如何进行数学思想方法的教学范文

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【关键词】数学教学 渗透 数学思想方法

数学学习离不开思维，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。”笔者很赞成这种看法，下面将根据自身的数学教学实践就如何在平时的数学教学中去挖掘、并适时地加以渗透数学方法这个问题上，谈谈自己的粗浅见解。

一、转化思想

在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，它是数学基本思想方法之一。如在讲解初一整式乘法时，多项式乘多项式的计算要将其转化成单项式乘多项式，从而再转化成单项式乘单项式；用二元一次方程组解决实际问题时，要把实际问题转化为方程组，这是实际问题与数学问题之间的转化；用代入消元和加减消元的方法，则可将解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这是从二元到一元的转化。运用转化的思想，可以让学生自己动手去解三元一次方程组。在这个过程中，教师要给予学生正确的引导，要知道我们探索未知的过程方法是将“未知”转化成“已知”，关键是找到转化的的途径。

二、数形结合思想

“数以形而直观，形以数而入微”这是我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述。数与形这两个基本概念，是数学的两块基石，数学在发展过程中，大体上都是围绕这两个基本概念而展开的。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。“数形结合”是初中数学的重要思想之一，也是学好初中数学的关键之一。数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它的建立，不仅使最简单的形―直线上的点与实数间建立一一对应关系，还揭示了数形间的内在联系，使实数的许多性质，可由数轴上相应点的位置得到形象生动的说明，也为学习具有相反意义的量、相反数、绝对值、有理数运算做好了准备。此外，如平面上的点与有序实数对的一一对应的关系；函数式与图像之间的关系；线段(角)的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。这些都是初中数学教材中包含有数形结合思想的内容。在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。

三、类比思想

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人”。类比既是一种逻辑方法,也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一。初中数学中有很多很多数学问题都可用类比的思想来解决。如在讲解“一元一次不等式”时，如果按照书上的例题直接进行讲解，学生可能会感到不那么得心应手，不知道为什么要这样来解题，就会照着例题按部就班的做题，以至于没有掌握解题的方法。当然，在经过大量的类似练习后，单纯地通过记忆性质本身，大部分学生都能掌握一元一次不等式的解法，但是新课标引导我们，学生在学习过程中，不但要获取知识，更重要的是要掌握一种学习方法，才会使学生终身受益。为了让学生一开始就能从根本上弄清楚一元一次不等式的解法，能明白每一步的算理，真正地掌握一种学习的方法，在讲授这节内容时，我类比了解一元一次方程的方法，这样的讲解学生接受起来就容易多了。

四、特殊与一般化思想

特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种数学思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题都可考虑运用特殊与一般的思想方法去探求解题途径。如在进行同底数幂的乘法运算性质的教学时，为了引导学生从具体到抽象，有层次地进行概括、抽象、归纳。

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【关 键 词】 感悟；数学思想方法；数学教学；培养；意识

《课程标准（2011年版）》指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”在义务教育阶段，应结合具体的教学内容，逐步渗透数学的基本思想。

一、感悟数学思想

思想是数学的灵魂，方法是数学的行为，是数学思想的具体表现形式。所谓数学思想，是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容（如概念、命题、规律）和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段、途径、策略等。中学数学思想方法主要包括：符号与变元表示、数形结合、模型、化归、类比、转化、函数与方程的思想方法等。

数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构，使学生提高数学思维水平，建立科学的数学观念。好的数学教学，是把数学知识、数学方法、数学思维、数学思想融为一体的教学，使学生在掌握“双基”的同时提高数学素养。

二、以知识和技能为载体，加强数学思想方法教学的必要性

去年，我听了一位数学教师的课，内容是乘法公式中平方差公式的教学，教师先让学生利用多项式乘法法则计算：（x+1）（x-1）；（m+2）（m-2）；（2x+1）（2x-1），然后找出规律，引出平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，并用文字语言叙述公式，接着就让学生记公式，并应用公式进行运算。学生的全部精力就放在模仿或变式练习上，当遇到有符号变化或字母变化的题目时，大部分学生会出错。这节课容量小，教学效果不理想。对这样的课，我们应当认真反思，这样的课堂教学就是重公式应用，轻探究过程，学生只是机械地模仿，教师没有教给学生合理的思想方法，此例虽只是个别，但这种“重结果轻过程”地传授数学知识的教学还是比较普遍存在的。现在学生中普遍存在课堂听懂了，遇到题又不会解的现象，这在很大程度上就是知识教学与思想方法教学脱节的后果，只有知识与思想互相促进，才能使学生更深刻地理解数学，并灵活运用。

三、以数学思想为指导的教学实践体会

（一）数学思想方法的教学活动培养了学生的数学意识

数学教育主要是数学思维的教育，要培养学生的数学思维素质，关键在于培养他们的数学意识，当学生有了较强的数学意识，才能掌握正确的数学思想方法，才能提高数学素养，因而培养学生的数学意识十分重要。培养学生的数学意识，又要立足课堂教学。

（二）数学思想方法的教学活动有助于增强应用意识，提高实践能力

应用意识是《数学课程标准（2011年版）》的一个核心概念，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力，是数学课程标准的重要目标。因此，数学教学要重视学生应用意识的培养。

1. 在数学教学中，设计有助于促进学生应用意识的问题。如“有理数加法法则”的教学，可以用足球比赛为情境，将赢球记为正数，输球记为负数，则正数与正数相加【如（+3）+（+2）】，可以表示为某队主场比赛赢了3球，客场比赛又赢了2球。由于两场比赛净赢5球，所以列得算式：（+3）+（+2）=+5；负数与负数相加【如：（-1）+（-2）】则可看成某队主场比赛输1球，客场比赛又输2球，两场比赛的结果共输3球，列得算式： （-1）+（-2）=-3。

问题1，异号两数相加又可用比赛的哪些情形表示？一个数和零相加呢？（让学生说出不同的情形，感悟分类的思想）

问题2，还有特殊情形吗？（引导学生得出互为相反数的两数相加得0）

问题3，观察所列的不同算式，你能归纳出两个有理数相加的法则吗？

（借助生活事例――赢（输）了又赢（输），就赢（输）得更多），有输有赢，要看赢得多还是输得多，逐步归纳出有理数加法法则。

2. 在数学教学中，利用建模思想解决实际问题，提高学生的应用能力。如数学课本习题4.2的12题：两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？

学生通过探究得出结论：两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点……一般地，n条直线相交，最多有个交点。这时教师要不失时机地引导学生观察和探索身边的数学问题，可设计如下问题：某班召开家长会，有40人参加会议，若每两个人都握一次手，问总共握手几次？学生很快就觉察到此问题的条件与习题12形式相似，可引导学生建立数学模型，用40人分别代替40条直线，40个人共握手的次数即为40条直线相交，最多有交点的个数，即=780（次）。

（三）数学思想方法的教学活动有助于增强创新意识，提升思维能力

2. 联想：引导学生，并鼓励他们提出问题。

3. 探索：原题条件与结论进行转移。

这样，引导学生对例题、习题进行变式，联想探索，有利于学生掌握解题规律，从题海中解放出来，让学生在学习过程中感受学习的思想方法――猜想、论证、交流，培养了学生的创新意识和解决问题的能力。

数学思想方法是学生获取知识、发展思维能力的动力工具。在平时的教学中，教师要对具体的数学知识进行深入的分析，挖掘这部分内容蕴涵的数学思想，进行反复渗透。通过观察、实践、分析、综合、归纳、概括等过程，让学生获得对问题认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识和感悟，提高学生的数学素养。

【参考文献】

[1] 毛永聪. 思维训练方案[M]. 北京：学苑出版社，1999.

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关键词：高中数学 数学思想 数学方法

数学思想是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观念，在后继研究和实践中被反复证实其正确性之后，就带有了一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。数学方法是人们在数学研究、数学学习和数学问题解决等数学活动中的步骤、程序和格式，是达到数学研究和问题解决目的的途径和手段的总和，是数学思想的具体化反映。数学方法是数学的“行为规则”，数学思想是数学的“灵魂”。在小学数学教学实践中，两者之间并不作严格的区别，许多数学思想和方法往往是一致的，一般情况下可以将数学思想与方法看作一个整体，称作“数学思想方法”。

1.数学思想教学的重要性

首先数学是枯燥的，有时甚至艰难，如果教师单纯从数学知识的角度去设计一堂课的教学过程，实质上是十分片面和不科学的，因为完全靠数学内容来吸引学生，其实很难使学生展开积极思维，而数学思想却容易激发学生的兴趣，让思维活动处于最佳状态。其次数学学习的过程是学生获取知识和形成个性品质两个过程交融进行的，数学思想不仅升华了数学知识，有助于学生认识客观世界，而且有益于个性品质的优化，有益于主观世界的改造。三是数学思想相当抽象，其程序性更弱，但功能性强，它偏重于对数学知识教学和数学方法教学的指导，具有方法论意义，更具有认识论意义。所以说，唯有深入到数学思想教学这一层次的教学，才是高水平的数学教学。四是数学思想具有观念性的作用，所以，数学思想教学是数学观念的阶梯层次。数学观念教学是数学教学的最高境界，也是数学素质教育所刻意追求的目标，数学思想教学实施得好，就有利于培养学生的数学思维、数学观念，形成数学头脑，根深蒂固的数学思维模式、数学精神会随时随地发挥作用，指导人受用终身。五是新修订的大纲把数学思想列入基础知识的范畴，使数学思想的地位和作用得到了更充分的体现，而且高考中心也建议了适当增加对数学思想的考查力度，这更有利于促使教师重视数学思想，培养学生的能力。六是数学思想是数学德育的重要内容，数学思想教学也能体现“既教书，又育人”、“德育为首，教学为主”的素质教育的特征之—一。

2.数学思想的类型

一是概念型的数学思想。如函数思想、方程思想、集合思想等，这类思想以有关的数学概念的背景为内容。二是方法型的数学思想。如分类、变换、归纳等，这类思想是解决数学问题的方法论。三是结构型的数学思想。如公理化思想、形式不变思想、基底思想等，指建立数学的大大小小结构的指导思想。四是根本性的数学思想。如统一化思想、一般化思想、严密化思想等，指简单性原则或多样的统一的原则，根本性思想是上述各类数学思想的共同出发点。

3.数学思想教学的方法

数学教学的本质是数学思维过程，数学教学追求的是数学知识教学、数学方法教学、数学思想教学和数学观念教学的所有层次。因此，我们学习和研究数学思维理论，讨论和认识教材中的数学思想，把数学思想教学的特色反映在数学活动之中。一是实施数学思想教学的主要途径是把数学思想适时、适度、适量、有机地渗透在数学课堂之中。二是实施数学思想教学的必然途径是把数学教学与实际相结合，开展“数学中的实例”和“生活中的数学”讨论活动。三是在高一开展专题辅导和讲座的活动，在高二开设数学思维选修课。

4.数学思想教学风格

综合教材、学生和教学时间的实际，我们实施高中数学思想教学形成了一定的教学风格，突出了“五主”和“四个优化”的高要求，五主指学生是主体、教师是主导、教学内容是主线、练习是主措施、育人是主旨；四个优化指引人的优化、讲解的优化、练习的优化、教学时间的优化。具体说来，注重了每堂课的八个一：即分析一个知识点、举出一个实例、讲一句激发兴趣的幽默话、强调一种数学思想、总结一类题的解题步骤、深化一种解题方法、保证一次德育渗透、形成一种数学观念。

5.数学思想教学的感想

一是实施数学思想教学，就要学习别人的经验，还要学习数学题型教学、解题方法教学、知识点教学、模式教学，也要学习数学观念教学，这样就增多了我们的教育教学理论知识，端正教学思想；把之用于实践，我们又可以获得一定的感性经验，提高教学水平；如果能够创新和总结，我们就走向了“会科研”的层次，还取得了一定的科研成果。二是实施数学思想教学，往下，有利于学生数学知识的内化、数学能力的形成，往上，有利于学生数学观念的获得，虽然其掌握是长远的，但对学生的受益却是终生的。实践表明，数学思想教学有利于学生成绩大面积、大幅度的提高。而且数学活动也使学生的课外活动丰富多彩、兴趣盎然。

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关键词： 数学思想方法 数学课堂教学 渗透策略

初中数学教学内容实质上是由数学基础知识和数学思想方法这两个基本部分组成的。教材的每一章节都能寻找到这两个基本内容有机结合的身影，也就是说没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。传统的教育观念只重视基础知识却忽视了思想方法，也就忽视了素质教育的本质，《新课标》中“四基”的提出正是体现了这种现代教育的思想。要想让学生真正达到既掌握数学知识，又能逐步领悟其中思想方法的精髓，就需要我们尽可能地在课堂教学中逐步渗透数学思想方法。之所以用“渗透”描述，是因为在教学过程中要把知识和思想方法有机结合在一起，不能采用简单、生硬的灌输方式，所以在教学过程中我们要有目的、有意识、有计划、有步骤地进行数学思想方法的渗透，强调的是渐进性和长期性。下面就谈谈笔者在教学中渗透数学思想方法思考。

1.在概念引入过程中渗透数学思想方法

数学概念的学习可以分为两种基本形式：一是概念形成;二是概念同化。

概念形成是从外部的、比较具体的非本质特征到内部的、比较抽象的本质特征的不断深化的过程。到逻辑定义阶段，概念才最终形成。所以，我们通常在教学中会从大量的具体例子出发，让学生从实际经验的肯定例证，归纳方法中概括出一类事物的本质属性，在此过程中可以适时渗透数学思想方法。

例如，在讲解一元二次方程概念时，先给出已经得出的一些具体的方程，分析其特征，抽象出一般形式ax+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）。为了进一步理解概念的内涵和明确概念的外延，需要再举出概念的否定例证和肯定例证，包括各种“变式”，如：x-x-6+0，x=0，3x-4=0，x+y=5，2x-x=0，-3=0等。这个过程就是从特殊到一般，再由一般到具体的思想的体现。教师也可以适时介绍归纳思想。在给出的各种变式中，毫无疑问会有各种需要化简整理之后变成一般形式的一元二次方程，这就是我们通常所讲的“化归思想”。

概念同化是指用定义的方式直接向学习者呈现一类事物的关键特征，学习者利用认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用，以领会新概念的本质属性，从而获得新概念的方式。在同化新概念时，往往伴随着某些数学思想方法的运用。

例如，在讲解反比例函数时，直接给出定义，并与“正比例函数定义”进行类比，将两者的一般形式、图像及其性质都可以一一做比较。在这里使用类比的思想可以更好地突破难点，使学生更容易且更深刻地理解新概念和旧概念，促进学生概念认知结构的发展，反之也有利于学生接受这些重要的数学思想方法。

2.在定理学习过程中渗透数学思想方法

初中数学中有大量定理需要学生掌握，很多教师并不注重定理的获得过程，而只是单方向地强调定理的使用，这显然让学生失去了很多学习数学思想的机会，应该加深学生对定理的由来与定理的论证学习。著名数学家华罗庚说：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”可以说定理是压缩了的知识链，教学中应该遵循“过程教学原则”，我们应该启发学生感受、体验，弄清知识的来龙去脉，弄清每个结论的因果关系，教师也应该利用这个机会采用适当的方式渗透数学思想方法。

例如，在讲解勾股定理时，可以用边长为3、4、5的直角三角形引入新课内容，引导学生猜想勾股定理的内容，再通过多种方式证明定理，其中涉及公理化思想、转化思想、割补转换思想方法等。然后，适时利用多媒体展示勾股定理的文化价值，如：中国古代的陈子定理、赵爽的代数方法证明、华罗庚等建议采用勾股定理的名称、古希腊《几何原本》中的证明、2002年国际数学大会的会标、和外星人通讯使用的图案等。这些数学文化的欣赏可以极大地提高学生的兴趣，加深学生对数学史的理解。数学文化的欣赏，是数学思想方法的重要组成部分。通过对数学文化的欣赏能揭示数学思想的本源及数学生长的社会背景，提高学生的数学文化素养。

3.在问题解决学习过程中渗透数学思想方法

数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。在初中数学教学中，学生离不开解题，数学教师离不开指导学生怎样解决问题，解题教学一直是数学教学最重要的组成部分。但是加强解题教学，不是搞题型训练，更不是搞题海战。要想避免题海战，一方面，需要我们在解题的基础上总结归纳方法，并将之上升到思想的高度。另一方面，在解题活动中，应充分发挥数学思想方法的指导意义，加快和优化问题解决的过程，突出数学思想方法对解题的统摄和指导作用。用“不变”的数学思想方法解决不断“变换”的数学问题，这样才可以达到会一题而明一路、明一路而通一类的效果，打破“一把钥匙只开一把锁”的个别处理模式，进而将学生从浩瀚的题海中解放出来。

例如，在讲解一元二次方程的应用一课时，有这样一道例题：“某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克;销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？”经过分析利润、成本及销售量之间的关系后，学生基本能列出一元二次方程解决这道题，但是在碰到下面两道题目的时候，学生就又犯难了。题目1：某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？题目2：某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件;如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件。如果商店销售这批服装要获利润12000元，那么这种服装售价应定为多少元？该商店应进这种服装多少件？这两题分别难在这两句话上：“每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张”和“每件提价5元出售，其销售量就将减少100件”。学生觉得列代数式的时候一会乘一会除，晕乎乎的。有的老师也觉得题目一直在变，遇见一道再讲解一道，其实完全不必如此。初中数学中最常用的转化化归思想在这里渗透就很有必要。我们应该指导学生将这两句话转化为我们已会的形式，如“每降低0.1元那么商场平均每天多售出300张”等价于“每降低1元那么商场平均每天多售出3000张”，同样“每件提价5元出售其销售量就将减少100件”等价于“每件提价1元出售其销售量就将减少20件”。教会学生将问题这样一转化，相信学生以后再遇到类似题目的时候就能主动运用化归思想，轻松解决这类问题。

再如，很多学生爱玩的“一笔画”智力游戏其实就和数学上经典的“七桥问题”一样，这是一个应用数学的好例子。学生反复尝试，有成功也有失败。图形是变化无穷的，而我们无需掌握所有的图形。就像“七桥问题”那样抽象出基本要素，我们先探索简单图形的规律，然后再用较复杂的图形验证。这个过程需要学生自己观察、猜想、归纳、验证和使用。我们只需了解：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以将任一偶点作为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图;凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点则是终点;其他情况的图都不能一笔画出。掌握了基本的数学思想方法，我们就可以以不变应万变了。

在解题教学中，还应适时采用一题多解、多题一解的教学方法，将蕴含其中的数学思想方法明确化，使学生掌握其中规律，进而使学生的能力得到提高。

4.在基本技能训练中渗透数学思想方法

在数学教学过程中，一些基本技能的训练是必不可少的，思想方法的指导不仅有利于学生熟练解决各种问题，更能引导他们从教师指导的各种方法中“悟”出其一般性，引导学生从学会解决一个问题过渡到解决一类问题，进而理解解题方法的实质，也就是我们的目的――渗透数学思想。

基本技能训练主要是针对一些基础的知识和技能的练习，其主要目的是帮助学生巩固旧知。在练习课和复习课中，很多教师把基础练习只作为引入的部分，而把“渗透”的重点放在后面的题组上，这样做无疑降低了基础练习的功能。基础练了回顾旧知外，还应该激发学生思维，为数学思想方法的“渗透”进行预设。

例如，在讲解因式分解一课时，需要训练学生将代数式进行“和差化积”的基本技能。这项技能很难引入“实际情景”加以诠释，也没有方法在一开始就阐明因式分解的意义和价值（往往到一元二次方程求解时才显出其作用），完全是为以后的代数方程的求解做准备的。但是，如何进行因式分解，则与数学思想方法紧密相关。李庾南老师设计了3个尝试题：（1）ab+ab，（2）x-4，（3）m-m+。让学生尝试将这些具体的代数式设法进行“和差化积”。学生可能成功也可能失败。于是李庾南教师进行启发诱导：我们能不能“逆向”使用乘法分配律？“逆向”运用平方差公式”？“逆向”使用平方和公式？经过点拨，学生恍然大悟，将这3个尝试题中的多项式化成了两个单项式的相乘。有了“公式和规律”逆向使用的基本数学方法作为指导，因式分解的本质就显得十分简单了。以后的任务便是大量地变式练习、学习技巧，形成熟练的因式分解运算能力。因式分解模块，技能训练为主，点睛之笔是“逆向思维”方法，在课堂上只有几分钟，意义非凡。

实践证明，要使学生提高解题技能，让学生掌握一定的指导解题的思想方法是非常必要的。

5.在实践活动过程中渗透数学思想方法

数学思想方法不仅是在探索推演中形成的，还需要在数学活动经验的积累基础上形成。因为数学源于生活，而生活中处处有数学，我们必须结合学生的生活经验和已有知识，设计合理的数学活动，引导学生在生活实例中发现数学问题、探究数学规律、感悟数学思想方法，让学生深切地感受到数学与现实生活的密切联系。《新课标》就专门设计了“综合与实践活动”的课程内容，有了多种形式的数学活动，数学思想的教学才能避免空洞的说教。在设计实践活动时，教师要引导学生在知识的发生发展过程中领悟数学思想方法，并将之应用到实践中，逐步达到自觉熟练的程度，以此提高自己的数学能力。

6.在阶段复习的过程中渗透数学思想方法

复习课需要整体梳理基础知识，让学生了解知识系统网络的构成。只有让学生建立了自己的知识网络体统，吸收新知识的时候才能更迅速、有效。数学思想方法正是知识间相互联系、相互沟通中的纽带，可帮助学生合理构建知识网络，优化思维结构。反之，在梳理知识的同时，引导学生对学习的各种数学思想方法的作用进行归纳、整理和提高，能促使学生加深对数学思想方法的认识，从而达到系统掌握的目标。

例如，在进行初三总复习时，可以有目的地开设数学思想方法的专题复习讲座，以初中数学中常用的数学思想方法（如：数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归）为主线，把中学数学中的基础知识有机串联起来，让学生深刻领悟数学思想方法在数学学科中的支撑和统帅作用，进一步完善学生的认知结构，提高学生的数学能力。

7.通过考试检测数学思想方法的教学效果

考试对教学有引导的作用。近几年的高考和中考都将数学思想方法列入考核的范围，可见数学思想方法的掌握越来越受到重视，所以我们平时在考试时也要考虑到对数学思想方法的检测。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用过程中。因此，对数学思想方法的考查需要和数学知识的考查结合起来，通过学生对数学知识的理解、掌握和应用的状况了解考生对数学思想方法的理解和掌握的程度和水平。考查时，要从学科整体意义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效检测学生对数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度。根据这一思路，我们关键是要做好考试题目的设计、搭配，考卷的批改和讲评。

总之，要想贯彻数学思想方法的教学，我们首先要把握教材的全部内容及蕴含在其中的基本数学思想方法，同时要事先考虑，在哪些知识点、哪些环节可以运用哪些数学思想方法，以及哪个重要的数学思想方法可以在哪些知识点中进行渗透。这样才能有计划、有步骤地将渗透数学思想方法的策略落到实处。

参考文献：

[1]张奠宙，郑振初.“四基”数学模块教学的构建――兼谈数学思想方法的教学[J].数学教育学报，2011.

[2]吴炯圻，林培榕.数学思想方法――创新与应用能力的培养[M].厦门：厦门大学出版社，2009.

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一、思想引领方法，燃起学习数学思想的欲望

学习了解析几何的第一章直线以后，高二学生对待定系数法有了进一步的认识，在第二章圆的学习中，应该说是“顺水推舟”了.

例1 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0所截弦长为2的圆的方程

分析 待定系数法运用的过程，即是方程思想的运用过程.有几个“等待”确定的未知量，即需由题设条件列几个方程.在圆的方程中有三个量a，b，r只需由题设条件列出有关a，b，r的三个方程.在方程思想的引领下，待定系数法的运用就非常自如.数学思想是对数学理论的本质的认识，而数学方法则是其数学理论的具体化.

二、在碰壁中归纳，竟显数学思想的身价

数形结合思想，方程思想的学习对高二学生来说并不是很困难，但在选修2-1的圆锥曲线中，对学生的数学思想，数学能力的要求就有了进一步提高.如在求解离心率，渐近线时，学生觉得有困难，这时在例题讲解时，归纳数学思想方法就很有必要.以不变的数学思想方法解决形形的各种题，让他们胸有成竹，信心倍增.

例2 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为p，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .

分析 求离心率即求的是a，c两量的关系，这个目标先应让学生清楚.把求离心率的问题转化成求a，c两量关系问题，而从题设中得到的可能是a，b，c三量之间的关系，此时只需要把b用a，c表示即可.

解一 利用椭圆定义直接找a，c关系.

F1PF2为等腰三角形.

|PF2|=2C，|PF1|=2 2 C.

|PF1|+|PF2|=2a， 即 2 2 C+2C=2a，（ 2 +1）C=a，e= c a = 1 2 +1 = 2 -1.

解二 P c， b2 a ，F1PF2为等腰三角形，|PF2|= F1F2 ， b2 a =2Cb2=2ac.a2-c2=2ac.e2+2e-1=0e= 2 -1.

例3 （2010浙江理科高考第8题）设F1，F2分别为双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1（a.>0，b>0）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|= F1F2 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的渐近线方程为（ ）.

A.3x±4y=0 B.3x±5y=0

C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

分析 求渐近线方程y=± b a x，即找a，b两量关系，与离心率一样转化成求a，b，c三量之间的关系.过F2作POPF1，O为PF1中点F2又到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a F2O =2a， PO = 4c2-4a2 =2b.|PF1|=4b.再利用双曲线定义即找到了a，b，c三量关系，|PF1|-|PF2|=2a.4b-2c=2ac2=（2b-a）2.

a2+b2=4b2+a2-4ab.3b2=4ab. b a = 4 3 .

归纳：（1）题中运用了数形结合思想，转化思想，求离心率，渐近线问题转化成求a，b，c三量关系.

（2）寻找a，b，c关系，通常从两个方向进行“几何与代数”，分析题设条件，充分挖掘几何条件.

通过实例归纳，体会数学思想，让学生从心底感受到在不变的数学思想下，方法才得到实现，实实在在感受到数学思想力量的强大.

三、在反思中巩固，体会数学思想的力量

1.多法并举，不断深化

方程的方法和数形结合的方法是解决解析几何问题的两大方向，这两种方法都要求学生在平时训练中，尝试，比较.在练习，比较中让他们体会利用方程解决问题时必须注重严密性，利用数形结合时要充分利用几何性质，体会它的优越性.通过一题多解，一题多变，拓展延伸的训练，引导学生多方位，多视角思考问题，发现问题.教会学生如何进行多角度转化，如何获得解题思路，掌握数学思想.

例4 如图，M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM=60°，求 FM .

解一 过M作MN准线，垂足为N，记准线与x轴交点为T

∠xFM=60°，

∠NMF=60°， MN = MF .

MNF为正三角形.∠NFT=60°.

在RtNTF中 TF =2， NF = MF =4.

解二（方程思想） 过M作MSx轴于S

令 MF =t，则 MN =t，MSF中∠MFS=60°. FS = t 2 . TS = TF + FS ，得 t 2 +2=t，解得t=4.

解三 直线MF方程为：y= 3 （x-1）设M（x1，y1）.y= 3 （x-1）.

y2=4x，消y得：3x2-10x+3=0.解得x1=3，x2= 1 3 （舍）. MF =3+1=4.

2.纠错反思，及时巩固

“失败是成功之母”，错了以后要让学生反思此题考查了什么思想方法，以后会运用这种思想方法的时候要注意什么？解题后反思能够培养学生良好的思维品质，既可促进“双基”的掌握，又能加强知识的有效迁移，是提高解题能力的重要途径，有了良好的思维品质，就有了良好的思维习惯，通过反思让学生在不断的知识联系和整合中，丰富认知结构中的内容.通过不断地反思总结，才能及时巩固并运用数学思想，才能在解题时做到有的放矢，思维优化.

四、在运用中提升，感受数学思想方法的强大

例5 设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在 3，4 上至少有一个零点，求 a2+b2的最小值.

解 把等式看成关于a，b的直线： （x2-1）a+2xb+x-2=0利用直线上的一点到原点的距离大于原点到直线的距离，即 a2+b2 ≥ |x-2|[] （x2-1）2+（2x）2 .

a2+b2≥ （x-2）2 （x2-1）2+（2x）2 = 1 （x-2）+ 5 x-2 +4 2 ≥ 1 100 ，x-2+ 5 x-2 ，x∈ 3，4 是减函数，当且仅当x=3时取最小值 1 100

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关键词： 数学思想 大学课堂教学 渗透方法

新世纪中国大学生迎来了更多的机遇和挑战，快速发展的时代对当今大学生掌握知识的质和量有了更高的要求.著名科学家华罗庚说：“只教会了学生知识，没有发展学生思维的教师不是好教师.”在当今大学课堂教学中，大学生思维能力的培养与数学思想的渗透有着更紧密的联系.从某种意义上说，在课堂教学中渗透数学思想比单纯地传授某一知识更重要，它不仅能提高学生分析和解决数学问题的能力，还能启发和帮助引导学生将这种能力迁移到对其他学科的学习和深层研究上，从而让学生终身受益.

一、常用的几种基本数学思想

数学思想是对数学概念、理论和方法的本质认识.大学教师只有明确了各种数学思想的含义和本质，才能在课堂教学中得心应手地渗透这些思想.常用的基本数学思想有以下几种：

（一）分类思想

分类思想是依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种数学思想.如空间解析几何与向量代数中的向量线性运算、向量积、曲面及其方程等内容的分类，几何图形及其位置关系的分类，数学分析中的极限、导数和微分、积分等内容的分类.分类思想还体现在概念的定义中，如函数间断点的分类：

函数间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断点？摇第二类间断点无穷间断点振荡间断点？摇

运用分类思想时，要注意分类的对象既不重复又不遗漏，还要注意每次分类必须保持同一标准.例如对“推理”这一概念的分类，如果按照推理的运动过程划分，则推理可以分为归纳推理、演绎推理和类比推理三类；如果按照其结论真实程度划分，则推理可分为可靠推理（结论为真）与似真推理（结论可能真，也可能假）两类.

分类思想的运用有助于学生归纳和巩固所学的知识，使知识更条理化、系统化，从而形成一个网络化的知识结构.同时，还有利于提高学生的解题思维能力，在解答较复杂的问题时可以运用分类思想，把复杂问题分解成几个简单问题，从而找到问题解答的正确途径.

（二）类比思想

类比思想是指在两类不同的事物或两个不同的数学问题之间进行比较，找出若干相同或相似点以后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方法.类比思想在数学教学中有着广泛应用，具体表现在数与式之间、平面与立体之间、一元与多元之间、低次与高次之间、相等与不等之间、有限与无限之间.数学中有不少定理、法则往往是先用类比的思想方法引入，然后加以严格证明的.比如在平面直角坐标系下有：直线的一般方程，Ax+By+c=0；

通过类比但未得到证明所引出的结论并不一定真实，需经演绎证明.尽管如此，它在课堂教学中仍有着举足轻重的作用.

1.解释性作用

类比能把已知对象的明确性和可理解性迁移到所研究的对象上，使学生更易于理解那些较难的知识.比如，设力F与位移S成θ角，物体在力F的作用下产生位移S，因而力F对物体所做的功为|F|・|S|cosθ.此例说明，力对物体所做的功，可以看做力F和位移S这两个向量的某种运算的结果.类比这个例子的明确性和可理解性，引出向量数量积的概念，可以使学生加深对该概念的理解，从而使所学知识更巩固、更扎实.

2.探索和发现作用

如前所述，与平面里的点与线、线与线的关系类比，学生可以探索在空间里点、线、面相互间的关系和性质，并通过类比得出一系列结论（推测性的），然后深入探讨并加以论证，会掌握一部分结论的真假，从而激发学生进一步探寻和发现新知识研究新知识的兴趣.

学生在运用类比思想解决问题时，根据需要，有时对概念、结论进行类比，有时对方法进行类比.

（三）化归思想

在数学研究中，对一个新问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或容易解决的问题，这种解决问题的思想叫做化归思想.如解析几何，就是将几何问题通过建立直角坐标系化归为代数问题，再由代数问题化归为方程求解问题.

教师在课堂教学中渗透化归思想，可以帮助学生寻求解决新问题的突破口，加深对知识内在联系的认识，训练学生思维的灵活性，培养学生辩证分析的观点，使学生认识到事物都是可以互相转化的.各学科的学习也是如此，关键是把握事物间的内在联系，寻求问题转化的途径.一旦完成了转化，问题就纳入到了一个熟悉的渠道，解决起来自然水到渠成.

（四）归纳思想

研究一般性问题时，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从中归纳发现一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方法被称为归纳思想.很多数学知识的发生过程就是归纳思想应用的过程.运用归纳思想，可以培养学生观察事物、归纳发现规律的能力；可以培养学生透彻分析、概括事物的能力，从而使学生对有关知识的认识更深入，理解更透彻.

二、数学思想渗透的途径及方法

明确了常用的基本数学思想的含义，那么在课堂教学中如何渗透呢？笔者认为，应抓住整个课堂教学的全过程.在教学过程中，不失时机地进行渗透.课堂教学的过程是师生共同活动的过程，教师要精讲，学生要精练.教师传授知识，讲解题目，揭示解题规律；学生应同步思维，巩固知识，进行技能训练.具体说来，有以下几条途径：

（一）教师在传授知识时渗透

数学知识包括数学概念、公式、定理……这些知识的形成，都有一个过程.教师在课堂教学中，应重视知识形成的过程.在其中渗透数学思想，是一条重要的渗透途径.任何知识形成的过程，一般都是由感性到理性，由具体到一般，由旧知到新知，由简单到复杂……根据这一规律，教师可以渗透归纳思想.根据知识由旧知到新知，由简单到复杂的形成规律，反过来逆向思维，新知也可以化归为旧知，复杂也可以化归为简单，教师可以渗透化归思想.下面就归纳思想和化归思想在传授知识时的渗透方法举例如下：

1.归纳思想的渗透

由上述两例看出，渗透化归思想的关键应抓住两点：一是明确朝什么方向化归，即化归成什么问题；二是采取什么手段和方法化归.抓住了以上两点，化归的目的就达到了.

（二）教师在对学生进行技能训练时渗透

在将数学思想渗透到教学过程中，师生共同活动，教师主导（设问、启发、引导）、学生主体（动口、动手、动脑）、训练主线（思维、技能、训练），一一得到充分体现，课堂气氛活跃.对学生进行技能训练或实验课教学中，抓住训练良机，再一次向学生渗透数学思想.因此，教师的任务主要是设计好体现数学思想的训练课题和实验方案，让学生通过训练或实验，激发思维，更好地掌握运用数学思想，增强应用能力和实践能力，进一步树立积极创新的意识.

数学思想在课堂教学中的渗透，自然对教师提出了更高的要求：既要加强学习，不断提高专业水平以适应教学需要；更要认真钻研教材，挖掘教材中渗透数学思想的因素，设计好如何“渗透”的具体措施和体现数学思想的技能训练习题.

综上所述，数学思想在课堂教学中的渗透，大大调动了学生在学习中运用数学思想的积极性，使学生分析和解决数学问题的能力得到了迅速提高，有助于进一步发展大学生的思维能力、研习能力和创新意识，同时也为课堂教学的改革和教学质量的提高起到了极大的促进作用.笔者深信：只要全体教师都认真研究它、实践它，不断探索，不断总结，那么数学思想在课堂教学中的渗透，必将大大提高大学教学质量.

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一、创设生成，“比”中引新

没有创设的课堂教学往往是盲目、低效的，谈不上有效生成。教师只有在课前深入解读和挖掘教材，并根据学生的知识与生活经验，选择好教学方法，才能充分把握引入新知环节，在学习过程中促使生长因素产生的可能。例如，在教学“确定位置”这节课时，笔者创设了这样的问题情境：7位同学排成一行，其中有1位是班长，请你用自己喜欢的方法表示出班长的位置。同样是班长的位置，学生各有各的表示方法与理由，但有些表示方法还得经过解释，别人才能明白的，“怎么办”，这就引起学生的认识冲突，是一个创设生成、比中引新的好时机。此时，笔者引导学生进行对比，发现学生所说的“组”是竖排时，马上引入：“在数学上我们规定把竖排叫作‘列’，横排叫作‘行’。”有了这个规定后，再搭建出另外6位学生位置的教学情境，并用同样的方法记录下他们的位置。同时提出：“比一比，谁记得又快又准确。”此时，学生就遇到了书写繁杂的困难。如何帮助学生解决书写的难题，新课教学的资源也由此产生，同时为后继“数对”的有效生成埋下了伏笔。

对比中的情境创设使课堂生成更为丰富多彩。因此，在新课教学时，教师要善于抓住生成的节点创设对比问题，引入新知的教学也就自然、顺畅了。

二、巧设生成，“比”中挖新

新课程改革要求以动态生成的视角看待数学课堂教学，在进入教学过程后，学生常有问题衍生，有不同见解产生或有疑惑发生等。而这些课堂现象，恰恰具备生长性和生成性，教师如果不会巧妙加以运用，不把它们作为教学的突破口，便会失去非常珍贵的教学资源。例如，在教学“确定位置”中的“数对”这个新知识点时，笔者不是直接告诉学生什么是“数对”，而是让学生思考“如何用简洁的方法表示班长的位置”。此时，学生根据已有的生活经验写出了许多自己认为最简洁的方法。这些不同见解让学生产生了认识冲突，教师应把握时机，让学生通过比较，得知想法虽不一样，但这些表示的方法都有共同的地方――都有4和2这两个数。这时，教师很自然地引入了新知――数对，及时教给他们数对的正确表示方法。在课堂教学中，当学生对新知有一点认知时，及时大胆地放手让学生发表见解，在讨论中感悟与旧知识的联系与区别，及时通过多种方法对比发现它们的共同点，教学重点就能及时突破。

因此，课堂上教师要学会适时大胆放手让学生去构建新知，认真倾听学生的发言，及时做出反应，采用适当对比教学策略突破教学重难点，为课堂教学创造契机。

三、互动生成，“比”中更新

课堂教学不在于教师讲得如何精彩，而在于能否适时激起学生的认知冲突。通过互动学习，对比知识，让学生提炼出有价值的数学信息，这样的课堂才精彩。笔者教学“确定位置”一课，当学生已经会用数对表示班长的位置时，就让学生练习用数对表示自己好朋友的位置。当有学生说好朋友坐在“第2列、第4行”r，笔者就抓住这个时机，故意出错，提出（4，2）。然后引导学生通过对比不难发现，虽然数对（4，2）和（2，4），都是4和2这两个数组成的，但表示的意义完全不同。让学生清晰地认识到数对中前面的数字表示“列数”，后面的数字表示“行数”；表示数对的数字谁在前谁在后很重要，两个数字交换位置，对应的位置也就不同了。此时笔者再提高要求，出示（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5），请相应数对的学生站起来。笔者抛出问题：“怎么就站成一队呢？”如何进一步化解这个困境？学生思考讨论后，笔者引导他们通过对这5个数对的对比发现列数都是“5”，说明他们都在第5列，当然就站成一队。这时学生学到的新知得到进一步的应用，一比洞察，二比就洞知了。通过两次的强化对比，为数对确定位置的严密性搭建了平台，使整个教学过程具有挑战性。

因此，在课堂教学中，学生通过对比，自己更新了对知识、能力、情感的认识，只有这样的生成，才是课程改革后应该有的课堂。

四、意外生成，“比”中创新

小学数学课堂教学是一个动态生成的过程，存在着许多不确定的因素。也就是动态生成的信息往往在我们的意料之外，这就是我们所说的意外生成。这时，教师要处变不惊、机智调控、巧妙引导，让意外生成演绎成推动教学有效发展的有利因素，并引导学生在比较中学会创新，从而培养学生的创新思维能力。例如，教学“确定位置”，笔者出示数对（x，4），让学生发现这个数对可以让一列的同学站起来。这时，有学生就兴奋地说，他也可以用一个数对让全班同学都站起来，那就是数对（x，x）。对于这个意外生成，笔者顺势让符合要求的学生起立，结果全班学生都站了起来。笔者适时引导：“当x等于1时，该谁站起来？当x等于2呢？”此时，有部分学生开始犹豫了，也有部分学生重新坐了下来。教师顺势质疑：“奇怪，有人开始坐下去了。不是说字母可以表示任何数吗？你们怎么就坐下呢？”学生表示：“字母是可以表示任何数，但当x等于1时，只有（1，1）可以站，同样，当x等于2、3、4时，只有（2，2）（3，3）（4，4）可以站起来，其他人都不能站。”通过举例对比，学生的新知又生成了，要让全班站起来可以用数对（x，y）来表示。本节课就是有了笔者这一个小小的引导对比，学生才有了新的发现，在“比”中学会了创新。当然，这种互动时常会让教师面临挑战，这就需要教师处理好意外生成，最终形成自己的教学智慧。

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中国数学教育的某些优势是明显的，上海参加PISA测试的学生在65个国家的同龄学生中脱颖而出，在阅读（Reading）、数学（Math）和科学（Science）三项评价中均大幅领先排在第一位。在2014年5月召开的首届华人数学教育会议上，有专家认为：中国数学教育的主要优势是“双基+变式练习”，中国数学教育主要有三个弱项：独立思考、问题解决、创造性。因此，中国学生创造性地解决实际问题的能力还有待提高！

在2014年10月召开的中国教育学会小学数学年会上，美国陶森大学孙伟教授认为：美国数学教育学生分为三个层次：前20%，高中学习Advanced Placement（大学先修课，其中有一批优秀的学生已经修完了微积分课程）；中间60%，基本达标；20%，不达标（上社区大学后需要补中学甚至小学数学的内容）。修完微积分的学生主要是基于兴趣学习数学，其中部分学生进入大学后继续研究数学。

美国特拉华大学蔡金法教授通过比较中美学生在四类数学任务上的表现后发现，中国整体水平（平均数）高于美国，极差和方差小于美国，高水平的低于美国，低水平的高于美国。这说明中国保底教育搞得好，人人获得良好的数学教育；但是上面封顶了，不同的人在数学上没有得到更好的发展，中国尖子生不如美国的发展得好。

作为一名小学数学教师，首先要恰当地继承我国数学教育的优良传统和经验，改变教师讲授、学生听的单一模式，引导和启发学生独立思考和创造。培养独立思考能力应该加强主体性教学，引导学生学会数学地思考，会运用数学思想和方法解决问题。我们还应学习西方的优点，今后应该把天花板盖高一些，给优秀的、有兴趣学习的孩子提供更大的空间，减少不必要的过度的训练，让那些想学习的孩子不要在题海战术中消磨了进一步学习的热情和创造力。其次，为我国经济的转型升级和可持续发展培养人才打造小学数学教育的升级版：①构建小学数学核心素养（学什么），②探索主体性教学模式 （如何学好），③建立新的评价考试体系（到底学得好不好）。

二、小学数学核心素养主要指标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出了“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）、“四能”（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题）、十大核心概念（数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识）。

高中数学课程总目标（修订草稿）指出：在义务教育阶段学习的基础上，通过高中数学课程的学习，进一步提高作为现代社会公民所应具备的数学素养，特别是数学核心素养，促进全面、可持续发展。使学生获得“四基”、发展“四能”、学会“三用”。高中数学课程标准跟小学义务教育课程总目标一致，进一步明确了至少未来5年、8年我们要沿着“四基”“四能”的方向去努力。

数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现。数学核心素养既反映课程内容的主线，聚焦课程目标要求，也是学业质量标准的集中反映。高中阶段数学核心素养包括： 抽象能力、逻辑推理、数学建模、直观想象、运算能力、数据分析。更一般地说，还包括学会学习、数学应用、创新意识。

小学数学核心素养可以从以下几方面来认识。

知识：概念、公式、法则、性质、定律等是基础。

能力：运算、推理、空间想象、数据分析、几何直观、解决问题（纯数学、联系实际、开放性）建模。

思想方法：理性思维的升华，是核心素养的核心。

三、小学阶段重要的数学思想

抽象、符号化、模型、化归、推理、方程和函数、数形结合、分类讨论、统计、极限、假设、分析与综合、变中有不变、变换、算理算法都是小学阶段涉及的重要的数学思想。

（一）抽象思想

1. 抽象思想的概念。数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。

2. 如何理解抽象思想。（1）数学抽象在数学教学的过程中无处不在。 任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习，都要用到抽象概括。（2） 数学抽象是有层次的。随着数学的发展呈现出了逐步抽象的过程。如，数的发展，从结绳记数得到1，2，3，……等有限的自然数，再通过加法的运算，得到后继数，形成了无限的正整数序列： 1，2，3，……，n， …… 在此基础上形成了正整数集合N。

3. 抽象思想的应用。抽象思想在数学中无处不在。如一年级上册，在教学10的认识时，多数教师会结合计数器、点子图、小棒等直观教具认识到9添上1是10，然后再进一步学习10的组成及加减法。没有引导学生思考：10与前面学习的0～9这些数有什么不同？这里实际上隐含一个非常重要的思想方法――数学抽象，它比8和9的抽象水平更高，因为10不仅是对任何数量是10的物体的抽象，而且进一步地说它已经不再用新的数字计数了，而是采用了伟大的十进位值制计数原理。

4. 数学抽象思想的教学。

具体 抽象 具体

情境 模型 应用

注意，这里的模型是广义的，数学概念、法则、公式、数量关系、规律等都可以理解为模型。

（二）模型思想

1.模型思想的概念。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性，即把数学模型描述为事物系统特定的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，主要从狭义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。

2.模型思想的重要意义。模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位。如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题。当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。

2011版课程标准与原课程标准相比有了较大变化，在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。

3.以数学模型为核心的问题解决的教学。传统上应用题的结构与四则运算、混合运算相匹配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较，现在有问题串，这些都是很好的做法和经验，是知识结构的基础，但这种结构是线性的。

我们以基本模型和问题为核心，构建问题链，可以是网状结构，从而最大限度地整合丰富多彩的问题。以s=vt为例，模型结构图如下，a是常数。请老师自己编题。

（三）推理思想

1. 推理思想的概念。推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。

2. 推理思想的重要意义。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。人们在利用数学解决各种实际问题的过程中，虽然大量的计算和推理可以通过计算机来完成。但是就人的思维能力构成而言，推理能力仍然是至关重要的能力之一，因而培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一。

3.推理思想的教学。就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点。第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论，演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。二者在数学中的作用都是很重要的。事实上，小学数学教材和教学长期重视归纳法，现在应加强类比法、演绎推理。如，整数乘法运算定律推广到分数，学生已有的知识基础是分数的运算顺序、整小数运算律；教学时，可不必再探究，直接引导学生类比。第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合，在教学过程中要给学生提供各个领域丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时要考虑学生的认知水平和接受能力。

四、如何进行数学思想方法的学习研究

首先，要转变观念，提高认识。建立现代数学教育观、落实新课程理念，培养人的理性精神、逻辑思维、解决问题的能力；提高教师专业素养、提高教学水平，授人以渔、既见树又见林，实现高观点下的小学数学教育；提高学生的思维水平、培养“四能”，认识数学的价值（不能单纯地认为数学是考试升学的工具）。

其次，注重团队研修。有条件的话，本校所有数学教师全员参与，按照主要的核心素养和思想方法，如抽象、推理、转化、数形结合、模型、方程与函数、统计、其他等分成若干个专题，在一年的时间内，大约一个月搞一次专题研修活动，所有教师分成几个小组，每次活动以一个小组为主，汇报一个专题的学习研究成果。

再次，将理论学习与教学实践结合。在一年的时间内，可根据教学进度确定每个月的交流专题，每个教师的汇报能够结合案例，最好是在课堂中进行几次教学实践探索，总结比较成熟的经验，便于在全校教师中推广。

篇9

北京师范大学出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书》将《数学史选讲》作为选修课程之一单独成册.许多老师问为什么要这样做？我认为可从以下现象中获得答案：在近些年的数学课堂教学中很多老师只注重数学知识结果的教学，而普遍忽视对数学背景、数学知识发生发展和应用的教学（即章建跃老师说的“重结果轻过程”、“教育功利化下的短期行为”），从而使得学生长期学习数学，而不知道数学到底是什么，学习数学有什么用.这些现象说明教师没有有效利用数学文化的价值去提高数学课堂的趣味性、人文性和应用性.《普通高中数学新课程标准》将“体现数学的文化价值”作为一个基本理念，提出了对“数学文化”的学习要求.这充分表明数学文化已经是一种理念要求并开始走进中学课堂，需要我们渗透到数学课的实际教学中去.

其实新课程教材对数学文化相关知识的准备是非常丰富的，例如必修1-5部分（北京师范大学出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书》，下同）一共编写了十九篇“阅读材料”，选修系列2部分一共编有十篇“阅读材料”，还有很多章节间以各种形式呈现了有关数学史上的故事等等.这些内容既包括数学思想、数学精神和人文方面的，也包括数学史、数学家、数学观点、数学思想、数学思维、数学精神方面的.这样编写的目的正如教材“前言”所说：“希望同学们不仅有坚实的知识基础，而且有开阔的视野，能从数学历史的发展足迹中获取营养和动力，全面地感受数学的科学价值、应用价值和文化价值……”本文将从两个方面探究如何利用数学课堂进行数学文化渗透，期望能够抛砖引玉.

首先，依循数学知识的发生发展过程，渗透数学文化.

以必修1的函数模块来说：函数的概念及思想方法贯穿高中数学课程的始终，渗透到数学的各个领域，在高中数学中的地位非常重要，但函数知识抽象难懂，尤其概念方面的.教学时不妨通过渗透“函数概念的发展史”来帮助学生从初中阶段的直观解析式的函数观过渡到高中以对应关系为核心的函数观.这样学生既能了解到函数概念的发展历史，又能更好地理解函数的概念.再通过渗透“函数是如何进入中学数学的？”可以加深学生对函数思想（对应与变化）在中学数学学习中重要作用的了解.

数学的产生和发展，始终与人类社会的生产、生活有着密不可分的联系.任何一个数学概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需要.因此，在课堂教学中，每一个新概念的引入，都要注意强调它的现实背景、理论发展的背景和数学发展历史上的背景，从而使得教学更加自然、亲切，让学生感到知识的发展是水到渠成而不是强加于人，从而有利于学生认识数学内容的实际背景和应用的价值.通过阅读、学习典型数学史料，让学生亲历知识点形成关键时期数学家对于该知识点内容的探究活动，感知数学知识的发现历程，从而理解科学发现的艰难曲折的过程.数学思想、数学思维、数学精神等一些数学文化的精髓都依附在知识发生发展的过程中，只有让学生参与这些知识的发生发展过程，并对这些知识进行有意识地建构与反思，才有可能感受到数学文化的丰厚内涵.因此，在教学过程中，适时展现知识的发生发展过程，随着数学文化的渗透，数学的文化品质也就注入了学生的心灵深处.

其次，学习数学史上的经典故事，渗透数学文化.

莱布尼兹说：“了解重大发现，特别是那些绝非偶然的、经过深思熟虑的重大发现的真正起源，是极为有益的.”数学史是认识数学的基本依据，是数学文化的重要载体.《选修3-1数学史选讲》向学生介绍了许多数学家的故事和趣闻、数学发现、数学发展史等文化知识.作为教师，除了指导学生去课外学习这些数学文化知识之外，还要结合数学课堂适时渗透.比如必修5第109页的“人的潜能——Dantzig的故事”就非常经典.通过这样的事例，学生将会提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神.正如老一辈数学家余介石先生论及数学史的教育价值所言“……历史之于教学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也.”对数学史价值的评价可谓一语中的.

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【关键词】中职 学前教育专业 数学课程 设置

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）11B-0028-02

随着《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》的颁布与实施，以及人民生活水平的提高，我国的学前教育得到了前所未有的重视，曾经被人们忽视的学前教育专业，如今已经成为教育事业关注的重点。但是，学前教育专业毕业生的理论功底较薄弱，学生在毕业实习和顶岗实习期间的幼儿园数学教育活动的组织能力、实践操作能力、教学具制作能力比较弱，主动开展数学活动的积极性不强，数学素质令人担忧。造成这种状况的原因是多方面的，除学生基础薄弱、数学理解能力差外，课程设置本身也存在很大的问题。本文就学前教育专业数学课程设置做一些探讨和思考，以提高学生幼儿园数学教育能力和数学素质。

一、目前学前教育专业数学课程存在的问题

首先，数学课程设置单一，课时少。在前三个学期开设数学基础模块课程，每周2个课时，每个学期大约上课18周，三个学期共大约108课时；在第四、第五个学期开设“幼儿园数学教育活动指导”课程，第五个学期的最后一个月通常是实习时间，每周也是2个课时，两个学期大约是64个课时。其次，数学教学内容多、实用性不强，与专业就业相脱节。最后，“幼儿园数学教育活动指导”课程是实践课，教学内容主要是介绍如何进行幼儿园数学活动设计与组织，侧重于教学方法，涉及学前儿童数学学习的认知和心理特征等理论严重不足。

二、数学课程设置思考

鉴于学生的数学基础和课程设置的现状，中职学前教育专业数学课程设置的改革可以做如下尝试。

（一）关于数学基础模块。建议将数学课程的教学内容分为集合与简易逻辑、不等式、函数、数列、空间与图形、概率与统计等六章即可。

第一章“集合与简易逻辑”。“集合”的概念是幼儿最先接触的数学知识，是现代数学最基本的一个概念，可以说，整个数学都建立在集合的基础之上。对集合的感知教育是幼儿学数前的准备教育，是幼儿理解数学的起点，是他们学会计数、理解数的实际意义等的基础。对学前教育学生来说，集合知识是必需的，但集合的运算一定要以学生未来职业环境中的例子来帮助其理解。简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，学会逻辑连接词“或、且、非”及四种命题等，让学生具备初步的逻辑知识。

第二章“不等式”。“不等式”的内容，主要有一元一次不等式（组）、一元二次不等式、含绝对值的简单不等式，用不等式知识解决简单应用题。这个内容要注意培养学生的代数分析能力和等价转化能力，渗透数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法，在解决实际问题中体会不等式知识在生活中的应用，学习从实际问题中抽象出数学模型从而解决问题。建议其中不等式的证明不作为难点要求，还有最后给出解一元二次不等式的一般步骤时还是要结合一元二次方程的图象即抛物线的位置和开口方向来帮助理解更加直观，避免死记硬背。

第三章“函数”。对中职学生来说，“函数”是不好理解的一个概念，原因是学生缺乏用运动变化的观点来看待事物的性质。正、反比例函数，一、二次函数等简单的函数在初中已有学习，在这里用新的方法来研究这些函数的图象和性质，从单调性、奇偶性来进一步认识函数，进一步培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法。建议函数的单调性的证明不作为重难点要求，学会运用图象法观察得出函数的单调性即可。对指数函数和对数函数这两个有重要应用的初等函数来说，学生感觉难度很大，要达到理解的程度是相当困难的，特别是对数函数的运算与应用，只能降低要求。对以角为变量的三角函数来说，虽然其与生活联系紧密但是生活中基本直接能看到模型的不多，学生感觉三角函数定义抽象，符号抽象，公式繁多。学生感觉这些知识无用，三角函数的实际应用难。对学前教育来说，三角函数这个内容要保留多少值得探讨。

第四章“数列”。数列是数学知识体系中的重要内容，数列问题是数学思想方法的良好载体，数列中的函数思想、递推思想都是解决问题的有效的思想方法；数列对学生思维能力、运算能力、实践能力、创新意识的培养具有极其重要的价值。对学前教育专业学生来说，不必也无法深入地学习，要求了解理解等差、等比这两种特殊的数列，会解决一些简单的数列问题，了解这两种数列在银行信贷、养老保险、增长率等经济生活领域中的作用即可。

第五章“空间和图形”。在空间方面，要求学生能够准确辨别空间方位同时能够用镜子指导方位，即用自己相反的方向教导幼儿认识空间方位的方法，因为在幼儿园活动中经常要用到镜面示范法。在立体图形方面，要求学生能够将生活中常见的正方体、长方体、圆柱体、球体等各种几何体的概念准确地用幼儿语言和数学语言表述出来，能够画出它们的直观图，要求图形美观，有立体感，同时能够将生活中常见的一些几何体进行熟练地拼组与制作，让学生根据学习的内容制作幼儿园的教学工具、玩具，学会幼儿园活动区角的布置，为幼儿园的环境创设打下良好的基础。立体几何中的线面平行、面面平行，线面垂直、面面垂直、二面角等概念、定理的证明、多面体和旋转体侧面积和体积的计算等内容并不适合该专业的学习，建议舍弃。

第六章“概率与统计”。对学前教育专业学生来说，由于没有排列组合的知识，只学习概率的初步知识而已，也就是能理解会计算随机事件发生的概率，特别是古典概率的计算即可。概率的加法公式与乘法公式不作要求。“统计”在幼儿园数学教育内容中有涉及，所以学前教育专业的学生学习一定的统计知识是必要的，要求会制作条形图、圆饼图、表格、柱形图等来表示统计的结果。

（二）关于“幼儿园数学教育活动指导”课程。这个课程分成两个部分，前一部分是关于幼儿园数学教育的概述，包括幼儿园数学教育与幼儿的发展、幼儿学习数学的特点、幼儿数学教育的原则等，后一部分是关于幼儿园数学教育各个年龄班教学内容的设计与组织。笔者认为这两部分之间缺少衔接，第一部分的内容有所欠缺，即学前教育专业的学生对幼儿学习数学的认知和心理特征的内容远远不够。应该将这个内容开设成“学前儿童数学教育概论”，主要能帮助学生了解国内外学前幼儿数学发展状况，国内外专家学者关于学前各年龄段幼儿在数概念、数数能力、加减法初步运算、长度理解、时间认识、空间与几何图形、排序推理、统计思维等方面的研究进展及其成果。经过这样的学习，学生才会对国内外幼儿数学发展的现状有一定的了解，才能了解到学前儿童数学教育的各种理论，比如联想理论和建构理论。以皮亚杰为代表的建构理论更加适合现代儿童对数学的理解。学前专业的学生需要形成这样的建构理念，这种理念的培养是原教材中所没有的。学生有否这样的建构理念，决定着其在未来的幼儿数学教育中采取什么样的方式来对幼儿进行数学教育。之后再开设“幼儿园数学教育活动设计与组织”，此课程主要介绍如何设计与组织幼儿园的数学教育活动，要求学生设计出不同年龄段所适合的数学活动，做到知识准确、引导得法、环境创设良好、学具准备充分等。

总之，学前教育专业数学课程设置必须使数学教学与学生能力的培养及专业知识学习紧密结合起来，在提高学生数学素质和幼儿园数学教育能力的同时提高学生的综合能力与素质，帮助他们打好日后职业生涯的基石。

【参考文献】

[1]徐斌艳.数学课程改革与教学指导[M].上海：华东师范大学出版社，2009

[2]祁海琴.关于师范学前教育专业实践教学体系的构建[J].中国职业技术教育，2004（27）

[3]庄爱萍.学前儿童数学教育课程实践教学体系的构建[J].开封教育学院学报，2011（2）