初中数学解方程的方法范文

导语：如何才能写好一篇初中数学解方程的方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公文云整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、素质教育目标

（一）知识教学点：掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．

（二）能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生快速而准确的计算能力．

（三）德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想．

二、教学重点、难点

1．教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．

2．教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．

3．关键：1．推导方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的异同．2．在求根

的简单延续．

三、教学步骤

（一）明确目标

通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难．能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题．

（二）整体感知

由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使学生能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化．

求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：等式的基本性质，配方的含义．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想．

通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养学生进行数学推理的严密性和严谨性．

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1．复习提问：用配方法解下列方程．

（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．

通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．

2．用配方法解关于x的方程，x2＋2px＋q＝0．

解：移项，得x2＋2px＝-q

配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2

即（x+p）2＝p2-q．

教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．

3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．

解：因为a≠0，所以方程的两边同除以a，

a≠0，4a2＞0当b2－4ac≥0时．

①②两步是学生易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提条件．①②步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据才能有结论的推理习惯．

从上面的结论可以发现：

（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根．

的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

4．例1解方程x2－3x＋2＝0

解：a＝1，b＝-3，c＝2．

又b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，

x1=2，x2=1．

在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．

练习：P．16中2（1）—（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．

例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝

由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：1．化方程为一般形式．2．确定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．

练习：P．16中2（8）．

（四）总结、扩展

引导学生从以下几个方面总结：

≥0）．

（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．

2．（1）在推导求根公式时，注意推导过程的严密性．诸如

a≠0，4a2＞0．当b2－4ac≥0时，……

（2）在推导求根公式时，注意弄清楚推导过程所运用的基本理论，如：等式的基本性质，配方的意义，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质．

（3）求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解．渗透一种分类的思想．

（4）推导ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（用配方法）的异同．前者只求在b2－4ac≠0的情况下的解即可．后者还要研究在b2-4ac＜0的情况．

四、布置作业

教材P．14练习1

教材P．15习题12、1：4．

参考题：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（学有余力的学生做）．

五、板书设计

12．1一元二次方程的解法（四）

1．求根公式：例：用配方法推导出一元例1……

二次方程ax2+bx+c=0……

(a≠0)的根．练习……

2．公式法及其步骤解：解：…………

（1）……

（2）……

（3）

（4）

六、作业参考答案

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王章红  

（淳安县千岛湖镇南山学校，浙江  杭州  311700）

摘  要：在初中数学的解题中，转化思想的应用就是将复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，从而轻松得到解题思路，得到问题的正确答案。本文首先对初中数学解题中转化思想进行了简要概述，接着分别对转化思想在初中数学几何与代数的教学中的应用进行了深入探讨，以期为初中数学教师提供有价值的借鉴与参考。

关键词：初中数学；转化思想；应用

    数学解题中的转化思想就是将问题中的元素从某一个形式转化为另一个形式的解题能力。在初中数学的教学中，老师要在保证学生对相关知识得到掌握的基础上，提高学生巧妙转化的解题能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其独立思考、分析与解决问题的技巧与能力，为今后的学习奠定坚实基础。

一、转化思想的简要概述

数学解题中的转化思想，是将难以解决的相关问题通过运用适当的途径与方法转化成能被已有知识所解决的数学解题方法。通过这种转化思想的运用，能够将不规范、不熟悉的复杂问题转化成规范的、熟悉的简单问题，使这些问题迎刃而解。在数学教学中，转化思想非常普遍，作为老师应该加强对学生转化意识的培养与训练，帮助学生提高解决问题的能力，使其思维能力、转变能力与解题技巧普遍得到提高。

    在数学解题中，我们常见的一种题型就是模式问题，其中包括数学公式、数学定理与数学法则。可以说对数学的学习研究，其实就是对数学模式的发现、构造与扩展的过程。例如，在对一元二次方程进行了解之后，就能够根据它的解题方法以及根与系数之间的关系建立起关于一元二次方程的模式，即ax2+bx+c=0(a≠0)，如果把方程ax4+bx2+c=0(a≠0)运用转化思想，变为一元二次方程，那就是把双二次方程进行模式化。

二、转化思想在初中数学几何教学中的应用

初中数学的几何部分到处都有转化思想，这种思想不但可以是数字与数字、图形与图形以及数字与图形间的转化，而且可以是普通语言与数学语言、符号与符号之间的转化。

在初中数学几何中，研究的大部分是平面图形，包括平面图形的大小、位置与形状等，尽管这些平面图形千变万化，但是它们都是简单、基本的图形合并组成的。在几何教学中，老师可以教授学生根据图形的特点来解题，教会他们要想解决几何问题，就要在复杂的图形里辨别出基本图形，再根据图形的特点与性质进行相关问题的解答。只要学生懂得了将几何问题与基本图形分别当作转化对象与转化目标，运用相应的转化方法，就能轻松得到解决问题的途径，解答出问题。

例如，如图1所示，在梯形ABCD中，已知ACBD，BC∥AD，AB=CD，且BC+AD=26，求梯形ABCD的高。

 

图1

运用转化思想解答本题，解答过程如下：根据平行四边形的有关性质，可以将BC=AD转化为一条线段，并根据AB=CD，ACBD可以得到一个等腰三角形BDE，再运用直角三角形与等腰三角形的相关性质得到结论。

三、转化思想在初中数学代数教学中的应用

在初中代数数学中，转化思想运用的也较普遍，例如在做整式的加减运算时，要首先将括号去掉，然后再对同类项进行合并，最后进行运算。整式运算与有理运算的去括号法则是相同的，在二次根式加减运算中，需要首先把每一项转化成最简形式的二次根式，然后对同类二次根式进行合并，这里的同类项合并其实就是将系数进行合并，最后化成有理数进行运算。因此，同类项的合并问题可以转化成有理数的加减运算，最终将整式加减运算转化成有理数加减运算。

在代数中对解方程的相关教学是转化思想中的渗透教学，最简单的方程就是一元一次方程，老师可以运用转化思想对学生的解题思路进行培养，将转化目标和转化方法作为教学重点，具体实施步骤如下：

第一，确立转化目标，在学生头脑中建立起最简方程的有关概念，让学生了解方程的解答步骤就是将一直方程经过转化后，变为x=a的步骤，同时，x=a既能看成一种最简形式方程，又可以看成是这个方程的解。

第二，通过教材中的例题详解，对学生进行转化思想的渗透，引导学生对求解方程和目标之间的差异进行仔细观察，然后想办法将这种差异消除，达到有效地转化，最终得出一元一次方程的解题步骤，也就是去分母—消括号—移项—合并同类项—将系数化作1。

转化思想在初中数学代数中的应用有以下几种方法：将生疏问题转化成熟悉问题，将部分转化成整体，将复杂问题简单化，将高次转化成低次，将实际问题数学化等。作为老师，要充分挖掘数学代数中的量变因素，将抽象问题具体化，以提高学生解决问题的能力。

例如：解方程x+12=23。在学习一元二次方程的解法之前，学生会的只是整式加减法的运算，运用转化思想，将其转化成整式加减法运算，即x=23-12，这样就很容易将陌生的内容转化成学生较为熟悉的加减法，从而顺利解出问题的答案。   

总之，在初中数学的解题过程中，转化思想贯穿始终。转化思想是灵活多样的，并没有统一、固定的解题模式，要求解题者要依照题目中所提供的相关信息，运用灵活思维寻求有效解决问题的转化途径与变换方法。因此，对转化思想的学习与掌握，对数学的变换手段进行熟练运用，对于解决数学中的相关问题有很大的运用价值与意义。

参考文献：

[1]李建业.初中数学中的思想转化及应用[J].中国校外教育(基教版),2010,(09).

[2]卢伟峰.例谈转化思想在初中数学解题中的应用[J].中学数学月刊,2010,(09).

[3]李娟.数学思想方法在中学数学教学中的探讨[J].新课程(教师版),2010,(12).

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一、初中数学方程思想教学的必要性

1.初中数学方程思想是初中生学好数学知识的必备能力

数学中的方程思想，可以说是数学思想中的一个十分重要的组成部分，方程在数学发展史上的意义是极为重大的，不客气地说，它的出现和发展是数学历史上的一个重要的里程碑，它可以展示和包容丰富的数量关系，使数学具有自己的通用语言，并且这一语言形式经过发展具有实质性的突破。因此，在初中数学教学中，作为数学教师应当积极培养学生数学方程思想，只有让初中生具有这种数学必备的能力，他们才会以此为基础，向更远、更深的数学领域进军。

2.初中数学方程思想教学是拓展学生数学思维，开发学生智力的需要

数学，不同于其他科目，记忆内容不多，大部分是需要学生推理、论证、分析和总结，因此，它更强调的是发散一人的思维。而数学方程思想的培养，正是拓展和发散学生数学思维能力的教学过程。数学方程的解题形式是多样化的，对于同一道数学题，我们通过列出不同的数学方程，从而可以得到不同的解法，这样的教学过程对于发散一个人的思维来说，无疑是具有重大帮助的。

3.有利于培养学生民族意识

综观世界数学发展史，我们不难看出，数学可以分为两种思想，其一是公式、公理化思想，其二便是机械化思想，也就是我们一般意义上的方程思想。前者主要起源于古希腊，而后者则贯穿于我国整个古代数学。并且从我国古老的数学历史文献《九章算术》中，也可以窥见其中的古老《方程章》，这是我国先人在各种生活实践中不断总结出的宝贵数学经验。作为初中生，理应具有传承意识和民族意识。

二、提高初中数学方程教学质量的有效策略

1.创设问题情境，引导学生积极思考

方程思想的培养注重的是发散一个人的思维，让学生具有一题多解的能力，这在方程教学中是极为重要的。为了达到这一目的，首先，作为教师我们应当将学生的学习兴趣调动起来，引导学生进入学习方程知识的情境中，教师有目的地引入或创设具有一定情绪色彩的、以形象为主体的生动具体的场景，以引起学生一定的态度体验，从而帮助学生理解教材，并使学生的心理机能得到发展。

2.培养解题能力，重视方程应用

在调动学生学习兴趣的基础上，教师再开展习题讲解便显得更加合理且高效，从而更好地培养初中生数学解方程能力，促使其方程思想的养成。

比如，在教学七年级下册第八章二元一次方程组的相关知识时，教师可列举关于行程问题、工程问题、商品销售利润问题等数学应用题，让学生求解方程，从而锻炼学生的数学方程思维。比如，关于行程问题方程：甲、乙两地相距180km，一辆汽车和一辆电动三轮车同时由甲、乙两地相向而行，3小时相遇，相遇后，电动三轮车继续前?M，汽车在相遇处停留30分钟后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了电动三轮车.这时，汽车、电动三轮车各自行驶了多少千米？根据题意，设汽车的速度为xkm/h，电动三轮车的速度为ykm/h，从而我们可以列出相应的方程组：3（x+y）=180x=y，经过求解最终得出x=40，y=20，在为学生列举出一种方程解题思想后，教师还可以让学生自由结合为学习小组，探寻更多的解题方法，让方程思想贯穿初中数学课堂。

3.拓展数学思想，延伸应用范围

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一、将数形结合的思想渗透到初中数学教学中

数形结合是初中数学中的一种重要的思想方法。数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终，初中课本中许多内容都体现了数形结合思想。①把一元一次不等式的解集在数轴上表示；②一次函数与二元一次方程组的联系。每个二元一次方程组都对应两个一次函数，从“数”的角度看，方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。③函数图像表示函数值随自变量的变化趋势。采用数形结合思想解决问题的关键，是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法解决的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

二、将方程的思想渗透到初中数学教学中

方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号形成的语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决。方程思想相当重要，应用十分广泛，不仅解应用题要用它，在其他类型的题中也要常常会用到方程的思想。例如，在解决一些几何问题计算图形的边长或围成的面积时，也常常会用到利用面积不变性、相似形性质、勾股定理、直角三角形边角关系等列方程求解。例如：ΔABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，BD=1，求线段AD的长（相似形性质列方程求解）。应该说，方程的思想贯穿数学学习的始终。学生在学习过程中，通过对方程思想的理解，就能解决许多看似难以解决的问题。

三、将转化（化归）的思想渗透到初中数学教学中

转化的数学思想方法就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段，将问题通过变换进而达到解决问题的一种方法。比如未知向已知转化、一般向特殊转化、部分向整体转化、新运算向老运算转化、数向形转化、不规则向规则转化等。转化思想一般是通过定义、性质、法则、定理等，把问题一改原来的面貌，由一种形式转化为另一种形式，使要解决的问题转为另一个易解决或已解决的问题。

转化思想是初中数学中最常见的思想方法，应用广泛。初中课本中，如下内容体现了转化思想：①解分式方程时，先去分母将分式方程化归为整式方程，求出整式方程的解，再经过检验得到分式方程的解。②二元二次方程组转化为二元一次方程组求解。③证明四边形的内角和为360度，是把四边形转化成两个三角形。

四、将对比的思想渗透到初中数学教学中

对比是一切理解和思维的基础，对比的思想方法在数学教学和学习中有着无可替代的优越性。对比思想就是指在不同对象之间，根据它们某些方面（如特点、属性、关系）的相同、相反、相似之处，进行比较，使前后知识系统化，把易混淆的知识理顺，把模糊的知识澄清，开阔学生的视野。例如同类项与同类二次根式、线段与射线、角平分线与三角形的角平分线等等知识，常用表格形式对比。下面以角平分线与三角形的角平分线为例来说明。

通过这样的对比，不断加深对这些概念的理解。

五、将类比（联想）的思想渗透到初中数学教学中

类比，是从事物之间具有某种联系与相似性，推出另一些事物的联系与相似性的一种思维方法。数学类比（联想）是知识学习与数学应用的重要思维形式。因此，在数学教学中，重视培养学生的类比联想能力――正确处置联想的思维迁移是十分重要的。比如学习分式，就类比分数性质得出分式基本性质，再类比分数运算法则得出分式运算法则；相似多边形的性质和相似三角形的性质类比联想。联想是一个综合思维过程，它经常伴随着分析、归纳、演绎、综合等推理形式，进行构思解疑。

六、将分类思想渗透到初中数学教学中

数学分类思想，是把研究的数学对象按照一定标准划分成几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。通过分类可化繁为简，化难为易，使思维有条理，使思维全面缜密。初中阶段学生还未完全形成分类讨论的意识，分不清哪些问题需要分类及分类的原则。而这就有赖老师在教学中结合课本，按照新课标要求设计一些学生能接受且需分情况进行讨论的问题，启发引导，揭示分类讨论思想的本质。

例 1：函数y=kx+b（k≠0、b≠0）的图像经过哪几个象限？这个问题学生往往不注意k、b的值对一次函数图像位置的影响，讲解或讨论时要使学生明确k值决定函数图像的变化趋势（上升或下降）、b值决定函数图像交y轴的位置（交y轴的正半轴或负半轴）。于是，分四类情形进行讨论：①k>0、b>0；②k>0、b

例 2：已知方程kx2+（2k+1）x+k+1=0有实数根，求k的取值范围。此题很多同学会忽略对k值的讨论，而由（2k+1）2-4k（k+1）≥0得出k≤■。正确解答应分两类情况进行讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1；②当k≠0时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：（2k+1）2-4k（k+1）≥0，求得k≤■且k≠0。综合①、②，得k的取值范围是k≤■。

以上两题是常见题型，实施教学时引导学生思考此类问题，既渗透分类思想的目的，又使学生通过具体的实例体会分类的实质。同时，也使学生逐步掌握分类的几个原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按同一标准；③分类讨论应逐级有序进行。正确的分类必须周全，确保不重不漏。

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关键词：初中数学；试卷评讲；分析；巩固；延伸

要在试卷评讲中让学生在对知识的巩固中形成一定的技能，这不仅需要教师备好课，还需要根据教学内容针对性地突出知识重难点，做到以学生为主体，在反馈、巩固、矫正中不断提高能力。

一、做好分析，抓住时间

很多教师在试卷讲评中都没有备课的习惯，基本是做一遍试卷，在课堂教学中一题一题地进行讲解，和学生核对，有时在时间安排上也以新课教学为主。笔者认为，试卷讲评中备好课是大有必要的，教师在备课中首先要对试卷进行整体分析，研究学生主要出错的问题，对试卷的重心进行把握，区分试卷的难易度，找到试卷所考的知识点。这样，在讲评中才能更好地帮助学生分析错误的原因，找到解决的办法。同时，备课中教师还要将讲评和复习结合起来，在讲评中贯穿知识点，不但要让学生知其然，还要知其所以然。如：一元二次方程的检测中，学生的问题主要出在对解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）上出现问题，那么，讲评中，教师就需要根据具体的问题来对解方程的方法进行复习。此外，在讲评中，教师需要趁热打铁，让学生及时了解问题的所在，通过讲评来找到不足和解决办法。

二、突出主体，注重延伸

传统的试卷讲评中，大多教师所采用的方法是主题讲解，一一核对。笔者认为，学生是学习的主体，在试卷讲评中，教师不妨先让学生对试卷进行分析，找出自己的问题所在，对学生自己能解决的问题可以不必花太多时间进行强调，而对学生感觉困难的问题，在组织学生进行交流讨论中教师要恰当地给予指导，从而解决问题。这样做的优点在于能节省时间，能针对学生的实际问题而制定解决方案。同样是在一元二次方程的检测中，学生在四种解方程的方法中发现对因式分解法掌握不到位，那么，教师重点就要放在对因式分解方法的引导上。当然，讲评中，教师也要根据具体的试卷问题而进行一定的拓展，从而起到举一反三的作用。

三、反馈巩固，矫正提高

试卷讲评后，学生是否理解了，这就需要教师通过教学反馈来进行。教学反馈中，教师要根据学生的具体情况而制定出相应的解决方案。如：正比例函数的检查中，学生对图象理解存在困难，这就需要教师以复习的方式来重新理清正比例函数的概念、性质和图象。此外，教师还可以引导以错题集的形式来对自己遇到的问题进行归类，让学生形成不断总结、不断丰富的习惯，促进技能的培养。

试卷讲评不等于核对，应是一个不断巩固和提高的过程，教学中数学教师还需树立正确的讲评理念，用优化的方法来提高试卷讲评的效率。

参考文献：

[1]孙丽平.初中数学试卷讲评课的策略[J].考试周刊，2011（66）.

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关键词：方法；积累；数学意识

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）22-091-01

事实上，单纯的知识教学，只显见于学生知识的积累，是会遗忘甚至于消失的，而方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生，正所谓“授之以鱼，不如授之以渔”。不管他们将来从事什么职业和工作，数学思想方法，作为一种解决问题的思维策略，都将随时随地有意无意地发挥作用。初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最主要的有：转化的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、函数与方程的思想方法等。那么，如何在数学教学过程中进行思想方法教学呢？

一、转化的思想方法

转化的思想方法就是人们将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一种相对容易解决的或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决。初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简、化难为易，化未知为已知等，它是解决问题的一种最基本的思想方法。具体说来，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，换元法解方程，几何中添加辅助线等等，都体现出转化的思想方法。

二、数形结合的思想方法

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以形直观地表达数，以数精确地研究形。“数无形时不直观，形无数时难入微。”数形结合是研究数学问题的重要思想方法。初中数学中，通过数轴，将数与点对应，通过直角坐标系，将函数与图象对应，用数形结合的思想方法学习了相反数的概念、绝对值的概念，有理数大小比较的法则，研究了函数的性质等，通过形象思维过渡到抽象思维，大大减轻了学习的难度。

三、分类讨论的思想方法

分类讨论的思想方法就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，解决数学问题。初中数学从整体上看分为代数、几何两大类，采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现。具体来说，实数的分类，方程的分类、三角形的分类，函数的分类等，都是分类思想的具体体现。

四、函数与方程的思想方法

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【关键词】：分层教学 教学策略 因材施教

我个人在初中数学教学多年的实践中体会到，初中数学教学进行分层教学，教学效果比不分层的传统教学要好，初二和初三的学生的知识水平和思维能力差别会更大，进行分层教学效果会更加显著。

以下谈谈我在初中数学教学实践中进行分层教学的一些做法和教学效果：

一、在充分了解学生的数学知识水平和数学思维能力的基础上。根据学生的数学知识和思维能力水平对学生分开几个层次。并根据不同层次的学生制订不同层次的教学目标和教学策略。

首先对自己所教的学生进行分层：

A层：数学基础较好，思维能力也较好。

B层：数学基础一般，思维能力一般或较好。

C层：数学基础中下，思维能力一般，或思维能力较好但数学基础较差，学习品质不够好。

D层：数学基础较差，思维能力一般或中下。

当然，这样将学生进行分层我是不告诉学生的，只要自己心中有数，教学有针对性就行了。

有针对性地对他们提出较高要求和开小灶。要求他们除完成课本习题外，尽量多看些有关解题和数学竞赛的数学课外书，鼓励他们提数学问题，多鼓励他们自学和进行一题多解。

B层

提高数学基础知识水平和数学基本运算技能，提高他们的思维能力，使他们一部分能向A层转化。

提高他们学习数学的兴趣，鼓励他们在课堂上多问，多提问题，多鼓励他们自学，多鼓励他们一题多解，要求他们在测验时争取优分并追上成绩最好的同学。

C层

提高他们学习数学的积极性，提高他们的数学基础和数学思维能力，使他们其中一部分向B层转化。

多鼓励多提问多辅导，提高他们学习数学的兴趣和解数学题的兴趣。要求他们在测验中取得合格以上成绩。

D层

尽量提高他们的数学基础和数学思维能力，提高他们学习数学的积极性。使部分向C层甚至B层转化。

二、 做好教材的分析研究和结合学生情况进行教材处理。

初中数学教材尽管较系统地叙述初中的数学知识，但其中包涵的数学思想和数学方法没有明显地叙述出来，探索推导的过程也不可能全部叙述出来，所以，我首先吃透教材，把握数学知识的系统，挖掘数学知识所包涵的数学思想和数学方法（数学思想和数学方法是数学的精髓）。 而我的学生（初中学生）的数学基础和思维能力以及学习数学的兴趣都有差异，所以我又必须对数学的教材进行恰当的处理。

三、在课堂教学中进行分层教学的实践和教学效果。

2001学年，我担任初二两个数学基础一样的班的数学教学工作，在一班我用传统教学法，在二班我试用分层教学法， 以便探究分层教学法和提高自己的教学水平。以下我主要谈谈我在二班进行分层教学的一些做法：

（1） 在课堂教学中我针对不同层次的学生采取不同的导学方法，使各层次的学生都能理解掌握数学知识和发展能力。

课堂上多让A和B层学生探求问题（例题，习题或老师和同学提出的数学问题），讨论问题，最后独立地或在老师的引导下找出答案，并多鼓励他们质疑已有答案（或解法，证法）和对数学题进行一题多解，以培养他们的创新意识和创造性思维能力。而对C和D层次的学生则在讲解教学内容之后还加强个别辅导。

上课前的复习提问，课堂的练习，课外的作业都针对不同层次的学生分开层次，一般课堂练习和课外作业分基础题（必做）和提高题（选做），提高题鼓励A层次和B层次的学生做，C和D层次的学生可以不做，但仍鼓励他们尽量去做，能做几题就做几题。如何将各章节的练习和作业分层次则视学生的整体基础情况而定。如果学生对某节的基础知识掌握较好，则对该节的基础题和提高题的深度就适当增加一些。（基础题一般是教材中练习，习题中较浅的题目和老师编的单或双知识点题。而提高题则是练习和习题中较深的题目，开放性数学题和新型数学应用题）。

（2）采取多举学生感兴趣的实例或采用多媒体教学的方法，提高学生（尤其是C，D层次学生）对数学概念，定理，性质的感性认识，提高他们学习数学的兴趣。

二班C，D层次的学生基础较差，有一次，我发现他们老是把解方程当作式题计算来做，知道他们对解方程的同解原理不理解，我就这样引导他们认识解方程的同解原理： 我要知道你们这一列同学中最后一位同学有多少只手指，现在我要倒数第二位同学跟最后一位同学比较手指数，如果相同，则要倒数第三位同学跟倒数第二位同学比较手指数，如果相同，再进行下去，直到我面前这位同学。因为你们这一列同学前后两个同学的手指数都相同，所以，我只要看我面前这位同学的手指数就可以知道最后那位同学的手指数。然后，我类比此例讲解用同解原理解方程的原理（板书）：

通过这样举例讲解，提高了学生学习的兴趣，使C，D层次的学生理解了用同解原理解方程的原理，以后他们都会用同解原理按解方程的步骤来解方程了。

教学效果对比：（1）就教学进度来说，进行分层教学的二班要比用传统教学法的一班快。因为在一班有些数学课有较多学生掌握得不够好要经常补课和增加练习课，而在二班则较少需要这样做。

（2）两班年终考数学成绩对比：

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一、初中数学中例题教学的功能

（一） 例题教学是将数学知识、数学方法和数学思想相联系的纽带

初中数学的目标是培养学生利用数学知识解决生活中的问题，这些通过简单的数学理论记忆、数学方法的机械学习和数学思想的灌输是难以实现的，这样的知识对于初中生而言也过于抽象。例题教学正是将数学知识、数学方法和数学思想通过具体的例题内容展示出来，例题的讲解和示范是学生获得数学知识的主要途径，是培养学生数学解题技巧和解题方法的重要环节，是以促进学生数学能力为主要目标的。例如，例题：足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队1：0，蓝队胜 红队1：0，计算各队的净胜球数。这个例题以有理数知识的讲解为主要内容，渗透着有理数的解题技巧和符号思想。

（二）例题教学通过解题示范规范学生的解题步骤

初中数学在传递数学知识的同时，培养着学生严谨的数学精神。在例题教学中教师通过对解题过程详细的展示，引导学生掌握解题的思考过程，习得规范的解题格式。例如，在应用题的解题过程中，教师通过例题展示向学生讲解例题的思考过程，先将题目要求解答的问题设为x，然后分析题目中的已知条件和未知条件，根据所学知识建构已知条件和未知条件之间的数量关系进行解答，同时，进行规范解答，先对问题进行未知数的假设，然后列出符合题意的含有未知数的方程，接下来解方程，最后对问题进行回答。

（三）例题教学促进学生解题错误的纠正，巩固学生的数学知识

数学知识和数学能力的培养需要学生通过练习题的不断巩固，在习题练习中不断出现的知识漏洞和解题错误是通过教师的例题讲解纠正的。教师通过对学生的习题进行分析，总结出学生在知识学习中的共性问题和个性错误，通过对典型题的讲解纠正学生的错误。例如，在学习一元一次方程时，学生第一次接触方程思想，教师在观察学生解题过程中发现，大部分学生的应用题解答是先使用小学阶段的方法进行解答，然后把代数式子转化为含有未知数的方程，教师通过对典型应用题进行分析，引导学生念出方程的思维过程，进而掌握和学习方程思想。

二、初中数学例题教学的有效策略

（一）例题的讲解要注重步骤的完整性

初中学生的思维发展需要具体事例的支持，在应用题教学中表现为步骤呈现的逐渐过渡，从纸质呈现到思维表象呈现，再到思维的跨越发展。因此，在应用题的学习初期，教师要注重表现步骤的完整性。一元一次方程应用题是初中生第一次接触应用题的教学，这些题目内容很多学生利用小学的知识便可以进行解答，因此很多教师在教学中的进度很快，并没有作为一个重要的内容进行教学，同时在试题检测中，学生的高准确率使得教师在讲解一元一次方程应用题时快速带过。但是，一元一次方程应用题是初中阶段学生第一次使用方程思想解决问题，在教学中更为重要的是培养学生通过用x、y等字母符号表示所求内容，通过正向思维思考已知条件和所求问题的联系，这就要求教师在教学过程中展示思维的分析过程和运用方程解答应用题的基本步骤。例如，一桶油连桶的重量是10千克，油用去一半后连桶的重量是5.5千克，桶内原来有油多少千克？首先对用x表示所求条件，设：桶内原来有油x千克。已知条件：油未用前油和桶共10千克，油用一半后油和桶共5.5千克。x/2是用去的油量，用总重量减去用去的油量，就是剩余的重量，所以可得到方程，10-x/2=5.5。尔后的步骤是解方程，最后对所求问题进行解答。在教学中教师要注重步骤呈现的完整性，逐一呈现每一个步骤，直到学生完全掌握。

（二） 例题的讲解要注重对学生思维能力的培养

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一、初中数学教学中常见问题

1．教师上课不能抓住重点初中数学比小学数学要难很多，学生不能像以前那样，即使课堂上不怎么听讲，只要有点小聪明，还是能考个好成绩．初中数学，要求学生掌握的知识点远比小学数学多，而且一个知识点能衍生出很多子知识点，并且知识点的灵活变化可以出很多道题．如果学生一个知识点没学会，可能在很长一段时间内都觉得上课特别痛苦，听不懂老师所讲，也不能深入理解知识点，就会打击学生的自信心．在教学中，教师不能一节课没重点，看似讲了满满一黑板，却对学生起不到作用．这是因为教师一味地教学，讲知识点的来源，怎么推理出来的，用它来解几个课本上的例子，却忘了要把知识点贯通起来．教师要多举些例子，用多变的例题，让学生深刻理解知识点．这样，在做题的过程中碰到类似题时，学生就会觉得解起题来游刃有余，从而熟练掌握知识点．在教学中，教师要抓住教学重点，使学生轻松学到知识．

2．学生学习状态差很多农村学生，小学一般都是在本村学习的，而初中要去镇上或是更远的地方学习，所以在心理上会有变化．开学一开始，来到陌生的环境，还要学习更多知识，对学生来说，确实是个不小的挑战，导致他们上课状态差．学生最主要的打击是，刚开始不能适应教师的教学方式等问题的干扰，导致学生在学习方面很困扰．初中数学是一个系统性的学习，又是一个断断续续的学习．初中数学每个学年都有每个学年的知识点，而这些知识点之间的联系不是太紧密，所以即使一个知识点没学好，也不影响以后的学习．初中学生是要考高中的，最后一个学年会把所有知识点整合，所以说它是一个连续的过程．学生刚入学学习状态可以不好，但如果一直适应不了学校生活，今后的学习就很难进行．

二、初中数学教学中常见问题的解决方案

1．教师应熟读课本，对课本了如指掌教师要抓住重点的前提，就是熟悉知识点．只有熟悉知识点，并且接触过很多学生做的题，才能知道学生哪个地方容易出错，哪些地方是重点，哪些知识点学生容易搞混．比如，在讲概念性的知识时，如什么是有理数，什么是无理数，什么是正数，什么叫负数，正多边形的定义是什么，等等，诸如此类的概念，都必须让学生对定义熟记于心，就算是让他们把定义背下来都不为过．很多题都是考查学生对概念的理解，有时候少一句话，少一个前提条件，如果学生不细心，就会经常做错这种题，而做错这种题往往使学生产生知识点没学会的心理暗示，并且越是怕这种题，考试就越是考这种题，久而久之，学生就会害怕概念性的题目．其他知识点也是一样．教师要想提高教学效率，就必须熟知教科书，熟知知识点，备好课．只有这样，才能在课堂上用简单而容易理解的题目练习，让学生学好知识．

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一、学困生所体现出的情感特点

学困生在学习方面主要表现在：不思进取，上课时注意力极度不集中，在私底下经常搞小动作，精神比较涣散。这样就会导致学困生的学习成绩越来越下降，而导致这一现象的根本原因就是在最初的学习阶段，学困生的学习成绩就没有班上其他学生的好，有与学困生在这样的情况下不思进取，长期发展下去就会导致学困生失去学习的动力，学习的积极性和主动性渐渐降低，不参与课堂教学活动，不与学生与教师进行互动，逐渐学困生就会产生一种自卑的心理，觉得自己越来越不如别人，这样根本就不利于学生的全面发展。

二、初中数学教学中转化学困生的意义

（一）有利于学困生学习成绩的提高

在初中数学教学中，对学困生进行情感上的转化，有利于学困生学习成绩的提高。由于学困生存在一定的自卑心理，认为自己的学习成绩不理想，不能得到教师的认可及家长的表扬，长此以往，这样的心理状态导致学困生总认为自己学不好，智力上不如别人，无论怎么学也超越不了别人，这些都源于学困生对自己的不自信，想的永远比做的多。对学困生进行情感上的转化，树立起学困生在初中数学学习上的自信心，鼓励及引导学困生课堂上与教师及同学之间的互动，从而使学困生的自卑心理逐渐消除，慢慢进入到积极的学习状态中去，从而提高学习成绩。

（二）有利于建立良好的师生关系

由于初中数学难度较大，学生学习起来比较吃力，而学困生本来学习基础就比较差，又存在自卑心理，在学习上不思进取，失去对数学学习的积极性，在数学课堂上，不愿积极?⒂氲接虢淌χ?间的互动中。对学困生进行情感上的正确引导，使得学困生逐渐消除心理上的自卑，积极踊跃在课堂上发言，从而有利于建立良好的师生关系。

三、初中数学教学中转化学困生的情感教育策略

（一）在学习上应多鼓励学困生，帮助学困生树立自信心

在实际的初中数学课堂教学当中，教师应该在学习上多鼓励学困生，帮助学困生树立努力学习的自信心。在数学堂教学当中，对学困生的转化进行情感教育的主要目的就是为了能够打消学困生的自卑心理，然后在实际的数学学习当中提升学习的积极主动性以及自信心，进而能够提升学困生以及学生整体的数学成绩。因此，教师应该在教学当中对学困生进行正确的引导以及鼓励，并且应该对学困生进行适当的表扬，促使学困生能够从心理当中真正的战胜自己，有助于提高学生的自信心。例如：在学习方程相关知识进行数学测验结束之后，教师应该针对学困行的数学实际成绩的变化做出具有针对性的总结，在总结的过程中教师应该尽量不要提高学生学习成家下降的方面，应该针对几次数学测验当中的细节对学困生进行表扬和鼓励，比如在解方程的过程中解字没有遗漏，解题过程非常完整，并且很多学生就将这一点忽略掉了，所以在这方面做得非常好。这样就会让学困生觉得自己也有能够比其他学生做得好的方面，提高学困生的自信心。

（二）课堂上多与学困生进行互动

学困生在往往在课堂上注意力不集中，爱搞小动作，长此以往，导致学习成绩越来越差，同时也使其它周围同学的学习受到影响。为提高学困生学习的主观能动性，改变学困生消极的学习态度，教师要在课堂上多与学困生进行互动。例如，在讲到方程与方程组这一节内容时，教师可在黑板上列出几组比较简单的解方程的练习题，要求学困生到前面黑板上进行解方程的练习，一步一步进行引导，并对其良好表现在全班同学面前予以鼓励，由此树立学困生的信心，在与教师的互动中增强与教师情感上的交流，从而激发学生的数学学习兴趣。

（三）帮助学困生树立成功的自信心