勾股定理教案十篇

勾股定理教案篇1

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）02A-

0079-02

勾股定理及其逆定理是初中数学中两个非常重要的定理，《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》对其要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。”笔者有幸参加了江苏省第26届“教海探航”苏派与全国名师课堂教学观摩活动，为期两天的教学观摩让众多教师受益匪浅，现将潘淳老师执教的《勾股定理的逆定理》的教学片段整理出来，与读者共赏。

一、片段呈现

【片段1】黑板上画出三个三角形（如下图），并提出问题：

<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼a1.tif>+<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼b.tif>=90°

图1 图2 图3

问题一：上节课我们一起学习了勾股定理的有关知识，观察黑板上第一个三角形（图1），你能结合图形利用已学的知识得到哪些信息？

生交流后可以得出∠C=90°，AC2+CB2=AB2，面积S=等。

问题二：观察第二个三角形（图2），由条件<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼a1.tif>+<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼b.tif>=90°你能得到哪些信息？

生交流后可以得出∠F=90°，DF2+FE2=DE2，面积S=等。

问题三：观察第三个三角形（图3），知道三角形三边长分别是3，4，5，你还能求出三角形的面积吗？

生交流后回答不能，缺少直角条件。

【片段2】勾股定理的逆定理一定成立吗？提出以下两个问题：

问题一：如果一个三角形的三边分别是3，4，5，那么这个三角形一定是直角三角形吗？如何判断呢？

生交流后给出“构造法”，利用两个三角形全等的基本事实，即“边边边（SSS）”来证明两个三角形全等。

问题二：若将三角形的三边3，4，5替换成a，b，c，还能得出∠C=90°吗？

生交流后使用“构造法”来证明两个三角形全等。

【片段3】

小活动：数学万花筒

师：根据图中条件，你能得出哪些信息？

生生、师生交流，得出相关结论。

二、教学评析

上述案例是潘淳老师在《勾股定理及其逆定理》中的教学片段。纵观这三个片段，可以发现这节课是一节求证的课，一节启发和开放的课，更是一节生长的课。陶行知曾经说过“课堂文化是生长文化，学生的学习生长状态首先决定于学生自主性的发挥，让自主成为课堂文化的基础。”本节课通过师生、生生合作探究，对“未知”不懈的“追问”，让学生主动建构，探究出未知的数学世界，达到知识与能力的自然生长。

（一）三角形求解――感受直角的必要性

本次课题是苏科版（江苏科学技术出版社）八年级上册第三章第二节《勾股定理的逆定理》，与旧版《神奇的数组》相比较，更侧重于探索勾股定理的逆定理的过程。因此，在探索勾股定理的逆定理的教学过程中，片段1是按照图①、图②、图③三个单个三角形的顺序来探索特殊三角形的某些特点。其中图1设计目的是已知直角三角形的两条直角边，要求能够利用勾股定理求出斜边长度，进而能够得出这个直角三角形的面积。教师在这个地方的教学处理中希望学生得出三角形的面积，以便在图2也能利用直角三角形性质求解面积，同时讨论图3中的三角形是否也能求出面积？若不能，缺少哪个条件？从而让学生在探索三角形面积的过程中，感受到三角形中直角的必要性，并在这个过程中培养学生解决问题的能力。在这一环节的设计中，为了强调培养学生“数学思考”能力的目的，教师需关注学生的最近发展区，对课堂的“生成”进行合理的“预设”，及时处理好引导与学生自主学习的关系。

（二）同一法的证明――逆定理的探索过程

解读教材是实现“用教材教”的基础。教学参考书中指出勾股定理的逆定理的证明方法是“同一法”。所谓“同一法”就是证明命题B和命题A是同一个对象，具体步骤如下：

第一步需要先构造一个具有A属性的图形B;

第二步证明B图形与已知A的条件符合;

第三步推理说明所做B图形与题设要求是一致的;

第四步是判断A所述图形具有这种属性。

在第一问证明中，师生交流思想，共同构建一个直角边长为3，4的直角三角形，然后证明以3，4，5为边的三角形与之全等，从而确定满足边长为3，4，5的三角形是直角三角形。通过这个具体数值的三角形证明，让学生熟悉同一法的证明过程，接着抛出一个更具一般性的问题，“若将三角形的三边3，4，5替换成a，b，c，还能得出∠C=90°吗？”由学生交流、独立证明。

在这一环节的设计中，教师渗透“同一法”的证明思想，即当定理的条件与结论所指的事件是唯一且范围相同，则原命题的逆命题一定成立。这时若证明原命题较难，可以证明其逆命题的一种间接证法。在这个证明的过程中，强化学生的数学意识，提升学生思维品质并感受数学构思的思辨美、哲学美与艺术美。

（三）数学万花筒――逆定理的简单运用

因为本节课是一节求证、启发、开放、生长的课，教学中渗透了由特殊到一般的探索过程，因此需要让学生经历知识的发生、发展与形成过程，体会形与数的内在联系，并能感受数学定理与逆定理和谐统一的辩证关系。在引导学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题时，需要进行变式训练，并进行一题多解、一题多练，从而达到举一反三、触类旁通的目的。因此在课堂结尾处设置一个有趣的小活动――“数学万花筒”。

通过这个小活动，达到以下三个目的：

第一，增加课堂的趣味性，活跃学生思维。兴趣是求知的内在动力。激发起学生的兴趣，学习就会积极主动，学得轻松而有成效。而“数学万花筒”将枯燥乏味的练习题化被动为主动，通过充满童趣的小活动来吸引学生，促使学生积极主动地参与进来，在疲劳的课堂教学中点亮一抹绿色。

第二，巩固和检查本节课学生掌握情况。一节课中，教师讲授完新知后，一般随即开始各种形式和层次的训练、反馈，也就是进行知识的强化和巩固。有别于传统的课堂巩固习题，“数学万花筒”为教师及时提供开放式的学生评价和反馈信息的方法。

勾股定理教案篇2

[关键词]概念学习

差异发展提高能力

[中图分类号]G633，6

[文献标识码]A

[文章编号]1674-6058（2016）32-0001

数学概念是学生感悟数学思想、积累数学活动经验的重要基础，是解决数学问题的大前提，学生在运用数学概念进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等数学活动中要得到正确的结论，就要正确地理解概念、掌握概念，概念学习是初中数学至关重要的一个环节，是基础知识和基本技能教学的核心，也是发展学生智力、培养学生思维能力、提高学生数学素养不可缺少的一环，然而，目前初中教学中对概念学习存在着严重的“一刀切”现象，在概念学习的目标定位、概念学习活动的具体实施和反馈评价中只注重学生的共性、注重学习任务的完成，而很少考虑到学生的个性、关注学生的差异发展，这与新课程标准“提高学生的数学素养，为每一位学生的终身发展奠基”的理念是有差距的，那么，如何在数学概念学习活动中关注学生差异，实施差异教学？本文以浙教版《数学》八年级（上）《探索勾股定理》一课为例进行具体阐述。

一、制订差异目标。关注学生差异

差异教学要求教师在了解总体目标的同时，能够为不同层次的学生制订分层目标，在有条件的情况下还要尽可能为每一个学生制订个性化目标。

例如在《探索勾股定理》一节中，教材安排了“剪4个全等的直角三角形纸片把它拼成如图1的正方形”的合作学习活动，试图让学生通过比较图中阴影部分的面积与大、小两个正方形的面积的差来证明勾股定理，考虑到八年级学生的生理及心理特点，同时结合教学内容，我们可以确定该数学活动的总体目标为：重点培养学生的实验、猜测、推理、验证、交流能力，体会勾股定理这个核心概念的形成过程，对于运用多种途径解决的数学问题，我们可以为不同层次的学生制订分层目标，对于第一层次的学生，要求能通过独立思考、相互交流，直接证明勾股定理并设计出另一种拼法（如图2）来证明勾股定理；对于第二层次的学生，要求能在教师的引导或学生的帮助下得出有关勾股定理的等式。

二、设计差异活动。适应学生差异

差异教学要求教师根据教学实际精心设计学习活动，活动不仅要考虑教学的总体意图，还要尽可能为不同的学生提供选择的机会。

例如上述“证明勾股定理”的活动，首先，我们可以根据教学实际作如下设计（如图3）：

其次，我们可改革活动结构，实施分层分类模式，比如在“提出问题”“归纳总结”等环节中，我们可以采取“合”的方式，但在其他环节，我们则采取“分”或“分合”的方式，从而为不同的学生提供选择的机会。

再次，我们可在相关环节呈现可供选择的内容，比如为了让学生更好地掌握、应用勾股定理，我们在应用练习中设计了一个题组，请学生在下列两题中任选一题填空。

在这一环节中，我们为学生提供了两种比较常见的勾股定理模型（已知斜边和直角边，已知两直角边），引导不同的学生选择任意一题解答，为不同的学生提供差异化的选择内容，让学生更好地应用勾股定理解决数学中的计算问题。

三、指导差异过程。尊重学生差异

1.灵活采取教学策略，照顾学生差异

在差异教学过程中，教师应根据教学内容的具体特点和学生的实际需要，灵活采取适当的教学策略，以推动学习活动的顺利进行，从而加深学生对概念的理解，

例如，在证明勾股定理活动中，“请你再拼出一种图形来证明勾股定理”这一要求对学生而言是非常难的，学生不仅要考虑拼什么图形，还要考虑拼出来的图形能否证明勾股定理，我们在实际的教学过程中可以根据学生的实际情况，采取下列不同的教学策略，第一，对于全体学生，可增加他们的实践体验，鼓励他们运用教师提供的四个全等的直角三角形进行尝试；第二，对于大部分学生，可通过设置阶梯来降低学生的学习难度，比如在内容呈现上与第一种证明方法放在一起，以引导学生用类比的方法来设计方案并证明；第三，对于部分确实有困难的学生，可通过适当提问、点拨的方式来引导他们大胆猜测、多次操作观察、分析比较，使他们认识到利用四个全等的直角三角形也可以拼出另一个正方形，并利用面积的不同表示方法来证明勾股定理。

2.努力倡导合作学习，利用学生差异

在差异教学过程中，教师应努力创设条件，引导学生通过各种形式开展合作学习，促使学生相互协作、优势互补，最终实现差异共享。

例如，上述“请你再拼出一N图形来证明勾股定理”这一活动要求具有一定的难度，但是它同时也具有相当的挑战性，能有效培养学生的实践能力和创新思维，而且在操作的过程中还能实现与其他小组成员的合作交流，教学中，我们首先要求学生分组讨论，设计各种拼法，再引导全班学生相互交流、分析、评价，最终形成一个大家认可的方案，并利用类比思想来证明勾股定理，其中在第一个阶段（即分组讨论阶段），我们让A等生来帮助B等生；在第二个阶段（即全班交流阶段），我们要求B等生来展示他们的学习成果，同时由A等生进行评价、补充，这样，通过“A等生帮教B等生”“B等生展示”“A等生评价”等形式，给不同层次的学生设置了不同的任务，也给每一个学生提供了不同的学习机会，使全体学生得到了共同提高，实现了差异发展。

3，巧妙搭建挑战平台，发展学生差异

差异教学不仅要使“弱者变强”，同时也要使“强者更强”，教学实践中，教师可通过巧妙搭建挑战平台，激发学生的学习潜能和创造能力，从而促进学生在原有的基础上进一步提高。

例如，在巩固练习中设计的这样一个题组：如果一个三角形的两条边为6厘米和8厘米，你能否求出第三条边？为什么？如果这个三角形是直角三角形，那么第三条边为多少？

对于第一个问题，学生往往忽视勾股定理的前提条件而得出10厘米的错误答案，而“为什么”这个设问，它会引发学生思考从而得到正确的结论，“如果这个三角形是直角三角形，那么第三条边为多少？”由于该问题是在第一问的基础上进一步探究，因而能大大激发学生的学习兴趣，促使学生进一步思考、探索，最终得出两个答案：当8厘米长的边为斜边时，利用勾股定理得第三边为2/7厘米；当第三边为斜边时，则第三边为10厘米。

勾股定理教案篇3

关键词：初中数学；自主学习能力；学习情境；学习兴趣；学习方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）17-201-02

与传统的灌输教学、“仓储”学习相比，自主学习是全新的学习方式，这也是新课程标准的全“新”所在――理念新、方法新、方式新、评价新。下面，结合《勾股定理》的第一课时的教学，谈谈初中数学教学中，学生的自主学习能力的培养的几点实践体会。

一、强化预习，通过预习培养自主学习的习惯

初中学生的自主预习习惯贵在养成教育，初中生虽然有了一定的自制力，但毕竟初中生的自学能力较差，翻开一课，不知道该学什么，大部分学生只是看看例题，做做练习，对数学知识、数学方法、数学思想等关注不够。因此，强化学生的预习，关键在于教师的预习学案的设计，以及预习情况的检查和督促。

如对于《勾股定理》的课前预习，教师巧妙设计以下预习学案，提供给学生自主预习的依据：

（1）直角三角形ABC的主要性质是：∠C=90°；

a、两个锐角的关系是_______；

b、如果D为斜边AB的中点，则斜边的中线是_____；

c、如果∠B=30°，则∠B的对边和斜边_______。

（2）如下图是边长为c的正方形，里面有四个完全相同的三角形，边长分别为a和b你能根据三角形的面积公式、正方形的面积公式等，探讨出a、b、c的关系吗？

我的探讨是：

大正方形的面积是________；

小正方形的面积是________；

三角形的面积是_________；

所以，一个三角形的面积是_______；因为三角形的面积公式是_______；因此，a、b、c的关系可以表示为__________。

（3）你能用数学语言表达出a?+b?=c?吗？____________________；这就是著名的勾股定理。

（4）查阅相关资料或者利用网上资源，了解更多的勾股定理的证明方法（总共有16中，可以了解其中的3-4种，并了解证明的过程和方法。

这样的自学导学提纲，使学生的自主学习内容、方法、目标等都明确了方向，使预习目标明确、内容具体，方法得力。

二、创设情境，激发学生自主探究的欲望

设计生活中的数学问题，将数学与生活巧妙联系在一起，强化学习数学有用的意识。

勾股定理的学习，设计相关的问题，创设生活情境，可以激发学生的自主学习的欲望，提高自主学习能力。

如受到台风的影响，一棵大树离地面4m处断裂，树的顶部落在离树根底部3m处，这棵树断裂前有多高？

这个问题，显然与生活密不可分，容易引发学生的兴趣，显然，根据题意，ABC是直角三角形，AC= 4m，BC=3m，树断裂前的高度应该是AC+AB，问题是求出AB，那么怎样求出直角三角形的AB的长呢？

学生分析到这里，教师顺利过渡到新授课――勾股定理的学习，使学生对新知识充满期待。

此时，学生如果不是课前预习，会迫不及待地想知道勾股定理的内容和运用，促其迫不及待学习的探知欲望。

三、巧妙设计巩固练习，促使学生学以致用

1、设计生活化问题，激发学生解决问题的兴趣。

知识在于运用，数学教学的目的是培养学生利用所学解决实际问题的能力。生活化的问题更容易引发学生的注意力和学习的乐趣。如学生了解了勾股定理，教师设计一个问题，让学生们想一想：小明妈妈买了一台29英寸（74cm）的电视机，小明经过测量，发现这个电视机的长和宽分别是58cm和46cm，都不到74cm，于是，小明认为妈妈买的是74cm的，一定是售货员搞错了。你认为售货员弄错了吗？

这个问题的接替关键在于29英寸的电视机，不是指长，也不是宽，而是电视机的对角线，只要判定是否满足勾股定理就可以了，也就是，算一算58?+46?是否等于74?.问题也就迎刃而解了。

通过计算和验证，58?+46?=3364+2116=5480，而74?=5480，58?+46?=74?因此，售货员并没有错，而是小明理解上的错误。

生活化问题的解决，增强了数学学习有用的意识，强化了学习数学的自信心和自主性。

2.设计开放性的问题，激发学生自主探究的欲望

对于勾股定理的教学，教材中，对于勾股定理的证明采用的是面积法，教师可以给出情境，让学生探讨不同的证明方法，如有趣的总统证明方法、加菲尔德证法变式、欧几里得证明法等，给出相应的情境和图形，让学生自主证明或者合作证明，培养学生自主探究的兴趣。

再者，对于勾股定理，让学生走出“勾3股4弦5”的误区，符合a?+b?=c?的数值很多，如6、8、10等，再让学生写出三组勾股数。这样的问题，引导学生从3、4、5和6、8、10中找到规律后，写出几组勾股数便轻而易举。通过这几组数据勾股数的写出，再让学生对自己的找到的规律加以证明，这样，更能促使学生自主思考、主动探究，养成分析问题、解决问题的习惯。

新课改首先应改革学习方式，把自主学习能力的培养作为初中数学教学的重中之重。为学生们提供良好的学习情境，创设浓厚的氛围，激发学生的学习兴趣，真正把自主学习能力落到实处，为以后的学习打下基础。

参考文献：

勾股定理教案篇4

(1)参加宴会发现勾股定理

毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会,这位主人豪华宫殿般的餐厅里铺着美丽的正方形大理石地砖,由于大餐迟迟不上桌,这些饥肠辘辘的贵宾们颇有怨言.这位善于观察和推理的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖,但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽,而是想到它们和“数”之间的关系,于是拿了画笔蹲在地板上,选了一块磁砖以它的对角线为边画出一个正方形,他发现这个正方形的面积恰好等于两块磁砖的面积和.他很好奇,于是再以两块磁砖拼成的矩形对角线作另一个正方形,他发现这个正方形面积等于5块磁砖的面积,也就是以两股为边作正方形的面积之和.至此毕达哥拉斯作了大胆的假设:任何直角三角形,其斜边的平方恰好等于两条直角边的平方之和.那一顿饭,这位古希腊数学大师的视线一直都没有离开地面.

(2)杀百牛庆祝勾股定理的发现

古希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.

二、勾股定理的证明趣闻

(1)总统证明勾股定理

学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种.其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.

总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的:

在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,他想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?

只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释,心理很不是滋味.

于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考和演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.

1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.

1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.

(2)邮票上的证明方法

1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是为了纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体――毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里.

三、勾股定理的应用趣闻

(1)华老巧用勾股定理作对

我国著名数学家华罗庚(1901―1985)1953年随中国科学院代表团出国考察,团长是钱三强.途中,华老即景生情,吟了上联,求对下联.上联是:三强韩赵魏

这里“三强”是指战国时期的“韩、赵、魏”三个强国,同时隐去“钱三强”的名字.在座的人都没能对出下联,过了一会,华老自对下联:九章勾股弦.

众人听后,为之叫好.《九章算术》是我国古代的一部数学名著,书中首次记载了我国数学家赵爽发现的勾股定理的证明(即弦图).同时,“九章”又隐了代表团成员、大气物理学家赵九章的名字,可谓妙对.

勾股定理教案篇5

关键词：勾股定理；定理证明；推广应用

1引言

自我国改革开放以来，国内政治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。

2勾股定理的证明方法研究

勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。

第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下图所示：

在两个绘制的图形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个图形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左图当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：

（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab

在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右图当中，也可以得出另一等式：

（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab

通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2

第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下图形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：

其通常所采用的方法之一具体由上图列示。该图形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接图形进行勾股定理的证明。由上图可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上图当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上图分解为两个图形，并实现勾股定理的证明。

3勾股定理的推广应用研究

勾股定理不但可以在平面图形当中得以应用，更加可以在三维图形，乃至n维图形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用图形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面图形之外的立体多位图形当中可以实现推广与应用。

4结论

通过本文的研究，可以发现，勾股定理作为一个举世闻名的数学定理，其现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类：其一为面积法；其次为拼接法；另外一种为定理法。通过对不同方法的探究，作者以案例的方式对其中两种方法的大致证明思路提出了思考，并在此基础上对不同方法的推广应用进行了研究。作者谨此希望，能够利用本文的研究，给数学界勾股定理应用范围及深度的提升带来促进作用，也希望能够在未来求学过程中继续深入思考研究数学理论的相关问题。

勾股定理教案篇6

初中学生的逻辑思维能力还不是太强，因此需要通过直观、操作等手段帮助学生理解抽象的几何关系与演绎逻辑．而借助中国结、纸风车等为载体抽象出来的几何图形，通过拼图能直观地验证勾股定理，这对于数学学习基础尤其是抽象思维能力较弱的学生而言是极为重要的，降低了思维难度，但同时又提高了学生的参与度、兴趣与信心．其次，密切数学与生活的关联．在很长一段时间里，学生学校的数学学习与其生活是相互割裂的．这样的学习也造成了很大的教育问题，即学生的数学学习未能被正当地赋值，甚至有人还提出数学无用论．因此，在教学中需要借助学生生活中常见的素材，并由此学习这些素材中蕴含的数学元素与数学关系，这也即是“数学生活化”的教学设计逻辑．这即是指，教师首先确立的是“勾股定理”这一数学维度上的学习目标，然后寻找到如中国结、纸风车等生活中常见的素材，并使之融入到教学之中，以实现“数学生活化”．再次，为了学生文化浸润式的学习．除了密切学生的现实生活与数学之间的关联之外，还要让学生体会到数学的文化厚重感．即借助富有中国传统特色的中国结、流传历史悠久的纸风车来学习数学，能让学生产生历史厚重感．

二是在学生已经学习了勾股定理之后，向学生展现中国结和纸风车图片，要求学生抽象出其中的数学元素，并由此探索这些数学元素之间的数学关系．与前一种将文化素材作为验证勾股定理的载体不同，这里将其后置到定理学习之后作为拓展性的问题让学生探索．这种用法的价值除了具有前述“密切数学与生活之间的关系”、“为了学生文化浸润式的学习”等两个方面之外，还有以下意义．首先，为了知识的巩固与活化．学生在学习了勾股定理之后，除了常规的练习之外，事实上更重要的是要将知识迁移到类似的但又不那么封闭与明确的情境之中．后者不仅在于巩固知识，同时也使知识得到活化．因为，无论是中国结还是纸风车，都需要学生作一定程度的数学化，并将不熟悉的问题化归为刚刚学习的勾股定理相关的问题，显然这就不仅仅是知识的巩固了．其次，从教育目标的角度来看，这种做法还期待培养学生“生活数学化”的能力．关于数学价值，不同的人也许有着不同的理解．但显见的是，在数学上研究越深入的人越能认识到数学的内在价值．造成这种现象的一个重要原因在于，数学的价值有时是非常内隐的，甚至很难为人所感知的．如果在教学中不去挖掘数学的内在价值，有时就会产生误导，甚至会认为数学只是用于计算．也正因如此，我们强调这些文化素材在数学教学中加以应用，就是希望所培养的学生能逐渐拥有用数学思考问题的意识和习惯，拥有用数学更好地组织生活的能力．

就本案例而言，中国结与纸风车都是我们文化生活中所常见的，但我们更习惯于用工艺品(或艺术品)的角度来理解，而很少会从数学的角度研究这类物品．但事实是，当我们用数学的角度来理解生活中的这些事和物的时候，往往能带来惊喜:原来我们身边处处有数学．再次，有助于培养学生的数学学习习惯．过去我们所理解的数学学习习惯往往指的是学生伏在案头学习数学的习惯．我们认为，数学学习习惯除了上述方面外，一个更高的层次是学生随时而自然地会想着用数学的角度思考问题．后者当然是理想的状态，但教学中的有意识培养也能帮助学生朝着这个方向前进．其中一个重要的培养策略就是让学生尝试探索也许表面上与数学风马牛不相及的素材中的数学元素，除了中国结、纸风车，还有包括建筑物等素材．需要进一步说明的是，与前一种用法相比，这种用法对学生的数学要求也更高，当然所培养的探索能力也会更强一些．

勾股定理教案篇7

在数学课程改革中，基于对数学课程标准基本理念的理解，我从多个方面、不同的角度将课改前后勾股定理的教学进行了对比与研究，以求从中明晰在今后的教学中亟待解决的问题，更加靠近课程改革的具体目标.

一、课程改革前对勾股定理的教学

（一）教学目标

1. 使学生掌握勾股定理.

2. 使学生能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长.

（二）教学内容

1. 关于勾股定理的数学史：《周髀算经》中出现的“勾广三，股修四，径隅五”.

2. 给出勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2 + b2 = c2.

3. 用拼图法推证勾股定理.

4. 勾股定理的应用：解决几何计算、作图及实际生产、生活的问题.

二、课程改革后对勾股定理的教学

（一）教学目标

1. 认知目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示.通过数格子及割补等办法探索勾股定理的形成过程，使学生体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程.

2. 能力目标：发展学生的合情推理能力，主动合作、探究的学习精神，感受数学思考过程的条理性，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并感受数形结合和由特殊到一般的思想方法.

3. 情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感，使学生在经历定理探索的过程中，感受数学之美、探究之趣.

（二）教学内容

1. 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理（或设计其他的探索情境）.

2. 由学生通过观察、归纳、猜想确认勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

3. 勾股世界：介绍勾股定理的悠久历史、重大意义及古代人民的聪明才智.

4. 探讨利用拼图法验证勾股定理.

5. 勾股定理的实际应用.

三、两种课堂教学的对比

（一）教学理念和教学内容的不同

课改前传统的勾股定理的教学，重在掌握定理和应用定理.这种教学过分突出了勾股定理这一现成几何知识结论的传递和接受，忽略了定理的发现过程、发现方法，导致学生的学习过程被异化为被动接受和单纯的记忆定理、被动认知和机械训练变形及运算技能的过程.这种教学思想的弊病是“重结论而轻过程”，“厚知识运用而薄思想方法”.

课改后勾股定理的教学从以下几方面进行：

1. 创设探索性的问题情境——学生归纳出直角三角形三边之间的一般规律.

2. 拼图验证定理——用数形结合的方法支持定理的认识.

3. 构建数学模型——学生体验由特例归纳猜想、由特例检验猜想.

4. 解决实际问题——熟练掌握定理，并形成运用定理的技能.

5. 勾股定理数学史——激发学生的民族自豪感，点燃热爱数学的热情.

站在理论的角度，在这种设计中，使学生对知识的实际背景和对知识的直观感知以及学生对收集、整理、分析数学信息的能力等方面得以加强.这充分反映了以未来社会对公民所需的数学思想方法为主线选择和安排教学内容，并以与学生年龄特征相适应的大众化、生活化的方式呈现教学内容.不过，通过实际教学，要想真正的做到“以学生为本”，在短短的两课时内既要重点突出，又能不留死角地圆满完成以上五个层面的学习，也确属不易.

（二）教师备课内容的不同

教改前对勾股定理的备课，在把握教材内容的同时，可在勾股定理的数学史和定理应用两方面加以调整.例如，增强民族自豪感：中国古代的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差，以治理洪水；激发学习兴趣：勾股定理的证明方法已有400多种，给出这些证明方法的不但有数学家、物理学家，还不乏政界要人，像美国第20任总统加菲尔德、印度国王帕斯卡拉二世，都通过构造图形的方法给出了勾股定理的别致证法.

定理应用这一课时，教材从纯几何问题、生活问题、生产问题等几方面均有涉及，从提高学生兴趣方面可灵活补充一道11世纪阿拉伯数学家给出的一道趣味题：小溪边长着两棵树，隔岸相望.一棵树高30肘尺（古代长度单位），另一棵高20肘尺，两树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟，两只鸟同时看见树间水面上游出的一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到到目标.问：这条鱼出现的地方离较高的树的树根有多远？

在实际教学中根据学生的理解情况及实际水平，在训练的形式、数量上与教材也有所区分：增加了一个随堂检测，以巩固所学. 由于当时所教班级为数学班，学生整体接受能力较强，就设计了一个请学生自编有关勾股定理应用的题目，效果不错.

教改后的备课，除了在上述两方面有所选择之外，重点放在了探索情境的设置上：利用下面图中的任何一个或几个都可从3个正方形的面积关系中得出直角三角形三边关系，不同的班级可由学生不同的认知水平来设计认识层次.

为了保证教学重点，把利用拼图验证勾股定理的主要探讨放在专门的课题学习中进行.

（三）学生学习方式的不同

对于课改前勾股定理的学习，学生沿袭着“接受定理——强化训练——回味体会”的方式.这在一定程度上增强了学生对定理的熟悉程度，并在定理应用上感到运用自如.但这种熟练仅仅是一种强化训练后的暂时现象，知识的本身及其迁移只保持在较短的时间内，不会给学习者留下长久的甚至是终生的印象.

很明显，课改后勾股定理的学习是从实际问题到数学问题，再回到实际问题的处理过程，学生眼中的勾股定理来源于熟悉的背景——正方形面积，又用于指导生产、生活.经常用数学的眼光来审视生活，从生活中发现数学，学生才会逐步具有“数学建模”的能力，才能逐步感悟生活的数学性.这不仅是社会发展的需要，同时也是促进学生自身发展的需要.学生学习过程中对定理的探求、现代信息技术的发现及验证过程无时不表现着其学习的主动性，定理的归纳、结论的自我认同又包含着合作与自由发展的和谐共鸣.利用课堂教学、利用教材培养学生良好的学习方式，便塑造了其良好的思维方式，促进了学生和谐、自由、全面、充分的发展.

（四）教学效果的不同（见下表）

四、两种教学对比研究的结论

（一）新课程前后的教学各有优势与不足（见下表）

（二）新课程中几何教学需要注意的几个方面

1. 探究学习不是简单地布置学生去探究、去学习，教师要发挥主导作用，要让学生明确去探究什么，如何探究，要让学生的探究活动是有效的、有意义的.新教材中的很大一部分可采用勾股定理的探究方式：向学生提供探索情境，提出能提供必需信息的问题——学生采用多种方式寻求问题的答案，获取信息——整理、归纳结论——设法验证或解释.

2. 学生学习过程中的主动参与要在教师指导督促中形成，不能过高估计学生的意志、兴趣.例如，营造一种和谐、民主的课堂气氛来提高全体学生的参与兴趣；帮助学生制订分段式的小目标来增强其成就感，强化其参与意识.

3. 避免合作学习流于形式.（1）坚持“组间同质，组内异质”的分组方式，以保证人人有所发展.（2）教师要加强合作技能的指导，指导学生进行小组分工，要求明确各自在完成共同的任务中个人承担的责任.（3）及时协调组内成员间的关系，有效解决组内出现的不利问题.（4）正确评价组内成员的成绩，寻求个人和小集体共同提高的途径.

4. 要注重教学活动目标的整体实现.新课程中注重对学生学习兴趣的培养、能力的提升，注重知识形成过程的教学，但对一些基本的训练有些淡化，导致整体教学目标不够均衡.为此，在勾股定理的教学中，不但要重过程、方法、能力，还要重视相关的计算和推理，并在计算和推理中学会数学思考，这样才能把“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”多方面教学目标有机结合，达到整体实现教学目标.

5. 不能忽视双基的教学，要注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握.基础知识不但是学生发展的基础性目标，还是落实数学思想、方法、能力目标的载体.数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系.

6. 重视合情推理及演绎推理的教学和训练.推理教学要转变并贯穿于数学教学的始终.教学中，教师要设计适当的学习活动，引导学生通过观察、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜想某些结论，发展合情推理能力.对于几何的教学要加强演绎推理的教学训练，通过实例让学生认识到，结论的正确与否需要演绎推理的证明.当然，不同年级可提出不同的要求，但要慢慢加强，训练不断提高要求，最后形成较高的演绎推理能力.

勾股定理教案篇8

关键词：“10+35” 初中数学 勾股定理

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）08（c）-0113-01

在新一轮课程改革中山东省的杜郎口中学脱颖而出，成为课程改革的佼佼者。因为他们探索出了一条既能保持升学率，又能提高学生自我学习能力和综合素质的“三三六”自主教学模式。这种模式以学生在课堂上的自主参与为特色，课堂的绝大部分时间留给学生，老师仅用极少的时间进行“点拨”。他们把这种特色叫做“10+35”，即：教师讲解少于10分钟，学生活动大于35分钟，那么“10+35”对初中数学教学有何启示呢？笔者以勾股定理的教学设计为例来探析此问题。

1 创设情境激发兴趣

2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，这就是本届大会会徽的图案。

（1）你见过这个图案吗？（见图1）

（2）听说过“赵爽弦图”及勾股定理吗？

通过欣赏图片，激发学生学习兴趣，自然引出本节课的课题。

2 故事场景发现新知

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边之间的某种数量关系。（见图2）

同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？

教师要引导学生从基本砖铺材料、图形单元、位置形态进行观察，并开展分组活动，让学生亲手对正方形进行剪切、拼贴然后再将它们关联（由正方形的边长关系到等腰直角三角形）起来。

3 深入探究网络信息

等腰Rt有上述性质其它的Rt是否也具有这个性质呢？（见图3）

你是如何计算那个建立在Rt斜边上的正方形面积的？

组织学生小组合作探究学习，以得出Rt中，两直角边的平方和等于斜边的平方。要求学生分析并根据命题画图，求证在RtABC中，它的两条直角边长分别为a，b斜边长为c，则a2+b2=c2。

4 数字验证拼图效果

赵爽根据此图指出：四个全等的Rt（红色）可以围成一个大正方形，中空部分是小正方形（黄色）。（见图4）

我们不难在网格图中得到这样的图案。（见图5）

据《周髀算经》记载：公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”。故将此定理命名为勾股定理。鼓励学生通过分割、拼接，展示拼图出的效果来验证勾股定理。

5 实践应用拓展提高

（1）在ABC中，∠C=90°AC=21 m，BC=28 m。

①求ABC的面积；

②求斜边AB的长；

③求高CD。

（2）一根旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，旗杆折断之前有多高？

（3）试一试：你能把两个边长分别为5，12的正方形经过切割然后拼成一个正方形吗？得到的新正方形它的边长又是多少呢？

6 回顾小结整体感知

师生共同总结本节课的重点知识，系统感知。

素质教育的主阵地在第一课堂，如何优化我们的课堂结构是摆在全体教师面前的不容忽视的重要课题。反观我们的课堂，我们发现，学生在课堂上主动思考的少，主动发言的少，主动提出问题的少，主动交流探究的少。“四少”的现象很容易造成学生知识的消化不良，造成学生学习能力与兴趣的弱化，“10+35”重视学生自学能力的培养，把课堂还给学生，把学习主动权还给学生，一线教师都应该树立全新的课堂教育观，切实提高课堂效率。

参考文献

勾股定理教案篇9

【关键词】勾股定理；文献资料；教学设计；实验操作

在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上备好一节课本是最好的备课方式，但由于教师理解能力的差异，以及对“三个理解”的认识程度不同，备课效果自然不可同日而语.那么，怎样才能备出一节好课呢？笔者认为，通过比对同一课时的文献资料，分析不同教案的优缺点，博采众长，巧妙融合，自然会备出一节好课.下面以“勾股定理”起始课为例，谈谈如何利用文献资料进行备课.供参考.

1常见教学设计

查阅近几年的文献资料，发现勾股定理起始课教学设计大致分为三类：以证明定理为主的教学设计、以探究发现定理为主的教学设计、以实验操作来发现定理的教学设计.现对这三种教学设计做客观分析.

1.1以证明定理为主的教学设计

章建跃博士在谈到勾股定理教数学时指出：“其一，勾股定理的发现具备偶然性；其二，毕达哥拉斯是大数学家，对数极其敏感，对“形”非常自动化地想到“数”，这是一般人做不到的……我觉得，不应该让学生去发现，重点应该放在让学生去证明这个定理.”[1]在这一观点的支撑下，一线教师中的许多实践者也取得了良好的教学效果.

课例1刘东升[2]先从一段BBC纪录片《数学的故事》展示古埃及人结绳绷成直角三角形导入新课，随即导入勾股定理的特例“如果作一个直角三角形，使得两直角边分别为3和4，你能否求出斜边的长？”在学生尝试无果后，教师指出有人曾经用拼图的方法求出该三角形的斜边长为5，接下来用拼图的方法予以计算.最后从特殊到一般用面积法（割补法）证明勾股定理.

分析教师设计以证明为主的教学思路，大致是基于以下几点思考：一是恰当安排讲授法，节约时间，采用教师讲授证明思路，学生跟进理解，是基于对学情的理解；二是勾股定理的发现具有偶然性，只有毕达哥拉斯这样的大数学家，才能从“形”非常自动地想到“数”，这是一般人做不到的，在课堂上有限的时间里让学生去发现该定理是不现实的，也是无法完成的任务.所以，该设计把时间重点分配在证明勾股定理和欣赏勾股定理文化上.从学习的角度看，这样的安排是有效的，是基于学情来考虑的，有利于学生学习数学知识，培养学生演绎推理的能力.

《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》[3]（以下简称标准）在课程基本理念中指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.显然，上述过程少了学生观察、实验、猜想的过程，而这却是数学教学的重要功能所在.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理，从这个角度看，上述安排是不完美的.

1.2以探究发现定理为主的教学设计

特级教师卜以楼认为：研究一个定理，一般要从猜想――验证――证明这三个方面去把握，如果离开了猜想、发现定理这两个环节，那么培养学生的创新意R和实践能力就会在教学中打折.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理.卜老师同时给出了基于上述思考的教学设计.

课例2卜以楼首先通过画两个直角三角形，引导学生发现直角三角形三边间有关系，然后顺势提出问题：既然直角三角形三边数量之间有一个等量关系，这个等量关系是什么呢[4]？接着，引导基础薄弱的学生在单位长度为1 cm的坐标纸上，理性地选择几个直角三角形去画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系；引导基础较好的学生理性分析三边间的关系：a、b、c三边间关系可以是一次等量关系、二次等量关系，甚至是高次等量关系，根据三角形两边之和大于第三边否定三边间存在一次关系，然后探讨三边间的二次等量关系，先从特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，经过验证发现猜想成立，再用“证伪”否定其它的二次关系，最后引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”，然后利用图形面积（割补法）来分析和解决问题.

分析首先，本课例关注学生四能培养，教学过程就是基于发现和提出问题，分析和解决问题的思路来设计的，教学过程就是引导学生思维的过程；其次，符合“猜想――验证――证明”的数学学习规律，过程严谨，丝丝入扣，数学味浓，注重学生思维能力和创新能力的培养.

但仔细分析其教学设计后发现，其课堂教学过于理想化，既要启发基础较差的学生画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系，又要引导基础较好的学生理性分析三边间的关系，直至发现直角三角形三边的平方关系，还要引导学生证明勾股定理，复杂的教学过程可能会导致教学时间不够，文章展示的探究过程很难在现实的课堂中得以实现.另外，在引导基础较好的学生理性分析三边间关系的过程中，作者根据三角形两边之和大于第三边就可以否定三边间存在一次关系，这句话是有问题的，比如，边长分别为a=3、b=4、c=5的关系可以表述为a+b=75c这样的等量关系.对于a、b、c之间二次关系的三种形式的分类是可行的，但直接从特殊情况a2+b2=c2入手，是执果索因的结果，这和直接告知结论是一样的效果.

1.3以实验操作来发现定理的教学设计

苏科版数学教材主编董林伟先生指出：数学实验不是学生被动地接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的数学现实出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程[5].数学实验已成为数学教学中的一个重要方式.关于勾股定理的教学，数学实验大致有两种方法：测量法和计算法.

课例3测量法[6]：任党华引导学生从“直角三角形的角度特殊，会不会它的边在数量上也有特殊的关系呢？”开始思考，然后让学生动手画一个任意直角三角形，测量其三边长度，计算交流，接着学生展示所得数据及本组猜想，师生用几何画板演示，发现a2+b2=c2这一结论成立，再用拼图法证明结论，最后介绍有关勾股定理的数学史.

课例4计算法[7]：万广磊从展示2002年的数学大会的弦图开始，然后直接给出直角三角形和以该三角形三边向形外作三个正方形，通过填空的方式来计算三个正方形的面积，学生通过画一画、想一想、试一试、辨一辨来发现a2+b2=c2，再用实验的方法验证钝角三角形和锐角三角形不具备两短边的平方和等于最长边的平方，然后用拼图法证明勾股定理，最后介绍有关勾股定理的数学史.

分析这两个课例都是通过画一画、想一想、算一算来发现勾股定理的，动手实验的过程有利于培养学生的动手能力，获得研究问题的方法，积累活动经验.但课例3存在两点不足，一是学生画图、测量过程中无法保证图形的准确和数据的精确，不能为发现规律提供保证；二是学生从测量出的三边数据中，怎么会轻易发现三边的平方关系？课例4教师通过填空计算面积的方式已经把解题思路和盘托出，难点化为乌有，就像几何题中老师提前告知辅助线一样，是避开难点，而不是突破难点.罗增儒教授称以上教学为“虚假性情境发现”和“浅层次的情境发现”.

2勾股定理教学中需要突破的难点

通过上述课例的分析，我们不难发现在勾股定理的教学中回避不了几个难点：一是如何创设合适的情境，引导学生发现直角三角形三边间的平方关系？二是怎样引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”？三是选择探究教学，探究的时间较长，有时甚至不可控，需要时间成本；四是数学定理的呈现虽是美丽的，但发现的过程确是漫长和痛苦的，所以，课堂上定理的发现不能过于理想化，所谓还原数学家火热的思考，实在过于理想化，在短短的一节课内要完成一个定理的发现，必然要降低发现坡度，缩短发现时间，中间教师的引导甚至干预就必不可少.3吸收精华，改进教学设计

上述四个课例均有可取之处，在认真学习比对优劣的基础上，多方吸收各种教法中的精华，充分考虑勾股定理教学中需要突破的四大难点，经过认真整合，确定“从特殊到一般，经历猜想――验证――证明”这样的探究教学设计，在实际教学中取得了较好的效果.

3.1情境入

在一个确定的三角形中，有确定的角的关系：①三角形内角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三边间有确定的关系吗？

3.2探究发现

（1）从最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三边间关系

直角边长为1的等腰直角三角形的面积是多少？如果斜边用字母c表示，请用c表示三角形的面积.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）

用同样的方法研究直角边长为2的等腰直角三角形，有什么发现？

（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.

依次研究直角边长分别为3、4的等腰直角三角形，会发现下面结论.

12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（这里是需要教师干预和引导的）

（2）在网格中研究直角边不等的特殊直角三角形图1

如果两直角边不等，上述猜想还成立吗？老师在黑板空白处画图分析，指出上面的方法行不通，能否借助格点正方形来发现呢？分析“式结构”，在上图（图1）中22=4，用四个正方形表示，12=1，用一个正方形表示，那么以斜边为边的正方形的面积是等于5吗？引导利用割补法研究（小学已经学过）.

（3）几何画板验证猜想的结论

（4）不完全归纳法得出勾股定理

3.3定理证明与介绍

证明过程略.（图形割补见图2，证明思路见上面分析）

本设计在研究最简单的三角形时，学生是不可能想到运用面积来发现等腰直角三角形的三边关系的，这时教师直接引导先用两直角边求面积，再启发用斜边求面积，这个过程不自然，但确实没有更好的办法.所以，发现式教学不能不加干预，任由学生自由思考，正如佛赖登塔尔所说：“强调用发生的方法来教各种思想，并不意味着应该从它们产生的顺序来呈现它们，甚至不关闭所有的僵局，删除所有的弯路.”显然，这就是教师主导作用的意义所在.

综上所述，通过文献资料的研究，我们可以对相关内容的教学有清楚的认识，并在比较中去粗存精，获得比较合理的教学方法，这不失为一种行之有效的备课方式.

参考文献

[1]章建跃.理解数学内容本质提升思维教学水平[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：14-19.

[2]刘东升.基于HPM视角重构“勾股定理”起始课[J].教育研究与评论：课堂观察版（南京），2016（1）：45-48.

[3]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[4]卜以楼.基于四能的“勾股定理”教学创新设计[J].中学数学教学参考（中旬），2016（7）：11-14.

[5]董林伟.初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013.

[6]任党华.勾股定理（第一课时）[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：12-13.

勾股定理教案篇10

一、 犯罪特点

（一）主体特点

在该系列案件中，犯罪主体既有资源县林业局的局领导、科室领导（副局长李某、财务股长唐某），又有乡林业站领导职工（资源镇林业站站长戴某、副站长陈某），还有农村基层组织干部（同禾村村委主任李某、村党支部书记唐某）。整个犯罪主体的构成模式呈局、站、村、组的一个纵向轨迹，也就是生态公益林补偿专项资金发放流程中经过的单位，都出现了职务犯罪。换而言之，就是只要能够接触到该专项资金发放环节的国家工作人员，都集体或者单独参与了贪污的犯罪行为。

（二）作案手段多样

该系列案中，犯罪对象单一，就是指向每年数百万元的生态公益林补偿金。犯罪分子千方百计地从生态公益林补偿金中进行贪污，根据其所处的职位，犯罪手段呈多样化，骗取、虚报、截留、私分各种典型的贪污手段都出现在该系列案中。如资源县林业局副局长李某，以发放某乡村民生态公益林补偿金的名义，指使局财务人员用自己签字的报告从局出纳手中骗取生态公益林补偿金并进行私分；如资源县林业局财务股长唐某，利用自己管理全县生态公益林补偿金账目的职务便利，直接把两个乡某年的发放表两次入账，虚报出20余万元生态公益林补偿金并据为己有；再如同禾村的村干部李某和唐某在上报生态公益林划分指标的过程中，将属于国家的山林划入某村民小组名下，由村民小组的组长领出钱后再进行私分。

总而言之，生态公益林补偿金发放环节中，犯罪分子们各自利用自己的职务便利，运用手中的权利进行贪污，其采用的手段都符合各自职位的特点。

（三）上下勾结，共同贪污

该系列案涉案人员多达十余人，十余次作案中多数为共同犯罪，只要是职务在发放环节中有牵连的，就会互相勾结，采取各种手段进行贪污。如副局长李方军与财务股长唐某、营林副股长颜某等人勾结，虚报私分生态公益林补偿金6000元、94770元两笔；财务股长唐某、营林副股长颜某与资源镇林业站站长戴某、副站长陈某勾结，私分生态公益林补偿金97000元；资源镇林业站副站长陈某勾结同禾村主任李某、支书唐某采用虚报假名字、直接把生态公益林补偿金划入亲友名下等手段，贪污生态公益林补偿金4万余元；同禾村主任李某、支书唐某勾结村民小组组长潘某、蒋某将国家生态公益林转到村民小组名下，由组长领取补偿金后，再交到李、唐手上，进行私分。整个系列案件中，犯罪份子层层勾结，在每一个环节上都进行贪污，形成了一个明显的梯次结构。

二、犯罪成因

（一）疏于学习，法制观念不强

该系列案件中犯罪的原因，首先就是由于疏于理论学习，疏于法制学习，政治理论、法律法规学习不够，涉案人员不注重联系实际，忽视党性学习、理想信念学习，加上个人的自律意识又不强，以及存在侥幸心理、从众心理等心理因素作祟，导致方向迷失，宗旨淡忘。在关键时刻不能把握自己，把人民赋予的权力当做捞取钱财的资本、牟取私利的工具，于是采取贪污手段去攫取国家和集体财产，最终走上了犯罪道路。

（二）环节过多，监督乏力

公益林补偿金的发放流程包括了局、办、站、村、组各个环节，再加上没有配套的制度，以及执行制度的单位。因此，在每一个环节中，执行者都可以利用手中的权利，通过各种手段来贪污公益林补偿金。村干部可以虚报、乱报；林业站长可以勾结村干部在审核上打开口子，可以勾结局工作人员进行截留；局工作人员和局领导更是可以直接签字截留公益林补偿金。而整个林业局没有任何一个机构对此进行监督，导致手中有权的人员能为所欲为。

（三）暗箱操作，发放过程不透明

资源县的生态公益林补偿金每年有数百万，领款的农户也达到上万户，林业局在将农民责任山划为生态公益林的过程中，为了完成上级规定的任务，无法做到走遍每一户，只有依托农村基层组织，先将山林划入生态林。许多农户甚至不知道自己家的责任上已经被划为生态公益林，更谈不上知道自己应该享受国家的补偿政策。而林业局和林业站发放公益林补偿金的名单和表格又不予以公开，群众在听说有公益林补偿金这一回事后，无论到林业站还是林业局，都无法查到具体的划分情况，也就更加无法对公益林补偿金的发放情况进行监督。在唐某作案的过程中，就出现了一群众的名下存折里有生态公益林补偿金20余万元的情况，而检察机关找到该群众时，该群众表示毫不知情。

（四）权力集中，监管失控

从各个涉案环节看，无一例外均在监督管理上存在问题。现阶段实行的“一把手”负责、“一把手”抓，极容易使领导干部的权力绝对化、个人化，产生权力的异化和错位。权力的过分集中，加上对政务、财务公开的内容有限，缺乏透明度，群众监督、舆论监督难以落实。这种上级无法监督，平级不敢监督，下级监督不了的不正常现象为该系列案件的发生提供了条件。

三、针对该系列案件的对策

（一）加强职务犯罪预防教育

首先，检察机关和林业部门要加强联系，形成长效的职务犯罪预防体系。同时要注重职务犯罪预防工作的开展，开展经常性、多样性的教育活动，加强对广大党员干部的思想道德教育、作风纪律教育、党纪国法教育和警示教育，提高其拒腐防变的免疫力。利用检察机关办案的优势，以个案为基础，以身边发生的职务犯罪为警示，广泛宣传涉嫌职务犯罪的危害性和查办职务犯罪所取得的成绩，造成声势，形成威慑效应，增强广大干群的举报意识和积极性，形成惩防职务犯罪的合力。

（二）健全资金发放机制，搞好源头预防

要结合实际，进一步加强公益林补偿金发放的管理制度化、规范化建设，健全资金、财务、人事和检查等各项业务管理制度，健全运作规范、制约有效的权力运行机制，防止权力滥用。检察机关要充分发挥“案前、案中、案后”专职预防的主导作用和检察建议的作用，结合办案，注意发现问题，及时向有关单位发出有针对性的检察建议，帮助建章立制，堵塞管理漏洞。同时要认真总结犯罪的特点和规律，深入剖析原因，推动建立和完善防治职务犯罪的长效机制，从源头上遏制和减少职务犯罪。

（三）公开透明，统一管理

林业系统要摒弃以往暗箱操作的做法，做到把每年的生态公益林补偿金发放名单和发放情况予以公开。公开方式可以用各村张榜公布与全县上网公布相结合，让每一个群众都能清楚的了解生态公益林的划分和补偿金发放情况，都能对该专项资金的来龙去脉进行了解和监督；同时，对发放到村的集体生态公益林补偿金收归乡级政府财务代管，村委的各种开支，都必须经过乡政府的批准，走正常的财务程序进行支出，不管建桥、修路，都能处于上级的管理和群众的监督之下。如此就能有效堵住工作人员和村干部伸手的漏洞，让国家给广大群众的利益能真正落实到位。