数学教学融入数学建模思想探讨

摘要：将数学建模思想潜移默化地贯穿于高等数学不同的教学环节，是培养应用型本科学生创新能力和应用能力的重要途径。文章阐述了在高等数学教学融入建模思想的方法，提出了高等数学教学中融入建模思想尚待解决的问题。

关键词：高等数学；数学建模思想；应用能力

高等数学是应用型本科理、工、经、管等多个学科的一门必修的基础课程，是实现应用型本科人才培养目标和提高学生思维能力、应用能力的重要载体，在应用型本科教育中具有举足轻重的地位和作用。然而传统的教学重点侧重于数学公式、命题、数学理论、逻辑推理等方面，不注重学生课内和课外与数学知识相关的实践能力训练，这不仅不利于培养学生学习数学的兴趣，也造成学生应用知识的匮乏和应用意识的薄弱，最终在实践中缺乏应用能力。为此，全国高等院校数学课程指导委员会提出，“要加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养与训练”。这就要求我们必须改革传统高等数学纯理论教学模式，将建模的思想和方法融入到教学中，培养学生的创新能力和应用能力。

一、数学建模思想的认识

数学的应用主要是人们从纷繁复杂的实际中提炼数学问题，用简练的数学语言和方法概括抽象化为数学模型，再通过分析、推理、数学计算和计算机求出此模型的解或近似解，然后再返回实践中进行检验，根据实际情况修改模型，使之逐渐完善。这个全过程称为数学建模。数学建模思想是指把“数学知识、方法”与“实际问题解决”紧密联系起来的一种思想[1]。在数学建模过程中，用数学语言、数学方法把实际问题抽象概括为数学模型是关键性的步骤，是实际问题数学化的具体表现，虽然很难直接套用现成的模式或结论，但数学建模思想始终在起作用。将数学建模融入高等数学，关键是渗透数学建模思想。高等数学这门课程中，从概念和知识的形成，到知识的应用处处体现着数学建模思想，在教学过程中，应该培养学生用数学建模的观点和思考方式解决复杂的实际问题的能力[2]。

二、在高等数学教学中融入数学建模思想的方法和途径

（一）用建模的案例引入数学概念。高等数学中的许多概念背后都蕴含着实际背景，数学教育要高度重视其来龙去脉，使学生感受和体验数学知识的发生过程和应用价值。在教学中应当充分利用提出的实际问题，让学生了解怎样将数学知识与实际问题联系起来并用数学方法定量描述实际问题建立数学模型，怎样对模型进行提炼最终抽象为数学概念，从而调动学生学习兴趣，激发学生的应用意识。数学概念高于原型，用这些模型可以刻画和解决同一类型的其它问题。比如，在讲授定积分概念时从求曲边梯形的面积、变速直线运动物体的路程等实际问题出发，利用极限思想方法通过分割、近似代替、求和、取极限的方式解决这些问题，在此基础上抽象、归纳、提炼出定积分定义。讲解过程中，要强调“以直代曲”、“以不变代变”、“化整为零求近似，积零为整取极限”的数学思想方法。在此基础上，可以提出一些相似的问题如“求截面面积已知的立体体积”、“旋转体的体积”等，让学生用类比的方法建立数学模型并解决问题。这样，让学生切身感受怎样在解决问题的过程中“发明”这些概念和方法，又会让他们体验到数学概念是从我们的生活实际中抽象出来的，并不是表面上看起来那样枯燥难懂，既了解了数学概念的应用价值，又锻炼了解决问题的能力，学会了新的知识，一举多得。（二）将数学知识的应用和数学模型结合。数学知识的应用，可以是解决现实生产生活中的实际问题，也可以是解决数学发展中的理论问题或应用问题，只要这些问题是学生容易理解并且可以利用已学过的知识解决的,在教学中教师都可以结合所学内容,选取适当的问题,引导学生进行分析，通过抽象、简化、假设、建立模型、求解模型、检验模型、模型改进、模型推广等步骤加以示范，使学生经历建立模型解决问题的过程,从而加深他们对数学知识的理解,训练应用数学知识的能力。如，在学习导数在经济中的应用时，对课本中“用需求弹性分析总收益”这一知识点，可以改变传统的教学方法，用数学建模的方式学习能起到事半功倍的作用。教师首先提出“在市场竞争中，降价能增收吗？”这一问题，让学生分析影响收益的因素，建立收益与需求弹性之间的模型，用函数的单调性分析结论，学生真切地感受到怎样通过数学建模利用微积分知识解决提出的问题，以及抽象的数学知识的应用性。再如，极值的应用，可以和日常生活中易拉罐的设计联系起来，先提出一个简单问题：容积一定的带盖圆柱形容器，怎样设计用料最省？——通过建立和求解表面积最小的模型，得出结论：当底面直径与高相等的时候用料最省。然后让学生思考为什么易拉罐的高比底面直径要大。通过观察发现，它的上下底比侧面的用料厚一些。可见，上下底与侧壁用料的材质对圆柱形容器的设计结果是有影响的。接下来，我们假设易拉罐上下底的厚度是侧壁厚度的k倍，再建立模型求解，得出结论：高是底面直径的k倍时，用料最省。在完成这个问题之后，可以继续让学生探讨如果上下底厚薄又不一样怎样设计用料最省？学生通过对问题的分析和探索，不仅找出了问题的答案，还从定量的角度解释了易拉罐制做成这样形状的原因。这个过程培养了学生观察问题、发现问题和解决问题的能力，提高了学生的创新意识。（三）在课外练习中强化建模训练。数学习题中的应用题是最简单的一类数学建模问题，虽然是经过加工处理和简化过的，但仍是有实际背景和实际意义的数学问题，需要建立数学与实际的联系，为运用数学知识和方法提供平台，为实际应用提供思路。解应用题训练，是直接或间接利用已有的数学知识、方法、模型来达到应用的目的。在布置作业时，适当增加应用题数量，让学生在做习题中培养应用意识和创新思维。在课堂外，适当布置一些与学生专业相联系或从实际生活中采集到的开放型应用题，要求学生自己去获得原始数据，查找相关资料，自由组合成学习小组，通过分工协作，分析讨论，按照数学建模的方法步骤建立模型解决问题，并以小论文的形式提交结果。例如，在学完定积分的计算后，布置学生课后去测量和计算学校附近的一些不规则的小花园，池塘等的面积。再如，在学习了闭区间上连续函数的介值定理之后，课外让学生完成以下数学建模小问题：“一个不规则的蛋糕能平均分成二部分吗？”；“在不十分平坦的地面上，椅脚一样长的正方形椅子能否放稳当？”。这样的问题将抽象的数学理论与生活实际联系起来，学生兴趣盎然，能真正体会到应用数学知识解决实际问题的乐趣，提高分析综合能力、抽象概括能力、理论联系实际能力、创造性地解决实际问题的能力。

三、在高等数学教学中融入数学建模思想尚待解决的问题

（一）将数学软件引入教学，培养学生的计算能力和实践能力。基础数学软件Matlab和Mathematica等都是功能强大的计算机软件系统，在数学建模中是强有力的工具，引入这些软件来辅助教学，让学生学习掌握现代化的计算工具和手段，培养学生用计算机进行数学处理和运算的能力。由于数学软件的方便快捷，传统教学中繁琐复杂的计算问题如求极限，求导数，求积分，求多元函数极值、解微分方程等就变得迎刃而解，我们可以更多的把时间用在概念、数学思想的理解和实践能力的训练方面，高素质的应用人才才能以培养。（二）加强师资队伍建设，培养应用型数学教师。作为应用型本科院校的数学教师不仅要具有适应本科教学的学术理论水平，而且应该同时具有较强的实践经验和应用能力。但目前大多数数学教师都是基础数学专业毕业,在课堂教学方面停留在过去所接受的专业教育认知去教学生，很难和学生所学的专业知识有机结合，因此应用型本科院校应从人才引进、人才培训、人才激励等方面给予必要的政策倾斜，大力加强数学师资队伍的建设。

四、结语

将数学建模思想方法融入教学是一个循序渐进的过程，教师要统筹安排，有目的有计划地进行数学建模思想的渗透，选择与教学内容相近、与学生专业相关且适合学生认知基础的模型穿插在教学中，不需要拘泥于建模的全过程，讲解模型适可而止，可引导学生课下思考、求解、验证。将数学建模思想和方法融入高等数学教学是培养具有创新精神的应用型本科人才的一种有效的方法，同时也是一项长期性的教学研究工作，我们不仅要从教学内容、教学过程作进一步研究，还要从课程体系、教学形式等方面不断地探索。

【参考文献】

[1]毕晓华,许钧.将数学建模思想融入应用型本科数学教学初探[J]．教育与职业,2011(9).

[2]耿秀荣.渗透于高等数学的建模思想[J].教育探索,2007(9).

作者:秦素平 单位:河南牧业经济学院理学部