初中数学思维如何培养范文

导语：如何才能写好一篇初中数学思维如何培养，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公文云整理的十篇范文，供你借鉴。

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一，初中数学注重教学方法及其思维的探讨

在教学方法上，我们要从讲清知识点，转变为对学生能力的培养。我们讲清知识点是为了告诉学生为什么，怎么样以及思维的散发点，并不是仅仅为了告诉学生3+2=5，就数学教学过程中，注重学生思维能力的培养。要在方法上注重对学生的思维能力上下功夫，要通过教学例题、训练题对进行思维能力的培养，即观察能力判断能力，想象能力的训练，让他们通过知识点的学习，悟出生活中的数学题如何回答。

数学教学大纲对“培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力”作出了规定。学生在数学学习过程中的两极分化现象来源于思维水平的差异。学生的思维起点源于学生的知识结构和认识能力。培养学生的数学能力，要求教师在教学中以形象思维作为思路点拨的起点，尽可能多地以直观演示提供数学原型和数学范式，科学地去发现思维通路，从而促进学生抽象思维和创造思维的发展，增强学生发现知识、获取知识的主动性。只有这样，教师重视学生数学能力的培养，才能取得良好的教学效果，提高数学教学的质量。

二，初中数学注重注重培养学生善于质疑猜想是创新思维的关键

1.猜想是由已知原理、事实，对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题。在我们的数学教学中，培养学生进行猜想，是激发学生学习兴趣，发展学生直觉思维，掌握探求知识方法的必要手段。我们要善于启发、积极指导、热情鼓励学生进行猜想，以真正达到启迪思维、传授知识的目的。

启发学生进行猜想，作为教师，首先要点燃学生主动探索之火，我们决不能急于把自己全部的秘密都吐露出来，而要“引在前”，“引”学生观察分析；“引”学生大胆设问；“引”学生各抒己见；“引”学生充分活动。让学生去猜，去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系，让学生把各种各样的想法都讲出来，让学生成为学习的主人，推动其思维的主动性。为了启发学生进行猜想，我们还可以创设使学生积极思维，引发猜想的意境，可以提出“怎么发现这一定理的？”“解这题的方法是如何想到的？”诸如此类的问题，组织学生进行猜想、探索，还可以编制一些变换结论，缺少条件的“藏头露尾”的题目，引发学生猜想的愿望，猜想的积极性。

2.学生参与教学活动是个人体验的源泉，在数学活动中学习数学，建构新的知识、新的信息，因势利导，帮助提高学生的思维能力。例二：初一代数《同类项》。教师拿出小袋硬币。师：哪位同学能帮我数一下这一共有多少钱？（学生争先恐后，非常积极），（生1）把硬币一个一个从口袋拿出来，边拿边数：5角、1.5元、2元，……三分钟后，生1：一共8.30元（还有学生在举手）；（生2）把1角的硬币10个10个地拿出来，把5角的硬币2个2个地拿出来，……二分钟后，生2：一共8.30元；（生3）把桌上的硬币分堆，一堆全是1元的，一堆全是5角的，一堆全是1角的，然后分别数出每一堆的数量，一分二十秒。生3：8.30元。

师：请问，如果这满满的一罐，你会怎样数，选择哪位同学的数法？下面很多声音在说会选择第三位同学的数法。师：为什么？又有声音在说是因为分类。师：很好。在数学中，对整式也有一种类似的分类。这就是——同类项……课后，有同学说原来合并同类项和数钱是一个道理。不错，数学就是从实际生活中来的，并不是凭空捏造出来的。“数学教育，源于现实，富于现实，应用于现实”。作为数学教育工作者，我们理应让学生意识、体会到这一点，让学生对数学有“源头”意识。

3.教学时鼓励学生质疑。教师要敢于让学生疑问难，鼓励他们大但地暴露问题，并根据学生的问题及反馈信息，有针对性地予以释疑、解惑。教师在教学中，对学生在掌握已有知识的基础上提出富有启发性的循序渐进问题，引导学生去思考。质疑可以师问生，生问师，也可以是学生问学生。在教学中安排一定的时间，由学生事先分好的小组对本堂课或本单元的内容、重点、思想方法等进行分组讨论、小结，或对教师提出的问题进行讨论，由各小组推选代表发言。通过质疑训练讨论，既深化了知识，理清了思路，发展了思维能力，同时又调动了学生学习的积极性，互相学习，合作交流，共同提高，还促进了良好 的学习习惯的养成。从客观对象出发提出问题，调动学生积极思维。由于数学的特点之一是高度的抽象性，抽象容易使一些学生感到枯燥无味。因此，教学中要注意让学生了解数学来源于实际，从而提高学习数学的习趣。例如，在进行二次函数教学时，提出“要用20m的铁栏杆，一面靠墙，围攻成都市个矩形花圃，怎样围法才能使围在的花圃面积最大？”倒使全班同学感到极大的兴趣，都来考虑和研究这个问题。

三，初中数学中利用讨论式教学对学生进行创造思维的培养，是我们教学的主要任务。

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温正辉

（于都县于都中学初中部，江西  赣州  342300）

 

摘  要：作为一个教学活动，数学教学是学生之间和师生之间共同发展和交往互动的过程。而新课改下，对数学教师提出了更高的要求。发展学生的创新意识、培养学生的创新思维能力，是数学教学的重要任务。本文对初中数学教学中如何培养学生的创新思维进行了探讨。

关键词：创新思维；培养；初中数学

    新课改下，现代教育正面临着严峻的考验。而当前教育的首要任务，是对创新型人才进行培养。作为重要学习阶段的中学时期，是培养学生创新思维能力的黄金时段。而如何培养学生的创新能力，是每一个初中数学教师应努力思考的问题。

   一、初中数学教学中培养创新思维的重要性分析

（一）有助于加大数学与生活的联系

数学新课标的任务之一，就是帮助学生对生活中的数学问题更好的理解和了解，培养学生解决问题的能力和意识。而有效解决这一问题的重要途径，就是对学生的创新思维进行培养。学生只有具有了良好的创新意识，才能善于发现问题和提出问题。而问题是从情境中产生，实际生活中又能引入情境。在生活中，学生应有意识的拓展和延伸课内知识，转变抽象的数学知识为应用过程，将生活和数学的联系加大。

（二）可增强学生的数学应用意识

具体是指运用数学语言对问题进行描述，运用数学思维，对问题进行思考。应用数学不单单是对实际问题进行解决，还应在不同的方面进行体现。因此在数学活动中，应将知识的发生与应用过程尽可能的展现，使学生对知识的来龙去脉予以了解，并对相应的知识技能掌握和了解。

   二、初中数学教学中培养学生的创新思维策略研究

  （一）树立创新意识，对良好的创新氛围进行营造

1、教师应对创新理念深刻领会，对教学观念及时进行更新

教师在实施素质教育的今天，应具备创新精神，领会创新理念。在教学的过程中，认真贯彻“思维为核心、训练为主体、学生为主体和教师为主导“的教学思想，对学生的创新精神和人格充分尊重和了解，将调动学生的积极性作为教学的重点。

   2、实现传统与多媒体的有机结合，将教学方法主动改进

   教师应充分利用多媒体教学手段，将教学中的缺陷主动进行改进。有机融合传统教学和多媒体方式，为学生创新思维的培养奠定基础。

3、教师要树立以学生为主体的观念

    教师应积极营造良好的学习氛围，将传统的“填鸭式”教学模式改变，应启发式的进行难点和重点教学，引导学生对问题主动、积极的思考，使学生对知识的产生和发展充分的感知。通过对旧知识的复习，将新知识引出，通过对比和联系，更新和建立新知识体系。采用启发和引导的方式，对知识进行传授。课堂上，教师应将学生的主体地位进行充分的体现，做数学知识的引导者和传授者，通过设计问题情境，将学生的求知欲和好奇心激发出来，对创新意识进行培养。

   4、教师应对学生的个体主体充分尊重，将学生的兴趣激发出来

    在教学的过程中，教师应注重因材施教、对学生的个体差异充分尊重。采用各种教学方法和手段，将学生的热情充分的调动起来。以“勾股定理”为例，在教学时，可让学生画一个任意直角三角形。若能将两条直角边的长度报出，教师就可将直边的长度计算出来。同学们一实验，正好验证了这个结果。学生学习的热情和求知欲被大大的激发出来，希望能尽快掌握这种学习方法。而教师可以以奇引趣，针对学生好奇的特点，促进他们乐学。

（二）帮助学生树立学生创新意识，对创新兴趣进行培养

教师在教学的过程中，应注重对学生的创新意识进行培养。应依照学生的个体和社会发展需求，帮助学生树立创新意识。对创新能力进行培养的关键，是进行创造活动。教师应培养学生的创新兴趣，对灵感善于捕捉，对事物能细致入微的观察，使创新成为一种思维方式。

   1、在教学中对学生的观察力进行培养

思维探索的大门和信息输入的通道，就是观察。教师应注重对学生的观察力进行培养。并在观察之前，将具体的任务和目标告诉学生。同时，教师应指导学生循序渐进的进行观察，并总结和分析观察结果，而在这一方面应用较多的就是《几何》。

2、在教学中应注重对学生的想象力和发散思维进行培养

    思维探索的翅膀就是想象，丰富的想象力，甚至要比知识还重要。而发散思维是指探求同一个来源材料的不同答案，可培养学生根据同一个条件，进行推理和分析，最终得出不同的答案。为了对学生的发散思维进行培养，可采用一题多解的练习。

三、结语

创新型人才是构建创新型社会的关键。作为教师，对创新型人才进行培养，是其应尽的义务和责任。教师在数学课堂教学中，应培养学生勇于创新的精神，对现在的问题能够着手解决，同时对可能出现的新问题，能够用发展的眼光去看待。而培养创新思维是一项长远的工程，要求教师在课堂教学中，能够对学生创新思维的环境进行创设，使学生勇于创新，学会思考，为创新型人才的培养，奠定坚实的基础，

参考文献：

[1]冯慧玲.创新是初中数学教学的灵魂[J].新课程(教研),2011,(07).

[2]刘春堂.浅谈初中数学教学[J].学周刊,2011,(21).

[3]仲卫.初中数学教学创新思维培养模式初探[J].数学学习与研究,2012,(12).

[4]李茂尧.初中数学分层教学探究[J].四川职业技术学院学报,2011,(01).

[5]蒋大峰.转变观念:数学课堂有效教学实施的关键[J].职业技术,2011,(03).

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创新性思维的起点是问题，终点是问题的答案。创新性思维过程，它是思维的最高表现形式，它的特点是主体对知识经验的思维材料进行新颖的组合分析，抽象概括以期达到人类思维的高级状态，也就是说要学会用与别人不同的思维方式，别人忽略的思维方式来思考问题。对于中学生来说，只要不依赖于前人的结论而自己探求的新知识就是一种创新。

数学是思维的体操，因此，在数学课堂教学中，要把培养学生的创新思维能力作为课堂教学的一个重要环节。那么，如何培养学生的创新思维能力呢？笔者认为，在解题教学中，充分发挥习题的潜在功能，有意识地引导学生从不同角度，不同层次，不同侧面去观察与思考，是培养和训练学生创新思维能力的有效途径。

一、巧设悬念，提高学生的学习兴趣

教师应根据课文的内容而巧设疑问，以悬念来激起学生的学习兴趣。如在教授平面内有n个点，任意两点连接成一条线段，问总共能连多少条线段时，首先提出假设：假如我们毕业已10年了，现在大家又见面了，每两人之间都要握一次手，问总共握多少次手？让同学们以小组为单位进行实际操作，得出结论，然后再提出以上问题，这样不仅能帮助学生对问题的理解，同时提高了学生的兴趣。

在新的数学教材中，每一章节在引入新的知识时，都非常注重新的知识来源，让学生知道要学新的知识是由于要解决新的问题的缘故，如在引入有理数时，课本从温度、海拔高度、表示相反方向等多个角度，立体化地说明引入负数的必要性，从而激发学生的求知欲望，培养学生的学习兴趣，也有利于教学中的重结论轻过程向既重结论又重过程的方向发展。

二、在解题教学中，培养学生的独创性思维

所谓独创性思维，就是有别于常规思维方式的思维方法。在数学解题过程中，学生的独创性思维能力常常表现为能用特殊的方法去解决数学问题。这是形成独创性思维能力的标志，并且在思考问题的过程中，解决问题的方式方法越新颖，越简单，独创性思维能力就越强。因此，教师在解题教学中要善于培养学生的独创性思维能力。怎样才能培养学生的独创性思维能力呢？笔者认为要善于引导学生分析问题的特征，充分发挥学生的求异思维能力在解题过程中的作用，最大限度地发展学生独创性思维能力。

同样在新的教材中，课本亦相当重视提高学生自己动手，解决实际问题的能力。如在新的几何教材中，就有让学生自己动手，通过实际操作得出几何中立体图形的初步概念的实验课，不仅提高学生的学习兴趣，还促进学生动手解决问题的能力，在中考中亦有类似的题目。如用两个相同的等腰直角三角形，可以拼出多少个不同的平行四边形？学生只要动手比划一下，就可以得出结论，这对促进学生动手解决实际问题能力有着重要作用。

三、不设标准答案，鼓励求异

求异是创新的先驱。教师要注意培养学生的求异思维，促进学生思维的多向性发展。要允许学生发表不同的见解，鼓励学生寻求多种解决问题的方案，使学生在形成求异思维过程中学习知识，在学习新知识的过程中培养思维的多向性。

1.进行开放型问题的训练

开放型问题可能条件不够完备，结论也不唯一固定，具有开放性。进行此类题目的训练具有探索性，对学生自觉独立思考、参与科学发现有重要意义，即对培养学生创新性有重要作用。

2.多进行“一题多解”“一题多变”的练习

对于一道数学题，往往由于审视的方向不同而得到不同的解题方法。在例题教学中，教师若能抓住一切有利时机，有意识地启发学生在所学的知识范围内，尽可能地提出不同的新构想，求异、求新地解决方法，这将大大有利于培养学生的创新精神。

四、在解题教学中，培养学生的批判性思维

思维批判性的特征在于评价解题思路选择正确与否和这种思维导致的结果的合理取舍等。因此，在教学中，教师要反思学生解题中出现的错误，及时改编成错题，判断题和选择题，让学生主动参与评价和矫正，以增强辨别能力；例题解完后，教师可引导学生反思：题目是怎样解出来的？应用了哪些相关知识？还有没有别的解法或解法是否具有普遍性？能否把这种方法或结果用于其它问题的解决过程中？表达过程是否合理？等等，从而培养学生思维的批判性。

社会的进步和发展，要求我们广大教师必须改变以住一味追求基础知识和基本技能训练的做法，传授知识和技能训练不是教育教学的唯一目的。教学的根本目的在于实现知识向智慧的转化。在解题教学中，只要教师重视学生创新思维的培养，学生是一定能够形成创新思维能力。

总之，创新性思维要求学生不依常规，寻求变异，沿不同方向去思考问题。作为学生，一方面，要能融会贯通所学知识；另一方面，要大胆猜想，勇于探索，突破束缚才能有所创新。教师应从这方面着手，培养学生的创新性思维。

参考文献：

＼[1＼]卞继轩.初中数学教学中创新性思维能力的培养＼[J＼].剑南文学（经典教苑），2011，（7）：12-19.

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关键词:数学教学 创造性思维 培养

创造力是人的素质的重要组成部分。创造性思维就是对已知事物从新的角度、新的途径重新进行思考,提出新颖、独特的见解,或对未知的事物进行前所未有的探索性的、创造性的思考。要发展和提高创造力,就要从创造性思维入手。那么,在数学教学中如何培养学生的创造性思维?

一、培养创造性联想

联想是学生创造性思维的基础。人类的创造活动,往往离不开创造性联想。创造性联想就是由一个事物联想到另一个事物的思维过程,各种不同属性的事物反映在头脑中,便形成了各种不同的联想,如类比联想、化归联想、数形联想、因果联想、反向联想等。

例:顺次连接四边形各边的中点,所得的图形是平行四边形,那么顺次连接特殊四边形的各边中点可得到什么图形?学生一般都能够得到:1.顺次连接平行四边形各边中点可得平行四边形;2.顺次连接矩形各边中点可得菱形;3.顺次连接菱形各边中点可得矩形;4.顺次连接正方形各边中点可得正方形;5.顺次连接等腰梯形各边中点可得菱形。假如要求学生对上述命题加以证明,这就要求学生要发挥联想了。

教学中,要灵活设计联想型问题,创设思维情景,激发学生的创造欲,通过发散思维、直觉思维以及各种思维的有机结合来训练,注意数形结合,加强知识的相互渗透及综合运用,培养学生联想思维能力。

二、激发学生的好奇心和求知欲

激发学生的好奇心和求知欲是培养创造性思维的主要环节。好奇心是由新奇刺激所引起的一种取向、注视、接近、探索心理和行为动机。一个好奇心强,求知欲旺盛的学生,往往勤奋自信,善于钻研,勇于创新。

例:在讲“求一次函数的关系式”时,这样导入:妈妈准备为小妹买一双新的李宁牌运动鞋,但要小妹自己算出穿几码的鞋才行,小妹怎样才能算出呢?这一问,可不得了,同学们七嘴八舌的议论开来,这时教师抓住机会进行教学。

再比如:在讲三角形相似判定定理的预备定理时,这样开场:“同学们,你们有谁能简单地测出我们学校的旗杆的高度吗?今天这节课我将教给你们一种简便可行的方法。”这样一下子就将学生成功地吸引住了,激发了他们的好奇心。

当好奇心转向探求科学知识的时候,好奇心便会升华为求知欲。求知欲是一种对知识追求的内在驱动力,是一种指向学习任务的动机,满足这种动机的奖励(实际获得知识)是由学习本身提供的,因而也被称为内部学习动机。学生的内部动机水平高,就会主动地提出问题、提出任务,在活动中坚持不懈,努力地去寻求解决问题的方案,即使有外部刺激的干扰,学生仍会保持开放心态。在解决问题时敢于冒风险,并能觉察到情境中那些与问题毫无关系的重大线索,从而创造性地将问题加以解决。

三、培养学生的发散思维和聚合思维

发散思维和聚合思维是发展创造性思维的重要方面。在学生的创造活动中,既要重视聚合思维的培养,更要重视发散思维的培养。如有的教师往往按照一张标准答卷给分,而学生也往往按照固有的一个答案回答问题。这样,无形之中使学生形成了一个固有的思维模式,严重影响了学生的观察力、好奇心、想象力以及主动性的发展。这样培养出来的只能是知识积累型的学生。发散思维本身有不依常规,寻求变异,探索多种答案的特点。具有良好发散思维的学生,一般对新事物都很敏感,而且具有回避老一套解决问题的强烈愿望。所以应重视对学生发散思维的培养。

1.发散性提问

思维是从问题开始的。发散性提问可以直接激励学生进行积极的思维活动。对于培养学生的创造性思维更具有直接的影响。如八年级数学上册中:“在9m2+1中加上一项后,使其成为一个整式的完全平方式?”对于这个问题,可以这样提问:你有几种答案?学生针对这个问题,就会积极思考,各抒己见,充分发表自己的看法,从而培养了发散思维。

2.一题多解

一题多解要求学生的思维要“多向”,不局限于单一角度,不受一种思路的束缚,要多角度地寻求问题的解决方法。如:初中数学教材《线段中垂线性质》一节中有一例。在ABC中,∠ACB=90°,CDAB,D为垂足,AE是CF的中垂线交BC于E,求证:∠1=∠2。

分析:

方法(1):因为∠1与∠CFA互余,所以要证∠1=∠2,关键证:∠CFA=∠ACF,要证AC=AF,即有中垂线性质可得。

方法(2):利用全等三角形进行证明,过点F作FMCB于M,证CDF≌CMF,即可。

方法(3):利用中介量,连结EF可得EC=EF=>∠2=∠3=>∠1=∠2

利用ACE≌AFE=>EFAB=>CD//EF=>∠1=∠3

方法(4):利用外角的性质,∠AFC=∠2+∠B ∠3=∠B利用条件即可得

∠ACF=∠1+∠4 ∠AFC=∠ACF

通过这一例题的教学,培养了学生的一种钻研精神,使学生在思考问题上具有灵活性、多变性。教师在教学过程中,要重视一题多解的教学,对知识进行横向和纵向联系,这堂课才能做到丰富多彩,同时教师在课堂上也要有应变能力,认真听取学生的一些方法,不能局限于自己的想法。

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一、发散性思维的特征

发散性思维要求从一个目标或思维起点出发，沿着不同方向，顺应各个角度，提出各种设想，寻求各种解题途径去分析和解决问题。发散性思维具有以下特征：

（一）流畅性

心智活动畅通无阻，能在短时间内表达较多的概念，这是发散思维的量的指标。

（二）变通性

思考能随机应变，触类旁通，不局限于某个方面，不受消极定势的约束，能产生新的构想，提出不同的新观念。

（三）独特性

以前所未有的新角度、新观念去认识事物，反映事物，对事物表现出独特的见解。

发散性思维可以有效地拓展学生的思维广度和深度，是进行发明创造所不可缺少的思维品质。

二、 初中数学发散性思维的培养途径

（一）营造愉悦的发散思维情境，大胆开放教学过程

教师应以训练学生创新能力为目的，发散学生思维为根本，保留学生自己的空间，以平等、宽容、友善的态度对待学生，使学生在教育教学中能够与教师一起参与教与学中，形成一种宽松和谐的教育环境。只有在这种氛围中，学生才能充分发挥自己的聪明才智和创造想象的能力。

组织课堂讨论是一种使用较普遍的有效方法，这样培养的学生敢于提问题、敢于批判、质疑，思维敏捷，不受老师讲解的束缚，有利于学生之间的多向交流，取长补短。

如在探索三角形全等的条件时，我大胆让学生主动探索和发现，在学生分析、研究过程中，我始终参与他们的分析与讨论，认真听取他们发表新意见，提出新见解，尊重学生差异，充分解放学生的创造力，为各层次的学生创造性思维能力的培养提供理想空间。教学过程的开放，为学生积极参与教学过程，为发挥聪明智慧提供了很大的空间，培养了学生的创新精神和实践能力。

（二）培养发散性思维切勿忽视“双基”

首先，要加强基础知识的教学和基本技能的训练。学生掌握的知识、技能不仅必须准确无误和具有良好的巩固程度，而且要理解知识间的纵横联系，把握形式与实际的关系。如果在基础知识上有这样那样缺陷，当思维向各方发散时便会时时受阻，处处遇卡。

其次，要帮助学生掌握一些解决问题的思想方法和数学方法，如对应、还原、假设、转化、等量代换等，这为他们遇到具体问题时提供了多种途径的解决办法。

（三）注意从语言上来培养学生的发散性思维

很多学生在传统教育思想的影响下，对于见过的题型能够轻松的答出来，但是只要遇到一些新的题型或者是一些原来的题目稍加变化，学生就丈二和尚摸不着头脑了，说明学生的思维缺乏一定的变通性。因此，教师在开展教学时，可以试着从语言方面来提高学生的变通能力。

例如，教师可以采用不同的语言来对数学概念进行描述，或者教师让学生用自己的语言阐述一些数学公式、定理等。总之，就是希望通过语言的变化来刺激学生的变通能力，并且要学会把知识融入到自己的知识架构中，进而培养发散新思维能力。

（四）激励学生“联想、猜想”，培养学生的发散思维能力

数学家发现数学规律的过程，往往先有一个猜想，而后对猜想进行验证或修正的过程，？而猜想往往以联想为中介。这类题目不仅题型新，而且扩大了知识和能力的覆盖面，通过题目所提供的结构特征，鼓励、引导学生大胆猜想，充分发挥想象能力。

例如多边形内角和与外角和定理的学习探讨，可以从三角形、四边形等特殊图形内角和与外角和定理的探讨入手，引导学生经过一个顶点画对角线，将多边形分成若干三角形出发探讨内角和，从而得出猜想。

（五）一题多解是培养发散性思维的重要手段

发散性思维是变通的，在教学中，对一些有代表性问题的解决，教师要充分利用学生学过的知识和技能，调动一切做题手段，从各个侧面论证同一命题的真实性。通过分析比较，让学生知道哪种方法灵活巧妙，具有思维的敏捷性、灵活性；哪种方法呆板沉繁，具有思维的局限性。教师要通过一题多解的分析训练，让学生在普遍性中寻求规律性，融数形结合等数学思想于一体，优化解题方法，拓宽解题思路的广度和深度。

例如，已知ΔABC，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DEAB于E，DFAC于F，BG是AC边上的高，求证：DE+DF=BG（如下图）

分析提问：

1.这是属于哪一类题型的几何证明题（线段和差问题）。

2.常用证明方法是什么？（ 截长补短法）。

3.可采用怎样的方法来证？（ 添加辅助线）。

4.怎样添加辅助线？（ 过D点画DHBG）。

5.需要运用哪些性质来证明？（全等三角形性质和矩形性质）。这样从学生实际出发，由易到难循序渐进地教给学生分析问题，解决问题的基本思维方法。

6.还有别的添线方法吗？ （引导学生思维简单发散求异，分析出过B点作FD的垂线交FD 延长线于K。在学生掌握了分析问题的方法后，教师应引导学生从不同角度、方向探索思路，抓住各部分知识点的联系，一题多解，发散求异。）

（六）改变传统的习题模式

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关键词：初中数学老师；初中学生；逻辑思维能力

学生在学习以及以后的工作过程中，都需要比较严谨的逻辑思维能力，所以学生在学校期间应该努力提升自己的逻辑思维能力，这就要求教师需要采取各种科学合理的措施对学生进行一定的训练，直到他们能够在一定程度上提高自己的逻辑思维能力为止。

一、培养或者提升初中学生逻辑思维能力的重要性以及必要性

通过社会实践的调查以及相关的研究工作人员的分析，发现初中学生如果能够培养比较良好的逻辑思维能力，会对提升他们自身的学习能力、综合专业素质以及全面发展有着非常重要的帮助作用或者推动作用。对于初中学生来说，初中数学的教学在很大程度上能够符合逻辑学的学习方法，因此学生在学习初中数学的过程中，假如数学教师能够正确引导学生进行学习，那么学生的逻辑思维能力就能够获得很大程度的提高。

初中学生在学习的过程中培养或者提升自身的逻辑思维能力，与此同时又将逻辑思维能力实际地运用到了数学课程的学习中，并且逻辑思维能力不仅仅对学生现在的学习以及生活有一定的帮助作用，同时它还能够对以后的各种学科的学习有积极的推动作用。鉴于学生的逻辑思维能力能够对学生的学习以及工作产生如此重要的作用或者影响，所以初中数学教师需要在进行数学知识的教育教学工作中，时刻将培养学生的逻辑思维能力作为主要的教学目标之一。然而要想培养或者提升学生的逻辑思维能力需要一个长期的过程，这就使得数学教师在教学工作中，需要进行更多的努力或者探索。

二、如何在课堂教学中培养或者提升学生的逻辑思维能力

1.数学教师需要改变学生的学习习惯或者学习思维

小学生在进行数学学习的过程中，可以寻找相应的事物进行运算或者观察，这样能够在很大程度上帮助学生进行理解，但是对于初中学生来讲，他们所要学习的数学知识可能不能够在实践生活以及学习中找到，因此他们必须要利用抽象的思维进行数学理论知识的学习。总言而之就是初中学生在学习数学知识的过程中，需要将小学生的具体思维改变为抽象思维，经过长时间的训练或者练习，初中学生就能够提升自己的逻辑思维能力。

在初中的数学学习中，需要理解以及掌握相应的代数式以及几何知识，这些在实际生活中并不能够找到具体的例子进行说明，所以学生在学习的过程中就不能再使用具体性思维，而是需要将其进行抽象化，从而培养自己的抽象逻辑思维能力，这样的学习方式才能够让初中学生真正地学习到目前的数学知识以及以后相应学科的知识。由于初中学生在经过了小学几年的学习之后，很难将自己的思维转化过来，这就需要数学教师在平时的教育教学工作中，对学生进行抽象思维的训练或者强化，使得这些学生能够比较快速地利用抽象的逻辑思维去解决相关的数学问题。具体来说，可以在平时的课堂教学中多进行例题或者方法的讲解，与此同时在课下让学生们进行结组训练。只有让学生时刻进行训练或者练习，他们才能够逐渐熟悉这种学习方式，经过长时间的训练之后就可以熟练地掌握逻辑思维方式，从而真正地提升自身的逻辑思维能力。

2.关注或者重视几何内容的教学

在初中数学教学中，几何知识的学习占有十分重要的地位，尤其是几何证明题中条件之间的联系，以及条件与结论间的联系，如果学生在学习的过程中能够将这些关系辨别清楚，那么他们就会比较容易地解决相应的几何问题，与此同时也能够培养或者提升自身的逻辑思维能力。

数学学科是一门要求非常精准的学科，它不容许有一丁点错误，因此数学学习的过程中需要非常严谨的逻辑思维能力，也就是说数学教师在进行数学知识的相关教育教学工作时，需要让学生对这些逻辑关系进行严格的辨别，找到它们之间的内在联系，这样才能够将问题解决，更重要的是能够使这种逻辑思维能力得到一定的锻炼或者练习。

三、对学生进行适当的引导或者指导

数学教师在进行相应的理论知识讲授的时候，尽管能够比较详细地进行解说或者示范，同时也能够按照相应的逻辑思维顺序进行解题，然而对于有些学生来说，他们可能并不能够理解。所以他们在课下完成习题或者其他作业的过程中，就会有很多疑惑，这个时候就需要数学教师对他们进行特殊的指导或者引导。对于不同的学生他们的逻辑思维能力不是完全相同的，这就使得教师在引导他们学习的过程中要进行适当的指导，只有这样才能够使得培养学生的逻辑思维能力不至于沦为一句空话。与此同时有的同学会在课堂教学的过程中，提出相应的问题，这个时候数学教师应该尽量采取逻辑思维方法进行解释，学生们经过长时间的熏陶以及影响之后，就会在一定程度上提升自己的逻辑思维能力。

总之，培养和提升学生的逻辑思维能力是一项长期而复杂的任务，只有长期坚持不懈地探索和总结，才能慢慢看到成效，才能真正提升学生的逻辑思维能力。

参考文献：

1.石青枝.浅谈初中生数学逻辑思维能力的培养[J].试题与研究（教学论坛），2010（09）：39-43.

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关键词：初中数学；创新能力；创新意识

随着新课改要求对素质教育的重视，课堂教学越来越注重培养学生的创新思维。其中创新思维也就是指学生在进行问题解决过程中，采用新颖独特方法进行解决的思维过程，对这种思维模式进行培养，有助于突破学生思维的极限，在进行问题思考过程中，可以采用独特的、反常规方式进行，从而采取一个与众不同的解决方法。这样也就会产生更多独特的、新颖的思维成果。创新思维具有思维的全新性、独特性和非常规性的特征。

一、提高教师的创新意识

俗话说：“要给学生一碗水，教师要有一桶水。”要想对学生的创新思维进行培养，教师首先要具备创新思维。其中教师要对创新思维在我们培养人，培养人才，培养高素质人才中的重要性进行充分认识。教师从根本上转变传统的应试教育观念，改变过去的“满堂灌”，作业训练“题海战术”的模式，要注重培养自己的创新意识，发挥自己的创造能力，并将这种创新思维引入教学中，学生从中得到潜移默化的影响，在长期的教学中不断地引导学生进行思考，同时还要对其传统的思维模式进行突破，逐渐改变之前的思维习惯，以此对学生的创新思维能力进行培养。

二、对课堂教学方法实施优化

“教学有法，而无教法。”这也就充分地说明需要采取灵活的教学手法。当然这些教学手法是让教师在教学过程中进行使用，并不是对别人的方法单纯地进行抄袭，必须依照其教学实际情况，选择合适的教学方式，以能够对教材和课堂教学有效驾驭。在教学过程中，对其教学方式进行优化，要激发学生心理活动的潜力，增强学习兴趣，学生对数学产生了兴趣，就会积极主动地学习，对学生的学习兴趣和思维进行激发，非常有助于对其创新思维能力进行提高，“学习的最好动机乃是对所学教材本身的兴趣”，这是美国著名心理学家布鲁纳所说的，也就是说在学习过程中，其浓厚的兴趣能够对强大的学习动力进行激发，从而引导学生自强不息，积极向上。因此，我们在课堂教学过程中也应该注重触及学生心灵，就像是采用磁铁把学生紧紧吸住一样。在教材中有许多生活中的数学，贴近学生的生活实际和社会现实，如：在“有理数”一章中从数的产生和发展过程、数轴、有理数大小比较、有理数加减法到科学记数法，每一个知识点都与学生的生活紧密联系，教师在教学中充分运用好这些资源，结合实际问题，激发学生的学习兴趣，在“认识负数”部分，首先通过一个案例引入概念，然后让学生计算自己近两月的生活费，这时学生的积极性被调动起来，积极地投入运算中，主动参与到教学中，接着教师进一步引导学生：“想一想你们身边还有什么可以用负数表示的？”“如何理解国际经济中的负增长？”“肥胖是由营养需求与摄入的什么关系引发的？”等等，这些问题能够进一步对学生学习兴趣进行激发，从而引导学生积极主动地去掌握思考过程中的科学知识，通过实施研究性和小组合作等教学方式，从而对学生科学探究能力进行提升，使其学会应用当前所学数学知识解决实际问题，逐步培养学生的学习兴趣，从而提高想创新、敢创新的自信心，进而激起学生的学习兴趣和创新欲望。

三、加深对“教材”内容的挖掘

新课标没有对初中数学探究活动的内容和数目作硬性的规定，只是要求学生能主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系，因而教师在教学中有比较大的自由空间，教师可以充分“挖掘”教

材，注重与学生的日常生活紧密联系的知识点，关注培养创新思维，如：在“三角形”教学中，让学生总结三角形的特点，并将三角形的内容不断地延伸到生活中，让学生自己设计一个生活实例，

让学生进行讨论，并进行试验，最后形成报告在课堂上加以展示，教师进行点评。这样学生从提出问题―设计实验―实施实验―结果分析得出结论的整个过程，想要亲身去体会创新，也并不是一件不可能实现的事，这样可以对学生创新和敢于创新的自信心进行提高，同时也培养了学生实事求是的科学作风和科学的探究精神和严谨的科学思维。

总之，学生从小学升入初中，不管是学习内容，还是学习环境均发生了变化，同样，学习方式也必须进行一定的改变，同时对于初中数学的学习，需要更强的逻辑性和思维性，因此，也就导致很多学生无法把握数学学习特点，学习成绩差，从而失去了对学习数学的兴趣。导致在初中数学学习中，普遍存在逃课、作弊、学习不努力等问题，严重影响了初中数学的课堂教学有效性。在课堂教学中注重培养学生的创新思维，有助于对学生的学习兴趣进行有效提升，同时减少学生不良行为的出现，以此对初中数学课堂教学进行有效的提高。

参考文献：

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关键词：初中数学；思维品质；培养

任何人才不是天生的，是通过长期的系统的教育的结果。大量的事实证明，任何青少年和儿童若是通过长期专业培训教育，尤其是对其优质的思维训练，能够提高他们的综合素质，成为一个社会需要的人才。目前，党和政府提出实施素质教育。学校教育从应试教育到素质教育是社会发展的客观要求。思考训练质量是教育质量的前提和保证。纵观历史，从国内到国外，从教育的正面和负面的经验和教训，充分意识到，学校教育应该通过学习知识，学习如何学习和提高自己的综合素质。在这个活动中，学生思维品质的培养的前提和重要环节。人们通过长期的教育教学实践中逐渐掌握了金钥匙的思想素质教育，启发学生智慧之门，进而培养学生的思维。

一、初中生思维品质培养的原则

（一）数学思维品质的内涵。数学思维也是现在思维领域的一种模式，它是以数学里面相关的符号和语言作为一种形式与载体而存在的，并且一直流传到现在发展的也很好。数学思维的形态有很多，并且彼此之间可以自由的转换，并且人们能够更具不同的形式在进行归拢和分类。思维逻辑也有着更加细致的分类，其中包括逻辑思维与直觉思维，不同的思维模式也有着不同的作用以及使用方法。而且思维还能够分为正向以及内向。思维的具体芬达还有很多，这需要人们慢慢地去探究以及发现其内在的表现形式和方法。

现如今判断一个学生思维的好坏可以从一个学生的思维模式入手，所以，在对学生进行思维教学的时候一定要特别的注重思维模式的建立。

（二）初中生思维品质培养的原则。随着社会的发展，能够发展学生思维模式的方法也越来越多，但是大多数的方法还是与老师特定的教学方法以及学习的环境相关的，所以不要把思维品质的教学归结到某一个模式当中去，它的种类真的有很多种。但是当老师想要带动一个学生的思维品质的时候所用到的方法也必须是真实可靠的，并且结合学生所处的环境以及融合，与其自身的心理状态，以此达到更好的教学效果。

作者在不断的客观实践中总结了以下几点：1.应该注意学生非智力因素的发展；2.在学生学习的过程中去很好的领导；3.给予学生足够的空间去思考问题；4.有组织有纪律的教学方式；5.特别要注意学生的全面发展。

二、初中数学教学中思维品质培养的方法

（一）培养思维的灵活性。从一个学生思考问题是后的反应程度就能够这个学生的思维品质如何，它可以表现出一个孩子智力方面的问题，这些表现很明显，这些孩子都能够从一般孩子想不到的角度去思考问题。这时候再加上老师能够给予正确的领导，再加上灵活的思考，这些都是好的思维品质的表现。

（二）培养思维的独创性。在拥有好的思维品质的之上也有着好的创造精神也是很重要的，有了这种创造性也就可以从比较新颖的角度去看待问题和思考。学生通过这些新的有效的方法创造出一些新的方式，老师在这个时候更应该给予学生好的领导，在学生遇到困难的时候则更加应该给予鼓励以及帮助。但最重要的还是要让学生有独立思考的能力以及好的发展空间

例1 求证：等腰三角形的两个底角相等.

如图1，已知ABC中，AB=AC.求证：∠A=∠B.

按常规做法，可添顶角平分线，或底边上的中线，或底边上的高线。

开课时有一个学生在课堂上想到通过证明得出结论，用的是SSS公理.这正是独创性思维的魅力所在。

思维的独创性体现在敢于超越传统习惯的束缚，能摆脱原有知识范围的羁绊和思维定势的禁锢，善于把头脑中已有的知识信息重新组合，产生具有进步意义的新设想、新发现。思维定势是指人们用一种固定了的思路和习惯去考虑问题，这将阻碍思维的创造性和灵活性，造成方法上的定型化.突破思维定势，在数学教学中应注意以下几方面的培养：加强基础知识和基本技能训练.理解知识、定理性质等的前因后果关系及适用范围渝止“定势错觉”。

（三）培养思维的批判性。思维的批判性与别的相关领域而言是比较严苛的，他对于所有学生所表现出来的形式也相对严格，思维的批判性所表现出来一种比较明显的现象就是学生总是会对一些问题对老师提出发问。往往这个时候就更加需要老师来领导学生以及鼓励。这样对孩子的未来也有着很多好处，也能够培养孩子们独立思考的能力。

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我们所说的思维创新就是运用我们所学习的科学文化和理论为支撑点，在各类各样的社会实践活动中向社会提供经济、思想价值，属于一种新观念和新创造的思维模式。思维创新也可以理解为创新能力，在这日新月异的高速发展社会中，创新能力的大小则意味着竞争能力的大小。社会的任何需求都会体现在学习中，初中的数学教学既要面对社会的新需要也要面对学生们的学习和接受能力。怎样在初中的数学教学中培养学生们的创新能力，从而培养能够被社会接纳的创新性人才是初中数学教师面临的一大难题。

创新看似和初中数学的教学没有关联，然而在实际中，创新的思维模式对初中数学的学习具有不可忽略的影响。假如一个学生的思维非常开阔，那么他在思考问题时就会比别人更加深入，更加能明白出题者的意图，在解决问题的方案上可以快速运用知识而不是死记硬背。创新能力不强的同学在课堂上可以听得懂，那是因为有老师一步一步的带领，但是，题目的类型一旦转换，学生就无从下手。这就是造成同学们之间数学成绩出现差异的原因。

二、思维创新的重要性

具有创新思维模式的同学，他们的学习效率是很高的。因为，创新思维使他们的学习方法发生了改变，变被动学习为主动学习，提高了学习数学的兴趣，兴趣乃是最好的老师，所以，数学就成为了他们的最爱。我们可以看到， 在国家颁布的新的数学教学大纲中，注重阐述了培养学生创新思维模式的重要性。我们的初中数学教学不能够再继续全盘地使用传统的教学方法了，因为学生们总是被困在传统的思维框架下。因此， 在数学教学中必须改进教学方法，传统的教育思维以及方法不利于学生独立思考，不利于增加学生对学习的兴趣，更加不利于培养学生的创新思维能力，导致学生的实践能力低下。所以说，在初中数学教学中培养学生的创新思维能力是重要而且是必须的。

三、如何激发学生的创新思维

第一种方式是疑问教学。疑问教学就是在教学课堂上为了激发同学们的兴趣而给出一个问题情境， 这个问题情境最好来源于同学们的日常生活，这样就让复杂繁琐的数学问题变得具有深刻的实际意义。学生们如果可以自己运用初中数学知识解答问题，那么也就达到了教学的目的。如果同学们在思考过后依然不能解答疑问，在老师的讲解下也会对此疑问印象深刻，这样就勾起了学生们的好奇心，带着疑问听讲，教学效果也会变得非常明显。疑问教学的前提是教师在备课中应该先精心准备问题， 然后根据课堂情况引导学生们去质疑，去讨论问题，然后再观察学生们的讨论情况，最后老师可以根据总体的情况解答自己所提出的的疑问，这样就完成了一次疑问教学。

如在讲解三角形一章时， 可以先提出一个通俗易懂的问题：要在三个村子中建立一个小学，建立在哪里，三个村子的孩子上学路程是相等的呢？在学生做出了种种推算后， 教师再提出不同的见解，这时学生会感到疑惑，一股强烈的求知欲油然而生， 这样教师既引出课题，又可以和同学们共同分析，运用三角形公式和其它的知识计算得出正确答案。正是由于这样一个问题情境，培养了学生的思维创新能力。

第二点是重视最后十分钟。如果只有老师解答同学们的问题，那么同学们就会有依赖性，思维也会变得懒惰。我们可以利用课堂晚自习的最后10分钟去开拓同学们的创新思维模式。所谓最后10分钟是指，在课堂或晚自习的最后10分钟全部交给同学们自由讨论数学学习中的问题。任何人都可以发言，不论对错。这样一来既提高了同学们的积极性，又可以调动大家去思考问题。思考对数学创新思维模式和创新能力的提高有着直接的影响，一个学生肯思考，必然会产生自己的见解和智慧，新颖的思考则会培养学生的思维创新能力。

第三是强化创新思维的训练。老师要时刻谨记加强训练学生的创新思维，因为一种创新的思维模式不是一朝一夕就可以形成的。要相信生活处处是数学，数学时时要思维。不论是书本练习题还是现实生活，都有着大量可以强化学生创新思维的素材和例子。身为数学老师要多多留意这些，瞅准机会把这些素材和例子拿给学生们，让他们多多思考，多多训练自己的创新思维能力。众所周知，学生们的智商都是差不多的，脑子只有越动才会越灵活，创新思维才能早日被训练出来。而老师这时要做的就是统统把它们发掘出来，见缝插针地训练学生们的创新思维。老师在日常的数学教学中时常灌输创新思维的训练，不但使学生的做题思路宽广起来 ，而且让学生养成了独立解题的良好习惯。

第四点是培养学生创新思维的意识。有了前三种的激发学生创新思维的方法，接下来就要启发学生，培养学生的创新思维模式。

例题：在一次数学测验中，两班学生成绩统计如下：

据图表可知，学生们会非常容易计算得出两班的平均分都是80 分，请根据你所学的数学统计知识，预测在本次数学测验中这两个班的成绩哪一个班会更好呢？请你说说预测的理由。

这样类型的题目老师和学生都非常熟悉，经常出现在练习册和试卷中，因为这样的题来自现实世界，题目不难。但是面对“哪一个班的成绩会更好一些”的问题时，就需要学生认真思考和运用公式计算了。

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一、深刻领会培养学生发散思维能力的重要性

发散思维是发明创造的源泉。现实生活中，许多伟大的科学家、思想家和实践家一直都注重运用发散思维的方式进行问题的思考和分析，都能从不同角度进行问题或现象的“问”。发散思维能力已成为新课改下初中数学教学的重要目标和任务之一。同时，根据学生智力发展的实际特点，可以发现思维能力是智力发展的核心，发散思维能力成为展示思维能力水平的重要因素。实践证明，良好发散思维能力的养成，有利于学生更加深刻地掌握、理解、判断复杂知识点的内在要素和深刻联系，有利于学生运用整体思维理念掌握复杂知识点体系的内在本质，实现整体思维的活动和思维素养的形成。在问题解答过程中，经常进行发散思维活动，能够使学生对问题条件中的显性条件和隐性条件进行准确地掌握，能够理清已知和未知两者之间的深刻联系。通过辨析讨论，从而找寻到解答问题的最佳途径和思路。并且，发散思维的有效运用，能够使学生的解题方法更加灵活、更加多样、更加科学，为学生全方面学习素养的提升奠定坚实的基础。

二、正确认识初中生发散思维训练活动的不足

发散思维能力的培养是一项系统复杂的长期工程，需要教师辛勤的努力实践以及学生刻苦的学习活动。数学是一门抽象性、复杂性、深刻性的基础知识学科，学生在学习活动中需要付出艰辛的“劳动”。同时，发散思维作为思维活动的高级形式，更需要外在积极因素的引导和自身坚定信念的支撑。但在实际教学活动中，教师在数学教学中，也出现了一些“不和谐”的地方。一是缺乏思维过程的引导。部分初中数学教师在教学中为提升课堂教学效率，采用“教师主讲、学生旁听”的模式，教师直接将知识点内涵要义的演变发展过程或解答问题的方法策略等内容“一股脑”地讲给学生，省略掉了学生思考、分析、研究的过程，导致学生不能对知识要义和解题策略进行有效掌握，出现“知其然，不知其所以然”。经常出现“解答策略说得头头是道，实际解题却无从下手”的情况。二是缺乏思考方法策略的传授。教是为了不教，教是为了使学生更好地学习知识、解答问题。方法策略的传授，是发散思维能力训练的根本出发点和现实落脚点。应试教育下的部分教师一般采用“题海展示”巩固强化学生的解题能力，而忽视了“方法经验”的指导战略作用，导致学生习惯于定性思维分析解决问题，出现“形而上学”和“刻舟求剑”现象，这显然有悖于新课改的教学初衷和目标要求。

三、培养初中生发散思维能力的策略

1.利用数学学科的生动性，提升学生发散思维的主动性

发散思维是一项艰巨性的脑力劳动，需要学生在积极情感的熏染下，保持主动向上的学习态度。初中生处在特殊的心理发展时期，更易受不良社会因素和消极情绪的影响，出现思维的懒惰性和畏难性。这就要求，初中数学教师在教学活动中要善于紧扣学生情感发展的特点，利用数学学科知识内容的趣味性、生动性等激发“积极因子”，激发和引导初中生开展知识要义或问题案例的思维活动，多角度、全方位地探究分析，得出不同解题策略。如在讲解“趣味数学”教学活动中，教师设置“A、B、C、D4个孩子在院子里踢足球，把一户人家的玻璃打碎了。可是当房主人问他们是谁踢的球把玻璃打碎的，他们谁也不承认是自己打碎的。房主人问A，A说：“是C打的。”C则说“A说的不符合事实。”房主人又问B，B说：“不是我打的。”再问D，D说是“A打的。”已经知道这4个孩子当中有1个很老实、不会说假话，其余3个都不老实，都说的是假话。请你帮助分析一下这个说真话的孩子是谁，打碎玻璃的又是谁？”趣味性问题，学生积极思维的情感得到了有效激发，结合题意主动开展发散思维活动，得出如下推理过程：“假如A说的是真话，那么B说的也是真话了，2个孩子都说真话，不符合所设条件，所以可以断定玻璃不是C打破的。同理D说的也不是真话、所以玻璃也不是A打破的。经过分析，只剩下孩子B与D了，假如打碎玻璃的是D，那么B与C都说了真话，所以打破玻璃的必然是B了，而说真话的是C。”这样，初中生发散思维的“激情”得到“燃烧”，为发散思维活动效能的提升提供情感支撑。

2.利用数学问题的多样性，锻炼学生发散思维的变通性

数学问题是初中数学教学的重要抓手，也是学生学习和提升的重要载体。在实际教学中，同一数学知识点可以通过不同形式的数学问题案例进行展示，同一数学问题案例可以采用不同策略的解答问题方法进行解决。而发散性思维活动是对数学问题解答进行变通的发展过程。因此，在教学活动中，教师可以利用数学问题案例的多样性特点，选取具有典型性、代表性的数学问题案例，如一题多解、一题多变等开放性问题案例，利用学生已有的知识素养和解题技能，从各个侧面论证同一命题的真实性，让学生在普遍性中寻求规律性，融数形结合等数学思想于一体，优化解题方法、拓宽解题思路的广度和深度。

例 已知：如图1所示，CD切O于D，割线CBA经过点O，DEAB，垂足为E.求证：∠1=∠2.

这是关于“圆与直线位置关系”问题案例，在解答该问题过程中，教师在学生解答问题的基础上，利用问题案例发散特性，设置出一题多变的问题案例。

变式1：若将上面例题中的条件“CD切O于D”与结论“∠1=∠2”互换，所得新命题是否成立？若不成立，说明理由；若成立，请给予证明。

变式2：若将上面例题的条件“割线CBA经过点O”与结论“∠1=∠2”互换，所得新命题成立吗？若不成立，说明理由；若成立，请给予证明。

变式3：若上面例题的条件不变，过B作BNCD，垂足为N（如图2），指出图中相等的角（不包括直角）、相等的线段（不包括半径）、相似三角形（不包括全等）。

学生此时结合已有解题经验，根据变式问题要求，进行针对性的思考分析，从而认识到变式1和2两个新命题都成立。变式3相等的角有：∠NBD=∠EBD、∠EDC=∠NBC；相等的线段有：BE=BN、DE=DN；相似三角形有：EDC∽NBC。

3.利用中考试题的包容性，培树学生发散思维的独创性

独创性是发散思维活动的重要特性，当前，中考试题的命题更加侧重学生解题能力的考查，更加重视学生思维活动的考核。因此，发散思维活动的开展，更应体现学生的思维的独创性、策略的独创性以及过程的个性化。

例 已知方程x2+x+m=0的两个实根都在-1和1之间，求m的取值范围。

分析：学生根据惯性思维求出两个根，列出如下不等式组：

-1

初中学生直接解题肯定会有很大困难。但教师只要引导学生把方程的“根”与抛物线与x轴“交点”联系起来，由方程问题转化为二次函数问题来解决。构造y=x2+x+m的二次函数，画出草图（如图3），结合图象分析可得出结论，当x=-1时，y>0和当x=1时，y>0，得下列不等式组：

（-1）2+×（-1）+m>012++m>0=-4m≥0，

解得 -