流的数学模型、SIR模型之外，在利用数学模型来指导口岸传播疾病的防控过程中，还有一些其他的模型，譬如说Markov模型、余弦模型、灰色预测模型、人工神经网络模型等等.我们以Markov模型为例进行简要分析.

这种模型没有后效性，就是在当下的状态中，根据传染疾病的不同阶段以及不同的状态进行概率的转换和模拟.和其他的模型相比，这种模型能够比较完整地反映传染病的实际过程，比较适用于慢性疾病的研究.基本的模型如下：

S（k）=s（k-1）P=s（o）·Pk.

这种模型的主要步骤就是先收集有关的传染病情的资料，一般不要超过6个，然后对各个状态的频率进行统计，对一阶的概率随机矩阵进行计算，根据之前的预测再对二阶的概率随机矩阵进行计算，利用总体预算的结果进行预测.我们也注意到，这种模型的预测结果是取决于一阶转移的概率矩阵，所以它肯定不是一成不变的，所以适合比较近期的传染疾病预测.

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论文摘要：基于要素供给主体的性质是否具有营利性，将科技型中小企业技术创新支持体系要素划分为公益性要素和营利性要素。其中，营利性因素对提高企业创新活动效率的贡献率更高。这些要素在现实中表现出的优劣状态，对创新活动作用方向不同。由此，构建出科技型中小企业创新活动的受力结构模型，基于模型的分析给出相应的对策建议。

随着知识经济的发展，科技型中小企业已成为国际经济舞台上倍受关注的一支经济力量。科技型中小企业是由科研人员领办或创办，主要从事高新技术产品的研制、开发、生产和服务的中小企业，它具有高投入、高风险、高成长和高收益的特征。很多国家都非常重视科技型中小企业的发展。然而，由于科技型中小企业规模小，抵御风险能力差，创新进化能力较弱，其创新与发展往往受到很大限制。因此，很多国家纷纷构建起支持科技型中小企业技术创新的支持体系，以推动科技型中小企业技术创新活动，实现其良性发展。

一、相关研究简要回顾

目前对科技型中小企业技术创新支持体系的研究成果主要体现出两个特点：(1)创新支持体系内容主要集中在金融财税政策、法律法规和社会服务体系等方面，尤其集中在政府提供的各类要素方面。(2)创新支持体系功能定位主要是为科技型中小企业创造良好的创新环境，引导创新资源的流向，是一类非营利性质行为或活动。由这两个特点决定了目前的科技型中小企业技术创新体系是一种政府主导型的非营利性的支持体系，该支持体系扶持了众多科技型中小企业的创新与发展。但是，政府主导型的创新支持体系在运行过程中往往效率不高，致使创新资源得不到更有效的利用，目前这一矛盾显得越来越突出。尤其是，我国创新资源极其有限，如何提高创新资源的利用效率，以有限的资源扶持更多高科技中小企业，创造更多更先进的创新成果，推动更多科技型中小企业迅速成长壮大，这是中国经济发展的需要，是参与国际竞争的需要。这要求我们从一个全新的视角去探讨科技型中小企业技术创新支持体系的构成问题。

二、科技型中小企业技术创新支持体系构成要素分析

科技型中小企业技术创新支持体系是一个复杂的系统，由若干要素构成，包括财税、融资、法律法规、政府行为、社会历史文化因素、企业孵化器、社会中介服务组织等要素。这些要素来自于不同供给主体和运营主体，有的由政府提供，有的由企业提供。由于供给主体组织性质不同，要素供给目的会表现出很大差异。例如，财税、法律法规的制定者是各级政府组织，其目的是为科技型中小企业创造一个良好的环境，吸引更多的企业进行创新活动，具有较强的公益性；风险投资、社会中介服务等要素的提供者是营利性组织，其目的是通过注入科技型中小企业所需要的要素或服务最终获得利润，具有较强的营利性。组织理论表明，组织的性质与存在的目的不同，其运作机制与运作效率也迥然有异。因此，由于科技型中小企业创新支持体系各构成要素的供给主体性质不同，其供给目的存在差异，这直接导致了每类要素对科技型中小企业创新效率的影响也存在很大的差异。

根据要素供给者不同目的，将科技型中小企业技术创新支持体系的构成要素分为两类：公益性要素和营利性因素。

(一)公益性要素

公益性要素的提供者不以赢利为目的，只是为了形成一个更好的科技型中小企业技术创新的良好环境或提供更有利的发展条件。这些要素的存在状态及变化状况直接影响到科技型中小企业技术创新的环境是否有利。

具体包括由政府提供的政府政策、法律法规、政府行为等政府性要素和由当地长期以来形成的独特的社会历史文化要素两大类。

1　政府性要素政府只是经济活动的宏观管理者，而不是直接参与者。政府向科技型中小企业提供支持的目的只是为了创造一个有利于创新的良好环境，而且，它只能是也必须是针对全部企业或全行业企业，而不是某一特定的企业或某一类特殊企业。因此，其典型特点是公平、公正，具有较强的公益性。

2　社会历史文化因素一个地区的社会历史文化因素构成了该地区企业生存与发展的整体环境。该地区社会历史文化环境包括诸多要素，如多年积淀下来的社会文化、社会发展进程、业已形成的产业结构、企业社会网络及商业协会发育状况、该地区的智力资本、教育与经济发展的结合程度、政府与企业的合作程度等，这些要素的状况深刻地影响着企业的创新活动，并且这些要素在短时期内不易改变。

(二)营利性要素

营利性要素的提供者将提供这些要素作为自己的获利手段，其提供者可以是企业、私人机构、风险投资机构或个人等。具体包括风险投资基金、企业孵化器、公共技术服务平台、社会服务机构。

1　风险投资基金。风险投资基金又称为“天使资金”。风险投资基金是针对企业尤其是高科技创业企业提供股权投资和资本经营服务，当企业发育成长到相对成熟后，即退出资本，实现增值后继续投入下一风险投资项目的金融资本。

2　企业孵化器。企业孵化器一般分为赢利性和非赢利性两类。非赢利性企业孵化器一般由政府和非赢利性组织创办，主要目的是为了培育新的经济增长点，推动区域经济发展、促进就业。而赢利性企业孵化器一般由风险投资家、大企业和私人兴办，目的是通过向创业企业提供成长条件和环境而获取利润。笔者将这一要素置于营利性因素之列。

3　公共技术服务平台。科技型中小企业是高新技术密集型的企业，但由于其规模小，资金技术实力有限，其自主创新能力明显不足。目前公共技术服务平台商业化运作已经成为一个重要的发展趋势。

4　社会服务体系。社会服务体系为中小企业技术创新提供技术转让、技术论证等中介服务，社会服务机构的提供的各社会服务一般都是有偿的。

三、科技型中小企业创新支持体系框架

基于上述面向科技型中小企业的两种性质的技术创新支持要素，兼顾到企业内部创新体系诸要素，构建出一个包括三个层次的科技型中小企业技术创新体系框架科技型中小企业技术创新体系包括三个层面：

(一)企业内部创新体系

企业内部创新体系位于体系框架的中心。企业内部企业家与各级员工的创新意识、企业的创新战略、创新机制、所拥有的创新资源、多年积淀下来的企业文化等要素决定着企业创新需求的强弱和创新能力的高低。若一个企业中这些要素状态非常有利，如创新意识强、创新战略目标明确、创新机制完善、资金人才等创新资源丰富、企业文化有利，或这些要素中的多数有利，则企业的创新动力强，创新活动频繁而创新成果多，否则创新动力会很弱，创新能力与创新水平也较低。由此可见，企业内部各类与创新活动有关的要素有可能成为企业创新活动的动力来源，也有可能成为企业创新活动的抑制因素。 转贴于

(二)企业外部营利性创新支持体系

营利性创新因素的提供者为了获取利润而提供各种服务，尤其是其中的企业孵化器和风险投资基金机构是通过孵化成熟的企业然后将其高价售出而赚取利润。为了赚取更多的利润，这些要素的提供者(机构)努力创造各种条件推动科技型中小企业的技术创新，促使其迅速成长。于是，营利性创新要素的提供者赚取利润的目的就会演变为科技型中小企业技术创新的强大的外在推动力量。营利性因素中企业孵化器、风险投资基金机构、社会中介服务组织等要素只要是产业化运营的，其对科技型中小企业创新活动的外在推动力就存在，只是推动力的强弱与这些要素产业化运营的状况有关。

(三)企业外部非营利性创新支持体系

非营利性创新因素构成了企业创新活动的外部环境。这些要素若表现得好，就会使科技型中小企业创新活动拥有一个规范、秩序的创新环境，引导创新资源流向该领域或行业，是科技型中小企业创新活动的重要引导力量。这些要素若表现得不好，则意味着科技型中小企业创新活动的环境非常不利，会增加创新的难度，成为束缚其创新活动的绳索。

四、科技型中小企业创新支持体系力学模型及分析

若把科技型中小企业技术创新活动及所在系统比喻为一个在斜坡上滚动的球，它在斜坡上上下滚动时受到多方力的作用。这些来自不同方向的力相互交织在一起，共同作用，构成了科技型中小企业技术创新的内外环境。

企业内部创新体系中的若干要素，如企业中领导者的创新意识较强、创新机制完善且有激励力、创新资源丰富、创新战略明确、创新氛围浓厚等，意味着企业动力和创新能力很强。企业自身强大的创新动力会拉动企业走上不断创新的道路，因而成为企业技术创新的拉动力。相反，当企业内固有的氛围排斥创新、领导层创新意识不强、创新资源不足、企业创新机制不合理等，则会阻碍企业的创新活动，至少会使企业在创新活动中停步不前，成为企业创新活动的阻力或惰性力，用A表示。对于处在斜坡上的企业而言，A表现为一个向下的重力。由于企业自身的生存需求，企业创新活动成为一种必要手段，从而产生一个向上的支撑力，用B表示。　企业外部营利性因素代表了创新活动的外在推动力。各营利性因素作为一个产业发育得越成熟，其运作越规范，要素提供者营利需要越强，转向科技型中小企业的压力越大，对科技型中小企业创新活动的推，动力越强。该推动力用Y表示。

企业外部非营利性因素构成了科技型中小企业创新活动的宏观环境，在图2中表现为夹角a。夹角a越小，斜坡会变得扁平，企业向前滚动就会容易些，表明创新活动的宏观环境越有利，企业也会更愿意进行各类创新活动；夹角a越大，斜坡会变得陡峭，企业向前滚动的阻力加大，表明创新活动的宏观环境非常不利，企业会减少或不进行创新活动。由于企业外部非营利性因素供给主体要考虑全民利益，因而与企业的利益不能总是同步，夹角a不可能为零。

据此，根据力的平衡原理，当满足x+Y=A·sina时，企业创新活动在各种力的作用下处于平衡状态，即企业保持原来状态，没有任何变化发生，也就是企业处于创新活动的抑制状态。

当a趋近零时，即环境极端有利时，表明环境对企业的约束力量几乎不存在了，企业创新活动中的速度取决与x+Y，企业处于创新状态；当a趋近90°时，即环境极端不利状态，企业生存困难，无力创新。

企业外部营利性因素所产生的推力Y在两方面受制于宏观外部环境，一是营利性因素的供给主体本身的发展受宏观外部环境的影响，二是，创新主体有权决定是否接受企业外部营利性因素所产生的推力Y，只有x>A·sina时，创新主体处于创新状态时，Y才会被创新主体接受。

五、结论与建议

企业技术创新支持体系由多方面要素构成，这些要素有营利性的，也有公益性的。要素存在的目的不同，对中小企业技术创新活动的作用和功能不同，在创新体系力的模型中表现为不同方向的力，这些力的综合作用构成了企业技术创新活动的总体环境。为了更好地提升科技型中小企业技术创新活力，需要做好如下工作：

(一)加强企业内部创新体系的优化，尤其是应在加强企业内部创新动力，减小企业自身惰性力方面做好工作

主要应着力于企业家创新精神的培育、企业创新激励机制与企业创新型文化的建设方面。这其中关键在于企业家自身创新精神与素质能力。尽管，企业内部创新体系不是创新支持体系的组成部分，但却是创新支持体系作用于企业创新活动的介质要素，没有企业内部创新动力与能力的配合，外部环境再好也只能推动企业被动创新，会削弱创新支持体系功能与作用。

(二)在营造和建设创新支持体系时，应该区分不同性质的因素，分别对待

非营利性因素目的是创造良好的创新环境，引导创新资源的合理流动，需要做到完善、规范、公平、公正。而营利性因素，其营利的目的会推动中小企业的创新活动，要勇于创新，积极探索其发展路径。

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[关键词] 三段式片段弓； 压低辅弓； 前牙压低； 三维非线性有限元分析

[中图分类号] R 318.01 [文献标志码] A [doi] 10.7518/hxkq.2013.01.019 片段弓技术于1977年由Burstone学者首先提出，并逐步发展为当今口腔正畸领域中一个独立的矫治体系。其遵循生物力学的观点，构建了一个相对简单的力偶系统，使其可以达到理想的牙齿移动[1]。以

前牙压低为目的的三段式片段弓由后牙支抗单位、前牙压低段以及压低辅弓三部分组成。以往临床研究表明：使用该技术打开咬合能有效的压低前牙，同时防止磨牙的伸长[2]。但是，利用三维有限元分析法

对片段弓技术进行生物力学的研究国内外还鲜有报道。本研究采用CT薄层扫描技术，结合Mimics 10.0、CATIA V5、Anasys 11.0等专业软件建立了包含三段式片段弓、直丝弓托槽的下颌牙列三维有限元模型，并将弓丝与托槽、牙齿与牙齿之间设定为接触关系，运用非线性计算方法初步分析了压低辅弓的力学特性及片段弓技术打开咬合的生物力学特点。

1 材料和方法

1.1 建模素材

参照文献[3]选择一副磨耗少、无缺损的成年男性下颌12颗牙齿。MBT直丝弓托槽和双管颊面管

（杭州新亚公司），Ni-Ti圆丝、方丝（北京有研亿金公

司），不锈钢方丝（3M公司，美国），TYPODONT（日进公司，日本）。

1.2 方法

1.2.1 排列整齐的下颌牙列模型的获取 将实验选择的12颗下颌牙齿按正常顺序排列在TYPODONT的下颌蜡堤上，依照MBT直丝弓治疗标准对下颌牙列粘接托槽和颊面管，然后按一定的弓丝更换顺序依次对牙齿进行结扎加力，弓丝更换顺序依次为0.356、0.406、0.457 mm Ni-Ti圆丝，0.457 mm×0.635 mm Ni-Ti方丝，0.483 mm×0.635 mm不锈钢方丝，每次更换弓丝后都将TYPODONT在55 ℃恒温水浴箱中加热以实现牙齿移动排齐。弓形均按照中国人的直丝弓弓形进行弯制[4]。待下颌牙列排齐后，去除托槽和颊面

管，抛光牙面备用。

1.2.2 下颌牙列三维实体模型的建立 使用西门子多层螺旋CT机对已排齐的下颌牙列TYPODONT模型进行扫描，获得的扫描图像以DICOM格式文件保存。使用Mimics 10.0软件读取CT扫描获得的DICOM数据，根据图像数据中灰度值的差异提取出实验所需的下颌牙列的点云数据，以ASCⅡ格式保存。用CATIA V5中DSE（Digital Shape Editor）模块提取点云数据，并对其进行过滤、降噪等优化处理，再通过Mesh Creation功能对点云进行铺面处理，最后运用CATIA V5的自由造型（Freestyle）模块对表面进行优化重构，生成实体，以CATProduct格式文件保存。

1.2.3 包含直丝弓矫治器的下颌牙列、牙周组织的三维有限元模型的建立 将下牙列三维实体模型导入Anasys 11.0软件中，依照牙根外形构造牙周组织（包括牙周膜和硬骨板）；依照下牙列外形及下颌骨相关结构数据[5-6]构建下颌骨模型（包括皮质骨及松

质骨）。利用Anasys 11.0中的CAD建模工具，参照中国人标准弓形方程[4]及直丝弓托槽数据建立一个截面

为5 mm×5 mm的三维实体弓形，在其唇面中央去除一块截面为0.559 mm×0.711 mm的实体弓形，即模拟了一根带有0.559 mm×0.711 mm槽沟的方丝弓弓形实体。将其置于下颌牙列唇面并使槽沟中心平面位于中切牙与第一磨牙牙冠中心所构成的平面上，参照直丝弓托槽数据及牙长轴方向去除多余的实体弓形部分，再在托槽的唇颊面加一层盖板，以模拟弓丝的结扎。对此模型进行有效的网格划分，即形成了包含直丝弓矫治器的下颌牙列、牙周组织的三维有限元模型。

1.2.4 包含三段式片段弓矫治技术的下颌牙列三维有限元模型的建立 根据下颌牙列的TYPEDONT模型弯制压低辅弓，选用0.432 mm×0.635 mm不锈钢丝弯制，片段弓水平前臂长32 mm、后臂长6 mm、龈向台阶高5 mm、小圈直径2 mm，压低辅弓前端制作成钩，钩挂于下前牙与尖牙托槽间的弓丝上，压低辅弓后端插入下颌第一磨牙辅弓管中，辅弓管长5 mm、内径为0.635 mm×0.711 mm。根据以上数据，用Anasys 11.0软件中的APDL语言建立了参数化的压低辅弓三维有限元模型。其中，压低辅弓水平前臂与后臂的夹角为θ（图1），其能根据需要设置不同的角度，便于研究其力学特性。

在中国人标准弓形方程[4]的基础上生成截面尺寸为0.43 mm×0.64 mm的方形主弓丝，将其网格划分并装配到直丝弓托槽中，同时在切牙与尖牙间将弓丝截断。最后，将上述模型与压低辅弓的模型合并，即得到了完整的三段式片段弓技术打开咬合的三维有限元模型。根据有限元中镜面对称原则，本实验仅建立了左侧下颌牙列及矫治器的模型（图2）。

1.2.5 材料参数 本研究将模型中各种材料和组织考虑为连续、均质、各向同性的弹性材料，具体数值见表1。

1.2.6 定义接触和边界条件 模型底部全部施加约束使x、y、z 3个方向上的位移和旋转均为0；压低辅弓末端同时施加y方向的约束。托槽与牙齿、牙根与牙周膜、牙周膜与牙槽骨间定义为粘接关系。定义压低辅弓的变形属于非线性几何大变形；定义弓丝、托槽、牙齿、牙周膜、牙槽骨为可变形接触体，弓丝与各托槽间、辅弓与辅弓管之间为非线性接触关系，摩擦系数为0.15。由于本研究模型只建立了实际模型的一半，因此对模型的对称面行对称约束。

1.2.7 载荷的施加 压低辅弓前臂向龈方弯折一定角度后再钩挂至前牙段弓丝上，压低辅弓前端挂钩对弓丝会产生相应的力；同时，其后臂对磨牙辅弓管也会产生相应的力。在Anasys 11.0中，将压低辅弓前臂在xz平面内向龈方旋转一定角度（即修改θ值），再将其约束至与辅弓管平行，即可计算出压低辅弓前端挂钩处所产生的力值。选取前端挂钩处产生0.245 N力值时的压低辅弓模型，将相应的力加载于下颌牙列的有限元模型上，也就精确模拟了临床上使用片段弓打开咬合的过程。

1.2.8 计算 使用Anasys 11.0软件，将θ角度从5°～75°平均设置15个工况，分别计算每个工况下压低辅弓前端产生的力值。将相应力加载于下颌牙列后，观察加力后下颌牙列的移动趋势，计算前后牙的受力大小及牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises应力分布情况。

2 结果

2.1 各工况下压低辅弓前端产生的力

在15个工况下压低辅弓前端产生的力值的变化曲线见图3。在5°～25°范围内，压低辅弓前端的力值随角度的增加而快速增大；在30°时达到最大（0.604 8 N）；

在30°～65°范围内，压低辅弓产生的力在0.59 N左右波动；在65°以后，不锈钢材料超出了其形变范围，计算结果不收敛。

2.2 下颌各牙齿所受的力及其移动趋势

根据建立的压低辅弓角度-力值变化曲线，在Anasys 11.0中将压低辅弓前臂在xz平面内向龈方旋转6.5°，再将其约束至与辅弓管平行，压低辅弓前端挂钩处对弓丝产生的力约为0.251 1 N。同时，其后臂对磨牙辅弓管也会产生相应的力。将这两个力对应的加载于下颌牙列的有限元模型上，在受到压低辅弓的加载后，下颌牙列中位移改变最明显的是侧切牙和第一磨牙。侧切牙向远中唇侧倾斜并向龈方压入，其所受力为0.252 N，其中垂直向的分力最大，为0.251 N；而其近远中向及唇舌向的分力都接近为0。第一磨牙则后倾明显并伴有牙冠的近中颊向远中舌向旋转趋势，其受到的力为0.620 N；其中远中倾斜的分力最大，为0.462 N；使其向方伸高的分力最小，为0.113 N。其余牙齿所受的力都非常小，所以在加力的瞬间基本不会发生移动（表2、图4）。

2.3 牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises应力分布

情况

牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises应力分布情况见表3、图5。牙根、牙周膜、牙槽骨的应力分布情况大体相似。下颌牙列的应力集中区主要出现在侧切牙根的唇侧颈1/3处及第一磨牙根分叉附近，其牙周膜最大应力分别为4.40、2.25 KPa；其余牙齿的应力较小且分布均匀，无明显的应力集中区。

3 讨论

3.1 三维非线性有限元分析

在正畸治疗过程中，正畸力是通过弓丝、矫治器向牙齿及周围组织传递的。牙齿的实际受力并不等于施加于单个托槽或弓丝上的力，而要考虑弓丝与托槽、牙齿与牙齿之间的接触与摩擦。以往涉及正畸力作用下牙齿移动的三维有限元研究，有学者[7]通过部分或简化的建模，将单纯的点载荷直接加载到牙面或托槽对应的节点上，以此来避免弓丝与托槽间接触的过程。也有学者[8-9]使用弹簧单元来部分模拟弓丝与托槽间的接触，但仍不够精确。在实际受力过程中，弓丝与托槽间的接触点及接触区域不定，需要使用三维非线性有限元分析来模拟计算。目前，使用三维非线性方法来模拟分析正畸治疗中生物力学的研究相对较少[10]。在本研究中，笔者进行了全牙列建模，弓丝与托槽的尺寸与临床一致，并且将托槽与弓丝、辅弓与辅弓管间都设定为接触关系，共生成了2 360个接触单元。

非线性分析除了上述的接触非线性，还包括几何非线性及材料非线性。本实验中，压低辅弓在加

力过程中会产生几何大变形，属于几何非线性；弓丝材质为不锈钢，是双线性材料，属于材料非线性。因此，本实验采用三维非线性方法来分析计算，虽然这种方法加大了计算的难度，但所建模型更接近临床实际，计算结果也更为真实精确。

3.2 压低辅弓的力学特性

在临床上使用压低辅弓时，主要通过将压低辅弓的水平前臂向龈方旋转一定的角度来达到向其加力的目的，其实质上可视为一个单端固定的悬臂梁。本研究所建立的包含辅弓管的压低辅弓模型即模拟了这样一个临床过程，从结果中得出的压低辅弓角度-力值变化关系曲线，与弯制压低辅弓所用不锈钢丝的应力-应变曲线的变化趋势基本一致。其在初始阶段，力值随角度的增加而直线增大，属于弹性变形阶段；到了30°以后，力值稳定在最大值0.59 N，变化趋于平稳，属于塑性变形阶段；在65°以后，计算结果不能正常收敛，不锈钢材料超出了其变形极限。这个结果提示：在临床上一味的加大压低辅弓打开的角度并不会产生所想象的更大的力值。在很多临床情况下，正畸弓丝的形变都已超出了其弹性形变范围，它将不能完全恢复原状，但这时弓丝仍存在临床意义的回弹，除非其形变达到了断裂强度[11]。同时，本实验中弯制压低辅弓的材料是0.432 mm×0.635 mm的普通不锈钢丝，由于其刚度较大，弹性较小，因此压低辅弓的弹性变形范围较小，力值变化也相应较快。在正畸临床治疗过程中，需要尽量采用柔和持久的轻力来达到理想的牙齿移动效果，在有条件的情况下，使用材料弹性更好的β钛丝制作压低辅弓[12-13]是一种更好的选择。

3.3 三段式片段弓矫治技术

目前常用的通过压低前牙来控制深覆的矫治方法主要有J钩联合高位牵引技术、多用途弓技术、微种植支抗技术等，但都各有其优缺点[14-17]。而三段

式片段弓作为方法之一，其优点主要有：1）压低辅弓与前牙压低段的弓丝呈点接触，既可以产生适宜且持续的轻力，又可清楚的了解力的大小和方向，使压低力更接近前牙的阻抗中心，利于前牙整体的压入移动；2）压低辅弓段不直接扎入前牙槽沟，避免了入槽后产生不必要的转矩而影响前牙压入；3）通过辅弓段与前牙段接触位置的改变，可以有选择性的压低前牙；4）支抗需求的减少，除需强支抗的患者需要口外弓配合外，更多患者不必依赖口外弓的控制[2]。本实验中笔者只观察到了侧切牙有明显的压

入移动，这是由于有限元分析计算的是压低辅弓加力一瞬间所产生的变化。但是，可以想象随着侧切牙的压入，中切牙的位置就会相对抬高，弓丝在侧切牙处的压入力会逐渐转移到中切牙，在弓丝的作用下，中切牙也会产生压入移动。

在本实验结果显示侧切牙在压低的同时发生了一定的唇倾。这提示在临床操作中可以尝试使用更粗尺寸的不锈钢丝作为稳定弓丝来维持前牙正常的唇倾度。对于后牙支抗单位，第一磨牙发生了后倾及旋转移动，但伸长移动不明显，其移动趋势类似于在主弓丝上给其增加了外展弯及后倾弯的效果。在大部分情况下，这种移动对矫治过程是有益的，可以增加后牙的支抗。如果希望减少这种移动，可以采用舌弓等手段来抵抗。本实验的结果也再次证实了三段式片段弓能产生有效的压低前牙的效果。

3.4 前牙区适宜的压入力

对前牙压低治疗来说，需要持续的轻压力才能获得正常的前牙压入。大量的研究表明：单个前牙适宜的压低力为15 g[11]。过大的压低力不仅不会加快

前牙压低的效果，反而会造成牙根吸收、牙周组织损伤以及后牙伸长等副作用。有学者[18]研究发现：牙

齿的压低常伴有牙根的吸收，并且随着压入力的增大，牙根吸收也越明显；通常0.245 N的力作用于前牙就会产生牙根吸收。同时，牙周膜的应力水平也是衡量牙齿受力大小的一个重要指标。Lee[19]报道牙周膜的应力极限在26 KPa，若超过该应力，牙周膜就会产生永久性损害。本实验中给压低辅弓加载的初始力值为0.245 N，这与其他研究所推荐使用的力值相一致[2，17]。在加力初期，侧切牙上产生了0.245 N

的垂直向力。其虽然略大于单个牙的适宜压入力，接近了引起前牙牙根吸收的临界力值；但是，在该力作用下，牙周膜的Von Mises应力较小，因此笔者认为0.245 N的压入力在加载的即刻对于前牙牙周是合适的。根据临床应用实际，由于牙周组织的可压缩性及牙槽骨组织的改建变化，可以推测，随着下前牙的压低，辅弓的力量必然会有所衰减，因此，只要加力的初始力量处于合适的范围，随时间的变化，辅弓的力量也不会增大和造成不必要的牙周伤害。

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