周期函数十篇

周期函数篇1

本文对有关周期函数的相关问题进行简要的概述以满足读者的求知需求.

一个周期函数不一定存在正周期.比如大家熟知的y=sinx，x∈（-∞，0）；即便是存在正周期也不见得存在最小正周期，比如常数函数f（x）=a，狄立克莱（Dirichlet）函数f（x）=1，x为有理数0，x为无理数等，一个周期是否是函数的最小正周期，一般要用反证法进行严格的证明.

比如2π是y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的最小正周期，π是y=tanx，x∈R，x≠π2+kπ，k∈Z的最小正周期，π2是y=|sinx|+|cosx|的最小正周期等.

当然，有很多与三角函数有关的函数也不一 定是周期函数，例如y=sin1x，y=sin|x|，y=sinx2，y=sinx等.

两个周期函数的和一定是周期函数吗？结论是否定的.比如y=sinx+cos2x就不是周期函数.而两个周期函数的和如果是周期函数，这个周期函数也不一定存在最小正周期，像y=sin2x+cos2x.

又如两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数，但它的最小正周期却有可能发生变化，比如y=cotx与y=tanx的周期是π，而y=cotx-tanx=x的周期是π2.

对于确定函数的最小正周期的确是比较困难，教科书也只要求能化为y=Asin（ωx+φ）形式的函数的最小正周期，或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.

二、有关最小正周期和非周期函数问题的证明

例1 证明f（x）=sinx，x∈R的最小正周期是2π.

证明：（1）f（x+2π）=sin（x+2π）=sinx=f（x）.

（2）假设存在0

令x=0，则sinT=0.

又0

令x=π4，sin（π4+T）=sinπ4.

即sin5π4=sin5π4.此为矛盾.

由（1）（2）可知，2π是f（x）=sinx的最小正周期.

例2 证明f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为π2.

证明：（1）f（x+π2）=|sin（x+π2）|+|cos（x+π2）|

=|cosx|+|sinx|=f（x）.

（2）假设存在0

即|sin（x+T）|+|cos（x+T）|=|sinx|+|cosx|.

令x=0，得sinT+cosT=1.

即sin（T+π4）=22.

又0

sin（T+π4）>22.此为矛盾.

由（1）（2）可知，π2是f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期.

例3 证明f（x）=sinx不是周期函数.

证明：假设f（x）=sinx是周期函数，则存在T≠0使f（x+T）=f（x），即sinx+T=sinx.

令x=0，则sinT=0.

则T=kπ，k∈Z. ①

令x=T，则sin2T=sinT=0.

2T=nπ，n∈Z. ②

②÷①得nk=22（n∈Z，k∈Z）.此为矛盾.

f（x）=sinx不是周期函数.

例4 证明f（x）=sinx+cos2x不是周期函数.

证明：假设f（x）=sinx+cos2x是周期函数，则存在T≠0使f（x+T）=f（x），即sin（x+T）+cos（x+T）=sinx+cos2x.

令x=0，cosxT=1.则

2T=2kπ，k∈Z. ①

令x=-T，sin（-T）+cosT=1，即sinT=0.则

T=nπ，n∈Z. ②

周期函数篇2

一、定义法

直接利用周期函数的定义求出周期。

二、公式法

利用公式求解三角函数的最小正周期。

三、转化法

对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解

四、最小公倍数法

由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。

注：1.分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。

2、对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。

五、图像法

利用函数图像直接求出函数的周期。

周期函数篇3

先让我们了解下函数图象的对称性以及周期性的相关性质和常见结论.

一、 函数图象关于直线对称的一些性质：

1. 定义在上的函数，若，则函数的图象关于直线对称，反之，若函数的图象关于直线对称，则必有.

证明：若，设点为函数图象上任意一点，

而点关于直线的对称点为，，

点也在的图象上，即函数的图象关于直线对称。

反之，若函数的图象关于直线对称，设点为函数的图象上任一点，而点关于直线的对称点也在的图象上，

，令，则，。

2.定义在上的函数，若，则函数的图象关于直线对称，反之，若函数的图象关于直线对称，则必有：成立。特别地，当时，函数的图象关于

对称。当时，函数的图象关于对称，是偶函数。

3.函数图象关于点对称的性质：定义在上的函数，若恒成立，则函数的图象关于点对称，反之，若函数的图象关于点对称，则必有：

证明：若，设点为函数图象上任意一点，

而点A关于点的对称点为，

令，则，故

所以点B也在的图像上。即的图象关于点对称

反之也成立。

特殊结论：当时，的图象关于对称，

当时，的图象关于对称，是奇函数。

二、 函数周期的一些性质

1. 函数周期的定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期。

2. 几个常见结论：

（1） 若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（2）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（3）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（4）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（5）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（6），则的周期T=3a；

（7）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

3.函数的对称性与周期性的常见联系

（1）若定义在的函数的图象关于直线和直线对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。

（2）若函数关于点和点对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。

（3）若函数关于点和直线对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。

（4）由前文可知，若定义在的函数，满足且，则函数必为周期函数，是它的一个周期。

三、探究应用

探究一.已知函数是定义在上的函数，若对任意的，有，且，，求的值

简析：由已知对恒成立，得，6为函数的一个周期。

探究二.已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（）

简析一：设，任意给点，则点关于点的对称点为，由，，联立可解得，，故选.

简析二：

由上文可知：定义在上的函数，若恒成立，则函数的图象关于点对称。则对称点坐标为.

探究三：设函数上满足，，且在闭区间上只有.试求方程在闭区间上根的个数.

简析：由且得，函数的图象关于直线和直线对称，所以10为函数的一个周期.又，故对任意满足或的整数，都有.满足以上两个不等式的各有403个，

在闭区间上根有806个.

周期函数篇4

定义：一般的，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数。非零常数T叫这个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫最小正周期，这里所说的是周期指函数的最小正周期。

性质：1.若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，是b-a它的周期。

证明：f（x+a）=f（x+b）（a≠b）

用x-a代替x得：f（x）=f（x-a+b）=f（x+b-a）

f（x）的周期为b-a。

2.若f（x+a）=-f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的周期。

证明：f（x+a）=-f（x）

用x-a代替x得：f（x-a+a）=-f（x-a），即f（x）=-f（x-a）

f（x+a）=f（x-a），由性质1得f（x）的周期是2a。

3.若f（x+a）=■（a≠0且f（x）≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的周期。

证明：f（x+a）=■=■=f（x-a）

由性质1得f（x）的周期是2a。

4.若f（x+a）=■（a≠0且f（x）≠1），则f（x）是周期函数，4 a是它的周期。

证明：f（x+2a）=f（x+a+a）=■=■=■

由性质3得f（x）的周期是4a。

二、函数的对称性

一般的，对于函数法f（x），如果对于定义域内的任意一个x的值：

若f（x+a）=f（b-x），则函数f（x）的图象关于直线x=■对称，特别的，若f（a+x）=f（a-x）函数的图象关于直线x=a对称。

若f（x+a）=-f（b-x），则函数f（x）的图象关于点（■，0）成中心对称，特别的，若f（x+a）=-f（a-x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称。

三、周期性与对称性的相互联系

函数的周期性与对称性是相互联系，密切相关的，一般的：

1.若f（x）的图象有两条对称轴x=a和x=b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2b-a是它的周期。

证明：由x=a是f（x）的对称轴，则f（x）=f（2a-x）

又由x=b是f（x）的对称轴，则f（x）=f（2b-x）

f（2a-x）=f（2b-x）=f[2a-x+（2b-2a））]

即f（x）=f[x-2（b-a）]f（x）的周期是2b-a

2.若f（x）的图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2b-a是它的周期。

证明：由（a，0）是f（x）的对称中心，则f（x）=-f（2a-x）

又由（b，0）是f（x）的对称中心，则f（x）=-f（2b-x）

f（2a-x）=f（2b-x）

f（x）的周期是2b-a

3.若f（x）的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且4b-a是它的周期。

证明：由x=a是f（x）的对称轴，则f（x）=f（2a-x）

又由（b，0）上f（x）的对称中心，则f（x）=-f（2b-x）

f（2a-x）=-f（2b-x）

f（x）=-f（2b-2a+x）

f（x）的周期是4b-a

四、应用

例1.已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-■，0）对称，且满足f（x）=-f（x+■），f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+ f（3）+…+f（2007）的值为（ ）

A.-2 B.2

C.0 D.1

解析：f（x）的图象关于点（-■，0）对称，f（x）=-f（-x-■），又f（x）=-f（x+■）f（-x-■）=f（x+■），即f（x）为偶数又f（x+3）=-f[（x+3）+■]=-f（x+■）=f（x），f（x）是以3为周期的周期函数，f（1）= f（-1）=1，f（0）=f（3）=-2，f（2）=f（-1）=1，f（1）+f（2）+f（3）=0，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）=f（1）+f（2）+f（3）=0，故选C.

例2.对函数f（x），当x∈（-∞，+∞）时，f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）

在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0

（1）试判断函数y=f（x）的奇偶性。

（2）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

解析：（1）由已知得f（0）≠0，f（x）不是奇函数，又由f（2-x）=f（2+x）得函数y=f（x）的对称轴为x=2，f（-1）=f（5）≠0，f（-1）≠f（1），f（x）不是偶函数。故函数y=f（x）是非奇非偶函数。

周期函数篇5

关键词：基音周期；自相关函数法

一、背景

语音的基音周期是个非常重要的参数。但由于种种原因，基音周期的检测并没有想象中的简单。这主要因为，语音信号并不是一个严格的周期信号，它会随着人的声道特性的改变而改变，同时，声道的共振峰会影响基音周期的检测，再加上噪声的干扰等各种外界因素，使得基音周期的检测变得困难。在长期的实践中，语音学家提出了不少基音周期的提取方法，如自相关函数法、平均幅度差函数法、峰值提取算法、倒谱法等等。其中，自相关函数法是一种较为简单和可靠的方法

二、自相关函数法

在语音信号数字化之后，用窗函数截取一帧样本（一帧中一般需要包括大约3至5个基音周期），设一帧中一共有N个样本，则该帧的自相关函数为 。一般来说，自相关函数有如下三个特点：1、若原函数是周期函数，则其自相关函数也是周期函数，且其周期与原函数相同；2、自相关函数是偶函数；3、自相关函数在k=0时取得最大值。因此，自相关函数的第一个峰值所对应的k值可以近似为基音周期。

而在实际应用中，由于自相关函数是两个等长序列的乘积和，因此，随着k的增加，参与求和的项数会不断减小，这会使自相关函数的包络呈衰减趋势，这会使基音周期不一定能对应自相关函数的第一个峰值。为了解决这个问题，我们采用修正的自相关函数法。即采用两个不同长度的窗口进行乘积求和，这就能保证在某个区间内，参与乘积求和的项数保持不变，较为准确地确定基音周期所对应的峰值。

三、步骤分析

首先先要将输入的语音模拟信号进行采样和量化，将其数字化。然后将信号通过截至频率为60～900Hz的带通滤波器，目的是防止共振峰对基音周期的影响并且抑制50Hz的电源干扰。为了进一步防止共振峰的影响，可以对信号进行三电平中心削波，即规定一个门限C，当信号的取值大于C时，削波器输出为1；当信号的取值小于-C时，削波器输出为-1；当信号的取值介于-C～C时，削波器输出为0。经过削波后，不仅能防止共振峰的影响（因为共振峰信息大多包含在信号幅度低的部分，而三电平削波将信号低幅度部分置位0，从而去除了共振峰的影响），也使自相关函数的计算变得简便。在削波之后，就可以对信号进行分帧，帧长最好大于3个基音周期，但帧长不宜过长，否则会破坏语音信号的短时平稳性。最后可对对每一帧计算其自相关函数（若采用修正的自相关函数法，必须是两帧的长度不一致，这是可以以短帧为基础，把当前短帧与下一帧的前1/3合并为一个长帧）。计算完自相关函数后，寻找每一帧自相关函数的第一个峰值（不包括k=0），该峰值对应的k值即为该帧的语音信号的基音周期。

四、举例分析

首先录制三个音节的语音信号，三个音节分别为“一”、“二”、“三”，其数字化后的时域波形如图一所示。经过滤波、削波、分帧、计算自相关函数后，每帧对应的基音周期周期如图二所示。

从图中可见，通过图像可以比较清楚地观察出每一帧对应的基音周期，结果良好。

五、结语

语音基音周期的提取是语音信号处理比较重要的一个环节，本文介绍的自相关函数法是一种比较简单而可靠的方法。而对于精度要求更高的处理，则有待语音学家继续开发较为有效的算法。■

参考文献

[1]赵力.语音信号处理[M].机械工业出版社

[2]陈永彬，等.语音信号处理[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1990.

周期函数篇6

关键词：数学教学 中学生 发展思维 探索

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）02-0100-02

函数是中学数学的重点内容，而抽象函数因其解析式的不具体而成为函数内容的难点之一，但因其又能很好地考查学生对函数概念的理解与抽象思维能力，因而在进几年的高考和各类竞赛中经常出现抽象函数方面的题目，本文就抽象函数的周期存在条件作一点探讨，从而得出一种简捷的求抽象函数周期的方法，以期能在这方面给大家一点启示。

定义：对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一值时，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函数f（x）是周期函数，并且周期为T。

定理1.对于函数f（x），如果存在一个非零的常数a，使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，那么f（x）是周期函数，并且周期为2a，即：

条件1：f（x+a）= -f（x）

条件2：f（x+a）=f（x-a）

条件3：f（a+x）=f（a-x）且f（x）是偶函数

条件4：f（a+x）=

证明：①由条件1及已知，对函数f（x）定义域内的任意x都有f（x+a）= -f（x）

所以f[（x+a）+a]= -f（x+a） =f（x） 即f（x+2a）=f（x）

所以函数f（x）的一个周期为2a

②由条件2 及已知，对函数f（x）定上域内的任意x都有f（x+a）=f（x-a）

所以f[（x+a）+a]=f[（x+a）-a]=f（x） 即f（x+2a）=f（x）

所以函数f（x）的一个周期为2a

③由条件3及已知，对函数f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=f（a-x），且f（x）是偶数

所以f[a+（x+a）]=f[a-（x+a）]=f（-x）=f（x）

即f（x+2a）=f（x） 所以函数f（x）的一个周期为2a

④由4可知，对f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=

所以f（x+2a）=f[（a+x）+a]= =f （x）

即f（x+2a）=f（x） 所以函数f（x）的一个周期为2a

定理2.对于函数f（x），若存在一个非零常数a，使得当x取定义域内的每一值时都有下列条件之一成立时，函数f（x）是周期函数，并且周期为4a。即：

条件5：f（x+a）= -f（x-a）

条件6：f（a+x）= -f（a-x）且f（x）为偶函数

证明：⑤由条件5及已知

因为f（x+a）= -f（x-a）

所以f（x+2a）=f[（x+a）+a]= -f[（x+a）-a]= -f（x）

所以f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]= -f[（x+2a）= f（x）

所以函数f（x）的一个周期为4a

⑥由条件6及已知

因为f（a+x）= -f（a-x）且f（x）为偶函数

所以f（2a+x）=f[a+（a+x）]= - f[a-（a+x）]= -f（-x）= -f（x）

所以f（4a+x）=f[2a+（2a+x）]= - f（2a+x）= f（x）

所以函数f（x）的一个周期为4a

推论1.对于函数f（x），若存在两个非零常数a，b（a≠b）使得当x取定义域内的每一个值时，都有下列条件之一成立时，那么函数f（x）是以2（a-b）为周期的函数，即：

条件7：f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x）

条件8：f（a+x）= -f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）

简证：⑦由条件7及已知

f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）]=f[a-（x-b）]=f[b+（a-x）]=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]

由定理1的条件2知，f（x）是以2（a-b）为周期的函数

⑧由条件8及已知

f[x+（a-b）=f[a+（x-b）]= -f[a-（x-b）]= -f[b+（a-x）=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]

由定理1条件2知，f（x）是以2（a-b）为周期的函数

推论2对于函数f（x），若存在两个非零常数a，b（b≠a）使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，则f（x）是以4（a-b）为周期的函数，即：

条件9.f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）

条件10.f（x+a）=f（x-a）且f（x+b）= -f（x-b）

间证：⑨由条件9及已知

f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）=f[a-（x-b）]=f[b-（x-a）] Cf[b+（x-a）]= -f[x-（a-b）]

由定理2条件5知，f（x）是以4（a-b）为周期的函数

⑩由条件10及已知

f[x+（a-b）]=f[（x+a）-b]= -f[（x+a）+b]= -f[（x+b）-a]= -f[（x+b）-a]= -f[x-（a-b）]

由定理2条件5知，f（x）是以4（a-b）为周期的函数。

例1.设f（x）是R上的奇函数，且f（x+3）= -f（x）求f（2016）

解：由定理1的条件1知函数f（x）的周期

为T=2×3=6 所以有f（6k+x）=f（x） （k为非零整数）

又f（x）为R上的奇函数 所以f（0）=0

所以f（2016）=f（6×336）=f（0）=0

例2.设f（x）是实数集R为定义域的函数且满足：

f（x+10）=f（10-x） f（20-x）=-f（20+x）

则f（x）是（ ） （1992年全国高考中联赛题）

A.偶函数又是周期函数 B.偶函数不是周期函数

C.奇函数又是周期函数 D.奇函数不是周期函数

解：由推论2条件9可知，函数f（x）的周期为

T=4×（20-10）=40

又f（20-x）=-f（20+x）

所以f（-x）=f[20-（x+20）]=-f[20+（x+20）]=-f（40+x）=-f（x）

即：f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数 故选（C）

例3：设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1、x2：∈[0， ]都有f（x1+ x2）=f（x1）・f（x2）且f（1）=a>0

（1）、求f（ ）及f（ ）

（2）、证明f（x）是周期函数（2001年全国高考题）

解（1）（略）

（2）依题设y=f（x）关于直线x=1对称

由定义的条件3可知：f（1+x）=f（1-x）

用x-1代x得：f（x）=f[1-（x-1）]

故 f（x）=f（1+1-x） 即f（x）=f（2-x）， x∈R

由f（x）是偶函数知f（-x）= f（x） x∈R

f（-x）=f（2-x） x∈R

周期函数篇7

关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性

抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。

一、抽象函数的定义域

例1已知函数f(x)的定义域为[1，3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定义域。

解析：由由a＞0

知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a，3-a]。

点评：1.已知f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a，b]上的值域。

二、抽象函数的值域

解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。

例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。

解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。

三、抽象函数的奇偶性

四、抽象函数的对称性

例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，则g(x)+ g(-x)的值为（ ）

A、 2

B、 0

C、 1

D、不能确定

解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=， y=f(2x+1) 是奇函数，y=也是奇函数，。 ， ，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+ g(-x)=故选A 。

五、抽象函数的周期性

例4、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(

)

(A) 是偶函数

(B) 是奇函数

(C)

(D) 是奇函数

解: 与都是奇函数，，

函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D

定理1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以T=a＋b为周期的周期函数。

定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)= －f (x－b)，则y=f (x) 是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。

定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b （a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b－a)为周期的周期函数。

定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a，0)与点(b，0) ， (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b－a)为周期的周期函数。

定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b，0)，(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b－a)为周期的周期函数。

性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b，ab≠0)，则函数f(x)有周期2(a－b)；

性质2：若函数f(x)满足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b，ab≠0)，则函数有周期2(a－b).

特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.

性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b，ab≠0)， 则函数有周期4(a－b).

特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。

从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。

周期函数篇8

1. 函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2. 复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;

5.

方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);

6.

a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

7.

(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);

(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);

(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N

8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：

(1)A中元素必须都有象且唯一;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

周期函数篇9

关键词：函数；导函数；对称性

函数是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性以及和导函数的对称性这几个方面来探讨函数与对称有关的问题。

1.函数自身的对称性

定理1 函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a-x）=f（a+x）即f（x）=f（2a-x），证明（略）。

推论 函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）

定理2 函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b即f（x）+f（2a-x）=2b。

推论 函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（-x）+f（x）=0即f（-x）=-f（x），偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。

定理3 ①若函数y=f（x）的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

②若函数y=f（x）的图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

③若函数y=f（x）的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4a-b是其一个周期。

以下给出③的证明，①②的证明留给读者。

因为函数y=f（x）的图像关于点A（a，c）成中心对称，所以f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c（*）

又因为函数y=f（x）的图像关于直线x=b成轴对称。所以f（x）=f（2b-x）代入（*）得：f（x）=2c-f[2（a-b）+x]，用2（a-b）+x代x得f[2（a-b）+x]=2c-f[4（a-b）+x]，代入（**）得：f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函数是周期函数，且4a-b是其一个周期。

2.不同函数对称性的探究

定理4 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点Aa，b成中心对称。

证明：设点Px0，y0是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）。点Px0，y0关于点Aa，b的对称点为P′2a-x0，2b-y0，此点坐标满足y=2b-f（2a-x），显然点P′2a-x0，2b-y0在y=2b-f（2a-x）的图像上。

同理可证：y=2b-f（2a-x）图像上关于点Aa，b对称的点也在y=f（x）的图像上。

推论 函数y=f（x）与y=-f（-x）的图像关于原点成中心对称。

定理5 函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称。

证明 设点Px0，y0是y=f（x）图像上任意一点，则y0=f（x0）。点Px0，y0关于直线x=a的对称点为P′2a-x0，y0，显然点P′2a-x0，y0在y=f（2a-x）的图像上。

同理可证：y=f（2a-x）图像上关于直线x=a对称的点也在y=f（x）图像上。

推论 函数y=f（x）与y=f（-x）的图像关于直线y轴对称。

定理6 ①函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

②函数y=f（x）与x-a=f（a+y）的图像关于直线x-y=a成轴对称。

现证定理6中的②

设点Px0，y0是y=f（x）图像上任意一点，则y0=f（x0）。点Px0，y0关于直线x-y=a的对称点为P′x1，y1，则x1=a+y0，y1=x0-a，所以x0=y1+a，y0=x1-a代入y0=f（x0）之中得x1-a=f（a+y1）。

所以点P′x1，y1在函数x-a=f（a+y）的图像上。同理可证：函数x-a=f（a+y）的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f（x）的图像上。

故定理6中的②成立。

推论 函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。

3.函数与导函数的对称性

已知函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），

定理7 若函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）中心对称，则y=f′（x）关于直线x=a轴对称；若函数y=f（x）的图像关于直线x=a轴对称，则y=f′（x）关于点A（a，0）中心对称。

证明：因为函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称，所以有f（a-x）+f（a+x）=2b，求导得：-f′（a-x）+f′（a+x）=0，

即y=f′（x）关于直线x=a轴对称；因为函数y=f（x）的图像关于直线x=a轴对称，所以有f（a-x）=f（a+x），求导得：-f′（a-x）=f′（a+x）即y=f′（x）关于点A（a，0）中心对称

推论 奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数

定理8 若函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图像关于直线x=a轴对称，且函数y=f（x）在x=a处有定义，则y=f（x）关于点A（a，f（a））中心对称。

证明：因为函数y=f′（x）的图像关于直线x=a轴对称，所以有f′（a-x）=f′（a+x），由此得：-f（a-x）=f（a+x）+2c（其中c为常数），即f（a+x）+f（a-x）=-2c，即y=f（x）关于点A（a，-c）中心对称，把f（a+x）+f（a-x）=-2c中的x替换为0可得f（a）=-c，所以y=f（x）关于点A（a，f（a））中心对称。

4.函数对称性应用举例

例1 定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，

且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（ ）

A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数

解：因为f（10+x）为偶函数，所以f（10-x）=f（10+x）。所以f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，所以x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选（A）。

例2 设y=f（x）在R上可导且满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则f′（2009）=（ ）

A.-12009 B.0 C.2004 D.12009

解：方法一：采用特殊法，视函数为常数函数，易知答案为B

方法二：因为f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x）。所以-f′（-x）=f′（x）f′（x+2）=f′（x），

因此f′（2009）=f′（1），又因为-f′（-1）=f′（1），f′（-1）=f′（1）因此f′（2009）=f′（1）=0

周期函数篇10

关键词：函数；对称性；思考

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）13-0121

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f（x）的图象关于点A（a，b）对称的充要条件是：f（x）+f（2a-x）=2b

证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图象上任一点，点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的图象上，2b-y=f（2a-x）

即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证。

（充分性）设点P（x0，y0）是y=f（x）图象上任一点，则y0=f（x0）

f（x）+f（2a-x）=2bf（x0）+f （2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。

故点P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图象上，而点P与点P′关于点A（a，b）对称，充分性得征。

推论：函数y=f（x）的图象关于原点O对称的充要条件是f（x）+ f（-x）=0

定理2. 函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是：f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f （2a-x）（证明留给读者）

推论：函数y=f（x）的图象关于y轴对称的充要条件是y=f（x）=f（-x）

定理3. ①若函数y=f（x）图象同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

②若函数y=f（x）图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称 （a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

③若函数y=f（x）图象既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

函数y=f（x）图象既关于点A（a，c） 成中心对称，

f（x）+ f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f [2a-（2b-x）] =2c………………（*）

又函数y=f（x）图象关于直线x=b轴对称，

f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f [2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得

f [2 （a-b）+ x]=2c-f[4（a-b）+x]代入（**）得：

f（x）= f [4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4. 函数y=f（x）与y=2b-f （2a-x）的图象关于点A（a，b）成中心对称。

定理5. ①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图象关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图象关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图象关于直线x-y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③：

设点P（x0，y0）是y=f（x）图象上任一点，则y0=f（x0）。记点P（x，y）关于直线x-y=a的轴对称点为P’（x1，y1），则x1= a+y0，y1=x0-a，x0 =a+y1，y0=x1-a 代入y0= f（x0）之中得x1-a=f（a+y1） 点P′（x1，y1）在函数x-a=f（y+a）的图象上。

同理可证：函数x-a=f（y+a）的图象上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f（x）的图象上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f（x）的图象与x=f（y）的图象关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图象的对称性列表

注：①上表中k∈Z；②y=tanx的所有对称中心坐标应该是（kπ/2，0），而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是（kπ，0），这明显是错的。

四、函数对称性应用举例

例1. 定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f （5-x）=f （5+x），则f （x）一定是（ ）。（第十二届希望杯高二第二试题）

（A）是偶函数，也是周期函数

（B）是偶函数，但不是周期函数

（C）是奇函数，也是周期函数

（D）是奇函数，但不是周期函数

解：f（10+x）为偶函数，f（10+x）= f （10-x）.

f （x）有两条对称轴 x=5与x=10 ，因此f （x）是以10为其一个周期的周期函数， x=0即y轴也是f （x）的对称轴，因此f （x）还是一个偶函数。

故选（A）

例2. 设定义域为R的函数y=f （x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图象关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）。

（A）1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002

解：y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，

y=g-1（x-2） 反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2） 的反函数是：y=2+g（x），f（x-1）=2+g（x），有f（5-1）=2+g（5）=2001

故f（4） = 2001，应选（C）。

例3. 设f （x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）= f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=-x，则f（8.6 ） = .

解：f （x）是定义在R上的偶函数x=0是y=f （x）的对称轴；

又f（1+x）= f（1-x） x=1也是y=f （x）的对称轴。故y=f （x）是以2为周期的周期函数，f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.

例4.函数 y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）。（1992年全国高考理）

（A）x=- （B）x=- （C）x= （D）x=

解：函数y=sin（2x+）的图象的所有对称轴的方程是2x+=kπ+

x=-π，显然取k=1时的对称轴方程是x=-故选（A）

例5. 设f （x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=- f （x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=（ ）。

（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5

解：y=f （x）是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；

又f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+ x） = f（1-x）， 直线x=1是y= f（x）的对称轴，故y=f （x）是周期为2的周期函数。