数学建模实例分析范文

导语：如何才能写好一篇数学建模实例分析，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公文云整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：游梁式抽油机；悬点载荷

一、问题描述

目前，开采原油广泛使用的是有杆抽油系统（垂直井，电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动）。电机旋转运动转化为抽油杆上下往返周期运动，带动设置在杆下端泵的两个阀的相继开闭，从而将地下上千米深处蕴藏的原油抽到地面上来。

有杆抽油系统是一个复杂系统，例如，地面悬点一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数；地下的泵功图计算，以及利用泵功图估计油井产量等问题。

抽油杆系统的动力学研究一直是人们研究的热点问题[1]-[6]。因为该系统动力学极其复杂。例如，抽油机悬点载荷包含静载荷、摩擦载荷和动载荷影响，以及受抽油杆柱轴向振动，泵阀水力损失，柱塞液体摩擦载荷对抽油杆柱轴向振动底部的影响等因素。

为了对抽油杆系统的动力学研究有更深入的理解，本文给出两组抽油杆系统数据（如下列与图4），利用下列给出的悬点悬点位移（单位m），求出悬点的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。

可以直观发现，横坐标 所表示的冲程周期在两者之间误差可忽略。对比图2与图5发现两者的纵坐标误差较大。当反复验证所提供的四连杆游梁各个尺寸时发现，所提供的尺寸存在一定的不足，并且题设中数据所表现的状况与所提供的抽油机各尺寸之间同样存在不符现象。因此，将原始的悬点位移曲线乘以一个系数后所得曲线如图4所示，此时发现图4与图5之间误差下降。

在此问题的求解过程中，假设了 与 两个常量，这两个常量题设并未提供但却非常重要，在反复验证并比较之后在一个范围之内选取了较为合适的值，其值假定为： ， 。这两个值的选取在一定程度上影响最终的结果曲线。

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本文主要阐述了滚筒卸载式中间驱动技术和直线摩擦式中间驱动技术的原理，在此基础上建立了能够描述中间驱动带式输送机的连续动力学模型。分析了影响其动态特性的输送带弧长及非均布载荷两种因素，并结合井下具体工况介绍了各自的优缺点。

关键词：带式输送机;中间驱动;动力学分析

一、 研究背景和意义

带式输送机运行状况与煤矿安全高效的生产息息相关，结合矿井地形复杂，环境恶劣，以及一些特殊弯曲巷道的实际情况，为了确保输送机可靠稳定运行，对其动态特性、控制策略、状态监控与综合保护等方面的问题开展研究工作就显得十分重要。

现有的带式输送机通常是通过对带式输送机进行静力学计算后乘以一个备用安全系数来设计系统的主参数。如果不进行动力学分析，就会发生输送机故障事故，常见的故障有皮带跑偏或蛇行、打滑、断带、叠带和皮带着火等，这些故障严重的影响到煤矿生产。

在现实的生产工作中，带式输送机的静态计算结果与实际运行工况存在较为明显的差别，对于大型带式输送机，必须先进行静态计算，在此基础上再进行较为精确的动力学分析方法进行分析。为此，必须在充分考虑动态特性影响因素的基础上，全面地对带式输送机进行系统细致地动力学分析，从而合理地进行动态设计，并结合其静态特性最终保证其高效安全运行。

二、课题的主要研究内容

（一） 研究目标

建立能够正确描述中间驱动带式输送机的动力学方程，针对同忻矿中间驱动带式输送机进行完善的动力学分析，根据输送带的载荷情况及运输能力推导出合理的起动和制动加速度曲线。

（二）中间驱动带式输送机简介

一般情况下，带式输送机均为头部驱动且集中驱动，最大程度上满足驱动装置和输送带强度，因此，我国的矿用带式输送机的长度是有限制。然而，由于输送带负载及所受阻力的因素，输送机的运输增加线路，输送带张力呈线性增加，如图1所示。输送带上的载荷越大，带式输送机的运距越长，输送带在输送机头部的张力就会越大，而且在输送机头部的驱动处张力最大。

通常情况下，为了保证带式输送机的运行安全，设计时常选用强度较高的输送带，增大安全系数，从而大大增加了输送带的制造成本。由于运量大运距长，驱动装置的功率也会很大，增加了装置设备的设计及制造难度，且体积增大，从而增加了井下的空间要求。

（三） 中间驱动技术的分类

目前，关于中间驱动技术研究的方法有：直线摩擦驱动法、胶轮驱动法、直线电机驱动和滚筒驱动技术等。经过科研人员大量的研究，现在常用的两种中间驱动技术是：直线摩擦式中间驱动技术和滚筒卸载式中间驱动技术。

1.直线摩擦式中间驱动技术

由图2所示，中间驱动装置的输送带紧贴在输送机承载段输送带的下面，分布在输送机中间部位。当两个输送带有相对运动的趋势，两输送带的接触面便会产生很大的摩擦力。当中间驱动装置运转时，其输送带会与依附的输送机承载段输送带之间产生摩擦，中间驱动装置的驱动力依靠两输送带之间产生的摩擦力传递给输送机承载段输送带，达到减少带式输送机头部驱动装置的驱动力和功率的效果，这就是直线摩擦式中间驱动技术的工作原理。

2. 滚筒卸载式中间驱动技术

如图3所示，将中间驱动装置安装在带式输送机承载段输送带上，其中中间驱动部分依靠驱动滚筒对输送带进行驱动。依据带式设输送机的静力学方法进行受力分析，输送带张力在驱动滚筒的相遇点以及分离点处，都满足欧拉公式，输送带各点张力值可以求出具体数值，经过对比，输送带张力值经由中间驱动装置会有所下降。

3.滚筒卸载式中间驱动带式输送机存在的问题

虽然滚筒卸载式中间驱动技术应用很广泛，但是，仍然存在一些技术问题，在理论分析和设计计算时应主要考虑以下几个方面：

（1）合理分配驱动功率。输送带张力的变化直接受驱动功率的影响，驱动功率的合理分配是保证整条带式输送机安全稳定运转的重要因素。对于整条带式输送机，主驱动还是需要头部驱动部分，中间驱动装置仅作为辅助驱动装置。

（2）带速同步问题。 驱动电动机的特性差异、制造质量不等，以及驱动滚筒磨损等原因，会导致在各驱动装置处，输送带的带速不同。目前，国内外专家通过安装液力调速装置来实现带速同步问题。

（3）动力学分析。滚筒卸载式中间驱动带式输送机的动力学分析相关研究空白较多，基础薄弱，涉及较少。由于带式输送机在运行式，输送带张力与静态理论分析时得出的带张力不相符，所以在理论设计计算时，选用较大的安全系数，这样不仅造成了不必要的成本浪费，还在输送机实际运行过程中存在安全隐患。

综上所述，只有通过带式输送机静态理论分析和动态分析相结合、软启动技术、电控技术与检测技术等互相配合，才能解决这些问题。

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1.1 数学建模教学的现状调查

目前，高中的生源一部分是统招的初中毕业生，一部分是外地的借读生。这些学生大部分对学习数学建模的兴趣和积极性不高，这里一个主要的原因是他们的数学计算基础比较薄弱，知识结构非常不健全。笔者对青岛胶南一中5个班级的学生进行问卷调查，发现有59.2%的学生认为数学建模中计算不重要；仅有25.3%的学生对数学建模中的计算方法感兴趣；有53.6%的学生认为进行数学建模运算目的是应付考试；55.7%的学生认为所学的数学计算方法内容太多、太难。

1.2 目前数学建模教学存在的问题

目前高中数学教育受传统数学教学的影响较为深刻，传统数学课程设置、教学内容、思想和方法手段在高中教师的教学理论中根深蒂固，与数学建模的教学特点和目标要求相差较远。

1）教学内容偏重于理论，对应用不够重视，喜欢传统的推理和古典的方法，对于现代的前沿方法却简而代之。

2）多媒体教学手段没有充分应用，粉笔加黑板仍是教师主要的授课工具，使数学建模教学缺乏直观性、趣味性，体现不出数学建模教学生动活泼、贴近现实的特点。

3）数学建模教学没有和计算机软件教学结合起来，就算数学模型建立起来，也因计算机软件不会操作而导致不能得到精确的求解和计算。这种问题大大削弱了数学建模解决实际问题的优越性，不利于培养应用型人才。这都说明数学建模教学存在严重问题，教改已经迫在眉睫。

1.3 数学建模教学中迫切需要加入计算机技术

由前面关于数学建模教学中存在的问题可以看出，在数学建模教学中，缺乏现代化的教学手段和计算方法是导致数学建模教学不能广泛开展的重要原因。这就需要在数学建模教学中融入计算机教学，通过多媒体教学的直观特点，提高学生分析问题、建立模型的能力，通过MATLAB等计算软件的学习，减少对模型求解的繁琐计算，有利于提高学生学习数学建模的兴趣，提高建立模型、求解模型的能力。因此，在数学建模教学中融入计算机技术是必要的。

2 在高中数学建模教学中融入计算机教学的方法与途径

在高中采用计算机技术对学生进行数学建模思想与方法的训练，有三种途径。

2.1 数学建模课程中加入计算机软件的内容。

数学建模课程所包含的模型，可以跟许多计算软件联系起来，因为许多模型，如线性规划模型、回归模型、微分方程模型、概率统计模型等，建立模型后用MATLAB或LINGO就可以进行计算。所以在高中数学建模教学内容中融入软件计算的内容，有着非常重要的作用。

2.2 将数学建模与软件计算融合的方法有机地贯穿到传统的数学课程中去

这种途径使学生在学习数学基础理论知识的同时，初步获得数学建模的知识和技能，获得用计算机软件求解模型的能力，为他们日后用所学的知识解决实际问题打下基础。那么，在实际的数学教学中，教师如何将这种思想渗透到教学内容中去呢？

1）高中数学的基本概念如函数、导数、三角、向量、积分等都是数学模型，因此，每引入一个新概念或开始一个新内容，都应通过多媒体课件教学展示一些直观的、丰富的，能提高学生学习兴趣的实例，向学生展示该概念或内容的应用性。

2）建立函数关系在数学建模中非常重要，因为用数学建模的方法解决实际问题的许多实例首先都是建立目标函数，将实际问题转化为数学问题。然后借助计算机语言，将模型转化为程序，为模型的求解做准备。

3）利用一阶导数求解函数的极值问题，可以引导学生建立线性规划模型，转化成无条件极值或者条件极值问题，在此插入拉格朗日乘数法，让学生掌握求解条件极值的方法，及如何运用数学软件来进行计算。

4）概率统计模块当中，一些统计量的计算，公式较为繁琐，如果用数学软件，或者用Excel，都可以很方便地对数据进行处理，求出想要的各个统计量，甚至可以画出统计量的图，直观形象，使用便捷。

2.3 在数学建模教学中融入计算机教学应注意的问题

首先，采用由简到繁、由易到难的循序渐进思想，逐步将软件计算渗透到数学建模教学中。其次，在教学中选取的教学实例应该来源于生产或生活，让学生透过实例来理解概念和模型，从而逐步掌握建立这种模型的方法。实例中所用到的模型应该体现数学建模的初级方法和思想，在教学中的举例应具有代表性，切忌泛泛的一堆实例的堆积，却不能提炼出数学的内涵来，毕竟建模的根本目的是用数学和计算机来解决实际问题。最后，应注重计算机与课堂教学的整合。用MATLAB、LINGO等软件计算出的结果、描绘的图形精确而可信，让学生更加体会到利用建模和计算机结合解决实际问题的优越性，也可以提高学生的学习兴趣，感觉课堂内容充实生动，这样可以取得很好的教学效果。

3 胶南一中数学建模教学与计算机教学融合的实践研究

随着数学建模教学越来越深入到高中数学教育中，胶南一中也逐步对数学建模教学增加了认识，在所承教的班级中进行了询问式调查，发现有20%以上的学生对数学建模有浓厚的兴趣。于是，2009年初，教师开始在学生中利用课余时间开展公开课，请有兴趣的学生报名参加，并在公开课上讲解一些数学建模实例和计算机软件的使用。通过小测验，让学生对某个实际问题建立模型求解，找出答案比较新颖的学生，指导他们建立和求解数学模型。

比如，以2006年的考题“易拉罐的最优设计”为例，请学生想办法设计出自己认为最合理、最优的易拉罐来。学生对这个问题表现出浓厚的钻研兴趣，大家纷纷讨论起来，有的画出了图形，有的在测量和演算，不久，就有不少学生提出较为优秀的方案。但是，学生对线性规划、运筹学、最优化等课程很陌生，也不懂MATLAB等数学软件的操作，所以他们对自己的方案只能有个大致构架，却不会进行精密的演算和论证。这样，教师把这些学生组成兴趣小组，对他们进行培训，主要是讲解一些最优设计、线性规划等课程中的基本方法以及如何用数学软件来处理数据，由此一来，大家对数学建模有了深层次的认识。

2010年开始，学校组织了数学建模兴趣班，采用推荐加考查的方式组成两队，利用暑假时间对学生进行培训，培训内容包括“数学建模方法及其应用”“线性规划”“非线性规划”“最优化”等和MATLAB等数学软件。

在高中数学建模教学中，融入计算机软件教学，不仅可以培养学生的跨学科应用的能力，还让学生学会了如何分析和解决问题。而高中数学教师学历层次普遍较高，专业知识较为扎实，在讲授知识内容的同时能够注意数学建模思想的渗透，能够把利用计算机软件培养学生具有应用数学方法解决实际问题的意识和能力放在首位，因此在高中数学建模教学中融入计算机教学是可行的，是符合社会发展和人才需求形势的。

参考文献

[1]徐茂良.在传统数学课中渗透数学建模思想[J].数学的实践与认识，

2002（4）.

[2]尚寿亭，等.数学建模和数学实验的教学研究与素质教育实践[J].数学的实践与认识，2002（31）.

[3]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2009.

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一、问题提出

很多学生对数学的认识是繁、难，在生活中应用太少，这是走入纯数学误区的表现，末能把数学真正学活.其实数学的发展与生产、生活发展同步的，学习数学的目的就是为了更好的提高生产效率和生活质量.随着“数学应用意识”教育的不断深入，提高数学应用性的教育迫在眉睫。

数学应用性包括两个层次：一是数学的精神、思想和方法；二是数学建模.所谓“数学建模”，就是对遇到的实际问题进行抽象和假设之后，运用数学工具（包括数学符号、语言、几何图形等）得到一个数学结构（数学模型）.通过数学建模能力的培养，使学生可以从熟悉的环境中引入数学问题，增加与生活、生产的联系，培养学生的数学应用意识、巩固学生的数学方法、培养学生的创新意识以及分析和解决实际问题的能力，这正是素质教育和数学教育的目的。

二、如何培养初中生的数学建模能力

数学建模能力的培养和形成不是也不可能短期完成，必须结合具体教学内容，有系统、有针对性、循序渐进地进行.在初中阶段笔者认为可分以下几个阶段进行：

1.立足教材，扎实基础

教师首先要根据教学大纲和教材，注重学生数学基础的系统教学.一般地，数学体系可分为纯数学和应用数学两个范畴，我们要正确认识两者之间的关系，纯数学是应用数学的基础，应用数学是纯数学的发展与深化.没有广泛而扎实的数学基础，数学应用意识就很难形成，培养数学建模能力就成为一句空话。

2.教学中注意建模思想的渗透

数学建模能力的培养是一个循序渐进的过程.因此，从初一开始，就应有意识地逐步渗透建模思想.在教学中渗透建模思想不是简单把实际问题引入，而是根据所学数学知识与实际问题的联系，在教学中适时地进行渗透.

（1）以具体实例引入概念

概念课着重于学生对概念的认知，而大多数概念往往由实例引入，因此可引入生活中的相关例子，将概念具体化，培养学生对实际问题的分析、抽象、概括能力.

例如，在水塘中投进一块石头，水面上产生圈圈荡漾的水波，便是一个个圆的形象，然后使学生抽象出圆的概念以及圆心、半径等.

（2）几何课注意操作与分析结合

数学是研究空间形式和数量关系的一门科学.生活中的几何问题随处可见，教材中，每章开头的引入和部分例题、练习中都有数学应用的例子，教师可充分利用这些例子对学生进行建模训练。

例如：“解直角三角形”的引入部分：修建扬水站时，要沿着斜坡铺设水管，水管AB的长度可以直接量出，斜坡与水平面夹角∠A可以通过测角器测出，如何求出点到水平面的距离？

建立模型：RtABC,已知∠A,AB,求BC的长.

还有同一章中6.4应用举例中出现的：屋顶人字架、燕尾槽、大坝、山坡等实际问题.令教师在教学时有较大发展空间.

（3）复习课要注重知识的系统运用

复习课由于学习知识已较为系统完整，可考虑适当引入综合运用本章节知识的有关问题，适当提高学生建模能力，强化学生应用数学的意识.

在解决实际问题时，应鼓励学生大胆提出自己的建模方法，然后再补充.当学生自己找到建模方法后，就会获得成功的满足，产生愉快的学习情绪。

3.引导学生从数学的角度看生活

在数学教学中，应注意引导学生自觉地应用数学思维来分析生活实践中的现象，学会将问题的本质进行概括、归纳，抽象为数学语言，并用相关数学知识来分析解决问题。

例如：在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲向A点时，乙已跟随冲到B点，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙让乙射门好？

分析：在真正的足球比赛中，情况会很复杂，这里仅用数学方法从静止的两点加以考虑，如果两个点到球门距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两个点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截。

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（北京农学院，北京 102206）

摘 要：本研究运用层次聚类法,建立了一套大学生数学建模能力评价方法,使评价工作变得更科学、合理、公正.最后通过实例验证了此种方法的可行性.此种方法可以公正客观地评价大学生数学建模能力，有助于教育研究机构对学生数学建模能力的调查和研究，既能对学生的个人发展提出改进措施和努力方向，又能为教育科研工作者开展数学建模培训提供更全面具体的指导,为数学建模竞赛选拔更优秀的人才.

关键词 ：层次聚类法；数学建模能力；评价；模型

中图分类号：O242.1 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）04-0001-03

基金项目：北京农学院教改立项（5046516450）

目前,随着数学建模在各个领域的广泛应用,许多学校开始把数学建模能力作为一个重要的研究方向.数学建模能力是综合运用知识解决实际问题的数学能力，是一个比较模糊的难以简单量化的能力.因此,要更好地对大学生数学建模能力进行评价，并因材施教,扬长避短的培养数学建模能力,需要一个科学的评价体系来对大学生的数学建模能力进行科学准确的评价.

积极有效地开展大学生数学建模竞赛，提高大学生的数学建模能力，亟需建立一套完备的大学生数学建模能力评价指标体系.目前，对大学生数学建模能力的研究主要集中在：（1）对大学生数学建模能力培养的研究[1-3]，主要是从教育工作者的角度对大学生数学建模能力培养提出若干对策与建议，这方面研究较多，但这些建议往往是由工作经验或感想得出，没有理论依据，说服力不强；（2）对大学生数学建模能力评价的研究[4,5]，有层析分析法和主成分分析法.这些研究虽然简单地列举了评价指标，但形不成体系，由于忽略了数学模型的应用，因此主观因素较大，客观性和准确性受到质疑.针对以上问题，笔者通过搜集整理众多学者的理论和观点,建立一套适用于大学生的数学建模能力评价体系,采用层次聚类法,并通过我校学生的实例验证评价体系的实用性和可行性.

1 基于层次聚类法的大学生数学建模能力评价模型

层次聚类法又称为分层聚类法，是研究样品（或指标）分类问题的一种多元统计方法.所谓“类”是指相似元素的集合.聚类分析能将样品（或指标）按其在性质上的“亲疏程度”进行分类，产生多个分类结果.

假设研究对象为n个学生，记为A={x1,x2,…,xn}，学生的m个分类特征记为B={y1,y2,…,ym}.每个对象相应于这些指标所取数值的向量记为

X={xi1,xi2,…,xim} (i=1,2,…,n)，

其中xik表示第i个学生的第k个指标，于是得到m×n矩阵，称为原始矩阵，记为

层次聚类法的基本步骤如下：

（1）首先将数据各自作为一类，每个类只包含一个数据，此时类间距离就是数据间的距离，这时有n类，计算n个数据两两间的距离，得到数据间的距离阵；

（2）合并类间距离最小的两类为一新类，这时类的个数减少一个；

（3）计算新类与其它各旧类间的距离矩阵.若合并后类的个数等于“1”，转到（5），否则回到（2）；

（4）画谱类聚类图；

（5）决定分类的个数和各类的成员.

本文采用马氏距离法定义类与类之间的距离，dij2(M)=(Xi-Xj)’∑-1(Xi-Xj)其中，∑表示指标的协方差矩阵，即：

马氏距离不但排除了各指标之间相关性的干扰，并且还不受各指标量纲的影响.除此之外，它还有一些优点，例如，可以证明将原始数据做一些线性变换后，马氏距离仍不变.若在某一步，第i类和第j类合并成第r类，则新类其它旧类之间的距离公式为drk=max{dik,djk},(k≠i,j)，其中dik,djk分别表示新类中所包含的第i类和第j类与没有被合并到新类中的某个k类的类之间的距离.

2 实例分析

2.1 确立数学建模能力评价指标体系

建立科学准确的评价指标体系,是评价工作最基本、最关键的一步,必须遵循一定的原则，这些原则包括:（1）具有普遍性.指建立的指标体系面向的是全体学生，因此在设计量化方案的时候，必须具有普遍性，符合学生的知识结构和认知规律.（2）具有科学性.指设立的指标体系要符合科学发展规律,反映学生的数学建模能力,指标要素之间要避免重叠,并具有整体完备性.（3）具有指导性.能正确体现教学指导思想、教学改革与发展方向,并能反映数学建模能力的正确导向作用.（4）具有可测性.要求指标可通过实际观察对事物某一方面的情况, 能加以度量并获得量化的结果.

按照上述原则,分析和吸取大多数学者的观点和共同之处, 经课题组共同讨论后，确定了以下指标体系：（1）创新能力，包括创新思维能力和创新实践能力，是对已有的知识和理论，进行不同程度的再组合、再创造，从而获得新颖、独特、有价值的新观念、新思想和新方法的能力；（2）协作能力，指能综合地运用各种交流和沟通的方法进行合作，尊重理解他人的观点与处境，评价和约束自己的行为，共同确立目标并努力去实现目标；（3）基础知识掌握程度，用数学建模选修课的分数来衡量；（4）分析解决问题能力，指能阅读、理解对问题进行陈述的材料，通过分析、比较、综合、抽象与概括，运用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑的、准确地加以表述并解决问题.分析能力强的人，往往学术有专攻，技能有专长，在自己擅长的领域内，有着独到的见解和成就.看似非常复杂的问题，经过梳理之后，变得简单化、规律化，从而轻松求解，这就是分析解决问题的魅力；（5）计算机应用能力，指利用计算机软件的强大数据处理功能和网络巨大的信息量，通过编程和查找资料，对数学模型进行求解的能力.

最后，通过构造比较矩阵，计算比较矩阵的特征值和特征向量，并对其进行一致性检验，一致性比例指标符合要求，说明构造合理.数学建模能力评价体系如表1.

2.2 大学生数学建模能力评价

现以我校2013届学生为例，调查时抽取一定数量的学生，考察学生的五项数学建模能力，即创新能力、协作能力、基础知识掌握程度、分析解决问题能力和计算机应用能力.每项能力采取百分制记分，通过被试者做一组试题或问题解决的方式，主对学生在各组问题上的完成程度和表现出的个人能力进行量化评价，采取定性和定量相结合的方式，客观问题定量评价，主观问题由老师定性进行打分，评价数据如表2.通过spss软件得到聚类结果表3和使用平均联接的树状图表4.

2.3 评价结果分析

表2所示显示了系统聚类法的聚类结果，可以看到聚类结果分为以下几类.第一类：学生1、2、4、8、9、10、12、13、15；第二类：学生3、5、7、11、14；第三类：学生6.其中第三类学生6非常优秀，在协作能力，基础知识掌握程度，计算机应用能力方面有显著优势，具备良好的创新能力和分析解决问题能力，是数学建模的一流学员；第二类学生良好，有一定的数学基础，具备良好的创新能力和计算机应用能力.如学生7在基础知识掌握程度方面有显著优势，学生11在协作能力和分析解决问题方面表现突出，是数学建模的优势学员；第一类学生创新能力不足，思维有些僵化，虽然具备一定的建模思想，有良好的分析解决问题能力，能与人进行交流和合作，但个人素质相对平均.如学生1、2、12、13对数学建模的思路和方法还停留在简单模式中，不能多角度多侧面地看问题，没有思考和创新，不能在条件相同的情况下提出较多的观点和意见，发散思维能力较差.究其原因，是因为学生还没有从高中阶段的学习状态调整过来，思维模式单一，创新能力不够，对于数学建模的模式不习惯，这类学生对数学建模有一定的兴趣，但能力不够，需要多加培养，是数学建模的潜在学员.

3 结束语

本文运用层次聚类法对大学生数学建模能力进行评价，力求评价更具科学性，为数学建模人才的选拔提供参考.与其它评价方法相比，本方法具有以下优点：（1）融合了定性分析和定量分析的双重优势；（2）操作简单，只需输入数据即可得出结果.（3）评价体系适用面广，方法具有普遍性，可作为学院内部选拔学生，也可作学院之间的比较，聚类结果科学合理，较符合实际.评价结果表明，该模型可以科学公正客观的评价大学生数学建模能力，使学生了解自己的实际水平，找到自己的优势和劣势，既可以对学生个人发展提供改进措施和努力方向，又能为教育科研工作者开展数学建模教育和辅导提供更全面具体的指导,有助于教育研究机构对大学生数学建模能力的调查和研究，为数学建模竞赛选拔更优秀的人才.

参考文献：

〔1〕朱建青，谷建胜.数学建模能力与大学生综合素质的培养[J].大学数学,2013,29（6）：83-86.

〔2〕郎淑雷.关于提高学生数学建模能力的思考[J].中国科技信息,2007(24):243.

〔3〕刘大本.浅谈学生数学建模能力的培养[J]，江西教育,2006(22):34.

〔4〕张明成，沙旭东，张鑫.专科学生数学建模能力的分析及评价研究[J].淄博师专学报,2009(4):60-64.

〔5〕刘贵龙.模糊聚类分析在文本分类中的应用[J].计算机工程与应用,2003,12（6）：17-23.

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一、七桥问题

故事发生在18世纪欧洲东普鲁士（现为俄罗斯的加里宁格勒）一个名叫哥尼斯堡的城市近郊。这里的普雷盖尔河穿城而过，河中有两个岛，两岸与两岛之间架有七座桥。当时城中居民热烈讨论着这样一个问题：一个散步者怎样走才能不重复地走遍所有的七座桥而回到原出发点？首先介绍问题发生的背景，欧拉开创了数学的一个新的分支———图论与几何拓扑引导的故事，激发学生的学习兴趣。其次引导学生对问题进行简化假设，将实际问题抽象成数学问题。由于关心的是能否不重复地走完七座桥而对于桥的长短，岛的大小等因素都不重要，因此可进行简化假设，不考虑陆地的地形，不考虑桥的形状及长短，把四块陆地用4个点A、B、C、D表示，七座桥用相应的点之间的连线（曲线段或直线段）表示。问题转换成从某个点出发能否不重复地把图形一笔画出来，这样便简化了原问题而突出了问题实质。七桥问题就抽象成通常所说的一笔画问题，即下笔后再不能离开纸，每一条不能重复，只画一次，画时任两条线允许交叉而过。之后对问题详解，对图形的结构作分析可以看出，除去起点或终点外，凡途径的点都应有进有出，即连接点的曲线必须是偶数条，我们可以把这类型的点叫偶点，因为只有起点或终点才可能有进无出或有出无进，这时可能有奇数条曲线与这样的点连接，这样的点叫做奇点，这说明，要想一笔不重复地画出图形，奇点的个数要么0个，要么2个，而在图中4个点都是奇点，因而图形不可能一笔画出，欧拉就是用“一笔画”作为七桥问题的一个模型，而解决了这个难题。由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：1.图形必须是连通的。2.图中的“奇点”个数是0或2。我们也可以依此检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此判断“七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。最后举一反三，让学生体验哪些图形可以一笔画出。

小结：欧拉之所以能解决七桥问题，是因为他将实际问题抽象成数学问题，并加以证明及解决。这个过程正是数学建模的缩影。通过这个实例的讲解，让学生感受到数学建模的过程：实际问题抽象、简化问题，明确变量和参数根据某种定律建立变量和参数间数学关系（数学模型）解析地或近似地求解该数学模型解释、验证求解结果应用于实际。

二、椅子能在不平的地面放稳吗

这是日常生活中常见的问题，学生会很感兴趣，并且利用函数介值定理就能很好解决。在课堂上，通过老师的引入，让学生自己分析。提示学生，通常椅子四只脚着地才能放稳，引导学生对模型进行假设，四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。设椅子中心不动，四条腿的下端用A，B，C，D表示，中心点为O。用对角线AC与x轴的夹角θ来表示椅子的位置。A，B，C，D四点距地面的距离分别设为a，b，c，d，它们都是旋转角θ的函数。在假设的前提下，a，b，c，d均为θ的连续函数，且（a+b）（c+d）=0，令f（θ）=a+b，g（θ）=c+d，且θ=0时，不妨设g（0）=0，f（0）＞0，于是椅子问题抽象成了如下问题：已知：f（θ），g（θ）是连续函数;对任意θ，f（θ）·g（θ）=0;且g（0）=0，f（0）＞0.证明：存在θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0。结论：如果地面是连续变化的，则四条腿能够同时落地。这个证明利用介值定理就可使问题解决，非常巧妙而简单。

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1.数学经济模型对于经济学研究的重要性

一般情况下，单独的依靠数学模型是不够解决所有的经济学问题，很多经济领域中的问题是需要从微观角度进行细致的分析才能够总结出其中的规律。要想利用数学知识来解决经济学中所出现的问题，就一定要建立适当的经济学模型。运用数学建模来解决经济学中的问题并不是没有道理的，很多时候从经济学的角度仅仅能够知道问题的方向和目的，至于其中的过程并不能有着详细的分析，而利用数学模型就可以彻底的解决这一问题。数学建模可以通过自身在数字、图像以及框图等形式来更加真实地反映出现有经济的实际状况。

2.构建经济数学模型的一般步骤

要想利用数学模型来更好的解决现有的经济学问题，主要分为两个步骤，第一先要分清楚问题发生的背景并且熟悉问题，然后要通过假设的形式来完善现有的经济学问题，通过抽象以及形象化的方式来构建一些合理的数学模型。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之间的关系。这样可以得出一些有关经济类的数据，进而将建模中得到的数据与实际情况进行对比和分析，最终得出结果。

3.应用实例商品提价问题的数学模型:

3.1问题

现如今经济学在很多的商场中都有所运用，例如同样的商品要想获得最大的经济效益，既要考虑到规定的售价，又要考虑到销售的数量，如果定价过低，则销售数量较多，如果定价较高，利润是大了，但是却影响了销售数量。怎样定价才能够缺乏经济效益的最大化成为了现如今需要考虑的重要问题。这其中就涉及到了数学建模与经济效益之间的关系，通过绘图来找出如何定价才能够使得商品的边际效应最大化。

3.2实例分析

例如某商场在销售某种商品的时候，设为单品价格为30元，每年平均可销售2万件，如果商品每提价1元，则销售量就减少了0.2万，要想使得总的销售收入不少于70万，则该商品的最高应该如何定价。针对于这样的问题就可以利用数学的思维来计算，假设提价为x元，提价后的商品单价就是30+x元，则提价后的销售总量就是(20000－2000x/1)件，则可以得出(30+x)(30000－2000x/1)大于等于700000，这样就可以准确的计算出最高定价应该如何制定。

4.数学在经济学中应用的局限性

4.1经济学不是数学概念和模型的简单汇集

数学在经济中的运用是有着一定的局限性，利用数学知识和数学模型来解决一些经济学中的现象，这种情况并不是数学的一种延伸和探索，而是利用数学来更加方便的去解释经济学中的一些现象。经济学作为社会科学的分支学科，已经成为了人类社会发展和科学进步的重要学科，而人类受活动和道德的影响也逐渐的对经济学产生了依赖，经济学的发展不可能成为一种抽象的，可以用公式直接计算出的一种科学，只有融入数学知识和数学模型，才会更好的辅助经济学的发展。

4.2经济理论的发展需从自身独有的研究视角出发

在经济理论的发展当中，很多时候需要从自身独有的研究视角出发去观察去发现，利用数学模型来辅助经济学的分析和研究是具有重要的影响，但是数学建模的应用并不是无条件的适用于任何的场所，而是具有一定的条件，在经济学的领域当中数学建模的运用是有着特定的领域，并不是无节制的可以运用到任何的领域当中。

4.3数学计量分析只是辅助经济理论工具之一

利用数学建模来解决现有的经济类问题是一种常用的方式，但是这种方法并不是万能的。因为很多经济类的问题当中并不是可以完全依靠数学建模来解决的，很多时候还是需要高校中的教师利用经济学的思维方式进行解决。所以为了更好的促进经济学的教育和发展，就一定要适当的与数学建模进行融合，这样才会有利于经济学的发展。

4.4数学经济建模应用十分广泛

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数学建模思想

数学建模就是指为了实现某一个特定的目标，借助各类数学符号、公式以及图表，将特定的客观世界事物本质与内在联系进行表达的过程。数学建模可以用于解决生活中的很多实际问题，其利用实际事物之间的数量关系以及内在规律，将其转化为数学问题，并借助数学方法进行求解，以达到解决实际问题的目的。随着计算机技术的不断发展，在数学知识与计算机技能相结合下，数学建模思想在解决实际问题方面效果越来越明显。

数学建模按照建立模型的数学方法可以分为初等模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等。按照模型的表现特性又有几种分法，可以分为确定性模型和随机性模型，静态模型和动态模型，线性模型和非线性模型，离散模型和连续模型。

数学建模思想与高等数学教学融合的必要性

数学建模思想对于打破传统的教学模式非常有效果，其能够充分调动学生的学习主体性和探究性。在数学建模的过程中，学生需要对教师提出的实际问题进行分析、并借助数学知识将其转化为数学问题，然后，构建解决该数学问题的数学模型，并最终得出模型的解决方法。这些过程中，学生的实际动手能力以及创新能力得到了显著的提升。不仅如此，数学建模过程，并不是一个学生可以独立完成的，其需要小组成员相互配合，依靠团队的力量共同完成。所以，数学建模过程中，学生的团队合作能力也是有所增强。这对于学生将来的工作和生活都是有所帮助的。

数学建模思想在高等数学教学中的应用

1 数学概念以及定理教学中数学建模思想的应用

高等数学中相关的数学概念有很多。而且，都具有很强的抽象性。例如：导数概念以及微积分概念等。解决生活中的实际问题很多都会用到导数的概念，导数可以用来表示变速直线运动的即时速度以及经济生产中的成本变化率等。教师在教学过程中，可以对这些问题进行数学建模，在建模的过程中，引出导数的概念。

2 数学建模思想在实际问题解决中的应用

高等数学中，很多公式都是具有实际意义的。所以，教师在教学过程中，要尽量选取一些实际问题，并借助数学建模思想加以解决。例如：高等数学中涉及到的一阶微分方程：

这个常微分方程可以用来表示某一生产企业的新产品销售模型，同时，其也可以看做是销售机构的销售模型，在生物研究领域，其亦被称为是Logistic模型。是用来描述在某特定约束条件下，生物数量的增长情况。

3 实例分析

常微分方程是高等数学课程中的重要教学内容，其是高等数学知识解决实际问题的重要手段。下面以实际例子对数学建模思想在高等数学教学中的应用进行分析。

例1：在产品供应链中，甲厂是负责为乙厂生产零部件的。乙厂将甲厂生产的设备零件进行组装，制成成品，并进行销售。二者形成了供给关系。如果没有甲厂的零配件，乙厂就无法进行产品生产，面临着供货困难的局面。而甲厂需要靠提供零部件，来维持生产经营，从中获利。所以，二者是相互依存的关系。现在利用数学模型讨论二者之间的量化关系。

模型建立：假设甲厂生产的零配件数量为x（t），乙厂的产品数量为y（t），甲厂的零件生产增长率为r，乙厂产品生产能力为a，乙厂不依靠甲厂生产产品的生产率为d，甲厂供给乙厂生产零件的能力为b。则有：

微分方程组的求解通常在高等数学中往往局限于某几种特定模型，但远远不能满足实际需求，该方程无解析解，可采用MATLAB进行求解得到数值解。

从这个实例中我们看到了数学知识在实际问题中的应用，微分方程知识的具体应用，从提出问题到最终得到周期有规律的曲线都表明引入数学建模思想是使得高等数学教学具体化、形象化的有效工具。

结论

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关键词：数学建模能力 培养兴趣 学习的能动性

一、引言

2003年教育部颁布的中学数学课程标准里，数学建模成了十分重要的组成部分，标志着数学建模正式进入我国中学数学教学中。中学生接触的大多数是传统的文字应用题，带有很强的人工化，形式化，对数学建模相对生疏。课本上传统的文字应用题往往条件清楚准确、不多不少、结果唯一确定，解出的结果很少要求学生思考是否符合实际。因此，就更加不会去考虑是否需要调整和修改已有的模型。而这些正是数学建模过程的难点和重点。数学建模强调用所学的数学知识解决问题，提倡的是“想用、能用、会用”的“用”数学的意识。这正是新课标指出的：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境， 引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。”

二、如何培养和提高中学生建模能力

数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生的用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。要教会学生建模，培养学生如下几方面的能力是关键。

（一）培养“翻译”能力

1.审题。包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。就是弄清题目所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；抓住题目中的主要问题，正确识别其类型。

2.问题转化。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。一般有关系分析法，列表分析法和图像分析法。

（二）培养用数学分析意识和创造能力

第一，教师在教学中应注意在从具体到抽象的学习过程中， 让学生对数学知识的来龙去脉有着清晰的认识，而非横空出世。即要结合学生熟悉的事物善于深入浅出地提出数学问题、讲解数学问题，把数学与生活紧密地结合起来；第二，教师要合理引导学生发挥主观能动性，体验数学的再创造过程，从而自我建构数学知识，形成数学思想方法的活动。即要营造一个激励探索和理解的气氛，让学生在观察体验、动手实践的基础上学会把眼前的问题与自己已有的知识体验之间发生关联，从中有效地学习方程思想、数形结合思想、分类思想，学习建模思想、转化思想、整体思想和概率统计思想等方法。

（三）培养想象力

想象力是人类特有的一种思维能力，是人们在原有知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出新形象的能力。爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”

实例一：某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？

这是一个测试想象能力的简单题目，似乎条件不够，无法回答。但只要换一种想法，问题就迎刃而解了。假设他的妻子遇到他后载着他仍旧开往会合地点，那么他就不会提前回家了。提前的十分钟从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

（四）培养发散性思维及创新能力

所谓发散性思维，是指针对同一问题，沿着不同的方向去思考，从不同角度、不同侧面对所给信息或条件加以重新组合，横向拓展思路、纵向深入探索研究、逆向反复比较，从而找出多种合乎条件的可能答案、结论或假说的思维过程和方法，即常说的“条条道路通罗马”。

实例二：华盛顿大学教授卡兰得卡给学生出了一道题：“试证明怎么能够用一个气压计测定一栋高楼的高度”。

一个学生给出了如下答案：“把气压计拿到高楼顶部，用一根长绳子系住气压计，然后把气压计从楼顶向楼下坠，直到坠到街面为止；然后把气压计拉上楼顶，测量绳子放下的长度。这长度即为楼的高度。”“把气压计拿到楼顶，让它斜靠在屋顶的边缘处。让气压计从屋顶落下，用秒表记下它落下的时间，然后用落下的距离等于重力加速度乘以下落时间的平方的一半算出建筑物的高度。”“可以在有太阳的日子在楼顶记下气压表的高度和它影子的长度，又测出建筑物影子的长度，就可以利用简单的比例关系，算出建筑物的高度。”“还有一个最基本的测量方法。拿着气压表，从一楼登梯而上，登楼时，用符号标出气压表上的水银高度，这样可以用气压表的单位得到这栋楼的高度。这个方法最直截了当。”“当然，如果还想得到更精确的答案，可以用一根弦的一端系住气压表，把它像一个摆那样摆动，然后测出街面和楼顶的g值 （重力加速度）。从两个g值之差，在原则上就可以算出楼顶高度。”“如果不限制用物理学方法回答这个问题，还有许多其他方法。例如，拿上气压表走到楼房底层，敲管理人员的门。当管理人员应声时，你对他说下面一句话，‘亲爱的管理员先生，我有一个很漂亮的气压表。如果你告诉我这栋楼的高度，我将把这个气压表送给您。’”当然最后这个只不过是一个笑话。这种近乎抬杠的方法我们并不提倡，但他这种不被传统固有知识所限制，举一反三，努力提出新方案的思维方式，正是我们提倡的发散性思维。

（五）培养表达的能力

中学建模的结果常常需要以解题报告或论文的形式写出来，这就要求教师引导学生逐步达到能够将自己所做的工作用准确严密的语言表述出来，加强对学生的写作和表达能力的锻炼。教师可以通过一些具体的例子来分组锻炼学生合作建模并表述建模过程，之后分组指导并改进论文，选取较为优秀的论文作为建模课程的范例进行讲解，引导学生展开讨论，从而改进建模方法和解题过程，提高学生的解题能力和写作能力。

三、实例分析

（一）问题及分析

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油的要求。两炼油厂的具置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

■

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用为21.4（万元/千米），油田设计院希望通过数学方法设计一种建设费用最省方案。

（二）建立模型及求解

由于A厂、B厂与铁路的位置一定，但由于A厂、B厂分别在郊区与城区，而铺设在城区管线还需要增加拆迁和工程补偿等附加费用。故可按如下情形进行讨论：车站可能建在Ⅰ区，可能建在Ⅱ区。为此，分如下情形讨论：

■

■

方案（1） 设AT=x，TM=y，则x■=25+CT■，CT=■，TD=20-■由RtFMT∽RtBDT可得：■=■=■

则MD=20-■-y=5，BD=8，MF=■

可得 BF=BT-FT

=■■，

总费用 W=7.2（AT+TB）+21.4BF

=7.2（x+■+21.4■■，

由于W为关于x的一元函数，为使总费用最小，只需求导并令导数等于零即可。即解方程■=0，则可得x即转接点的位置，从而得到最佳设计方案及最省费用。

由计算得：x=6.69，Wmin=294.43。

方案（2） 设MT=y，则DT=5-y，管线长度L=AQ+QT+BT，

由RtTQM∽RtTAC可得： ■=■=■，

所以 TQ=■■，QM=■，

则AQ=AT-QT=■■，BT=■=■，

因此，总费用 W=7.2（AT+TB）+21.4（QT+TB）=7.2（■+■）+21.4（■■+■）

由于W是关于y的一元函数，对y求导并令倒数等于零即可。

从而可以得到最佳设计方案及最省费用：y■=0，W■=383.654。

四、结语

在中学数学教学过程中融入数学建模思想， 一方面能使学生逐步熟悉和掌握利用数学方法来解决实际问题。这将使学生对数学方法的运用产生兴趣，并逐步提高解决实际问题的能力。另一方面对于从事多年传统数学教学的教师来说，也是一项转变教学观念，更新教学方法的实践，能使教师的数学教学从与实际脱节的理论传授方式向实际的应用数学模式转化。

参考文献：

[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京： 高等教育出版社，2004.

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什么是数学模型？何为数学建模？这是我们首先要理解的概念。

“数学模型一般是实际事物的一种数学简化……使用数学语言描述的事物就称为数学模型。”更确切地说，“数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。”①课程标准中说：“方程、方程组、不等式、函数等都是基本的数学模型。”这是就“数与代数”这部分内容中列举的数学模型的外延。

“数学建模”在课程标准中解释得比较详细：“从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。”读了这段话老师们肯定会说：我们在教学学生解决实际问题的过程不就是这样吗？只不过数学问题是现成的，我们已经提供给学生了，关键是引导学生分析题中的数量关系，理清解决问题的思路与步骤，准确列出分步算式、综合算式或方程，再算出结果，检验后写上答语。是的，这是数学建模与解模过程的一部分，但这里的数学模型已经预设了，一般不需要学生“从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题”，我们没有了数学建模的出发点，所以这样的教学便称不上是数学建模的教学。

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象，如自由落体现象，也包涵抽象的现象，如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态、内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容。具体地说：建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。因此，“数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并‘解决’实际问题的一种强有力的数学手段。”②由此可见数学建模一般有这样几个过程：1、模型准备；2、模型假设；3、模型建立；4、模型求解；5、模型分析；6、模型检验；7、模型应用。③

那么，教师如何帮助学生体会建模过程，树立模型思想呢？

一、教师主导，学生主体。小学生的生活经验比较少，数学知识、技能水平都比较低。所以，在小学阶段引导学生体会建模过程、树立模型思想势必要在教师的指导帮助下进行。教师要根据学生的年龄特征与认知水平，选择学生感兴趣的、通过合作与努力能够成功建模的生活问题，让学生来体会、研究。

二、夯实“四基”，提升素养。小学阶段是学生打基础的阶段，所以新课程标准提出“通过义务教育阶段的数学学习，使学生获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”在组织引导学生开展有效的数学学习活动与训练过程中，使学生掌握扎实的基本知识和技能，渗透基本的数学思想方法，积累基本的活动经验。夯实了这些基础，学生对进一步学习数学才有信心与兴趣，其数学素养的发展与提升才成为可能。

三、课中渗透，感悟模型。在平时的数学课堂教学过程中，教师要有意识地让学生在许多直观或贴近生活的实例中进行有效地综合比较，抽象出它们所具有的共性，再用数学的语言或符号等进行概括，从而让学生体会到学习新知的过程就是数学建模的过程。例如教学分数与除法之间的关系时，通过大量的实例使学生从中抽象出它们的共性是：被除数÷除数=被除数/除数，最终用数学符号概括出：a÷b=a/b(b≠0)的结论。

四、重点训练，体会建模。数学建模的过程是一个综合运用的过程，所以我们重点训练的基础内容很多。如计算，包括估算与口算；分析数量间的关系等等。如果学生相关的能力没有训练到位，将影响学生体会数学建模的过程。纵观小学阶段的数学内容，比较容易组织帮助学生建立的数学模型是简易方程。因此，在学习了这部分内容以后，我们便可以帮助学生体会数学建模，树立模型思想了。可以创设学生熟悉的生活情境，如家中的收支结余问题、找规律填数问题等等。教师要引导帮助学生经历完整的数学建模的过程，要用学生喜欢的方式表达解模过程，可以是列式解答，也可以是小论文。在学生完成学习任务以后，一定要进行激励性评价，让学生感受到建模的成功及数学模型思想的生活价值，从而提高学习数学的信心与兴趣

[参考文献]