垂直与平行十篇

垂直与平行篇1

线面平行、垂直问题是高考备考的重点. 从解决“平行与垂直”的有关基本问题着手，熟悉公理、定理的内容和功能，通过分析与概括，掌握解决问题的规律――充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高推理论证、空间想象能力. 在高考中，此部分试题要么以客观题的形式出现，要么以解答题的形式出现，但不管是哪种形式，总体难度都不大.

■

无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直）都源自于线与线的平行（垂直），即不论何种“平行（垂直）”都要化归到“线线平行（垂直）”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口. 这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要. 在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.

■

在具体操作时，构造中位线与平行四边形是平行问题的主要手段；利用平面的垂线作转化是解决垂直问题的关键.

■

■ 如图1，已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点.

■

图1

（1）求证：直线MF∥平面ABCD；

（2）求证：平面ACC1A1平面AFC1.

破解思路 （1）要证直线MF∥平面ABCD，根据线面平行的判定定理，就应在平面ABCD中找到一条直线，使该直线平行于MF，即“线线平行？圯线面平行”.

（2）要证平面ACC1A1平面AFC1，根据面面垂直判定定理，就应在平面AFC1中找一条直线垂直于平面ACC1A1.

经典答案 （1）如图2，延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.

■

图2

因为B1C1∥NB，F是BB1的中点，所以F为C1N的中点.

因为M是线段AC1的中点，所以MF∥AN.

又MF？埭平面ABCD，AN？奂平面ABCD，所以MF∥平面ABCD.

（2）连结BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，可知：A1A平面ABCD.

又BD？奂平面ABCD，所以A1ABD.

因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.

又AC∩A1A=A，AC，A1A？奂平面ACC1A1，所以BD平面ACC1A1.

在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形.

故NA∥BD，所以NA平面ACC1A1.

又NA？奂平面AFC1，所以平面AFC1平面ACC1A1.

■ 如图3，已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD.

（1）求证：平面PAC平面NEF.

（2）在线段PA上是否存在一点M，使PC∥平面MEF？若存在，求■的值；若不存在，请说明理由.

■

图3

破解思路 （1）要证平面PAC平面NEF，根据面面垂直的判定定理，就应在平面NEF中找到一条直线，使该直线垂直平面PAC，即“线面垂直？圯面面垂直”.

（2）根据线面平行性质定理，由PC∥平面MEF知，过PC的一个平面与平面MEF的交线必与PC平行，即“PC∥平面MEF？圳PC∥MO”.

经典答案 （1）因为PA平面ABCD，BD？奂平面ABCD，所以PABD.

又BDAC，AC∩PA=A，所以BD平面PAC.

因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，所以EF平面PAC.

又EF？奂平面NEF，所以平面PAC平面NEF.

（2）当■=■时，PC∥平面MEF.

连结OM，因为OC=■AC，所以■=■，即■=■，所以PC∥MO.

因为MO？奂平面MEF，PC？埭平面MEF，所以PC∥平面MEF.

■

1. 如图4，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，Q为PA的中点. 求证：

（1）PC∥平面QBD；

（2）平面QBD平面PAC.

■

图4

2. 如图5，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DBAC，点M是棱BB1上一点.

（1）求证：MDAC；

（2）试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.

垂直与平行篇2

1． 线面平行、垂直的判定与性质的重点

熟练掌握两类相互转化关系，平行转化：线线平行?圯线面平行，线面平行?圯线线平行；垂直转化：线线垂直?圯线面垂直，线面垂直?圯线线垂直．

2． 线面平行、垂直的判定与性质的难点

①直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的交替使用．

②空间向量的引入，利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标，将几何问题转化为代数问题．

1． 传统法证明线面平行、垂直

证明线面平行，依据直线和平面平行的判定定理，找“平面内的一条线”与已知直线平行；证明线面垂直，依据线面垂直的判定定理，找到所需的“平面内两条相交直线”． 而有时证明线线平行、垂直时，又转化为证明线面平行、垂直，如此反复，直到证得结论．

2． 向量法证明线面平行、垂直

（1）证明线面平行

证明直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行．

证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．

（2）证明线面垂直

若要证直线l与平面α垂直，只要在α内找到两个不共线向量a，b，在l上取向量p，证得p•a=0且p•b=0即可．

证明直线的方向向量与平面的法向量平行．

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． 证明：EF∥平面SAD．

图1 图2

思索 立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法． 几何法：证明EF与平面SAD内的某条线平行；向量法：利用向量平行转化为两直线平行，从而线面平行．

破解 法1：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点． 连结AG，FGCD，又CDAB，故FGAE，AEFG为平行四边形． EF∥AG，又AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD． 所以EF∥平面SAD．

法2：如图2，建立空间直角坐标系D－xyz． 设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），Ea，，0，F0，，，=－a，0，． 取SD的中点G0，0，，则=－a，0，，=，EF∥AG，AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD，所以EF∥平面SAD． 另解，=（0，a，0）显然为平面SAD的一条法向量，而•=0，所以EF∥平面SAD．

点评 两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在传统法中注意用分析法寻找思路．

如图2，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1． 证明：SD平面SAB．

思索 几何法：只需要证明SD垂直于平面中的两条相交直线；向量法：利用向量的数量积为零证明线线垂直，从而证得线面垂直．

图4 图5

破解 法1：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB，SE=． 又SD=1，故ED2=SE2+SD2，所以∠DSE为直角． 由ABDE，ABSE，DE∩SE=E，得AB平面SDE，所以ABSD． SD与两条相交直线AB，SE都垂直，所以SD平面SAB．?摇

法2：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图5所示的空间直角坐标系C-xyz． 设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）． 又设S（x，y，z），则x>0，y>0，z>0． =（x－2，y－2，z），=（x，y－2，z），=（x－1，y，z）． 由=得=，故x=1． 由=1得y2+z2=1． 又由=2得x2+（y－2）2+z2=4，即y2+z2－4y+1=0，故y=，z=． 于是S1，，，=－1，－，，=1，－，，=0，，，•=0，•=0．故DSAD，DSBS，又AS∩BS=S，所以SD平面SAB．

点评 立体几何的解答通常都能用两种方法解决，尽管试题的命制载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则． 用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归为几何问题）．?摇

如图6，ABC是正三角形，AD平面ABC，EC平面ABC，且AD=AB=2，CE=1，能否在线段BD上找到一点F，使AF平面BDE？

思索 探究问题的设问方式可以先假设结论成立，然后进一步分析研究需要满足什么条件，从而确定它的存在与否；也可假设满足某个条件，从而推出结论成立来说明它的存在性．

破解 法1：取BD中点F，AB中点G，连EF，CG，FG，有FG∥DA，且FG=DA=1，AFDB． 因为AD平面ABC，所以FG平面ABC． 因为EC平面ABC，AD=AB=2，CE=1，所以FG∥CE且FG=CE，CECG，故四边形EFGC为矩形． 因为ABC是正三角形，所以GCAB，所以GC平面ABD，GCAF，所以EFAF，又ABD为等腰直角三角形，所以AFDB，所以AF平面BDE，结论成立．

法2：建立如图7所示的坐标系，则有A（0，0，0），D（0，0，2），E（0，2，1），B（，1，0）． 令DF=x•DB，则=（x，x，－2x），=+=（x，x，2－2x），=（0，2，－1），=（，1，－2）． 若AF平面BDE，则•=0，•=0，故x=，此时F为BD中点．

垂直与平行篇3

1.下列说法中,正确的有(

)

①斜率均不存在的两条直线可能重合;

②若直线l1l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;

③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;

④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1l2.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系(

)

A.平行

B.重合

C.相交

D.以上答案都不对

3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(

)

A.(2,0)

B.(0,2)

C.(0,1)

D.(1,0)

4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,则a的值为(

)

A.2

B.±2

C.2

D.±2

5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=

.

6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,则a的值为

.

7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为

.

8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:

(1)倾斜角为135°;

(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;

(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.

能力达标

9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于(

)

A.-4

B.-2

C.0

D.2

10.已知直线l1:xsin

α+y-1=0,直线l2:x-3ycos

α+1=0.若l1l2,则sin

2α=(

)

A.35

B.-35

C.23

D.-23

11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(

)

A.-3

B.3

C.-6

D.6

12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是(

)

①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;

②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;

③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是(

)

A.0或3

B.-1或3

C.0或-1或3

D.0或-1

14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为

.

15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为

,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为

.

16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.

(1)l1l2,且直线l1过点M(-4,-1).

(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.

17.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BEAC,求证:CFAB.

解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb,

1.下列说法中,正确的有(

)

①斜率均不存在的两条直线可能重合;

②若直线l1l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;

③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;

④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1l2.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案C

解析斜率均不存在的两条直线可能平行,也可能重合,故①正确,两直线垂直,有两种情况:当两条直线都有斜率时,斜率乘积为-1;也可以一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,故②错误,③④正确.

2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系(

)

A.平行

B.重合

C.相交

D.以上答案都不对

答案A

解析直线l1的斜率k1=12,

直线l2的斜率k2=12,

k1=k2.

两条直线在y轴上的截距分别为74和52,不相等,

l1与l2互相平行.

故选A.

3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(

)

A.(2,0)

B.(0,2)

C.(0,1)

D.(1,0)

答案B

解析设l2与y轴交点为B(0,b).

直线l1过A(1,1),O(0,0),

kOA=1.

l1l2,kOA·kAB=-1,

即kAB=b-10-1=-1,

解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).

4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,则a的值为(

)

A.2

B.±2

C.2

D.±2

答案D

解析直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,显然a≠0,-12a=-a4,52a≠-12,即a2-2=0,a≠-5.

解得a=±2,

故选D.

5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=

.

答案-98

解析由根与系数的关系可知k1+k2=32,k1·k2=-b2,

l1∥l2,k1=k2=34,

解得b=-2k1·k2=-98.

6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,则a的值为

.

答案0或5

解析当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时直线l2的斜率k2=0,则l1l2,满足题意.

当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.

由l1l2,知k1k2=-1,即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5.

7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为

.

答案(3,-6)

解析设D(x,y),由题意可知,AB∥CD且AD∥BC,

kAB=kCD且kAD=kBC,

3-1-2-1=y+4x,-4-30+2=y-1x-1,解得x=3,y=-6.

8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:

(1)倾斜角为135°;

(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;

(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.

解(1)由kAB=m-32m2=tan

135°=-1,

解得m=-32或m=1.

(2)由题意kAB=m-32m2,且-7-20-3=3,

则m-32m2=-13,解得m=32或m=-3.

(3)令m-32m2=9+3-4-2=-2,

解得m=34或m=-1.

能力达标

9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于(

)

A.-4

B.-2

C.0

D.2

答案B

解析直线l的斜率为-1,则直线l1的斜率为1,

kAB=2-(-1)3-a=1,a=0.

由l1∥l2,得-2b=1,得b=-2,所以a+b=-2.

故选B.

10.已知直线l1:xsin

α+y-1=0,直线l2:x-3ycos

α+1=0.若l1l2,则sin

2α=(

)

A.35

B.-35

C.23

D.-23

答案A

解析l1l2,sin

α-3cos

α=0,即tan

α=3.

sin

2α=2sin

αcos

α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=610=35.

11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(

)

A.-3

B.3

C.-6

D.6

答案B

解析由题意知l1l2,kl1·kl2=-1,

即-13k=-1,解得k=3.

12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是(

)

①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;

②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;

③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

答案D

解析由斜率公式,①中,直线l2的斜率也为2,故l1∥l2;②中,直线l1的斜率也为0,故l1∥l2;③两条直线的斜率均为12,且两直线没有公共点,故l1∥l2.故选D.

13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是(

)

A.0或3

B.-1或3

C.0或-1或3

D.0或-1

答案D

解析两直线没有公共点,1×3a-a2(a-2)=0,

a=0或-1或3,经检验知a=3时两直线重合,a=0或a=-1时,两直线平行.

14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为

.

答案(0,-6)或(0,7)

解析设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以APBP.又kAP=y+52,kBP=y-6-6,kAP·kBP=-1,所以y+52·y-6-6=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7).

15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为

,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为

.

答案(-4,-1)　x-y+3=0

解析设Q(a,b),则b-5a-2·(-1)=-1,a+22+b+52=1,解得a=-4,b=-1.

即点Q的坐标为(-4,-1),设与直线x+y-3=0垂直的直线方程为x-y+c=0,将Q(-4,-1)代入上式,得c=3,所以直线方程为x-y+3=0.

16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.

(1)l1l2,且直线l1过点M(-4,-1).

(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.

解(1)l1过点M(-4,-1),-4a+b+4=0.

l1l2,a×(1-a)+b=0.

a=1,b=0或a=4,b=12.

(2)由题意可得两条直线不可能都经过原点,

当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0,

可知两条直线不平行.

b≠0时两条直线分别化为

y=abx+4b,y=(1-a)x-b,

ab=1-a,4b=b,

解得b=2,a=23或b=-2,a=2.

17.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BEAC,求证:CFAB.

解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb,

由点A(0,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-ac,

因为BEAC,所以-pb-ac=-1,

即pa=-bc;

由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-pc,由点A(0,a)和点B(b,0),知直线AB的斜率为-ab,

垂直与平行篇4

(江苏省盐城中学，224005)

教师的教学价值取向，是教师在长期的教学实践中形成的，通过教学内容的取舍、教学过程的设计、教学活动的组织、教学语言的运用等途径透射出的教学目标一贯的指向性。在新课程改革的背景下，教师的教学价值取向反映了教师对新课程理念的理解和认同，驱动着教师对“教什么及如何教”的落实和执行，并表现出巨大的差异性。

笔者最近在一所高中随堂观摩了多位数学教师所上的《直线与平面垂直》一课。其中，三位教师的教学导入使用了同样的素材，但呈现出的过程却并不相同，透射出的价值取向也存在较大的差异。下面，笔者重点整理他们的导入设计，来比较分析他们的教学价值取向，并反思新课程理念的落实和执行状况。

【教师甲】

问题1：直线和平面有几种位置关系？

问题2：对直线和平面平行，主要学习了哪些内容？

问题3：直线和平面相交中，最特殊的一种位置关系是什么？

演示1：用幻灯片展示图1(旗杆与地面）、图2（桥柱与水面）。

问题4：我们应该研究直线与平面垂直的哪些知识以及如何来研究？

问题5：如何定义直线与平面垂直？

演示2：用幻灯片演示直角三角形绕一直角边旋转形成圆锥的过程。

问题6：圆锥的轴线与底面圆所在平面上的任意一条直线是什么关系？

问题7：根据刚才的观察和分析，你能概括出直线与平面垂直的定义吗？

问题8：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？

活动1：请大家将笔在桌面上摆放，观察直线与平面的垂直关系。

演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板，说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直。

教师甲的引入，先在引领学生复习“直线与平面平行”的主要知识的基础上，提出研究“直线与平面垂直”的教学目标，意在运用“线面平行”的学习过程和方法类比学习“线面垂直”；再运用圆锥的形成过程引领学生感知和理解直线与平面垂直的本质属性，并让学生对笔在桌面的摆放进行观察以概括并完善线面垂直的定义。而且，教师甲在整节课中，不断地把线面垂直与线面平行进行类比，并给学生较多的时间进行思考、实验、表达和讨论，只留一小段时间对“线面垂直”作简单的应用训练。

可见，教师甲的教学价值取向是：发挥学生在课堂学习中的主动性，既注重引领学生进行知识建构，也注重让学生体验和应用解决问题的思想和方法，同时强调对学生思维能力、实践能力、表达能力以及数学素养的长期、渐进的培养。当然，秉持这样的教学风格，会对部分学生短期之内运用知识解题的能力有一定的不利影响——因为解题训练不足。

【教师乙】

表述1：前面我们学习了直线与平面平行，今天我们来学习直线与平面的相交中的一种特殊位置关系——直线与平面垂直。 演示1：用幻灯片展示图1（旗杆与地面）、图2（桥柱与水面）。

问题1：旗杆与地面，桥柱与水面都给了我们直线与平面垂直的形象，我们还可以举出一些直线与平面垂直的形象吗？

表述2：如何定义直线与平面垂直？我们可以观察圆锥的轴线和底面的关系。

演示2：用幻灯片展示已画出轴截面的圆锥直观图。

问题2：……由圆锥的形成过程，我们可以看到圆锥的轴线与底面上任意一条直径所在的直线垂直，那么轴线是否和底面上的任意一条直线垂直呢？

问题3：谁能由刚才所观察的圆锥轴线和底面的关系概括出直线与平面垂直的定义？

问题4：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？

演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板。

问题5：谁能说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直？

教师乙的引入，直接明确教学的知识目标，在通过实例感知“线面垂直”后再运用圆锥的特征进一步分析线面垂直的本质属性，运用三角板和桌面演示完善线面垂直的定义。而且，教师乙在整节课中，提出问题后，往往只给学生较短的时间思考，就自行回答或让学生集体回答，这使教学内容推进比较快，为后面的知识运用环节节省了一定的时间；在知识应用的环节，除了让学生练习了几道“线面垂直”判断题之外，还讲解了一道“线面垂直”证明题、一道“异面直线垂直”证明题，这使“线面垂直”的主要应用得到了比较全面的展现。

可见，教师乙的教学价值取向是：注重让学生系统地理解和接受数学知识，强调让学生能较快地应用所学知识解决问题，即在“知识建构”和“解题能力”之间采取平衡的态度。秉持这样的教学风格，能让部分基础薄弱的学生在课堂上得到比较充足的解题训练，从而尽快提升他们的解题能力，增强他们学习数学的信心。

【教师丙】

演示1：用幻灯片展示图1(旗杆与地面)、图2（桥柱与水面）。

问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

问题2：旗杆与地面、桥柱与水面都给了我们直线与平面垂直的形象，那么直线与平面垂直的定义是什么呢？

表述1：直线与平面垂直的定义是……

表述2：一条直线能和一个平面内的任意一条直线都垂直吗？我们一起来观察圆锥轴线和底面的关系。

演示2：用幻灯片展示已画出轴截面的圆锥直观图。

表述3：……圆锥轴线和底面上的任意一条直线垂直。

问题3：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？

演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板，说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直。

教师丙的引入，直接由实例得到“线面垂直”的概念，给出“线面垂直”的定义，然后再运用圆锥的特征解释“线面垂直”的本质属性，运用三角板和桌面演示解释定义表达的精确性。而且，教师丙在后续的教学中，把“线面垂直”和平面上的“线线垂直”进行了适当的类比，并结合幻灯片的运用，进一步加快了教学内容推进的速度，为知识应用的环节留下了更多的时间，从而比教师乙多讲解了一道转化次数较多的“线面垂直”问题。

可见，教师丙的教学价值取向是：注重让学生在理解的基础上，尽快地接受数学知识，建立主要的知识结构，而不需要面面俱到，强调让学生能尽快地应用所学知识解决问题，并重点对学生进行解题训练。秉持这样的教学风格，能让学生尽快地接触到考试中与所学知识相关的典型问题，明确知识的主要应用方向，以便学生后续的自我训练更有目的性，从而在短期内提高学生的考试成绩。

垂直与平行篇5

关键词：教学设计 直线 平面 垂直

一、教材地位分析

垂直关系是一种非常重要的空间位置关系，它不仅应用较多而且是平行关系的转化手段，可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，本节课是第6节“垂直关系”的第一课时，在学生学了三大平行关系之后，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程的一个再强化，对学生数学表达与交流能力（文字语言、符号语言、图形语言转换）、空间想象能力与推理论证能力的再提高，对学生化归与转化思想的一次再升华.

二、教学建议

1.直线与平面垂直的教学，遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程.让学生自己动手，结合几何多媒体演示，在此基础上引导学生观察、体会，逐渐抽象出直线与平面垂直的数学定义及判定方法；

2.采用启发式和探究式教学方法，以问题驱动为主线，激发学生参与学习的积极性和主动性；

3.通过学生经历直观感知、确认操作的过程构建新的知识，在通过例题讲解、解决实际问题使新知得以应用.

三、教学目标

1.知识与技能：

（1）掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，并能进行简单应用.

（2）能准确使用数学符号语言、图形语言、文字语言进行表达判定定理.

2.过程与方法：

在合作探究中，逐步构建知识结构；在实践操作中进一步发展学生的几何直观能力和空间想象能力；渗透化归与转化的数学思想方法.

3.情感、态度与价值观：

垂直关系在日常生活中有广泛实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用.并让学生经历研究过程、体验探索乐趣，增强学习兴趣.

四、教学重、难点

重点：线面垂直判定的理解和应用；

难点：线面垂直定义和判定的探索和理解.

五、教学过程设计

（一）课题引入

师：前面我们学习了线线、线面、面面的平行关系，今天我们要学习另外一类非常重要的位置关系――垂直.

师：垂直关系发生在那些对象之间？

生：线线垂直，线面垂直，面面垂直.

师：线线垂直我们已经学过，这节课我们先来学习线面垂直.（书写课题）

师：同学们能谈谈你在生活中见到的线面垂直的例子吗？

生：旗杆与操场，白杨树与地面…

师：生活中这样的情景随处可见，（多媒体展示一些图片）比如：操场飘扬的红旗，旗杆与地面.平坦的大地，一个水平的面；矗立旗杆，一条竖直的线，给人一种挺拔、平稳、向上的感觉.这给我们展示了一种“几何美”――直线垂直于平面.

师：那么如何检验旗杆是否垂直地面？

这就是本节课要解决的问题.

设计意图：通过创设情境，让学生直观感知“线面垂直”，并结合实际提出问题让学生明白本节课学习的目标，利于激发学生的求知欲.

（二）新课讲解

【探究一】：一条直线相对于一个平面具备怎样的条件，可称直线与平面垂直？

师：线面垂直，可以转化为我们学过的线线垂直.

可以借助我们生活中熟悉的例子，如旗杆与地面.

学生看图回答下列问题：设旗杆为AB，旗杆在地面的影子为BC.

（1） 阳光下AB与BC所成角是多少度？

（2） 随着光线的变化BC的位置也发生变化，那么AB与BC所成角度是否发生变化？

（3） AB与平面内任意一条不过点B的直线是否垂直？依据是什么？

生：（1） ；（2）不变；（3）垂直，直线经过平移多可以过B点.

生：（概括）一条直线和平面所有直线都垂直，可称这条直线与这个平面垂直.

教师板书：

（1）定义：若一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。记作：a面α（作图略）

设计意图：利用学生已有的知识基础、生活经验，通过实例“旗杆和变动的影子的关系”，在问题的引导下，让学生认识“旗杆和地面上任何一条直线都垂直”之后，得出直线与平面垂直的定义，从具体到抽象符合学生认知规律。

师：定义实际上给我们提供了一个判定线面垂直的方法，但是却不便操作，我们要寻找更简便的判定方法。

【探究二】：（1）直线垂直平面内一条直线，能否得到线面垂直？

（2）直线垂直平面内两条平行直线，能否得到线面垂直？

（3）直线垂直平面内三条、四条…无数条平行直线，能否得到线面垂直？

生：用准备好的三角尺与桌面比划来验证.答案都是否定的.

师：换个思路，平面中除了有平行线直线还有互相垂直的直线.

【探究三】：直线垂直平面内两条相交直线，能否得到线面垂直？

生：能，比如在长方体中！

师：作图引导学生观察：

生：答案是肯定的.

设计意图：以长方体的同一顶点出发的三条棱为例，为判定定理埋下伏笔，让学生观察，实践，让学生参与到教学活动的全过程来，体现学生的主体性，培养学生自主探究学习的能力。 【探究四】如果直线和一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直吗？

师：大家动手实践一下，看看这是偶然还是必然？

学生活动：拿出事先准备好的三角形纸片.过某个顶点任意对折三角形，以对折后产生的折线为研究对象（研究对象“直线”），然后将三角形放在桌面上（桌面视作研究对象“面”）观察线与面的位置情况.

师：怎样对折后才能让直线垂直于面呢？

学生活动：带着极大的热情，学生们动手实践，最终发现，只有当折线垂直于底边时才能实现线面垂直，而此时正是线与面内的两条相交直线垂直.

在此基础上，教师带领学生进行抽象、简化建立数学模型，得出直线与平面垂直的判定定理.

教师板书判定定理的三种表述：文字语言、图形语言、符号语言.（略）

教师分析定理：三个条件：（1）若a 面α，b 面α；（2）直线lb；（3）a∩b=P.缺一不可.

设计意图：设置这样动手实践的情境，是希望学生学在情境中、思在情理中，感悟在心中.同时培养学生观察猜想的能力，让学生体会真理的科学性和严密性.

（三）定理应用

例1. 有一根旗杆AB高位8m.顶端A处挂着两条长10m的绳子，在距B6m的M处测得绳长为10米，N处测得绳长为9米。

（1） 旗杆栽的合格吗？

（2） 若在N处也测得绳长为10m，栽的合格吗？

（3） 要你设计一个方案如何检测旗杆是否栽的合格。

设计意图：例1应用判定定理解决实际问题，既是对定理的巩固同时也解决课前提出的问题，形成首尾呼应.

例2.已知 平行在平面α内，点O是 对角线的交点，点P在平面α外，且PA=PC，PB=PD，求证：PO面α.

例3.RtΔABC中，∠B=90°，P是ΔABC所在平面外一点，RA面ABC.

（1） 求证：BC面PAB；

（2） 四面体P-ABC中有几个直角三角形。

设计意图：例2让学生在学完判定定理后，能简单应用定理进行证明。通过例3让学生体会线面垂直与线线垂直的转化.

课堂小结：

1. 直线和平面垂直是直线和平面相交的特殊情况；

2. 判定直线与平面是否垂直，有两种方法：

（1） 定义法；

（2） 判定定理。

教学反思：

本节课的设计遵循“直观感受――操作确认――思辨论证”的认知过程，很好贯穿了问题引领学习的意识.学生亲自动手实践过程，有利于培养学生勇于探索、团结合作的精神，以及推理论证的能力、数学表达能力和空间想象力，让学生学身边的数学、领悟空间观念和空间图形性质.

参考文献

[1]《中学数学教学设计》何小亚、姚静

垂直与平行篇6

重点：掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的简单命题.

难点：能否熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化.

1. 直线、平面垂直关系的基本思路

无论是线面垂直还是面面垂直都源自于线与线的垂直，即不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口. 这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要. 在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.

2. 直线、平面垂直关系的基本方法策略

（1）利用判定定理.

（2）利用判定定理的推论.

（3）利用面面平行的性质.

（4）利用线面垂直的性质.

（5）利用面面垂直的定义.

（6）利用面面垂直的判定定理.

（7）线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即

这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，这种转化方法是本节内容的显著特征，掌握转化思想方法是解决空间图形问题的重要思想方法.

已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且aα，bβ，则下列命题中的假命题是（ ）

A. 若a∥b，则α∥β

B. 若αβ，则ab

C. 若a，b相交，则α，β相交

D. 若α，β相交，则a，b相交

思索 对这种结构的题目，常常做这样的处理：先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设. 立体几何中概念、定理、性质非常多，只有熟记了，理解了，做立体几何题才能又快又好，同时注意反例、反证法等方法的使用.

？摇破解 A正确. 因为a∥b，aα，所以bα. 又bβ，所以α∥β.

B正确. 设α∩β=l，在α内作cl，因为αβ，所以cβ，又bβ，所以b∥c. 因为aα，所以ac，从而ab.

C正确，若α，β不相交，则α∥β，因为aα，所以αβ，又bβ，所以a∥b，这与a，b相交矛盾.

D是假命题，因为a，b可以是异面直线，易找出反例验证. 故选择D.

（2010辽宁卷文）如图1，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC■1B■1是菱形，B■1CA■1B.

（1）证明：平面AB1C平面A1BC1；

（2）设D是A1C1上的点且A■1B∥平面B■1CD，求A1D∶DC1的值.

思索 （1）求证相关垂直问题时，一般遵循：线线垂直线面垂直面面垂直. 在论证线线垂直时，注意回忆平面几何中的相关垂直定理，以及利用线面垂直判定线线垂直等方法.

（2）论证线线垂直、面面垂直问题，均体现出立体几何证明的基本思想——将空间问题转化为平面问题.

破解 （1）因为侧面BCC■1B■1是菱形，所以B■1CBC1. 又B1CA■1B，且A1B∩BC1=B，所以B1C平面A■1BC■1.又B1C？奂平面AB1C，所以平面AB■1C平面A■1BC■1.

（2）设BC1交B■1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线. 因为A1B∥平面B■1CD，所以A■1B∥DE.？摇又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1=1.

（2011新课标全国卷文）如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD.

（1）证明：PABD；

（2）若PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高.

思索 空间中的线线垂直关系可转化为线面的垂直关系. 棱锥的高，可以先通过面面垂直，转化为线面垂直，得出高线，再转化到三角形内求解.

破解 （1）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=■AD. 从而BD2+AD2=AB2，可得BDAD. 又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，所以PABD.

（2）作DEPB，垂足为E，已知PD底面ABCD，所以PDBC，由（1）知BDAD，又BC∥AD，所以BCBD. 所以BC平面PBD，BCDE，则DE平面PBC.？摇由PD=AD=1知BD=■，PB=2. 根据DE·PB=PD·BD，得DE=■，即棱锥D-PBC的高为■.

（2012北京卷文）如图3甲，在RtABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图3乙.

（1）求证：DE∥平面A1CB；

（2）求证：A1FBE；

（3）线段A■1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.

思索 证明空间中的线线垂直可转化为证明线面垂直. 考查直线与平面平行、直线与平面垂直关系的相互转化，考查空间想象能力和推理论证能力.

破解 （1）略.

（2）由已知得ACBC，且DE∥BC，所以DEAC.所以DEA■■D，DECD，所以DE平面A■1DC，所以DEA1F. 又A■1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A■1FBE.

（3）线段A1B上存在点Q，可使A1C平面DEQ. 理由如下：如图4，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由（2）知，DE平面A■1DC，所以DEA■1C，又P 是等腰三角形DA■1C底边A■1C的中点，所以A■1CDP. 因为DE∩DP=D，所以A■1C平面DEP，从而A■1C平面DEQ. 故线段A■1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.

垂直与平行篇7

一、教学内容分析

本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。任何定义都有充分必要性，线面垂直的定义既是线面垂直最基本的判定方法，又是它的重要性质，也是探究线面垂直判定定理的前提。线面垂直作为空间垂直关系转化的纽带，是后续学习面面垂直的基础，是证明异面直线垂直关系的重要方法，也是构建线面角、二面角的平面角的重要因素。所以，本节课在高中立体几何教学中具有重要的地位和作用。

根据课程标准，线面垂直判定定理的严格证明不在本节课进行，而是安排在选修系列2中进行，这样既降低了教学难度，又符合学生的认知规律。在遵从教材主体内容结构不变的情况下，为了增加课堂容量，节省课时，我对课本中的一些细节做了如下

调整：

拓展了“折纸实验”的作用，在教师引导下，学生用课前自制的三角形纸片做“折纸实验”，发现事实后，进入第一道例题的

教学。

例1：如图，AD是ABC的高，沿AD将ABC折起，求证：AD平面BCD.

“折纸实验”是教材内容的一部分，教材是用它来发现线面垂直的判定定理，而我把它设计成先发现线面垂直的事实，后重点运用判定定理来证明。有模型的支撑，大大降低了题目难度，且使学生初步感受到“翻折类问题”的特点。

改编了课本中的习题，渗透证明“异面直线垂直”的重要方法。

原题：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VBAC.

例2（改编）：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，点O是AC的中点，求证：（1）AC平面VOB.（2）VBAC.

题目由课本P67练习1改编而来，原题直接要求证明异面直线垂直，学生没有学习经验，无论是思路还是辅助线学生都不易想到。鉴于此，我以增加设问的方式降低难度台阶，在进一步巩固判定定理运用的基础上，最终达到渗透证明“异面直线垂直”的

方法。

调整了例题的呈现顺序，深化学生对“平行线传递性”的理解。

例3：如图，已知a∥b，aα，求证：bα.

题目选自课本上的例1，表面看似简单，实际上既可以用判定定理来证明，又可以用定义来证明，题目重在体现平行线的传递性，有一定难度，所以调整为最后一道例题。

基于以上分析，我将本节课的教学重点确立为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、学生情况分析

学习本节课之前，学生已经学习了空间点、直线、平面的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，有一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证的能力，基本具备了学习本节课的知识、方法和能力。

可是，完全理解线面垂直的定义有一定难度，同时，学生不易自我发现线面垂直的判定定理。鉴于此，我将本节课的教学难点确立为：线面垂直定义的理解与判定定理的发现。

为了突破上述第一个难点，我将平面内的直线以是否过垂足分为两类，利用平行线的传递性很好地解释了平面的垂线与平面内不过垂足的直线的垂直关系。为了突破第二个难点，直接切中要害来分析利用定义证明线面垂直的弊端，需要涉及平面内所有直线很难实现，那么探究的方向自然是选“直线中的代表”，减少所需直线的条数，从一条直线开始探究。多媒体辅助教学在突破难点上起着不容忽视的作用。

三、教学目标设计

根据课程标准给出的学习目标，再结合学生的实际情况，确立本节课的三维教学目标为：

1.能抽象概括出直线与平面垂直的定义，并正确理解该定义；能归纳总结出直线与平面垂直的判定定理，并掌握运用该定理证明一些空间位置关系的简单命题。

2.经历从“形象到抽象”的认知过程，从“简单到复杂”的探究过程，体会过程中所蕴含的化归转化、分类讨论、类比等数学思想方法。

3.进一步感受“欧氏几何”学解决问题的特点。

四、教学策略设计

根据本节课的教学内容，我选择以学生熟悉的生活现象创设情景导入，激发学生对即将学习知识的兴趣；然后以探究线面垂直的判定定理为最终目标，设置大量层层递进的“问题串”，引领学生通过选择性学习（听老师的点拨，同学的表达）、参与性学习（亲自参与活动）、合作性学习（与同学、老师交流）等活动逐步领会线面垂直的定义并发现判定定理。知识的运用通过自主性学习（自己解决例题）活动完成，而非完全模仿性练习。整个教学过程中，以引导探究和教师讲授相结合的教学方法为主，穿插讨论法、演示法等其他教学方法。

以上是我对本节课部分重要环节的认识，在这样的认识和分析的支撑下我将完成本节更重要的一部分，即教学设计。

参考文献：

垂直与平行篇8

一、 用“端点+方向”理解线段、射线、直线

（一） 准确认识线段、射线、直线

在“线段、射线、直线”这三个概念中，线段是其中的核心概念.

我们可以用“端点+方向”来理解线段、射线、直线.

线段是有头有尾的，例如人行横道线可近似地看作线段，它有两个端点，不能向任何一方延伸，能比较长短.

射线是有头无尾的，例如手电筒的光，将线段向一个方向无限延长就形成了射线，射线有一个端点，不能比较长短.

直线是无头无尾的，将线段向两个方向无限延长就形成了直线，像孙悟空的金箍棒一样，直线没有端点，也不能比较长短.

线段、射线、直线的表示都采用“姓”加“名”的形式，即在表示线段、射线、直线时，一般应在字母的前面注明“线段”、“射线”或“直线”. 找线段时可找线段的两个端点，找射线时应找一个端点及延伸方向.

（一） 平行

1. 认识平行线

在同一平面内，两条直线的位置关系有相交与不相交两种，不相交即平行. “在同一平面内”是前提条件，“不相交”是指两条直线没有交点，平行线指的是“两条直线”（两条射线或两条线段平行，实际上是指它们所在的直线平行）.

利用直尺、三角尺画已知直线的平行线，可根据操作要点：一放、二靠、三推、四画.

2. 平行线的基本性质

过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行线的基本性质（基本事实），它说明了平行线的存在性与唯一性（即有且只有），要注意的是，过直线上一点不能作直线与这条直线平行.

（二） 垂直

1. 认识垂线

在同一平面内，两条直线只有相交与平行两种位置关系，“垂直”是相交中的一种特殊情形，即当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，称两条直线互相垂直.

利用三角尺、量角器画已知直线的垂线，其实是利用了已知的直角，使两条直线相交所成的四个角中一个角是直角.

2. 垂线的性质

垂直与平行篇9

【关键词】 三垂线定理；应用

三垂线定理因其联系着一系列主要概念，包括平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影等，而且其证明中包含着较为典型的线面垂直与线线垂直证法，而成为立体几何中的一个很重要的定理.同时在解决空间的角和距离及其直线与直线垂直问题时，应用三垂线定理及其逆定理，对于培养学生空间想象力和逻辑思维能力，有着更加重要而独到的作用.因此在立体几何教学中，必须引导学生正确理解和掌握三垂线定理，充分发挥三垂线定理在解决空间图形问题的作用.

一、三垂线定理的解读

三垂线定理是在线面垂直基础上来研究直线间垂直关系的重要定理，不仅阐明了平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影和平面内的一条直线的某种位置关系的内在联系，并有效沟通了线线关系和线面关系.

1.三垂线定理的本质特征

（1）定理描述

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

（2）图形模型

图 1 （如图1）设PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在平面α内的射影，aα，且aOA，则aPA.

（3）本质特征

垂线定理及其逆定理描述的是斜线、射影和平面内直线之间的垂直关系，实质是空间两条直线垂直的判定，把空间垂直转化为相交垂直.斜线及其斜线在平面内的射影与这个平面内的直线的垂直关系不变，是三垂线定理及其逆定理的本质特征.

2.构成三垂线定理的元素

从图一可以看出，三垂线定理的图形是由“四线一面”五个元素组成，即垂线PO、斜线PA、射影OA、面内一线直线a和平面α.三垂线定理描述的是三种垂直关系：直线和平面垂直，平面内的一条直线与斜线在该平面的射影垂直，这条直线和斜线垂直，这条直线与斜线可能相交，也可能是异面直线.

二、三垂线定理的应用

作为一种较为典型的证题方法，三垂线定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用.在应用三垂线定理时，既要注意三垂线定理图形的多样性，又要注意竖直或倾斜平面上三垂线定理的应用.按照“一定平面，二定垂线，三找斜线，射影就出现”的原则去确认图形，得出所证的垂直关系，其关键是找平面的垂线和斜线在平面内的射影.

1.空间的角和距离问题中的应用

点P到DC，BD的距离分别为4 13 ， 4 13 901 .

题意图形中如果有表示其距离的线段时，只须证明其确为表示距离的线段，再进行计算.如果没有明显表示距离的线段，就要先作出，并用三垂线定理加以证明，再计算.

2.在垂直问题中的应用

三垂线定理及逆定理涉及的是直线与直线的垂直问题，因为直线垂直问题可推出线面垂直问题，进而可导出面面垂直.所以在线面垂直、面面垂直问题中也常用到三垂线定理.因此，在解决垂直问题时，应首先考虑是否能使用三垂线定理.

总之，三垂线定理及逆定理是证明线线垂直，点线距、点面距、线面角的计算及二面角的形成中非常有效的工具，在解决空间图形问题中充分发挥三垂线定理的作用，不仅有助于学生理解掌握定理，而且对于培养发展空间想象能力、推理论证能力有着积极的意义.

【参考文献】

垂直与平行篇10

【关键词】 下斜肌转位术； 分离性垂直斜视； 手术疗效分析

本文将对本院2009年1月1日-2012年6月30日前来就诊的60例分离性垂直斜视患者进行临床分组研究，探讨三种不同下斜肌转位术治疗分离性垂直斜视患者的临床治疗效果，以提高患者临床疗效与生活质量，现报告如下。

1 资料与方法

1.1 一般资料

选择本院2009年1月1日-2012年6月30日前来就诊的60例分离性垂直斜视患者，按照垂直斜视度数的大小分为三组，采用不同手术方式，即A组（垂直斜视度小于5度）、B组（垂直斜视度数小于10度）、C组（垂直斜视度数大于10度）。A组26例分离性垂直斜视患者中男16例，女10例，年龄18～51岁，平均（37.6±1.1）岁，单眼4例，双眼22例，单纯性上斜视21例、合并外斜视4例、合并内斜视1例；B组19例分离性垂直斜视患者中男13例，女6例，年龄19～49岁，平均（38.1±1.0）岁，单眼3例，双眼16例，单纯性上斜视17例，合并外斜视1例，合并内斜视1例；C组15例分离性垂直斜视患者中男10例，女5例，年龄18～49岁，平均（37.9±1.2）岁，单眼2例，双眼13例，单纯性上斜视11例，合并外斜视3例，合并内斜视1例。A、B、C组分离性垂直斜视患者在性别、年龄、患病眼分布、斜视类型、教育背景以及社会经历等方面差异无统计学意义（P>0.05），具有可比性。

1.2 方法

所有患者术前进行常规检查，内容包括视力检查、立体视觉功能、眼底、眼压、屈光状态、视远与视近斜视角度、眼球运动等。三组患者均在局部麻醉下采用不同的手术方法进行治疗。术后对患者进行垂直斜度及下斜肌亢进改善程度检查，并对其进行六个月随访，对检查结果进行统计学分析，得出结论。

1.2.1 单纯下斜肌转位术（A组）

手术切口位于患者颞下方近穹窿部球结膜处，将患者下斜肌暴露在手术视野下，在外下直肌之间将下斜肌肌腹勾出，使周围筋膜组织分离，用可吸收线将患者肌肉进行双套环缝线，在缝线处颞侧将下斜肌剪断，并检查是否出现残留肌肉，将下直肌勾出，将附着点暴露，将下斜肌鼻侧断端进行缝合，将其固定在下直肌附着点颞侧缘巩膜处，与下直肌平行。

1.2.2 下斜肌截除联合转位术（B组）

对患者进行手术切口及分离下斜肌方法与单纯下斜肌转位术相同。将下斜肌进行剪断，之后截除五毫米肌肉，在下直肌附着点颞侧缘的巩膜上将下斜肌缝线固定，与下直肌平行。

1.2.3 下斜肌截除联合转位并前徙术（C组）

对患者进行手术切口及分离下斜肌方法与单纯下斜肌转位术相同。将下斜肌剪断，之后将5 mm肌肉截除，在下直肌附着点颞侧缘前1～3 mm的巩膜上将下斜肌缝线固定，患者出现合并水平斜视，则应同期进行水平斜视矫正措施。

1.3 疗效评级标准

良好：分离性垂直斜视患者经手术治疗后，在保持双眼注视的状态下，未出现第一眼位明显的垂直性分离情况，垂直斜视度小于5度；好转：分离性垂直斜视患者经手术治疗后，在保持双眼注视的状态下，出现第一眼位明显的垂直性分离情况，但此类情况出现频率较低，或较治疗前出现频率明显减少，且未对患者外观造成影响，垂直斜视度数小于10度；无效：分离性垂直斜视患者经手术治疗后，在保持双眼注视的状态下，出现第一眼位明显的垂直性分离情况，且患者出现频率与术前无变化甚至增加，垂直斜视度数大于10度。

1.4 统计学处理

采用SPSS 13.0统计学软件包对数据进行统计学分析，计量资料以（x±s）表示，比较采用t检验，计数资料采用 字2检验，以P

2 结果

所有患者在术后对其进行垂直斜度及下斜肌亢进改善程度检查，随访六个月，对检查结果进行统计学分析。结果显示，A、B、C组分离性垂直斜视患者经不同手术方法进行治疗后，总有效率分别为88.46%、89.47%、93.33%，组间比较差异无统计学意义（P>0.05）。详见表1。

3 讨论

分离性垂直斜视，是临床上较为特殊的斜视类型，其具体发病原因目前尚不明确，患者双眼出现交替遮盖时被遮盖眼呈现出上斜视状态[1-4]。临床主要治疗方法为手术措施[5，6]。

研究表明，对分离性垂直斜视患者进行单纯下斜肌转位术、下斜肌截除联合转位术、下斜肌截除联合转位并前徙术三种方法治疗，其治疗效果对比无统计学差异，但进行单纯下斜肌转位手术治疗的患者术后未出现明显睑裂变化以及上转受限情况，而进行下斜肌截除术治疗后，部分患者出现睑裂变小或眼球上转受限等并发症。

若分离性垂直斜视患者原在位垂直斜度为15～25度，且同时伴有下斜肌功能亢进，此时宜采取单纯下斜肌转位术对其进行治疗[7-11]。

分离性垂直斜视合并水平斜视明显时，先治斜视更明显者，先做不易定量的肌肉，后做定量容易的肌肉。因此，在分离性垂直斜视合并水平斜视时，可根据斜视角的大小合理设计手术，应注意垂直眼位矫正后对水平眼位的影响，上直肌后徙有减轻内转作用，而下斜肌转位有加强内转作用，所以在设计水平斜视手术量时要充分考虑到这点[12-15]。

术前应反复检查眼位，眼球运动等，单纯分离性垂直斜视，可行上直肌大量后徙；分离性垂直斜视合并下斜肌亢进，首先考虑下斜肌后徙转位术；如双眼程度不等，也应双眼同时手术，以免术后双眼再次出现不对称，致斜视复发[4-10]。

由本文可知，分离性垂直斜视患者双眼对称性的行下斜肌的减弱手术，不论采取什么手术方式，术后的眼裂变化及上传受限对外观影响并不明显。而对于双眼非对称性的下斜肌手术术后引起的眼裂大小变化和上传受限就很明显，应尽量避免。

因此，对于分离性垂直斜视患者进行临床手术治疗时，应根据患者实际情况选择手术方法，从而达到更为有效的治疗效果，提高患者生活质量。

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